FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 3Figure 1.La distance de HilbertAut(Ω) = Isom(Ω, d Ω ) si et seulement si Ω n'est pas un simplexe ; lorsque Ω est unsimplexe, Aut(Ω) est d'indice 2 dans Isom(Ω, d Ω ).Les géométries de Hilbert ont connus un regain d'intérêt dans les, disons, deux dernièresdécennies. Pour ce qui va nous concerner ici, il convient de citer dans les rôles principauxWilliam Goldman et Yves Benoist. L'article [Gol90] de Goldman de 1990 est consacréaux surfaces compactes projectives convexes, autrement dit aux quotients compactsd'une géométrie de Hilbert plane. Yves Benoist s'est lui intéressé à la situation bien plusgénérale d'un sous-groupe discret de SL n+1 (R) préservant un ouvert proprement convexede P n [Ben00] ; il a ensuite clarié, dans sa série d'articles sur les convexes divisibles (1)[Ben04, Ben03, Ben05, Ben06a], le cas des quotients compacts d'une géométrie(Ω, d Ω ) par un sous-groupe discret de Aut(Ω). Dans les deux cas, notons que les auteursrestent tributaires de travaux des années 60, notamment ceux de Benzécri, Kac, Koszulet Vinberg [Ben60, Kos68, VK67].Parmi les convexes divisibles, l'ellipsoïde, qui dénit une géométrie hyperbolique, est uncas bien à part. En fait, un théorème d'Édith Socié-Méthou arme que, dès que le borddu convexe Ω est de classe C 2 à hessien déni positif, le groupe d'isométries de (Ω, d Ω )est compact, sauf si, bien sûr, c'est un ellipsoïde [SM02]. Un des accomplissements desauteurs précédents est bien d'avoir montré qu'il existe malgré tout de nombreux autresconvexes divisibles. Le premier exemple avait été donné par Kac et Vinberg dans lesannées 60 [VK67]. En dimension 2, le résultat de Goldman est quantitatif : l'espacedes structures projectives convexes non équivalentes sur une surface de genre g 2 esthoméomorphe à R 16g−16 , alors que l'espace des structures hyperboliques non équivalentesest lui homéomorphe à R 6g−6 . En dimension plus grande, on ne dispose que de théorèmesd'existence : d'une part, il est possible dans certains cas, par des techniques de pliage, dedéformer continûment une structure hyperbolique en une structure projective convexe ;d'autre part, il existe des exemples de quotients exotiques [Ben06b, Kap07], c'est-à-direde variétés compactes projectives strictement convexes, qui n'admettent pas de structurehyperbolique. L'étude quantitative de la dimension 2 et la construction d'exemples parpliage de structures hyperboliques ont été généralisées au cas du volume ni par le secondauteur [Mar10a, Mar10b].Jusque-là, sans le savoir, nous n'avons parlé que de situations dans lesquelles l'ouvertconvexe est strictement convexe. Rappelons le résultat suivant :1. Un ouvert proprement convexe est dit divisible lorsqu'il existe un sous-groupe discret de Aut(Ω) telque Ω/ Γ soit compact. On dit alors que le groupe Γ divise le convexe Ω.