FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 317. Sur les sous-groupes paraboliques7.1. Quelques résultats préliminaires sur les groupes algébriques. Nous allonsavoir besoin de plusieurs résultats et dénitions sur les groupes algébriques linéairesréels ; on pourra consulter le livre [Hum75].Soit G un sous-groupe de SL n+1 (R) Zariski-fermé. Un élément g ∈ G est dit semi-simple(resp. unipotent) lorsque g est diagonalisable sur C (resp. (g − 1) n+1 = 0). On note S(G)(resp. U(G)) l'ensemble des éléments semi-simples (resp. unipotents) de G.L'ensemble U(G) est un fermé de Zariski de G ; par contre, l'ensemble S(G) ne l'estpas en général.Proposition 7.1 (Proposition 19.2 de [Hum75]). Soit G un groupe algébrique résolubleet connexe. Le groupe G est nilpotent si et seulement si S(G) est un sous-groupe deG. Dans ce cas, l'ensemble S(G) est un fermé de G pour la topologie de Zariski, le groupeS(G) est abélien et le groupe G se décompose en le produit direct G = S(G) × U(G).Proposition 7.2 (Lemme 4.9 de [Ben]). Soit Γ un sous-groupe de SL n+1 (R). Sitoutes les valeurs propres de tous les éléments de Γ sont de module 1 alors toutes lesvaleurs propres de tous les éléments de l'adhérence de Zariski de Γ sont aussi de module1.Remarque 7.3. Il faut bien faire attention au fait que, dans l'énoncé précédent, lecorps de base est R. Cette proposition est fausse sur un corps quelconque. Sur le corpsdes complexes, le groupe compact SU n est Zariski-dense dans le C-groupe SL n (C) ; sur lescorps p-adiques, le groupe compact SL n (Z p ) est Zariski dense dans le Q p -groupe SL n (Q p ).Pourtant, les valeurs propres des éléments de ces deux groupes sont toutes de modules 1.Le phénomène exceptionnel qui explique cette proposition sur R est que le sous-groupecompact maximal SO n (R) de SL n (R) est Zariski-fermé.Théorème 7.4 (Kostant-Rosenlicht (Théorème 2 de [Ros61] ou appendice de[Bir71]))Soit U un groupe algébrique unipotent agissant sur un espace ane. Toute orbite de Uest Zariski fermé.Théorème 7.5 (Théorème de Mal'cev (Théorème 2.1 de [Rag72]))Soit U un sous-groupe Zariski fermé de SL n+1 (R). Si U est unipotent, alors tout sousgroupediscret et Zariski-dense Γ de U est un réseau cocompact de U.Lemme 7.6. Soit P un sous-groupe parabolique de Aut(Ω) xant un point p. On noteN l'adhérence de Zariski de P et U le sous-groupe de N constitué des éléments unipotentsde N .Le quotient N / U est compact, le groupe P est un réseau cocompact de N , l'action de Nsur A n−1pest propre et l'action de U sur A n−1psur ∂Ω {p} est cocompacte alors l'action de U sur A n−1pest libre. En particulier, si l'action de Pest simplement transitive.Démonstration. Le groupe P est virtuellement nilpotent ; par conséquent, quitte àpasser à un sous-groupe d'indice ni, on peut supposer que P est nilpotent et Zariskiconnexe.L'adhérence de Zariski N de P est alors un sous-groupe nilpotent Zariski-ferméde SL n+1 (R). On note U l'ensemble des éléments unipotents de N et on note K l'ensemble