FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 33nécessairement un élément parabolique de Aut(Ω) ; il possède donc un unique point xeattractif, ce qui impose l'unicité du bloc de degré maximal.On obtient ainsi que l'unique point xe p de γ sur ∂Ω est l'image de (γ − 1) k−1 . Eneet cet espace est une droite de R n+1 : c'est la droite engendrée par le premier vecteurdu bloc de Jordan de degré k de γ. En fait, il existe un hyperplan H de P n tel que six /∈ H alors γ n · x → p lorsque n → ±∞.On obtient aussi l'existence d'une droite attractive. L'image D de (γ −1) k−2 est un plande R n+1 , donc une droite de P n : c'est le plan engendré par les deux premiers vecteurs dubloc de Jordan de degré k de γ. Si D ′ est une droite de P n et D ′ ⊄ H alors γ n · D ′ → D.On appellera cette droite la droite attractive de γ. Cette dernière assertion est simplementune conséquence du calcul des γ i et des (γ − 1) i dans une base donnant une matrice deJordan.On peut résumer l'essentiel de ce paragraphe dans la proposition suivante :Proposition 7.8. Soit γ ∈ Aut(Ω) un élément unipotent. Le degré k de γ est impairet le bloc de Jordan de degré maximal est unique.Dénition 7.9. Une courbe S 1 → P n est dite convexe lorsqu'elle est incluse dans lebord d'un ouvert proprement convexe.Lemme 7.10. Soit γ ∈ Aut(Ω) un élément unipotent. On note p le point de ∂Ω xépar γ, H l'hyperplan tangent à Ω en p et U = {g t } le groupe à un paramètre engendré parγ. Si x /∈ H, l'applicationP 1 −→ P nt ∈ R ↦−→ γ t · x∞ ↦−→ pdénit une courbe C x algébrique, lisse et convexe. De plus, la tangente à C x en p est ladroite attractive de γ.Démonstration. Si γ possède un unique bloc de Jordan non trivial, alors, dans unsystème de coordonnées convenable, C x est dénie par [t : s] → [t k−1 : t k−2 s : ... : s k−1 :1 : ... : 1] où k est le degré de γ ; autrement dit, C x est la courbe Veronese de degré k − 1.Il sut alors d'appliquer cette remarque à chaque bloc de Jordan de γ.Proposition 7.11. Soit γ (resp. g) une matrice unipotente possédant un unique blocde Jordan de degré maximal impair k 5 (resp. de degré 3). On suppose que γ et g ont lemême point attractif p, la même droite attractive et que ker(γ − 1) 2 = ker(g − 1) 2 . Alorsl'élément [γ, g] est unipotent de degré 2. En particulier [γ, g] ne préserve pas d'ouvertproprement convexe.Démonstration. C'est un simple calcul. On calcule le bloc principal de [γ, g], pour celaon dénit les matrices suivantes :J k =⎛⎞1 1 0 · · · 00 1 1... ........ 1 0⎜⎟⎝.... 1 1⎠0 · · · · · · 0 1J ′ a =⎛1 a a22⎝0 1 a0 0 1⎞( )⎠ −M2,l a a 2 a 2= · · · − a2 a 22 2 2 2−a a · · · −a a