FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 37En particulier, le groupe P est un sous-groupe parabolique de rang maximal de Aut(Ω p ),où Ω p désigne l'ouvert proprement convexe P d+1p ∩ Ω.Démonstration. Voyons l'ensemble Λ Γ {p} comme un sous-ensemble de Apn−1 , etnotons D = D p (C(Λ Γ )) : c'est, dans A n−1p , l'adhérence de l'enveloppe convexe de Λ Γ {p}.Soit K l'ensemble des sous-espaces anes maximaux inclus dans l'adhérence de D. Leséléments de K ont tous la même direction D. L'ensemble K s'identie à un fermé convexedans l'espace ane A n−1p / D , qui, par dénition, ne contient pas de droite. Montrons qu'ilne contient pas non plus de demi-droite.Pour cela, compactions l'espace A n−1p en A n−1p en lui ajoutant l'ensemble des demi-droitespassant par un point o ∈ A n−1p xé, qui n'est rien d'autre qu'une sphère. Si x est un pointde A n−1p et γ un élément d'ordre inni de P alors la limite dans A n−1p de la suite γ n · xvérie que limn→+∞ γn · x = − limn→−∞ γn · x car le degré de tout élément de P est impair. Ainsi,si x est un point de D, on voit que l'espace des demi-droites incluses dans K est stablepar la symétrie centrale de centre x ; autrement dit, si une demi-droite est dans inclusedans K, la droite entière l'est également, ce qui est impossible.Par conséquent, le fermé K est proprement convexe. L'action de P sur K = A n−1p / Dpossède donc un point xe, le centre de gravité de K. Autrement dit, P préserve un sousespacesane maximal F de F, dont la dimension est nécessairement égale à la dimensioncohomologique d de P. Il ne reste plus qu'à faire machine arrière : F est un sous-espaceane de A n−1p = Ω/ Γ P n p T p ∂Ω, qui engendre le sous-espace projectif ˜F de Ω/Γ P n p, luiaussi P-invariant ; l'espace P d+1p est le relevé à P n de ˜F.Notons Cône(p, C(Λ Γ )) = {y ∈ P n | y ∈ (px), x ∈ C(Λ Γ )}. On en déduit le corollairesuivant.Corollaire 7.18. Soient Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω) et p ∈ Λ Γ un pointparabolique uniformément borné. Alors le groupe P = Stab Γ (p) est virtuellement isomorpheà Z d et préserve des ellipsoïdes E int et E ext tels que ∂E int ∩ ∂E ext = ∂E int ∩ ∂Ω = ∂E ext ∩ ∂Ω = {p} ; E int ∩ Cône(p, C(Λ Γ )) ⊂ Ω ∩ Cône(p, C(Λ Γ )) ⊂ E ext ∩ Cône(p, C(Λ Γ )) ; E int est une horoboule de de l'espace hyperbolique (E ext , d E ext).Démonstration. Le lemme précédent nous fournit un ouvert convexe Ω p ⊂ P d+1p dontle groupe P est un sous-groupe parabolique de rang maximal. Prenons deux ellipsoïdesP-invariants Epint et Ep ext de P d+1p comme dans le théorème 7.14.Il existe donc des ellipsoïdes P-invariants E int et E ext de P n tels que Ω p ∩ E int = EpintetΩ p ∩E ext = Epext . L'action de P sur l'adhérence, dans Apn−1 de D p (C(Λ Γ )) étant cocompacte,on peut, quitte à prendre Epint et Epext plus petits ou plus grands (c'est possible car, d'aprèsla remarque 7.15 on en a en fait une famille à un paramètre), faire en sorte que E int etE ext vérient les conditions de l'énoncé.7.3. Constructions des régions paraboliques standards. Rappelons pourquoi ilest agréable que nos groupes paraboliques soient conjugués à des groupes paraboliques deSO n,1 (R). Ils apparaissent ainsi comme sous-groupes paraboliques d'isométries de l'espace