FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 39préserve une métrique euclidienne sur A n−1p . D'après le théorème 7.19, il existe un sousespaceA d p de dimension d 1 sur lequel P agit par translations et cocompactement.L'ensemble Λ Γ {p} (vu dans A n−1p ) est inclus dans un voisinage de A d p de taille r nie.Ce voisinage est un ensemble convexe et il contient donc aussi l'enveloppe convexe deΛ Γ {p} dans A n−1p , sur laquelle le groupe P agit encore cocompactement. Autrementdit, le point p est un point parabolique uniformément borné.(i) ⇒ (iii) Si p est un point parabolique uniformément borné, l'action de P sur l'adhérencede C(Λ Γ {p}) dans A n−1p est cocompacte ; l'adhérence de C(Λ Γ {p}) dans Apn−1 estdonc une bande parabolique standard.(iii) ⇒ (ii) Supposons qu'il existe une bande standard B pour P. En procédant commedans la preuve du lemme 7.17, on voit que l'ensemble K des espaces anes maximauxinclus dans B, qui ont tous la même direction D, est compact. Ainsi, P stabilise un sousespaceane A d p sur lequel il agit cocompactement. On en déduit, d'après le théorème7.14, que P est conjugué à un sous-groupe parabolique de SO n,1 (R).Dénition 7.22. Soit P un sous-groupe parabolique uniformément borné de Γ xantun point p. Si P est de rang maximal alors une région parabolique standard basée en p estune horoboule de centre p. Si P n'est pas de rang maximal alors une région paraboliquestandard basée en p est l'enveloppe convexe du complémentaire d'une bande standardd'intérieur non vide de P dans Ω.Dans le cas où Ω est un ellipsoïde, on retrouve les régions paraboliques standardsconsidérées par Bowditch [Bow93].Proposition 7.23. Soient Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω) et p un pointparabolique uniformément borné de Λ Γ , de stabilisateur P dans Γ.Toute région parabolique standard R est une partie convexe et P-invariante de Ω, lavariété à bord (Ω (R ∪ {p}))/ P est compacte et l'ensemble R ∩ Ω est un ouvert.En particulier, si D P est un domaine fondamental convexe localement ni pour l'actionde P sur Ω, alors l'adhérence de D P R dans Ω ne contient pas p.Démonstration. Si le groupe P est de rang maximal, c'est évident.Soit donc B la bande parabolique standard dénissant la région parabolique standard R.L'ensemble D(D P ) est un domaine fondamental pour l'action de P sur Apn−1 et l'intersectionde D(D P ) avec B est un domaine fondamental pour l'action de P sur B, qui estcompact. Il vient alors que l'adhérence de D P R dans Ω ne contient pas p. Ce qui montreque la variété à bord (Ω (R ∪ {p}))/ P est compacte. Les autres points sont triviaux.Remarque 7.24. Donnons-nous un sous-groupe discret Γ de Aut(Ω) et un pointparabolique p ∈ Λ Γ uniformément borné. On peut construire une région paraboliquestandard pour le stabilisateur P de p de la façon suivante.Pour un point x de C(Λ Γ ), on considère le plan tangent T x H p (x) ; il sépare Ω en deux ouvertsconvexes et on appelle Ω(x, p) celle qui contient p. On obtient une région paraboliquestandard en choisissant une horoboule H p basée en p, de bord l'horosphère H p , et en posant⋂R Hp = Ω(x, p).x∈C(Λ Γ )∩H p