FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 41 ∀p, q ∈ Π ub distincts, R p ∩ R q = ∅.Démonstration. Choisissons une famille de points paraboliques (p i ) i∈I uniformémentbornés telle, que pour tout p ∈ Π ub , il existe un unique i ∈ I et un élément γ ∈ Γ telsque γp i = p. Les stabilisateurs (P pi ) i∈I forment une famille de représentants des classesde conjugaisons de sous-groupes paraboliques maximaux uniformément bornés de Γ.Pour chaque i ∈ I, on xe une horoboule H pi basée en p i comme dans le corollaire 7.25 :on aNotons H piH pi ∩ C(Λ Γ ) ⊂ Ω ε (P pi ).l'horosphère au bord de H pi . La région parabolique standard donnée par⋂R pi =Ω(x, p)vérie R pi ∩ C(Λ Γ ) = H pi .x∈H pi ∩C(Λ Γ )À chaque point p = γp i de Π ub , on associe l'horoboule H p = γH pi et la régionparabolique standard R p = γR pi . La famille (R p ) p∈Πub ainsi construite vérie alors immédiatementle premier point du lemme. Voyons qu'elle vérie aussi le second.Pour cela, prenons deux points distincts p, q ∈ Π ub . Les ensembles Ω ε (P p ) et Ω ε (P q ) sontdisjoints d'après le lemme 6.2 et donc les horoboules H p et H q également. La droite (pq)coupe H p en P et H q en Q. L'intersection des plans tangents à H p et H q en P et Q vérie(voir section 2.2)T P H p ∩ T Q H q = T p ∂Ω ∩ T q ∂Ω.Ainsi, les ensembles Ω(P, p) et Ω(Q, q) sont disjoints et par suite R p et R q aussi.Figure 17. Les régions (R p ) p∈Πub sont disjointes7.4. Adhérence de Zariski de Γ. Dans [Ben00], Yves Benoist a montré leThéorème 7.27 (Benoist). Soit Ω un ouvert proprement convexe strictement convexede P n . Si Γ est un sous-groupe de Aut(Ω) agissant de façon cocompacte sur Ω, alorsl'adhérence de Zariski de Γ est soit SL n+1 (R) soit conjuguée à SO n,1 (R).