FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 43groupe de Lie semi-simple ; voir la proposition 3.1 et la remarque qui suit le corollaire 3.2.Ensuite, le théorème 1.5 montre que la représentation de G dans SL n+1 (R) ainsi obtenueest proximale.Enn, la démonstration du théorème 3.6 de [Ben00] se divise en deux cas, Λ G = ∂Ω ′ ouΛ G = P n , et conclut comme indiqué dans l'énoncé du lemme.Dans la démonstration qui suit, on appellera ellisphère de dimension k le bord d'unellipsoïde de dimension k + 1.Démonstration du théorème 7.28. Soit G la composante connexe de l'adhérence deZariski de Γ. Le lemme 7.29 montre que G est un groupe de Lie semi-simple et lareprésentation ρ : G → SL n+1 (R) est irréductible et proximale. Si G = KAN est unedécomposition d'Iwasawa de G, alors l'ensemble limite de G est Λ G = K · x, où x désignela droite de plus haut poids de N. Λ G est ainsi une sous-variété algébrique compacteconnexe de P n .Fixons un point parabolique uniformément borné p de Λ Γ . Notons P p le stabilisateurdans Γ de p et U p le sous-groupe de l'adhérence de Zariski de P p formé par les élémentsunipotents. Le lemme 7.18 montre que U p est un groupe abélien isomorphe à R k . D'aprèsce même lemme, il existe un sous-espace F p de dimension k de l'hyperplan tangent T p ∂Ωtel que tout sous-espace H ′ de dimension k + 1 de P n contenant F p et intersectant Ω estpréservé par U p ; de plus, si z est un point hors de T p ∂Ω, alors l'ensemble U p · z ∪ {p}est une ellisphère de dimension k. Si z est dans Λ Γ ou plus généralement dans Λ G , cetteellisphère est incluse dans Λ G .Commençons par le cas simple où le groupe P p est de rang maximal. L'ensemble limiteΛ G contient alors une ellisphère de dimension n − 1. Ainsi, soit Λ G est précisément cetteellisphère, soit Λ G est de dimension n, autrement dit, Λ G = P n . Le lemme 7.29 permet deconclure comme annoncé.Traitons maintenant le cas général en supposant que le groupe parabolique P p estde rang 1. Dans ce cas, le groupe U p est un groupe abélien isomorphe à R. Soit z unpoint de Λ G T p ∂Ω et H z le plan projectif engendré par z et F p , qui est stable sousU p . L'ensemble limite Λ G contient l'ellipse U p · z ∪ {p}. Par conséquent, la sous-variétéalgébrique Λ G ∩ H z de H z est soit une ellipse soit H z tout entier, et cette conclusion nedépend pas de z. Comme Γ est irréductible, le cas Λ Γ ∩ H z = H z implique que Λ G = P net donc que G = SL n+1 (R) par le lemme 7.29.Supposons donc que Λ G ∩ H z est une ellipse. Comme le sous-groupe compact maximalK de G agit transitivement sur Λ G , ceci est en fait valable pour tous points pde Λ G et z de Λ Γ : il existe une droite F p de T p Λ G telle que pour tout sous-espace Hde dimension 2 contenant F p et non inclus dans T p Λ G , l'intersection H ∩Λ G est une ellipse.On va montrer que Λ G est une ellisphère de dimension n−1, en utilisant une récurrence,dont l'initialisation vient juste d'être faite.Prenons k 1. Supposons que pour tout point p de Λ G , il existe un sous-espace Fpk dedimension k de T p Λ G tel que pour tout sous-espace H de dimension k + 1 contenant Fpket non inclus dans T p Λ G alors H ∩ Λ G est une ellisphère de dimension k.