FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 458.1. Finitude topologique. Lemme 8.2. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). Soit D un domaine fondamentalconvexe et localement ni pour l'action de Γ sur Ω. Aucun point de ∂D ∩ ∂Ω n'est unpoint limite conique.Démonstration. Soient p un point de ∂D ∩ ∂Ω et x un point de D. La demi-droite[xp[⊂ D dénit une demi-géodésique de Ω/ Γ qui sort de tout compact ; par conséquent,le point p n'est pas un point limite conique.Démonstration de (GF)⇒(TF). Le lemme 4.5 montre que le groupe Γ agit proprementdiscontinûment sur O Γ . Le lemme 7.26 montre que pour tout point point paraboliquep, il existe une région parabolique standard R p basée en p puisque l'action de Γ estgéométriquement nie sur Ω. De plus, le même lemme 7.26 montre que l'on peut choisirces régions de telle sorte que la famille (R p ) p∈Π soit strictement invariante, puisque l'actionest géométriquement nie sur Ω (Π désigne l'ensemble des points paraboliques).On considère la partie K de O Γ / Γ obtenue en retirant les régions paraboliques standardsR p basées aux points paraboliques p. Il nous reste à montrer que K est compact et quel'ensemble Π des points paraboliques est ni modulo Γ. D'après le lemme 6.2, les composantesconnexes du bord de K sont en bijection avec les classes de points paraboliquesmodulo Γ. Ainsi, si K est compact, alors l'ensemble Π/ Γ est ni. Il sut donc de montrerla compacité de K pour conclure.On considère un domaine fondamental convexe et localement ni D pour l'action de Γsur Ω. On doit montrer que tout point d'accumulation z dans Ω de D ⋃ p∈Π R p est unpoint de O Γ . Comme l'action de Γ sur Ω est géométriquement nie sur Ω, on a Λ Γ ∩D ⊂ Πd'après le lemme 8.2. Le point z est donc soit dans O Γ soit un point de Π. La proposition7.23 montre qu'aucune suite de points de D ⋃ p∈Π R p ne peut converger vers un pointparabolique.8.2. Parties épaisse et non cuspidale. Donnons maintenant unePreuve de (TF)⇒(PNC)⇒(PEC). Supposons que Γ vérie (TF). Il existe alors uncompact K de O Γ et une famille Γ-équivariante (R pi ) 1ik de régions paraboliques standardsdisjointes, basées en des points paraboliques p i , tels queO Γ = (Γ · K) ⊔ ⊔ k i=1Γ · R pi .Le c÷ur convexe de M est le quotient C(Λ Γ ) Ω / Γ , où C(Λ Γ ) Ω désigne l'adhérence de C(Λ Γ )dans Ω. Or, on aC(Λ Γ ) Ω = Γ · (K ∩ C(Λ Γ ) Ω ) ⊔ ⊔ k i=1Γ · (R pi ∩ C(Λ Γ ) Ω );autrement dit, C(M) est l'union d'un compact et des projections des R pi ∩ C(Λ Γ ) Ω .Le corollaire 7.21 montre que tous les points paraboliques de Λ Γ sont uniformément bornés.Par conséquent, il existe pour chaque p i une horoboule H pi basée en p i telle queH pi ∩ C(Λ Γ ) ⊂ R pi ∩ C(Λ Γ ).Le lemme 7.25 montre qu'on peut choisir H pide telle façon queH pi ∩ C(Λ Γ ) ⊂ Ω ε (Stab Γ (p i )).