FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 7Théorème 1.6 (Corollaire 7.18). Soient Ω un ouvert proprement convexe de P n ,strictement convexe et à bord C 1 et Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). Si p est un pointparabolique uniformément borné de Λ Γ de stabilisateur P = Stab Γ (p), alors le groupe Pest conjugué dans SL n+1 (R) à un sous-groupe parabolique de SO n,1 (R). En particulier,le groupe P est virtuellement isomorphe à Z d , où 1 d n − 1 est sa dimensioncohomologique virtuelle.Ce résultat permet d'adapter une démonstration de Benoist dans [Ben00] pour obtenirle théorème suivant, qu'on trouve dans [Ben00] dans le cas où l'action du groupe estcocompacte :Théorème 1.7 (Théorème 7.28). Soient Ω un ouvert proprement convexe, strictementconvexe et à bord C 1 , Γ un sous-groupe discret et irréductible de Aut(Ω). Si l'ensemblelimite Λ Γ de Γ contient un point parabolique uniformément borné, alors l'adhérence deZariski de Γ est soit SL n+1 (R) soit conjuguée à SO n,1 (R).Ce théorème tombe en défaut dès que l'ensemble limite ne contient pas de pointsparaboliques, ou que ceux-ci ne sont pas uniformément bornés. Ces contre-exemples sontdirectement reliés à celui que l'on construit dans la proposition 1.3.On se rappelle que dans le théorème 1.1 de Benoist, l'existence d'un quotient compactpour un ouvert strictement strictement convexe implique que la géométrie de Hilbert qu'ildénit était Gromov-hyperbolique, tout comme le groupe cocompact impliqué. Voici lependant de ce résultat dans notre cas :Théorème 1.8 (Theorème 9.1). Soient Ω un ouvert proprement convexe de P n ,strictement convexe et à bord C 1 et Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). Si l'action de Γ surΩ est géométriquement nie, alors l'espace métrique (C(Λ Γ ), d Ω ) est Gromov-hyperboliqueet le groupe Γ est relativement hyperbolique par rapport à ses sous-groupes paraboliquesmaximaux.Remarquons bien sûr que l'espace métrique (C(Λ Γ ), d C(ΛΓ )) n'est pas en généralGromov-hyperbolique. En fait, ce sera le cas seulement lorsque Λ Γ = ∂Ω :Corollaire 1.9 (Corollaire 9.6). Soit Ω un ouvert proprement convexe de P n ,strictement convexe et à bord C 1 . Si Ω admet une action de covolume ni, alors l'espacemétrique (Ω, d Ω ) est Gromov-hyperbolique.En ce qui concerne la recherche d'une action géométriquement nie sur ∂Ω qui ne leserait pas sur Ω, il convient de noter tout de suite les restrictions suivantes, qui donnentdes informations sur le type d'espaces et de groupes que l'on obtient dans de tels exemples :Théorème 1.10 (Proposition 10.4). Soient Ω un ouvert proprement convexe deP n , strictement convexe et à bord C 1 et Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). Les propositionssuivantes sont équivalentes :(i) l'action de Γ sur Ω est géométriquement nie ;(ii) l'action de Γ sur ∂Ω est géométriquement nie et les sous-groupes paraboliques de Γsont conjugués à des sous-groupes paraboliques de SO n,1 (R) ;(iii) l'action de Γ sur ∂Ω est géométriquement nie et l'espace métrique (C(Λ Γ ), d Ω ) estGromov-hyperbolique.En particulier, si n = 2 ou 3, l'action de Γ est géométriquement nie sur Ω si et seulementsi elle l'est sur ∂Ω.