FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 9Nous démontrons le théorème 1.8, qui concerne les propriétés d'hyperbolicité métrique,dans la section 9. La dernière section permet elle de faire la distinction entre les deuxnotions de nitude géométrique que nous avons introduites, sur Ω et ∂Ω. Nous montronsqu'elles sont en fait équivalentes en dimension 2 et 3, puis construisons un exemple, endimension 4, d'une action géométriquement nie sur ∂Ω mais pas sur Ω.En annexe, nous démontrons un petit résultat concernant le volume des pics, que nousespérons pouvoir généraliser dans un prochain travail ; il s'agit d'un travail en communavec Constantin Vernicos.Remerciements. Protons-en donc pour remercier Constantin pour son aide et sonintérêt. Nous tenons également à remercier Yves Benoist, Serge Cantat, Françoise Dal'boet Patrick Foulon dont les discussions et les connaissances ne sont pas pour rien dans cetravail.Le premier auteur est nancé par le programme FONDECYT N ◦ 3120071 de la CONICYT(Chile).2. Géométrie de HilbertCette partie constitue une introduction très rapide à la géométrie de Hilbert. Pour uneintroduction plus complète, on pourra lire [Ver05, dlH93] ou les livres [Bus55, BK53].2.1. Distance et volume. Une carte ane A de P n est le complémentaire d'unhyperplan projectif. Une carte ane possède une structure naturelle d'espace ane. Unouvert Ω de P n diérent de P n est convexe lorsqu'il est inclus dans une carte ane etqu'il est convexe dans cette carte. Un ouvert convexe Ω de P n est dit proprement convexelorsqu'il existe une carte ane contenant son adhérence Ω. Autrement dit, un ouvertconvexe est proprement convexe lorsqu'il ne contient pas de droite ane. Un ouvert proprementconvexe Ω de P n est dit strictement convexe lorsque son bord ∂Ω ne contient pasde segment non trivial.Hilbert a introduit sur un ouvert proprement convexe Ω de P n la distance qui porteaujourd'hui son nom. Pour x ≠ y ∈ Ω, on note p, q les points d'intersection de la droite(xy) et du bord ∂Ω de Ω, de telle façon que x soit entre p et y, et y entre x et q (voirgure ??). On poseoùd Ω (x, y) = 1 2 ln ( [p : x : y : q] ) = 1 ( ) |py| · |qx|2 ln |px| · |qy|1. la quantité [p : x : y : q] désigne le birapport des points p, x, y, q ;et d Ω (x, x) = 0,2. | · | est une norme euclidienne quelconque sur une carte ane A qui contient l'adhérenceΩ de Ω.Le birapport étant une notion projective, il est clair que d Ω ne dépend ni du choix deA, ni du choix de la norme euclidienne sur A.Fait. Soit Ω un ouvert proprement convexe de P n .1. d Ω est une distance sur Ω ;