Soluciones del Examen Septiembre 2007 Problema 1

Ingeniería IndustrialMétodos estadísticos de la IngenieríaSoluciones del Examen Septiembre 2007.Duración: 2:30 horas. Indicar nombre, apellidos y DNI en cada unode los folios.Problema 1En la producción de un artículo se aplica soldadura y para eso se usan tres diferentes robots.La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa varía para cada uno de los robots, así como laproporción de artículos que cada uno procesa, de acuerdo a la siguiente tabla:robot % art. procesados Probabilidad soldadura defectuosaA 18 % 0.002B 42 % 0.005C 40 % 0.001a). (0.5pt) Definir de manera adecuada los sucesos que intervienen así como las probabilidadesasociadas a cada uno de ellos.Consideramos el experimento: “Realizar una soldadura”, y los sucesos:A:”La soldadura se ha realizado con el robot A”B:”La soldadura se ha realizado con el robot B”C:”La soldadura se ha realizado con el robot C”D:”La soldadura está defectuosa”Sabemos:P(A) = 0.18 P(B) = 0.42, P(C) = 0.40.P(D|A) = 0.002, P(D|B) = 0.005, P(D|C) = 0.001.b). (0.75pt) Determinar cuál es la proporción global de defectos en la producción.Aplicamos la fórmula de la probabilidad total:P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) = 0.00286.c). (0.75pt) Si tomamos un artículo al azar y resulta con soldadura correcta, determinar laprobabilidad de que haya sido soldado por el robot A.Queremos calcular P(A|D c ). Por el teorema de Bayes:P(A|D c ) = P(Dc |A)P(A)P(D c )1=(1 − P(D|A))P(A)1 − P(D)= 0.180.

Problema 2II.1 El valor de una determinada señal s producida por un aparato sufre pequeñas perturbacionesque consideramos aleatorias.a). (0.5pt)¿Qué queremos decir con la expresión “las perturbaciones son aleatorias”? Introducela variable aleatoria conveniente.Cuando decimos que las perturbaciones son aleatorias, nos referimos al hecho que su valores impredecible: se añaden de manera inevitable al valor de la señal, sin que podamospredecir su valor exacto. La variable aleatoria que introducimos es S=”Valor de la señalproducida por el aparato.b). (0.5pt) Decidimos modelizar la distribución de los valores de la señal por una distribuciónNormal. ¿Cuál es, en tu opinión, el procedimiento que nos ha llevado a escogereste modelo de distribución para nuestra variable aleatoria? ¿Qué representan la mediay la desviación típica de esta variable aleatoria?Si hemos escogido el modelo de la distribución Normal, es seguramente porque al haberobservado muchos valores de la señal, nos hemos convencido que la distribución de losvalores observados de la variable presenta características compatibles con el modelo Normal:por ejemplo que el histograma de valores observados se podría ajustar por unacampana de Gauss. La media µ representa para este modelo el centro de la distribuciónde la variable mientras que la desviación típica σ mide su dispersión (por ejemplo, parauna distribución Normal, la probabilidad de que la variable tome valores entre µ ± 2σ es0.95).c). (0.75pt)Supongamos que la distribución de los valores de s se puede aproximar por unadistribución normal con media 12 y desviación típica igual a 0.5. ¿Cuál es la proporciónde los valores de la señal qué están comprendidos entre 11.75 y 12.25? ¿y mayores de13? ¿y mayores de 11?Tenemos S ∼ N (12, 0.5 2 ). Para calcular probabilidades asociadas a S, basta con tipificary buscar los valores en la tabla:11.75 − 12 12.25 − 12P(11.75 ≤ S ≤ 12.25) = P( ≤ Z ≤ )0.50.5= P(−0.5 ≤ Z ≤ 0.5) = φ(0.5) − φ(−0.5) = 2φ(0.5) − 1 ≃ 0.383.Por otra parte,P(S > 13) = P(Z > 2) = 1 − φ(2) = 0.0228,P(S > 11) = P(Z > −2) = 1 − φ(−2) = φ(2) = 0.9772.2

d). (0.75pt)Entre los valores de la señal que son mayores que 12.5, ¿cuál es la proporciónde valores que son mayores que 13?Queremos calcular P(S > 13|S > 12.5). Por la definición de la probabilidad condicionadatenemosP(S > 13 ∩ S > 12.5) P(S > 13)P(S > 13|S > 12.5) = =P(S > 12.5) P(S > 12.5)P(Z > 2)=P(Z > 1) = 1 − φ(2)1 − φ(1) ≃ 0.144.e). (0.75pt) Supongamos que observamos 100 realizaciones independientes de la señal s.¿Cuál es la probabilidad de que observemos más de 3 valores mayores de 13?Introducimos ahora la variable X =”número de valores mayores de 13 entre las 100realizaciones”. Estamos en la situación de un experimento dicotómico que repetimos 100veces, identificamos la distribución de X como una binomial con parámetros n = 100, yp = P(S > 13) = 1 − φ(2) = 0.0228.Nos piden P(X > 3). TenemosP(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)][( )( )100100= 1 − 0.0228 0 0.9772 100 + 0.0228 1 0.9772 9901( )( ]100100+ 0.0228 2 0.9772 98 +)0.0228 3 0.9772 9723= 1 − 0.805 = 0.1995.II.2 Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional discreta, cuya función puntual de probabilidadconjunta, viene dada por la tabla siguiente:X = −1 X = 0 X = 1Y = −1 1/8 1/8 1/8Y = 0 1/8 0 1/8Y = 1 1/8 1/8 1/8a). (0.5pt) Hallar las funciones puntuales de probabilidad marginal de X y de Y.Completamos la tabla, sumando por columnas y filas para obtener las distribucionesmarginales:X = −1 X = 0 X = 1 f YY = −1 1/8 1/8 1/8 3/8Y = 0 1/8 0 1/8 1/4Y = 1 1/8 1/8 1/8 3/8f X 3/8 1/4 3/83

). (0.75pt) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre X e Y. ¿Se puede afirmar queson independientes?. Justifica la respuesta.Tenemos quecorr(X, Y ) = cov(X, Y )σ X σ Y.Necesitamos calcular:cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ]σ 2 X = E[X2 ] − (E[X]) 2σ 2 Y = E[Y 2 ] − (E[Y ] 2 .Las distribuciones marginales de X e Y son las mismas, por lo tanto σX 2 = σ2 Y asi comoE[X] = E[Y ]. Además son simétricas respecto al valor 0, por lo que deducimos queE[X] = 0. Nos queda por calcularE[XY ] = (−1)(−1) × 1/8 + (−1)(0) × 1/8 + . . . + 1 × 1 × 1/8 = 0.E[X 2 ] = (−1) 2 × 3/8 + 0 2 × 2/8 + 1 2 × 3/8 = 6/8 = 2/3.Deducimos por lo tanto que cov(X, Y ) = 0 y por lo tanto corr(X, Y ) = 0. Esto NOimplica que sean independientes, de hecho una condición necesaria y suficiente para quelo sean esf X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y), ∀x, y.Aquí comprobamos que f X (0)f Y (0) = 1/16 que es diferente de f X,Y (0, 0) = 0. Por lotanto concluimos que NO son independientes.c). (0.75pt) Determinar P (Y > −1|X > −1).Por la definición de la probabilidad condicionada tenemosP(Y > −1|X > −1) =P (Y > −1 ∩ X > −1).P (X > −1)Por otra parte, tenemosP (Y > −1 ∩ X > −1) = f X,Y (0, 0) + f X,Y (0, 1) + f X,Y (1, 0) + f X,Y (1, 1) = 3/8.P(X > −1) = f X (0) + f X (1) = 5/8.Por lo tantoP (Y > −1|X > −1) = 3/85/8 = 3 5 .Problema 34

Un estudio demostró que los tiempos de vida de cierta clase de baterías de automóvil se distribuyenormalmente. Con el fin de estudiar su duración, se consideró una muestra formada por 10 baterías,obteniéndose las siguientes duraciones observadas:1456, 1478, 1467, 1350, 1460, 1376, 1410, 1330, 1421, 1423a). (0.75pt) Obtener una estimación puntual y un intervalo de confianza al nivel de confianzadel 90% para la media de la población.Escogemos la media muestral como estimador puntual de la media poblacional: ¯x = 1417.5.Puesto que la especificación del modelo sólo indica que la distribución de la variable es Normalpero sin precisar su desviación típica, utilizamos el estadístico muestral:T = ¯X − µS/ √ n ∼ t n−1.La construcción detallada del intervalo asociado se puede encontrar en el apartado c) de lasección VI.3.3 de los apuntes. Obtenemosµ = ¯X ± t n−1,1−α/2 S/ √ n,tenemos α = 0.1, ¯x = 1417.1, S = 51.02, necesitamos t 9,0.95 , que buscamos en la tabla yencontramos t 9,0.95 = 1.83.µ = 1417.1 ± 1.83 × 51.02/ √ 10 = 1417.1 ± 29.53.b). (0.5pt) ¿Cuál es el efecto de un incremento del tamaño muestral sobre el intervalo de confianza?¿Y del nivel de confianza?Ver el comentario b) en el apartado 3.3 del tema 6 en los apuntes.c). (0.75pt) Determinar el tamaño muestral necesario para reducir a la mitad el error de muestreodel intervalo de confianza obtenido en el apartado anterior. Razona tu respuesta. El fabricanteafirma que su duración en promedio es superior a 1450 horas. Con los datos que tenemos,¿podemos probar dicha afirmación?. Responder de manera razonada a la cuestión anteriorindicando el procedimiento estadístico utilizado.El margen de error del intervalo de confianza es t n−1,1−α/2 s/ √ n. Buscamos n para que elerror sea menor que 15 (aprox.). Debemos realizar aproximaciones para poder llevar a caboel cálculo: aproximaremos t n−1,1−α/2 por z 1−α/2 = 1.64. El valor de s dependerá de la muestraconcreta que extraigamos, pero podemos aproximarla por el valor que hemos obtenido paraesta muestra: s ≃ 51.02. Despejamos n:( ) 2 1.64 × 51.02n ≥= 31.1.155

Necesitaremos aproximadamente 32 observaciones.Por otra parte queremos comprobar si µ > 1450. Para ello planteamos el contraste:{H0 : µ = 1450,H 1 : µ > 1450,Nos fijamos α = 0.05, suponiendo que trabajamos con 95% de confianza. El estadístico deprueba esT 0 = ¯X − µ 0S/ √ n ∼ t n−1 si H 0 es cierto.La región de rechazo es unilateral : R = {t : t > t n−1,1−α }, la frontera siendo t 9,0.95 ≃ 1.83.Para la muestra escogida, el valor del estadístico de prueba est 0 = ¯X − µ 0S/ √ n=1417.1 − 145051.02/ √ (10) = −2.039.Este valor NO pertenece a la región de rechazo por lo que deducimos que al 95% de confianzano podemos rechazar H 0 .d). (0.75pt) Determinar el p-valor asociado al contraste que se puede plantear para dar respuestaa la pregunta anterior.Notar en particular que, puesto que no hemos rechazado H 0 al 95% de confianza, que el p-valores mayor que 0.05. En realidad, caracterizamos el p-valor comoα 0 = P(t > −2.039),donde t es una distribución t de Student con 9 grados de libertad. Podemos utilizar unacalculadora estadística para calcular α 0 de manera precisa. Si sólo tenemos una tabla a mano,podemos ir probando con distintos niveles de confianza para obtener cuotas razonablementeprecisas de α 0 .Por simetría, tenemos α 0 = P(t > −2.039) = P(t < 2.039). En la tabla de los cuantiles de ladistribución t, deduzco:t 9,0.95 < 2.039 < t 9,0.975 .Por lo tanto, deduzcoSe trata de un p-valor muy grande.0.95 < α 0 < 0.0975.6