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cours 10 - Enseignement en Physique à l'ENS

Gaz de Coulomb bidimensionnel, vortex dans lessuperfluides et transition rugueuse (cours 10)Ce cours a pour but d’étudier la physique d’un gaz bidimensionnel decharges électriques, appelé gaz de Coulomb. Le gaz de Coulomb est très importantd’un point de vue théorique car ses propriétés critiques permettentde comprendre de nombreux systèmes physiques, en particulier le comportementdes tourbillons (appelés vortex) dans les liquides superfluides ouencore la transition rugueuse que nous avons déjà étudiée en TD.Nous commencerons par une étude du gaz de Coulomb par le groupe derenormalisation. Ensuite, nous montrerons l’analogie profonde entre gaz deCoulomb et vortex dans les superfluides et on l’illustrera par les résultatsd’une expérience sur ces tourbillons. Finalement, nous verrons que la physiquedu gaz de Coulomb est aussi intimement reliée à la transition rugueuseétudiée précédemment en TD.1 Gaz de Coulomb1.1 Le modèleOn considère un gaz de 2N particules chargées situées dans un carréde coté L. Le gaz contient N + charges positives égales à q i = +q pouri = 1, 2, . . . , N + et N − charges négatives égales à q i = −q pour i =N + + 1, . . . , N + + N − . On appelle ⃗r i le vecteur position de la charge i.Le hamiltonien du gaz estE[{⃗r i }] = ∑ q i q j U(⃗r i − ⃗r j ) (1)i


Les charges sont considérées comme des sphères dures, impénétrables dediamètre r 0 très petit ce qui fait que deux charges i, j ne peuvent pas êtreà distance |⃗r i − ⃗r j | < r 0 . On pose β = 1/k B T où T est la température etk B la constante de Boltzmann. On remarquera que le carré de la charge qa la dimension d’une énergie.Le potentiel U est solution de l’équation de Poisson : son laplacien estnul partout sauf en l’origine. Soit Û(⃗ k) sa transformée de Fourier : Û(⃗ k) =2π/ ⃗ k 2 pour ⃗ k ≠ 0 doncU(⃗r = (r, 0)) − U(⃗0) =en utilisant la formule=∫∫ k+0∫ ∞−∞dk x dk y(2π) 2 (eik x r − 1)dk(cos(k r) − 1)k2πk 2 x + k 2 y=∫ k+ r0du(cos(u) − 1)u(3)dxx 2 + y 2 = π|y| . (4)Le plus grand nombre d’onde est k + ∼ 1/r 0 . L’intégrale de cos u/u convergeen l’infini, donc la contribution principale au potentiel pour r grand vientde l’intégrale de −1/u. On obtientU(r) ≃ − ln(r/r 0 ) . (5)Avec cette approximation tout se passe comme si U s’annule en r 0 et nonen 0 comme il le devrait, ce qui ne pose pas de problème tant que r ≫ r 0 .Dans la suite l’interaction U(r) sera approximée par cette expression.La fonction de partition du gaz est∫ d⃗r 1Z N+ ,N −(β) =r 2 0d⃗r 2r 2 0. . . d⃗r N + +N −r 2 0exp ( − β E[{⃗r i }]) . (6)On s’intéresse d’abord au cas d’un gaz électrostatiquement neutre (N + =N − ) et pour lequel le nombre de charges n’est pas constant mais fixé envaleur moyenne par une fugacité y. La grande fonction de partition de ce2


système s’écritΞ = ∑ N≥0y 2N(N!) 2 Z N,N(β) . (7)où N désigne le nombre de charges de même signe. Les factorielles audénominateur permettent de tenir compte des permutations des chargesde même signe qui sont indiscernables.A l’ordre le plus bas en y, on a Ξ = 1 + y 2 Z 1,1 + O(y 4 ) avecZ 1,1 =≃∫|⃗r−⃗r ′ |>r 0d⃗r d⃗r ′r 4 0L2 ∫r02 r 0 0 c’est-à-dire si T > q 2 /(2k B ). La divergencede l’intégrale en r signifie que les charges dans la paire veulent être, pourdes raisons entropiques, à grande distance l’une de l’autre : les paires sontdissociées. A basse température, au contraire, on s’attend à ce il n’y ait pasde charge libre : les charges peuvent être liées par paires (une positive, unenégative qui forment un dipôle). Nous verrons plus loin qu’une transitionde phase séparant les phases ’dipôles seuls’ et’dipôles + charges libres’ alieu à la température critique T c = q 2 /(4k B ).⎠1.2 Flot de renormalisationNous allons commencer notre étude du gaz de Coulomb à l’aide dugroupe de renormalisation. On étudie d’abord la variation de la températureT (s) et la fugacité y(s) lorsque l’on passe de l’échelle microscopique r 0 à s r 03


avec s > 1. Nous allons montrer que, pour y petit, le flot de ces constantesde couplages estdTd ln s (s) = 2π2 q 2y(s) 2 (10)k⎛ Bdyd ln s (s) = q⎝2 2 ⎞−⎠ y(s) . (11)2k B T (s)On commence par montrer (11). Dans l’expression (8) de la grande fonctionde partition Ξ, r 0 joue deux rôle distincts : c’est une unité de longueur quiadimensionne l’intégrand et c’est aussi la distance minimale entre deuxcharges. On dilate maintenant cette distance minimale d’un facteur 1 + ɛ,c’est-à-dire que le facteur d’échelle passe de s = r 0 à s ′ = s × (1 + ɛ) avecɛ ≪ 1, pour obtenirΞ ′ = 1 + y 2 ∫ |⃗r−⃗r ′ |>r 0 ×(1+ɛ)d⃗r d⃗r ′r 4 0⎛⎝ r 0⎞⎠βq 2 . (12)|⃗r − ⃗r ′ |puis on dilate les positions des particules du même facteur, ⃗r → ⃗r × (1 +ɛ), ⃗r ′ → ⃗r ′ × (1 + ɛ) pour se ramener au système de départ. On trouveΞ ′ = Ξ lorsque l’on change la fugacité eny ′ = (1 + ɛ) 2−βq2 /2 y . (13)En développant au premier ordre en ɛ et en utilisant ɛ = ds/s = d ln s, ontrouve le flot (11) pour la fugacité.On cherche maintenant à montrer (10). Pour cela on considère unecharge +q située en ⃗r et une charge −q située à l’origine ⃗r ′ = ⃗0 qui interagissentà travers le potentiel U(⃗r). Du fait des interactions avec lesautres paires dans le gaz, U se transforme en une interaction effective U eff .En présence d’une deuxième paire de charges opposées, +q en ⃗x et −q en⃗x ′ , le potentiel U eff est, à des termes d’ordre y 4 près, donné pare βq2 U eff (r) = 1 ⎛⎝e βq2U(r) + y 2 ∫ d⃗xd⃗x ′⎞exp(−βq 2 E(⃗r, ⃗x, ⃗x ′ )) ⎠ (14)Ξ4r 4 0


où E(⃗r, ⃗x, ⃗x ′ ) = −U(⃗r) − U(⃗x − ⃗x ′ ) + D(⃗r, ⃗x, ⃗x ′ ) avecD(⃗r, ⃗x, ⃗x ′ ) = U(⃗x − ⃗r) + U(⃗x ′ ) − U(⃗x) − U(⃗x ′ − ⃗r) . (15)est la somme des 6 interactions entre les 4 charges. En prenant le logarithmede (14) on trouve, à des termes y 4 près,U eff (⃗r) = U(⃗r) +y2 ∫βq 2 r04 d⃗x d⃗x ′ e βq2 U(⃗x−⃗x ′ ) ( e −βq2 D(⃗r,⃗x,⃗x ′) )− 1 (16)Nous allons montrer que U eff est proportionnel à U ce qui revient à définirune température effective T eff .On pose ⃗ ∆ = ⃗x ′ − ⃗x et ⃗ X = (⃗x + ⃗x ′ )/2. A cause de l’interactionélectrostatique, les charges à l’intérieur d’une paire ont tendance à êtreproches ; en revanche deux paires différentes sont éloignées car la fugacité,c’est-à-dire la concentration de charges, est faible. On peut donc considérerque | ⃗ ∆| ≪ | ⃗ X|. Avec un développement limité, on trouve immédiatementqueD(⃗r, ⃗x, ⃗x ′ ) = ⃗ ∆ · ⃗∇ ⃗X [U( ⃗ X) − U( ⃗ X − ⃗r)] + O(| ⃗ ∆| 3 ) . (17)Puis nous développons exp(−βq 2 D) − 1 ≃ βq 2 D − (βq 2 ) 2 D 2 /2. En faisantle changement de variable (⃗x, ⃗x ′ ) → ( ⃗ ∆, ⃗ X), l’intégrale dans (16) se réécritsous la forme⎛∫dX ⃗ d∆ ⃗ e βq2 U(∆) ⎝−βq 2 ∆ ⃗ · W ⃗(βq 2 ) 2⎞( ) 2+ ⃗∆ · W ⃗ ⎠ (18)2où⃗W ( ⃗ X) = ⃗ ∇ ⃗X [U( ⃗ X) − U( ⃗ X − ⃗r)] (19)Comme le potentiel U ne dépend que du module de ∆ et pas de sa direction,nous avons (à ⃗ X fixé) :∫d ⃗ ∆ e βq2 U(∆) ⃗ ∆ · ⃗ W = 0 , (20)et∫d ⃗ ∆ e βq2 U(∆) ( ⃗ ∆ · ⃗W ) 2 = ( ⃗ W ) 2 × 1 25∫ ∞r 02π d∆ ∆ 3 e βq2 U(∆) , (21)


où le facteur 1 2vient de la valeur moyenne du cosinus carré de l’angle entre⃗∆ et W ⃗ . Il reste à calculer∫d ⃗ X ⃗ W ( ⃗ X) 2 =∫= −d ⃗ X[ ⃗ ∇ ⃗X (U( ⃗ X) − U( ⃗ X − ⃗r))] 2 (22)∫d ⃗ X(U( ⃗ X) − U( ⃗ X − ⃗r)) ⃗ ∇ ⃗X · ⃗∇ ⃗X (U( ⃗ X) − U( ⃗ X − ⃗r))après intégration par partie. Or ⃗ ∇ ⃗X · ⃗∇ ⃗X U = −2πδ( ⃗ X), donc∫d ⃗ X ⃗ W ( ⃗ X) 2 = 2π∫d ⃗ X(U( ⃗ X) − U( ⃗ X − ⃗r))(δ( ⃗ X) − δ( ⃗ X − ⃗r)) = −4πU(r)car | ⃗ X| est typiquement grand devant r 0 . Finalement, on trouveU eff (r)U(r)= 1 − 2π 2 y 2 β q 2 ∫ ∞r 0d∆r 0(23)( )r0βq 2 −3+ O(y 4 ) (24)∆Le poids statistique exp(−βU eff (r)) est donc égal à exp(−β eff U(r)), avecune température inverse effective( )r0βq 2 −3β eff = β − 2π 2 y 2 (βq) 2 ∫ ∞ d∆+ O(y 4 ) (25)r 0 r 0 ∆On procède comme auparavant, en dilatant la distance minimale r 0 entrecharges d’un facteur 1 + ɛ avec ɛ ≪ 1. On obtientβ eff ′ = β − 2π 2 y 2 (βq) 2 ∫ ( )∞ d∆ r0 βq 2 −3+ O(y 4 ) (26)r 0 (1+ɛ) r 0 ∆Après soustraction de (25), et en notant que β eff ′ = β eff = β à l’ordredominant, on trouveβ ′ eff − β eff( )r0βq 2 −3= −2π 2 y 2 (β eff q) 2 ∫ r 0 (1+ɛ) d∆r 0 r 0 ∆= −2π 2 y 2 (β eff q) 2 ɛ (27)à des termes O(ɛ 2 , y 4 ) près. Puis on utilise que k B T (s) = 1/β eff (s) etɛ = ds/s. On trouvece qui donne (10).1T (s + ds) − 1T (s) = − 2π2 y 2 q 2 dsk B T (s) 2 s = − T ′ (s)ds (28)T (s)26


1.3 Etude du flot de renormalisationOn étudie maintenant le flot de renormalisation établi ci-dessus pour endéduire les propriétés critiques du gaz de Coulomb. On pose l = 2 log s,T = q24k B(1 + ˆT ) et ŷ = 2π y. Dans ces variables réduites, le flot de renormalisations’écritd ˆTdldŷdl= ŷ 2 (29)= ŷ ˆT . (30)à des termes d’ordre ŷ ˆT 2 près. On trouve immédiatement queest une quantité constante lors du flot.c = ˆT (l) 2 − ŷ(l) 2 (31)Les trajectoires du flot sont représentées dans le demi-plan ( ˆT , ŷ) avecŷ > 0 sur la figure ci-jointe ; on remarquera que ˆT est une fonction croissantede l ce qui donne le sens du mouvement. Les point fixes sont ennombre infini, ils occupent la demi-ligne ˆT ≤ 0, ŷ = 0 : cela correspond àune phase sans charge libre et de basse température. Pour c < 0 les trajectoiresvont à l’infini et correspondent à une phase de haute température oùles charges libres prolifèrent. La droite ŷ = − ˆT joue le rôle de séparatriceentre ces deux régions : c’est la variété critique. La valeur de la températurecritique en fonction de la fugacité y est doncT c (y) = q24k B(1 − 2πy). (32)Les points de départ des trajectoires correspondent aux cercles. Le cerclesur la droite ŷ = − ˆT correspond à la température critique, le cercle endessousà une température plus basse, le cercle au-dessus à une températureplus haute.7


c=0c0demi−ligne de point fixes^TFigure 1 – Trajectoires du groupe de renormalisation pour le gaz de Coulomb dans leplan ( ˆT , ŷ) où ˆT est reliée à la température et ŷ à la fugacité. Les points de départ destrajectoires correspondent aux cercles, voir texte.Partons d’une fugacité y et d’une température T < T c , c’est-à-dire deˆT < 0. Alors le flot de renormalisation converge vers le point fixe ˆT ∞ =−√ˆT2− ŷ 2 , ŷ ∞ = 0. On a donc asymptotiquement une théorie sans chargeavec une température effective T ∞ donnée parT ∞ = q2⎛⎜4k B⎝1 −√La fonction de corrélation sera donc(4kB T− 1q 2G(r) ≃ exp(βq 2 U(r)) =)2⎞− 4π 2 y 2 ⎟⎠ . (33)( )r0β∞ q 2 (34)rLa loi de puissance montre que la théorie est ’critique’ à toute températureT < T c . On obtient aussi un exposant η(T ) qui varie continûment avec latempérature T . A la température critique, β ∞ q 2 = 4.On suppose maintenant que l’on part d’un système avec T très légèrementsupérieure à T c (et y fixé). Il y a une densité de charges libres n > 0. Cescharges vont écranter le potentiel électrostatique sur une certaine longueurξ (comme dans le potentiel de Yukawa). On s’attend à ce que ξ → ∞8


lorsque T → T + c . On est dans le cas du cercle correspondant à c < 0.Comme c s’annule en T = T c on peut supposer quec = c 0 (T c − T ) (35)à l’ordre le plus bas en T − T c , avec c 0 > 0. La trajectoire va rester trèsprès de la demi-droite de pente −1, puis va partir à l’infini. La valeur des au minimum de cette trajectoire ( ˆT = 0) correspond à l’échelle au-delàde laquelle le système entre dans la phase de haute température : c’est lalongueur de corrélation. Posons τ = ˆT / √ c 0 (T − T c ), ω = ŷ/ √ c 0 (T − T c )et λ = l × √ c 0 (T − T c ). Alors on a, d’après la définition de la constante c(31),Puis, l’équation du flot sur ˆT et ŷ donnentdτdλ = ω2 = τ 2 + 1τ 2 − ω 2 = −1 . (36)etdωdλ = ω τ , (37)donc τ = tan(λ − λ 0 ) et ω = 1/ cos(λ − λ 0 ) où λ 0 est une constante.Lorsque T → T c+ la condition initiale sur τ est τ → −∞ donc on trouveλ 0 → π/2. Finalement, le facteur d’échelle critique est s = exp(l/2) =exp(π/4/ √ c 0 (T − T c )) ce qui montre que la longueur de corrélation divergecomme l’exponentielle de 1/ √ T − T c .2 Liens avec les vortex dans les superfluidesLe phénomène de superfluidité fut découvert par Piotr Kapitsa en 1937au cours de ses travaux sur l’hélium. Lorsque la température est abaissée endessous d’une valeur critique T c = 2.17 Kelvin, une fraction de l’hélium 4passe d’une phase liquide ’normale’ à une phase superfluide où il n’opposeaucune résistance à l’écoulement : sa viscosité est nulle. Cette fractionsuperfluide augmente au fur et à mesure que la température baisse. Le9


paramètre d’ordre superfluide est une fonction d’onde à valeur complexe,ψ(⃗r) = √ ρ(⃗r) exp(iθ(r)) où ρ est la densité de superfluide et θ(⃗r) la phasequi est reliée à la vitesse locale du superfluide ⃗v(⃗r) à traversv(⃗r) = ¯h ∇θ(⃗r)m ⃗ . (38)Ici m représente la masse de l’atome He 4 .Considérons un contour C fermé. La circulation de la vitesse sur cecontour est, d’après (38), égale à la différence de phase entre le début et lafin du contour ; comme ces deux points coincident, la circulation doit êtreégale à 2π s, où s est un entier. Si s ≠ 0, la continuité de ψ implique queρ(⃗r) doit s’annuler en un point ⃗r 1 (au moins). Localement, l’état superfluideest caractérisé par la présence d’un tourbillon centré en ⃗r 1 , que l’on appellecommunément vortex, voir figure 2.Figure 2 – Représentation schématique d’un vortex ayant s = +1. La direction dela flèche au point ⃗r indique la direction du gradient de θ, c’est-à-dire de la vitesse dusuperfluide. Dans cet exemple, θ(⃗r) = π + ϕ(⃗r) où ⃗r = (r, ϕ) en coordonnées polaires.2Pour un tel vortex, la vitesse peut être exprimée comme le rotationnel d’unpotentiel scalaire, W (⃗r)⃗z, où ⃗z est perpendiculaire au plan :v(⃗r) = ¯h m ⃗ ∇ ∧ (W (⃗r)⃗z) = ¯h m10⎛⎜ −∂W/∂y⎝∂W/∂x⎞⎟⎠ (39)


D’après le théorème de Green,∮∮∮ (⃗∇θ · d⃗s = (W x dx + W y dy) = − ∂W)∂Wdx +CC C dy dx dy (40)∫ ∫ (∂Wy=D dx − ∂W )∫ ∫xdx dy = − ∆W dx dy , (41)dyDoù D est le domaine entouré par C. Comme cette identité doit être valablepour tout contour C entourant r 1 , on en déduit que∆W = −2π s 1 δ(⃗r − ⃗r 1 ) . (42)On considère maintenant une configuration du superfluide composée deN vortex situés en ⃗r i et de signes s i , pour i allant de 1 à N (en fait s i peutêtre un nombre entier supérieur à 1 en valeur absolue, mais les vortex depetits |s i | sont plus facilement créés). Le potentiel W vaut∑W (⃗r) = N s i U(⃗r − ⃗r i ) (43)i=1où U satisfait l’équation de Poisson (2).Loin du centre du vortex, la densité ρ(⃗r) atteint une valeur constante,ρ. L’énergie cinétique du superfluide est simplementE c [{θ(⃗r)}] = 1 2 ρ ∫d⃗r ⃗v(⃗r) 2 . (44)On vérifie que l’énergie de la configuration à N vortex est celle d’un gazde Coulomb de N charges q i = s i q situées aux centres des vortex avecq = √ 2πρ × ¯h/m :E c = 1 2 ρ (¯hm= 1 2 ρ (¯hm= ρ 2(¯hm)2 ∫)2 ∫)2 ∑i,jd⃗rd⃗r⎛⎜ −∂W/∂y⎝∂W/∂x⎛s i s j∫⎜ ∂W/∂x⎝∂W/∂y⎞⎞⎟⎠ ·⎟⎠ ·⎛⎛⎜ −∂W/∂y⎝∂W/∂x⎜ ∂W/∂x⎝∂W/∂y⎞⎟⎠⎞⎟⎠d⃗r ( ⃗ ∇U(⃗r − ⃗r i )) · ( ⃗ ∇U(⃗r − ⃗r j ))11


= − ρ 2(¯hm)2 ∑i,js i s j∫d⃗r U(⃗r − ⃗r i )( ⃗ ∇ · ⃗∇)U(⃗r − ⃗r j )= 1 2 × 2π ρ (¯hm)2 ∑i,js i s j U(⃗r j − ⃗r i ) . (45)Notons que, statistiquement, le gaz sera neutre car il y a autant de vortex designe +1 que de signe −1 qui sont créés. Il faut faire attention que le centredu vortex ne peut pas être ponctuel dans la réalité car l’énergie E c d’unseul vortex diverge. En fait l’expression (43) pour le potentiel W ne peutêtre vraie trop proche du centre du vortex, disons à une distance < r 0 . Il yaura donc une énergie du coeur du vortex, que nous appelons E coeur , dontl’expression dépend de la modélisation à courte échelle du vortex (et duréseau par exemple). On aura alors une fugacité y = exp(−β E coeur ) pourla création d’un vortex. Il est important que la fugacité correspondante soittrès petite pour que nos calculs puissent s’appliquer.En 1978 Bishop et Reppy ont réalisé une expérience pour mesurer ladensité de liquide superfluide dans un échantillon quasi-bidimensionnel(d’épaisseur très faible) d’hélium de masse M et de surface L 2 . Ils attachèrentcet échantillon à un pendule de torsion de raideur K et mesurèrentla fréquence d’oscillation ω. la fréquence est donnée par ω =√K/M′où M ′ est la masse d’hélium en rotation. Le superfluide n’est pasentraîné en rotation car sa viscosité est nulle, donc M ′ = M − ρ L 2 , ce quidonneω =√KM − ρ L . (46)2En développant au premier ordre en M − M ′ on trouve que le décalage depériodeest proportionnel à ρ.√√∆P =M K − 1 ω(47)12


La figure 3 montrer le décalage de période en fonction de la températuredans des expériences portant sur différents mélanges de He 4 et He 3 . Onvoit une grande diversité de valeurs pour les températures critiques T s etles densités critiques superfluides ρ s . Montrons maintenant que l’analogieavec le gaz de Coulomb prédit que le rapport ρ s /T s est universel et vautρ sT s= 2 m2 k Bπ ¯h 2 . (48)D’après les résultats de la partie 1.3, la température critique du gaz deCoulomb est universelle et vaut q 2 /4k B . En utilisant la valeur de la chargeq pour le superfluide, on trouve (48). On sait également que pour T


Figure 3 – Décalage ∆P de la période du pendule de torsion, voir (46), en fonction dela température et pour différents mélanges de He 4 et He 3 . Ces courbes sont extraites deD. Mc Queeney, G. Agnolet et J.D. Reppy, Phys. Rev. Lett. 52, 1325 (1984).Montrons à l’aide d’une transformation gaussienne que Ξ peut êtreinterprétée comme la fonction de partition d’une interface continue h(⃗r)ayant pour hamiltonienH[{h(⃗r)}] =∫d⃗r[ 12 ∇h(⃗r)) 2 ]− v 0 cos (2π h(⃗r)/a)On pose g(⃗r) = i √ 2πβ ∑ j q j δ(⃗r − ⃗r j ). Puis on écrit(1exp (−βE[{⃗r j }]) = ŷ 2N ∫exp2= ŷ 2N ∫ (d[h(⃗r)] exp − 1 ∫2)d⃗r d⃗r ′ g(⃗r) (U(⃗r, ⃗r ′ )/2π) g(⃗r ′ )d⃗r ( ⃗ ∇h) 2 +∫. (51)(52))d⃗r g(⃗r) h(⃗r)Ici on a utilisé le fait que l’opérateur inverse de U/2π est l’opposé du laplacienet on a intégré par partie sur le champ h(⃗r). On intègre maintenant14


sur les positions des particules qui sont dans le champ externe g(⃗r) :∫ ∏jd⃗r jr 2 0(∫exp)d⃗r g(⃗r) h(⃗r) =[ ∫d⃗rr02 e i q √ 2πβ h(⃗r)On obtient alors la grande fonction de partitionΞ =∫]N +[ ∫d⃗rr 2 0e −i q √ ]N −2πβ h(⃗r)(53)d[h(⃗r)] exp(−E r [{h(⃗r)}]) , (54)où la fonction énergie E r est donnée par (51). C’est le hamiltonien quenous avons considéré lors de l’étude de la transition rugueuse en TD.On peut ainsi établir le dictionnaire reliant les quantités physiques importantespour décrire la transition rugueuse (maille du réseau cristallina, intensité du potentiel d’accrochage v 0 , hauteur h(⃗r) de la surface cristallineau point ⃗r, ...) à ceux du gaz de Coulomb (charge q, potentiel chimiqueµ, position ⃗r i d’une charge, ...). La maille cristalline est a telle que2π/a = q √ 2πβ, l’intensité de l’accrochage est v 0 = 2 y/r 2 0. On voit queg(⃗r), qui est reliée à la densité de charges au point ⃗r est le champ conjuguéà la hauteur de l’interface h(⃗r). Pour le gaz de Coulomb, h joue donc le rôled’un champ électrique. Pour l’interface cristal-vapeur, g joue le rôle d’uneforce locale. Les positions des charges correspondent donc aux positionssur l’interface où s’exercent des forces (positives ou mégatives). La phasebasse température du gaz de Coulomb correspond à des forces opposées localiséesqui créent des fluctuations localisées de h : l’interface est plane. Ahaute température, les charges sont mobiles comme le sont les fluctuationsde h d’intensités opposées : la surface h est rugueuse.15

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