Программа курса "Теория Вероятностей"

Ïðîãðàììà êóðñà "Òåîðèÿ Âåðîÿòíîñòåé"ëåêòîð - ê.ô.-ì.í. Ì.Å. Æóêîâñêèéîñåííèé ñåìåñòð 20121. Äèñêðåòíûå âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè.Ïðèìåðû.2. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëû Áàéåñà.Ïðèìåðû.3. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè. Ïðèìåðû.4. Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P). Àêñèîìû Êîëìîãîðîâà. Òåîðåìà îíåïðåðûâíîñòè â íóëå âåðîÿòíîñòíîé ìåðû.5. Àëãåáðû è σ-àëãåáðû. Íàèìåíüøàÿ àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ ñèñòåìîé ìíîæåñòâ.Áîðåëåâñêèå σ-àëãåáðû â R, R n .6. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé è ñèñòåì ñîáûòèé. Ïðèìåð Áåðíøòåéíà.7. Âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà (R, B(R)). Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíîéìåðû, åå ñâîéñòâà. Ïðèìåðû. Òåîðåìà î ïîñòðîåíèè âåðîÿòíîñòíîé ìåðûíà (R, B(R)) ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (á/ä).8. Âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà (R n , B(R n )). Ìíîãîìåðíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ,åå ñâîéñòâà. Ïðèìåðû. Òåîðåìà î ïîñòðîåíèè âåðîÿòíîñòíîé ìåðû íà(R n , B(R n )) ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (á/ä).9. Èçìåðèìûå îòîáðàæåíèÿ. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è âåêòîðû. Ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû â äèñêðåòíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ïðèìåðû.10. Äåéñòâèÿ íàä ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.11. Õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (âåêòîðà): ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé,ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Òåîðåìà î ïðèáëèæåíèè ñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû ïðîñòûìè.12. Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Íåçàâèñèìîñòü äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí. Íåçàâèñèìîñòü ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Êðèòåðèé íåçàâèñèìîñòè (äîêàçàòåëüñòâî â ïðîñòóþ ñòîðîíó), òåîðåìà îíåçàâèñèìîñòè áîðåëåâñêèõ ôóíêöèé îò íåïåðåñåêàþùèõñÿ íàáîðîâ íåçàâèñèìûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.1

13. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïðèìåðû.14. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Ïðèìåðû.15. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (èíòåãðàë Ëåáåãà ïî âåðîÿòíîñòíîéìåðå): îïðåäåëåíèå äëÿ ïðîñòûõ, íåîòðèöàòåëüíûõ è ïðîèçâîëüíûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïðîâåðêà êîððåêòíîñòè îïðåäåëåíèé. Ïðèìåðûäëÿ äèñêðåòíûõ, àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à òàêæåñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.16. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Òåîðåìà î ìàòåìàòè÷åñêîìîæèäàíèè ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (á/ä). Òåîðåìàî çàìåíå ïåðåìåííûõ ïîä èíòåãðàëîì Ëåáåãà (á/ä). Ïðèìåðû. ÒåîðåìàËåáåãà î ìàæîðèðîâàííîé ñõîäèìîñòè (á/ä).17. Äèñïåðñèÿ, êîâàðèàöèÿ è èõ ñâîéñòâà. Ïðèìåðû. Íåðàâåíñòâî Êîøè Áóíÿêîâñêîãî.Äèñïåðñèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.18. Íåðàâåíñòâî Ìàðêîâà. Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë âôîðìå ×åáûøåâà. Íåðàâåíñòâî Éåíñåíà.19. Âèäû ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ïî÷òè íàâåðíîå, ïî âåðîÿòíîñòè, âïðîñòðàíñòâå L p , ïî ðàñïðåäåëåíèþ), èõ âçàèìîñâÿçè. Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòèñõîäèìîñòè ïî ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñõîäèìîñòèôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ âî âñåõ òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè(á/ä).20. Ëåììà Áîðåëÿ Êàíòåëëè. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ. Ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå.Çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà (á/ä).21. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ñ âåðîÿòíîñòüþ 1. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòèïî âåðîÿòíîñòè.22. Íåðàâåíñòâî Êîëìîãîðîâà. Òåîðåìà î ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå ðÿäà èçñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.23. Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñîãðàíè÷åííûìè äèñïåðñèÿìè.24. Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ îãðàíè÷åííûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì.25. Âåðîÿòíîñòè áîëüøèõ óêëîíåíèé. Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè â çàêîíå áîëüøèõ÷èñåë.2

26. Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå êîíå÷íîãî íàáîðà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ñâåðòêàðàñïðåäåëåíèé (äèñêðåòíûé ñëó÷àé è àáñîëþòíî íåïðåðûâíûé). Ïðèìåðû.27. Ñõåìà èñïûòàíèé Áåðíóëëè è ïîëèíîìèàëüíàÿ ñõåìà. Ïðåäåëüíûå òåîðåìûäëÿ ñõåìû Áåðíóëëè: òåîðåìà Ïóàññîíà, ëîêàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà(á/ä) è èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (á/ä).28. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè âåðîÿòíîñòíûõ ìåð, ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èâåêòîðîâ. Ïðèìåðû. Îñíîâíûå ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí (ïåðâûå 4 ñ äîêàçàòåëüñòâîì).29. Ôîðìóëà îáðàùåíèÿ (á/ä). Ïðèìåðû. Íåçàâèñèìîñòü êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãîâåêòîðà â òåðìèíàõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.30. Ïðîâåðêà, ÿâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé. Òåîðåìà ÁîõíåðàÕèí÷èíà (äîêàçàòåëüñòâî òîëüêî â îäíó ñòîðîíó). Òåîðåìà Ïîéà (á/ä).Òåîðåìà Ìàðöèíêåâè÷à (á/ä).31. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé âåðîÿòíîñòíûõìåð íà (R, B(R)) (á/ä). Òåîðåìà íåïðåðûâíîñòè äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõôóíêöèé (á/ä). Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâîðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.3

ÇÀÄÀ×È1. Êîìáèíàòîðíûå âåðîÿòíîñòè1 Ñëó÷àéíî áðîñàþòñÿ äâà M-ãðàííûõ êóáèêà, íà ãðàíÿõ êîòîðûõ íàïèñàíû÷èñëà îò 1 äî M. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A i = {ñóììà ÷èñåë,âûïàâøèõ íà êóáèêàõ, ðàâíà i}, i = 2, . . . , 2M.2* Ñëó÷àéíî áðîñàþòñÿ òðè M-ãðàííûõ êóáèêà, íà ãðàíÿõ êîòîðûõ íàïèñàíû÷èñëà îò 1 äî M. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A i = {ñóììà ÷èñåë,âûïàâøèõ íà êóáèêàõ, ðàâíà i}, i = 3, . . . , 3M.3 Èç ìíîæåñòâà N îáúåêòîâ âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíîå ïîäìíîæåñòâî. Íàéäèòåâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî ñëó÷àéíîå ïîäìíîæåñòâî èìååò ÷åòíóþ ìîùíîñòü.4 Ìíîæåñòâî èç n øàðîâ ñëó÷àéíî ðàñêëàäûâàþò ïî m ÿùèêàì. Íàéäèòåâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñå ÿùèêè íåïóñòûå, åñëè (à) øàðû íåðàçëè÷èìû,(b) øàðû ðàçëè÷èìû.5 Íà øàõìàòíîé äîñêå ðàçìåðà n×n ñëó÷àéíî ðàçìåùàþò n ëàäåé. Íàéäèòåâåðîÿòíîñòè ñëåäóþùèõ ñîáûòèé:(a) A = {ëàäüè íå áüþò äðóã äðóãà}.(b) B = {ëàäüè íå áüþò äðóã äðóãà, è íà ãëàâíîé äèàãîíàëè íåò íèêàêèõôèãóð}.6  ãðóïïå 25 ñòóäåíòîâ. Ñ÷èòàåì, ÷òî äåíü ðîæäåíèÿ êàæäîãî ñòóäåíòàñëó÷àåí (ñ÷èòàåì, ÷òî â ãîäó 365 äíåé). Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîõîòÿ áû ó äâóõ ÷åëîâåê äíè ðîæäåíèÿ ñîâïàäàþò.7  êàðòî÷íîé èãðå ïîêåð èãðîê ïîëó÷àåò 5 êàðò èç êîëîäû â 52 êàðòû. Çàäà÷àèãðîêà ñîáðàòü íàèáîëåå ñèëüíóþ êîìáèíàöèþ êàðò. Êîìáèíàöèèáûâàþò ñëåäóþùèå:(a) Ïàðà äâå êàðòû îäíîãî íîìèíàëà.(b) Äâå ïàðû äâå êàðòû îäíîãî íîìèíàëà, äâå êàðòû äðóãîãî.(c) Òðîéêà òðè êàðòû îäíîãî íîìèíàëà.(d) Ñòðèò ïÿòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïî íîìèíàëó êàðò (ïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òî çà òóçîì ïî íîìèíàëó ñëåäóåò äâîéêà).4

(b) ïðè âûáîðå áåç âîçâðàùåíèÿ äâóõ øàðîâ èç òðåòüåãî ÿùèêà îäèí èçíèõ áóäåò áóäåò áåëûì, à âòîðîé ÷åðíûì.3  ÿùèêå N øàðîâ, èç êîòîðûõ ðîâíî M áåëûõ øàðîâ. Ïîñëåäîâàòåëüíîâûíèìàþòñÿ n ≤ N øàðîâ. Ïóñòü ñîáûòèå A k îçíà÷àåò, ÷òî k-é ïî ñ÷åòóâûíóòûé øàð áåëûé, à ñîáûòèå B m , ÷òî âñåãî âûíóëè m ≤ M áåëûõøàðîâ. Íàéäèòå P (A k |B m ), åñëè (à) øàðû âûíèìàþòñÿ áåç âîçâðàùåíèÿ,(b) ñ âîçâðàùåíèåì.4 Ìèìî àâòîçàïðàâêè ïðîåçæàþò ëåãêîâûå àâòîìîáèëè ñ ÷àñòîòîé 0, 6; ãðóçîâèêè ñ ÷àñòîòîé 0, 3; àâòîáóñû ñ ÷àñòîòîé 0, 1. Ëåãêîâîé àâòîìîáèëüçàïðàâëÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0, 5; ãðóçîâèê ñ âåðîÿòíîñòüþ 0, 6; àâòîáóñ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0, 4. Èçâåñòíî, ÷òî ïîñëåäíÿÿ ìàøèíà çàïðàâèëàñü.Íàéäèòå óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî áûë ãðóçîâèê.5* ßùèê ñîäåðæèò a áåëûõ è b ÷åðíûõ øàðîâ. Íàóäà÷ó èçâëåêàåòñÿ øàð. Îíâîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî, è, êðîìå òîãî, äîáàâëÿåòñÿ c øàðîâ îäíîãî ñ íèìöâåòà. Äàëåå, ïîäîáíàÿ ïðîöåäóðà ïîâòîðÿåòñÿ ñíîâà. Ïóñòü ñîáûòèå A kîçíà÷àåò, ÷òî íà k-ì øàãå èçâëå÷åí áåëûé øàð. Íàéäèòå(a) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ïåðâûõ n = n 1 + n 2 èçâëå÷åíèÿõ ïîÿâèëîñün 1 áåëûõ è n 2 ÷åðíûõ øàðîâ;(b) âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A k ;(c) óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü P (A m |A k ) ïðè m > k;(d) óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü P (A k |A m ) ïðè m > k.3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû â äèñêðåòíûõâåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ1 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ÷èñëî, âûïàäàþùåå ïðè áðîñêå M-ãðàííîãî êóáèêàñ ïðîíóìåðîâàíûìè ãðàíÿìè. Íàéäèòå Eξ è Dξ.2 Ïóñòü R n = {1, 2, . . . , n}. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàâíà êîëè÷åñòâó ýëåìåíòîâR n îñòàþùèõñÿ íà ñâîèõ ìåñòàõ ïðè ñëó÷àéíîé ïåðåñòàíîâêå. ÍàéäèòåEξ è Dξ.3 Ìíîæåñòâî èç k øàðîâ ñëó÷àéíî ðàñêëàäûâàþò ïî m ÿùèêàì. Ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà ξ ðàâíà êîëè÷åñòâó ïóñòûõ ÿùèêîâ ïðè òàêîì ñëó÷àéíîìðàçìåùåíèè. Íàéäèòå Eξ è Dξ, åñëè (à) øàðû íåðàçëè÷èìû, (b) øàðûðàçëè÷èìû.6

4 Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ 1 , . . . , ξ n , η 1 , . . . , η m íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè.Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé f : R n → R è f : R m → Rñëó÷àéíûå âåëè÷èíû f(ξ 1 , . . . , ξ n ) è g(η 1 , . . . , η m ) òîæå íåçàâèñèìû.5 Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü ñëó÷àéíîãî ãðàôà G(n, p). Íàéäèòå EX , åñëè(a) X êîëè÷åñòâî òðåóãîëüíèêîâ (öèêëîâ äëèíû 3) â ñëó÷àéíîì ãðàôå,(b) X êîëè÷åñòâî öèêëîâ äëèíû k â ñëó÷àéíîì ãðàôå,(c) X êîëè÷åñòâî êëèê (ïîäãðàôîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ïîëíûìè ãðàôàìè)ìîùíîñòè k â ñëó÷àéíîì ãðàôå.6* Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü ñëó÷àéíîãî ãðàôà G(n, p). Íàéäèòå DX , åñëè(a) X êîëè÷åñòâî òðåóãîëüíèêîâ (öèêëîâ äëèíû 3) â ñëó÷àéíîì ãðàôå,(b) X êîëè÷åñòâî êëèê (ïîäãðàôîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ïîëíûìè ãðàôàìè)ìîùíîñòè k â ñëó÷àéíîì ãðàôå.4. Ïîíÿòèå íåçàâèñèìîñòè. Ñõåìà Áåðíóëëè1 Ïóñòü A, B, C ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ðàâíîâåðîÿòíûå ñîáûòèÿ, ïðè÷åìA ∩ B ∩ C = ∅. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå P(A).2 Èç ÿùèêà, ñîäåðæàùåãî ÷åðíûå è áåëûå øàðû, èçâëåêàþòñÿ øàðû. Ïóñòüñîáûòèå A k îçíà÷àåò, ÷òî íà k-ì øàãå èçâëå÷åí áåëûé øàð. Äîêàæèòå, ÷òîñîáûòèÿ A 1 , . . . , A n(a) íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, åñëè âûáîð øàðîâ ïðîèçâîäèòñÿ ñ âîçâðàùåíèåì;(b) çàâèñèìû, åñëè âûáîð øàðîâ ïðîèçâîäèòñÿ áåç âîçâðàùåíèÿ.3 Ðåáðà ïîëíîãî ãðàôà K n íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ðàñêðàøèâàþòñÿ â köâåòîâ: ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ 1 â ëþáîé èç k öâåòîâ. Ïóñòü V ìíîæåñòâîâåðøèí ãðàôà K n , à S ⊂ V . Îáîçíà÷èì ÷åðåç A S ñëåäóþùåå ñîáûòèå:kA S = {âñå ðåáðà K n , âåðøèíû êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò S, ïîêðàøåíû â îäèíè òîò æå öâåò}. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïîäìíîæåñòâS, T ⊂ V ñîáûòèÿ A S è A T íåçàâèñèìû?4 Äàíî ìíîæåñòâî S èç n ýëåìåíòîâ. Èç íåãî ñëó÷àéíî è íåçàâèñèìî âûáèðàþòñÿòðè ïîäìíîæåñòâà A, B, C. Êàæäîå ñëó÷àéíîå ïîäìíîæåñòâî ôîðìèðóåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì: êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà S íåçàâèñèìîîò äðóãèõ ñ âåðîÿòíîñòüþ p âêëþ÷àåòñÿ â ïîäìíîæåñòâî, à ñ âåðîÿòíîñòüþ(1 − p) íå âêëþ÷àåòñÿ. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü P (A ∩ B ⊆ C ⊆ A ∪ B).7

5 Èñõîäû ξ 1 , ξ 2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ m âîçìîæíûìèèñõîäàìè 1, 2, . . . , m è âåðîÿòíîñòÿìè èñõîäîâ p 1 , p 2 , . . . , p m îáúåäèíÿþòñÿâ áëîêè (ξ mk+1 , ξ mk+2 , . . . , ξ mk+m ), k ≥ 0. Ïóñòü ν íîìåð ïåðâîãîáëîêà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîãî ðàçëè÷íû. Íàéäèòå P (ξ mν+1 = 1).6 Èãðîê A ïîäáðàñûâàåò 3 èãðàëüíûå êîñòè, à èãðîê B 2 êîñòè. Ýòè èñïûòàíèÿîíè ïðîâîäÿò âìåñòå è ïîñëåäîâàòåëüíî äî ïåðâîãî âûïàäåíèÿøåñòåðêè õîòÿ áû íà îäíîé èç êîñòåé. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòè ñëåäóþùèõñîáûòèé(a) A = {âïåðâûå øåñòåðêà âûïàëà ó èãðîêà A, à íå ó B};(b) B = {âïåðâûå øåñòåðêà âûïàëà ó èãðîêà B, à íå ó A};(c) C = {âïåðâûå øåñòåðêà âûïàëà îäíîâðåìåííî ó A è B}.5. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè1 Ñëó÷àéíàÿ òî÷êà A èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå â ïðÿìîóãîëüíèêåñî ñòîðîíàìè 1 è 2. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòè ñëåäóþùèõ ñîáûòèé:(a) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî áëèæàéøåé ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà íåïðåâîñõîäèò x;(b) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî áëèæàéøåé äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà íåïðåâîñõîäèò x;(c) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ëþáîé ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà íå ïðåâîñõîäèòx;(d) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî áëèæàéøåé ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà ìåíüøå,÷åì ðàññòîÿíèå îò A äî áëèæàéøåé äèàãîíàëè.2  êðóãå ðàäèóñà R ñëó÷àéíî ïðîâîäèòñÿ õîðäà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ξ åå äëèíó.Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü P (ξ > x), åñëè(a) ñåðåäèíà õîðäû ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â êðóãå;(b) íàïðàâëåíèå õîðäû çàäàíî, à åå ñåðåäèíà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíàíà äèàìåòðå, ïåðïåíäèêóëÿðíîì åå íàïðàâëåíèþ;(c) îäèí êîíåö õîðäû çàêðåïëåí, à äðóãîé ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí íàîêðóæíîñòè.3  êâàäðàò íàóäà÷ó áðîøåíû äâå òî÷êè A è B. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî êâàäðàò, äèàãîíàëüþ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê AB, öåëèêîì ñîäåðæèòñÿâ èñõîäíîì êâàäðàòå.8

6. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ1 Äîêàæèòå, ÷òî â îïðåäåëåíèè àëãåáðû çàìêíóòîñòü îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé∩ è ∆ (ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü) ìîæíî çàìåíèòü íà çàìêíóòîñòüîòíîñèòåëüíî ñëåäóþùèõ ïàð îïåðàöèé: (a) ∪ è ∆, (b) ∩ è \, (c) ∪ è \, (d)∆ è \, (e) îòðèöàíèå è ∩, (f) îòðèöàíèå è ∪. Íî íåëüçÿ çàìåíèòü íà ïàðó∪ è ∩.2 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîìλ. Íàéäèòå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (a) √ ξ, (b)ξ 2 , (c) 1 λ ln ξ, (d) {ξ} äðîáíàÿ äîëÿ ξ, (e) 1 − e−αξ .3 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ñòàíäàðòíîå ðàñïðåäåëåíèå Êîøè. Íàéäèòåïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (a) ξ 2 /(1+ξ 2 ), (b) 1/(1+ξ 2 ),(c) 2ξ/(1 − ξ 2 ), (d) 1/ξ.4 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â èíòåðâàëå (a, b) è èìååòïëîòíîñòü f(x). Ôóíêöèÿ ϕ(x) ñòðîãî ìîíîòîííà è äèôôåðåíöèðóåìà íà(a, b), ïðè÷åì ϕ ′ (x) ≠ 0 íà (a, b). Âû÷èñëèòå ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûη = ϕ(ξ).5 Ïóñòü ξ 1 , . . . , ξ n íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x). Óïîðÿäî÷èì çíà÷åíèÿ ξ 1 , . . . , ξ nïî íåóáûâàíèþ. Âîçíèêàåò íîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíξ (1) ≤ . . . ≤ ξ (n) . Íàéäèòå(a) Ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (k) , k = 1, . . . , n.(b) Ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (k) , k = 1, . . . , n, åñëè F (x) èìååò ïëîòíîñòü f(x).6 Äàíà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ. Íàéäèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþξ, åñëè îíà èìååò(a) áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (n, p);(b) ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ;(c) ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì p (ò.å. P(ξ = k) = (1 −p) k−1 p, k = 1, 2, . . .);(d) íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ 2 );(e) ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå (a, b);(f) ãàììà ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (α, λ);(g) áåòà ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (α, β).9

7 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Âû-÷èñëèòå Eξ k è E|ξ| k äëÿ k ∈ N.8 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ:⎧0, åñëè x < −2;⎪⎨F (x) =⎪⎩1/5, åñëè −2 ≤ x < 1;x 2 /4, åñëè 1 ≤ x < 2;1, åñëè x ≥ 2;Âû÷èñëèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ξ.7. Ìíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿâåðîÿòíîñòåé. Ñóììû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí1 Ïóñòü ξ 1 , . . . , ξ n íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) è ïëîòíîñòüþ f(x). Óïîðÿäî÷èìçíà÷åíèÿ ξ 1 , . . . , ξ n ïî íåóáûâàíèþ. Âîçíèêàåò íîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ (1) ≤ . . . ≤ ξ (n) . Íàéäèòå ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãî âåêòîðà(ξ (1) , ξ (n) ).2* Ïóñòü ξ 1 , . . . , ξ n íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) è ïëîòíîñòüþ f(x). Óïîðÿäî÷èìçíà÷åíèÿ ξ 1 , . . . , ξ n ïî íåóáûâàíèþ. Âîçíèêàåò íîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ (1) ≤ . . . ≤ ξ (n) . Íàéäèòå ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãî âåêòîðà(ξ (1) , . . . , ξ (n) ).3 Ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ, η) èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå â îáëàñòèD = {(x, y) : x 2 + y 2 < 1, x > 0, y > 0}.Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η, à òàêæå cov(ξ, η).4 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íàîòðåçêå [0, a]. Íàéäèòå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (a)ξ + η, (b) ξ − η, (c) ξη, (d) ξ/η.5 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ 1 è ξ 2 íåçàâèñèìû. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå ξ 1 + ξ 2 ,åñëè(a) ξ i ∼ Bin(n i , p), i = 1, 2;(b) ξ i ∼ P ois(λ i ), i = 1, 2;10

(c) ξ i ∼ N (a i , σ 2 i ), i = 1, 2;(d) ξ i ∼ Γ(α, λ i ), i = 1, 2.6* Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ 1 , . . . , ξ n íåçàâèñèìû è èìåþò ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèåñ ïàðàìåòðîì p. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûη = ξ 1 + . . . + ξ n .7 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ 1 , . . . , ξ n íåçàâèñèìû è èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîåðàñïðåäåëåíèå. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η = ξ 2 1 +. . . + ξ 2 n.8 Ïóñòü X, Y íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî èç îòðåçêîâ ñ äëèíàìè X, Y è 1 ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê,åñëè(a) X èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0, 1], à Y ýêñïîíåíöèàëüíîåñ ïàðàìåòðîì 1;(b) X èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0, 1], à Y ãàììàðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (1, 2).9 Ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ, η) èìååò ïëîòíîñòüp (ξ,η) (x, y) =12π √ 1 − r 2 e−(x2 −2xyr+y 2 )/(2(1−r 2 )) .Âû÷èñëèòå ìàòðèöó êîâàðèàöèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η).10 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìû è èìåþò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèåñ ïàðàìåòðîì λ. Ïîëîæèì U = X + Y , V = X/(X + Y ). Íàéäèòåðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí U è V . Áóäóò ëè îíè íåçàâèñèìû?8. Âèäû ñõîäèìîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí1 Äîêàæèòå, ÷òî â äèñêðåòíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ñõîäèìîñòü ñâåðîÿòíîñòüþ 1 ýêâèâàëåíòíà ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè.2 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ 1 , . . . , ξ n , . . . íåçàâèñèìû è èìåþò ðàñïðåäåëåíèåPÁåðíóëëè, ïðè÷åì ξ ∼ Bern(p n ). Íàéäèòå êðèòåðèé òîãî, ÷òî (a) ξ n −→ 0;L(b) ξ pn −→ 0, p ≥ 1; (c)ï.í.ξ n −→ 0.3 Ïóñòü ξ 1 , . . . , ξ n , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à h(x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà R. Äîêàæèòå, ÷òî11

(a) åñëè ξ nï.í.−→ ξ, òî h(ξ n ) ï.í. −→ h(ξ);(b) åñëè ξ nd−→ ξ, òî h(ξ n )d−→ h(ξ).4* Ïóñòü ξ 1 , . . . , ξ n , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à h(x) díåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà R. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ξ n −→ ξ, òî h(ξ n )h(ξ).P−→5 Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ 1 , . . . , ξ n , . . . ñõîäèòñÿ ïîPðàñïðåäåëåíèþ ê êîíñòàíòå C. Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà ξ n −→ C.6 Ïóñòü (ξ n ) n≥1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îáîçíà÷èì S n =ξ 1 + . . . + ξ n . Ïîêàæèòå, ÷òî åñëèï.í.ξ n −→ ξ, òîï.í. Sn −→ ξ.n7 Äîêàæèòå, ÷òî â ïðåäûäóùåé çàäà÷å ñõîäèìîñòü ïî÷òè íàâåðíîå íåëüçÿçàìåíèòü íà ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè.8 Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {ξ n , n ∈ N} è ξ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ òîëüêî âîdìíîæåñòâå Z. Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ξ n −→ ξ òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà äëÿ ëþáîãî m ∈ Z âûïîëíåíî P(ξ n = m) −→ P(ξ = m) ïðè n → ∞.9. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè1 Íàéäèòå õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ, åñëè îíàèìååò(a) áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (n, p);(b) ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ;(c) ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì p;(d) íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ 2 );(e) ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå (a, b);(f) ãàììà ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (α, λ);(g) ðàñïðåäåëåíèå Ëàïëàñà ñ ïàðàìåòðîì θ > 0 (ò.å. p ξ (x) = 1 2θ e−|x|/θ ).2 Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó îáðàùåíèÿ, íàéäèòå õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ, åñëè îíà èìååò ðàñïðåäåëåíèå Êîøè ñ ïàðàìåòðîìθ.3 Ïóñòü ϕ(t) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàæèòå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿíåðàâåíñòâà12

(a) 1 − Re ϕ(2t) ≤ 4 (1 − Re ϕ(t)) ,(b) (Im ϕ(t)) 2 ≤ 1 2(c) (Re ϕ(t)) 2 ≤ 1 2(d)∣t+h ∫12ht−h(1 − Re ϕ(2t)) ,(1 + Re ϕ(2t)) ,ϕ(u)du∣ ≤ (1 + Re ϕ(h)) 1 2 .4 Ïðè êàêèõ íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ n ôóíêöèÿ ϕ(t) = e −|t|n ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé?5 Âûÿñíèòå, ÿâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå ôóíêöèè õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè:(a) sin t, (b) cos t, (c) cos 2 t, ã) cos t 2 , (d) e −|t| I{t < 0}+(1 + t 2 ) −1 I{t ≥110}, (e) , (f) .1+t 2 1+t 46 Ïóñòü ξ 1 , ξ 2 íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ñ ïîìîùüþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõôóíêöèé íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå ξ 1 + ξ 2 , åñëè(a) ξ i èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a i , σ 2 i ),(b) ξ i èìååò ãàììà ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (α, λ i ),(c) ξ i èìååò ðàñïðåäåëåíèå Êîøè ñ ïàðàìåòðîì θ i .7 Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.Íàéäèòå õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξη.8 Ïóñòü {ξ n , n ∈ N} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.dÄîêàæèòå, ÷òî åñëè ξ n −→ ξ, òî ξ òîæå íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.10. Ïðåäåëüíûå ñâîéñòâà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èõñóìì.1 Ïóñòü S n , n ∈ N ñèììåòðè÷íîå ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå íà ïðÿìîé. Èñïîëüçóÿïðèíöèï îòðàæåíèÿ, äîêàæèòå, ÷òîP(maxk≤n S k ≥ N, S n < N)= P(S n > N).2 Ïóñòü S n , n ∈ N ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ øàãà âïðàâîp è øàãà âëåâî q = 1 − p. Íàéäèòå äëÿ êàæäûõ öåëûõ m, N çíà÷åíèåâåðîÿòíîñòè()P max S k ≥ N, S n = m .k≤n13

3 Ïóñòü ξ 1 , ξ 2 , . . . íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè-÷èíû. Äîêàæèòå, ÷òî(P limξ )n√ = 1 = 1.2 ln n4 Ïðè íàáîðå òåêñòà ñòåíîãðàôèñò îøèáàåòñÿ â ñèìâîëå ñ âåðîÿòíîñòüþ0,0005. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ïðè íàáîðå10000 ñèìâîëîâ ñòåíîãðàôèñò îøèáåòñÿ íå áîëåå, ÷åì â òðåõ.5 Ïî ñõåìå âûáîðà ñ âîçâðàùåíèåì âûáèðàåòñÿ 10000 ñëó÷àéíûõ öèôð. Íàéòèïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî âûáðàíî îò 940 äî 1060äåâÿòîê.6 Èìååòñÿ n ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, âûáðàííûõ ïî ñõåìå âûáîðà ñ âîçâðàùåíèåìèç ìíîæåñòâà {1, 2, ..., 999999999}. Èç ýòèõ ÷èñåë ïî î÷åðåäè âûòÿãèâàþòñÿ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà 3. Ïðè êàêîì îãðàíè÷åíèè íà n ìîæíî âûáðàòü 1025÷èñåë?7 Áðîøåíî 1800 èãðàëüíûõ êîñòåé. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñóììàðíîå÷èñëî ïîÿâëåíèé 2 è 6 íå ìåíüøå, ÷åì 620.14