potenziale compiuto

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Compito di Analisi Matematica II del 4 settembre 2008

Compito di Analisi Matematica II del4 settembre 2008Versione AEsercizio 1. (10 punti)Si consideri il campo vettorialeF(x,y,z) =( )y2 ( ) ( )2yz(x−1) +2yz i+z log(x−1)+2xz j+ 2xy − y2z 2 log(x−1) k.a) Determinare il dominio D del campo vettoriale F.b) Determinare un sottoinsieme semplicemente connesso di D in cui il campo ammette potenziale.c) Determinare il potenziale di F che si annulla in P(2,−1,1).d) Utilizzando il potenziale individuato al punto precedente è possibile calcolare il lavoro compiutodal campo vettoriale F lungo il segmento PQ, dove Q(2,−1,−1), orientato da P a Q?Giustificare la risposta.Svolgimentoa) Il dominio di F èdom(F) ={}(x,y,z) ∈ R 3 : x > 1, z ≠ 0 .b) Un sottoinsieme semplicemente connesso di dom(F) è per esempioD ={}(x,y) ∈ R 2 : x > 1, z > 0 .1


2 Esame scritto di Analisi Matematica II del 4 settembre 2008c) Se f : D → R è un potenziale di F = (f 1 ,f 2 ,f 3 ), allora si ha che per ogni (x,y) ∈ D(1.1)∂f∂f∂x (x,y,z) = f 1(x,y,z) =y 2z(x−1) +2yz,(1.2)∂f∂y (x,y,z) = f 2(x,y,z) = 2yz log(x−1)+2xz,(1.3)∂z (x,y,z) = f 3(x,y,z) = 2xy − y2z 2 log(x−1).Integrando (1.1) rispetto a x si ottienef(x,y,z) =∫ ( )y 2z(x−1) +2yz dx = y2log(x−1)+2xyz +c(y,z),zdove c = c(y,z) è una funzione nelle sole variabili y e z. Sostituendo in (1.2) si ottiene∂f 2y ∂c(x,y,z) = log(x−1)+2xz +∂y z ∂y (y,z) = 2y zlog(x−1)+2xz =⇒∂c(y,z) = 0 =⇒ c(y,z) = k(z),∂ydove k = k(z) è una funzione nella sola variabile z. Quindi si ha cheSostituendo in (1.3) si ottienef(x,y,z) = y2zlog(x−1)+2xyz +k(z).∂f y2(x,y,z) = 2xy −∂z z 2 log(x−1)+k′ (z) = 2xy − y2log(x−1) =⇒z2 Quindi i potenziali di F su D sonof(x,y,z) = y2zk ′ (z) = 0 =⇒ k(z) = k ∈ R.log(x−1)+2xyz +k, k ∈ R.d) Poiché P(2,−1,1) ∈ D, imponendo che il generico potenziale di F su D si annulli in P siottiene k = 4. Quindi il potenziale cercato èf(x,y,z) = y2zlog(x−1)+2xyz +4.


Versione A 3e) Non è possibile utilizzare il potenziale determinato al punto precedente per calcolare il illavoro compiuto dal campo vettoriale F lungo il segmento PQ, dove Q(2,−1,−1), perchè ilpunto Q ∉ D. Inoltre si osservi che il segmento PQ interseca il piano z = 0, dove il campo Fnon è definito.Esercizio 2. (10 punti)Calcolare l’integrale di linea del campo vettoriale( 3 (F(x,y) =2 xy2 +12log x −1) ) (4 i+ 2x 2 y −sin 3( 1−3y 2)) jlungo il bordo dell’insieme{D = (x,y) ∈ R 2 : x 2 +y 2 ≥ 1,}x 24 +y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0percorso in senso antiorario.SvolgimentoPer il Teorema di Green si ha che∫∂D∫F ·dP =D( ∂f2∂x (x,y)− ∂f 1∂y (x,y) )dxdy,dove F = (f 1 ,f 2 ). Posto quindi f 1 (x,y) = 3 2 xy2 +12log ( x 4 −1 ) e f 2 (x,y) = 2x 2 y−sin 3( 1−3y 2)si ha cheQuindi si ha che∫∂D∂f 1∂y (x,y) = 3xy, ∂f 2(x,y) = 4xy.∂x∫F ·dP =D( ∂f2∂x (x,y)− ∂f ) ∫1∂y (x,y) dxdy = xydxdy.Dy1DO 1 2x


4 Esame scritto di Analisi Matematica II del 4 settembre 2008Osserviamo che D può essere scritto nella formaD =Quindi D è x-semplice. Ne segue che∫∂D∫F ·dP ={(x,y) ∈ R 2 : 0 ≤ y ≤ 1,Dxydxdy == 3 2∫ 10∫ ( 1 ∫√2 1−y 2√0 1−y 2√}1−y 2 ≤ x ≤ 2√1−y 2 .xydx)dy = 1 2∫ 1(y −y 3) dy = 3 [ 12 2 y2 − 1 ] 14 y4 = 30 8 .0y[x √ 2] 2 1−y√ 21−y 2dy =Esercizio 3. (10 punti)Si consideri la serie numerica∞∑n=1(−1) nn α +2n+sinn , α ∈ R.a) Determinare per quali valori di α la serie converge assolutamente.b) Determinare per quali valori di α la serie converge ma non assolutamente.Svolgimentoa) Consideriamo la serie∞∑(−1) n∞ ∣n n=1α +2n+sinn∣ = ∑ 1nn=1α +2n+sinn .Si ha che per n → +∞Poiché la seriesolo se α > 1.∞∑n=11 ⎧⎪1 ⎨n α +2n+sinn ∼ ⎪ ⎩2nse α < 113nse α = 11n α se α > 1.1converge solo se α > 1, si ha che la serie data converge assolutamentenα ∞∑ (−1) nb) Consideriamo α ≤ 1 e studiamo la convergenza della serienn=1α . È una serie+2n+sinn1a termini di segno alterno che non converge assoltamente. Poniamo b n =n α +2n+sinn. Si hache1limb n = lim n n n α = 0 ∀α ≤ 1.+2n+sinn


Versione A 5Controlliamo se la successione (b n ) è decrescente. Consideriamo la funzione f : [1,+∞) → Rdefinita daf(x) =Questa funzione è derivabile su [1,+∞) con1x α +2x+sinx .f ′ (x) = − αxα−1 +2+cosx(x α +2x+sinx) 2.Se α ∈ [0,1], allora f ′ (x) < 0 per ogni x ∈ [1,+∞) e quindi f è decrescente.Se α < 0, poichè per x → +∞ si ha che x α−1 → 0, allora definitivamente f ′ (x) < 0 e quindi fè definitivamente decrescente. Ne segue che la successione (b n ) è definitivamente decrescente.Per il criterio di Leibniz si ha che la serie data converge, non assolutamente, per ogni α ≤ 1.

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