1 Analisi della varianza a due criteri di classificazione con repliche ...

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1 Analisi della varianza a due criteri di classificazione con repliche ...

Analisi della varianza a due criteri di classificazione con repliche1esempioPer studiare l’effetto di due tipi di fertilizzanti vengono identificati quattro lotti di terreno in cui i duefertilizzanti vengono usati a due dosi ciascuno.La loro resa viene valutata in termini di Kg di raccolto. I dati opportunamente modificati per facilitare ilcalcolo sono :Fertilizzante ATotale dirigaFertilizzanteB1Kg1 Kg 2Kg17 1316 1315 1418 1266 52 1182Kg 212019181416161478 60 138Totale di colonna 144 112 T=256I totali di cella suggerisconoA-1kg A-2kgB-1kg 66 52B-2Kg 78 60Il fertilizzante B aumenta la sua resa in presenza di ALa resa aumenta di piu in presenza di 1Kg di AIl fertilizzante A diminuisce la sua resa in presenza di B


esempioLa vitamina B 12 e l'Antibiotico vengono introdotti nella dieta dei maiali eviene verificato il guadagno di peso giornalieroL'esperimento e' bilanciato,i livelli dei fattori sono tali da studiare ciascun trattamentosia da solo (effetto semplice) e sia in presenza dell' altro (effetto congiunto)2Livelli di AntibioticoTotale dirigaLivelli diVitaminaB 120 mg0 mg 40 mg1.30 1.051.19 1.001.08 1.053.57 3.10 6.675mg 1.261.211.191.521.561.553.66 4.63 8.29Totale di colonna 7.23 7.73 T=14.96I totali di cella suggerisconola vitamina B 12 senza antibiotici (A=0mg)ha poco effetto o quasinullo (da 3,57 a 3,66) : apparentemente perché la vitamina B 12 èutilizzata dalla flora intestinalel'effetto della vitamina B 12 in presenza di antibiotici (A=40mg) e'più marcato (da 3,10 a 4,63 ) : gli antibiotici controllano la floraintestinaleGuardando alla tabella nell'altro sensogli antibiotici da soli (B=0mg) riducono il guadagno di peso(da 3,57 a 3,10) forse sopprimendo la flora intestinale chesintetizza la vitamina B 12gli antibiotici in presenza di vitamina B 12 aumentano il guadagnodi peso (da 3,66 a 4,63) diminuendo le attività della floraintestinale non favorevole.Per studiare l'effetto principale di due fattori sperimentali,ed anche effetti complessi quale la loro azione congiunta sono necessarie le repliche.Cioè ogni combinazione dei livelli dei fattori studiati è osservata n volte.


31Livelli del fattore A(i=1,.....,c)1 ... i ... cy 111... y i11... y c11y 112... y i12... y c12... ... ... ... ...y ...11ny ...i1ny c1nTotale dirigaLivellidelfattore BjT11 ... Ti1 ... Tc1 R 1y 1j1... y ij1... y cj1... ... ... ... ...y 1jk... y ...ijky cjk... ............y 1jny yijncjnT1j ... Tij ... Tcj R jry 111y 112...y 11n............y i11y i12...y i1n............y c11y c12...y c1nTotale di colonnaT 1r T ir T cr R rTotale di colonna C 1 ... C i ... C c Ti = 1,.....,c;j = 1,.....,r;k = 1,.....,nC i = j Σ k Σ y ijkR j = i Σ k Σ y ijkT ij = k Σ y ijkT= i Σ j Σ k Σ y ijkLe repliche entro ogni combinazione costituiscono una cella;


Assunzioni sono:normalita', omoscedasticita' ed un modello di risposta di tipo lineare o additivo4Per ottenere il modello additivola presenza di repliche permette di valutare la variabilita' entro le combinazioni dei trattamenti percui la generica osservazione puo' essere vista comela somma della media della propria cella più lo scostamento da tale mediay ijk = µ ij + ε ijka sua voltaµ ij = µ ij + µ i - µ i + µ j - µ jµ ij = µ i + µ j +(µ ij - µ j - µ i ) + µ - µ + µ - µµ ij = µ + ( µ i - µ) + (µ j - µ) + (µ ij - µ j - µ i + µ)µ ij = µ + α i + β j + γ ijsostituendo otteniamo un modello additivoy ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijkε ijk = effetto di scostamenti casuale dalla media di cellaµ = media generaleα i = µ i -µ effetto dell'i-esimo livello di Aβ j = µ j -µ effetto del j-esimo livello di BInterazione = effetto congiunto dei due fattoriγ ij = µ ij - µ j - µ i + µγ ij = (µ ij - µ j ) - (µ i - µ) effetto specifico di A al livello j-esimo di B meno effetto principale di Aoppureγ ij = (µ ij - µ i ) - (µ j - µ) effetto specifico di B al livello i-esimo di A meno effetto principale di Boppureγ ij = µ ij - µ j - µ i + µ - µ + µ == (µ ij - µ) - ( µ i - µ ) - (µ j - µ)== (µ ij - µ ) - α i - β jγ ij = (µ ij - µ ) - (α i +β j ) scostamento tra l'effetto di un trattamento ij ela somma degli effetti dei livelli dei fattori in esso compresi


5Non esiste interazione e si parla di interazione nulla, quando il risultato complessivo è determinatoesclusivamente dalla somma dei singoli effetti principaliNon c’e’ interazioneC’è interazionel'interazione si annulla se ad ogni livello di Ail'effetto specifico di Bj e' uguale all'unico effettoprincipale di Bγ ij = (µ ij - µ i ) - (µ j - µ)l'interazione si annulla se a qualunque livello di Bjl'effetto specifico di Ai e' uguale all'unico effettoprincipale di Aγ ij = (µ ij - µ j ) - (µ i - µ)γ ij = (µ ij - µ ) - (α i +β j ) se lo scostamento e' uguale alla somma degli effetti l'interazione e' zero


Per la scomposizione della devianza6y ijk = µ ij + ε ijky ijk = µ ij + y ijk - µ i jsostituisco ε ijk =y ijk - µ i jsottraggo µ ad entrambi i termini(y ijk - µ) = (y ijk - µ ij ) + (µ ij - µ)Totale entro celle + tra cellesostituisco µ ij = µ + α i + β j + γ ij(y ijk - µ) = (y ijk - µ ij ) + (µ + α i + β j + γ ij - µ)(y ijk - µ) = (y ijk - µ ij ) + α i + β j + γ ij(y ijk - µ) = (y ijk - µ ij ) + (µ i -µ) + (µ j -µ) + (µ ij - µ j - µ i + µ)per stimare i parametri di popolazione sostituisco con i dati osservati(y ijk - ⎺y ) = (⎺y i -⎺y ) + (⎺y j -⎺y ) + ( ⎺y ij - ⎺y j - ⎺y i + ⎺y ) + (y ijk - ⎺y ij )elevando al quadrato i due membri e sommando rispetto ai livelli dei fattori e al numero di repliche,i doppi prodotti si annullanoijk∑(y ijk -⎺y ) 2 = ijk ∑ (y ijk - ⎺y ij ) 2 + ijk ∑ (⎺y i -⎺y ) 2 + ijk ∑(⎺y j -⎺y ) 2 + ijk ∑ ( ⎺y ij - ⎺y j - ⎺y i + ⎺y ) 2Devianza = Devianza + Devianza + Devianza + DevianzaTotale entro celle tra colonne tra righe di interazioneo Erroregdl: N-1 =rcn - 1 = rc(n-1) + (c-1) + (r-1) + (c-1)(r-1)


Formule abbreviate di calcolo7Fonti Devianza Formule di calcolo GdL varianzaTotaleEntro celleFra celleColonneRigheInterazioneijk∑(yijk-⎺y) 2 ijk∑y 2 ijk-T 2 /N N-1ijk∑(yijk-⎺yij) 2 ijk∑y 2 ijk-∑T 2 ij/n rc(n-1) s 2 eijk∑(⎺yij-⎺y) 2 ij∑T 2 ij/n-T 2 /N rc-1 s 2 Fijk∑(⎺yi-⎺y) 2 i∑C 2 i/nr-T 2 /N c-1 s 2 Aijk∑(⎺yj-⎺y) 2 j∑R 2 j/nc-T 2 /N r-1 s 2 Bijk∑(⎺yij-⎺yj-⎺yi+⎺y) 2Differenzatra celle – colonne - righe(c-1)(r-1)s 2 ABIpotesi da verificarefattore AH 0 di nessuna differenza tra le medie del fattore AH 1 : non tutte le medie sono tra loro ugualifattore BH 0 di nessuna differenza tra le medie del fattore BH 1 : non tutte le medie sono tra loro ugualiInterazione ABH 0 nessuna interazione tra i fattori A e B ai vari livelliH 1 di interazione ad almeno un livello dei fattoriH 0 : µ 1 = µ 2 = ... =µ i = ... = µ cH 0 : µ 1 = µ 2 = ... =µ j = ... = µ rH 0 : AB ij = 0 per ogni i e jH 1 : AB ij ≠ 0 per almeno un ijFonti Devianza GdL varianza FTotaleEntro celleFra celleColonneRigheInterazioneijk∑(yijk-⎺y) 2 N-1ijk∑(yijk-⎺yij) 2 rc(n-1) s2 eijk∑(⎺yij-⎺y) 2 rc-1 s2 F H 0 : µ ij = µF = s 2 F/ s 2 eijk∑(⎺yi-⎺y) 2 c-1 s2 A H 0 : µ i = µF = s 2 A/ s 2 eijk∑(⎺yj-⎺y) 2 r-1 s2 B H 0 : µ j = µF = s 2 B/ s 2 eijk∑(⎺yij-⎺yj-⎺yi+⎺y) 2 (c-1)(r-1) s 2 AB H 0 : AB ij = 0F = s 2 AB/ s 2 e


La vitamina B 12 e l'antibiotico vengono introdotti nella dieta dei maiali e viene verificato ilguadagno di peso giornaliero L'esperimento e' bilanciato,i livelli dei fattori sono tali da studiareciascun trattamento sia da solo e sia in presenza dell' altroLivelli diAntibioticoTotale di riga8Livelli di VitaminaB120 mg0 mg 40 mg1.301.051.191.001.081.053.57 3.10 6.675mg 1.261.211.191.521.561.553.66 4.63 8.29Totale di colonna 7.23 7.73 T=14.960/0 0/40 5/0 5/40 TOTALEn 3 3 3 3 12T ij = 3.57 3.10 3.66 4.63 T=14.96T ij2 /n 4.25 3.20 4.47 7.15 ∑T ij2 /n =19.0625ijk∑ y 2 ijk = 19,0918TC= T 2 /rcn= (14.96) 2 /12= 18,6501j∑ R 2 j /nc = ( 6,67 2 + 8,29 2 )/6 =113,2130/6 = 18,8688i∑ C 2 i /nr = ( 7,23 2 + 7,73 2 )/6 = 112,0258/6 = 18,6710Fonti Formule Devianza gdl Varianza FTotale ijk∑y 2 ijk-T 2 /N 19,0918-18,6501 0,4417 11Entro celle ijk∑y 2 ijk - ∑T 2 ij/n 19,0918-19,0625 0,0293 8 0,00366Tra celle ij∑T 2 ij/n - T 2 /N 19,0625-18,6501 0,4124 3 0,13746 37,56Vitamina j∑R 2 j/nc - T 2 /N 18,8688-18,6501 0,21870 1 0,21870 59,75Antibiotico i∑C 2 i/nr-T 2 /N 18,6710-18,6501 0,02090 1 0,02090 5,71Interazione Fra celle-colonne- righe 0,17280 1 0,17280 47,21sulle tavole F p=0,05;1 e 8 = 5,32 F p=0,025;1 e 8 =7,57 F p=0,01;1 e 8 = 11,261) H 0 : nessun effetto della vitamina ; si respinge l'ipotesi nulla con p


9Confrontando gli effetti specifici di ogni fattore entro ciascun livello dell'altro abbiamo:1) Effetto semplice di Antibiotico a livello 0mg di vitamina:Devianza gdl F(3,57 2 +3,10 2 )/3-6,67 2 /6=7,4516-7,4148=0,0368 1 0,0368/0,00366=10,05Effetto semplice di Antibiotico a livello 40mg di vitamina:Devianza gdl F(3,66 2 +4,63 2 )/3-8,29 2 /6=11,608-11,3713=0,2395 1 0,2395/0,00366=65,44il confronto fra le dosi di Antibiotico e' significativo ad entrambi i livelli di Vitamina2) Effetto semplice di Vitamina a livello 0mg di Antibiotico:Devianza gdl F(3,57 2 +3,66 2 )/3-7,23 2 /6=8,7135-8,71215=0,00135 1 0,00135/0,00366=0,37Effetto semplice di Vitamina a livello 5mg di Antibiotico:Devianza gdl F(3,10 2 +4,63 2 )/3-7,73 2 /6=10,3489-9,9588=0,3901 1 0,3901/0,00366=106,6il confronto fra le dosi di Vitamina e' significativo solo in presenza di Antibiotico

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