Mécanique des fluides

Mécanique des fluides
Licence Sciences et Technologies
Mentions Biochimie - Biologie cellulaire et Physiologie
U.E. Physique Appliquée aux Sciences Naturelles
- Généralités. Statique des fluides 4h 30
- Dynamique des fluides parfaits 4h 30
- Dynamique des fluides visqueux 4h 30
- Phénomènes de surface : tension superficielle,
capillarité 4h 30

Bibliographie
‣ E. Hecht - PHYSIQUE (DeBoeck Université)
‣ J. Kane/D. Sternheim - PHYSIQUE (InterEditions)
‣ D. Giancoli – PHYSIQUE GENERALE 1
Mécanique et thermodynamique (DeBoeck Université)
‣ A. Van de Vorst – INTRODUCTION A LA PHYSIQUE (DeBoeck Université )

Chapitre I : Généralités
I-1 . Les états de la matière
B. Bonnel et B. Capoen, Sept. 2004
Dernière version : Septembre 2006
Aspect microscopique
Molécule d’eau : assemblage de trois atomes
(2 atomes d’hydrogène et 1 atome d’oxygène)
Calcium (atomes placés sur
les sommets d’un cube et au
centre des faces)
Aspect visuel
Arrangement atomique
(structure cristalline)

La matière peut exister sous 3 états différents :
http://phys.free.fr/etats.htm
Solide
Liquide
Gaz
Les particules sont :
• rapprochées
• liées par des forces
très importantes
Les particules sont :
• désordonnées
• rapprochées
• peu liées
Les particules sont :
• désordonnées
• espacées
• non liées
Quand la matière passe d'un état à un autre on dit qu'il y a un changement d'état.
Exemple : L’eau peut être un solide (glace), un liquide (mer), un gaz (vapeur)

I-2 . Le fluide parfait
Un fluide réel, surtout un liquide, oppose une certaine résistance à
l’écoulement : les particules glissent en frottant les unes sur les autres.
Frottement moléculaire dans le
Sens de l’écoulement des
sens inverse du déplacement
particules
Le paramètre physique qui traduit l’existence de ces frottements s’appelle la
viscosité. Il est la cause d’une perte d’énergie durant l’écoulement.
« Après avoir versé la même quantité d'alcool à brûler, de sirop, d'huile, de glycérine et
de savon liquide dans les éprouvettes, elles ont été inclinées en même temps.
A ce moment nous pouvons visualiser la vitesse d'écoulement de chacun des liquides. »
savon de vaisselle 1
glycérine 2
huile d'olive 3
sirop de grenadine 4
alcool à brûler 5
Un fluide parfait est un fluide non visqueux (écoulement sans frottement).
C’est bien sûr un cas idéal.
Dans un fluide en équilibre, il n’y a pas de forces de viscosité : la statique des
fluides parfaits est équivalente à celle des fluides réels.
5
4
3
2
1

I-3 . Notion de pression
Si la force pressante F est normale à la
surface pressée S et s’exerce uniformément
en chaque point de cette surface, la pression
s’exprime comme
p =
F
S
La pression est une
grandeur scalaire.
Le couteau pénètre plus facilement si on
fait agir le tranchant de la lame.
Cessac Trehenne
Physique (1958)
p. 88 et 90
En répartissant la charge sur un grand
nombre de pointes, la pression sur
chaque pointe est relativement faible.
Hecht Physique p.396

La pression dans un liquide :
Forces pressantes agissant sur
des portions de surface
immergées dans un fluide.
En franchissant le trou, l’eau
s’écoule perpendiculairement
àla paroi.
La force pressante exercée par un fluide en équilibre sur un élément de
surface quelconque est normale à cet élément.
La pression en un point d’un fluide est donnée par
où f s’exerce sur un élément de surface s très petit
et d’orientation quelconque. p s’appelle aussi
“pression hydrostatique”.
p =
f
s

Unités de mesure de la pression :
● Unité légale : le Pascal 1Pa = 1 Newton / m 2
(# équivalente à une masse de 100 g sur une surface de 1 m 2 , donc très petite)
● Un multiple : le bar : 1 bar = 10 5 Pascal (1 mb = 1 hPa)
● Autres unités :
le mm Hg :
l’atmosphère :
1 mm Hg = 133,3 Pa
1 atm = 101325 Pa = 1013,25 mb = 760 mm Hg
Le baromètre ci-contre n’utilise
pas l’unité légale !
Dans les applications numériques,
toutes les pressions doivent être
exprimées en Pascal.

I-4 . Masse volumique d’un fluide
Un échantillon de fluide homogène de masse m et
occupant un volume V possède la masse volumique
Dépendance en pression et en température :
m
ρ =
Unité :
V Le kg/m 3
► Liquide (incompressible) : ρ ne dépend pratiquement que de la température T.
En général, ρ diminue lorsque T augmente, puisque V augmente avec T :
Eau pure à 4°C
Eau pure à
100°C
1000 kg/m 3
958 kg/m 3
Mercure à 0°C
Mercure à
100°C
13596
kg/m
13352
3
kg/m 3
► Gaz : ρ dépend de T et de la pression p.
L’équation des gaz parfaits PV = nRT associée à celle de la masse m = nM donne
ρ
=
m
V
=
M
R
p
T
∝
p
T
M = masse molaire
R = constante des gaz
parfaits.
Air à 0°C, p = 1 bar
Air à 0°C, p = 0,9
bar
Air à 27°C, p = 1 bar
1,29 kg/m 3
1,16 kg/m 3
1,17 kg/m 3
ρ augmente quand p augmente et diminue lorsque T augmente.

densité
‣ Liquide ou solide : quotient de la masse d’un volume V d’un corps à T sur la masse
d’un même volume d’eau à 4°C.
d =
ρ
ρ
H 2 O
Eau pure à 100°C
0,958
sans unité Mercure à 0°C 13,596
‣ Gaz : la référence est l’air dans les mêmes conditions de température et de pression
d
Exercice
⇒ densité indépendante de T et p
gaz =
ρ(T, p)
ρ
air
(T, p)
L’obélisque de la place de la Concorde a une masse de 220 tonnes et une
hauteur de 23 m. La masse volumique de la pierre est 2500 kg.m -3 . On suppose
que sa surface est un carré identique sur toute la hauteur.
1) Cette colonne peut-elle être posée directement sur le sol meuble ne pouvant
supporter sans déformation qu’une surpression de 0,5 bar ? Sur un sol plus
rigide pouvant supporter 1,2 bar ?
2) Quelle doit être la surface de son socle pour que cela soit possible sur le sol
rigide ?

Chapitre II : Statique des fluides (hydrostatique)
II-1 . Quelques expériences simples
Capsule manométrique pour mesurer la pression dans un liquide
La pression ne dépend pas
de l’orientation de la capsule
(cf ch. 1).
La pression augmente
avec la profondeur
d’immersion.
A profondeur identique,
la pression augmente avec
la masse volumique.

II-2 . Le principe fondamental
f L
f B
f A
mg
h
Dans un fluide de masse volumique ρ, isolons un petit cylindre
de hauteur AB = h, et de surface de base s. Le fluide est en
équilibre, donc la somme des forces appliquées à ce cylindre
est nulle. Ces forces sont : le poids mg, et les forces pressantes
sur chacune des faces.
Comme les forces latérales f L se compensent deux à deux, l’équilibre du cylindre se traduit
par mg + f A + f B = 0, soit, après projection sur la verticale, mg + f A –f B = 0.
Or f A = p A .s et f B = p B .s, p A et p B étant les pressions existant respectivement au sommet et à
la base du cylindre.
De plus m = ρ.V = ρ.s.h . On peut donc simplifier par s.
On obtient ainsi la relation très importante :
p B –p A = ρ g h
La pression augmente donc avec la profondeur.

II-3 . Conséquences du principe fondamental
1 -
A
B
C
A
B
C
Tous les points d’un même fluide situés dans un même plan horizontal sont à la même
pression, et ce quelle que soit la forme du récipient.
2 -
La surface libre d’un liquide, qui est le lieu des points à
la même pression (vide ou pression atmosphérique), est
un plan horizontal, et ce quelle que soit la forme du
récipient.
3 - Autre expression du principe fondamental :
A
B
h
Soit dans un fluide un volume de hauteur h et de surface de base S :
p B = p A + ρgh s’écrit aussi p B .S = p A .S + ρg.hS = p A .S + mg
La pression en B est égale à celle existant en A
augmentée du poids de la colonne de fluide de hauteur
2

II-4 . Application aux gaz : la pression atmosphérique
1 - Existence de la pression atmosphérique :
a) La membrane n’est pas déformée quand ses deux
faces sont en contact avec l’air atmosphérique.
b) Si on raréfie l’air qui baigne sa face interne, la
membrane se creuse, mettant ainsi en évidence la force
pressante que l’air continue d’exercer sur sa face
externe.
Cependant la masse volumique d’un gaz n’est pas constante. Le principe fondamental ne
peut plus s’y appliquer entre deux niveaux quelconques, mais seulement sur de très faibles
hauteurs. On montre que la pression dans le gaz augmente avec la profondeur, mais pas en
suivant une loi linéaire comme dans un liquide (voir page suivante).
La propriété vue en II-3 est encore vraie pour un gaz :
La pression atmosphérique au niveau du sol est égale au poids de la colonne
d’air contenu dans un volume de surface de base égale à l’unité (1 m 2 ) et de
hauteur très grande (100 km).
La pression atmosphérique au sol vaut en moyenne 1013 mb (1 atmosphère) et subit des
variations notables selon le climat. Dans les TD, on prendra souvent p atm = 10 5 Pascal.

2 - Pression en un point quelconque de l’atmosphère : z
Expression différentielle du principe fondamental :
Si l’on oriente vers le haut un axe vertical Oz, et que l’on
considère une différence de niveaux comprise entre les
altitudes z et z + dz, la variation de pression (négative) :
p
z + dz
z
dp = p(z+dz) - p(z) = -ρ(z) g(z) dz
Hypothèses :
L’air obéit à la loi des gaz parfaits (pV = nRT).
La température T de l’air ne varie pas avec l’altitude (atmosphère isotherme à T o
= 273 K
hypothèse grossière).
L’accélération de la pesanteur g est constante (vrai à 1% près jusqu’à h = 30 km)
pV = nRT avec n = m / M donne
p =
avec V : volume de gaz à la pression p ; M ≈ 29 g : masse molaire ; T = 273 K :
température ; R = 8,32 S.I. : constante des gaz parfaits ; ρ : masse volumique).
dp = - ρ g dz donne
soit
p
∫
p
atm
d p
p
z
= −∫
0
dp
p
dz
H
Mg
= - dz
=
RT
⇒
atm
m
M
dz
-
H
RT
V
= ρ
RT
M
où H = RT/Mg vaut environ 8 km.
p z
ln ( ) = − ⇒ p(z) = p exp(
−
p h
atm
O
z
H
)

II-5 . Pression absolue dans un liquide :
Plaçons la membrane de la capsule manométrique sur la
surface libre d’un liquide de façon que sa face externe ,
en contact avec le liquide, soit confondue avec une
portion de cette surface. La membrane ne subit aucune
déformation, donc ses deux faces sont à la même
pression :
La pression à la surface libre d’un liquide exposé à l’air est égale à la pression
atmosphérique.
Il s’ensuit qu’à la profondeur h sous la surface du liquide, la pression est
p = patm
+ ρ g h
p s’appelle “pression absolue” (ρgh est la
pression manométrique ou hydrostatique).
p augmente d’environ 1 atmosphère tous les
10 m.

Pression manométrique de quelques fluides dans le corps humain :
Fluide
Liquide entourant le cerveau
Humeur aqueuse de l’œil
Gastro-intestinal
Poumons
inhalation
exhalaison
Poitrine intrathoracique
inhalation
exhalaison
Sang veineux
veinules
veines
veines majeures
Sang artériel au niveau du
cœur
maximum (systolique)
minimum (diastolique)
Vessie
moyenne
pendant la miction
P M
(mm Hg)
5 à 12
12 à 24
10 à 20
-2
3
-6
-2,5
8 à 15
4 à 8
4
100 à 140
60 à 90
0 à 25
15 à 30
P M
(kPa)
0,7 à 1,6
1,6 à 3,2
1,3 à 2,7
-0,3
0,4
-0,8
-0,3
1 à 2
0,5 à 1
0,5
13 à 19
8 à 12
0 à 3
2 à 4
D’après Hecht p. 401

II-6 . En résumé :
z
z = 5500 m
0
500 p atm
p p
atm
/2 patm
z = -5000 m
●
Dans l’air : variation exponentielle de p avec z (loi grossière)
p(z)
=
p
atm
exp( z
− )
H
avec H ≈ 8 km
●
Dans l’océan : variation linéaire de p avec h (loi exacte)
p(h) = patm
+ ρ g h p augmente d’une atmosphère tous les 10 m

II-7 . Théorème de Pascal (1628-1662) :
h
A
B
p A
p B
h
A
B
p A + ∆p
p b + ∆p
Soit dans un liquide homogène deux points quelconques A et B, distants verticalement de
la profondeur h. La différence de pression entre eux est ρgh. Augmentons, par un procédé
approprié, la pression en A de la quantité ∆p : comme le liquide est pratiquement
incompressible, cette variation de pression ne modifie pas son volume : la masse
volumique ρ et, par conséquent, la quantité ρgh, restent inchangés. Il s’ensuit que la
pression en B augmente aussi de ∆p. D’où l’énoncé du théorème :
Tout liquide en équilibre transmet intégralement et en tous ses points une
variation de pression imposée en l’un quelconque de ces points.
Application : vérin hydraulique
La force exercée sur le petit piston crée une surpression qui est
intégralement transmise au gros piston. Le rapport des forces
est égal au rapport des surfaces des cylindres correspondants :
la force engendrée dans le gros piston peut être très importante
et permet de soulever des charges très lourdes.
Autres applications : presse hydraulique, freinage de voiture… Hecht p. 407

II-8 . Théorème d’Archimède (250 ans avant JC) :
Soit un objet cubique de volume V et de masse volumique
ρ immergé dans un fluide de masse volumique ρ o
.
Les forces qui s’exercent sur cet objet sont :
Le poids P de norme ρVg ;
Des forces de pression hydrostatique sur les parois horizontales de l’objet
(résultante nulle sur les parois verticales) :
• f a = S(P atm
+ρ o
g h a
) descendante sur la face supérieure S a
;
• f b = S(P atm
+ρ o
g h b
) ascendante sur la face inférieure S b
, et avec f b > f a .
La résultante des forces de pression verticales est donc ascendante et a pour norme
A = f b –f a = S ρ o g (h b –h a ) = ρ o V g
La quantité ρ o V représente la masse du fluide qui occupe le même volume que l’objet.
L’objet a désormais un poids apparent , de norme P app = (ρ - ρ o )Vg.
La poussée exercée sur un objet par un fluide en équilibre est égale au poids
du fluide déplacé. Elle est de sens opposé au poids et son support passe par le
centre de gravité du fluide déplacé. On peut considérer que le point
d’application de cette poussée est au centre de gravité du fluide déplacé (ce
point est appelé centre de poussée).
Ce principe s’applique aussi aux corps partiellement immergés.
h B
h A
h
ρ o
ρ
A
P
h

II-9 . Mesure des pressions
Manomètres dans le cas général.
Baromètres s’il s’agit de mesurer la pression atmosphérique.
a – Le baromètre de Torricelli (ou baromètre à mercure, 1643)
Dans la colonne de mercure on a: p 1 –p 0 = ρgh
Or p 0
= 0, et d’après le principe de l’hydrostatique p 1
= p atm
.
patm
⇒ p atm = ρHggh et h =
ρ g
Puisque ρ Hg
~ 13600 kg/m 3 Hg
, la pression atmosphérique
normale (1 atm =1,013 10 5 Pa) correspond à une hauteur
De colonne de mercure
1,013 10
5
h =
= 0,76 m = 760 mm
13600 × 9,81
La pression de 1 atm correspond donc à 760 mm Hg.
Remarque 1 : On utilise souvent en médecine le Torr qui correspond à 1mm Hg.
Remarque 2 : Si on remplaçait la colonne de mercure par une colonne d’eau (masse
volumique ρ H2O
= 1000 kg/m 3 1,013 10
5
), celle-ci aurait une hauteur h =
≈10
m.
1000 × 9,81

– Le manomètre à liquide
Tube en U contenant un liquide de masse volumique ρ
connue (eau, huile, ou mercure pour pressions élevées)
Mesure de la pression p d’un gaz ou d’un autre liquide
(non miscible avec celui du tube).
L’ ouverture A du tube est à la pression p atm , l’autre à la
pression p.
Il s’agit d’exprimer p en fonction de h :
A l’intérieur du liquide, le point B est à la pression p.
p B -p A = ρgh ⇒ p = p atm + ρgh
La grandeur ρgh s’appelle la pression manométrique ou pression de jauge
APPLICATIONS
A - Mesure de la pression des pneus
B – Mesure de la tension artérielle
C’est la méthode par cathétérisation :
Elle consiste à insérer une canule dans une artère
(s’effectue sur des êtres vivants anesthésiés, et encore…).
C – Barométrie : prévision du temps.

II-10 . Paradoxe de l’hydrostatique
Fluide en équilibre les forces exercées par le fluide sur un élément de surface
(paroi ou autre) sont perpendiculaires à cette surface, quelle que soit son orientation.
Si l’on considère un élément de paroi situé à une
distance h sous la surface libre, la pression du
côté du fluide est p atm + ρgh. La face de la paroi à
l’air libre étant à la pression p atm , la différence de
pression est ρgh et la force qui s’exerce
perpendiculairement sur un élément de paroi de
surface dS a pour module qui représente le poids
de la colonne de liquide de section dS et de
hauteur h. Si l’élément de paroi appartient au
fond horizontal du récipient, la force totale qui
s’exerce sur le fond est égale au poids de la
colonne de liquide située au dessus du fond,
quelle que soit la forme du récipient. C’est le
paradoxe hydrostatique.
h
p atm
S
P atm + ρgh
p atm
h = 20 m
La force appliquée aux parois est donc
généralement différente du poids du fluide
contenu dans le récipient.
(Voir applet « Principe de l’Hydrostatique »)
Exemple d’application : le tonneau de Pascal.
∆P ≈ 2 atm
F/S ≈ 2.10 5 N/m 2
Soit une
force de 2
kg/cm 2