Operações com Frações

PROJETO 6
Operações com Frações
Emerson Batista Ferreira Mota

PROJETO 6
Operações com Frações
Emerson Batista Ferreira Mota

Presidência da República Federativa do Brasil
Ministério da Educação
Secretaria de Educação a Distância
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Presidente Geral da CAPES
Jorge Almeida Guimarães
Diretor de Educação a Distância da CAPES
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Governador do Estado de Minas Gerais
Antônio Augusto Junho Anastasia
Vice-Governador do Estado de Minas Gerais
Alberto Pinto Coelho Júnior
Secretário de Estado de Ciência, Tecnologia e Ensino Superior
Nárcio Rodrigues
Reitor da Universidade Estadual de Montes Claros - Unimontes
João dos Reis Canela
Vice-Reitora da Unimontes
Maria Ivete Soares de Almeida
Pró-Reitora de Ensino
Anete Marília Pereira
Diretor do Centro de Educação a Distância
Jânio Marques Dias
Coordenador Administrativo
Fernando Guilherme Veloso Queiroz
Coordenadora de Projetos CEAD Unimontes
Maria Ângela Lopes Dumont de Macedo
Coordenadora TICs Unimontes
Patrícia Takaki Nves
Operações com Frações
TICs/Unimontes
Elaboração
Emerson Batista Ferreira Mota
Projeto Gráfico
Design Editorial CEAD/Unimontes
Supervisão
Wendell Brito Mineiro
Diagramação
Andréia Santos Dias
Clésio Robert Almeida Caldeira
Hugo Daniel Duarte Silva
Marcos Aurélio de Almeida e Maia
Sanzio Mendonça Henriques
Tatiane Fernandes Pinheiro
Vinícius Antônio Alencar Batista
Designer Instrucional
Emília Murta Moraes
Gisléia de Cássia Oliveira
Revisão
Arlete Ribeiro Nepomuceno
Aurinete Barbosa Tiago
Carla Roselma Athayde Moraes
Luci Kikuchi Veloso
Ubiratan da Silva Meireles
Coordenadora Pedagógica
Zilmar Santos Cardoso

Apresentação
Mensagem Inicial
Prezado(a) Acadêmico(a),
É com muita satisfação que apresentamos a você o
nosso material didático do curso de nivelamento de que
participará! Estamos todos orgulhosos por você ter confiado
em nosso projeto e, mais ainda, por ter tido a iniciativa
de buscar, de forma autônoma e comprometida,
não só o seu aprendizado, como também a sua própria
capacitação.
Participar de um curso a distância requer mais do que
simplesmente realizar as atividades solicitadas pelos
professores e tutores. É preciso uma postura que estabeleça
um diálogo entre tecnologia e aprendizagem, pois
estão em jogo novas habilidades e competências que estes
cursos podem lhe proporcionar.
Nessa medida, estamos preparando para você diversos
cursos que visam a repassar conteúdos, em geral
próprios do ensino médio, muito importantes para o seu
sucesso acadêmico e profissional, independentemente
de sua área de conhecimento.
O projeto conta com uma equipe de professores que
acompanharão todos os cursos de nivelamento que podem
ser acessados sempre que necessário. Então, não
hesite em fazer suas críticas, sugestões e comentários
em geral! Saiba que a sua opinião é muito importante
para nós, pois visamos a uma melhoria contínua.
Além de contribuir com o seu aprendizado, esperamos
que você reconheça nas Tecnologias de Informação
e Comunicação (doravante, TIC) as possibilidades
de “aprender a aprender” e que esta experiência seja a
primeira de muitas outras em que você estará aliando
tecnologia e construção do conhecimento! Aproveite!
Coordenação Geral da Proposta Institucional: “Uso e
Disseminação das TIC no Ensino Superior Presencial da
Unimontes” e Colaboradores do Projeto 6
4

Apresentação da Proposta Institucional
O crescente uso das TIC na educação tem favorecido
sobremaneira o acesso à educação a milhares de
pessoas ao redor do mundo. Nessa medida, a educação
presencial tem se apropriado das TIC em constante
evolução.
Esse fato é especialmente constatado no contexto
da UAB/Unimontes, uma vez que o crescente grau de
inovação, característico dessa modalidade de educação,
tem conquistado cada vez mais docentes da educação
presencial de todas as áreas. A efetividade de seus propósitos
e a diversidade de suas soluções têm contribuído
com a credibilidade e o reconhecimento destes recursos
por toda a comunidade acadêmica.
Essa Proposta Institucional da Unimontes, além de
inovadora e desafiadora, almeja formar novas gerações
comprometidas com o aperfeiçoamento e a sistematização
do uso de novas TIC no ensino superior do país.
Ações dessa natureza desenvolvem nos acadêmicos
a habilidade de manusear os recursos tecnológicos existentes
em favor de sua formação e atualização. Por conseguinte,
desenvolvem a competência destes futuros
profissionais de conceber ações pragmáticas em direção
ao bem-estar social.
Os sete projetos que integram essa Proposta se complementam
e se inter-relacionam para que o objetivo do
Edital 15 CAPES/DED/2010 seja cumprido, ou seja, para
que de fato seja promovido o “Uso e Disseminação das
TIC no Ensino Superior Presencial da Unimontes”.
Um dos projetos, intitulado “Inserção das TIC como
recurso didático nos cursos de graduação da Unimontes:
Artes Visuais, Artes Teatro, Artes Música, Geografia,
Matemática, Odontologia e Sistemas de Informação”,
consiste na definição de que até oito disciplinas de cada
um dos sete cursos de graduação diretamente envolvidos
para serem contempladas pelas atividades e pelos
recursos deste projeto. Estas disciplinas, e seus docentes,
terão a oportunidade de elaborarem materiais didáticos
de qualidade e de usufruírem da prerrogativa de
oferecer até 20% de suas cargas horárias na modalidade
a distância .
Além desses sete cursos de graduação presenciais, serão
atendidos os acadêmicos de todos os demais cursos
superiores da Unimontes de todos os campi. Isso será
possível, pois o projeto “Oferecimento de Cursos de Nivelamento
para os Cursos de Graduação Presenciais da
Unimontes” pretende oferecer cursos de nivelamento
de forma irrestrita a toda a comunidade acadêmica. Tal
demanda se faz necessária tendo em vista as formações
5

por vezes heterogêneas dos alunos recém-chegados do
ensino médio. Assim, os conteúdos previstos nestes cursos
de nivelamento impactam diretamente na efetividade
da aprendizagem de alunos de todas as áreas do
conhecimento, bem como no desenvolvimento de habilidades
e competências deles.
O impacto e os resultados esperados dessas ações
são determinantes para a criação de uma cultura acadêmica
de autonomia sobre o autoaprendizado, na busca
pela construção do conhecimento, além de favorecer a
institucionalização de atitudes pragmáticas por todos
aqueles que podem contribuir para uma sociedade ainda
mais justa, democrática, desenvolvida e tecnológica.
Profa. Patrícia Takaki Neves
Coordenação Geral da Proposta Institucional
6

Sumário
Palavra do professor conteudista.......................................... 11
Projeto instrucional................................................................ 12
Aula 1 Contando um Pouco da História das Frações............. 15
1.1 As frações no antigo Egito............................................... 15
1.2 As frações estudadas por outros povos........................... 17
Resumo.................................................................................. 19
Atividades de aprendizagem................................................. 19
Aula 2 As frações e o nosso cotidiano (2h)............................ 20
2.1 Situações onde encontramos as frações......................... 20
Resumo.................................................................................. 23
Atividade de aprendizagem................................................... 23
Aula 3 Definição de número Racional (fração) (2h).............. 25
3.1 Definindo um número Racional....................................... 25
3.2 Subconjuntos dos Racionais............................................ 25
Resumo ................................................................................. 26
Atividades de aprendizagem................................................. 26
Aula 4 Os racionais na forma decimal (2h)............................ 27
4.1 Olhando a fração como divisão de dois números........... 27
4.2 Representação de números racionais na reta numérica.27
Resumo.................................................................................. 28
Atividade de aprendizagem................................................... 28
Aula 5 Olhando um racional sob a forma de razão (2h)........ 30
5.1 A fração como índice comparativo entre duas quantidades
de uma grandeza................................................................... 30
5.2 Algumas razões especiais................................................ 30
5.2.1 Velocidade média......................................................... 30
Resumo.................................................................................. 31
Atividade de aprendizagem................................................... 32
Aula 6 As frações e as porcentagens (2h).............................. 35
6.1 Estudando porcentagem a partir de frações decimais.... 35
6.2 Transformando uma fração em taxa de porcentagem.... 36
Resumo.................................................................................. 37
Atividade de aprendizagem................................................... 37
Aula 7 Adição e subtração de fração de mesmo denominador
(2h) ....................................................................................... 38
7.1 Como fazer adicionar ou subtrair fração de mesmo denominador?................................................................................
38
Resumo.................................................................................. 40
Atividade de aprendizagem................................................... 40
Aula 8 Adição e subtração de frações de denominadores diferentes
(4h).............................................................................. 41
8.1 Adição e subtração de frações com denominadores diferentes:
Usando Mínimo Múltiplo Comum (MMC)................ 41
Resumo.................................................................................. 43
Atividade de aprendizagem................................................... 43
Aula 9 Multiplicação de um número racional (3h)................ 47
9.1 Multiplicando frações .................................................... 47
Resumo.................................................................................. 47
Atividade de aprendizagem................................................... 47
9

Aula 10 Definindo o inverso de um número racional (2h).... 50
10.1 Calculando a inversa de uma fração.............................. 50
Resumo.................................................................................. 50
Atividade de aprendizagem................................................... 50
Aula 11 Divisão de frações (2h)............................................. 52
11.1 Aprendendo a dividir frações........................................ 52
Resumo.................................................................................. 52
Atividade de aprendizagem................................................... 52
Aula 12 Potênciação de números racionais (3h)................... 54
12.1 Calculando potência de frações com expoente natural.54
12.2 Propriedades.................................................................. 55
12.3 Potências de expoente Inteiro negativo ....................... 55
Resumo.................................................................................. 56
Atividade de aprendizagem................................................... 57
Aula 13 Radiciação com frações (2h)..................................... 58
13.1 Calculando a raiz de índice qualquer de números fracionários
positivos...................................................................... 58
13.2 Calculando raiz de índice qualquer de números fracionários
negativos......................................................................... 58
Resumo.................................................................................. 59
Atividade de aprendizagem................................................... 60
Referências............................................................................. 61
Currículo do professor conteudista....................................... 62
10

Palavra do professor conteudista
Que bom encontrá-lo aqui.
Este será o espaço em que trocaremos ideias, compartilharemos
conhecimento e, a cada dia, contribuiremos
mais e mais para sua formação profissional. Estaremos
juntos trabalhando com conceitos básicos da Matemática
como conjuntos, frações, operações básicas, potências
e raízes, que ajudarão você a ter uma visão mais clara
do curso. Trabalharemos com os conteúdos, respondendo
às mais diversas dúvidas, e, para isso, é importante
que você participe do nosso ambiente, desenvolvendo
as atividades propostas, interagindo em todo momento.
Você verá que os temas ficarão cada vez mais claros e
fáceis de entender.
Sua participação é muito importante.
Para facilitar nosso trabalho procure ler e pesquisar
sobre os temas que estudaremos, pois isso o ajudará
ainda mais em sua compreensão.
Bom, vamos lá!
Estamos muito felizes em ter você por perto.
11

Projeto instrucional
Disciplina: Operações com frações (carga horária: 30hs).
Ementa: Os números racionais costumam ser um dos
conteúdos que mais geram dificuldade para os alunos, na
hora de aprenderem, e dúvidas para os professores, na
hora de ensinarem, em todo o trabalho com Matemática,
seja no Ensino Fundamental ou no Ensino Médio. Por conta
disso, procuramos valorizar, neste caderno, as relações
entre frações e números decimais e também os diferentes
sentidos do uso das frações, motivos pelos quais a humanidade
se desenvolveu e fez uso desse conhecimento, peça
chave para o seu progresso. Infelizmente, no lugar disso,
muitas vezes, há a memorização e a repetição vazia de regras
e conceitos.
Este caderno propõe uma reflexão sobre o ensino dos
números racionais no Ensino, abordando aspectos como:
Abordagem histórica das frações e seu uso no cotidiano.
Olhando as frações sob vários aspectos: Sob a forma de
razão entre dois números (comparação); divisão entre dois
números inteiros (na forma decimal); as frações decimais e
sua representação (na forma de porcentagem).
Operações com frações (adição, subtração, multiplicação, o
inverso de uma fração, divisão, potênciação e radiciação).
AULA
Contando
um pouco
da história
das frações
As frações
e o nosso
cotidiano
Definindo
número
Racional
(fração)
OBJETIVOS DE
APRENDIZAGEM MATERIAIS CARGA
HORÁRIA
Entender que as
frações é produto
do conhecimento
do homem e que
sua criação veio
Imagens 2HS
de necessidades
práticas de seu
cotidiano.
Observar que as
frações têm um
papel importante
em nossa formação,
pois aparecem
em inúmeras
Imagens 2Hs
situações do
nosso dia a dia
trazendo-nos
significados.
Apresentar a
definição de
número racional,
bem como
Imagens 2Hs
apresentar seus
subconjuntos.
12

Os Racionais
na forma
decimal
Adição e
subtração
de frações
de mesmo
denominador
Explorar situações-problema
e o fato de que
a fração pode
indicar relação
de quociente
(divisão) entre
dois números.
Localizá-los na
reta numérica de
números racionais
e reconhecer
que estes podem
ser expressos
na forma fracionária
e decimal,
estabelecendo
relações entre
essas representações.
Nesta aula apresentaremos
as
operações de adição
e subtração
de frações com
mesmo denominador.
Imagens
Imagens
2Hs
2Hs
Adição e
subtração
de frações
com denominadores
diferentes
Multiplicação
de
frações
Definindo o
inverso de
um número
racional
Divisão de
números
racionais
Nesta aula estudaremos
adição
e subtração de
frações com
denominadores
diferentes.
Entender como
é feita a multiplicação
de duas
ou mais frações,
aplicando-se as
regras de sinais;
Aprender a
calcular a inversa
de um número
racional.
Nesta aula aprenderemos
a fazer a
divisão de frações,
usando o conceito
de fração inversa
estudado na aula
10.
Imagens
Imagens
Imagens
Imagens
4Hs
3HS
2Hs
2Hs
13

Potênciação
de
números
racionais
Reconhecer os
elementos de
uma potência
com frações
- Reconhecer
a potência de
número fracionário
como uma
multiplicação de
fatores iguais;
-Calcular a potência
com frações
de expoente zero
e um;
-Conhecer as
propriedades
que envolvem as
potências;
-Calcular a potência
em que o
expoente é um
número negativo.
Imagens
3Hs
Radiciação
de números
racionais
Apresentaremos
nesta aula
o método de
cálculo de raiz de
índice qualquer
de um número
fracionário.
Chamaremos sua
atenção para o
fato de que nem
sempre é possível
fazer este tipo de
calculo, principalmente
quando o
índice for par e
o radicando for
negativo.
Imagens
2Hs
14

Contando um Pouco da
História das Frações
Aula
1
Objetivos
Entender como algumas civilizações antigas criaram e
utilizavam o conceito de fração a partir das necessidades
práticas de seu cotidiano.
1.1 As frações no antigo Egito
Segundo Boyer (1999), não se pode afirmar nada sobre
a origem da matemática, seja aritmética, seja da geometria,
afinal, seu princípio é mais antigo do que a arte
de escrever. Acredita-se que muito da sua história tenha
se perdido ao longo de milênios, pelo fato do homem
só manifestar sua capacidade de expressar seus pensamentos
em forma de escrita nos últimos seis milênios. É
por esse motivo, que as informações pré-históricas são
interpretadas baseando-se nos poucos artefatos que
restaram nas evidências fornecidas pela antropologia e
pela extrapolação retroativa e conjectural da análise de
documentos que sobreviveram.
De acordo com Vitrac (2006, apud Constantino, 2006) as
notícias mais antigas do uso das frações vêm do Egito antigo.
Segundo esse autor, a origem das frações foi apresentada
pelo historiador Herótodo de Helicarnasso, no segundo
dos nove livros de sua enquête (século V A.C.).
A civilização egípcia desenvolveu-se às margens do Rio
Nilo, região onde as terras eram muito férteis e, por isso,
de grande importância para a vida de seus habitantes, por
volta do ano 3.000 A.C., sob o reinado do faraó Sesóstris. A
economia egípcia estava assentada principalmente no cultivo
de terras e para que tal modo de produção ocorresse
de uma forma eficaz, terras cultiváveis eram divididas entre
os habitantes. Anualmente, entre os meses de junho a setembro,
as águas do Nilo subiam muitos metros além de
seu leito normal e acabavam por inundar uma vasta região
circundante, trazendo a necessidade de remarcação do terreno
atingido pela enchente. É nesse contexto que surgem
as primeiras ideias sobre fração “de dividir o todo em partes”
(grifo nosso).
Observe o relato de Herótodo (século V A.C.): “Se o
rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó
mandava funcionários examinarem e determinarem
por medida a extensão exata da perda”. Tal remarcação
era realizada pelos agrimensores do Estado, conhecidos
como estiradores de cordas, uma vez que se utilizavam
destas, como unidade de medição. O processo de mensuração
das terras consistia em estirar cordas e verificar
o número de vezes que a unidade de medida estava contida
no terreno. No entanto, na maioria das vezes, a medição
dificilmente era finalizada por um número inteiro
de vezes em que as cordas eram estiradas. A resposta
15

encontrada para lidar com a dificuldade imposta por tal
situação consistiu na criação dos números fracionários.
Figura 2.
Fonte: Disponível em: .
Figura 1.
Fonte: Disponível em: .
Tais frações eram denominadas frações unitárias ou
egípcias. Todavia, duas frações podiam ser apontadas
como exceção a tal regra: 3/4 e 2/3, sendo que o último
era contemplado como fração geral, uma vez que era utilizada
como base para diversas operações matemáticas.
O símbolo utilizado para a sua representação era:
Segundo Ifrah (1989, p. 326) a organização desse
sistema numérico era baseada no conceito unitário, de
modo que a maioria das frações apresentava o seu numerador
constituído pelo numeral 1 (um) representado
por um sinal de forma oval e alongada: .
Se o denominador se tornasse muito grande, o sinal
de forma oval “ ” era colocado sobre o início do
“denominador”:
16

A fração unitária ½ também tinha uma representação
especial:
Muitas das frações que não apresentavam o numeral
1 no numerador eram consideradas o resultado da soma
entre as várias frações egípcias (unitárias), por exemplo:
7/12 = 1/3 + 1/4
Torna-se pertinente ressaltar que sinais de adição e
subtração não eram empregados em tais operações matemáticas,
dado a sua inexistência.
1.2 As frações estudadas por outros
povos
Os documentos históricos apontam para a existência
de grande variação na representação do sistema fracionário,
segundo a sociedade e a época histórica.
No sul da Mesopotâmia, como aponta Boyer (1999),
por exemplo, as frações foram importantes nos textos de
economia relacionados ao direito dos herdeiros. Em documentos
que mostram a prática dos legisladores aparecem
uma grande variedade de exemplos da utilização de
frações, principalmente na distribuição de patrimônios,
onde praticavam a regra de divisão, que contornava as
dificuldades aritméticas, respeitando sempre os costumes
jurídicos em vigor.
Os Babilônios e os Sumérios, povos que habitaram a
região da Mesopotâmia, faziam uso de frações cujo denominador
era 60 (sessenta). Ifrah (1989) comenta que
os babilônios, com a numeração de base 60, foram os
primeiros a atribuirem às frações uma notação racional,
exprimindo-as mais ou menos como se expressam graus,
minutos e segundos.
Por exemplo, a expressão (33; 45) podia expressar 33h
45min ou 33min 45s. Essa notação era “flutuante” e só o
contexto podia precisar. Os babilônios representavam as
frações identicamente conforme símbolos abaixo:
Depois dos babilônios vieram os gregos, mas a numeração
alfabética não se prestava à simbolização de
frações, os mesmos representavam frações da seguinte
maneira:
Onde o numerador inteiro seria representado com a
barra em cima e o denominador pela apóstrofe.
17

Para os gregos, o uso das frações aparece em documentos
tais como: declaração de propriedade, cálculo e
registro de câmbio de moedas, taxas, realização de arquitetura,
etc.
Na civilização Romana, as frações aparecem nos cálculos
com moedas e na metrologia. Cada fração tinha
um nome especial, e mantinha geralmente o denominador
12 como uma constante provavelmente porque sua
moeda de cobre, que pesava uma libra, era dividida em
12 unciae.
Segundo Straffin (1998), na China Antiga, 100 anos antes
de Cristo, documentos tais como “Nove capítulos sobre
os procedimentos matemáticos”, que são considerados um
clássico entre os chineses, mostram que uma das únicas diferenças
entre esses povos é que os chineses evitavam usar
5
frações impróprias como , em vez disso eles usavam a forma
1 3
mista, ou seja, 2 .
3
Straffin (1998), também comenta que os chineses chamavam
o numerador de uma fração de (zi, filhos) e o denominador
como (mu, a mãe). Além disso, os documentos apontam
para o fato de que os chineses sabiam fazer operações
com as frações (adição, subtração, multiplicação e divisão)
com certa habilidade.
Observe, por exemplo, a explicação da adição de fração
que os chineses utilizavam:
Cada numerador é multiplicado pelos denominadores
das outras frações. Some-os como o dividendo, multiplique
os denominadores como o divisor. Divida; se
existir um resto, tome-o como numerador e tome o
divisor como denominador. Straffin (1998, pg 171)
Ainda segundo Ifrah (1989), a notação moderna de
fração deve-se aos hindus que, devido à numeração
posicional decimal, expressavam frações mais ou menos
como nós. Por exemplo, 34/1265 era representado
como:
34
1265
Essa notação foi adotada e aperfeiçoada pelos árabes,
que inventaram a famosa barra horizontal.
Resumo
Nesta primeira aula tivemos a oportunidade de observar
que as frações aparecem por meio da necessidade
do homem em medir e representar medidas. Observamos
também que essas civilizações criaram e utilizaram
o conceito de fração de acordo com suas necessidades.
18

Atividades de aprendizagem
1) Pesquise em outras fontes e dê outros exemplos de
frações escrita pelos egípcios.
2) Pesquise em outras fontes a representação de fração
apontada no texto.
19

As frações e o nosso
cotidiano (2h)
Aula
2
Objetivos
Observar que as frações têm um papel importante
em nossa formação, pois aparecem em inúmeras situações
do nosso dia a dia, trazendo-nos significados.
2.1 Situações onde encontramos
as frações
Trabalhamos com fração quando dividimos, por
exemplo, uma barra de chocolate com nossos irmãos.
Quando comemos uma pizza
Figura 4.
Fonte: Disponível em: .
Ou pedimos uma pizza meio mussarela e meio calabresa
Figura 3.
Fonte: Disponível em: .
Neste caso cada pedacinho vale
3
1
Figura 5.
Fonte: Disponível em: .
20

Dividindo um bolo com nossos amigos
Quando trabalhamos com moedas estamos mexendo
com frações, por exemplo:
Figura 6.
Fonte: Disponível em: .
Numa receita de bolo
1
2
1
de farinha/ 3 de açúcar/1 copo de leite/
2
2
ovos/fermento em pó.
Figura 8.
Fonte:Disponível em: .
Com duas moedas de 0,50 centavos consigo formar
um real, com 10 moedas de 0,10 centavos consigo formar
1real.
Figura 9.
Fonte: Disponível em: .
Figura 7.
Fonte: Disponível em: .
Encontramos frações em Reportagem:
21

No Brasil, 1/3 dos internautas usa web móvel
São Paulo - No Brasil, 36,7% dos usuários de internet utilizam
equipamentos móveis para acessar a web quando estão
em casa. No trabalho, são 24,7% e, em trânsito, 38,6%.
Os números são de uma pesquisa realizada pela Cisco, que
considera como internet móvel todo acesso realizado por laptops,
celulares, smartphones e outros equipamentos similares.
O estudo mostra também uma tendência de abandono de
linhas de telefone fixas em favor das móveis. Entre os brasileiros,
67 milhões de pessoas abandonaram suas linhas fixas, o
que representa 35% da população.
O país só perde para a Itália, com 39% da população deixando
as linhas fixas e ficando apenas com os móveis, e para a
África do Sul, com 48%.
Com relação à transmissão de dados, 827 mil brasileiros
utilizam apenas equipamentos móveis. A tendência aponta
que este número chegue a 78 milhões até 2014. A Itália é campeã,
com quase quatro milhões de pessoas acessando dados
apenas por equipamentos móveis.
Hoje, 90 mil TB trafegam na chamada “internet móvel”. Os
vídeos são os maiores “consumidores”, com quase 36 mil TB.
Outros 30 mil TB são consumidos para acesso a sites, blogs e
outras aplicações de dados.
O peer-to-peer vem em terceiro, com 15 mil TB. Games online
e aplicações de voz sobre IP têm cerca de 4,5 mil TB cada.
Até 2014, espera-se que trafeguem 3,5 milhões de TB na internet
móvel.
(Jordana Viotto, De INFO Online Sexta-feira, 12 de fevereiro
de 2010 - 12h26)
Para verificar quanto um carro tem de combustível
dentro de um tanque
Figura 10.
Fonte: Disponível em: .
Ou quando precisamos arrumar a bicicleta:
Figura 11: Chave de boca 1.1/16.1.1/4.
Fonte: Disponível em: .
22

Resumo
Você percebeu que as frações estão presentes em muitas
situações do dia a dia? Porque as frações são “partes”, e
nós lidamos com essas relações o tempo todo.
Portanto nessa aula apresentamos alguns exemplos
em que as frações frequentemente aparecem em nosso
cotidiano. Observe que boa parte deles está presente
em quase tudo que fazemos.
Portanto entender o conceito de fração é fundamental
não somente em aulas de matemática mas também ao relacionarmo-nos
com as informações presentes no mundo.
Atividade de aprendizagem
1) Um trabalhador entra no serviço às 6h 45min e sai
1
às16h 15 min. Sabendo-se que ele tem 1 almoço, a jornada
de trabalho diária desse trabalhador é de:
2
a) 9h e 30 min
b) 9h
c) 8h e 30min
d) 8h
e) 7h e 30min
2) Veja a receita do bolo de chocolate de Helena.
Quinta parte de 1 litro de leite
260 gramas de farinha de trigo
1 de 1 quilograma de manteiga
4
Oitava parte de 1 quilograma de chocolate
1 de 1 quilograma de açúcar
4
Então, a quantidade de leite necessária para fazer
da receita de bolo, iguais a essa, é de:
a)200 ml
b) 300 ml
c) 350 ml
d) 400 ml
e) 500 ml
1
2
2
3) Um trabalhador entra no serviço às 6h 45min e sai
1
às16h 15 min. Sabendo-se que ele tem 1 almoço, a jornada
de trabalho diária desse trabalhador é de:
2
a) 9h e 30 min
b) 9h
c) 8 h e 30min
d) 8h
e) 7h e 30min
23

4) A fração que representa 5 minutos em relação a
uma hora é:
5) O tanque de gasolina do carro estava vazio. Foram
colocados 45 litros de combustível. O marcador desse
carro passou a marcar
4
3 .
O número de litros que faltam para completar o tanque
desse carro é:
a) 30L b) 25L c) 20L d) 15L e) 10L
6) A fração do inteiro que corresponde à parte em
branco da figura é:
7) Em uma pesquisa eleitoral, em que foram entrevistados
2000 eleitores, o resultado obtido foi o seguinte:
Quadro 1
Vote consciente
Nome
Número
Antônio Falante 635
João Bom de bico 450
Luiza Honesta 415
Indecisos ?
Fonte: Acervo do autor.
Os indecisos em relação ao total de entrevistados são
representados pela fração
a) 5
1
b) 6
1
c) 6
7
d) 8
1
e) 8
7
24

Definição de número
Racional (fração) (2h)
Aula
3
Objetivo
Apresentar a definição de número racional, bem
como apresentar seus subconjuntos.
3.1 Definindo um número Racional
As frações são números que pertencem ao conjunto
dos números racionais, que é representado pela letra
maiúscula Q. A palavra fração vem do latim fractione e
que quer dizer “dividir, quebrar, rasgar”, também quer
dizer “porção”, “parte de um todo”.
Um número racional é um número que pode ser escrito
na forma, isto é, “a”, chamado de numerador, pode
b
a
assumir valores inteiros: negativos, positivos ou nulos e
“b”, chamado de denominador, assume valores inteiros
positivos, negativos e diferentes de zero.
a
Frequentemente usamos para indicar uma divisão
b
de a por b. Quando essa divisão não é inteira, ou seja,
não tem como resposta um número inteiro, simplesmente
usamos a letra q para entender que esse número
3
5
é um número racional. Por exemplo = q.
Como podemos observar, números racionais
podem ser obtidos através da razão (em latim:
ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros,
motivo pelo qual, o conjunto de todos os números
racionais é denotado por Q. Assim é comum encontrarmos
na literatura a notação:
⎧ a
∗ ⎫
Q = ⎨x / x = , a ∈ Z e b ∈ Z ⎬
⎩ b
⎭
3.2 Subconjuntos dos Racionais
Os números que compõem o conjunto dos números
Naturais,
NI = { 0,1,2,3,4,.... } e os números que compõem
o conjunto dos números inteiros Z = {. . ., − 3, −2,
−1,0,
+ 1, + 2, + 3,. . .}
podem ser colocados na forma de fração, como, por
4 0 2563 4
exemplo: 4 = , 0 = , 2563 = , − 2 = e assim por diante.
1 1 1 − 2
Diante disso, podemos afirmar que o conjunto dos números
naturais e o conjunto dos números inteiros são subconjuntos
dos racionais Q, conforme mostra o diagrama:
IN ⊂ Z ⊂ Q
ou
Figura 12.
Fonte: Disponível em: .
Alem de IN e Z, existem outros subconjuntos de Q:
∗
Q É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.
Q
+ É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.
25

Q
− É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.
∗
+
Q É o conjunto dos números racionais positivos,
excluindo-se o zero.
∗
Q
− É o conjunto dos números racionais negativos,
excluindo-se o zero.
Resumo
Nesta aula apresentamos a definição de número racional
(mais conhecido por nós por fração), explorando
situações-problema que indicam relação parte/todo.
a
Definimos b , em que “a” e “b” são números inteiros,
sendo b diferente de zero. Falamos também que o número
racional tem seus subconjuntos que são: IN, Z, Q ,
∗
Q
+ , Q ∗ ∗
− Q
+ e Q
− .,,,
2) Observe a situação:
Para um jantar, foram estimados 5,5 litros de refrigerante.
Se a embalagem escolhida medir 250 ml cada
uma, o número mínimo de unidades dessa embalagem,
para se obter a quantidade necessária de refrigerante, é:
a) Um número decimal exato
b) Q
−
c) 25
d) Uma dízima periódica
∗
e) Q +
Atividades de aprendizagem
1) Em um exame de vista, o médico solicitou que o
paciente identificasse 3
2 de bolinhas pretas em relação
ao total de bolinhas. Qual a figura identificada pelo paciente?
a) ● ● ○ ○ ○ ○
b) ● ● ● ○ ○ ○
c) ● ● ● ● ○ ○
d) ● ● ● ● ● ○
26

Diferentemente do que acontece no conjunto dos números
naturais e inteiros, entre dois números racionais
quaisquer há infinitos outros números racionais.
Resumo
Nesta aula vimos a fração como divisão entre dois números,
discutimos também a importância dos números
decimais em nosso cotidiano, bem como sua representação
na reta numérica.
Atividade de aprendizagem
Na figura abaixo estão representados os números
0,X,1,Y.
⎯ 0 X Y 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
A posição do produto X.Y é:
a) À esquerda do zero
b) Entre 0 e X
c) Entre X e Y
d) Entre y e 1
e) À direita de 1
2) Vamos ajudar Luana?
Figura 14.
Fonte: Disponível em: .
Na reta numérica abaixo, estão representados os números
reais 0, x, y e 1.
a) Analise as afirmações abaixo a respeito desses números,
feitas por três alunos diferentes:
1 1
b) Paula disse: >
x y
c) Fernando disse: x ⋅ y < x
y
d) Jussara disse: < 1
x
28

Pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s):
a) As afirmações de Paula e de Fernando.
b) As afirmações de Paula e de Jussara.
c) As afirmações de Fernando e de Jussara.
d) Apenas a afirmação de Paula.
e) Apenas a afirmação de Jussara.
3) Obtenha o algarismo 1997ª na casa decimal de
cada uma das seguintes frações
1
a) 2
b) 27
1
n
4) Quantas frações do tipo são menores do que
7 n +1
, sabendo-se que n é um número inteiro positivo?
9
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5) Sabendo-se que 0,333...= 3
1 , qual é a fração irredutível
equivalente a 0,1333...?
29

Olhando um racional sob a
forma de razão (2h)
Aula
5
Objetivo
Nesta aula daremos outro significado para as frações:
A fração como índice comparativo entre duas quantidades
de uma grandeza. Veremos que esse significado é
importante em nossa vida diária.
5.1 A fração como índice comparativo
entre duas quantidades de uma
grandeza
De acordo com essa ideia, uma fração é o quociente
(resultado) da comparação (divisão) de uma grandeza
(numerador) por outra (denominador). Assim, a fração
2 seria o resultado da comparação de duas grandezas
5
que estão na razão de 2 para 5, ou seja, de cada 7 unidades,
2 são de um tipo e 5 são de outro tipo. Por exemplo,
das 21 bolas abaixo, 6 são de um tipo e 15 de outro, ou
seja, de cada 7 bolas, 2 são de um tipo e 5 de outro.
Repare que, neste caso, não estamos comparando
uma parte com o todo, mas sim considerando cada tipo
de bola como uma grandeza diferente e determinando a
razão entre as duas. Assim, podemos dizer que as bolas
estão na razão de 2 (de um tipo) para 5 (de outro tipo),
ou seja, a razão entre elas pode ser representada pela
fração 5
2 .
Outros exemplos podem ser explorados como a possibilidade
de sortear uma bola verde de uma caixa em
que há 2 bolas verdes e 8 bolas de outras cores (2 em
10); o trabalho com escalas em mapas (a escala é de 1cm
para 100m); a exploração da porcentagem (40 em cada
100 alunos da escola gostam de futebol).
5.2 Algumas razões especiais
Você já deve ter ouvido falar ou lido em algum lugar
os termos velocidade média, densidade demográfica e
escala. Na verdade, elas são razões especiais que utilizamos
com frequência no dia a dia. Vamos então ver o
significado de cada uma.
5.2.1 Velocidade média
A velocidade média de um móvel é a razão entre o
espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo.
distância
Velocidade =
Exemplo: tempo
30

A velocidade média de um carro que percorre 300 km
em 5 horas é dada pela razão:
Neste caso as unidades são diferentes.
5.2.2 Densidade demográfica
A densidade demográfica é a razão entre o número
de habitantes de uma região e a área dessa região.
Exemplo:
A cidade de Votorantim (SP) tem uma área aproximada
de 177km² e, segundo os dados de 2003 do IBGE, a população
tem aproximadamente 110.000 habitantes. Portanto, a
densidade demográfica de Votorantim é dada:
Resumo
Nesta aula aprendemos a dar um novo significado
para as frações, tal como índice de comparação entre
duas quantidades de uma grandeza. Aprendemos também
que as razões estão presentes em nosso dia a dia,
tais como no cálculo da velocidade média de um carro,
na densidade demográfica de uma região e na escala de
um desenho.
Atividade de aprendizagem
5.2.3 Escala
A escala é a razão entre a medida do comprimento no
desenho e a medida do comprimento real.
Figura 15.
Fonte: Disponível em: .
1) Marque a afirmativa CORRETA referente à figura
apresentada.
31

a) A fração 30/42 representa o número de pessoas
em pé, se o transporte coletivo estiver lotado.
b) O número máximo de pessoas sentadas representa
42/30 da capacidade das pessoas do transporte
coletivo.
c) A fração irredutível 42/72 representa o número
de pessoas sentadas, se o transporte coletivo estiver
lotado.
d) O número máximo de pessoas em pé representa
5/12 da capacidade total de pessoas do transporte
coletivo.
2) O gráfico abaixo informa a quantidade de calorias
gastas por uma pessoa, no período de 1 hora, quando faz
determinadas atividades:
Gráfico 1
Analisando os dados apresentados no gráfico, pergunta-se:
a) Qual é a razão entre as quantidades de calorias
gastas ao ficar sentado e ao jogar basquetebol?
b) Qual é a razão entre as quantidades de calorias
gastas ao cavalgar e ao correr?
c) As razões obtidas nos itens a) e b) formam uma
proporção?
d) Qual é a razão entre as quantidades de calorias
gastas ao ficar sentado e ao nadar?
e) Qual é a razão entre as quantidades de calorias
gastas ao nadar e ao correr?
3) Analise o quadro abaixo e, a seguir, responda às
questões:
Quadro 2
Fonte: Disponível em: .
Fonte: Acervo do autor.
32

a) Calcule a renda per capita de cada um desses países.
b) Comparando-se a renda per capita dos países do
item anterior, qual dos países é o mais rico?
c) O fato de a renda per capita de um país ser alta
significa que todos os seus habitantes vivam bem?
4) Determine a razão da primeira para a segunda
grandeza:
a) 52cm e 104cm
b) 26hm e 130hm
c) 500g e 2kg
d) 16km e 6.400cm
5) Num exame, havia 180 candidatos. Tendo sido
aprovados 60, a razão entre o número de reprovados e o
de aprovados é de:
a) 1/3 b) 2 c) 1/3 d) 3
6) Numa sala com 50 alunos, 15 são mulheres.
Determine:
a) A razão do número de homens para o número de
mulheres.
b) A razão do número de mulheres para o total de
alunos.
c) De cada 10 alunos, quantos são homens?
d) De cada 20 alunos, quantas são mulheres?
7) Dois quadrados têm respectivamente 3cm e 6cm
de lado. Qual é a razão entre as superfícies (área) do primeiro
e do segundo quadrado?
8) Numa classe de 40 alunos, 8 foram reprovados. Determine
a razão entre as reprovações e as aprovações.
9) Dois segmentos medem 8 cm e 160 cm, respectivamente.
A razão entre o primeiro e o segundo é:
10) Em que razão estão os volumes de dois cubos
cujas arestas medem, respectivamente, 2 cm e 6 cm ?
11) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem
de papelão possui 200g de peso líquido e 250g de
peso bruto. Qual a razão do peso líquido para o peso
bruto?
12) Um retângulo A tem 10 cm e 15 cm de dimensões,
enquanto as dimensões de um retângulo B são 10 cm e
20 cm. Qual é a razão entre a área do retângulo A e a
área do retângulo B?
13) Numa prova de matemática, um aluno acertou
12 das 20 questões dadas. Qual é a razão do número de
33

questões que ele acertou para o número de questões da
prova?
14) O volume de um cubo é igual ao cubo da medida
da aresta. Qual é a razão entre os volumes de dois cubos
cujas arestas medem 4 cm e 8 cm respectivamente ?
15) Uma equipe de futebol apresenta o seguinte retrospecto
durante o ano de 1997: 30 vitórias, 18 empates
e 12 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias
para o número de partidas disputadas?
2
16) Uma escola tem 800m de área construída e
2
1000m de área livre. A razão da área construída para a
área livre é:
34

As frações e as porcentagens (2h)
Aula
6
Objetivo
Nesta aula temos como objetivo estudar as frações
decimais, que têm significado muito importante para
que você comece a estudar as porcentagens.
6.1 Estudando porcentagem a partir
de frações decimais
A expressão por cento é familiar. Você a vê, praticamente
em todos os dias nos jornais e na televisão. A
expressão por cento quer dizer “por um cento ou cem”.
Assim quando você lê ou escuta uma afirmação como
“grande liquidação de verão com 40 por cento de desconto
em todos os artigos”, significa que você tem um
desconto de 40 reais para cada 100 reais do preço do
artigo.
Isso nos leva então a estabelecer a razão 40/100
Assim: 40% é o mesmo que 40/100.
Qual é o significado do símbolo %?
O símbolo %, usado nas manchetes desse jornal, significa
por cento. Acompanhando um número indica a
centésima parte desse número.
Assim:
Observe algumas representações:
1/2 = 50%, pois se 100% representam a totalidade,
50% representam a metade.
1/4 = 25%, pois 1/4 significa a quarta parte do todo e
isso corresponde a 25/100.
É comum encontrar representações em porcentagem
em gráficos, como mostra a imagem abaixo.
Fonte: Acervo do autor.
Gráfico 2
35

O uso da porcentagem em gráficos facilita o entendimento.
Veja o exemplo abaixo:
Em uma partida de basquete, Hortência acertou 80% dos
60 arremessos que efetuou. Quantos arremessos ela acertou?
Primeiramente vamos transformar 80% em uma fração
decimal, logo:
, ou seja, temos a informação de
que a cada 5 arremessos, Hortência acerta 4.
Logo, Hortência acertou 48 arremessos.
6.2 Transformando uma fração em
taxa de porcentagem
Algumas frações são fáceis de serem transformadas
em frações decimais e depois em taxa de porcentagem.
Observe:
Já para outras frações do tipo 1/15 e 2/13 é difícil
obter um denominador 100 para achar a porcentagem.
Então, para transformar uma fração em taxa de porcentagem,
basta proceder da seguinte maneira:
-Divida o numerador pelo denominador e obterá um
número decimal;
-Desse número decimal multiplique por 100 e terá a
representação em porcentagem.
Veja alguns exemplos:
36

Resumo
Nesta aula aprendemos que uma fração pode ser representada
na forma de porcentagem.
Atividade de aprendizagem
1) Represente as frações abaixo na forma de porcentagem
usando as frações decimais.
2) Represente as frações abaixo na forma de porcentagem
dividindo o numerador pelo denominador, multiplicando
por 100 o resultado obtido.
3) 70% dos alunos da classe de Laura sabem nadar.
Quantos alunos sabem nadar se Laura tem 40 alunos?
4) De um total de 30 alunos, 20% foram reprovados.
Quantos alunos foram reprovados?
5) O preço de um aparelho de som é R$500,00. Durante
uma liquidação, a loja anunciou um desconto de 20%.
Nessas condições:
I) Qual é a quantia que corresponde ao desconto?
II) Qual é o preço do aparelho com o desconto?
7) A terra tem aproximadamente, um volume de
1.360.000.000 Km³ de água, que se distribui entre os oceanos,
mares, geleiras, regiões subterrâneas (Os aquíferos),
lagos, rios e atmosfera. Somente a água encontrada nesses
três últimos itens oferece um acesso fácil ao consumo humano.
Com estes dados, complete a tabela a seguir:
Tabela 1
Dimensão do Planeta Terra
Volume
Especificações de água
Km³
Percentual
Forma
decimal do
percentual
Água salgada 97%
Água doce 40.000.000
Gelo 1,8%
Água subterrânea 0,00960
Lagos e rios 250.000
Vapor de Água 0,00001
Fonte: Disponível em:
8) Se na fração y
x
diminuirmos o numerador x de 40
% e o denominador y de 60%, então a fração y
x
:
a) Diminui 20% b) aumenta 20% c) diminui 50% d) aumenta
50%.
37

Adição e subtração de fração de
mesmo denominador (2h)
Aula
7
Objetivo
Nesta aula apresentaremos as operações de adição e
subtração de frações com mesmo denominador.
7.1 Como fazer adicionar ou subtrair
fração de mesmo denominador?
Observe as seguintes situações:
Situação 1: Márcio, Danilo e Suzana foram a uma pizzaria
e pediram uma pizza de calabresa. Depois de pronta,
a Pizza foi dividida em oito pedaços. Márcio comeu 8
2
, Danilo comeu
8 3 e Suzana comeu
8 1 . Indique a fração da
pizza que foi comida pelos três.
Figura 16.
Fonte: Disponível em: .
A adição de frações requer que todas as frações envolvidas
possuam o mesmo denominador. Se inicialmente
todas as frações já possuírem um denominador comum,
basta que realizemos a soma de todos os numeradores e
mantenhamos este denominador comum.
Resolvendo o problema acima temos:
2 3 1
+ +
8 8 8
Observe que cada fração que está sendo adicionada
possui o mesmo denominador que é “8”. Assim, fazemos
as operações necessárias apontadas no numerador (neste
caso é somente adição), mantendo o mesmo denominador
8. Veja:
2 + 3 + 1
=
8
6
8
6 ÷ 2
⇒ simplificando a fraçãotemos : =
8 ÷ 2
Portanto, os três comeram 8
6
ou
4
3
da pizza.
Situação 2- Quanto sobrou da Pizza, se ninguém mais
vai comê-la?
Temos os seguintes dados:
A pizza inteira, que é representada por 8
8
;
A pizza que os três amigos comeram, que é represen
tada por 8 6 .
3
4
38

Para saber quanto sobrou da pizza, basta fazer a subtração:
8 8 - 8
6
Observe que nesta subtração tem-se o mesmo denominador,
logo, basta manter esses denominadores e
subtrair os numeradores. Veja:
Portanto, sobrou da pizza.
Mantenha o denominador e adicione ou subtraia o
numerador. Isso só é valido quando as frações têm o
mesmo denominador.
Acompanhe outros exemplos:
Nas operações de adição e subtração, nem sempre
obtemos como resultado uma fração positiva ( Q
+
),
isto acontece ao termos que fazer essas operações do
mesmo modo que fazíamos para adicionar ou subtrair
no conjunto dos números inteiros. Lembre-se que o conjunto
dos números inteiros é subconjunto dos racionais
( Z ⊂ Q ), como já mencionamos em aulas passadas.
Veja:
Exemplo1:
4 6 Subtrai
sin 4 − 6
− = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
e conserva o al do maior
→ = −
7 7
7
Exemplo2:
2
7
39

Resumo
Aprendemos nesta aula a adicionar e subtrair frações
com mesmo denominador, neste caso, mantém-se o denominador
e opera-se com os numeradores. Aprendemos
também que, na adição e na subtração de números
racionais, devemos obedecer às regras de sinais estudadas
no conjunto dos números inteiros.
Atividade de aprendizagem
1) No primeiro dia de trabalho, Arnaldo pintou 8
1
de
um muro e, no segundo dia, pintou 8
3
do mesmo muro.
Mostre se Arnaldo está falando a verdade.
3) A biblioteca de uma escola comprou 140 novos livros,
ficando com Quantos livros havia na biblioteca
antes da compra?
a) 1750 b) 2500 c) 2780 d) 2140 e) 1140
4) As frações de Laura. Laura desenhou 5 círculos
dentro dos quais ela quer colocar números. Ela coloca os
círculos a fim de formar uma fração e seu valor inteiro.
Ο + Ο + Ο
Ο
= Ο
5) De quantas maneiras Laura colocou os números
2,3,5,6 e 11 dentro dos círculos para que a igualdade
seja verdadeira?
Figura 17.
Fonte: Disponível em: .
2) João encheu o tanque do seu carro. Gastou 2/5 da
gasolina para trabalhar e 1/5 para passear no final de semana.
Quanto sobrou de gasolina no tanque?
40

Adição e subtração de frações de
denominadores diferentes (4h)
Aula
8
Objetivo
Nesta aula estudaremos a adição e a subtração de frações
com denominadores diferentes.
8.1 Adição e subtração de frações
com denominadores diferentes:
Usando Mínimo Múltiplo Comum
(MMC)
Agora vamos ver exemplos de adição e subtração de
frações onde os denominadores são diferentes:
8
9
−
1
3
−
2
7
Como as frações não possuem o mesmo denominador,
primeiramente devemos encontrar o MMC (9, 3, 7)
para utilizá-lo como denominador comum:
Neste caso encontramos o nosso denominador comum,
que é 63.
Agora vamos fazer com que as frações dadas tenham
esse denominador 63:
, neste caso como encontramos os numeradores?
Para cada uma delas dividiremos 63 pelos seus antigos
denominadores (9,3,7) e em seguida multiplicaremos
o resultado pelo seu numerador. Observe o esquema
abaixo:
Observe outro exemplo:
1º passo: Temos que encontrar um denominador comum
por meio do mmm (2, 4,10).
41

Vamos lá!
Veja o exemplo 1
8 1 2
− −
9 3 7
2º passo: Dividimos 20 pelo número de baixo e o resultado
deve ser multiplicado pelo número de cima. Veja
no esquema abaixo:
Vamos pegar os denominadores e multiplicá-los:
9 × 3×
7 = 189 . Logo, os denominadores serão 189. Depois
é só fazer como fazíamos antes:
Divida pelo de baixo e o resultado você multiplica
pelo de cima, veja:
8 1 2
− −
9 3 7
Adicionando e subtraindo frações com denominadores
diferentes usando um método alternativo
Caso você não se lembre como se calcula o MMC, estamos
trazendo uma alternativa para deixar as frações
com o mesmo denominador.
Vamos usar os mesmos exemplos abordados no item
anterior para que você possa fazer uma comparação e
avaliar se vale ou não a pena usar este método.
Agora compare com o resultado feito com o MMC no
item anterior.
Vamos resolver outro exemplo:
Multipliquemos 2 x 4 x 10 = 80, logo, o nosso denominador
será 80.
42

Compare esse resultado com o do item anterior.
Duas coisas são importantes quando trabalhamos
com esse método:
1º - Trabalhamos com números maiores do que no
MMC;
2º - Simplificamos mais vezes do que no MMC.
Esperamos que essa nova abordagem de trabalhar
com adição e subtração de frações, com denominadores
diferentes, possa ajudá-lo em seus estudos e na sua
compreensão do assunto.
Resumo
Nesta aula aprendemos a adicionar e subtrair frações
com denominadores diferentes. Para deixar as frações
com o mesmo denominador, usamos dois métodos: O
método do MMC e outro método alternativo para quem
não se lembra do MMC.
Atividade de aprendizagem
1) Para fazer um trabalho escolar, Gustavo usou 2 de
3
uma folha de cartolina, e sua irmã usou 1 da mesma folha.
Que fração dessa folha os dois usaram
4
juntos?
2 ) Uma pessoa gasta 4 1 do seu salário com o aluguel
da casa onde mora e 5
2 com atividades de lazer. Que fração
do seu salário essa pessoa gasta em aluguel e lazer?
3) Da renda de uma partida de futebol, 1/10 corresponde
às despesas gerais, 2 1 cabe ao clube vencedor, e o
restante cabe ao clube perdedor. Que fração da renda
cabe ao clube perdedor?
4) Convide um colega para resolver as frações cruzadas!
Copie o quadro abaixo em uma folha à parte. Para
completá-lo é só encontrar os números (?) que faltam.
43

1
4
+ ? =
QUADRO 3
1
2
+ + +
? +
2
4
=
5
4
= = =
1 + ? = ?
Fonte: Do próprio autor
5) Quatro amigos, João, Pedro, Ana e Maria saíram
juntos para fazer um passeio por um mesmo caminho.
Até agora, João andou 4
6 do caminho, Pedro andou 9/12,
Ana andou 8
3 e Maria andou
6 4 . Os amigos que se encontram
no mesmo ponto do caminho são:
a) João e Pedro
b) João e Maria
c) Ana e Maria
d) Pedro e Ana
6) Em uma caixa, os lápis estão assim distribuídos: ½ correspondem
aos lápis vermelhos, 1/5 são lápis azuis e ¼ são
pretos. Que fração corresponde ao total de lápis na caixa?
7) Um professor de Matemática apresentou o seguinte
problema ao Cascão e a Magali:
Roberto comprou quatro barras de chocolate e dividiu-a
igualmente aos seus cinco amigos. Qual a fração da
barra que cada um receberá?”
Observe na tirinha a resposta do Cascão e da Magali:
Figura 18.
Fonte: Revista Turma da Mônica - Ed.7368. Pg.7. Mai/2000 - Maurício de
Souza Produções.
a) A Magali acertou, pois dividiu as quatro barras
em 4 partes iguais e dividiu o que sobrou aos 5
amigos. O Cascão também acertou, pois dividiu as
barras em 5 partes iguais, representando
5 4 .
b) A Magali errou, respondendo com uma adição
de frações cuja soma não corresponde à resposta
correta. O Cascão acertou, pois dividiu as barras
em 5 partes iguais, representando
5 4 .
c) A Magali errou, respondendo com uma adição de
44

frações cuja soma não corresponde à resposta correta.
O aluno Cascão errou, pois dividiu as barras em
5 partes iguais, logo, sua resposta deveria ser 4
5 .
d) A Magali acertou, respondendo com uma adição
de frações cuja soma corresponde à resposta correta.
O Cascão errou, pois dividiu as barras em 5
partes iguais, logo, a resposta deveria ser 4
5 .
e) A Magali acertou, pois dividiu as quatro barras em
4 partes iguais e dividiu o que sobrou aos 5 amigos.
O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5
partes iguais, logo, sua resposta deveria ser 4.
8) Qual o valor de y na expressão 5
y = 3 ÷ 3 ?
9) Considere as frações . Encontre a diferença
entre a maior e a menor fração.
10) Num certo país, é necessário que 5
3 do senado
votem a favor para que aprove uma lei. Se 56% do senado
estão a favor de certo projeto, que fração ainda falta
para aprová-lo?
11) Na sequência
y e z são...
1 5 3 7
, , ,
2 8 4 8
5
3
, x, y,z,....os valores de x,
12) Certa quantia foi repartida para três pessoas. A
8
primeira recebeu 2 da quantia, mais R$ 5,00. A segunda
1 3
5 e mais R$ 12,00. Tendo a terceira recebido o restante
no valor de R$15,00, quanto recebeu cada pessoa?
13) Numa fruteira existem pêssegos, laranjas e 14
bananas. Se
5 2 das frutas são pêssegos e
4 1 são laranjas,
quantas são as frutas da fruteira?
14) Gastei
5 2 do que tinha em vestuário, com 3
1 do resto
comprei um tênis. Se ainda me sobraram R$ 48,00,
quantos eu tinha inicialmente?
15) Para ladrilhar 3
2 de um pátio empregam-se 5.456
ladrilhos. Para ladrilhar
8 5 do mesmo pátio, quantos ladrilhos
seriam necessários?
16) Carolina tinha R$175,00. Gastou
7 1 de
5 1 dessa importância.
Quanto sobrou?
17) Que número é necessário somar a um e três quartos
para se obter cinco e quatro sétimos?
18) A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do
outro. Quais ao eles?
19) Se acrescentarmos 2 unidades ao numerador
45

da fração 7
5 , então essa fração não sofrerá alteração se
acrescentarmos ao denominador da mesma o número:
a) 2 b) 9,8 c) 3 d)10,8 e) 2,8
20) De um copo cheio de vinho, bebeu-se a metade,
após o que se adicionou igual quantidade de água. Desta
mistura novamente bebeu-se um terço, sendo adicionada
água até encher. Finalmente, bebeu-se mais um
sexto, que foi em seguida substituído por água, ficando
o copo cheio. Quanto vinho e quanto de água existem
agora no copo?
3
21) Um corredor depois de ter percorrido de uma 7
estrada, faz mais 5 quilômetros e assim corre 2 do
3
percurso que deve fazer. Quanto percorreu o corredor
e qual o total do percurso, em quilômetros?
22) Qual é o menor número inteiro positivo N tal que
N , N , N e N sejam todos números inteiros?
N ,
3 4
5
6
7
a) 420 b) 350 c) 210 d) 300 e) 280
46

Multiplicação de um número
racional (3h)
Aula
9
Objetivo
Entender como é feita a multiplicação de duas ou
mais frações, aplicando-se as regras de sinais.
9.1 Multiplicando frações
Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto
de frações, talvez seja a mais simples das operações
aritméticas que as envolvem. Diferentemente da
adição e da subtração, a multiplicação não requer que
tenhamos um denominador comum. Para realizarmos o
produto de frações, basta que multipliquemos os seus
numeradores entre si, fazendo-se o mesmo em relação
aos seus denominadores.
Vejamos o exemplo abaixo:
2
3
⋅
5
7
⋅
4
5
Independentemente de os denominadores serem todos
iguais ou não, iremos realizar a multiplicação conforme
mostrado abaixo:
Observe outros exemplos:
Resumo
Nesta aula aprendemos a multiplicar duas ou mais
frações e relembramos as regras de sinais que regem
essa operação.
Atividade de aprendizagem
1) Uma horta comunitária será criada em uma área
2
de 5100m . Para cultivo de hortaliças, serão destinados
2 desta área. Quantos metros quadrados serão utilizados
nesse
3
cultivo?
2) Um vendedor possuía 4.850 parafusos, e vendeu
3/5 deles. Ele quer colocar o restante, igualmente em 10
caixas. Quanto deve colocar em cada caixa?
47

3) Por qual fração devo multiplicar o número 30 para
obter o resultado 24?
a)
5 4 b) 4
3 c)
6 1 d) 5
3 e) 6
5
4) A figura mostra um bolo dividido em partes iguais.
Dois terços de uma dessas partes correspondem a:
6) Uma torneira enche o tanque em 2 horas, uma segunda
torneira o enche em 3 horas. Se abertas no mesmo
instante, em quanto tempo encherão juntas o tanque?
7) Encontre a fração equivalente a 8
3 cuja soma dos
termos é 77.
8) Gastei
7 2 do que tinha e ainda fiquei com R$ 135,00.
Quanto eu tinha?
9) Encontre o número cujos 5
7 equivalem a 42.
b) 4
3 do bolo
b) 6
1 do bolo
c) 1/10 do bolo
d) 1/12 do bolo
e) mais que 1/12 do bolo
5) Quanto vale 3
2 de R$ 60,00?
10) Três operários fazem um trabalho em 4 dias; o primeiro
e o segundo sendo capaz de fazê-lo sozinhos em
9 dias e 12 dias respectivamente. Pergunta-se o número
de dias que o terceiro operário levará, sozinho, para executar
o trabalho.
11) Dois novelos de lã de cores diferentes têm juntos
170 metros. Num trabalho feminino gastou-se 1/15 de
um dos novelos e 1/13 do outro, num total de 12 metros.
Pergunta-se: Quantos metros de lã tem cada novelo?
12) Um fazendeiro comprou gado no valor de R$
90.000,00, pagando por
3 1 deles R$900,00 por cabeça,
4
1
por R$800,00 e o resto por R$ 600,00. Quantas cabeças
de gado comprou o fazendeiro?
48

13) Um fazendeiro repartiu seu rebanho de 240 cabeças
de boi entre seus três filhos da seguinte forma: O primeiro
recebeu
3 2 do segundo e o terceiro tanto quanto o
primeiro mais o segundo. Qual o número de cabeças de
boi que o primeiro recebeu?
14) Uma torneira enche um reservatório em duas horas
e outra em 3 horas. Determine em quanto tempo as
duas encherão esse reservatório?
20) Luciano fez uma viagem de 1200Km, sendo 7/11
de aeroplano,
5 2 do resto de trem,
8 3 do novo resto de
automóvel, e os demais quilômetros a cavalo. Calcular
quantos metros percorreu a cavalo?
21) A terça parte de um número adicionado a seus 5
3
é igual a 28. Calcule a metade desse número?
15) Um reservatório é alimentado por duas torneiras.
A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda em
12 horas. Que fração do reservatório encherá em uma
hora as duas juntas?
16) Marieta tinha R$ 240,00, gastou um quinto dessa
quantia, e, depois, a terça parte do resto. Com quanto
ficou?
17) Das laranjas de uma caixa foram retirados 4 , depois
3 9
do resto, e ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas?
5
18) Se dos 2 3
de um número subtraímos seus 3 , ficaremos
com 45. Qual é o número?
7
19) Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4 de um terreno.
Quanto pagaria por 4 desse terreno? 7
5
49

Definindo o inverso de um número
racional (2h)
Aula
10
Objetivo
Aprender a calcular a inversa de um número racional.
10.1 Calculando a inversa de uma
fração
Duas frações são denominadas inversas quando seu
produto for igual a 1. Na prática, uma fração é o inverso
da outra quando seus termos são invertidos.
Assim 2 é o inverso de 3 , pois: × = = 1
3 2
1
3
2
3
3
3
1
O inverso de 3 é , pois 3 × = = 1
3
O inverso de
Resumo
Nesta aula aprendemos a calcular o inverso de um número
racional. Este conceito vai ser importante para entender
a próxima aula, que será sobre divisão de frações.
3
2
6
6
Atividade de aprendizagem
1) Que números devem-se somar aos dois termos de
uma fração para obter-se o inverso dessa mesma fração?
x
y
2) Se = 2, então
x − y
x
3) Qual a razão inversa de:
a) 4
3
b) 2:3
c) 4:1
é igual a quanto?
4) Pedro fez uma prova que continha 10 questões de
Português e 20 de Matemática.
a) Qual a razão entre as questões de Português e
Matemática?
b) Qual a razão entre as questões de Matemática e
Português?
c) Mostre se as frações dos itens a e b são inversas.
5) Usando somente as duas operações “+1= somar
1” e “ − i = menos o inverso”, podemos formar várias se-
50

quenciais a partir de um número inicial. Por exemplo, iniciando
com o número 3, podemos formar a sequência:
Iniciando com 0, com qual sequência obteremos novamente
o 0, usando apenas essas duas operações “+1”
e “ − i ”.
51

Divisão de frações (2h)
Aula
11
Objetivo
Nesta aula vamos aprender a fazer a divisão de frações,
usando o conceito de fração inversa estudada anteriormente.
11.1 Aprendendo a dividir frações
Para dividir duas frações, multiplicamos a primeira
fração pelo inverso da segunda.
Vejamos como realizar a divisão abaixo:
3 7 ÷
5 4
Mantendo a primeira fração e multiplicando-a pelo
inverso da segunda:
3 4 ⋅
5 7
Realizando-se a multiplicação teremos:
Vamos ver outros exemplos:
Resumo
Aprendemos a dividir duas frações mantendo a primeira
e multiplicando-a pelo inverso da segunda. Relembramos
também as regras de sinais que valem tanto na
multiplicação quanto na divisão de frações.
Atividade de aprendizagem
1) Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 3
2
litro
poderão ser cheias?
2) Carlos faz um cinto com 5
3
de um metro de couro.
Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro?
3) Qual é número cujos 5 4 equivalem a 108?
4) Distribuíram-se 3 2 1 quilogramas de bombons entre
vários meninos. Cada um recebeu 4
1 de quilograma.
Quantos eram os meninos?
52

5) Dentre várias aplicações das frações contínuas na
Matemática, destacamos a possibilidade de usá-las para
fazer aproximações de números irracionais utilizando
racionais. Dentre as alternativas abaixo, assinale aquela
que representa a melhor aproximação do número 2
por meio de frações contínuas:
1
1
a)
1
1+ b)
2
1
1+
1
e) 1+
1
1+
2
1
2 − c)
2
1+
1
2 +
2 +
1
2
1+
1
d) 2 +
1
3 +
4
9) A razão (1 - 2/3) : (2 - 1/6) equivale a:
a) 2/11 b) 2/13 c) 10/13 d) 10/11
1 1
10) Se n/24 é um número entre e , o que é n?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
6 4
11) Se A representa o número , então qual
das expressões a seguir representa o maior número:
3
a) 3+A b) 3-A c) 3.A d) A
A
e) 3
6) Considere a fração b
a com b ≠ 0. Neste caso, qual seria
o valor de
1
a ?
b
6400000
400
7) Qual o valor de ∆ em que = 1, 6× ∆ ?
8) Um atleta salta uma distância de 8,10 m, enquanto
uma atleta salta 6,60 m. Qual a razão entre os saltos?
53

Potênciação de números racionais
(3h)
Aula
12
Objetivos
Reconhecer os elementos de uma potência com frações.
Reconhecer a potência de número fracionário como
uma multiplicação de fatores iguais.
Calcular potências com frações de expoente zero e um.
Conhecer as propriedades que envolvem as potências.
Calcular a potência em que o expoente é um número
negativo.
12.1 Calculando potência de frações
com expoente natural
b
Para elevar uma fração a uma potência de expoente
positivo, elevamos a esse expoente o numerador e o denominador.
Observe:
∗
Seja a ∈ Z e b ∈ Z (inteiros sem o zero) e n ∈ Z . Então,
temos que
n n
⎛ a ⎞ a
a
⎜ ⎟ = , onde o número fracionário ⎝ b ⎠ b
b
é chamado de base, e n é chamado de expoente.
Neste caso, entendendo a potência como multiplicação
de fatores iguais, o expoente n indica quantas vezes
a se repete. Observe os exemplos e entenda o que estamos
falando:
Exemplo 1
(multiplicando os numeradores e os denominadores)
ou podemos simplificar essa operação apenas por
Lembremos que:
Todo número elevado a 1 é o próprio número:
Todo número elevado a zero é 1:
2 3 2 × 2 × 2 8
=
A fração = não é uma potência de fração.
7 7 7
Note que apenas o numerador 2 está elevado a 3.
54

Assim como:
tante da multiplicação dos expoentes anteriores. Assim,
não é uma potência de fração.
Note que apenas o denominador está elevado a 5.
12.2 Propriedades
Multiplicação de potência de mesma base - para
multiplicar duas potências que tenham a mesma base,
elevamos a base ao expoente resultante da adição dos
expoentes anteriores. Assim,
12.3 Potências de expoente Inteiro
negativo
Observe a divisão de potências de mesma base do seguinte
exemplo:
Divisão de potências de mesma base - para dividir
duas potências que tenham a mesma base, elevamos a
base ao expoente resultante da diferença dos expoentes
anteriores. Ou seja,
Na divisão de potências da mesma base, sabemos que:
5 4
4 6 4−6
2
= 5 ÷ 5 = 5 = 5
−
6
5
Assim definimos que:
−2
1
5 =
2
é o mesmo que 5 .
Potência de outra potência - para elevar uma potência
a outro expoente, elevamos a base ao expoente resul-
−n
1
*( a = com a ≠ 0e
n ∈ IN
n
a
)
55

Logo, teremos exemplos do tipo:
1
7
1
3
−3
7 =
3
−6
3 =
6
=
=
1
343
1
729
Dessa maneira vamos, daqui para frente, usar essa
regra.
Há situações em que a fração tem o expoente negativo,
neste caso, como proceder?
Vejamos a situação:
Observe que, usando a definição anterior para resolver
a situação
−
⎜ ⎟ , torna-se trabalhoso, neste caso,
5
⎛ 2 ⎞
⎝ 3 ⎠
vamos usar uma regra que facilita nossos cálculos. Para
isso, basta inverter a fração dada e mudar o sinal do expoente.
Veja:
, obtemos o mesmo resultado
de uma maneira mais rápida.
Resumo
Nesta aula aprendemos a calcular a potência de frações
com expoentes positivos e negativos. Para frações
com expoentes positivos, basta repetir a base (multiplicando-as)
o tanto de vezes que aparece no expoente.
Para frações com expoentes negativos, invertemos
a fração e trocamos o sinal negativo do expoente. Para
frações com expoente elevado a zero, temos 1 como resultado,
e frações com expoente 1, temos a própria base
como resposta. Aprendemos também a lidar com as propriedades
que envolvem as potências.
56

Atividade de aprendizagem
Utilizando as propriedades da potenciação, encontre
a solução da expressão, que é colocada pelo quadrinho
abaixo, e assinale a opção que corresponda ao resultado.
Figura 20.
Fonte: Revista Turma da Mönica. Ed.6716. 1999. Pg.17. Maurício de Souza
Produções.
Figura 19.
Fonte: Disponível em: .
a) 1 b) 2 c) 3 d) 8
Responda:
a) De acordo com a sequência proposta pela Mônica,
encontre as quatro próximas frações.
b) Que raciocínio você utilizou para encontrar o próximo
termo da fração?
2) Observe a tirinha da Mônica e ajude o Cebolinha a
responder a questão.
57

Radiciação com frações (2h)
Aula
13
Objetivo
Apresentaremos nesta aula o método de cálculo de
raiz de índice qualquer de um número fracionário. Chamaremos
sua atenção para o fato de que nem sempre é
possível fazer este tipo de calculo principalmente quando
o índice for par e o radicando for negativo.
13.1 Calculando a raiz de índice
qualquer de números fracionários
positivos
a a
Seja n
b , onde n é o índice e é o radicando
* b
dessa raiz com a ∈ Z e b ∈ Z (inteiros sem o zero).
Para extrairmos uma raiz de uma fração, extraímos a
raiz do seu numerador e denominador, ou seja,
n
a a
n =
n
b b
Vejamos alguns exemplos:
13.2 Calculando raiz de índice qualquer
de números fracionários negativos
Devemos tomar cuidado com situações em que o radicando
seja negativo. Observe os seguintes casos:
(1º) caso: Raiz de índice ímpar e radicando negativo
2º) Caso: Raiz de índice par e radicando negativo
Observe o exemplo:
Neste caso, não é possível encontrar uma fração
que resolva essa raiz. Como poderíamos encontrar
uma fração negativa, se temos que elevá-la a um expoente
par?
58

Observe:
Compare e observe que os resultados são diferentes.
Neste caso não existe solução neste conjunto, pois temos
raiz de índice par com radicando negativo.
Portanto:
- Se o índice for par e o radicando for negativo, não
será possível encontrar a solução.
- Se o índice for ímpar e o radicando for negativo, será
possível encontrar a solução.
A fração não é uma radiciação de fração, note
que apenas o numerador tem uma raiz. Assim como
não é uma radiciação de fração, note que
apenas o denominador tem uma raiz.
Resumo
Nesta aula apresentamos a radiciação de números
fracionários. Nela abordamos que devemos tomar cuidado
quando temos, no radicando de uma raiz, uma
fração negativa. Se tivermos radicando negativo e índice
ímpar, será possível encontrar como resposta outro racional,
por outro lado se o índice for par e o radicando
for negativo não teremos como solução um racional ou,
melhor dizendo, não existirá solução neste conjunto.
Atividade de aprendizagem
1) Determine a solução das seguintes expressões:
2) Explique as frases:
a) A radiciação no conjunto dos racionais é sempre
possível.
b) A radiciação de índice ímpar é sempre possível.
c) Na radiciação de números racionais com índice
ímpar tem-se sempre como resultado um racional.
3) O valor de é:
a) -3,3 b) -4,7 c) -4,9 d) -3,8 e) -7,5
59

Referências
BOYER, C. História da matemática. Tradução: Elza F. Gomide.
Edgar Blücher. São Paulo, 1999.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental – MEC. Parâmetros
Curriculares Nacionais – Matemática, vol. 3. Brasília:
MEC/SEF, 1997.
Sites
www.ceesvo.com.br
http://www.clinicadematematica.com.br
______. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Ciências da natureza,
matemática e suas tecnologias. PNC+. Brasília: MEC, 2002.
______. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Orientações Curriculares
Nacionais. Matemática. Brasília: MEC, 2006.
COSTANTINO, R. O ensino de Geometria no ambiente Cinderela.
Dissertação de Mestrado, Maringá: UEM, 2006. Disponível
em:
. Acesso em: 12/09/11.
IFRAH, Georges, Os números, a história de uma grande invenção,
Rio de Janeiro, Globo,1989
Straffin, Philip D. “Liu Hui e a primeira idade dourada da matemática
chinesa,” Compartimento da matemática (Volume 71,
número 3, 1998): 163–181.
60

Currículo do professor conteudista
Emerson Batista Ferreira Mota
Formação Acadêmica
Licenciatura Plena em Matemática pela Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais – M.G., de 2000
a 2003. Especialização Latu Sensu em Matemática Superior
com ênfase em análise pela Universidade Estadual
de Montes Claros Unimontes – M.G., de 2005 a 2006.
Especialização Latu Sensu em Matemática nas Faculdades
Integradas de Jacarepaguá/ FIJ – R.J. Mestrado em
Educação Matemática.
Cursos extracurriculares
Participei de diversos cursos, palestras e congressos
nesta área. Estão todos descritos em meu currículo lattes
na página: http://lattes.cnpq.br/3996655336945564
como designado. Ministra as disciplinas Cálculo, Fundamentos
da Matemática, Cálculo Numérico, Prática de
Formação, História da Matemática, Bases para o ensino
da Matemática e Estágio Supervisionado nos cursos de
Matemática, Administração, Agronomia e Zootecnia,
desde 2007.
Professor Substituto da Universidade Federal de Minas
Gerais/ Instituto de Ciências Agrárias – UFMG/ICA
atuou nos cursos de Engenharia Florestal/Ambiental e
de Alimentos com as disciplinas: Geometria Analítica e
Álgebra Linear, Cálculo II e Equações Diferenciais, no período
de 2010 a 2012. Professor das Faculdades Integradas
Pitágoras – FIP/MOC atua nos cursos de Engenharia
Civil e Produção com as disciplinas: Cálculo II, Cálculo
Numérico, Álgebra Linear e Geometria analítica, desde
2008.
Experiência Profissional:
Professor da rede estadual e privada tendo atuado
com a disciplina de matemática no ensino fundamental
e médio de 2000 a 2010, conforme currículo lattes.
Professor da Universidade Estadual de Montes Claros,
lotado no Departamento de Ciências Exatas – CCET,
61

Currículo do professor Tutor
Alessandro Rosa Silva
Formação Acadêmica
-Licenciatura Plena em Matemática
Universidade Camilo Castelo Branco – SP-1995 a 1997
-Especialização em Comunicação e Tecnologia na
Educação
Universidade Federal do Paraná- PR (UFPR)- 2000
- Especialização em Matemática
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo- (PUC-
-SP)- 2001 a 2002
- Mestrado em Educação Matemática
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo- (PUC-
-SP)- 2002 a 2006
- Licenciando em Física
Instituto Federal de Educação Tecnológica - (IFE)-
2008 (Quinto semestre)
Experiência Profissional
- Professor efetivo pela Secretaria da educação do Estado
de São Paulo lecionou para ensino fundamental e
médio de 1995 a 2010.
- Professor efetivo pela Secretaria Municipal de Educação
de São Paulo lecionou para o ensino fundamental
de 2002 a 2006.
- Professor de Cálculo IV e Álgebra linear do Curso de
Engenharia civil e Matemática I no curso de Administração
da Faculdade Pitágoras (FIP- MOC de Montes claros).
- Professor do curso de Pós-graduação em Matemática
da faculdade Iseib.
- Professor do curso de Pós-graduação em Matemática
da faculdade Favag.
Cursos extracurriculares
Participei de diversos cursos, palestras e congressos
nesta área. Estão todos descritos em meu currículo lattes
na página: http://lattes.cnpq.br/1806951029654220
62