Lycée Thiers mpsi 123

CORRECTION DS 2 4
Exercice 4 - Somme maximale d’un sous-vecteur
1) D’évidence, si tous les termes de v sont positifs ou nuls, alors σ ⋆ (v) est donné par σ (v) .
2)
2.a) Pour tout couple ( i, j ) tel que 0 i j n − 1, on doit calculer la somme
j − i additions. Au total :
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∑n−1
∑n−1
∑n−1
n−1−i ∑
T (n) = j − i ⎜⎝ ⎟⎠ = ⎜⎝
k⎟⎠ = 1 ∑n−1
(n − 1 − i) (n − i) = 1 2
2
i=0
j=i
i=0
k=0
i=0
j∑
v. (k), ce qui représente
k=i
n∑
k (k − 1)
Comme k (k − 1) = 1 3
[(k + 1) k (k − 1) − k (k − 1) (k − 2)] , on obtient (sommation télescopique) :
Il est alors clair que T (n) = Θ ( n 3) .
2.b) Implémentation de la méthode 0 :
let mssp_0 v =
let n = vect_length v in
let left = ref 0 in
let right = ref 0 in
let smax = ref v.(0) in
for i = 0 to n - 1 do
for j = i to n - 1 do
let s = ref 0 in
for k = i to j do
s := !s + v.(k)
done;
if !s > !smax then (
left := i;
right := j;
smax := !s
)
done
done;
(!smax, !left, !right)
;;
T (n) = 1 (n + 1) n (n − 1)
6
3) Pour chaque i ∈ {0, · · · , n − 1} , l’algorithme ci-dessus calcule toutes les sommes v. (i) , v. (i) + v. (i + 1) , etc ...
v. (i) + · · · + v. (n − 1) . De nombreuses additions sont donc effectuées plusieurs. On peut donc améliorer les
choses ainsi :
let mssp_1 v =
let n = vect_length v in
let left = ref 0 in
let right = ref 0 in
let smax = ref v.(0) in
for i = 0 to n - 1 do
let s = ref 0 in
for j = i to n - 1 do
s := !s + v.(j);
if !s > !smax then (
left := i;
right := j;
smax := !s
)
done
done;
(!smax, !left, !right)
;;
k=1