Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Bài 34 (Thi học sinh giỏi lớp 12, Quảng Ngãi, năm học 2011–2012)
⎧⎪
y − x + 1+ 2 = x + 1 + 2 − x (1)
⎨
⎪⎩
Giải hệ phương trình ( I)
3 3 2 2 2
2x − y + x y = 2xy − 3x + 3 y (2)
Giải: Điều kiện để hệ (I) có nghĩa là x∈[ − 1;2]
( ) ( )
2 2
2 ⇔ 2x + y + 3 ( x − y) = 0
2
Thay y x
2
⇔ y = x (vì 2x y 2 3 0, x [ 1;2]
+ + > ∀ ∈ − )
= vào (1) ta được x 2 − x + 1+ 2 = x + 1 + 2 − x. ( 3)
2
Xét hàm số f ( x)
= x − x − x + 1 − 2 − x + 1+ 2 với x∈[ − ]
Chưa thể xét dấu của đạo hàm bậc nhất ( )
vì vậy ta cần tính đạo hàm bậc hai.
Ta có
( )
1;2 .
1 1
f ′ x = 2x
−1 − + ,
2 x+ 1 2 2−
x
1 1
f ′′( x) = 2 + + > 0 ∀x
∈( −1;2 ).
4( x + 1) x + 1 4 2 − x 2 − x
Do đó hàm số f ′( x)
đồng biến trên khoảng ( )
trình f ( x) 0
′ = có duy nhất một nghiệm
Vì
x
( x)
− 1
− 1;2 . Chứng tỏ phương
1
x = . Ta có bảng biến thiên:
2
f ′ − 0 +
f
( x)
f ( − 1)
f ( 2)
1
f ⎛
⎜
⎞
⎟
⎝ 2 ⎠
f ⎛ 1 3
⎜
⎞ ⎟ 2 6 0,
⎝ 2 ⎠
= 4
+ − < nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
f ( x ) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm, hơn nữa f ( ) f ( )
trình (3) có hai nghiệm x = 0; x = 1.
1
2
0 = 1 = 0 , do đó phương
2
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
32
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial