Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Không mất tính tổng quát, giả sử x { x y z}
x z f ( x) f ( z)
≥ ⇒ ≥ tức là 3x + 3y ≥ 3z + 3 x ⇔ y ≥ z.
Suy ra
( )
( ) ( )
f y ≥ f z ⇔ 3y + 3z ≥ 3z + 3 x ⇔ y ≥ x.
( ) ( ) 3 3 3 3 .
⇒ f y ≥ f x ⇔ y + z ≥ x + y ⇔ z ≥ x
Từ đó kết hợp với x max{ x, y,
z}
⎧⎪
x = y = z,
⎨ 2
ln ( x + x + 1)
= 4 x.
⎪⎩
2
Xét hàm số ( ) ( )
Ta có ( )
g x nghịch biến trên .
= max , , . Khi đó
= suy ra x = y = z.
Hệ trở thành
g x = ln x + x + 1 − 4x
trên .
2
2x + 1 −4x − 2x
− 3
2 2
g′ x = − 4 = < 0 ∀x
∈ . Suy ra hàm số
x + x + 1 x + x + 1
Vì g( 0)
= 0 nên phương trình ( )
duy nhất x = 0. Từ đó ta có hệ có nghiệm duy nhất x = y = z = 0.
Ta có
g x = 0 có nghiệm
Bài 36 (Thi học sinh giỏi lớp 12 Chuyên Vĩnh Phúc, 2012–2013)
⎧ 2 8
⎪
x + 3x + 2 = − 5y
−1
y
⎪
⎪
8
⎨ 3 2 5 1 , , .
⎪
z
⎪ 2 8
⎪z + 3z + 2 = − 5x
−1
⎩
x
2
Giải hệ phương trình y + y + = − z − ( x y z ∈
)
Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là:
Các hàm số ( )
2 8
1
x, y, z ≥ .
5
f t = t + 3 t + 2, g( u) = − 5u
−1,
liên tục trên
u
−8 5
f ′( t) = 2t + 3 > 0, g′
( u) = − < 0
2
u 2 5u
−1
∀ t >
1 .
5
⎡1 ⎞
⎢ ; +∞ ⎟.
⎣ 5 ⎠
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
34
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial