Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
1 1 1 1
1+ u 1+
v
1+ u 1+
v
( )
2 2
1. + 1. ≤ 1 + 1 . + . 4
2 2
2 2
Mặt khác, ta luôn có: 1 + 1 ≤
2
2 2
1+ u 1+ v 1+
uv
Thật vậy: ( )
2 2
[ ] ( )
∀u, v ∈ 0;1 . 5
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
5 ⇔ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ ≤ 0
⎝1+ u 1+ uv ⎠ ⎝1+ v 1+
uv ⎠
( )( ) ( )( )
( − )
( )( )
( − )
( )( )
2 2
uv − u uv − v
u v u v u v
⇔ + ≤ 0 ⇔ + ≤ 0
2 2 2 2
1+ u 1+ uv 1+ v 1+ uv 1+ u 1+ uv 1+ v 1+
uv
⇔
2
( v − u) ( uv −1)
2 2
( 1+ u )( 1+ v )( 1+
uv)
≤ 0
luôn đúng với mọi u, v ≥ 0; uv ≤ 1.
Từ (3), (4), (5) suy ra, với mọi u, v ≥ 0; uv ≤ 1 ta có:
3 ⇔ 2 = 1 + 1 ≤
2 .
1+ uv 1+ u 1+
v 1+
uv
( )
2 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u = v ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x = y.
1 1 9 ± 73
2 ⇔ x − 2x = ⇔ 2x − x + = 0 ⇔ x = y = .
9 81 36
Vậy ( )
2 2
So sánh với điều kiện, ta đi đến
Đáp số: So với điều kiện, nghiệm cần tìm của hệ là
9 ± 73
x = y = .
36
Nhận xét: Đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương và đánh giá bất đẳng thức.
Bài 27 (Thi học sinh giỏi Lâm Đồng 2014) Giải hệ phương trình
⎧ x + y = y + +
⎪
⎨
⎪
⎩
( )
3
8 2 5x 2 1
2 2
( 3x + 1+ 9 x ).( y + 1+ y ) = 1 ( 2)
Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là y + 5x + 2 ≥ 0.
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Do
2 2
1+ y > y = y ≥ y nên
2
1+ − > 0.
y
y
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
68
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial