CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LÊ HOÀNG TÙNG THPT PHÚ BÌNH

https://twitter.com/daykemquynhon 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

Lê Hoàng Tùng 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

http://daykemquynhon.blogspot.com 

THPT Phú Bình 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản 

1. Phương trình: sin x = m (1) 

* Nếu: m > 1 ⇒ Phương trình vô nghiệm 

* Nếu: 

m ⎡ π π ⎤ 

≤ 1 ⇒ ∃α ∈ ⎢− ; ⎥ sin α = 

⎣ 2 2 ⎦ 

: m 

⎡x 

= α + k2π 

⇒ (1) ⇔ sin x = sin α ⇔ ⎢ 

⎣x 

= π − α + k2π 

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 

( k ∈Z ). 

⎧ π π 

⎪− ≤ α ≤ 

Chú ý : * Nếu α thỏa mãn ⎨ 2 2 thì ta viết α = arcsin m . 

⎪ 

⎩sin 

α = m 

*Các trường hợp đặc biệt: 

π 

1. sin x = 1 ⇔ x = + k2π 

2 

π 

2 sin x = −1 ⇔ x = − + k2π 

2 

3. sin x = 0 ⇔ x = kπ 

2. Phương trình: cos x = m (2) 

* Nếu: m > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm 

* Nếu: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈[0; π] : cos α = m 

⇒ (2) ⇔ cos x = cosα ⇔ 

⎡x 

= α + k2π 

⎢ 

⎣x 

= −α + k2π 

( k ∈ Z ). 

⎧0 

≤ −α ≤ π 

Chú ý : * Nếu α thỏa mãn ⎨ thì ta viết α = arccos m . 

⎩cos 

α = m 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Skype : daykemquynhon@hotmail.com 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

* Các trường hợp đặc biệt: 

1 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial










1. cos x = 1 ⇔ x = k2π 

2. cos x = −1 ⇔ x = π + k2π 

π 

3. cos x = 0 ⇔ x = + kπ 

2 

3. Phương trình : tan x = m (3) 

⎛ π π ⎞ 

Với ∀m 

⇒ ∃α ∈⎜ 

− ; ⎟ : 

⎝ 2 2 ⎠ tan α = m 

⇒ (3) ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ . 

⎧ π π 

⎪− < α < 

Chú ý : * Nếu α thỏa mãn ⎨ 2 2 thì ta viết α = arctan m . 

⎪ 

⎩tan 

α = m 


π 

1. tan x = 1 ⇔ x = + kπ 

4 

π 

2. tan x = −1 

⇔ x = − + kπ 

4 

3. tan x = 0 ⇔ x = kπ 

4. Phương trình: cot x = m (4) 

π π 

Với ∀m 

⇒ ∃α ∈( − ; ) : cot α = m 

2 2 

⇒ (4) ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ . 

⎧ π π 

⎪− < α < 

Chú ý : * Nếu α thỏa mãn ⎨ 2 2 thì ta viết α = arc co t m . 

⎪ 

⎩cot 

α = m 



π 

1. cot x = 1 ⇔ x = + kπ 

4 

2 













π 

2. co t x = −1 

⇔ x = − + kπ 

4 




π 

3. cot x = 0 ⇔ x = + kπ 

2 

Ghi chú: 

⎡ u = v + k2π 

* sin u = sin v ⇔ ⎢ 

⎣u = π − v + k2π 

⎧ u = v + kπ 

⎪ 

* tan u = tan v ⇔ ⎨ π 

⎪u, 

v ≠ + nπ 

⎩ 2 

Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 

( k ∈Z ) * cosu = cos v ⇔ u = ± v + k2π ( k ∈Z 

) 

⎧ u = v + kπ 

( k, n∈Z ) * cotu 

= cot v ⇔ ⎨ 

⎩u, 

v ≠ nπ 

Là phương trình có dạng: asin x + bcos x = c (1) ; với a, b, 

c ∈ R và a 

Cách giải: Chia hai vế cho 

a 

b 

cos α = ;sin α = 

a + b a + b 

2 2 2 2 

a 

+ b và đặt 

2 2 

⇒ (1) ⇔ sin x.cos α + cos x.sin 

α = 

Chú ý: 

. 

a 

c 

+ b 

2 2 

2 2 2 

• (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm ⇔ a + b ≥ c . 

⇔ sin( x + α ) = 

⎡ 1 3 ⎤ π 

• sin x ± 3 cos x = 2 ⎢ sin x − cos x⎥ 

= 2sin( x − ) 

⎢⎣ 

2 2 ⎥⎦ 

3 

⎡ 3 1 ⎤ π 

• 3 sin x ± cos x = 2 ⎢ sin x ± cos x⎥ 

= 2 sin( x ± ) 

⎢⎣ 

2 2 ⎥⎦ 

6 

⎡ 1 1 ⎤ π 

• sin x ± cos x = 2 ⎢ sin x ± cos x⎥ 

= 2 sin( x ± ) . 

⎣ 2 2 ⎦ 

4 

Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác 

a 

c 

+ b 

2 2 

+ b ≠ 0 . 

2 2 

(2). 

( k, n∈Z 

) 





3 













⎡sin u( x) ⎤ ⎡sin u( x) 

⎤ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

cos u( x) cos u( x) 

⎢tan u( x) ⎥ ⎢tan u( x) 

⎥ 

⎢⎣ cot u( x) ⎥⎦ ⎢⎣ cot u( x) 

⎥⎦ 

Là phương trình có dạng : a ⎢ ⎥ + b ⎢ ⎥ + c = 0, ( a ≠ 0) 

⎡sin u( x) 

⎤ 

⎢ ⎥ 

cos u( x) 

Cách giải: Đặt t = ⎢ ⎥ ta có phương trình : 

⎢ tan u( x) 

⎥ 

⎢⎣ 

cot u( x) 

⎥⎦ 

2 

2 

at bt c 

Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x 

⎡sin u( x) 

⎤ 

Khi đặt t = ⎢ ⎥ , ta co điều kiện: t ∈ ⎡−1;1 

⎣cos u( x) 

⎣ ⎤⎦ 

⎦ 

Dạng 4. Phương trình đẳng cấp 

+ + = 0 

Là phương trình có dạng f (sin x,cos x ) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn 

hoặc cùng lẻ. 

Cách giải: Xét xem cos 0 

x = ( sin 0) 

hai vế phương trình cho cos 0 

cot x . 

ẩn là tan x ( ) 

x = có thõa mãn phương trình hay không. Sau đó chia 

k x ≠ ( sin 0) 

k x ≠ (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình 

Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx 

Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0 (3) 

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ 

2 

⎧t 

− 1 = 

⎛ π ⎞ ⎪ sin xcos 

x 

t = sin x + cos x = 2 sin⎜ 

x + ⎟ ⇒ ⎨ 2 

⎝ 4 ⎠ ⎪t 

∈ ⎡− 

2; 2 ⎤ 

⎩ ⎣ ⎦ 

Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t. 

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng 

a(sin x − cos x) + bsin xcos x + c = 0 (3’) 





4 













⎧t 

∈ ⎡− 

2; 2 ⎤ 

⎛ π ⎞ ⎪ ⎣ ⎦ 

Để giải phương trình này ta cũng đặt t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ ⇒ ⎨ 

2 

⎝ 4 ⎠ 1− 

t 

⎪ sin x cos x = 

⎩ 

2 

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t. 

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 

B. CÁC VÍ DỤ. 

2 

1. sin x − cos 2 x = 0 

2. cos x − sin 2 x = 0 

3. 

x − = 4. sin(2x 

+ 1) + cos(3x 

− 1) = 0 

0 

2 sin(2 35 ) 3 


1. cos x − 2 sin 2x 

= 0 

2. sin x sin 3x − cos x cos 3x 

= − 

2 

3 3 5 

2 2 

3. sin 2x = cos 2x + cos 3x 

4. sin 2 x.cos 3x = sin 5 x.cos 6x 

5. sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x 

2 2 2 2 

2 2 

6. sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x 

7. cos 3x cos 2x − cos x = 0 

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau: 

1. 3 sin x + 4 cos x = 0 

2. sin 2x 

+ 3 cos 2x 

= 1 

3. 2 sin 3x 

+ 5 cos 3x 

= 5 

4. 3 cos x + 3 sin x = 1 

5. sin 7x − cos 2x = 3(sin 2x − cos 7 x) 

6. sin 3x − 3 cos 3x = 2 sin 2x 

3 

7. sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin x) 


1. cos( sin x) cos(3 sin x) 

⎡ π ⎤ 

tan ⎢ sin + 1 = 1 

4 

⎥ 

⎣ ⎦ 

π = π 2. ( x ) 



3 − 1 sin x + 3 + 1 cos x = 2 2 sin 2x 

1. ( ) ( ) 




5 










2. 

x + x − x = x 

2 2 

3sin 5cos 2 cos 2 4sin 2 




2 ⎛ x π ⎞ 2 2 x 

x − = − x x 4. sin ⎜ − ⎟ tan x − cos = 0 

⎝ 2 4 ⎠ 

2 

2 

3. 5sin 2 3( 1 sin ) tan 


3 3 

1. sin x + cos x = sin x − cos x 

2. 

2 

3. sin x + 3 tan x = cos x( 4 sin x − cos x) 


3 

2 cos x sin 3 

2 2 

2 

1. sin x − 5sin xcos x − 6 cos x = 0 

2. sin x − 3sin x.cos x = − 1 

2 2 

3 3 

3. 3sin x + 5cos x − 2 cos 2x = 4sin 2x 

4. sin x + cos x = sin x − cos x 


1. cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0 

2. 

1 1 7π 

3. + = 4 sin( − x) 

sin x 3π 

4 

sin( x − ) 

2 


6 2 

3cos 4x − 8 cos x + 2 cos x + 3 = 0 

4. 2 sin x(1 + cos 2 x) + sin 2x = 1+ 

2 cos x 

1. 4( cos 3x cos 3 x + sin 3x sin 3 x) + 3 sin 6x = 1+ 3( cos 4 x − sin 

4 x) 

4 sin + cos + sin 4 3 −1− tan 2 tan = 3 

2. ( ) ( ) 

4 x 4 x x x x 

Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương : 

2 2 3 

sin 14 sin .cos 5cos 3. 33 

y = x − x x − x + 

3 

• Nếu cos x = 0 ⇒ y = 1+ 3. 33 > 0 

• Với cos x ≠ 0 ta có: y = 

Vì 

2 3 3 

∆ = 7 − (1 + 3. 33)(3. 33 − 5) < 0 

Lời giải: 

3 2 

(1+ 3 33)tan − 14 tan + 3 3 33 − 5 

x 

cos 

2 

x 


x 

= 

x 




6 













2 

Suy ra (1+ 3 3 33)tan x − 14 tan x + 3 3 33 − 5 > 0 ∀x∈ 

R . 

Suy ra điều phải chứng minh. 

Ví dụ 11. 

1. Cho tan α,tanβ là hai nghiệm của phương trình x 

thức sau 

2 2 

sin ( ) 5sin(2 2 ) 2.cos ( ) 

P = α + β − α + β − α + β 

2. Cho tan α,tanβ là hai nghiệm của phương trình 

biểu thức 

2 

− 6x 

− 2 = 0 . Tính giá trị của biểu 

+ + = 0 ( c ≠ 1 ). Tính giá trị của 

2 

x bx c 

2 2 

= .sin ( α + β ) + sin(2α + 2 β ) + .cos ( α + β ) theo , , 

P a b c 

Lời giải: 

1. Theo định lí Viét ta có: tan α + tanβ = 6, tan α.tanβ = − 2 

Suy ra 

Ta có: 

tan α + tanβ 

tan( α + β ) = = 2 . 

1− tan α.tanβ 

2 

(1 tan ( )) 

P + α + β = 

P 

2 

cos ( α + β) 

a b c 

= α + β − α + β − 

2 

tan ( ) 10 tan( ) 2 

2 

tan ( α + β) − 10 tan( α + β) − 2 4 − 20 − 2 18 

⇒ P = = = − 

1+ 

4 5 

2 

1+ tan ( α + β) 

2. Theo định lí Viét ta có: tan α + tan β = −b,tan α.tanβ = c 

Suy ra 

Ta có: 

tan α + tanβ −b 

tan( α + β ) = = 

1− tan α.tanβ 1− c 

. 

P + α + β = 

2 

(1 tan ( )) 

P 

2 

cos ( α + β) 

2 

= a tan ( α + β ) + 2b 

tan( α + β ) + 

2 2 

b 2b 

a. 

− + c 

2 2 

a tan ( α + β ) + 2b tan( α + β ) + c (1 − c) 

1− 

c 

⇒ P = = 

2 2 

1+ tan ( α + β) 

b 

1 + (1 ) 

2 

− c 

ab − 2 b (1 − c) + c(1 − c) 

= 

2 2 

(1 − c) 

+ b 

2 2 2 

. 

c 





7 













Bài 1. Giải phương trình 

A. 

C. 

C. CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN. 

⎛ π ⎞ 1 

sin ⎜ 2x 

+ ⎟ = − 

⎝ 3 ⎠ 2 

⎡ π 

⎢x 

= − + kπ 

4 

⎢ 

, k ∈Z B. 

⎢ 5π 

x = + kπ 

⎢⎣ 12 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

4 

⎢ , k ∈Z D. 

⎢ π 

x = + kπ 

⎢⎣ 12 

Bài 2. Giải phương trình cos( 3 15 ) 

A. 

C. 

0 0 

⎡ x = 25 + k.120 

⎢ 

⎢⎣ x = − 15 + k.120 

0 0 

⎡ x = 25 + k.120 

⎢ 

⎢⎣ x = 15 + k.120 

0 0 

0 0 

x + = 

0 3 

, k ∈Z B. 

. k ∈Z D. 

1 1 

Bài 3. Giải phương trình sin(4 x + ) = 

2 3 

A. 

C. 

⎡ 1 π 

⎢x 

= − + k 

8 2 

⎢ 

, k ∈Z B. 

⎢ π π 

x = + k 

⎢⎣ 4 2 

⎡ 1 1 1 π 

⎢x 

= − arcsin + k 

8 4 3 2 

⎢ 

, k ∈Z D. 

⎢ π 1 1 1 π 

x = − − arcsin + k 

⎢⎣ 4 8 4 3 2 

Bài 4. Giải phương trình sin(2x 

+ 1) = cos(2 − x) 

A. 

⎡ π 

⎢x 

= − 2 + k2π 

2 

⎢ 

, k ∈Z B. 

⎢ π 1 k2π 

x = + + 

⎢⎣ 6 3 3 

2 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

4 

⎢ , k ∈Z 

⎢ 5π 

x = + kπ 

⎢⎣ 12 

⎡ π π 

⎢x 

= − + k 

4 2 

⎢ 

, k ∈Z 

⎢ π π 

x = + k 

⎢⎣ 12 2 

0 0 

⎡ x = 5 + k.120 

⎢ 

⎢⎣ x = 15 + k.120 

0 0 

0 0 

⎡ x = 5 + k.120 

⎢ 

⎢⎣ x = − 15 + k.120 

0 0 

, k ∈Z 

, k ∈Z 

⎡ 1 1 1 π 

⎢x 

= − − arcsin + k 

8 4 3 2 

⎢ 

, k ∈Z 

⎢ π 1 1 1 π 

x = − − arcsin + k 

⎢⎣ 4 8 4 3 2 

⎡ 1 1 1 π 

⎢x 

= − − arcsin + k 

8 4 3 2 

⎢ 

, k ∈Z 

⎢ π 1 1 π 

x = − arcsin + k 

⎢⎣ 4 4 3 2 

⎡ π 

⎢x 

= − 3 + k2π 

2 

⎢ 

, k ∈Z 

⎢ π 1 k2π 

x = + + 

⎢⎣ 6 3 3 





8 













C. 

⎡ π 

⎢x 

= − 3 + k2π 

2 

⎢ 

, k ∈Z D. 

⎢ π 1 k2π 

x = − + 

⎢⎣ 6 3 3 

Bài 5. Giải phương trình 2 cos x − 2 = 0 

A. 

C. 

π 

x = ± + k2 π, ( k ∈Z ) 

B. 

6 

π 

x = ± + k2 π, ( k ∈Z ) 

D. 

3 


2x 2 cot = 3 

3 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

2 

⎢ 

, k ∈Z 

⎢ π 1 k2π 

x = + + 

⎢⎣ 6 3 3 

π 

x = ± + k2 π, ( k ∈Z 

) 

5 

π 

x = ± + k2 π, ( k ∈Z 

) 

4 

5 3 3 

3 5 3 

A. x = arc cot + kπ ( k ∈Z ) B. x = arc cot + kπ ( k ∈Z 

) 

2 2 2 

2 2 2 

3 3 3 

3 3 3 

C. x = arc cot + kπ ( k ∈Z ) D. x = arc cot + kπ ( k ∈Z 

) 

2 7 2 

2 2 2 

1 

Bài 7. Giải phương trình sin(4 x − π ) = 

3 2 

A. 

C. 

π 

x = + kπ, 

k ∈Z B. 

2 

π 

x = + kπ, 

k ∈Z 

3 

π 

x = + kπ, 

k ∈Z D. x = kπ, 

k ∈Z 

5 

Bài 8. Giải phương trình cot(4x − 20 ) = 

0 1 

0 0 

0 0 

A. x = 30 + k.45 , k ∈Z B. x = 20 + k.90 , k ∈Z 

0 0 

0 0 

C. x = 35 + k.90 , k ∈Z D. x = 20 + k.45 , k ∈Z 

Bài 9. Giải phương trình sin 2x 

− 2 cos 2x 

= 0 

A. 

C. 

1 kπ 

x = arctan 2 + , k ∈Z B. 

3 2 

1 kπ 

x = arctan 2 + , k ∈Z D. 

2 3 

3 

1 kπ 

x = arctan 2 + , k ∈Z 

3 3 

1 kπ 

x = arctan 2 + , k ∈Z 

2 2 





9 













Bài 10. Giải phương trình tan 2x 

= tan x 

1 

A. x = + kπ, 

k ∈Z B. 

2 

π 

x = k , k ∈Z C. 

2 

Bài 11. Giải phương trình 3 tan 2x − 3 = 0 

A. 

C. 

π 

x = + 2 kπ ( k ∈Z ) 

B. 

6 

π 

x = + kπ ( k ∈Z ) 

D. 

6 

2 

Bài 12. Giải phương trình cos x − sin 2 x = 0 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

⎢ 1 

x = arctan + kπ 

⎢⎣ 3 

π 

x = + kπ, 

k ∈Z D. x = kπ, 

k ∈Z 

3 

π 

x = + 2 kπ ( k ∈Z 

) 

3 

π 

x = + kπ ( k ∈Z 

) 

2 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

⎢ 1 


⎢⎣ 4 

A. 

2 

⎢ 

( k ∈Z ) 

B. 

2 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

⎢ 1 


⎢⎣ 5 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

⎢ 1 


⎢⎣ 2 

C. 

2 

⎢ 

( k ∈Z ) 

D. 

2 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

Bài 13. Giải phương trình sin(2x 

+ 1) + cos(3x 

− 1) = 0 

⎡ π 

⎢x 

= + 2 + k2π 

⎢ π 2π 

x = + k 

⎢⎣ 10 5 

⎡ π 

⎢x 

= + 2 + k2π 

⎢ π 2π 

x = − + k 

⎢⎣ 10 5 

A. 

2 

⎢ 

( k ∈Z ) 

B. 

2 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎡ π 

⎢x 

= + 3 + k2π 

⎢ π 2π 

x = − + k 

⎢⎣ 10 5 

⎡ π 

⎢x 

= + 6 + k2π 

⎢ π 2π 

x = + k 

⎢⎣ 10 5 

C. 

2 

⎢ 

( k ∈Z ) 

D. 

2 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

π π 

Bài 14. Giải phương trình sin(4 x − ) + sin(2 x − ) = 0 

4 3 

⎡ 7π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ π 

x = + kπ 

⎢⎣ 24 

⎡ 7π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ 11π 

x = + 2kπ 

⎢⎣ 24 

A. 

72 3 

⎢ 

( k ∈Z ) 

B. 

72 3 

⎢ 

( k ∈Z 

) 





10 













⎡ 7π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ 11π 

x = + kπ 

⎢⎣ 4 

⎡ 7π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ 11π 

x = + kπ 

⎢⎣ 24 

C. 

72 3 

⎢ 

( k ∈Z ) 

D. 

72 3 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

Bài 15. Giải phương trình cos7x + sin(2 x − π ) = 0 

5 

⎡ π k2π 

⎢x 

= + 

⎢ π kπ 

x = − + 

⎢⎣ 20 5 

⎡ 3π k2π 

⎢x 

= − + 

⎢ π kπ 

x = − + 

⎢⎣ 20 5 

A. 

50 5 

⎢ 

( k ∈Z ) 

B. 

50 5 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎡ π k2π 

⎢x 

= + 

⎢ π kπ 

x = + 

⎢⎣ 20 5 

⎡ 3π k2π 

⎢x 

= + 

⎢ π kπ 

x = − + 

⎢⎣ 20 5 

C. 

50 5 

⎢ 

( k ∈Z ) 

D. 

50 5 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

2 2 

Bài 16. Giải phương trình sin 2x = cos ( x − 

π ) 

4 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

⎢ π kπ 

x = + 

⎢⎣ 2 3 

⎡ π 

⎢x 

= + 2kπ 

⎢ π kπ 

x = + 

⎢⎣ 12 3 

A. 

4 

⎢ ( k ∈Z ) 

B. 

4 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎡ π 

⎢x 

= − + kπ 

⎢ π kπ 

x = + 

⎢⎣ 12 3 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

⎢ π kπ 

x = + 

⎢⎣ 12 3 

C. 

4 

⎢ 

( k ∈Z ) 

D. 

4 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

2 2 

Bài 17. Giải phương trình sin x + cos 4x 

= 1 

⎡ kπ 

⎢x 

= 

⎢ kπ 

x = 

⎢⎣ 15 

⎡ kπ 

⎢x 

= 

A. 

13 

⎢ ( k ∈Z ) B. 

23 

⎢ ( k ∈Z ) C. 

3 

⎢ ( k ∈Z ) D. 

33 

⎢ ( k ∈Z 

) 

⎢ kπ 

x = 

⎢⎣ 25 


+ 3sin 4x 

= 0 

⎡ kπ 

⎢x 

= 

2 

⎢ 1 ⎛ 1 ⎞ 

x = ± arccos⎜ 

− ⎟ + kπ 

⎢ 

⎣ 3 ⎝ 6 ⎠ 

⎡ kπ 

⎢x 

= 

⎢ kπ 

x = 

⎢⎣ 5 

⎡ kπ 

⎢x 

= 

2 

⎢ 5 ⎛ 1 ⎞ 


− ⎟ + kπ 

⎢ 

⎣ 2 ⎝ 6 ⎠ 

⎡ kπ 

⎢x 

= 

⎢ kπ 

x = 

⎢⎣ 35 

A. ⎢ 

( k ∈Z ) B. ⎢ 

( k ∈Z 

) 





11 













⎡ kπ 

⎢x 

= 

2 

⎢ 7 ⎛ 1 ⎞ 


− ⎟ + kπ 

⎢ 

⎣ 2 ⎝ 6 ⎠ 

⎡ kπ 

⎢x 

= 

2 

⎢ 1 ⎛ 1 ⎞ 


− ⎟ + kπ 

⎢ 

⎣ 2 ⎝ 6 ⎠ 

C. ⎢ 

( k ∈Z ) D. ⎢ 

( k ∈Z 

) 

Bài 19. Giải phương trình 6 sin 4x 

+ 5sin 8x 

= 0 

⎡ kπ 

⎢x 

= 

4 

⎢ 1 ⎛ 3 ⎞ kπ 

x = arccos⎜ 

− ⎟ + 

⎢ 

⎣ 4 ⎝ 5 ⎠ 2 

⎡ kπ 

⎢x 

= 

4 

⎢ 1 ⎛ 3 ⎞ kπ 


− ⎟ + 

⎢ 

⎣ 3 ⎝ 5 ⎠ 2 

A. ⎢ 

( k ∈Z ) B. ⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎡ kπ 

⎢x 

= 1+ 

4 

⎢ 1 ⎛ 3 ⎞ kπ 


− ⎟ + 

⎢ 

⎣ 4 ⎝ 5 ⎠ 2 

⎡ kπ 

⎢x 

= 

4 

⎢ 1 ⎛ 3 ⎞ kπ 


− ⎟ + 

⎢ 

⎣ 4 ⎝ 5 ⎠ 2 

C. ⎢ 

( k ∈Z ) D. ⎢ 

( k ∈Z 

) 


π 

4 

cos 2x 

0 

1− 

sin 2x = 

A. x = + kπ, 

( k ∈Z ) 

B. x = + kπ, 

( k ∈Z 

) 

3π 

4 

C. x = + 2 kπ, 

( k ∈Z ) 

D. x = + kπ, 

( k ∈Z 

) 

Bài 21. Giải phương trình cot 2 x.sin 3x = 0 

⎡ π π 

⎢x 

= + k 

⎢ 2kπ 

x = 

⎢⎣ 3 

A. 

4 2 

⎢ ( k ∈Z ) 

B. 

3 2 

⎢ ( k ∈Z 

) 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

⎢ kπ 

x = 

⎢⎣ 3 

3π 

14 

3π 

4 

⎡ π π 

⎢x 

= + k 

⎢ 2kπ 

x = 

⎢⎣ 3 

⎡ π π 

⎢x 

= + k 

⎢ kπ 

x = 

⎢⎣ 3 

C. 

4 

⎢ ( k ∈Z ) 

D. 

4 2 

⎢ ( k ∈Z 

) 

Bài 22. Giải phương trình tan 3x 

= tan 4x 

π 

2 

A. x = + mπ ( m∈Z ) B. x = 2 + mπ ( m∈Z ) C. x = 2mπ ( m∈Z ) D. x = mπ ( m∈Z 

) 


Bài 23. Giải phương trình cot 5 x.cot 8x = 1 




12 













π mπ 

26 13 

π mπ 

26 15 

A. x = + , m ≠ 13n + 5, ( m, 

n∈Z ) B. x = + , m ≠ 13n + 6, ( m, 

n∈Z 

) 

π mπ 

26 13 

π mπ 

26 13 

C. x = + , m ≠ 13n + 7, ( m, 

n∈Z ) D. x = + , m ≠ 13n + 6, ( m, 

n∈Z 

) 

Bài 24. Số nghiệm của phương trình 

2 

4 − sin 2 = 0 

A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 

Bài 25. Cho phương trình ( ) 

là đúng? 

x 

x 

1− x + 1+ x cos x = 0 kết luận nào sau đây về phương trình 

A. Có 1 nghiệm B. Có 2 nghiệm C. Có vô số nghiệm D. Vô nghiệm 

2 2 2 

Bài 26. Giải phương trình tan x + cot x = 1+ cos (3 x + 

π ) 

4 

π 

A. x = + 2kπ B. 

4 

π π 

x = + k C. 

4 2 

2π 

2π 

Bài 27. Giải phương trình cos( sin x − ) = 1 

3 3 

π 

2 

π π 

x = + k D. 

4 3 

π 2 π , 

2 3 

A. x = + kπ, 

( k ∈Z ) 

B. x = + k ( k ∈Z 

) 

π 

2 

C. x = + k2 π, 

( k ∈Z ) 

D. x = + k2 π, 

( k ∈Z 

) 

⎡π ⎤ 

cot ⎢ cos 1 = −1 

4 

⎥ 

⎣ 

⎦ 

Bài 28. Giải phương trình ( x − ) 

π 

2 

A. x = + 2 kπ, 

( k ∈Z ) 

B. x = + k ,( k ∈Z 

) 

π π 

2 3 

π 

3 

π π 

2 2 

C. x = + k ,( k ∈Z ) 

D. x = + kπ, 

( k ∈Z 

) 

Bài 29. Giải phương trình 3 sin 2x 

− cos 2x 

+ 1 = 0 

⎡ x = kπ 

A. ⎢ 

( k ∈Z ) 

B. ⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎢ 

π 

x = + kπ 

⎢⎣ 3 

π 

2 

⎡ x = kπ 

⎢ 

2π 

x = + 2kπ 

⎢⎣ 3 

π 

x = + kπ 

4 





13 













⎡ x = 2kπ 

⎢ 

2π 

x = + 2kπ 

⎢⎣ 3 

⎡ x = kπ 

⎢ 

2π 

x = + kπ 

⎢⎣ 3 

C. ⎢ 

( k ∈Z ) 

D. ⎢ 

( k ∈Z 

) 

Bài 30. Giải phương trình sin 3x − 3 cos 3x = 2 cos 5x 

⎡ 5π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ 5π 

x = − − kπ 

⎢⎣ 12 

⎡ 5π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ 5π 

x = − − 2kπ 

⎢⎣ 12 

A. 

48 5 

⎢ 

( k ∈Z ) 

B. 

48 4 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎡ 5π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ 5π 

π 

x = − − k 

⎢⎣ 12 2 

⎡ 5π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ 5π 

x = − − kπ 

⎢⎣ 12 

C. 

48 4 

⎢ 

( k ∈Z ) 

D. 

48 4 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

Bài 31. Cho phương trình sin x(sin x + 2 cos x) = 2 khẳng định nào sao đây là đúng? 

A. Có 1 nghiệm B. Vô nghiệm C. Có 4 nghiệm D. Có 2 họ nghiệm 

Bài 32. Giải phương trình 3(sin 2x + cos7 x) = sin7x − cos 2x 

⎡ π 2π 

⎢x 

= − + k 

⎢ 7π 

2π 

x = + k 

⎢⎣ 54 9 

⎡ π 3π 

⎢x 

= + k 

⎢ 7π 

π 

x = + k 

⎢⎣ 54 3 

A. 

10 5 

⎢ 

( k ∈Z ) 

B. 

10 5 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎡ π π 

⎢x 

= + k 

⎢ 7π 

π 

x = + k 

⎢⎣ 54 9 

⎡ π 2π 

⎢x 

= + k 

⎢ 7π 

2π 

x = + k 

⎢⎣ 54 9 

C. 

10 5 

⎢ 

( k ∈Z ) 

D. 

10 5 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

4 4 

Bài 33. Giải phương trình ( ) 

⎡ π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ π kπ 

x = − + 

⎢⎣ 12 7 

4 sin x + cos x + 3 sin 4x 

= 2 

⎡ π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ π kπ 

x = − + 

⎢⎣ 12 5 

A. 

4 7 

⎢ 

( k ∈Z ) 

B. 

4 5 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎡ π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ π kπ 

x = − + 

⎢⎣ 12 3 

⎡ π kπ 

⎢x 

= + 

⎢ π kπ 

x = − + 

⎢⎣ 12 2 

C. 

4 3 

⎢ 

( k ∈Z ) 

D. 

4 2 

⎢ 

( k ∈Z 

) 





14 













1+ cos x + cos 2x + cos 3x 

2 

Bài 34. Giải phương trình = 

2 

(3 − 3 sin x ) 

2cos x + cos x −1 

3 

π π 

2 6 

A. x = + kπ , x = − + kπ, 

( k ∈Z ) B. x = + k2 π , x = − + k2 π, 

( k ∈Z 

) 

π 

π 

2 6 

15 

π 

π 

2 6 

π 

π 

2 6 

C. x = + k3 π , x = − + k3 π, 

( k ∈Z ) D. x = − + k2 π , x = − + k2 π, 

( k ∈Z 

) 

cos x − 2 sin x.cos 

x 


2 

2cos x + sin x −1 

A. 

C. 

5π 

kπ 

x = + , k ∈Z B. 

18 3 

5π 

k4 π 

x = + , k ∈Z D. 

18 3 

Bài 36. Khẳng định nào đúng về phương trình ( ) 

3 

5π 

k2 π 

x = + , k ∈Z 

18 3 

5π 

k5 π 

x = + , k ∈Z 

18 3 

2 2 sin x + cos x cos x = 3 + cos 2x 

A. Có 1 họ nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Có 1 nghiệm duy nhất 

2 

Bài 37. Giải phương trình 3cos 4x − sin 2x + cos 2x 

− 2 = 0 

A. 

B. 

C. 

D. 

π 

= + 2 π ( ∈ ) 

2 

6 

x k k Z . 

7 

x k k Z hoặc = ± arccos + 2π ( ∈ ) 

π π 

= + ( ∈ ) 

2 2 

6 

x k k Z . 

7 


π 

= + π ( ∈ ) 

2 

6 

x arccos k k Z . 

7 

x k k Z hoặc = ± + π ( ∈ ) 

π 

= + π ( ∈ ) 

2 

6 

x k k Z . 

7 


1 

Bài 38. Giải phương trình 3cot x 1 0 

2 

sin x + + = 

π π 

4 2 

A. x = − + k ( k ∈Z ) hoặc x = arc cot( − 2) + k ( k ∈Z 

) 

π π 

4 3 

B. x = − + k ( k ∈Z ) hoặc x = arc cot( − 2) + k ( k ∈Z 

) 


π 

4 

C. x = − + kπ ( k ∈Z ) hoặc x = arc cot( − 2) + kπ ( k ∈Z 

) 

π 

2 

π 

3 
















π 

4 

D. x = + kπ ( k ∈Z ) hoặc x = arc cot(2) + kπ ( k ∈Z 

) 

Bài 39. Giải phương trình 3 tan x + cot x − 3 − 1 = 0 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

A. 

4 

⎢ ( k ∈Z ) 

B. 

4 

⎢ ( k ∈Z 

) 

⎢ π π 

x = + k 

⎢⎣ 6 2 

⎡ π 

⎢x 

= + k3π 

⎢ = π 

x 

⎢⎣ 

+ k3 

6 

π 

16 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

⎢ = π 

x 

⎢⎣ 

+ k2 

6 

π 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

⎢ π 

x = + kπ 

⎢⎣ 6 

C. 

4 

⎢ ( k ∈Z ) 

D. 

4 

⎢ ( k ∈Z 

) 

2 x 

Bài 40. Giải phương trình cos 2x 

− 3cos x = 4cos 2 

2π 

3 

2π 

2 

3 3 

A. x = ± + kπ ( k ∈Z ) 

B. x = ± + k π ( k ∈Z 

) 

2π 

3 

C. x = ± + k4π ( k ∈Z ) 

D. x = ± + k2π ( k ∈Z 

) 

Bài 41. Giải phương trình ( x)( x) 

A. 

C. 

1+ sin 1+ cos = 2 

2π 

3 

⎡ π 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

2 , k ∈Z B. ⎢x 

= + kπ 

4 , k ∈Z 

⎢ 

⎢ 

⎢⎣ x = kπ 

⎢⎣ x = kπ 

⎡ π 

x = + k2π 

⇔ ⎢ 

2 , k ∈Z D. 

⎢ 

⎢⎣ x = k2π 

Bài 42. Giải phương trình x ( x x) 

⎡ π 

x = + kπ 

⎢ 

⎢⎣ x = π + kπ 

sin 2 + 4 sin − cos = 4 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

3 , k ∈Z 

⎢ 

⎢⎣ x = k2π 

⎡ π 2 

⎢x 

= + k π 

⎢ 2 

x = π + k π 

⎢⎣ 3 

A. ⎢ 

2 ( k ∈Z ) 

B. 

2 3 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎡ π 1 

⎢x 

= + k π 

⎢ 1 

x = π + k π 

⎢⎣ 2 

⎡ π 

x = + k2π 

⎢ 

⎢⎣ x = π + k2π 


C. 

2 2 

⎢ 

( k ∈Z ) 

D. ⎢ 

2 ( k ∈Z 

) 
















2 sin x + cos x = tan x + cot x 


π 

4 

π 1 , 

4 2 

A. x = + kπ, 

( k ∈Z ) 

B. x = + k π ( k ∈Z 

) 

π 2 , 

4 3 

C. x = + k π ( k ∈Z ) 

D. x = + k2 π, 

( k ∈Z 

) 

3 3 

Bài 44. Giải phương trình cos x − sin x = − 1. 

⎡ π 

x = + kπ 

⎢ 

⎢⎣ x = −π + kπ 

A. ⎢ 

2 ( k ∈Z ) 

B. ⎢ 

2 ( k ∈Z 

) 

⎡ π 

x = + k7π 

⎢ 

⎢⎣ x = −π + k7π 

π 

4 

⎡ π 

x = + k3π 

⎢ 

⎢⎣ x = −π + k3π 

⎡ π 

x = + k2π 

⎢ 

⎢⎣ x = −π + k2π 

C. ⎢ 

2 ( k ∈Z ) 

D. ⎢ 

2 ( k ∈Z 

) 

2 

Bài 45. Giải phương trình 2 sin x + 5sin x + 3 = 0 

π 

2 

π 1 

2 2 

A. x = − + kπ ( k ∈Z ) 

B. x = − + k π ( k ∈Z 

) 

π 

2 

C. x = − + k3π ( k ∈Z ) 

D. x = − + k2π ( k ∈Z 

) 

2 cos 2 − 2 3 + 1 cos 2x 

+ 3 = 0 

2 

Bài 46. Giải phương trình x ( ) 

1 3 − 1 π 

2 2 2 

1 3 −1 

2 2 

A. x = ± arccos + k ( k ∈Z ) B. x = ± arccos + 3kπ ( k ∈Z 

) 

1 3 −1 

2 2 

1 3 − 1 

2 2 

C. x = ± arccos + kπ ( k ∈Z ) D. x = ± arccos + 2kπ ( k ∈Z 

) 

2 tan x 

Bài 47. Giải phương trình 5 

2 

1− 

tan x = . 

− 1± 

26 

5 

− 1± 

26 1 

5 2 

A. x = arctan + 2 kπ, 

( k ∈Z ) B. x = arctan + kπ, 

( k ∈Z 

) 

− 1± 

26 

5 

− 1± 

26 

5 

C. x = arctan + 3 kπ, 

( k ∈Z ) D. x = arctan + kπ, 

( k ∈Z 

) 



− 5sin x − 3 = 0 . 

π 

2 




17 










π 7π 

6 6 

π 7π 

6 6 

A. x = − + kπ , x = + kπ( k ∈Z ) B. x = − + k3 π , x = + k3π( k ∈Z 

) 




π 7π 

6 6 

π 7π 

6 6 

C. x = − + k4 π , x = + k4π( k ∈Z ) D. x = − + k2 π , x = + k2π( k ∈Z 

) 

4 4 

Bài 49. Giải phương trình 5( 1 cos ) 2 sin cos 

2π 

3 

+ x = + x − x . 

2π 

1 , 

3 2 

A. x = ± + kπ, 

( k ∈Z ) 

B. x = ± + k π ( k ∈Z 

) 

2π 

3 

C. x = ± + k2 π, 

( k ∈Z ) 

D. x = ± + k2 π, 

( k ∈Z 

) 

⎛ 5π ⎞ ⎛ 7π ⎞ 

Bài 50. Giải phương trình sin ⎜ 2x + ⎟ − 3cos⎜ x − ⎟ = 1+ 

2 sin x . 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

A. 

C. 

π 5π 

x = kπ , x = + kπ , x = + kπ B. 

6 6 

π 5π 

x = k2 π , x = + kπ , x = + kπ D. 

6 6 

3 

Bài 51. Giải phương trình 7 cos x = 4cos x + 4 sin 2x 

A. 

C. 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

2 

⎢ 

⎢ π 5π 

x = + k2 π , x = + k2π 

⎢⎣ 6 6 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

2 

⎢ 

⎢ π 5π 

x = + kπ , x = + kπ 

⎢⎣ 6 6 

2 


= cos 3x 

A. 

⎡ x = k2π 

⎢ 

⎢ 

π k3π 

x = ± + 

⎢⎣ 12 2 

⎡ x = kπ 

B. ⎢ 

⎢ 

π k3π 

x = ± + 

⎢⎣ 12 2 

B. 

D. 

C. 

π 

3 

π 5π 

x = k2 π , x = + k2 π , x = + k2π 

6 6 

π 5π 

x = kπ , x = + k2 π , x = + k2π 

6 6 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

2 

⎢ 

⎢ π 5π 

x = + kπ , x = + kπ 

⎢⎣ 6 6 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

2 

⎢ 

⎢ π 5π 

x = + k2 π , x = + k2π 

⎢⎣ 6 6 

⎡ x = k2π 

⎢ 

⎢ 

π kπ 

x = ± + 

⎢⎣ 12 2 

2 2 

Bài 53. Giải phương trình 2 cos x + 6 sin xcos x + 6sin x = 1 

D. 

⎡ x = kπ 

⎢ 

⎢ 

π kπ 

x = ± + 

⎢⎣ 12 2 





18 













A. 

C. 

⎡ π 

⎢x 

= − + k2π 

4 

⎢ 

⎢ ⎛ 1 ⎞ 

x = arctan − + k2π 

⎢ ⎜ ⎟ 

⎣ ⎝ 6 ⎠ 

⎡ π 

⎢x 

= − + kπ 

4 

⎢ 

⎢ ⎛ 1 ⎞ 1 

x = arctan − + k π 

⎢ ⎜ ⎟ 

⎣ ⎝ 6 ⎠ 2 

2 2 

Bài 54. Giải phương trình cos x − 3 sin 2x = 1+ 

sin x 

⎡ π 

x k 

A. ⎢ = + π 

3 

⎢ 

⎢⎣ x = kπ 

B. 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

3 

⎢ 

⎢⎣ x = k2π 

B. 

D. 

C. 

⎡ π 

⎢x 

= − + k2π 

4 

⎢ 

⎢ ⎛ 1 ⎞ 

x = arctan − + kπ 

⎢ ⎜ ⎟ 

⎣ ⎝ 6 ⎠ 

⎡ π 

⎢x 

= − + kπ 

4 

⎢ 

⎢ ⎛ 1 ⎞ 

x = arctan − + kπ 

⎢ ⎜ ⎟ 

⎣ ⎝ 6 ⎠ 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

3 

⎢ 

⎢ 1 

x = k π 

⎢⎣ 2 

2 2 

Bài 55. Giải phương trình cos x − sin x cos x − 2 sin x − 1 = 0 là: 

A. 

C. 

⎛ 1 ⎞ 

x = k2 π , x = arctan⎜ 

− ⎟ + k2π 

⎝ 3 ⎠ 

1 ⎛ 1 ⎞ 1 

x = k π , x = arctan⎜ 

− ⎟ + k π 

2 ⎝ 3 ⎠ 2 

2 

Bài 57. Giải phương trình cos x + 3 sin xcos x − 1 = 0 là: 

B. 

D. 

π 

A. x = k2 π , x = + k2π B. 

3 

C. 

D. 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

3 

⎢ 

⎢⎣ x = kπ 

1 ⎛ 1 ⎞ 1 

x = k π , x = arctan⎜ 

− ⎟ + k π 

3 ⎝ 3 ⎠ 3 

⎛ 1 ⎞ 

x = kπ , x = arctan⎜ 

− ⎟ + kπ 

⎝ 3 ⎠ 

1 π 1 

x = k π , x = + k π 

2 3 2 

1 π 1 

π 

x = k π , x = + k π D. x = kπ , x = + kπ 

3 3 3 

3 

2 

Bài 58. Cho phương trình 2 2 ( sin cos ) cos 3 2 cos 

đúng? 

x + x x = + x , Khẳng định nào sau đây 

A. Có 1 nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Vô số nghiệm 

Bài 59. Giải phương trình tan x cot x 2( sin 2x cos 2x) 

+ = + là: 





19 













A. 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

4 

⎢ 

⎢ π 

x = + kπ 

⎢⎣ 8 

B. 


A. 

C. 

⎡ x = arctan( − 2) + k2π 

⎢ 

⎢ 

π 

x = + k2π 

⎢⎣ 4 

⎡ 

1 

⎢x 

= arctan( − 2) + k π 

3 

⎢ 

⎢ π 1 

x = + k π 

⎢⎣ 4 3 


A. 

⎡ π 

⎢x 

= ± + k2π 

3 

⎢ 

⎢ π 

x = + k2π 

⎢⎣ 4 

B. 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

4 

⎢ 

⎢ π 

x = + k2π 

⎢⎣ 8 

3 

2 cos x sin 3 

= 

x 

C. 

B. 

D. 

⎡ π 3π 

⎢x 

= + k 

4 2 

⎢ 

⎢ π 3π 

x = + k 

⎢⎣ 8 2 

D. 

⎡ 

1 

⎢x 

= arctan( − 2) + k π 

2 

⎢ 

⎢ π 1 

x = + k π 

⎢⎣ 4 2 

⎡ x = arctan( − 2) + kπ 

⎢ 

⎢ 

π 

x = + kπ 

⎢⎣ 4 

3 3 2 

4 sin x + 3cos x − 3sin x − sin xcos x = 0 

⎡ π 1 

⎢x 

= ± + k π 

3 2 

⎢ 

⎢ π 1 

x = + k π 

⎢⎣ 4 2 

Bài 62 . Giải phương trình 3 sin 2x 

+ cos 2x 

= 2 là: 

A. 

⎡ 7π 

⎢x 

= + kπ 

24 

⎢ 

⎢ π 

x = + kπ 

⎢⎣ 24 

B. 

⎡ 7π 

⎢x 

= + k2π 

24 

⎢ 

⎢ π 

x = + k2π 

⎢⎣ 24 

C. 

C. 

⎡ π 1 

⎢x 

= ± + k π 

3 3 

⎢ 

⎢ π 1 

x = + k π 

⎢⎣ 4 3 

⎡ 7π 

1 

⎢x 

= + k π 

24 2 

⎢ 

⎢ π 1 

x = + k π 

⎢⎣ 24 2 

6 

Bài 63. Giải phương trình 4 sin x + 3cos x + 6 

4 sin x + 3cos x + 1 

= là: 

A. 

B. 

⎡ ⎛ 3 ⎞ 

⎢x 

= −α + arcsin ⎜ − k 

5 

⎟ + π 

⎢ 

⎝ ⎠ 

hoặc 

⎢ ⎛ 3 ⎞ 

⎢x 

= π − α − arcsin ⎜ − + kπ 

5 

⎟ 

⎣ 

⎝ ⎠ 

⎡ ⎛ 3 ⎞ 

⎢x 

= −α + arcsin⎜ − k2 

5 

⎟ + π 

⎢ 

⎝ ⎠ 

hoặc 

⎢ ⎛ 3 ⎞ 

⎢x 

= π − α − arcsin⎜ − + k2π 

5 

⎟ 

⎣ 

⎝ ⎠ 

D. 

D. 

⎡ ⎛ 2 ⎞ 

⎢x 


5 

⎟ + π 

⎢ 

⎝ ⎠ 

⎢ ⎛ 2 ⎞ 

⎢x 

= π − α − arcsin⎜ − + k2π 

5 

⎟ 

⎣ 

⎝ ⎠ 

⎡ ⎛ 2 ⎞ 

⎢x 

= −α + arcsin ⎜ − k 

5 

⎟ + π 

⎢ 

⎝ ⎠ 

⎢ ⎛ 2 ⎞ 

⎢x 

= π − α − arcsin ⎜ − + kπ 

5 

⎟ 

⎣ 

⎝ ⎠ 

⎡ π π 

⎢x 

= + k 

4 2 

⎢ 

⎢ π π 

x = + k 

⎢⎣ 8 2 

⎡ π 

⎢x 

= ± + kπ 

3 

⎢ 

⎢ π 

x = + kπ 

⎢⎣ 4 

⎡ 7π 

⎢x 

= + kπ 

24 

⎢ 

⎢ π 

x = + kπ 

⎢⎣ 24 





20 













C. 

D. 

⎡ ⎛ 3 ⎞ 1 

⎢x 

= −α + arcsin⎜ − k 

5 

⎟ + π 

⎢ 

⎝ ⎠ 2 

hoặc 

⎢ ⎛ 3 ⎞ 1 

⎢x 

= π − α − arcsin ⎜ − + k π 

5 

⎟ 

⎣ 

⎝ ⎠ 2 

⎡ ⎛ 3 ⎞ 

⎢x 


5 

⎟ + π 

⎢ 

⎝ ⎠ 

hoặc 

⎢ ⎛ 3 ⎞ 

⎢x 

= π − α − arcsin⎜ − + k2π 

5 

⎟ 

⎣ 

⎝ ⎠ 

cos x − 2 sin x.cos 

x 


2 

2cos x + sin x −1 

A. 

π π 

x = − + k B. 

18 3 

π 4π 

x = − + k C. 

18 3 

4 4 


A. 

⎡ π k3π 

⎢x 

= + 

4 2 

⎢ 

⎢ π k3π 

x = − + 

⎢⎣ 12 2 

B. 

⎡ ⎛ 2 ⎞ 1 

⎢x 

= −α + arcsin⎜ − k 

5 

⎟ + π 

⎢ 

⎝ ⎠ 3 

⎢ ⎛ 2 ⎞ 1 

⎢x 

= π − α − arcsin ⎜ − + k π 

5 

⎟ 

⎣ 

⎝ ⎠ 3 

⎡ ⎛ 2 ⎞ 

⎢x 


5 

⎟ + π 

⎢ 

⎝ ⎠ 

⎢ ⎛ 2 ⎞ 

⎢x 

= π − α − arcsin⎜ − + k2π 

5 

⎟ 

⎣ 

⎝ ⎠ 

4 sin x + cos x + 3 sin 4x 

= 2 

⎡ π k5π 

⎢x 

= + 

4 2 

⎢ 

⎢ π k5π 

x = − + 

⎢⎣ 12 2 


π 

A. x = kπ , x = + kπ hoặc 

2 

B. 

C. 

1 π 1 

x = k π , x = + k π hoặc 

3 2 3 

2 π 2 

x = k π , x = + k π hoặc 

3 2 3 

π 

D. x = k2 π , x = + k2π hoặc 

2 

C. 

2 sin 2 − sin + cos + 1 = 0 

π ⎛ 1 ⎞ 


− ⎟ + kπ 

4 ⎝ 2 2 ⎠ 

3 

π 5π 

x = − + k D. 

18 3 

⎡ π k7π 

⎢x 

= + 

4 2 

⎢ 

⎢ π k7π 

x = − + 

⎢⎣ 12 2 

π ⎛ 1 ⎞ 1 


− ⎟ + k π 

4 ⎝ 2 2 ⎠ 3 

π ⎛ 1 ⎞ 2 


− ⎟ + k π 

4 ⎝ 2 2 ⎠ 3 

π ⎛ 1 ⎞ 


− ⎟ + k2π 

4 ⎝ 2 2 ⎠ 


sin 2 −12 sin − cos + 12 = 0 

π 

A. x = + kπ , x = −π + k2π B. 

2 

D. 

π 

2 

x = + k2 π , x = −π + k π 

2 3 

π 2π 

x = − + k 

18 3 

⎡ π kπ 

⎢x 

= + 

4 2 

⎢ 

⎢ π kπ 

x = − + 

⎢⎣ 12 2 





21 










C. 

π 1 2 

π 

x = + k π , x = −π + k π D. x = + k2 π , x = −π + k2π 

2 3 3 

2 




⎛ π ⎞ 


+ 2 sin ⎜ x − ⎟ = 1 

⎝ 4 ⎠ 

π π 

A. x = + kπ , x = + kπ , x = π + k2π B. 

4 2 

C. 

22 

π 1 π 1 1 

x = + k π , x = + k π , x = π + k π 

4 2 2 2 2 

π 2 π 2 

π π 

x = + k π , x = + k π , x = π + k2π D. x = + kπ , x = + k2 π , x = π + k2π 

4 3 2 3 

4 2 

Bài 69. Giải phương trình 1+ tan x = 2 2 sin x 

A. 

C. 

D. 

π 11π 5π 

x = + kπ , x = + kπ , x = − + kπ B. 

4 12 12 

π 11π 1 5π 

x = + k2 π , x = + k π , x = − + k2π 

4 12 4 12 

π 11π 5π 

x = + k2 π , x = + k2 π x = , x = − + k2π 

4 12 12 

Bài 70. Giải phương trình cos x − sin x + 2 sin 2x 

= 1 

A. 

k3π 

x = B. 

2 

k5π 

x = C. 

2 

3 3 

Bài 71. Giải phương trình cos x + sin x = cos 2x 

π 

π 

A. x = − + k2 π , x = − + kπ , x = kπ B. 

4 2 

C. 

2 11 2 5 2 

x = π + k π , x = π + k π , x = − π + k π 

4 3 12 3 12 3 

k7π 

x = D. 

2 

kπ 

x = 

2 

π 2 π 

x = − + k π , x = − + kπ , x = kπ 

4 3 2 

π 1 π 2 

π π 

x = − + k π , x = − + k π , x = k2π D. x = − + kπ , x = − + k2 π , x = k2π 

4 3 2 3 

4 2 

3 3 

Bài 72. Giải phương trình cos x + sin x = 2 sin 2x + sin x + cos x 

A. 

k3π 

x = B. 

2 

k5π 

x = C. x = kπ D. 

2 

1 1 10 

Bài 73. Giải phương trình cosx + sinx 

cos x 

+ + sin x 

= 3 

A. 

π 2 + 19 

x = ± arccos + k2π B. 

4 3 2 

kπ 

x = 

2 


π 2 + 19 

x = ± arccos + k2π 

4 2 













C. 

π 2 + 19 

x = ± arccos + kπ D. 

4 2 

π 2 − 19 


4 3 2 




2 2 

Bài 74. Giải phương trình 2 cos x + 6 sin xcos x + 6sin x = 1 

A. 

C. 

π ⎛ 1 ⎞ 

x = − + k2 π ; x = arctan k2 

4 

⎜ − + π 

5 

⎟ 

⎝ ⎠ 

1 1 1 

x = − π + k π ; x = arctan 

⎛ ⎜ − ⎞ 

⎟ + k π 

4 4 ⎝ 5 ⎠ 4 

2 2 

Bài 75. Giải phương trình cos x − 3 sin 2x = 1+ 

sin x 

A. 

⎡ x = k2π 

⎢ 

⎢ 

π 

x = + k2π 

⎢⎣ 3 

B. 

⎡ 1 

⎢x 

= k π 

2 

⎢ 

⎢ π 1 

x = + k π 

⎢⎣ 3 2 

B. 

D. 

C. 

23 

2 1 2 

x = − π + k π ; x = arctan 

⎛ ⎞ k 

4 3 

⎜ − + π 

5 

⎟ 

⎝ ⎠ 3 

π ⎛ 1 ⎞ 

x = − + kπ ; x = arctan⎜ 

− ⎟ + kπ 

4 ⎝ 5 ⎠ 

⎡ 2 

⎢x 

= k π 

3 

⎢ 

⎢ π 2 

x = + k π 

⎢⎣ 3 3 

Bài 76. Giải phương trình tan x + cot x = 2( sin 2x + cos 2x) 

π π 

π π π π 

A. x = + kπ , x = + kπ B. x = + k , x = + k 

4 8 

4 4 8 4 

π π π π 

π π π π 

C. x = + k , x = + k 

D. x = + k , x = + k 

4 3 8 3 

4 2 8 2 


A. 

C. 

⎡ x = arctan( − 2) + k2π 

⎢ 

⎢ 

π 

x = + k2π 

⎢⎣ 4 

⎡ 

2 

⎢x 

= arctan( − 2) + k π 

3 

⎢ 

⎢ π 2 

x = + k π 

⎢⎣ 4 3 


3 

2 cos x sin 3 

= 

x 

B. 

D. 

D. 

⎡ 

1 

⎢x 

= arctan( − 2) + k π 

2 

⎢ 

⎢ π 1 

x = + k π 

⎢⎣ 4 2 

⎡ x = arctan( − 2) + kπ 

⎢ 

⎢ 

π 

x = + kπ 

⎢⎣ 4 

3 3 2 

4 sin x + 3cos x − 3sin x − sin xcos x = 0 

π 

π 

A. x = + k2 π , x = ± + k2π B. 

4 3 

C. 

π 1 π 1 

x = + k π , x = ± + k π 

4 2 3 2 

π 1 π 1 

π π 

x = + k π , x = ± + k π D. x = + kπ , x = ± + kπ 

4 3 3 3 

4 3 

⎡ x = kπ 

⎢ 

⎢ 

π 

x = + kπ 

⎢⎣ 3 














2 

Bài 79. Giải phương trình x( x ) x( x x) 

sin tan + 1 = 3sin cos − sin + 3 




A. 

⎡ π 

⎢x 

= − + k2π 

4 

⎢ 

⎢ π 

x = ± + k2π 

⎢⎣ 3 

B. 

⎡ π 1 

⎢x 

= − + k π 

4 2 

⎢ 

⎢ π 1 

x = ± + k π 

⎢⎣ 3 2 

C. 

⎡ π 2 

⎢x 

= − + k π 

4 3 

⎢ 

⎢ π 2 

x = ± + k π 

⎢⎣ 3 3 

Bài 80. Giải phương trình cos 3 x + sin 3 x = 2( cos 5 x + sin 

5 x) 

π 

A. x = ± + k2π B. 

4 

π 1 

x = ± + k π C. 

4 2 

D. 

π 1 

x = ± + k π D. 

4 3 

2 

Bài 81. Giải phương trình sin x + 3 tan x = cos x( 4 sin x − cos x) 

⎡ π 

⎢x 

= − + kπ 

4 

⎢ 

⎢ π 

x = ± + kπ 

⎢⎣ 3 

π 

x = ± + kπ 

4 

π 

π 

A. x = + k2 π , x = arctan ( − 1± 2 ) + k2π B. , arctan ( 1 2 ) 

4 

⇔ x = + k 1 π x = − ± + k 

1 π 

4 2 2 

π 

C. x = + k 2 π , x = arctan ( − 1± 2 ) + k 

2 

π 

π D. , arctan ( 1 2 ) 

4 3 3 


A. 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

2 

⎢ 

⎢ π 

x = + k2π 

⎢⎣ 4 

B. 


A. 

C. 

⎡ π 

π ⎢x 

= + kπ 

x = + kπ ; 

6 

⎢ 

2 ⎢ 5π 

x = + kπ 

⎢⎣ 6 

⎡ π 1 

π 5 ⎢x 

= + k π 

x = + k π ; 

6 2 

⎢ 

2 2 ⎢ 5π 

1 

x = + k π 

⎢⎣ 6 2 

π 

x x x 

4 

3 

2 2 cos ( − ) − 3cos − sin = 0 

⎡ π 1 

⎢x 

= + k π 

2 2 

⎢ 

⎢ π 1 

x = + k π 

⎢⎣ 4 2 

C. 

2 

2 sin x − 3sin x + 1 = 0 

Bài 84. Giải phương trình 2 cos 2x 

+ 3sin x − 1 = 0 

⇔ x = + kπ x = − ± + kπ 

4 

⎡ π 2 

⎢x 

= + k π 

2 3 

⎢ 

⎢ π 2 

x = + k π 

⎢⎣ 4 3 

D. 

⎡ π 2 

π ⎢x 

= + k π 

B. x = + k2π ; 

6 3 

⎢ 

2 ⎢ 5π 

2 

x = + k π 

⎢⎣ 6 3 

⎡ π 

π ⎢x 

= + k2π 

D. x = + k2π ; 

6 

⎢ 

2 ⎢ 5π 

x = + k2π 

⎢⎣ 6 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

2 

⎢ 

⎢ π 

x = + kπ 

⎢⎣ 4 





24 













A. 

C. 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

2 

⎢ 

⎢ 1 

x arcsin( ) k 

⎢ 

= − 4 

+ π 

⎢ 

1 

⎢ x = π − arcsin( − ) + kπ 

⎢⎣ 

4 

⎡ π 2 

⎢x 

= + k π 

2 3 

⎢ 

⎢ 1 2 

x arcsin( ) k 

⎢ 

= − 4 + 3 

π 

⎢ 

⎢ 

1 2 

x = π − arcsin( − ) + k π 

⎢⎣ 

4 3 

2 

Bài 85. Giải phương trình 3cos 4x − sin 2x + cos 2x 

− 2 = 0 

A. 

C. 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

2 

⎢ 

6 

x arccos k 

⎢⎣ 

⎢ = ± + π 7 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

3 

⎢ 

⎢ 6 

x arccos k2 

⎢⎣ 

= ± 7 

+ π 

Bài 86. Giải phương trình 4 cos x.cos 2x + 1 = 0 

A. 

C. 

⎡ π 

⎢x 

= ± + k2π 

3 

⇔ ⎢ 

⎢ 

− 1± 

3 

⎢x 

= ± arccos + k2π 

⎣ 

8 

⎡ π 

⎢x 

= ± + k2π 

3 

⇔ ⎢ 

⎢ 

− 1± 

7 

⎢x 


⎣ 

8 

8 8 2 

Bài 87. Giải phương trình 16(sin x + cos x) = 17 cos 2x 

A. 

π 5π 

x = + k B. 

8 4 

B. 

D. 

B. 

D. 

B. 

D. 

π 7π 

x = + k C. 

8 4 

4 6 

Bài 88. Giải phương trình cos x − cos 2x + 2 sin x = 0 

25 

⎡ π 1 

⎢x 

= + k π 

2 2 

⎢ 

⎢ 1 1 

x arcsin( ) k 

⎢ 

= − 4 + 2 

π 

⎢ 

1 1 

⎢ x = π − arcsin( − ) + k π 

⎢⎣ 

4 2 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

2 

⎢ 

⎢ 1 

x = arcsin( − ) + k2π 

⎢ 

4 

⎢ 

1 

⎢ x = π − arcsin( − ) + k2π 

⎢⎣ 

4 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

2 

⎢ 

⎢ 6 

x arccos k2 

⎢⎣ 

= ± 7 

+ π 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

2 

⎢ 

⎢ 6 

x arccos k2 

⎢⎣ 

= ± 7 

+ π 

⎡ π 

⎢x 

= ± + k2π 

3 

⇔ ⎢ 

⎢ 

− 1± 

5 

⎢x 


⎣ 

8 

⎡ π 

⎢x 

= ± + k2π 

3 

⇔ ⎢ 

⎢ 

− 1± 

6 

⎢x 


⎣ 

8 

π 9π 

x = + k D. 

8 4 

π π 

x = + k 

8 4 











A. x = k2π B. 

1 

x = k π C. 

2 

2 

x = k π D. x = kπ 

3 







Bài 89. Giải phương trình cos2x + cos x + 1 = 0 

A. 

C. 

π 

2π 

x = + k2 π , x = ± + kπ B. 

2 3 

π 

2π 

7 

x = + k3 π , x = ± + k π D. 

2 3 2 

2 x 


− 3cos x = 4cos 2 

A. 

2π 

x = ± + kπ B. 

3 

2 2 

Bài 91. Giải phương trình 6sin x + 2sin 2x = 5 

A. 

π 2 

x = + k π B. 

4 3 

26 

π 2π 

x = + kπ , x = + k2π 

2 3 

π 2π 

x = + kπ , x = ± + k2π 

2 3 

2π 

2 

π 

x = ± + k π C. x = ± + k2π D. 

3 3 

3 

π π 

x = + k C. 

4 3 

4 4 

Bài 92. Giải phương trình 2 sin x + 2 cos x = 2 sin 2x 

− 1 

π 

A. x = + k2π B. 

4 

π 2 

x = + k π C. 

4 3 

2 


A. 

C. 

π π 

x = + k D. 

4 4 

π 1 

x = + k π D. 

4 2 

2cos 2x − 2 3 + 1 cos2x 

+ 3 = 0 

1 3 + 1 

x = ± arccos + kπ B. 

2 2 

1 3 − 2 

x = ± arccos + kπ D. 

2 2 

Bài 94. Giải phương trình 2 tan x + 3 = 

cos x 

2 3 

A. x = k2π B. x = kπ C. 

4 

Bài 95. Giải phương trình 9 − 13cos x + = 0 

2 

1+ 

tan x 

A. x = k2π B. x = kπ C. 

1 3 −1 


2 2 

1 3 −1 

x = ± arccos + kπ 

2 2 

2 

x = k π D. 

3 

1 

x = k π D. 

2 

2π 

x = ± + k2π 

3 

π π 

x = + k 

4 2 

π 

x = + kπ 

4 

1 

x = k π 

3 


2 

x = k π 

3 
















4 4 

Bài 96. Giải phương trình 5( 1+ cos ) = 2 + sin − cos 

A. 

π 

x = ± + kπ B. 

3 

x x x 

π 2 

x = ± + k π C. 

3 3 

5 7 

Bài 97. Giải phương trình sin ⎛ ⎜ 2x 

+ π ⎞ ⎟ − 3cos ⎛ ⎜ x − π ⎞ 

⎟ = 1+ 

2sinx 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

⎡ 

⎢x 

= k2π 

⎢ 

π 

⎢ 6 

⎢ 5π 

⎢x 

= + kπ 

⎣ 6 

π 3 

π 

x = ± + k π D. x = ± + k2π 

3 4 

3 

⎡ 1 

⎢x 

= k π 

2 

⎢ 

π 

⎢ 6 

⎢ 

⎢ 

5π 

x = + k2π 

⎢⎣ 6 

A. ⎢ x = + k2 π; 

( k ∈Z ) 

B. ⎢ x = + kπ ;( k ∈Z 

) 

⎡ 

⎢x 

= kπ 

⎢ 

π 

⎢ 6 

⎢ 5π 

⎢x 

= + k2π 

⎣ 6 

⎡ 

⎢x 

= k2π 

⎢ 

π 

⎢ 6 

⎢ 5π 

⎢x 

= + k2π 

⎣ 6 

C. ⎢ x = + k2 π ;( k ∈Z ) 

D. ⎢ x = + k2 π ;( k ∈Z 

) 

3 

Bài 98. Giải phương trình 7 cos x = 4 cos x + 4 sin 2x 

A. 

C. 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

2 

⎢ 

⎢ π 5π 

x = + kπ , x = + kπ 

⎢⎣ 6 6 

⎡ π 1 

⎢x 

= + k π 

2 2 

⎢ 

⎢ π 5π 

x = + kπ , x = + k2π 

⎢⎣ 6 6 

2 

Bài 99. Giải phương trình cos4x = cos 3x 

A. 

⎡ x = k2π 

⎢ 

⎢ 

π 5π 

x = ± + kπ , x = ± + kπ 

⎢⎣ 12 12 

⎡ x = kπ 

C. ⎢ 

⎢ 

π 

5π 

x = ± + k3 π , x = ± + k3π 

⎢⎣ 12 12 

B. 

D. 

⎡ π 1 

⎢x 

= + k π 

2 4 

⎢ 

⎢ π 5π 

x = + k2 π , x = + k2π 

⎢⎣ 6 6 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

2 

⎢ 

⎢ π 5π 

x = + k2 π , x = + k2π 

⎢⎣ 6 6 

⎡ x = kπ 

B. ⎢ 

⎢ 

π 1 5π 

1 

x = ± + k π , x = ± + k π 

⎢⎣ 12 2 12 2 

⎡ x = kπ 

D. ⎢ 

⎢ 

π 5π 

x = ± + kπ , x = ± + kπ 

⎢⎣ 12 12 





27 













D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 

1 

Câu 1. Phương trình sin x = − chỉ có các nghiệm là 

2 

π 

A. x = + k2π và 

4 

π 

C. x = − + k2π và 

4 

5π 

π 

x = + k2π ( k ∈Z ). B. x = − + k2π và 

4 

4 

3π 

π 

x = − + k2π ( k ∈Z ). D. x = + k2π và 

4 

4 

6 

Câu 2.Phương trình cos x = − chỉ có các nghiệm là 

2 2 

π 

A. x = + k2π và 

3 

C. 

5π 

x = + k2π và 

6 

2π 

π 

x = + k2π ( k ∈Z ). B. x = + k2π và 

3 

6 

5π 

x = + k 2π 

( k ∈Z ). 

4 

5π 

x = − + k2π ( k ∈Z ). 

4 

5π 

x = + k2π ( k ∈Z ). 

6 

5π 

π 

π 

x = − + k2π ( k ∈Z ). D. x = + k2π và x = − + k2π ( k ∈Z ). 

6 

3 

3 

6 

Câu 3. Phương trình tan x = − chỉ có các nghiệm là 

3 2 

A. 

C. 

π 

x = + kπ ( k ∈Z ). B. 

6 

π 

x = + kπ ( k ∈Z ). D. 

3 

12 

Câu 4. Phương trình cot x = − chỉ có các nghiệm là 

2 

A. 

C. 

π 

x = + kπ ( k ∈Z ). B. 

6 

π 

x = + kπ ( k ∈Z ). D. 

3 

Câu 5. Phương trình sin x = cos x chỉ có các nghiệm là 

A. 

π 

π 

x = + kπ ( k ∈Z ). B. x = + k2π ( k ∈Z ). 

4 

4 

π 

x = − + kπ ( k ∈Z ). 

6 

π 

x = − + kπ ( k ∈Z ). 

3 

π 

x = − + kπ ( k ∈Z ). 

6 

π 

x = − + kπ ( k ∈Z ). 

3 





28 










C. 

π 

x = + kπ và 

4 

π 

π 

π 

x = − + kπ ( k ∈Z ). D. x = + k2π và x = − + k2π ( k ∈Z ). 

4 

4 

4 




Câu 6. Phương trình tan x = cot x chỉ có các nghiệm là 

π 

A. x = + k2π ( k ∈Z ). B. 

4 

C. 

π π 

x = + k ( k ∈Z ). D. 

4 2 

2 

Câu 7. Phương trình 4 sin x = 3 chỉ có các nghiệm là 

π 

π 

A. x = + k2π và x = − + k2π ( k ∈Z ). B. 

3 

3 

C. 

π 

x = + kπ và 

6 

π 

x = + kπ và 

3 

π 

x = + kπ ( k ∈Z ). 

4 

π π 

x = + k ( k ∈Z ). 

4 4 

π 

x = − + kπ ( k ∈Z ). 

3 

π 

π 

π 


6 

6 

6 

2 

Câu 8. Phương trình tan x = 3 chỉ có các nghiệm là 

π 

π 

A. x = + k2π và x = − + k2π ( k ∈Z ). B. 

3 

3 

C. 

π 

x = + kπ và 

6 

π 

x = + kπ và 

3 

π 

x = − + kπ ( k ∈Z ). 

3 

π 

π 

π 


6 

6 

6 

Câu 9. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 

sin x = 0 ? 

A. cos x = − 1 . B. cos x = 1 . C. tan x = 0 . D. cot x = 1 . 


2 

2 cos 1 

x = ? 

A. 2 sin x + 2 = 0 . B. 

2 

sin x = . C. tan x = 1 . D. 

2 

2 

tan 1 

x = . 

Câu 11 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 


2 

tan x = 3 ? 




29 










A. 

1 

cos x = − . B. 

2 

2 

4 cos x = 1. C. 

1 

cot x = . D. 

3 

1 

cot x = − . 

3 





3sin 

A. 

x = cos x ? 

2 2 

1 

sin x = . B. 

2 

3 

cos x = . C. 

2 

sin 

x = . D. 

4 

2 3 

2 

cot 3 

x = . 


tan x = 1 ? 

A. 

2 

sin x = . B. 

2 

2 

cos x = . C. cot x = 1 . D. 

2 

Câu 14 Phương trình sin x = cos 5x 

chỉ có các nghiệm là 

π 

π 

A. x = + k2π và x = − + k2π ( k ∈Z ). B. 

4 

4 

C. 

π π 

x = + k và 

12 3 

Câu 15. Trên khoảng ( ) 

A. chỉ có các nghiệm là 

B. chỉ có các nghiệm là 

π π 

x = − + k ( k ∈Z ). D. . 

8 2 

π 

x = + kπ và 

4 

0; π , phương trình tan x.tan 3x = 1 

2 

Câu 16. Phương trình 2 sin x − 7 sin x + 3 = 0 

π π 

x = − + k và 

12 3 

2 

cot 1 

x = . 

π 

x = − + kπ ( k ∈Z ). 

4 

π π 

x = + k ( k ∈Z ). 

8 2 

π 5 

; π ; 

π π π 

. C. chỉ có các nghiệm là x = 

6 2 6 

6 + k 

3 ( k ∈Z ). 

π π 3π ; ; . D. có các nghiệm khác với các nghiệm ở trên. 

6 4 4 

π 

A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm là x = + k2π ( k ∈Z ). 

6 


C. chỉ có các nghiệm là 

5π 

x = + k2π ( k ∈Z ). 

6 




30 










π 

D. chỉ có các nghiệm là x = + k2π và 

6 

5π 

x = + k2π ( k ∈Z ). 

6 




2 

Câu 17. Phương trình 2 cos x − 3 3 cos x + 3 = 0 

π 


3 

π 

C. chỉ có các nghiệm là x = + k2π ( k ∈Z ). 

6 

π 

π 

D. chỉ có các nghiệm là x = + k2π và x = − + k2π ( k ∈Z ). 

6 

6 

2 

Câu 18. Phương trình 2 sin x + 7 cos x − 5 = 0 

π 


3 

C. chỉ có các nghiệm là 

5π 

x = + k2π ( k ∈Z ). 

3 

π 

π 

D. chỉ có các nghiệm là x = + k2π và x = − + k2π ( k ∈Z ). 

3 

3 

Câu 19. Phương trình 

của phương trình nào sau đây? 

2 2 

sin x 4sin xcos x 3cos x 0 

− + = có tập nghiệm trùng với tập nghiệm 

A. cos x = 0 . B. cot x = 1 . C. tan x = 3 . D. 



A. cos x = 0 . B. 

2 2 

sin x 4sin xcos x 4 cos x 5 

⎡ tan x = 1 

⎢ 

1 . 

⎢ cot x = 

⎢⎣ 3 

− + = có tập nghiệm trùng với tập nghiệm 

1 

tan x = − . C. cot x = 2 . D. 

2 

⎡ 1 

⎢tan 

x = − 

2 . 

⎢ 

⎢⎣ cos x = 0 

Câu 21. Phương trình tan x + 5cot x = 6 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương 


trình nào sau đây? 




31 










A. cot x = 1 . B. tan x = 5 . C. 

⎡ tan x = 1 

⎢ . D. 

⎣tan x = 5 

⎡ tan x = 2 

⎢ . 

⎣tan x = 3 




Câu 22. Phương trình cos 2x 

+ 3cos x = 4 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương 


A. cos x = 1 . B. 

−5 

cos x = . C. 

2 

32 

⎡ cos x = 1 

⎢ 

5 . D. 

⎢ cos x = 

⎢⎣ 2 

⎡ cos x = −1 

⎢ 

5 . 

⎢ cos x = 

⎢⎣ 2 

Câu 23. Phương trình cos 2x 

− 5sin x + 6 = 0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của 

phương trình nào sau đây? 

A. 

−5 

sin x = . B. sin x = 1. C. 

2 

Câu 24. Phương trình sin x + cos x = 1 chỉ có các nghiệm là 

A. 

C. 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

4 

⎢ 

( k ∈Z ) . B. 

⎢ π 

x = − + k2π 

⎢⎣ 4 

⎡ x = k2π 

⎢ 

π ( k ∈Z ) . D. 

⎢ x = + k2π 

⎢⎣ 2 

⎡ sin x = −1 

⎢ 

7 . D. 

⎢ sin x = 

⎢⎣ 2 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

4 

⎢ ( k ∈Z ) . 

⎢ π 

x = − + kπ 

⎢⎣ 4 

Câu 25. Phương trình sin x + cos x = −1chỉ có các nghiệm là 

A. 

C. 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

4 

⎢ 

( k ∈Z ) . B. 

⎢ π 

x = − + k2π 

⎢⎣ 4 

⎡ x = k2π 

⎢ 

π ( k ∈Z ) . D. 

⎢ x = + k2π 

⎢⎣ 4 

⎡ x = k2π 

⎢ 

π ( k ∈Z ) . 

⎢ x = − + k2π 

⎢⎣ 4 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

4 

⎢ ( k ∈Z ) . 

⎢ π 

x = − + kπ 

⎢⎣ 4 

( 2k 

1) 

⎡ x = + π 

⎢ 

π ( k ∈Z ) . 

⎢ 

x = − + k2π 

⎢⎣ 2 

Câu 26. Phương trình sin x − 3 cos x = 1chỉ có các nghiệm là 

⎡ sin x = −1 

⎢ 

7 . 

⎢ sin x = − 

⎢⎣ 2 

















A. 

C. 

⎡ π 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

2 

⎢x 

= − + k2π 

⎢ 

( k ∈Z ) . B. 

2 

⎢ 

( k ∈Z ) . 

⎢ 7π 

π 

x = + k2π 

⎢ 7 

x = − + k2π 

⎢⎣ 6 

⎢⎣ 6 

⎡ π 

⎢x 

= − + k2π 

2 

⎢ 

( k ∈Z ) . D. 

⎢ 7π 

x = + k2π 

⎢⎣ 6 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

2 

⎢ 

( k ∈Z ) . 

⎢ 7π 

x = − + k2π 

⎢⎣ 6 

Câu 27. Phương trình 3sin x + ( m − 1)cos x = m + 2 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ 

khi 

A. m > 1. B. m < 1 . C. m ≥ 1 . D. m ≤ 1 . 

Câu 28. Phương trình tan x + mcot x = 8 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi 

A. m > 16 . B. m < 16 . C. m ≥ 16 . D. m ≤ 16 . 

Câu 29. Phương trình 16 cos x.cos 2 x.cos 4 x.cos8x = 1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm 


A. sin x = 0 . B. sin x = sin 8x 

. C. sin x = sin16x 

. D. sin x = sin 32x 

. 


tập nghiệm của phương trình nào sau đây? 

n+ 

1 

n 

2 cos x.cos 2 x.cos 4 x.cos 8 x...cos 2 x 1 

A. sin x = 0 . B. sin x = sin 2 n x . C. 

sin x 

sin 2 n 

+ 1 

= . D. 

= có tập nghiệm trùng với 

x 

sin x 

sin 2 n 

x 

+ 2 

= . 

Câu 31. Phương trình sin 3x + sin 2x = sin x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của 


A. sin x = 0 . B. cos x = − 1 . C. 

1 

cos x = − . D. 

2 

⎡ sin x = 0 

⎢ 

1 . 

⎢ cos x = 

⎢⎣ 2 

Câu 32. Phương trình cos 5 x.cos 3x = cos 4 x.cos 2x 

có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của 



A. sin x = cos x . B. cos x = 0 . C. cos8x 

= cos6x 

. D. sin 8x 

= cos6x 

. 




33 











4 4 

sin x cos x 1 

+ = có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương 





A. sin x = − 1. B. sin x = 1. C. cos x = − 1 . D. 


2m 

2m 

sin x cos x 1 

nghiệm của phương trình nào sau đây? 

34 

⎡ sin x = 0 

⎢ . 

⎣cos x = 0 

+ = ( m ≥ 1, m∈ 

R ) có tập nghiệm trùng với tập 

A. sin x = − 1. B. sin x = 1. C. cos x = − 1 . D. 

⎡ sin x = 0 

⎢ . 

⎣cos x = 0 

Câu 35. Phương trình sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x 

có tập nghiệm trùng với 

tập nghiệm của phương trình nào sau đây? 

A. 

3 

sin x = − . B. cos 2x 

= sin 2x 

. C. 

2 



1 

cos x = . D. 

2 

⎡ 1 

⎢cos 

x = − 

2 . 

⎢ 

⎢⎣ cos 2x 

= sin 2x 

4 4 

sin 3x = cos x − sin x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của 

A. cos 2x 

= sin 3x 

. B. cos 2x 

= − sin 3x 

. C. cos 2x 

= sin 2x 

. D. cos 2x 

= − sin 2x 

. 


nghiệm của phương trình nào sau đây? 

2 2 2 2 

sin x sin 2x sin 3x sin 4x 

2 

+ + + = có tập nghiệm trùng với tập 

A. sin 5x = 1. B. cos 3x 

= − cos x . C. cos 3x 

= cos x . D. cos 3x 

= − cos x . 

Câu 38. Phương trình tan x + tan 2x = sin 3 x.cos 

x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của 


A. sin 3x = 0 . B. cos 2x = 0 . C. cos 2x = − 2 . D. 


phụ được đặt như sau 

2 

2 sin x 5cos x 5 

⎡ sin 3x 

= 0 

⎢ . 

⎣cos 2x 

= 0 

+ = có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn 


A. t = sin x . B. t = cos x . C. t = tan x . D. t = cot x . 














2 

3cos x 4 sin x 10 

− = có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn 




phụ được đặt như sau 

A. t = sin x . B. t = cos x . C. t = tan x . D. t = cot x . 

Câu 41 Phương trình ( 4 x 

4 x) 

2 cos − sin = 1 

A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm 

⎡ π 

⎢x 

= 

6 

⎢ 

⎢ x = − π . 

⎢⎣ 6 

⎡ π 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

C. chỉ có các nghiệm 

6 

⎢x 

= + kπ 

⎢ 

( k ∈Z ) D. chỉ có các nghiệm 

6 

⎢ 

( k ∈Z 

) 

⎢ π 

π 

x = − + k2π 

⎢ x = − + kπ 

⎢⎣ 6 

⎢⎣ 6 

Câu 42. Phương trình ( ) 2 

cos x + sin x = 3sin 2x 



⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

12 

⎢ ( k ∈Z ) . 

⎢ 5π 

x = + kπ 

⎢⎣ 12 

Câu 43. Phương trình ( ) 2 

cos x − sin x = 1− 

cos 3x 

D. chỉ có các nghiệm 


⎡ π 

⎢x 

= 

12 

⎢ . 

⎢ 5π 

x = 

⎢⎣ 12 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

12 

⎢ 

( k ∈Z ) . 

⎢ 5π 

x = + k2π 

⎢⎣ 12 

⎡ π 

⎢x 

= 

10 

⎢ 

⎢ x = − π . 

⎢⎣ 2 

⎡ π 

⎡ π 2π 

⎢x 

= + kπ 


10 

⎢x 

= + k 

⎢ 

( k ∈Z ) . D. chỉ có các nghiệm 

10 5 

⎢ 

( k ∈Z ) . 

⎢ π 

π 

x = − + kπ 

⎢⎣ 

⎢ x 

2 

⎢⎣ 

= − + k2 

2 

π 





35 











sin 

x + cos x = 

4 

4 4 3 





π π 

x = + k , k ∈Z . 

8 4 

⎡ π 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 


8 

⎢x 

= + kπ 

⎢ 

( k ∈Z ) D. chỉ có các nghiệm 

8 

⎢ 

( k ∈Z ) . 

⎢ π 

π 

x = − + k2π 

⎢ x = − + kπ 

⎢⎣ 8 

⎢⎣ 8 

Câu 45. Phương trình sin 

A. chỉ có các nghiệm 



A. chỉ có các nghiệm 


x + cos x = 

16 

6 6 7 

π π 

x = + k , k ∈Z . B. chỉ có các nghiệm 

6 2 

⎡ π π 

⎢x 

= + k 

6 2 

⎢ 

( k ∈Z ) D. vô nghiệm. 

⎢ π π 

x = − + k 

⎢⎣ 6 2 

2 2 

tan 3x 

− tan x 

= 1 

2 2 

1− 

tan 3 x.tan 

x 

⎧ π π 

⎪x 

= + k 

12 6 

⎪ π 

⎨x ≠ + k π , k ∈ Z . 

⎪ 2 

⎪ π π 

⎪ 

x ≠ + k 

⎩ 6 3 

B. chỉ có các nghiệm 

π π 

x = + k , k ∈Z . D. vô nghiệm. 

6 3 

4 4 3 + cos x 

Câu 47. Phương trình sin x + cos x = 

4 



2 π 

x = k , k ∈Z . D. chỉ có các nghiệm 

5 

Câu 48. Tổng các nghiệm thuộc khoảng ( 0; π) 

của phương trình 

π π 

x = − + k , k ∈Z . 

6 2 

π 

x = + k2 π, 

k ∈Z . 

3 

2 π 

x = k , k ∈Z . 

3 

2 

x = k π và 

5 

2 

4 sin 2x − 1 = 0 bằng: 

2 π 

x = k ( k ∈Z ) . 

5 





36 










A. 2π . B. 

(1 − m)tan x − + 1+ 3m 

= 0 . C. 

cos x 

2 2 

π 

3 

D. π 




Câu 49. Số nghiệm thuộc t 1 

, t 2 

> 1 của phương trình 

37 

2 2 

sin x cos 3x 

0 

− = là: 

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 

Câu 50. Hiệu giữa nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất trên ⎡⎣ 

0; 2π⎤⎦ của phương trình 

tan 2x = 3 là: 

A. 0 B. 2 π 

3 

C. 

3π 

2 

D. 2π 

Câu 51. Tất cả các nghiệm của phương trình cos ⎛ ⎜ 2x 

− π ⎞ ⎟ + sin ⎛ ⎜ π − x 

⎞ 

⎟ = 0 là: 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

A. 

⎡ 13π 

⎢x 

= + k2π 

36 

⎢ 

⎢ 7π 

x = − + k2π 

⎢⎣ 12 

B. 

⎡ 13π 

2 

⎢x 

= + k π 

36 3 

⎢ 

⎢ 7π 

x = − + k2π 

⎢⎣ 12 

C. 

⎡ 13π 

2 

⎢x 

= + k π 

36 3 

⎢ 

⎢ 7π 

x = + k2π 

⎢⎣ 12 

D. 

⎡ 13π 

2 

⎢x 

= + k π 

36 3 

⎢ 

⎢ 7π 

x = − + k2π 

⎢⎣ 12 

Câu 52. Tích các nghiệm thuộc ⎡⎣ 0; π⎤⎦ của phương trình ⎛ 3π ⎞ 

sin ⎜ 2x 

+ ⎟ + cos x = 0 bằng: 

⎝ 4 ⎠ 

A. 

2 

π 

48 

B. 

2 

π 

16 

C. 

2 

3π 

16 

Câu 53. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx− 3 cos x = 2 là: 

A. 

−17 

12 

B. 

13 

− C. 

12 

D. 

11 

− D. 

12 

2 

π 

64 

19 

− 

12 

Câu 54. Hiệu giữa nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình 

3 cos 2x 

+ sin 2x 

= 2 bằng 

A. 0 B. 2 

π 

C. π D. 3 π 

2 

Câu 55. Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 

2 2 4 3 

sin x tanx+ cos x cot x + 2 sinxcosx = bằng: 

3 

A. 

π 

π 

− B. 

2 

6 

Câu 56. Số nghiệm của phương trình sinx = cos 2 x thuộc ⎡⎣ 

0; 2π⎤⎦ là: 

C. 


π 

3 

D. π 
















A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 

Câu 57. Tổng các nghiệm của phương trình cos ⎛ ⎜ 2x 

+ π ⎞ ⎟ + sin ⎛ ⎜ π − 2x 

⎞ 

⎟ = 2 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

A. 2 

π 

B. 5 π 

12 

Câu 58. Số nghiệm của phương trình 

C. 24 

π 

2 

sin x 

1 

1− 

cos x = ⎛ π ⎞ 

thuộc ⎜ − ; 0⎟ 

⎝ 2 ⎠ là: 

D. 4 

π 

A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 

Câu 59. Tổng các nghiệm thuộc ( ) 

là: 

A. 2 π 

3 

thuộc ( 0; π ) là: 

0; 2π của phương trình sinxcos 3 x− sinx+ 2 cos 3 x− 2 = 0 

B. 2π C. 4π D. 0 

⎛ π ⎞ 

Câu 60. Số nghiệm thuộc ⎡⎣ 0; π⎤⎦ của phương trình sin ⎜ 2x 

+ ⎟ = 0 là: 

⎝ 4 ⎠ 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 61. Phương trình m sinx+ 3cosx = 2 m có nghiệm khi và chỉ khi: 

A. m ≤ 3 

B. m ≤ − 3 C. m ≤ 3 D. m ≥ 3 

Câu 62. Số nghiệm của phương trình 5sin 2 sinx cosx 6 0 

x + + + = trong khoảng ( ) 

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 

0; π là: 

Câu 63. Cho phương trình cos⎜ ⎛ x − π ⎞ ⎟ − sin ⎛ ⎜ 2x 

+ π ⎞ 

⎟ = 0 . Có hai bạn giải được hai đáp án 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

sau: 

⎡ π 

⎢x 

= + l2π 

I. 

9 

⎢ 

⎢ π 

x = − + k2π 

⎢⎣ 3 

⎡ π 2π 

⎢x 

= + l 

II. 

9 3 

⎢ 

⎢ π 

x = − − k2π 

⎢⎣ 3 

A. I, II cùng sai B. Chỉ I đúng C. Chỉ II đúng D. I, II cùng đúng 

Câu 64. Cho phương trình 

phương trình trên: 

2 

2 cos 2x 

cos 4x 

0 

+ = . Trong các số sau, số nào là họ nghiệm của 





38 










I. 

π π 

x = + k II. 

6 4 

π π 

x = − + k III. 

6 2 

π π 

x = + k IV. 

6 2 

π π 

x = − + k 

6 4 




Chọn câu trả lời đúng nhất. 

A. Chỉ I, IV đúng B. Chỉ I đúng C. Chỉ IV đúng D. I, II, III, IV cùng đúng 

6 6 

Câu 65. Cho phương trình sin x + cos x = 1. Có ba bạn giải được 3 kết quả sau: 

I. 

x k π 

⎡ x = kπ 

= II. 

⎢ 

2 

⎢ 

π 

x = + kπ 

⎢⎣ 2 

⎡ x = k2π 

⎡ x = k2π III. 

hay ⎢ 

⎢ 

π 

⎣x = π + k2π ⎢x = + k2π 

⎢⎣ 2 

A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng C. Chỉ III đúng D. Cả ba đều đúng 

Câu 66. Phương trình cos 

1 

2 

x = − có mấy nghiệm thuộc khoảng ( ; 4 ) 

−π π ? 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

⎛ π ⎞ 

Câu 67. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan⎜ 

x − ⎟ = 1 là: 

⎝ 3 ⎠ 

A. 

7π 

− B. 

12 

5π 

− C. 

12 

Câu 68. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 

A. 

π 

− B. 

15 

7π 

− C. 

12 

11π 

− D. Một đáp án khác 

12 

⎛ 2π ⎞ 2 

sin ⎜ x − = − 

3 

⎟ 

⎝ ⎠ 2 

⎛ π ⎞ 1 

Câu 69. Tổng các nghiệm của phương trình cos⎜ 

x + ⎟ = 

⎝ 4 ⎠ 2 

A. 2 

π 

B. 

π 

− C. 

2 

là: 

π 

− D. Đáp án khac 

12 

trong khoảng ( ; ) 

−π π là: 

3π 

− D. Đáp án khác 

2 

π π 1 

Câu 70. Tổng các nghiệm của phương trình sinxcos + sin cos x = trên ⎡−π; 

π⎤ 

8 8 2 

⎣ ⎦ là: 

A. 2 

π 

B. 

− π 

2 

C. 3 π 

2 

Câu 71. Phương trình sin x = m có đúng 1 nghiệm 

D. 3 π 

4 

x 3 

∈ ⎡ 0; π⎤ 

⎢ 2 ⎥ khi và chỉ khi: 

⎣ ⎦ 


A. − 1 < m < 1 B. −1 ≤ m ≤ 1 C. −1 ≤ m < 0 D. Đáp số khác 




39 










Câu 72. Phương trình 1+ cos x = m có đúng 2 nghiệm 

x 3 

∈ ⎛ π ; 

π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

khi và chỉ khi: 




A. 0 < m < 1 B. 0 ≤ m < 1 C. −1 ≤ m ≤ 1 D. − 1 < m < 0 

Câu 73. Số nghiệm của phương trình 

⎡ π π⎤ 

⎢− 

; 

2 2 

⎥ 

⎣ ⎦ là: 

1 

sin x cos x cos 2x cos 4x cos8x = sin12x 

trên 

16 

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 

Câu 1. Nghiệm của phương trình 

π 

A. x = − + k2π 

B. 

2 


A. 

E. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 

sinx = 1 là: 

π 

π 

x = + kπ 

C. x = kπ 

D. x = + k2π 

2 

2 

sinx = –1 là: 

π 

π 

x = − + kπ 

B. x = − + k2π 

C. x = kπ 

D. 

2 

2 

Câu 3. Nghiệm của phương trình sinx = 1 2 là: 

π 

A. x = + k2π 

B. 

3 


3π 

x = + kπ 

2 

π 

π 

x = + kπ 

C. x = kπ 

D. x = + k2π 

6 

6 

cosx = 1 là: 

π 

A. x = kπ 

B. x = + k2π 

C. x = k2π 

D. 

2 


cosx = –1 là: 

π 

A. x = π + kπ 

B. x = − + k2π 

C. x = π + k2π 

D. 

2 

Câu 6. Nghiệm của phương trình cosx = 1 2 

π 

π 

A. x = ± + k2π 

B. x = ± + k2π 

C. 

3 

6 

là: 

π 

x = + kπ 

2 

3π 

x = + kπ 

2 


π 

π 

x = ± + kπ 

D. x = ± + k2π 

4 

2 




40 










Câu 7. Nghiệm của phương trình cosx = – 1 2 

là: 




π 

π 

A. x = ± + k2π 

B. x = ± + k2π 

C. 

3 

6 

Câu 8. Nghiệm của phương trình cos 2 x = 1 2 là: 

π 

A. x = ± + k2π 

B. 

2 


A. 

2π 

x = ± + k2π 

D. 

3 

π 

x = ± + kπ 

6 

π π 

π 

π 

x = + k 

C. x = ± + k2π 

D. x = ± + k2π 

4 2 

3 

4 

3 + 3tanx = 0 là: 

π 

π 

x = + kπ 

B. x = + k2π 

C. 

3 

2 


A. 

sin3x = sinx là: 

π 

x = − + k π D. 

6 

π 

x = + kπ 

2 

π 

π π 

π 

x = + kπ 

B. x = kπ; 

x = + k C. x = k 2π 

D. x = + kπ; x = k2π 

2 

4 2 

2 


π 

A. x = + k2π 

B. 

2 


sinx.cosx = 0 là: 

x k π 

π 

= C. x = k2π 

D. x = + k2π 

2 

6 

cos3x = cosx là: 

π 

π 

A. x = k2π 

B. x = k2 π ; x = + k2π 

C. x = k 2π 

D. x = kπ; x = + k2π 

2 

2 


sin3x = cosx là: 

π π π 

π 

A. x = + k ; x = + kπ 

B. x = k2 π ; x = + k2π 

8 2 4 

2 

π 

C. x = k π ; x = + k π 

`D. x = kπ 

; x = k π 

4 

2 

Câu 14. Nghiệm của phương trình sin 2 x – sinx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < π 

A. 

π 

x = B. x = π 

C. x = 0 D. 

2 

Câu 15. Nghiệm của phương trình sin 2 x + sinx = 0 thỏa điều kiện: 

π π 

− < x < 

2 2 

π 

x = − 

2 





41 










π 

A. x = 0 

B. x = π 

C. x = 3 

D. 

π 

x = 

2 




Câu 16. Nghiệm của phương trình cos 2 x – cosx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < π 

A. 

π 

x = B. 

2 

π 

π 

x = C. x = 

4 

6 

π 3π 

Câu 17. Nghiệm của phương trình cos 2 x + cosx = 0 thỏa điều kiện: < x < 2 2 

A. x = π 

B. 

x = π 

3 

C. x = 3 π 

2 

Câu 18. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 0 là: 

A. 

π 

x = − + kπ 

B. 

4 

D. 

D. 

π 

x = + kπ 

C. x = kπ 

D. 

6 

Câu 19. Nghiệm của phương trình 2sin(4x – 3 

π ) – 1 = 0 là: 

A. 

π π 7π π 

π 

x = + k ; x = + k 

B. x = k2 π ; x = + k2π 

8 2 24 2 

2 

C. x = kπ ; x = π + k2π 

D. x = π + k2 π ; x = k π 

2 

Câu 20. Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 3sinx + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0 ≤ x < 2 

π 

A. 

π 

x = B. 

6 

π 

π 

x = C. x = 

4 

2 

Câu 21. Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 5sinx – 3 = 0 là: 

A. 

π 7π 

x = − + k2 π ; x = + k2π 

B. 

6 6 

π 

C. x = + kπ ; x = π + k2π 

D. 

2 

Câu 22. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 1 là: 

D. 

π 5π 

x = + k2 π ; x = + k2π 

3 6 

π 5π 

x = + k2 π ; x = + k2π 

4 4 

π 

π 

A. x = k2 π; x = + k2π 

B. x = kπ; x = − + k2π 

2 

2 

π 

π 

C. x = + kπ; x = k2π 

D. x = + kπ; 

x = kπ 

6 

4 

42 

π 

x = − 

2 

3π 

x = − 

2 

π 

x = + kπ 

4 

π 

x = − 

2 

















Câu 23. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = –1 là: 

π 

A. x = π + k2 π ; x = − + k2π 

B. x = π + k2 π ; x = − π + k2π 

2 

2 

π 

π 

C. x = − + k2 π ; x = k2π 

D. x = + kπ 

; x = kπ 

3 

6 

Câu 24. Nghiệm của phương trình sinx + 3 cosx = 2 là: 

A. 

C. 

π 5π 

x = − + k2 π ; x = + k2π 

B. 

12 12 

π 2π 

x = + k2 π; x = + k2π 

D. 

3 3 

Câu 25. Nghiêm của pt sinx.cosx.cos2x = 0 là: 

π 3π 

x = − + k2 π ; x = + k2π 

4 4 

π 

5π 

x = − + k2 π; x = − + k2π 

4 4 

A. x = kπ 

B. x = k. π 

C. x = k. π 

D. x = k. π 

2 

8 

4 

Câu 26. Nghiêm của pt 3.cos 2 x = – 8.cosx – 5 là: 

A. x = kπ 

B. x = π + k2π 

π 

C. x = k2π 

D. x = ± + k2π 

2 

Câu 27. Nghiêm của pt cotgx + 

π 

A. x = + k2π 

B. 

3 

Câu 28. Nghiêm của pt sinx + 

π 

A. x = − + k2π 

B. 

3 

3 = 0 là: 

π 

x = + kπ 

C. 

6 

3 .cosx = 0 la: 

Câu 29. Nghiêm của pt 2.sinx.cosx = 1 là: 

π 

x = − + kπ 

C. 

3 

π 

x = − + kπ 

D. 

6 

π 

x = + kπ 

D. 

3 

A. x = k2π 

B. x = kπ 

C. x = k. π 

D. 

2 

Câu 30. Nghiêm của pt sin 2 x = 1 là 

A. x = k2π 

B. x = π + k2π 

C. 

π 

x = + kπ 

D. 

2 

π 

x = − + kπ 

3 

π 

x = − + kπ 

6 

π 

x = + kπ 

4 


π 

x = − + kπ 

2 




43 













Câu 31. Nghiệm của pt 2.cos2x = –2 là: 

A. x = k2π 

B. x = π + k2π 

C. 

Câu 32. Nghiệm của pt sinx + 

3 

0 

2 = là: 

π 

π 

A. x = + k2π 

B. x = − + k2π 

C. 

6 

3 

Câu 33. Nghiệm của pt cos2x – cosx = 0 là : 

π 

π 

x = + kπ 

D. x = + k2π 

2 

2 

5π 

x = + kπ 

D. 

6 

2π 

x = ± + k2π 

3 

A. x = k2π 

B. x = k4π 

C. x = kπ 

D. x = k. π 

2 

Câu 34. Nghiêm của pt sin 2 x = – sinx + 2 là: 

π 

A. x = + k2π 

B. 

2 

Câu 35. Nghiêm của pt sin 4 x – cos 4 x = 0 là: 

π 

A. x = ± + k2π 

B. 

4 

Câu 36. Xét các phương trình lượng giác: 

π 

π 

x = + kπ 

C. x = − + k2π 

D. x = kπ 

2 

2 

3π 

x = + k2π 

C. 

4 

π 

π π 

x = − + kπ 

D. x = + k. 

4 

4 2 

(I ) sinx + cosx = 3 , (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12 , (III ) cos 2 x + cos 2 2x = 2 

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm? 

A. Chỉ (III ) B. Chỉ (I ) C. (I ) và (III ) D. Chỉ (II ) 

Câu 37. Nghiệm của pt sinx = – 1 2 

π 

π 

A. x = + k2π 

B. x = − + k2π 

C. 

3 

6 

là: 

Câu 38. Nghiêm của pt tg2x – 1 = 0 là: 

A. 

π 

x = − + kπ 

B. 

4 

Câu 39. Nghiêm của pt cos 2 x = 0 là: 

3π 

x = + k2π 

C. 

4 

π 

x = + kπ 

D. 

6 

π π 

x = + k 

D. 

8 2 

5π 

x = + k2π 

6 

π 

x = + kπ 

4 





44 










A. 

π 

π 

π π 

π 

x = + kπ 

B. x = ± + k2π 

C. x = + k. 

D. x = − + k2π 

2 

2 

4 2 

2 




Câu 40. Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) . Pt nào sau đây tương đương với pt (1) 

A. sin4x = 0 B. cos3x = 0 C. cos4x = 0 D. sin5x = 0 

Câu 41. Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là: 

A. 

π 

x = + kπ 

B. 

4 

Câu 42. Nghiệm của pt 2cos2x + 2cosx – 2 = 0 

π 

A. x = ± + k2π B. 

4 

Câu 43. Nghiệm của pt sinx – 

A. 

π 

x = + kπ B. 

6 

Câu 44. Nghiệm của pt 

A. 

π 

x = − + kπ B. 

6 

π 

π 

π 

x = − + kπ 

C. x = + k2π 

D. x = − + k2π 

4 

4 

4 

π 

π 

x = ± + kπ C. x = ± + k2π D. 

4 

3 

3 cosx = 0 là: 

45 

π 

x = ± + kπ 

3 

π 

π 

π 

x = + kπ C. x = + k2π D. x = + k2π 

3 

3 

6 

3 sinx + cosx = 0 là: 

π 

x = − + kπ C. 

3 

Câu 45. Điều kiện có nghiệm của pt a. sin5x + b. cos5x = c là: 

π 

x = + kπ D. 

3 

π 

x = + kπ 

6 

A. a 2 + b 2 ≥ c 2 B. a 2 + b 2 ≤ c 2 C. a 2 + b 2 > c 2 D. a 2 + b 2 < c 2 

Câu 46. Nghiệm của pt tanx + cotx = –2 là: 

A. 

π 

x = + kπ B. 

4 

Câu 47. Nghiệm của pt tanx + cotx = 2 là: 

A. 

π 

x = − + kπ B. 

4 

π 

π 

π 

x = − + kπ C. x = + k2π D. x = − + k2π 

4 

4 

4 

π 

x = + kπ C. 

4 

Câu 48. Nghiệm của pt cos 2 x + sinx + 1 = 0 là: 

5π 

x = + k2π D. 

4 

3π 

x = − + k2π 

4 

π 

π 

π 

A. x = − + k2π B. x = ± + k2π C. x = + k2π D. 

2 

2 

2 

Câu 49. Tìm m để pt sin2x + cos 2 x = 2 

m có nghiệm là: 

π 

x = + kπ 

2 

















A. 1− 5 ≤ m ≤ 1+ 5 B. 1− 3 ≤ m ≤ 1+ 3 C. 1− 2 ≤ m ≤ 1+ 2 D. 0 ≤ m ≤ 2 

Câu 50. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin 2 x là: 

A. 

π 

x = B. 

6 

Câu 51. Nghiệm của pt cos 2 x – sinx cosx = 0 là: 

π π 

A. x = + kπ ; x = + kπ B. 

4 2 

C. 

π 

x = + kπ D. 

2 

Câu 52. Tìm m để pt 2sin 2 x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: 

A. 0 < m < 4 3 

B. 

5π 

π 

x = C. x = π D. 

6 

12 

4 

0 ≤ m ≤ C. 

3 

Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sinx + 

A. 

3π 

x = B. 

4 

π 

x = C. 

4 

Câu 54. Nghiệm âm nhỏ nhất của pt tan5x.tanx = 1 là: 

A. 

π 

x = − B. 

12 

π 

x = − C. 

3 

46 

π 

x = + kπ 

2 

5π 

7π 

x = + kπ ; x = + kπ 

6 6 

4 

m ≤ 0; m ≥ D. m < 0 ; 

3 

2 sin2x = 0 là: 

4 

m ≥ 

3 

π 

x = D. x = π 

3 

π 

x = − D. 

6 

π 

x = − 

4 

Câu 55. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là: 

π π 

A. x = − ; x = B. 

18 6 

Câu 56. Nghiệm của pt 2.cos 2 x – 3.cosx + 1 = 0 

π 2π 

π π 

π π 

x = − ; x = C. x = − ; x = D. x = − ; x = 

18 9 

18 2 

18 3 

π 

A. x = k2 π ; x = + k2π B. 

6 

π π 

C. x = + k2 π ; x = + k2π D. 

2 6 

Câu 57. Nghiệm của pt cos 2 x + sinx + 1 = 0 là: 

π 

π 

A. x = − + k2π B. x = + k2π C. 

2 

2 

π 5π 

x = + k2 π ; x = + k2π 

6 6 

2π 

x = −π + k2 π ; x = + k2π 

3 


π 

π 

x = − + kπ D. x = ± + k2π 

2 

2 













Câu 58. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4.sin 2 x + 3. 3 sin2x – 2.cos 2 x = 4 là: 




A. 

π 

x = B. 

6 

π 

x = C. 

4 

Câu 59. Nghiệm của pt cos 4 x – sin 4 x = 0 là: 

A. 

π π 

x = + k B. 

4 2 

Câu 60. Nghiệm của pt sinx + cosx = 

π 

x = D. 

3 

π 

x = 

2 

π 

x = + kπ C. x = π + k2π D. x = kπ 

2 

2 là: 

π 

π 

π 

π 

A. x = + k2π B. x = − + k2π C. x = − + k2π D. x = + k2π 

4 

4 

6 

6 

Câu 61. Nghiệm của pt sin 2 x + 

3 sinx.cosx = 1 là: 

π π 

π π 

A. x = + kπ ; x = + kπ B. x = + k2 π ; x = + k2π 

2 6 

2 6 

C. 

π 

5π 

x = − + k2 π ; x = − + k2π D. 

6 6 

Câu 62. Nghiệm của pt sinx – 

A. 

C. 

3 cosx = 1 là 

π 5π 

x = + k2 π ; x = + k2π 

6 6 

5π 

13π 

π π 

x = + k2 π ; x = + k2π B. x = + k2 π ; x = + k2π 

12 12 

2 6 

π 5π 

x = + k2 π ; x = + k2π D. 

6 6 

Câu 63. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm: 

π 5π 

x = + k2 π ; x = + k2π 

4 4 

(I) cosx = 5 − 3 (II) sinx = 1– 2 (III) sinx + cosx = 2 

A. (I) B. (II) 

C. (III) D. (I) và (II) 





47 













Các ví dụ 

F. MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO 

Vấn đề 1. Tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản 

Ví dụ 1. Tìm tổng các nghiệm trong khoảng ( −π; π ) của phương trình: 

π 

π 

2 2 

1. sin(3 x + ) = cos(2 x − ) 

2. sin 2x = cos (3 x − 

π ) 

3 4 

8 

Ví dụ 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các phương trình sau: 

2 2 

2 2 

1. sin 2x 

+ cos 5x 

= 1 

2. (sin x + cos x) = 2 cos 3x 

Ví dụ 3 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : 

⎡ 

⎛ 

1. 1 ⎞ 

cos ⎢π ⎜ x 2 + 2x − ⎟⎥ 

= sin( πx 

2 

) 

⎣ 

Ví dụ 4 

⎝ 

⎤ 

2 ⎠⎦ 

⎡ 

⎢⎣ 

2 

2. sin ( π x ) = sin π ( x + 1) 2 

⎛ π 

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : ⎜ ( x x ) 

2 x 

⎞ 

cos 3 − 9 + 160 + 800 ⎟ = 1 

⎝ 8 

⎠ 

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0; 2 π ) của phương trình sau: 

( ) ( ) 

3 − 1 sin x + 3 + 1 cos x = 2 2 sin 2x 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 

Bài 1. Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2 cos( x − π ) = 1 trên ( −π; π ) 

3 

A. 2 π 

3 

B. 

π 

3 

C. 4 π 

3 

⎤ 

⎥⎦ 

D. 7 π 

3 

π 

π 

Bài 2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5 x + ) = cos(2 x − ) trên [0; π ] 

3 3 

A. 7 π 

18 

B. 4 π 

18 

C. 47 π 

8 

D. 47 π 

18 





48 













Bài 3.Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau 

( x x ) 

2 x 

⎡π 

⎤ 

sin ⎢ 3 − 9 −16 − 80 = 0 

4 

⎥ . 

⎣ 

⎦ 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

2 

Bài 4. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos π(3 − 3 + 2 x − x ) = − 1. 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Bài 5. Tìm số nghiệm x∈ ⎣⎡ 

0;14⎦ ⎤ nghiệm đúng phương trình : 

cos 3x − 4 cos 2x + 3cos x − 4 = 0 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Bài 6. Tìm số nghiệm trên khoảng ( −π; π ) của phương trình : 

sinx + sin x − sinx + = sin x cosx 

2 

2( 1)( 2 3 1) 4 . 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Bài 7 Tìm số nghiệm ( 0; 2 ) 

x∈ π của phương trình : sin 3 x − sin x 

= sin 2x 

+ cos 2x 

1− 

cos 2x 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Vấn đề 2 . Phương pháp loại nghiệm khi giải phương trình lượng giác có điều kiện 

Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giác. Ta loại đi 

những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện. 

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ 

• Điểm biểu diễn cung α và α + k2π , k ∈Z trùng nhau 

2kπ 

• Để biểu diễn cung α + lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường 

n 

chọn k = 0,1,2,..., n − 1) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn 

tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn. 





49 













Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên 

kπ 

lπ 

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm α + và β + , trong đó m, 

n∈Z đã biết, còn 

n m 

k, 

l ∈Z là các chỉ số chạy. 

kπ 

lπ 

Ta xét phương trình : α + = β + ⇔ ak + bl = c (*) 

n m 

Với a, b, 

c là các số nguyên. 

Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên 

ax + by = c (1). 

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau: 

• Phương trình (1) có nghiệm ⇔ d = ( a, b) 

là ước của c 

• Nếu phương trình (1) có nghiệm ( x ; y ) thì (1) có vô số nghiệm 

0 0 

Phương pháp 3: Thử trực tiếp 

⎧ b 

x = x + t 

0 

⎪ d 

⎨ . 

⎪ a 

y = y0 

− t 

⎪⎩ d 

Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để 

kiểm tra. 

Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm số lượng giác: 

Giả sử ta có điều kiện là u( x) ≠ 0 ( u( x) ≥ 0, u( x) ≤ 0 ), ta biến đổi phương trình đã cho về 

phương trình chứa u( x ) và giải phương trình để tìm u( x ). 

Các ví dụ 


1. cot 3x 

= cot x 

2. cot 4 x.cot7x = 1 

Ví dụ 2. Giải phương trình sau: sin x cot 5 x 

= 1 

cos9x 





50 














Bài 1: Giải phương trình : sin x = cos 2x 

π 

A. x = ± + k2π B. 

6 

π 1 

x = ± + k π C. 

6 2 

Bài 2: Giải phương trình : cos 3x tan 4x = sin 5x 

A. 

C. 

π k3π 

x = k2 π , x = + B. 

16 8 

π 1 

x = ± + k π D. 

6 3 

1 π k3π 

x = k π , x = + 

2 16 8 

2 π kπ 

π kπ 

x = k π , x = + D. x = kπ , x = + 

3 16 8 

16 8 

Bài 3: Giải phương trình ( ) 

A. 

C. 

π 

x = + nπ và 

12 

π 2 

x = + nπ và 

12 3 

2 sin 3x + cos 3x = 1+ 2 sin 6x + 2sin 2x 

17π 

π 

x = + 2nπ B. x = + 2nπ và 

12 

12 

17π 

π 

x = + 2nπ D. x = + 2nπ và 

12 

12 

Bài 4: Giải phương trình : tan 2x tan 3x tan7x = tan 2x + tan 3x + tan7x 

. 

A. 

C. 

Các ví dụ 

⎧k 

≠ 2(2t 

+ 1) 

kπ 

⎪ 

x = với ⎨k ≠ 3(2t + 1) , t ∈ Z B. 

2 ⎪ 

⎩k 

≠ 6(2t 

+ 1) 

⎧k 

≠ 2(2t 

+ 1) 

kπ 

⎪ 

x = với ⎨k ≠ 5(2t + 1) , t ∈ Z D. 

3 ⎪ 

⎩k 

≠ 6(2t 

+ 1) 

π 

x = ± + kπ 

6 

17π 

x = + nπ 

12 

17π 

x = + 2nπ 

12 

⎧k 

≠ 2(2t 

+ 1) 

kπ 

⎪ 

x = với ⎨k ≠ 5(2t + 1) , t ∈ Z 

12 ⎪ 

⎩k 

≠ 6(2t 

+ 1) 

⎧k 

≠ 2(2t 

+ 1) 

kπ 

⎪ 

x = với ⎨k ≠ 3(2t + 1) , t ∈ Z 

12 ⎪ 

⎩k 

≠ 6(2t 

+ 1) 

Vấn đề 3 . Phương trình lượng giác chứa tham số. 

π 

Ví dụ 1. Tìm giá trị m để phương trình: 2 sin( x + ) = 2m 

+ 1vô nghiệm. 

10 


Lời giải: 




51 










Phương trình 

⎛ π ⎞ 2m 

+ 1 

⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 

⎝ 10 ⎠ 2 




2m 

+ 1 3 1 

• Nếu −1 ≤ ≤ 1 ⇔ − ≤ m ≤ thì phương trình có nghiệm 

2 2 2 

⎡ π 2m 

+ 1 

⎢x 

= − + arcsin + k2π 

10 2 

⎢ 

⎢ 9π 2m 

+ 1 

x = − arcsin + k2π 

⎢⎣ 10 2 

⎡ 3 

⎢m 

< − 

• Nếu 

2 

⎢ ⇒ phương trình vô nghiệm. 

⎢ 1 

m > 

⎢⎣ 2 

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình: mcos 2x = m − 1 

Lời giải: 

1 m − 1 

• Nếu m ≥ ⇒ ≤ 1 ⇒ phương trình có nghiệm 

2 m 

1 m − 1 


2 m 

1 

• Nếu m < thì phương trình vô nghiệm. 

2 

Ví dụ 3. Cho phương trình : ( m − 1)cos x + 2 sin x = m + 3 

1. Giải phương trình khi m = − 2 

Lời giải: 

1. Với m = 2 ta có phương trình : 3cos x − 2sin x = − 1 

3 2 1 1 

⇔ cos x − sin x = − ⇔ cos( x + α ) = − 

13 13 13 13 

Với 

2 3 ⎛ π ⎞ 

sin α = ,cos α = ; α ∈ ⎜ 0; ⎟ 

13 13 ⎝ 2 ⎠ . 

−1 −1 

⇔ x + α = ± arccos + k2π ⇔ x = −α ± arccos + k2π . 

13 13 

2. Tìm m để phương trình có nghiệm 





52 







2. Phương trình đã cho có nghiệm 

⇔ ( m − 1) + 4 ≥ ( m + 3) 

2 2 



1 

⇔ m ≤ − . 

2 





Ví dụ 4. Tìm m để phương trình: ( m 1) cosx ( m 1) 

sinx 2m 3 

π 

mãn: x − x = 

1 2 

3 

Ta có phương trình đã cho tương đương với 

m + 1 

cosx + 

m − 1 

sinx = 

2m + 3 

m m m 

2 2 2 

2 + 2 2 + 2 2 + 2 

( x ) 

⇔ cos + α = cosβ (với đk 

+ + − = + có 2 nghiệm x , x thoả 

1 2 

2 

2m 

+ 2 

Lời giải: 

2m+3 

−1 ≤ ≤ 1 (*) ) 

(Trong đó cos α = 

m + 1 

; cosβ = 

2m+3 

) ⇔ x = β ± α + k2π 

2 

2m 

+ 2 

2 

2m 

+ 2 

Do đó x , x có dạng x = β + α + k 2 π ; x = β − α + k 2π 

1 2 

1 1 2 2 

(Vì nếu x1,x2 cùng thuộc một họ nghiệm thì x − x = l2 π, 

l ∈ Z ) 

1 2 

π 

π 

Do đ ó: x1 − x2 = ⇔ 2 α+ ( k1−k2 

)2π = 

3 

3 

π 

1 

⇔ cos 2α+ ( k1−k2 

) 2π 

= cos ⇔ cos 2α = . 

3 2 

2 

Mặt khác cos2α = 2cos α − 1 nên ta có: 

( m + 1) 2 

2 

2 

1 ⎛ m + 1 ⎞ 3 

= 2 −1 

⇔ = 

⎜ ⎟ 

⎝ 2m 

+ 2 ⎠ 

m + 

2 2 

4 2 2 

4 1 0 2 3 

2 

⇔ m − m + = ⇔ m = ± (ko thoả mãn (*)) 

Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán . 


Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: 


1. 4 sin 2x 

= 2m 

+ 1 

2 π 

2 ( m − 1)cos (4 x + ) = 2m 

3 

53 













π 

3. tan(2 x − ) = m + 1 

4. 

6 

π 

m x m 

8 

2 

cot (2 − ) = 2 + 1 




1. Phương trình 

2m 

+ 1 

⇔ sin 2x 

= (1) 

4 

Lời giải: 

• Nếu 2 m + 1 5 3 

≤ 1 ⇔ 2m 

+ 1 ≤ 4 ⇔ − ≤ m ≤ thì phương trình (1) có 

4 2 2 

⎡ 1 2m 

+ 1 

⎢x 

= arcsin + kπ 

nghiệm 

2 4 

⎢ 

, k ∈Z 

⎢ π 1 2m 

+ 1 

x = − arcsin + kπ 

⎢⎣ 2 2 4 

5 3 

• Nếu m ∈ ⎛ ⎜ −∞; − ⎞ ⎟ ∪ ⎛ ⎜ ; +∞ 

⎞ 

⎟ thì phương trình (1) vô nghiệm 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Lời giải: 

2. • Nếu m = 1 ⇒ phương trình (1) vô nghiệm 

2 ⎛ π ⎞ 2m 

• Nếu m ≠ 1 ⇒ phương trình đa cho ⇔ cos ⎜ 4x 

+ ⎟ = (2) 

⎝ 3 ⎠ m − 1 

⎧ 2m 

≥ 0 

⎪ 

( ;0] (1; ) 

+) Nếu 

m −1 

⎧m∈ −∞ ∪ +∞ 

⎨ ⇔ ⎨ ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 thì 

⎪ 2m 

− 1 ≤ m < 1 

≤ 1 ⎩ 

⎪⎩ 

m −1 

⎛ π ⎞ 2m 

Phương trình (2) ⇔ cos⎜ 

2x 

+ 

3 

⎟ = ± 

⎝ ⎠ m −1 

π ⎛ 2m 

⎞ 

π 1 ⎛ 2m 

⎞ 

⇔ 2x 

+ = ± arccos ± + k2π 

⇔ x = − ± arccos ± + kπ, 

k ∈Z 

3 ⎜ m −1 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

6 2 

⎝ 

m − 1 

⎠ 

+) Nếu 

⎡ m < −1 

⎢ thì phương trình (2) vô nghiệm. 

⎣m 

> 0 

Lời giải: 


3. Với mọi giá trị của m ta có phương trình đã cho tương đương với 




54 













π π 1 

kπ 

2x − = arctan( m + 1) + kπ ⇔ x = + arctan( m + 1) + 

6 12 2 2 

4. 

• Nếu m = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm 

Lời giải: 

2 2 1 

• Nếu m ≠ 0 thì phương trình đã ch tương đương với cot ⎛ m 

⎜ 2x 

− π ⎞ ⎟ = 

+ 

⎝ 8 ⎠ m 

+) Nếu 2 m + 1 0 1 < ⇔ − < m < 0 thì phương trình (4) vô nghiệm 

m 2 

⎡ 1 

+) Nếu ⎢m 

≤ − 

2 thì phương trình (4) có nghiệm là 

⎢ 

⎢⎣ m > 0 

π ⎛ 2m 

+ 1 ⎞ 

π 1 ⎛ 2m 

+ 1 ⎞ kπ 

2x − = arc cot 

± + kπ 

⇔ x = + arc cot ± + , k ∈Z . 

8 ⎜ m ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

16 2 

⎝ 

m 

⎠ 

2 

Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau: 

1. 

1. 

2 

2 

msin 2x + m − 1 = 0 

2. (2m − 1) tan 3x = m + 2 

• Nếu m = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm 

• Nếu m ≠ 0 ⇒ phương trình 

2. 

+) 

1− 

m 

m 

⇔ sin 2x 

= 

2 1 

Lời giải: 

− m 

m 

⎧ 1 

⎪m 

< 

> 1 ⇔ 1− m > m ⇔ ⎨ 2 ⇒ phương trình vô nghiệm 

⎪ 

⎩m 

≠ 0 

1 

+) m ≥ ⇒ phương trình có nghiệm : 

2 

⎡ 1 ⎛ 1− 

m ⎞ 

⎢x 

= arcsin 

± + kπ 

⎢ 2 ⎜ m ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎢ 

⎢ π 1 ⎛ 1− 

m ⎞ 

⎢ 

x = − arcsin 

± + kπ 

2 2 ⎜ m ⎟ 

⎣ 

⎝ ⎠ 


Lời giải: 

55 

(4) 
















• Nếu 

• Nếu 

+) Nếu 

+) Nếu 

1 

m = ⇒ phương trình vô nghiệm 

2 

1 

m ≠ thì phương trình 

2 

2 m + 2 

⇔ tan 3x 

= 

2m 

−1 

1 

− 2 < m < ⇒ phương trình vô nghiệm 

2 

⎡m 

≤ −2 

⎢ 

1 ⇒ phương trình có nghiệm 

⎢ m > 

⎢⎣ 2 

Bài 3 Cho phương trình ( m − 1)s inx + mcos x = 2m 

− 1 (1) 

1. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm 

tìm đượC. 

2. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. 

1. Phương trình có nghiệm 

1 ⎛ m + 2 ⎞ kπ 

x = arc t an 

± + . 

3 ⎜ 2m 

−1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 

Lời giải: 

π 

x = khi và chỉ khi 

3 

π π 3 − 3 

( m − 1)sin + mcos = 2m −1 

⇔ m = 

3 3 6 

Bạn đọc tự giải phương trình. 

2. Phương trình có nghiệm 

2 

⇔ m − m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1 . 

Lời giải: 

⇔ ( m − 1) + m ≥ (2m 

− 1) 

2 2 2 

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 

2 

cos 2x cos x 3sin x 2m 

0 

+ + + = có nghiệm 


⇔ − = + 

2 

3sin x 3sin x 2m 

2 

Lời giải: 

Đặt t = sin, t ∈ ⎡− ⎣ 1;1⎤⎦ . Ta có phương trình : 2 

3t − 3t = 2m 

+ 2 

π 

x = , giải phương trình với giá trị m vừa 

3 





Xét hàm số 

2 

f ( t) = 3t − 3 t, t ∈ ⎣⎡− 1;1⎤⎦ 

56 










Bảng biến thiên 




t − 1 

1 

f ( t ) 6 

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình đã cho có nghiệm 

⇔ 0 ≤ 2m 

+ 2 ≤ 6 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2 . 

⎡π ⎤ 

2. cos 2 x − (2m + 1)cos x + m + 1 = 0 có nghiệm trên ⎢ ; π 

2 

⎥ 

⎣ ⎦ 

2 

. Phương trình ( ) 

Lời giải: 

⇔ 2cos x − 2m + 1 cosx + m = 0 

⎡2 cos x − 1 = 0 

⇔ ( 2 cos x −1)( cos x − m) 

= 0 ⇔ ⎢ 

⎣ cos x − m = 0 

⎛ π ⎞ 

Ta có : x∈⎜ 

; π⎟ 

⇒ −1 ≤ cos x ≤ 0 

⎝ 2 ⎠ 

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm x∈ 

⎛ ⎜ 

π ; π 

⎞ 

⎟ ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 . 

⎝ 2 ⎠ 

Bài 5: Giải và biện luận phương trình : 

1. ( ) ( ) 

. 

2 3 2 3 

8 + 1 sin − 4 + 1 sin + 2 cos = 0 

m x m x m x 

Lời giải: 

• Nếu m = 0 , phương trình ⇔ − = 

kπ 

x x = ⇔ x = ⇔ x = 

2 

2 

sin cos 0 sin 2 0 

3 

sin x sin x 0 

3 

• Nếu m ≠ 0 , chia hai vế phương trình cho cos x ≠ 0 ta được 

( ) 

2 3 2 2 

(8 + 1)tan − (4 + 1) tan 1+ tan + 2 = 0 

m x m x x m 


⇔ m x − m + x + m = 

2 3 2 

4 tan (4 1) tan 2 0 

0 




57 










⇔ m x − m x + x − m = 

2 

(2 tan 1)(2 tan tan 2 ) 0 




⎡ 1 

⎡ 1 ⎡ 1 

tan x = tan x = ⎢x 

= arctan + kπ 

⇔ ⎢ 

2m 

⇔ ⎢ 

2m 

⇔ 2 m 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

2 

1 k 

⎢⎣ 

2m tan x + tan x − 2m 

= 0 ⎢⎣ 

tan 2x 

= 4m 

⎢ π 

x = arctan(4 m ) + 

⎢⎣ 2 2 

KL: • Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm 

• Nếu m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm 

kπ 

1 1 

kπ 

x = , x = arctan + kπ , x = arctan(4 m) 

+ . 

2 2m 

2 2 

2. m x x ( x x) 

2 sin cos − sin + cos + 1 = 0 . 

kπ 

x = 

2 

Lời giải: 

2 

⎛ π ⎞ 

. Đặt t = sin x + cos x = 2 cos x − , t ∈ ⎡− 

2; 2 ⎤ 

t −1 

⎜ ⎟ ⇒ sin x cos x = . 

⎝ 4 ⎠ 

⎣ ⎦ 

2 

Thay vào phương trình ta có: 

2 

⎡ t = 1 

m( t −1) − t + 1 = 0 ⇔ ( t − 1)( mt + m − 1) = 0 ⇔ ⎢ 

⎣mt 

= 1− 

m 

⎡ π 

⎛ π ⎞ 1 x = + k2π 

• t = 1 ⇔ cos x 

⎢ 

⎜ − 2 

4 

⎟ = ⇔ 

⎝ ⎠ 2 ⎢ 

⎢⎣ x = k2π 

• Xét phương trình : mt = 1− m (*) 

+) Nếu m = 0 ⇒ (*) vô nghiệm 

1− 

m ⎧⎪ 

m ≠ 0 ⎡m 

≤ −1− 

2 

+) Nếu ≤ 2 ⇔ ⎨ 

⇔ ⎢ 

2 

m ⎪⎩ 

m + 2m − 1 ≥ 0 

⎣⎢ m ≥ − 1+ 

2 

1− m ⎛ π ⎞ 1− 

m π ⎛ 1− 

m ⎞ 

⇒ (*) ⇔ t = ⇔ cos⎜ 

x − ⎟ = ⇔ x = ± arccos⎜ 

⎟ + k2π 

m ⎝ 4 ⎠ m 2 4 ⎝ m 2 ⎠ 

⎧⎪ 

m ≠ 0 1− 

m 

+) ⎨ ⇒ (*) ⇔ t = vô nghiệm. 

⎪⎩ − 1 − 2 < m < − 1 + 2 

m 





58 













π 

KL: • Nếu −1− 2 < m < − 1+ 2 ⇒ phương trình có nghiệm x = + k2 π , x = k2π . 

2 

• Nếu 

⎡ m < −1− 

2 

⎢ 

⇒ phương trình có nghiệm 

⎢ ⎣m 

> − 1+ 

2 

π π ⎛ 1− 

m ⎞ 

x = + k2 π , x = k2 π , x = ± arccos⎜ 

⎟ + k2π. 

2 4 ⎝ m 2 ⎠ 

3. 

cos 

mcot 2x 

= 

cos 

x − sin 

x + sin 

2 2 

6 6 

cos 2x 

cos 2x 

. Phương trình ⇔ m = 

2 2 

sin 2x 1 − 3sin x cos x 

x 

x 

• Phương trình luôn có nghiệm: 

π π 

x = + k . 

4 2 

Lời giải: 

m 4 

2 

• Phương trình: = hay 3mt + 4t − 4m 

= 0 (*) 

2 

sin 2x 

4 − 3sin 2x 

Với t = sin 2x 

∈ ⎡−1;1 ⎤\ { 0} 

⎣ ⎦ . 

+) m = 0 phương trình vô nghiệm 

4 

+) m ≠ 0 ⇒ phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt t 1 

t 2 

= − nên trong đó nếu có 

3 

thì chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc ⎡− ⎣ 1;1⎤⎦ 

2 

− 2 + 2 1+ 

3m 

2 

Nghiệm t = ∈ ⎡−1;1⎤ ⇔ 2 1+ 3m − 2 ≤ 3 m 

3m 

⎣ ⎦ 

⇔ m + ≤ + m ⇔ m − m ≤ ⇔ m ≤ 

2 2 4 2 

3 8 8 1 3 9 144 0 2 

2 

−2 − 2 1+ 

3m 

2 

Nghiệm t = ∈ ⎡−1;1⎤ ⇔ 2 1+ 3m + 2 ≤ 3 m 

3m 

⎣ ⎦ vô nghiệm 

Vậy : * Nếu 

⎡ m = 0 

⎢ thì phương trình đã cho có nghiệm 

⎢⎣ 

m > 2 

⎪⎧ 

m ≠ 0 

* Nếu ⎨ thì phương trình đã cho có nghiệm 

⎪⎩ 

m ≤ 2 

59 

π π 

x = + k 

4 2 


π π 

x = + k 

4 2 
















2 2 

1 − 2 + 2 1+ 3m 

π 1 − 2 + 2 1+ 

3m 

x = arcsin + kπ , x = − arcsin 

+ kπ . 

2 3m 

2 2 3m 

Bài 6: Tìm m để phương trình mcos 2x + sin x = cos x cot x có đúng 4 nghiệm thuộc ( 0; 2π ) 


⎧ sin x ≠ 0 (1) 

⇔ ⎨ 

⎩cos 2 x( msin x − 1) = 0 (2) 

• Nếu m = 0 ⇒ phương trình ⇔ cos 2x 

= 0 

Lời giải: 

3 5 7 

⇔ x = π , x = π , x = π , x = π ⇒ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán 

4 4 4 4 

• 0 

m ≠ . Vì phương trình luôn có 4 nghiệm trên ( ) 

trình msin x − 1 = 0 vô nghiệm hoặc có các nghiệm trên 

⎧m 

≠ 0 

⎪ 

1 ⎧m 

≠ 0 

⎡ 

⎪⎢ > 1 ⎪ 

Điều đó xảy ra khi ⎨ m ⎡ m < 1 

⎢ 

⇔ ⎨ . 

⎪ 

⎢ 

⎢ ⎪ 

⎪ 

1 2 ⎪⎣ ⎢ m = ± 2 

⎢ = ⎩ 

⎪⎢⎣ ⎩ m 2 

⎡ m < 1 

Vậy ⎢ là những giá trị cần tìm. 

⎢ ⎣m 

= ± 2 

0; 2π nêu yêu cầu bài toán ⇔ phương 

2 2 

⎛ π ⎞ 

2. (1 − m)tan x − + 1+ 3m 

= 0 có nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng ⎜ 0; ⎟ 

cos x 

⎝ 2 ⎠ . 

1− 

m 2 

Phương trình ⇔ − + 4m 

= 0 

2 

cos x cos x 

1 

cos x 

Đặt t = ⇒ t > 1 ∀x 

∈ ( 1; +∞ ) 

Lời giải: 

2 

Ta có phương trình : (1 − m) t − 2t + 4m 

= 0 (*) 

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có nhiều hơn một nghiệm t > 1 


⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt t 1 

, t 2 

> 1 




60 













⎧1− m ≠ 0 ⎧ 1 

m ≠ 1, m ≠ 

⎪ 

' 1 4 ( 1) 0 

2 

⎪ ∆ = + m m − > ⎪ 

⇔ ⎨ 

⇔ ⎨t 

+ t − 2 > 0 

1 2 

⎪( t − 1) + ( t − 1) > 0 

1 2 

⎪t t − ( t + t ) + 1 > 0 

⎪ 

1 2 1 2 

⎩( t −1)( t − 1) > 0 ⎪ 

1 2 

⎩ 

⎧ 1 ⎧ 1 

⎪m ≠ 1, m ≠ 1, 

2 

⎪m ≠ m ≠ ⎧ 1 

2 

⎪m 

≠ 1, m ≠ ⎧ 1 

2 m ≠ 

⎪ 2 ⎪ 2m 

⎪ 

⎪ 

⇔ ⎨ − 2 > 0 ⇔ ⎨ > 0 ⇔ 

2 

⎨0 < m < 1 ⇔ ⎨ . 

⎪1− 

m 

⎪1− 

m ⎪ 1 

1 

⎪ < m < 1 

⎪ 4m 

2 ⎪3m 

− 1 ⎪ < m < 1 ⎪ 

⎪ 

− + 1 > 0 > 0 

⎩3 

1− m 1− m ⎪ 

3 

⎩ 

⎩ 1− 

m 

⎩ 

3. 

2 

1 

m tan x + 2 tan x − 1 = có nghiệm. 

2 

cos x 


Lời giải: 

2 2 

m tan x 2 tan x 1 1 tan x 

⇔ + − = + 

2 

⇔ ( m − 1)tan x + 2 tan x − 2 = 0 (1) 

• m = 1 ⇒ (*) ⇔ tan x = 1 

1 

• m ≠ 1. Ta có (*) có nghiệm ⇔ ∆ ' = 2m 

−1 ≥ 0 ⇔ m ≥ 

2 

Vậy 

1 

m ≥ là những giá trị cần tìm. 

2 

2 2 

4. cos 4x = cos 3x + msin 

x có nghiệm x ∈ ⎛ 0; π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 12 ⎠ 


Lời giải: 

2 1+ cos6 x m(1 − cos 2 x) 

⇔ 2 cos 2x 

− 1 = + 

2 2 

⇔ x − x − x + + m − x = 

3 2 

4 cos 2 4 cos 2 3cos 2 3 (1 cos 2 ) 0 

⎡ cos 2x 

= 1 

⇔ − − − = ⇔ ⎢ 

⎢ 

+ 

cos 2x 

= 

⎢⎣ 

4 

Vì 

2 

(cos 2x 1)(4 cos 2x 3 m) 0 

2 m 3 


3 

x∈ ⎛ 0; 2x 0; cos 2 x ⎛ ;1 

⎞ 

⎜ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

12 

⎟ ⇒ ∈⎜ ⇒ ∈⎜ 6 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

61 










Do đó phương trình đã cho có nghiệm 

3 m + 3 

⇔ < < 1 ⇔ 0 < m < 1 

4 4 







Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 

1 

4 

4 4 2 

sin x + cos x – cos2x + sin 2 + = 0 


x 

m 

1 

⇔ − x − x + m = 

4 

2 

⇔ cos 2x − 4cos 2x = −3 − 4m 

Đặt t = cos 2x ⇒ t ∈ ⎣⎡− 1;1⎤⎦ 

Ta có phương trình 

Bảng biến thiên 

2 

1 sin 2 cos 2 0 

2 

( ) = − 4 = −4 − 3 

f t t t m 

Lời giải: 

t − 1 

1 

f ( t ) 5 

Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm 

⇔ −3 ≤ −4m 

− 3 ≤ 5 ⇔ −2 ≤ m ≤ 0 . 

Bài 9: Chứng minh phương trình cosx + mcos2x = 0 luôn có nghiệm với mọi m. 


⇔ + − = 

2 

2mcos x cos x m 0 

Lời giải: 

Đặt t = cos x, t ∈ ⎣⎡− 1;1⎤⎦ ta có phương trình 2 

2mt + t − m = 0 . 

• m = 0 ⇒ t = 0 là nghiệm phương trình 

1 

• m ≠ 0 ta thấy phương trình luôn có hai nghiệm t 1 

, t 2 

và t t = ⇒ trong hai nghiệm 

1 2 

2 


luôn có một nghiệm thuộc ⎡− ⎣ 1;1⎤⎦ 

− 3 




62

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LÊ HOÀNG TÙNG THPT PHÚ BÌNH

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?