07.04.2018 Views

អាំងតេក្រាល

Magazine created successfully

Magazine created successfully

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អ ាំងតេក្រាលមិនកាំណេ់<br />

1. ព្រីមីទីវ និង អាំងតេព្ាលមិនកាំណេ់<br />

1.1 . និយមន័យ<br />

F( x)<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

f( x)<br />

កាលណា<br />

F '( x) f ( x)<br />

ចំរ ោះព្រប់តនមៃ x<br />

ក្ន ុងដែៃក្ំណត់ នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

។<br />

ឧទាហរណ៍ ១ :<br />

2<br />

ក្. អៃុរមៃ៍ F x x ជាព្រីមីទីវរលើ នៃអៃុរមៃ៍ 2<br />

ខ. អៃុរមៃ៍<br />

<br />

F x<br />

រ. អៃុរមៃ៍ F x<br />

1<br />

<br />

x<br />

ឧទាហរណ៍ ២ : ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />

ជាព្រីមីទីវរលើ<br />

<br />

,0<br />

<br />

0, <br />

ឬ <br />

x ជាព្រីមីទីវរលើ 0, នៃអៃុរមៃ៍<br />

f x x x<br />

2<br />

: 3 5 2<br />

f x x ។<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

ក្ំណត់រលើ<br />

<br />

x<br />

f<br />

1<br />

<br />

x<br />

<br />

2<br />

x<br />

1<br />

<br />

2 x<br />

។<br />

។<br />

។ ចូ ក្ព្រីមីទីវនៃ<br />

f( x)<br />

។<br />

ចម្ល ើយ : f ជាអៃុរមៃ៍រហុធា ។ រែើមបី ក្ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍ f លុោះព្ាដត ររ ក្ព្រីមីទីវនៃឯក្ធា<br />

ៃីមួយៗ ។ ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />

x<br />

5x<br />

រឺ<br />

x<br />

<br />

5<br />

2<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

ឧទាហរណ៍ ៣ : ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />

x<br />

2<br />

f x x x<br />

2<br />

: 3 5 2<br />

ៃិង ព្រីមីទីវនៃ<br />

f<br />

x<br />

2<br />

រឺ ជាអៃុរមៃ៍ F<br />

រ<br />

រឺ<br />

x<br />

sin cos<br />

F x x x x<br />

ោះ ព្រីមីទីវនៃ<br />

2x<br />

។<br />

x<br />

ដែលក្ំណត់រោយ<br />

ៃិង<br />

3x<br />

2<br />

f ( x) x cos x<br />

រឺ<br />

x<br />

x<br />

3<br />

, ព្រីមីទីវនៃ<br />

3 5 2<br />

F x x x 2x<br />

2<br />

ក្ំណត់រលើ<br />

។<br />

។<br />

ចូ បង្ហា ញថា<br />

F( x)<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

f( x)<br />

។<br />

ចម្ល<br />

ើយ រយើងព្តូវបង្ហា ញថា F x f x<br />

។ ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />

sin cos<br />

F x x x x<br />

ម<br />

ោះមេរីមេនៃ<br />

អៃុគ្ៃ៍ F គឺ<br />

<br />

F '( x) xsin x cos<br />

x <br />

<br />

sin x x cos x sin x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 1


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រោយ<br />

xcos<br />

x<br />

F '( x) f ( x)<br />

ំឲ្យ<br />

F( x)<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

f( x)<br />

ែូចរៃោះ<br />

F( x)<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

f( x)<br />

1.2 ព្ទឹស្ត ីបទ<br />

របើ<br />

F( x)<br />

ជាព្រីមីទីវមួយនៃ<br />

f( x)<br />

រ<br />

ោះព្រីមីទីវទំងអស់នៃ<br />

f<br />

មាៃទព្មង់ទូរៅ<br />

F( x)<br />

c<br />

ដែល c<br />

ជា<br />

ចំៃួៃរេ ណាមួយ ។<br />

ឧទាហរណ៍ ១ :<br />

ក្. អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

ចំៃួៃរេ ណាមួយ ។<br />

<br />

2<br />

f x 2x x 1<br />

រលើ<br />

រឺ<br />

2 3 1 2<br />

F x x x x c<br />

3 2<br />

ដែល c<br />

ជា<br />

ខ. អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

2 cos<br />

f x<br />

<br />

<br />

x<br />

រលើ<br />

រឺ<br />

F x 2x sin x c<br />

ដែល c<br />

ជាចំៃួៃរេ<br />

ណាមួយ ។<br />

ឧទាហរណ៍ ២ : ក្ព្រីមីទីវ<br />

ចម្ល ើយ<br />

ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />

F( x)<br />

រោយ F(0) 2 ម ោះររបាៃ<br />

ែូចរៃោះ<br />

2. អាំងតេព្ាលមិនកាំណេ់<br />

1<br />

F x x x<br />

3<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

2<br />

f ( x) x sin<br />

x<br />

3<br />

( ) cos 2<br />

1 0 3<br />

<br />

3<br />

sin 0 c 2<br />

រ<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

2<br />

f ( x) x sin<br />

x<br />

ោះព្រីមីទីវនៃ<br />

ំឲ្យ<br />

f( x)<br />

f<br />

c 2<br />

។<br />

រលើ<br />

រឺ<br />

ដែល<br />

1<br />

3<br />

F(0) 2<br />

។<br />

3<br />

F( x) x cos x c<br />

។<br />

2.1 . និមយន័យ<br />

របើ F( x ) ជាព្រីមីទីវមួយនៃ f( x ) រ ោះ អំងរតព្កាលមិៃក្ំណត់នៃ f( x ) ក្ំណត់រោយ<br />

2.2. លកខណៈននអាំងតេព្ាលមិនកាំនេ់<br />

<br />

f ( x) dx F( x)<br />

c<br />

ដែល c<br />

ជាចំៃួៃរិតរេ ។<br />

<br />

<br />

1. f x dx f x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2. d F x F x c<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 2


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

<br />

<br />

3. kf x dx k f x dx<br />

2.3 រូបមនតព្្ឹៈននអាំងតេព្ាលមិនកាំណេ់<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4. f x g x dx f x dx g x dx<br />

<br />

1. adx ax c<br />

dx<br />

3. ln x c<br />

x <br />

dx 1 1<br />

x<br />

5. ln<br />

2<br />

1x<br />

2 1x<br />

dx<br />

7. arctan x<br />

1<br />

2<br />

x <br />

dx<br />

9. 2 x c<br />

x <br />

dx<br />

11. ln<br />

<br />

c<br />

2 2<br />

x x a c<br />

2 2<br />

x a <br />

dx<br />

13. arcsin x<br />

1<br />

c<br />

2<br />

x <br />

c<br />

2.<br />

4.<br />

<br />

<br />

p1<br />

p x<br />

x dx c<br />

p 1<br />

dx 1<br />

<br />

p<br />

p<br />

x p 1<br />

x <br />

<br />

1<br />

c<br />

dx 1 a x<br />

6. ln<br />

<br />

2 2<br />

a x 2a a x<br />

2 2<br />

a x a a<br />

c<br />

dx 1 x<br />

8. arctan c<br />

10.<br />

<br />

<br />

dx 2<br />

ax b c<br />

ax b a<br />

<br />

dx<br />

12. ln<br />

<br />

2 2<br />

x x a c<br />

2 2<br />

x a <br />

dx x<br />

14. arcsin<br />

<br />

2 2<br />

a x a<br />

<br />

15. sin xdx cos x c<br />

16. cos xdx sin<br />

x c<br />

2 dx<br />

2<br />

17. 1 tan x dx sec<br />

2<br />

xdx tan x c<br />

cos<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

2 dx<br />

2<br />

18. 1 cot x dx csc<br />

2<br />

xdx cot x c<br />

sin<br />

<br />

<br />

19. tan xdx ln cos x c<br />

x<br />

dx<br />

x<br />

21. csc xdx ln tan c<br />

sin x 2<br />

<br />

<br />

23. sinh xdx cosh<br />

x c<br />

<br />

25. tanh xdx ln cosh x c<br />

27.<br />

<br />

<br />

x x<br />

e dx e c<br />

29. ln xdx x ln x x c<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

20. cot xdx ln sin x c<br />

dx<br />

x<br />

<br />

22. sec xdx ln tan c<br />

cos x<br />

<br />

2 4 <br />

<br />

24. cosh xdx sinh<br />

x c<br />

<br />

26. coth xdx ln sinh x c<br />

28.<br />

<br />

x<br />

x a<br />

a dx <br />

ln a<br />

<br />

c<br />

<br />

c<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 3


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

3. ្ណនាអាំងតេព្ាលមិនកាំណេ់<br />

3.1 ារ្ណនាអាំងតេព្ាលតោយតព្បើអតេរជាំនួយ<br />

ឧទាហរណ៏ ១ : គណ<br />

ចាំម<br />

ម<br />

អាំងមេក្រាល<br />

ោះអាំងមេក្រាខាងមលើមគតាង<br />

ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

មយើងជាំៃួស<br />

u 14x<br />

ឧទាហរណ៍ ២ : គណ<br />

<br />

u 14x<br />

<br />

dx<br />

1<br />

4x<br />

ម<br />

dx<br />

<br />

1<br />

4x<br />

<br />

ោះ<br />

du<br />

<br />

4<br />

u<br />

1<br />

<br />

4<br />

du 4dx<br />

<br />

du<br />

u<br />

1<br />

2 u c<br />

មៅក្ន ុងអាំងមេក្រាល មគបាៃ<br />

អាំងមេក្រាល<br />

<br />

<br />

<br />

cos 3x dx<br />

ចាំម ោះអាំងមេក្រាខាងមលើមគតាង u 3x<br />

ម ោះ du 3dx<br />

ឬ<br />

ម<br />

ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

មយើងជាំៃួស<br />

u 3x<br />

ឧទាហរណ៍ ៣ : គណ<br />

<br />

<br />

<br />

cos 3x dx <br />

មៅក្ន ុងអាំងមេក្រាល មគបាៃ<br />

អាំងមេក្រាល<br />

<br />

e<br />

2x<br />

dx<br />

<br />

<br />

du<br />

cosu<br />

<br />

3<br />

1<br />

cos udu<br />

3<br />

<br />

1 sin<br />

3<br />

<br />

ឬ<br />

du<br />

dx <br />

4<br />

dx 1 1 4 x c<br />

1<br />

4x 2<br />

<br />

uc<br />

ចាំម ោះអាំងមេក្រាខាងមលើមគតាង u 2x<br />

ម ោះ du 2dx<br />

ឬ<br />

ម<br />

ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

<br />

e dx e<br />

<br />

<br />

<br />

2 <br />

2x u du<br />

1 u<br />

<br />

2<br />

e du<br />

1<br />

e<br />

2<br />

du<br />

dx <br />

3<br />

1<br />

cos 3x dx sin 3x c<br />

3<br />

u<br />

c<br />

<br />

du<br />

dx <br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 4


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

មយើងជាំៃួស<br />

u 2x<br />

ឧទាហរណ៍ ៤ : គណ<br />

មៅក្ន ុងអាំងមេក្រាល មគបាៃ<br />

អាំងមេក្រាល<br />

dx<br />

<br />

5x 1<br />

ចាំម ោះអាំងមេក្រាខាងមលើមគតាង u 5x 1 ម ោះ<br />

du<br />

ម ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

dx 5<br />

<br />

5x1<br />

<br />

u<br />

មយើងជាំៃួស<br />

u 5x1<br />

ឧទាហរណ៍ ៥ : គណ<br />

ចាំម<br />

ម<br />

1<br />

<br />

5<br />

<br />

<br />

1 ln<br />

5<br />

<br />

1<br />

2<br />

2x<br />

2x<br />

e dx e c<br />

du 5dx<br />

du<br />

u<br />

មៅក្ន ុងអាំងមេក្រាល មគបាៃ<br />

អាំងមេក្រាល<br />

ោះអាំងមេក្រាខាងមលើមគតាង<br />

ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

មយើងជាំៃួស<br />

u<br />

2<br />

3x<br />

4<br />

u<br />

<br />

3<br />

u c<br />

<br />

2<br />

x 3x 4 dx<br />

2<br />

3x<br />

4 ម ោះ<br />

<br />

3<br />

ឬ<br />

du<br />

dx <br />

5<br />

dx 1<br />

ln 5 x 1 c<br />

5x<br />

1 5<br />

du 6xdx<br />

2 3 du<br />

x 3x 4 dx u<br />

<br />

6<br />

មៅក្ន ុងអាំងមេក្រាល មគបាៃ<br />

តា្រយៈឧទាហរណ៍ ខាងមលើមគអចទាញថាមេើ្បីគណ<br />

ជាំៃួសមយើងក្រេូេ ៖<br />

+ តាង u f x<br />

រួចទាញរក្<br />

+ ជាំៃួស f x មោយ u<br />

+ រក្ចម្ល ើយអាំងមេក្រាល<br />

ៃិង<br />

<br />

1<br />

<br />

3<br />

6 u du<br />

ឬ<br />

31<br />

1 u<br />

c<br />

6 31<br />

4<br />

u<br />

c<br />

24<br />

<br />

du f x dx<br />

<br />

f x dx<br />

du<br />

xdx <br />

6<br />

2<br />

3 1 2<br />

3<br />

x 3x 4 dx 3x 4 c<br />

24<br />

<br />

អាំងមេក្រាល<br />

មោយ du<br />

+ ជាំៃួស u មោយ f x ម ោះមគៃឹងបាៃចម្ល ើយលេលក្រេូេរក្<br />

I f x<br />

dx<br />

<br />

មោយមក្ររើអមេរ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 5


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

3.2 ារ្ណនាអាំងតេព្ាលតោយផ្នែក<br />

កា រណ<br />

<br />

<br />

f x g x dx f x g x g x f x dx<br />

អំងរតព្កាលរោយដ នក្មាៃរាងរព្ចើៃែូចបង្ហា ញខាងរព្កាម<br />

+រាងទី១: អាំងមេក្រាលមាៃរាង<br />

ក្ន<br />

<br />

sin<br />

<br />

P x ax b dx<br />

ៃិង<br />

<br />

<br />

cos <br />

P x ax b dx<br />

ax <br />

P x e<br />

b<br />

axb<br />

dx ៃិង P xm<br />

dx<br />

ុងក្រណី ខាងមលើមគតាង f x Px<br />

មហើយមសេងពីមៃោះតាង g x<br />

រួចទាញរក្ fx<br />

ៃិង g x <br />

+រាងទី២: អាំងមេក្រាលមាៃរាង<br />

ក្ន ុងក្រណី ខាងមលើមគតាង<br />

<br />

+រាងទី៣: អាំងមេក្រាលមាៃរាង<br />

ក្ន ុងក្រណី ខាងមលើមគតាង<br />

<br />

<br />

<br />

P x arcsin ax b dx<br />

ln<br />

<br />

P x ax b dx<br />

<br />

g<br />

x P x<br />

<br />

<br />

ៃិង<br />

ៃិង<br />

មហើយមសេងពីមៃោះតាង<br />

<br />

k<br />

x sin ln x dx<br />

<br />

x<br />

g<br />

x x<br />

+រាងទី៤: អាំងមេក្រាលមាៃរាង<br />

ក្ន ុងក្រណី ខាងមលើមគតាង<br />

ារគណ<br />

<br />

<br />

<br />

g<br />

x x<br />

k<br />

k<br />

<br />

sin log<br />

a<br />

<br />

x dx<br />

ៃិង<br />

<br />

x<br />

ៃិង<br />

រហើយរនេងរីរៃោះាង<br />

axb<br />

e x dx<br />

sin <br />

<br />

axb<br />

m x dx<br />

k<br />

sin <br />

<br />

k<br />

<br />

<br />

arccos <br />

P x ax b dx<br />

<br />

P x log m<br />

ax b dx<br />

<br />

f<br />

x<br />

<br />

cos ln x dx<br />

<br />

ៃិង<br />

ៃិង<br />

មហើយមសេងពីមៃោះតាង<br />

x<br />

<br />

k<br />

f<br />

<br />

cos log<br />

x<br />

រួចទាញរក្<br />

a<br />

,<br />

<br />

x dx<br />

រួចទាញរក្<br />

,<br />

f<br />

axb<br />

e cosx dx<br />

<br />

<br />

f<br />

x<br />

x<br />

axb<br />

m cosx <br />

dx<br />

f<br />

x<br />

រួចទាញរក្<br />

អាំងមេក្រាលមោយលសនក្អចមាៃមសេងពីក្រណី ខាងមលើមៃោះមទៀេ ។ ក្ន ុងក្រណី មសេងពីខាងមលើ<br />

រង្ហា ញេូចក្ន ុងឧទាហរណ៏ ខាងមក្រា្ ។<br />

ឧទាហរណ៍ ១ : គណ<br />

គណ<br />

អាំងមេក្រាល<br />

2x<br />

xe dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />

តាង<br />

<br />

f x<br />

g<br />

x e<br />

2x<br />

x<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

ម<br />

ោះ<br />

f<br />

x 1<br />

1<br />

2<br />

2<br />

ម ោះ g x e<br />

<br />

x<br />

1 1<br />

2<br />

2<br />

2x 2x 2x<br />

xe dx xe e dx<br />

1 2x<br />

1 2x<br />

xe e dx<br />

2 2<br />

1 2x<br />

1 2x<br />

xe e c<br />

2 4<br />

f<br />

,<br />

x<br />

,<br />

ៃិង<br />

ៃិង<br />

ៃិង<br />

<br />

g x<br />

<br />

g x<br />

<br />

g x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 6


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

េូមចនោះ<br />

2x<br />

xe dx<br />

ឧទាហរណ៍ ២ : គណ<br />

គណ<br />

1 1<br />

<br />

2 4<br />

2x<br />

2x<br />

xe e c<br />

អាំងមេក្រាល<br />

<br />

<br />

<br />

xsin 2x dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />

តាង<br />

<br />

f x<br />

x<br />

ម<br />

sin 2<br />

<br />

g<br />

x x<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

ឧទាហរណ៍ ៣ : គណ<br />

គណ<br />

ម<br />

ោះ<br />

f<br />

x<br />

ោះ<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

cos 2 x<br />

2<br />

<br />

g x<br />

1 1<br />

xsin 2xdx x cos2x cos2xdx<br />

2 2<br />

1 1 1<br />

x cos 2x sin 2x c<br />

2 2 2<br />

<br />

1 1<br />

x cos2x sin 2x<br />

c<br />

2 4<br />

1 1<br />

x cos 2x sin 2x c<br />

2 4<br />

x sin 2x<br />

dx <br />

អាំងមេក្រាល<br />

<br />

x<br />

2<br />

1dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />

តាង<br />

g<br />

<br />

2<br />

f x x<br />

x 1<br />

ម<br />

ោះ<br />

1<br />

g x<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

ឧទាហរណ៍ ៤ : គណ<br />

<br />

ម<br />

ឬ<br />

ម<br />

x<br />

<br />

<br />

ោះមគទាញបាៃ<br />

ោះ<br />

f<br />

x<br />

x<br />

<br />

2<br />

<br />

x<br />

1<br />

2<br />

2 2<br />

x 1dx x x 1<br />

dx<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

x<br />

1<br />

2<br />

x 2<br />

x 1<br />

<br />

2<br />

dx<br />

x<br />

<br />

1 1<br />

x<br />

1<br />

2 2<br />

x x 1 x 1dx<br />

<br />

2 2 2<br />

2 x 1dx x x 1 ln x x 1<br />

<br />

x 1<br />

2 2<br />

<br />

x 1<br />

2 2<br />

<br />

x<br />

dx<br />

2<br />

1<br />

2 2 2<br />

x 1dx x 2 ln x x 1<br />

c<br />

2 2 2<br />

x 1dx x 2 ln x x 1<br />

c<br />

អាំងមេក្រាល<br />

<br />

x<br />

3 cos xdx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 7


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

គណ<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />

តាង<br />

<br />

3<br />

f x x<br />

g<br />

x cos x<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

ម<br />

ម<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

2<br />

3<br />

f x x<br />

<br />

g x<br />

<br />

<br />

sin x<br />

<br />

3 3 2<br />

x cos x dx x sin x 3 x sin xdx<br />

មយើងគណ អាំងមេក្រាល x<br />

2 sin xdx មោយលសនក្មទៀេ<br />

តាង<br />

<br />

2<br />

f x x<br />

g<br />

x sin x<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

មយើងគណ<br />

តាង<br />

<br />

ម<br />

ម<br />

ោះ<br />

អាំងមេក្រាល<br />

f x<br />

g<br />

x cos x<br />

ោះ<br />

2<br />

f x x<br />

<br />

g x<br />

<br />

<br />

cos<br />

x<br />

2 2<br />

x sin xdx x cos x 2 x cos xdx<br />

x cos xdx<br />

x ម ោះ fx 1<br />

ម<br />

ោះ<br />

<br />

g x<br />

<br />

sin x<br />

មោយលសនក្មទៀេ<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា x cos xdx xsin x sin xdx<br />

ម ោះអាំងមេក្រាល x<br />

2 sin xdx<br />

សរុរ្ក្អាំងមេក្រាល<br />

េូមចនោះ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

xsin<br />

x cos<br />

x<br />

មៅជា x 2 sin xdx x 2 cos x 2 xsin x cos x<br />

<br />

x<br />

3 cos x<br />

dx<br />

<br />

មៅជា<br />

3 3 2<br />

x cos x dx x sin x 3 x sin xdx<br />

x<br />

3 cos x<br />

dx<br />

3.3. ្ន្ ឹឹះ្ណនាអាំងតេព្ាលមិនកាំនេ់<br />

<br />

<br />

x 2 cos x 2xsin x 2cos x<br />

<br />

3 2<br />

x sin x 3 x cos x 2xsin x 2sin x c<br />

<br />

3 2<br />

x sin x 3x sin x 6xsin x 6sin x c<br />

<br />

3 2<br />

x sin x 3x sin x 6xsin x 6sin x c<br />

១.្ណនាអាំងតេព្ាលតោយតព្បើលកខណៈព្្ឹឹះននអាំងតេព្ាល<br />

<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ចរមៃ<br />

dx<br />

ខ.<br />

ក្. x 1 2016<br />

<br />

ើយ ក្. x 1 2016<br />

dx<br />

<br />

2 5<br />

x x 3 2dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 8


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

x 1 2016 dx x 1 2016<br />

d x 1<br />

x 1 2016<br />

2 5<br />

x x 3 2dx<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2016 <br />

x 1<br />

1<br />

2016 1<br />

2017<br />

x 1<br />

2017<br />

2017<br />

x 1<br />

2017<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

1<br />

3<br />

c<br />

c<br />

c<br />

2 5 3 3 5 3<br />

x x 2dx x 2 d x<br />

2<br />

2 5<br />

x x 3 2dx<br />

1<br />

1 1<br />

3<br />

<br />

5<br />

1 x 2<br />

c<br />

3 1<br />

1<br />

5<br />

5<br />

2 <br />

6<br />

3 5<br />

18 x c<br />

5<br />

2 <br />

២.្ណនាតោយតព្បើលកខណៈននអាំងតេព្ាល<br />

6<br />

3 5<br />

18 x c<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

1 2x1<br />

<br />

<br />

e dx<br />

x <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 2x1<br />

e<br />

x<br />

<br />

dx<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ខ.<br />

<br />

tan<br />

2cot 2<br />

x x dx<br />

<br />

<br />

<br />

1 2x1 dx 2x1<br />

<br />

e dx e dx<br />

x x<br />

1<br />

2 <br />

2<br />

2x1<br />

x e c<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 9


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

1 2x1<br />

<br />

<br />

e dx<br />

x <br />

tan<br />

2cot 2<br />

x x dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

1<br />

2 <br />

2<br />

2x1<br />

x e c<br />

<br />

<br />

2 2 2<br />

tan x 2cos x dx tan x 4 tan xcot x 4cot x dx<br />

<br />

tan x 4 4cot<br />

2 2<br />

<br />

x dx<br />

2 2<br />

<br />

<br />

1 tan x 4 1 cot x 1<br />

<br />

dx<br />

<br />

<br />

2 2<br />

1 tan 4 1 cot <br />

x dx x dx dx<br />

ែូរចនោះ<br />

tan<br />

2cot 2<br />

៣. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

tan x 4cot x x c<br />

x x dx tan 4cot<br />

ចាំម ោះារគណ មគលចក្ពហុធា<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចម្ល ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

x x<br />

2 dx<br />

x<br />

x x<br />

2 dx<br />

x<br />

x x x c<br />

<br />

P x<br />

I k<br />

x<br />

<br />

P x<br />

dx<br />

នឹង x ម<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

ខ.<br />

<br />

ោះអាំងមេក្រាលមៅជា<br />

3<br />

x x x 1 2<br />

x<br />

4<br />

dx<br />

<br />

I Qx, dx<br />

k <br />

x <br />

េូមចនោះ<br />

<br />

<br />

x x x x<br />

dx dx<br />

2 2<br />

x<br />

<br />

x<br />

1 1<br />

2 4<br />

x x<br />

2 dx<br />

x<br />

1 1<br />

<br />

2 4 3 5 1<br />

2<br />

<br />

4 4 4<br />

4<br />

2<br />

x<br />

dx x dx x dx x c<br />

x<br />

<br />

1<br />

x x <br />

4<br />

4<br />

2 dx x c<br />

x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 10


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ខ.<br />

<br />

3<br />

x x x 1 2<br />

x<br />

4<br />

dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

<br />

2<br />

<br />

3<br />

x x x 1 6 3 4 3<br />

x x 1 2x x 2x 2x x<br />

x<br />

dx <br />

<br />

4 4<br />

3<br />

x x x 1 2<br />

៤. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

x<br />

4<br />

I <br />

dx<br />

<br />

x<br />

dx<br />

1 5<br />

<br />

2 3<br />

<br />

4 <br />

2 2<br />

x x 2x 2x dx<br />

x<br />

<br />

3 3<br />

1 3 1 3 4 4 <br />

2 2<br />

x 3ln x x x x c<br />

3 3 3 3<br />

3 3<br />

1 3 1 3 4 4 <br />

2 2<br />

x 3ln x x x x c<br />

3 3 3 3<br />

<br />

P x<br />

dx<br />

ax b<br />

ចាំម ោះារគណ មគរល្លង ឬ លចក្ពហុធា P x<br />

ៃឹង ax b<br />

ឧទាហរណ៍ គណ<br />

ក្.<br />

ចម្ល ើយ ក្.<br />

<br />

I <br />

Q x<br />

dx<br />

ax b<br />

<br />

អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />

2<br />

x 3x5<br />

dx<br />

ខ.<br />

x 1<br />

<br />

x<br />

2<br />

3x5<br />

dx<br />

x 1<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

x x <br />

x<br />

2 3x5<br />

1 <br />

dx<br />

2 <br />

<br />

3 dx<br />

x1 <br />

x1<br />

<br />

x<br />

2<br />

4<br />

x 5<br />

dx<br />

x 1<br />

3x5<br />

dx<br />

x 1<br />

<br />

<br />

4<br />

x 5<br />

dx<br />

x 1<br />

3 <br />

x<br />

2 dx<br />

x 1<br />

<br />

d<br />

x1<br />

<br />

x 2dx<br />

3<br />

x 1<br />

2<br />

x<br />

2x 3ln x 1<br />

c<br />

2<br />

2<br />

x<br />

2x 3ln x 1<br />

c<br />

2<br />

<br />

ម<br />

ោះអាំងមេក្រាលមៅជា<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 11


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

<br />

<br />

4<br />

x 5<br />

dx<br />

x 1<br />

៥. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

កា រណ<br />

<br />

<br />

x 5 x <br />

dx <br />

x1 x1<br />

4 4<br />

1 6<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

<br />

x x x <br />

2<br />

1 1 1 6<br />

x 1<br />

<br />

2 6<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

x 1 x 1<br />

dx<br />

x 1<br />

<br />

<br />

x x x 1 dx 6<br />

<br />

3 2<br />

1<br />

<br />

<br />

d x<br />

x 1<br />

1 1 1<br />

<br />

4 3 2<br />

1 4 1 3 1 2<br />

x x x x 6ln x 1<br />

c<br />

4 3 2<br />

I <br />

<br />

<br />

4 3 2<br />

x x x x 6ln x 1 c<br />

<br />

P x<br />

ax b<br />

k<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចរោោះស្រាយាមវិធីរី ែូចខាងរព្កាម<br />

វិធីាស្តសរទី១ ររព្តូវបំដលងរហុធា<br />

វិធីាស្តសរទី២ -ាង t ax b<br />

<br />

<br />

<br />

P x<br />

dx<br />

រៅជា<br />

<br />

<br />

Q ax b<br />

<br />

ax b<br />

<br />

I Q ax b, dx<br />

k<br />

ax b <br />

<br />

<br />

ម<br />

ោះមគបាៃ<br />

-ជំៃួសចូលក្ន ុងអំងរតព្កាលខាងរលើ<br />

-មគបាៃ<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

t<br />

b<br />

x <br />

a <br />

dt<br />

dx <br />

a<br />

Qt<br />

I dt ួចរោោះស្រាយាមវិធីខាងរលើ<br />

k<br />

t<br />

អំងរតព្កាលមិៃក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

2<br />

2x<br />

3x9<br />

dx<br />

ខ.<br />

2<br />

<br />

<br />

x 1<br />

2<br />

2x<br />

3x9<br />

<br />

<br />

x 1<br />

2<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

,<br />

k<br />

<br />

<br />

<br />

រ<br />

<br />

<br />

3 2<br />

2x 5x 11x<br />

4<br />

x 1<br />

3<br />

dx<br />

ោះអំងរតព្កាលរៅជា<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 12


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើាមវិធីទីរី ររបាៃ<br />

ាង<br />

t x1<br />

រ<br />

ោះ<br />

dt dx<br />

រហើយ<br />

xt1<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

2<br />

2x<br />

3x9<br />

<br />

<br />

x 1<br />

2<br />

2x<br />

3x9<br />

dx <br />

<br />

2<br />

t<br />

t<br />

<br />

2 1 3 1 9<br />

dt<br />

t<br />

2 2<br />

<br />

2<br />

2t<br />

t8<br />

t<br />

2<br />

dt<br />

1 8 <br />

2 dt<br />

<br />

2 t t <br />

8<br />

2t ln t c<br />

t<br />

dx<br />

2<br />

<br />

x 1<br />

3 2<br />

2x 5x 11x<br />

4<br />

<br />

<br />

x 1<br />

3<br />

8<br />

2<br />

x 1<br />

ln x 1<br />

c<br />

x 1<br />

8<br />

2 x 1 ln x 1<br />

c<br />

x 1<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

3 2<br />

2x 5x 11x<br />

4<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

<br />

x 1<br />

3<br />

dx<br />

dx<br />

3<br />

<br />

x 1<br />

<br />

<br />

3 2<br />

2x 5x 11x<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

3 2 2<br />

2 x 3x 3x 1 x 2x 1 15 x 1 18<br />

<br />

<br />

x 1<br />

x 3 2<br />

x x <br />

3<br />

x 1<br />

2 1 1 15 1 18<br />

dx<br />

<br />

1 15 18 <br />

2 d<br />

2 3<br />

x1<br />

<br />

x 1 x1 x1<br />

<br />

15 9<br />

2x 1<br />

ln x 1 c<br />

x 1 1<br />

<br />

dx<br />

៦. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់ I 2<br />

ax bx c<br />

ភារដបង<br />

2<br />

ax bx c<br />

3<br />

x<br />

2<br />

15 9<br />

2 x 1 ln x 1 c<br />

x 1 1<br />

<br />

អចស ស រៅជា<br />

x<br />

2<br />

<br />

dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 13


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

2<br />

<br />

b <br />

<br />

<br />

<br />

2a<br />

4a<br />

2<br />

ax bx c a x<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូអរេ ាង<br />

<br />

ាង k រ ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

2<br />

4a<br />

ក្.<br />

ខ.<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

dx<br />

1 dt<br />

<br />

a<br />

<br />

t k<br />

2<br />

2<br />

ax bx c<br />

dx<br />

1 dt<br />

<br />

a<br />

t<br />

2<br />

2<br />

ax bx c<br />

dx<br />

រ.<br />

2<br />

ax bx c<br />

<br />

2<br />

dx<br />

7 10x4x<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

2<br />

dx<br />

7 10x4x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រយើងបរ ូ អរេ ាង<br />

2<br />

t x<br />

5<br />

4<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

dx<br />

រ<br />

<br />

របើ<br />

របើ<br />

0<br />

0<br />

1 dt<br />

a<br />

របើ 0<br />

t k<br />

dx<br />

ខ.<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

7 10x4x<br />

4<br />

ោះ<br />

1<br />

<br />

2<br />

7 10x4x<br />

4<br />

dt dx<br />

<br />

t<br />

2<br />

dt<br />

53<br />

<br />

16<br />

1<br />

<br />

dx<br />

b<br />

2<br />

t x<br />

2<br />

2x<br />

3x4<br />

<br />

<br />

x<br />

2<br />

dx<br />

5 7<br />

x<br />

2 4<br />

dx<br />

4ac<br />

b<br />

2a<br />

2<br />

4 5 53<br />

53<br />

t <br />

1 4<br />

ln 4 c<br />

4 2 53 53<br />

t <br />

4<br />

<br />

x<br />

<br />

4 16<br />

រ ោះ dx dt<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 14


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

dx<br />

ែូរចនោះ <br />

2<br />

7 10x4x<br />

ខ.<br />

<br />

dx<br />

2<br />

2x<br />

3x4<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

dx<br />

រយើងបរ ូ អរេ រោយាង<br />

រហើយ<br />

u arctan<br />

2<br />

2x<br />

3x4 2<br />

<br />

5 53<br />

x <br />

1<br />

ln 4 4<br />

2 53 5 53<br />

x <br />

4 4<br />

1 4x<br />

5 53<br />

ln<br />

2 53 4x<br />

5 53<br />

1 4x<br />

5 53<br />

ln<br />

2 53 4x<br />

5 53<br />

1<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

2<br />

dx<br />

3<br />

x2<br />

2<br />

dx<br />

2<br />

2 3 23<br />

3 23<br />

x<br />

tan u<br />

4 4<br />

4x<br />

3<br />

23<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

dx<br />

ែូរចនោះ 2<br />

2x<br />

3x4<br />

៧. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

<br />

<br />

<br />

I <br />

<br />

x<br />

<br />

4 16<br />

រ<br />

ោះ<br />

dx <br />

c<br />

c<br />

c<br />

23 1 tan<br />

2<br />

u du<br />

4<br />

23 2<br />

1 tan u<br />

1 du<br />

dx<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

tan u<br />

<br />

4 16<br />

2<br />

2<br />

2x<br />

3x<br />

4 2 23 23<br />

<br />

1 4<br />

2 <br />

23 du<br />

2<br />

23 u<br />

c<br />

2 4x<br />

3<br />

arctan<br />

23 23<br />

2 4x<br />

3<br />

arctan c<br />

23 23<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

mx n dx<br />

2<br />

ax bx c<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

c<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 15


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងក្រៃោមអំងរតព្កាល<br />

ដែល<br />

mx n<br />

2<br />

ax bx c<br />

mx n<br />

2 2<br />

ax bx c ax bx c<br />

mx n<br />

<br />

<br />

2ax b<br />

<br />

2ax b<br />

<br />

ខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 2<br />

ax bx c ax bx c ax bx c<br />

ៃិង ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

<br />

mx n dx<br />

<br />

2<br />

2 2<br />

ax bx c<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាល<br />

រហើយ<br />

<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

dx<br />

2<br />

ax bx c<br />

x 1<br />

2<br />

4x<br />

4x1<br />

x 1<br />

2<br />

4x<br />

4x1<br />

<br />

<br />

2ax b dx<br />

<br />

dx <br />

ax bx c<br />

ax bx c<br />

<br />

2ax b<br />

2<br />

ax bx c<br />

ាមវិធីខាងរលើ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

dx<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

ខ.<br />

dx<br />

1 3<br />

2x<br />

1<br />

<br />

x 1 dx 2 2<br />

2 2<br />

<br />

<br />

4x 4x 1 2x<br />

1<br />

x 1<br />

2<br />

4x<br />

4x1<br />

2x<br />

9<br />

dx<br />

2<br />

x 3x2<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

រោយបរ ូ អរេ ាង<br />

2x<br />

9<br />

dx<br />

2<br />

x 3x2<br />

dx<br />

1 dx 3 dx<br />

<br />

2<br />

<br />

2x<br />

1 2<br />

<br />

2x<br />

1<br />

2<br />

1 1 3 1<br />

ln 2x1<br />

c<br />

2 2 2 2 2x<br />

1<br />

1 3<br />

ln 2x1<br />

c<br />

4 4 2x<br />

1<br />

1 3<br />

ln 2x1<br />

c<br />

4 4 2x<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

u ax bx c<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 16


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

2x<br />

9 2x<br />

3 6<br />

dx <br />

dx<br />

3 2 3 2<br />

<br />

2 2<br />

x x x x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2x<br />

3<br />

dx<br />

2<br />

x 3x2<br />

រយើងបរ ូ អរេ រោយាង<br />

<br />

2x<br />

3<br />

dx<br />

dx 6<br />

3 2<br />

<br />

3 2<br />

2 2<br />

x x x x<br />

3 2រ ោះ du 2x 3dx<br />

2<br />

u x x<br />

2x<br />

3 du<br />

អំងរតព្កាលរៅជា 2<br />

dx <br />

x 3x 2<br />

<br />

u<br />

ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

<br />

x<br />

រយើងបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

2<br />

dx<br />

3x2<br />

2<br />

ln ln 3 2 <br />

u c x x c<br />

អចស រស រៅជា<br />

dx<br />

3x2<br />

2<br />

2<br />

x<br />

3<br />

t x<br />

2<br />

2x<br />

9<br />

ែូរចនោះ dx<br />

2<br />

x 3x2<br />

៨. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

រយើងរោោះស្រាយរោយដចក្<br />

<br />

<br />

x<br />

I <br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

dx<br />

<br />

3x2<br />

<br />

dx<br />

3 1<br />

x<br />

<br />

2<br />

4<br />

dt dx<br />

<br />

t<br />

2<br />

ln x 3x<br />

2<br />

<br />

<br />

P x<br />

<br />

P x<br />

2<br />

ax bx c<br />

ៃឹង<br />

dt<br />

<br />

4<br />

2 1<br />

1 2t<br />

1<br />

ln c<br />

2 1<br />

2t<br />

1 x 1<br />

ln<br />

2 2<br />

x<br />

c<br />

x 1<br />

3ln 2 x<br />

dx<br />

2<br />

ax bx c<br />

<br />

រ<br />

c<br />

ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

P x mx n p <br />

dx Q x dx<br />

, ,<br />

2 2 2 <br />

ax bx c<br />

ax bx c ax bx c <br />

ួចរោោះស្រាយាងវិធីខាងរលើ<br />

សមាា ល់ : រៅររលរណ<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ររបដមៃង<br />

P x<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

<br />

<br />

<br />

mx n p <br />

<br />

ax bx c ax bx c ដតមរង<br />

រៅជា Qx, ,<br />

2 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 17


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

x<br />

x<br />

2<br />

x x<br />

2 dx<br />

x1<br />

2<br />

x x<br />

2 dx<br />

x1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចបដមៃងរៅជា<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

<br />

<br />

<br />

ខ.<br />

2<br />

2<br />

x x x x 1 2x<br />

1<br />

2 dx <br />

2 dx<br />

<br />

x x 1 x x 1<br />

<br />

<br />

x <br />

dx <br />

<br />

<br />

<br />

2x<br />

1<br />

dx<br />

2<br />

x x1<br />

2x<br />

1<br />

dx<br />

2<br />

x x1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

2<br />

u x x<br />

1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

x<br />

ខ.<br />

2<br />

x x<br />

2 dx<br />

<br />

x1<br />

រយើងដចក្រហុធា<br />

3 2<br />

x x<br />

2<br />

dx<br />

2<br />

x 2<br />

x<br />

រ<br />

<br />

ោះ<br />

<br />

<br />

du 2x 1<br />

dx<br />

2x<br />

1<br />

dx <br />

<br />

du<br />

2<br />

x x 1<br />

u<br />

<br />

x<br />

3 2<br />

2<br />

x ln x x 1 c<br />

2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

3 2<br />

x x<br />

2<br />

dx<br />

2<br />

x 2<br />

ៃឹង<br />

2<br />

x 2<br />

3 2<br />

x x<br />

2<br />

dx<br />

2<br />

x 2<br />

2<br />

ln ln 1<br />

<br />

ររបាៃ<br />

x 3 x 2<br />

2 2 x<br />

<br />

1<br />

2 x <br />

2<br />

x 2 x 2<br />

u c x x c<br />

3 2<br />

2 2<br />

x x <br />

1<br />

x<br />

2 <br />

<br />

2 <br />

x 2 x 2<br />

<br />

1<br />

<br />

dx x dx<br />

2 2<br />

ln 2<br />

2 x x x c<br />

n<br />

៩. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់ , , <br />

<br />

I f ax b x C dx<br />

1<br />

ln 2 <br />

2 2<br />

2 x x x c<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 18


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោោះស្រាយរោយាង<br />

n<br />

u ax b<br />

ជាំៃួសចូលក្ន ុងអាំងមេក្រាលខាងមលើរួចមោោះសា្រយតា្េិធីខាងមលើ<br />

មៅមពលគណ មគអចសរមសរេួលេលគ្មា ៃ n ax b<br />

ឧទាហរណ៍ គណ<br />

ចម្ល ើយ ក្.<br />

2 5<br />

ក្. 2<br />

អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />

3x 2 x 1<br />

dx<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

2 5<br />

3 2 1<br />

x x dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

មយើងគណ<br />

តាង<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />

u<br />

5<br />

x1<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

ម<br />

ោះ<br />

5<br />

xu<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

4<br />

u du<br />

1<br />

<br />

dx<br />

n<br />

u ax b<br />

<br />

ន ោះ n1<br />

nu<br />

dx<br />

du<br />

a<br />

មក្រា្ទក្រ្ង់ ax<br />

b m<br />

<br />

2 5<br />

3 2 1 2<br />

5<br />

<br />

5<br />

2<br />

2x<br />

1<br />

<br />

<br />

3x<br />

1<br />

x x dx<br />

2<br />

2 5<br />

2<br />

2 4<br />

3x 2 x 1 dx 3 u 1 2<br />

<br />

<br />

<br />

u 5u du<br />

<br />

5<br />

3 6 1<br />

2 5<br />

េូមចនោះ 3 2 1 2<br />

ខ.<br />

<br />

5<br />

2<br />

2x<br />

1<br />

<br />

x x dx<br />

<br />

3x<br />

1<br />

4<br />

dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

<br />

5<br />

2<br />

2x<br />

1<br />

<br />

<br />

3x<br />

1<br />

4<br />

dx<br />

10 5 6<br />

u u u du<br />

<br />

15 30 5<br />

4<br />

dx<br />

16 11 6<br />

u du u du u du<br />

17 12 7<br />

u u u<br />

15 30 5 c<br />

17 12 7<br />

<br />

15 17 12 7<br />

5 5 5 5 5<br />

x 1 x 1 x 1<br />

c<br />

17 2 7<br />

5 5 5<br />

1 1 1<br />

15 17 5 12 5<br />

7<br />

x x x c<br />

17 2 7<br />

6 1 4<br />

2 4 7<br />

<br />

3x 1 5 3x 15 3x 1<br />

5<br />

<br />

dx<br />

9 9 9<br />

<br />

11 6 1<br />

1 5 5<br />

<br />

2 3x 1 5 4 3x 1 5 7 53x 15<br />

c<br />

27 <br />

<br />

11 6<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 19


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

11 6 1<br />

1 10 10<br />

<br />

3x 1 5 3x 1 5 353x 15<br />

c<br />

27 <br />

<br />

11 3<br />

<br />

<br />

11 6 1<br />

1 10 10<br />

<br />

3x 1 5 3x 1 5 35 3x 1 5 c<br />

27 <br />

<br />

11 3<br />

<br />

<br />

2<br />

2x<br />

1<br />

dx <br />

5<br />

4<br />

<br />

3x<br />

1<br />

១០. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

ក្រៃោម<br />

ាង<br />

<br />

2<br />

ax bx c a<br />

<br />

k <br />

4a<br />

0<br />

2<br />

រ<br />

<br />

I <br />

<br />

2<br />

ax bx c a x<br />

<br />

dx<br />

2<br />

ax bx c<br />

អចស ស រៅជា<br />

2<br />

<br />

b <br />

<br />

<br />

<br />

2a<br />

4a<br />

ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

dx<br />

2<br />

ax bx c<br />

<br />

<br />

<br />

a t<br />

dt<br />

2<br />

k<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

ដែល<br />

2<br />

b <br />

t x<br />

ួចរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើាម ូបមៃរព្រឹោះ<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

2<br />

2x<br />

5x6<br />

dx<br />

2<br />

2x<br />

5x6<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

2<br />

2x<br />

5x<br />

6<br />

ខ.<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

2 5 <br />

2x<br />

x3<br />

2 <br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

dx<br />

<br />

2 2 5<br />

x x3<br />

2<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

1<br />

<br />

dx<br />

2<br />

2 5 23<br />

<br />

x<br />

<br />

4 16<br />

u x<br />

dx<br />

b<br />

2a<br />

4 6x3x<br />

5<br />

4<br />

2<br />

4ac<br />

រ ោះ du dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 20


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

dx<br />

2<br />

2x<br />

5x6<br />

<br />

1<br />

<br />

du<br />

2 2 23<br />

u <br />

16<br />

1 23<br />

ln <br />

2<br />

16<br />

2<br />

u u c<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

dx<br />

2<br />

2x<br />

5x6<br />

dx<br />

4 6x3x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

2<br />

1 5 5 23<br />

ln x x c<br />

2 4 4 16<br />

1 5<br />

x x x c<br />

2 4<br />

2<br />

ln 2 5 6 <br />

<br />

dx<br />

4 6x3x<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

1 5 2<br />

ln x 2x 5x 6 c<br />

2 4<br />

2<br />

dx<br />

<br />

1<br />

4 6x3x<br />

<br />

3 7<br />

<br />

9<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />

ាង<br />

u <br />

7 sin<br />

3<br />

t<br />

រ<br />

ោះ<br />

du <br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

7 cos<br />

3<br />

tdt<br />

2<br />

dx<br />

<br />

u x1<br />

<br />

រហើយ<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

x 1<br />

រ<br />

du<br />

2<br />

ោះ<br />

3 7<br />

u<br />

9<br />

2<br />

du dx<br />

3 x 1<br />

t arcsin<br />

7<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

4 6x3x<br />

2<br />

7 cos tdt<br />

1<br />

3<br />

3<br />

<br />

7 7 sin<br />

2<br />

t<br />

9 9<br />

1<br />

3 t<br />

c<br />

<br />

1 3 x 1<br />

arcsin c<br />

3 7<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 21


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

dx<br />

4 6x3x<br />

១១. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

2<br />

<br />

I <br />

1 3 x 1<br />

arcsin<br />

<br />

<br />

3 7<br />

<br />

<br />

mx n dx<br />

2<br />

ax bx c<br />

ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រ<br />

ចំរ<br />

mx n<br />

2 2<br />

ax bx c ax bx c<br />

ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

រហើយអំងរតព្កាល<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

2ax b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

c<br />

ដែល<br />

<br />

,<br />

<br />

mx n 2ax b dx dx<br />

dx <br />

<br />

<br />

2 2 2<br />

ax bx c ax bx c ax bx c<br />

<br />

<br />

<br />

2ax b<br />

<br />

2<br />

ax bx c<br />

dx<br />

2<br />

ax bx c<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

x 2<br />

dx<br />

2<br />

x 2x2<br />

x 2<br />

dx<br />

2<br />

x 2x2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

+ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

2<br />

u x x<br />

2 2<br />

អំងរតព្កាលខាងរៅជា<br />

រោោះស្រាយរោយាង<br />

រោោះស្រាយាមវិធីខាងរលើ<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

x<br />

x<br />

ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់<br />

x 1<br />

dx<br />

4 5<br />

2 2 2<br />

x x x x x x<br />

2<br />

u ax bx c<br />

x 2 1 2x 2<br />

dx<br />

dx <br />

dx <br />

2 2 2 2 2 2 2<br />

<br />

<br />

រ<br />

2x<br />

2<br />

dx<br />

2<br />

x 2x2<br />

<br />

ោះ<br />

<br />

រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />

<br />

du 2x 2<br />

dx<br />

2x<br />

2<br />

dx <br />

2<br />

x 2x2<br />

<br />

du<br />

u<br />

+ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

<br />

<br />

x<br />

2<br />

dx<br />

2x2<br />

<br />

<br />

2<br />

2 u 2 x 2x<br />

2<br />

អចស រស រៅជា<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

x 2 2x2 x 1 2<br />

1<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 22


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត ាង u x 1 រ ោះ du dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

x 2<br />

dx<br />

2<br />

x 2x2<br />

x 1<br />

dx<br />

4 5<br />

2<br />

x<br />

x<br />

dx du<br />

<br />

2 2<br />

x 2x 2 u 1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

+ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

2<br />

u x x<br />

arctan uc<br />

<br />

arctan x1<br />

c<br />

2<br />

x 2x 2 <br />

<br />

arctan x1<br />

c<br />

x 1 1 2x 4<br />

dx<br />

dx <br />

dx 3<br />

4 5 2 4 5 4 5<br />

<br />

2 2 2<br />

x x x x x x <br />

<br />

4 5<br />

អំងរតព្កាលខាងរៅជា<br />

2x<br />

4<br />

dx<br />

4 5<br />

2<br />

x<br />

x<br />

រ ោះ 2 4<br />

<br />

du x dx<br />

2x<br />

4<br />

dx <br />

4 5<br />

2<br />

x<br />

x<br />

រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />

<br />

du<br />

u<br />

+ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

<br />

<br />

dx<br />

2<br />

x<br />

x<br />

4 5<br />

<br />

2<br />

2 u 2 x 4x<br />

5<br />

អចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

dx d x<br />

2<br />

<br />

x 4x 5 9 x 2<br />

2 2<br />

x 2<br />

arcsin c<br />

3<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

x 1<br />

dx <br />

4 5<br />

2<br />

x<br />

x<br />

១២. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

I <br />

<br />

2 x 2<br />

x 4x 5 3arcsin c 3<br />

<br />

P x<br />

2<br />

ax bx c<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជាទព្មង់<br />

<br />

ដែល<br />

<br />

P x<br />

<br />

2<br />

2 2<br />

ax bx c ax bx c<br />

<br />

dx<br />

dx Q x ax bx c <br />

<br />

deg Q x deg P x 1<br />

<br />

dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 23


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រធវ ើរែ ីរវរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

<br />

P x<br />

<br />

<br />

2<br />

Q x ax bx c <br />

2 2<br />

ax bx c ax bx c<br />

ួចរោោះស្រាយ ក្រហុធា<br />

Q x ៃិង <br />

<br />

<br />

<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

2<br />

ក្. 2x<br />

x1<br />

dx<br />

2<br />

22xx<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

2x<br />

x1<br />

22xx<br />

2<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3 2<br />

3x 2x 3x<br />

4<br />

x<br />

2<br />

4x5<br />

2<br />

2x x 1<br />

2 dx<br />

dx ax b 2 2x x <br />

2 2<br />

2 2x x 2 2x x<br />

រធវ ើរែ ីរវរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

2<br />

2 1 2<br />

1<br />

x x x <br />

a 2 2x x ax b<br />

<br />

2 2x x 2 2x x 2 2x x<br />

2 2 2<br />

2 2<br />

2 2 <br />

a x x ax ax bx b <br />

<br />

2<br />

22xx<br />

<br />

<br />

2<br />

2ax 3a b x 2a b <br />

<br />

22xx<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />

2a<br />

2<br />

<br />

3a<br />

b 1<br />

<br />

2a b<br />

1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

អំងរតព្កាល<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

2<br />

a<br />

1<br />

<br />

b<br />

2<br />

<br />

<br />

5<br />

2<br />

2x x 1<br />

2 dx<br />

dx x 2<br />

2 2x x 5<br />

2 2<br />

<br />

2 2x x 2 2x x<br />

dx<br />

22xx<br />

2<br />

អចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

dx d x1<br />

<br />

22xx 3 1x<br />

<br />

2 2<br />

dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 24


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

arcsin<br />

<br />

<br />

x 1<br />

3<br />

c<br />

2<br />

2x<br />

x1<br />

2<br />

dx x 2<br />

2 2x x 5arcsin c<br />

2<br />

22xx<br />

3 2<br />

3x 2x 3x<br />

4<br />

x<br />

2<br />

4x5<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

3 2<br />

3 2 3 4<br />

2 2<br />

dx ax bx c<br />

x 4x<br />

5<br />

2 2<br />

<br />

<br />

x 1<br />

x x x dx<br />

x 4x 5 x 4x<br />

5<br />

រធវ ើរែ ីរវរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

3 2<br />

3x 2x 3x 4 x 2<br />

2 2<br />

<br />

2ax b x 4x 5<br />

ax bx c<br />

<br />

4 5 4 5 4 5<br />

2 2 2<br />

x x x x x x<br />

<br />

<br />

2ax b x 2 4x 5 ax 2 bx cx<br />

2<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />

3a<br />

3<br />

<br />

10a<br />

2b<br />

2<br />

<br />

10a 4b c 3<br />

<br />

<br />

2c<br />

4<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

អំងរតព្កាល<br />

<br />

x<br />

2<br />

4x5<br />

<br />

3 2<br />

3 10 2 10 4 <br />

2<br />

ax a b x a b c x c<br />

រ<br />

ោះ<br />

a<br />

1<br />

b<br />

6<br />

<br />

c<br />

37<br />

<br />

<br />

76<br />

22xx<br />

3 2<br />

3 2 3 4<br />

2 2<br />

dx x 6x 37<br />

x 4x<br />

5 76<br />

2 2<br />

x x x dx<br />

x 4x 5 x 4x<br />

5<br />

<br />

x<br />

2<br />

dx<br />

4x5<br />

<br />

អចស រស រៅជា<br />

dx d x<br />

2<br />

<br />

2 <br />

2<br />

x 4x5 x 2 9<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

ln x 2 x 2 9 c<br />

2<br />

ln 2 4 5<br />

<br />

x x x c<br />

2<br />

<br />

<br />

3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 25


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

3 2<br />

3x 2x 3x<br />

4<br />

ែូរចនោះ <br />

<br />

2<br />

x<br />

4x5<br />

១៣. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

2 2 2<br />

dx x 6x 37 x 4x 5 76ln x 2 x 4x 5<br />

c<br />

I <br />

<br />

dx<br />

<br />

2<br />

mx n ax bx c<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

1<br />

mx n<br />

រ ោះ<br />

t<br />

dx<br />

2<br />

x x x<br />

dx<br />

2<br />

x x x<br />

dt<br />

dx <br />

mt<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

1<br />

1<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

1<br />

x <br />

t<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

dx<br />

<br />

2<br />

x x x<br />

1<br />

2<br />

dt<br />

dx <br />

2<br />

t<br />

<br />

<br />

<br />

dt<br />

<br />

2<br />

t<br />

1 1 1<br />

1<br />

2<br />

t t t<br />

<br />

<br />

t<br />

2<br />

dt<br />

t1<br />

dt<br />

2<br />

ខ.<br />

<br />

1<br />

3<br />

t<br />

<br />

2<br />

4<br />

dx<br />

<br />

2<br />

x 1 x 2x<br />

2<br />

1 1 3<br />

ln<br />

t t c<br />

2 2 4<br />

1<br />

t t t c<br />

2<br />

2<br />

ln 1<br />

<br />

1 1 1 1<br />

ln 1<br />

c<br />

2<br />

x 2 x x<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 26


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

dx<br />

1 1 1 1<br />

ln 1<br />

c<br />

x 2 x x<br />

2<br />

x x x<br />

1<br />

2<br />

dx<br />

<br />

2<br />

x 1 x 2x<br />

2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

x x x x x <br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

1<br />

x 1<br />

<br />

t<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

dx<br />

<br />

2<br />

រ<br />

<br />

ោះ<br />

x 1 x 2x<br />

2<br />

១៤. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

I <br />

1 2 2 2 1 1 2<br />

1<br />

dt<br />

dx <br />

2<br />

t<br />

dx<br />

<br />

2<br />

x 1 x 2x<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

dt<br />

<br />

2<br />

t<br />

1 1<br />

1<br />

2<br />

t t<br />

<br />

t<br />

dt<br />

2<br />

1<br />

arctan t<br />

c<br />

1<br />

arctan<br />

<br />

x 1 c<br />

1<br />

arctan<br />

<br />

x 1 c<br />

px <br />

<br />

2<br />

q dx<br />

mx n ax bx c<br />

ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រ<br />

<br />

px q<br />

mx n<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

<br />

mx n ax 2 bx c mx n ax 2 bx c<br />

ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

,<br />

<br />

px q dx dx<br />

dx <br />

<br />

<br />

<br />

ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់<br />

2 2 2<br />

mx n ax bx c ax bx c mx n ax bx c<br />

ួចរោោះស្រាយអំងរតព្កាលទំងរី ាមវិធីខាងរលើ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 27


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ឧទហ ណ៍ រណ អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

xdx<br />

<br />

2<br />

x 1 x 2x<br />

3<br />

xdx<br />

<br />

2<br />

x 1 x 2x<br />

3<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ខ.<br />

xdx<br />

x 1 1<br />

<br />

x x x x x x <br />

+ចំរ ោះអំងរតព្កាល<br />

1 2 2 3 1 2 2 3<br />

<br />

<br />

x<br />

2<br />

<br />

<br />

dx<br />

2x3<br />

<br />

(2x<br />

3) dx<br />

2<br />

( x 1) x 2x<br />

2<br />

<br />

dx<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

2 3 1 2 3<br />

x 2 x x x 2 x<br />

<br />

អចស រស រៅជា<br />

dx d x1<br />

<br />

x 2 2x3 x 1 2<br />

2<br />

<br />

<br />

u<br />

2<br />

<br />

du<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

2<br />

ln u u 2<br />

<br />

+ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

ាង<br />

1<br />

x 1<br />

<br />

t<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 28<br />

<br />

រ<br />

<br />

2<br />

ln x 1 x 2x<br />

3<br />

dx<br />

x 1 x 2x<br />

3<br />

ោះ<br />

dt<br />

dx <br />

2<br />

t<br />

រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

1 2 3 1 1 4 1 1<br />

<br />

x x 2 x x x 2<br />

x <br />

<br />

<br />

<br />

dt<br />

<br />

2<br />

t<br />

1 1 4<br />

1<br />

2<br />

t t t<br />

<br />

dt<br />

14tt<br />

2


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

xdx<br />

<br />

2<br />

ខ.<br />

x 1 x 2x<br />

3<br />

<br />

(2x<br />

3) dx<br />

2<br />

( x 1) x 2x<br />

2<br />

<br />

<br />

2<br />

t<br />

2<br />

d t<br />

arcsin<br />

5<br />

2<br />

<br />

t 2<br />

<br />

5<br />

<br />

<br />

c<br />

<br />

<br />

2x<br />

1<br />

arcsin 5 x 1<br />

c<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2x<br />

1<br />

ln x 1 x 2x 3 arcsin c<br />

5 x 1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

(2x<br />

3) dx<br />

<br />

( x 1) x 2 2x 2 x 1 x 2 2x<br />

2<br />

+ចំរ ោះអំងរតព្កាល<br />

<br />

<br />

x<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

dx<br />

2x2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 x 1 1<br />

<br />

dx<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

2 2 1 2 2<br />

2 2<br />

x x x x x<br />

អចស រស រៅជា<br />

dx d x1<br />

<br />

x 2 2x2 x 1 2<br />

1<br />

<br />

<br />

u<br />

2<br />

<br />

du<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

2<br />

ln u u 1<br />

<br />

+ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

ាង<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

ln x 1 x 2x<br />

2<br />

dx<br />

x 1 x 2x<br />

2<br />

1<br />

dt<br />

x 1<br />

រ ោះ dx <br />

2<br />

t<br />

t<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

<br />

រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />

d<br />

x1<br />

<br />

dx<br />

<br />

x x x x x <br />

2 2<br />

1 2 2 1 1 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 29


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

<br />

<br />

dt<br />

<br />

2<br />

t<br />

1 1<br />

1<br />

2<br />

t t<br />

<br />

t<br />

dt<br />

2<br />

1<br />

2<br />

ln 1<br />

<br />

t t c<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

xdx<br />

<br />

2<br />

x 1 x 2x<br />

3<br />

១៥. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

1 1 2<br />

ln 2 c<br />

x1 x1<br />

<br />

x 1 2<br />

2<br />

1 1 2<br />

ln x 1 x 2 x 2 ln 2<br />

2<br />

x1 x 1<br />

x1<br />

c<br />

I <br />

<br />

dx<br />

p 2<br />

<br />

mx n ax bx c<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />

ក្ន ុងអំងរតព្កាល ួចរោោះស្រាយាមវិធីខាងរលើ<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

3 2<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

dx<br />

2x 1 4x 4x<br />

5<br />

dx<br />

3 2<br />

2x 1 4x 4x<br />

5<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ខ.<br />

<br />

1<br />

mx n<br />

<br />

t<br />

រ<br />

dx<br />

ោះ<br />

4 2<br />

x 1 5 2x x<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

2 1 3 4 2 4 5 2 1 3 2 1 2<br />

4<br />

<br />

x x x x x <br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

dx<br />

<br />

3 2<br />

2x 1 4x 4x<br />

5<br />

<br />

<br />

dt<br />

<br />

2<br />

2t<br />

1 1<br />

4<br />

3 2<br />

t t<br />

<br />

1<br />

2x<br />

1<br />

t<br />

<br />

dt<br />

dx <br />

mt<br />

រ<br />

ោះ<br />

2<br />

ួចជំៃួសចូល<br />

dt<br />

dx <br />

2<br />

2t<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 30


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាល<br />

ាង<br />

g<br />

t<br />

<br />

<br />

f t<br />

<br />

t<br />

2<br />

1<br />

4t<br />

2<br />

1 t<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

4t<br />

2<br />

dt<br />

<br />

f t g t dt f t g t f t g t dt<br />

t<br />

t<br />

រ<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

4t<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

ោះ<br />

f<br />

ោះ<br />

t 1<br />

<br />

1 1 4<br />

4<br />

2<br />

t<br />

g t<br />

2<br />

dt<br />

ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

រ<br />

ោះ<br />

ឬ<br />

<br />

t<br />

2<br />

1<br />

4t<br />

1 1<br />

4 4<br />

2 2<br />

dt t 1 4t 1<br />

4t dt<br />

2<br />

1 1 1<br />

4t<br />

<br />

4 4<br />

1<br />

4t<br />

2<br />

t 2<br />

1 4t 2<br />

dt<br />

<br />

1 1 dt t<br />

<br />

4 4<br />

<br />

14t<br />

14t<br />

2<br />

t 2<br />

1 4t 2 2<br />

dt<br />

2<br />

t 1 1 dt<br />

2<br />

1 4<br />

1 4 4 4<br />

t<br />

14t<br />

<br />

2<br />

dt t t <br />

2 2<br />

2<br />

t 1 1 dt<br />

1 4 8 8<br />

t<br />

14t<br />

2<br />

dt t 1 4t<br />

<br />

2 2<br />

1 1 d 2t<br />

8 16<br />

<br />

1<br />

4t<br />

2<br />

t 1 4t<br />

<br />

1 1<br />

<br />

8 16<br />

2 2<br />

t 1 4t ln 2t 1 4t c<br />

<br />

<br />

2<br />

1 4 1 2 4<br />

1 ln 1<br />

c<br />

2 2<br />

8 2x1 2x1 16 2x1<br />

2x1<br />

<br />

<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

dx<br />

3 2<br />

ខ.<br />

2x 1 4x 4x<br />

5<br />

<br />

dx<br />

4 2<br />

x 1 5 2x x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

1 4 1 2 4<br />

1 ln 1<br />

c<br />

2 2<br />

8 2x1 2x1 16 2x1<br />

2x1<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 31


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

dx<br />

<br />

dx<br />

x 1 5 2x x x1 6 1<br />

x<br />

<br />

4 2 4 2<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

4 2<br />

x 1 5 2x x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

dt<br />

<br />

2<br />

t<br />

1 6 <br />

1<br />

4 2<br />

t t<br />

<br />

<br />

t<br />

3<br />

2<br />

6t<br />

1<br />

<br />

dt<br />

1 1<br />

6 6<br />

<br />

2<br />

t 6t 1<br />

t<br />

2<br />

6t<br />

1<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u <br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

<br />

2<br />

6t<br />

1<br />

dx<br />

4 2<br />

x 1 5 2x x<br />

dx<br />

4 2<br />

x 1 5 2x x<br />

រ<br />

ោះ<br />

1<br />

x 1<br />

<br />

t<br />

dt<br />

1 1 t<br />

<br />

6<br />

<br />

6<br />

6t<br />

1<br />

du<br />

tdt<br />

12<br />

2<br />

t 6t 1dt dt<br />

2<br />

1 du 1 1 du<br />

<br />

6<br />

u <br />

12 6<br />

<br />

u 12<br />

1 1 du<br />

udu<br />

72<br />

<br />

36<br />

2<br />

u<br />

3<br />

1 2 1<br />

2<br />

u u c<br />

72 3 36<br />

1<br />

3 1<br />

t 2 t c<br />

108 36<br />

2 2<br />

6 1 6 1<br />

<br />

3<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

dt<br />

dx <br />

2<br />

t<br />

1 6 1 6<br />

1 1<br />

2<br />

c<br />

2<br />

108 x1 <br />

36 x1<br />

3<br />

2<br />

1 6 1 6<br />

1 1<br />

2<br />

c<br />

2<br />

108 x1 <br />

36 x1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 32


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

១៦. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

<br />

2<br />

I ax bx cdx<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើែូចក្ ណី ខាងរព្កាម<br />

ក្.របើ<br />

ខ.របើ<br />

a 0<br />

c 0<br />

ៃិង<br />

ៃិង<br />

0<br />

0<br />

រ. របើ ៃិង ជាឬសនៃ<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

រិៃិតយរមើល<br />

<br />

<br />

ររបរ ូ អរេ រោយាង<br />

ររបរ ូ អរេ រោយាង<br />

2<br />

ax bx c<br />

2<br />

ax bx c x a t<br />

2<br />

ax bx c xt c<br />

0 ររបរ ូ អរេ រោយាង<br />

2<br />

ឬ <br />

2<br />

ax bx c x t<br />

dx<br />

2<br />

x x x<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

1<br />

dx<br />

2<br />

x x x<br />

1<br />

3<br />

0<br />

ៃិង<br />

2<br />

x x 1<br />

x t<br />

រហើយ<br />

dx <br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

2<br />

x x x<br />

a 10<br />

ឬ<br />

<br />

<br />

ax bx c x t<br />

ខ.<br />

<br />

dx<br />

2<br />

1 x 4x<br />

3<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />

x x 1 x 2xt t<br />

2 2 2<br />

2<br />

2 t t1<br />

<br />

2t<br />

1<br />

dx<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

dt<br />

2<br />

2 t t1<br />

t<br />

<br />

2t1<br />

ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

2<br />

2 1<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

dt<br />

t t A B C<br />

<br />

2 2<br />

t 2t 1 t 2t<br />

1<br />

2t1<br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

2<br />

2t<br />

2t<br />

2<br />

<br />

<br />

2<br />

2 1 2 1<br />

<br />

A t Bt Ct t<br />

2 <br />

2<br />

t 2t 1 t 2t<br />

1<br />

2<br />

2t<br />

2t<br />

2<br />

<br />

<br />

2<br />

4 2 4<br />

<br />

<br />

A C t A B C t A<br />

2 <br />

2<br />

t 2t 1 t 2t<br />

1<br />

រព្បៀបរធៀបអងាទំងរី នៃក្រៃោមខាងរលើររទញបាៃ<br />

រ<br />

ោះ<br />

2<br />

t 1<br />

x <br />

2t<br />

1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 33


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

A<br />

2<br />

<br />

4A2C<br />

2<br />

<br />

4A B C 2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

2<br />

x x x<br />

រ ោះ<br />

A<br />

2<br />

<br />

C<br />

3<br />

<br />

B<br />

3<br />

dx 2 3 3 <br />

<br />

dt<br />

1<br />

<br />

t 2t<br />

1 2<br />

2t1<br />

<br />

dt dt dt<br />

2 3 3<br />

t<br />

2 t<br />

1<br />

2t<br />

1 2<br />

3 3<br />

2ln t ln 2t 1<br />

c<br />

2 2 2t<br />

1<br />

3<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2ln x x x 1 ln 2 x x x 1 1<br />

<br />

3<br />

2<br />

4 x x x 1 2<br />

<br />

c<br />

<br />

dx<br />

<br />

2<br />

x x x 1<br />

ខ.<br />

<br />

រិៃិតយរមើលសមីកា<br />

dx<br />

2<br />

1 x 4x<br />

3<br />

x<br />

2<br />

3 <br />

2<br />

2 2<br />

2ln x x x 1 ln 2 x x x 1 1<br />

<br />

<br />

4x 3 0<br />

3<br />

2<br />

4 x x x 1 2<br />

មាៃឫស<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />

2<br />

x 4x 3 x 1<br />

t<br />

2<br />

3<br />

t<br />

ឬ x រហើយ dx <br />

2<br />

1 t<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

dx<br />

<br />

2 <br />

1 x 4x<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

x 1 ៃិង<br />

c<br />

<br />

<br />

x 3<br />

ឬ 2 2<br />

<br />

x 1 x 3 x 1<br />

t<br />

<br />

4tdt<br />

2<br />

t<br />

1 2<br />

4dt<br />

2<br />

<br />

2 3<br />

t <br />

t 1<br />

1 t<br />

1<br />

2 <br />

1<br />

t <br />

4tdt<br />

2<br />

t 2t1<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 34


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ចំរ ោះអំងរតព្កាល<br />

<br />

2t<br />

2<br />

dt<br />

2<br />

t 2t1<br />

2t<br />

2<br />

អំងរតព្កាល<br />

2<br />

dt រៅជា<br />

t 2t1<br />

<br />

2t<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4t<br />

4 4<br />

dt<br />

2<br />

t 2t1<br />

2t<br />

2<br />

dt<br />

2<br />

dt 4<br />

2 2<br />

t 2t 1 t 2t<br />

1<br />

រោោះស្រាយរោយាង<br />

រហើយ 2 2<br />

dt <br />

2<br />

t 2t 1<br />

u<br />

du t dt<br />

<br />

du<br />

ln u c<br />

2<br />

ln 2 1<br />

<br />

t t c<br />

2<br />

u t t<br />

2 1<br />

ចំរ ោះអំងរតព្កាល<br />

ស ុបមក្<br />

<br />

dx<br />

<br />

2<br />

1 x 4x<br />

3<br />

t<br />

2<br />

dt<br />

2t1<br />

១៧. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

x3 x3<br />

ln 2 1<br />

x1 x1<br />

អចស រស រៅជា<br />

dt<br />

<br />

2<br />

dt<br />

1<br />

<br />

2<br />

t 2t1 t 1 2<br />

<br />

1 t 1<br />

2<br />

ln<br />

2 t 1<br />

2<br />

<br />

<br />

x3 x3<br />

2ln 2 1<br />

x1 x1<br />

<br />

<br />

2<br />

x 3 1<br />

2<br />

1<br />

ln<br />

x 1<br />

2 x 3 1<br />

2<br />

x 1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 ln<br />

x 3 1 2 x1<br />

2 x 3 1 2 x1<br />

<br />

2 ln<br />

I mx n ax bx cdx<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x 3 1 2 x1<br />

x 3 1 2 x1<br />

c<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 35


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

+ចំរ<br />

+ចំរ<br />

2<br />

<br />

<br />

2 2<br />

mx n ax bx cdx ax b ax bx cdx<br />

ដែល ៃិង ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2ax b ax bx cdx ax bx cdx<br />

2ax b ax bx cdx<br />

2<br />

ax bx cdx<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

2x 1 x x 3dx<br />

<br />

2<br />

2x 1 x x 3dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

+ចំរ<br />

អំងរតព្កាល<br />

+ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

រោោះស្រាយរោយាង<br />

រោោះស្រាយាមវិធីខាងរលើ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1 3x x 4x 2dx<br />

2 2<br />

2x 1 x x 3dx 2x 1 2<br />

x x 3dx<br />

<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

2x 1 x x 3dx<br />

2x 1 x x 3dx<br />

រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលរៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2<br />

u ax bx c<br />

2x 1 x x 3dx 2 x x 3dx<br />

រ ោះ 2 1<br />

<br />

2<br />

x x 3dx<br />

រោយាង<br />

du x dx<br />

រៅជា<br />

<br />

2<br />

2<br />

u x x<br />

2x 1 x x 3dx udu<br />

<br />

2<br />

3 u<br />

អចស រស រៅជា<br />

<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

3 x x<br />

3<br />

2 3<br />

2<br />

2 1 11<br />

x x 3dx <br />

x dx<br />

2<br />

4<br />

1<br />

u x រ ោះ dx du<br />

2<br />

<br />

<br />

x x 3dx u du<br />

4<br />

2 2 11<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 36


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរោោះស្រាយ<br />

តាង<br />

g<br />

u<br />

<br />

<br />

<br />

f u<br />

<br />

2<br />

u<br />

du<br />

2 11<br />

u <br />

4<br />

<br />

<br />

2<br />

u 11 du<br />

du <br />

2 11 4<br />

2 11<br />

u <br />

u <br />

4 4<br />

<br />

<br />

2<br />

u 11 2u<br />

du arctan<br />

2 11 2 11<br />

u <br />

4<br />

រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

<br />

f u g u du f u g u f u g u du<br />

u<br />

u<br />

ម<br />

2 11<br />

u <br />

4<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

<br />

ែូរចនោះ <br />

2<br />

<br />

ោះ<br />

2x 1 x x 3dx<br />

<br />

ខ. <br />

2<br />

ម<br />

f<br />

ោះ<br />

u 1<br />

<br />

g u<br />

<br />

u<br />

2<br />

1<br />

<br />

<br />

11<br />

4<br />

2<br />

u du u dt<br />

<br />

2 11 2 11 2 11<br />

u u u <br />

4 4 4<br />

<br />

<br />

u<br />

2<br />

2<br />

x x 3dx<br />

1 3x x 4x 2dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

u<br />

<br />

<br />

2 2u<br />

arctan<br />

11 11 11<br />

4<br />

u 7 2u<br />

arctan c<br />

2 11 2 11 11<br />

u <br />

4<br />

2x<br />

1 7 2x<br />

1<br />

arctan c<br />

2 11 2 11<br />

2<br />

2 x x3<br />

3<br />

2 2 2x<br />

1 7 2x<br />

1<br />

x x 3<br />

2<br />

arctan c<br />

3<br />

2<br />

2 x x3<br />

2 11 2 11<br />

<br />

<br />

3 <br />

x x x dx<br />

<br />

x x x dx<br />

2 <br />

<br />

<br />

2 2<br />

1 3 4 2 2 4 7 4 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 37


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

+ចំរ ោះអំងរតព្កាល <br />

2<br />

ាង<br />

3<br />

2 2<br />

2x 4 x 4x 2dx 7 x 4x 2dx<br />

2<br />

<br />

<br />

2 x 4 x 4 x 2 dx រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />

2<br />

u x x<br />

4 2 រ ោះ<br />

អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

du 2x 4<br />

dx<br />

+ចំរ<br />

ចំរ<br />

<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

<br />

2<br />

2x 4 x 4x 2dx udu<br />

<br />

2<br />

x 4x 2dx<br />

<br />

<br />

2 2<br />

u x 4x<br />

2<br />

3 3<br />

3 3<br />

2 2<br />

2<br />

អចស រស រៅជា<br />

<br />

2<br />

2<br />

x 4x 2dx x 2 2dx<br />

ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u x2<br />

រ ោះ du dx<br />

<br />

អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />

រោោះស្រាយ<br />

<br />

តាង<br />

g<br />

<br />

2 2<br />

x 4x 2dx u 2du<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

u 2<br />

du<br />

2<br />

u 2<br />

2<br />

u<br />

du<br />

du 2<br />

2 2<br />

u 2 u 2<br />

2<br />

u<br />

du u u <br />

2<br />

u 2<br />

2<br />

2ln 2<br />

2<br />

u<br />

du x x x <br />

2<br />

u 2<br />

2<br />

u<br />

du ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

2<br />

u 2<br />

<br />

f u g u du f u g u f u g u du<br />

f u<br />

u<br />

u<br />

ម<br />

ោះ<br />

f<br />

u 1<br />

u <br />

2<br />

u 2<br />

ម ោះ g u <br />

2<br />

u<br />

<br />

1<br />

2<br />

2<br />

2ln 2 4 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 38


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

2<br />

u du u dt<br />

<br />

<br />

2 2 2<br />

u 2 u 2 u 2<br />

<br />

u<br />

2<br />

ln 2 <br />

2<br />

u<br />

2<br />

x 2<br />

u u c<br />

2<br />

ln 2 4 2 <br />

2<br />

x<br />

2<br />

x 4x 2dx<br />

4x2<br />

x 2<br />

2<br />

x 4x 2dx<br />

3<br />

១៨. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

x x x c<br />

2<br />

3ln 2 4 2 <br />

2<br />

x<br />

4x2<br />

x x x c<br />

2 2 x 2<br />

2<br />

2<br />

x 4x 2 3ln x 2 x 4x 2 c<br />

3<br />

2<br />

x 4x2<br />

<br />

n<br />

<br />

2<br />

I P x ax bx cdx<br />

<br />

2<br />

P<br />

2<br />

n<br />

x ax bx c<br />

Pn<br />

x<br />

ax bx cdx <br />

dx<br />

2<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលរៃោះាមវិធីខាងរលើ<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

x 1 x x 1dx<br />

<br />

2<br />

x 1 x x 1dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

អំងរតព្កាល<br />

<br />

<br />

P<br />

ax bx c<br />

n2<br />

x<br />

2<br />

ax bx c<br />

ខ.<br />

x 1 x 2 x 1<br />

2<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

<br />

2 2<br />

2 1<br />

x x x dx dx<br />

x x1<br />

3 2<br />

x x x<br />

2 2 1<br />

dx<br />

2<br />

x x1<br />

<br />

<br />

3 2<br />

x x x<br />

2 2 1<br />

dx<br />

2<br />

x x1<br />

អចស រស ជាទព្មង់<br />

<br />

x x x x dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 39


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

3 2<br />

x 2x 2x 1<br />

2 2<br />

dx<br />

រធវ ើរែ ីរវរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

ឬ<br />

<br />

2 2<br />

x x x x<br />

<br />

dx ax bx c x x 1<br />

<br />

1 1<br />

3 2<br />

x x x x<br />

2 2 1 2 2<br />

2 1<br />

<br />

2ax b x x 1 ax bx c<br />

<br />

2 2 2<br />

x x 1 2 x x 1 x x 1<br />

3 2<br />

2x 4x 4x<br />

2<br />

x<br />

2<br />

x1<br />

2 2<br />

ax b x x ax bx c x <br />

2 2 1 2 1 2<br />

<br />

<br />

2<br />

2 x x1<br />

<br />

3 2<br />

6 5 4 4 3 2<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />

6a<br />

2<br />

5a4b4<br />

<br />

4a 3b 2c<br />

2<br />

<br />

c<br />

2<br />

4<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

<br />

អំងរតព្កាល<br />

ស ុបមក្<br />

ax a b x a b c x c <br />

រ<br />

ោះ<br />

x<br />

2<br />

x1<br />

1 7<br />

a , b <br />

3 12<br />

<br />

11 37<br />

c , <br />

24 48<br />

3 2<br />

2<br />

x 2x 2x<br />

1<br />

x 1<br />

x x 1dx <br />

dx<br />

2<br />

<br />

<br />

x<br />

2<br />

dx<br />

x1<br />

<br />

x<br />

x1<br />

1 7 11 <br />

37<br />

2 2<br />

x x x x 1<br />

<br />

3 12 24 48<br />

2<br />

x x1<br />

អចស រស រៅជា<br />

1 <br />

d x<br />

dx<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

2 <br />

2<br />

x x1 1<br />

3<br />

x<br />

<br />

2<br />

4<br />

<br />

<br />

u<br />

du<br />

<br />

4<br />

2 3<br />

ln u u c<br />

4<br />

2 3<br />

1<br />

x x x c<br />

2<br />

2<br />

ln 1<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 40


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

ខ.<br />

1 7 11 37 1<br />

x 1 x x 1dx <br />

<br />

x x x x 1 ln x x x 1<br />

c<br />

3 12 24 <br />

48 2<br />

<br />

2 2 2 2<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2 1<br />

x x x x dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

អំងរតព្កាល<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2 2<br />

2 1<br />

2x 2 x x 2 x 1<br />

<br />

2<br />

x x x x dx <br />

dx<br />

x x1<br />

4 3 2<br />

x x x x dx<br />

2<br />

x<br />

2<br />

x1<br />

រធវ ើរែ ីរវរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

<br />

<br />

2<br />

4 3 2<br />

x x x x dx<br />

x<br />

2<br />

x1<br />

អចស រស ជាទព្មង់<br />

4 3 2<br />

x x x x 3 2 2<br />

dx<br />

<br />

dx ax bx cx d x x 1<br />

<br />

1 1<br />

2 2<br />

x x x x<br />

4 3 2<br />

2x x x x 2x<br />

1<br />

ឬ<br />

2 2 3 2<br />

<br />

3ax 2bx c x x 1<br />

ax bx cx d <br />

<br />

1 2 1 1<br />

2 2 2<br />

x x x x x x<br />

4 2<br />

<br />

4 3 2<br />

x x x x<br />

x<br />

2<br />

x1<br />

<br />

2 2 3 2<br />

2 3ax 2bx c x x 1 ax bx cx d 2x<br />

1 2<br />

<br />

<br />

2<br />

2 x x1<br />

<br />

4 3 2<br />

8 7 6 6 5 2 4 2 2<br />

ax a b x a b c x b c d x d<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />

8a<br />

4<br />

<br />

7a<br />

6b<br />

2<br />

6a 5b 2c<br />

2<br />

4b c 2d<br />

2<br />

<br />

2<br />

d<br />

0<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

<br />

អំងរតព្កាល<br />

<br />

2 2<br />

2 1<br />

រ<br />

ោះ<br />

x<br />

2<br />

x1<br />

1 1<br />

a , b <br />

2 4 9<br />

, <br />

1 9 32<br />

c , d <br />

8 16<br />

4 3 2<br />

2x x x x<br />

x x x x dx <br />

dx<br />

2<br />

x x1<br />

<br />

x<br />

2<br />

dx<br />

x<br />

1<br />

1 1 1 9 <br />

9<br />

3 2 2<br />

x x x x x 1<br />

<br />

2 4 8 16 32<br />

2<br />

x x1<br />

អចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 41


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ស ុបមក្<br />

<br />

1 <br />

d x<br />

dx<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

2 2<br />

x x1 1<br />

3<br />

x<br />

<br />

2<br />

4<br />

<br />

<br />

4<br />

2 3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 42<br />

<br />

<br />

<br />

u<br />

du<br />

ln u u c<br />

4<br />

2 3<br />

1<br />

x x x c<br />

2<br />

2<br />

ln 1<br />

<br />

1 1 1 9 <br />

<br />

<br />

2 4 8 16 <br />

2 2 3 2 2<br />

2x x x x 1dx x x x x x 1<br />

១៩. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

<br />

<br />

2<br />

I f x,<br />

ax bx c dx<br />

ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ក្.<br />

ខ.<br />

ឧទាហរណ៍គណ<br />

ក្.<br />

ចម្ល ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

f x,<br />

m kx l dx<br />

<br />

2<br />

2<br />

f x,<br />

m kx l dx<br />

<br />

រ. , <br />

<br />

<br />

9 1<br />

x x x c<br />

32 2<br />

2<br />

ln 1<br />

<br />

តាង<br />

តាង<br />

2 2<br />

f x kx l m dx តាង<br />

2<br />

5<br />

3x dx<br />

2<br />

5<br />

3x dx<br />

អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />

មយើងមោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />

តាង<br />

5<br />

x sin u ម ោះ<br />

3<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

<br />

2<br />

5<br />

3x dx<br />

<br />

<br />

dx <br />

ខ.<br />

<br />

5 cos<br />

3<br />

2 5<br />

<br />

kx l m tan t<br />

kx l msin<br />

t<br />

kx l<br />

<br />

x<br />

2<br />

udu<br />

1dx<br />

5 1sin u cos udu<br />

3<br />

5 5<br />

<br />

<br />

3 2 3<br />

m<br />

cos<br />

2<br />

cos udu 1 cos 2<br />

t<br />

<br />

u du


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

េូមចនោះ<br />

<br />

ខ.<br />

2<br />

5<br />

3x dx<br />

<br />

x<br />

2<br />

1dx<br />

5 sin 2u<br />

<br />

u <br />

c<br />

2 3<br />

2 <br />

2<br />

5 3 3x 5 3x<br />

<br />

arcsin x <br />

c<br />

2 3 <br />

5 5 <br />

2<br />

5 3 3x 5 3x<br />

<br />

arcsin x <br />

c<br />

2 3 <br />

5 5 <br />

មយើងមោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />

តាង<br />

x tan u<br />

ម<br />

ោះ<br />

dx <br />

<br />

1tan<br />

2<br />

<br />

u du<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

មហើយ<br />

sin u <br />

2<br />

x 1dx<br />

<br />

<br />

tan u 1 1<br />

tan<br />

du<br />

3<br />

cos u<br />

cosudu<br />

4<br />

cos u<br />

2 2<br />

u du<br />

x<br />

1<br />

x<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />

តាង<br />

t sin u<br />

ម<br />

ោះ<br />

dt cosudu<br />

2<br />

ៃិង<br />

cosu<br />

<br />

1<br />

1<br />

x<br />

2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 43<br />

<br />

x<br />

2<br />

1dx<br />

<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាល <br />

2<br />

1 t <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

dt<br />

1<br />

t<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

t dt<br />

t<br />

2<br />

<br />

1<br />

t<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

2 2<br />

2<br />

t<br />

<br />

<br />

dt<br />

2<br />

dt t dt<br />

<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1<br />

t 1<br />

t<br />

1 1<br />

t<br />

ln <br />

2 1<br />

t 1<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

t dt<br />

t<br />

2<br />

<br />

រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

<br />

f t g t dt f t g t f t g t dt<br />

<br />

2


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

តាង<br />

g<br />

t<br />

f t<br />

t ម ោះ ft 1<br />

2<br />

1<br />

t<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 44<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

t<br />

2<br />

ម<br />

ោះ<br />

<br />

g t<br />

1<br />

<br />

21<br />

t<br />

2<br />

t dt t 1 dt<br />

<br />

2<br />

2<br />

t<br />

1 21 t <br />

<br />

2 2<br />

t<br />

<br />

21<br />

t<br />

ស ុបរៅអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

x<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2 1<br />

t<br />

1 1<br />

t<br />

ln<br />

4 1<br />

t<br />

1 1t t 1 1t<br />

2 1t<br />

21<br />

t 4 1t<br />

2<br />

x 1dx ln ln c<br />

2<br />

1dx<br />

២០. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

p<br />

q<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

t 1 1<br />

t<br />

ln c<br />

2<br />

21<br />

t 4 1<br />

t<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

sin u 1 1<br />

sin u<br />

ln c<br />

2<br />

2 1<br />

sin u 4 1<br />

sin u<br />

tan u 1 1<br />

sin u<br />

ln c<br />

2cosu<br />

2 1<br />

sin u<br />

x 2<br />

2 1 1<br />

1 ln<br />

x <br />

x<br />

x<br />

2 4<br />

2<br />

x 1<br />

x<br />

c<br />

x 1<br />

<br />

2 2<br />

2 2<br />

x 1 ln x x 1 c<br />

x 1<br />

<br />

2 2<br />

2 2<br />

x 1 ln x x 1 c<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

p<br />

ax b<br />

I dx , p, q , p q<br />

q<br />

cx d<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

<br />

<br />

7<br />

4x<br />

2x<br />

3<br />

<br />

<br />

3<br />

50<br />

<br />

<br />

7<br />

4x<br />

2x<br />

3<br />

3<br />

50<br />

dx<br />

dx<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

10x<br />

3<br />

2<br />

5x<br />

4<br />

2016<br />

dx<br />

<br />

u cx d<br />

q


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u 2x3<br />

ឬ<br />

u 3<br />

x <br />

2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

du<br />

dx <br />

2<br />

u 3 <br />

3 74<br />

7 4x<br />

<br />

2<br />

dx <br />

<br />

50 <br />

50<br />

2x<br />

3<br />

u<br />

<br />

<br />

7<br />

4x<br />

2x<br />

3<br />

<br />

<br />

3<br />

50<br />

dx<br />

<br />

<br />

10x<br />

3<br />

2<br />

5x<br />

4<br />

2016<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

2u 3<br />

u<br />

50<br />

3<br />

du<br />

du<br />

2<br />

1 1 6 12 8<br />

<br />

2<br />

<br />

u<br />

2 3<br />

u u u<br />

50 du<br />

1 1 6 12 8<br />

<br />

2<br />

<br />

50 49 48 47 <br />

u u u u <br />

<br />

du<br />

1 1 6 12 4 <br />

<br />

49 48 47 46<br />

2 <br />

c<br />

49u 48u 47u 23u<br />

<br />

<br />

1 1 6 12<br />

<br />

2 49 2 3 48 2 3 47 2 3<br />

x x x <br />

46<br />

49 48 47<br />

4<br />

<br />

23 2x<br />

3<br />

<br />

c<br />

<br />

1 1 6 12 4 <br />

<br />

49 48 47 46<br />

<br />

c<br />

2 <br />

492x 3 482x 3 472x 3 232x<br />

3<br />

<br />

dx<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u 25x<br />

ឬ<br />

u 2<br />

x <br />

5<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រ<br />

ោះ<br />

du<br />

dx <br />

5<br />

<br />

u 2 <br />

4 10<br />

3<br />

10x<br />

3 <br />

5<br />

dx <br />

<br />

2016 <br />

2016<br />

2<br />

5x<br />

u<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

5<br />

<br />

2u<br />

1 4<br />

u<br />

2016<br />

du<br />

4<br />

du<br />

5<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 45


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

េូមចនោះ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

10x<br />

3<br />

2<br />

5x<br />

4<br />

2016<br />

4 3 2<br />

1 16u 32u 24u 8u<br />

1<br />

<br />

5<br />

<br />

u<br />

2016<br />

du<br />

1 16 32 24 8 1<br />

<br />

5<br />

<br />

2012 2013 2014 2015 2016 <br />

u u u u u <br />

<br />

du<br />

1 16 8 24 4 1 <br />

<br />

2011 2012 2013 2014 2016<br />

5 <br />

c<br />

2011u 503u 2013u 1007u 2015u<br />

<br />

<br />

1 16 8 24<br />

<br />

5 2011 2 5x 503 2 5x 2013 2 5x<br />

dx<br />

២១. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

ក្មៃោ្នៃភាគលរងពហុធា<br />

m<br />

<br />

2011 2012 2013<br />

<br />

<br />

4 1 <br />

<br />

2014 2016<br />

c<br />

1007 2 5x<br />

2015 2 5x<br />

<br />

1 16 8 24<br />

<br />

5 2011 2 5x 503 2 5x 2013 2 5x<br />

<br />

<br />

<br />

2011 2012 2013<br />

4 1 <br />

<br />

2014 2016<br />

c<br />

1007 2 5x<br />

2015 2 5x<br />

<br />

Q<br />

<br />

<br />

Pn<br />

x<br />

I <br />

dx , deg Pn<br />

x degQm x<br />

Q x<br />

m x<br />

m<br />

អចសរមសរជា<br />

m<br />

m<br />

1 2 n<br />

1<br />

2 n<br />

2 <br />

Q x x a x a x a x x x x x x<br />

ក្មៃោ្អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

<br />

P x A A A B x C<br />

B x C<br />

<br />

Q x x a x a x a x x x x<br />

<br />

n 1 2 m 1 1<br />

n<br />

m m 1 n<br />

2<br />

m<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

លេល<br />

A , A , , A , B , C , , B , C<br />

1 2 m 1 1 n n<br />

ជាចាំៃួៃមេរលេលក្រេូេរក្<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

2<br />

2x<br />

5x3<br />

3 2<br />

x x 2x<br />

dx<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

2x<br />

5x3<br />

3 2<br />

x x 2x<br />

dx<br />

<br />

<br />

dx<br />

3<br />

x x <br />

ោក្់ក្មៃោ្ភាគលរងជាសលគុណក្តាត មគបាៃ Qx x 3 x 2 2x xx 1 x 2<br />

ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

1<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 46


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ឬ<br />

ឬ<br />

<br />

<br />

2<br />

P x 2x 5x 3<br />

A B C<br />

<br />

3 2<br />

Q x x x x x x x <br />

2 1 2<br />

<br />

2<br />

2x 5x 3 A x 1 x 2 Bx x 2 Cx x 1<br />

<br />

2 2<br />

2 5 3 2 2<br />

x x A B C x A B C x A<br />

ររទញបាៃ<br />

2A<br />

3<br />

<br />

A 2B C 5<br />

<br />

A B C 2<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

ែូចរៃោះ<br />

ឬ<br />

3<br />

<br />

A <br />

2 <br />

13<br />

2B C <br />

2<br />

1<br />

B<br />

C <br />

2<br />

2<br />

2 5 3 3 5<br />

dx 2 <br />

3 2<br />

x x x x x x<br />

x x dx dx dx<br />

2 2 1 2 2<br />

<br />

<br />

ខ.<br />

2<br />

2x<br />

5x3<br />

3 2<br />

x x 2x<br />

<br />

<br />

dx<br />

3<br />

x x <br />

1<br />

<br />

dx<br />

ឬ<br />

3<br />

<br />

A <br />

2 <br />

B<br />

2<br />

5<br />

C <br />

2<br />

3 5<br />

ln x 2ln x 1 ln x 2 c<br />

2 2<br />

3 5<br />

ln x 2ln x 1 ln x 2 c<br />

2 2<br />

ភារដបងនៃក្រៃោមអំងរតព្កាលអចស រស<br />

ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

+មរើ<br />

ឬ<br />

x 0<br />

3 2<br />

1 1 1<br />

Q x x x x x x x<br />

<br />

P x 1 A B Cx D<br />

<br />

Q x x x x x <br />

3<br />

x x 1<br />

2<br />

1 1<br />

3 2<br />

<br />

1 A x 1 Bx x x 1 Cx D x 1<br />

x<br />

ម<br />

ោះ<br />

A 1<br />

+មរើ x 1<br />

ម ោះ 13B<br />

មក្ររៀរមធៀរម្គុណ x 3 ៃិង x 2 មគបាៃ<br />

ឬ<br />

1<br />

B <br />

3<br />

A B C 0<br />

<br />

B C D 0<br />

ឬ<br />

<br />

C A B <br />

<br />

1<br />

D B C <br />

<br />

3<br />

2<br />

3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 47


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

<br />

<br />

dx<br />

3<br />

x x <br />

២២. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

dx dx 1 dx 1 2x<br />

1<br />

x x x x<br />

<br />

3<br />

xx<br />

1<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

3 1 3 1<br />

dx<br />

1 1<br />

x x x x c<br />

3 3<br />

2<br />

ln ln 1 ln 1<br />

<br />

1 1<br />

x x x x c<br />

3 3<br />

2<br />

ln ln 1 ln 1<br />

<br />

<br />

p<br />

q<br />

, , ,<br />

I ax b cx d dx p q p q<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង u ax b<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

2 3 3 1<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

2 2016<br />

x x dx<br />

2 3 3 1<br />

2 2016<br />

x x dx<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

2 3 1<br />

<br />

u 3x1<br />

du<br />

dx <br />

a<br />

3 4<br />

x x dx<br />

ឬ<br />

u 1<br />

x <br />

3<br />

រ<br />

ោះ<br />

du<br />

dx <br />

3<br />

<br />

2<br />

2 2016 u 1<br />

2016<br />

du<br />

2 3x 3x 1 dx 2<br />

u<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

2 2016<br />

ែូរចនោះ 2 3 3 1<br />

<br />

x x dx<br />

3 4<br />

ខ. 2 3 1<br />

<br />

x x dx<br />

1<br />

49 14<br />

<br />

27<br />

<br />

<br />

<br />

2 2016<br />

u u u du<br />

1<br />

49 14<br />

<br />

27<br />

<br />

2016 2017 2018<br />

u u u du<br />

2017 2018 2019<br />

1 49u 7u u <br />

<br />

c<br />

27 2017 1009 2019 <br />

x x x <br />

1 49 3 1 2017 7 3 1 2018 3 1<br />

2019 <br />

<br />

<br />

c<br />

27 <br />

2017 1009 2019 <br />

x x x <br />

1 49 3 1 2017 7 3 1 2018 3 1<br />

2019 <br />

<br />

<br />

c<br />

27 <br />

2017 1009 2019 <br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង u 1 x រ ោះ dx du<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 48


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

<br />

3 4 3 4<br />

2x 3 1 x dx 5 2u u du<br />

<br />

<br />

<br />

125 150 60 8<br />

4 5 6 7<br />

u u u u du<br />

60<br />

25 25 <br />

7<br />

5 6 7 8<br />

u u u u c<br />

5 6 60 7 8<br />

251 x 251 x 1 x 1 x<br />

c<br />

7<br />

5 6 60 7 8<br />

25 1 x 25 1 x 1 x 1 x c<br />

7<br />

3 4<br />

2x 3 1x<br />

dx <br />

២៣. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

រយើងរោោះស្រាយាមវិធីខាងរព្កាម<br />

+របើ<br />

+របើ<br />

+របើ<br />

p <br />

m 1<br />

<br />

n<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

តាង<br />

m 1<br />

p <br />

n<br />

xdx<br />

1<br />

xdx<br />

1<br />

x<br />

3 2<br />

x<br />

3 2<br />

x<br />

តាង<br />

t<br />

អាំងមេក្រាលអចសរមសរជា<br />

ពិៃិេយម្ើលមោយ<br />

k<br />

<br />

n<br />

p<br />

, , ,<br />

m<br />

I x a bx dx m n p<br />

<br />

លេល k<br />

n k<br />

a bx t<br />

តាង<br />

a bx<br />

m<br />

x<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

<br />

xdx<br />

1<br />

x<br />

n<br />

3 2<br />

2 1<br />

m 1, n , p <br />

3 2<br />

ជាភាគលរងរួ្នៃ<br />

លេល k<br />

k<br />

t លេល k<br />

<br />

<br />

មហើយ<br />

ខ.<br />

<br />

mn ,<br />

ជាភាគលរងរួ្នៃ<br />

x<br />

p<br />

ជាភាគលរងរួ្នៃ p<br />

dx<br />

2 x<br />

3 3 3<br />

1<br />

2<br />

<br />

2<br />

3<br />

<br />

x1x dx<br />

<br />

m 1 3<br />

n<br />

មយើងមោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />

តាង<br />

t <br />

1<br />

x<br />

3 2<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

ឬ<br />

t<br />

1<br />

x<br />

2 3 2<br />

2<br />

ឬ 3 2<br />

2<br />

t 1<br />

x ម ោះ 2 6 1 2<br />

<br />

xdx t t dt<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 49


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

េូមចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

x<br />

xdx<br />

1<br />

3 2<br />

2<br />

2<br />

3t t 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 50<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

t<br />

2<br />

t<br />

2<br />

3 1<br />

<br />

<br />

dt<br />

dt<br />

4 2<br />

3 t 2t 1<br />

dt<br />

3<br />

2 3 <br />

5 3<br />

5 t t t c<br />

<br />

5 3<br />

<br />

3 2 2 3 2 2<br />

3 2<br />

3<br />

1 x 2 1 x 3 1 x c<br />

5<br />

5 3<br />

3 2 2 3 2 2<br />

3 2<br />

xdx<br />

<br />

3 2<br />

1<br />

x<br />

dx<br />

2 x<br />

3 3 3<br />

អាំងមេក្រាលអចសរមសរជា<br />

ពិៃិេយម្ើលមោយ<br />

3<br />

1 x 2 1 x 3 1 x c<br />

5<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

3 3 3<br />

x x dx<br />

1<br />

m 3, n 3, p <br />

3<br />

មហើយ<br />

មយើងមោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />

តាង<br />

t <br />

2 x<br />

x<br />

3 3<br />

ឬ<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

<br />

x<br />

<br />

t<br />

3<br />

2 x<br />

<br />

3<br />

x<br />

3<br />

ឬ<br />

x<br />

3<br />

<br />

<br />

x<br />

6<br />

<br />

2<br />

x dx<br />

2 x<br />

3<br />

x<br />

3 3<br />

m 1<br />

p 1 <br />

n<br />

2<br />

<br />

3<br />

t 1<br />

dx<br />

1 2<br />

<br />

<br />

x 2 x 2 <br />

t<br />

t 1<br />

<br />

3 <br />

t<br />

1<br />

<br />

2<br />

t dt<br />

3 3 3 2<br />

3<br />

2<br />

dx<br />

2 x<br />

3 3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

2<br />

tdt<br />

2<br />

t<br />

c<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 x<br />

2x<br />

3 3<br />

2 x<br />

2x<br />

3 3<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

c<br />

c<br />

<br />

ម<br />

ោះ<br />

2<br />

x dx<br />

<br />

<br />

2t<br />

t<br />

3<br />

2<br />

<br />

1<br />

2<br />

dt


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

p<br />

<br />

m<br />

<br />

n q<br />

២៤. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់ I f x, x , x , <br />

dx<br />

<br />

<br />

f<br />

ជាព្បភារសៃិទៃ រយើងរោោះស្រាយរោយាង<br />

x<br />

t<br />

k<br />

ដែល<br />

k PPCM n, q,<br />

<br />

<br />

<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

x 1<br />

dx<br />

3 2<br />

x<br />

x<br />

x 1<br />

dx<br />

3 2<br />

x<br />

x<br />

មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />

តាង<br />

t <br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

<br />

<br />

x 1<br />

dx<br />

3 2<br />

x<br />

x<br />

ខ.<br />

<br />

4<br />

<br />

x <br />

x 1<br />

6<br />

x<br />

ម<br />

x 1<br />

dx<br />

3 2<br />

x<br />

x<br />

8<br />

4<br />

<br />

ោះ<br />

<br />

6<br />

<br />

x<br />

t<br />

6<br />

3<br />

t 1 6 4 6<br />

t t<br />

<br />

t<br />

t<br />

<br />

4<br />

2<br />

ខ.<br />

មហើយ<br />

5<br />

t dt<br />

t dt<br />

1<br />

<br />

2<br />

6t<br />

1<br />

2 <br />

t 1<br />

<br />

4<br />

<br />

x <br />

x 1<br />

dx 6<br />

t 1<br />

<br />

dt<br />

2<br />

6 t 1 <br />

2 2<br />

8<br />

4<br />

5<br />

t dt<br />

t 1 <br />

<br />

dt<br />

t 1 t 1<br />

<br />

x dx<br />

x<br />

3 2<br />

2 6 3ln 1 6arctan <br />

t t t t c<br />

2 6 3ln 1 6arctan <br />

6 6 6<br />

x x x x c<br />

2 6 3ln 1 6arctan <br />

x dx<br />

x<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

មោយភាគលរងរួ្គឺ k PPCM <br />

តាង<br />

t<br />

8<br />

x ម ោះ<br />

x<br />

<br />

6 6 6<br />

x x x x c<br />

<br />

4<br />

<br />

x <br />

x 1<br />

8<br />

4<br />

x dx<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

4<br />

x x<br />

<br />

x1<br />

x<br />

<br />

1<br />

8<br />

1<br />

4<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

4,8 8<br />

មយើងមោោះសា្រយអាំងមេក្រាលមោយរត ូរអមេរ<br />

t<br />

8<br />

មហើយ<br />

dx 8<br />

7<br />

t dt<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 51


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

4 8<br />

4<br />

x 1<br />

x <br />

4<br />

<br />

<br />

x <br />

x <br />

x 1<br />

8<br />

4<br />

x dx<br />

<br />

<br />

x dx<br />

x<br />

២៥. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

f<br />

<br />

<br />

8<br />

8<br />

2<br />

t t<br />

dt<br />

8 2<br />

t t 1<br />

<br />

t 1<br />

dt<br />

2<br />

t 1<br />

<br />

t<br />

1<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

t 1 t 1<br />

<br />

<br />

dt<br />

4ln 1 <br />

2<br />

t 8arctan t c<br />

4ln 1 <br />

4<br />

8<br />

x 8arctan x c<br />

4ln 1 <br />

4<br />

8<br />

x 8arctan x c<br />

ជាព្បភារសៃិទៃ រយើងរោោះស្រាយរោយាង<br />

ឧទហ ណ៍ រណ អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

m<br />

p<br />

<br />

<br />

ax b n ax b<br />

q<br />

I f x, , , <br />

<br />

dx<br />

<br />

<br />

cx d cx d<br />

<br />

<br />

<br />

ax b t<br />

cx d<br />

k<br />

ដែល<br />

k PPCM n, q,<br />

<br />

<br />

<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

1<br />

x dx<br />

1<br />

x<br />

1<br />

x dx<br />

1<br />

x<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

t <br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

1<br />

x<br />

1<br />

x<br />

រ<br />

ោះ<br />

t<br />

2 1<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

ាង<br />

<br />

<br />

ខ.<br />

x<br />

<br />

1 x<br />

<br />

<br />

ឬ<br />

<br />

1<br />

x 4<br />

dx <br />

1<br />

x 1<br />

t<br />

1<br />

x dx<br />

1<br />

x x<br />

1<br />

t<br />

x <br />

1 t<br />

2<br />

t dt<br />

<br />

f t g t dt f t g t f t g t dt<br />

<br />

f t<br />

t<br />

រ ោះ f t 1<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

2<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

dx <br />

4tdt<br />

2<br />

1<br />

t 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 52


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

g<br />

t<br />

<br />

2t<br />

2<br />

1<br />

t 2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

ោះ<br />

g t<br />

1<br />

<br />

1 t<br />

<br />

2<br />

ខ.<br />

<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

1<br />

x dx<br />

1<br />

x x<br />

1<br />

x dx<br />

1<br />

x<br />

1<br />

x 2<br />

dx <br />

t 2<br />

dt<br />

1 x 1 t 1<br />

t<br />

<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

t <br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

1<br />

x<br />

1<br />

x<br />

រ<br />

2 2<br />

2t<br />

2arctan t<br />

c<br />

2<br />

1<br />

t<br />

2 1<br />

x<br />

1 x 2arctan 1<br />

c<br />

x<br />

2 1<br />

x<br />

1 x 2arctan c 1 x<br />

ោះ<br />

t<br />

x<br />

<br />

1 x<br />

2 1<br />

ឬ<br />

1<br />

t<br />

x <br />

1 t<br />

2<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

dx <br />

4tdt<br />

2<br />

1<br />

t 2<br />

<br />

2 2<br />

1x 1t 4t dt<br />

dx t<br />

<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1x 1t 1<br />

t<br />

<br />

<br />

<br />

4t<br />

<br />

2 2<br />

1t<br />

1t<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

dt<br />

2 2<br />

t t <br />

2 2<br />

1t<br />

1t<br />

<br />

2 1 2 1<br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

1t<br />

1t<br />

<br />

<br />

dt<br />

dt dt<br />

2<br />

2<br />

1t<br />

1t<br />

2 2<br />

dt<br />

1<br />

t<br />

ln<br />

2arctan t<br />

c<br />

1<br />

t<br />

1 x 1 x 1<br />

x<br />

ln 2arctan c<br />

1 x 1 x<br />

1 x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 53


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

1<br />

x dx<br />

1<br />

x x<br />

1 x 1 x 1<br />

x<br />

ln 2arctan c<br />

1 x 1 x<br />

1 x<br />

២៦. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

<br />

I sin px cos qx dx<br />

cos <br />

I cos px qx dx<br />

ៃិង<br />

ៃិង<br />

sin<br />

<br />

I sin px qx dx<br />

sin<br />

<br />

I sin px qx dx<br />

រយើងរោោះស្រាយរោយរព្បើ ូបមៃរបដមៃងនលរុណជានលបូក្នៃអៃុរមៃ៍ព្តីរកាណមាព្ត<br />

1<br />

sin sin cos sin <br />

2<br />

<br />

<br />

1<br />

cos cos cos cos <br />

2<br />

<br />

<br />

1<br />

sin cos sin sin <br />

2<br />

<br />

<br />

ឧទហ ណ៍ រណ អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

sin 3x<br />

cos 2x dx<br />

<br />

sin 3x<br />

cos 2x dx<br />

អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

1<br />

sin 2x cos2x cos4xdx<br />

2<br />

1 1<br />

sin 2 cos2 sin 2 cos4<br />

<br />

2 x x dx <br />

2<br />

x x dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 54<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

sin xsin 2x sin 3x dx<br />

1<br />

sin 3xcos2x dx sin 3x 2x sin 3x 2xdx<br />

2<br />

<br />

<br />

sin 3 x cos 2xdx<br />

<br />

<br />

sin xsin 2x sin 3x dx<br />

អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

1 sin 5xdx<br />

1<br />

2<br />

<br />

2<br />

1 1<br />

cos 5x cos x c<br />

10 2<br />

<br />

sin xdx<br />

1 cos5x<br />

1 cos x c<br />

10 2<br />

<br />

<br />

<br />

sin xsin 2x sin 3x dx sin 2x sin xsin 3x dx


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

1 1<br />

sin 4x dx sin 6x sin 2x dx<br />

4 <br />

4 <br />

<br />

1 1 1<br />

cos 4x cos 2x cos 6x c<br />

16 8 24<br />

<br />

1 1 1<br />

cos 4x cos 2x cos 6x c<br />

16 8 24<br />

sin xsin 2x sin 3x dx <br />

២៧. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

<br />

I f sin x,cos<br />

x dx<br />

រយើងរោោះស្រាយរោយរិៃិតយាមក្ ណី ខាងរព្កាម<br />

+ក្ ណី ទី១ : មរើ<br />

+ក្ ណី ទី២ : មរើ<br />

+ក្ ណី ទី៣ : មរើ<br />

ួចរព្បើ ូបមៃរ<br />

sin<br />

2<br />

<br />

f x f x<br />

<br />

f x f x<br />

<br />

f x f x<br />

x<br />

2<br />

t<br />

<br />

1 t<br />

2<br />

ៃិង<br />

cos<br />

ក្ ណី រនេងរីរៃោះរយើងរោោះស្រាយរោយាង<br />

t tan 2<br />

x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

1<br />

t<br />

cos x <br />

1 t<br />

2dt<br />

dx <br />

1 t<br />

2<br />

2<br />

ៃិង<br />

2<br />

ាង<br />

ាង<br />

ាង<br />

2<br />

<br />

x<br />

រហើយ<br />

t<br />

cos x<br />

t sin x<br />

t tan x<br />

1<br />

<br />

1 t<br />

2t<br />

sin x <br />

1 t<br />

2<br />

x<br />

2arctan t<br />

2<br />

2t<br />

1<br />

t <br />

f sin x,cos xdx f , dt<br />

2 2 <br />

1t<br />

1t<br />

<br />

dx<br />

sin xcos x2<br />

dx<br />

sin xcos x2<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

x<br />

t tan រ ោះ 2<br />

2dt<br />

dt <br />

1 t<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

2<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

cos xdx<br />

2<br />

cos x4sin x6<br />

2t<br />

រហើយ sin x ៃិង<br />

2<br />

1 t<br />

1<br />

t<br />

cos x <br />

1 t<br />

2<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 55


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

dx<br />

<br />

sin xcos x2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2dt<br />

2<br />

1<br />

t<br />

2t<br />

1<br />

t<br />

<br />

1t<br />

1t<br />

2<br />

2 2<br />

2dt<br />

2<br />

2t 1t 2 1<br />

t<br />

t<br />

<br />

2<br />

2dt<br />

2t3<br />

dt<br />

t<br />

2<br />

<br />

2 2<br />

1 2<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

dx<br />

sin xcos x2<br />

cos xdx<br />

2<br />

cos x4sin x6<br />

រិៃិតយអំងរតព្កាលខាងរលើ<br />

រោយ<br />

រ<br />

<br />

<br />

f<br />

<br />

t<br />

2<br />

dt<br />

<br />

1 2<br />

<br />

du<br />

2<br />

2<br />

u <br />

<br />

u t1<br />

1 u<br />

arctan c<br />

2 2<br />

រ ោះ du dt<br />

1 1 x <br />

arctan tan 1<br />

c<br />

2 2 2<br />

<br />

<br />

1 x <br />

2 arctan tan 1<br />

c<br />

2 2<br />

<br />

<br />

cos x<br />

<br />

cos x4sin x6<br />

<br />

2<br />

x<br />

cos <br />

x<br />

<br />

x <br />

x<br />

2<br />

cos 4sin 6<br />

<br />

f x f x<br />

ោះរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />

<br />

t sin x<br />

រ<br />

ោះ<br />

dt cos xdx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

cos x<br />

dx <br />

dt<br />

2 2<br />

cos x 4sin x 6 1 t 4t<br />

6<br />

<br />

<br />

<br />

t<br />

2<br />

dt<br />

4t5<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 56


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

cos xdx<br />

2<br />

cos x4sin x6<br />

២៨. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

u t2<br />

<br />

<br />

dt<br />

<br />

<br />

dt<br />

t<br />

2<br />

2 1<br />

រ ោះ du dt<br />

du<br />

t<br />

2 2 1<br />

u<br />

2 1<br />

<br />

arctan uc<br />

<br />

arctan t 2 c<br />

<br />

arctan 2 sin x c<br />

<br />

<br />

n<br />

m<br />

I sin x cos x dx<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយដចក្ជាបួៃក្ ណី ខាងរព្កាម<br />

<br />

<br />

+ក្ ណី ទី១ : របើ n<br />

ជាចំៃួៃរសស ៃិង m<br />

ជាចំៃួៃរសស ាង<br />

<br />

u<br />

cos 2x<br />

<br />

+ក្ ណី ទី២ : របើ n<br />

ជាចំៃួៃរសស ៃិង m ជាចំៃួៃរូ ាង<br />

u sin x<br />

+ក្ ណី ទី៣ : របើ n<br />

ជាចំៃួៃរូ ៃិង m<br />

ជាចំៃួៃរសស ាង<br />

u<br />

cos x<br />

+ក្ ណី ទី៤ : របើ n<br />

ជាចំៃួៃរូ ៃិង m<br />

ជាចំៃួៃរូ<br />

រយើងអចស រស ក្រៃោម<br />

នៃ sin 2x<br />

ឧទហ ណ៍<br />

រោយរព្បើ ូបមៃរ<br />

ក្.រណ<br />

2<br />

cos x<br />

អំងរតព្កាល<br />

អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />

<br />

ៃិង<br />

2<br />

sin x<br />

2 1<br />

cos 2x<br />

sin x <br />

2<br />

cos<br />

x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 57<br />

<br />

<br />

sin<br />

3 5<br />

ជាអៃុរមៃ៍នៃ cos 2x ៃិង sin cos<br />

,<br />

2 1<br />

cos 2x<br />

cos x <br />

2<br />

<br />

x dx<br />

1<br />

x x<br />

dx x x xdx<br />

2<br />

<br />

cos 3 sin 5 cos 2 sin 4 sin 2<br />

1 1cos 2x1cos 2x<br />

sin 2xdx<br />

2<br />

<br />

2 2 <br />

2<br />

x<br />

x<br />

ជាអៃុរមៃ៍<br />

ៃិង sin 2 2sin cos<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង u cos 2x<br />

រ ោះ sin 2<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

du<br />

2<br />

x x x<br />

x dx


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

<br />

2<br />

cos x sin x dx 1 u 1<br />

u du<br />

16<br />

3 5 1<br />

<br />

1<br />

1 <br />

16<br />

<br />

<br />

<br />

2 3<br />

u u u du<br />

2 3 4<br />

1 u u u <br />

u <br />

c<br />

16 2 3 4 <br />

<br />

2 3 4<br />

1 cos 2x cos 2x cos 2x<br />

<br />

cos 2 x <br />

c<br />

16 <br />

2 3 4 <br />

x x x<br />

2 3 4<br />

3 5 1 cos 2 cos 2 cos 2<br />

cos xsin xdx <br />

<br />

cos 2x <br />

c<br />

16 <br />

2 3 4 <br />

ខ.រណ អំងរតព្កាល cos<br />

2 xsin<br />

3<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

x dx<br />

<br />

<br />

2 3 2 2<br />

cos sin cos 1cos sin<br />

x x dx x x xdx<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

រ.រណ<br />

<br />

cos<br />

<br />

2 3 2 2<br />

cos x sin x dx 1 u u du<br />

x<br />

sin<br />

2 3<br />

<br />

អំងរតព្កាល<br />

x dx<br />

<br />

3 5<br />

u u<br />

c<br />

3 5<br />

x<br />

x<br />

cos<br />

3 cos<br />

5<br />

c<br />

3 5<br />

cos<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

xsin<br />

2 4<br />

xdx<br />

2<br />

<br />

<br />

2 4 2<br />

cos x sin x dx cos xsin x sin x dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

1 sin<br />

2 2 1 cos 2<br />

<br />

u<br />

cos x<br />

<br />

<br />

x x dx<br />

8<br />

1<br />

1 cos4x1<br />

cos2xdx<br />

16<br />

<br />

<br />

<br />

cos x sin x dx 2 cos 2x 2cos 4x cos 6x dx<br />

32<br />

2 4 1<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

du sin<br />

xdx<br />

x 1 1 1<br />

sin 2x sin 4x sin 6x<br />

c<br />

16 64 64 192<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 58


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

ែូរចនោះ cos<br />

2 xsin<br />

4<br />

<br />

២៩. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

x dx<br />

I sin n<br />

x 1 1 1<br />

sin 2x sin 4x sin 6x c<br />

16 64 64 192<br />

<br />

x dx<br />

ៃិង<br />

<br />

J cos n<br />

<br />

x dx<br />

+មរើ n<br />

ជាចាំៃួៃគូ ម ោះ n 2 k , k <br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

មក្ររើរូរ្ៃត<br />

+មរើ n<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

sin<br />

n n<br />

k nk k<br />

n<br />

k0<br />

a b C a b<br />

ជាចាំៃួៃមសសម<br />

ោះ<br />

n<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

k<br />

x dx sin x dx<br />

មហើយ<br />

n 2k 1,<br />

k <br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

មោោះសា្រយអាំងមេក្រាខាងមលើមោយតាង<br />

+ចាំម<br />

ោះ<br />

J cos n<br />

ឧទាហរណ៍ គណ<br />

ក្.<br />

ចម្ល ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x dx<br />

<br />

1<br />

k<br />

1cos 2x dx<br />

k<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

a <br />

2 a <br />

2<br />

a<br />

cos 2 2cos 1 1 sin<br />

<br />

<br />

n<br />

2k<br />

sin sin sin<br />

មោោះសា្រយេូច<br />

x dx x x dx<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

k<br />

1cos x sin<br />

<br />

xdx<br />

u cos x du sin<br />

xdx<br />

I sin n<br />

<br />

x dx<br />

អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />

<br />

2<br />

cos 3x dx<br />

<br />

<br />

2<br />

cos 3x dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

cos 6x<br />

cos 3xdx<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ខ.<br />

dx<br />

1cos 6x<br />

<br />

<br />

<br />

លេរ<br />

<br />

3<br />

sin 5x dx<br />

dx<br />

1 1<br />

x sin 6 x<br />

c<br />

2 12<br />

េូមចនោះ cos 3 sin 6<br />

<br />

2 1 1<br />

x dx x x c<br />

2 12<br />

<br />

<br />

3 2<br />

sin 5 sin 5 sin 5<br />

x dx x x dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 59


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

មោោះសា្រយមោយរត ូរអមេរតាង<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

<br />

<br />

3 2<br />

sin 5 sin 5 sin 5<br />

x dx x x dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 60<br />

<br />

៣០. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1cos 5xsin 5<br />

<br />

<br />

u<br />

cos 5x<br />

3 1 2<br />

sin 5x dx 1<br />

u du<br />

5<br />

<br />

<br />

ម<br />

1 1<br />

<br />

5 15<br />

ោះ<br />

3<br />

u u c<br />

x dx<br />

1<br />

du sin 5 x<br />

dx<br />

5<br />

1 1<br />

x x c<br />

5 15<br />

<br />

3<br />

cos 5 cos 5 <br />

1 1<br />

x dx x x c<br />

5 15<br />

<br />

3 3<br />

sin 5 cos 5 cos 5<br />

I tan n<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

+ចាំម<br />

ោះ<br />

<br />

<br />

x dx<br />

n2 2<br />

<br />

<br />

ៃិង<br />

n<br />

tan x dx tan x tan x dx<br />

មោោះសា្រយមោយតាង<br />

J cot n<br />

ឧទាហរណ៍ គណ<br />

ក្.<br />

ចម្ល ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x dx<br />

4<br />

tan x dx<br />

<br />

4<br />

tan x dx<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

J cot n<br />

n2 2<br />

tan x 1 tan x 1<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

x dx<br />

n<br />

<br />

n<br />

tan 2 x tan 2 x 1 dx tan<br />

2 x dx<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

u tan x du tan x 1<br />

dx<br />

មោោះសា្រយេូចគ្មន លេរ<br />

អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

<br />

tan<br />

4<br />

<br />

x dx<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

cot 4x dx<br />

<br />

<br />

tan 2 1 tan 2 1 tan 2 1<br />

<br />

x x x dx<br />

<br />

<br />

tan 2 1 tan 2 1 tan<br />

2 <br />

<br />

x x dx x dx dx<br />

<br />

tan 2 1 tan 2 1 tan<br />

2 <br />

<br />

x x dx x dx x<br />

<br />

2 2<br />

tan 1 tan tan <br />

x x dx x x c


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

មោោះសា្រយ<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

tan x 1<br />

tan x dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

មោយ តាង<br />

<br />

<br />

u tan x ម ោះ<br />

tan 2 x 1tan<br />

2 x dx u 2 du<br />

<br />

x<br />

<br />

du <br />

<br />

1tan<br />

1 1<br />

tan <br />

3 3<br />

3<br />

4<br />

tan<br />

tan xdx tan x x c<br />

3<br />

x<br />

3<br />

4<br />

tan<br />

tan xdx tan x x c<br />

3<br />

<br />

<br />

3<br />

cot 4x dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

+ចាំម<br />

<br />

ោះអាំងមេក្រាល<br />

មោោះសា្រយមោយតាង<br />

អាំងមេក្រាលមៅជា<br />

+ចាំម<br />

ោះអាំងមេក្រាល<br />

មោោះសា្រយមោយតាង<br />

អាំងមេក្រាលមៅជា<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3 2<br />

cot 4 cot 4 cot 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x dx x x dx<br />

<br />

<br />

3 3<br />

u c x c<br />

2<br />

1 cot 4 cot 4 cot 4<br />

<br />

x x dx x dx<br />

2<br />

1cot 4xcot 4<br />

<br />

<br />

u<br />

cot 4x<br />

<br />

<br />

<br />

ម<br />

ោះ<br />

<br />

2<br />

1cot 4x<br />

cot 4<br />

<br />

<br />

x dx<br />

1 1 cot<br />

2<br />

4<br />

<br />

du <br />

x dx<br />

4<br />

x dx<br />

1<br />

4<br />

udu<br />

cot 4x dx អចសរមសរមៅជា<br />

<br />

<br />

u<br />

sin 4x<br />

<br />

<br />

cot 4x dx <br />

<br />

ម<br />

ោះ<br />

du<br />

4<br />

<br />

<br />

1 1 2 cot 2<br />

u 4<br />

<br />

8 8<br />

<br />

<br />

cos 4x<br />

sin 4x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

cos 4x dx<br />

1 du 1 1<br />

cot 4x dx ln ln sin 4<br />

<br />

4<br />

u c x c<br />

u 4 4<br />

<br />

3<br />

cot 4x dx<br />

៣១. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

1 1<br />

x x c<br />

8 4<br />

<br />

2<br />

cot 4 ln sin 4 <br />

1 1<br />

x dx x x c<br />

8 4<br />

<br />

3 2<br />

cot 4 cot 4 ln sin 4<br />

dx<br />

I <br />

sin n<br />

x<br />

ៃិង<br />

dx<br />

J <br />

cos n<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

<br />

2<br />

<br />

x dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 61


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

+មរើ n<br />

ជាចាំៃួៃគូ ម ោះ n 2 k,<br />

k :<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

មោោះសា្រយមោយតាង<br />

+មរើ n<br />

<br />

ជាចាំៃួៃមសស ម<br />

dx 1 dx<br />

<br />

2k<br />

2k<br />

2 2<br />

sin x<br />

<br />

sin x sin x<br />

<br />

1 <br />

<br />

<br />

sin x <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1cot<br />

k 1<br />

dx<br />

sin x<br />

2 2<br />

2<br />

x<br />

<br />

k1<br />

<br />

dx<br />

2<br />

sin<br />

dx<br />

u cot x du <br />

2<br />

sin<br />

ោះ<br />

n 2k 1,<br />

k <br />

:<br />

x<br />

x<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

មោោះសា្រយមោយតាង<br />

+ចាំម<br />

ោះ<br />

dx<br />

J <br />

cos n<br />

ឧទាហរណ៍ គណ<br />

ក្.<br />

ចម្ល ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

dx<br />

3<br />

sin x<br />

dx<br />

3<br />

sin<br />

x<br />

<br />

x<br />

dx<br />

<br />

sin<br />

<br />

x<br />

sin x<br />

sin<br />

2 k<br />

1 2 k<br />

2<br />

<br />

<br />

x<br />

sin x<br />

dx<br />

1<br />

1<br />

cos<br />

2<br />

x<br />

k <br />

u cos x du sin<br />

xdx<br />

រោោះស្រាយែូចគ្នន ដែ<br />

dx<br />

អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

dx sin x<br />

<br />

3 4 dx<br />

sin x<br />

sin<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

sin xdx<br />

<br />

2<br />

1<br />

cos x 2<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />

ខ.<br />

<br />

dx<br />

4<br />

cos<br />

x<br />

t cos x ម ោះ<br />

dt sin<br />

xdx<br />

អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 62


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាល<br />

តាង<br />

g<br />

t<br />

<br />

<br />

f t<br />

<br />

<br />

dx dt<br />

<br />

sin x<br />

<br />

1<br />

t<br />

2<br />

3 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

t dt<br />

1 t<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1t<br />

1<br />

t<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2<br />

t<br />

2<br />

<br />

dt<br />

2<br />

dt t dt<br />

<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1<br />

t<br />

<br />

1<br />

t<br />

1 1<br />

t<br />

ln <br />

2 1<br />

t 1<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

t dt<br />

t<br />

រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

<br />

f t g t dt f t g t f t g t dt<br />

t<br />

ម<br />

2<br />

1<br />

t 2<br />

ោះ<br />

f<br />

t<br />

ម ោះ<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

t 1<br />

<br />

g t<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

21<br />

t<br />

2<br />

t dt t 1 dt<br />

<br />

2<br />

2<br />

t<br />

1 21 t <br />

2 2<br />

t<br />

<br />

21<br />

t<br />

ស ុបមក្អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

dx<br />

4<br />

cos<br />

<br />

dx<br />

3<br />

sin x<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2 1<br />

t<br />

1 1<br />

t<br />

ln<br />

4 1<br />

t<br />

1 1t t 1 1t<br />

ln ln c<br />

2<br />

2 1t<br />

21<br />

t 4 1t<br />

1 1<br />

t t<br />

ln c<br />

2<br />

2 1<br />

t 21<br />

t<br />

cos x 1 1<br />

cos x<br />

ln c<br />

2<br />

2sin x 2 1<br />

cos x<br />

dx cos x 1 1<br />

cos<br />

ln<br />

x c<br />

3 2<br />

sin x 2sin x 2 1<br />

cos x<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 63


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

dx 1 dx<br />

<br />

4 2 2<br />

cos<br />

cos cos<br />

រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

<br />

dx<br />

4<br />

cos<br />

<br />

x<br />

x x x<br />

dx<br />

cos<br />

៣២. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

+មរើ m<br />

ជាចំៃួៃរសស រ<br />

x<br />

<br />

t tan x<br />

<br />

2<br />

1t dt<br />

4<br />

<br />

1<br />

3<br />

<br />

3<br />

t t c<br />

1<br />

tan <br />

3<br />

1 3<br />

tan x tan x<br />

c<br />

3<br />

ោះ<br />

I <br />

sin<br />

ម<br />

ោះ<br />

dt <br />

3<br />

x tan x c<br />

n<br />

x<br />

m 2k 1,<br />

k <br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

dx<br />

cos<br />

dx<br />

cos xdx<br />

<br />

n k n k<br />

sin cos<br />

sin cos<br />

:<br />

m<br />

x<br />

2 1 2 2<br />

x x x x<br />

រោោះស្រាយរោយាង<br />

<br />

sin<br />

<br />

<br />

n<br />

cos xdx<br />

2<br />

k <br />

xcos<br />

x 1<br />

x<br />

cos xdx<br />

n<br />

sin 1<br />

sin<br />

1<br />

2<br />

x<br />

k <br />

u sin x du cos xdx<br />

dx<br />

2<br />

cos<br />

x<br />

+មរើ n<br />

ជាចំៃួៃរូ រ<br />

ោះ<br />

n 2 k, m 2 k, k,<br />

k<br />

:<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

k1<br />

dx 1 1 dx<br />

<br />

2k<br />

2 2 2 2<br />

sin cos<br />

<br />

sin cos sin<br />

k<br />

x x x x x<br />

<br />

k<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1 cot x 1 tan x<br />

<br />

<br />

k k<br />

dx<br />

<br />

sin<br />

2<br />

x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 64


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រោោះស្រាយរោយាង<br />

ឧទាហរណ៍ រណ<br />

ក្.<br />

ចម្ល ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

dx<br />

sin xcos<br />

dx<br />

sin xcos<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 65<br />

k<br />

2<br />

k 1<br />

1 <br />

1 cot x<br />

<br />

1 cot<br />

2 sin<br />

2<br />

<br />

<br />

dx<br />

u cot x du <br />

2<br />

sin x<br />

អំងរតព្កាលមិៃក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ខ.<br />

<br />

sin<br />

េូមចនោះ<br />

2<br />

2<br />

dx<br />

xcos<br />

<br />

3 3<br />

x<br />

x<br />

<br />

dx<br />

sin xcos<br />

ខ.<br />

<br />

sin<br />

<br />

dx<br />

xcos<br />

3 3<br />

dx sin xdx<br />

<br />

sin cos<br />

sin cos<br />

2 2 2<br />

x x x x<br />

t<br />

cos x<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

x<br />

2<br />

sin xcos<br />

x <br />

<br />

2<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

រ<br />

<br />

<br />

t<br />

ោះ<br />

2 2<br />

t<br />

<br />

x<br />

x<br />

<br />

dt cos<br />

xdx<br />

dt<br />

t<br />

<br />

t<br />

1<br />

t<br />

2 2<br />

t<br />

<br />

2 2<br />

<br />

1<br />

1<br />

<br />

dt<br />

1 1 <br />

dt<br />

<br />

<br />

2 2 t 1<br />

t <br />

1 t 1 1<br />

ln c<br />

2 t1<br />

t<br />

dx<br />

1 1<br />

cos x 1<br />

ln c<br />

2 1<br />

cos x cos x<br />

1 1<br />

cos x 1<br />

ln c<br />

2 1<br />

cos x cos x<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

3<br />

x x<br />

x <br />

cos<br />

cos<br />

x <br />

3 3<br />

sin cos sin<br />

1 1 dx<br />

2 2 2<br />

tan x cos x cos x<br />

8<br />

x<br />

3<br />

x


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

sin<br />

<br />

dx<br />

xcos<br />

3 3<br />

sin<br />

៣៣. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />

x<br />

dx<br />

xcos<br />

3 3<br />

x<br />

t tan x<br />

<br />

ម<br />

2<br />

1<br />

t 2<br />

t<br />

3<br />

ោះ<br />

dt<br />

dt <br />

13t 3t t<br />

<br />

3<br />

t<br />

2 4 6<br />

dx<br />

2<br />

cos<br />

dt<br />

1 3 3 <br />

3 3t t dt<br />

<br />

<br />

<br />

t t <br />

1 3 1<br />

3ln <br />

2t<br />

2 4<br />

<br />

x<br />

2 4<br />

t t t c<br />

1 3 1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 4<br />

3ln tan x tan x tan x c<br />

2<br />

2 tan x<br />

2 4<br />

1 3 1<br />

<br />

<br />

<br />

2 4<br />

3ln tan x tan x tan x c<br />

2<br />

2 tan x<br />

2 4<br />

<br />

<br />

2 2 2 2 2 2<br />

I f x, a x , a x , x a dx<br />

<br />

រយើងរិៃិតយរមើលក្ន ុងក្ ណី ខាងរព្កាម<br />

+ក្ ណី<br />

+ក្ ណី<br />

+ក្ ណី<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

f x,<br />

a x dx<br />

<br />

2 2<br />

f x,<br />

a x dx<br />

<br />

2 2<br />

f x,<br />

x a dx<br />

<br />

<br />

<br />

ាង<br />

ាង<br />

ាង<br />

x asin<br />

t<br />

x a tan t<br />

x <br />

a<br />

cos<br />

t<br />

រ<br />

រ<br />

រ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

t arcsin x<br />

a<br />

t arctan x<br />

a<br />

t arccos a<br />

x<br />

ចំរ<br />

ចំរ<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

<br />

t <br />

,<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

t <br />

<br />

0, 2 <br />

3<br />

t <br />

<br />

0, ,<br />

<br />

<br />

2 <br />

2 <br />

ឧទាហរណ៍ រណ<br />

អំងរតព្កាលមិៃក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

<br />

4x<br />

4x<br />

2 2<br />

dx<br />

<br />

4x<br />

4x<br />

2 2<br />

រយើងរោោះស្រាយសមីកា ខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

x 16<br />

dx<br />

x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 66


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ាង<br />

x<br />

2sin t<br />

ចំរ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ោះ<br />

<br />

t <br />

,<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

dx 2costdt<br />

dx<br />

2costdt<br />

<br />

4 4 4 4sin 4 4sin<br />

2 2 2 2<br />

x x t t<br />

dx<br />

<br />

4x<br />

4x<br />

2<br />

x 16<br />

dx<br />

x<br />

2 2<br />

1 costdt<br />

<br />

4<br />

2 2<br />

cos t cos t<br />

1 dt<br />

<br />

2<br />

4<br />

<br />

cos t<br />

1<br />

tan tc<br />

4<br />

1 x <br />

tan arcsin c<br />

4 2<br />

1 x <br />

tan arcsin c<br />

4 2<br />

រយើងរោោះស្រាយសមីកា ខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

4<br />

x <br />

cost<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

4sin tdt<br />

dx <br />

2<br />

cos t<br />

រហើយ<br />

4<br />

t arccos x<br />

16 4sin tdt<br />

16<br />

<br />

2<br />

x 16 2 2<br />

cos t cos t<br />

x<br />

dx <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4<br />

cost<br />

2<br />

16 tan tsin<br />

cos t<br />

2<br />

4 tan tdt<br />

<br />

<br />

t dt<br />

2<br />

4 1 tan t 1<br />

<br />

dt<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

4 1 tan t dt 4<br />

<br />

4 tan t 4t c<br />

<br />

dt<br />

រហើយ<br />

x<br />

t arcsin 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 67


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

4<br />

4<br />

4 tan arccos 4arccos c<br />

x<br />

x<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

2<br />

x 16<br />

dx<br />

x<br />

4<br />

4<br />

4 tan arccos 4arccos c<br />

x<br />

x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 68


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អ ាំងតេក្រាលកាំណេ់<br />

1. និយមន័យ<br />

អាំងមេក្រាលក្ាំណេ់ពី a<br />

មៅ b<br />

នៃអៃុគ្ៃ៍<br />

y <br />

<br />

f x<br />

គឺជាក្ាំមណើ ៃនៃអៃុគ្ៃ៍ក្រពី្ីទីេ<br />

<br />

F x<br />

លេលក្រេូេ<br />

ៃឹងក្ាំមណើ ៃនៃ x ពី a មៅ b<br />

។<br />

មគក្ាំៃេ់សរមសរមោយ<br />

ឬ<br />

b<br />

<br />

a<br />

b<br />

<br />

<br />

f x dx F x F b F a<br />

b<br />

<br />

a<br />

f<br />

<br />

x dx<br />

មោយ<br />

a<br />

f<br />

ab ,<br />

<br />

<br />

ឧទហ ណ៍ គណ<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

4<br />

<br />

1<br />

ក្.<br />

4<br />

<br />

1<br />

2<br />

1<br />

x<br />

x<br />

3<br />

អាំងមេក្រាលក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />

1<br />

x 2<br />

x<br />

3<br />

dx<br />

dx<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

2<br />

1 x 12<br />

x x<br />

dx <br />

dx<br />

x<br />

<br />

x<br />

4 4<br />

<br />

3 3<br />

1 1<br />

<br />

<br />

<br />

4 5<br />

1 1<br />

2<br />

2x<br />

3 2<br />

x x<br />

1<br />

<br />

dx<br />

<br />

3<br />

1 4 1<br />

2<br />

2<br />

2x<br />

3 x<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

4<br />

1<br />

ខ.<br />

1<br />

<br />

0<br />

2<br />

1<br />

x<br />

1 1 1 1 4 <br />

1 <br />

32 6 4 2 2 <br />

<br />

293<br />

96<br />

x<br />

3<br />

dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 69


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

េូមចនោះ<br />

ខ.<br />

1<br />

<br />

0<br />

4<br />

<br />

1<br />

2<br />

1<br />

x<br />

x<br />

2<br />

1<br />

x<br />

x<br />

3<br />

3<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

293<br />

96<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

1<br />

<br />

0<br />

2<br />

1<br />

x<br />

x<br />

3<br />

3<br />

2<br />

<br />

1 x 13x x<br />

dx <br />

x<br />

x<br />

1 1 3 6<br />

0 0<br />

dx<br />

<br />

274<br />

91<br />

2. លកខណៈអាំងតេព្ាលកាំណេ់<br />

dx<br />

1 5 11<br />

1<br />

<br />

2 2<br />

3x x dx<br />

0 x <br />

7 13<br />

1<br />

2 2<br />

6 2<br />

2 x x x<br />

7 13<br />

0<br />

7 13<br />

1<br />

2 2<br />

6 2<br />

2 x x x<br />

7 13<br />

<br />

274<br />

91<br />

0<br />

ក្. មរើអៃុគ្ៃ៍<br />

ខ.<br />

a<br />

<br />

a<br />

f<br />

f<br />

xdx 0<br />

គ. មរើអៃុគ្ៃ៍<br />

f<br />

ក្ាំណេ់ ៃិង ជារ់មលើចម ល ោះ <br />

ក្ាំណេ់ ៃិង ជារ់មលើចម ល ោះ <br />

b<br />

ab , ម ោះ <br />

<br />

ab ,<br />

a<br />

ៃិង a b c<br />

<br />

f x dx f x dx<br />

<br />

a<br />

b<br />

ម ោះ មគបាៃ<br />

b<br />

ឃ. <br />

a<br />

b<br />

a<br />

c b b<br />

<br />

<br />

f x dx f x dx f x dx<br />

a c a<br />

kf x dx k f x dx លេល k ជាចាំៃួៃពិេ<br />

b<br />

ង. មរើ f xdx<br />

ៃិង g xdx<br />

មាៃ ម ោះ មគបាៃ <br />

<br />

<br />

<br />

a<br />

b<br />

a<br />

b b b<br />

f x g x dx f x dx g x dx<br />

a a a<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 70


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ច. មរើ<br />

លេល<br />

b<br />

<br />

a<br />

f<br />

,<br />

<br />

<br />

x dx<br />

ឧទហ ណ៍ គណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

1<br />

2<br />

េូមចនោះ<br />

ខ.<br />

េូមចនោះ<br />

ៃិង<br />

b<br />

a<br />

ជាចាំៃួៃពិេ<br />

<br />

g x dx<br />

មាៃ ម<br />

ោះ មគបាៃ<br />

អាំងមេក្រាលក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />

2 x<br />

<br />

x e dx<br />

x <br />

ខ.<br />

2 2 2 2<br />

x<br />

1 1 1 1<br />

<br />

1<br />

4<br />

b b b<br />

<br />

<br />

<br />

f x g x dx f x dx g x dx<br />

a a a<br />

<br />

3<br />

<br />

2 <br />

2<br />

x<br />

x e dx xdx dx e dx<br />

x <br />

x<br />

<br />

<br />

1<br />

2<br />

2 x<br />

<br />

x e dx<br />

x <br />

2<br />

2<br />

1<br />

2<br />

x 2ln x e<br />

2<br />

1<br />

1 1<br />

2 2<br />

x<br />

2<br />

1 1<br />

2 2<br />

2 2ln 2 e <br />

3<br />

2 e e<br />

2<br />

<br />

3<br />

2 e e<br />

2ln 2<br />

2<br />

<br />

4 4 4<br />

<br />

2ln 2<br />

1 1<br />

3 x <br />

3<br />

2x<br />

dx xdx <br />

<br />

2x<br />

dx<br />

<br />

1 2 1 1 2<br />

<br />

1<br />

4<br />

<br />

3<br />

<br />

x <br />

3<br />

1<br />

2<br />

1<br />

4 4<br />

2<br />

x dx <br />

1 1<br />

<br />

dx<br />

2<br />

x<br />

3<br />

4 4<br />

2<br />

2 1 1<br />

3 x 3 2 x<br />

1<br />

3<br />

2 4 1 1 109<br />

2<br />

2 2 4 2 8<br />

1 109<br />

dx<br />

<br />

<br />

2<br />

2x<br />

8<br />

3. ្ណនាអាំងតេព្ាលកាំណេ់តោយបត ូរអតេរ<br />

មរើ<br />

u<br />

ab ,<br />

1<br />

1<br />

x <br />

2x<br />

e<br />

<br />

2<br />

<br />

dx<br />

<br />

g x<br />

ជារ់ ៃិង មាៃមេរីមេមលើ ម ោះ <br />

<br />

ឧទហ ណ៍ គណ<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

អាំងមេក្រាលក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />

<br />

2<br />

2<br />

3<br />

0<br />

x x<br />

1<br />

dx<br />

ខ.<br />

<br />

b<br />

a<br />

gb <br />

<br />

2<br />

f g x g x dx f u du<br />

<br />

1 3<br />

3x<br />

2<br />

<br />

x 1<br />

2<br />

dx<br />

<br />

g a<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 71


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

3<br />

0<br />

x x<br />

1<br />

dx<br />

មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />

តាង<br />

u<br />

x<br />

2<br />

1<br />

ម<br />

ោះ<br />

du 2xdx<br />

មរើ x 0 ម ោះ u 1<br />

មរើ<br />

x 2<br />

ម<br />

ោះ<br />

u 5<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ឬ<br />

2 2 5 3<br />

0 1<br />

<br />

2 2<br />

3<br />

0<br />

1 3<br />

x x<br />

3x<br />

2<br />

<br />

x 1<br />

2<br />

1<br />

du xdx<br />

2 <br />

1<br />

x<br />

x 1<br />

dx <br />

u du<br />

2<br />

1 dx 78<br />

dx<br />

<br />

1<br />

2<br />

5<br />

3<br />

u du<br />

1<br />

<br />

4<br />

5<br />

u 625 1<br />

78<br />

8 8 8<br />

មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />

តាង<br />

u<br />

3<br />

x 1 ម ោះ<br />

du 3<br />

មរើ x 1 ម ោះ u 2<br />

មរើ<br />

x 2<br />

ម<br />

ោះ<br />

u 9<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

<br />

2<br />

<br />

x<br />

1 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

x dx<br />

3x<br />

1<br />

dx du<br />

x 1<br />

u<br />

2<br />

2 9<br />

1 3<br />

2 2 2<br />

2<br />

3x<br />

7<br />

1<br />

2<br />

dx <br />

18<br />

4. រូបមនតអាំងតេព្ាលតោយផ្នែក<br />

1<br />

9<br />

1 1 1 7<br />

<br />

u 9 2 18<br />

2<br />

មរើអៃុគ្ៃ៍<br />

f<br />

ៃិង g<br />

ជារ់មលើចម ល ោះ ab , ៃិង មាៃមេរីមេមលើចម ល ោះ ab , ម<br />

ោះ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 72


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

b<br />

<br />

ឧទហ ណ៍ គណ<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

a<br />

ក្.<br />

b<br />

<br />

f x g x dx f x g x g x f x dx<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

x cos xdx<br />

អាំងមេក្រាលក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />

x cos xdx<br />

a<br />

ខ.<br />

b<br />

<br />

a<br />

1<br />

x<br />

xe dx<br />

មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />

តាង<br />

<br />

<br />

f x<br />

x<br />

g<br />

x cos x<br />

ម<br />

ោះ<br />

f<br />

x<br />

1<br />

<br />

ម ោះ g x sin<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

េូមចនោះ<br />

ខ.<br />

0<br />

<br />

2<br />

x cos xdx 1<br />

0<br />

1<br />

x<br />

xe dx<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2<br />

<br />

0 <br />

0 0<br />

x<br />

xcos xdx xsin x sin xdx<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

sin cos<br />

2 2<br />

<br />

1<br />

2<br />

0<br />

x <br />

2<br />

0<br />

មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />

តាង<br />

f x<br />

x<br />

ម<br />

ោះ<br />

f<br />

x<br />

x<br />

ម ោះ g x e<br />

g x e<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

x 1<br />

1 1<br />

x x<br />

1<br />

x<br />

<br />

xe dx xe e dx<br />

0<br />

0 0<br />

x<br />

1<br />

e e e e 11<br />

0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 73


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

េូមចនោះ<br />

1<br />

<br />

0<br />

x<br />

xe dx 1<br />

5. អាំងតេព្ាល Improper<br />

អៃុគ្ៃ៍<br />

<br />

y f x<br />

មគពិៃិេយអាំងមេក្រាល<br />

ក្រណី ទី ១ : មរើ<br />

b<br />

<br />

a<br />

b<br />

ab ,<br />

ជារ់មលើ <br />

<br />

b<br />

a<br />

<br />

គឺ<br />

I<br />

f x dx<br />

<br />

0<br />

b<br />

<br />

f<br />

<br />

x<br />

f x dx lim f x dx <br />

ក្រណី ទី ២ : មរើ lim<br />

<br />

ជាពិមសស<br />

a<br />

<br />

0<br />

a<br />

b<br />

a<br />

ab , , <br />

ជារ់មលើ <br />

ម ោះ មគថា អាំងមេក្រាល<br />

f x dx f x dx A ម ោះ មគថា អាំងមេក្រាល<br />

លេល 0 b a<br />

I <br />

<br />

I <br />

ពក្រងីក្<br />

រក្រងួ្<br />

។<br />

<br />

<br />

<br />

y f x<br />

<br />

y f x<br />

ឧទហ ណ៏ គណ<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

1<br />

ក្.<br />

dx<br />

<br />

xln<br />

x<br />

0<br />

ជារ់មលើ ab , មគបាៃ<br />

ab ,<br />

ជារ់មលើ <br />

1<br />

មគបាៃ<br />

អាំងមេក្រាលខាងមក្រា្<br />

dx<br />

<br />

xln<br />

x<br />

0<br />

b<br />

<br />

a<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

<br />

0<br />

a <br />

<br />

f x dx lim f x dx<br />

<br />

មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />

តាង<br />

u ln x<br />

មរើ<br />

ម<br />

x 0<br />

ោះ<br />

<br />

មរើ x 1 ម<br />

dx<br />

du <br />

x<br />

ម ោះ u <br />

ោះ<br />

u 0<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

1<br />

b<br />

<br />

b<br />

0<br />

a <br />

<br />

f x dx lim f x dx<br />

dx 0 du<br />

<br />

x ln x<br />

<br />

u<br />

0<br />

<br />

<br />

lim<br />

<br />

<br />

<br />

ខ.<br />

0<br />

1<br />

e<br />

du<br />

u<br />

lim ln u<br />

<br />

<br />

dx<br />

2<br />

xln<br />

x<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 74


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ម<br />

ខ.<br />

ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើ<br />

1<br />

e<br />

dx<br />

2<br />

xln<br />

x<br />

0<br />

េូមចនោះ<br />

1<br />

1<br />

dx<br />

<br />

xln<br />

x<br />

0<br />

dx<br />

<br />

xln<br />

x<br />

0<br />

រីក្<br />

រីក្<br />

មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />

តាង<br />

u ln x<br />

មរើ<br />

មរើ<br />

ម<br />

x 0<br />

1<br />

x <br />

e<br />

<br />

ម<br />

ោះ<br />

dx<br />

du <br />

x<br />

ម ោះ u <br />

ោះ<br />

u 1<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />

ម<br />

ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើ<br />

េូមចនោះ<br />

1<br />

e<br />

1<br />

e<br />

1<br />

e<br />

dx<br />

2<br />

xln<br />

x<br />

0<br />

dx 1<br />

du<br />

<br />

2 2<br />

xln<br />

x<br />

<br />

u<br />

0<br />

dx<br />

2<br />

xln<br />

x<br />

0<br />

រួ្<br />

រួ្<br />

<br />

lim<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

du<br />

2<br />

u<br />

1<br />

1 1<br />

lim lim 1 <br />

1<br />

<br />

u <br />

<br />

6. អាំងតេព្ាលននអនុ្មន៍មានន័យតលើ Voisinage នន <br />

អៃុគ្ៃ៍<br />

<br />

<br />

a<br />

b<br />

<br />

<br />

y f x<br />

a,<br />

<br />

ជារ់មលើ <br />

មគបាៃ<br />

b<br />

A<br />

f xdx lim f xdx<br />

b<br />

<br />

a <br />

b<br />

A<br />

f xdx lim f xdx<br />

<br />

a<br />

<br />

a <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

f x dx lim f x dx<br />

c<br />

<br />

c<br />

c<br />

A<br />

<br />

<br />

រួ្<br />

រីក្<br />

រួ្<br />

រីក្<br />

រួ្<br />

រីក្<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 75


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ឧទហ ណ៍ គណ<br />

ក្.<br />

ចរមៃ ើយ ក្.<br />

<br />

x<br />

e <br />

dx<br />

0<br />

<br />

<br />

x<br />

e <br />

dx<br />

0<br />

<br />

អាំងមេក្រាលImproperខាងមក្រា្<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 76<br />

ខ.<br />

0<br />

<br />

dx<br />

2<br />

x<br />

អាំងមេក្រាលខាងលអចសរមសរមៅជា<br />

ម<br />

ខ.<br />

ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើ<br />

0<br />

<br />

េូមចនោះ<br />

dx<br />

2<br />

x<br />

<br />

x<br />

e <br />

dx<br />

0<br />

<br />

<br />

t<br />

x<br />

x<br />

e dx lim e dx<br />

t<br />

0 0<br />

រួ្<br />

<br />

x<br />

e dx<br />

<br />

0<br />

គ.<br />

x<br />

t<br />

t<br />

e e <br />

0 t<br />

dx<br />

1<br />

<br />

2<br />

x <br />

lim lim 1 1<br />

t<br />

រួ្<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

ម<br />

គ.<br />

ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើ<br />

េូមចនោះ<br />

dx<br />

1<br />

<br />

2<br />

x <br />

0<br />

<br />

<br />

dx<br />

2<br />

x<br />

រីក្<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

dx<br />

2<br />

x<br />

<br />

dx<br />

lim<br />

x<br />

រីក្<br />

អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />

<br />

<br />

2 2<br />

t0 1<br />

t<br />

<br />

t<br />

dx<br />

x<br />

t <br />

1 1 <br />

lim lim t <br />

<br />

<br />

t0 x 1 <br />

<br />

t0<br />

t <br />

t <br />

dx<br />

dx<br />

lim<br />

2 2<br />

x 1 <br />

x 1<br />

<br />

dx<br />

ម ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើ រួ្<br />

p<br />

x<br />

lim arctan x <br />

<br />

lim 2arctan 2 <br />

<br />

<br />

2


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

េូមចនោះ<br />

dx<br />

1<br />

<br />

2<br />

x <br />

រួ្<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 77


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អនុវេតន៍អ ាំងតេក្រាល<br />

1. ននៃព្កឡាកាំណេ់តោយផ្សែតាងតាងអនុ្មន៍ និង អ័កែអប់ស្ុីស្<br />

1.1 ននៃព្កឡាតាមអាំងតេព្ាលកាំណេ់<br />

f<br />

ជាអៃុរមៃ៍ជាប់ ៃិង វិជជមាៃ ឬ 0 រលើចរ ៃ ោះ ab , ។<br />

ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយដខេរកាងC ាង<br />

f<br />

អ័ក្េអប់សុីស<br />

ប ៃ ត់ឈ<br />

x<br />

a<br />

<br />

ៃិង x b<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

S f x dx F x <br />

F b F a<br />

b<br />

a<br />

ឧទហ ណ៍ : ក្ននៃព្ក្ឡានៃដ នក្បៃង់ខណឌ រោយដខេរកាង<br />

អ័ក្េអប់សុីស ប ៃ ត់ឈ<br />

។<br />

x 1 ៃិង x e<br />

1<br />

ចរមៃ ើយ ននៃព្ក្ឡានៃដ នក្បៃង់ខណឌ រោយដខេរកាង C : y <br />

x<br />

អ័ក្េអប់សុីស ប ៃ ត់ឈ<br />

<br />

x 1 ៃិង x e<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

C :<br />

1<br />

y <br />

x<br />

e<br />

1<br />

S dx<br />

1<br />

x<br />

1<br />

e<br />

ln x ln e ln 1 1<br />

ឯក្ាននៃព្ក្ឡា<br />

1.2 ននៃព្កឡាសណឌ ព្ាប និងអ័កែអប់ស្ុីស្<br />

របើអៃុរមៃ៍<br />

y<br />

f x<br />

ជាប់រលើចរ ៃ ោះ <br />

អប់សុីស ប ៃ ត់ឈ x a ៃិង x b<br />

<br />

ab ,<br />

រ<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

ោះ ននៃព្ក្ឡានៃដ នក្បៃង់ដែលក្ំៃត់រោយដខេរកាង អ័ក្េ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 78


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

+ក្ ណី :<br />

b<br />

f x 0<br />

f x 0<br />

a<br />

<br />

S f x dx<br />

+ក្ ណី :<br />

b<br />

S f xdx<br />

a<br />

ឧទហ ណ៍ ១ រណ ននៃព្ក្ឡាដ នក្បៃង់ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

1,1<br />

សុីសរៅចរ ៃ ោះ <br />

។<br />

2<br />

1<br />

y f x x<br />

ៃិង អ័ក្េអប់<br />

ចរមៃ ើយ<br />

ចំរ<br />

ោះព្រប់<br />

<br />

x 1,1<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

2<br />

x<br />

f x<br />

1 0<br />

ននៃព្ក្ឡាដ នក្បៃង់ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

ៃិង អ័ក្េអប់សុីសក្ំណត់រោយ<br />

ឧទហ ណ៍ ២ រណ<br />

អប់សុីសរៅចរ ៃ ោះ <br />

ចរមៃ ើយ<br />

1 1<br />

2<br />

S f x dx 1<br />

x dx<br />

<br />

<br />

<br />

1 1<br />

x<br />

1<br />

3<br />

x<br />

1<br />

3<br />

1<br />

1 1 1 1 1<br />

3 3<br />

4<br />

<br />

3<br />

3<br />

ឯក្ាននៃ<br />

ននៃព្ក្ឡាដ នក្បៃង់ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

2,2<br />

ចំៃុចព្បសរវ វាងព្កាបៃិងអ័ក្េអប់សុីស<br />

x<br />

3<br />

។<br />

4x 0 ឬ xx<br />

2x<br />

2<br />

0<br />

<br />

3<br />

y f x x 4x<br />

ៃិង អ័ក្េ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 79


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រ<br />

ោះ<br />

x 2<br />

,<br />

x 0<br />

ៃិង<br />

x 2<br />

រ ោះ A 2,0<br />

, O 0,0<br />

ៃិង B 2,0<br />

ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញែូច ូបខាងលរព្កាម<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាដ នក្បៃង់ខណឌ រោយព្កាប<br />

ាងអៃុរមៃ៍ក្ំណត់រោយ<br />

2<br />

2<br />

<br />

S f x dx<br />

0 2<br />

3 3<br />

4 4 <br />

x x dx x x dx<br />

2 0<br />

0 2<br />

4 4<br />

2 x 2<br />

x <br />

2x<br />

2x<br />

<br />

4 4 <br />

8 ឯក្ាននៃ<br />

2 0<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាដ នក្បៃង់ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍រឺ<br />

S 8 ឯក្ាននៃ<br />

1.3 ននៃព្កឡាសណឌ តោយព្ាបរីរ<br />

ដែល<br />

របើ<br />

<br />

f x<br />

f<br />

ៃិង g<br />

<br />

g x<br />

ab ,<br />

ជាអៃុរមៃ៍ជាប់រលើចរ ៃ ោះ <br />

រ ោះ ររបាៃននៃព្ក្ឡារៅចរ ៃ ោះ<br />

ដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍ទំងរី ក្ំណត់រោយ<br />

b<br />

a<br />

<br />

<br />

S f x g x dx<br />

របើព្កាបាង<br />

f<br />

ៃិង g<br />

ព្បសរវគ្នន ព្តង់ x<br />

a ៃិង<br />

x b ដែល g x f x<br />

រ ោះ ររបាៃននៃព្ក្ឡាដែល<br />

រៅចរ ៃ ោះដខេរកាងទំងរី ក្ំណត់រោយ<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

<br />

S g x f x dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 80


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្ ណី ព្កាបាង<br />

<br />

គ្នន ព្តង់ចំណុ ច x c<br />

ឧបមាថារៅចរ ៃ ោះ <br />

រកាង<br />

<br />

y f x<br />

រលើដខេរកាង<br />

<br />

y f x<br />

ៃិង<br />

ab ,<br />

រលើចរ ៃ ោះ <br />

ac ,<br />

ដខេរកាង<br />

cb ,<br />

ៃិង ចរ ៃ ោះ <br />

<br />

y g x<br />

<br />

y g x<br />

ព្បសរវ<br />

a c b<br />

ដែល ។<br />

<br />

y g x<br />

ដខេរកាង<br />

(ែូច ូបខាងារ ំ) ។<br />

រៅរលើដខេ<br />

<br />

y f x<br />

ព្ក្ឡាននៃដែលខណឌ រោយដខេរកាងក្ំណត់រោយ<br />

<br />

c<br />

b<br />

<br />

S g x f x dx f x g x <br />

dx<br />

a<br />

<br />

c<br />

រៅ<br />

ឧទហ ណ៍ ១ រណ<br />

ននៃព្ក្ឡានៃដ នក្បៃង់ដែលខណឌ<br />

រោយបា៉ា រា៉ា បូល<br />

2<br />

P : y x 2x<br />

ៃិង ប ៃ ត់<br />

d : y x 2<br />

។<br />

ចរមៃ ើយ សមីកា អប់សុីស វាង P<br />

ៃិង d<br />

រឺ<br />

2<br />

x x x<br />

2 2<br />

ឬ<br />

x<br />

2<br />

x 2<br />

0<br />

រ<br />

ោះ<br />

x1, x 2<br />

P<br />

ៃិង d ព្បសរវគ្នន ព្តង់ចំៃុច<br />

x 2 ៃិង<br />

x 1<br />

រហើយប ៃ ត់ d<br />

សថ ិតរៅរលើបា៉ា រា៉ា បូល P<br />

ចំរ ោះព្រប់ x2,1<br />

ននៃព្ក្ឡាដែលក្ំណត់រោយ<br />

។<br />

P<br />

ៃិង d<br />

រឺ<br />

1<br />

<br />

2<br />

2<br />

2 2 <br />

S x x x <br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2 x x dx<br />

2 3<br />

x x 9<br />

2x<br />

<br />

2 3<br />

ឯក្ាននៃ<br />

<br />

2<br />

1<br />

2<br />

f x x 3x<br />

ៃិង<br />

ឧទហ ណ៍ ២ រណ ននៃព្ក្ឡានៃដ នក្បៃង់ដែលខណឌ រោយព្កាប C ាងអៃុរមៃ៍ <br />

3 2<br />

ប ៃ ត់<br />

d : y x<br />

3<br />

។<br />

ចរមៃ ើយ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 81


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

សមីកា អប់សុីស វាងព្កាប C<br />

ៃិងប ៃ ត់ d<br />

រឺ<br />

ឬ<br />

ឬ<br />

3 2<br />

x x x<br />

<br />

3 3<br />

3 2<br />

x x x <br />

3 3 0<br />

2<br />

x x <br />

3 1 0<br />

រ<br />

ោះ<br />

x 1, x 1, x 3<br />

ចំៃុចព្បរសរវ វាងព្កាប C ៃិងប ៃ ត់ d រឺ<br />

<br />

A 1,4<br />

<br />

,<br />

B<br />

<br />

1,2<br />

<br />

ៃិង<br />

C<br />

<br />

3,0<br />

ចំរ ោះ x 1,1<br />

រ ោះប ៃ ត់ d<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

<br />

x 1,3<br />

<br />

រ ោះប ៃ ត់ d<br />

<br />

រៅរលើព្កាប C<br />

រៅរព្កាមព្កាប C<br />

ររបាៃននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />

ៃិងប ៃ ត់ d<br />

រឺ<br />

1 3<br />

<br />

<br />

<br />

S y f x dx f x y dx<br />

1 1<br />

1 3<br />

<br />

3 2 3 2<br />

3 3 3 3<br />

x x x dx x x x <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

1 1<br />

1 3<br />

3 2 3 2<br />

3 3 3 3<br />

x x x dx x x x dx<br />

1 1<br />

1 3<br />

4 3 2 4 3 2<br />

x x x 3x x x x 3x<br />

1 1 1 1 <br />

<br />

4 2 3 2 <br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />

<br />

1 1<br />

ៃិងប ៃ ត់ d<br />

រឺ<br />

4 4 8<br />

S 8 ឯក្ាននៃ<br />

ឯក្ាននៃ<br />

2. មាឌននស្ូលីេ<br />

2.1.មាឌននស្ូលីេបរិវេតផ្ែលបានរីរងវ ិលជុាំវិញអ័កែអប់ស្ុីស្ននននៃសណឌ តោយផ្សែតាង និងអ័កែអប់ស្ុីស្<br />

អៃុរមៃ៍<br />

<br />

y f x<br />

ab ,<br />

ជាប់ ៃិង វិជជមាៃរលើចរ ៃ ោះ <br />

មាឌនៃសូលីតប ិវតរដែលបាៃរី ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េអប់<br />

សុីសនៃននៃខណឌ រោយដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍ y f x<br />

ៃិង អ័ក្េអប់សុីស ប ៃ ត់ឈ x a ៃិង x b<br />

<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 82


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្ំណត់រោយ<br />

b<br />

a<br />

2<br />

V f x <br />

dx<br />

មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញ<br />

អ័ក្េអប់សុីសនៃននៃដែលខណឌ រោយដខេរកាងាង<br />

អៃុរមៃ៍<br />

ដែល<br />

<br />

y f x<br />

<br />

f x<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

g x<br />

<br />

ៃិង<br />

<br />

y g x<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

b<br />

2 2<br />

a<br />

<br />

V f x dx <br />

g x <br />

dx<br />

<br />

ab ,<br />

រលើចរ ៃ ោះ <br />

ឧទហ ណ៍ ១ រណ<br />

មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញ<br />

អ័ក្េ x Ox នៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

0,1<br />

អ័ក្េអប់សុីសរហើយព្តូវៃឹងចរ ៃ ោះ <br />

។<br />

y<br />

x<br />

2<br />

ៃិង<br />

ចម្ល ើយ មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលននៃដែល<br />

ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

0,1<br />

ៃឹងចរ ៃ ោះ <br />

ក្ំណត់រោយ<br />

y<br />

x<br />

2<br />

ៃិង អ័ក្េ x Ox ព្តូវ<br />

1 1<br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

V <br />

f x dx x dx<br />

0 0<br />

ឧទហ ណ៍ ២ រណ<br />

2<br />

1<br />

1 5<br />

<br />

5 x <br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

5<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិល<br />

ជុំវិញនៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

ប ៃ ត់សមីកា y<br />

ចរមៃ ើយ<br />

y<br />

x រហើយព្តូវៃឹងចរ ៃ ោះ 0,1 ។<br />

x<br />

ៃិង<br />

មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញនៃននៃដែល<br />

ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

f x<br />

x<br />

ៃិង ប ៃ ត់សមីកា<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 83


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

y x<br />

0,1<br />

រៅចរ ៃ ោះ <br />

ក្ំណត់រោយ<br />

1 1<br />

2 2<br />

<br />

<br />

V f x <br />

dx <br />

y dx<br />

<br />

<br />

0 0<br />

<br />

<br />

1 1<br />

2<br />

2<br />

x dx <br />

x dx<br />

<br />

<br />

0 0<br />

1 3<br />

1<br />

x x<br />

<br />

<br />

2 3<br />

<br />

<br />

6<br />

0 0<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់រោយព្កាបទំងរី រឺ<br />

V <br />

<br />

6<br />

2.2.មាឌននស្ូលីេបរិវេតផ្ែលបានរីររងវ ិលជុាំវិញអ័កែអរតោតន<br />

ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េ<br />

ព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

y c<br />

ៃិង<br />

y d<br />

yOy<br />

នៃននៃដែលក្ំណត់រោយ<br />

<br />

x g y<br />

ដែលមាៃមាឌក្ំណត់រោយ<br />

ឧទហ ណ៍ រណ<br />

អ័ក្េ y Oy ប ៃ ត់រែក្<br />

បរងក ើតបាៃជាមាឌនៃសូលីតប ិវតរ<br />

d<br />

c<br />

2<br />

V g y <br />

dy<br />

មាឌនៃសូលីតប ិវតរប ិតរក្ំណត់<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

បាៃរី ងវ ិលអៃុរមៃ៍<br />

y<br />

3x<br />

ព្តូវៃឹង 0 3<br />

y <br />

។<br />

ចម្ល ើយ<br />

ររមាៃ<br />

y<br />

3x<br />

រ<br />

ោះ<br />

x3<br />

y<br />

2<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរព្តូវៃឹង 0 3<br />

y <br />

រឺ<br />

3<br />

2<br />

2<br />

V <br />

3<br />

y dy<br />

<br />

0<br />

3<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

2 4<br />

9 6y y dy<br />

3<br />

9y 2y<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 84<br />

<br />

5<br />

y <br />

5<br />

<br />

<br />

0<br />

3<br />

24<br />

3<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

5


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរព្តូវៃឹង 0 y 3 រឺ<br />

V<br />

24<br />

3<br />

<br />

5<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

2.3.មាឌស្ូលីេបរិវេតបានរីព្កឡាននៃមុសាេ់<br />

O, i, j,<br />

k<br />

ក្ន ុងតព្មុយអ តូណ មា៉ា ល់ មាៃទិសរៅវិជជមាៃ<br />

ររមាៃ<br />

Z0,<br />

Z1<br />

ជាចំៃួៃរិតដែល<br />

ប្លង់រី មាៃសមីកា<br />

B<br />

ដែល<br />

ក្ំណាត់ខ័ណឌ រោយ<br />

Z z Z<br />

Z z Z<br />

(<br />

0 1<br />

<br />

S z<br />

0 1<br />

មាឌនៃ E B<br />

។<br />

Z Z 0<br />

P 0<br />

ៃិង<br />

Z<br />

ៃិង<br />

P 1<br />

មុខកាត់នៃសូលីត E<br />

Z<br />

0 1<br />

Z Z 1<br />

។<br />

P 0<br />

ៃិង<br />

របើសំណុំ នៃចំៃុច<br />

ព្រប់បៃង់ P នៃសមីកា<br />

ៃិងអៃុរមៃ៍<br />

P 1<br />

ជា<br />

រ ៀងគ្នន ។ ររថា<br />

Z , Z<br />

z Z<br />

ជាននៃមុខកាត់) ជាអៃុរមៃ៍ជាប់រលើ <br />

<br />

រឺ<br />

V<br />

Z<br />

Z<br />

1<br />

0<br />

<br />

S z dz<br />

ឧទហ ណ៍ ាងដសវ ៊ែ នច ិត O<br />

ដែលមាៃកាំ<br />

r R z<br />

2 2<br />

<br />

S z r R z<br />

ែូរចនោះ មាឌV<br />

2 2 2<br />

។<br />

កាំ R<br />

<br />

M x, y,<br />

z<br />

ដែល<br />

<br />

z S z<br />

0 1<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

រោយ ។ មុខកាត់រោយបៃង់ដែលមាៃអ័ក្េក្ូត<br />

រហើយព្ក្ឡាននៃមុខកាត់ រឺ<br />

នៃអងកត់ដសវ ៊ែ ដែលរៅចរ ៃ ោះបៃង់រែក្រី ដែល<br />

z<br />

ជា ងវង់<br />

មាៃអ័ក្េក្ូត<br />

z 1<br />

ៃិង<br />

z 2<br />

រឺ<br />

z2<br />

2 2<br />

V R z dz<br />

<br />

z1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

Rz<br />

<br />

3<br />

z<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

z2<br />

z1<br />

2 3 3<br />

R z2 z1 z2 z1<br />

<br />

3<br />

<br />

6 2 3<br />

2 2<br />

6 z z R z <br />

<br />

z z z<br />

2<br />

2 1 2 1 2 1<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 85


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

របើរយើង យក្<br />

z z h<br />

2 1<br />

រហើយាងកាំទំងរី រោយ<br />

r R z<br />

2 2<br />

1 1<br />

រយើងបាៃ<br />

និង<br />

2.4.ព្បផ្វងធ្ែូននព្ាប<br />

r R z<br />

2 2<br />

2 2<br />

ព្បដវងធន ូនៃព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

ដែលរៅចរ ៃ ោះប ៃ ត់ឈ x a<br />

ក្ំៃត់រោយ<br />

+របើ<br />

រ<br />

b<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

V h 3<br />

r r h h r r h<br />

6 <br />

<br />

<br />

<br />

2 6<br />

2<br />

L 1 f x <br />

dx<br />

x<br />

a<br />

ៃិង<br />

y<br />

<br />

<br />

x f t<br />

y g t<br />

<br />

<br />

2 2 2 2 2 3<br />

1 2 1 2<br />

f<br />

<br />

ៃិង x b<br />

ជាអៃុរមៃ៍បា៉ា រា៉ា ដមព្តនៃ t<br />

ដែល t<br />

<br />

ោះព្បដវងនៃដខេរកាងក្ំណត់រោយ<br />

ឧទហ ណ៍ ១ រណ<br />

x 2<br />

។<br />

ចម្ល ើយ<br />

ររមាៃ<br />

រហើយ<br />

f<br />

x<br />

4<br />

x 1<br />

<br />

8 4x<br />

2 x<br />

1<br />

f<br />

x<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

L f t g<br />

t dt<br />

ព្បដវងធន ូនៃព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

រ ោះ f x<br />

<br />

1 3 1 1<br />

f x x <br />

3<br />

2 2 x<br />

6<br />

1<br />

x 1<br />

3 <br />

2 x <br />

6<br />

2 1<br />

x 1<br />

<br />

<br />

3 <br />

4 x <br />

2x<br />

1<br />

6<br />

4x<br />

12 6<br />

x<br />

<br />

12 6<br />

2<br />

2x<br />

1<br />

6<br />

4x<br />

4<br />

x 1<br />

y f x<br />

<br />

8 4x<br />

2<br />

រៅចរ ៃ ោះប ៃ ត់ឈ<br />

x 1 ៃិង<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 86


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

x 2x 1<br />

4x<br />

<br />

6<br />

4x<br />

12 6 6<br />

6<br />

x 1<br />

3 <br />

2x<br />

<br />

ព្បដវងធន ូនៃព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

2<br />

f<br />

x<br />

4<br />

x 1<br />

<br />

8 4x<br />

2 2 6<br />

2<br />

x 1<br />

L 1 f x<br />

dx dx<br />

3<br />

2x<br />

1 1<br />

<br />

1<br />

2<br />

2<br />

<br />

ែូរចនោះ ព្បដវងធន ូនៃព្កាបាងអៃុរមៃ៍ រឺ<br />

ឧទហ ណ៍ ២ រណ<br />

ររមាៃ<br />

រ<br />

x<br />

3t<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

ព្បដវងនៃដខេរកាង<br />

dx 6tdt<br />

ោះព្បដវងដខេងរកាងរៅចរ ៃ ោះ<br />

3<br />

<br />

2 2<br />

ៃិង<br />

L 6t 3<br />

3t dt<br />

<br />

<br />

3<br />

3<br />

3 4 1 2 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

2 2 4<br />

t t t dt<br />

3<br />

2<br />

2<br />

3 1t dt<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

3<br />

2<br />

3 1t dt<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

3<br />

3t<br />

t 12 3<br />

3<br />

<br />

<br />

2<br />

ឯក្ាព្បដវង<br />

1<br />

2<br />

រៅចរ ៃ ោះប ៃ ត់ឈ<br />

<br />

3 3<br />

x x dx<br />

2<br />

4<br />

1 x 1 2 33<br />

x <br />

<br />

2 4 2 16<br />

x<br />

y 3t t<br />

33<br />

L <br />

16<br />

2<br />

3t<br />

ៃិង<br />

3<br />

3 t 3<br />

រ<br />

ោះ<br />

1<br />

ឯក្ាព្បដវង<br />

y 3t t<br />

<br />

3<br />

ឯក្ាព្បដវង<br />

រៅចរ ៃ ោះ<br />

<br />

2<br />

dy 33t dt<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

ែូរចនោះ ព្បដវងដខេងរកាងាងអៃុរមៃ៍ រឺ L 12 3 ឯក្ាព្បដវង<br />

2.5.អនុវេតន៍កែុងជីវភារព្បចាំនេៃ<br />

x 1 ៃិង<br />

<br />

x 2<br />

រឺ<br />

3 t 3<br />

។<br />

ឧទហ ណ៍ ១ ាថ ៃីយវិទយ ុ មួយក្ំរុងដតចាប់រនរ ើមបរងក ើៃកា នេរវនោយ<br />

ណិ ជជក្មម រែើមបីបរងក ើៃចំៃួៃអនក្<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 87


ើ<br />

092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ារ ប់ព្បចាំនេៃ ។ បចច ុបបៃនរៃោះ អនក្ារ ប់វិទយ ុ រៃោះជាព្បចាំមាៃចំៃួៃ 27000<br />

ចំៃួៃអនក្ារ ប់<br />

St<br />

ៃឹងរក្ើៃរ<br />

ើងាមអព្ា<br />

60<br />

S<br />

t t<br />

ដែល t<br />

ក្់ រហើយររសងឃឹមថាក្ន ុងមួយនេៃ<br />

ជាចំៃួៃនេៃរិតរីនេៃចាប់រនរ ើមបរងក ើៃកា នេ-<br />

រវនោយ ។ រតើររព្តូវរព្បើ យៈររលប៉ាុ ម ៃ ព្បសិៃរបើាថ ៃីយវិទយ ុ រៃោះ ចង់ឲ្យចំៃួៃអនក្ារ ប់ព្បចាំនេៃ រក្ើៃរ ើង<br />

ហូតែល់ 41000 ក្់ ?<br />

ររព្តូវរោោះស្រាយសមីកា<br />

ររមាៃ<br />

60<br />

S<br />

t t<br />

ៃិង<br />

St 41000<br />

S<br />

<br />

0 27000<br />

រែើមបី ក្ t<br />

របើ<br />

រោយ<br />

ររបាៃ<br />

60<br />

S<br />

t t<br />

S<br />

<br />

រ ោះ<br />

0 27000<br />

<br />

S t<br />

ាមសមីកា<br />

3<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

1<br />

2<br />

3<br />

60t<br />

2 2<br />

S t 60 tdt 60 t dt c 40t c<br />

1<br />

1<br />

2<br />

រ ោះ ររបាៃ<br />

40t<br />

27000<br />

41000<br />

S t <br />

3<br />

2<br />

400 c 27000<br />

ររបាៃ<br />

3<br />

2<br />

ឬ<br />

40t 27000 41000<br />

ឬ<br />

3<br />

2<br />

40t<br />

14000<br />

c 27000<br />

ដែល c<br />

ជាចំៃួៃរិត<br />

ឬ<br />

3<br />

t<br />

2 350<br />

រ<br />

ោះ<br />

t 49.66 50<br />

នេៃ<br />

ែូរចនោះ ររព្តូវរព្បើររល 50 នេៃ ។<br />

ឧទហ ណ៍ ២ ាមកា សិក្ោស្រាវព្ជាវបាៃបង្ហា ញឲ្យរ<br />

ងជារ ៀងរាល់ឆ្ន ំរោយអព្ានៃ<br />

រៅមុខរទៀត ។<br />

ាង<br />

ររបាៃ<br />

Tx<br />

53<br />

t x<br />

ជាក្ំរណើ ៃព្បជាជៃ ររបាៃ<br />

x<br />

ើញថា ចំៃួៃព្បជាជៃរៅក្ន ុងសហរមៃ៍មួយរក្ើៃរ<br />

ដែល x ជាចំៃួៃឆ្ន ំ ។ ក្ក្ំរណើ ៃព្បជាជៃរៅ យោះររល8 ឆ្ន ំ<br />

T x<br />

3 2<br />

T x t xdx 5 3xdx 5x x c<br />

2<br />

ព្បជាជៃក្ន ុងររលបចច<br />

ព្បជាជៃក្ន<br />

ុបបៃន <br />

2<br />

ជាអំងរតព្កាលនៃ<br />

ុង យៈររល 8 ឆ្ន ំរៅមុខរទៀត <br />

2<br />

ែូរចនោះ ក្ំរណើ ៃព្បជាជៃ យៈររល 8 ឆ្ន ំរៅមុខរទៀត រឺ<br />

<br />

t x<br />

3<br />

T 0 50 0<br />

c c<br />

2<br />

3<br />

T 8 58 8 c 136<br />

c<br />

2<br />

<br />

<br />

T 8 T 0 136 c c 136<br />

ឧទហ ណ៍ ៣ ព្ក្ុមហ៊ែុៃលក្់មួយទទួលព្បាក្់ចំរៃញាមបដព្មបព្មួលនៃចំៃួៃ េ យៃរដែលបាៃលក្់ ។ អព្ា<br />

ក្់<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 88


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ព្បាក្់ចំរៃញបដៃថមក្ំៃត់រោយអៃុរមៃ៍<br />

30 0.28<br />

P x<br />

x<br />

ដែល x ជាចំៃួៃ េយៃរ ៃិង<br />

រ ៀល ។ ក្បដព្មបព្មួលនៃព្បាក្់ចំរៃញរីកា លក្់ េយៃរចាប់រីចំៃួៃ 10 រៅ30 រព្រឿង ។<br />

P x<br />

រិតជាដសៃ<br />

ររបាៃ បដព្មបព្មួលនៃព្បាក្់ចំរៃញរីកា លក្់ េយៃរចាប់រីចំៃួៃ 10 រៅ 30 រព្រឿង អចរណ ាម<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់រោយអៃុរមៃ៍ព្បាក្់ចំរៃញបដៃថម<br />

30 30<br />

<br />

30 0.28<br />

P x<br />

<br />

P x dx <br />

<br />

10 10<br />

30 0.28x dx<br />

0.28x<br />

30x<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

30<br />

10<br />

x<br />

រីចំៃួៃ 10 រៅ 30 រឺ<br />

2 2<br />

<br />

0.2830 0.2810<br />

3030 3010<br />

<br />

2 2 <br />

488 ដសៃរ ៀល<br />

ែូរចនោះ បដព្មបព្មួលនៃព្បាក្់ចំរៃញរីកា លក្់ េយៃរចាប់រីចំៃួៃ 10 រៅ30 រព្រឿងរឺ 488 (រិតជាដសៃរ ៀល)<br />

ឬ 48800000 រ ៀល ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 89


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ព្បធានលាំហាេ់<br />

១. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៏ f ដែលក្ំណត់រោយ<br />

1 11 1 3 15<br />

5<br />

13 22 16<br />

6 3 x x 4x<br />

1 8 1 8 9<br />

f x x x x 3<br />

11 14 10<br />

5 13 x x x<br />

5 7 4<br />

ក្. f x x x x<br />

ខ. <br />

3 5 7<br />

២.បង្ហា ញអៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវដែលមាៃតនមៃ ចំរ ោះ x នៃអៃុរមៃ៍<br />

ក្.<br />

ខ.<br />

1<br />

f x x 2x<br />

<br />

2<br />

x<br />

<br />

3 2<br />

៣. ក្សំណុំ ដែៃក្ំណត់ D<br />

ៃីមួយៗឬរទ ?<br />

1 2 4 3 7<br />

f x x x <br />

2 5<br />

3 5 x x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

,<br />

,<br />

2 ៃិង<br />

3 ៃិង<br />

។ រតើអៃុរមៃ៏ F<br />

f<br />

1<br />

<br />

3<br />

1<br />

ដែលក្ំណត់រោយ<br />

ជាអៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃ<br />

f<br />

រលើចរ ៃ ោះដែៃក្ំណត់<br />

ក្. f<br />

ខ.<br />

៤. ក្ចំៃួៃរិត<br />

f<br />

x<br />

<br />

x<br />

ab ,<br />

<br />

<br />

2<br />

x 3x1<br />

2<br />

4x<br />

10x<br />

11<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3x<br />

1<br />

63<br />

5 x 4<br />

8<br />

10<br />

ៃិង c ដែលចំរ ោះ F<br />

<br />

2<br />

,<br />

,<br />

<br />

F x<br />

<br />

F x<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

<br />

2<br />

x<br />

x<br />

x<br />

2<br />

4<br />

3x1<br />

3x<br />

1<br />

<br />

4<br />

5x<br />

<br />

f<br />

9<br />

រលើចរ ៃ ោះសំណុំ ដែៃក្ំណត់ៃីមួយៗនៃ<br />

f<br />

រហើយ<br />

ព្រីមីទីវ F មាៃតនមៃ <br />

<br />

ចំរ ោះ x <br />

ក្.<br />

f<br />

<br />

x<br />

ខ. f x<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

x 4<br />

<br />

<br />

2<br />

12x<br />

16x<br />

48<br />

<br />

<br />

2<br />

8x<br />

50x19<br />

2<br />

3x<br />

x4<br />

៥. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />

ក្.<br />

3 4<br />

1 2<br />

f x x x<br />

៦. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />

<br />

2<br />

f<br />

f<br />

,<br />

,<br />

<br />

F x<br />

<br />

F x<br />

<br />

<br />

ដែលក្ំណត់រោយ<br />

ដែលក្ំណត់រោយ<br />

2<br />

ax bx c<br />

x<br />

2<br />

4<br />

2<br />

ax bx c<br />

2<br />

3x<br />

x4<br />

ខ. f x<br />

<br />

,<br />

,<br />

0<br />

ៃិង<br />

1 ៃិង<br />

2x<br />

1<br />

2<br />

x x3 3<br />

0<br />

5<br />

<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 90


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្.<br />

<br />

f x x <br />

4 <br />

sin 8<br />

៧. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃ f ដែលរសម ើសូៃយចំរ<br />

ក្.<br />

x 3x<br />

f x<br />

2cos<br />

3sin<br />

2 2<br />

៨. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />

ក្.<br />

៩.ររឲ្យអៃុរមៃ៍<br />

រណ<br />

១០.ររឲ្យអៃុរមៃ៍<br />

ក្.បង្ហា ញថា<br />

2<br />

<br />

f x cos xsin 2x<br />

f<br />

ោះ<br />

<br />

x <br />

2<br />

ដែលក្ំណត់រោយ<br />

2 2<br />

1 ln 1 ln <br />

F x x x x x<br />

រែ ីរវ បស់អៃុរមៃ៍<br />

<br />

ខ.ទញឲ្យបាៃព្រីមីទីវ<br />

x<br />

f x x ln 4<br />

<br />

F x<br />

ៃិង<br />

1 1<br />

f x<br />

g x<br />

x<br />

2 2<br />

<br />

F x<br />

ៃិង<br />

ខ.<br />

រោយ<br />

ខ.<br />

ខ.<br />

<br />

f x 2cos3x 3sin 2x<br />

4 3 <br />

<br />

f x 5sin 2x 3cos 5x<br />

4 3 <br />

f<br />

<br />

2x<br />

<br />

x x 1<br />

<br />

2<br />

x<br />

1<br />

x <br />

f x xln<br />

<br />

x <br />

។ ួចទញ ក្ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

x<br />

g x x x<br />

4<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

<br />

2 ln 0<br />

f<br />

x<br />

។<br />

។<br />

f<br />

2<br />

x<br />

ចំរ<br />

។<br />

ោះ<br />

x 0<br />

។<br />

១១.រណ<br />

១២.រណ<br />

១៣.រណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

3<br />

1 x<br />

3 dx<br />

x<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

ខ.<br />

2<br />

x dx<br />

ខ.<br />

2<br />

2<br />

1 x<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

<br />

<br />

x<br />

<br />

1<br />

x<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

x<br />

2 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

x dx<br />

x<br />

x 1<br />

xe<br />

<br />

dx<br />

១៤.រណ<br />

ក្.<br />

<br />

2x<br />

e dx<br />

x<br />

e 1<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ខ.<br />

<br />

1<br />

e<br />

2x<br />

dx<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

3<br />

x dx<br />

9<br />

2<br />

5x<br />

4<br />

<br />

7<br />

ខ.<br />

<br />

x<br />

x<br />

2<br />

4<br />

1<br />

dx<br />

1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 91


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

១៥.រណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

១៦.រណ<br />

ក្.<br />

<br />

x<br />

xdx<br />

x<br />

1<br />

4 2<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ខ.<br />

<br />

x<br />

dx<br />

4x<br />

3<br />

4 2<br />

១៧.រណ<br />

១៨.រណ<br />

១៩.រណ<br />

២០.រណ<br />

ក្.<br />

ក្.<br />

<br />

x<br />

dx<br />

1<br />

x<br />

3<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

<br />

<br />

dx<br />

x 1<br />

x<br />

<br />

ខ.<br />

ខ.<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

2<br />

ក្. x x xdx<br />

ខ.<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

sin<br />

x cos<br />

5 3<br />

xdx<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

2 x dx<br />

2 x 2 x<br />

<br />

dx<br />

<br />

1 x x1<br />

x<br />

dx<br />

1<br />

x<br />

2<br />

1<br />

cos x dx<br />

sin x 1<br />

2<br />

២១.រណ<br />

ក្.<br />

<br />

dx<br />

2 2 2<br />

a cos x b sin x<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ខ.<br />

<br />

sin<br />

cos<br />

3<br />

8<br />

x dx<br />

x<br />

២២.រណ<br />

ក្.<br />

<br />

dx<br />

sin xcos<br />

6<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

x<br />

ខ.<br />

3<br />

4sin x dx<br />

1<br />

cos x<br />

<br />

ក្.<br />

<br />

3<br />

ln x<br />

4 ln x 2<br />

dx<br />

ខ.<br />

<br />

xln<br />

x dx<br />

2<br />

1 x<br />

2<br />

២៣.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

<br />

4<br />

2<br />

x x dx (ឆមាសទី២,២០០៤) ខ.<br />

<br />

6<br />

ក្. tan<br />

cot <br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

cos xsin<br />

4<br />

xdx<br />

(ឆមាសទី២,២០០៣)<br />

២៤.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 92


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្.<br />

<br />

<br />

0<br />

sin x<br />

dx<br />

2 cos x<br />

(ឆមាសទី២,២០០៩) ខ.<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

cos sin sin<br />

x x xdx<br />

<br />

(ឆមាសទី២,២០០៦)<br />

២៥.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

1<br />

<br />

0<br />

xe<br />

2<br />

x 1<br />

dx<br />

ខ.<br />

2<br />

e<br />

<br />

e<br />

dx<br />

xln<br />

x<br />

២៦.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

1<br />

<br />

0<br />

x<br />

1<br />

x dx<br />

2 2<br />

ខ.<br />

1<br />

<br />

0 1<br />

<br />

dx<br />

x<br />

២៧.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

2<br />

dx<br />

<br />

2 sin x<br />

0<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

dx<br />

<br />

2 cos x<br />

0<br />

២៨.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

R<br />

<br />

R<br />

R<br />

x dx<br />

2 2<br />

ខ.<br />

<br />

4<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

ln 1<br />

tan x dx<br />

២៩.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

4<br />

x<br />

dx<br />

2<br />

sin x<br />

ខ.<br />

<br />

4<br />

x<br />

<br />

cos 0<br />

2<br />

dx<br />

x<br />

៣០.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

e 3<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

sin ln x dx<br />

ខ.<br />

<br />

e 3<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

cos ln x dx<br />

៣១.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

b<br />

x<br />

ក្. dx , a b<br />

ខ.<br />

x<br />

a<br />

2<br />

<br />

0<br />

2<br />

x 2x 3dx<br />

៣២.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

2<br />

2<br />

ក្. max x , x<br />

2 2<br />

dx<br />

ខ. min 2 , 4 <br />

0<br />

3<br />

0<br />

x x x x dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 93


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៣៣.បង្ហា ញថា<br />

3 2<br />

x x x x x<br />

2<br />

2 2 1 2<br />

៣៤.រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ ចូ រណ<br />

k<br />

ខិតជិត ។<br />

៣៥.ក្.បង្ហា ញតនមៃរិតនៃ c<br />

ខ.សំៃួ ែដែលចំរ<br />

៣៦.ក្.ក្ំណត់តនមៃ<br />

ររបាៃ<br />

ខ.រណ<br />

<br />

0,1<br />

រៅចរ ៃ ោះ <br />

ោះសមភារ<br />

x<br />

1 e<br />

<br />

<br />

x<br />

1e<br />

1e<br />

អ តូណ រម <br />

ៃិង ដែលចំរ<br />

x<br />

។<br />

1<br />

0<br />

ដែល<br />

ួចទញរណ<br />

អំងរតព្កាល<br />

1<br />

0<br />

អំងរតព្កាល<br />

Ik<br />

<br />

1<br />

1<br />

x dx c <br />

2 2<br />

2 2<br />

1 1<br />

x dx c<br />

<br />

2 2 <br />

ោះព្រប់ចំៃួៃរិត<br />

ព្ក្ឡាននៃដននក្បៃង់ដែលរូសឆូតរៅក្ន ុងតព្មុយ<br />

xOy<br />

។ (BaccII, 2002)<br />

៣៧. ររឲ្យអៃុរមៃ៏ក្ំណត់រោយ<br />

ក្. ស រស<br />

f<br />

x<br />

ជារាង<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

f<br />

I <br />

f<br />

x<br />

<br />

x<br />

៣៨.ក្.បង្ហា ញថា ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

៣៩. ររឲ្យអៃុរមៃ៍<br />

ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត<br />

ខ.រណ<br />

៤០. ររឲ្យអៃុរមៃ៍<br />

3<br />

f<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

abc , ,<br />

<br />

<br />

2<br />

5x<br />

20x6<br />

3 2<br />

x 2x x<br />

A B C<br />

<br />

x x1 x 1<br />

2<br />

5x<br />

20x6<br />

3 2<br />

x 2x x<br />

1 2x<br />

e<br />

1 x<br />

e<br />

0<br />

ររមាៃ<br />

J dx ។<br />

f<br />

x<br />

រែើមបីឲ្យបាៃ<br />

I f x dx ។ (BaccII, 2004)<br />

2<br />

f<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

f<br />

x<br />

<br />

2<br />

dx<br />

x<br />

។<br />

។<br />

ដែល<br />

AB ,<br />

។ (BaccII, 2003)<br />

2x<br />

x<br />

e x e<br />

e<br />

<br />

x<br />

1e<br />

1e<br />

2<br />

3x<br />

5x2<br />

f<br />

e<br />

<br />

<br />

<br />

x x1<br />

x<br />

2x<br />

<br />

2<br />

ចំរ<br />

x<br />

ោះព្រប់<br />

a b c<br />

<br />

x x1 x 1<br />

e<br />

1<br />

e<br />

x<br />

x<br />

1<br />

។<br />

<br />

2<br />

k<br />

2 x<br />

x e dx<br />

0<br />

។<br />

ៃិង C<br />

។<br />

2<br />

I <br />

2 3 2<br />

<br />

x0, x1<br />

ចំរ<br />

0<br />

x 2x x 2<br />

dx<br />

3<br />

x 1<br />

<br />

<br />

។<br />

ួចសិក្ោលីមីតកាលណា<br />

ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់។<br />

ោះព្រប់<br />

។<br />

x0, x1<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 94


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត A ៃិង B<br />

ខ.រណ<br />

៤១.ររក្ំណត់អៃុរមៃ៍<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់<br />

f<br />

រលើ<br />

រែើមបីឲ្យបាៃ<br />

1<br />

0<br />

<br />

J f x dx<br />

3 <br />

, <br />

2 <br />

រោយ<br />

ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a ៃិង b ដែល<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

៤២.ររក្ំណត់អៃុរមៃ៍<br />

ក្. ក្សំណុំ ដែៃក្ំណត់ D<br />

f<br />

I <br />

រោយ<br />

1<br />

<br />

0<br />

<br />

f<br />

x 2<br />

2x<br />

3<br />

<br />

x<br />

<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

ខ.បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c<br />

រ. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៏<br />

៤៣.ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c<br />

ខ.រណ<br />

អំងរតព្កាល<br />

I <br />

2<br />

<br />

1<br />

<br />

f<br />

<br />

2<br />

dx<br />

<br />

f x A <br />

<br />

f<br />

f<br />

Be<br />

x<br />

x<br />

1<br />

e 2<br />

ចំរ<br />

។ (ឆមាសទី២, 2005)<br />

x<br />

x<br />

។<br />

<br />

x 2<br />

2x<br />

3 2<br />

3 2<br />

18x 3x 4x<br />

6<br />

f<br />

។<br />

ដែល<br />

។<br />

a b<br />

<br />

2x<br />

3 2 3<br />

<br />

3x<br />

1<br />

<br />

2<br />

f x ax b <br />

រលើដែៃក្ំណត់ D<br />

2x<br />

1<br />

dx<br />

2<br />

x x1<br />

៤៤.ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c<br />

ព្រប់ x<br />

ដែល<br />

x 2 , x<br />

1<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

៤៥.ររក្ំណត់អៃុរមៃ៍រោយ<br />

ក្. ក្ចំៃួៃរិត A<br />

ៃិង B<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

I <br />

។<br />

0 2<br />

<br />

1<br />

<br />

g x<br />

ដែល<br />

<br />

F x<br />

x<br />

<br />

រែើមបីឲ្យ<br />

<br />

។<br />

<br />

x 2<br />

c<br />

2<br />

3x<br />

1<br />

2x 1<br />

a b c<br />

<br />

1 1<br />

x 2 x x x 2 x<br />

។ (BaccII, 2006)<br />

រែើមបីឲ្យបាៃ<br />

2x2<br />

2<br />

x1 x2<br />

<br />

2x<br />

3<br />

2<br />

x 3<br />

<br />

g x<br />

។<br />

dx<br />

A B<br />

<br />

x 3 3<br />

<br />

g x dx<br />

ោះព្រប់ ចំៃួៃរិត x ។<br />

2<br />

x 2x 2<br />

a b c<br />

<br />

1 x2<br />

x 1 x 2 x<br />

x 1<br />

។ (BaccII, 2007)<br />

x 2<br />

រោយែឹងថា<br />

2 2<br />

F 4<br />

0 ។ (BaccII, 2011)<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 95


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

៤៦.ក្.ររឲ្យ g x<br />

<br />

2<br />

3x<br />

10x5<br />

2<br />

x1 x2<br />

ចំរ ោះ x 2 ៃិង x 1 ។<br />

ខ. រណ I x <br />

៤៧.ររឲ្យ<br />

<br />

A x<br />

<br />

g x dx រោយែឹងថា<br />

x 1<br />

2<br />

x 1<br />

ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត a<br />

ខ.រណ<br />

<br />

I x<br />

៤៨. ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

ខ.រណ<br />

x 0<br />

ៃិង<br />

<br />

k x<br />

ចំរ ោះ x 1 ។<br />

ៃិង b<br />

<br />

A x dx<br />

ab ,<br />

(ឆមាសទី១, 2012)<br />

៤៩.ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត<br />

៥០.ក្.<br />

៥១.ចំរ<br />

ខ.រណ<br />

f<br />

ៃិង c<br />

x 1 ។<br />

<br />

h x dx<br />

mn ,<br />

អំងរតព្កាល<br />

ៃិង<br />

I <br />

ជាអៃុរមៃ៍ក្ំណត់រោយ<br />

ខ.រោយរព្បើសំៃួ ក្.រណ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 96<br />

<br />

2<br />

J cos<br />

ក្. បង្ហា ញតនមៃនៃចំៃួៃរិត<br />

ខ.រណ<br />

អំងរតព្កាល<br />

៥២.ររក្ំណត់អំងរតព្កាល<br />

0<br />

<br />

។ ក្ចំៃួៃរិត a ៃិង b រែើមបីឲ្យអៃុរមៃ៍ g x<br />

រែើមបីឲ្យបាៃ<br />

I<br />

<br />

0 4<br />

<br />

A x<br />

។ (ឆមាសទី២, 2012)<br />

រែើមបីឲ្យអៃុរមៃ៍<br />

a b<br />

<br />

x 1 1<br />

<br />

h x<br />

រោយែឹងថាព្កាបាង<br />

p<br />

រែើមបីឲ្យ<br />

1 2<br />

x<br />

<br />

2<br />

0 x 2 x x 1<br />

។ (ឆមាសទី១, 2011)<br />

x<br />

2<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

x 1 ។<br />

2<br />

4x 7x 5<br />

a b c<br />

<br />

2 3<br />

x 2x x x x 1 1<br />

x<br />

<br />

y k x<br />

2<br />

x 2 x x 1<br />

6x5<br />

កាត់ាមចំៃុច<br />

2<br />

x 6x 5 m nx p<br />

<br />

2<br />

x 2 x x 1<br />

dx<br />

<br />

f x ax bx c 1<br />

x<br />

អំងរតព្កាល<br />

4<br />

a , b<br />

<br />

2<br />

<br />

J cos<br />

x dx<br />

ៃិង c<br />

2 2<br />

I <br />

<br />

0<br />

3 3 2<br />

។ (BaccII, 2013)<br />

។ រណ<br />

3x 4x 3x<br />

2<br />

dx<br />

2<br />

1<br />

x<br />

ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />

<br />

4<br />

cos cos 4 cos 2<br />

0<br />

<br />

2<br />

4<br />

x a x b x c<br />

<br />

x dx<br />

។<br />

cos x<br />

I dx ៃិង<br />

sin x<br />

cos x<br />

0<br />

J <br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

sin<br />

cos x<br />

x<br />

sin<br />

<br />

a b<br />

<br />

x 2 1<br />

M<br />

រែ ីរវនៃ<br />

។<br />

ររមាៃ<br />

dx<br />

x<br />

<br />

ចំរ<br />

f<br />

<br />

2<br />

2,2<br />

ោះ<br />

<br />

រលើ<br />

x 2<br />

។<br />

x 2<br />

។<br />


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រណ I J ៃិង I J ួចទញ ក្អំងរតព្កាល I ៃិង J ។<br />

៥៣. ក្. ក្ចំៃួៃរិត a<br />

ខ.ទញរណ<br />

៥៤.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />

ៃិង b<br />

ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត u<br />

1 a b<br />

<br />

4 2 2<br />

2<br />

u u u<br />

អំងរតព្កាល<br />

I <br />

1<br />

<br />

0<br />

1<br />

dx<br />

2<br />

x 4<br />

ៃិង<br />

J <br />

ខុសរី 2 ៃិង 2 ររមាៃ<br />

<br />

2<br />

<br />

cos x<br />

<br />

2<br />

sin x 4<br />

0<br />

a , b ៃិង c ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត u ខុសរី 1 2 ររមាៃ<br />

ខ. ទញរណ អំងរតព្កាល<br />

៥៥.ក្. ក្ចំៃួៃរិត a<br />

ៃិង b<br />

2<br />

u 1<br />

c<br />

au b <br />

2u1 2u1<br />

ដែលចំរ<br />

<br />

<br />

I <br />

0 2<br />

<br />

1<br />

x 1<br />

dx<br />

2x<br />

1<br />

1 a b<br />

<br />

x x 1 x x 1<br />

ៃិង<br />

ោះព្រប់ចំៃួៃរិត<br />

ខ.រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ចូ រណ<br />

៥៦.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />

a , b<br />

ៃិង c ដែលចំរ<br />

<br />

x x<br />

1<br />

2<br />

<br />

1<br />

a bx c<br />

<br />

2<br />

x x 1<br />

ខ. របើ ជាចំៃួៃរិតវិជជមាៃោច់ខាត ររក្ំៃត់<br />

រោយដ នក្ ចូ រណ<br />

៥៧.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />

a , b<br />

<br />

F <br />

ៃិង c<br />

<br />

I <br />

J <br />

x<br />

3<br />

<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

ខុសរី 0<br />

<br />

ln x<br />

x<br />

dx<br />

3<br />

cos<br />

dx<br />

1<br />

2sin x<br />

<br />

x 1<br />

2<br />

dx<br />

ៃិង<br />

។<br />

ោះព្រប់ចំៃួៃរិតមិៃសូៃយ ររមាៃ<br />

F<br />

<br />

<br />

<br />

ួចទញ ក្តនមៃលីមីតនៃ<br />

ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />

3 2<br />

x 3x x 2 d<br />

ax bx c <br />

1x<br />

1x<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

xln<br />

x<br />

x<br />

2<br />

F <br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

dx<br />

។<br />

។<br />

1 ររមាៃ<br />

។ រោយរព្បើអំងរតព្កាល<br />

កាលណា ខិតរៅជិត 0<br />

ខុសរី 1 ររមាៃ<br />

2<br />

ខ. រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ ចូ រណ <br />

៥៨.ក្. ក្ចំៃួៃរិត A<br />

ៃិង B<br />

<br />

ដែលចំរ<br />

1 A B<br />

<br />

t t 1 t t 1<br />

<br />

1<br />

2<br />

I 3x 6x 1 ln xdx ។<br />

0<br />

ោះព្រប់ចំៃួៃរិតវិជជមាៃ t ោច់ខាត ររមាៃ<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 97


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

៥៩.ររមាៃអំងរតព្កាល<br />

៦០.<br />

ក្. ក្ចំៃួៃរិត a<br />

ៃិង b<br />

J <br />

2<br />

<br />

dt<br />

t t<br />

<br />

1<br />

1<br />

<br />

I sin<br />

2 x cos<br />

2 x dx<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

ួចទញរណ<br />

<br />

ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />

2 2<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល sin cos<br />

<br />

f<br />

ជាអៃុរមៃ៍យក្តនមៃរិតក្ំៃត់រលើ<br />

ក្.រនៃៀងផ្ទៃ ត់ថា ចំរ ោះព្រប់ x<br />

<br />

A x x dx<br />

0<br />

D <br />

ធាតុនៃ D ររមាៃ<br />

ខ. រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ ចូ រណ<br />

៦១.ររក្ំណត់អំងរតព្កាល<br />

ក្. រណ I<br />

2<br />

I<br />

1<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

cos x<br />

dx<br />

1<br />

2sin x<br />

ខ. រណ<br />

{ 1,1}<br />

,<br />

I <br />

f<br />

x<br />

អំងរតព្កាល<br />

1<br />

<br />

2<br />

ln t 1<br />

I dt ។<br />

2<br />

t<br />

ររមាៃ sin 2 xcos 2<br />

x a bcos 4x<br />

រោយ<br />

៦២.ក្. រនៃៀងផ្ទៃ ត់ថា ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរត់ធ មជាតិមិៃសូៃយ m<br />

ខ. សៃមតអំងរតព្កាល<br />

ចូ រណ<br />

A<br />

B<br />

<br />

cos 2 cos 4<br />

<br />

f<br />

x<br />

2<br />

2x<br />

<br />

2<br />

x 1<br />

1 1<br />

2 <br />

x1 x1<br />

3<br />

2<br />

ln 1<br />

<br />

2<br />

<br />

I x dx<br />

<br />

2<br />

A x x dx<br />

<br />

ៃិង A B<br />

<br />

ួចទញ ក្ A<br />

<br />

0<br />

sin x<br />

dx<br />

1<br />

2sin x<br />

<br />

ៃិង<br />

។<br />

I I I<br />

1 2<br />

I 1 រ. ទញ ក្<br />

ៃិង<br />

ៃិង B<br />

។<br />

1<br />

ររបាៃ sin mx <br />

<br />

m<br />

sin 2 sin 4<br />

<br />

B x x dx<br />

<br />

I<br />

។<br />

។<br />

<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

<br />

cos mx<br />

<br />

រ. ឥ ូវសៃមតរទៀតថា<br />

<br />

cos<br />

<br />

C cos px qx dx<br />

<br />

ចំៃួៃរត់ធ មជាតិមិៃសូៃយ ។ រណ<br />

C<br />

ៃិង D ។<br />

ៃិង<br />

<br />

sin<br />

<br />

D sin px qx dx<br />

<br />

ដែល<br />

p ៃិង q ជា<br />

៦៣.រណ<br />

៦៤.រណ<br />

ក្.<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

<br />

<br />

<br />

l : 4x 3y<br />

27 0<br />

<br />

1<br />

<br />

l2<br />

x y <br />

: 3 4 11 0<br />

<br />

l3<br />

: x 7y<br />

13 0<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

C y x x <br />

<br />

l : x y 5<br />

2<br />

: 2 3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 98


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៦៥.រណ<br />

៦៦.រណ<br />

៦៧.រណ<br />

៦៨.រណ<br />

ក្.<br />

<br />

l1<br />

<br />

<br />

2<br />

C : y 1x<br />

<br />

: x<br />

0<br />

<br />

l2<br />

: y 2x<br />

1<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

C1<br />

: y x<br />

C2<br />

: y 4 3x<br />

<br />

l : y 0<br />

<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

3 x 1<br />

C1<br />

: y <br />

<br />

x 2<br />

2 y 1<br />

C2<br />

: x<br />

y 1<br />

l1 : x 3 , l2<br />

: x 5<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

4<br />

C1<br />

:3<br />

y <br />

<br />

x 2<br />

<br />

3<br />

C2<br />

y x x <br />

<br />

2<br />

2<br />

: 1<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

ខ.<br />

ខ.<br />

ខ.<br />

ខ.<br />

<br />

:<br />

C : y x<br />

<br />

2<br />

l x y<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

C1<br />

: y 4x<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

C2<br />

: y x 2x<br />

<br />

C1<br />

y x x <br />

<br />

<br />

4<br />

C2<br />

: y1<br />

<br />

x 1<br />

1<br />

2 <br />

l<br />

2<br />

2<br />

: 2 5 3<br />

C : y x 1<br />

<br />

x<br />

C : y e<br />

<br />

<br />

<br />

: x 1<br />

2<br />

ក្.<br />

<br />

C : y cos 2 x , y 0<br />

<br />

1<br />

<br />

l1 : x , l2<br />

: x <br />

៦៩. ក្. រោោះស្រាយសមីកា<br />

<br />

ខ. ក្តនមៃនៃចំៃួៃវិជជមាៃ a<br />

<br />

6 8<br />

ខ.<br />

x<br />

2 28 1.5x<br />

1<br />

8t t 4dt<br />

<br />

3<br />

1<br />

log<br />

x1<br />

x 1<br />

។<br />

a<br />

<br />

3<br />

C1<br />

: y cos x, y , y 0<br />

2<br />

l<br />

: x 1, x 0<br />

2 3<br />

ដែលរនៃៀងផ្ទៃ ត់ 3x 4x 5dx a 2<br />

៧០.ក្. ក្តនមៃទំងអស់នៃ រៅចរ ៃ ោះ 0,2 រហើយរនៃៀងផ្ទៃ ត់សមភារ<br />

ខ. ក្តនមៃទំងអស់នៃ a ដែលរនៃៀងផ្ទៃ ត់វិសមភារ<br />

<br />

0<br />

a<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1 3 1 <br />

x 1 dx 4<br />

a<br />

<br />

2<br />

<br />

x <br />

sin xdx sin 2<br />

។<br />

<br />

<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 99


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៧១. របើ<br />

f<br />

ជាអៃុរមៃ៍ក្ំៃត់រោយ<br />

f<br />

x<br />

ក្.បង្ហា ញថា f អចស រស រព្កាមទព្មង់<br />

ព្តូវក្ំណត់ ។ ួចសិក្ោថា ព្កាប C<br />

ខ.រណ ននៃ Aa ដែលខណឌ រោយព្កាប<br />

<br />

3 2<br />

x x x<br />

8 8<br />

<br />

x 2<br />

<br />

<br />

f x ax b <br />

2<br />

c<br />

x<br />

2 2<br />

នៃអៃុរមៃ៍មាៃអសុីមតូតរព្ទត <br />

C , <br />

ដែល a,<br />

bៃិង c ជាចំៃួៃរិតដែល<br />

។<br />

អ័ក្េអ រោរៃ ៃិង ប ៃ ត់សមីកា<br />

3<br />

0a<br />

2 ។ រណ ននៃរ ោះ ចំរ ោះ a ។ រតើននៃជាចំៃួៃក្ំណត់ឬរទ កាលណា a ខិតជិត 2<br />

2<br />

រឆវង ?<br />

៧២.ក្.រណ<br />

y<br />

ខ.រណ<br />

3x<br />

មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលនៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបភិចាងអៃុរមៃ៍<br />

ៃិង អ័ក្េ x<br />

Ox<br />

<br />

, 1 x 2<br />

<br />

ជុំវិញអ័ក្េ x Ox ។<br />

មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលចំៃួៃ 360<br />

ព្កាបភិចាងអៃុរមៃ៍<br />

៧៣.ក្. រណ<br />

អៃុរមៃ៍<br />

ខ.រណ<br />

y1x<br />

2<br />

ៃិង អ័ក្េ x Ox<br />

<br />

,<br />

<br />

x 1,1<br />

មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េ x Ox<br />

<br />

2<br />

f x 2<br />

x<br />

ៃិង<br />

g x<br />

x<br />

រលើចរ ៃ ោះ<br />

ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

x <br />

<br />

x<br />

a<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

ខាង<br />

ជុំវិញអ័ក្េអប់សុីសនៃននៃដែលខណឌ រោយ<br />

<br />

<br />

0,1<br />

<br />

។<br />

។<br />

<br />

<br />

y sin x<br />

2 <br />

៧៤.ក្.រណ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប <br />

រ ៃ ោះ <br />

ខ.រណ<br />

<br />

x <br />

4<br />

0 x <br />

ៃិង<br />

៧៥.រិៃិតយព្កាប<br />

។<br />

ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

5<br />

x ។<br />

4<br />

<br />

y<br />

sin 2x<br />

<br />

ៃិង<br />

y cos x<br />

ក្. ក្ក្ូអ រោរៃចំៃុចព្បសរវនៃព្កាបទំងរី រៃោះ ។<br />

ខ. ក្ននៃព្ក្ឡា S<br />

ដែលខណឌ រោយព្កាបទំងរី ។<br />

៧៦. C ជាព្កាបាងអៃុរមៃ៍ f x ln x<br />

1<br />

ទិសរសម ើៃឹង<br />

1<br />

2<br />

។<br />

C1 : y sin x 0 x <br />

<br />

<br />

ដែល 0 x ។<br />

y<br />

sin<br />

3<br />

នៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបភិច ាង<br />

<br />

x<br />

ៃិង<br />

ៃិង<br />

y<br />

x<br />

4<br />

។<br />

ៃិង <br />

C2 : y sin 3x<br />

y<br />

cos<br />

3<br />

x<br />

រៅចរ ៃ ោះ<br />

រៅច<br />

ៃិង ប ៃ ត់ l ជាប ៃ ត់ប៉ាោះៃឹង C ដែលមាៃរមរុណព្បាប់<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 100


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ l<br />

។<br />

ខ. រណ មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េ xOx<br />

នៃននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប<br />

C<br />

, l<br />

ៃិង អ័ក្េអ រោរៃ ។<br />

៧៧.ាង C<br />

ជាព្កាប<br />

y<br />

2x<br />

1<br />

e <br />

ៃិង l<br />

ជាប ៃ ត់ប៉ាោះព្កាប C<br />

ព្តង់ចំៃុច<br />

P<br />

<br />

1,e<br />

<br />

។<br />

ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ l ។<br />

ខ.រណ ននៃព្ក្ឡា S<br />

ដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />

ប ៃ ត់ l<br />

ៃិងអ័ក្េអ រោរៃ ។<br />

៧៨.ាង C ជាព្កាប<br />

y xe<br />

ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ<br />

x<br />

, l 1<br />

ៃិង<br />

l1,<br />

l2<br />

។<br />

l 2<br />

ជាប ៃ ត់ប៉ាោះ C ដែលរូសរចញរីចំៃុច<br />

<br />

<br />

<br />

1 ,0<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ខ. ក្ននៃព្ក្ឡា S<br />

ដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />

ៃិងប ៃ ត់ប៉ាោះទំងរី ។<br />

៧៩. ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល បង្ហា ញថា មាឌរីរា៉ា មីតដែលមាៃបាត B<br />

V<br />

<br />

1<br />

3<br />

Bh<br />

។ ួចទញបង្ហា ញថា ក្ំណាត់មាឌនៃរីរា៉ា មីតរ<br />

ៃិង B ជាបាតតូច ។<br />

ោះរឺ<br />

រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />

h<br />

<br />

3<br />

V B B BB<br />

ខ. សំៃួ ែូចគ្នន ដែ ចំរ ោះរកាៃ បង្ហា ញថាមាឌរកាៃដែលមាៃបាតជា ងវង់កាំ R<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

1<br />

V <br />

3<br />

2<br />

R h<br />

ួចទញបង្ហា ញ ក្ំណាត់មាឌរកាៃរ<br />

៨០.ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល ក្មាឌរីរា៉ា មីតមាៃបាតជាការ ដែលមាៃព្ជុង r<br />

ោះ ។<br />

ដែល B<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

ជាបាតធំ<br />

រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />

រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />

។<br />

ខ. ក្មាឌរតព្ាដអតដែលមាៃព្ជុងទំងបីដក្ងគ្នន ព្បដវង a , b<br />

ៃិង c<br />

។<br />

រ. ក្មាឌនៃសូលីតដែលបាៃមក្រី ងវ ិលរអលីប<br />

x<br />

a<br />

y<br />

<br />

b<br />

2 2<br />

៨១.ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល បង្ហា ញថាប ិមាព្ត ងវង់កាំ R<br />

<br />

2 2<br />

1<br />

រឺ<br />

វិលជុំវិញអ័ក្េអប់សុីស ។<br />

P<br />

2<br />

R<br />

។<br />

ខ. ក្ព្បដវងបា៉ា រា៉ា បូលដែលមាៃសមីកា<br />

៨២. ក្. ក្ព្បដវងនៃដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍<br />

ខ. ក្ព្បដវងនៃដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍<br />

y<br />

2<br />

2px<br />

1<br />

f x x x<br />

3<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

x a t sin<br />

t<br />

y a 1 cost<br />

រៅចរ ៃ ោះ 0, 0<br />

<br />

<br />

x a p <br />

រៅចរ ៃ ោះ 0 3<br />

x <br />

រៅចរ ៃ ោះ 0t<br />

2<br />

ដែល y 0 ។<br />

។<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 101


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៨៣.របើ f ជាអៃុរមៃ៍មាៃរែ ីរវ ។<br />

ក្.សៃមតថា<br />

<br />

<br />

g x xf x<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

៨៤.ររក្ំណត់អំងរតព្កាល<br />

ក្. បង្ហា ញថា<br />

ខ. ក្ចំៃួៃរិត<br />

រ.រណ<br />

៨៥.របើ a<br />

I <br />

1<br />

2<br />

<br />

a , b<br />

ចូ រណ<br />

4<br />

e<br />

g<br />

x<br />

។<br />

1 <br />

J ln x dx<br />

2 ln x <br />

។<br />

I <br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

3<br />

e<br />

du<br />

dx<br />

sin x<br />

sin 2x<br />

u u u<br />

0 1 1 1 2<br />

ៃិង c<br />

<br />

ៃិង b<br />

ab , <br />

៨៦.របើ <br />

2<br />

ដែលចំរ<br />

<br />

។<br />

ោះព្រប់<br />

<br />

1<br />

u <br />

0,<br />

2<br />

<br />

1<br />

a b <br />

c<br />

1 u 1 u 1 2u 1 u 1 u 1<br />

2u<br />

អំងរតព្កាល<br />

b<br />

<br />

a<br />

I <br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

3<br />

dx<br />

sin x<br />

sin 2x<br />

ជារី ចំៃួៃរិតដែល a b<br />

<br />

ដែល a b<br />

<br />

I x a b x dx<br />

ដណ ំ៖ + ចំរ ោះកា រណ<br />

<br />

ចូ រណ<br />

I<br />

ៃិង<br />

<br />

<br />

ចូ រណ<br />

។<br />

ររមាៃ<br />

អំងរតព្កាល<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

J x x a b x dx<br />

អចរព្បើវិធីធ ណី មាព្ត<br />

<br />

I a,<br />

b<br />

<br />

<br />

b<br />

<br />

a<br />

dx<br />

b x x a<br />

+ ចំរ ោះកា រណ<br />

៨៧.រោយរព្បើអំងរតព្កាល ចូ បង្ហា ញថា<br />

ក្.<br />

ខ.<br />

J<br />

អចរព្បើវិធីបរ ូ អរេ<br />

n 1<br />

1 1 1 2 1 2 <br />

n 1<br />

Cn Cn Cn<br />

1 <br />

2 3 n<br />

1 n<br />

1<br />

n 1<br />

1 0 1 1 1 2 1 2 <br />

n 1<br />

Cn Cn Cn Cn<br />

<br />

3 6 9 3n3 3 n1<br />

៨៨.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

x<br />

dx<br />

2x<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x a b t<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

e<br />

x<br />

dx<br />

ln<br />

x 3 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 102


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៨៩.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

b<br />

<br />

a<br />

dx<br />

x ab x<br />

៩០.រតើអំងរតព្កាលខាងរព្កាម ួម ឬ ីក្ ?<br />

<br />

dx<br />

ក្. ខ.<br />

0 x1 x2<br />

៩១.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ខ.<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

<br />

xdx<br />

x ab x<br />

x<br />

4<br />

10<br />

x 1<br />

0<br />

dx<br />

ក្.<br />

1 2<br />

<br />

0 1<br />

x dx<br />

x<br />

2<br />

៩២.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

x x<br />

dx<br />

x<br />

<br />

2<br />

1 1<br />

៩៣.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាល<br />

ួចទញ ក្អំងរតព្កាល<br />

np ,<br />

៩៤.ចំរ ោះព្រប់ <br />

2<br />

៩៥.ក្. ចំរ ោះព្រប់ n<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

0<br />

<br />

I ln sin x dx<br />

x<br />

K tan dx ៃិង<br />

x<br />

0<br />

ចូ រណ<br />

ចូ បង្ហា ញថា<br />

<br />

L <br />

អំងរតព្កាល<br />

ខ. រោយរព្បើសំៃួ ខាងរលើ ចូ រណ អំងរតព្កាល<br />

៩៦.បង្ហា ញថា<br />

ួចអៃុវតរៃ៏ចំរ<br />

៩៧.បង្ហា ញថា<br />

៩៨. អៃុរមៃ៍<br />

<br />

<br />

0<br />

ខ.<br />

ខ.<br />

ៃិង<br />

1<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

ln 13 2<br />

1<br />

<br />

0<br />

1<br />

x<br />

<br />

<br />

2<br />

x x dx<br />

<br />

x 1<br />

x<br />

<br />

2<br />

0<br />

xsin<br />

x<br />

dx<br />

1<br />

cos x<br />

<br />

dx<br />

J ln cos x dx<br />

។<br />

<br />

។<br />

<br />

2<br />

2<br />

I<br />

,<br />

cos n<br />

np xcos 2<br />

px<br />

dx<br />

0<br />

n1<br />

k<br />

<br />

1 1<br />

2 cos 1<br />

k1<br />

n<br />

<br />

<br />

2n<br />

2 2<br />

x x x x<br />

dx x 2n 3 dx<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2 1 2<br />

1 x 2 n 1 1 x n <br />

<br />

1<br />

x <br />

n n 1 n<br />

1<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

1 1<br />

m n<br />

f<br />

<br />

<br />

0 0<br />

dx<br />

I ។<br />

2<br />

1<br />

x 3<br />

n<br />

x 1 x dx x 1<br />

x dx<br />

<br />

ក្ំណត់រោយ cos sin<br />

<br />

m<br />

។<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

<br />

2<br />

I ln 2cos t 1<br />

dt<br />

1<br />

f x x f t x t dt<br />

។<br />

<br />

0<br />

។<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 103


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្.យក្<br />

ខ.រណ<br />

<br />

1<br />

a f tcostdt<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

ៃិង<br />

<br />

2<br />

t tdt tdt<br />

cos sin , cos<br />

0 0<br />

រ. ក្អៃុរមៃ៍ f x ។<br />

<br />

<br />

1<br />

a f tsintdt<br />

<br />

ៃិង<br />

0<br />

<br />

2<br />

sin tdt<br />

<br />

0<br />

។<br />

ក្ំណត់<br />

f<br />

x<br />

រោយរព្បើ<br />

a, b, cos x<br />

ៃិង sin x ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 104


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែាំត<br />

ឹះព្ាយ<br />

១. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />

ក្.<br />

5 1 7 11 4 1 3 15<br />

f x x x x 5<br />

13 22 16<br />

6 3 x x 4x<br />

ររបាៃ ព្រីមីទីវ<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

f<br />

x<br />

រឺ<br />

51 71 41<br />

x 1 x 11 x 1 3 15 1<br />

F x<br />

5x c<br />

131 221 161<br />

5 1 6 7 1 3 4 1 13 1 x 22 1 x 4 16 1<br />

x<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវនៃ<br />

ខ.<br />

<br />

6 8 5<br />

x x 11x<br />

1 1 1<br />

5x c ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

12 21 15<br />

6 48 15 12x 7x 4x<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

x<br />

3 1 5 8 7 1 8 9<br />

f x x x x 3<br />

11 14 10<br />

5 13 x x x<br />

ររបាៃ ព្រីមីទីវ<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

x<br />

រឺ<br />

រឺ<br />

6 8 5<br />

x x 11x<br />

1 1 1<br />

F x 5x<br />

c<br />

12 21 15<br />

6 48 15 12 x 7 x 4 x<br />

<br />

31 51 71<br />

x 1 x 8 x 1 8 9<br />

F x<br />

3x c<br />

111 141 101<br />

31 5 51 13 7 1 111 x 14 1 x 10 1<br />

x<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវនៃ<br />

4 6 8<br />

x x x 1 8 1<br />

3x<br />

c<br />

10 13 9<br />

4 30 13 10x 13x x<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

x<br />

រឺ<br />

<br />

ដែល c<br />

២.បង្ហា ញអៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវដែលមាៃតនមៃ ចំរ ោះ x នៃអៃុរមៃ៍<br />

ក្.<br />

3 2 1<br />

f x x 2x<br />

<br />

2<br />

x<br />

ររបាៃ ព្រីមីទីវ<br />

<br />

F x<br />

<br />

F x<br />

,<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

2 ៃិង<br />

31 21<br />

x x 1<br />

2 c<br />

31 2 1<br />

x<br />

x 2 1<br />

4 3 x<br />

4<br />

3<br />

x <br />

c<br />

f<br />

<br />

x រឺ<br />

ដែល c<br />

រោយព្រីមីទីវមាៃតនមៃ ចំរ ោះ x <br />

<br />

ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

4 6 8<br />

x x x 1 8 1<br />

F x<br />

3x<br />

c<br />

10 13 9<br />

4 30 13 10 x 13 x x<br />

<br />

1<br />

<br />

3<br />

ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

f<br />

ដែលក្ំណត់រោយ<br />

1<br />

3<br />

4<br />

2 2 3 1 1<br />

ររបាៃ F 2<br />

ឬ 2<br />

<br />

c រ ោះ ររទញបាៃ<br />

4 3 2 3<br />

13<br />

c <br />

6<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 105


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />

ខ.<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

1 2 4 3 7<br />

f x x x <br />

2 5<br />

3 5 x x<br />

<br />

ររបាៃ ព្រីមីទីវ F x នៃអៃុរមៃ៍<br />

<br />

F x<br />

f<br />

x<br />

f<br />

,<br />

<br />

រឺ<br />

<br />

F x<br />

3 ៃិង<br />

x រឺ<br />

31 2<br />

1 x 4 x 3 7<br />

c<br />

51<br />

3 31 5 2 x 5 1<br />

x<br />

x 2 3 7<br />

12 5 x 4x<br />

4<br />

2<br />

x 4<br />

រោយព្រីមីទីវមាៃតនមៃ ចំរ ោះ x <br />

ររបាៃ<br />

F<br />

<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />

3 1<br />

<br />

F x<br />

ឬ<br />

៣. ក្សំណុំ ដែៃក្ំណត់ D<br />

ៃីមួយៗឬរទ<br />

<br />

<br />

<br />

c<br />

<br />

ដែល c<br />

4<br />

3 2 2 3 7<br />

3 c 1<br />

4<br />

12 5 3 43<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

x<br />

f<br />

រឺ<br />

<br />

F x<br />

ួចក្ំណត់ថា F<br />

x 2 1 13<br />

4 3 x 6<br />

4<br />

3<br />

x <br />

1<br />

ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

រ<br />

ោះ ររទញបាៃ<br />

4<br />

2<br />

x 4<br />

c <br />

x 2 3 7 2569<br />

12 5 x 4x<br />

810<br />

ជាអៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃ<br />

f<br />

2569<br />

810<br />

រលើចរ ៃ ោះដែៃក្ំណត់<br />

ក្.<br />

f<br />

<br />

x<br />

ររបាៃ អៃុរមៃ៍<br />

<br />

<br />

2<br />

x 3x1<br />

f<br />

2<br />

4x<br />

10x<br />

11<br />

<br />

មាៃៃ័យកាលណា<br />

<br />

2<br />

x<br />

2<br />

,<br />

<br />

F x<br />

<br />

3x1 0<br />

2<br />

x<br />

x<br />

x<br />

2<br />

4<br />

3x1<br />

របើ<br />

x<br />

2<br />

3x1 0<br />

មាៃ<br />

13<br />

ែូរចនោះ សំណុំ ដែៃក្ំណត់នៃអៃុរមៃ៍រឺ<br />

រោយ<br />

<br />

F x<br />

<br />

F x<br />

<br />

ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៏<br />

2<br />

x<br />

x<br />

x<br />

2<br />

4<br />

3x1<br />

F<br />

x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 106<br />

រ<br />

ររបាៃ<br />

<br />

<br />

ោះ<br />

f<br />

x<br />

1<br />

<br />

3 13<br />

2<br />

,<br />

x<br />

2<br />

<br />

3 13<br />

2<br />

3 13 3 13 <br />

D \ , <br />

<br />

2 2 <br />

x<br />

កាលណា<br />

<br />

<br />

F<br />

x f x<br />

2 2 2 2<br />

x x 4<br />

<br />

x 3x 1 x 3x 1 <br />

x x 4<br />

2<br />

2<br />

x 3x1<br />

2 2<br />

2x 1 x 3x 1 2x 3x x 4<br />

2<br />

2<br />

x<br />

3x1


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រោយ<br />

រ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2x<br />

4x11<br />

<br />

x<br />

2<br />

<br />

<br />

3x1<br />

2 2<br />

2x 4x 11 4x 10x<br />

11<br />

F x f x <br />

x 3x 1 x 3x<br />

1<br />

ោះររទញបាៃ<br />

ខ. f x<br />

ររបាៃ អៃុរមៃ៍<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

<br />

F x<br />

<br />

<br />

មិៃដមៃជាព្រីមីទីវនៃ<br />

<br />

<br />

3x<br />

1<br />

63<br />

5 x 4<br />

f<br />

x<br />

ែូរចនោះ សំណុំ ដែៃក្ំណត់នៃអៃុរមៃ៍<br />

រោយ<br />

<br />

F x<br />

<br />

F x<br />

8<br />

10<br />

<br />

2<br />

,<br />

f<br />

x<br />

<br />

F x<br />

<br />

រទ<br />

មាៃៃ័យកាលណា 5x 4 0 ឬ<br />

ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

3x<br />

1<br />

<br />

4<br />

5x<br />

<br />

9<br />

ររបាៃ<br />

f<br />

f<br />

រឺ<br />

<br />

D <br />

រោយ Fx f x<br />

រ ោះររទញបាៃ F x<br />

៤. ក្ចំៃួៃរិត<br />

ab ,<br />

ៃិង c ដែលចំរ ោះ F<br />

ព្រីមីទីវ F មាៃតនមៃ ចំរ ោះ x <br />

4<br />

\ <br />

5<br />

x កាលណា<br />

3x<br />

1<br />

<br />

4<br />

5x<br />

<br />

4<br />

x <br />

5<br />

<br />

9<br />

<br />

F<br />

x f x<br />

3x1 3x1<br />

F <br />

x<br />

9 <br />

4 5 x 4 5 x<br />

<br />

91<br />

<br />

<br />

8<br />

3x 1 4 5x 4 5x 3x 1 3x<br />

1<br />

9<br />

2<br />

<br />

4<br />

5x<br />

<br />

2<br />

4<br />

5x<br />

3 4 5x 5 3x1 3x<br />

1<br />

9<br />

<br />

4<br />

5x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

8<br />

<br />

<br />

8 8<br />

7 3x1 3x1<br />

9 63<br />

4 5x 4 5x 5x<br />

4<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

2 8 10<br />

9<br />

3x<br />

1<br />

<br />

4<br />

5x<br />

ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

4<br />

5x<br />

<br />

f<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3x<br />

1<br />

63<br />

5 x 4<br />

រលើចរ ៃ ោះសំណុំ ដែៃក្ំណត់ៃីមួយៗនៃ<br />

f<br />

8<br />

10<br />

រហើយ<br />

ររបាៃ<br />

ក្.<br />

f<br />

<br />

F x<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

x 4<br />

2<br />

12x<br />

16x<br />

48<br />

<br />

ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

<br />

f<br />

<br />

,<br />

<br />

F x<br />

<br />

x កាលណា<br />

2<br />

ax bx c<br />

x<br />

2<br />

<br />

4<br />

<br />

F<br />

x f x<br />

, 0 ៃិង 0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 107


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រោយ<br />

ដតរោយ<br />

ររបាៃ<br />

ររបាៃ<br />

រោយ<br />

<br />

F x<br />

f<br />

<br />

F x<br />

<br />

<br />

x<br />

<br />

2<br />

ax bx c<br />

x<br />

2<br />

4<br />

<br />

រ<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

x 4<br />

<br />

ោះ<br />

F<br />

2<br />

12x<br />

16x<br />

48<br />

2<br />

ax 12x c<br />

x<br />

2<br />

4<br />

មយ៉ា ងរទៀត ព្រីមីទីវ F មាៃតនមៃ<br />

F<br />

<br />

0 0<br />

ាម 1 ររបាៃ a 2<br />

រ<br />

ោះ ទញបាៃ<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

2 2 2 2<br />

ax bx c<br />

<br />

x 4 x 4<br />

<br />

ax bx c<br />

2<br />

2<br />

x 4<br />

2 2<br />

2ax bx 4 2xax bx c<br />

2<br />

2<br />

x<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

x 4<br />

ររទញបាៃ<br />

c 0<br />

2<br />

bx 8a 2c x 4b<br />

<br />

<br />

ចំរ ោះ x <br />

ែូរចនោះ តនមៃចំៃួៃរិត រឺ a 2 , b 12 , c 0<br />

ខ.<br />

ដតរោយ<br />

f<br />

x<br />

ររបាៃ<br />

<br />

F x<br />

f<br />

<br />

x<br />

<br />

2<br />

8x<br />

50x19<br />

<br />

2<br />

3x<br />

x4<br />

<br />

F x<br />

2<br />

ax bx c<br />

2<br />

3x<br />

x4<br />

<br />

<br />

2<br />

ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

រ<br />

2<br />

8x<br />

50x19<br />

<br />

2<br />

3x<br />

x4<br />

<br />

2<br />

ោះ<br />

F<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

,<br />

f<br />

<br />

<br />

b<br />

12<br />

<br />

8a2c16<br />

<br />

4b<br />

48<br />

<br />

F x<br />

x<br />

<br />

រ<br />

2<br />

ax bx c<br />

2<br />

3x<br />

x4<br />

កាលណា<br />

ោះ<br />

<br />

,<br />

b 12<br />

<br />

4ac8 1<br />

1 ៃិង<br />

<br />

F<br />

x f x<br />

<br />

5<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 2 2<br />

ax bx c 3x x 4 3x x 4 ax bx c<br />

2<br />

3x<br />

x4<br />

<br />

2 3 4 6 1<br />

2 2<br />

ax b x x x ax bx c<br />

<br />

2<br />

3x<br />

x4<br />

2<br />

<br />

a 3b x 8a 6c x 4b c<br />

<br />

2<br />

3x<br />

x4<br />

a<br />

3b<br />

8<br />

<br />

ររទញបាៃ 8a<br />

6c<br />

50 រ<br />

<br />

4b<br />

c 19<br />

<br />

2<br />

ោះ<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

a 3b<br />

8 1<br />

c 4b<br />

19 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 108


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររបាៃ<br />

មយ៉ា ងរទៀត ព្រីមីទីវ F មាៃតនមៃ<br />

F<br />

1<br />

5<br />

<br />

2<br />

រ<br />

ោះ ទញបាៃ<br />

យក្ 1 ៃិង 2 ជំៃួសក្ន ុង <br />

យក្<br />

b 3 ជំៃួសក្ន<br />

1<br />

ុង <br />

<br />

<br />

ចំរ ោះ x <br />

abc<br />

5 <br />

2 2<br />

ឬ<br />

<br />

ab c<br />

5 3<br />

3 ររបាៃ 3b 8 b 4b<br />

19 5 ឬ b 3<br />

2<br />

ៃិង <br />

ែូរចនោះ តនមៃចំៃួៃរិត រឺ<br />

ររបាៃ<br />

a<br />

1<br />

<br />

c<br />

7<br />

a 1 , b 3, c 7<br />

៥. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />

f<br />

ដែលក្ំណត់រោយ<br />

ររមាៃ<br />

រ<br />

រោយ<br />

រ<br />

ក្.<br />

3 4<br />

1 2<br />

f x x x<br />

1<br />

f x x x 1 x 1 <br />

x 1<br />

4<br />

<br />

ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />

ខ.<br />

f<br />

f<br />

x<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

3 4<br />

2<br />

4 4<br />

2<br />

<br />

<br />

F x<br />

<br />

F x<br />

2x<br />

1<br />

2<br />

x x3 3<br />

ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />

<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

<br />

<br />

f<br />

រឺ<br />

4<br />

2 <br />

x 1<br />

1<br />

1<br />

c<br />

4 2 1<br />

1 4<br />

1 3<br />

12 x c<br />

<br />

<br />

2<br />

2 1 x x 3<br />

<br />

x <br />

<br />

2<br />

3<br />

2<br />

3<br />

x x 3 x x 3<br />

<br />

<br />

F x<br />

f<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

<br />

F x<br />

<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ F x នៃអៃុរមៃ៍<br />

រឺ<br />

f<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

1 4<br />

F x x 1 3<br />

c<br />

12<br />

រឺ<br />

1<br />

2<br />

3 <br />

31 x x<br />

3<br />

1<br />

1<br />

<br />

2 3<br />

f<br />

2<br />

x x<br />

2<br />

<br />

រឺ F x<br />

c<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

c ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

1<br />

<br />

2 3<br />

2<br />

x x<br />

2<br />

c ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 109


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៦. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />

f<br />

ដែលក្ំណត់រោយ<br />

រោយ<br />

រ<br />

រ<br />

ក្.<br />

<br />

f x x <br />

4 <br />

<br />

sin 8<br />

1<br />

f x sin 8x <br />

8x <br />

<br />

<br />

sin 8x<br />

<br />

<br />

4 8 4 4 <br />

ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />

រោយ<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

1 <br />

F x<br />

cos 8 x <br />

c<br />

8 4<br />

<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ F x នៃអៃុរមៃ៍<br />

ខ.<br />

<br />

f x 2cos3x 3sin 2x<br />

4 3 <br />

<br />

f x 2cos3x 3sin 2x<br />

4 3 <br />

ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />

រេ ណាមួយ<br />

f<br />

រឺ<br />

f<br />

រឺ<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

1 <br />

F x<br />

cos 8 x <br />

c<br />

8 4<br />

1 <br />

<br />

1 <br />

<br />

<br />

2 3x cos3x 3 2x sin 2x<br />

3 4 4 2 3 3 <br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍ f រឺ<br />

2 3<br />

F x<br />

sin 3x <br />

cos 2x<br />

c<br />

3 4 2 3 <br />

<br />

F x<br />

៧. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃ<br />

ក្.ររមាៃ<br />

ររបាៃ<br />

f<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

f<br />

រឺ<br />

ដែលរសម ើសូៃយចំរ<br />

x 3x<br />

f x<br />

2cos<br />

3sin<br />

2 2<br />

<br />

x<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

2 3<br />

F x<br />

sin 3x <br />

cos 2x<br />

c<br />

3 4 2 3 <br />

ោះ<br />

<br />

x <br />

2<br />

x <br />

x 2 3x <br />

3x<br />

22 cos 3<br />

sin<br />

2 2 3 2 2<br />

រ ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ Fx នៃអៃុរមៃ៍ f រឺ<br />

<br />

F x<br />

x 3x<br />

4sin 2cos c<br />

2 2<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

ដែល c ជាចំៃួៃ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 110


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រោយ ព្រីមីទីវ<br />

ររបាៃ<br />

ខ.អៃុរមៃ៍<br />

ររបាៃ<br />

<br />

F x<br />

F <br />

<br />

<br />

0<br />

2 <br />

ឬ<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />

រសម ើសូៃយចំរ<br />

ោះ<br />

<br />

x <br />

2<br />

3<br />

4sin 2cos c 0<br />

4 4<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

<br />

f x 5sin 2x 3cos 5x<br />

4 3 <br />

<br />

f x 5sin 2x 3cos 5x<br />

4 3 <br />

f<br />

រឺ<br />

រ<br />

ោះទញបាៃ<br />

c 3 2<br />

x 3x<br />

F x<br />

4sin 2cos 3 2<br />

2 2<br />

1 <br />

<br />

1 <br />

<br />

<br />

5 2x sin 2x 3 5x cos 5x<br />

2 4 4 5 3 3 <br />

រ ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ Fx នៃអៃុរមៃ៍<br />

រោយ ព្រីមីទីវ<br />

ររបាៃ<br />

5 3<br />

F x cos 2x <br />

sin 5x<br />

c<br />

2 4 5 3 <br />

<br />

<br />

F x<br />

F <br />

<br />

<br />

0<br />

2 <br />

ឬ<br />

ឬ<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />

រសម ើសូៃយចំរ<br />

ោះ<br />

<br />

x <br />

2<br />

5 3 <br />

cos 2 sin 5 c 0<br />

2 2 4 5 3 2 <br />

5 3 <br />

cos<br />

sin c 0 រ<br />

2 4 5 3 2 <br />

<br />

F x<br />

៨. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />

ររមាៃ<br />

រ<br />

ក្.<br />

2<br />

<br />

f x cos xsin 2x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

f<br />

រឺ<br />

f<br />

រឺ<br />

<br />

ដែលក្ំណត់រោយ<br />

<br />

2 3 3<br />

f x cos xsin 2x 2sin xcos x 2 cos x cos x<br />

ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍ f រឺ<br />

1 31<br />

F x 2<br />

cos x c<br />

31<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

ោះទញបាៃ<br />

6 25 2<br />

c <br />

20<br />

5 3 6 25 2<br />

F x cos 2x <br />

sin <br />

5x<br />

<br />

<br />

2 4 5 3 20<br />

<br />

<br />

1 cos<br />

4<br />

2<br />

x<br />

c<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 111


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររមាៃ<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />

ខ.<br />

f<br />

f<br />

x<br />

<br />

F x<br />

2x<br />

<br />

x x 1<br />

<br />

2<br />

x<br />

នៃអៃុរមៃ៍ f រឺ<br />

1<br />

F x cos x c<br />

2<br />

<br />

4<br />

2<br />

2xx<br />

x 1<br />

<br />

2x<br />

<br />

2 2 2<br />

x x 1 x x 1 x x 1<br />

<br />

<br />

2<br />

2x x x 1<br />

<br />

ដែល c<br />

ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

រ<br />

ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />

<br />

2 2<br />

2x<br />

2x x 1<br />

<br />

1<br />

2x x 1 x 1<br />

<br />

F x<br />

2 2 2 2<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

រឺ<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />

<br />

F x<br />

<br />

F x<br />

៩.រណ រែ ីរវ បស់អៃុរមៃ៍<br />

ររមាៃ<br />

ររបាៃ<br />

1<br />

2<br />

1<br />

x <br />

2<br />

x<br />

2 c<br />

21<br />

1<br />

1<br />

2<br />

21 1<br />

2 2<br />

3<br />

1<br />

<br />

3 3<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

<br />

F x<br />

x 3 x 2 2 c<br />

2 2<br />

1 ln 1 ln <br />

F x x x x x<br />

f<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

2 2<br />

F x x x c ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

3 3<br />

រឺ 3<br />

3 2 1<br />

2<br />

ួចទញ ក្ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

ៃិង<br />

1<br />

x <br />

f x<br />

xln<br />

<br />

x <br />

f<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

ចំរ<br />

<br />

2 2 2 2<br />

F x x 1 ln x 1 x 1 ln x 1 x ln x x ln x<br />

1 2 1<br />

2x ln x 1 x 1 x 1 2x ln x x <br />

x1<br />

x<br />

<br />

<br />

2xln x 1 2xln x 1<br />

x 1<br />

2x<br />

ln 1<br />

x <br />

x 1<br />

ែូរចនោះ F <br />

x<br />

2x<br />

ln 1<br />

x <br />

+ទញ ក្ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

x<br />

ោះ<br />

x 0<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 112


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររមាៃ<br />

រោយ<br />

រ<br />

1<br />

x <br />

f x xln<br />

<br />

x <br />

<br />

x 1<br />

F <br />

x<br />

2x<br />

ln 1<br />

x <br />

ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />

<br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />

១០.ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />

ក្.បង្ហា ញថា<br />

ររបាៃ<br />

រ<br />

2<br />

G x<br />

<br />

G x F x x c<br />

<br />

x<br />

1<br />

xln 1<br />

x <br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

<br />

2<br />

f<br />

រឺ<br />

<br />

2 2<br />

x 1 ln x 1 x ln x x c<br />

G x នៃអៃុរមៃ៍<br />

x<br />

f x x ln 4<br />

ៃិង<br />

1 1<br />

f x<br />

g x<br />

x<br />

2 2<br />

2 x 2 x <br />

g <br />

x x<br />

<br />

ln x<br />

ln<br />

<br />

4 4<br />

ោះ ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

x <br />

<br />

x<br />

<br />

2 4<br />

2xln x <br />

<br />

4 x<br />

4<br />

<br />

2 ln 4<br />

x<br />

x<br />

ខ.ទញឲ្យបាៃព្រីមីទីវ<br />

ាមទំ<br />

រ<br />

x<br />

f<br />

រឺ<br />

x<br />

g x x x<br />

4<br />

<br />

2 2<br />

G x x 1 ln x 1 x ln x x c<br />

<br />

2 ln 0<br />

1 1 x 1 1 x<br />

g x<br />

x x ln x x x ln f x<br />

2 2 4 2 2 4<br />

1 1<br />

f x<br />

g x<br />

x<br />

2 2<br />

ក្់ទំៃងខាងរលើ<br />

ោះររទញបាៃព្រីមីទីវ<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

x<br />

1 1<br />

f x<br />

g x<br />

x<br />

2 2<br />

<br />

F x<br />

<br />

នៃអៃុរមៃ៍ f រឺ<br />

1 x 1 x<br />

<br />

2 4 2 2<br />

2<br />

2<br />

F x <br />

x ln c<br />

2 2<br />

x ln<br />

x x c<br />

2 4 4<br />

<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 113


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />

<br />

F x<br />

នៃអៃុរមៃ៍<br />

១១.រណ អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

f<br />

រឺ<br />

<br />

F x<br />

2 2<br />

x ln<br />

x x c<br />

2 4 4<br />

ដែល c<br />

ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

ក្.<br />

<br />

3<br />

1 x<br />

3 dx<br />

x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

2 3<br />

1 1 2 7<br />

x x x <br />

<br />

3 6 3 6<br />

3 3<br />

3 dx x x x x dx<br />

1 3 3 <br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

3<br />

1 x<br />

3 dx<br />

x<br />

1<br />

x<br />

<br />

2<br />

1<br />

x<br />

2 2<br />

<br />

dx<br />

<br />

<br />

2 7 1 13<br />

3 6 6<br />

3 6 3 6<br />

x 3 x 33x x c<br />

2 7 13<br />

2 7 1 13<br />

3 18 6<br />

3 6 3 6<br />

x x 9x x c<br />

2 7 13<br />

2 7 1 13<br />

3 18 6<br />

3 6 3 6<br />

x x 9x x c<br />

2 7 13<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

x 2x1<br />

1x<br />

2x<br />

dx <br />

dx<br />

2 2 2 2<br />

x 1x x x 1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 2 <br />

<br />

2 2<br />

x<br />

x<br />

x 1<br />

<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

1 2 x 1 2x<br />

<br />

2 2<br />

x<br />

<br />

xx<br />

1<br />

1 2 2x<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2 2<br />

x x x 1<br />

<br />

<br />

dx<br />

<br />

dx<br />

<br />

<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

x<br />

<br />

1<br />

x<br />

<br />

1 2ln ln<br />

2 1<br />

x x c<br />

x<br />

<br />

2<br />

1<br />

x<br />

2 2<br />

<br />

dx<br />

1 2ln ln<br />

2 1<br />

x x c<br />

x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 114


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

១២.រណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

g<br />

x<br />

<br />

f x<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

x dx<br />

1 x<br />

x<br />

xdx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 115<br />

2<br />

<br />

2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

<br />

រ<br />

2<br />

x 1 2<br />

<br />

f x g x dx f x g x g x f x dx<br />

ោះ ររបាៃ<br />

f<br />

x<br />

1<br />

<br />

រ ោះររបាៃ gx<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

1<br />

x 2 x 1<br />

<br />

2<br />

x dx x 1 dx<br />

2<br />

x dx<br />

2 2<br />

<br />

<br />

2<br />

2 x 1<br />

<br />

<br />

<br />

2 x 1<br />

1<br />

<br />

<br />

2<br />

2 x 1<br />

x 1<br />

arctan x<br />

c<br />

2<br />

x 1<br />

arctan x<br />

c<br />

2<br />

<br />

2<br />

2 2<br />

1<br />

x 2 x 1<br />

<br />

1<br />

x dx<br />

x<br />

x 1<br />

xe<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

1x dx 1x e<br />

<br />

x 1xe <br />

xe 1xe<br />

<br />

<br />

x x x<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u 1xe<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

<br />

1<br />

x dx<br />

x<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

x<br />

x1<br />

xe u1<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

du 1x e dx<br />

<br />

x<br />

xe u<br />

1<br />

du<br />

u<br />

1 1<br />

<br />

du<br />

u1<br />

u


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

១៣.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

1<br />

x dx<br />

ln<br />

x<br />

x 1<br />

xe 1<br />

<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

xe<br />

xe<br />

ln u 1 ln u c<br />

1<br />

ln u <br />

c<br />

u<br />

x<br />

xe<br />

ln 1 xe<br />

x<br />

c<br />

x<br />

c<br />

ក្.<br />

<br />

2x<br />

e dx<br />

x<br />

e 1<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

t <br />

e<br />

x<br />

1<br />

ឬ<br />

x<br />

e<br />

t<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

2<br />

1<br />

ឬ<br />

x<br />

<br />

2<br />

ln t 1<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

2t<br />

dx dt<br />

2<br />

t 1<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

2x<br />

e dx<br />

x<br />

e 1<br />

2x<br />

2<br />

e dx t<br />

2<br />

<br />

x <br />

e<br />

<br />

1<br />

e<br />

2x<br />

dx<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2 t 1<br />

1 2t<br />

dt<br />

2<br />

t t 1<br />

<br />

dt<br />

3<br />

t<br />

<br />

2<br />

t<br />

c<br />

3 <br />

2<br />

3 <br />

2 x<br />

x<br />

e 2 e 1<br />

c<br />

3<br />

<br />

<br />

2<br />

3 t t c<br />

2 x<br />

x<br />

e 2<br />

e 1<br />

c<br />

3<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

t<br />

x<br />

e រ ោះ<br />

dt <br />

x<br />

e dx<br />

ឬ<br />

dt<br />

dx <br />

t<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 116


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

1 dt<br />

<br />

2<br />

t t<br />

2x<br />

1 e dx 1<br />

<br />

2<br />

t 1<br />

dt<br />

2<br />

t<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />

ាង<br />

1<br />

t cosu<br />

រ ោះ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ចំរ<br />

<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

ាង<br />

1<br />

sin u 1<br />

2<br />

t<br />

1<br />

e<br />

<br />

2x<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

ឬ<br />

sin u <br />

2<br />

t 1<br />

dt<br />

2<br />

t<br />

2<br />

t 1<br />

t<br />

1<br />

1 2<br />

cos u sin u<br />

du<br />

2<br />

1 cos u<br />

2<br />

cos u<br />

2<br />

sin u<br />

du<br />

cosu<br />

2<br />

1<br />

cos u<br />

du<br />

cosu<br />

<br />

<br />

<br />

cosudu<br />

2<br />

1<br />

sin u<br />

v sin uរ ោះ<br />

<br />

<br />

<br />

du<br />

<br />

cosu<br />

<br />

cosudu<br />

cosudu<br />

sin<br />

u<br />

2<br />

1<br />

sin u<br />

cos udu 1<br />

t<br />

<br />

2<br />

1<br />

sin u t<br />

រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />

dv cosudu<br />

cosudu<br />

dv<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា <br />

2 2<br />

1sin u<br />

<br />

1v<br />

1 1<br />

v<br />

ln<br />

2 1<br />

v<br />

c<br />

1 1<br />

sin u<br />

ln<br />

2 1<br />

sin u<br />

c<br />

2<br />

sin u<br />

រហើយ dt du<br />

2<br />

cos u<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 117


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

2<br />

1 t<br />

t 1<br />

ln<br />

2<br />

2<br />

t<br />

t 1<br />

c<br />

ស ុបមក្ អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

2<br />

ln 1<br />

<br />

t t c<br />

<br />

1<br />

e<br />

2x<br />

dx<br />

2<br />

2 t 1<br />

ln t t 1<br />

c<br />

t<br />

2x<br />

x 2x<br />

e 1<br />

ln e e 1<br />

c<br />

x<br />

e<br />

<br />

2 2<br />

ln 1 1 x<br />

x<br />

x e 1 e c<br />

១៤.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

1<br />

e<br />

2x<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

dx<br />

<br />

2 2<br />

ln 1 1 x<br />

x<br />

x e 1 e c<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

3<br />

x dx<br />

9<br />

2<br />

5x<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

4<br />

<br />

u 25x<br />

7<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

4<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

du 20<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

3<br />

x dx<br />

ឬ<br />

du<br />

20<br />

<br />

3<br />

x dx<br />

ខ.<br />

<br />

x<br />

x<br />

2<br />

4<br />

ែូរចនោះ<br />

1<br />

dx<br />

1<br />

<br />

<br />

3<br />

x dx du<br />

<br />

9<br />

2<br />

5x<br />

20 u<br />

<br />

<br />

3<br />

x dx<br />

9<br />

2<br />

5x<br />

4<br />

<br />

4<br />

7 9 7<br />

<br />

7<br />

7<br />

1<br />

9<br />

20 u <br />

du<br />

2<br />

1 9<br />

9<br />

20 2 u c<br />

9<br />

2<br />

4<br />

2 5 x 9<br />

c<br />

40<br />

9<br />

2<br />

4<br />

2 5 x 9<br />

c<br />

40<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 118


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

1 1<br />

1<br />

1<br />

2 2<br />

x dx x<br />

1 <br />

x<br />

1 <br />

x <br />

x <br />

1<br />

u x<br />

x<br />

2<br />

2<br />

<br />

2 x <br />

2<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

1 <br />

du 1<br />

dx<br />

2 <br />

x <br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

x<br />

x<br />

2<br />

4<br />

<br />

1<br />

dx<br />

1<br />

x<br />

x<br />

<br />

2<br />

1<br />

du<br />

dx <br />

1 u<br />

2<br />

4 2<br />

1 u<br />

arctan c<br />

2 2<br />

<br />

<br />

2<br />

1 x 1<br />

arctan c<br />

2 x 2<br />

<br />

2<br />

1 x 1<br />

arctan c<br />

2 x 2<br />

<br />

<br />

១៥.រណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

<br />

xdx<br />

x<br />

1<br />

ក្.<br />

4 2<br />

x<br />

អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />

<br />

xdx<br />

2<br />

2 1<br />

3<br />

x<br />

<br />

2<br />

4<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើបរ ូ អរេ ាង<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

u x<br />

<br />

2<br />

2 1<br />

រ<br />

ោះ<br />

du<br />

2<br />

xdx<br />

xdx 1<br />

x<br />

1 2<br />

<br />

4 2 <br />

x<br />

du<br />

2 3<br />

u <br />

4<br />

1 1 2u<br />

arctan c<br />

2 3 3<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 119


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

១៦.រណ<br />

ខ.<br />

<br />

x<br />

ែូរចនោះ<br />

4 2<br />

<br />

dx<br />

4x<br />

3<br />

x<br />

xdx<br />

x<br />

1<br />

4 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2x<br />

1<br />

1 arctan<br />

3 3<br />

<br />

2<br />

2x<br />

1<br />

1 arctan<br />

3 3<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

x<br />

<br />

dx<br />

4x<br />

3<br />

4 2<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

x<br />

dx<br />

1<br />

x<br />

3<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

4 2 2 2<br />

x 4x 3 x 3 x 1<br />

<br />

c<br />

2 2<br />

x 3 x 1<br />

2 2<br />

x x<br />

<br />

1<br />

<br />

2 3 1<br />

1 dx 1<br />

<br />

<br />

dx<br />

2 2<br />

2 x 1 2 x 3<br />

<br />

dx<br />

c<br />

1 1 x<br />

arctan x arctan c<br />

2 2 3 3<br />

1 1 x<br />

arctan x arctan c<br />

2 2 3 3<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

u<br />

1x<br />

<br />

2<br />

dx 3x dx<br />

<br />

x 1x 3x 1x<br />

3 3 3<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

3<br />

ឬ<br />

u<br />

1x<br />

2 3<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

2<br />

dx 3x dx<br />

<br />

x 1x 3x 1x<br />

<br />

3 3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2udu<br />

<br />

2<br />

3 u 1<br />

u<br />

2udu<br />

3<br />

2<br />

x dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 120


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

2<br />

<br />

<br />

du<br />

2<br />

3 u 1<br />

1 u 1<br />

ln c<br />

3 u 1<br />

<br />

3<br />

1 1x<br />

1<br />

ln<br />

3<br />

3<br />

1x<br />

1<br />

c<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

3<br />

<br />

x<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

dx<br />

1<br />

x<br />

<br />

3<br />

<br />

2 x dx<br />

2 x 2 x<br />

2 x<br />

u 3<br />

2 x<br />

<br />

3<br />

1 1x<br />

1<br />

ln<br />

3<br />

3<br />

1x<br />

1<br />

2<br />

c<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

រ<br />

ោះររទញបាៃ<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

4<br />

x <br />

1<br />

u<br />

<br />

<br />

3<br />

2<br />

3<br />

2<br />

2 x dx 1<br />

u 12udu<br />

3<br />

u<br />

2 <br />

6<br />

3<br />

2<br />

2 x 2 x 16u<br />

1<br />

u<br />

3<br />

<br />

4<br />

<br />

du<br />

3<br />

u<br />

3 1<br />

c<br />

3<br />

4 2u<br />

3<br />

<br />

8u<br />

2<br />

c<br />

3 2<br />

x <br />

3<br />

<br />

8 2<br />

x <br />

2<br />

c<br />

<br />

រហើយ<br />

dx <br />

12udu<br />

3<br />

1<br />

u 2<br />

១៧.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

ក្.<br />

<br />

3<br />

2 x dx<br />

2 x 2 x<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

<br />

<br />

dx<br />

x 1<br />

រយើងរណ<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

3 2<br />

x <br />

3<br />

<br />

8 2<br />

x <br />

2<br />

c<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 121


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ាង u x<br />

<br />

រ<br />

ោះររទញបាៃ<br />

x<br />

u<br />

2<br />

រហើយ<br />

dx 2udu<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

dx<br />

2udu<br />

u 1 u<br />

<br />

2<br />

x x <br />

1<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

du<br />

u 1<br />

u<br />

<br />

<br />

1 1 <br />

<br />

du<br />

u<br />

1<br />

u<br />

<br />

2 ln u ln 1 u <br />

c<br />

u<br />

2ln 1 u<br />

c<br />

x<br />

2ln<br />

c<br />

x 1<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

x 1<br />

dx<br />

x<br />

<br />

1 x x1<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

u x x 1<br />

ររទញបាៃ<br />

2ln<br />

x<br />

c<br />

x 1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

រ<br />

1<br />

2 x u<br />

u<br />

ោះ<br />

ឬ<br />

1<br />

u <br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

x 1 <br />

2<br />

u<br />

1<br />

x <br />

2u<br />

<br />

2<br />

x<br />

រហើយ<br />

4<br />

u 1<br />

dx du<br />

3<br />

2u<br />

dx<br />

<br />

1 x x1<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 122<br />

u<br />

4<br />

<br />

2<br />

2u<br />

1<br />

1<br />

u<br />

<br />

du<br />

3 2<br />

u u u 1<br />

<br />

du<br />

3<br />

2u<br />

1 1 1 1 <br />

1<br />

du<br />

2 3<br />

2<br />

<br />

u u u <br />

1 1 1<br />

ln<br />

2<br />

2 u u <br />

<br />

u 2u<br />

<br />

c


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

១៨.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

dx<br />

1 x x1<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

1 x 1<br />

<br />

2 2 2<br />

2<br />

x ln x x 1 x x c<br />

1 x 1<br />

<br />

2 2 2<br />

2<br />

x ln x x 1 x x c<br />

ក្.<br />

<br />

2<br />

x x xdx<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង t x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 123<br />

<br />

ឬ<br />

t x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

2<br />

ឬ<br />

dx 2tdt<br />

2 5 2<br />

x x xdx t t dt<br />

<br />

<br />

<br />

2 3<br />

2 1<br />

t t dt<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />

ាង<br />

u<br />

t<br />

3<br />

1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

x<br />

<br />

dx<br />

1<br />

x<br />

<br />

2<br />

x x xdx<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

du 3<br />

2<br />

t dt<br />

2 2 3<br />

x x xdx 2 t t 1dt<br />

1<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

udu<br />

3<br />

1 2<br />

2<br />

3 3 u c<br />

3<br />

4 3 1<br />

2<br />

9 t c<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

4 <br />

1<br />

9 x c<br />

<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

4 <br />

1<br />

9 x c<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

dx xdx<br />

<br />

x 1x x 1x<br />

<br />

2 2 2


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

t <br />

1x<br />

2<br />

ឬ<br />

x<br />

1t<br />

2 2<br />

រ ោះ tdt xdx<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

dx<br />

<br />

tdt<br />

x 1<br />

x t <br />

2 2<br />

1<br />

<br />

t<br />

1 1<br />

t<br />

ln<br />

2 1<br />

t<br />

c<br />

1 1<br />

1x<br />

ln<br />

2 1<br />

1x<br />

2<br />

2<br />

c<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

x<br />

dx<br />

1<br />

x<br />

2<br />

1 1<br />

1x<br />

ln<br />

2 1<br />

1x<br />

2<br />

2<br />

c<br />

១៩.រណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

sin<br />

x cos<br />

5 3<br />

xdx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

x xdx x x x dx<br />

<br />

5 3 5 2<br />

sin cos sin cos sin<br />

u sin x រ ោះ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

du cos xdx<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

sin<br />

sin 5 x cos 3 xdx u 5 1u 2 du<br />

x cos<br />

5 3<br />

1<br />

cos x dx<br />

sin x 1<br />

xdx<br />

<br />

<br />

<br />

6 8<br />

u u<br />

c<br />

6 8<br />

6 8<br />

sin x sin x<br />

c<br />

6 8<br />

6 8<br />

sin x sin x<br />

c<br />

6 8<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 124


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

+ចំរ<br />

+ចំរ<br />

ាង<br />

1<br />

cos x dx cos x<br />

dx dx<br />

sin x 1 sin x 1 sin x 1<br />

<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

<br />

<br />

dx<br />

sin x 1<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

sin x 1<br />

<br />

<br />

cosx<br />

1<br />

2 <br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

u sin x1<br />

អចស រស រៅជា<br />

dx<br />

x <br />

<br />

tan c<br />

2 x <br />

<br />

2 4<br />

cos<br />

<br />

<br />

2 4<br />

រ<br />

<br />

ោះ<br />

cos x dx<br />

sin x 1<br />

du cos xdx<br />

រយើងរណ<br />

រោយបរ ូ អរេ<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

២០.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

cos x<br />

dx <br />

sin x1<br />

<br />

du<br />

u<br />

ln u c ln sin x 1<br />

c<br />

1<br />

cos x<br />

dx tan<br />

sin x 1<br />

2 4<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

dx<br />

2 2 2 2<br />

a cos x b sin x<br />

x <br />

<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ln sin x1<br />

c<br />

dx 1 1 dx<br />

<br />

<br />

2 2 2 2 2 2<br />

2<br />

a cos x b sin x b a 2 cos x<br />

tan x<br />

2<br />

b<br />

<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

dx<br />

t tan x រ ោះ dt <br />

2<br />

cos x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

dx 1<br />

<br />

2 2 2 2 2<br />

a cos x b sin x b<br />

<br />

dt<br />

2<br />

a<br />

t<br />

2<br />

b<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 125


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

sin<br />

cos<br />

dx<br />

2 2 2 2<br />

a cos x b sin x<br />

3<br />

8<br />

x dx<br />

x<br />

អំងរតព្កាលខាងលអចស រស រៅជា<br />

<br />

1 1 bt<br />

<br />

2 arctan c<br />

b a a<br />

b<br />

1 btan<br />

x<br />

arctan<br />

ab a<br />

1 btan<br />

x<br />

arctan<br />

<br />

<br />

c<br />

ab a<br />

3 2<br />

sin x 1<br />

cos x<br />

dx sin xdx<br />

8 8<br />

cos x<br />

<br />

cos x<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

t<br />

cos x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

ោះ<br />

dt sin<br />

xdx<br />

<br />

<br />

c<br />

២១.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

sin<br />

cos<br />

<br />

x dx<br />

x<br />

sin<br />

cos<br />

3<br />

8<br />

x dx<br />

x<br />

1<br />

t<br />

8<br />

t<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

dt<br />

<br />

8 6<br />

t t dt<br />

7 5<br />

t t<br />

c<br />

7 5<br />

3<br />

8<br />

7 5<br />

អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

dx<br />

sin xcos<br />

6<br />

x<br />

1 1<br />

c<br />

7 5<br />

7cos x<br />

5cos x<br />

<br />

1 1<br />

c<br />

7cos x<br />

5cos x<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

dx sin x<br />

<br />

dx<br />

6 2 6<br />

sin x cos x sin x cos x<br />

sin x<br />

<br />

dx<br />

2 6<br />

1<br />

cos x cos x<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 126


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u cos x រ ោះ du sin xdx<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

dx du<br />

<br />

sin xcos x u 1<br />

u<br />

dx<br />

sin xcos<br />

<br />

<br />

6 2 6<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

6 6<br />

u u 1<br />

du<br />

2 6<br />

u 1<br />

u<br />

<br />

<br />

u<br />

4 2<br />

1 u u<br />

1<br />

<br />

1<br />

u<br />

2 6<br />

<br />

du<br />

<br />

1 u 1 1 1 1<br />

ln c<br />

3 5<br />

2 u 1 u 3u 5u<br />

1 1<br />

cos x 1 1 1<br />

ln c<br />

3 5<br />

2 1<br />

cos x cos x 3cos x 5cos x<br />

6<br />

3 5<br />

3<br />

4sin x dx<br />

1<br />

cos x<br />

<br />

x<br />

1 1<br />

cos x 1 1 1<br />

ln c<br />

2 1<br />

cos x cos x 3cos x 5cos x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

3 2<br />

4sin x sin x<br />

dx 4 sin xdx<br />

1cos x<br />

1cos<br />

x<br />

u<br />

cos x<br />

2<br />

1<br />

cos x<br />

4<br />

sin xdx<br />

1<br />

cos x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

រ<br />

ោះ<br />

du sin<br />

xdx<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

3 2<br />

4sin x 1<br />

u<br />

dx 4<br />

du<br />

1cos x<br />

<br />

1u<br />

<br />

<br />

<br />

4 1<br />

u du<br />

4 2 <br />

2<br />

u u c<br />

4cos<br />

<br />

2<br />

x 2cos x c<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 127


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

២២.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

3<br />

4sin x dx<br />

1<br />

cos x<br />

<br />

4cos<br />

<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

3<br />

ln x<br />

2<br />

4 ln x<br />

dx<br />

2<br />

x 2cos x c<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

t ln x<br />

ឬ<br />

x<br />

e<br />

t<br />

រ<br />

ោះ<br />

dx <br />

t<br />

e dt<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

3ln x 3t<br />

dx <br />

t<br />

e dt<br />

2 2<br />

4 ln x 4<br />

t<br />

4 ln x 2<br />

<br />

<br />

<br />

t<br />

t<br />

4 t e<br />

<br />

4<br />

t e<br />

dt<br />

4 t<br />

<br />

t<br />

e <br />

<br />

dt<br />

4<br />

t <br />

t<br />

e<br />

c<br />

4 t<br />

x<br />

c<br />

4 ln x<br />

x<br />

c<br />

x<br />

3<br />

ln x<br />

dx<br />

4 ln<br />

xln<br />

x dx<br />

2<br />

1 x<br />

2<br />

2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

x ln x 1 x ln x<br />

dx <br />

2 2<br />

1 2<br />

<br />

x<br />

1x<br />

<br />

2 2<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />

2<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

x ln x 1 ln y<br />

dx <br />

2<br />

1<br />

4<br />

<br />

x 1<br />

y<br />

2 2<br />

រយើងរោោះស្រាយរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

dy<br />

y<br />

x<br />

2<br />

រ ោះ dy 2xdx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 128


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

២៣.រណ<br />

ាង<br />

g<br />

<br />

y<br />

<br />

<br />

<br />

f y g y dy f y g y f y g y dy<br />

f y ln y<br />

<br />

1<br />

2<br />

1<br />

y<br />

1<br />

<br />

y<br />

1<br />

g y <br />

1 y<br />

រ ោះ f y<br />

រ ោះ <br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

x ln x 1 ln y<br />

dx <br />

2<br />

1<br />

4<br />

<br />

x 1<br />

y<br />

xln<br />

x dx<br />

2<br />

2 2<br />

dy<br />

ln y 1 dy<br />

<br />

4 1 4<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

1 x <br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

y y y<br />

ln y 1 1 1 <br />

dy<br />

41<br />

y<br />

4<br />

<br />

y 1<br />

y <br />

ln y 1<br />

ln y ln 1 y c<br />

4 1<br />

y 4<br />

<br />

<br />

<br />

ln y 1 y ln c<br />

4 1<br />

y<br />

4 1<br />

y<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

ln x 1 x<br />

2 ln c<br />

2<br />

21<br />

x<br />

4 1<br />

x<br />

<br />

<br />

2<br />

ln x 1 x<br />

2 ln c<br />

2<br />

21<br />

x<br />

4 1<br />

x<br />

<br />

ក្.<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

6<br />

<br />

tan x cot x dx<br />

<br />

2<br />

(ឆមាសទី២,២០០៤)<br />

អំរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

4 4<br />

2 2 2<br />

<br />

<br />

tan x cot x dx tan x 2 tan x cot x cot x dx<br />

<br />

<br />

6 6<br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

6<br />

<br />

tan x 2 cot<br />

2 2<br />

<br />

x dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 129


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

6<br />

<br />

tan x cot x dx<br />

cos xsin<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

4<br />

u sin x<br />

xdx<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

6<br />

2 2<br />

1 tan 1 cot <br />

x x <br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

<br />

tan<br />

x cot x 4 6<br />

<br />

<br />

2 3<br />

3<br />

2 3<br />

3<br />

(ឆមាសទី២,២០០៣)<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

រ<br />

ោះ<br />

du cos xdx<br />

<br />

២៤.រណ<br />

+ររល<br />

+ររល<br />

x 0<br />

<br />

x <br />

2<br />

រ ោះ<br />

រ<br />

ោះ<br />

u 0<br />

u 1<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

cos xsin<br />

4<br />

1<br />

xdx <br />

5<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

4 4<br />

cos xsin<br />

xdx u du<br />

0 0<br />

<br />

5<br />

1<br />

u 1<br />

<br />

5 5<br />

0<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

0<br />

sin x<br />

dx<br />

2 cos x<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

u 2 cos<br />

x<br />

(ឆមាសទី២,២០០៩)<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

រ<br />

ោះ<br />

du sin<br />

xdx<br />

+ររល<br />

x 0<br />

រ<br />

ោះ<br />

u 3<br />

<br />

+ររល x រ<br />

ោះ<br />

u 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 130


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

sin x<br />

dx ln 3<br />

2 cos x<br />

2<br />

cos sin sin<br />

x x xdx<br />

<br />

<br />

<br />

0 3<br />

1<br />

sin x du<br />

1<br />

dx ln<br />

u ln3<br />

3<br />

2 cos x<br />

<br />

u<br />

(ឆមាសទី២,២០០៦)<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអខស សរស រៅជា<br />

<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

2 2<br />

2 2<br />

<br />

cos x sin x sin xdx cos x 1 cos x sin xdx<br />

0 0<br />

u<br />

cos x<br />

+ររល<br />

+ររល<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

រ<br />

ោះ<br />

x 0<br />

<br />

x <br />

2<br />

<br />

du sin<br />

xdx<br />

រ<br />

រ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

u 1<br />

u 0<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

២៥.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

<br />

2<br />

2 2<br />

cos 1 cos sin 1<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

x x xdx u u du<br />

0 1<br />

7<br />

x x<br />

xdx <br />

6<br />

2<br />

cos sin sin<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

0<br />

0<br />

3 2 <br />

u u u <br />

1 1 7<br />

<br />

<br />

3 2 6<br />

1<br />

ក្.<br />

1<br />

<br />

0<br />

xe<br />

2<br />

x 1<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

dx<br />

u<br />

x<br />

2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

1<br />

+ររល<br />

រ ោះ du 2xdx<br />

ឬ<br />

x 0<br />

រ ោះ u 1<br />

du<br />

2<br />

xdx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 131


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

+ររល<br />

x 1 រ ោះ<br />

u 2<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

2<br />

e<br />

<br />

e<br />

1<br />

<br />

0<br />

2<br />

x 1 1 2<br />

xe dx e e<br />

2<br />

dx<br />

xln<br />

x<br />

<br />

1 2<br />

2<br />

2<br />

x 1 1 u 1 u 1 2<br />

<br />

<br />

xe dx e du e e e<br />

2 2 2<br />

0 1<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u ln x<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

+ររល x e<br />

dx<br />

du <br />

x<br />

រ<br />

ោះ<br />

u 1<br />

1<br />

<br />

<br />

+ររល<br />

x<br />

e<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

u 2<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

2<br />

e<br />

<br />

e<br />

dx<br />

ln 2<br />

xln<br />

x <br />

2<br />

e<br />

<br />

e<br />

2<br />

dx du 2<br />

ln u ln 2<br />

1<br />

x ln x<br />

<br />

u<br />

1<br />

២៦.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

1<br />

<br />

0<br />

x<br />

1<br />

x dx<br />

2 2<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

របើ<br />

របើ<br />

x<br />

sin t<br />

x 0<br />

រ<br />

ោះ<br />

x 1 រ ោះ<br />

រ<br />

ោះ<br />

t 0<br />

<br />

t <br />

2<br />

dx costdt<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

1 2<br />

2 2 2<br />

<br />

x 1x dx sin t costdt<br />

0 0<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />

ាង<br />

u sin t រ ោះ<br />

du costdt<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 132


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

របើ t 0 រ ោះ u 0<br />

របើ<br />

<br />

t <br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

u 1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ខ.<br />

1<br />

<br />

0 1<br />

<br />

ែូរចនោះ<br />

dx<br />

x<br />

1<br />

<br />

0<br />

<br />

1 2<br />

2 2 2<br />

<br />

x 1x dx sin t costdt<br />

0 0<br />

1<br />

x<br />

1<br />

1x dx <br />

3<br />

2 2<br />

<br />

0<br />

2<br />

u du<br />

1<br />

3<br />

1 1<br />

u <br />

3<br />

o<br />

3<br />

រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

<br />

ាង t x<br />

ឬ<br />

x<br />

t<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

dx 2tdt<br />

របើ<br />

x 0<br />

រ<br />

ោះ<br />

t 0<br />

២៧.រណ<br />

របើ<br />

x 1 រ ោះ<br />

t 1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

ក្.<br />

1<br />

<br />

0 1<br />

<br />

dx<br />

x<br />

1<br />

ln 2<br />

1<br />

<br />

0 1<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

<br />

2<br />

dx<br />

2 sin x<br />

0<br />

<br />

<br />

dx<br />

x<br />

1<br />

<br />

<br />

tdtt 1 <br />

0<br />

1<br />

1 <br />

1<br />

dt<br />

1 t <br />

0<br />

t<br />

ln 1<br />

t<br />

1<br />

ln 2<br />

1<br />

0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 133


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

t tan 2<br />

x<br />

រ<br />

ោះ<br />

x<br />

2arctan t<br />

<br />

2t<br />

sin<br />

x <br />

2<br />

1<br />

t<br />

+ររល x 0 រ ោះ t 0<br />

+ររល<br />

<br />

x <br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

t 1<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ខ.<br />

<br />

2<br />

<br />

2 1<br />

2<br />

<br />

dx<br />

<br />

2 sin x<br />

<br />

0 0<br />

ែូរចនោះ<br />

dx<br />

<br />

2 cos x<br />

0<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

2t<br />

dt<br />

1<br />

t<br />

2t<br />

2 1<br />

2<br />

t<br />

1<br />

<br />

t<br />

dt<br />

t<br />

2<br />

1<br />

0<br />

1<br />

រហើយ<br />

dt<br />

<br />

2<br />

0 1<br />

3<br />

t<br />

<br />

2 2 <br />

1<br />

0<br />

2<br />

2tdt<br />

dx <br />

2<br />

1 t<br />

2 2t 1 2 3<br />

arctan <br />

3 3 3 3 6 9<br />

dx 3<br />

<br />

2 sin x 9<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

t tan 2<br />

x<br />

x<br />

2arctan t<br />

<br />

រ ោះ 2<br />

1<br />

t រហើយ<br />

sin<br />

x <br />

2<br />

1<br />

t<br />

+ររល x 0 រ ោះ<br />

+ររល<br />

<br />

x រ ោះ<br />

2<br />

t 0<br />

t 1<br />

2tdt<br />

dx <br />

2<br />

1 t<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 134


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

២៨.រណ<br />

<br />

2 1<br />

2<br />

dx<br />

<br />

2 cos x<br />

<br />

0 0<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

1<br />

<br />

0<br />

2t<br />

dt<br />

1<br />

t<br />

2<br />

1<br />

t<br />

2 1<br />

2<br />

t<br />

t<br />

2<br />

2dt<br />

<br />

3<br />

2<br />

1<br />

2 t 2 3<br />

arctan 0<br />

3 3 3 6 9<br />

dx 3<br />

<br />

2 cos x 9<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

0<br />

ក្.<br />

R<br />

<br />

R<br />

R<br />

x dx<br />

2 2<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

x Rsin<br />

t<br />

+ររល x<br />

រ<br />

ោះ<br />

+ររល x R<br />

dx R costdt<br />

R រ ោះ<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

t <br />

2<br />

<br />

t <br />

2<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

R<br />

<br />

R<br />

R<br />

R<br />

<br />

R<br />

<br />

2<br />

2 2 2 2<br />

R x dx R cos tdt<br />

R<br />

x dx <br />

2<br />

2 2<br />

2<br />

R<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

cos 2t<br />

dt<br />

2<br />

<br />

2 2<br />

2<br />

R sin 2t R<br />

t<br />

<br />

2 2 2<br />

<br />

<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 135


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ខ.<br />

<br />

4<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

ln 1<br />

tan x dx<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

<br />

x t<br />

4<br />

រ ោះ dx dt<br />

<br />

+ររល x 0 រ ោះ<br />

+ររល<br />

<br />

x <br />

4<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

t <br />

4<br />

t 0<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

<br />

4<br />

<br />

ោះររទញបាៃ<br />

ឬ<br />

<br />

4<br />

<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

ln 1 tan xdx ln 1 tan t dt 4<br />

<br />

<br />

<br />

4<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

0<br />

<br />

4<br />

<br />

0<br />

<br />

4<br />

0<br />

<br />

4<br />

<br />

tan tan t<br />

ln 1 4 <br />

<br />

dt<br />

<br />

<br />

1<br />

tan tan t <br />

4 <br />

1<br />

tan t <br />

ln 1<br />

dt<br />

1 tan t <br />

2 <br />

ln dt<br />

1 tan t <br />

<br />

<br />

4 4<br />

<br />

ln 2dt<br />

ln 1<br />

tan t dt<br />

0 0<br />

<br />

<br />

2<br />

ln 1 tan xdx<br />

0ln 2<br />

4 <br />

<br />

4<br />

ែូរចនោះ <br />

0<br />

<br />

0<br />

<br />

ln 1tan x dx ln 2<br />

8<br />

<br />

<br />

ln 1 tan x dx ln 2<br />

8<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 136


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

២៩.រណ<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

4<br />

x<br />

dx<br />

2<br />

sin x<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

g<br />

<br />

f x<br />

x<br />

1<br />

sin x<br />

x <br />

2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

b<br />

<br />

a<br />

រ<br />

រ<br />

f x g x dx f x g x f x g x dx<br />

b<br />

<br />

ោះ ររបាៃ<br />

ោះ ររបាៃ<br />

f<br />

x<br />

1<br />

<br />

g x<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ខ.<br />

<br />

4<br />

x<br />

<br />

cos 0<br />

ែូរចនោះ<br />

2<br />

រយើងរណ<br />

dx<br />

x<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

cot<br />

x<br />

<br />

<br />

2 2<br />

x<br />

2<br />

cot<br />

2<br />

<br />

sin x<br />

<br />

4 <br />

4 4<br />

<br />

2<br />

x<br />

dx<br />

2<br />

sin x<br />

dx x x cot xdx<br />

cos<br />

4 sin<br />

<br />

<br />

4<br />

x dx<br />

x<br />

<br />

<br />

2<br />

ln sin ln<br />

4 4 2<br />

2<br />

ln<br />

4 2<br />

x 2 4<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

a<br />

b<br />

<br />

a<br />

ាង<br />

g<br />

f x<br />

x<br />

dx<br />

cos x<br />

x <br />

2<br />

b<br />

b<br />

a <br />

a<br />

a<br />

f x g x dx f x g x f x g x dx<br />

b<br />

<br />

រ ោះ ររបាៃ<br />

f<br />

x 1<br />

រ ោះ ររបាៃ g x tan<br />

x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 137


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

៣០.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

4 4<br />

x<br />

tan 4<br />

<br />

2 0<br />

sin x<br />

<br />

0 0<br />

x<br />

<br />

cos 0<br />

2<br />

dx<br />

x<br />

dx x x tan xdx<br />

<br />

2<br />

sin x dx<br />

4 cos x<br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

2<br />

ln cos x ln<br />

4 4 2<br />

2<br />

ln<br />

4 2<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

4 0<br />

ក្.<br />

<br />

e 3<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

sin ln x dx<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

g<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

b<br />

<br />

sin ln<br />

x<br />

f x<br />

x 1<br />

រ<br />

a<br />

f x g x dx f x g x f x g x dx<br />

ោះ ររបាៃ<br />

b<br />

<br />

រ<br />

g x<br />

ោះ ររបាៃ<br />

x<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

a<br />

b<br />

<br />

cos ln x<br />

f x<br />

dx<br />

x<br />

<br />

<br />

e 3 e 3<br />

<br />

e 3<br />

<br />

sin ln x dx x cos ln x cos ln x dx<br />

1<br />

1 1<br />

<br />

e 3<br />

រយើងរណ អំងរតព្កាល cosln<br />

<br />

ាង<br />

g<br />

x<br />

cos ln<br />

<br />

f x x<br />

1<br />

<br />

រ<br />

ោះ ររបាៃ<br />

1<br />

<br />

e 3<br />

3 <br />

3<br />

e cosln<br />

xdx<br />

2<br />

<br />

1<br />

x dx រោយដ នក្មរងរទៀត<br />

រ ោះ ររបាៃ <br />

<br />

g x<br />

x<br />

a<br />

sin ln x<br />

f x dx<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 138


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

<br />

<br />

e 3 e 3<br />

e 3<br />

<br />

<br />

cos ln x dx x cos ln x sin ln x dx<br />

1<br />

1 1<br />

ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

1<br />

e<br />

2<br />

<br />

3<br />

<br />

e 3<br />

1<br />

<br />

<br />

sin ln x dx<br />

<br />

<br />

e 3<br />

<br />

<br />

<br />

e 3 e 3<br />

<br />

រ ោះររទញបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

e 3<br />

ខ. cosln<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

x dx<br />

3 <br />

3<br />

sin ln<br />

xdx e cosln<br />

xdx<br />

2<br />

<br />

1 1<br />

<br />

ឬ<br />

<br />

e 3<br />

<br />

1<br />

3<br />

<br />

1<br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3 e <br />

3<br />

e e 3<br />

sin ln x dx<br />

31<br />

e<br />

2<br />

<br />

<br />

3<br />

2 sin ln x dx<br />

<br />

<br />

e 3<br />

<br />

1<br />

sin ln x dx<br />

<br />

<br />

sin ln x dx<br />

<br />

31<br />

4<br />

3<br />

e <br />

<br />

e 3<br />

1<br />

<br />

<br />

sin ln x dx<br />

<br />

<br />

31<br />

2<br />

31<br />

4<br />

1<br />

3<br />

e <br />

3<br />

e <br />

រយើងរណ អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

b<br />

<br />

a<br />

f x g x dx f x g x f x g x dx<br />

b<br />

<br />

ាង f x cos ln<br />

x<br />

រ ោះ ររបាៃ <br />

g<br />

x<br />

1<br />

<br />

រ ោះ ររបាៃ<br />

<br />

g x<br />

x<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

a<br />

b<br />

<br />

a<br />

sin ln x<br />

f x dx<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 139


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៣១.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

<br />

e 3 e 3<br />

e 3<br />

<br />

<br />

e 3<br />

<br />

1<br />

<br />

cos ln x dx x cos ln x sin ln x dx<br />

1<br />

1 1<br />

<br />

<br />

cos ln x dx <br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

1<br />

e<br />

2<br />

<br />

3<br />

<br />

e 3<br />

1<br />

<br />

<br />

sin ln x dx<br />

1 3 1<br />

e e<br />

2 4<br />

<br />

<br />

<br />

3 3<br />

31<br />

4<br />

31<br />

e<br />

4<br />

3<br />

e <br />

<br />

3<br />

<br />

ក្.<br />

b<br />

<br />

a<br />

x dx , a b<br />

x<br />

រយើងរណ<br />

+ក្ ណី 0 a<br />

b<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយដបងដចក្ជាបីក្ ណី<br />

រ<br />

ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

+ក្ ណី<br />

a<br />

b<br />

b<br />

<br />

a<br />

0<br />

x<br />

x<br />

b<br />

x b<br />

dx dx x b a<br />

a<br />

x<br />

a<br />

រ<br />

ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

+ក្ ណី<br />

b<br />

<br />

a<br />

a0<br />

b<br />

x<br />

x<br />

b<br />

x<br />

b<br />

dx <br />

dx x a b<br />

a<br />

x<br />

a<br />

រ<br />

ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

b<br />

0<br />

b<br />

x x x<br />

<br />

a<br />

dx dx dx<br />

x x x<br />

a<br />

<br />

0<br />

a<br />

0<br />

x<br />

dx <br />

x<br />

b<br />

<br />

0<br />

x<br />

dx<br />

x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 140


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

a<br />

<br />

b<br />

<br />

dx dx a b<br />

0 0<br />

ស ុបទំងបីក្ ណី ខាងរលើររបាៃ<br />

ខ.<br />

2<br />

<br />

0<br />

ែូរចនោះ<br />

b<br />

<br />

a<br />

2<br />

x 2x 3dx<br />

x dx b a<br />

x<br />

រយើងសិក្ោសញ្ញា ព្តីធា<br />

របើ<br />

x<br />

2<br />

2x 3 0 រ ោះ<br />

ាងរាងសញ្ញា ព្តីធា<br />

f<br />

<br />

2<br />

b<br />

<br />

a<br />

x dx b a<br />

x<br />

f x x 2x<br />

3<br />

x <br />

x1 1<br />

ឬ x2<br />

0,2<br />

រលើចរ ៃ ោះ <br />

c 3<br />

3 រព្ ោះ<br />

a 1<br />

a b c1 2 3 0<br />

រយើងបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

៣២.រណ<br />

2 1 2<br />

2 2 2<br />

<br />

<br />

x 2x 3 dx x 2x 3 dx x 2x 3 dx<br />

0 0 1<br />

ែូរចនោះ<br />

2<br />

<br />

0<br />

2<br />

x x dx<br />

1 2<br />

3 3<br />

2 x 2<br />

x <br />

x 3x x 3x<br />

3 3 <br />

5 7<br />

4<br />

3 3<br />

2 3 4<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />

0 1<br />

ក្.<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

max x,<br />

x<br />

2<br />

<br />

dx<br />

រយើងសិក្ោសញ្ញា ព្តីធា<br />

<br />

2<br />

f x x x<br />

រលើចរ ៃ ោះ 0,2<br />

<br />

របើ<br />

xx<br />

2<br />

0<br />

រ<br />

ោះ<br />

ាងរាងសញ្ញា ព្តីធា<br />

x1 0<br />

f<br />

x <br />

ឬ<br />

x2 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 141


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ព្កាបាងអៃុរមៃ៏បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

រយើងបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

3<br />

2 1 2<br />

2 2<br />

max , <br />

x x dx xdx x dx<br />

0 0 1<br />

2<br />

2<br />

1<br />

3<br />

2<br />

x x<br />

<br />

2 3<br />

<br />

2<br />

ែូរចនោះ max x,<br />

x <br />

2 2<br />

ខ. min 2 , 4 <br />

0<br />

រយើងាង<br />

0<br />

55<br />

6<br />

x x x x dx<br />

<br />

2<br />

f x x 2x<br />

0 1<br />

55<br />

dx <br />

6<br />

ៃិង<br />

សិក្ោទីាំងព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

របើ<br />

<br />

2<br />

g x x 4x<br />

f<br />

ៃិង g<br />

2 2<br />

2 4 <br />

f x g x x x x x<br />

g x 0<br />

f x<br />

សញ្ញា ព្តីធា<br />

<br />

f x<br />

ាងរាងសញ្ញា ព្តីធា<br />

<br />

2<br />

2x<br />

6<br />

<br />

x<br />

2x x3<br />

រ<br />

<br />

g x<br />

ោះ<br />

<br />

f x<br />

<br />

<br />

<br />

2x x3 0<br />

0,3<br />

រលើចរ ៃ ោះ <br />

<br />

g x<br />

ឬ x 0 ៃិង x 3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 142


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

ព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

f<br />

f<br />

x<br />

<br />

សថ ិតរៅរលើព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

<br />

g x<br />

x សថ ិតរៅរព្កាមព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

,0 3,<br />

<br />

x <br />

g x<br />

ចំរ ោះ x 0,3<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៏បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

រយើងបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

3 3<br />

<br />

ែូរចនោះ<br />

៣៣.+បង្ហា ញថា<br />

2 2 2<br />

<br />

min x 2 x, x 4x dx x 4x dx<br />

0 0<br />

<br />

3<br />

x<br />

2x<br />

3<br />

9 18<br />

9<br />

3<br />

2 2<br />

min x 2 x, x 4x dx 9<br />

<br />

0<br />

3 2<br />

x x x x x<br />

<br />

2<br />

2 2 1 2<br />

2<br />

3<br />

0<br />

រយើងមាៃ<br />

3 2<br />

x x x<br />

2 2<br />

x x <br />

2<br />

( 2x<br />

1) 2<br />

xx <br />

2<br />

( 1) 2<br />

រិត<br />

+ទញរណ<br />

៣៤.រណ<br />

រយើងបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

អំងរតព្កាល<br />

2 3 2<br />

<br />

0<br />

I <br />

2 3 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 143<br />

<br />

x 2x x 2<br />

dx<br />

3<br />

( x 1)<br />

I <br />

0<br />

x 2x x 2<br />

dx<br />

3<br />

x 1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

0<br />

2<br />

<br />

0<br />

xx ( 1) 2<br />

dx<br />

3<br />

x 1<br />

<br />

x 2<br />

<br />

x1 ( x1)<br />

3<br />

<br />

dx<br />

<br />

2<br />

1 2<br />

1<br />

<br />

x1 ( x1)<br />

0 <br />

6<br />

x ln x1<br />

<br />

( x 1)<br />

3<br />

<br />

dx<br />

<br />

2<br />

2<br />

0<br />

6 22<br />

2 ln 3 6 ln 3<br />

9 3<br />

x 2x x 2<br />

dx<br />

3<br />

x 1<br />

2 3 2<br />

<br />

0<br />

អំងរតព្កាល<br />

<br />

Ik<br />

<br />

<br />

k<br />

2 x<br />

x e dx<br />

0<br />

22<br />

ln 3<br />

3


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

2<br />

ាងu<br />

x រ ោះ du 2xdx<br />

រហើយ<br />

រយើងបាៃ<br />

+ ក្លីមីត<br />

I k<br />

k<br />

<br />

x<br />

x<br />

v e dx e<br />

k<br />

2 x 2 x k<br />

x<br />

I x e dx x e 2 xe dx<br />

k<br />

<br />

0<br />

0 0<br />

ររល k <br />

ាមសំណៃួ ខាងរលើររបាៃ<br />

៣៥.ក្.បង្ហា ញតនមៃរិតនៃ c<br />

រយើងមាៃ<br />

ខ.សំៃួ ែដែលចំរ<br />

1<br />

0<br />

រយើងមាៃ<br />

ឬ<br />

ឬ<br />

1<br />

6<br />

1<br />

0<br />

<br />

k<br />

2 x k<br />

x k<br />

x<br />

x e 2xe 2 e dx<br />

0 0<br />

0<br />

<br />

<br />

2 x x x<br />

( x e 2xe 2 e ) k<br />

0<br />

2 k k k<br />

k e ke e <br />

2 2 2<br />

<br />

2 <br />

lim lim k <br />

2 k <br />

I 2 k<br />

k<br />

k e ke e 2 2<br />

k<br />

k<br />

0;1<br />

រៅចរ ៃ ោះ <br />

1<br />

1<br />

x dx c <br />

2 2<br />

ែូរចនោះ តនមៃរិតនៃ c<br />

ោះសមភារ<br />

1<br />

0<br />

2<br />

1<br />

0<br />

ដែល<br />

សមមូល<br />

ឬ<br />

ឬ<br />

1<br />

1<br />

x dx ( c )<br />

2 2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

x dx c <br />

2 2<br />

0<br />

1 1<br />

x x c <br />

2 2<br />

1<br />

2<br />

1 2 2 1<br />

1 1 0 0<br />

c<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

c 0<br />

2<br />

0;1<br />

រៅចរ ៃ ោះ <br />

រ<br />

រឺ<br />

ោះ<br />

2 2<br />

1 1<br />

x dx c<br />

<br />

2 2 <br />

2 1<br />

2 1<br />

x x dx c c <br />

4 <br />

4<br />

1<br />

3 2 2<br />

1 1 1 1<br />

x x x c c <br />

3 2 4 4<br />

2<br />

c c ឬ<br />

ែូរចនោះ តនមៃនៃ c<br />

៣៦.ក្.ក្ំណត់តនមៃ<br />

<br />

0<br />

2<br />

6c<br />

6c<br />

1 0<br />

2<br />

0<br />

1<br />

c <br />

2<br />

1<br />

c <br />

2<br />

3<br />

រ ោះ c 1 រព្ ោះ c 0,1<br />

3<br />

3<br />

រឺ c 1<br />

3<br />

0;1<br />

រៅចរ ៃ ោះ <br />

ៃិង ដែលចំរ<br />

ោះព្រប់ចំៃួៃរិត<br />

x<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 144


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររមាៃ<br />

x<br />

1 e<br />

<br />

<br />

x<br />

1e<br />

1e<br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ររទញបាៃ<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

1<br />

ែូរចនោះ តនមៃ<br />

<br />

x<br />

រ<br />

ោះ<br />

1<br />

x<br />

1 e<br />

<br />

<br />

x<br />

1e<br />

1e<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

e <br />

x<br />

1<br />

e<br />

ៃិង ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />

x<br />

រឺ<br />

1 , 1<br />

ខ.រណ ព្ក្ឡាននៃដននក្បៃង់ដែលរូសឆូតរៅក្ន ុងតព្មុយ<br />

អ តូណ រម xOy<br />

<br />

ាមព្កាបររបាៃព្ក្ឡាននៃដ នក្បៃង់ដែលរូសឆូតជាអំងរតព្កាល<br />

នៃអៃុរមៃ៏<br />

1<br />

y <br />

1 e<br />

x<br />

0,1<br />

រៅចរ ៃ ោះ <br />

1<br />

dx<br />

1<br />

x 1<br />

ln 1 e ln<br />

x<br />

1<br />

e<br />

0 2<br />

0<br />

e<br />

S ឯក្ាននៃ<br />

៣៧. ក្. ស រស f x ជារាង f x<br />

ររមាៃ<br />

f<br />

ក្រៃោម<br />

រោយ<br />

x<br />

f<br />

f<br />

A B C<br />

<br />

x x1 x 1<br />

x<br />

f<br />

x<br />

ររទញបាៃ<br />

2<br />

អចស រស រៅជា<br />

x<br />

<br />

A B C<br />

<br />

x x1 x 1<br />

2 2<br />

2 1 <br />

<br />

<br />

2<br />

A x x B x x Cx<br />

<br />

2<br />

x x1<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

A B x A B C x A<br />

2<br />

5x<br />

20x6<br />

3 2<br />

x 2x x<br />

3 2<br />

x 2x x<br />

<br />

ដែល<br />

AB ,<br />

2<br />

2<br />

5x<br />

20x6<br />

A B x 2A B C x A<br />

3 2 <br />

3 2<br />

x 2x x x 2x x<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

AB<br />

5<br />

<br />

2A B C 20 រ<br />

<br />

A<br />

6<br />

A<br />

6<br />

<br />

ោះ B<br />

1<br />

<br />

C<br />

9<br />

ៃិង C<br />

ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 145


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរេ A<br />

6 , B 1 ៃិង<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

I <br />

<br />

2<br />

5x<br />

20x6<br />

3 2<br />

x 2x x<br />

C 9<br />

2<br />

5x<br />

20x6<br />

3 2<br />

x 2x x<br />

<br />

I <br />

dx f x dx<br />

<br />

2<br />

5x<br />

20x6<br />

3 2<br />

x 2x x<br />

៣៨.ក្.បង្ហា ញថា ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x ររមាៃ<br />

រយើងមាៃ<br />

dx<br />

e e e e<br />

<br />

x<br />

x<br />

1e<br />

1e<br />

2x 2x x x<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

dx<br />

f<br />

x<br />

6 1 9<br />

<br />

<br />

x x1 x 1<br />

2<br />

6 1 9<br />

<br />

x x1 x 1<br />

<br />

dx<br />

<br />

9<br />

6ln x ln x 1<br />

c<br />

x 1<br />

9<br />

6ln x ln x 1<br />

c<br />

x 1<br />

x x<br />

e 1<br />

e<br />

x<br />

e<br />

<br />

x<br />

1e<br />

1e<br />

x<br />

x e<br />

e<br />

<br />

1 e<br />

ែូរចនោះ ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x ររមាៃ<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ J <br />

I <br />

៣៩. ររឲ្យអៃុរមៃ៍<br />

1 2x<br />

e<br />

<br />

1 x<br />

e<br />

0<br />

1 2x<br />

e<br />

<br />

1 x<br />

e<br />

0<br />

f<br />

dx<br />

J <br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

x<br />

1 2x<br />

e<br />

<br />

1 x<br />

e<br />

0<br />

<br />

e<br />

<br />

x<br />

<br />

0<br />

1<br />

dx<br />

x<br />

e<br />

e<br />

x<br />

<br />

<br />

e ln 1<br />

e<br />

x<br />

2x<br />

x<br />

e x e<br />

e<br />

<br />

x<br />

1e<br />

1e<br />

2x<br />

x<br />

e x e<br />

e<br />

<br />

x<br />

1e<br />

1e<br />

x<br />

<br />

dx<br />

<br />

x<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

e ln 1 e 1<br />

ln 2<br />

2<br />

e 1<br />

ln 1 e<br />

2<br />

dx e 1<br />

ln 1 e<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

f<br />

<br />

x<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

2<br />

3x<br />

5x2<br />

<br />

x x1<br />

2<br />

2<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

x<br />

x<br />

ចំរ ោះព្រប់<br />

x0, x1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 146


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត abc , , រែើមបីឲ្យបាៃ<br />

ររមាៃ<br />

ក្រៃោម<br />

f<br />

រោយ<br />

f<br />

ររបាៃ<br />

<br />

x<br />

<br />

f<br />

a b c<br />

<br />

x x1 x 1<br />

2<br />

x អចស រស រៅជា<br />

<br />

x<br />

<br />

f<br />

x<br />

<br />

ចំរ<br />

f<br />

<br />

x<br />

ោះព្រប់<br />

2 2<br />

2 1 <br />

<br />

<br />

a b c<br />

<br />

x x1 x 1<br />

x0, x1<br />

a x x b x x cx<br />

<br />

2<br />

x x1<br />

<br />

<br />

2<br />

3x<br />

5x<br />

2<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

2<br />

x<br />

x1<br />

2<br />

3x<br />

5x2<br />

a b x a b c x a<br />

<br />

x x1<br />

<br />

2<br />

2<br />

2<br />

<br />

x<br />

x <br />

a b x a b c x a<br />

2 <br />

2<br />

x x 1 1<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរេ<br />

ខ.រណ<br />

ររបាៃ<br />

ab3<br />

<br />

2a b c 5<br />

<br />

a<br />

2<br />

3<br />

2<br />

រ<br />

a 2, b<br />

5<br />

<br />

I f x dx<br />

ោះ<br />

ៃិង<br />

a<br />

2<br />

<br />

b<br />

5<br />

<br />

c<br />

4<br />

c 4<br />

ដែល<br />

3 3<br />

2 5 4 <br />

I f xdx dx<br />

2<br />

<br />

x x 1<br />

2 2<br />

x 1<br />

<br />

<br />

4 <br />

<br />

<br />

2ln x 5ln x1<br />

<br />

<br />

x 1<br />

<br />

f<br />

<br />

3<br />

2<br />

x<br />

2<br />

2 5 4<br />

<br />

x x1 x 1<br />

ចំរ ោះព្រប់ x0, x<br />

1<br />

2<br />

ែូរចនោះ<br />

3<br />

2<br />

<br />

I f x dx<br />

7ln 2 2ln 3 2<br />

7ln 2 2ln 3 2<br />

៤០. ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត A ៃិង B រែើមបីឲ្យបាៃ<br />

<br />

f x A <br />

Be<br />

x<br />

2<br />

1<br />

e<br />

x<br />

ចំរ ោះព្រប់ ចំៃួៃរិត x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 147


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររមាៃ<br />

ក្រៃោម<br />

រោយ<br />

<br />

f x A <br />

f<br />

ររបាៃ<br />

x<br />

f<br />

e<br />

Be<br />

x<br />

x<br />

1<br />

e 2<br />

ចំរ<br />

អចស រស រៅជា<br />

f<br />

x<br />

2x<br />

<br />

e<br />

1<br />

e<br />

x<br />

e<br />

<br />

x<br />

x<br />

<br />

2x<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

x x x<br />

A 1 2e e Be<br />

<br />

x<br />

1<br />

e<br />

<br />

e<br />

1<br />

e<br />

1<br />

<br />

<br />

2x<br />

x<br />

Ae 2A B e A<br />

x<br />

x<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

e<br />

<br />

2x<br />

x<br />

Ae 2A B e A<br />

<br />

x<br />

1<br />

e<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរេ<br />

ខ.រណ<br />

A<br />

1<br />

<br />

2AB1<br />

A 1 ៃិង<br />

អំងរតព្កាលក្ំណត់<br />

ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />

1<br />

0<br />

រ<br />

ោះ<br />

x<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

A<br />

1<br />

<br />

B<br />

1<br />

B 1 ដែល<br />

1<br />

0<br />

<br />

J f x dx<br />

<br />

J f x dx<br />

<br />

1<br />

<br />

0<br />

1<br />

<br />

x<br />

<br />

e<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

e<br />

1<br />

<br />

0 <br />

<br />

x<br />

x<br />

e dx<br />

1<br />

e<br />

x<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

f<br />

<br />

dx<br />

<br />

<br />

x<br />

1<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u 1e<br />

x<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

du <br />

x<br />

e dx<br />

e<br />

x<br />

x<br />

1<br />

e 2<br />

+ចំរ<br />

ោះ<br />

x 0<br />

រ<br />

ោះ<br />

u 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 148


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

+ចំរ ោះ x 1 រ ោះ u 1<br />

e<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ររបាៃ<br />

1<br />

0<br />

1 x 1e<br />

1 3<br />

1 e<br />

e<br />

J f x dx 2 1 2 1<br />

ែូរចនោះ<br />

1<br />

0<br />

1e<br />

e dx du 1 e 1<br />

<br />

x<br />

2 <br />

2<br />

0 1<br />

e u u<br />

2<br />

2<br />

21 e<br />

e e<br />

3<br />

e<br />

J <br />

f xdx<br />

<br />

21<br />

e<br />

៤១.ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a<br />

f<br />

<br />

ៃិង b<br />

a b<br />

<br />

2x3 (2x3)<br />

<br />

2<br />

x<br />

<br />

ដែល<br />

f<br />

<br />

x<br />

a b<br />

<br />

2x<br />

3 2x<br />

3<br />

2<br />

3 <br />

រយើងមាៃ<br />

ក្ំណត់រលើ , <br />

2 <br />

a2x 3<br />

b<br />

ររបាៃក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា f x<br />

<br />

2<br />

(2x<br />

3)<br />

ដតរោយ<br />

f<br />

x 2<br />

(2x<br />

3)<br />

x <br />

2<br />

x 2 2ax 3a b<br />

រយើងបាៃ <br />

2 2<br />

(2x3) (2x<br />

3)<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

ែូចរៃោះ<br />

1<br />

a <br />

2<br />

ៃិង<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

រយើងបាៃ<br />

ែូចរៃោះ<br />

1<br />

<br />

0<br />

1<br />

b <br />

2<br />

I <br />

1<br />

<br />

1 1<br />

<br />

0<br />

<br />

x 2<br />

2x<br />

3<br />

<br />

2<br />

dx<br />

x 2 1 1 1<br />

dx <br />

<br />

<br />

2x3 2 2x<br />

3 2x3<br />

2 2<br />

0 0<br />

<br />

<br />

2a<br />

1<br />

<br />

3a<br />

b 2<br />

<br />

<br />

dx<br />

<br />

<br />

1 1 1<br />

<br />

ln 2x<br />

3<br />

2 <br />

<br />

<br />

2 2 2x<br />

3<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1 <br />

ln 1 1 (ln 3 )<br />

4<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

2<br />

ln 3<br />

<br />

4<br />

3<br />

x 2 1 2 <br />

dx ln 3<br />

2 <br />

2x<br />

3 4<br />

3<br />

0<br />

រ<br />

2ax 3a b<br />

<br />

2<br />

(2x<br />

3)<br />

ោះ<br />

1<br />

a <br />

2<br />

ៃិង<br />

1<br />

b <br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 149


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៤២.ររក្ំណត់អៃុរមៃ៍<br />

f<br />

រោយ<br />

f<br />

x<br />

ក្. ក្សំណុំ ដែៃក្ំណត់ D នៃអៃុរមៃ៍ f ។<br />

អៃុរមៃ៍ f មាៃៃ័យ កាលណា 3 1 0<br />

<br />

x <br />

ែូរចនោះ សំណុំ ដែៃក្ំណត់នៃអៃុរមៃ៍<br />

ខ.បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c ដែល<br />

ររមាៃ<br />

<br />

f x ax b <br />

c<br />

3x<br />

1 2<br />

អៃុរមៃ៍ខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រោយ<br />

ររបាៃ<br />

f<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

f<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

3 2<br />

18x 3x 4x<br />

6<br />

3x<br />

1<br />

3 2<br />

18x 3x 4x<br />

6<br />

<br />

3x<br />

1<br />

2<br />

2<br />

<br />

3 2<br />

18x 3x 4x<br />

6<br />

f<br />

<br />

រឺ<br />

<br />

3x<br />

1<br />

ឬ<br />

2<br />

1<br />

x <br />

3<br />

D <br />

<br />

2<br />

9 6 1<br />

<br />

1<br />

<br />

3<br />

។<br />

f x ax b <br />

ax b x x c<br />

<br />

3x<br />

1<br />

2<br />

<br />

2<br />

3x<br />

1<br />

3 2<br />

9 6 9 6<br />

c<br />

3x<br />

1 2<br />

ax a b x a b x b c<br />

ចំរ ោះព្រប់ x<br />

D<br />

<br />

2<br />

3x<br />

1<br />

3 2<br />

9 6 9 6<br />

ax a b x a b x b<br />

9a<br />

18<br />

<br />

6a<br />

9b<br />

3<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ រ<br />

a<br />

6b<br />

4<br />

<br />

bc6<br />

ែូរចនោះ មាៃចំៃួៃរិត<br />

a 2<br />

,<br />

b 8 ៃិង 2<br />

c ដែល<br />

រ. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍ f រលើដែៃក្ំណត់ D<br />

ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃអៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃ f រឺ<br />

<br />

<br />

<br />

ោះ<br />

f x 2x<br />

8<br />

a<br />

2<br />

<br />

b<br />

8<br />

<br />

c<br />

2<br />

2<br />

3x<br />

1 2<br />

F x f x dx c<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

2 <br />

2x 8 dx c<br />

<br />

3x<br />

1 2<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 150


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

៤៣.ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c<br />

ររមាៃ<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

2x 1<br />

a b c<br />

<br />

1 1<br />

<br />

<br />

x 2 x x x 2 x<br />

x 1<br />

ៃិង<br />

x 0<br />

f<br />

x 8x c<br />

3 3x<br />

1<br />

រឺ<br />

2 2<br />

<br />

<br />

F x x 8x c<br />

3 3x<br />

1<br />

រែើមបីឲ្យ<br />

<br />

2 2<br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

2x 1<br />

a b c<br />

<br />

1 1<br />

<br />

<br />

x 2 x x x 2 x<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ មាៃចំៃួៃរិត<br />

ខ.រណ<br />

a 1<br />

អំងរតព្កាល<br />

,<br />

1<br />

a x x b x cx<br />

<br />

2<br />

x x1<br />

<br />

b 1ៃិង<br />

I <br />

ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

2<br />

1<br />

<br />

I <br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

2<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2x 1<br />

a b c<br />

<br />

1 1<br />

x 2 x x x 2 x<br />

2 2<br />

2<br />

<br />

2<br />

x x1<br />

a c x a b x b<br />

<br />

ac<br />

0<br />

<br />

a<br />

b 2<br />

<br />

b<br />

1<br />

c 1 ដែល<br />

2x<br />

1<br />

dx<br />

2<br />

x x1<br />

<br />

<br />

<br />

2x<br />

1<br />

dx<br />

2<br />

x x1<br />

2<br />

1 1 1 <br />

<br />

2 <br />

x x x <br />

1 <br />

<br />

2x<br />

1 1 4<br />

I dx ln<br />

2<br />

x x1 2 3<br />

៤៤. ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c<br />

1 dx<br />

1 1 4<br />

ln x ln x1 ln<br />

x<br />

2 3<br />

2<br />

1<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

<br />

a<br />

1<br />

<br />

b<br />

1<br />

<br />

c<br />

1<br />

2x<br />

1 1 1 1<br />

<br />

1 1<br />

x 2 x x x 2 x<br />

រែើមបីឲ្យបាៃ<br />

x 1 x 2 x<br />

x 1<br />

<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

2<br />

x 2x 2<br />

a b c<br />

ចំរ<br />

1 x2<br />

2 2<br />

ោះ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 151


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ព្រប់ x ដែល x 2 , x<br />

1<br />

2<br />

x 2x 2<br />

a b c<br />

ររមាៃ<br />

x 1 x 2 x<br />

x 1<br />

<br />

<br />

1 x2<br />

2 2<br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

2<br />

x 2x 2<br />

a b c<br />

<br />

1 x2<br />

x 1 x 2 x<br />

x 1<br />

2 2<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ មាៃចំៃួៃរិត<br />

1<br />

a <br />

3<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

,<br />

b 1ៃិង<br />

I <br />

ាងសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />

I <br />

0 2<br />

<br />

1<br />

0 2<br />

<br />

1<br />

x<br />

x<br />

1 2 2 1<br />

2<br />

x1 x2<br />

a x x b x c x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

a x x 2 bx 2b cx 2cx c<br />

2<br />

x1 x2<br />

<br />

<br />

2<br />

a c x a b 2c x 2a 2b c<br />

2<br />

c <br />

3<br />

2x2<br />

2<br />

x1 x2<br />

2x2<br />

2<br />

x1 x2<br />

dx<br />

2<br />

x1 x2<br />

ac1<br />

<br />

a b 2c<br />

2<br />

<br />

a 2b c 2<br />

ដែល<br />

dx<br />

0 1 1 2<br />

<br />

3 1 3 2<br />

1<br />

2<br />

x<br />

x 1 x<br />

<br />

1 1 2<br />

ln x1 ln x<br />

2<br />

3 x 1 3<br />

x<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

2<br />

1<br />

<br />

a <br />

3 <br />

b<br />

1<br />

2<br />

c <br />

3<br />

2x2 1 1 2<br />

<br />

2 2<br />

x 1 x 2 3 x1 x 1 3 x2<br />

0<br />

1<br />

<br />

dx<br />

<br />

2 1 1 1 1<br />

1 ln 2 ln 2 ln 2<br />

3 2 3 2 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 152


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

I <br />

0 2<br />

<br />

1<br />

x<br />

2x2<br />

2<br />

x1 x2<br />

៤៥.ក្. ក្ចំៃួៃរិត A ៃិង B ដែល<br />

ររមាៃ<br />

<br />

g x<br />

A B<br />

<br />

x 3 3<br />

x 2<br />

dx<br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រោយ<br />

<br />

g x<br />

<br />

2x<br />

3<br />

x 3 2<br />

<br />

g x<br />

1 1<br />

ln 2<br />

2 2<br />

<br />

g x<br />

A B<br />

<br />

x 3 3<br />

x 3 2<br />

A B<br />

<br />

x 3 3<br />

x 2<br />

Ax 3A B<br />

<br />

ររទញបាៃ<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត<br />

A 2 ៃិង 3<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />

រោយ<br />

F<br />

<br />

4 0<br />

រ<br />

<br />

F x<br />

2x<br />

3<br />

2<br />

x<br />

3<br />

B ដែល g x<br />

<br />

F x<br />

ោះររបាៃ<br />

<br />

<br />

F x<br />

x 2<br />

Ax 3A B<br />

<br />

x 3<br />

2<br />

A<br />

2<br />

<br />

3A<br />

B 3<br />

<br />

g x dx<br />

<br />

g x dx<br />

<br />

g x dx<br />

<br />

2 3<br />

<br />

<br />

x 3 3<br />

រ<br />

2 3<br />

<br />

x 3 3<br />

x 2<br />

ោះ<br />

x 2<br />

រោយែឹងថា<br />

<br />

dx<br />

<br />

3<br />

2ln x 3 c<br />

x 3<br />

3<br />

2ln 4 3 0<br />

4<br />

3 c <br />

ដែល<br />

3<br />

ែូរចនោះ<br />

2ln x 3 3<br />

x 3<br />

a b<br />

៤៦.ក្. ក្ចំៃួៃរិត a ៃិង b រែើមបីឲ្យអៃុរមៃ៍ g x<br />

<br />

x 2 x 1<br />

ររមាៃ<br />

<br />

g x<br />

a b<br />

<br />

x 2 1<br />

x 2<br />

រ<br />

F<br />

A<br />

2<br />

<br />

B<br />

3<br />

<br />

4 0<br />

c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

ោះទញបាៃ<br />

2<br />

c 3<br />

ចំរ ោះ x 2 ៃិង x 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 153


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រោយ<br />

ររបាៃ<br />

<br />

g x<br />

<br />

<br />

g x<br />

2<br />

3x<br />

10x5<br />

a b<br />

<br />

x 2 1<br />

<br />

<br />

2<br />

x1 x2<br />

2<br />

3x<br />

10x5<br />

<br />

x 2<br />

<br />

2<br />

a x x b x<br />

2 1 2<br />

<br />

2<br />

x1 x2<br />

<br />

2<br />

x1 x2<br />

2<br />

ax 2a b x a 2b<br />

<br />

<br />

2<br />

ax 2a b x a 2b<br />

<br />

2 2<br />

x 1 x 2 x 1 x 2<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a ៃិង b រឺ<br />

ខ. រណ<br />

<br />

I x<br />

<br />

g x dx<br />

ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />

រោយែឹងថា<br />

ែូរចនោះ<br />

I<br />

<br />

<br />

I x<br />

<br />

g x dx<br />

<br />

0 4<br />

<br />

I x<br />

<br />

a 3 ៃិង<br />

រោយែឹងថា<br />

3 4<br />

<br />

<br />

x 2 1<br />

x 2<br />

b 4<br />

I<br />

<br />

dx<br />

<br />

4<br />

3ln x 2 c<br />

x 1<br />

រ ោះ<br />

a<br />

3<br />

<br />

2a<br />

b 10<br />

<br />

a<br />

2b<br />

5<br />

<br />

ដែល<br />

0 4<br />

4<br />

3ln 0 2 4<br />

01 c <br />

4<br />

3ln x 2 3ln 2<br />

x 1<br />

<br />

៤៧.ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត a ៃិង b រែើមបីឲ្យបាៃ A x<br />

ររមាៃ<br />

<br />

A x<br />

a b<br />

<br />

x 1 1<br />

x<br />

2<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

x 1<br />

<br />

g x<br />

រ ោះ<br />

a b<br />

<br />

x 1 1<br />

រ ោះ<br />

a<br />

3<br />

<br />

b<br />

4<br />

3 4<br />

<br />

x 2 1<br />

x<br />

2<br />

c 3ln 2<br />

ចំរ ោះ<br />

x 2<br />

x 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 154


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រោយ<br />

<br />

A x<br />

<br />

x 1<br />

x 1 2<br />

ររទញបាៃ<br />

<br />

A x<br />

a b<br />

<br />

x 1 1<br />

ax b a<br />

<br />

x 1<br />

2<br />

x 1<br />

ax b a<br />

ររបាៃ <br />

x1 x1<br />

<br />

a<br />

1<br />

រ<br />

b<br />

a 1<br />

ោះ<br />

2 2<br />

a<br />

1<br />

<br />

b<br />

2<br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a ៃិង b រឺ a 1 ៃិង<br />

ខ.រណ<br />

ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

I x<br />

<br />

៤៨. ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

ររមាៃ<br />

x 0<br />

<br />

A x dx<br />

<br />

b 2<br />

2<br />

x<br />

2<br />

ដែល<br />

1 2 <br />

I x A x dx <br />

dx<br />

<br />

x 1 x 1<br />

<br />

<br />

h x<br />

Ix<br />

ៃិង<br />

2<br />

ln x1<br />

c<br />

x 1<br />

2<br />

ln x1<br />

c<br />

x 1<br />

a , b ៃិង c<br />

x 1<br />

រែើមបីឲ្យអៃុរមៃ៍<br />

2<br />

4x 7x 5<br />

a b c<br />

<br />

2 3<br />

x 2x x x x 1 1<br />

x<br />

ក្រៃោមខាងលអចស រស រៅជា<br />

<br />

A x<br />

1 2<br />

<br />

x 1 1<br />

x<br />

2<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />

<br />

<br />

<br />

h x<br />

2<br />

2<br />

4x 7x 5<br />

a b c<br />

<br />

2 3<br />

x 2x x x x 1 1<br />

x<br />

2 2<br />

1 2 <br />

2<br />

4x<br />

7x5<br />

2 3 <br />

2 1<br />

a x x b x x cx<br />

x x x x x<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត<br />

a , b ៃិង c រឺ 5 , 1<br />

<br />

<br />

2<br />

2 <br />

2<br />

x1<br />

x<br />

a b x a b c x a<br />

ac4<br />

<br />

2a b c 7<br />

<br />

a<br />

5<br />

a b ៃិង 2<br />

<br />

2<br />

c ដែល hx<br />

រ<br />

a<br />

5<br />

<br />

ោះ b<br />

1<br />

c 2<br />

5 1 2<br />

x x1 <br />

1<br />

x<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 155


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ខ.រណ k x <br />

ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />

រោយព្កាបាង<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

k x<br />

y<br />

៤៩.ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត<br />

ររមាៃ<br />

h x dx រោយែឹងថាព្កាបាង<br />

<br />

k x<br />

<br />

h x dx<br />

5 1 2<br />

<br />

<br />

x x1 1 x<br />

2<br />

<br />

y k x<br />

<br />

dx<br />

<br />

2<br />

5ln x ln 1 x c<br />

1<br />

x<br />

k x<br />

កាត់ាមចំៃុច M 2,2<br />

ររទញបាៃ <br />

<br />

ឬ<br />

h x dx<br />

mn ,<br />

2<br />

x 2 x x 1<br />

2<br />

5ln 2 ln 1 2 2<br />

1<br />

2 c <br />

2<br />

5ln x ln 1 x 4 5ln 2<br />

1<br />

x<br />

ៃិង<br />

p<br />

រែើមបីឲ្យ<br />

2<br />

x 6x 5 m nx p<br />

<br />

2<br />

x 2 x x 1<br />

ក្រៃោមខាងលអចស រស រៅជា<br />

<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត<br />

ខ.រណ<br />

mn ,<br />

ៃិង<br />

អំងរតព្កាល<br />

2<br />

x 2 x x 1<br />

កាត់ាមចំៃុច<br />

k 2 2<br />

រ ោះ c 4 5ln 2<br />

2<br />

x 6x 5 m nx p<br />

<br />

2<br />

x 2 x x 1<br />

2<br />

1 2 <br />

<br />

2<br />

x 6x5<br />

m x x x nx p<br />

<br />

2 2<br />

x 2 x x 1 x 2 x x 1<br />

p រឺ<br />

I <br />

ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />

I <br />

<br />

m<br />

3 , n 2<br />

1 2<br />

x<br />

6x5<br />

2<br />

<br />

m n x m 2n p x m 2p<br />

2<br />

x 2 x x 1<br />

mn1<br />

<br />

m 2n p 6<br />

<br />

m<br />

2p<br />

5<br />

ៃិង<br />

<br />

2<br />

0 x 2 x x 1<br />

1 2<br />

x<br />

6x5<br />

<br />

2<br />

0 x 2 x x 1<br />

dx<br />

dx<br />

p 1 ដែល<br />

រ<br />

ោះ<br />

m<br />

3<br />

<br />

n<br />

2<br />

<br />

p 1<br />

M<br />

<br />

ចំរ<br />

2<br />

x 2 x x 1<br />

2,2<br />

ោះ<br />

<br />

x 2<br />

2<br />

x 6x 5 3 2x<br />

1<br />

<br />

2<br />

x 2 x x 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 156


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៥០.ក្.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

1 2<br />

0<br />

<br />

1<br />

3 2x<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

2 <br />

x 2 x x 1<br />

0 <br />

3ln x 2 <br />

1<br />

0<br />

1<br />

<br />

<br />

0<br />

dx<br />

<br />

2<br />

x x1<br />

<br />

dx<br />

2<br />

x x1<br />

3ln 2 ln 2<br />

x x 1<br />

1 3ln 2 ln3<br />

0<br />

<br />

x 6x5<br />

I dx 3ln 2 ln 3<br />

រែ ីរវនៃ<br />

ររមាៃ អៃុរមៃ៍<br />

2<br />

x 2 x x 1<br />

f<br />

រលើ<br />

ររបាៃ រែ ីរវនៃអៃុរមៃ៍<br />

ែូរចនោះ<br />

f<br />

x<br />

<br />

ខ.រោយរព្បើសំៃួ ក្.រណ<br />

កា រណ<br />

រ<br />

<br />

<br />

f x ax bx c 1<br />

x<br />

អំងរតព្កាល<br />

ោះររព្តូវក្ំណត់ចំៃួៃរេ<br />

f<br />

2 2<br />

រឺ<br />

<br />

ក្ំណត់រលើ<br />

f x ax bx c x x ax bx c<br />

2 2 2 2<br />

1 1 <br />

2x<br />

<br />

2<br />

2 1<br />

x<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2ax b 1 x ax bx c<br />

2 2<br />

2x b1 x x ax bx c<br />

3 2<br />

3 2 2<br />

1<br />

x<br />

<br />

ax bx a c x b<br />

<br />

3 2<br />

3 2<br />

1<br />

x<br />

2<br />

1<br />

x<br />

ax a b x a c x b<br />

អំងរតព្កាល<br />

I <br />

2<br />

<br />

0<br />

2<br />

<br />

3 3 2<br />

3x 4x 3x<br />

2<br />

dx<br />

2<br />

1<br />

x<br />

3 3 2<br />

3x 4x 3x<br />

2<br />

dx ររព្តូវ ក្ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />

2<br />

0 1<br />

x<br />

a , b<br />

<br />

g x<br />

ៃិង c<br />

<br />

3 2<br />

3x 4x 3x<br />

2<br />

1<br />

x<br />

ាមសំៃួ ខាងរលើរែើមបីឲ្យ<br />

ររបាៃ f ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍ g កាលណា f x g x<br />

ចំរ ោះព្រប់ x <br />

ចំរ ោះព្រប់ x ររបាៃ<br />

<br />

<br />

3ax 3 2bx 2 2a c x b 3x 3 4x 2 3x<br />

2<br />

2<br />

<br />

1x<br />

1x<br />

2 2<br />

f<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ g<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 157


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

រហើយ <br />

f x x 2x 1 1<br />

x<br />

2 2<br />

3a<br />

3<br />

2b<br />

4<br />

<br />

2ac3<br />

<br />

b<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

a<br />

1<br />

<br />

b<br />

2<br />

<br />

c<br />

1<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

I <br />

៥១.ក្. បង្ហា ញតនមៃនៃចំៃួៃរិត<br />

3 3 2<br />

3<br />

<br />

3x 4x 3x<br />

2<br />

dx f x<br />

dx<br />

1<br />

x<br />

2<br />

0 0<br />

3 3 2<br />

3x 4x 3x<br />

2<br />

dx <br />

2<br />

0 1<br />

x<br />

a , b<br />

<br />

f<br />

<br />

2 4 2 3<br />

x 3<br />

0<br />

x 2x 1 1<br />

x<br />

<br />

2 2<br />

2 4 2 3<br />

ៃិង c ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />

<br />

<br />

0<br />

3<br />

ររមាៃ<br />

4<br />

cos cos 4 cos 2<br />

x a x b x c<br />

ក្រៃោម<br />

4<br />

cos x<br />

អចស រស រៅជា<br />

4 1<br />

cos 2x<br />

<br />

cos x <br />

2 <br />

2<br />

1 1 2cos 2 cos 2<br />

x 2<br />

<br />

<br />

4<br />

1 1 cos 4x<br />

<br />

1 2cos 2x<br />

4 <br />

2 <br />

<br />

<br />

1 1 3<br />

cos 4x cos 2x<br />

8 2 8<br />

4 1 1 3<br />

រយើងបាៃ cos x cos 4x cos 2x<br />

<br />

8 2 8<br />

ំរអយ 1 cos 4x 1 cos 2x 3 a cos 4x bcos 2x c<br />

8 2 8<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររទញបាៃ<br />

ែូរចនោះ តនមៃនៃចំៃួៃរិត<br />

a , b<br />

ៃិង c រឺ<br />

1 1 3<br />

a , b , c <br />

8 2 8<br />

1 1 3<br />

a , b , c <br />

8 2 8<br />

x<br />

<br />

ដែល<br />

4 1 1 3<br />

cos x cos 4x cos 2x<br />

<br />

8 2 8<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 158


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />

<br />

2<br />

J cos<br />

0<br />

4<br />

<br />

x dx<br />

៥២.រណ<br />

ែូរចនោះ<br />

I J<br />

J <br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

ៃិង<br />

cos<br />

<br />

<br />

2 2<br />

4<br />

1 1 3<br />

J cos xdx <br />

<br />

cos 4x cos 2x<br />

dx<br />

8 2 8<br />

4<br />

I J<br />

<br />

<br />

0 0<br />

3<br />

x dx <br />

16<br />

ួចទញ ក្អំងរតព្កាល<br />

1 1 3 <br />

sin 4x sin 2x x<br />

16 4 8 <br />

<br />

1 4 1 2 3 3<br />

sin <br />

sin <br />

.<br />

<br />

<br />

16 2 4 2 8 2 16<br />

I<br />

ៃិង J<br />

<br />

2<br />

0<br />

រយើងមាៃ<br />

រយើងបាៃ<br />

រ<br />

ោះ<br />

I <br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

cos x<br />

dx<br />

sin x<br />

cos x<br />

ៃិង<br />

J <br />

<br />

<br />

2 2<br />

0 0<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

sin<br />

cos x<br />

x<br />

sin<br />

cos x<br />

sin x<br />

I J dx <br />

dx<br />

sin x cos x<br />

sin x cos<br />

x<br />

<br />

I J<br />

<br />

2<br />

រហើយមយ៉ា ងរទៀត<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

sin x<br />

cos x dx<br />

sin x<br />

cos x<br />

1<br />

<br />

2<br />

dx<br />

2<br />

<br />

<br />

2 2<br />

0 0<br />

0<br />

<br />

<br />

dx<br />

x<br />

cos x<br />

sin x<br />

I J dx <br />

dx<br />

sin x cos x<br />

sin x cos<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

cos xsin<br />

x dx<br />

sin x<br />

cos x<br />

d(cos x sin x)<br />

sin x<br />

cos x<br />

ln sin xcos<br />

x<br />

<br />

2<br />

0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 159


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ាម 1<br />

ៃិង <br />

ែូចរៃោះ<br />

៥៣. ក្. ក្ចំៃួៃរិត a<br />

ររមាៃ<br />

រ<br />

ោះ<br />

I<br />

<br />

ln sin cos ln sin 0 cos0<br />

2 2<br />

J<br />

<br />

0 2<br />

<br />

I<br />

J <br />

2 ររបាៃព្បរ័ៃធសមីកា 2<br />

I J<br />

0<br />

<br />

I J <br />

4<br />

ៃិង b<br />

1 a b<br />

<br />

4 2 2<br />

2<br />

u u u<br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រ<br />

ោះ<br />

ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត u<br />

1<br />

2<br />

u 4<br />

a u<br />

<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a<br />

ខ. ទញរណ អំងរតព្កាល<br />

+ចំរ<br />

ោះ<br />

I <br />

1<br />

<br />

0<br />

1<br />

dx<br />

2<br />

x 4<br />

ៃិង b រឺ<br />

I <br />

ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />

1<br />

a <br />

4<br />

ៃិង<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

dx ៃិង<br />

2<br />

x 4<br />

0<br />

<br />

I J <br />

4<br />

ខុសរី<br />

2<br />

2 bu<br />

2<br />

u<br />

<br />

2<br />

2<br />

4<br />

a b u 2a 2b<br />

1<br />

b <br />

4<br />

1 1<br />

J <br />

2 2<br />

0 0<br />

u<br />

4<br />

ab0<br />

<br />

2a2b1<br />

ដែល<br />

<br />

2<br />

<br />

cos<br />

I 1 1<br />

<br />

x 4 dx <br />

<br />

u<br />

4<br />

du<br />

ៃិង 2<br />

រ<br />

ោះ<br />

1 1<br />

a , b <br />

4 4<br />

1 1 1<br />

<br />

4 4 2 4 2<br />

<br />

2<br />

u u u<br />

x<br />

x<br />

2<br />

sin 4<br />

0<br />

1 1<br />

0 0<br />

dx<br />

1 1 1 1<br />

<br />

4<br />

du du<br />

u2 4<br />

u2<br />

1 1<br />

ln u 2 ln u<br />

2<br />

4 4<br />

1 1<br />

0 0<br />

1 1<br />

<br />

4 4<br />

1<br />

ln 3<br />

4<br />

ln 1 ln 2 ln 3 ln 2 <br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 160


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

+ចំរ<br />

ោះ<br />

J <br />

<br />

2<br />

<br />

cos x<br />

<br />

2<br />

sin x 4<br />

0<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u sin x<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

+របើ x រ ោះ u 1<br />

2<br />

+របើ x 0 រ ោះ u 0<br />

រយើងបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

៥៤.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />

ររមាៃ<br />

J <br />

1<br />

<br />

0<br />

I J <br />

dx<br />

du cos xdx<br />

1<br />

du<br />

2<br />

u 4<br />

1 ln 3<br />

4<br />

a , b ៃិង c<br />

2<br />

u 1<br />

c<br />

au b <br />

2u1 2u1<br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

1<br />

ln 3<br />

4<br />

ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត u<br />

2<br />

u 1<br />

2u<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

ខុសរី<br />

2 1<br />

2u<br />

1<br />

1<br />

2<br />

au b u c<br />

2<br />

2 2<br />

au au bu b c<br />

2u<br />

1<br />

<br />

2<br />

2 2<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a ,<br />

ខ. ទញរណ អំងរតព្កាល<br />

+ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

b ៃិង c រឺ<br />

I <br />

0 2<br />

1<br />

au b a u c b<br />

<br />

2u<br />

1<br />

1 1 5<br />

a , b , c<br />

2 4 4<br />

x 1<br />

I dx ៃិង<br />

2x<br />

1<br />

0 2<br />

<br />

1<br />

x 1<br />

dx<br />

2x<br />

1<br />

2a<br />

1<br />

<br />

2ba<br />

0<br />

<br />

c<br />

b 1<br />

J <br />

0<br />

<br />

<br />

2<br />

ដែល<br />

រ<br />

x<br />

ោះ<br />

3<br />

cos<br />

dx<br />

1<br />

2sin x<br />

<br />

<br />

a <br />

<br />

b<br />

<br />

<br />

c<br />

<br />

<br />

1<br />

2<br />

1<br />

4<br />

5<br />

4<br />

2<br />

u 1 1 1 5<br />

u <br />

2u1 2 4 4 2u1<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 161


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

+ចំរ<br />

អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />

រយើងរណ<br />

ាង<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

u<br />

sin x<br />

+របើ<br />

+របើ<br />

ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

x 0<br />

J <br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

cos<br />

0 2<br />

0<br />

x 1 1 1 5 1 <br />

dx x dx<br />

2x1 2 4 4 2x1<br />

<br />

1 1<br />

0<br />

1 2 1 5<br />

x x ln 2 x 1<br />

<br />

4 4 8<br />

1<br />

1 1 5 5<br />

0 ln 3 ln 3<br />

4 4 8 8<br />

3<br />

1<br />

2sin<br />

x<br />

x<br />

dx<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

រ<br />

<br />

x <br />

2<br />

J <br />

រ<br />

ោះ<br />

រ<br />

ោះ<br />

du cos xdx<br />

u 0<br />

ោះ<br />

<br />

u 1<br />

0 3 0 2<br />

<br />

J <br />

៥៥.ក្. ក្ចំៃួៃរិត a<br />

ររមាៃ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

cos x cos x cos xdx<br />

dx <br />

12sin x<br />

<br />

12sin<br />

x<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

sin<br />

0 2<br />

<br />

1<br />

2<br />

x<br />

1<br />

2sin x<br />

3<br />

cos x 5<br />

dx ln 3<br />

1<br />

2sin x 8<br />

ៃិង b<br />

1 a b<br />

<br />

x x 1 x x 1<br />

អចស រស រៅជា<br />

<br />

cos xdx<br />

u 1 5<br />

du ln 3<br />

2u<br />

1 8<br />

<br />

ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />

1 a x 1<br />

bx<br />

<br />

x x 1 x x 1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

a b x a<br />

<br />

x x1<br />

រព្បៀរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />

<br />

ខុសរី 0<br />

a<br />

1<br />

រ<br />

a<br />

b 0<br />

ៃិង<br />

ោះ<br />

1<br />

a<br />

1<br />

<br />

b<br />

1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 162


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a ៃិង b រឺ<br />

a 1ៃិង<br />

ខ.រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ចូ រណ<br />

b 1 ដែល<br />

I <br />

3<br />

<br />

1<br />

<br />

ln x<br />

1 <br />

1 <br />

1<br />

x x 1 x x 1<br />

<br />

x 1<br />

b<br />

ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្ <br />

ាង<br />

g<br />

x<br />

<br />

f x<br />

<br />

ln<br />

1<br />

x 1 2<br />

x<br />

រ<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

ោះររបាៃ<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលរៅជា<br />

៥៦.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />

រយើងមាៃ<br />

<br />

x x<br />

ែូរចនោះ<br />

a , b<br />

1<br />

2<br />

<br />

1<br />

3<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

dx<br />

b<br />

b<br />

a <br />

a<br />

a<br />

f x g x dx f x g x f x g x dx<br />

f<br />

<br />

g x<br />

x<br />

1<br />

<br />

x<br />

1<br />

<br />

x 1<br />

3 3 3<br />

ln x ln x dx<br />

I dx <br />

<br />

2<br />

x 1 x 11<br />

x x 1<br />

1 1<br />

<br />

<br />

3<br />

1 1 1 <br />

ln 3 4<br />

<br />

<br />

x x1 dx<br />

<br />

1<br />

1<br />

ln 3 ln x ln x<br />

1<br />

4<br />

3<br />

ln 3 ln 2<br />

4<br />

ln x 3<br />

I dx <br />

2 ln 3 ln 2<br />

x 1<br />

4<br />

ៃិង c<br />

ដែលចំរ<br />

a bx c<br />

<br />

2<br />

x x 1<br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

x x<br />

ោះព្រប់ចំៃួៃរិតមិៃសូៃយ<br />

1<br />

2<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

a x x bx c<br />

2<br />

( 1)<br />

<br />

1 ( )<br />

xx<br />

2 2<br />

ax a bx cx<br />

2<br />

xx ( 1)<br />

( )<br />

<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />

ែូចរៃោះ<br />

a1, b 1<br />

ៃិង<br />

c 0<br />

2<br />

a b x cx a<br />

2<br />

xx ( 1)<br />

ab0<br />

<br />

c<br />

0<br />

<br />

a<br />

1<br />

3<br />

1<br />

រ ោះ b 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 163


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ខ. រណ<br />

<br />

F <br />

ររមាៃ F <br />

<br />

<br />

1<br />

ួចទញ ក្តនមៃលីមីតនៃ<br />

<br />

<br />

xln<br />

x<br />

x<br />

2<br />

<br />

1<br />

ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

ាង f x ln<br />

g<br />

x<br />

<br />

រយើងបាៃ<br />

2<br />

dx<br />

x រ ោះររបាៃ<br />

x<br />

2<br />

x 1 2<br />

F<br />

<br />

រ ោះររបាៃ<br />

ែូរចនោះ F <br />

៥៧.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />

រយើងមាៃ<br />

<br />

<br />

a , b<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

F <br />

<br />

កាលណា ខិតរៅជិត 0<br />

b<br />

<br />

f x g x dx f x g x f x g x dx<br />

f<br />

x<br />

រ ោះររបាៃ gx<br />

1<br />

<br />

<br />

xln<br />

x<br />

2<br />

<br />

x<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

F<br />

dx<br />

<br />

0 0<br />

<br />

1<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

2 x 1<br />

<br />

1<br />

ln x 1<br />

<br />

2<br />

<br />

2 2<br />

2 x 1 x x 1<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

a<br />

dx<br />

1<br />

1<br />

ln x<br />

1 1<br />

x<br />

2<br />

2<br />

x 2<br />

<br />

x x 1<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

2 1<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

ln x 1<br />

1 2 <br />

ln x ln x 1<br />

2 <br />

2 x 1<br />

2 2 <br />

<br />

ln ln 2 1 <br />

2<br />

ln <br />

2<br />

1<br />

4 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2 1<br />

b<br />

<br />

a<br />

1<br />

<br />

2<br />

ln 1<br />

2 2<br />

ln ln 2 ln 1 ln<br />

<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

ln <br />

ln<br />

2<br />

2<br />

1<br />

4 4 2<br />

<br />

<br />

2<br />

1 1 1 1<br />

<br />

lim F limln <br />

ln<br />

2<br />

2<br />

1<br />

4 4 2<br />

<br />

<br />

<br />

ln <br />

ln<br />

2<br />

2<br />

1<br />

4 4 2<br />

<br />

2<br />

1 1 1 1<br />

2<br />

1 1 1 1<br />

ៃិង c ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x ខុសរី 1<br />

3 2<br />

x 3x x 2 d<br />

ax bx c <br />

1x<br />

1x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រហើយ lim F <br />

<br />

0<br />

ព្រប់ចំៃួៃរិត x ខុសរី 1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 164


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

ែូចរៃោះ<br />

3 2<br />

x 3x x<br />

1<br />

x<br />

<br />

ax 2 1 x bx 1 x c 1 x d<br />

<br />

1<br />

x<br />

<br />

2 3 2<br />

ax ax bx bx c cx d<br />

<br />

1<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

x<br />

ax 3 a b x 2 ( b c)<br />

x c d<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />

a<br />

1<br />

a<br />

b 3<br />

<br />

b<br />

c 1<br />

<br />

cd<br />

0<br />

a 1 , b 2 , c 1<br />

ៃិង<br />

រ<br />

ោះ<br />

d 1ដែល<br />

ខ. រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ រណ<br />

a<br />

1<br />

b<br />

2<br />

<br />

c<br />

1<br />

<br />

d<br />

1<br />

3 2<br />

x x x<br />

<br />

2<br />

x 2x<br />

1 <br />

3 1<br />

1x<br />

1x<br />

1<br />

2<br />

2<br />

I 3x 6x 1 ln x dx<br />

<br />

0<br />

<br />

b<br />

b<br />

a <br />

a<br />

a<br />

b<br />

ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្ <br />

ាង f x ln 1<br />

x<br />

<br />

2<br />

g x 3x 6x<br />

1<br />

រយើងបាៃ<br />

រ ោះររបាៃ<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

<br />

f x g x dx f x g x f x g x dx<br />

1<br />

f x<br />

<br />

1 x<br />

3 2<br />

3<br />

g x x x x<br />

1<br />

2<br />

2<br />

3 6 1 ln 1<br />

<br />

0<br />

ែូចរៃោះ<br />

1<br />

2<br />

2<br />

3 6 1 ln 1<br />

<br />

0<br />

x x x dx<br />

1<br />

1 2 3 2<br />

3 2 2<br />

3<br />

x x x<br />

x 3x x ln(1 x)<br />

<br />

dx<br />

0<br />

<br />

1<br />

x<br />

1<br />

2<br />

ln 2 <br />

1 <br />

<br />

8<br />

<br />

1<br />

x <br />

0<br />

2<br />

x 2x 1 dx<br />

1<br />

3 2<br />

2<br />

<br />

ln 2 x<br />

x x ln 1<br />

x <br />

8 3<br />

<br />

ln 2 1 1 1 1 <br />

ln<br />

8<br />

<br />

24 4 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

7ln 2 17<br />

<br />

8 24<br />

0<br />

0<br />

7ln 2 17<br />

<br />

8 24<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 165


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៥៨.ក្. ក្ចំៃួៃរិត A ៃិង B ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិតវិជជមាៃ t ោច់ខាត<br />

រយើងមាៃ<br />

អចស រស រៅជា<br />

1 A B<br />

<br />

t 1t t 1t<br />

<br />

<br />

1 ( A B)<br />

t A<br />

<br />

t 1 t t(1 t)<br />

<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររទញបាៃ<br />

ែូចរៃោះ<br />

A 1<br />

ៃិង<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

រយើងបាៃ<br />

+ទញ ក្<br />

2 2<br />

<br />

<br />

1 1<br />

<br />

B 1<br />

J <br />

2<br />

<br />

dt<br />

t t<br />

<br />

ដែល<br />

1<br />

1<br />

dt 1 1 <br />

dt<br />

t 1t t 1t<br />

<br />

1<br />

ln t ln 1<br />

t<br />

2ln 2 ln 3<br />

<br />

<br />

2<br />

ln 1<br />

t<br />

I dt<br />

2<br />

t<br />

2<br />

1<br />

<br />

<br />

AB0<br />

<br />

A<br />

1<br />

1 <br />

1 <br />

1<br />

t 1t t 1t<br />

<br />

រ ោះ<br />

B 1<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

ាង<br />

g<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

f t<br />

1<br />

t<br />

x <br />

2<br />

រយើងបាៃ<br />

b<br />

<br />

f t g t dt f t g t f t g t dt<br />

ln 1t<br />

រ<br />

ោះ ររបាៃ<br />

<br />

<br />

ln 1<br />

t dt<br />

រ ោះររបាៃ<br />

<br />

g t<br />

1<br />

<br />

t<br />

2<br />

2<br />

<br />

t<br />

1<br />

a<br />

b<br />

<br />

a<br />

1<br />

ft<br />

<br />

t 1<br />

2 2<br />

1 dt<br />

ln 1 t <br />

t<br />

<br />

t 1 t<br />

2 1<br />

1 1<br />

1<br />

ln 1 t J<br />

t<br />

1 <br />

<br />

<br />

.ln 3 ln 2 2ln 2 ln 3<br />

2 <br />

<br />

3ln 3<br />

ែូចរៃោះ I 3ln 2 <br />

2<br />

៥៩.ក្. ក្ចំៃួៃរិត a ៃិង b ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />

<br />

<br />

3ln 3<br />

3ln 2 <br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 166


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររមាៃ<br />

ក្រៃោម<br />

<br />

<br />

2 2<br />

a bcos4x sin x cos x<br />

sin<br />

xcos<br />

2 2<br />

x<br />

អចស រស រៅជា<br />

sin<br />

x<br />

cos<br />

2 2<br />

x<br />

1cos 2x1cos 2x<br />

<br />

2 2 <br />

1 1 cos<br />

2<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

x<br />

1 1 cos 4x<br />

<br />

1<br />

2 <br />

2 <br />

<br />

1 1<br />

cos 4 x<br />

4 4<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />

ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

ៃិង b រឺ<br />

1<br />

a <br />

4<br />

<br />

ៃិង<br />

<br />

<br />

1<br />

b <br />

4<br />

<br />

A sin<br />

2 x cos<br />

2 x dx<br />

<br />

ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />

0<br />

<br />

<br />

2<br />

2 2 1 1<br />

sin cos cos 4<br />

0 0<br />

1<br />

a <br />

4<br />

ដែល<br />

<br />

A x<br />

xdx xdx<br />

4 4<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

<br />

A sin<br />

2 x cos<br />

2 x dx<br />

<br />

0<br />

<br />

៦០.ក្.រនៃៀងផ្ទៃ ត់ថា ចំរ ោះព្រប់ x<br />

ររមាៃ<br />

f<br />

x<br />

2<br />

2x<br />

<br />

2<br />

x 1<br />

1 1 <br />

<br />

x<br />

sin 4 x<br />

4 16 <br />

<br />

2<br />

0<br />

ៃិង<br />

1<br />

b <br />

4<br />

1 4 1 1<br />

sin <br />

<br />

.0 sin 0<br />

<br />

8 16 2 4 16 8<br />

<br />

ធាតុនៃ D<br />

ក្ំៃត់រលើ<br />

D <br />

ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

f<br />

x<br />

2<br />

2x<br />

<br />

2<br />

x 1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

8<br />

2<br />

2x<br />

2 2<br />

x<br />

2<br />

1<br />

ររមាៃ<br />

f<br />

{ 1,1}<br />

2<br />

2( x 1) 2<br />

x<br />

<br />

1 x 1<br />

2 2<br />

x<br />

x x x<br />

2 2 1 1<br />

sin cos cos 4<br />

4 4<br />

1 1<br />

2 <br />

x1 x1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 167


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

x1<br />

x1<br />

2<br />

<br />

2<br />

x 1<br />

x1 x1<br />

2 <br />

2 2<br />

x 1 x 1<br />

1 1<br />

2 <br />

x1 x1<br />

ែូរចនោះ ចំរ ោះព្រប់ x ធាតុនៃ D ររបាៃ<br />

f<br />

x<br />

1 1<br />

2 <br />

x1 x1<br />

2<br />

ខ. រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ ចូ រណ <br />

ln 1<br />

ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

ាង<br />

g<br />

2<br />

ln 1<br />

f x x<br />

x 1<br />

ររបាៃ<br />

ែូចរៃោះ<br />

៦១.ក្. រណ<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

រ<br />

g x<br />

b<br />

<br />

a<br />

3<br />

I x dx<br />

2<br />

b<br />

<br />

f x g x dx f x g x f x g x dx<br />

ោះររបាៃ<br />

x<br />

f<br />

2x<br />

<br />

x 1<br />

<br />

2<br />

3 3<br />

3<br />

2<br />

<br />

2 2 2x<br />

ln x 1dx x ln x 1<br />

<br />

dx<br />

2<br />

x 1<br />

2<br />

2 2<br />

3<br />

2<br />

ln x 1<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

3<br />

3<br />

2 <br />

ln 1 2<br />

2<br />

2<br />

x x 1 1 <br />

<br />

x1 x1<br />

dx<br />

<br />

x x x 3 2<br />

9ln 2 2ln 3 2 ln 1 ln 1<br />

2 1 <br />

9ln 2 2ln 3 6 ln 4 ln<br />

4<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

10ln 2 3ln 3<br />

2<br />

dx 10ln 2 3ln 3 2<br />

I 2<br />

<br />

a<br />

b<br />

<br />

a<br />

ររមាៃ<br />

I<br />

1<br />

រយើងបាៃ<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

cos x<br />

dx<br />

1<br />

2sin x<br />

ៃិង<br />

<br />

<br />

2 2<br />

0 0<br />

I <br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

sin 2x<br />

dx<br />

1<br />

2sin x<br />

cos x sin 2x<br />

I2<br />

dx dx<br />

12sin x<br />

<br />

12sin<br />

x<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

cos x<br />

sin 2x dx<br />

1<br />

2sin x<br />

ៃិង<br />

I I I<br />

1 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 168


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ខ. រណ<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

0<br />

cos x(1 2sin x)<br />

dx<br />

1<br />

2sin x<br />

sin 1<br />

x <br />

cos xdx<br />

2<br />

0<br />

ែូរចនោះ<br />

I 1<br />

I2 1<br />

ររបាៃ<br />

I<br />

1<br />

ែូរចនោះ<br />

រ. ទញ ក្<br />

<br />

I<br />

I<br />

<br />

2<br />

<br />

រយើងទញបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

1<br />

0<br />

I <br />

cos x<br />

1<br />

2sin<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

dx<br />

x<br />

<br />

2<br />

0<br />

<br />

1 d 1<br />

2sin x<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

2sin x<br />

1<br />

ln 1 2sin x<br />

2<br />

cos x 1<br />

dx ln 3<br />

1<br />

2sin x 2<br />

1<br />

I I2 I1<br />

1<br />

ln 3<br />

2<br />

sin 2x<br />

1<br />

dx 1<br />

ln3<br />

1<br />

2sin x 2<br />

<br />

<br />

2<br />

0<br />

1<br />

ln 3<br />

2<br />

៦២.ក្. រនៃៀងផ្ទៃ ត់ថា ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរត់ធ មជាតិមិៃសូៃយ m<br />

1 sin<br />

m<br />

mx <br />

F x<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

cos mx<br />

f x<br />

កាលណា Fx f x<br />

ររបាៃ<br />

1 sin mx m<br />

<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

<br />

cos mx<br />

<br />

1<br />

m<br />

ររបាៃ F x mx cosmx<br />

cos mx<br />

1 sin<br />

m<br />

ែូរចនោះ F x mx <br />

<br />

f x<br />

ជាព្រីមីទីវនៃ<br />

<br />

f x<br />

ខ.រណ A B ៃិង A B ួចទញ ក្ A ៃិង B<br />

cos mx<br />

ររមាៃ<br />

<br />

cos 2 cos 4<br />

<br />

A x x dx<br />

<br />

<br />

ៃិង sin 2 sin 4<br />

<br />

B x x dx<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 169


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

រយើងបាៃ<br />

<br />

រ.រណ<br />

<br />

<br />

A B cos 2xcos 4xdx sin 2xsin 4xdx<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

(cos 2xcos 4x sin 2xsin 4 x)<br />

dx<br />

<br />

<br />

cos 2x<br />

4x dx<br />

<br />

<br />

cos 2x dx<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

sin 2 x 0<br />

2<br />

<br />

រយើងបាៃ A B cos 2xcos 4xdx sin 2xsin 4xdx<br />

ទញ ក្ A ៃិង B<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

(cos 2xcos 4x sin 2xsin 4 x)<br />

dx<br />

<br />

<br />

cos 2x<br />

4x dx<br />

<br />

<br />

cos 6x dx<br />

<br />

ាមសព្មាយខាងរលើរយើងបាៃ<br />

C<br />

ៃិង D<br />

<br />

1<br />

sin 6 x 0<br />

6<br />

<br />

AB0<br />

<br />

A<br />

B 0<br />

ររបាៃ<br />

A<br />

B0<br />

ររមាៃ<br />

ក្ ណី<br />

<br />

cos<br />

<br />

C cos px qx dx<br />

<br />

p<br />

q<br />

ររបាៃ<br />

ៃិង<br />

<br />

sin<br />

<br />

D sin px qx dx<br />

<br />

<br />

C <br />

<br />

<br />

D <br />

<br />

2<br />

cos<br />

2<br />

sin<br />

<br />

pxdx<br />

1<br />

cos 2 px dx<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 170<br />

<br />

px dx<br />

<br />

<br />

<br />

ក្ ណី p<br />

qរយើងបាៃ<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

cos 2x dx<br />

2<br />

1 1<br />

x sin 2 px <br />

2 4p<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 1<br />

x sin 2 px <br />

2 4p<br />

C D cos( px)cos( qx) dx sin( px)sin( qx)<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

(cos( px)cos( qx) sin( px)sin( qx))<br />

dx


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ៃិង<br />

៦៣.រណ<br />

<br />

cos( px qx)<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 <br />

sin p q x 0<br />

p<br />

q<br />

<br />

<br />

<br />

C D cos( px)cos( qx) dx sin( px)sin( qx)<br />

dx<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រយើងទញបាៃ<br />

ែូចរៃោះ<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

<br />

(cos( px)cos( qx) sin( px)sin( qx))<br />

dx<br />

cos( px qx)<br />

dx<br />

CD0<br />

<br />

C<br />

D 0<br />

, p<br />

q<br />

C D<br />

0 , p<br />

q<br />

<br />

<br />

1 sin p q x 0<br />

p<br />

q<br />

រ ោះ C D<br />

0<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

1<br />

2 <br />

<br />

l : 4x 3y<br />

27 0<br />

<br />

l : 3x 4y<br />

11 0<br />

<br />

l3<br />

: x 7y<br />

13 0<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាងប ៃ ត់ <br />

<br />

l2 : 3x 4y<br />

11 0<br />

<br />

<br />

3x<br />

4y<br />

11 1<br />

4x3y<br />

27 2<br />

4y<br />

11<br />

1 : x <br />

3<br />

ររបាៃ<br />

A<br />

<br />

3,5<br />

<br />

ជំៃួសចូលក្ន ុង <br />

ជាចំៃុចព្បសរវ<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាងប ៃ ត់ <br />

<br />

ររបាៃ<br />

<br />

<br />

4x3y<br />

27 1<br />

x 7y<br />

13 2<br />

2 : x13 7y<br />

ជំៃួសចូលក្ន<br />

<br />

<br />

4 13 7y<br />

3y<br />

27<br />

ររបាៃ B 6,1<br />

ជាចំៃុចព្បសរវ<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាងប ៃ ត់ <br />

<br />

<br />

l2 : 3x 4y<br />

11 0<br />

2<br />

ររបាៃ<br />

l1 : 4x 3y<br />

27 0<br />

រ<br />

1<br />

ុង <br />

ោះ<br />

<br />

ៃិង <br />

<br />

l1 : 4x 3y<br />

27 0<br />

4y<br />

11<br />

4 3y<br />

27<br />

3<br />

ៃិង <br />

x <br />

y 1 រហើយ 6<br />

l3 : x 7y<br />

13 0 ៃិង<br />

ជារូចរមៃ ើយនៃព្បរ័ៃធសមីកា<br />

l3 : x 7y<br />

13 0<br />

រ<br />

ជារូចរមៃ ើយនៃព្បរ័ៃធសមីកា<br />

ោះ<br />

y 5 រហើយ<br />

x 3<br />

ជារូចរមៃ ើយនៃព្បរ័ៃធសមីកា<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 171


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររបាៃ<br />

<br />

x7y<br />

13 1<br />

3x 4y<br />

11 2<br />

<br />

1 : x137<br />

y<br />

<br />

<br />

<br />

3 13 7y<br />

4y 11<br />

ជំៃួសចូលក្ន ុង <br />

+ព្កាបាងប ៃ ត់ទំងបីបង្ហា ញខាងារ ំ<br />

1<br />

រ ោះ y 2 រហើយ<br />

ររបាៃននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយប ៃ ត់ទំងបីរឺ<br />

x 1 រ ោះ<br />

<br />

C 1,2<br />

<br />

ជាចំៃុចព្បសរវ<br />

S S S<br />

3<br />

1<br />

1 2<br />

3x<br />

11 x 13 <br />

dx<br />

4 4 7 7<br />

<br />

<br />

3 6<br />

25 25 25 50 <br />

x dx x dx<br />

28 28<br />

<br />

21 7 <br />

1 3<br />

3<br />

2 2<br />

6<br />

25 x 25 x 50<br />

x<br />

x<br />

28 2 21 2 7<br />

1<br />

50 74 25<br />

<br />

7 14 2<br />

ឯក្ាននៃ<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយប ៃ ត់ទំងបីរឺ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

C y x x <br />

<br />

l : x y 5<br />

2<br />

: 2 3<br />

C : y x 2x<br />

3<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង 2<br />

3<br />

6<br />

4x<br />

x 13 <br />

<br />

9 dx<br />

3 7 7<br />

<br />

<br />

3<br />

S <br />

25<br />

2<br />

ឯក្ាននៃ<br />

l x y<br />

<br />

ៃិង : 5<br />

ឬ<br />

y x<br />

5<br />

រឺ<br />

2<br />

x x x<br />

2 3 5<br />

ឬ<br />

រ<br />

x<br />

2<br />

ោះ<br />

x 2<br />

0<br />

<br />

A 1,6<br />

<br />

រ ោះ<br />

ៃិង<br />

B<br />

<br />

x 1 ឬ<br />

2,3<br />

<br />

x 2<br />

ជាចំៃុចព្បសរវ<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

2<br />

<br />

1<br />

2<br />

5 2 3<br />

S x x x <br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

2<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

x x 2 dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 172


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៦៤.រណ<br />

2<br />

3 2<br />

x x 2x<br />

1 1 9<br />

<br />

3 2 2<br />

1<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

ឯក្ាននៃ<br />

9<br />

S ឯក្ាននៃ<br />

2<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

ររបាៃ<br />

<br />

l1<br />

<br />

<br />

2<br />

C : y 1x<br />

<br />

: x<br />

0<br />

<br />

l2<br />

: y 2x<br />

1<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />

2<br />

<br />

<br />

A 0, 1<br />

ៃិង<br />

C : y 1x<br />

B <br />

<br />

<br />

3 1 ,<br />

4 2<br />

<br />

<br />

<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ៃិង <br />

ជាចំៃុចព្បសរវ<br />

l2 : y 2x<br />

1<br />

រឺ 2<br />

2x1 1<br />

x<br />

រ<br />

ោះ<br />

x 0<br />

ឬ<br />

3<br />

x <br />

4<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

S S S<br />

3<br />

4<br />

<br />

0<br />

1 2<br />

<br />

<br />

2x 1 1 x <br />

<br />

<br />

<br />

dx 2 1<br />

xdx<br />

1<br />

<br />

3<br />

4<br />

3 1<br />

3 4<br />

3<br />

2 2 4<br />

2 2<br />

1 1<br />

<br />

x x x x<br />

3 3<br />

9<br />

<br />

16<br />

ឯក្ាននៃ<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

ខ.<br />

<br />

:<br />

C : y x<br />

<br />

2<br />

l x y<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង<br />

A 0,0<br />

ៃិង B 1,1<br />

<br />

2<br />

y<br />

x<br />

2<br />

0<br />

ៃិង<br />

9<br />

S <br />

16<br />

x<br />

y<br />

2<br />

រឺ<br />

3<br />

4<br />

ឯក្ាននៃ<br />

+ ព្កាបនៃអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

1<br />

3<br />

2 2 3<br />

2 1 1<br />

S x x dx x x <br />

3 3 3<br />

0<br />

ឯក្ាននៃ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 173


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

៦៥.រណ<br />

រឺ<br />

1<br />

S <br />

3<br />

ឯក្ាននៃ<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

1<br />

2 <br />

l<br />

C : y x<br />

C : y 4 3x<br />

<br />

: y 0<br />

<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />

43x x<br />

រ<br />

<br />

C1 : y x<br />

ៃិង<br />

C2 : y 4 3x<br />

C2 : y 4 3x<br />

ោះ<br />

x 1 រហើយ<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

1 2<br />

4<br />

1 3<br />

<br />

0 1<br />

: 0<br />

l<br />

y 1<br />

y<br />

ៃិង : 0<br />

ៃិង <br />

S S S xdx 4<br />

3xdx<br />

<br />

<br />

<br />

1 4<br />

3 1 3<br />

2 2<br />

2<br />

4 3<br />

3 x x<br />

8<br />

<br />

9<br />

0<br />

ឯក្ាងននៃ<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

C : y 4x<br />

2<br />

1<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

C : y x 2x<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង 2<br />

<br />

2<br />

C2 : y x 2x<br />

រឺ<br />

ឬ<br />

រ<br />

x<br />

2<br />

ោះ<br />

1<br />

C1 : y 4x<br />

2 2<br />

4 2<br />

x x x<br />

x 2 0 រ ោះ x 1 ឬ<br />

<br />

A 1,3<br />

<br />

ៃិង<br />

<br />

2,0<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

B<br />

<br />

8<br />

S <br />

9<br />

ៃិង<br />

x 2<br />

ជាចំៃុចព្បសរវ<br />

រឺ <br />

0,0<br />

l y រឺ A 4 ,0<br />

C y x<br />

1<br />

:<br />

ឯក្ាននៃ<br />

3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 174


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

2<br />

2 2<br />

2<br />

<br />

4 2 <br />

2 2 4<br />

S <br />

<br />

x x x<br />

<br />

dx<br />

1<br />

2<br />

1<br />

x x dx<br />

2<br />

2 3 2<br />

<br />

4 9<br />

3 x x x 1<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ S 9 ឯក្ាននៃ<br />

ឯក្ាងននៃ<br />

៦៦.រណ<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

3 x 1<br />

C1<br />

: y <br />

<br />

x 2<br />

2<br />

y 1<br />

C2<br />

: x<br />

y 1<br />

l1 : x 3 , l2<br />

: x 5<br />

<br />

<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />

<br />

ឬ<br />

រ<br />

C<br />

2<br />

<br />

<br />

2 y 1<br />

: x<br />

y 1<br />

x 2<br />

y រឺ<br />

x 2<br />

ោះ<br />

A <br />

<br />

<br />

5 ,9<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

C<br />

រឺ<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

3 x 1<br />

: y<br />

x 2<br />

3 x 1 x 2<br />

<br />

x2 x2<br />

ជាចំៃុចព្បសរវ<br />

ឬ<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

<br />

ៃិង<br />

5<br />

x <br />

2<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

<br />

<br />

5 3 x 1 x2<br />

5<br />

2x5<br />

S <br />

dx dx<br />

x 2 x 2<br />

<br />

x 2<br />

3<br />

3<br />

5<br />

1 <br />

2 2 ln 2<br />

x 2 dx x x <br />

<br />

3<br />

<br />

4 ln 3<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

C1<br />

y x x <br />

<br />

4<br />

C2<br />

: y1<br />

<br />

x 1<br />

2<br />

: 2 5 3<br />

ឯក្ាននៃ<br />

S 4 ln 3<br />

ឯក្ាននៃ<br />

C1 : y 2x 5x<br />

3 ៃិង<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />

2<br />

5<br />

3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 175


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៦៧.រណ<br />

<br />

រឺ<br />

រ<br />

រ<br />

C<br />

2<br />

<br />

4<br />

: y1<br />

x 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 176<br />

ឬ<br />

x<br />

<br />

2x<br />

5x 3 <br />

x 1<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

2 3<br />

x 0<br />

A<br />

<br />

0,3<br />

ចំៃុចព្បសរវ<br />

<br />

ឬ<br />

,<br />

3<br />

x <br />

2<br />

x<br />

3<br />

y <br />

x 1<br />

ឬ<br />

ឬ<br />

3 9<br />

B <br />

<br />

, <br />

<br />

<br />

2 4<br />

<br />

x x x <br />

x 3<br />

ៃិង<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

<br />

<br />

2<br />

2 3 9 0<br />

C<br />

<br />

3,0<br />

3<br />

2 x<br />

3 <br />

S 2x 5x 3<br />

dx<br />

<br />

<br />

x 1<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

3<br />

2 <br />

2 5 3 1<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

ជា<br />

4 <br />

x x dx<br />

x 1<br />

<br />

<br />

3<br />

2<br />

2 5 4 <br />

4 <br />

<br />

x x dx<br />

x 1<br />

<br />

0<br />

3<br />

2 3 5 2<br />

33<br />

x x 4x ln x 1 2ln 2 ឯក្ាននៃ<br />

3 2 2<br />

ែូចរៃោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាប រឺ<br />

0<br />

<br />

<br />

33<br />

S 2ln 2<br />

2<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

4<br />

C1<br />

:3<br />

y <br />

<br />

x 2<br />

<br />

3<br />

C2<br />

y x x <br />

<br />

2<br />

2<br />

: 1<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />

ៃិង 2<br />

C<br />

3<br />

C2<br />

: y x x 1<br />

2<br />

3x<br />

2 3<br />

x 2 2<br />

<br />

2<br />

x x <br />

1<br />

រ ោះ x 0 ឬ x 2 ឬ<br />

រហើយ A 0,1<br />

, 2,2<br />

1<br />

4<br />

:3 y <br />

x 2<br />

រឺ<br />

ឬ x x 2 x <br />

ឬ<br />

2 10 0<br />

5<br />

x <br />

2<br />

B ៃិង<br />

5<br />

C <br />

<br />

,11 <br />

2 <br />

3x<br />

2<br />

y <br />

x 2<br />

<br />

ឯក្ាននៃ


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ជាចំៃុចព្បសរវ<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

2<br />

3x<br />

2 2 3 <br />

S x x 1<br />

dx<br />

<br />

0<br />

<br />

x 2 2<br />

<br />

<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

ខ.<br />

+របើ<br />

+របើ<br />

1<br />

2 <br />

l<br />

C : y x 1<br />

<br />

x<br />

C : y e<br />

<br />

<br />

<br />

: x 1<br />

2<br />

4 2 3 <br />

<br />

3 1<br />

x 2 2 <br />

0 <br />

x x dx<br />

2<br />

3 2<br />

1 3<br />

2x 4ln x 2 x x<br />

3 4<br />

13<br />

4ln 2<br />

2<br />

<br />

13<br />

S 4ln 2<br />

2<br />

x 1 រ ោះ ព្កាបគ្នម ៃចំៃុចព្បសរវ(រមើល ូប)<br />

x 1 រ ោះ ព្កាបមាៃចំៃុចព្បសរវព្តង់<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

A<br />

<br />

<br />

0,1<br />

ឯក្ាននៃ<br />

<br />

ឯក្ាននៃ<br />

0<br />

៦៨.រណ<br />

1<br />

<br />

0<br />

<br />

x<br />

S <br />

e x 1<br />

<br />

dx<br />

1<br />

<br />

0<br />

<br />

x<br />

e x 1<br />

dx<br />

<br />

<br />

1<br />

x 2<br />

e x x e<br />

1 3<br />

<br />

2 2<br />

0<br />

ឯក្ាននៃ<br />

3<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ S e ឯក្ាននៃ<br />

2<br />

ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

C : y cos 2 x , y 0<br />

<br />

1<br />

<br />

l1 : x , l2<br />

: x <br />

<br />

<br />

6 8<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 177


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

8<br />

S <br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

cos 2x dx<br />

1<br />

sin 2 x<br />

2<br />

<br />

8 6<br />

<br />

<br />

3<br />

2<br />

4<br />

ឯក្ាននៃ<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

S <br />

ខ.<br />

3<br />

2<br />

4<br />

ឯក្ាននៃ<br />

<br />

3<br />

C1<br />

: y cos x, y , y 0<br />

2<br />

l<br />

: x 1, x 0<br />

+ចំៃុចព្បសរវ វាង<br />

cos<br />

<br />

x <br />

3<br />

2<br />

រ<br />

ោះ<br />

y <br />

3<br />

2<br />

<br />

x <br />

6<br />

ៃិង<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

y<br />

cos x<br />

រឺ<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

<br />

6<br />

0<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

6<br />

<br />

S cos x dx cos x dx<br />

<br />

6<br />

x sin x 1<br />

sin <br />

0<br />

<br />

6<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />

៦៩. ក្. រោោះស្រាយសមីកា<br />

+សមីកា មាៃៃ័យលុោះព្ាដត<br />

+សមីកា អចស រស រៅជា<br />

sin 1<br />

ឯក្ាននៃ<br />

S sin 1<br />

x<br />

2 <br />

8t t 4dt<br />

<br />

1 <br />

x1<br />

ឯក្ាននៃ<br />

28 1.5x<br />

1<br />

3 log x 1<br />

x<br />

10<br />

<br />

x<br />

1 1<br />

x<br />

2 x<br />

8t t 4dt<br />

<br />

1<br />

1 <br />

x1<br />

ឬ<br />

28 1.5 1<br />

3 log 2<br />

x 1<br />

x<br />

3 2 <br />

t t t x<br />

8 14<br />

<br />

4 21.5 1<br />

3 3 <br />

<br />

1<br />

3 2<br />

8x 14x 3x<br />

0<br />

<br />

x<br />

1<br />

<br />

x<br />

0<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 178


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ឬ<br />

រព្ ោះ x 0<br />

2<br />

8x<br />

14x<br />

3 0<br />

15<br />

រោយ<br />

ែូរចនោះ សមីកា មាៃឬស<br />

ខ. ក្តនមៃនៃចំៃួៃវិជជមាៃ a<br />

សមីកា អចស រស រៅជា<br />

x 1 រ ោះ<br />

x <br />

7 15<br />

8<br />

x <br />

ដែលរនៃៀងផ្ទៃ ត់<br />

ឬ<br />

ែូរចនោះ តនមៃនៃចំៃួៃវិជជមាៃ a<br />

រ<br />

7 15<br />

8<br />

a<br />

<br />

3 2<br />

a<br />

3<br />

x 2x 5x a 2<br />

0<br />

3 2 3<br />

a 2a 5a a 2<br />

ោះ<br />

2<br />

2a<br />

5a 2 0<br />

រឺ<br />

1<br />

a <br />

2<br />

1<br />

a <br />

2<br />

៧០.ក្. ក្តនមៃទំងអស់នៃ រៅចរ ៃ ោះ <br />

សមីកា អចស រស រៅជា<br />

ាម <br />

1<br />

0,2<br />

,<br />

,<br />

0<br />

2 3<br />

3x 4x 5 dx a 2<br />

a 2<br />

,<br />

a 2<br />

9<br />

រហើយរនៃៀងផ្ទៃ ត់សមភារ<br />

x <br />

cos sin 2<br />

<br />

<br />

cos cos <br />

sin 2<br />

2 <br />

<br />

<br />

<br />

2sin cos cos 0<br />

ទញបាៃ<br />

<br />

<br />

cos 2sin 1 0<br />

<br />

<br />

cos 0<br />

<br />

2sin 1 0<br />

2<br />

<br />

ឬ<br />

<br />

<br />

k<br />

, k<br />

2<br />

<br />

1<br />

sin 1<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

sin <br />

sin<br />

<br />

4 ឬ <br />

k<br />

4<br />

, k <br />

5<br />

2k 2k<br />

4 4<br />

5 3 7<br />

0, ររទញបាៃ <br />

, , ,<br />

<br />

2 4 2 4 <br />

5 3 7<br />

0, ររបាៃ <br />

, , ,<br />

<br />

2 4 2 4 <br />

រោយ <br />

ែូរចនោះ <br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

xdx<br />

<br />

sin sin 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 179


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ខ. ក្តនមៃទំងអស់នៃ a ដែលរនៃៀងផ្ទៃ ត់វិសមភារ<br />

ចំរ ោះ<br />

a 0<br />

វិសមីកា អចស រស រៅជា<br />

a<br />

1 3 1 <br />

x 1 dx 4<br />

a<br />

<br />

2<br />

<br />

x <br />

0<br />

1 3 2 3 1<br />

2 2<br />

x x 2x<br />

4<br />

a<br />

<br />

<br />

2 3<br />

<br />

0<br />

1 3<br />

ឬ a 2<br />

a 2 a 4<br />

a<br />

ឬ<br />

a a 6<br />

0<br />

a<br />

<br />

ាង t a<br />

ដែល<br />

a 0<br />

ររបាៃ<br />

t<br />

2<br />

t<br />

6<br />

0<br />

រ<br />

ោះ<br />

0t<br />

2<br />

ឬ 0 4<br />

a<br />

<br />

៧១.ក្.បង្ហា ញថា<br />

ព្តូវក្ំណត់<br />

ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

x 2<br />

មយ៉ា ងរទៀត<br />

ររបាៃ<br />

f<br />

<br />

ែូរចនោះ តនមៃនៃ a<br />

រឺ<br />

0a<br />

4<br />

f អចស រស រព្កាមទព្មង់<br />

<br />

f x ax b <br />

c<br />

x<br />

2 2<br />

<br />

f x ax b <br />

អៃុរមៃ៍ខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

x<br />

<br />

3 2<br />

x x x<br />

<br />

3 2<br />

x x x<br />

<br />

<br />

<br />

8 8<br />

x 2<br />

f x ax b <br />

2<br />

<br />

<br />

c<br />

x<br />

2 2<br />

2<br />

4 4<br />

<br />

x 2<br />

<br />

2<br />

c<br />

x<br />

2 2<br />

ax b x x c<br />

<br />

2<br />

x 2<br />

ដែល<br />

3 2<br />

ax 4a b x 4a 4b x 4b c<br />

<br />

<br />

3 2<br />

8 8 ax 4a b x 4a 4b x 4b c<br />

<br />

2<br />

2<br />

x 2<br />

x 2<br />

រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររបាៃ<br />

a<br />

1<br />

<br />

4a<br />

b 1<br />

<br />

4a 4b 8<br />

<br />

4bc<br />

8<br />

រ<br />

a<br />

1<br />

<br />

ោះ b<br />

3<br />

<br />

c<br />

4<br />

a,<br />

b ៃិង c ជាចំៃួៃរិតដែល<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 180


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

f x x 3<br />

+សិក្ោថា ព្កាប C<br />

ាមស្រាយខាងរលើររមាៃ<br />

4<br />

2<br />

x 2<br />

ដែល a1 , b 3 ៃិង<br />

នៃអៃុរមៃ៍មាៃអសុីមតូតរព្ទត <br />

<br />

f x x 3<br />

ររអចស រស រៅជា f x x<br />

3<br />

ររបាៃ<br />

រោយ<br />

ខ.រណ<br />

<br />

<br />

lim f x x 3 lim<br />

x<br />

4<br />

lim 0<br />

x<br />

x 2 2<br />

y x<br />

ែូរចនោះ : 3<br />

ននៃ<br />

Aa <br />

x<br />

4<br />

2<br />

x 2<br />

4<br />

2<br />

x 2<br />

4<br />

x<br />

2 2<br />

រ ោះប ៃ ត់សមីកា : y x 3<br />

ជាអសុីមតូតរព្ទតនៃព្កាប C<br />

ដែលខណឌ រោយព្កាប<br />

c 4<br />

ជាអសុីមតូតរព្ទតនៃព្កាប C<br />

C , <br />

អ័ក្េក្ូអ រោរៃ ៃិង ប ៃ ត់សមីកា<br />

x<br />

a<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

0a<br />

2<br />

រិៃិតយរមើលទីាំងព្កាប C<br />

ររបាៃ<br />

f<br />

<br />

x<br />

<br />

រ ោះររបាៃ ទីាំងព្កាប C<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡា<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡា<br />

ៃិង អសុីមតូត<br />

4<br />

2<br />

x 2<br />

0<br />

ចំរ ោះ x 2 រព្ ោះ<br />

សិរតរៅខាងរព្កាមអសុីមតូត<br />

Aa ក្ំណត់រោយ<br />

<br />

a<br />

0<br />

<br />

A a y f x dx<br />

Aa រឺ<br />

+រណ ននៃរ ោះ ចំរ ោះ a <br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

a <br />

3<br />

2<br />

រ<br />

<br />

a<br />

<br />

0<br />

4<br />

x 2 2<br />

a<br />

0<br />

dx<br />

4 4<br />

2 <br />

x2 a2<br />

<br />

Aa<br />

3<br />

2<br />

ោះររបាៃ<br />

4<br />

2 a 2<br />

ឯក្ាននៃ<br />

3 4<br />

A <br />

2 10<br />

2<br />

3<br />

2<br />

2<br />

ឯក្ាននៃ<br />

4<br />

2<br />

x 2<br />

ឯក្ាននៃ<br />

0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 181


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

កាលណា a ខិតជិត 2 ខាងរឆវង<br />

រ ោះររបាៃ<br />

4 <br />

lim Aa lim 2<br />

<br />

a 2 <br />

<br />

<br />

x2 x2<br />

រព្ ោះ<br />

ែូរចនោះ ននៃមិៃដមៃជាចំៃួៃក្ំណត់រទ កាលណា a<br />

4<br />

lim <br />

a 2<br />

<br />

x2<br />

ខិតជិត 2 ខាងរឆវង<br />

៧២.ក្.រណ<br />

y<br />

3x<br />

មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលនៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបភិចាងអៃុរមៃ៍<br />

ៃិង អ័ក្េ x Ox<br />

ររបាៃ ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ខ.រណ<br />

មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់រោយ<br />

<br />

3 3<br />

<br />

2 2<br />

2<br />

<br />

V x dx x dx<br />

1 1<br />

<br />

<br />

, 1 x 2 ជុំវិញអ័ក្េ x Ox<br />

<br />

2<br />

x <br />

<br />

3x<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

23<br />

2<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរ រឺ<br />

V<br />

2<br />

1<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

<br />

23<br />

2<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលចំៃួៃ 360 ជុំវិញអ័ក្េអប់សុីសនៃននៃដែលខណឌ រោយ<br />

ព្កាបភិចាងអៃុរមៃ៍<br />

y1x<br />

2<br />

ៃិង អ័ក្េ x Ox ,<br />

ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញែូច ូបខាងារ ំ<br />

ររបាៃ មាឌនៃសូលីតក្ំៃត់រោយ<br />

V <br />

<br />

៧៣.ក្. រណ<br />

1<br />

<br />

1<br />

1<br />

<br />

1<br />

1<br />

2<br />

y dx<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

1x dx<br />

<br />

<br />

2 4<br />

1 2x x dx<br />

1<br />

1<br />

3 5<br />

x x x <br />

<br />

<br />

2 1 16<br />

3 5 ឯក្ាមាឌ<br />

15<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតរឺ<br />

1<br />

V<br />

<br />

16<br />

15<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

<br />

<br />

x 1,1<br />

មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េ x Ox<br />

<br />

<br />

នៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបភិច ាង<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 182


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អៃុរមៃ៍<br />

2<br />

2<br />

<br />

f x x<br />

ៃិង<br />

g x<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />

ាមព្កាប<br />

ខ.រណ<br />

<br />

f x g x , x<br />

0,1<br />

x<br />

រលើចរ ៃ ោះ<br />

x <br />

ររបាៃ មាឌនៃសូលីតដែលខណឌ រោយព្កាបទំងរី រឺ<br />

1<br />

2 V f x 2<br />

g x dx<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

2<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

0 <br />

<br />

2 x x dx<br />

<br />

5<br />

1<br />

5 3 x 38<br />

<br />

<br />

4x x <br />

3 5<br />

<br />

<br />

15<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតរឺ<br />

V<br />

<br />

0<br />

38<br />

15<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />

ដខេរកាងនៃអៃុរមៃ៍<br />

ែូចបាៃបង្ហា ញ<br />

<br />

<br />

y sin x<br />

2 <br />

ៃិង<br />

y<br />

x<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយដខេរកាងទំងរី រឺ<br />

4<br />

<br />

0,1<br />

<br />

<br />

<br />

y sin x<br />

2 <br />

ៃិង<br />

កាត់គ្នន ព្តង់ចំៃុច <br />

0,0<br />

y<br />

x<br />

ៃិង<br />

<br />

4<br />

<br />

A 1,1<br />

1<br />

<br />

x 4 <br />

S sin x dx<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 <br />

1<br />

cos<br />

x<br />

x<br />

2 5<br />

1 2<br />

ឯក្ាននៃ<br />

5 <br />

ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតរឺ<br />

5<br />

1<br />

0<br />

1 2<br />

V <br />

5 <br />

ឯក្ាមាឌ<br />

៧៤.ក្.រណ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប <br />

ចរ ៃ ោះ 0 x <br />

+ព្កាប<br />

C 1<br />

ៃិង C<br />

2<br />

ាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញែូច ូប<br />

C1 : y sin x 0 x <br />

ៃិង <br />

C2 : y sin 3x<br />

រៅ<br />

+ាង ជាអប់សុីសនៃចំៃុចព្បសរវ វាង<br />

ក្ន ុងចរ ៃ ោះ 0<br />

<br />

x <br />

2<br />

C 1<br />

ៃិង<br />

C 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 183


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងបាៃ<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

sin sin 3<br />

3<br />

ឬ<br />

<br />

x <br />

4<br />

រោយ<br />

3<br />

0 3<br />

<br />

2<br />

រយើងសរងកតរ ើញថា ននៃដែល សែូចក្ន ុង ូប<br />

ឆៃ ុោះគ្នន រធៀបៃឹងប ៃ ត់<br />

<br />

x <br />

2<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយដខេរកាង រឺ<br />

។<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

S 2 sin 3x sin<br />

x dx<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 184<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

sin x sin 3x dx<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

sin 3x sin x<br />

dx sin 3x sin<br />

x dx<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 1<br />

<br />

2 cos 3x cos x cos 3x cos x<br />

3 <br />

<br />

<br />

0 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 1 <br />

22 cos 3<br />

cos 1<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 3<br />

2 <br />

8 2 4<br />

2 2 cos cos <br />

3 4 4 3<br />

<br />

<br />

3<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយដខេរកាង រឺ<br />

<br />

8 2 4<br />

S <br />

3<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

ឯក្ាងននៃ<br />

ឯក្ាងននៃ<br />

3<br />

ខ.រណ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍ y sin x<br />

<br />

x <br />

4<br />

ៃិង<br />

x <br />

5<br />

4<br />

+ព្កាបនៃអៃុរមៃ៍បង្ហា ញរៅខាងារ ំ<br />

+ាង<br />

ររបាៃ<br />

រហើយ<br />

sin<br />

3 cos<br />

3<br />

<br />

f x x x<br />

3 3<br />

1 1 <br />

f 0<br />

4<br />

<br />

2 2 <br />

3 3<br />

5 1 1 <br />

f 0<br />

4<br />

<br />

2 2 <br />

2 3<br />

3sin cos 3cos sin<br />

<br />

f x x x x x<br />

3 <br />

sin 2 x 2 sin x<br />

<br />

2 4<br />

ៃិង<br />

y<br />

cos<br />

3<br />

x<br />

រៅចរ ៃ ោះ


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ចំរ<br />

ដត<br />

ោះ<br />

5<br />

x <br />

4 4<br />

3 2 <br />

sin 2 x<br />

sin x<br />

<br />

2 4<br />

រយើងបាៃ<br />

3 3<br />

5 1 1 1<br />

f 0<br />

4<br />

<br />

2 2 2<br />

រ ោះចំរ ោះ<br />

x<br />

<br />

f<br />

x<br />

f<br />

x<br />

<br />

4<br />

0<br />

5<br />

x <br />

4 4<br />

ររបាៃ<br />

3<br />

2<br />

f x 0<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្លាខណឌ រោយដខេរកាងទំងរី រឺ<br />

0<br />

<br />

4<br />

<br />

1<br />

0<br />

1<br />

2<br />

<br />

0<br />

1<br />

<br />

5<br />

4<br />

0<br />

5<br />

5<br />

4 4<br />

3 3 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

S <br />

sin x cos x <br />

dx sin x sin x cos x cos x dx<br />

<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

5<br />

4<br />

2 2<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 cos x cos x 1 sin x sin x<br />

<br />

dx<br />

<br />

1 1<br />

<br />

<br />

cos cos sin sin<br />

3 3<br />

3 3<br />

x x x x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

4<br />

<br />

4<br />

2 2 2 2 2 2 2 2 <br />

<br />

2 12 2 12 <br />

<br />

<br />

2 12 2 12 <br />

<br />

<br />

5 2<br />

3<br />

ឯក្ាននៃ<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្លាខណឌ រោយដខេរកាងទំងរី រឺ<br />

៧៥.ក្. ក្ក្ូអ រោរៃចំៃុចព្បសរវនៃព្កាបទំងរី រៃោះ<br />

ររមាៃ y sin 2x<br />

ៃិង<br />

y<br />

cos x<br />

<br />

sin 2x<br />

cos<br />

x<br />

<br />

<br />

ដែល 0 x <br />

y<br />

cos x<br />

+សមីកា អប់សុីស វាង y sin 2x<br />

ៃិង<br />

ឬ <br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

cos x<br />

0<br />

5 2<br />

S ឯក្ាននៃ<br />

3<br />

រឺ<br />

cos x 2sin x 1 0<br />

ឬ<br />

<br />

2sin x<br />

10<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 185


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

-ចំរ<br />

-ចំរ<br />

-ចំរ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

រោយ 0 x រយើងទញបាៃ<br />

<br />

x <br />

6<br />

<br />

x <br />

2<br />

x <br />

5<br />

6<br />

រ<br />

រ<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

<br />

ោះ<br />

y <br />

y 0<br />

3<br />

2<br />

y <br />

ែូរចនោះ ក្ូអ រោយរៃនៃចំៃុចព្បសរវរឺ<br />

ខ. ក្ននៃព្ក្ឡា S<br />

3<br />

2<br />

5<br />

x , ,<br />

6 2 6<br />

<br />

3 <br />

<br />

A<br />

<br />

, , B ,0<br />

6 2 <br />

2 <br />

ដែលខណឌ រោយព្កាបទំងរី<br />

+រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍ទំងរី ឆៃ ុោះគ្នន រធៀបៃឹងចំៃុច<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបទំងរី រឺ<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

6<br />

<br />

S 2 sin 2x cos x dx<br />

1<br />

2 cos 2 sin<br />

2<br />

<br />

x x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

6<br />

1 1 1 <br />

1<br />

2 1 <br />

2 4 2 <br />

2<br />

ឯក្ាននៃ<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបទំងរី រឺ<br />

1<br />

S <br />

2<br />

ឯក្ាននៃ<br />

៧៦.ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ l<br />

ររមាៃ អៃុរមៃ៍<br />

+ាង<br />

1<br />

y x b<br />

2<br />

ln x<br />

1<br />

f x<br />

+ឧបមាថា ប ៃ ត់ <br />

ររបាៃ<br />

ប ៃ ត់<br />

l<br />

ៃិង<br />

ជាប ៃ ត់ប៉ាោះៃឹង C<br />

5 3<br />

C<br />

<br />

<br />

, <br />

6 2 <br />

<br />

B <br />

<br />

,0<br />

<br />

<br />

2 <br />

ជាសមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះដខេរកាងដែលមាៃរមរុណព្បាប់ទិសរសម ើៃឹង<br />

1<br />

l : y x b<br />

1<br />

2<br />

<br />

y f x x x f x<br />

0 0 0<br />

រោយ f x ln x<br />

1<br />

រ ោះ f x<br />

ប៉ាោះដខេរកាង C<br />

1<br />

<br />

x 1<br />

ដែលមាៃរមរុណព្បាប់ទិសរសម ើៃឹង<br />

1<br />

2<br />

ព្តង់ចំៃុចដែលមាៃអប់សុីស x<br />

0<br />

1<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 186


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រ<br />

រយើងបាៃ<br />

ាម <br />

1<br />

ឬ<br />

y<br />

ៃិង <br />

1<br />

y x x0 x0<br />

<br />

x 1<br />

x<br />

0<br />

ln 1<br />

x<br />

0<br />

0<br />

x0 1 x0<br />

1<br />

<br />

2<br />

ររទញបាៃ<br />

x <br />

ln 1 2<br />

1 1<br />

<br />

2 x 1<br />

ោះ សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះដែលមាៃរមរុណរសម ើ<br />

ែូរចនោះ សមីកា ច ៃ ត់ប៉ាោះរឺ<br />

0<br />

<br />

x0<br />

b x0<br />

<br />

x0<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

2<br />

ln 1<br />

<br />

ឬ<br />

ដែលព្តូវ ក្រឺ<br />

1 1<br />

l : y x ln 2<br />

2 2<br />

x0 1<br />

<br />

1<br />

b<br />

ln 2<br />

2<br />

1 1<br />

l : y x ln 2<br />

2 2<br />

ខ. រណ មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េ x Ox នៃននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប<br />

<br />

<br />

C<br />

, l<br />

ៃិង អ័ក្េអ រោរៃ<br />

+ព្កាបនៃអៃុរមៃ៍ប៉ាោះគ្នន ព្តង់ចំៃុច<br />

x0 1<br />

+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញែូច ូបខាងារ ំ<br />

ររបាៃ មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់រោយ<br />

+រណ<br />

1 2 1<br />

1 1 <br />

2<br />

V x ln 2 dx <br />

ln x 1 <br />

dx<br />

2 2<br />

<br />

<br />

<br />

0 0<br />

1 1<br />

<br />

2 2<br />

x 1 2ln 2 dx <br />

ln x 1<br />

dx<br />

4<br />

<br />

<br />

0 0<br />

<br />

<br />

4 I I<br />

1<br />

1 2<br />

1<br />

<br />

0<br />

<br />

I x 1<br />

2ln 2 dx<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង u x1 2ln 2 រ ោះររបាៃ du dx<br />

<br />

2<br />

<br />

+ររល<br />

x 0<br />

រ<br />

ោះ<br />

u 1<br />

2ln 2<br />

+ររល<br />

x 1 រ ោះ<br />

u 2ln 2<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា 1<br />

2ln 2<br />

1<br />

1<br />

<br />

I x dx<br />

0<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 187


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រហើយ<br />

2<br />

<br />

1<br />

ln 2<br />

1<br />

0<br />

<br />

I x dx<br />

<br />

2ln 2<br />

<br />

1 2ln 2<br />

2<br />

u du<br />

2ln 2<br />

3<br />

1<br />

<br />

3 u <br />

<br />

1 2ln 2<br />

1 12ln<br />

2 2 6ln 2 1<br />

<br />

3<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

+របើ<br />

<br />

t ln x1<br />

x 0<br />

រ<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

t 0<br />

xe<br />

t<br />

1<br />

រហើយ<br />

dx <br />

t<br />

e dt<br />

<br />

+របើ<br />

x 1 រ ោះ<br />

t ln 2<br />

ររបាៃ<br />

I<br />

2<br />

ln 2<br />

2 t<br />

t e dt<br />

<br />

0<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

b<br />

<br />

a<br />

ាង<br />

<br />

g<br />

t<br />

b<br />

<br />

f t g t dt f t g t g t f t dt<br />

2<br />

t<br />

f t<br />

t<br />

e<br />

រ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 188<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ោះររបាៃ<br />

I<br />

2<br />

<br />

g t<br />

a<br />

b<br />

<br />

a<br />

2<br />

f t t<br />

e<br />

ln 2<br />

2 t<br />

t e dt<br />

<br />

0<br />

t<br />

ln 2<br />

2 t<br />

ln 2<br />

t<br />

t e 2<br />

te dt<br />

0 <br />

0<br />

ln 2<br />

2<br />

t<br />

2ln 2 2 te dt<br />

<br />

<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយដ នក្មរងរទៀត<br />

ាង<br />

f t<br />

t<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

f<br />

t<br />

t<br />

e រ ោះររបាៃ g t e<br />

g t<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

t 1<br />

ln 2 ln 2<br />

t t<br />

ln 2<br />

t<br />

<br />

te dt te e dt<br />

0<br />

0 0<br />

I<br />

2<br />

t<br />

ln 2<br />

2ln 2 e 2ln 2 1<br />

ln 2<br />

2 t<br />

t e dt<br />

<br />

0<br />

0<br />

0<br />

<br />

2<br />

2ln 2 2 2ln 2 1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2ln 2 4ln 2 2


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររបាៃ<br />

1 2ln<br />

2 2 6ln 2 1 2ln<br />

2 2 4ln 2 2<br />

<br />

V <br />

<br />

4 3 <br />

7<br />

23<br />

<br />

ln 2 ln 2<br />

2 <br />

<br />

12 <br />

<br />

<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរឺ<br />

៧៧.ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ l<br />

ររមាៃ C ជាព្កាប<br />

+ចំរ ោះ<br />

y<br />

2x<br />

1<br />

e <br />

y<br />

ររបាៃ<br />

2x<br />

1<br />

e <br />

y <br />

<br />

<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

7<br />

23<br />

<br />

V ln 2 ln 2<br />

2 <br />

<br />

12 <br />

<br />

<br />

ៃិង l ជាប ៃ ត់ប៉ាោះព្កាប C ព្តង់ចំៃុច<br />

2 1<br />

2e x<br />

+សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះៃឹង C ព្តង់ចំៃុច<br />

<br />

l : y e 2e x 1<br />

ែូរចនោះ សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ រឺ : 2<br />

P<br />

<br />

1,e<br />

ឬ<br />

<br />

l y ex e<br />

រឺ<br />

: 2<br />

l y ex e<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

P<br />

<br />

1,e<br />

<br />

ខ.រណ ននៃព្ក្ឡា S<br />

ដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />

+ព្កាបដខេរកាង C ៃិង ប ៃ ត់ l បង្ហា ញែូច ូបខាងារ ំ<br />

ប ៃ ត់ l<br />

ៃិងអ័ក្េអ រោរៃ<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបទំងរី រឺ<br />

1<br />

2x1<br />

S e 2ex e dx<br />

0<br />

<br />

<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរឺ<br />

៧៨.ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ<br />

ររមាៃ C<br />

+ចំរ<br />

ោះ<br />

ជាព្កាប<br />

y xe<br />

x<br />

<br />

y xe<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

l1,<br />

l2<br />

x<br />

2x1 2<br />

e ex ex<br />

1<br />

<br />

2 e e<br />

,<br />

<br />

1<br />

1<br />

V e e <br />

2<br />

l 1<br />

ៃិង<br />

l 2<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

ឯក្ាននៃ<br />

1<br />

<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

ជាប ៃ ត់ប៉ាោះ C<br />

រយើងបាៃ 1<br />

<br />

y e xe x e<br />

x x x<br />

ដែលរូសរចញរីចំៃុច<br />

<br />

<br />

<br />

1 ,0<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

+ាង t<br />

ជាអប់សុីសនៃចំៃុចប៉ាោះ<br />

ររបាៃ សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះៃឹង C<br />

រោយ ប ៃ ត់ប៉ាោះកាត់ាមចំៃុច<br />

<br />

<br />

<br />

t,<br />

te<br />

ព្តង់ <br />

1 ,0<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

t<br />

រឺ<br />

រយើងបាៃ<br />

<br />

t<br />

t<br />

y te 1t e x t<br />

ឬ<br />

t 2 t<br />

1 1<br />

y t e x t e<br />

1 <br />

t 2<br />

0 1 t e t e<br />

2<br />

t<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 189


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ាម 1 សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះរឺ<br />

+ចំរ<br />

y ex e<br />

ឬ<br />

ៃិង<br />

ែូរចនោះ សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះរឺ y ex e ៃិង<br />

ខ. ក្ននៃព្ក្ឡា S<br />

ោះ<br />

y xe<br />

x<br />

ដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />

រយើងបាៃ<br />

រយើងបាៃ ារាងអរេ ភារ<br />

x<br />

y<br />

y <br />

<br />

<br />

1x e<br />

x<br />

2<br />

2t<br />

t1 0<br />

រ<br />

ោះ<br />

1 1<br />

y x<br />

2 e 4 e<br />

រហើយ<br />

2<br />

1<br />

1 1<br />

y x<br />

2 e 4 e<br />

ៃិងប ៃ ត់ប៉ាោះទំងរី<br />

<br />

0<br />

<br />

1<br />

t <br />

2<br />

<br />

ឬ<br />

y e xe 2 x e<br />

x x x<br />

<br />

t 1<br />

រយើងបាៃ<br />

x<br />

lim y lim xe 0<br />

x<br />

x<br />

lim y lim xe<br />

x <br />

x<br />

x<br />

ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាប ៃិង ប ៃ ត់ប៉ាោះក្ន ុងសំៃួ ក្. រឺ<br />

1<br />

2<br />

1<br />

<br />

x 1 1 <br />

x<br />

S xe x dx xe 2ex e<br />

dx<br />

2 e 4 e <br />

1 1<br />

2 2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

x 1 1 <br />

xe dx x dx<br />

2 e 4 e <br />

1 1<br />

2 2<br />

1 1<br />

1 2 2<br />

1<br />

x 2 x 1 2 1 <br />

2 2<br />

xe e dx x x ex ex<br />

1 <br />

<br />

1<br />

2 1<br />

4 e 4 e 1<br />

2<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3 1 e 7 e<br />

ឯក្ាននៃ<br />

2 e 4 e 4 4 e 4<br />

ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាប ៃិង ប ៃ ត់ប៉ាោះរឺ<br />

7 e<br />

S <br />

4 e 4<br />

៧៩. ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល បង្ហា ញថា មាឌរីរា៉ា មីតដែលមាៃននៃបាត B<br />

រោយ<br />

V<br />

y<br />

y<br />

<br />

1<br />

3<br />

Bh<br />

<br />

2e 2<br />

1<br />

e <br />

ាងរីរា៉ា មីតក្ំរូល O មាៃននៃបាត B រៅក្ន ុងបៃង់រាប<br />

0<br />

ឯក្ាននៃ<br />

រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />

ក្ំណត់<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 190


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

មាៃអ័ក្េក្ូត h ។ មុខកាត់រាបរែក្នៃរីរា៉ា មីតដែលមាៃ<br />

ក្ូត z ជាបដមៃងនៃបាតរោយបដមៃងចាំងក្ំរូល O<br />

នលរធៀប<br />

z<br />

h<br />

ជារហុរកាៃែូចគ្នន ។<br />

ែូរចនោះ នលរធៀបនៃព្ក្ឡាននៃ<br />

ព្ក្ឡាបាត B<br />

ររបាៃ<br />

ៃិង<br />

S z នៃមុខកាត់ ៃិង ននៃ<br />

រសម ើៃឹងការ នៃនលរធៀបបដមៃងចាំង<br />

<br />

S z<br />

B<br />

2<br />

z <br />

<br />

h រ ោះ<br />

B<br />

z<br />

2<br />

h<br />

<br />

2<br />

S z<br />

រ ោះមាឌនៃរីរា៉ា មីតដែលមាៃក្ំរូល O<br />

ៃិង ននៃបាត B<br />

ដែលក្ំណត់រី 0<br />

រៅ h<br />

ក្ំណត់រោយ រឺ<br />

h<br />

2 3<br />

h B B 1<br />

V S z dz z dz z Bh<br />

2 2<br />

h 3h<br />

3<br />

0 0<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃរីរា៉ា មីត រឺ<br />

V<br />

<br />

1<br />

3<br />

Bh<br />

+ទញបង្ហា ញថា ក្ំណាត់មាឌនៃរីរា៉ា មីតរ<br />

B ជាបាតតូច<br />

h<br />

0<br />

ោះរឺ<br />

នលរធៀបនៃព្ក្ឡាននៃបាតតូច B ននៃព្ក្ឡាបាត B<br />

ៃឹងការ នៃនលរធៀបបដមៃងចាំង ។ ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ នលរធៀបនៃព្ក្ឡាននៃ<br />

ព្ក្ឡាបាត B<br />

រ<br />

ររបាៃ<br />

ឯក្ាមាឌ<br />

h<br />

<br />

3<br />

V B B BB<br />

រសម ើ<br />

B a<br />

<br />

B b<br />

S z នៃមុខកាត់ ៃិង ននៃ<br />

រសម ើៃឹងការ នៃនលរធៀបបដមៃងចាំង<br />

<br />

S z<br />

B<br />

z<br />

<br />

<br />

b<br />

2<br />

B<br />

2<br />

b<br />

2<br />

រ ោះ S z z<br />

ោះក្ំណាត់មាឌរីរា៉ា មីតក្ំណត់រោយ<br />

2<br />

។<br />

ដែល B<br />

ជាបាតធំៃិង<br />

V<br />

b<br />

a<br />

<br />

S z dz<br />

<br />

b<br />

B 2<br />

2 z dz<br />

b<br />

a<br />

B<br />

<br />

2 z<br />

3b<br />

<br />

b<br />

3<br />

a<br />

<br />

B b a<br />

2<br />

3b<br />

3 3<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 191


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

B<br />

<br />

2 3b<br />

b a b ba a<br />

B<br />

<br />

2 3b<br />

b a b ba a<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2<br />

b a B a a <br />

1 <br />

2 <br />

3 b b <br />

<br />

<br />

b a B B B<br />

1<br />

3 <br />

<br />

B B <br />

<br />

<br />

ាម ូប b a h រ ោះក្ំណាត់មាឌខាងរលើរៅជា<br />

h<br />

<br />

3<br />

V B B BB<br />

ែូរចនោះ ក្ំណាត់មាឌនៃរីរា៉ា មីតរ<br />

ោះរឺ<br />

h<br />

<br />

3<br />

V B B BB<br />

ខ. សំៃួ ែូចគ្នន ដែ ចំរ ោះរកាៃ បង្ហា ញថាមាឌរកាៃដែលមាៃបាតជា ងវង់កាំ R<br />

ណត់រោយ<br />

ាង <br />

នច ិត កាំ R<br />

ននៃបាតរសម ើៃឹង<br />

1<br />

V <br />

3<br />

2<br />

R h<br />

ជារកាៃដែលមាៃក្ំរូល O<br />

ួចទញបង្ហា ញ ក្ំណាត់មាឌរកាៃរ<br />

រៅក្ន ុងបៃង់ដែលមាៃក្ូត h<br />

B<br />

R<br />

ព្ក្ឡាននៃបាតនៃមុខកាត់រាបមាៃ<br />

B R<br />

S z<br />

z z<br />

h h<br />

2<br />

2<br />

2 2<br />

<br />

2 2<br />

រ ោះមាឌនៃរកាៃដែលមាៃក្ំរូល O<br />

មាៃបាតជា ងវង់<br />

។ រហើយព្ក្ឡា<br />

។ ស្រសរែៀងខាងរលើដែ ររបាៃ<br />

ដែលក្ំណត់រី 0 រៅ h ក្ំណត់រោយ រឺ<br />

h<br />

h 2<br />

R 2<br />

V S zdz <br />

z dz<br />

2<br />

h<br />

0 0<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃរកាៃ រឺ<br />

z<br />

រឺ<br />

2<br />

h<br />

R 3<br />

2 z <br />

2<br />

0<br />

<br />

<br />

h<br />

1<br />

V <br />

3<br />

+ទញបង្ហា ញ ក្ំណាត់មាឌរកាៃរ<br />

ាង <br />

2<br />

R h<br />

ៃិង ននៃបាត B<br />

R h<br />

ជាែងរកាៃដែលមាៃបាតជា ងវង់<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

z<br />

រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />

ក្ំ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 192


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ស្រសបគ្នន មាៃកាំ R ៃិង R ែូច ូប រហើយមាៃ<br />

ក្ំរស់ h<br />

។ មុខកាត់ ងវង់រាបរែក្នៃរកាៃជាបដមៃង<br />

នៃបាតរោយបដមៃងចាំងក្ំរូល O<br />

នលរធៀប<br />

z<br />

h<br />

ជារហុរកាៃែូចគ្នន ។<br />

ៃិង<br />

ាម ូបខាងារ ំ ររបាៃមាឌក្ំណាត់រកាៃ<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

1 1<br />

<br />

3 3<br />

2 2<br />

V R x R y<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

3 R x R y<br />

នលរធៀបនៃព្ក្ឡាននៃនៃមុខកាត់ ៃិង ននៃព្ក្ឡា<br />

បាត B រសម ើៃឹងការ នៃនលរធៀបបដមៃងចាំង<br />

ររបាៃ<br />

រ<br />

R<br />

R<br />

2<br />

x<br />

<br />

2<br />

y<br />

ោះររទញបាៃ<br />

2<br />

<br />

ឬ<br />

<br />

Rh<br />

x <br />

R<br />

R<br />

ររបាៃ មាឌក្ំណាត់រកាៃ V<br />

ែូរចនោះ មាឌក្ំណាតរកាៃ រឺ<br />

H <br />

S , y <br />

<br />

x <br />

x y x y h<br />

<br />

R R R R R R<br />

ៃិង<br />

Rh <br />

y <br />

R<br />

R<br />

3 3<br />

R h R<br />

h <br />

<br />

3 R R<br />

R R<br />

<br />

<br />

3 R<br />

R<br />

3<br />

3 3<br />

h R R h R<br />

2 R<br />

2<br />

RR<br />

h<br />

3<br />

<br />

2 2<br />

V R R RR<br />

៨០.ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល ក្មាឌរីរា៉ា មីតមាៃបាតជាការ ដែលមាៃព្ជុង r<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />

។<br />

ាងមាឌរីរា៉ា មីតមាៃបាតជាការ ដែលមាៃព្ជុង r<br />

មាៃទិសរៅវិជជមាៃ ។ យក្ O<br />

រហើយមាៃក្ំរស់ h រ<br />

ោះក្ន ុងតព្មុយអ តូណមា៉ា ល់<br />

ជារល់តព្មុយែូចក្ន ុង ូបបង្ហា ញ ។ មុខកាត់រាបរែក្នៃរីរា៉ា មីតដែលមាៃ<br />

ក្ូត<br />

z<br />

ជាបដមៃងនៃបាតរោយបដមៃងចាំងក្ំរូល h<br />

ៃិង នលរធៀប d e ជារហុរកាៃែូចគ្នន ។<br />

ែូរចនោះ នលរធៀបនៃព្ក្ឡាននៃ<br />

ររបាៃ<br />

<br />

S x<br />

r<br />

2<br />

d<br />

<br />

<br />

e <br />

2<br />

រ<br />

S x នៃមុខកាត់ ៃិង ននៃព្ក្ឡាបាត<br />

ោះ<br />

<br />

S x<br />

2 d<br />

2<br />

<br />

r <br />

e <br />

2<br />

r<br />

រសម ើៃឹងការ នៃនលរធៀបបដមៃងចាំង<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 193


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

មយ៉ា ងរទៀត រោយបាតទំងរី ស្រសបគ្នន ាមព្ទឹសរ ីបទាដលស<br />

រ<br />

d h x<br />

<br />

e h<br />

ោះននៃព្ក្ឡាមុខកាត់ខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

<br />

S x<br />

2 h<br />

x<br />

r <br />

h <br />

ោះមាឌនៃរីរា៉ា មីតដែលមាៃននៃបាតជាការ<br />

2<br />

ដែលក្ំណត់រី 0<br />

h<br />

រៅ h<br />

2<br />

0 0<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

2<br />

r<br />

2<br />

V S xdx h x<br />

dx<br />

h<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 194<br />

h<br />

2<br />

r 1<br />

<br />

2<br />

h<br />

x<br />

h <br />

<br />

3<br />

2<br />

r<br />

<br />

3h<br />

1<br />

2<br />

3 rh<br />

<br />

2<br />

0<br />

h<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃរីរា៉ា មីតដែលមាៃននៃបាតជាការ រឺ<br />

3<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

h<br />

0<br />

1<br />

V <br />

3<br />

2<br />

r h<br />

ខ. ក្មាឌរតព្ាដអតដែលមាៃព្ជុងទំងបីដក្ងគ្នន ព្បដវង a , b ៃិង c<br />

a<br />

ាងមាឌរតព្ាដអតមាៃបាតជាព្តីរកាណដែលមាៃព្ជុង<br />

, b<br />

ៃិង c ដែលរៅក្ន ុងតព្មុយអ តូណមា៉ា ល់មាៃទិសរៅ<br />

វិជជមាៃ ។ យក្ O<br />

ជារល់តព្មុយែូចក្ន ុង ូបបង្ហា ញ ។<br />

រោយបាតទំងរី ស្រសបគ្នន ាមព្ទឹសរ ីបទាដលស<br />

ររទញបាៃ<br />

រ<br />

d c x<br />

<br />

a c<br />

<br />

a c x<br />

d <br />

c<br />

<br />

ៃិង<br />

ៃិង<br />

ោះននៃព្ក្ឡាមុខកាត់ព្តីរកាណរឺ<br />

e c x<br />

<br />

b c<br />

<br />

b c x<br />

e <br />

c<br />

<br />

1 1a c x b c x <br />

S ed <br />

2 2 c c <br />

<br />

ab c x 2<br />

2c<br />

2


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រ<br />

ោះររបាៃ មាឌរតព្ាដអតដែលមាៃព្ជុងទំងបីដក្ងគ្នន ក្ំណត់រោយ<br />

c<br />

ab<br />

V S xdx c x 2<br />

dx<br />

2c<br />

<br />

2<br />

0 0<br />

c<br />

ab 1<br />

c x<br />

2<br />

2c<br />

<br />

<br />

3<br />

ab<br />

<br />

6c<br />

abc<br />

<br />

6<br />

<br />

2<br />

0<br />

3<br />

c<br />

ែូរចនោះ មាឌរតព្ាដអតដែលមាៃព្ជុងទំងបីដក្ងគ្នន រឺ<br />

រ. ក្មាឌនៃសូលីតដែលបាៃមក្រី ងវ ិលរអលីប<br />

ររមាៃ រអលីប<br />

ររទញបាៃ<br />

y<br />

x<br />

a<br />

y<br />

<br />

b<br />

2 2<br />

<br />

2 2<br />

1<br />

b<br />

2 2<br />

2<br />

<br />

1 x <br />

<br />

2 <br />

a <br />

ររបាៃ មាឌនៃសូលីតដែលបាៃមក្<br />

រី ងវ ិលរអលីប<br />

x<br />

a<br />

y<br />

<br />

b<br />

2 2<br />

<br />

2 2<br />

1<br />

អ័ក្េអប់សុីសក្ំណត់រោយ<br />

វិលជុំវិញ<br />

a<br />

a<br />

2<br />

2 2<br />

x <br />

V 2<br />

y dx 2b 1<br />

dx<br />

2 <br />

a<br />

a<br />

a<br />

<br />

2<br />

b<br />

2<br />

3<br />

x <br />

x<br />

2 <br />

3a<br />

<br />

a<br />

a<br />

a 4<br />

2b a <br />

ab<br />

3<br />

3<br />

2 2<br />

ែូរចនោះ មាឌនៃរអលីបវិលជុំវិញអ័ក្េអប់សុីសរឺ<br />

3<br />

<br />

x<br />

a<br />

<br />

<br />

<br />

c<br />

0<br />

y<br />

<br />

b<br />

2 2<br />

abc<br />

V <br />

6<br />

<br />

2 2<br />

1<br />

4<br />

V ab<br />

3<br />

៨១.ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល បង្ហា ញថាប ិមាព្ត ងវង់កាំ R រឺ<br />

2<br />

វិលជុំវិញអ័ក្េអប់សុីស<br />

P<br />

2<br />

R<br />

រែើមបី ក្ព្បដវងប ិមាព្តនៃ ងវង់ រយើងរព្បើ ូបមៃរព្បដវងនៃដខេរកាង ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 195


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ងវង់នច ិត O កាំ R មាៃសមីកា<br />

2 2 2<br />

x y R រ ោះររទញបាៃ<br />

រយើងរណ<br />

រែ ីរវ<br />

y <br />

2 2<br />

y R x ដែល<br />

R<br />

x<br />

x<br />

2 2<br />

x<br />

<br />

y<br />

ររបាៃ ប ិមាព្តនៃ ងវង់នច ិត O កាំ R ក្ំណត់រោយ<br />

R<br />

R<br />

2<br />

2 1 2 1<br />

R<br />

R<br />

R x R<br />

2<br />

x<br />

P y dx dx<br />

2<br />

y<br />

ែូរចនោះ ប ិមាព្ត ងវង់កាំ R<br />

រឺ<br />

2<br />

R<br />

<br />

R<br />

R<br />

R<br />

x<br />

2 2<br />

x<br />

2R<br />

arcsin<br />

R<br />

R R<br />

dx<br />

<br />

<br />

2R<br />

<br />

2<br />

R<br />

2 2<br />

P<br />

2<br />

R<br />

ខ. ក្ព្បដវងបា៉ា រា៉ា បូលដែលមាៃសមីកា<br />

y<br />

2<br />

2px<br />

រៅចរ ៃ ោះ 0 x a<br />

<br />

<br />

រហើយ<br />

p 0 ។<br />

រយើងសិក្ោព្បដវងនៃបា៉ា រា៉ា បូលដែលមាៃសមីកា<br />

y<br />

2<br />

2px<br />

រៅចរ ៃ ោះ 0 x a រៅរលើអ័ក្េអប់សុីស<br />

<br />

<br />

រយើងរណ<br />

រែ ីរវ<br />

y<br />

2<br />

2px<br />

p<br />

។ រយើងបាៃ y , p 0 ។<br />

2x<br />

រ ោះររបាៃព្បដវងនៃបា៉ា រា៉ា បូលរៅចរ ៃ ោះ 0 x a<br />

រយើងរណ<br />

a<br />

a<br />

2<br />

2<br />

1 2<br />

1<br />

0 0 2<br />

p<br />

L y dx dx<br />

x<br />

a<br />

<br />

0<br />

<br />

2 2x<br />

p<br />

<br />

dx<br />

2x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង u 2x<br />

រ ោះ<br />

របើ<br />

x 0<br />

រ<br />

ោះ<br />

u 0<br />

du <br />

dx<br />

2x<br />

ឬ udu dx<br />

<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

<br />

របើ x a<br />

រ ោះ u<br />

2a<br />

រ<br />

ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

2a<br />

2<br />

L 2<br />

u pdu<br />

<br />

0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 196


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរណ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

b<br />

<br />

a<br />

b<br />

<br />

f x g x dx f x g x g x f x dx<br />

2<br />

ាង f u u p រ ោះររបាៃ<br />

1<br />

g<br />

u<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

ោះររទញបាៃ<br />

ឬ<br />

ែូរចនោះ ព្បដវងបា៉ា រា៉ា បូល រឺ<br />

g u<br />

u<br />

f<br />

a<br />

b<br />

<br />

a<br />

u<br />

u <br />

2<br />

u<br />

p<br />

2a<br />

2a<br />

2<br />

2<br />

u<br />

2 2<br />

0<br />

2<br />

0 u<br />

L u u p <br />

du<br />

p<br />

2 a 2<br />

p u p<br />

2 2a 2a p 2 <br />

du<br />

2<br />

u p<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

2a<br />

2a<br />

du<br />

2<br />

a a p 2 u pdu<br />

0 u p 0<br />

2 2 2 2 2 <br />

2a<br />

2<br />

a<br />

a p<br />

u u p L<br />

0<br />

2 2 2 2ln <br />

<br />

2L 2 2a 2a p 2ln<br />

<br />

L 2a 2a p ln<br />

៨២. ក្. ក្ព្បដវងនៃដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍<br />

រ<br />

ររមាៃ អៃុរមៃ៍<br />

ោះររបាៃ<br />

<br />

L 2a 2a p ln<br />

1<br />

f x x 3x<br />

3<br />

<br />

x<br />

1 1<br />

f x<br />

x x<br />

2 2<br />

1<br />

x<br />

3<br />

1 3<br />

2 2<br />

1 1<br />

<br />

2 2<br />

1<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

x<br />

1<br />

x<br />

<br />

2 x<br />

<br />

x <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2a 2a p<br />

p<br />

2a 2a p<br />

p<br />

2a 2a p<br />

1<br />

f x x x<br />

3<br />

p<br />

3<br />

<br />

<br />

រៅចរ ៃ ោះ 0 3<br />

x <br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 197


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររបាៃ<br />

<br />

<br />

f<br />

x<br />

<br />

2 12xx<br />

<br />

4x<br />

2<br />

ៃិង<br />

1<br />

<br />

<br />

f<br />

x<br />

2 4x 1<br />

2x x<br />

<br />

4x<br />

2<br />

x 2x 1 x 1<br />

<br />

<br />

4x<br />

<br />

2<br />

x <br />

រ ោះព្បដវងដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍រៅចរ ៃ ោះ 0 x 3 ក្ំណត់រោយ<br />

2<br />

2<br />

3 3<br />

2 x 1<br />

L 1 f x<br />

dx dx<br />

2 x<br />

0 0<br />

<br />

1<br />

2<br />

3 1 1<br />

2 2<br />

<br />

0<br />

<br />

x x dx<br />

<br />

3 1<br />

13<br />

2 2<br />

2 2 3<br />

2 2 x x <br />

<br />

<br />

ែូរចនោះ ព្បដវងដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍រៅចរ ៃ ោះ 0 3 រឺ<br />

ខ. ក្ព្បដវងនៃដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍<br />

ររមាៃ<br />

<br />

<br />

x a t sin<br />

t<br />

y a 1 cost<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x <br />

x a t sin<br />

t<br />

y a 1 cost<br />

<br />

<br />

3<br />

0<br />

L 2 3<br />

ឯក្ាព្បដវង<br />

ឯក្ាព្បដវង<br />

រៅចរ ៃ ោះ 0 2<br />

t<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

y 0<br />

ចំរ<br />

ោះ<br />

y 0 ររបាៃ<br />

<br />

<br />

x t a 1cost<br />

y t asin<br />

t<br />

ររបាៃព្បដវងដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍<br />

រៅចរ ៃ ោះ 0 2<br />

ក្ំណត់រោយ<br />

t<br />

<br />

<br />

ដែល y 0<br />

2<br />

2<br />

2 2 2 2 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

L x t y t dt a 1 cost a sin tdt<br />

0 0<br />

2<br />

<br />

t<br />

2a<br />

sin dt 2<br />

0<br />

2<br />

t<br />

4acos 8a<br />

2<br />

0<br />

ឯក្ាព្បដវង<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 198


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ ព្បដវងដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍រៅចរ ៃ ោះ 0 2<br />

៨៣.ក្.សៃមតថា<br />

ររមាៃ<br />

ររបាៃ<br />

f<br />

<br />

<br />

g x xf x<br />

រណ<br />

ជាអៃុរមៃ៍មាៃរែ ីរវ<br />

<br />

g<br />

x f x xf x<br />

ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />

រិៃិតយរមើលអៃុរមៃ៍<br />

រោយ<br />

<br />

4<br />

e<br />

<br />

g<br />

x<br />

t<br />

<br />

1 <br />

J ln x dx<br />

2 ln x <br />

f x ln x<br />

e<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

y 0 រឺ<br />

ln x <br />

1<br />

f x <br />

2 ln x 2x ln x<br />

1 1<br />

f x<br />

xf x<br />

ln x x ln x <br />

2x ln x 2 ln x<br />

ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

៨៤.ក្. បង្ហា ញថា<br />

រយើងមាៃ<br />

I <br />

4<br />

e<br />

4<br />

e<br />

1 <br />

J ln x dx<br />

2 ln x <br />

e<br />

4<br />

e<br />

g<br />

e<br />

g x<br />

<br />

x<br />

4<br />

xf x<br />

x dx<br />

e<br />

e<br />

4<br />

e<br />

ln 4<br />

e<br />

2 3<br />

1<br />

e<br />

x x e e <br />

1 <br />

J ln x dx<br />

2 ln x <br />

I <br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

e<br />

1<br />

2<br />

<br />

du<br />

u u u<br />

0 1 1 1 2<br />

dx<br />

sin x<br />

sin 2x<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

2e e 1<br />

sin x<br />

dx<br />

x x x<br />

2 2<br />

sin 2sin cos<br />

3<br />

<br />

2<br />

<br />

x<br />

sin x<br />

2<br />

sin (1 2cos x)<br />

3<br />

dx<br />

L<br />

8a<br />

ឯក្ាព្បដវង<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 199


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

<br />

x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 200<br />

<br />

<br />

2<br />

3<br />

sin x<br />

<br />

2<br />

1cos (1 2cos x)<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

រយើងបាៃ<br />

ែូចរៃោះ<br />

u<br />

cos x<br />

+របើ<br />

+របើ<br />

I <br />

ខ. ក្ចំៃួៃរិត<br />

1<br />

2<br />

<br />

I <br />

រ<br />

<br />

x <br />

2<br />

<br />

x <br />

3<br />

រ<br />

ោះ<br />

រ<br />

du<br />

du sin<br />

xdx<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

u 0<br />

2<br />

u<br />

u<br />

0<br />

1 1 2<br />

1<br />

2<br />

<br />

du<br />

1<br />

u <br />

2<br />

<br />

1<br />

2<br />

u u u<br />

<br />

0 1 1 1 2<br />

a , b<br />

ៃិង c<br />

1<br />

ររមាៃ<br />

<br />

ដែលចំរ<br />

du<br />

dx<br />

u u u<br />

0 1 1 1 2<br />

ោះព្រប់<br />

1<br />

u <br />

0,<br />

2<br />

<br />

a b <br />

c<br />

1 u 1 u 1 2u 1 u 1 u 1<br />

2u<br />

ររទញបាៃ<br />

<br />

2<br />

1 1 2 1 1 2 1 1<br />

<br />

a u u b u u c u u<br />

<br />

1 u 1 u 1<br />

2u<br />

<br />

2<br />

2a 2b cu 3a bu a b c<br />

1 u1 u1<br />

2u<br />

<br />

<br />

<br />

a b c1 1<br />

<br />

3ab0 2<br />

<br />

2a 2b c 0 3<br />

1 , 3<br />

<br />

<br />

2 1 4<br />

b3a<br />

ជំៃួស ររបាៃ<br />

a c <br />

<br />

8ac0 5<br />

1 1 4<br />

ាម 4<br />

ៃិង 5<br />

រយើងបាៃ a , b ៃិង c <br />

6 2 3<br />

4<br />

1 1 1 4<br />

ែូចរៃោះ<br />

ៃិង<br />

<br />

3 1 u 1 u 1 2u 6 1 u 2 1 u 3 1<br />

2u<br />

រ.រណ<br />

1 1<br />

a<br />

, b <br />

6 2<br />

អំងរតព្កាល<br />

I <br />

c ដែល <br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

3<br />

dx<br />

sin x<br />

sin 2x


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងមាៃ<br />

I <br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

3<br />

ែូរចនោះ<br />

dx<br />

sin x<br />

sin 2x<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

3<br />

៨៥.រណ អំងរតព្កាល I a,<br />

b<br />

ចំរ<br />

ាង<br />

<br />

1<br />

2<br />

<br />

du<br />

u u u<br />

0 1 1 1 2<br />

1<br />

2<br />

1 1 4<br />

<br />

<br />

<br />

6 1 u 2 1 u 3 1<br />

2u<br />

0 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

du<br />

<br />

1 1 2<br />

ln 1 u ln 1 u ln 1<br />

2u<br />

6 2 3<br />

1 1 1 3 2<br />

ln ln ln 2<br />

6 2 2 2 3<br />

4 1<br />

ln 2 ln 3<br />

3 2<br />

dx 4 1<br />

ln 2 ln 3<br />

sin x<br />

sin 2x<br />

3 2<br />

b<br />

<br />

dx<br />

a b x x a<br />

របើ a ៃិង b ជារី ចំៃួៃរិតដែល a b<br />

ោះកា រោោះស្រាយអំងរតព្កាល រៃោះ ររអចរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ រី <br />

2<br />

t x a 1<br />

b<br />

a<br />

<br />

<br />

<br />

+របើ x a<br />

រ<br />

<br />

ោះ<br />

រ<br />

ោះ<br />

t 1<br />

<br />

I a,<br />

b<br />

b<br />

a<br />

x t 1<br />

a<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

ំឲ្យ<br />

b<br />

a<br />

dx dt<br />

2<br />

1<br />

2<br />

0<br />

<br />

ab ,<br />

1,1<br />

រៅ <br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

+របើ x b<br />

រ ោះ<br />

t 1<br />

b<br />

a<br />

1<br />

dt<br />

<br />

2<br />

b<br />

a<br />

I a, b <br />

I 1,1<br />

2<br />

1<br />

b a b a<br />

1 t 1<br />

t<br />

2 2<br />

+រណ I 1,1<br />

-ចំរ ោះ<br />

ាង<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

ររបាៃ 1,1<br />

1<br />

1<br />

dx<br />

1 x 1<br />

x<br />

1 1 1<br />

1 1 1<br />

<br />

ដែល<br />

1 x 1 x 1 1 x 1 1<br />

x<br />

I dx dx dx<br />

2x 2<br />

<br />

x 2<br />

<br />

x<br />

1<br />

x<br />

dx រោោះស្រាយរោយបរ<br />

x<br />

ូ អរេ<br />

u<br />

1x<br />

រ ោះ<br />

dx 2udu<br />

I<br />

<br />

<br />

1,1<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

dx<br />

1 x 1<br />

x<br />

+របើ<br />

x 1 រ ោះ 0<br />

u <br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 201


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររបាៃ<br />

-ចំរ<br />

+របើ x 1 រ ោះ u 2<br />

ោះ<br />

ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

៨៦.រណ<br />

1 2 2 2<br />

1 x u 2udu u 11<br />

dx 2<br />

du<br />

x u 1 u 1<br />

<br />

2 2<br />

1 0 0<br />

1<br />

1<br />

x<br />

dx :<br />

x<br />

1<br />

2 2<br />

<br />

2 du 2<br />

រោោះស្រាយរោយាងែូចខាងរលើដែ<br />

0 0<br />

1 0 2 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 202<br />

<br />

2 2<br />

1 2<br />

0<br />

du<br />

2<br />

u 1<br />

0<br />

2<br />

u 1<br />

2 2 ln 2 2 2ln 2 1<br />

u 1<br />

1<br />

x u 2udu<br />

u 11<br />

dx <br />

2<br />

du<br />

x 1u u 1<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 2ln 2 1<br />

b a I b a<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 1<br />

<br />

I a, b 1,1 2 2 2ln 2 1 2 2 2ln 2 1<br />

2 2 <br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

អំងរតព្កាល<br />

ab , <br />

ចំរ ោះ <br />

2<br />

b<br />

<br />

<br />

b<br />

a <br />

2 2 ln 2 1<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

I x a b x dx<br />

<br />

ដែល a b<br />

+ចំរ ោះ <br />

របៀបទី ១ ាង<br />

ររបាៃ<br />

I x a b x dx<br />

a<br />

ររបាៃ<br />

y x ab x 0<br />

2 2<br />

y bx x ab ax<br />

ឬ<br />

ឬ<br />

<br />

ៃិង<br />

<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

J x x a b x dx<br />

ចំរ ោះព្រប់ <br />

<br />

2 2<br />

x a b x y ab<br />

x a, b : a b<br />

2 2<br />

2 <br />

a b a b <br />

x y ab<br />

2 2 <br />

2 2<br />

2 <br />

<br />

ឬ<br />

a b <br />

x y<br />

b a <br />

<br />

2 2 <br />

a<br />

b <br />

សមីកា ខាងរលើជាសមីកា ងវង់ដែលមាៃនច ិត I ,0<br />

ៃិង កាំ<br />

2 <br />

b<br />

I x a b x dx ជាព្ក្ឡាននៃក្ ៃោះ ងវង់ដែលមាៃនច ិត<br />

ររបាៃ <br />

a<br />

<br />

b<br />

a<br />

R <br />

2<br />

b<br />

a <br />

I ,0<br />

2 <br />

ៃិងកាំ<br />

b<br />

a<br />

R ។<br />

2


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ាង S ជាព្ក្ឡាននៃក្ ៃោះ ងវង់រ<br />

ោះ<br />

ររបាៃ<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

S x a b x dx<br />

របៀបទី ២ ររបាៃ<br />

2<br />

b<br />

a 2<br />

1 b<br />

a<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 8<br />

<br />

<br />

ឯក្ាននៃ<br />

b<br />

2<br />

I x a b x abdx<br />

<br />

a<br />

b<br />

a<br />

2 2<br />

b a a b<br />

<br />

x dx<br />

2 2 <br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

ររបាៃ<br />

a<br />

b<br />

t x<br />

2<br />

<br />

+របើ x a<br />

<br />

+របើ x b<br />

I <br />

ba<br />

2<br />

<br />

ba<br />

<br />

2<br />

រយើងាងបៃរទៀត<br />

+របើ<br />

+របើ<br />

រ<br />

រ<br />

<br />

រ ោះ dt dx<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

b<br />

a<br />

t <br />

2<br />

b<br />

a<br />

t <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

b<br />

a<br />

<br />

2 <br />

b<br />

a<br />

t <br />

2<br />

រ<br />

រ<br />

b<br />

a<br />

t <br />

2<br />

b<br />

a<br />

t <br />

2<br />

ោះ<br />

2<br />

ោះ<br />

<br />

2<br />

t dt<br />

sin <br />

<br />

<br />

រ<br />

<br />

ោះ<br />

sin 1<br />

<br />

<br />

sin 1<br />

ឬ<br />

b<br />

a<br />

dt <br />

2<br />

ឬ<br />

<br />

<br />

2<br />

2 2<br />

<br />

<br />

2<br />

cos <br />

d<br />

ររបាៃ I sin cos <br />

<br />

<br />

2<br />

b a b a <br />

b <br />

<br />

a d<br />

2 2 2<br />

b<br />

a<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

1sin cos d<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

b a b a<br />

cos d<br />

4<br />

<br />

<br />

8<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 203


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

+ចំរ ោះ<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

J x x a b x dx<br />

<br />

ាង x a b t<br />

<br />

រ ោះ dx dt<br />

<br />

របើ x a<br />

<br />

រ ោះ t b<br />

ររបាៃ<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

របើ x b<br />

<br />

រ ោះ t a<br />

a<br />

<br />

<br />

J a b t a b t a b a b t dt<br />

b<br />

b<br />

<br />

<br />

a b t t a b t dt<br />

a<br />

b<br />

b<br />

<br />

<br />

a b t a b t dt t t a b t dt<br />

<br />

2J<br />

<br />

ែូរចនោះ<br />

a<br />

2<br />

a b b a<br />

8<br />

a bb a 2<br />

I <br />

8<br />

b<br />

a 2<br />

8<br />

<br />

<br />

J<br />

<br />

ៃិង<br />

ឬ<br />

J <br />

J <br />

៨៧.រោយរព្បើអំងរតព្កាល ចូ បង្ហា ញថា<br />

ក្.<br />

n 1<br />

1 1 1 2 1 2 <br />

n 1<br />

Cn Cn Cn<br />

1 <br />

2 3 n<br />

1 n<br />

1<br />

<br />

a<br />

a bb a 2<br />

16<br />

a bb a 2<br />

រយើងបង្ហា ញសមភាររោយរព្បើអំងរតព្កាល ៃិង ូបមៃរទវធាញ ូ តុៃ<br />

រយើងរធវ<br />

16<br />

<br />

0 1 1 1<br />

1<br />

<br />

<br />

n n n n n<br />

n n n n<br />

x C C x C x C x<br />

ើអំងរតព្កាលរលើអងាទំងសងខាងនៃ រៅចរ ៃ ោះ <br />

1 1<br />

1<br />

0,1<br />

1<br />

ររបាៃ<br />

n 0 1 n1 n1<br />

n n<br />

1 n<br />

<br />

n<br />

<br />

n<br />

<br />

n <br />

x dx C C x C x C x dx<br />

0 0<br />

រព្កាយរីរធវ ើអំងរតព្កាលរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

ឬ<br />

1 n1<br />

1<br />

2 x<br />

n1<br />

x 1 x 2 x n<br />

1<br />

x<br />

x Cn Cn Cn<br />

<br />

2 3 n1 n1<br />

n 1<br />

1 1 1 2 1 2 <br />

n 1<br />

Cn Cn Cn<br />

1 <br />

2 3 n<br />

1 n<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 204


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ខ.<br />

n 1<br />

1 1 1 2 1 2 <br />

n 1<br />

ែូរចនោះ 1 Cn Cn Cn<br />

<br />

2 3 n<br />

1 n<br />

1<br />

n 1<br />

1 0 1 1 1 2 1 2 <br />

n 1<br />

Cn Cn Cn Cn<br />

<br />

3 6 9 3n3 3 n1<br />

រយើងបង្ហា ញសមភាររោយរព្បើអំងរតព្កាល ៃិង ូបមៃរទវធាញ ូ តុៃ<br />

រុណអងាទំងសងខាងៃឹង<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

n<br />

0 1 3 n1 3n3 n 3n<br />

n n n n<br />

1 x C C x C x C x<br />

<br />

2<br />

x<br />

<br />

ររបាៃ<br />

2 3<br />

n<br />

0 2 1 5 n1 3n1 n 3n2<br />

1 <br />

n<br />

<br />

n<br />

<br />

n<br />

<br />

n<br />

x x C x C x C x C x<br />

រយើងរធវ ើអំងរតព្កាលរលើអងាទំងសងខាងនៃ 1<br />

រី 0 រៅ 1 ររបាៃ<br />

<br />

1 1<br />

2 3 0 2 1 5 1 3 1 3 2<br />

<br />

1<br />

<br />

n<br />

n n n n<br />

1 n<br />

<br />

n<br />

<br />

n<br />

<br />

n <br />

x x dx C x C x C x C x dx<br />

0 0<br />

រព្កាយរីរធវ ើអំងរតព្កាលរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />

ឬ<br />

ែូរចនោះ<br />

៨៨.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

dx<br />

<br />

x x<br />

<br />

2<br />

2 2<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

1 3<br />

n<br />

3 6 9 3n2<br />

x x 1<br />

1 x 2 x<br />

x<br />

n<br />

Cn Cn Cn<br />

<br />

3 6 9 3n2 3 n1<br />

n 1<br />

1 0 1 1 1 2 1 2 <br />

n 1<br />

Cn Cn Cn Cn<br />

<br />

3 6 9 3n3 3 n1<br />

n 1<br />

1 0 1 1 1 2 1 2 <br />

n 1<br />

Cn Cn Cn Cn<br />

<br />

3 6 9 3n3 3 n1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

dx<br />

រ ោះររបាៃ ួម<br />

2<br />

x 2x2<br />

1 <br />

dx<br />

dx<br />

lim<br />

x 2x2 <br />

x 1 1<br />

2<br />

<br />

1 1<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

lim arctan x 1<br />

<br />

<br />

lim arctan<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 205


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

dx<br />

ែូរចនោះ ួម<br />

2<br />

x 2x2<br />

1 ខ.<br />

<br />

<br />

e<br />

x<br />

dx<br />

ln<br />

x 3 2<br />

រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />

<br />

របើ x e<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

u 1<br />

ាង<br />

u ln x<br />

រ<br />

ោះ<br />

dx<br />

du <br />

x<br />

របើ x រ ោះររបាៃ u <br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ ោះររបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

<br />

e<br />

x<br />

<br />

<br />

e<br />

dx<br />

x<br />

ln<br />

x 3 2<br />

dx<br />

ln<br />

x 3 2<br />

៨៩.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

b<br />

<br />

a<br />

dx<br />

x ab x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

b<br />

a<br />

ួម<br />

ួម<br />

<br />

<br />

e<br />

<br />

dx du<br />

<br />

xln<br />

x 3 3<br />

2 1 2<br />

u<br />

b<br />

lim<br />

<br />

2<br />

u<br />

<br />

2 <br />

lim 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

dx<br />

<br />

x a b x a b a b<br />

<br />

x <br />

2 2 <br />

<br />

2 2<br />

a<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

a<br />

b<br />

ាង t x រ ោះ dt dx<br />

2<br />

<br />

+របើ x a<br />

រ ោះ<br />

b<br />

a<br />

t <br />

2<br />

1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 206


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ររបាៃ<br />

<br />

+របើ x b<br />

I <br />

ba<br />

2<br />

<br />

ba<br />

<br />

2<br />

រយើងាងបៃរទៀត<br />

+របើ<br />

រ<br />

ោះ<br />

b<br />

a<br />

t <br />

2<br />

b<br />

a<br />

t <br />

2<br />

dt<br />

2<br />

b<br />

a t<br />

2 <br />

b<br />

a<br />

t <br />

2<br />

2<br />

sin <br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

រ ោះ sin 1 ឬ<br />

b<br />

a<br />

+របើ t រ ោះ<br />

ឬ<br />

2<br />

b<br />

a<br />

2<br />

cos<br />

d<br />

ររបាៃ I 2<br />

<br />

<br />

b a b a<br />

<br />

2 sin <br />

<br />

2 2 <br />

រ<br />

ោះ<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

b<br />

a<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

sin 1<br />

cos d<br />

<br />

2<br />

1<br />

sin <br />

<br />

dx<br />

ួម<br />

b<br />

<br />

a<br />

b<br />

a<br />

dt <br />

2<br />

<br />

<br />

2<br />

2 2<br />

<br />

x ab x<br />

dx<br />

x ab x<br />

xdx<br />

x ab x<br />

ួម<br />

<br />

<br />

2<br />

cos <br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

<br />

ាង x a b t<br />

<br />

រ ោះ dx dt<br />

d<br />

ររបាៃ<br />

<br />

របើ x a<br />

<br />

របើ x b<br />

J <br />

<br />

a<br />

<br />

b<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

រ ោះ t b<br />

<br />

រ ោះ t a<br />

<br />

<br />

a b t dt<br />

a b t a b a b t<br />

a b tdt<br />

t ab t<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 207


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

<br />

b<br />

dt<br />

tdt<br />

a b <br />

<br />

t a b t t a b t<br />

<br />

<br />

រ ោះ 2J <br />

រ<br />

<br />

ោះររបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

b<br />

<br />

a<br />

b<br />

a<br />

J<br />

ឬ<br />

a<br />

<br />

J <br />

2<br />

b<br />

<br />

<br />

xdx<br />

ួម<br />

x ab x<br />

xdx<br />

x ab x<br />

៩០.រតើអំងរតព្កាលខាងរព្កាម ួម ឬ ីក្ ?<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

dx<br />

x<br />

x<br />

<br />

0<br />

1 2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

រ<br />

ោះ<br />

ែូរចនោះ<br />

ខ.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

<br />

x1 x2<br />

0<br />

<br />

<br />

dx<br />

<br />

x1 x2<br />

0<br />

4<br />

x<br />

x <br />

10<br />

1<br />

0<br />

ួម<br />

<br />

<br />

0 0<br />

<br />

dx<br />

a<br />

dx<br />

1 1 <br />

lim dx<br />

x 1 x 2 x 1 x 2<br />

<br />

ួម<br />

ួម<br />

<br />

0<br />

lim ln x1 ln x<br />

2<br />

<br />

1<br />

lim ln ln 2 ln 2<br />

2<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u<br />

5<br />

x រ ោះ<br />

du 5x<br />

របើ x 0 រ ោះររបាៃ u 0<br />

របើ x រ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ោះររបាៃ u <br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

x 1 du<br />

dx <br />

x 1 5<br />

<br />

u 1<br />

10 2<br />

0 0<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 208


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រ<br />

ោះ<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

<br />

4<br />

x<br />

x <br />

10<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

4<br />

x<br />

x <br />

10<br />

1<br />

0<br />

dx<br />

dx<br />

៩១.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

1 2<br />

<br />

0 1<br />

x dx<br />

x<br />

2<br />

ួម<br />

ួម<br />

1<br />

lim<br />

<br />

<br />

du<br />

2<br />

5 u 1<br />

0<br />

<br />

x<br />

1 <br />

lim arctan <br />

5 10<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ នៃអៃុរមៃ៏ព្តីរកាណមាព្ត<br />

ាង<br />

x<br />

sin t<br />

រ<br />

ោះ<br />

t<br />

arcsin x<br />

<br />

dx<br />

costdt<br />

របើ x 0 រ ោះររបាៃ t 0<br />

របើ<br />

x 1 រ ោះររបាៃ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ខ.<br />

1<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

រ<br />

ោះ<br />

ែូរចនោះ<br />

1 2<br />

<br />

0 1<br />

ln 13 2<br />

x dx<br />

x<br />

2<br />

ួម<br />

1 2<br />

x dx<br />

ួម<br />

2<br />

0 1 x<br />

<br />

2<br />

x x dx<br />

<br />

t <br />

2<br />

<br />

1 2 2 2<br />

<br />

x dx<br />

1<br />

x<br />

<br />

<br />

2<br />

0 0<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

sin t<br />

cos tdt<br />

cos t<br />

<br />

2<br />

1<br />

cos 2t dt<br />

2<br />

0<br />

t sin 2t 2 <br />

<br />

2 4 4<br />

0<br />

0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 209


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

1 1<br />

2 2<br />

<br />

2<br />

<br />

ln 1 3x 2x dx ln 1 x 1 2x dx<br />

0 0<br />

1 1<br />

2 2<br />

<br />

xdx<br />

<br />

ln 1 ln 1<br />

2x dx<br />

<br />

0 0<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ ររបាៃ<br />

អំងរតព្កាលខាងលរៅជា<br />

<br />

ln<br />

xdx x ln x x c<br />

1<br />

2<br />

<br />

0<br />

1<br />

2<br />

ស ុបមក្អំងរតព្កាល<br />

រ<br />

ោះ<br />

1<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

0<br />

1 2<br />

1 1<br />

ln 1 x dx 1 x ln 1 x 1 x ln 2 <br />

0<br />

2 2<br />

<br />

1 1<br />

ln 1 2x dx lim 1 2x ln 1 2x 1<br />

2x<br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

1<br />

2<br />

<br />

0<br />

ln 13 2<br />

1<br />

2<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

3 1 3<br />

lim 1 2 ln 1 2 1 2 <br />

2 <br />

2 2<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

2<br />

2<br />

ln 13x 2x dx ln 2 1<br />

<br />

2<br />

x x dx<br />

2<br />

ែូរចនោះ ln 13 2<br />

<br />

0<br />

ួម<br />

x x dx ួម<br />

៩២.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />

ក្.<br />

<br />

<br />

dx<br />

2<br />

1 x x x<br />

1<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

1<br />

ាង x រ ោះ<br />

t<br />

dt<br />

dx <br />

2<br />

t<br />

របើ x 1 រ ោះររបាៃ t 1<br />

របើ x រ ោះររបាៃ t 0<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 210


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

dx<br />

<br />

x x x<br />

1<br />

<br />

2<br />

1 1<br />

<br />

1<br />

<br />

0<br />

1 dt<br />

2<br />

1 1 1 t<br />

1<br />

0 1<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

របើ<br />

របើ<br />

2t<br />

1<br />

u <br />

3<br />

រ<br />

ោះ<br />

t 0 រ ោះររបាៃ<br />

t 1 រ ោះររបាៃ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ខ.<br />

1<br />

<br />

0<br />

រ<br />

ោះ<br />

ែូរចនោះ<br />

1<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

x x<br />

dx<br />

x<br />

<br />

2<br />

1 1<br />

<br />

<br />

x 1<br />

x<br />

<br />

x x<br />

dx<br />

x<br />

<br />

2<br />

1 1<br />

dx<br />

dt <br />

u <br />

u <br />

3<br />

du<br />

2<br />

1<br />

3<br />

3<br />

1 3<br />

<br />

0<br />

ួម<br />

1<br />

2<br />

t t t<br />

dt<br />

tt<br />

dt<br />

<br />

2<br />

0 1<br />

3<br />

t<br />

<br />

2<br />

4<br />

dt<br />

1 3<br />

<br />

2 du<br />

1 3 1 3 2<br />

2<br />

t<br />

3<br />

1<br />

u<br />

<br />

<br />

2<br />

4 4<br />

ួម<br />

<br />

1<br />

3<br />

<br />

3<br />

du<br />

1<br />

u<br />

2<br />

2<br />

<br />

2<br />

ln u u 1<br />

3<br />

2 3<br />

ln<br />

3<br />

1 1<br />

1<br />

x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា dx <br />

<br />

<br />

0 x 1 x 0<br />

2<br />

<br />

3<br />

1<br />

3<br />

<br />

<br />

x 1<br />

dx<br />

1<br />

12x<br />

1<br />

4 <br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 211


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />

ាង<br />

u 2x1<br />

រ<br />

ោះ<br />

du 2dx<br />

របើ<br />

x 0<br />

រ<br />

ោះររបាៃ<br />

u 1<br />

របើ<br />

x 1 រ ោះររបាៃ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

ោះ<br />

ែូរចនោះ<br />

u 1<br />

1 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 212<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

x<br />

dx ួម<br />

x 1<br />

x<br />

1<br />

<br />

0<br />

1<br />

x<br />

<br />

<br />

x 1<br />

x<br />

៩៣.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាល<br />

ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

ាង<br />

<br />

2<br />

<br />

dx<br />

1<br />

u<br />

1<br />

1<br />

x<br />

dx 2<br />

<br />

x 1<br />

x 1<br />

1<br />

u<br />

4<br />

<br />

<br />

0 1<br />

<br />

2<br />

0<br />

ួម<br />

I ln sin x dx<br />

0<br />

<br />

u x<br />

2<br />

<br />

I ln sin x dx<br />

<br />

រ ោះ du dx<br />

<br />

របើ x 0 រ<br />

<br />

ោះររបាៃ u <br />

2<br />

<br />

របើ x រ<br />

2<br />

ោះររបាៃ<br />

u 0<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

1<br />

<br />

1<br />

2<br />

3<br />

u du<br />

2<br />

1<br />

u<br />

du<br />

3 1 1 u<br />

<br />

2 1u<br />

2 1u<br />

2 2<br />

3 1<br />

lim arcsin u 1 u<br />

u1<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

ៃិង<br />

3<br />

2<br />

<br />

2<br />

0<br />

<br />

J ln cos x dx<br />

រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា ln sin<br />

ln cos<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

0<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

du<br />

<br />

I x dx t dt J<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

រយើងរណ<br />

ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

2I I J ln sin x dx ln cos x dx<br />

ាង<br />

របើ<br />

របើ<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

u 2x<br />

x 0<br />

<br />

x <br />

2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ចំរ<br />

ោះអំងរតព្កាល<br />

<br />

0 0<br />

<br />

2<br />

0<br />

<br />

ln sin x ln cos x dx<br />

<br />

2<br />

0<br />

<br />

ln sin xcos<br />

x dx<br />

<br />

2<br />

1<br />

<br />

ln sin 2xdx<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

<br />

ln 2 ln sin 2xdx<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

ln sin 2x dx<br />

រ<br />

រ<br />

ោះ<br />

ោះររបាៃ<br />

0<br />

du 2dx<br />

<br />

រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />

u 0<br />

<br />

រ ោះររបាៃ u <br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

2<br />

xdx<br />

ln sin<br />

<br />

ln sin 2<br />

<br />

ln sin u du<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

ាង v u<br />

របើ<br />

<br />

u <br />

2<br />

<br />

<br />

រ<br />

<br />

0 0<br />

<br />

<br />

<br />

1 <br />

<br />

2 <br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

u du<br />

udu<br />

ln sin<br />

<br />

ln sin<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1 1<br />

I ln sin udu<br />

2 2<br />

រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />

រ ោះ dv du<br />

ោះររបាៃ<br />

<br />

v <br />

2<br />

<br />

<br />

u du<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 213


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

របើ u<br />

រ ោះររបាៃ v 0<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា ln sin<br />

udu<br />

ln sin<br />

<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2<br />

ស ុបមក្អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

ោះ<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

ln sin x dx<br />

ែូរចនោះ<br />

<br />

2<br />

+ ួចទញ ក្អំងរតព្កាល<br />

ចំរ<br />

<br />

ោះ អំងរតព្កាល<br />

ាង<br />

f x<br />

0<br />

x<br />

<br />

ៃិង<br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

0<br />

ln sin x dx<br />

b<br />

<br />

a<br />

រ<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

v dv<br />

<br />

ln sin u du I<br />

1 1<br />

ln sin 2x dx I I I<br />

2 2<br />

<br />

<br />

ln cos x dx<br />

<br />

2<br />

ៃិង<br />

<br />

2<br />

<br />

x<br />

K <br />

tan dx<br />

x<br />

0<br />

<br />

2<br />

x<br />

K <br />

tan dx<br />

x<br />

0<br />

0<br />

<br />

2I<br />

ln 2 I<br />

2<br />

<br />

ួម<br />

<br />

ln cos x dx<br />

ៃិង<br />

L <br />

<br />

<br />

0<br />

ួម<br />

រ<br />

ោះ<br />

xsin<br />

x<br />

dx<br />

1<br />

cos x<br />

<br />

I J ln 2<br />

2<br />

រោោះស្រាយរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

b<br />

<br />

f x g x dx f x g x g x f x dx<br />

ោះ<br />

1 cos x<br />

g x<br />

<br />

tan x sin x<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ចំរ<br />

ោះ អំងរតព្កាល<br />

0<br />

f<br />

រ<br />

x 1<br />

ោះ<br />

ln sin<br />

x<br />

g x<br />

<br />

<br />

2 2<br />

0<br />

<br />

0 0<br />

a<br />

x<br />

2<br />

K dx limxsin x ln sin<br />

xdx<br />

tan x<br />

<br />

0<br />

b<br />

<br />

a<br />

limsin<br />

I<br />

<br />

I<br />

ln 2<br />

2<br />

<br />

xsin<br />

x<br />

L dx អចស រស រៅជា<br />

1<br />

cos x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 214


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

x x<br />

<br />

2xsin cos<br />

xsin x<br />

L dx 2 2<br />

<br />

dx<br />

1<br />

cos x<br />

x<br />

0 0<br />

<br />

2<br />

2sin 2<br />

x<br />

dx<br />

x<br />

0 tan 2<br />

រយើងអំងរតព្កាល<br />

<br />

x<br />

dx រោោះស្រាយរោយបរ<br />

x<br />

ូ អរេ<br />

0 tan 2<br />

ាង<br />

របើ<br />

របើ<br />

x<br />

u <br />

2<br />

x 0<br />

<br />

x <br />

2<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

រ<br />

ោះ<br />

ែូរចនោះ<br />

np ,<br />

៩៤.ចំរ ោះព្រប់ <br />

2<br />

រណ<br />

អំងរតព្កាល<br />

រ<br />

រ<br />

<br />

2<br />

រ ោះ 2du dx<br />

ោះររបាៃ<br />

ោះររបាៃ<br />

<br />

<br />

x<br />

K <br />

tan dx<br />

x<br />

0<br />

<br />

2<br />

x<br />

K <br />

tan dx<br />

x<br />

0<br />

ចូ រណ<br />

<br />

u 0<br />

<br />

u <br />

4<br />

x<br />

dx <br />

x<br />

tan 2<br />

<br />

2<br />

<br />

0 0<br />

ៃិង<br />

ៃិង<br />

2u<br />

2du<br />

tan u<br />

4K<br />

2<br />

ln 2<br />

L <br />

<br />

<br />

0<br />

L <br />

xsin<br />

x<br />

dx<br />

1<br />

cos x<br />

<br />

<br />

0<br />

អំងរតព្កាល<br />

xsin<br />

x<br />

dx<br />

1<br />

cos x<br />

<br />

2<br />

2<br />

I<br />

,<br />

cos n<br />

np xcos 2<br />

px<br />

dx<br />

0<br />

រយើងរធវ ើលីរៃដអ ក្ មរហុធាព្តីរកាណមាព្ត<br />

cos<br />

2n 1<br />

ix ix<br />

2<br />

x <br />

<br />

e e <br />

2<br />

1<br />

<br />

2<br />

2n<br />

<br />

2n<br />

k 0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

n<br />

2n ix<br />

k<br />

ix<br />

k<br />

e e<br />

ួម<br />

ួម<br />

<br />

2<br />

2<br />

I<br />

,<br />

cos n<br />

np xcos 2<br />

px<br />

dx<br />

0<br />

<br />

2<br />

cos n x រោយរព្បើចំៃួៃក្ុំនៃ<br />

2nk<br />

ិចររបាៃ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 215


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

1<br />

<br />

2<br />

2n<br />

2n<br />

2 <br />

k e<br />

<br />

2n<br />

k 0<br />

n<br />

1<br />

<br />

2<br />

qkn<br />

2n<br />

qn<br />

<br />

k n ix<br />

<br />

e<br />

2n<br />

2iqx<br />

nq<br />

1 <br />

<br />

2n<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

q1<br />

n<br />

n nq e<br />

nq<br />

<br />

2n 2n 2iqx 2n 2iqx<br />

e <br />

1 <br />

<br />

2n<br />

<br />

2 q1<br />

1<br />

<br />

2<br />

2n<br />

<br />

<br />

<br />

n<br />

2n 2n 2iqx 2iqx<br />

n n q e<br />

e <br />

<br />

<br />

2 n<br />

n 2 n<br />

n<br />

<br />

2<br />

nq<br />

cos2qx<br />

q1<br />

រយើងែឹងរហើយថា <br />

ែូរចនោះររបាៃ<br />

ដែលររាងចំរ<br />

ររមាៃ<br />

<br />

2 2n<br />

nq<br />

nq<br />

1 <br />

2 n<br />

n 2 2 n<br />

I J K<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ៃិង រយើងោក្់ព្ក្ុមស ៃសេៃ៍នៃ<br />

n, p 2n<br />

n p n q p,<br />

q<br />

2<br />

q1<br />

ោះព្រប់<br />

2<br />

pq , <br />

រោយ<br />

J<br />

p<br />

<br />

2<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos 2 px dx<br />

ៃិង<br />

p ៃិង<br />

pqជាកា ាងអំងរតព្កាល<br />

,<br />

<br />

2<br />

0<br />

<br />

K<br />

p,q<br />

cos 2 px cos 2qx dx<br />

+របើ<br />

2 0<br />

sin 2 px<br />

p 0, Jp<br />

0<br />

2 p<br />

រហើយ<br />

<br />

2<br />

0<br />

<br />

ៃិង<br />

J<br />

0<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

K<br />

pq ,<br />

cos 2 p 2q x cos 2 p 2q xdx<br />

2<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

J<br />

qq<br />

J<br />

pq<br />

<br />

ដែល<br />

+របើ 0<br />

+របើ<br />

K pq ,<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

2<br />

2n<br />

p ររបាៃ n p<br />

<br />

0 របើ<br />

p<br />

n<br />

1 <br />

2<br />

2 4 2<br />

1 n <br />

<br />

n<br />

n<br />

2 2 2<br />

2n<br />

2n<br />

ែូរចនោះ ររបាៃ In p<br />

np np<br />

<br />

I<br />

របើ<br />

របើ<br />

របើ<br />

p<br />

q<br />

pq0<br />

pq0<br />

, 2n<br />

2n1<br />

p 0 ររបាៃ <br />

2 2n<br />

n, p 2 n 2 1 n<br />

2<br />

ស ុបចុងរព្កាយ ចំរ ោះព្រប់ np , ររបាៃ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 216


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

៩៥.ក្.ចំរ ោះព្រប់ n<br />

I<br />

<br />

រិៃិតយរមើលសមីកា<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2n<br />

n, p 2n1<br />

n<br />

p<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 n !<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

2n1<br />

2 n p ! n p !<br />

ចូ បង្ហា ញថា<br />

x<br />

2n<br />

10<br />

ឬ<br />

n1<br />

k<br />

<br />

1 1<br />

2 cos 1<br />

k1<br />

n<br />

<br />

<br />

2n<br />

2 2<br />

x x x x<br />

x<br />

2n<br />

1<br />

របើ p<br />

n<br />

របើ p<br />

n<br />

រ ោះ ឬសទី 2n<br />

នៃ 1 រឺ<br />

k<br />

2k<br />

i<br />

2n<br />

x e e<br />

k<br />

i<br />

n<br />

ដែល<br />

k 0,1,2, ,2n1<br />

ាមព្ទឹសរ ីបទក្ារ ររបាៃ<br />

ែូរចនោះ<br />

2n1<br />

2n<br />

x 1<br />

x xk<br />

k0<br />

<br />

2n1<br />

<br />

k 0<br />

<br />

<br />

xe<br />

<br />

<br />

k<br />

i<br />

n<br />

<br />

<br />

<br />

k<br />

k<br />

i<br />

n<br />

n1 i<br />

2n1<br />

n<br />

i<br />

1<br />

<br />

x x e x e x e <br />

k 1 k n1 <br />

n1 k<br />

1 2n k<br />

i<br />

n<br />

<br />

<br />

i<br />

n<br />

n<br />

x 1 x 1x e <br />

x e<br />

<br />

k1 k1 <br />

n1 k<br />

1<br />

k<br />

i<br />

n<br />

<br />

2<br />

i<br />

n<br />

n<br />

x 1 x e x e <br />

k1 k1 <br />

n1<br />

k<br />

k<br />

2<br />

i i<br />

n<br />

n<br />

x 1<br />

x e x e <br />

k 1<br />

<br />

n1<br />

k<br />

k<br />

<br />

2 2<br />

i i<br />

<br />

n n<br />

x 1<br />

x e e x<br />

1<br />

k 1<br />

<br />

<br />

<br />

n1<br />

k<br />

<br />

1<br />

2 cos 1<br />

k1<br />

n<br />

<br />

<br />

2 2<br />

x x x <br />

n1<br />

k<br />

<br />

1 1<br />

2 cos 1<br />

k1<br />

n<br />

<br />

<br />

2n<br />

2 2<br />

x x x x<br />

ខ. រោយរព្បើសំៃួ ខាងរលើ ចូ រណ អំងរតព្កាល<br />

ាមៃិយមៃ័យអំងរតព្កាលក្ំណត់ររបាៃ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

I ln 2cos t 1<br />

dt<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 217


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

<br />

n1<br />

2 0 2 k<br />

<br />

I ln 2 cos t<br />

1<br />

dt lim ln 2<br />

cos 1<br />

n<br />

n<br />

<br />

k0<br />

n<br />

<br />

<br />

+របើ<br />

+របើ<br />

៩៦.បង្ហា ញថា<br />

0<br />

ែូរចនោះ<br />

1 រ ោះ ររបាៃ<br />

2<br />

1 រ ោះ ររបាៃ<br />

k<br />

<br />

<br />

<br />

n1<br />

2<br />

lim ln <br />

2cos 1<br />

n n<br />

<br />

<br />

k 1<br />

n<br />

2n<br />

1<br />

lim ln<br />

n<br />

2<br />

n 1<br />

01<br />

lim ln 0<br />

n<br />

n 1<br />

<br />

2<br />

I ln <br />

2cost<br />

1<br />

dt <br />

0<br />

<br />

2n<br />

1<br />

1<br />

lim ln lim ln<br />

n<br />

2 <br />

<br />

2<br />

n 1 n<br />

n 1<br />

<br />

2n<br />

2n<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

0<br />

2<br />

ln lim ln<br />

n<br />

2<br />

n 1<br />

<br />

2ln<br />

<br />

0<br />

2<br />

ln <br />

dx x 2n 3 dx<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2 1 2<br />

1 x 2 n 1 1 x n <br />

<br />

1<br />

x <br />

n n 1 n<br />

1<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />

<br />

<br />

រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាល<br />

ាង<br />

g<br />

x<br />

f x<br />

<br />

<br />

x<br />

x<br />

1<br />

x<br />

2<br />

<br />

រ<br />

n<br />

ោះ<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

dx <br />

x<br />

1x<br />

1x<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2<br />

n<br />

2<br />

n<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

x<br />

dx<br />

<br />

2 n1<br />

<br />

1x<br />

1x<br />

2<br />

<br />

2<br />

x dx<br />

1 x<br />

2<br />

<br />

n<br />

<br />

<br />

2<br />

x dx<br />

n<br />

រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />

<br />

<br />

f x g x dx f x g x g x f x dx<br />

f<br />

x 1<br />

រ ោះ g x<br />

<br />

<br />

2<br />

n1<br />

របើ<br />

របើ<br />

1 1<br />

x<br />

1<br />

<br />

2 n 1 2 1n 1x<br />

2<br />

<br />

1<br />

1<br />

n1<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 218


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

អំងរតព្កាលរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

2<br />

x dx x dx<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2<br />

1 x 2n 11 x 21 n1<br />

x <br />

n n 1 n1<br />

dx x dx dx<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

1 x 2n 11 x 21 n1 x 1<br />

x <br />

n n1 n1 n1<br />

x 1 dx dx<br />

<br />

2 1 1 1 1<br />

2<br />

<br />

2 2<br />

n x 21<br />

n<br />

<br />

x x <br />

n 1 n 1 n<br />

1<br />

x 1 <br />

1<br />

<br />

2 1 1 1<br />

dx<br />

2<br />

n<br />

21 <br />

2<br />

n x n x <br />

1 n1<br />

x 12 2n<br />

dx<br />

<br />

2 1 1 1<br />

2<br />

n<br />

21 <br />

2<br />

n x n x <br />

1 n<br />

1<br />

x 2n 3 dx<br />

<br />

2 1 1 1<br />

<br />

2<br />

n<br />

2n<br />

1 2<br />

n x <br />

<br />

x <br />

1 n<br />

1<br />

dx x 2n 3 dx<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2 1 2<br />

1 x 2 n 1 1 x n <br />

<br />

1<br />

x <br />

អៃុវតរៃ៏ចំរ ោះអំងរតព្កាល<br />

n n 1 n<br />

1<br />

I <br />

<br />

dx<br />

3<br />

1<br />

x<br />

ាមសព្មាយបញ្ញជ ក្់ខាងរលើររបាៃ<br />

2<br />

dx x 22 3<br />

dx<br />

I <br />

1 x 2 3 1 1 x 2 31<br />

<br />

1<br />

x<br />

<br />

2<br />

3<br />

2<br />

31 2<br />

31<br />

x 3 dx<br />

<br />

4 1 1<br />

<br />

2<br />

4<br />

<br />

2<br />

x<br />

x<br />

<br />

2 2<br />

<br />

x 3 x 22 3<br />

dx<br />

<br />

4 1<br />

<br />

2 2 1 1 1<br />

<br />

2 2<br />

<br />

4 22 1 2<br />

x x <br />

<br />

x <br />

2 2 1 2 1<br />

x 3 x 3 1 dx<br />

<br />

4 1 1<br />

2 2<br />

2<br />

x 4 21 x 4 2<br />

<br />

<br />

x<br />

<br />

2 2 1<br />

x 3x<br />

3<br />

arctan x<br />

c<br />

41<br />

8<br />

2<br />

x 2 81 x<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 219


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ែូរចនោះ<br />

I <br />

៩៧.បង្ហា ញថា<br />

dx<br />

<br />

2<br />

1<br />

x 3<br />

1 1<br />

m<br />

<br />

x 3x<br />

3<br />

arctan x<br />

c<br />

41<br />

8<br />

2<br />

x 2 81 x<br />

2<br />

<br />

n<br />

n<br />

1 1<br />

<br />

x x dx x x dx<br />

<br />

0 0<br />

រយើងបង្ហា ញសមភារខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលបរ ូ អរេ<br />

ាង u 1 x រ ោះ du dx<br />

m<br />

+របើ x 0 រ ោះ<br />

u 1<br />

+របើ<br />

u <br />

x 1 រ ោះ 0<br />

អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />

ែូរចនោះ<br />

៩៨.ក្.ក្ំណត់អៃុរមៃ៍<br />

1 0<br />

m n<br />

<br />

1 1<br />

m n<br />

<br />

<br />

n<br />

x 1 x dx 1u u du<br />

0 1<br />

<br />

n<br />

x 1 x dx x 1<br />

x dx<br />

<br />

0 0<br />

f<br />

x<br />

1<br />

<br />

រោយរព្បើ<br />

<br />

m<br />

<br />

<br />

a, b,cos<br />

x<br />

1<br />

<br />

0<br />

1<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

m<br />

<br />

m<br />

n<br />

u 1u du<br />

<br />

<br />

m<br />

n<br />

x 1x dx<br />

ៃិង sin x<br />

ររមាៃ f x cos x f tsin<br />

x tdt<br />

, a f tcos<br />

tdt ៃិង <br />

អៃុរមៃ៍<br />

f<br />

អចស រស រៅជា<br />

0<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

f x cos x f t sin x t dt<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

0<br />

1<br />

cos x f tsin xcos t sin t cos xdt<br />

<br />

<br />

sin x<br />

cos x<br />

cos x f tcos tdt f tsin<br />

tdt<br />

<br />

<br />

cos x asin x bcos<br />

x<br />

<br />

<br />

1b cos x asin<br />

x<br />

f x 1b cos x asin<br />

x<br />

ែូរចនោះ <br />

0 0<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

1<br />

b f t sin tdt<br />

<br />

0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 220


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

ខ.រណ<br />

+ចំរ<br />

+ចំរ<br />

+ចំរ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

ោះ<br />

<br />

cost<br />

sin tdt<br />

<br />

0<br />

<br />

cos t sin tdt<br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

cos tdt<br />

0<br />

<br />

,<br />

<br />

2<br />

cos tdt<br />

<br />

0<br />

ៃិង<br />

<br />

2<br />

sin tdt<br />

<br />

អចស រស រៅជា<br />

1<br />

cos t sin tdt sin 2tdt<br />

2<br />

<br />

<br />

0 0<br />

អចស រស រៅជា<br />

<br />

2<br />

cos tdt<br />

<br />

0<br />

រ. ក្អៃុរមៃ៍<br />

f<br />

x<br />

<br />

<br />

cos<br />

2<br />

tdt <br />

<br />

<br />

0 0<br />

អចស រស រៅជា<br />

0<br />

<br />

1<br />

cos 2 t 0<br />

4<br />

1<br />

cos 2t<br />

dt<br />

2<br />

1<br />

1 <br />

t sin 2 t<br />

<br />

2 2 2<br />

<br />

<br />

2 1<br />

cos tdt 1cos 2<br />

<br />

2<br />

<br />

0 0<br />

ាមសព្មាយរៅសំៃួ ខាងរលើររបាៃ<br />

រហើយ<br />

<br />

0 0<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

0<br />

t dt<br />

1<br />

1 <br />

t sin 2 t<br />

<br />

2 2 2<br />

<br />

1 1<br />

a f tcos tdt 1 bcos t asin tcos<br />

tdt<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 a<br />

cos<br />

<br />

<br />

0 0<br />

1<br />

b a<br />

0<br />

2 <br />

1 b<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

0 0<br />

<br />

0<br />

tdt cos t sin tdt<br />

1 1<br />

b f t sin tdt 1 b cos t asin tsin<br />

tdt<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 221


092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />

1<br />

ាម <br />

រ<br />

2<br />

ៃិង <br />

ោះអៃុរមៃ៍<br />

ែូរចនោះ<br />

f<br />

<br />

1b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

a 2<br />

t tdt sin tdt<br />

cos sin<br />

<br />

<br />

0 0<br />

1<br />

b a <br />

0<br />

<br />

2<br />

a<br />

<br />

2<br />

ររទញបាៃ<br />

2<br />

2<br />

a <br />

5<br />

រៅជា <br />

4 1<br />

f x cos x sin x<br />

5 5<br />

ៃិង<br />

1<br />

b <br />

5<br />

f x 1b cos x asin<br />

x<br />

4 1<br />

cos x<br />

sin x<br />

5 5<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 222

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!