Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng.
3.1. Phương pháp giải
Đối với bài toán phương trình nghiệm nguyên chưa có thuật toán nào cụ thể. Tùy vào từng bài
toán ta lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
a) Đối với phương trình hai biến
Xét phương trình mà mà biểu thức hai vế có dạng đa thức đối xứng của các biến, tùy theo từng
bài toán cụ thể mà ta làm như sau:
Đặt:
⎧x
+ y = σ1
⎨ (*)
⎩ xy = σ
2
Biểu diễn phương trình ban đầu theo phương trình của σ1,
σ
2
.
Rút σ
2
theo σ
1
(1)
Cách 1: Từ (*) và (1) ta suy ra được x,y là nghiệm của phương trình bậc hai: t
2 − σ1t
+ σ
2
= 0 với
điều kiện ∆ ≥ 0 . Từ đó suy ra điều kiện của σ
1
.
Cách 2: Do x, y là số nguyên nên x,y là số thực. Do đó cần kết hợp với (1) ta tìm được điều kiện
của σ
1
. Tìm x,y theo σ
1
, σ
2
.
b) Đối với phương trình có ba biến
Ta biểu diễn phương trình ban đầu theo phương trình của σ1, σ
2,
σ
3
.
Thông thường trong quá trình tính toán một biến σ
i
nào đó sẽ bị triệt tiêu. Khi đó ta có thể làm
tương tự trường hợp phương trình hai biến.
3.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình:
Lời giải:
⎧x
+ y = σ1
Đặt: ⎨ ; σ1, σ
2
> 0 do x;
y ∈Z
⎩ xy = σ
2
Khi đó ta có phương trình:
σ − 3σ σ + 1 = 3σ
3
1 1 2 2
2
( σ1 )( σ1 σ1 σ
2 )
⇔ + 1 − + 1− 3 = 0
⇔ σ − σ + 1− 3σ
= 0 (do σ
1
+ 1 > 0 )
2
1 1 2
+
3 3
x + y + = xy
1 2
σ
2
= ( σ1 − σ1
+ 1)
3
Do đó x,y là nghiệm của phương trình bậc hai:
2 1 2
t − σ1t
+ ( σ1 − σ1
+ 1)
= 0
3
2 4 2 −1
∆ = σ ( ) ( ) 2
1
− σ1 − σ1 + 1 = σ1
− 2 ≤ 0
3 3
Để tồn tại x,y thì ∆ = 0 ⇔ σ1
= 2 . Khi đó x = y = 1
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 14
1 3