Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

2 1 2 2
Do đó: σ1 −σ1 − 8 ≤ σ1
⇔ σ1 − 2σ
1
−16 ≤ 0 ⇔ 1− 17 ≤ σ1
≤ 1+
17
2
Do σ1
∈Z nên σ
1
= −3; −2; − 1;0;1;2;3;4;5 .
σ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
σ 2 -1 -3 -4 -4 -3 -1 2 6
2
TM L L TM L TM L L TM
{ }
Vậy ( x; y ) = ( −1; −2 );( −2; −1 );( 2; −2 );( −2;2 );( −1;3 );( 3; − 1 );( 2;3 );( 3;2)
Bài 3:
⎧x
+ y = σ1
Đặt: ⎨
⎩ xy = σ
2
Hệ phương trình trở thành:
⎧
⎨
⎩σ
σ = z
1
3 2
1
− 3σ 1σ
2
= z
⎡ ⎧σ
1
= 0
⎢ ⎨
⎩ z = 0
⇔
⎢
⎢ ⎧ z = 0
⎢⎨ 2
⎢⎩ ⎣ σ1 −σ1 − 3σ
2
= 0
⎧σ =
TH1: ⎨
⎩ z = 0
1
0
⎧ z = 0
TH2: ⎨
.
2
⎩σ 1
−σ1 − 3σ
2
= 0
⎧ σ1
= z ⎧ σ1
= z
⇔ ⎨
⇔
3
⎨ 2
⎩σ 1
− 3σ 1σ 2
= σ1
⎩σ 1( σ1 −σ1 − 3 σ
2) = 0
⇒ x = −y
loại do nghiệm cần tìm nguyên dương.
{ }
{ }
Theo bài 3.3.1 suy ra ( x; y; z ) = ( 2;1;3 );( 1;2;3 );( 2;2;2)
Vậy ( x; y; z ) = ( 2;1;3 );( 1;2;3 );( 2;2;2)
.
4. Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai và phương trình quy về phương trình bậc hai.
4.1. Phương trình bậc hai
4.1.1. Ví dụ minh họa
2
Ví dụ 1: Cho phương trình bậc hai x + 5x
+ 7 = 0 . Hãy lập 1 phương trình bậc hai mà các
nghiệm là các lập phương của các nghiệm của phương trình đã cho.
Lời giải:
Gọi các nghiệm của phương trình đã cho là x1;
x
2
.
Các nghiệm của phương trình cần tìm là y1;
y
2
và các hệ số của nó là S, P.
Áp dụng hệ thức Vi-ét có:
⎧σ
1
= x1 + x2
= −5
⎨
⎩ σ
2
= x1x2
= 7
Theo giả thiết ta có:
y = x ; y = x
3 3
1 1 2 2
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 17