Views
3 months ago

Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

https://app.box.com/s/4qc8w4k17wfrirjypcy9a0wj6dg4gl3m

( ) 3 3 3 ⎧ ⎪S = −

( ) 3 3 3 ⎧ ⎪S = − ( y1 + y2) = − x1 + x2 = 3σ 1σ 2 − σ1 = 20 ⇒ ⎨ 3 3 3 ⎪⎩ P = y1 y2 = x1 x2 = σ 2 = 343 2 Vậy phương trình cần tìm là: y − 20y + 343 = 0 . Ví dụ 2: Cho phương trình: x 2 − x − 3 = 0(*) . Tính giá trị của biểu thức sau: 4 4 6 6 A = x1 + x2 ; B = x1 + x2 . Với x1; x 2 là nghiệm của (*). Lời giải: Áp dụng hệ thức Vi-ét có: ⎧σ 1 = x1 + x2 = 1 ⎨ ⎩σ 2 = x1x 2 = −3 2 4 4 2 2 2 2 ⎡ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ⎤ ( ) A = x + x = x + x − 2x x − 2x x = σ − 2σ − 2σ = 31 ⎣ ⎦ 2 ( ) ⎤( ) ( σ σ )( σ ) 6 6 4 4 2 2 2 2 B = x1 + x2 = ⎡ x1 + x2 − 2x1 x2 x1 + x2 − x1 x2 = 1 − 2 2 A − 2 = 154 ⎣ ⎦ 4.1.2. Bài tập áp dụng * 2 1 Bài 1: Cho a ∈ R , giả sử x1; x 2 là nghiệm của phương trình: x -ax- 0 2 2a = . Chứng minh rằng: 4 4 x1 + x2 ≥ 2 + 2 . Bài 2: Lập phương trình bậc hai z = x − 2 x ; z = x − 2x . 6 2 6 2 1 1 2 2 2 1 2 z pz q p q Trong đó x1; x 2 là nghiệm của phương trình + + = 0( , ∈ R ) mà các nghiệm là x 2 − x − 3 = 0 Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm x1; x2 thỏa mãn: Bài 4: Cho x1; x 2 là nghiệm của phương trình s = x + x n ∈ N là số nguyên không chia hết cho 5. n n n , 1 2 Hướng dẫn: Bài 1: Áp dụng hệ thức Vi-ét có: ⎧σ1 = x1 + x2 = a ⎪ ⎨ −1 ⎪σ 2 = x1x2 = 2 ⎩ 2a x 2 4 4 1 x2 10 Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 18 x + = ; x1 + x2 = 2 − 6x + 1 = 0 . Chứng minh rằng: 4 4 2 ( ) 2 2 4 1 4 1 x1 + x2 = σ1 − 2σ 2 − 2σ 2 = a + + 2 ≥ 2 a . + 2 = 2 + 2 (dpcm). 4 4 2a 2a Bài 4: Chứng minh sn ∈Z bằng phương pháp quy nạp. 4.2. Phương trình đối xứng phương trình hồi quy. 4.2.1. Kiến thức bổ sung n n−1 Định nghĩa 4.1. Đa thức ( ) f z = a z + a z + ... + a ( a ≠ 0) được gọi là đa thức đối xứng, nếu 0 1 n 0 các hệ số cách đều hai đầu bằng nhau, nghĩa là: a0 = an; a1 = an − 1... Phương trình của đa thức đối xứng được gọi là phương trình đối xứng.

4 3 2 VD: 5z − 7z + 10z − 7z + 5 Định lí 4.1. Đa thức ( ) Chứng minh: Giả sử ( ) ⎛ 1 ⎞ z f ⎜ ⎟ = f z , z ≠ 0 (2) ⎝ z ⎠ n f z bậc n là đa thức đối xứng khi chỉ khi ( ) f z = a z + a z + ... + a ( a ≠ 0) (*) n n−1 f z có dạng: ( ) 0 1 n 0 1 Với z ≠ 0 , thay z = o (1) ta được: z n ⎛ 1 ⎞ n n−1 z f ⎜ ⎟ = anz + an− 1z + ... + a1 z + a0 (**) ⎝ z ⎠ So sánh (*) (**) ta thấy hệ thức (2) xảy ra khi chỉ khi a0 = an; a1 = an − 1;... Nghĩa là f ( z) là đa thức đối xứng. (dpcm). Định nghĩa 4.2. Các đa thức: a z + a z + ... + a z + a z + λa z + ... + λ a z + λ a ; 2 n 2 n− 1 n+ 1 n n− 1 n− 1 n 0 1 n+ 1 n n−1 1 0 a z + a z + ... + a z + a z + λa z + λ a z + ... + λ a z + λ a , 2 n+ 1 2 n n+ 2 n+ 1 n 2 n− 1 2 n− 1 2 n+ 1 0 1 n−1 n n n−1 1 0 Trong đó a0 ≠ 0 λ ≠ 0 được gọi là đa thức hồi quy. Phương trình của đa thức hồi quy được gọi là phương trình hồi quy. Khi λ = 1 thì đa thức hồi quy trở thành đa thức hệ số đối xứng. 5 4 3 2 Ví dụ: Phương trình: 2x + 6x − 2x + 4x − 48x − 64 = 0 là phương trình hồi quy có λ = − 2 . Định lí 4.2. Mọi đa thức hồi quy bậc chẵn 2k : f ( z) = a z + a z + ... + a z + a z + λa z + ... + λ a z + λ a , đều biểu diễn được ở dạng 2 k 2 k − 1 k + 1 k k − 1 k − 1 k 0 1 k + 1 k k −1 1 0 k λ f ( z) = z h( σ ) , trong đó σ = z + , h( σ ) là một đa thức nào đó theo biến σ có bậc k . z Mọi đa thức hồi quy bậc lẻ f ( z ) đều có dạng f ( z) = ( z + λ) g( z) , trong đó g( z ) là đa thức hồi quy bậc chẵn. Chứng minh: Trước hết ta xét đa thức hệ đối xứng f ( z ) có bậc 2k . Với z ≠ 0 ta biến đổi f ( z) như sau: k k 1 ⎛ k ⎛ k λ ⎞ ⎛ k 1 λ − − ⎞ ⎛ λ ⎞ ⎞ f ( z) = z ⎜ a0 ⎜ z + a1 z ... a k ⎟ + ⎜ + + + k 1 k −1 z + + a − ⎟ ⎜ ⎟ k ⎟ . ⎝ ⎝ z ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ z ⎠ ⎠ λ Đặt: σ = z + ; s z Thật vậy, đặt λ z k k k = z + . Ta đi chứng minh k k λ x = z; y = . Khi đó z ⎧σ = x + y = σ1 ⎪ ⎨ λ = xy = σ 2 ⎪ k k ⎩ sk = x + y s là đa thức bậc k theo σ . Theo định lí 4.2, các tổng lũy thừa sk là các đa thức bậc k theo σ1; σ 2 , hay là theo các biến σ λ , nghĩa là chỉ theo biến σ . Lại xét đa thức đối xứng bậc lẻ 2k + 1: Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 19

TRÌNH BÀY CƠ SỞ PHỔ PHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH VẬT CHẤT
Cơ sở lý thuyết của phương pháp sắc ký bản mỏng và ứng dụng của sắc ký bản mỏng
Kỹ thuật bào chế thuốc bột & viên tròn
DẠY HỌC VÀ KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
CÁC TRẠNG THÁI VẬT LÝ CỦA POLYMER
TÌM HIỂU TRẠNG THÁI SIÊU TỚI HẠN CỦA NƯỚC (SUPERCRITICAL WATER) VÀ ỨNG DỤNG
ĐỘC HỌC MÔI TRƯỜNG VÀ SỨC KHỎE CỘNG ĐỒNG
Giáo án new headway elementary (2nd) 90 tiết
PREVIEW BỘ 14 ĐỀ MEGA HÓA 2018 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT (BỘ ĐỀ ĐẶC SẮC DÙNG LUYỆN THI ĐẠT KẾT QUẢ CAO MÔN HÓA HỌC CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QG 2018)
BÀI GIẢNG HÓA PHÂN TÍCH TS. GVC. HOÀNG THỊ HUỆ AN
GIẢI BÀI TẬP SINH HỌC 9 NGUYỄN VĂN SANG VÀ NGUYỄN THỊ VÂN THƯ VIỆN TRƯỜNG THCS NGÔ THÌ NHẬM ĐÀ NẴNG
Tìm hiểu về bao bì năng động (active package)
PHÂN DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC MAI VĂN HẢI
[DISCUSSION] Ô nhiễm môi trường nước tại sông Cửa Tiền
HỢP CHẤT CÓ OXI CỦA LƯU HUỲNH LỚP SƯ PHẠM HÓA K37 QNU THỰC HIỆN NĂM 2017
Tổng hợp nanocomposite trên cơ sở Ag/PVA bằng phương pháp hóa học với tác nhân khử là hydrazin hydrat
CÔNG NGHỆ SẢN XUẤT XI MĂNG LÒ QUAY KHÔ
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng (SKKN 2008)
PHÂN DẠNG TOÁN HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG (2014 - 2015)
Trọng Tâm Kiến Thức Và Phương Pháp Giải Toán Khảo Sát Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm - Nguyễn Phú Khánh (FULL TEXT)