Views
5 months ago

Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

https://app.box.com/s/4qc8w4k17wfrirjypcy9a0wj6dg4gl3m

7, Cho những đa

7, Cho những đa thức bất kì P1 ( x) ,..., Pn ( x) , Q1 ( x) ,..., Qn ( x) vaf u1 ( x) ,..., un ( x ), nếu ( ). 2 ( ).... ( ) ≡ 1 ( ). 2 ( )... ( )( modϕ ( )) 8, Với hai đa thức P( x) , Q( x ) bất kì mọi số tự nhiên t, nếu P( x) Q( x) modϕ ( x) P x P x P x Q x Q x Q x x i n n ( ) t ( ) ( ) modϕ ( ) t P x Q x x ≡ . ( ) 9, Với các đa thức P( x) , Q( x) , F ( x ) , nếu P( x) Q( x) modϕ ( x) ( ( )) ≡ ( ( ))( mod ϕ ( )). F P x F Q x x 2. Đa thức nhiều ẩn 2.1. Định nghĩa Xây dựng nh đa thức nhiều ẩn Cho R là nh giao hoán, có đơn vị 1 R . Đặt: {( , ,..., 0 1 ,... ) | ,a 0 n i i } A = a a a a ∈ R ≠ Trên A xét hai phép toán ( + ),(.) như sau: a = ( a0, a1,..., an,... ); b = ( b0 , b1 ,..., bn ,...) a + b : = ( a0 + b0 , a1 + b1 ,..., an + bn ,...) a. b ( c , c ,..., c ,...), c a b = = ∑ 0 1 n k i j. 0 ≤i, j≤k i+ j= k Khi đó ( A , + ,.) là nh giao hoán có đơn vị ( 1 R ,0,0) . Với mọi a = ( a0, a1,...,a n,... ) ∈ A ta có: a = ( a0 + 0, a1 + 0,..., a n + 0,... ) = ( a0,0,0,... ) + ( 0, a1, a2,..., an,0,... ) = ( a0,0,0,... ) + ( 0 + 0, a1 + 0,..., an + 0,... ) ( a0,0,0,... ) ( 0, a1,0,... ) ( 0,0, a2,0,...,a n,0,... ) ... = ( a0,0,0,... ) + ( 0, a1,0,... ) + ... + ( 0,0,..., an,0,... ) Đặt x0 = ( 0,1 R,0,... ) ∈ A. Theo quy tắc nhân ta có: 2 x x. x ( 0,1 R,0,... ).( 0,1 R,0,... ) ( 0,0,1 R,... ). 3 x = ( 0,1 ,0,...).( 0,1 ,0,...).( 0,1 ,0,...) = ( 0,0,0,1 ,...) = + + = = …. = = = Tương tự: R R R R ( 0,...,0,1 ,0,...) k x = R . Xét ánh xạ f : R → A r a ( r ,0,0,...) Ta có f là đơn cấu nh nên đồng nhất mỗi phần tử , ( ) ≡ thì a ∈ A f a ∈ P . ( ) ≡ thì Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 4

Tức là a = f ( a) = ( a,0,...,0,... ). Thế thì với mọi a ' ∈ R ta có: ( ) ( ) ( ) k a '. x = a,0,0,... . 0,0,...,0,1 ,0,... = 0,0,..., a,0,... . Suy ra: f = a + a x + a x + + a x 2 n 0 1 2 ... n . R Định nghĩa: ( A , + ,.) được gọi là nh đa thức một biến x với hệ số trong R. Kí hiệu: R[ x ]. Lặp lại quá trình xây dựng nh đa thức một biến thay R bằng R[ x ] ta có nh đa thức hai biến R[ x, y ] tức là R[ x, y] = R[ x][ y] . m m−1 f ( x, y) ∈ R[ x, y] , f ( x, y) = c y + c y + ... + c y + c với c ∈ R[ x] n m = a x y + ... + a xy + a với a ∈ R. k 1 0 i m m−1 1 0 Lặp lại quá trình trên n lần, ta có nh đa thức n biến [ 1, 2,..., n ] R[ x1, x2,..., xn ] = R[ x1 , x2,..., xn− 1][ xn ]. Mỗi phần tử của R[ x x x ] là một đa thức n ẩn ( ) 2.2. Bậc của đa thức Kí hiệu , ,..., n 1 2 ( i) = ( i , i ,..., i ) 1 2 ( i) i1 i2 in x = x . x .... x Khi đó với mọi f ( x1 , x2,..., xn ) R[ x1 , x2,..., xn ] i f ( x1, x2,..., xn ) = ∑ a( ) x , a( ) ∈ R, a( ) ≠ 0. i i i ( ) 1 2 n ∈ ta có: i i i in Biểu thức x = x . x ... x được gọi là một đơn thức. Khi đó số i 1 + i 2 + ... + in được gọi là bậc của đơn thức. Bậc của đa thức [ , ,..., ] \{ 0} . Kí hiệu là deg ( f ) . f R x1 x2 x n Nếu các hạng tử của ( ) cấp bậc k hay một dạng bậc k. k = 1ta gọi là dạng tuyến tính k = 2 ta gọi là dạng toàn phương k = 3ta gọi là dạng lập phương. II.Đa thức đối xứng. 1.Định nghĩa đa thức đối xứng. Định nghĩa 1: Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 5 i R x x x tức là f x1 , x2,..., x n lấy hệ tử trong R. ∈ là số lớn nhất trong các bậc của các đơn thức có a( ) ≠ 0 f x1 , x2,.., x n có bậc bằng nhau bằng k thì f được gọi là đa thức đẳng Trong nh đa thức A[ x1 , x2,..., x n ] , đa thức ( 1, 2,..., n ) hoán vị ( i i i ) của các số { } , ,..., n 1 2 P x x x gọi là đa thức đối xứng nếu với mọi 1,2,...,n đều thỏa mãn đẳng thức sau: i

Kỹ thuật bào chế thuốc bột & viên tròn
ĐỘC HỌC MÔI TRƯỜNG VÀ SỨC KHỎE CỘNG ĐỒNG
CÁC TRẠNG THÁI VẬT LÝ CỦA POLYMER
Giáo án new headway elementary (2nd) 90 tiết
BÀI GIẢNG HÓA PHÂN TÍCH TS. GVC. HOÀNG THỊ HUỆ AN
Tìm hiểu về bao bì năng động (active package)
Sản Phẩm Dầu Mỏ Thương Phẩm TS. Trương Hữu Trì
CÔNG NGHỆ SẢN XUẤT XI MĂNG LÒ QUAY KHÔ