Views
3 months ago

Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

https://app.box.com/s/4qc8w4k17wfrirjypcy9a0wj6dg4gl3m

( i , i ,..., i ) = ( ,

( i , i ,..., i ) = ( , ,..., n ) P x x x P x x x 1 2 n 1 2 Nói cách khác một đa thứcđối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi vai trò của biến cho nhau trong dạng khai triển của nó. Định nghĩa 2: Những đa thức sau đây gọi là những đa thức đối xứng cơ bản: δ = x + x + ... + x 1 1 2 δ = x x + x x + ... + x x 2 1 2 1 2 n−1 n ... δ = x . x ... x + ... + x . x ... x ... k 1 2 k n− k + 1 n− k + 2 n δ = x . x ... x . n 1 2 n n P là một đa thức n biến bất kì thì ( ) P δ1, δ2,..., δ n là một đa thức đối xứng mỗi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản. Phương pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản 2.Các kiến thức liên quan. a, Cách sắp xếp đa thức của n ẩn x1, x2,..., x n theo thứ tự từ điển 1 2 n Cho hai đơn thức x α 1 x α 2 ... x α 1 2 n n x β 1 x β 2 ... x β n 1 2 n Ta nói đơn thức x α 1 x α 2 ... x α 1 2 n n cao hơn đơn thức x β 1 x β 2 ... x β n nếu chỉ nếu tồn tại k sao cho α = β , α = β ,..., α = β , α > β . 1 1 2 2 k −1 k −1 k k Bằng cách này ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức ( ) f x1 , x2,..., x n từ cao đến thấp. Cách sắp xếp như thế gọi là sắp xếp theo thứ tự từ điển. Ta kí hiệu C(f) là hạng tử cao nhất của f. Ta có một số kết quả sau: Hạng tử cao nhất của một tích hai đa thức là tích các hạng tử cao nhất của các nhân tử, tức là ( ) = ( ) ( ) C f . g C f . C g . 1 2 Nếu ax α n x α ... x α là hạng tử cao nhất của một đa thức đối xứng thì các số mũ của hạng tử cao 1 2 n nhất thỏa mãn bất đẳng thức α1 ≥ α2 ≥ ... α n . b, Định lí : Mọi đa thức đối xứng f ( x1 , x2,..., xn ) ∈ A[ x1 , x2,..., xn ] nhất dưới dạng một đa thức ( ) , ,..., n đều biểu diễn một cách duy ϕ δ1 δ2 δ của các đa thức đối xứng cơ bản δ1 δ2 hệ tử trong A. Phuơng pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản Cách 1 : Phương pháp hạng tử cao nhất Giả sử cho P[ x , x ,..., x ] A[ x , x ,..., x ] 1 2 n 1 2 ∈ là một đa thức đối xứng . Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo thứ tự từ điển. 1 2 n Giả sử hạng tử cao nhất của nó là ax x ... x α n α α . 1 2 n , ,..., δ n với các Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 6

k1 −k2 k2 −k3 kn Bước 1: xét Q1 = aδ1 . δ 2 ... δ n P = P − Q . 1 1 Nếu P 1 = 0 thì P = Q1 . Ta đã biểu diễn xong. Nếu P1 ≠ 0 thì ta chuyển qua bước 2. L1 L2 Ln Bước 2: P 1 là một đa thức đối xứng. Hạng tử cao nhất của nó là β x1 . x2 ... x n suy ra theo cách sắp xếp theo thứ tự từ điển của P. L1 −L2 L2 −L3 Ln Xét Q2 = βδ1 δ 2 ... δ P = P − Q = P − Q − Q . 2 1 2 1 2 Nếu P 2 = 0 thì P = Q1 + Q2 . Ta đã biểu diễn xong. Nếu P2 ≠ 0 thì từ P 2 ta có thể tiến hành tương tự như trên . Cuối cùng ta nhận được dãy đẳng thức : P − Q = P, 1 1 P − Q = P , ... 1 2 2 P − Q = P t t+ 1 t+ 1 ... Ở đây Q1 , Q 2,... là những đơn thức của những đa thức đối xứng cơ bản hạng tử cao nhất của mỗi đa thức P i , theo cách sắp xếp theo thứ tự từ điển nằm trước hạng tử cao nhất của đa thức P . i − 1 Quá trình này không thể tiếp tục mãi, giả sử với một m nào đó ta có P m = 0 . Khi đó P = Q1 + Q2 + ... + Q m . Ví dụ : Biểu diễn đa thức sau theo những đa thức đối xứng cơ bản 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 ( , , ) = . . + . . + . . + . . + . . + . . P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Giải: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ⎧δ1 = x1 + x2 + x3 ⎪ Đặt ⎨δ 2 = x1 x2 + x2x3 + x1 x3 ⎪ ⎩δ 3 = x1 x2x3 Sắp xếp các biến theo thứ tự từ điển Hạng tử cao nhất của đa thức P là Q = δ δ δ Đặt 1 1 2 3 P1 = P − Q1 3 2 x1 x2 x3 ( )( )( ) = x . x . x + x . x . x + x . x . x + x . x . x + x . x . x + x . x . x − x + x + x x x + x x + x x x x x 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 3 = −3 x x x . 2 2 2 1 2 3 Ta thấy P1 ≠ 0 P 1 là đa thức đối xứng. Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 7

TRÌNH BÀY CƠ SỞ PHỔ PHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH VẬT CHẤT
Cơ sở lý thuyết của phương pháp sắc ký bản mỏng và ứng dụng của sắc ký bản mỏng
Kỹ thuật bào chế thuốc bột & viên tròn
DẠY HỌC VÀ KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
CÁC TRẠNG THÁI VẬT LÝ CỦA POLYMER
TÌM HIỂU TRẠNG THÁI SIÊU TỚI HẠN CỦA NƯỚC (SUPERCRITICAL WATER) VÀ ỨNG DỤNG
ĐỘC HỌC MÔI TRƯỜNG VÀ SỨC KHỎE CỘNG ĐỒNG
Giáo án new headway elementary (2nd) 90 tiết
PREVIEW BỘ 14 ĐỀ MEGA HÓA 2018 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT (BỘ ĐỀ ĐẶC SẮC DÙNG LUYỆN THI ĐẠT KẾT QUẢ CAO MÔN HÓA HỌC CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QG 2018)
BÀI GIẢNG HÓA PHÂN TÍCH TS. GVC. HOÀNG THỊ HUỆ AN
GIẢI BÀI TẬP SINH HỌC 9 NGUYỄN VĂN SANG VÀ NGUYỄN THỊ VÂN THƯ VIỆN TRƯỜNG THCS NGÔ THÌ NHẬM ĐÀ NẴNG
Tìm hiểu về bao bì năng động (active package)
PHÂN DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC MAI VĂN HẢI
[DISCUSSION] Ô nhiễm môi trường nước tại sông Cửa Tiền
HỢP CHẤT CÓ OXI CỦA LƯU HUỲNH LỚP SƯ PHẠM HÓA K37 QNU THỰC HIỆN NĂM 2017
Tổng hợp nanocomposite trên cơ sở Ag/PVA bằng phương pháp hóa học với tác nhân khử là hydrazin hydrat
CÔNG NGHỆ SẢN XUẤT XI MĂNG LÒ QUAY KHÔ
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng (SKKN 2008)
PHÂN DẠNG TOÁN HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG (2014 - 2015)
Trọng Tâm Kiến Thức Và Phương Pháp Giải Toán Khảo Sát Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm - Nguyễn Phú Khánh (FULL TEXT)