Phương trình bậc hai và hệ thức viét & Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
https://app.box.com/s/dbg7cmiglg67j30nr9r5oxjjahyuzfb7
https://app.box.com/s/dbg7cmiglg67j30nr9r5oxjjahyuzfb7
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
1<br />
Chuyªn ®Ò : Ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> chøa tham sè<br />
Bµi to¸n 1 : Gii ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> cã chøa tham sè .<br />
Ph−¬ng ph¸p : XÐt c¸c tr−êng hîp cña hÖ sè a :<br />
- NÕu a = 0 th× t×m nghiÖm ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt .<br />
- NÕu a ≠ 0 th× tiÕn hµnh c¸c b−íc sau:<br />
+ TÝnh biÖt sè ∆ ( ∆<br />
' ).<br />
+ XÐt c¸c tr−êng hîp cña ∆ ( ∆<br />
' ) ( NÕu ∆ ( ∆<br />
' ) chøa tham sè ).<br />
+ T×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh theo tham sè.<br />
Bµi 1 : Gii ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> ( m lµ tham sè ) sau :<br />
a) x 2 - 2(3m - 1)x + 9m 2 - 6m - 8 = 0<br />
b) x 2 - 3mx + 2m 2 - m - 1 = 0<br />
c) 3x 2 - mx + m 2 = 0<br />
d) x 2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0<br />
'<br />
HDÉn : a/ ∆ = 9 ; x 1<br />
= 3m + 2 , x<br />
2<br />
= 3m - 4<br />
b/ ∆ = (m + 2) 2 : + m ≠ -2 : x 1<br />
= 2m + 1 , x<br />
2<br />
= m - 1<br />
+ m =-2 : x = -3 ( nghiÖm kÐp)<br />
c/ ∆ = -11m 2 : + m = 0 : x = 0 ( nghiÖm kÐp)<br />
+ m ≠ 0 : PT v« nghiÖm.<br />
d/<br />
'<br />
∆ = m 2 3<br />
- 3m + 4 = (m - )<br />
2 7<br />
+ > 0 :+ x 1<br />
= m - 1 +<br />
2 4<br />
Bµi 2 : Gii ph−¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :<br />
(m - 1)x 2 - 2mx + m + 2 = 0<br />
HDÉn : * m =1 : x = 2<br />
3<br />
* m ≠ 1<br />
'<br />
: ∆ = 2 - m<br />
+ m > 2 : V« nghiÖm.<br />
+ m = 2 : x = 2 (nghiÖm kÐp )<br />
m + 2 − m<br />
+ m < 2 : x<br />
1<br />
=<br />
; x<br />
m −1<br />
+ x<br />
2<br />
= m - 1 -<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
m − 2 − m<br />
=<br />
m −1<br />
⎛ 3 ⎞<br />
2<br />
⎜m<br />
− ⎟ +<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛ 3 ⎞<br />
2<br />
⎜m<br />
− ⎟ +<br />
⎝ 2 ⎠<br />
7<br />
4<br />
7<br />
4<br />
Bµi 3 : Gii ph−¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :<br />
(m - 1)x 2 + 3mx + 2m + 1 = 0<br />
HDÉn : + m = 1 : x =-1<br />
− c 2m<br />
+ 1<br />
+ m ≠ 1 :x 1<br />
=-1 ; x 2<br />
= =<br />
a 1−<br />
m<br />
*1* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
Bµi 4 : Gii ph−¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :<br />
x 2 - 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0
2<br />
HDÉn : ∆ ' =m 2 - 9<br />
NÕu : -3
3<br />
Bµi 9 : T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm :<br />
a) mx 2 - 2(m + 1)x + m + 3 = 0<br />
b) (m 2 - m)x 2 + 2mx + 1 = 0<br />
HDÉn : a/ + m = 0 : x = 2<br />
3<br />
+ m ≠ 0 : m ≤ 1<br />
b/ + m = 0 : V« nghiÖm.<br />
+ m = 1<br />
1<br />
: x =- 2<br />
+ m ≠ 0 , m ≠ 1 : ∆ '≥ 0 ⇔ m > 0<br />
Bµi 10 : Cho ph−¬ng tr×nh : mx 2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0<br />
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh :<br />
a) Cã nghiÖm kÐp .<br />
b) Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.<br />
c) V« nghiÖm .<br />
⎡m<br />
= 4<br />
⎧m<br />
≠ 0<br />
HDÉn : a/ ⎨ ⇔ ⎢<br />
⎩∆ ' = 0 ⎢<br />
9<br />
m =<br />
⎣ 5<br />
⎡m<br />
> 4<br />
⎧m<br />
≠ 0<br />
b/ ⎨ ⇔ ⎢<br />
⎩∆ ' > 0 ⎢<br />
9<br />
m < , m ≠ 0<br />
⎢⎣<br />
5<br />
c/ + m = 0 : Cã nghiÖm.<br />
9<br />
+ m ≠ 0 : ∆' < 0 ⇔ < m < 4<br />
5<br />
Bµi 11 :<br />
a) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn d−¬ng cña k ®Ó ph−¬ng tr×nh :<br />
x 2 - 4x + k = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. ( k = 1; 2; 3 )<br />
b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn ©m cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh :<br />
2x 2 - 6x + m + 7 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. ( m = -3; - 4; - 5; ......)<br />
Bµi 12 : Cho ph−¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :<br />
(2m - 7)x 2 + 2(2m + 5)x - 14m + 1 = 0<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp.TÝnh nghiÖm kÐp ®ã.<br />
⎧2m<br />
− 7 ≠ 0<br />
⎡m<br />
= 2<br />
HDÉn : ⎨<br />
⇔ ⎢<br />
2<br />
⎩∆ ' = 2m<br />
− 5m<br />
+ 2<br />
⎢<br />
1<br />
m =<br />
⎣ 2<br />
+ Víi m = 2 : x = 3<br />
+ Víi m = 2<br />
1<br />
: x = 1<br />
Bµi 13 : Cho ph−¬ng tr×nh (m lµ tham sè) : (m + 3)x 2 + 3(m - 1)x + (m - 1) (m + 4) = 0<br />
T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
4<br />
HDÉn :<br />
⎧m<br />
+ 3 ≠ 0<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪∆ = −4<br />
⎩<br />
( m −1)<br />
2<br />
⎡⎛<br />
19 ⎞<br />
⎢⎜<br />
m + ⎟<br />
⎢⎣<br />
⎝ 8 ⎠<br />
551⎤<br />
⎧m<br />
≠ −3<br />
+ ⎥ > 0 ⇔ ⎨<br />
64 ⎥⎦<br />
⎩m<br />
< 1<br />
Bµi to¸n 3 : T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh bËc 2 nhËn mét sè k (k ∈R) cho<br />
tr−íc lµm nghiÖm .<br />
Ph−¬ng ph¸p :<br />
- Thay gi¸ trÞ x = k vµo ph−¬ng tr×nh t×m tham sè.<br />
- Thay gi¸ trÞ cña tham sè võa t×m ®−îc vµo x<br />
1<br />
+ x2<br />
hoÆc x 1.x2<br />
®Ó t×m nghiÖm cßn l¹i<br />
(nÕu cÇn).<br />
Bµi 14 : X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph−¬ng tr×nh :<br />
a) (3m + 4)x 2 36<br />
- (5m - 1)x + m - 3 = 0 nhËn 3 lµm nghiÖm. ( m = - ) 13<br />
⎡m<br />
= 1<br />
b) (m 2 + 1)x 2 + (3m - 4)x + m - 11 = 0 nhËn - 2 lµm nghiÖm. ( ⎢<br />
⎢<br />
1 )<br />
m =<br />
⎣ 4<br />
Bµi 15 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh :<br />
a) mx 2 - 3x - 5 = 0 cã mét nghiÖm b»ng -1. ( m = 2 )<br />
b) x 2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 3. ( m = 2 )<br />
Bµi 16 : T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 1.T×m nghiÖm cßn l¹i :<br />
a) 2x 2 - 3x + m = 0 ( m = 1 , x = 1<br />
2<br />
2<br />
)<br />
b) 3x 2 10<br />
+ 7x + m = 0 ( m = -10 , x<br />
2<br />
= − )<br />
3<br />
Bµi 17 : Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph−¬ng tr×nh :<br />
a) 2x 2 + kx - 10 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 5.T×m nghiÖm cßn l¹i .<br />
b) k 2 x 2 - 15x - 7 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 7.T×m nghiÖm cßn l¹i .<br />
c) (k - 4)x 2 - 2kx + k - 2 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 3 .T×m nghiÖm cßn l¹i .<br />
HDÉn : a/ k = 8 , x 2<br />
= - 1<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
4 7<br />
b/ k = ± , x<br />
7<br />
2=<br />
−<br />
7<br />
16<br />
c/ k = 7( 3)<br />
*4*<br />
14 + 9<br />
2 + , x<br />
2=<br />
47<br />
3<br />
Bµi 18 : Cho ph−¬ng tr×nh (2m - 1)x 2 - 4mx + 4 = 0 (1)<br />
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm b»ng m.
5<br />
⎧ 1<br />
⎧2m<br />
−1<br />
≠ 0<br />
⎪m<br />
≠<br />
2<br />
HDÉn :+ ⎨<br />
⇔<br />
'<br />
2 ⎨ 2 ta cã : x<br />
1<br />
= 2 ; x<br />
2<br />
=<br />
⎩∆<br />
= (2m<br />
− 2) ≥ 0 ⎪<br />
2<br />
2 m − 1<br />
⎩(2m<br />
− 2) ≥ 0<br />
⎡m<br />
= 2 ⎡m<br />
= 2<br />
Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm b»ng m th× ⎢<br />
⎢<br />
2 ⇔<br />
⎢<br />
m = ⎢ 1±<br />
17<br />
m =<br />
⎣ 2m<br />
−1<br />
⎢⎣<br />
4<br />
1<br />
1 1<br />
+ m = ⇒ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x = 2 ≠ ⇒ m = kh«ng tho mn.<br />
2 2 2<br />
Bµi 19 : Cho ph−¬ng tr×nh (m - 1)x 2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). T×m tÊt c c¸c sè nguyªn m ®Ó<br />
ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nguyªn.<br />
HDÉn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 ⇔ x = 1<br />
* m≠ 1 : m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 ⇒ x 1 ; x<br />
⇒ m −1 = ± 1; ± 2 ⇒ m ∈ −<br />
1<br />
=<br />
{ 1;0;2;3 }<br />
2<br />
m + 1 2<br />
= = 1+<br />
m −1<br />
m −1<br />
Bµi 20 : Cho ph−¬ng tr×nh x 2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . X¸c ®Þnh m vµ n ®Ó ph−¬ng tr×nh cã 2<br />
nghiÖm lµ 3 vµ -2.<br />
HDÉn :<br />
⎧6m<br />
− 3n<br />
= 6<br />
⎨<br />
⎩4m<br />
+ 3n<br />
= 14<br />
⎧m<br />
= 2<br />
⇔ ⎨<br />
⎩n<br />
= 2<br />
Bµi 21 : T×m m, n ®Ó ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt lµ 2<br />
1 :<br />
HDÉn :<br />
⎧<br />
⎪m<br />
≠ 0<br />
⎪<br />
⎨∆ = 0<br />
⎪m<br />
⎪ +<br />
⎩ 4<br />
( mn + 1 ).<br />
mx 2 + (mn + 1)x + n = 0<br />
1<br />
+ n = 0<br />
2<br />
⎧m<br />
= −2<br />
⎪<br />
⇔ ⎨ 1<br />
⎪n<br />
= −<br />
⎩ 2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Bµi 22 : X¸c ®Þnh c¸c sè m, n cña ph−¬ng tr×nh: x 2 + mx + n = 0 sao cho c¸c nghiÖm cña<br />
ph−¬ng tr×nh còng lµ m vµ n.<br />
HDÉn : * ∆ = m 2 - 4n ≥ 0 ⇔<br />
*5* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
m ≥ 4n<br />
⎡⎧m<br />
= 0<br />
2<br />
⎢⎨<br />
⇒ PT : x = 0<br />
⎧x<br />
+ = + = −<br />
*<br />
⎢⎩<br />
= 0<br />
1<br />
x2<br />
m n m n<br />
⎨<br />
⇔<br />
⎩x<br />
= = ⎢<br />
1. x2<br />
m.<br />
n n ⎧m<br />
= 1<br />
2<br />
⎢⎨<br />
⇒ PT : x + x − 2 = 0<br />
⎢⎣<br />
⎩n<br />
= −2<br />
Bµi to¸n 4 : Chøng minh ph−¬ng tr×nh bËc 2 cã nghiÖm .
6<br />
Ph−¬ng ph¸p :<br />
- C¸ch 1 : Chøng minh ∆ ( ∆' ) ≥ 0<br />
- C¸ch 2 : Chøng minh ac < 0<br />
( Chó ý : C 2 c¸ch ®Òu phi xÐt c¸c tr−êng hîp a = 0 vµ a ≠ 0 nÕu a chøa tham sè )<br />
Bµi 23 : CMR c¸c ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m :<br />
a) x 2 + (m + 1)x + m = 0 d) x 2 + 4x - m 2 + 4m - 9 = 0<br />
b) x 2 - mx + m - 4 = 0 e) (m + 1)x 2 + x - m = 0<br />
c) -3x 2 + 2(m - 2)x + 2m + 5 = 0 f) x 2 - (3m 2 - 5m + 1)x - (m 2 - 4m + 5) = 0<br />
( dïng ac < 0 )<br />
Bµi 24 : CMR ph−¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) cã nghiÖm, biÕt r»ng 5a + 2c = b .<br />
HDÉn : ∆ = b 2 - 4ac = (5a + 2c) 2 - 4ac = ( 4a + 2c) 2 + 9a 2 ≥ 0<br />
Bµi 25 : Cho ph−¬ng tr×nh mx 2 - (2m - 1)x + m = 0 (1) .Gäi x 1, x2<br />
lµ 2 nghiÖm cña ph−¬ng<br />
tr×nh (1) . Chøng minh r»ng nÕu x 2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = 2 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp.<br />
HDÉn :+ x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = 2 ⇔<br />
⎧m<br />
≠ 0<br />
+ ⎨ '<br />
⎩∆<br />
= 1−<br />
2m<br />
= 0<br />
(<br />
2<br />
2<br />
x<br />
1<br />
+ x2<br />
) − 2x1x<br />
= 2 ⇔ m =<br />
1<br />
⇔ m = ⇒ kÕt luËn ?<br />
2<br />
Bµi 26 : CMR ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a, b, c :<br />
a) x.(x - a) + x.(x - b) + (x - a).(x - b) = 0<br />
b) (x - a).(x - b) + (x - b).(x - c) + (x - c).(x - a) = 0<br />
c) a.(x - b).(x - c) + b.(x - c).(x - a) + c.(x- a).(x - b) = 0 (Víi a + b + c ≠ 0)<br />
HDÉn : a/ 3x 2 - 2.(a + b + c)x + ab = 0<br />
b<br />
∆ =(a - ) 2 3b<br />
2<br />
+ ≥ 0<br />
2 4<br />
b/ 3x 2 - 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0<br />
2 2 2<br />
∆ = a + b + c − ab − bc − ca =<br />
2<br />
c/ (a + b + c)x 2 - 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0<br />
∆ = a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 - a 2 bc - ab 2 c - abc 2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
[( a − b) + ( b − c) + ( c − a)<br />
] ≥ 0<br />
1 2<br />
*6* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
1<br />
2<br />
{ a }≥ 0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= [ ( b − c)<br />
] + [ b( c − a)<br />
] + [ c( a − b)<br />
]<br />
Bµi 27 : Cho ph−¬ng tr×nh (a, b lµ tham sè ) :<br />
ax 2 + (ab + 1)x + b = 0<br />
a) Chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm.<br />
HDÉn :<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
b) T×m gi¸ trÞ cña a, b ®Ó ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm kÐp lµ 2<br />
1 .<br />
a) a = 0 : x = b
7<br />
a ≠ 0 : ∆ = (ab-1) 2 ≥ 0<br />
⎧ab<br />
−1<br />
= 0 ⎧a<br />
= −2<br />
⎪<br />
⎪<br />
b) ⎨ ab + 1 1 ⇔ ⎨ 1<br />
⎪−<br />
=<br />
⎩ 2a<br />
2<br />
⎪b<br />
= −<br />
⎩ 2<br />
Bµi 28 : CMR : NÕu ph−¬ng tr×nh cx 2 + bx + a = 0 (1) cã nghiÖm<br />
th× ph−¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 (2) còng cã nghiÖm .<br />
HDÉn : ∆<br />
2<br />
= b 2 - 4ac = ∆<br />
1<br />
≥ 0<br />
Bµi 29 : CMR ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a vµ b :<br />
HDÉn : ∆ = (3a + b) 2 + 8b 2 ≥ 0<br />
x 2 + (a + b)x - 2(a 2 - ab + b 2 ) = 0<br />
Bµi to¸n 5 : Chøng minh Ýt nhÊt 1 trong 2 ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm .<br />
Ph−¬ng ph¸p :<br />
- TÝnh c¸c biÖt sè ∆ 1;∆<br />
2<br />
.<br />
- Chøng minh ∆<br />
1<br />
+ ∆<br />
2<br />
≥ 0 hoÆc ∆<br />
1. ∆<br />
2<br />
≤ 0 ®Ó suy ra mét biÖt sè kh«ng ©m (Chó ý kÕt<br />
hîp gi <strong>thi</strong>Õt nÕu cã)<br />
Bµi 30 : Cho <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh : x 2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) vµ x 2 + x - 2m - 10 = 0 (2)<br />
CMR : Víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .<br />
HDÉn : ∆1 + ∆<br />
2<br />
= 26 > 0 ⇒ cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .<br />
Bµi 31 : Cho <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> : ax 2 + bx + c = 0 (1) vµ ax 2 + bx - c = 0 (2)<br />
CMR víi mäi a, b, c Ýt nhÊt 1 ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm .<br />
HDÉn : ∆1 + ∆<br />
2<br />
= 2b 2 ≥ 0 ⇒ cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .<br />
Bµi 32 : Cho <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh : x 2 + (m - 1)x + m 2 = 0 (1) vµ x 2 + 2mx - m = 0 (2)<br />
CMR víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
HDÉn : ∆1 + ∆<br />
2<br />
= (m + 1) 2 ≥ 0 ⇒ cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .<br />
*7* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
Bµi 33 : Cho <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh : x 2 - 3x - a - 2 = 0 (1) vµ x 2 + ax + 1 = 0 (2)<br />
CMR víi mäi a trong 2 ph−¬ng tr×nh trªn lu«n cã Ýt nhÊt 1 ph−¬ng tr×nh cã <strong>hai</strong><br />
nghiÖm ph©n biÖt.<br />
HDÉn : ∆1 + ∆<br />
2<br />
= (a +2) 2 + 9 > 0 ⇒ cã 1 biÖt sè lín h¬n 0 .<br />
Bµi 34 : Cho <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh : x 2 + (m - 2)x + 4<br />
m = 0 (1)<br />
vµ 4x 2 - 4(m - 3)x + 2m 2 - 11m + 13 = 0 (2)<br />
CMR víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .<br />
HDÉn : ∆ = ( m −1)(<br />
m 4)<br />
; ∆ = 16(1 − m )( m 4)<br />
1<br />
−<br />
2<br />
−
8<br />
2<br />
2<br />
∆1.<br />
∆<br />
2<br />
= −16(<br />
m −1)<br />
( m − 4) ≤ 0 ⇒ cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .<br />
1 1<br />
Bµi 35 : Cho b, c lµ c¸c sè tho m·n : + = 2 . Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong <strong>hai</strong> ph−¬ng<br />
b c<br />
tr×nh sau cã nghiÖm : x 2 + 2bx + c = 0 vµ x 2 + 2cx + b = 0 .<br />
' ' 2<br />
2<br />
2<br />
HDÉn : ∆ 1 + ∆ 2 = b − ( b + c)<br />
+ c = ( b − c)<br />
≥ 0 ⇒ cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .<br />
Bµi 36 : Cho <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> : x 2 + ax + b = 0 (1) vµ x 2 + cx + d = 0 (2)<br />
1<br />
BiÕt b + d = ac . Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .<br />
2<br />
HDÉn : ∆1 + ∆<br />
2<br />
= (a - c) 2 ≥ 0 ⇒ cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .<br />
Bµi 37: Cho <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> : x 2 + a<br />
1<br />
x + b1<br />
= 0 vµ x 2 + a<br />
2<br />
x + b2<br />
= 0 cã c¸c hÖ sè tho<br />
m·n ®iÒu kiÖn : a<br />
1a2<br />
≥ 2(<br />
b1<br />
+ b2<br />
) . Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh trªn cã<br />
nghiÖm .<br />
HDÉn : Gi sö 2 ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm :<br />
2 2<br />
2<br />
+ ∆ = a + a 2 − ( b + < 0⇔ a + a<br />
2<br />
2 < ( b + )<br />
∆1 2 1<br />
4<br />
1<br />
b2<br />
)<br />
1<br />
4<br />
1<br />
b2<br />
2<br />
⇔ ( a1 − a2<br />
) < 4( b1<br />
+ b2<br />
) − 2a1a2<br />
2<br />
a1 − a2<br />
) < 4( b1<br />
+ b2<br />
) − 2<br />
⇔ a<br />
1a2<br />
2(<br />
b1<br />
+ b2<br />
)<br />
⇔ 0≤ ( a1a2<br />
< ( m©u thuÉn víi gi <strong>thi</strong>Õt)<br />
bµi to¸n 6:T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó 2 ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung.<br />
Ph−¬ng ph¸p :<br />
* C¸ch 1 :<br />
- Gi sö x<br />
0<br />
lµ nghiÖm chung, lËp hÖ 2 ph−¬ng tr×nh ( Èn x vµ tham sè )<br />
- Gii hÖ ph−¬ng tr×nh t×m x<br />
0<br />
, t×m tham sè .<br />
- Thö l¹i : Thay c¸c gi¸ trÞ cña tham sè vµo tõng ph−¬ng tr×nh, gii c¸c<br />
ph−¬ng tr×nh, t×m nghiÖm chung.<br />
- Rót kÕt luËn .<br />
* C¸ch 2 : - Rót tham sè tõ 1 ph−¬ng tr×nh ® cho<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
*8* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
- ThÕ gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph−¬ng tr×nh cßn l¹i t×m x .<br />
- Thay gi¸ trÞ cña x t×m m .<br />
- Rót kÕt luËn .<br />
Bµi 38 : Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung :<br />
x 2 - (k + 4)x + k + 5 = 0<br />
x 2 - (k + 2)x + k +1 = 0<br />
HDÉn : x 0<br />
= 2 ; k = 1<br />
Bµi 39 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.<br />
x 2 + 2x + m = 0<br />
x 2 + mx + 2 = 0
9<br />
HDÉn : (m -2)x 0<br />
= m - 2<br />
: + m =2 : <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh cã d¹ng : x 2 + 2x +2 = 0 ( v« nghiÖm)<br />
+ m ≠ 2 : x 0<br />
= 1 ; m = -3<br />
Bµi 40 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.<br />
x 2 + (m - 2)x + 3 = 0<br />
2x 2 + mx + (m + 2) = 0<br />
HDÉn : (m - 4)x 0<br />
= m - 4<br />
: + m = 4 : <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh cã d¹ng : x 2 + 2x +3 = 0 ( v« nghiÖm)<br />
+ m ≠ 4 : x 0<br />
= 1 ; m = -2<br />
Bµi 41 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.<br />
2x 2 + (3m - 5)x - 9 = 0 (1)<br />
6x 2 + (7m - 15)x - 19 = 0 (2)<br />
HDÉn :<br />
* C¸ch 1 : m x 0<br />
= 4 : + m = 0 : <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm chung.<br />
+ m ≠ 0 : x 0<br />
= m<br />
4 ; m = 4 hoÆc m = 3<br />
8<br />
* C¸ch 2 : (1) ⇔ m =<br />
9 − 2x<br />
3x<br />
2 +<br />
5x<br />
(x ≠ 0)<br />
thay vµo (2) :<br />
4x 2 - 10x + 6 = 0 ta cã x 1<br />
= 1 ; x 2<br />
= 2<br />
3<br />
. x 1<br />
= 1 ⇒ m = 4 ( nghiÖm chung lµ 1)<br />
3<br />
. x 2<br />
= 2<br />
8 3<br />
⇒ m = ( nghiÖm chung lµ )<br />
3 2<br />
Bµi 42 : Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× 2 ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.<br />
2x 2 - (3m + 2)x + 12 = 0 (1)<br />
4x 2 - (9m - 2)x + 36 = 0 (2)<br />
HDÉn : (1) ⇔ m =<br />
2x<br />
2 − 2x<br />
+ 12<br />
3x<br />
(x ≠ 0)<br />
thay vµo (2) :<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
*9* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
x 2 - 4x = 0 ta cã x 1<br />
= 0 (lo¹i) ; x 2<br />
= 4<br />
. x = 4 ⇒ m = 3 ( nghiÖm chung lµ 4)<br />
Bµi 43 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó 2 ph−¬ng tr×nh :<br />
x 2 + x + m - 2 = 0 (1)<br />
x 2 + (m - 2)x + 8 = 0 (2) cã nghiÖm chung.<br />
HDÉn : (2) ⇔ m =<br />
2x − x<br />
2 − 8<br />
(x ≠ 0)<br />
thay vµo (1) :<br />
x<br />
x 3 - 8 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ m = - 4 (nghiÖm chung lµ 2)<br />
Bµi 44: T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó 2 ph−¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.<br />
2x 2 + (3a - 1)x - 3 = 0 (1)
10<br />
6x 2 - (2a - 3)x - 1 = 0 (2)<br />
6<br />
HDÉn : (11a - 6)x 0<br />
= 8 : + a = c <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.<br />
11<br />
6<br />
+ a ≠ 11<br />
8<br />
⇒ x<br />
0<br />
= khi ®ã :<br />
11a<br />
− 6<br />
(1) ⇔ 99a 2 −164a<br />
− 68 = 0 ta cã : a1= 2 ; a = 34<br />
2<br />
99<br />
(lo¹i)<br />
. a = 2 nghiÖm chung lµ 2<br />
1<br />
Bµi to¸n 7 : Khi ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> cã nghiÖm , h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a 2<br />
nghiÖm x 1<br />
vµ x 2<br />
kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.<br />
Ph−¬ng ph¸p :<br />
⎧a<br />
≠ 0<br />
- T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm : ⎨ '<br />
⎩∆( ∆ ) ≥ 0<br />
- TÝnh tæng S, tÝch P cña <strong>hai</strong> nghiÖm x 1<br />
vµ x 2<br />
.<br />
- TÝnh m theo S, P.<br />
- Khö m t×m hÖ thøc chØ cßn S, P . Thay S = x 1<br />
+ x 2<br />
, P = x 1<br />
. x 2<br />
Bµi 45: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a <strong>hai</strong> nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : x 2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0<br />
mµ hÖ thøc nµy kh«ng phô thuéc vµo m.<br />
HDÉn : . ∆ = (m -1) 2 + 28 ≥ 0<br />
P + 5<br />
. m = S - 3 vµ m =<br />
2<br />
ta cã hÖ thøc : 2(x + x − x x 11<br />
1 2<br />
)<br />
1 2<br />
=<br />
Bµi 46: Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 . Kh«ng gii ph−¬ng tr×nh, h·y t×m 1<br />
biÓu thøc liªn hÖ gi÷a 2 nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m.<br />
1<br />
HDÉn : . ∆ = (m - )<br />
2 19<br />
+ > 0<br />
2 4<br />
. m =<br />
S − 2<br />
2<br />
*10* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
vµ m = P + 4 ta cã hÖ thøc : x + x − x x −10<br />
0<br />
1 2<br />
2<br />
1 2<br />
=<br />
Bµi 47 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 . Khi ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y<br />
t×m 1 hÖ thøc gi÷a x 1<br />
vµ x 2<br />
kh«ng phô thuéc vµo m.<br />
⎡<br />
' 2<br />
m ≤ − 2<br />
HDÉn : . ∆ = m − 2 ≥ 0 ⇔ ⎢<br />
⎢⎣<br />
m ≥ 2<br />
S − 2 P − 3<br />
. m = vµ m = ta cã hÖ thøc : x<br />
1<br />
x2<br />
− ( x1<br />
+ x2<br />
) −1<br />
= 0<br />
2<br />
2<br />
Bµi 48 : Cho ph−¬ng tr×nh : (m - 2)x 2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 . Khi ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm,<br />
h·y t×m 1 hÖ thøc gi÷a x 1<br />
vµ x 2<br />
kh«ng phô thuéc vµo m.
11<br />
' 2<br />
HDÉn : . ∆ = −m + 10m<br />
≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 10 vµ m≠<br />
2<br />
2S<br />
+ 4 2P<br />
− 2<br />
. m = vµ m = ta cã hÖ thøc : 4 x<br />
1<br />
x2<br />
− ( x1<br />
+ x2 ) − 6 = 0<br />
S − 2<br />
p − 2<br />
Bµi 49 : Cho ph−¬ng tr×nh : (2m - 1)x 2 - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0 . Khi ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm,<br />
h·y t×m 1 hÖ thøc gi÷a x 1<br />
vµ x 2<br />
kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.<br />
⎧∆<br />
' = −9 2<br />
⎧−1<br />
≤ m ≤ 2<br />
m + 9m<br />
+ 18 ≥ 0 ⎪<br />
HDÉn : . ⎨<br />
⇔ ⎨ 1<br />
⎩2m<br />
−1<br />
≠ 0<br />
⎪m<br />
≠<br />
⎩ 2<br />
S + 8 p + 2<br />
. m = vµ m = ta cã hÖ thøc : ( x1 + x<br />
2<br />
) − 2x1x2<br />
+ 4 = 0<br />
2S<br />
− 2 2P<br />
− 5<br />
Bµi 50 : Trong c¸c ph−¬ng tr×nh sau, gi sö chóng cã nghiÖm x 1<br />
vµ x 2<br />
. H·y t×m mét hÖ thøc liªn<br />
hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña mçi ph−¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo tham sè k.<br />
a) (k - 1)x 2 - 2kx + k - 4 = 0 (k≠ 1)<br />
b) (k + 3)x 2 - 3(k + 4)x - k + 7 = 0 (k≠ -3)<br />
c) kx 2 - 2(k + 1)x + (k - 4) = 0 (k≠ 0)<br />
'<br />
4<br />
HDÉn : a/ . ∆ = 5k<br />
− 4 ≥ 0 ⇔ k ≥<br />
5<br />
S<br />
P − 4<br />
. k = vµ k =<br />
S − 2<br />
P −1<br />
ta cã hÖ thøc : 3 ( x + x + 2x<br />
x − 8 0<br />
1 2<br />
)<br />
1 2<br />
=<br />
⎡ 30<br />
b/ .<br />
⎢<br />
− 3 ≠ k ≤ −<br />
∆ = 13k<br />
2 + 56k<br />
+ 60 ≥ 0 ⇔<br />
13<br />
⎢<br />
⎣k<br />
≥ −2<br />
12 − 3S<br />
7 − 3P . k = vµ k = ta cã hÖ thøc : 10 (x<br />
1<br />
+ x<br />
2 ) − 3 x1x2<br />
− 33 = 0<br />
S − 3<br />
P + 1<br />
*11* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
'<br />
1<br />
c/ . ∆ = 6k<br />
+ 1 ≥ 0 ⇔ 0 ≠ k ≥ −<br />
6<br />
2<br />
4<br />
. k = vµ k = ta cã hÖ thøc : x<br />
1<br />
x2<br />
+ 2(<br />
x1<br />
+ x2<br />
) − 5 = 0<br />
S − 2 1− P<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Bµi 51 : Cho ph−¬ng tr×nh : (m + 1)x 2 - (2m - 3)x + m + 2 = 0 . Khi ph−¬ng tr×nh cã <strong>hai</strong> nghiÖm<br />
x 1, x 2<br />
h·y tÝnh nghiÖm nµy theo nghiÖm kia.<br />
⎧m<br />
≠ −1<br />
⎧m<br />
+ 1 ≠ 0 ⎪<br />
HDÉn : + ⎨ ⇔ ⎨ 1<br />
⎩∆ ≥ 0 ⎪m<br />
≤<br />
⎩ 24<br />
7 − x1<br />
+ 5x 1x2<br />
+ x1<br />
+ x2<br />
− 7 = 0 ⇔ x2<br />
= (hoÆc ng−îc l¹i)<br />
5x1<br />
+ 1<br />
1 1<br />
Bµi 52 : Cho ph−¬ng tr×nh : + = m . Trong tr−êng hîp ph−¬ng tr×nh cã <strong>hai</strong> nghiÖm<br />
x −1<br />
x − 3
12<br />
h·y biÓu diÔn nghiÖm nµy theo nghiÖm kia.<br />
HDÉn : mx 2 - (4m + 2)x + 3m + 4 = 0 (x ≠ 1; x≠ 3)<br />
⎧m<br />
≠ 0<br />
+ ⎨<br />
2<br />
⎩∆ = 4m<br />
+ 4 > 0<br />
5 − 2x1<br />
+ 2x1<br />
+ 2x2<br />
− x1x2<br />
− 5 = 0 ⇔ x2<br />
=<br />
2 − x<br />
Bµi to¸n 8 : T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> cã 2 nghiÖm x 1, x2<br />
tho m·n<br />
Ph−¬ng ph¸p :<br />
mét ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a 2 nghiÖm.<br />
⎧a<br />
≠ 0<br />
- T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm : ⎨ '<br />
⎩∆( ∆ ) ≥ 0<br />
- TÝnh tæng S, tÝch P cña <strong>hai</strong> nghiÖm x 1<br />
vµ x 2<br />
.<br />
- KÕt hîp ®¼ng thøc cña gi <strong>thi</strong>Õt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh gåm 3 ph−¬ng tr×nh.<br />
- Gii hÖ ph−¬ng tr×nh t×m tham sè.<br />
- §èi chiÕu ®iÒu kiÖn, thö l¹i, rót kÕt luËn.<br />
Bµi 53 : Cho ph−¬ng tr×nh : 3x 2 - 4x + m = 0. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã c¸c<br />
nghiÖm x 1, x2<br />
tho m·n : x<br />
1<br />
= 3x2<br />
4<br />
HDÉn : * ∆'<br />
= 4 − 3m ≥ 0 ⇔ m ≤<br />
*m = 1 (t/m)<br />
3<br />
Bµi 54 : X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè k sao cho <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
cña ph−¬ng tr×nh<br />
x 2 - 6x + k = 0 tho m·n ®iÒu kiÖn : x + 2x<br />
20<br />
1<br />
3<br />
1 2<br />
=<br />
HDÉn : * ∆'<br />
= 9 − k ≥ 0 ⇔ k ≤ 9<br />
*k = -16 (t/m)<br />
Bµi 55 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 - (m + 5)x - m + 6 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
ta<br />
cã hÖ thøc : x + 3x<br />
13<br />
2<br />
1 2<br />
=<br />
⎡<br />
2<br />
m ≤ −7<br />
− 4 3 ⎡m<br />
= 0<br />
HDÉn : * ∆ = m + 14m<br />
+ 1 ≥ 0 ⇔ ⎢<br />
* ⎢⎣<br />
⎢⎣<br />
m ≥ −7<br />
+ 4 3 m = 1<br />
*12* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Bµi 56 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 + 2x + 3k = 0 . Gäi x 1, x2<br />
lµ <strong>hai</strong> nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh, kh«ng<br />
gii ph−¬ng tr×nh h·y t×m gi¸ trÞ cña k ®Ó : x − x 14<br />
1 2<br />
=<br />
1<br />
HDÉn : * ∆'<br />
= 1−<br />
3k ≥ 0 ⇔ k ≤<br />
*k = -16 (t/m)<br />
3<br />
Bµi 57 : Cho ph−¬ng tr×nh : 3x 2 - mx + 2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
ta cã<br />
hÖ thøc : x . x = 2x<br />
2<br />
3<br />
1 2 1<br />
−<br />
(t/m)
13<br />
⎡<br />
2<br />
m ≤ −2<br />
6<br />
HDÉn : * ∆ = m − 24 ≥ 0 ⇔ ⎢<br />
* m = 7 (t/m)<br />
⎢⎣<br />
m ≥ 2 6<br />
Bµi 58 : Cho ph−¬ng tr×nh : (m + 3)x 2 - 3mx + 2m = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a <strong>hai</strong> nghiÖm<br />
x 1, x 2<br />
ta cã hÖ thøc : 2x<br />
1<br />
− x2<br />
= 3<br />
⎧m<br />
≠ 3<br />
⎧m<br />
+ 3 ≠ 0<br />
⎪<br />
HDÉn : * ⎨<br />
⇔ ⎨⎡m<br />
≤ 0<br />
2<br />
⎩∆ = m − 24m<br />
≥ 0 ⎪⎢<br />
⎩⎣m<br />
≥ 24<br />
* m = -1 (t/m)<br />
Bµi 59 : Gäi x<br />
1<br />
vµ x<br />
2<br />
lµ nh÷ng nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : 3x 2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)<br />
T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) tho m·n : x − 5x<br />
6<br />
⎡k<br />
= 0<br />
2<br />
4<br />
HDÉn : * ∆ = (3k + 4) ≥ 0 ⇔ k ≠ − * ⎢<br />
3 ⎢<br />
32<br />
k = −<br />
⎣ 15<br />
(t/m)<br />
3<br />
1 2<br />
=<br />
Bµi 60 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 - (2m + 1)x + m 2 + 2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a <strong>hai</strong> nghiÖm<br />
x 1, x 2<br />
ta cã hÖ thøc : 3x<br />
1<br />
x2<br />
− 5( x1<br />
+ x2<br />
) + 7 = 0<br />
⎡m<br />
= 2<br />
7<br />
HDÉn : * ∆ = 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥<br />
* ⎢<br />
4<br />
⎢<br />
4<br />
m =<br />
⎣ 3<br />
lo¹i m = 3<br />
4<br />
Bµi 61 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 + (2 - 3m)x + m 2 = 0. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh<br />
cã c¸c nghiÖm x 1, x2<br />
tho m·n : x<br />
1<br />
+ x2<br />
= x1x2<br />
*13* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
⎡ 2<br />
HDÉn : *<br />
⎢<br />
m ≤<br />
⎡m<br />
= 1<br />
∆ = 5m 2 −12m<br />
+ 4 ≥ 0 ⇔ 5 *<br />
⎢<br />
⎢⎣ lo¹i m = 1<br />
m = 2<br />
⎣m<br />
≥ 2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Bµi 62 : Cho ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> : (k + 1)x 2 - 2(k + 2)x + k - 3 = 0. X¸c ®Þnh k ®Ó gi÷a<br />
<strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
ta cã hÖ thøc : ( 4x<br />
1<br />
+ 1).(4x2<br />
+ 1) = 18<br />
7<br />
HDÉn : * ∆'<br />
= 6k + 7 ≥ 0 ⇔ k ≥ −<br />
* k = 7 (t/m)<br />
6<br />
Bµi 63 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 - 2x + m = 0. T×m m sao cho ph−¬ng tr×nh cã <strong>hai</strong> nghiÖm<br />
x1<br />
x2<br />
10<br />
ph©n biÖt x 1, x2<br />
tho m·n : + = −<br />
x x 3<br />
2<br />
1<br />
HDÉn : * ∆ = 1 − m > 0 ⇔ m < 1 *<br />
4 − 2m<br />
m<br />
10<br />
= −<br />
3<br />
(m ≠ 0) ⇔ m = −3<br />
(t/m)
14<br />
Bµi 64 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 - 2(m- 2)x + (m 2 + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã<br />
1 1 x1<br />
+ x2<br />
<strong>hai</strong> nghiÖm ph©n biÖt x 1, x2<br />
tho m·n : + =<br />
x x 5<br />
1<br />
2<br />
7 ⎡m<br />
= 2<br />
HDÉn : * ∆' = 7 − 6m > 0 ⇔ m < *<br />
6 ⎢⎣<br />
m = −4<br />
lo¹i m = 2<br />
Bµi 65 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh : x 2 - 3mx + m 2 = 0 cã c¸c nghiÖm x 1, x2<br />
tho<br />
m·n : x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = 1, 75<br />
HDÉn : * ∆ = 5m 2 ≥ 0 *<br />
1<br />
m = ± (t/m)<br />
2<br />
Bµi 66 : X¸c ®Þnh m ®Ó <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
cña ph−¬ng tr×nh : x 2 + 3x + m = 0 tho m·n<br />
®iÒu kiÖn : x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = 34<br />
9<br />
25<br />
HDÉn : * ∆ = 9 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ * m = − (t/m)<br />
4<br />
2<br />
Bµi 67 : T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh : x 2 - 5x + 3m - 1 = 0 cã <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
tho m·n ®iÒu<br />
kiÖn : x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = 17<br />
29<br />
5<br />
HDÉn : * ∆ = 29 −12m ≥ 0 ⇔ m ≤<br />
* m = (t/m)<br />
12<br />
3<br />
Bµi 68 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x 1, x2<br />
cña ph−¬ng tr×nh : mx 2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0<br />
tho m·n : x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = 1<br />
⎧m<br />
≠ 0<br />
HDÉn : * ⎨<br />
⇔ 0 ≠ m ≤ 4<br />
⎩∆'<br />
= 4 − m ≥ 0<br />
⎡m<br />
= 2<br />
* ⎢⎣<br />
m = 8<br />
lo¹i m = 8<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Bµi 69 : X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh : mx 2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = 0 cã tæng b×nh ph−¬ng<br />
c¸c nghiÖm lµ 13.<br />
⎧m<br />
≠ 0<br />
⎡m<br />
= 4<br />
HDÉn : * ⎨<br />
*<br />
2 ⎢⎣<br />
⎩∆ = 41m<br />
+ 136m<br />
+ 144 ≥ 0∀m<br />
m = 1,8<br />
(t/m)<br />
Bµi 70 : Cho ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> : x 2 - 2(k - 2)x - 2k - 5 = 0 ( k lµ tham sè). Gäi x 1, x2<br />
lµ<br />
<strong>hai</strong> nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh, t×m gi¸ trÞ cña k sao cho : x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = 18<br />
2<br />
⎡k<br />
HDÉn : * ∆'<br />
= ( k −1)<br />
+ 8 > 0 * ⎢⎣<br />
k<br />
= 1<br />
= 2<br />
(t/m)<br />
Bµi 71 : X¸c ®Þnh m sao cho ph−¬ng tr×nh : 3x 2 + mx - 2 = 0 cã c¸c nghiÖm x 1, x2<br />
tho
15<br />
m·n :<br />
x<br />
2<br />
1<br />
+ x<br />
2<br />
2<br />
=<br />
13<br />
9<br />
2<br />
HDÉn : * ∆ = m + 24 > 0<br />
* m = ± 1 (t/m)<br />
Bµi 72 : Cho ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> : (2m - 1)x 2 + 2(1 - m)x + 3m = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó<br />
gi÷a <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
ta cã hÖ thøc : x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = 4<br />
⎧ 1<br />
⎪<br />
m ≠<br />
⎧2m<br />
−1<br />
≠ 0<br />
2<br />
HDÉn : * ⎨<br />
⇔<br />
2<br />
⎨<br />
⎩∆'<br />
= −5m<br />
+ m + 1 ≥ 0 ⎪1<br />
− 21 1+<br />
21<br />
≤ m ≤<br />
⎪⎩<br />
10 10<br />
⎡m<br />
= 0<br />
* ⎢<br />
7<br />
⎢<br />
7 lo¹i m =<br />
m =<br />
12<br />
⎣ 12<br />
Bµi 73 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 + 2x + 3k = 0 . Gäi x 1, x2<br />
lµ <strong>hai</strong> nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh,<br />
kh«ng gii ph−¬ng tr×nh h·y t×m gi¸ trÞ cña k ®Ó :<br />
a) x 2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = 10<br />
b) x<br />
2<br />
1 − x<br />
2<br />
2 = 20<br />
HDÉn : *<br />
1<br />
∆'<br />
= 1−<br />
3k ≥ 0 ⇔ k ≤<br />
* a/ k = -16 (t/m) * b/ k = - 8 (t/m)<br />
3<br />
Bµi 74 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 + (m - 3)x - 2m + 1 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a <strong>hai</strong> nghiÖm<br />
x1, x 2<br />
ta cã hÖ thøc : x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 + 6x1x2<br />
= 0<br />
2<br />
HDÉn : * ∆ = ( m + 1) + 4 > 0 * m 2 ⎡m<br />
= 1<br />
- 14m + 13 = 0 ⇔ ⎢ (t/m)<br />
⎣ m = 13<br />
Bµi 75 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh : x 2 - 2mx + 1 = 0 cã <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
tho<br />
m·n : x<br />
3<br />
1 + x<br />
3<br />
2 = 2<br />
2 ⎡m<br />
≥ 1<br />
HDÉn : * ∆'<br />
= m −1<br />
≥ 0 ⇔ ⎢ ⎣ m ≤ −1<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
⎡m<br />
= 1<br />
2 ⎢<br />
1<br />
m = 0 ⇔<br />
⎢<br />
1 lo¹i m = -<br />
m = −<br />
2<br />
⎣ 2<br />
3<br />
* 8 − 6m<br />
= 2 ⇔ ( m −1 )( . 2m<br />
+ 1)<br />
Bµi 76 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 - 4x + m = 0. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó gi÷a <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
tho m·n : x<br />
3<br />
1 + x<br />
3<br />
2 = 26<br />
1<br />
HDÉn : * ∆'<br />
= 4 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4<br />
* m = 6 ( lo¹i) 3<br />
Bµi 77 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 + mx + n - 3 = 0 (1)<br />
T×m m vµ n ®Ó <strong>hai</strong> nghiÖm x 1 , x 2 cña ph−¬ng tr×nh (1) tho m·n hÖ thøc<br />
HDÉn : *∆ = m 2 – 4n + 12 ≥ 0<br />
⎧x<br />
⎨<br />
⎩x<br />
1<br />
2<br />
1<br />
− x<br />
2<br />
− x<br />
= 1<br />
2<br />
2<br />
= 7
16<br />
⎧x<br />
* ⎨<br />
⎩x<br />
1<br />
2<br />
1<br />
− x<br />
2<br />
− x<br />
= 1<br />
2<br />
2<br />
= 7<br />
⎧x<br />
⇔ ⎨<br />
⎩x<br />
1<br />
2<br />
= 4<br />
= 3<br />
⎧4m<br />
+ n = −13<br />
⎧m<br />
= −7<br />
thay vµo (1) : ⎨<br />
⇔ ⎨<br />
⎩3m<br />
+ n = −6<br />
⎩n<br />
= 15<br />
( t/m)<br />
Bµi 78 : Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 + mx + n = 0 . T×m m, n biÕt ph−¬ng tr×nh cã <strong>hai</strong> nghiÖm x 1 ,<br />
⎧x1<br />
− x2<br />
= 1<br />
x 2 tho m·n ⎨ 3 3<br />
⎩x1<br />
− x2<br />
= 7<br />
⎡⎧x1<br />
= −1<br />
⎢⎨<br />
( 1)<br />
⎧x<br />
− = 1<br />
HDÉn : *∆ = m 2 1<br />
x2<br />
– 4n ≥ 0 *<br />
⎢⎩x2<br />
= −2<br />
⎨<br />
⇔<br />
3 3<br />
⎩x1<br />
− x2<br />
= 7 ⎢<br />
⎧x1<br />
= 2<br />
⎢⎨<br />
( 2)<br />
⎢⎣<br />
⎩x2<br />
= 1<br />
⎧m<br />
− n = 1 ⎧m<br />
= 3<br />
⎨ ⇔ ⎨ ( t / m)<br />
⎧2m<br />
+ n = −4<br />
⎧m<br />
= −3<br />
+ Tõ (1): ⎩2m<br />
− n ⎩n<br />
= 2 ; + Tõ (2): ⎨<br />
⇔ ⎨ ( t / m)<br />
⎩m<br />
+ n = −1<br />
⎩n<br />
= 2<br />
Bµi 79 : X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè p vµ q ®Ó <strong>hai</strong> nghiÖm x 1 , x 2 cña ph−¬ng tr×nh: x 2 +px + q = 0<br />
⎧x1<br />
− x2<br />
= 5<br />
tho m·n ®iÒu kiÖn ⎨ 3 3<br />
⎩x1<br />
− x2<br />
= 35<br />
⎡⎧<br />
p = 1<br />
⎢⎨<br />
( t / m)<br />
2<br />
HDÉn : *∆ = p 2 ⎧ p − 4q<br />
= 25<br />
– 4q ≥ 0 *<br />
⎢⎩q<br />
= −6<br />
⎨<br />
⇔<br />
⎢<br />
⎩15q<br />
= −90<br />
⎧ p = −1<br />
⎢⎨<br />
( t / m)<br />
⎢⎣<br />
⎩q<br />
= −6<br />
*16* Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè<br />
− 2 m + 2 x + m + 1 = . Gäi x 1 , x 2 lµ <strong>hai</strong> nghiÖm cña ph−¬ng<br />
2<br />
Bµi 80: Cho ph−¬ng tr×nh x ( ) 0<br />
2<br />
tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x ( 1−<br />
2x<br />
) + x ( 1−<br />
x ) = m<br />
HDÉn :<br />
⎛<br />
∆ = 3 ⎞<br />
2 3<br />
⎜m<br />
+ ⎟ + 0<br />
⎝ 2 ⎠ 4<br />
><br />
* '<br />
1 2 2<br />
2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
2<br />
⎡<br />
* x ( 1− 2x<br />
) + x ( 1−<br />
x ) = m ⇔ x + x − 4x<br />
x = m ⇔ m( m + 2) = 0 ⇔ ⎢ ⎣<br />
1 2 2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
m = 0<br />
m = −2<br />
2<br />
Bµi 81: Cho ph−¬ng tr×nh − 2( m − 3) x + 2m<br />
− 7 = 0<br />
x (1)<br />
Gäi <strong>hai</strong> nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) lµ x 1 , x 2 . h·y t×m m ®Ó<br />
1 1<br />
+ = m<br />
x + 1 x + 1<br />
1<br />
2<br />
HDÉn : *∆ = ( m − 4) 2 ≥ 0<br />
1 1<br />
* + = m<br />
x + 1 x + 1<br />
7 ±<br />
⇔ 2m<br />
2 − 7m<br />
+ 2 = 0 ⇔ m =<br />
1 2<br />
4<br />
2<br />
Bµi 82: Gii ph−¬ng tr×nh x − mx + 6 = 0 . BiÕt r»ng <strong>hai</strong> nghiÖm x1vµ x2<br />
tho m·n hÖ thøc:<br />
2 3 2<br />
3<br />
9x x + 3x<br />
+ 9x<br />
x + 3x<br />
1029 (*)<br />
1 2 1 1 2 2<br />
=<br />
33
17<br />
HDÉn : *∆ = m 2 - 2 4 ≥ 0<br />
⎡m<br />
≤ −2<br />
6<br />
⇔ ⎢<br />
⎢⎣<br />
m ≥ 2 6<br />
⎧x1<br />
+ x2<br />
= m<br />
* ⎨<br />
⎩x1x2<br />
= 6<br />
[ ] 1029<br />
3<br />
(*) ⇔ x x ( x + x ) + 3 ( x + x ) − 3x<br />
x ( x + x )<br />
9<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
=<br />
3<br />
( + x ) 343<br />
⇔ x<br />
1 2<br />
= ⇔ x<br />
1<br />
+ x2<br />
= 7 ⇔ m = 7( t / m)<br />
Ph−¬ng tr×nh: x 2 - 7x + 6 = 0 cã x 1 = 1; x 2 = 6<br />
Bµi 83: Cho ph−¬ng tr×nh x 2 - ( 2m + 1)x + m 2 + m = 0. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng<br />
tr×nh cã <strong>hai</strong> nghiÖm tho m·n: - 2 −2<br />
Do ®ã: ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ −2<br />
< m < 3<br />
⎩x2<br />
< 4 ⎩m<br />
< 3<br />
Bµi 84: T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a sao cho ph−¬ng tr×nh: x 2 + 2ax + 4 = 0 (1) cã c¸c<br />
HDÉn :<br />
⎛ x ⎞ ⎛<br />
1<br />
x ⎞<br />
2<br />
nghiÖm x 1 , x 2 tho m·n ®iÒu kiÖn ⎜<br />
⎟ +<br />
⎜<br />
⎟ ≥ 3<br />
⎝ x2<br />
⎠ ⎝ x1<br />
⎠<br />
* '<br />
∆ = a 2 - 4 ≥ 0<br />
⎡a<br />
≤ −2<br />
⇔ ⎢ ⎣ a ≥ 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x ( x1 + x2<br />
) − 2x<br />
⎤<br />
1x2<br />
≥<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
1<br />
x ⎞ ⎛<br />
2<br />
x1<br />
x ⎞<br />
⎡<br />
2<br />
* ⎜<br />
⎟ +<br />
⎜<br />
⎟ =<br />
⎜ +<br />
⎟ − 2 ≥ 3 ⇔ ⎢<br />
⎝ x2<br />
⎠ ⎝ x1<br />
⎠ ⎝ x2<br />
x1<br />
⎠<br />
⎣<br />
2<br />
2<br />
x x<br />
4 2 − 8<br />
⇔ a 5<br />
4<br />
≥<br />
⎡a<br />
≤ −2<br />
( v× ⎢⎣ nªn 4a 2 - 8 > 0 )<br />
a ≥ 2<br />
2<br />
⇔ a ≥ 2 + 5 ⇔ a ≥ 2 +<br />
5 ( t / m)<br />
Bµi 85: T×m tÊt c c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó c¸c nghiÖm x 1 , x 2 cña ph−¬ng tr×nh:<br />
x 2 ⎛ x1<br />
⎞ ⎛ x2<br />
⎞<br />
+ ax + 1 = 0 tho m·n ⎜<br />
⎟ +<br />
⎜<br />
⎟ > 7<br />
⎝ x2<br />
⎠ ⎝ x1<br />
⎠<br />
2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⎥<br />
⎦<br />
5<br />
HDÉn :<br />
* ∆ ' = a 2 - 4 ≥ 0<br />
⎡a<br />
≤ −2<br />
⇔ ⎢ ⎣ a ≥ 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x ( )<br />
2<br />
⎛<br />
1<br />
⎞ ⎛ x2<br />
⎞ ⎛ x1<br />
x2<br />
⎞<br />
⎡ x1<br />
+ x2<br />
− 2x1x<br />
* ⎜<br />
⎟ +<br />
⎜<br />
⎟ =<br />
⎜ +<br />
⎟ − 2 > 7 ⇔ ⎢<br />
⎝ x2<br />
⎠ ⎝ x1<br />
⎠ ⎝ x2<br />
x1<br />
⎠<br />
⎣ x1x2<br />
2<br />
⎡a<br />
≤ −2<br />
⇔ a − 2 > 9 = 3 ( v× ⎢⎣ nªn a 2 - 2 > 0 )<br />
a ≥ 2<br />
2<br />
⇔ a > 5 ⇔ a ><br />
5( t / m)<br />
2<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
> 9 ⇔ a<br />
2<br />
( − 2) 2<br />
> 9<br />
Bµi 86:<br />
a) Cho <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh a 2 x 2 + bx + c = 0 (1) vµ cx 2 + bx + a 2 = 0 (2) (Víi a>c>0)<br />
Gi sö ph−¬ng tr×nh (1) cã <strong>hai</strong> nghiÖm x 1 , x 2 ; ph−¬ng tr×nh (2) cã <strong>hai</strong> nghiÖm x<br />
'<br />
, x 1 2<br />
'
18<br />
Chøng minh r»ng: x 1 x 2 +<br />
'<br />
'<br />
2<br />
x .x ≥ 2<br />
1<br />
b) Cho c¸c ph−¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) vµ cx 2 + dx + a = 0 ( c ≠ 0) (2)<br />
BiÕt r»ng ph−¬ng tr×nh (1) cã c¸c nghiÖm lµ m vµ n, ph−¬ng tr×nh (2) cã c¸c nghiÖm lµ p<br />
vµ q. Chøng minh r»ng m 2 + n 2 + p 2 + q 2 ≥ 4.<br />
HDÉn :<br />
a) §iÒu kiÖn ®Ó 2 ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm: b 2 - 4a 2 c≥<br />
0<br />
2<br />
' '<br />
- Ta cã x 1 x 2 + x .x ≥ 2 c<br />
. a<br />
2<br />
1 2<br />
=<br />
2<br />
a c<br />
2 2<br />
c 2 2 a<br />
b) m + n ≥ 2 mn = 2 ; p + q ≥ 2 pq = 2<br />
a<br />
c<br />
⇒ m<br />
2<br />
+ n<br />
2<br />
+ p<br />
2<br />
+ q<br />
2<br />
⎛<br />
≥ 2⎜<br />
⎝<br />
c<br />
a<br />
+<br />
a<br />
c<br />
⎞<br />
⎟ ≥ 2.2 = 4<br />
⎠<br />
2<br />
Bµi 87: Cho ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 (1) cã 2 nghiÖm d−¬ng x 1 , x 2<br />
2<br />
a) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh cx + bx + a = 0 (2) còng cã 2 nghiÖm d−¬ng x , x 3 4<br />
b) Chøng minh r»ng S = x + x + x + x 4<br />
1 2 3 4<br />
≥<br />
HDÉn :<br />
a) Ph−¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm d−¬ng khi vµ chØ khi:<br />
⎧<br />
2<br />
⎪∆ = b − 4ac<br />
≥ 0 ⎧c<br />
≠ 0<br />
⎪<br />
⎪ 2<br />
b<br />
b − 4ac<br />
≥ 0<br />
⎨x3<br />
+ x4<br />
= − > 0 ⇔ ⎨<br />
⎪ c ⎪bc<br />
< 0<br />
⎪ a ⎪<br />
⎩ ><br />
⎪x<br />
= > 0 ac 0<br />
3x4<br />
⎩ c<br />
- V× ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm d−¬ng nªn:<br />
⎧<br />
2<br />
⎪∆ = b − 4ac<br />
≥ 0 ⎧c<br />
≠ 0 ⎧c<br />
≠ 0<br />
⎪<br />
⎪ 2<br />
⎪ 2<br />
b<br />
b − 4ac<br />
≥ 0<br />
b − 4ac<br />
≥ 0<br />
⎨x1<br />
+ x2<br />
= − > 0 ⇔ ⎨<br />
⇔ ⎨<br />
⎪ a ⎪ab<br />
< 0 ⎪bc<br />
< 0<br />
⎪ c ⎪<br />
⎩ ><br />
⎪x<br />
= > 0 ac 0 ⎪<br />
1x<br />
⎩ac<br />
> 0<br />
2<br />
⎩ a<br />
- Tõ (I) vµ (II) ⇒ kÕt luËn ?<br />
2<br />
b) C¸ch 1: NÕu α lµ nghiÖm cña (1) th× aα<br />
+ bα<br />
+ c = 0<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
(I)<br />
(II)<br />
1<br />
⎛<br />
Thay x = vµo (2) ta cã: 1 ⎞ 1<br />
c ⎜ ⎟ + b.<br />
+ a = c + bα<br />
+ aα<br />
2 = 0<br />
α<br />
⎝α<br />
⎠ α<br />
1<br />
⇒ lµ nghiÖm cña (2). Do ®ã nÕu x 1 , x 2 lµ nghiÖm cña (1) th×<br />
α<br />
1 1<br />
x<br />
3<br />
= , x4<br />
= lµ 2 nghiÖm cña (2).<br />
x x<br />
1<br />
2
19<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
VËy S = ⎜ x<br />
1<br />
+<br />
⎟ +<br />
⎜ x2<br />
+<br />
⎟ ≥ 2 + 2 = 4 ( BÊt ®¼ng thøc C«si)<br />
⎝ x1<br />
⎠ ⎝ x2<br />
⎠<br />
C¸ch 2:<br />
⎛ c a ⎞ c a<br />
1<br />
+<br />
2 3 4<br />
2<br />
1 2 3x4<br />
= 2 ⎜ ⎟<br />
+<br />
≥ 2.2 . = 2.2.1 = 4<br />
⎝ a c ⎠ a c<br />
Bµi to¸n 9 : So s¸nh nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> víi sè 0.<br />
( x x ) + ( x + x ) ≥ ( x x + x )<br />
Ph−¬ng ph¸p : Ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> ax 2 + bx + c = 0 ( a≠ 0)<br />
1) PTB2 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ P< 0 ⇔ ac < 0<br />
- §Æc biÖt PTB2 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n nghiÖm<br />
'<br />
⎧∆( ∆ ) > 0 ⎧P<br />
< 0<br />
d−¬ng ⇔ ⎨ hoÆc ⎨<br />
⎩S<br />
< 0 ⎩S<br />
< 0<br />
'<br />
⎧∆( ∆ ) ≥ 0<br />
2) PTB2 cã 2 nghiÖm cïng dÊu ⇔ ⎨<br />
⎩P<br />
> 0<br />
'<br />
⎧∆( ∆ ) ≥ 0<br />
⎪<br />
a- PTB2 cã 2 nghiÖm cïng ©m ⇔ ⎨P<br />
> 0<br />
⎪<br />
⎩<br />
S < 0<br />
'<br />
⎧∆( ∆ ) ≥ 0<br />
⎪<br />
b- PTB2 cã 2 nghiÖm cïng d−¬ng ⇔ ⎨P<br />
> 0<br />
⎪<br />
⎩<br />
S > 0<br />
( )<br />
'<br />
⎧∆ ∆ > 0<br />
3) P TB2 cã 2 nghiÖm lµ 2 sè nghÞch ®o cña nhau ⇔ ⎨<br />
⎩P<br />
= 1<br />
4) P TB2 cã 2 nghiÖm lµ 2 sè ®èi nhau ( 2nghiÖm tr¸i dÊu vµ b»ng nhau vÒ gi¸ trÞ tuyÖt<br />
'<br />
⎧∆( ∆ ) > 0 ⎧P<br />
< 0<br />
®èi) ⇔ ⎨ hoÆc ⎨<br />
⎩S<br />
= 0 ⎩S<br />
= 0<br />
Bµi 88: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh:<br />
a) x 2 - 2x + m = 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. ( m < 0)<br />
b) x 2 - 2mx + (m - 1) 2 = 0 cã 2 nghiÖm d−¬ng.<br />
1<br />
( < m ≠ 1)<br />
2<br />
c) 2x 2 - 2(m + 1)x + m = 0 cã 2 nghiÖm ©m.<br />
2<br />
⎛⎧m<br />
+ 1 > 0⎞<br />
⎜<br />
⎪<br />
⎟<br />
⎜⎨m<br />
> 0 ⎟ kh«ng xy ra.<br />
⎜⎪<br />
⎟<br />
⎝⎩<br />
m < −1<br />
⎠<br />
Bµi 89: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh:<br />
a) x 2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. ( m < 4)<br />
b) x 2 - 2(m + 1)x + m 2 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt cïng d−¬ng.<br />
1<br />
(- < m ≠ 0 )<br />
2<br />
c) x 2 - 2x + m = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu lµ sè d−¬ng. ( 0
20<br />
⎛ 1 ⎞<br />
k cã 2 nghiÖm d−¬ng. ⎜− < k < 0⎟ ⎝ 3 ⎠<br />
2 2 ⎛ 1 ⎞<br />
k − x − 2 k + 3 x + k − 5 = cã 2 nghiÖm ©m. ⎜ ≤ k < 2⎟ ⎝13<br />
⎠<br />
b) ( −1) x<br />
2 − 2( k −1) x + k = 0<br />
c) ( ) ( ) 0<br />
Bµi 91: X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh:<br />
m − 5 x<br />
2 − 4mx<br />
+ m − 2 = cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. ( 2
21<br />
⎛⎧∆ > 0<br />
⎜<br />
⎪<br />
⎜<br />
S > 0<br />
⎜⎨<br />
⎜⎪<br />
P > 0<br />
⎜⎪<br />
2<br />
⎝⎩x1<br />
+ x<br />
2<br />
2<br />
= 5<br />
2<br />
⎧m<br />
< 3 − 8; m > 3 +<br />
⎪<br />
m > −1<br />
⇔ ⎨<br />
⎪m<br />
> 0<br />
⎪<br />
⎩m<br />
= 6; m = −4<br />
8 ⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⇔ m = 6⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Bµi 98: Sè ®o <strong>hai</strong> c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong><br />
( m − 2) x<br />
2 − 2( m −1) x + m = 0 . H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó sè ®o ®−êng cao øng<br />
2<br />
víi c¹nh huyÒn lµ .<br />
5<br />
⎛⎧m<br />
≠ 2 ⎞<br />
⎜<br />
⎪<br />
⎟<br />
'<br />
⎜<br />
∆ ≥ 0 ⎡m<br />
< 0⎟<br />
* ⎜⎨<br />
⇔ ⎢ ⎟<br />
⎜⎪P<br />
> 0 ⎣m<br />
> 2<br />
⎟<br />
⎜⎪<br />
⎟<br />
⎝⎩S<br />
> 0 ⎠<br />
1 1 1<br />
* + = ⇔ m = 4( t / m)<br />
khi ®ã x<br />
2 2<br />
2<br />
1 = 1; x 2 = 2<br />
x1<br />
x2<br />
⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 5 ⎠<br />
2<br />
2<br />
Bµi 99: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh x − mx + m − m − 3 = 0 (m>0) cã <strong>hai</strong> nghiÖm<br />
x 1 , x 2 t−¬ng øng lµ ®é dµi <strong>hai</strong> c¹nh AB, AC cña ∆ ABC vu«ng ë A vµ BC = 2.<br />
Bµi to¸n 10 : T×m gi¸ trÞ cña c¸c tham sè ®Ó <strong>hai</strong> ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> ®· cho t−¬ng<br />
®−¬ng víi nhau. ( Trong tr−êng hîp mçi ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt)<br />
Ph−¬ng ph¸p : - ChØ ra mét ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.<br />
⎧x1<br />
+ x2<br />
= x3<br />
+ x4<br />
- LËp hÖ ph−¬ng tr×nh ⎨<br />
⎩x1x2<br />
= x3x4<br />
- Gii hÖ ph−¬ng tr×nh t×m gi¸ trÞ cña c¸c tham sè.<br />
- Thö l¹i, rót kÕt luËn.<br />
2<br />
2 2<br />
Bµi 100: Cho ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> − ( m + n) x − ( m + n ) = 0<br />
x (1)<br />
2<br />
T×m m vµ n ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh x − x − 5 = 0 (2)<br />
*Ph−¬ng tr×nh (2) cã ac = - 5
22<br />
2<br />
2<br />
x + ( 4m<br />
+ 3n) x − 9 = 0 (1) vµ + ( 3m<br />
+ 4n) x + 3n<br />
= 0<br />
x (2)<br />
*Ph−¬ng tr×nh (1) cã ac = - 9
23<br />
* a) A =<br />
2m<br />
2<br />
+ 12m<br />
−16<br />
( m − 4) 2<br />
2<br />
2m( m + 18m<br />
−19)<br />
b) B =<br />
( m − 4) 3<br />
c) C =<br />
d) D =<br />
2m<br />
m − 2<br />
2m<br />
2<br />
+ 12m<br />
−16<br />
( m − 2) 2<br />
2<br />
Bµi 107: Cho ph−¬ng tr×nh x − 2( m + 1) x + m − 4 = 0<br />
Kh«ng gii ph−¬ng tr×nh t×m x 1, x2<br />
h·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau theo m:<br />
3<br />
a) x1 − x2<br />
c) x 3<br />
1 − x 2<br />
2<br />
b) x 2<br />
1 − x 2<br />
' ⎛ ⎞ 19<br />
* ∆ = ⎜m<br />
+ ⎟ + > 0<br />
⎝ 2 ⎠ 4<br />
1 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
* a) ( − x ) = ( x + x ) − 4x<br />
x = 4( m + m 5)<br />
2<br />
x ⇒ x − x = ± 2 m + m 5<br />
1 2 1 2 1 2<br />
+<br />
2<br />
b) x 2<br />
1 − x 2 = ( x1 − x2<br />
)(<br />
1<br />
x2<br />
2<br />
x + ) = ± 4( m + 1) m + m + 5<br />
c) 3 3<br />
2<br />
x 1 − x 2 = ( x1 − x2<br />
)( x 2<br />
1 + x1x2<br />
+ x 2 ) = (<br />
1<br />
x2<br />
1 2<br />
+<br />
2<br />
[ − x ]<br />
x − ) ( x + x )<br />
1 2 1x2<br />
2<br />
2<br />
= ± 2 m + m + 5( 4m<br />
+ 7m<br />
+ 8)<br />
2<br />
Bµi 108: Cho ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0)<br />
cã <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
. TÝnh theo a , b,<br />
c<br />
c¸c biÓu thøc sau:<br />
x1<br />
x2<br />
a) M = ( 5x1 − 3x2<br />
)( 5x2<br />
− 3x1<br />
)<br />
b) N = +<br />
x − 3x<br />
x − 3x<br />
* §iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ac
24<br />
' 2 ⎡m<br />
≤ −3<br />
* ∆ = m − 9 ≥ 0 ⇔ ⎢ ⎣ m ≥ 3<br />
2<br />
* A = 4 ( + ) + 48 ⇒ A = 48 ⇔ m = −3<br />
m (t/m)<br />
3<br />
min<br />
2<br />
Bµi 110: X¸c ®Þnh a ®Ó tæng b×nh ph−¬ng <strong>hai</strong> nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x + ax + a − 2 = 0<br />
lµ bÐ nhÊt.<br />
* ∆ = ( a − 2) 2 + 4 > 0<br />
2<br />
* x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = ( a − ) + 3 ≥ 3 ⇒ ( x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 ) = 3 ⇔ a = 1<br />
1<br />
min<br />
2<br />
Bµi 111: Cho ph−¬ng tr×nh + ( 2m<br />
−1) x − m = 0<br />
x . T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó A = x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 − 6x1x2<br />
Cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.<br />
* ∆ = 4m<br />
2 + 1 > 0<br />
2<br />
1<br />
* A = ( 2m<br />
+ 1)<br />
≥ 0 ⇒ Amin<br />
= 0 ⇔ m = −<br />
2<br />
2<br />
Bµi 112: Cho ph−¬ng tr×nh − 2( m −1) x + m − 3 = 0<br />
2<br />
x . T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó P = x 2<br />
1 + x 2<br />
Cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.<br />
' ⎛ ⎞ 7<br />
* ∆ = ⎜m<br />
− ⎟ + > 0<br />
⎝ 2 ⎠ 4<br />
* P =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
3 2<br />
5 ⎞<br />
m − ⎟<br />
2 ⎠<br />
2<br />
15 15<br />
+ ≥ ⇒ P<br />
4 4<br />
2<br />
min<br />
15 5<br />
= ⇔ m =<br />
4 4<br />
2<br />
Bµi 113: Cho ph−¬ng tr×nh x − mx + m −1<br />
= 0 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 − 6x1x2<br />
vµ gi¸ trÞ t−¬ng øng cña m.<br />
* ∆ = ( m − 2) 2 ≥ 0<br />
2<br />
* A = ( m − ) − 8 ≥ −8<br />
⇒ A = −8<br />
⇔ m = 4<br />
4<br />
min<br />
Bµi 114:<br />
2<br />
1) Cho ph−¬ng tr×nh x − mx + m −1<br />
= 0 . Gäi x 1, x2<br />
lµ c¸c nghiÖm, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt<br />
2<br />
cña A = x 2<br />
1 + x 2 .<br />
2) Cho ph−¬ng tr×nh 2 2 2<br />
x + 2( m + 3) x + m + 1 = 0 . X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó x 2<br />
1 + x 2<br />
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.<br />
1) a + b + c = 1 − m + m −1<br />
= 0 ⇒ ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm.<br />
2<br />
+ m −1<br />
≥ 1 ⇒ A = 1 ⇔ m =<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
A = ( ) 1<br />
1<br />
min<br />
2) ∆ ' = ( m − 2) 2<br />
+ 3 > 0<br />
2 2<br />
2<br />
x 1 + x 2 =( m − 2) + 3 ≥ 3 ⇒ ( x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 )<br />
min<br />
= 3 ⇔ m = 2<br />
2<br />
Bµi 115: Cho ph−¬ng tr×nh x − 2mx<br />
+ 2m<br />
−1<br />
= 0 . T×m m sao cho A = 2(<br />
x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 ) − 5x1x2<br />
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.<br />
* ∆ ' = ( m −1) 2<br />
≥ 0
25<br />
2<br />
2<br />
⎛ 9 ⎞ 9 9<br />
9 9<br />
* A = 8m<br />
−18m<br />
+ 9 = 2⎜<br />
2m<br />
− ⎟ − ≥ − ⇒ Amin<br />
= − ⇔ m =<br />
⎝ 4 ⎠ 8 8<br />
8 8<br />
2<br />
Bµi 116: Cho ph−¬ng tr×nh x − 2( m − 2) x − 6m<br />
= 0 (1). Gäi x 1, x2<br />
lµ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng<br />
2<br />
tr×nh (1) . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 2<br />
1 + x 2 .<br />
* ∆ ' = ( m + 1) 2<br />
+ 3 > 0<br />
* 2 2<br />
1 x 2<br />
2<br />
x + =( m −1) + 15 ≥ 15 ⇒ ( x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 )<br />
2<br />
min<br />
= 15 ⇔ m =<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
Bµi 117: Cho ph−¬ng tr×nh x − 2( m −1)<br />
x + 5m<br />
−1<br />
= 0. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ c¸c nghiÖm<br />
2<br />
x 1, x 2<br />
cña ph−¬ng tr×nh sao cho tæng x 2<br />
1 + x 2 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.<br />
2<br />
* Gi sö ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ta cã: x<br />
1<br />
+ x2<br />
= 2m<br />
− 2 ≥ −2<br />
⇒ ( x1<br />
+ x2<br />
)<br />
min<br />
= −2<br />
⇔ m = 0<br />
2<br />
* m = 0 : x + x −1<br />
= 0 ⇒ x = −1±<br />
2<br />
2<br />
1, 2<br />
2<br />
2<br />
Bµi 118: Cho ph−¬ng tr×nh − ( b − a + 1) x = m + 1<br />
ax (1)<br />
a) Víi a = 1 ; b = 2. Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
víi<br />
mäi gi¸ trÞ cña m.<br />
2<br />
b) T×m m ®Ó cho x 2<br />
1 + x 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh nghiÖm trong tr−êng hîp nµy.<br />
2<br />
2<br />
' 2<br />
a) x − 2x<br />
− m −1<br />
= 0 cã ∆ = m + 2 > 0∀m<br />
∈ R<br />
2<br />
b) * x 2<br />
1 + x 2 = 2 2 + 6 ≥ 6 ⇒ x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 = 6 ⇔ m =<br />
m ( ) 0<br />
2<br />
* m = : x − 2x<br />
−1<br />
= 0 ⇒ x = 1±<br />
2<br />
0<br />
1, 2<br />
Bµi 119: Cho ph−¬ng tr×nh 2x<br />
2 + (2m<br />
−1)<br />
x + m −1<br />
= 0 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc<br />
A = x<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
2 − x1x2<br />
* ∆ = ( 2m<br />
− 3) 2 ≥ 0<br />
2<br />
⎛ 5 ⎞<br />
⎜2m<br />
− ⎟<br />
2 3 3 3 5<br />
* A =<br />
⎝ ⎠<br />
+ ≥ ⇒ Amin<br />
= ⇔ m =<br />
4 16 16 16 4<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
Bµi 120: Gäi x 1, x2<br />
lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sau, t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x 2<br />
1 + x 2 cã gi¸ trÞ<br />
nhá nhÊt.<br />
2<br />
x − 2m<br />
−1<br />
x + m − 2 =<br />
1) ( ) 0<br />
2<br />
2) x − 2( m + 1) x + ( m −1) = 0<br />
2<br />
1) ∆ = 4( m −1) + 5 > 0<br />
2<br />
2 2 2 ⎛ 3 ⎞ 11 11<br />
x 1 + x 2 = 4 − 6m<br />
+ 5 = 2m<br />
− + ≥ ⇒<br />
2) ∆ = 4m<br />
2 + 5 > 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
min<br />
m ( x<br />
2<br />
1 x<br />
2<br />
2 )<br />
⎟<br />
2 ⎠<br />
2<br />
2 2 2 ⎛ 1 ⎞ 5 5<br />
x 1 + x 2 = 4 + 2m<br />
+ 3 = 2m<br />
+ + ≥ ⇒<br />
m ( x<br />
2<br />
1 x<br />
2<br />
2 )<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
2 ⎠<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
11<br />
+<br />
min<br />
= ⇔ m =<br />
4<br />
5 1<br />
+<br />
min<br />
= ⇔ m = −<br />
4 4<br />
3<br />
4
26<br />
2<br />
Bµi 121: Gäi x 1, x2<br />
lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sau, t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x 2<br />
1 + x 2 cã gi¸ trÞ<br />
nhá nhÊt.<br />
2<br />
x + 2 m − 2 x − 2m<br />
− 7 =<br />
1) ( ) ( ) 0<br />
2<br />
2) x + 2( m − 2) x − 3m<br />
+ 10 = 0<br />
' 2<br />
⎡m<br />
≤ −1<br />
1) ∆ = m − 2m<br />
− 3 ≥ 0 ⇔ ⎢ ⎣ m ≥ 3<br />
2 2 2<br />
2<br />
x 1 + x 2 = 4m<br />
−12m<br />
+ 2 = ( 2m<br />
− 3) − 7<br />
2<br />
+ m ≥ 3 ⇒ A ≥ ( 2.3 − 3) − 7 = 2<br />
2<br />
+ m ≤ −1<br />
⇒ A ≥ [ 2. ( −1)<br />
− 3] − 7 = 18<br />
Suy ra A = 2 ⇔ m 3<br />
min<br />
=<br />
' 2<br />
⎡m<br />
≤ −2<br />
2) ∆ = m − m − 6 ≥ 0 ⇔ ⎢ ⎣ m ≥ 3<br />
2<br />
x 2<br />
1 + x 2 =<br />
4m<br />
2<br />
⎛ 5 ⎞<br />
−10m<br />
− 4 = ⎜2m<br />
− ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛ 5 ⎞ 41<br />
+ m ≥ 3 ⇒ A ≥ ⎜2.3<br />
− ⎟ − = 2<br />
⎝ 2 ⎠ 4<br />
⎡ 5⎤<br />
⎢<br />
⎣ 2⎥<br />
⎦<br />
Suy ra A = 2 ⇔ m 3<br />
+ m ≤ −2<br />
⇒ A ≥ 2. ( − 2) − − = 32<br />
min<br />
=<br />
2<br />
2<br />
41<br />
4<br />
2<br />
41<br />
−<br />
4<br />
Bµi 122: Gäi x 1, x2<br />
lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sau, t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x1 − x2<br />
cã gi¸ trÞ<br />
nhá nhÊt.<br />
2<br />
x − m −1<br />
x − m + 1 =<br />
1) ( ) ( ) 0<br />
2<br />
2<br />
2) x − 4mx<br />
+ ( m + 1) = 0<br />
1) =<br />
2)<br />
∆ ( m + 1) 2 + 4 > 0<br />
( x − x ) 2<br />
= ( m + 1) 2<br />
4 ⇒ ( x − x ) 2<br />
= ( m + 1) 2<br />
4<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
1 2<br />
+<br />
⇒ x<br />
⇒ x<br />
1 2<br />
+<br />
( m + 1) 2<br />
+ 4 2<br />
1<br />
− x2<br />
=<br />
≥<br />
( − x ) = 2 ⇔ m = 1<br />
1 2<br />
−<br />
min<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
m ≤ −<br />
∆<br />
' = 3m 2 − 2m<br />
−1<br />
≥ 0 ⇔ 3 ; x 12 2<br />
1<br />
− x2<br />
= m − 8m<br />
− 4<br />
⎢<br />
⎣m<br />
≥ 1<br />
1<br />
* m ≤ − ⇒ x1 − x2<br />
≥ 0<br />
3<br />
* m ≥ ⇒ x − x 0<br />
1<br />
1 2<br />
≥<br />
Suy ra ( x − x )<br />
1<br />
2<br />
min<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
m = −<br />
= 0 ⇔ 3<br />
⎢<br />
⎣m<br />
= 1<br />
2<br />
2<br />
Bµi 123: Cho ph−¬ng tr×nh x − 2( m + 1) x + m + 4m<br />
− 3 = 0 . X¸c ®Þnh m ®Ó hiÖu gi÷a tæng
27<br />
Hai nghiÖm vµ tÝch <strong>hai</strong> nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.<br />
'<br />
* ∆ = 4 − 2m<br />
≥ 0 ⇔ m ≤ 2<br />
2<br />
x + x2<br />
− x1x2<br />
= −m<br />
− 2m<br />
+ 5 = − m + 1<br />
⇒ x + x − x x = 6 ⇔ m = (t/m)<br />
2<br />
* (<br />
1<br />
) ( ) + 6 ≤ 6<br />
[( ) ] 1<br />
1 2 1 2<br />
−<br />
max<br />
2<br />
Bµi 124: Cho ph−¬ng tr×nh x + ( m + 1) x + m = 0 (1). Gäi x 1, x2<br />
lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1)<br />
2<br />
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc B = x 2<br />
1x<br />
+ x x 2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.<br />
* ∆ = m<br />
* B =<br />
( −1) 2 ≥ 0<br />
x<br />
2<br />
1x2<br />
( x1<br />
max<br />
−<br />
2<br />
2 ⎛ 1 ⎞ 1 1 1<br />
+ x2<br />
) = −m<br />
− m = −⎜m<br />
+ ⎟ + ≤ ⇒ B = ⇔ m =<br />
⎝ 2 ⎠ 4 4 4<br />
2<br />
Bµi 125: Cho ph−¬ng tr×nh mx − 2mx<br />
+ 3m<br />
−1<br />
= 0 . T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x 1, x2<br />
cña ph−¬ng tr×nh trªn cã tÝch x 1x2<br />
lín nhÊt.<br />
⎧m<br />
≠ 0<br />
1<br />
* ⎨<br />
⇔ 0 < m ≤<br />
2<br />
⎩∆ = m − 2m<br />
≥ 0 2<br />
3m −1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
* x 1x2<br />
= = 3 − Do 0
28<br />
2<br />
m + m + 3<br />
2<br />
m + m + 1<br />
8 2<br />
2<br />
2<br />
* S = ⇔ S( m + m + 1) = m + 8m<br />
+ 3 ⇔ ( S −1) m + ( S − 8) m + S − 3 = 0<br />
VËy<br />
S<br />
∆ = −3S<br />
min<br />
S<br />
max<br />
2<br />
+ 52 ≥ 0 ⇔ S<br />
2<br />
≤<br />
52<br />
3<br />
2 13 13 + 4<br />
= − ⇔ m = −<br />
3 2 13 +<br />
2 13<br />
= ⇔ m =<br />
3<br />
13 − 4<br />
3 − 2<br />
3<br />
13<br />
2<br />
⇔ −<br />
3<br />
3<br />
13 2<br />
≤ S ≤<br />
3<br />
13<br />
3<br />
2<br />
Bµi 129: Cho ph−¬ng tr×nh x − mx + m −1<br />
= 0<br />
1) Chøng tá r»ng ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm.<br />
2) T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc A =<br />
x<br />
1) ∆ = ( m − 2 ) ≥ 0∀m<br />
∈ R<br />
2<br />
1<br />
2x<br />
x<br />
1<br />
2<br />
2<br />
x<br />
2<br />
+ 2<br />
2m<br />
+ 1<br />
2<br />
2) A = ⇔ Am − 2m<br />
+ 2A<br />
−1<br />
= 0<br />
2<br />
m + 2<br />
1<br />
∆ = −2A<br />
2 + A + 1 ≥ 0 ⇔ − ≤ A ≤ 1<br />
2<br />
1<br />
VËy A<br />
min<br />
= − ⇔ m = −2<br />
2<br />
A = 1 ⇔ m 1<br />
max<br />
=<br />
+ 3<br />
( x x + 1)<br />
Bµi to¸n 13 : Chøng minh mét biÓu thøc gi÷a <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
cña ph−¬ng tr×nh bËc<br />
<strong>hai</strong> kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña tham sè.<br />
⎧a<br />
≠ 0<br />
Ph−¬ng ph¸p : - T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm ⎨<br />
⎩∆( ∆'<br />
) ≥ 0<br />
- BiÕn ®æi biÓu thøc ® cho xuÊt hiÖn x 1 +x 2 , x 1 .x 2<br />
- Thay gi¸ trÞ cña x 1 +x 2 , x 1 .x 2 (tÝnh theo m)<br />
- Rót gän biÓu thøc cã gi¸ trÞ lµ mét h»ng sè.<br />
2<br />
Bµi 130: Cho ph−¬ng tr×nh x − 2( m + 1) x + m − 4 = 0 cã <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
. Chøng minh r»ng<br />
x 1− x + x − x kh«ng phô thuéc vµo m.<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
BiÓu thøc H = ( ) ( )<br />
2<br />
1 2 2<br />
1<br />
⎛ 1 ⎞ 19<br />
* ∆'<br />
= ⎜m<br />
+ ⎟ + > 0<br />
⎝ 2 ⎠ 4<br />
H = x + x − x x = 2 m + 1 − 2 m − 4<br />
* ( ) ( ) ( 10)<br />
1 2<br />
2<br />
1 2<br />
=<br />
1<br />
2<br />
Bµi 131: Cho ph−¬ng tr×nh x − 2( m + 1) x + m − 3 = 0 cã <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
. Chøng minh r»ng<br />
BiÓu thøc Q = x1 ( 2007 − 2006x2<br />
) + x2<br />
( 2007 − 2008x1<br />
) kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ<br />
cña m.<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞ 15<br />
* ∆'<br />
= ⎜m<br />
+ ⎟ + > 0<br />
⎝ 2 ⎠ 4<br />
Q = 2007 x + x2<br />
− 4014x1x2<br />
= 2007 2m<br />
+ 2 − 4014 m − 3<br />
* ( ) ( ) ( ) 16056<br />
1<br />
=<br />
1<br />
2
29<br />
Bµi to¸n 14 : LËp ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> biÕt <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
tho m·n mét ®iÒu kiÖn<br />
nµo ®ã cña gi <strong>thi</strong>Õt.<br />
Ph−¬ng ph¸p : - TÝnh tæng (S), tÝch (P) cña <strong>hai</strong> nghiÖm.<br />
- ¸p dông ®Þnh lý ®o ®Þnh lý ViÐt lËp ph−¬ng tr×nh X 2 – SX + P=0<br />
2<br />
Bµi 132: Cho ph−¬ng tr×nh x + px + q = 0 cã <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
vµ x<br />
2<br />
≠ 0 . LËp ph−¬ng tr×nh<br />
x1<br />
x<br />
2<br />
BËc <strong>hai</strong> cã c¸c nghiÖm lµ vµ .<br />
x x<br />
* S =<br />
p 2 − 2q<br />
q<br />
; P = 1<br />
2<br />
* Ph−¬ng tr×nh: qx − ( p − 2q) x + q = 0<br />
2<br />
Bµi 133: Cho ph−¬ng tr×nh + bx + c = 0<br />
2<br />
ax ( ≠ 0,<br />
c ≠ 0)<br />
1<br />
a víi c¸c nghiÖm α vµ β . H·y lËp<br />
α β<br />
mét ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> cã c¸c nghiÖm lµ vµ ( α ≠ 0,<br />
β ≠ 0)<br />
β α<br />
2 2<br />
α β α + β<br />
* + = =<br />
β α αβ<br />
( α + β )<br />
b<br />
2<br />
−<br />
ac<br />
2<br />
2<br />
− 2αβ<br />
b − 2ac α β<br />
= ; . = 1<br />
αβ<br />
ac β α<br />
2 ac<br />
2<br />
2<br />
2<br />
* Ph−¬ng tr×nh : x − x + 1 = 0 ⇔ acx − ( b − 2ac) x + ac = 0<br />
Bµi 134: LËp mét ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> mµ c¸c nghiÖm cña nã b»ng tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm<br />
2<br />
cña ph−¬ng tr×nh + bx + c = 0 a ≠ 0<br />
*<br />
*<br />
y<br />
y<br />
ax ( )<br />
b<br />
c<br />
= x1<br />
+ x2<br />
= − y<br />
2<br />
= x1x2<br />
=<br />
a<br />
a<br />
c − b<br />
bc<br />
+ y 2<br />
= y1<br />
y2<br />
= −<br />
a<br />
a<br />
2 c − b bc<br />
y − y − = 0 ⇔ a<br />
2<br />
a a<br />
1<br />
;<br />
1<br />
;<br />
2<br />
2 2<br />
* Ph−¬ng tr×nh : y + a( b − c) y − bc = 0<br />
2<br />
Bµi 135: Gäi x<br />
1<br />
vµ x2<br />
lµ <strong>hai</strong> nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> + bx + c = 0<br />
2 2<br />
H·y lËp mét ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> cã c¸c nghiÖm lµ x 1 vµ x 2 .<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
2 b − 2<br />
2<br />
* x 1 x<br />
2<br />
2 = ( x1<br />
+ x2<br />
) − 2x1x2<br />
=<br />
2<br />
ax ( ≠ 0)<br />
ac<br />
2 2<br />
2 c<br />
+ ; x 1 . 2 x<br />
1x2<br />
=<br />
a<br />
a<br />
2<br />
2<br />
2 b − 2ac<br />
c<br />
2 2 2<br />
x − x + = 0 ⇔ a x − b − 2ac<br />
x + c =<br />
2<br />
2<br />
a a<br />
x = ( )<br />
2<br />
* Ph−¬ng tr×nh : ( ) 0<br />
2<br />
a .<br />
2<br />
Bµi 136: Cho ph−¬ng tr×nh x − 5mx + 1 = 0 (1) cã <strong>hai</strong> nghiÖm x 1, x2<br />
. LËp ph−¬ng tr×nh bËc<br />
<strong>hai</strong> cã c¸c nghiÖm y 1, y2<br />
tho m·n:<br />
a) Lµ sè ®èi c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1).<br />
b) Lµ nghÞch ®o c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1).<br />
a/ y y = −( x + x ) = 5m<br />
1<br />
+<br />
2 1 2<br />
− ; .( )1 =−=xy 212121<br />
2<br />
Ph−¬ng tr×nh: y + 5my<br />
+ 1 = 0
30<br />
1 1 x1<br />
+ x2<br />
1 1 1<br />
b/ y1 + y2<br />
= + = = 5m<br />
; y<br />
1<br />
. y2<br />
= . = = 1<br />
x x x x<br />
x x x x<br />
1<br />
2<br />
Ph−¬ng tr×nh: y − 5my<br />
+ 1 = 0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Bµi 137: Cho ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> + bx + c = 0 a ≠ 0 , cã <strong>hai</strong> nghiÖm kh¸c 0. T×m<br />
mét ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> mµ c¸c nghiÖm cña nã :<br />
a) Kh¸c dÊu víi nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1).<br />
b) B»ng nghÞch ®o cña c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1).<br />
c) Lín h¬n c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) mét l−îng b»ng n.<br />
d) GÊp k lÇn nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1).<br />
ax (1) ( )<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a/ − bx + c = 0<br />
ax + b − 2an<br />
x + an − bn + c =<br />
2<br />
2<br />
2<br />
b/ cx + bx + a = 0<br />
d/ ax + kbx + k c = 0<br />
ax c/ ( ) 0<br />
2<br />
2<br />
Bµi 138: Cho ph−¬ng tr×nh x + 3ax<br />
− 3( b + 1) = 0<br />
, ( a vµ b lµ c¸c sè nguyªn). Gäi nghiÖm<br />
3 3<br />
cña ph−¬ng tr×nh lµ x<br />
1<br />
vµ x<br />
2<br />
. H·y lËp ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> cã nghiÖm lµ x 1 vµ x 2 .<br />
3<br />
* 1<br />
3<br />
3<br />
2<br />
x = ( + x2<br />
) − 3x1x2<br />
( x1<br />
+ x2<br />
) = ( − 3a) − 3. − 3( b + 1)<br />
3<br />
2<br />
3 2<br />
= − 27a − 27ab<br />
− 27a<br />
= − 27 ( a + ab + a)<br />
3<br />
3<br />
2 3<br />
2<br />
x = ( x x ) = [ − 3 ( b + 1)<br />
] = −27( b + ) 3<br />
3<br />
x + 2<br />
3<br />
x 1. 2<br />
2<br />
* Ph−¬ng tr×nh : + 27 a<br />
[ ]( a)<br />
x 3<br />
1<br />
−<br />
1 2<br />
1<br />
3 2<br />
2<br />
x ( + ab + a) x − 27( b + 1) = 0<br />
Bµi to¸n 15 : T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh bËc <strong>hai</strong> cã nghiÖm nguyªn.<br />
⎧a<br />
≠ 0<br />
Ph−¬ng ph¸p : - T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm : ⎨ '<br />
⎩∆( ∆ ) ≥ 0<br />
- TÝnh.<br />
- TÝnh .<br />
- Khö m<br />
Bµi 139:<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
3
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng:<br />
a) 8 5 + 2 11 chia hÕt cho 17<br />
b) 19 19 + 69 19 chia hÕt cho 44<br />
Bµi 2:<br />
§Ò 1<br />
2<br />
x + x − 6<br />
a) Rót gän biÓu thøc:<br />
3 2<br />
x − 4x − 18x<br />
+ 9<br />
b) Cho 1 1 1 0( x, y, z 0)<br />
x + y + z<br />
= ≠ . TÝnh yz + xz +<br />
xy<br />
x 2 y 2 z<br />
2<br />
Bµi 3:(3®)<br />
Cho tam gi¸c ABC . LÊy c¸c ®iÓm D,E theo thø tù thuéc tia ®èi cña c¸c tia BA, CA<br />
sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD .Qua O vÏ ®−êng th¼ng<br />
song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, ®−êng th¼mg nµy c¾t AC ë K. Chøng minh<br />
r»ng AB = CK.<br />
Bµi 4 (1®).<br />
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã):<br />
M = 4x 2 + 4x + 5<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi 1 : (3®)<br />
a) (1,5®) Ta cã: 8 5 + 2 11 = (2 3 ) 5 + 2 11 = 2 15 + 2 11 =2 11 (2 4 + 1)=2 11 .17<br />
Râ rµng kÕt qu trªn chia hÕt cho 17.<br />
b) (1,5®) ¸p dông h»ng ®¼ng thøc:<br />
a n + b n = (a+b)(a n-1 - a n-2 b + a n-3 b 2 - …- ab n-2 + b n-1 ) víi mäi n lÏ.<br />
Ta cã: 19 19 + 69 19 = (19 + 69)(19 18 – 19 17 .69 +…+ 69 18 )<br />
= 88(19 18 – 19 17 .69 + …+ 69 18 ) chia hÕt cho 44.<br />
Bµi 2 : (3®)<br />
a) (1,5®) Ta cã: x 2 + x – 6 = x 2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3)<br />
= (x+3)(x-2).<br />
x 3 – 4x 2 – 18 x + 9 = x 3 – 7x 2 + 3x 2 - 21x + 3x + 9<br />
=(x 3 + 3x 2 ) – (7x 2 +21x) +(3x+9)<br />
=x 2 (x+3) -7x(x+3) +3(x+3)<br />
=(x+3)(x 2 –7x +3)<br />
=><br />
2<br />
x + x − 6<br />
− 4 − 18 + 9<br />
3 2<br />
x x x<br />
b) (1,5®) V×<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
(x+3)(x-2) ( x − 2)<br />
(x+3)(x -7x +3) x -7x +3<br />
=<br />
2 2<br />
= Víi ®iÒu kiÖn x≠ -1 ; x 2 -7x + 3 ≠ 0<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
1<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞<br />
+ + = 0 ⇒ = − ⎜ + ⎟<br />
x y z z ⎝ x y ⎠<br />
3<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎞<br />
⇒ = − 3. . 3 .<br />
3 ⎜ + ⎟ ⇒ = −<br />
3 ⎜ + + +<br />
3 2 2 3 ⎟<br />
z ⎝ x y ⎠ z ⎝ x x y x y y ⎠<br />
1 1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 1 1<br />
⇒ + + = − 3 . . ⎜ + ⎟ ⇒ + + = 3.<br />
⎝ ⎠<br />
3 3 3 3 3 3<br />
x y z x y x y x y z xyz<br />
1<br />
Do ®ã : xyz(<br />
x + 1<br />
3 3<br />
y + 1<br />
3<br />
z )= 3 xyz xyz xyz yz zx xy<br />
⇔ + + = 3 ⇔ + + = 3<br />
3 3 3 2 2 2<br />
x y z x y z<br />
Bµi 3 : (3®)<br />
Chøng minh :<br />
VÏ h×nh b×nh hµnh ABMC ta<br />
cã AB = CM .<br />
§Ó chøng minh AB = KC ta cÇn<br />
chøng minh KC = CM.<br />
ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC =<br />
CE (gt) => tam gi¸c CBE c©n t¹i C<br />
=> B = E v× gãc C 1 lµ gãc ngoµi<br />
1<br />
cña tam gi¸c BCE =><br />
1<br />
C <br />
1<br />
= B1 + E ⇒ B1 = C1<br />
mµ AC // BM<br />
2<br />
(ta vÏ) => 1<br />
C <br />
1<br />
= CBM ⇒ B1<br />
= CBM<br />
2<br />
M<br />
nªn BO lµ tia ph©n gi¸c cña CBM .<br />
Hoµn toµn t−¬ng tù ta cã CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCM . Trong tam gi¸c BCM,<br />
OB, CO, MO ®ång quy t¹i O => MO lµ ph©n tia ph©n gi¸c cña gãc CMB<br />
Mµ : BAC , BMC lµ <strong>hai</strong> gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh BMCA => MO // víi tia ph©n gi¸c<br />
cña gãc A theo gt tia ph©n gi¸c cña gãc A cßn song song víi OK => K,O,M th¼ng<br />
hµng.<br />
Ta l¹i cã : 1<br />
M <br />
1<br />
= BMC( cmt);<br />
A = M ⇒ M <br />
1<br />
= A2<br />
mµ A<br />
<br />
2<br />
= K 1 (<strong>hai</strong> gãc ®ång vÞ)<br />
2<br />
=> K = M ⇒ ∆ CKM c©n t¹i C => CK = CM. KÕt hîp AB = CM => AB = CK (®pcm)<br />
1 1<br />
Bµi 4: (1®)<br />
Ta cã M= 4x 2 + 4x + 5 =[(2x) 2 + 2.2x.1 + 1] +4<br />
= (2x + 1) 2 + 4.<br />
V× (2x + 1) 2 ≥0 =>(2x + 1) 2 + 4 ≥ 4 M ≥ 4<br />
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi x = - 1 2<br />
D<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
B<br />
A<br />
K<br />
C<br />
E<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
2<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
-------------------------------------------------<br />
®Ò 2<br />
C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè: a1a 2.. . a<br />
8<br />
tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a vµ b sau:<br />
a) a a a = ( a a ) 2<br />
b) a a a a a = ( a a ) 3<br />
1 2 3<br />
7<br />
8<br />
4 5 6 7 8 7 8<br />
C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( x m + x n + 1 ) chia hÕt cho x 2 + x + 1.<br />
khi vµ chØ khi ( mn – 2) ⋮ 3.<br />
¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x 7 + x 2 + 1.<br />
C©u 3 . Gii ph−¬ng tr×nh:<br />
⎛ 1 1<br />
1 ⎞<br />
⎜ + + ... +<br />
⎟<br />
⎝1.2.3<br />
2.3.4 2005.2006.2007 ⎠ x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).<br />
C©u 4 . Cho h×nh thang ABCD (®¸y lín CD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; c¸c<br />
®−êng kÎ tõ A vµ B lÇn l−ît song song víi BC vµ AD c¾t c¸c ®−êng chÐo BD vµ AC<br />
t−¬ng øng ë F vµ E. Chøng minh:<br />
EF // AB<br />
b). AB2 = EF.CD.<br />
c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c OAB; OCD; OAD<br />
Vµ OBC<br />
Chøng minh: S1 . S2 = S3 . S4 .<br />
C©u 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x 2 - 2xy + 6y 2 – 12x + 2y + 45.<br />
§¸p ¸n<br />
C©u 1 . Ta cã a 1 a 2 a 3 = (a 7 a 8 ) 2 (1) a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 = ( a 7 a 8 ) 3 (2).<br />
Tõ (1) vµ (2) => 22 ≤ a<br />
7<br />
a8<br />
≤ 31<br />
=> ( a 7 a 8 ) 3 = a 4 a 5 a 6 00 + a 7 a 8 ( a 7 a 8 ) 3 – a 7 a 8 = a 4 a 5 a 6 00.<br />
( a 7 a 8 – 1) a 7 a 8 ( a 7 a 8 + 1) = 4 . 25 . a 4 a 5 a 6<br />
do ( a 7 a 8 – 1) ; a 7 a 8 ; ( a 7 a 8 + 1) lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn cã 3 kh n¨ng:<br />
a) . a 7 a 8 = 24 => a 1 a 2 a 3 . . . a 8 lµ sè 57613824.<br />
b) . a 7 a 8 – 1 = 24 => a 7 a 8 = 25 => sè ®ã lµ 62515625<br />
c) . a 7 a 8 = 26 => kh«ng tho m·n<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
c©u 2 . §Æt m = 3k + r víi 0 ≤ r ≤ 2 n = 3t + s víi 0 ≤ s ≤ 2<br />
x m + x n + 1 = x 3k+r + x 3t+s + 1 = x 3k x r – x r + x 3t x s – x s + x r + x s + 1.<br />
= x r ( x 3k –1) + x s ( x 3t –1) + x r + x s +1<br />
ta thÊy: ( x 3k – 1) ⋮ ( x 2 + x + 1) vµ ( x 3t –1 ) ⋮ ( x 2 + x + 1)<br />
vËy: ( x m + x n + 1) ⋮ ( x 2 + x + 1)<br />
( x r + x s + 1) ⋮ ( x 2 + x + 1) víi 0 ≤ r ; s ≤ 2<br />
r = 2 vµ s =1 => m = 3k + 2 vµ n = 3t + 1<br />
r = 1 vµ s = 2 m = 3k + 1 vµ n = 3t + 2<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
3<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t)<br />
mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t)<br />
=> (mn – 2) ⋮ 3 §iÒu phi chøng minh.<br />
¸p dông: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12 ⋮ 3.<br />
( x 7 + x 2 + 1) ⋮ ( x 2 + x + 1)<br />
( x 7 + x 2 + 1) : ( x 2 + x + 1) = x 5 + x 4 + x 2 + x + 1<br />
C©u 3 . Gii PT:<br />
⎛ 1 1<br />
1 ⎞<br />
⎜ + . + … +<br />
⎟ x =<br />
⋯<br />
⎝1.2.3<br />
2.3.4 2005.2006.2007 ⎠<br />
Nh©n 2 vÕ víi 6 ta ®−îc:<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
4<br />
( 1.2 + 2.3 + + 2006.2007)<br />
⎛ 2 2<br />
2 ⎞<br />
3⎜<br />
+ + ⋯+<br />
⎟ x = 2<br />
⋯<br />
−<br />
⎝1`.2.3<br />
2.3.4 2005.2006<br />
.2007⎠<br />
1<br />
1.2<br />
⎛<br />
3⎜<br />
⎝<br />
= 2<br />
⇔<br />
1 1 1<br />
1 ⎞<br />
− + − + ⋯ − ⎟ x<br />
2.3 2.3 3.4 2006.2007 ⎠<br />
( 1.2.3+<br />
2.3.4−1.2.3+<br />
⋯ + 2006.2007.2008−<br />
2005.2006.2007)<br />
[( 1.2( 3−0) + 2.3( 4−1) + + 2006.20072008<br />
( 2005)<br />
)]<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
1003.1004.669<br />
3 ⎜ − ⎟ x = 2.2006.2007.2008 ⇔ x =<br />
⎝1.2<br />
2006.2007 ⎠<br />
5.100.651<br />
OE OA<br />
C©u 4 .a) Do AE// BC => = A B<br />
OB OC<br />
O F OB<br />
O K<br />
BF// AD<br />
=<br />
OA OD<br />
E H F<br />
MÆT kh¸c AB// CD ta l¹i cã<br />
D A 1 B 1 C<br />
OA OB<br />
OE OF<br />
= nªn = => EF // AB<br />
OC OD<br />
OB OA<br />
b). ABCA 1 vµ ABB 1 D lµ h×nh b×nh hµnh => A 1 C = DB 1 = AB<br />
EF AB<br />
V× EF // AB // CD nªn = => AB<br />
2<br />
= EF.CD.<br />
AB DC<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
c) Ta cã: S 1 = 2<br />
1 AH.OB; S2 = 2<br />
1 CK.OD; S3 = 2<br />
1 AH.OD; S4 = 2<br />
1 OK.OD.<br />
1<br />
1<br />
AH.<br />
OB<br />
AH.<br />
OD<br />
S1 AH<br />
=> = 2<br />
S3 = ; 2<br />
S<br />
1<br />
S<br />
= = AH.<br />
CK => =<br />
3 => S1 .S<br />
S 1<br />
4<br />
CK.<br />
OB<br />
CK S 1<br />
2 = S 3 .S 4<br />
2<br />
CK.<br />
OD<br />
S4<br />
S2<br />
2<br />
2<br />
C©u 5. A = x 2 - 2xy+ 6y 2 - 12x+ 2y + 45<br />
= x 2 + y 2 + 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y 2 - 10y+ 5+ 4<br />
= ( x- y- 6) 2 + 5( y- 1) 2 + 4 ≥ 4<br />
Gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1<br />
x- y- 6 = 0 x = 7<br />
---------------------------------------------<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
®Ò 3<br />
C©u 1: a. Rót gän biÓu thøc:<br />
A= (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1).......( 2 256 + 1) + 1<br />
b. NÕu x 2 =y 2 + z 2<br />
Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y) 2<br />
x<br />
C©u 2: a. Cho + + = 0<br />
a<br />
y<br />
b<br />
z<br />
c<br />
a b c<br />
(1) vµ + + = 2 (2)<br />
x y z<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= + +<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
ab bc ca<br />
b. Biết a + b + c = 0 TÝnh : B = +<br />
+<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
a + b − c b + c − a c + a − b<br />
C©u 3: T×m x , biÕt :<br />
x·<br />
−1<br />
x −10<br />
x −19<br />
+ + = 3 (1)<br />
2006 1997 1988<br />
C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, M ∈ ®−¬ng chÐo AC. Gäi E,F theo thø tù lµ h×nh<br />
chiÕu cña M trªn AD, CD. Chøng minh r»ng:<br />
a.BM ⊥ EF<br />
b. C¸c ®−êng th¼ng BM, EF, CE ®ång quy.<br />
C©u 5: Cho a,b, c, lµ c¸c sè d−¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña<br />
1 1 1<br />
P= (a+ b+ c) ( + + ).<br />
a b c<br />
§¸p ¸n<br />
C©u 1: a. ( 1,25 ®iÓm) Ta cã:<br />
A= (2-1) (2+1) (2 2 +1) ........ + 1<br />
= (2 2 -1)(2 2 +1) ......... (2 256 +1)<br />
= (2 4 -1) (2 4 + 1) ......... (2 256 +1)<br />
................<br />
= [(2 256 ) 2 –1] + 1<br />
= 2 512<br />
b, . ( 1 ®iÓm) Ta cã:<br />
(5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y ) 2 –16z 2 = 25x 2 –30xy + 9y 2 –16 z 2<br />
(*)<br />
V× x 2 =y 2 + z 2 ⇒ (*) = 25x 2 –30xy + 9y 2 –16 (x 2 –y 2 ) = (3x –5y) 2<br />
C©u 2: . ( 1,25 ®iÓm) a. Tõ (1) ⇒ bcx +acy + abz =0<br />
Tõ (2) ⇒<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2 2<br />
y z ⎛ ab ac bc ⎞<br />
+ + + 2<br />
⎜ + +<br />
⎟ = 0 ⇒<br />
2 2<br />
b c ⎝ xy xz yz ⎠<br />
⎛ abz + acy + bcx ⎞<br />
= 4 − 2<br />
⎜<br />
⎟ = 4<br />
⎝ xyz ⎠<br />
b. . ( 1,25 ®iÓm) Tõ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ a 2 + b 2 –c 2 = - 2ab<br />
T−¬ng tù b 2 + c 2 – a 2 = - 2bc; c 2 +a 2 -b 2 = -2ac<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
5<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
y<br />
+<br />
b<br />
2<br />
2<br />
z<br />
+<br />
c<br />
2<br />
2
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
ab bc ca 3<br />
⇒ B = + + = −<br />
− 2ab<br />
− 2bc<br />
− 2ca<br />
2<br />
C©u 3: . ( 1,25 ®iÓm)<br />
x·<br />
−2007<br />
x − 2007 x − 2007<br />
(1) ⇔ + + = 0<br />
2006 1997 1988<br />
⇒ x= 2007<br />
A<br />
C©u 4: a. ( 1,25 ®iÓm) Gäi K lµ giao ®iÓm CB víi EM;<br />
H lµ giao ®iÓm cña EF vµ BM<br />
⇒ ∆ EMB =∆BKM ( gcg)<br />
⇒ Gãc MFE =KMB ⇒ BH ⊥ EF E M K<br />
b. ( 1,25 ®iÓm) ∆ ADF = ∆BAE (cgc) ⇒AF ⊥ BE H<br />
T−¬ng tù: CE ⊥ BF ⇒ BM; AF; CE<br />
lµ c¸c ®−êng cao cña ∆BEF ⇒ ®pcm<br />
C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Ta cã: D F C<br />
P = 1 +<br />
a a b b c c ⎛ a b ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛ b c ⎞<br />
+ + + 1 + + + + 1 = 3 + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟<br />
b c a c a b ⎝ b a ⎠ ⎝ c a ⎠ ⎝ c b ⎠<br />
x y<br />
MÆt kh¸c + ≥ 2 víi mäi x, y d−¬ng. ⇒ P / 3+2+2+2 =9<br />
y x<br />
VËy P min = 9 khi a=b=c.<br />
---------------------------------------<br />
®Ò 4<br />
Bµi 1 (3®):<br />
1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:<br />
a) x 2 + 7x + 12<br />
b) a 10 + a 5 + 1<br />
2) Gii ph−¬ng tr×nh:<br />
Bµi 2 (2®):<br />
x + 2 x + 4 x + 6 x + 8<br />
+ = +<br />
98 96 94 92<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
2 + 3 + 3<br />
x x<br />
T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc P =<br />
2x<br />
−1<br />
Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC )<br />
1) KÎ ®−êng cao BM; CN cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng:<br />
cã gi¸ trÞ nguyªn<br />
a) ∆ ABM ®ång d¹ng ∆ ACN<br />
b) gãc AMN b»ng gãc ABC<br />
2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F<br />
lµ trung ®iÓm cña AK.<br />
Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC.<br />
Bµi 4 (1®):<br />
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
6<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
B
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
2<br />
x − 2x<br />
+ 2007<br />
A = , ( x kh¸c 0)<br />
2<br />
2007x<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi 1 (3®):<br />
1) a) x 2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®)<br />
b) a 10 + a 5 + 1 = (a 10 + a 9 + a 8 ) - (a 9 + a 8 + a 7 ) + (a 7 + a 6 + a 5 ) - (a 6 + a 5 + a 4 ) +<br />
(a 5 + a 4 + a 3 ) - (a 3 + a 2 + a ) + (a 2 + a + 1 ) = (a 2 + a + 1 )( a 8 - a 7 + a 5 - a 4 + + a 3 - a+<br />
1 ) (1®)<br />
2)<br />
x + 2 x + 4 x + 6 x + 8<br />
+ = +<br />
98 96 94 92<br />
x + 2<br />
⇔ ( 98<br />
+<br />
+<br />
x 4 x 6 x 8<br />
+1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®)<br />
96 94 92<br />
1 1 1 1<br />
⇔ ( x + 100 )( + - - ) = 0 (0,25®)<br />
98 96 94 92<br />
1 1 1 1<br />
V×: + - - ≠ 0<br />
98 96 94 92<br />
Do ®ã : x + 100 = 0 ⇔ x = -100<br />
VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = -100 (0,25®)<br />
Bµi 2 (2®):<br />
P =<br />
2<br />
2<br />
2x<br />
+ 3x<br />
+ 3 (2x<br />
− x)<br />
+ (4x<br />
− 2) + 5<br />
5<br />
=<br />
= x + 2 +<br />
2x<br />
−1<br />
2x<br />
−1<br />
2x<br />
−1<br />
x nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn<br />
®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th×<br />
5<br />
2x −1<br />
=> * 2x - 1 = 1 => x = 1<br />
* 2x - 1 = -1 => x = 0<br />
* 2x - 1 = 5 => x = 3<br />
* 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5®)<br />
1;0;3;<br />
− 2 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />
VËy x = { }<br />
+<br />
(0,5®)<br />
phi nguyªn hay 2x - 1 lµ −íc nguyªn cña 5 (0,5®)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Khi ®ã c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña P lµ:<br />
x = 1 => P = 8<br />
x = 0 => P = -3<br />
x = 3 => P = 6<br />
x = -2 => P = -1 (0,5®)<br />
Bµi 3 (4®):<br />
1) a) chøng minh ∆ ABM ®ång d¹ng ∆ CAN (1®)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
7<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
AB AM<br />
b) Tõ c©u a suy ra: =<br />
AC AN ⇒ ∆ AMN ®ång d¹ng ∆ ABC<br />
⇒ ∠ AMN = ∠ ABC ( <strong>hai</strong> gãc t−¬ng øng) (1,25®)<br />
2) KÎ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H (0,25®)<br />
∠ BAH = ∠ CHA ( so le trong, AB // CH)<br />
mµ ∠ CAH = ∠ BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®)<br />
Suy ra:<br />
∠ CHA = ∠ CAH nªn ∆ CAH c©n t¹i C<br />
do ®ã : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5®)<br />
BK = CA<br />
VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm KH<br />
Do F lµ trung ®iÓm cña AK nªn EF lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c KHA. Do ®ã EF<br />
// AH hay EF // Ax ( ®fcm) (0,5®)<br />
Bµi 4 (1®):<br />
2<br />
2007x − 2x.2007<br />
+ 2007<br />
A =<br />
2<br />
2007x<br />
2<br />
x − 2x.2007<br />
+ 2007<br />
2007x<br />
2<br />
=<br />
2<br />
2<br />
( x − 2007) 2006 2006<br />
=<br />
+ ≥<br />
2<br />
2007x<br />
2007 2007<br />
2006<br />
A min = khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®)<br />
2007<br />
------------------------------------<br />
®Ò 5<br />
2<br />
2006x<br />
2007x<br />
2<br />
+<br />
2<br />
2<br />
⎛ x 6 1 ⎞ ⎛ 10 − x<br />
C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A =<br />
⎜ + +<br />
⎟ :<br />
⎜ x − 2 +<br />
3<br />
⎝ x − 4x<br />
6 − 3x<br />
x + 2 ⎠ ⎝ x + 2<br />
a, T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh .<br />
b, Rót gän biÓu thøc A .<br />
c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > O<br />
2<br />
2<br />
x − 4x<br />
+ 1 x − 5x<br />
+ 1<br />
C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gii ph¬ng tr×nh sau :<br />
+ 2 = −<br />
x + 1<br />
2x<br />
+ 1<br />
C©u 3 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ <strong>hai</strong> ®êng th¼ng vu«ng gãc víi<br />
nhau lÇn lît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S.<br />
1, Chøng minh ∆ AQR vµ ∆ APS lµ c¸c tam gi¸c c©n.<br />
2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ<br />
h×nh ch÷ nhËt.<br />
3, Chøng minh P lµ trùc t©m ∆ SQR.<br />
4, MN lµ trung trùc cña AC.<br />
5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng.<br />
C©u 4 ( 1 ®iÓm):<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
⎟ ⎞<br />
⎠<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
8<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
2x<br />
3 3<br />
Cho biÓu thøc A =<br />
2 + x +<br />
2x<br />
+ 1<br />
C©u 5 ( 1 ®iÓm)<br />
. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn<br />
3 3 3<br />
3<br />
3<br />
a, Chøng minh r»ng x + y + z = ( x + y) − 3xy.<br />
( x + y) + z<br />
1 1 1<br />
b, Cho + + = 0.<br />
x<br />
C©u 1<br />
a, x # 2 , x # -2 , x # 0<br />
b , A =<br />
=<br />
=<br />
y<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝ x<br />
2<br />
x −<br />
z<br />
yz<br />
x<br />
xz<br />
y<br />
xy<br />
z<br />
TÝnh A = + +<br />
2 2 2<br />
x 2 1 ⎞ 6<br />
+ + ⎟ :<br />
− 4 2 − x x + 2 ⎠ x + 2<br />
2( x + 2)<br />
+ x − 2 6<br />
:<br />
( x − 2)( x + 2) x + 2<br />
− 6<br />
c, §Ó A > 0 th× > 0<br />
C©u 2 . §KX§ :<br />
x + 2<br />
. =<br />
§¸p ¸n<br />
( x − 2)( x + 2) 6 2 − x<br />
1<br />
⇔ 2 − x > 0 ⇔ x < 2<br />
2 − x<br />
1<br />
x ≠ −1;<br />
x ≠ −<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x − 4x<br />
+ 1 x − 5x<br />
+ 1 x<br />
PT ⇔ + 1+<br />
+ 1 = 0 ⇔<br />
x + 1 2x<br />
+ 1<br />
⇔<br />
1<br />
2<br />
− 3x<br />
+ 2 x<br />
+<br />
x + 1<br />
2<br />
− 3x<br />
+ 2<br />
= 0<br />
2x<br />
+ 1<br />
2 ⎛ 1 1 ⎞<br />
2<br />
( x − 3x<br />
+ 2) ⎜ + ⎟ = 0 ⇔ ( x − 3x<br />
+ 2)( 3x<br />
+ 2) = 0 ⇔ ( x −1)( x − 2)( 3x<br />
+ 2) = 0<br />
⎝ x + 1<br />
2x<br />
+ 1⎠<br />
⇔ x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3<br />
C 3 gi¸ trÞ trªn ®Òu tháa m·n §KX§ .<br />
⎧ 2⎫<br />
VËy PT ®· cho cã tËp nghiÖm S = ⎨1<br />
;2;− ⎬<br />
⎩ 3 ⎭<br />
C©u 3:<br />
1, ∆ ADQ = ∆ ABR v× chóng lµ <strong>hai</strong> tam gi¸c<br />
vu«ng (®Ó ý gãc cã c¹nh vu«ng gãc) vµ DA=BD<br />
( c¹nh h×nh vu«ng). Suy ra AQ=AR, nªn ∆ AQR<br />
lµ tam gi¸c vu«ng c©n. Chøng minh tîng tù ta<br />
cã: ∆ ARP= ∆ ADS<br />
do ®ã AP = AS vµ ∆ APS lµ tam gi¸c c©n t¹i A.<br />
2, AM vµ AN lµ ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c<br />
vu«ng c©n AQR vµ APS nªn AN ⊥ SP vµ<br />
AM ⊥ RQ.<br />
MÆt kh¸c : ∠ PAN = ∠PAM<br />
= 45 0 nªn gãc<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
MAN vu«ng. VËy tø gi¸c AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt.<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
9<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
3, Theo gi <strong>thi</strong>Õt: QA ⊥ RS, RC ⊥ SQ nªn QA vµ RC lµ <strong>hai</strong> ®êng cao cña ∆ SQR. VËy P<br />
lµ trùc t©m cña ∆ SQR.<br />
4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM = 2<br />
1 QR.<br />
Trong tam gi¸c vu«ng RCQ th× CM lµ trung tuyÕn nªn CM = 2<br />
1 QR.<br />
⇒MA = MC, nghÜa lµ M c¸ch ®Òu A vµ C.<br />
Chøng minh t¬ng tù cho tam gi¸c vu«ng c©n ASP vµ tam gi¸c vu«ng SCP, ta cã NA=<br />
NC, nghÜa lµ N c¸ch ®Òu A vµ C. Hay MN lµ trungtrùc cña AC<br />
5, V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn B vµ D còng c¸ch ®Òu A vµ C. Nãi c¸ch kh¸c, bèn<br />
®iÓm M, N, B, D cïng c¸ch ®Òu A vµ C nªn chóng phi n»m trªn ®êng trung trùc cña<br />
AC, nghÜa lµ chóng th¼ng hµng.<br />
C©u 4 . Ta cã §KX§ x ≠ -1/2<br />
A = (x + 1) +<br />
2<br />
2x + 1<br />
v× x∈ Z nªn ®Ó A nguyªn th×<br />
2<br />
2x<br />
+ 1<br />
Hay 2x+1 lµ íc cña 2 . VËy :<br />
2x+1 = 2 ⇒x=1/2 ( lo¹i )<br />
2x+1 = 1 ⇒ x = 0<br />
2x+1 = -1 ⇒ x = -1<br />
2x +1 = -2 ⇒ x = -3/2 ( lo¹i )<br />
KL : Víi x = 0 , x= -1 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn<br />
3 3 3<br />
3<br />
3<br />
C©u 5. a, , Chøng minh x + y + z = ( x + y) − 3xy.<br />
( x + y) + z<br />
BiÕn ®æi vÕ phi ®îc ®iÒu phi chøng minh.<br />
b, Ta cã a + b + c = 0 th×<br />
3 3 3<br />
3<br />
3 3<br />
3<br />
a + b + c = ( a + b) − 3ab( a + b) + c = −c<br />
− 3ab( − c) + c = 3abc<br />
(v× a + b + c = 0 nªn a + b = −c)<br />
1 1 1 1 1 1 3<br />
Theo gi <strong>thi</strong>Õt + + = 0.<br />
⇒ + + = .<br />
3 3 3<br />
x y z<br />
xyz<br />
x<br />
y<br />
z<br />
nguyªn<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
yz xz xy xyz xyz xyz ⎛ 1 1 1 ⎞ 3<br />
khi ®ã A = + + = + + = xyz<br />
= × = 3<br />
2 2 2 3 3 3<br />
⎜ + +<br />
3 3 3<br />
⎟ xyz<br />
x y z x y z ⎝ x y z ⎠ xyz<br />
=====================<br />
Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc :<br />
®Ò 6<br />
2<br />
4<br />
⎛ x −1<br />
1<br />
M =<br />
⎟ ⎞ ⎛ 4 1 − x ⎞<br />
⎜ −<br />
4 2<br />
2<br />
⎝ x − x + 1 x + 1<br />
⎜ x + ⎟<br />
2<br />
⎠ ⎝ 1 + x ⎠<br />
a) Rót gän<br />
b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M .<br />
Bµi 2 : (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
10<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
3 2<br />
4x<br />
− 3x<br />
+ 2x<br />
− 83<br />
A =<br />
x − 3<br />
Bµi 3 : 2 ®iÓm<br />
Gii ph−¬ng tr×nh :<br />
a) x 2 - 2005x - 2006 = 0<br />
b) x − 2 + x − 3 + 2x −8<br />
= 9<br />
Bµi 4 : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh BC . Qua E kÎ tia Ax<br />
vu«ng gãc víi AE . Ax c¾t CD t¹i F . Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K .<br />
§−êng th¼ng qua E song song víi AB c¾t AI ë G . Chøng minh :<br />
a) AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi .<br />
b) ∆ AEF ~ ∆ CAF vµ AF 2 = FK.FC<br />
c) Khi E thay ®æi trªn BC chøng minh : EK = BE + DK vµ chu vi tam gi¸c EKC<br />
kh«ng ®æi .<br />
Bµi 5 : (1®) Chøng minh : B = n 4 - 14n 3 + 71n 2 -154n + 120<br />
chia hÕt cho 24<br />
Bµi 1 :<br />
( x<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
2<br />
−1)(<br />
x<br />
§¸p ¸n<br />
a) M = ( x 4 +1-x 2 ) =<br />
( x<br />
4<br />
2<br />
− x<br />
b) BiÕn ®æi : M = 1 -<br />
+ 1) − x<br />
2<br />
+ 1)( x<br />
x 2 + 1<br />
= 0 ⇔ x = 0 ⇒ M bÐ nhÊt = -2<br />
4<br />
2<br />
+ x<br />
2<br />
+ 1)<br />
Bµi 2 : BiÕn ®æi A = 4x 2 +9x+ 29 +<br />
3<br />
−1<br />
. M bÐ nhÊt khi<br />
4<br />
x − 3<br />
11<br />
3<br />
x<br />
x 2 + 1<br />
⇔ A ∈Z ⇔<br />
4<br />
−1−<br />
x<br />
x<br />
2<br />
4<br />
+ x<br />
+ 1<br />
2<br />
−1<br />
x<br />
=<br />
x<br />
− 2<br />
+ 1<br />
lín nhÊt ⇔ x 2 +1 bÐ nhÊt ⇔ x 2<br />
4<br />
x − 3<br />
⇔ x-3 = ± 1 ; ± 2 ; ± 4 ⇔ x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7<br />
Bµi 3 : a) Ph©n tÝch vÕ tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = 0<br />
⇔ (x-2006)(x+1) = 0 ⇒ x 1 = -1 ; x 2 = 2006<br />
c) XÐt pt víi 4 khong sau :<br />
x< 2 ; 2 ≤ x < 3 ; 3 ≤ x < 4 ; x ≥ 4<br />
Råi suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ : x = 1 ; x = 5,5<br />
Bµi 4 :<br />
a) ∆ ABE = ∆ ADF (c.g.c) ⇒ AE = AF<br />
∈ Z ⇔ x-3 lµ −íc cña 4<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
∆ AEF vu«ng c©n t¹i t¹i A nªn AI ⊥ EF .<br />
∆ IEG = ∆ IEK (g.c.g) ⇒IG = IK .<br />
Tø gi¸c EGFK cã 2 ®−êng chÐo c¾t<br />
nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®−êng vµ<br />
vu«ng gãc nªn h×nh EGFK lµ h×nh thoi .<br />
b) Ta cã :<br />
KAF = ACF = 45 0 , gãc F chung<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
2<br />
2
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
AF<br />
∆ AKI ~ ∆ CAF (g.g) ⇒ =<br />
CF<br />
KF<br />
AF<br />
⇒ AF<br />
2 =<br />
KF.<br />
CF<br />
d) Tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi ⇒ KE = KF = KD+ DF = KD + BE<br />
Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Kh«ng<br />
®æi) .<br />
Bµi 5 : BiÕn ®æi :<br />
B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n 3 +72n 2 -144n+120<br />
Suy ra B ⋮ 24<br />
================================<br />
C©u 1: ( 2 ®iÓm ) Cho biÓu thøc:<br />
2<br />
⎛ 6x<br />
+ 1 6x<br />
−1<br />
⎞ x − 36<br />
A= ⎜ + .<br />
2<br />
2<br />
⎟<br />
2<br />
⎝ x − 6x<br />
x + 6x<br />
⎠ 12x<br />
+ 12<br />
1) Rót gän biÓu thøc A<br />
2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A víi x=<br />
®Ò 7<br />
( Víi x ≠ 0 ; x ≠ ± 6 )<br />
1<br />
9 + 4<br />
C©u 2: ( 1 ®iÓm )<br />
a) Chøng minh ®¼ng thøc: x 2 +y 2 +1 ≥ x. y + x + y ( víi mäi x ;y)<br />
b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:<br />
5<br />
x − 2<br />
A =<br />
3 2<br />
x − x − x − 2<br />
C©u 3: ( 4 ®iÓm )<br />
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . TRªn ®−êng chÐo BD lÊy ®iÓm P , gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng<br />
cña C qua P .<br />
a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi?<br />
b) Gäi E, F lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn AD , AB .<br />
Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng.<br />
c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ<br />
trÝ cña ®iÓm P.<br />
d) Gi sö CP ⊥ DB vµ CP = 2,4 cm,;<br />
PD<br />
PB<br />
TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.<br />
C©u 4 ( 2 ®iÓm )<br />
Cho <strong>hai</strong> bÊt ph−¬ng tr×nh:<br />
3mx-2m > x+1 (1)<br />
m-2x < 0 (2)<br />
T×m m ®Ó <strong>hai</strong> bÊt ph−¬ng tr×nh trªn cã cïng mét tËp nghiÖm.<br />
C©u 1 ( 2 ®iÓm )<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
=<br />
9<br />
16<br />
§¸p ¸n<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
12<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
1) ( 1 ®iÓm ) §K: x ≠ 0; x ≠ ± 6 )<br />
2<br />
2<br />
⎡ 6x<br />
+ 1 6x<br />
−1<br />
⎤ ( x + 6)( x − 6) 6x<br />
+ 36x<br />
+ x + 6 + 6x<br />
− 36x<br />
− x + 6 1<br />
A = ⎢ + .<br />
( 6) ( 6)<br />
⎥<br />
= =<br />
. =<br />
⎣ x x − x x + ⎦ 12( x<br />
2 2<br />
+ 1)<br />
x<br />
12( x + 1)<br />
=<br />
2<br />
12( x + 1) 1 1<br />
. =<br />
2<br />
x 12( x + 1) x<br />
1 1<br />
2) A= = = 9 + 4 5<br />
x 1<br />
9 + 4<br />
C©u2: ( 2 ®iÓm )<br />
5<br />
1) (1 ®iÓm ) x 2 +y 2 +1 ≥ x. y+x+y ⇔ x 2 +y 2 +1 - x. y-x-y ≥ 0<br />
⇔ 2x 2 +2y 2 +2-2xy-2x-2y≥ 0 ⇔ ( x 2 +y 2 -2xy) + ( x 2 +1-2x) +( y 2 +1-2y) ≥ 0<br />
⇔ (x- y) 2 + (x-1) 2 + ( y- 1) 2 ≥ 0<br />
BÊt ®¼ng thøc lu«n lu«n ®óng.<br />
2) (2 ®iÓm )<br />
(1) ⇔ 3mx-x>1+2m ⇔ (3m-1)x > 1+2m. (*)<br />
+ XÐt 3m-1 =0 → m=1/3.<br />
2<br />
(*) ⇔ 0x> 1+ ⇔ x ∈ φ .<br />
3<br />
+ XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3.<br />
(*) ⇔ x><br />
1+<br />
2m<br />
3m<br />
−1<br />
+ XÐt 3m-1 < 0 ⇔ 3m m ⇔ x > m/2.<br />
Hai bÊt ph−¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm.<br />
⇔<br />
⎧ 1<br />
⎪m<br />
> ⎧ 1<br />
⎧ 1<br />
3 ⎪m<br />
><br />
⎪m<br />
><br />
⎨ ⇔ ⎨ 3 ⇔ ⎨ 3<br />
⎪1+<br />
2m<br />
m<br />
= ⎪<br />
⎪<br />
⎩ − − = ⎩(<br />
− 2)(<br />
3m<br />
5m<br />
2 0 m<br />
⎩3m<br />
−1<br />
2<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
m<br />
⇔ m-2 =0 ⇔ m=2.<br />
VËy : m=2.<br />
C©u 3: (4 ®iÓm )<br />
a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.<br />
→ AM //PO → tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang.<br />
b) ( 1 ®iÓm ) Do AM// BD →<br />
gãc OBA= gãc MAE ( ®ång vÞ )<br />
XÐt tam gi¸c c©n OAB →<br />
gãc OBA= gãc OAB<br />
13<br />
+ 1) = 0<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Gäi I lµ giao ®iÓm cña MA vµ EF → ∆ AEI c©n ë I → gãc IAE = gãc IEA<br />
→ gãc FEA = gãc OAB → EF //AC .(1)<br />
MÆt kh¸c IP lµ ®−êng trung b×nh cña ∆ MAC → IP // AC (2)<br />
Tõ (1) vµ (2) suy ra : E,F, P th¼ng hµng.<br />
MF AD<br />
c) (1 ®iÓm ) Do ∆ MAF ∼ ∆ DBA ( g-g) → = kh«ng ®æi.<br />
FA AB<br />
PD 9 BD PB<br />
d) NÕu = ⇒ = = k → PD= 9k; PB = 16k.<br />
PB 16 9 16<br />
Do ®ã CP 2 =PB. PD → ( 2,4) 2 =9.16k 2 → k=0,2.<br />
PD = 9k =1,8<br />
PB = 16 k = 3,2<br />
DB=5<br />
Tõ ®ã ta chøng minh ®−îc BC 2 = BP. BD=16<br />
Do ®ã : BC = 4 cm<br />
CD = 3 cm<br />
C©u4 ( 1 ®iÓm )<br />
x − 2<br />
1<br />
1<br />
Ta cã A =<br />
= =<br />
2<br />
2<br />
( x + x + 1)( x − 2) x + x + 1 1 2 3<br />
( x + ) +<br />
2 4<br />
VËy A max ⇔ [ ( x+ 1 3<br />
) 2 ]<br />
2<br />
+ 4<br />
min ⇔ x+ 1 = 0 → x = - 1<br />
2 2<br />
A max lµ 3<br />
4 khi x = -1/2<br />
========================<br />
®Ò 8<br />
Bµi1( 2.5 ®iÓm)<br />
a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a 3 +a 2 c – abc + b 2 c + b 3 = 0<br />
b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:<br />
A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)<br />
Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm).<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
x<br />
Cho biÓu thøc: y =<br />
2<br />
( x + 2004)<br />
; ( x>0)<br />
T×m x ®Ó biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã<br />
Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm)<br />
a, T×m tÊt c c¸c sè nguyªn x tho m·n ph−¬ng tr×nh: :<br />
( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330.<br />
B, Gii bÊt ph−¬ng tr×nh: x − 6 ≤ 3<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
14<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Bµi 4: ( 3 ,5 ®iÓm) Cho gãc xoy vµ ®iÓm I n»m trong gãc ®ã. KÎ IC vu«ng gãc víi ox ;<br />
ID vu«ng gãc víi oy . BiÕt IC = ID = a. §−êng th¼ng kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b.<br />
A, Chøng minh r»ng tÝch AC . DB kh«ng ®æi khi ®−êng th¼ng qua I thay ®æi.<br />
2<br />
CA OC<br />
B, Chøng minh r»ng =<br />
2<br />
DB OB<br />
C, BiÕt S AOB =<br />
8 2<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
a . TÝnh CA ; DB theo a.<br />
3<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi 1: 3 ®iÓm<br />
a, TÝnh: Ta cã: a 3 + a 2 c – abc + b 2 c + b 3<br />
= (a 3 + b 3 ) + ( a 2 c –abc + b 2 c)= (a + b) ( a 2 –ab =b 2 ) + c( a 2 - ab +b 2 )<br />
= ( a + b + c ) ( a 2 – ab + b 2 ) =0 ( V× a+ b + c = 0 theo gi <strong>thi</strong>Õt)<br />
VËy:a 3 +a 2 c –abc + b 2 c + b 3 = 0 ( ®pCM)<br />
b, 1,5 ®iÓm Ta cã:<br />
bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)<br />
= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)<br />
= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)<br />
= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]<br />
= b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a)<br />
= d(a-b)(a-c)(b-c)<br />
Bµi 2: 2 §iÓm §Æt t =<br />
1<br />
2004y<br />
Bµi to¸n ®−a vÒ t×m x ®Ó t bÐ nhÊt<br />
Ta cã t =<br />
( x + 2004)<br />
2004x<br />
2<br />
=<br />
x<br />
+ 2.2004x<br />
+ 2004<br />
2004x<br />
2 2<br />
=<br />
x 2004 x<br />
+ 2 + = 2 + 2004 2<br />
+ 2 (1)<br />
2004 x 2004x<br />
Ta thÊy: Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè d−¬ng ta cã:<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
x 2 + 2004 2 x<br />
≥ 2. 2004 .x 2 + 2004 2<br />
⇒ ≥ 2 (2)<br />
2004x<br />
DÊu “ =” xy ra khi x= 2004<br />
Tõ (1) vµ (2) suy ra: t ≥ 4 ⇒ VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = 4 khi x =2004.<br />
VËy y max =<br />
1<br />
2004t<br />
=<br />
1<br />
8016<br />
15<br />
Khi x= 2004<br />
Bµi 3: 2 §iÓm<br />
a, Nh©n c 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh víi 2.3.4 ta ®−îc:<br />
(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4<br />
(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8<br />
VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn liªn tiÕp kh¸c 0 nªn c¸c thõa sè phI cïng dÊu ( +<br />
)hoÆc dÊu ( - ).<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 . 10 . 9 . 8 (1)<br />
Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) . (-10) . (-9) .(-8)<br />
(2)<br />
Tõ ph−¬ng tr×nh (1) ⇒ 12x -1 = 11 ⇔ x = 1 ( tho m·n)<br />
− 7<br />
Tõ ph−¬ng tr×nh (2) ⇒ 12x -1 = - 8 ⇔ x= 12<br />
suy ra x∉ Z.<br />
VËy x=1 tho m·n ph−¬ng tr×nh.<br />
b, Ta cã x − 6 < 3 ⇔ -3 < x – 6 < 3 ⇔ 3< x < 9<br />
VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: S = { x ∈ R/ 3 < x < 9}.<br />
Bµi 4 : 3 §iÓm<br />
Ta cã A chung ; AIC = ABI ( cÆp gãc ®ång vÞ)<br />
∆ IAC ~ ∆ BAO (gg).<br />
Suy ra:<br />
T−¬ng tù:<br />
AC IC AC AO<br />
= ⇒ = (1)<br />
AO BO IC BO<br />
∆ BID ~ ∆ BAO (gg)<br />
OA OB OA ID<br />
Suy ra: = ⇒ = (2)<br />
ID BD OB BD<br />
AC ID<br />
Tõ (1) vµ(2) Suy ra: =<br />
IC BD<br />
Hay AC. BD = IC . ID = a 2<br />
b, Nh©n (1) víi (2) ta cã:<br />
Suy ra: AC.BD = a 2 kh«ng ®æi.<br />
AC ID OA OA<br />
. = .<br />
IC BD OB OB<br />
2<br />
AC OA<br />
mµ IC = ID ( theo gi <strong>thi</strong>Õt) suy ra: =<br />
2<br />
BD OB<br />
C, Theo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vu«ng ta cã;<br />
S AOB = 2<br />
1 OA.OB mµ SAOB =<br />
Suy ra: OA.OB =<br />
8 2<br />
a<br />
3<br />
Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) =<br />
8 2<br />
a<br />
3<br />
( gi <strong>thi</strong>Õt)<br />
⇒ OA . OB =<br />
16a<br />
2<br />
3<br />
Mµ CA . DB = a 2 ( theo c©u a) ⇒ a(CA +DB) =<br />
2<br />
16a<br />
− 2a<br />
⇒ CA + DB + 3<br />
a<br />
2<br />
10a<br />
=<br />
3<br />
2<br />
16a<br />
2<br />
3<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Gii hÖ pt<br />
⇒ a 2 + a( CA + DB ) + CA . DB =<br />
. VËy:<br />
16a<br />
2<br />
3<br />
2<br />
⎧ CA.DB = a<br />
⎪<br />
⎨ 10a<br />
⎪CA<br />
+ DB =<br />
⎩<br />
3<br />
⇒ CA = 3<br />
a vµ DB = 3a<br />
2<br />
- 2a 2<br />
16a<br />
2<br />
3<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
16<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
HoÆc CA = 3a vµ DB = 3<br />
a<br />
Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho biÓu thøc :<br />
====================<br />
®Ò 9<br />
1.Rót gän P.<br />
2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) ∈ Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3.<br />
Bµi 2(2 ®iÓm). Gii ph−¬ng tr×nh:<br />
x y x y<br />
P = − −<br />
2 2 2 2<br />
( x + y)( 1− y) ( x + y)( 1+ x) ( x + 1)( 1−<br />
y)<br />
1 1 1 1 1<br />
+ + + =<br />
2 2 2 2<br />
x − 5x + 6 x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x<br />
+ 30 8<br />
Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc:<br />
2x<br />
+ 1<br />
M = x<br />
2<br />
+ 2<br />
Bµi 4 (3 ®iÓm). Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi E; F lÇn l−ît lµ<br />
trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC. M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF.<br />
1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF.<br />
2.Chøng minh ∆ MAD c©n.<br />
3.TÝnh diÖn tÝch ∆ MDC theo a.<br />
Bµi 5(1 ®iÓm). Cho c¸c sè a; b; c tho m·n : a + b + c = 3 2 .<br />
Chøng minh r»ng : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 4 .<br />
1.<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi 1. (2 ®iÓm - mçi c©u 1 ®iÓm)<br />
MTC : ( x + y)( x + 1)( 1−<br />
y)<br />
( 1+ ) − ( 1− ) − ( + ) ( + )( 1+ )( 1− )( − + )<br />
( x + y)( 1+ x)( 1− y)<br />
( x + y)( 1+ x)( 1−<br />
y)<br />
2 2 2 2<br />
x x y y x y x y x y x y x y xy<br />
P = =<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
P = x − y + xy .Víi x ≠ −1; x ≠ −y; y ≠ 1 th× gi¸ trÞ biÓu thøc ®−îc x¸c ®Þnh.<br />
2. §Ó P =3 ⇔ x − y + xy = 3 ⇔ x − y + xy − 1 = 2<br />
( x )( y )<br />
⇔ − 1 + 1 = 2<br />
C¸c −íc nguyªn cña 2 lµ : ± 1; ± 2.<br />
Suy ra:<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
⎧x<br />
− 1 = − 1 ⎧x<br />
= 0<br />
⎨ ⇔ ⎨<br />
⎩y<br />
+ 1 = − 2 ⎩y<br />
= −3<br />
⎧x<br />
− 1 = 1 ⎧x<br />
= 2<br />
⎨ ⇔ ⎨ (lo¹i).<br />
⎩y<br />
+ 1 = 2 ⎩y<br />
= 1<br />
17<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
⎧x<br />
− 1 = 2 ⎧x<br />
= 3<br />
⎨ ⇔ ⎨<br />
⎩y<br />
+ 1 = 1 ⎩y<br />
= 0<br />
⎧x<br />
− 1 = − 2 ⎧x<br />
= −1<br />
⎨ ⇔ ⎨ (lo¹i)<br />
⎩y<br />
+ 1 = − 1 ⎩y<br />
= −2<br />
VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3.<br />
Bµi 2.(2 ®iÓm) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh:<br />
Ta cã :<br />
⎧x<br />
≠ 2<br />
⎪<br />
x ≠ 3<br />
⎪<br />
⎨x<br />
≠ 4<br />
⎪x<br />
≠ 5<br />
⎪<br />
⎪ ⎩x<br />
≠ 6<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
− 5 + 6 = − 2 − 3<br />
2<br />
x x x x<br />
− 7 + 12 = − 3 − 4<br />
2<br />
x x x x<br />
− 9 + 20 = − 4 − 5<br />
2<br />
x x x x<br />
− 11 + 30 = − 5 − 6<br />
2<br />
x x x x<br />
Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi :<br />
1 1 1 1 1<br />
+ + + =<br />
x − 2 x − 3 x − 3 x − 4 x − 4 x − 5 x − 5 x − 6 8<br />
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />
⇔ − + − + − + − =<br />
x − 3 x − 2 x − 4 x − 3 x − 5 x − 4 x − 6 x − 5 8<br />
⇔ 1 1 1<br />
x 6 − x 2 = 4 1<br />
8<br />
⇔ x − 6 x − 2 = 8<br />
− − ( )( )<br />
( )( )<br />
⇔ − 8 − 20 = 0 ⇔ − 10 + 2 = 0<br />
2<br />
x x x x<br />
⎡x<br />
= 10<br />
⇔ ⎢ tho m·n ®iÒu kiÖn ph−¬ng tr×nh.<br />
⎣x<br />
= −2<br />
Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 10; x = -2.<br />
Bµi 3.(2®iÓm)<br />
2<br />
( x + 2) − ( x −1) ( x −1)<br />
2 2<br />
( )<br />
2 2<br />
2 2<br />
2x + 1+ x + 2 − x − 2 x + 2 − x − 2x<br />
+ 1<br />
M = =<br />
2 2<br />
x + 2 x + 2<br />
M = = 1−<br />
2 2<br />
x + 2 x + 2<br />
M lín nhÊt khi ( x −1<br />
)2<br />
2<br />
x + 2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
nhá nhÊt.<br />
V× ( ) 2<br />
2<br />
x −1 ≥ 0∀ x vµ ( x + 2)<br />
〉 0∀ x nªn ( x −1<br />
)2<br />
nhá nhÊt khi<br />
2<br />
( x − 1) 2<br />
= 0.<br />
x + 2<br />
DÊu “=” xy ra khi x-1 = 0 ⇔ x = 1. VËy M max = 1 khi x = 1.<br />
Bµi 4. . (3iÓm)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
18<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
a. △BEC = △ CFD( c. g. c)<br />
⇒ C = D<br />
1 1<br />
△ CDF vu«ng t¹i C ⇒ F + D = 90 0 ⇒ F + C<br />
= 90<br />
0 ⇒△ CMF vu«ng t¹i M<br />
1 1 1 1<br />
Hay CE ⊥ DF.<br />
b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE. Ta cã :<br />
△AEK = △ BEC( g. c. g)<br />
⇒ BC = AK<br />
⇒ AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MDK vu«ng t¹i M<br />
1<br />
⇒ AM = KD = AD ⇒△ AMD c©n t¹i A<br />
2<br />
CD CM<br />
c. △CMD<br />
∼△ FCD( g. g)<br />
⇒ =<br />
FD FC<br />
Do ®ã :<br />
△FCD<br />
2 2<br />
S ⎛ CMD<br />
CD ⎞ CD<br />
S<br />
⎛ ⎞<br />
△<br />
= ⇒ =<br />
S ⎝ FD ⎠ ⎝ FD ⎠<br />
⎜ ⎟ △CMD<br />
⎜ ⎟<br />
1 1 2<br />
Mµ : S<br />
FCD<br />
= CF.<br />
CD = CD<br />
2 4<br />
△<br />
.<br />
2<br />
CD 1 2<br />
VËy : S△ CMD<br />
= . CD .<br />
2<br />
FD 4<br />
Trong △ DCF theo Pitago ta cã :<br />
. S<br />
△FCD<br />
2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 .<br />
2<br />
DF CD CF CD ⎛ ⎞<br />
= + = + ⎜ BC ⎟ = CD + CD = CD . e<br />
⎝ 2 ⎠ 4 4<br />
m<br />
2<br />
CD 1 1 1<br />
Do ®ã : S△<br />
MCD<br />
= . CD = CD = a<br />
5 2<br />
CD<br />
4 5 5<br />
4<br />
Bµi 5 (1®iÓm)<br />
Ta cã:<br />
2<br />
2 ⎞<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
⎛ 1 1 1<br />
⎜ a − 0 a a 0 a a<br />
2<br />
⎟ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥<br />
⎝ ⎠<br />
4 4<br />
2 1<br />
2 1<br />
T−¬ng tù ta còng cã: b + ≥ b ; c + ≥ c<br />
4<br />
4<br />
Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®−îc:<br />
2 2 2 3<br />
3<br />
2 2 2 3<br />
a + b + c + ≥ a + b + c . V× a + b + c = nªn: a + b + c ≥<br />
4<br />
2<br />
4<br />
DÊu “=” xy ra khi a = b = c = 1 2 .<br />
1 1<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
k<br />
a<br />
b<br />
f<br />
1<br />
d<br />
c<br />
C©u 1. (1,5®)<br />
Rót gän biÓu thøc : A =<br />
C©u 2. (1,5®) T×m c¸c sè a, b, c sao cho :<br />
§a thøc x 4 + ax + b chia hÕt cho (x 2 - 4)<br />
=========================<br />
®Ò 10<br />
1<br />
2.5 + 1<br />
5.8 + 1<br />
8.11 +……….+ 1<br />
(3n<br />
+ 2)(3n<br />
+ 5)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
19<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
7<br />
C©u 3 . (2®) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />
2<br />
x − x + 1<br />
C©u 4. Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c .<br />
Chøng minh r»ng: a 2 + b 2 + c 2 < 2 (ab + ac + bc)<br />
C©u 5 . Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c , träng t©m G, trùc t©m H, t©m ®−êng<br />
trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ O. Th× H,G,O th¼ng hµng.<br />
C©u 1.<br />
§¸p ¸n<br />
A = 1 3 ( 1 2 - 1 5 + 1 5 - 1 8 +…….+ 1<br />
3n + 2<br />
- 1<br />
3n + 5<br />
)<br />
= 1 3 ( 1 2 - 1 n + 1<br />
) =<br />
3n + 5 6n<br />
+ 10<br />
C©u 2. Chia ®a thøc x 4 + ax + b cho x 2 – 4<br />
®−îc ®a thøc d− suy ra a = 0 ; b = - 16.<br />
7<br />
C©u 3.<br />
2<br />
x x 1<br />
− + ∈ Z ⇔ x2 + +<br />
–x +1 = U (7) ={ −<br />
1,<br />
−<br />
7 }<br />
§−a c¸c ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch.<br />
§¸p sè x = { − 2,1,3 }.<br />
C©u 4. Tõ gi <strong>thi</strong>Õt ⇒ a < b + c ⇒ a 2 < ab + ac<br />
T−ng tù<br />
b 2 < ab + bc<br />
c 2 < ca + cb<br />
Céng <strong>hai</strong> vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®−îc (®pcm)<br />
C©u 5. trong tam gi¸c ABC H lµ trùc t©m, G lµ<br />
Träng t©m, O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp<br />
tam gi¸c.<br />
- ChØ ra ®−îc GM<br />
AG = 1 2 , HAG = OMG<br />
- ChØ ra OM<br />
AH = 1 (B»ng c¸ch vÏ BK nhËn O lµ trung ®iÓm chøng minh CK = AH)<br />
2<br />
⇒ △AHG ∼△ MOG (c.g.c)<br />
⇒ H,G,O th¼ng hµng.<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
======================<br />
®Ò 11<br />
3 2<br />
3x<br />
−14x<br />
+ 3x<br />
+ 36<br />
C©u 1:Cho biÓu thøc: A= 3 2<br />
3x<br />
−19x<br />
+ 33x<br />
− 9<br />
a, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh.<br />
b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0.<br />
c, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
20<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
C©u 2:<br />
( x + 16)( x + 9)<br />
.a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A=<br />
víi x>0.<br />
x<br />
.b, Gii ph−¬ng tr×nh:⎟ x+1⎟+:⎟ 2x-1⎟+2x =3<br />
C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm thuéc c¸c<br />
c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x.<br />
.a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸c ®iÓm K,L,M,N sao cho tø gi¸c MNKL cã diÖn tÝch mhá nhÊt.<br />
.b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c MNKL lµ h×nh<br />
ch÷ nhËt.<br />
C©u 4: T×m d− cña phÐp chia ®a thøc<br />
x 99 + x 55 +x 11 +x+ 7 cho x 2 -1<br />
C©u1 (3®)<br />
a.(1®)<br />
( x − 3)<br />
Ta cã A=<br />
( x − 3)<br />
2<br />
2<br />
(3x<br />
+ 4)<br />
(0,5®)<br />
(3x<br />
−1)<br />
§¸p ¸n<br />
VËy biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x≠3,x≠1/3(0,5®)<br />
3x<br />
+ 4<br />
b. Ta cã A= do ®ã A=0 3x +4=0 (0,5®)<br />
3x<br />
−1<br />
x=-4/3 tho· m·n ®k(0,25®)<br />
VËy víi x=-4/3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0 (0,25®)<br />
c. (1®)<br />
3x<br />
+ 4 5<br />
Ta cã A= = 1+<br />
3x<br />
−1<br />
3x −1<br />
5<br />
§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× phi nguyªn 3x-1 lµ −íc cña 5 3x-1≠±1,±5<br />
3x −1<br />
=>x=-4/3;0;2/3;2<br />
VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cña xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (1®)<br />
C©u: 2: (3®)<br />
a.(1,5®)<br />
Ta cã<br />
2<br />
x + 25x<br />
+ 144<br />
A=<br />
=x+<br />
x<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
144 +25 (0,5®)<br />
x<br />
144 144<br />
C¸c sè d−¬ng x vµ Cã tÝch kh«ng ®æi nªn tæng nhá nhÊt khi vµ chØ khi x =<br />
x<br />
x<br />
x=12 (0,5®)<br />
VËy Min A =49 x=12(0,5®)<br />
b.(1,5®)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
21<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
TH 1 : nÕu xx=-31/2(lo¹i )(0,25®)<br />
TH 3 : NÕu x≥1/2ta cã<br />
x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5 KK 1 /BB 1 = AK/AB<br />
S ANK /S ABD = AN.KK 1 /AD.BB 1 = AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S 1 =x(1-x) S ABD (0,5®)<br />
T−¬ng tù S 2 = x(1-x) S DBC => S 1, +S 2 = x(1-x)( S ABD + S DBC )= x(1-x)S (0,25®)<br />
T−¬ng tù S 3 +S 4 = x(1-x)S<br />
S 1, +S 2 + S 3 + S 4 = x(1-x)2S (0,25®)<br />
S MNKL =S-( S 1, +S 2 + S 3 + S 4 )= 2S x 2 -2Sx+S=2S(x-1/2) 2 +1/2S≥1/2S(0,25®)<br />
VËy S MNKL ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1/2S khi x=1/2 khi ®ã M,N,K,L lÇn l−ît lµ<br />
trung ®iÓm c¸c c¹nh CD,DA,AB,BC (0,25®)<br />
b.(1,5®)<br />
• tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh b×nh hµnh (1®)<br />
• tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh ch÷ nhËt khi BD⊥AC (0,5®)<br />
C©u 4: (1®)<br />
Gäi Q (x) lµ th−¬ng cña phÐp chia x 99 +x 55 +x 11 +x+7 cho x 2 -1<br />
ta cã x 99 +x 55 +x 11 +x+7=( x-1 )( x+1 ).Q (x) +ax+b(*)<br />
trong ®ã ax+b lµ d− cña phÐp chia trªn<br />
Víi x=1 th×(*)=> 11=a+b<br />
Víi x=-1 th×(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7<br />
VËy d− cña phÐp chia x 99 +x 55 +x 11 +x+7 cho x 2 -1 lµ 4x+7<br />
==========================<br />
Bµi 1: (3®)<br />
Cho ph©n thøc : M =<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
x<br />
5<br />
− 2x<br />
4<br />
®Ò 12<br />
3 2<br />
+ 2x<br />
− 4x<br />
+ 3x<br />
+ 6<br />
2<br />
x + 2x<br />
− 8<br />
22<br />
K<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
a) T×m tËp x¸c ®Þnh cña M<br />
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0<br />
c) Rót gän M<br />
Bµi 2: (2®)<br />
a) T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña <strong>hai</strong> trong ba sè Êy ta ®−îc<br />
242.<br />
b) T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B.<br />
A = n 3 + 2n 2 - 3n + 2 ; B = n 2 -n<br />
Bµi 3: (2®)<br />
a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc<br />
1 1 1<br />
M = + +<br />
1+ x + xy 1+<br />
y + yz 1+<br />
z + zx<br />
b) Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c<br />
1 1 1 1 1 1<br />
Chøng minh r»ng:<br />
+ + ≥ + +<br />
a + b − c b + c − a c + a − b a b c<br />
Bµi 4: (3®)<br />
Cho tam gi¸c ABC, ba ®−êng ph©n gi¸c AN, BM, CP c¾t nhau t¹i O. Ba c¹nh AB, BC,<br />
CA tØ lÖ víi 4,7,5<br />
a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm<br />
b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm<br />
AP BN CM<br />
c) Chøng minh . . = 1<br />
PB NC MA<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi 1:<br />
a) x 2 +2x-8 = (x-2)(x+4) ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 vµ x ≠ - 4 (0,5®)<br />
TX§ ={ x / x ∈Q;<br />
x ≠ 2; x ≠ −4}<br />
0,2®<br />
b) x 5 - 2x 4 +2x 3 - 4x 2 - 3x+ 6 = (x-2)(x 2 + 3)x-1)(x+1) 1,0®<br />
= 0 khi x=2; x= ± 1.<br />
0,2®<br />
§Ó M= 0 Th× x 5 -2x 4 + 2x 3 -4x 2 -3x+6 = 0<br />
x 2 + 2x- 8 ≠ 0 0,5®<br />
VËy ®Ó M = 0 th× x = ± 1.<br />
0,3®<br />
c) M =<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2 2<br />
( x − 2)( x + 3)( x + 1) ( x<br />
=<br />
( x − 2)( x + 4)<br />
2<br />
+ 3)( x<br />
x + 4<br />
2<br />
−1)<br />
0,3®<br />
Bµi 2:<br />
a) Gäi x-1, x, x+1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp Ta cã: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242<br />
(0,2®)<br />
Rót gän ®−îc x 2 = 81 0,5®<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
23<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Do x lµ sè tù nhiªn nªn x = 9 0,2®<br />
Ba sè tù nhiªn phi t×m lµ 8,9,10 0,1®<br />
b) (n 3 +2n 2 - 3n + 2):(n 2 -n) ®−îc th−¬ng n + 3 d− 2 0,3®<br />
Muèn chia hÕt ta phi cã 2⋮n(n-1) →2⋮n 0,2®<br />
Ta cã:<br />
n 1 -1 2 -2<br />
n-1 0 -2 1 -6<br />
n(n-1) 0 2 2 -3<br />
lo¹i<br />
lo¹i<br />
0,3®<br />
VËy n = -1; n = 2 0,2®<br />
Bµi 3:<br />
a) V× xyz = 1 nªn x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0 0,2®<br />
1<br />
z<br />
z<br />
=<br />
=<br />
1+ x + xy z(1<br />
+ x + xy)<br />
z + xz + 1<br />
0,3®<br />
1<br />
xz xz<br />
=<br />
=<br />
1+ y + yz (1 + y + yz)<br />
xz xz + 1+<br />
z<br />
0,3®<br />
z xz 1<br />
M = + + = 1<br />
0,2®<br />
z + xz + 1 xz + 1+<br />
z 1+<br />
z + xz<br />
b) a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn<br />
a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0 0,2®<br />
1 1 4<br />
+ ≥ víi x,y > 0<br />
x y x + y<br />
1 1 4 2<br />
+ ≥ =<br />
a + b − c b + c − a 2b<br />
b<br />
0,2®<br />
1 1 2<br />
+ ≥<br />
b + c − a c + a − b c<br />
0,2®<br />
1 1 2<br />
+ ≥<br />
c + a − b a + b − c a<br />
0,2®<br />
Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc råi chia cho 3 ta ®−îc ®iÒu phi chøng minh.<br />
Xy ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b = c 0,2®<br />
Bµi 4: a) A<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
B<br />
N<br />
AN lµ ph©n gi¸c cña  Nªn<br />
C<br />
NB AB = 0,3®<br />
NC AC<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
24<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
AB BC AC AB 4<br />
Theo gi <strong>thi</strong>Õt ta cã = = ⇒ = ⇒ Nªn<br />
4 7 5 AC 5<br />
0,2®<br />
NB 4 BC 9 5. BC<br />
= ⇒ = ⇒ NC = = 10( cm)<br />
NC 5 NC 5 9<br />
0,5®<br />
MC BC<br />
b) BM lµ ph©n gi¸c cña Bˆ nªn =<br />
MA BA<br />
0,3®<br />
AB BC AC BC 7<br />
Theo gi <strong>thi</strong>Õt ta cã: = = ⇒ =<br />
4 7 5 BA 4<br />
0,2®<br />
MC 7 MC − MA 3 3.11<br />
Nªn = ⇒ = ⇒ ac = = 11( cm)<br />
MA 4 MA + MC 11 3<br />
0,5®<br />
c) V× AN,BM,CP lµ 3 ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC<br />
Nªn<br />
BN AB MC BC AP AC<br />
= ; = ; =<br />
0,5®<br />
BC AC MA BA PB AB<br />
BN MC AP AB BC AC<br />
Do ®ã . . = . . = 1<br />
BC MA PB AC AB BC<br />
========================<br />
®Ò 13<br />
C©u 1: ( 2,5 ®iÓm)<br />
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:<br />
a/. x 2 – x – 6<br />
(1 ®iÓm)<br />
b/. x 3 – x 2 – 14x + 24 (1,5 ®iÓm)<br />
C©u 2: ( 1 ®iÓm)<br />
T×m GTNN cña : x 2 + x + 1<br />
C©u 3: ( 1 ®iÓm)<br />
Chøng minh r»ng: (n 5 – 5n 3 + 4n) ⋮ 120 víi m, n ∈ Z.<br />
C©u 4: ( 1,5 ®iÓm)<br />
Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi :<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
1+<br />
a<br />
1+<br />
b<br />
x = ; y =<br />
2<br />
2<br />
1+ a + a<br />
1+ b + b<br />
C©u 5: ( 1,5 ®iÓm)<br />
Gii ph−¬ng tr×nh: x − 1 + x + 2 + x − 3 = 14<br />
0,5®<br />
C©u 6: ( 2,5 ®iÓm)<br />
Trªn c¹nh AB ë phÝa trong h×nh vu«ng ABCD dùng tam gi¸c AFB c©n , ®Ønh F<br />
cã gãc ®¸y lµ 15 0 . Chøng minh tam gi¸c CFD lµ tam gi¸c ®Òu.<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
25<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
§¸p ¸n<br />
C©u 1: a/. Ta cã: x 2 – x – 6 = x 2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)<br />
= (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3)<br />
( NÕu gii b»ng c¸ch kh¸c cho ®iÓm t−¬ng ®−¬ng )<br />
b/. Ta cã: x = 2 lµ nghiÖm cña f(x) = x 3 – x 2 – 14x + 24<br />
Do ®ã f(x) ⋮ x – 2, ta cã: f(x) : (x – 2) = x 2 + x – 12<br />
VËy x 3 – x 2 – 14x + 24 = (x - 2)( x 2 + x – 12)<br />
Ta l¹i cã: x = 3 lµ nghiÖm cña x 2 + x – 12<br />
Nªn x 2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4)<br />
Nh− vËy: x 3 – x 2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) .<br />
C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 2 + x + 1 (1 ®’)<br />
1<br />
Ta cã : x 2 2 3 3<br />
1 2<br />
+ x + 1 = ( x + ) + ≥ VËy f(x) ®¹t GTNN khi ( x + ) = 0 Tøc x = - 1 2 4 4<br />
2<br />
2<br />
C©u 3: Ta cã : n 5 – 5n 3 + 4n = n 5 – n 3 – 4n 3 + 4n = n 3 (n 2 - 1) – 4n( n 2 - 1)<br />
= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp trong ®ã cã Ýt<br />
nhÊt <strong>hai</strong> sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5).<br />
VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120.<br />
C©u 4: (1,5 ®’). Ta cã x,y > 0 vµ<br />
2 2<br />
1 1 1 1 1 1<br />
+ a + a a<br />
= = 1+ = 1+ = 1+ > 1+ =<br />
x 1+ a 1+<br />
a 1+<br />
a 1 1 1 1<br />
+ +<br />
y<br />
1 1<br />
V× a> b > 0 nªn<br />
2 2<br />
a<br />
< b<br />
vµ 1 < 1 . VËy x < y.<br />
a b<br />
C©u 5: 1/. XÐt khong x < -2 ,ta cã: -3x + 2 = 14 ⇔ x = - 4.<br />
2/. -2 ≤ x < 1, ta cã : -x + 16 = 14 ⇔ x = 2. (lo¹i)<br />
3/. 1 ≤ x < 3, ta cã : x + 4 = 14 ⇔ x = 10 (lo¹i).<br />
4 vµ x = 16 3 .<br />
4/. x ≥ 3 , ta cã: 3x – 2 = 14 ⇔ x = 16 3<br />
2 2 2<br />
a a a b b<br />
VËy ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm lµ x = -<br />
C©u 6: ( 2,5 ®’) D C<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
A<br />
F F<br />
F 2<br />
H<br />
15 0 15 0 2<br />
2<br />
I<br />
B<br />
Dùng tam gi¸c c©n BIC nh− tam gi¸c AFB cã gãc ®¸y 15 0 .<br />
Suy ra : 0<br />
B<br />
2<br />
= 60 (1) .<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
26<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Ta cã △AFB<br />
= △ BIC (theo c¸ch vÏ) nªn: FB = IB (2).<br />
Tõ (1) vµ (2) suy ra : △ FIB ®Òu .<br />
§−êng th¼ng CI c¾t FB t¹i H . Ta cã: I 2<br />
= 30 0 ( gãc ngoµi cña △ CIB ).<br />
Suy ra: H 2<br />
= 90 0 ( v× B = 60 0 ) Tam gi¸c ®Òu FIB nªn IH lµ trung trùc cña FB hay CH<br />
lµ ®−êng trung trùc cña△ CFB . VËy △ CFB c©n t¹i C . Suy ra : CF = CB (3)<br />
MÆt kh¸c : △ DFC c©n t¹i F . Do ®ã: FD = FC (4).<br />
Tõ (3) vµ (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).<br />
VËy △ DFC ®Òu.<br />
GiI b»ng ph−¬ng ph¸p kh¸c ®óng cho ®iÓm t−¬ng ®−¬ng.<br />
==============================<br />
®Ò 14<br />
C©u 1 (2 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc<br />
f(x) =x 4 -3x 3 +3x 2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x 2 +4-3x.<br />
C©u 2 (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.<br />
(x+y+z) 3 –x 3 -y 3 -z 3 .<br />
C©u 3 (2 ®iÓm ) :<br />
a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x 2 +x+1<br />
b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3)<br />
C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ac th× a=b=c<br />
C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho<br />
PAC = PBC. Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC. PK vu«ng gãc víi CA. Gäi D lµ<br />
trung ®iÓm cña AB. Chøng minh : DK=DM.<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi 1 (2 ®iÓm) Chia f(x) cho g(x)<br />
Ta cã : x 4 -3x 2 +3x 2 +ax+b: x 2 -3x+4.<br />
= x 2 +1 d− (a-3)x + b+4 (1 ®iÓm)<br />
f(x): g(x) khi vµ chØ khi sè d− b»ng kh«ng.<br />
Tõ ®©y suy ra (1 ®iÓm ).<br />
a-3=0 => a=3<br />
b+4=0 => b=-4<br />
Bµi 2 (2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.<br />
(x+y+2) 3 –x 3 -y 3 -z 3 =A<br />
Ta cã : (x+y+z) 3 –x 3 -y 3 -z 3 = [(x+y+z) 3 -x 3 ]-(y 3 +2 3 ).<br />
¸p dông h»ng ®¼ng thøc 6 vµ 7.<br />
A= ( x+y+z-x) [(x+x+z) 2 + (x+y+z)x + x 2 ) – (x+z)(y 2 -y 2 +z 2 ) (1 ®iÓm)<br />
= (y+z)[x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz+xy+xz+x 2 +x 2 -y 2 +yz-z 2 ].<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
27<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
= (y+z) (3x 2 +3xy+3xz+3yz).<br />
= 3(y+z) [x(x+y)+z((x+y)]<br />
= 3(x+y) (y+z) ) (x+z) (1 ®iÓm).<br />
Bµi 3 : (2 ®iÓm ).<br />
a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x 2 +x+1<br />
Ta cã : x 2 +x+1 = (x+ 2<br />
1 )<br />
2<br />
+ 4<br />
3 ≥ 4<br />
3<br />
Gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4<br />
3 khi (x+ 2<br />
1<br />
)2 =0 Tøc x = - 2<br />
1<br />
(1 ®iÓm).<br />
b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A= h(h+1) (h+2) (h+3) (1 ®iÓm).<br />
Ta cã : A= h(h+1) (h+2) (h+3)<br />
= h(h+3) (h+2) (h+1)<br />
= (h 2 +3h) (h 2 +3h+2)<br />
§Æt : 3h+h 2 =x<br />
A= x(x+2) = x 2 +2x = x 2 +2x+1-1<br />
= (x+1) 2 -1 ≥ -1 Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ -1.<br />
Bµi 4 (2 ®iÓm ) Chøng minh.<br />
Theo gi <strong>thi</strong>Õt : a 2 +b 2 +c 2 = ab+ac+bc.<br />
Ta cã : a 2 +b 2 +c 2 – ab-ac-bc = 0<br />
Suy ra : (a 2 -2ab+b 2 ) + (b 2 -2ab+c 2 ) + (a 2 -2ac+c 2 )=0 (1 ®iÓm).<br />
(a-b) 2 + (b-c) 2 + (a-c) 2 = 0<br />
§iÒu nµy xy ra khi vµ chØ khi.<br />
a-b = b-c = a-c = 0 Tøc lµ : a=b=c (1 ®iÓm).<br />
Bµi 5 (2 ®iÓm)<br />
C<br />
Gäi E lµ trung ®iÓm cña AP<br />
F lµ trung ®iÓm cña BP K M<br />
Ta cã : KE= 2<br />
1 AP = EP<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
FM = 2<br />
1 BP =FP E F<br />
28<br />
P<br />
A D B<br />
Tø gi¸c DEPF lµ h×nh b×nh hµnh v× DE//BP, DF//AP<br />
Do ®ã : ED=FM ; EK =EP=DF<br />
Tõ c¸c tam gi¸c vu«ng APK; BPM ta suy ra.<br />
KEP =2KAP ; MEP = 2MBP<br />
DEPF lµ h×nh b×nh hµnh nªn DEP= DFP<br />
Theo gi <strong>thi</strong>Õt KAD = MBP nªn KEP = MFP<br />
VËy DEK = DPM suy ra ∆ DEK= ∆ MFO (c.g.c)<br />
Do ®ã : DK=OM<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
==========================<br />
®Ò 15<br />
C©u 1: (2®) T×m <strong>hai</strong> sè biÕt<br />
a. HiÖu c¸c b×nh ph−¬ng cña 2 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp b»ng 36<br />
b. HiÖu c¸c b×nh ph−¬ng cña 2 sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp b»ng 40<br />
C©u 2: (1,5®) Sè nµo lín h¬n:<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
2<br />
2<br />
5<br />
⎛ 2006 − 2005 ⎞ 2006 − 2005<br />
⎜<br />
⎟ hay<br />
2<br />
2<br />
⎝ 2006 + 2005 ⎠ 2006 + 2005<br />
C©u 3: (1,5 ®) Gii ph−¬ng tr×nh<br />
x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6<br />
+ + + + + + 6 = 0<br />
1000 999 998 997 996 995<br />
C©u 4: (1®) Gii bÊt ph−¬ng tr×nh ax –b> bx+a<br />
C©u 5: (2,5®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®−êng th¼ng AK song<br />
song víi BC. Qua B vÏ ®−êng th¼ng BI song song víi AD. BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD<br />
ë E. Chøng minh r»ng:<br />
a. EF song song víi AB<br />
b. AB 2 = CD.EF<br />
C©u 6: (1,5®) Cho h×nh thang ABCD (AD//BC) cã <strong>hai</strong> ®−êng chÐo, c¾t nhau ë O .<br />
TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam gi¸c BOC lµ 169 cm 2 vµ diÖn tÝch tam<br />
gi¸c AOD lµ 196 cm 2 .<br />
§¸p ¸n<br />
C©u 1: a. Gäi 2 sè ch½n liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (x ch½n).<br />
Ta cã: (x+2) 2 -x 2 =36 => x = 8.<br />
VËy 2 sè cÇn t×m lµ 8 vµ 10.<br />
b. Gäi 2 sè lÎ liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (xlÎ)<br />
Ta cã (x+2) 2 –x 2 = 40 => x = 9<br />
VËy 2 sè cÇn t×m lµ 9 vµ 11.<br />
C©u 2: Theo tÝnh chÊt cña ph©n thøc ta cã:<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
⎛ 2006 − 2005 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2006 + 2005 ⎠<br />
2006<br />
2<br />
2006 − 2005 2006 − 2005<br />
=<br />
.<br />
<<br />
2006 + 2005 2006 + 2005<br />
− 2005<br />
2006<br />
− 2005<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= <<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2006 + 2.2006.2005 + 2005 2006 + 2005<br />
C©u 3: Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi:<br />
29<br />
2<br />
2006 − 2005<br />
(2006 + 2005)<br />
x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 + 6<br />
+ 1+<br />
+ 1+<br />
+ + 1+<br />
+ 1+<br />
x + 1 = 0<br />
1000 999 998 997 996 995<br />
x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001<br />
⇔ + + + + + = 0<br />
1000 999 998 997 996 995<br />
1 1 1 1 1 1<br />
⇔ ( x + 1001)( + + + + + ) = 0<br />
1000 999 998 997 996 995<br />
2<br />
2<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
⇔ x=-1001.<br />
VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x=-1001.<br />
a + b<br />
C©u 4: * NÕu a> b th× x><br />
a − b<br />
a + b<br />
* NÕu a 2b<br />
+ NghiÖm ®óngvíi mäi x nÕu b S<br />
OC S<br />
ABO .S COD = S BOC. S AOD<br />
COD<br />
Mµ S ABO = S COD nªn: S 2 ABO = S AOD . S BOD = 169.196 = 13 2 .14 2<br />
=> S ABO = 13.14 = 182 (cm 2 )<br />
================<br />
D<br />
A<br />
E<br />
K<br />
I<br />
F<br />
B<br />
C<br />
D<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
30<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
®Ò 16<br />
C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn.<br />
2x 3 + x 2 + 2x + 5<br />
A=<br />
2x + 1<br />
C©u 2(2®): Gii ph−¬ng tr×nh<br />
x 2 - 3|x| - 4 = 0<br />
C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t−¬ng øng c¸c ®iÓm P, Q, R.<br />
Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång qui lµ:<br />
PB QC RA<br />
. . = 1<br />
PC QA RB<br />
C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc<br />
M = (1+ 1/a ) 2 + (1+ 1/b) 2<br />
C©u 5(2®): Cho <strong>hai</strong> sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1<br />
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc<br />
A = 3x 2 + y 2<br />
C©u 1<br />
A nguyªn ⇔ 2x+ 1 lµ −íc cña 4<br />
¦ (4) = {±1; ±2; ±4}<br />
Gii ra x = -1; x= 0 th× A nguyªn.<br />
C©u 2: x 2 - 3|x| - 4 = 0<br />
⇔ 3|x| = x 2 - 4<br />
⇔ 3x = ± (x 2 - 4)<br />
⇔ x 2 - 3x - 4 = 0 hoÆc x 2 + 3x - 4 = 0<br />
2<br />
x + 1 x −1<br />
x − 4x<br />
−1<br />
x + 2006<br />
A = ( − + ).<br />
2<br />
x −1<br />
x + 1 x −1<br />
x<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
§¸p ¸n<br />
Gii 2 ph−¬ng t×nh nµy ®−îc S = {-4; 4}<br />
C©u 3: (S¸ch ph¸t triÓn to¸n 8)<br />
C©u 4: M = 18 khi a = b = …<br />
C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc...<br />
Ta cã: A = 3x 2 + (1-3x) 2 = 12(x- 1/4) 2 + 1/4 ⇒ A … ¼<br />
VËy A min = 1/4 khi x = 1/4 ; y = 1/4.<br />
=========================<br />
Bµi 1. Cho biÓu thøc:<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
®Ò 17<br />
31<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh.<br />
b) Rót gän biÓu thøc A.<br />
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.<br />
Bµi 2:<br />
a) Gii ph−¬ng tr×nh:<br />
2 − x 1−<br />
x<br />
−1<br />
= −<br />
x<br />
2004 2005 2006<br />
b) T×m a, b ®Ó: x 3 + ax 2 + 2x + b chia hÕt cho x 2 + x + 1<br />
Bµi 3.<br />
Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M kÎ c¸c ®−êng<br />
th¼ng song song víi <strong>hai</strong> ®−êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®−êng th¼ng nµy c¾t <strong>hai</strong> c¹nh BC<br />
vµ AD lÇn l−ît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J.<br />
a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF.<br />
b) Trong tr−êng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF.<br />
Bµi 4. Cho a ≥ 4; ab ≥ 12. Chøng minh r»ng C = a + b ≥ 7<br />
Bµi 1:<br />
a) §iÒu kiÖn:<br />
b) A =<br />
⎧x<br />
≠ ± 1<br />
⎨<br />
⎩x<br />
≠ 0<br />
(<br />
2<br />
§¸p ¸n<br />
2<br />
2 2<br />
( x + 1) − ( x + 1) + x − 4x<br />
−1<br />
x + 2006<br />
⋅ =<br />
x −1<br />
x<br />
x + 2006<br />
x<br />
⎡x<br />
= ± 1<br />
c) Ta cã: A nguyªn ⇔ (x + 2006) ⋮ x ⇔ 2006⋮x<br />
⇔ ⎢ ⎣ x = ± 2006<br />
Do x = ± 1 kh«ng tho· m·n ®k. VËy A nguyªn khi x = ± 2006<br />
Bµi 2.<br />
a) Ta cã:<br />
2 − x 1−<br />
x<br />
−1<br />
= −<br />
x<br />
2004 2005 2006<br />
2 − x 1−<br />
x x 2 − x 2004 1−<br />
x 2005 x 2006<br />
⇔ + 1 = + 1−<br />
+ 1 ⇔ + = + − +<br />
2004 2005 2006 2004 2004 2005 2005 2006 2006<br />
2006 − x 2006 − x 2006 − x<br />
1 1 1<br />
⇔<br />
= + ⇔ ( 2006 − x )( − − = 0<br />
2004 2005 2006<br />
2004 2005 2006<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
⇔ (2006 - x) = 0 ⇒ x = 2006<br />
b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc, råi tõ ®ã<br />
ta t×m ®−îc:<br />
Bµi 3.<br />
a) Ta cã:<br />
FI<br />
IE<br />
⎧a<br />
= 2<br />
⎨<br />
⎩b<br />
= 1<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
FP DO<br />
= = (1)<br />
PM OB<br />
32<br />
D<br />
E<br />
I J<br />
F<br />
Q<br />
P<br />
A M B<br />
C<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
EJ EQ CO<br />
= = (2)<br />
FJ QM OA<br />
DO CO = (3)<br />
OB OA<br />
FI EJ<br />
Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra = hay FI.FJ = EI.EJ (4)<br />
IE FJ<br />
NÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× tõ (4) ta cã:<br />
IJ IJ IJ IJ<br />
( FH − )( FH + ) = ( EH − )( EH + ) ⇒ FH = EH<br />
2 2 2 2<br />
DO CO 1<br />
FI 1<br />
b) NÕu AB = 2CD th× = = nªn theo (1) ta cã =<br />
OB OA 2<br />
IE 2<br />
suy ra: EF = FI + IE = 3FI. T−¬ng tù tõ (2) vµ (3) ta cã EF = 3EJ.<br />
Do ®ã: FI = EJ = IJ =<br />
EF kh«ng liªn quan g× ®Õn vÞ trÝ cña M. VËy M tuú ý trªn AB<br />
3<br />
3 1 3ab<br />
1 3⋅12<br />
1<br />
Bµi 4. Ta cã: C = a + b = ( a + b)<br />
+ a ≥ 2 + a ≥ 2 + ⋅ 4 = 7 (§PCM)<br />
4 4 4 4 4 4<br />
============================<br />
C©u 1:<br />
a. T×m sè m, n ®Ó:<br />
b. Rót gän biÓu thøc:<br />
1 m n<br />
= +<br />
x(<br />
x −1)<br />
x −1<br />
x<br />
®Ò 18<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
M =<br />
+<br />
+<br />
+<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a − 5a<br />
+ 6 a − 7a<br />
+ 12 a − 9a<br />
+ 20 a −11a<br />
+ 30<br />
C©u 2:<br />
a. T×m sè nguyªn d−¬ng n ®Ó n 5 +1 chia hÕt cho n 3 +1.<br />
b. Gii bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn.<br />
C©u 3:<br />
Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®−êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ ®−êng trung<br />
trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG = 2HE vµ AG = 2HF.<br />
C©u 4:<br />
Trong <strong>hai</strong> sè sau ®©y sè nµo lín h¬n:<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
a = 1969 + 1971 ; b = 2 1970<br />
§¸p ¸n<br />
C©u 1: (3®)<br />
a. m =1 (0.75®); n = -1 (0.75®)<br />
b.(1.5®) ViÕt mçi ph©n thøc thµnh hiÖu cña <strong>hai</strong> ph©n thøc<br />
(¸p dông c©u a)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
33<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
1 1 1<br />
= −<br />
2<br />
a − 5a<br />
+ 6 a − 3 a − 2<br />
1 1 1<br />
= −<br />
2<br />
a − 7a<br />
+ 12 a − 4 a − 3<br />
1 1 1<br />
= −<br />
2<br />
a − 9a<br />
+ 20 a − 5 a − 4<br />
1 1 1<br />
= −<br />
2<br />
a −11a<br />
+ 30 a − 6 a − 5<br />
§æi dÊu ®óng vµ tÝnh ®−îc :<br />
1 1 4<br />
M = − =<br />
a − 6 a − 2 ( a − 2).( a − 6)<br />
(0.25®)<br />
(0.25®)<br />
(0.25®)<br />
(0.25®)<br />
(0.5®)<br />
C©u 2: (2.5®)<br />
a. (1.5®)<br />
BiÕn ®æi:<br />
n 5 + 1⋮ n 3 + 1 ⇔ n 2 (n 3 + 1) – (n 2 –1) ⋮ n 3 + 1 (0.5®)<br />
⇔ (n + 1) (n – 1) ⋮ (n + 1)(n 2 - n + 1) (0.25®)<br />
⇔ n – 1 ⋮ n 2 – n + 1 (v× n + 1 ≠ 0 ) (0.25®)<br />
NÕu n = 1 th× ta ®−îc 0 chia hÕt cho 1 (0.25®)<br />
NÕu n > 1 th× n – 1 < n(n – 1) + 1 = n 2 – n +1<br />
Do ®ã kh«ng thÓ xy ra quan hÖ n – 1 chia hÕt cho n 2 – n +1 trªn tËp hîp sè<br />
nguyªn d−¬ng<br />
VËy gi¸ trÞ duy nhÊt cña n t×m ®−îc lµ 1 (0.25®)<br />
b. n – 1 ⋮ n 2 – n +1<br />
⇔ n(n – 1) ⋮ n 2 – n + 1<br />
⇔ n 2 – n ⋮ n 2 – n + 1<br />
⇔ ( n 2 – n + 1) – 1 ⋮ n 2 – n + 1<br />
⇔ 1 ⋮ n 2 – n + 1 (0.5®)<br />
Cã <strong>hai</strong> tr−êng hîp:<br />
n 2 – n + 1 = 1 ⇔ n(n – 1) = 0 ⇔ n = 0 hoÆc n = 1<br />
C¸c gi¸ trÞ nµy ®Òu tho m·n ®Ò bµi (0.25®)<br />
n 2 – n + 1 = - 1 ⇔ n 2 – n + 2 = 0 v« nghiÖm<br />
VËy n = 0, n = 1 lµ <strong>hai</strong> sè phi t×m (0.25®)<br />
C©u 3: (3®) (H×nh *)<br />
LÊy I ®èi xøng víi C qua H, kÎ AI vµ BI, ta cã HE lµ ®−êng trung b×nh cña<br />
∆ACI nªn HE//AI vµ HE = 1/2IA (1) (0.25®)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
T−¬ng tù trong ∆CBI : HF//IB vµ HF = 1/2IB (2) (0.25®)<br />
Tõ BG⊥AC vµ HE⊥AC ⇒ BG//IA (3) (0.25®)<br />
T−¬ng tù AK⊥BC vµ HF⊥BC ⇒ AG//IB (4) (0.25®)<br />
Tõ (3) vµ (4) ⇒ BIAG lµ h×nh b×nh hµnh (0.25®)<br />
Do ®ã BG = IA vµ AG = IB (0.5®)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
34<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
KÕt hîp víi kÕt qu (1) vµ (2) ⇒ BG = 2HE vµ AG = 2HF (0.5®)<br />
C©u 4: (1.5®)<br />
Ta cã: 1970 2 – 1 < 1970 2<br />
⇔ 1969.1971 < 1970 2<br />
⇔ 2 1969.1971 < 2. 1970 (*) (0.25®)<br />
Céng 2.1970 vµo <strong>hai</strong> vÕ cña (*)<br />
G H<br />
ta cã:<br />
B K F<br />
2 .1970 + 2 1969.1971 < 4.1970<br />
(0.25®)<br />
H×nh *<br />
2<br />
2<br />
⇔ ( 1969 + 1971) < (2 1970)<br />
(0.25®)<br />
⇔ 1969 + 1971 < 2 1970<br />
(0.25®)<br />
VËy: 1969 + 1971 < 2 1970<br />
(0.25®)<br />
Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc<br />
===============================<br />
®Ò 19<br />
2<br />
2<br />
⎛ x 6 1 ⎞ ⎛ 10 − x<br />
A =<br />
⎟ ⎞<br />
⎜ + +<br />
⎟ :<br />
⎜ x − 2 +<br />
3<br />
⎝ x − 4x<br />
6 − 3x<br />
x + 2 ⎠ ⎝ x + 2 ⎠<br />
a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A?<br />
b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2<br />
c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A < 0<br />
d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn<br />
bµi 2 (2,5®)<br />
4 3<br />
x + x + x + 1<br />
a. Cho P =<br />
4 3 2<br />
x − x + 2x<br />
− x + 1<br />
Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x<br />
b. Gii ph−¬ng tr×nh<br />
Bµi 3 (1®)<br />
x<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
+<br />
+<br />
+<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ 5x<br />
+ 6 x + 7x<br />
+ 12 x + 9x<br />
+ 20 x + 11x<br />
+ 30<br />
2<br />
=<br />
27 −12x<br />
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =<br />
x<br />
2 + 9<br />
Bµi 4 (3®)<br />
Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn l−ît lµ ®iÓm ®èi<br />
xøng cña H qua AB vµ AC<br />
a. CMR: E, A, H th¼ng hµng<br />
b. CMR: BEFC lµ h×nh thang, cã thÓ t×m vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë thµnh mét h×nh<br />
thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®−îc kh«ng.<br />
I<br />
A<br />
1<br />
8<br />
D<br />
E<br />
C<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
35<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
c. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt?<br />
Bµi 5 (1®)<br />
Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1<br />
CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) ≥ 8<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi 1 (2,5®)<br />
sau khi biÕn ®æi ta ®−îc;<br />
− 6 x + 2<br />
A = × 0,5®<br />
( x − 2 )( x + 2 ) 6<br />
a. TX§ = { ∀x : x ≠ ± 2; x ≠ 0}<br />
0,25®<br />
−1<br />
1<br />
Rót gän: A = = 0,25®<br />
x − 2 2 − x<br />
b. §Ó A = 2 ⇒ x =1, 5 (tho· m·n ®iÒu kiÖn cña x) 0,5®<br />
1<br />
c. §Ó A < 0 th× < 0 ⇒ 2 − x < 0 ⇒ x > 2 (Tho· m·n ®k cña x) 0,5®<br />
2 − x<br />
d. §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× (2 - x) phi lµ −íc cña 2. Mµ ¦ (2) = { − 1;<br />
−2;1;2<br />
}<br />
suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4. Nh−ng x = 0 kh«ng tho· m·n §K cña x 0,25®<br />
VËy x = 1; x =3.; x=4 0,25®<br />
Bµi 2 (2,5®)<br />
4 3<br />
x + x + x + 1<br />
a. P =<br />
1®<br />
4 3 2<br />
x − x + 2x<br />
− x + 1<br />
Tö: x 4 + x 3 + x + 1 = (x+1) 2 (x 2 - x + 1) 0,25®<br />
MÉu: x 4 - x 3 + 2x 2 -x +1 = (x 2 + 1)(x 2 -x + 1) 0,25®<br />
Nªn mÉu sè (x 2 + 1)(x 2 -x + 1) kh¸c 0. Do ®ã kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn cña x 0,25®<br />
VËy P =<br />
2 2<br />
( x + 1) ( x − x + 1)<br />
2<br />
2<br />
( x + 1) ( x − x + 1)<br />
( )<br />
( x + 1)<br />
=<br />
x<br />
2<br />
2<br />
+ 1`<br />
mäi x 0,25®<br />
Nªn P ≥ 0 ∀x<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
b. Gii PT:<br />
+<br />
+<br />
+<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x + 5x<br />
+ 6 x + 7x<br />
+ 12 x + 9x<br />
+ 20 x + 11x<br />
+ 3<br />
x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)<br />
x 2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)<br />
x 2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)<br />
x 2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)<br />
1<br />
1 1 1<br />
Trong ®ã<br />
=<br />
= −<br />
5 6 ( 2)( 3) ( 2) ( 3) ...<br />
2<br />
x + x + x + x + x + x +<br />
TX§ = { ∀x ; x ≠ −2;<br />
−3;<br />
−4;<br />
−5;<br />
−6}<br />
ph−¬ng tr×nh trë thµnh:<br />
2<br />
=<br />
v× tö = ( x + 1) 2 ≥ 0∀x<br />
vµ mÉu x 2 + 1 >0 víi<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
1<br />
8<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
36<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />
− + − + − + − =<br />
x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 8<br />
1 1 1<br />
= − =<br />
x + 2 x + 6 8<br />
= 8( x + 6 − x − 2) = ( x + 2)( x + 6)<br />
⇔ = + +<br />
2<br />
32 x 8x<br />
12<br />
2<br />
⇒ x + 8x − 20 = 0 ⇒ x = 2; x = −10<br />
VËy PT ®· cho cã nghiÖm x =2; x = -10<br />
Bµi 3 (1®)<br />
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc<br />
27 −12x<br />
A =<br />
2<br />
x + 9<br />
( ) ( )<br />
2 2 2<br />
27 −12x<br />
x − 12x + 36 − x + 9 x − 6<br />
A = = = −1 ≥ −1<br />
2 2 2<br />
x + 9 x + 9 x + 9<br />
A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 ⇔ ( x − 6) 2<br />
= 0 hay x = A =<br />
( 4x 2 + 36) − ( 4x 2 + 12x + 9) ( 2x<br />
+ 3) 2<br />
27 −12x<br />
= = 4 − ≤ 4. A ®¹t GTLN lµ 4<br />
2 2 2<br />
x + 9 x + 9 x + 9<br />
( 2x<br />
+ 3) 2 = 0 ⇒ x = −<br />
3<br />
2<br />
Bµi 4 (3®)<br />
a.(0,75®) do E ®«ie xøng víi H qua AB nªn AB lµ ®−êng trung trùc cña ®oanh th¼ng<br />
EH<br />
vËy gãc EAH = gãcIAH (1)<br />
gãc FAD = gãcDAH (2)<br />
céng (1) vµ (2) ta cã : gãc EAH + gãc FAD = gãcDAH + gãcIAH = 90 0 theo gi<br />
thuyÕt<br />
hay gãcEAI + gßcAD + BAC = 90 0 + 90 0 = 180 0 . Do ®ã 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng<br />
b. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A nªn gãcABC + ACB = 90 0 (<strong>hai</strong> gãc nhän tam gi¸c<br />
vu«ng)<br />
Mµ gãcEBA = gãcABH (tÝnh chÊt ®èi xøng)<br />
gãcCA = gãcHCA (tÝnh chÊt ®èi xøng)<br />
suy ra gãc EBA + gãc FCA = 90 0<br />
haygãc EBA + gãc FCA + gãc ABC + gãc ACB = 180 0<br />
suy ra gãc EBC + gãc FBC = 180 0 (<strong>hai</strong> gãc trong cïng phÝa bï nhau)<br />
do ®ã BE song song CF. Vậy tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang 0,75®<br />
Muèn BEFC lµ h×nh thang vu«ng th× phi cã gãc AHC = 90 0 ⌢ ⌢<br />
0<br />
( E = F = 90 ) vËy<br />
H phi lµ ch©n ®−êng cao thuéc c¹nh huyÒn cña tam gi¸c ABC<br />
Muèn BEFC lµ h×nh b×nh hµnh th× BE = CF suy ra BM = HC. VËy H phi lµ<br />
trung ®iÓm cña BC………….. 0,25®<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
37<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Muèn BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt th× BEFC phi cã mét gãc vu«ng suy ra<br />
⌢ ⌢<br />
0<br />
( B = C = 45 ) ®iÒu nµy kh«ng xy ra v× tam gi¸c ABC kh«ng phaØ lµ tam gi¸c vu«ng<br />
c©n…..0,25®<br />
c.lÊy H bÊt kú thuéc BC gÇn B h¬n ta cã:<br />
S∆ EHF<br />
= 2S▱ AIDH<br />
dùng h×nh ch÷ nhËt HPQD b»ng AIHD<br />
vËy S tam gi¸c EHF = S tø gi¸c IPQ . Ta cã tam gi¸c HBI = tam gi¸c HMB (g.c.g)<br />
suy ra S<br />
HBIS<br />
= S<br />
HMB<br />
⇒ S<br />
EHF<br />
= S▱<br />
ABMQ<br />
< S<br />
ABC<br />
∆ ∆ ∆ ∆<br />
víi H gÇn C h¬n ta còng cã:S tø gi¸c ABMQ < S tam gi¸c ABC<br />
khi H di chuyÓn trªn BC ta lu«n cã S EHF ≤ S<br />
ABC<br />
. T¹i vÞ trÝ h lµ trung ®iÓm cña BC<br />
th× ta cã<br />
S EHF = S ABC . Do ®ã khi H lµ trung ®iÓm cña BC th× S EHF lµ lín nhÊt.<br />
Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1<br />
Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8<br />
Do a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng nªn ta cã;<br />
(a – 1) 2 2 2 2<br />
( ) 2<br />
≥ 0∀ a > 0 ⇒ a + 1 ≥ 2a ⇒ a + 2a + 1⇒ a + 1 ≥ 4a<br />
(1) …………0,25®<br />
T−¬ng tù (b + 1) 2 ≥4b (2)………………0,25®<br />
(c + 1) 2 ≥ 4c (3) …………0,25®<br />
Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã:<br />
(b + 1) 2 (a – 1) 2 (c + 1) 2 ≥64abc (v× abc = 1)<br />
((b + 1)(a – 1)(c + 1)) 2 ≥ 64<br />
(b + 1)(a – 1)(c + 1) ≥ 8…..0,25®<br />
=======================================<br />
®Ò 20<br />
C©u I :(3®)<br />
a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:<br />
A = x 3 +8x 2 + 19x +12 . B = x 3 +6x 2 +11x +6 .<br />
b) Rót gän ph©n thøc :<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
3 2<br />
A x + 8x<br />
+ 19x<br />
+ 12<br />
=<br />
.<br />
3 2<br />
B x + 6x<br />
+ 11x<br />
+ 6<br />
C©u II : (3®) .<br />
1 ) Cho ph−¬ng tr×nh Èn x.<br />
x + a x − 2<br />
+ = 2.<br />
x + 2 x − a<br />
a) Gii ph−¬ng tr×nh víi a = 4.<br />
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho ph−¬ng tr×nh nhËn x = -1 lµm nghiÖm.<br />
2 ) Gii bÊt ph−¬ng tr×nh sau : 2x 2 + 10x +19 > 0.<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
38<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
C©u III (3®): Trong h×nh thoi ABCD ng−êi ta lÊy c¸c ®iÓm P vµ Q theo thø tù trªn AB<br />
vµ CD sao cho AP = 1/ 3 AB vµ CQ = 1/ 3 CD. Gäi I lµ giao ®iÓm cña PQ vµ AD , K<br />
lµ giao ®iÓm cña DP vµ BI , O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.<br />
a) Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhËn xÐt vÒ tam gi¸c BID vµ vÞ trÝ cña K trªn IB.<br />
b) Cho Bvµ D cè ®Þnh t×m quü tÝch cña A vµ I.<br />
C©u IV : (1®) .T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh sau :<br />
yx 2 +yx +y =1.<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) (1®)<br />
B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) (1®)<br />
A ( x + 1)( x + 3)( x + 4) x + 4<br />
2) =<br />
=<br />
B ( x + 1)( x + 2)( x + 3) x + 2<br />
(1®)<br />
( x + a)<br />
( x − 2)<br />
Bµi II :1) . Ph−¬ng tr×nh + = 2<br />
( x + 2) ( x − a)<br />
§iÒu kiÖn: x ≠ -2 vµ x ≠ a.<br />
(1) ⇔ x 2 – a 2 + x 2 – 4 = 2x 2 + 2(2- a)x – 4a<br />
⇔ – a 2 - 4 + 4a = 2(2- a)x<br />
⇔ - (a - 2) 2 = 2(a - 2)x (*)<br />
a) víi a =4 thay vµo (*) ta cã :<br />
4 =4x ⇒ x=1 (1®)<br />
b) . Thay x= -1 vµo (*) ta ®−îc.<br />
(a – 2 ) 2 + (a - 2)= 0<br />
⇔ (a - 2) (a – 2 + 2) = 0<br />
a = 2<br />
⇒ a = 0 (1®)<br />
2) . Gii bÊt ph−¬ng tr×nh :<br />
2x 2 + 10x + 19 > 0 (1)<br />
BiÕn dæi vÕ tr¸i ta ®−îc.<br />
2x 2 + 10x + 19 = 2x 2 + 8x +8 + 2x +4 +7<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
=2(x 2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7<br />
= 2(x + 2) 2 +2(x + 2) + 7<br />
= (x + 3) 2 + (x + 2) 2 + 6 lu«n lín h¬n 0 víi mäi x<br />
Nªn bÊt ph−¬ng tr×nh (1) NghiÖm ®óng víi ∀ x . (1®)<br />
Bµi III .<br />
AP // DQ<br />
(1)<br />
1<br />
XÐt tam gi¸c IDQ cã . AP = DQ<br />
2<br />
Theo ®Þnh lý Ta LÐt trong tam gi¸c ta cã : (0,75® )<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
39<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
IA AP 1<br />
= = ⇒ 2IA<br />
= ID ⇒ AD = AI<br />
ID AQ 2<br />
Tam gi¸c BID lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B v× AO ⊥ DB vµ AO lµ ®−êng trung<br />
b×nh cña ∆ BID<br />
§iÓm K lµ trung ®iÓm cña IB. (Do DK lµ ®−êng trung tuyÕn cña ∆ BID ) .<br />
(0,75®)<br />
b). Víi B vµ D cè ®Þnh nªn ®o¹n DB cè ®Þnh.Suy ra trung ®iÓm O cè ®Þnh.<br />
MÆt kh¸c AC BD , BI DB vµ vai trß cña A vµ C lµ nh− nhau . Nªn quü tÝch cña A lµ<br />
®−êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm O.Quü tÝch cña ®iÓm I lµ ®−êng<br />
th¼ng ®i qua B vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm B. (1®)<br />
§o: Víi A vµ I ch¹y trªn c¸c ®−êng ®ã vµ AD = AI .Th× AP = 2<br />
1 AB vµ CQ = 3<br />
1 CD.<br />
ThËt vËy : Do AP // DQ suy ra<br />
IA AP 1<br />
= = ⇒ 2AP<br />
= DQ mµ AB = CD ⇒ §PCM.<br />
ID AQ 2<br />
(0,5®)<br />
Bµi IV: y x 2 + y x + y = 1 . (1)<br />
NÕu ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x ,y > 0.<br />
(1) y(x 2 + x +1) = 1<br />
⇒ y= 1 ⇒ y = 1 ,x= 0<br />
x 2 + x +1 =1<br />
VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn lµ (x,y) = (0 ,1). (1®)<br />
===================================<br />
®Ò 21<br />
I. §Ò bµi:<br />
Bµi 1:(2 ®iÓm) Cho A = 1 + 1 +<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
b + c - a c + a - b a + b - c<br />
Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0.<br />
Bµi 2:(3 ®iÓm) Gii ph−¬ng tr×nh:<br />
1) (x+1) 4 + (x+3) 4 = 16<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2)<br />
x −1001 x −1003 x −1005 x −1007<br />
+ + + = 4<br />
1006 1004 1002 1000<br />
Bµi 3:(2 ®iÓm)<br />
Chøng minh r»ng sè:<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
1 1 1 1<br />
a = + + + ... + , n ∈ Z+<br />
kh«ng phi lµ mét sè nguyªn.<br />
1.2 2.3 3.4 n.(n+1)<br />
Bµi 4:(3 ®iÓm)<br />
Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA.<br />
a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao?<br />
40<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
b) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng?<br />
c) Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña <strong>hai</strong> tø gi¸c ABCD vµ MNPQ.<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi 1:(2 ®iÓm) Ta cã: a + b + c = 0 ⇔ b + c = - a. 0.25 ®iÓm<br />
B×nh ph−¬ng <strong>hai</strong> vÕ ta cã : (b + c) 2 = a 2<br />
⇔ b 2 + 2bc + c 2 = a 2 ⇔ b 2 + c 2 - a 2 = -2bc<br />
T−¬ng tù, ta cã: c 2 + a 2 - b 2 = -2ca<br />
a 2 + b 2 - c 2 = -2ab<br />
1 1 1 -(a+b+c)<br />
⇒ A = - - - = =0<br />
2bc 2ca 2ab 2abc<br />
VËy A= 0.<br />
(v× a + b + c = 0)<br />
Bµi 2:(3 ®iÓm) Gii ph−¬ng tr×nh:<br />
1) §Æt y = x + 2 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh:<br />
(y – 1) 4 + (y +1) 4 = 16 ⇔ 2y 4 + 12y 2 + 2 = 16<br />
⇔ y 4 + 6y 2 -7 = 0<br />
§Æt z = y 2 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh: z 2 + 6z – 7 = 0 cã <strong>hai</strong> nghiÖm lµ<br />
z 1 = 1 vµ z 2 = -7.<br />
2)<br />
• y 2 = 1 cã 2 nghiÖm y 1 = 1 ; y 2 = -1 øng víi x 1 = -1 ; x 2 = -3.<br />
• y 2 = -7 kh«ng cã nghiÖm.<br />
0.5 ®iÓm<br />
0.5 ®iÓm<br />
0.5 ®iÓm<br />
0.25 ®iÓm<br />
0.5 ®iÓm<br />
0.5 ®iÓm<br />
0.5 ®iÓm<br />
x −1001 x −1003 x −1005 x −1007<br />
+ + + = 4<br />
1006 1004 1002 1000<br />
x −1001 x −1003 x −1005 x −1007<br />
⇔ − 1+ − 1+ − 1+ − 1 = 0<br />
1006 1004 1002 1000<br />
x − 2007 x − 2007 x − 2007 x − 2007<br />
⇔ + + + = 0<br />
0.5 ®iÓm<br />
1006 1004 1002 1000<br />
⎛ 1 1 1 1 ⎞<br />
⇔ ( x − 2007) ⎜ + + + ⎟ = 0<br />
⎝1006 1004 1002 1000 ⎠<br />
V×<br />
Bµi 3:(1,5 ®iÓm)<br />
⎛ 1 1 1 1 ⎞<br />
⎜ + + + ⎟ ≠ 0<br />
⎝1006 1004 1002 1000 ⎠<br />
a =<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Ta cã:<br />
⎛ 1 1 1 1 1 1 1<br />
⎜1 − ⎞ ⎟ + ⎛ ⎜ − ⎞ ⎟ + ⎛ ⎜ − ⎞ ⎟ + ... + ⎜ ⎛ −<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ n n+1⎠<br />
⇔ ( x − 2007) = 0 0.5 ®iÓm<br />
⇒ x = 2007<br />
0.5 ®iÓm<br />
0,5®iÓm<br />
1 n<br />
= 1 − = < 1; n+1 n+1<br />
0.5 ®iÓm<br />
MÆt kh¸c a > 0. Do ®ã a kh«ng nguyªn<br />
0.5 ®iÓm<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
41<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Bµi 4:(3,5 ®iÓm)<br />
VÏ h×nh, viÕt gi <strong>thi</strong>Õt - kÕt luËn ®óng<br />
0.5 ®iÓm<br />
a<br />
m<br />
b<br />
n<br />
c<br />
q<br />
p<br />
a) Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh 1 ®iÓm<br />
b) MNPQ lµ h×nh vu«ng khi vµ chØ khi AC = BD, AC ⊥ BD 1 ®iÓm<br />
a<br />
c) S ABCD = 2<br />
MNPQ = 2<br />
;<br />
2 4<br />
0.5 ®iÓm<br />
SABCD<br />
⇒ = 2<br />
S<br />
0.5 ®iÓm<br />
MNPQ<br />
=========================<br />
®Ò 22<br />
Bµi 1 (3 ®iÓm)<br />
a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.<br />
A = x 4 – 14x 3 + 71x 2 – 154x +120<br />
b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24<br />
Bµi 2 ( 3 ®iÓm)<br />
a. T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph−¬ng tr×nh:<br />
2<br />
x<br />
b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B =<br />
4<br />
1+<br />
x<br />
d<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
a<br />
+ x + 1 x<br />
+<br />
+ x + 2 x<br />
víi x # 0<br />
2<br />
2<br />
+ x + 2 7<br />
=<br />
+ x + 3 6<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
x − 5x<br />
+ 6<br />
Bµi 3 ( 1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: P =<br />
3 2<br />
x − 3x<br />
+ 3x<br />
− 2<br />
Bµi 4 ( 3 ®iÓm )<br />
Cho Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A. §iÓm M trªn c¹nh BC. Tõ M kÎ ME vu«ng<br />
gãc víi AB, kÎ MF vu«ng gãc víi AC ( E ∈ AB ; F ∈ AC )<br />
a. Chøng minh: FC .BA + CA . B E = AB 2 vµ chu vi tø gi¸c MEAF kh«ng phô thuéc<br />
vµo vÞ trÝ cña M.<br />
b. T©m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt.<br />
c. Chøng tá ®−êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
42<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi 1: a. A = x 4 – 14x 3 + 71x 2 - 154 x + 120<br />
KÕt qu ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) ( 2®iÓm )<br />
b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)<br />
=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)<br />
Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A ⋮ 24 (1 ®iÓm )<br />
2<br />
2<br />
x + x + 1 x + x + 2 7<br />
Bµi 2: a. + =<br />
2<br />
2<br />
x + x + 2 x + x + 3 6<br />
T×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x 1 = 0; x 2 = -1 (1.5 ®iÓm)<br />
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc<br />
2<br />
x<br />
B= víi x # 0 gii vµ t×m ®−îc B max = 1/2 th× x = ± 1 ( 1, 5 ®iÓm )<br />
4<br />
1+<br />
x<br />
Bµi 3 Rót gän biÓu thøc:<br />
2<br />
x − 5x<br />
+ 6 ( x − 2)( . x − 3)<br />
x − 3<br />
P =<br />
=<br />
=> P = .<br />
( 1®iÓm )<br />
3 2<br />
2<br />
2<br />
x − 3x<br />
+ 3x<br />
− 2 x − 2 x − x + 1 x − x +<br />
( )( ) 1<br />
Bµi 4: Gii a. chøng minh ®−îc<br />
F C . BA + CA. BE = AB 2 (0,5 ®iÓm )<br />
+ Chøng minh ®−îc chu vi tø gi¸c<br />
MEAF = 2 AB<br />
( kh«ng phô vµo vÞ trÝ cña M ) ( 0,5 ®iÓm )<br />
b. Chøng tá ®−îc M lµ trung ®iÓm BC<br />
Th× diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt (1 ®iÓm )<br />
c. Chøng tá ®−îc ®−êng th¼ng<br />
MH ⊥ EF lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh ( 1 ®iÓm )<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Đề 23<br />
Câu 1: (4đ)<br />
a, Phân tích đa <strong>thức</strong> sau thành nhân tử<br />
A = ( x 2 -2x)(x 2 -2x-1) - 6<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
43<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
b, Cho x ∈ Z chứng minh rằng x 200 + x 100 +1 ⋮x 4 + x 2 + 1<br />
Câu 2: (2đ)<br />
Cho x,y,z ≠0 thoả mãn x+ y +z = xyz <strong>và</strong> x<br />
1 + y<br />
1 + z<br />
1 = 3<br />
1 1 1<br />
Tính giá trị của biểu <strong>thức</strong> P = + +<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
Câu 3: (3đ) Tìm x biết<br />
a, 3 x + 2 < 5x -4<br />
x + 43 x + 46 x + 49 x + 52<br />
b, + = +<br />
57 54 51 48<br />
Câu 4: (3đ)<br />
a, Chứng minh rằng A = n 3 + (n+1) 3 +( n+2) 3 ⋮ 9 với mọi n ∈N *<br />
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu <strong>thức</strong><br />
x y z<br />
P = + +<br />
y + z z + x x + y<br />
Bài 5: (6đ)<br />
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H∈BC). Trên tia HC<br />
lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.<br />
1. Chứng minh rằng <strong>hai</strong> tam giác BEC <strong>và</strong> ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE<br />
theo m = AB .<br />
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng <strong>hai</strong> tam giác BHM <strong>và</strong><br />
BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM<br />
GB HD<br />
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: = .<br />
BC AH + HC<br />
Bài 6: (2 đ)<br />
Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có<br />
một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.<br />
Đề 23<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Câu1(4đ)<br />
a,đặt a = x 2 -2x thì x 2 -2x -1 = a-1<br />
⇒ A = (x+1)(x-3)(x 2 -2x+2)<br />
b, A = x 200 +x 100 + 1= (x 200 -x 2 ) + (x 100 -x 4 )+ (x 4 +x 2 +1)<br />
=x 2 (x 198 -1)+x 4 (x 96 -1) + (x 4 +x 2 +1) = x 2 ((x 6 ) 33 -1)+x 4 ((x 6 ) 16 -1)<br />
+(x 4 +x 2 =1)= x 2 (x 6 -1).B(x) +x 4 (x 6 -1).C(x) +(x 4 +x 2 +1)<br />
dễ thấy x 6 -1 =( x 3 -1)(x 3 +1)= (x+1)(x-1)(x 4 +x 2 +1) ⋮x 4 + x 2 + 1<br />
⇒ A chia hết cho x 4 + x 2 + 1<br />
.1đ<br />
1đ<br />
1đ<br />
1đ<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
44<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Cau 2<br />
:(2đ<br />
1 1 1 2<br />
Có ( )<br />
x<br />
+ +<br />
y z<br />
= 1 1 1 1 1 1<br />
+ + + 2( + + )<br />
2 2<br />
x y z<br />
2 xy xz yz<br />
2 z + y + x<br />
( 3 ) = p + 2 vậyP+2=3<br />
xyz<br />
suy ra P = 1<br />
0.75đ<br />
0,75đ<br />
0.5đ<br />
Câu 3:<br />
(3đ)<br />
Câu 4:<br />
3đ<br />
giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4<br />
làm đúng được x> 3<br />
b, Cộng 1 <strong>và</strong>o mỗi phân <strong>thức</strong> rồi đặt nhân tử chung<br />
1 1 1 1<br />
(x+100)( + − − ) = 0 ⇒ S = { − 100}<br />
57 54 51 48<br />
1đ<br />
0.5đ<br />
1đ<br />
0.5đ<br />
a, = n 3 +(n 3 +3n 2 +3n+1)+(n 3 +6n 2 +12n+8)<br />
=3n 3 +9n 2 +15n+9 = 3(n 3 +3n 2 +5n+3)<br />
0.5đ<br />
Đặt B= n 3 +3n 2 +5n+1 = n 3 +n 2 + 2n 2 +2n + 3n+3<br />
=n 2 (n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) 0,5đ<br />
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên<br />
liên tiếp )<br />
3(n+1) chia hết cho3 ⇒ B chia hết cho 3 ⇒ A =3B chia 0,5đ<br />
hết cho 9<br />
a + b + c<br />
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z =<br />
2<br />
− a + b + c a − b + c a + b − c<br />
⇒ x = ; y = ; z=<br />
2<br />
2<br />
2<br />
− a + b + c a − b + c a + b − c<br />
P = + + =<br />
0.5đ<br />
2a<br />
2b<br />
2c<br />
1 b c a c a b<br />
( − 1+<br />
+ −1+<br />
+ −1+<br />
+ ) =<br />
2 a a b b c c<br />
1 b a c a b c 3<br />
( −3<br />
+ ( + ) + ( + ) + ( + )) ≥<br />
2 a b a c c b 2<br />
3<br />
Min P = ( Khi <strong>và</strong> chỉ khi a=b=c ⇔ x=y=z 1đ<br />
2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Câu 5:<br />
(2đ)<br />
+ Hai tam giác<br />
ADC <strong>và</strong> BEC có:<br />
Góc C chung.<br />
CD CA<br />
= (Hai tam<br />
CE CB<br />
giác vuông CDE <strong>và</strong><br />
CAB đồng dạng)<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).<br />
45<br />
0,25 đ<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
0<br />
Suy ra: ∠ BEC= ∠ADC = 135 (vì tam giác AHD vuông cân tại H<br />
theo giả <strong>thi</strong>ết).<br />
0<br />
Nên ∠AEB = 45 do đó tam giác ABE vuông cân tại A.<br />
Suy ra: BE = AB 2 = m 2<br />
0,5 đ<br />
0,25 đ<br />
0,5 đ<br />
b)<br />
2đ<br />
C)<br />
2đ<br />
BM 1 BE 1 AD<br />
Ta có: = ⋅ = ⋅ (do ∆ BEC ~ ∆ ADC )<br />
BC 2 BC 2 AC<br />
mà AD = AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)<br />
BM 1 AD 1 AH 2 BH BH<br />
nên = ⋅ = ⋅ = = (do ABH Đồng<br />
BC 2 AC 2 AC AB 2 BE<br />
dạng CBA)<br />
Do đó BHM đồng dạng BEC (c.g.c)<br />
0<br />
0<br />
suy ra: ∠BHM<br />
= ∠BEC<br />
= 135 ⇒ ∠AHM = 45<br />
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác<br />
góc BAC.<br />
Suyra: GB = AB ,<br />
GC AC<br />
AB ED AH HD<br />
vì ∆ ABC ~ ∆DEC<br />
nên = = = (DE//AH)<br />
AC DC HC HC<br />
Do đó:<br />
GB HD GB HD GB HD<br />
= ⇒ = ⇒ =<br />
GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC<br />
Câu 6 Đặt: 2p+1=a 3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a 2 +a+1)<br />
Vì p là số nguyên tố nên:<br />
Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn)<br />
Hoặc: a 2 +a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1<br />
Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố)<br />
chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác.<br />
Đề 24<br />
Câu 1: (4điểm)<br />
x 2x − 3y<br />
a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu <strong>thức</strong>: A= +<br />
y − 2 x − 6<br />
b. Cho (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 1<br />
<strong>và</strong> a,b,c ≠ 0. Chứng minh :<br />
a<br />
Câu 2: (3điểm)<br />
a. Tìm x,y,x biết :<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
x<br />
2<br />
2<br />
y<br />
+<br />
3<br />
2<br />
z x<br />
+ =<br />
4<br />
+ y<br />
5<br />
b.Giải phương <strong>trình</strong> : 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9<br />
2<br />
2<br />
+ z<br />
2<br />
1<br />
b<br />
1<br />
c<br />
+ + =<br />
3 3 3<br />
3<br />
abc<br />
0,5đ<br />
1đ<br />
0,5đ<br />
1đ<br />
1đ<br />
1đ<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
46<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Câu 3: (3điểm)<br />
a. Chứng minh : a 5 - a chia hết cho 30 với a∈Z<br />
b. Chứng minh rằng : x 5 – x + 2 không là số chính phương với mọi x∈Z +<br />
Câu 4: (2điểm)<br />
Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng <strong>thức</strong> :<br />
Câu 5: (6 điểm)<br />
cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H<br />
a)tính tổng :<br />
AH ' BH CH<br />
+ +<br />
AA'<br />
BB'<br />
CC'<br />
Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC;<br />
AIB(M∈AC;N∈AB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM<br />
2<br />
( AB + BC + CA)<br />
c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu <strong>thức</strong> :<br />
2 2 2<br />
AA'<br />
+ B'<br />
B + C'<br />
C<br />
đạt giá trị nhỏ nhất<br />
Câu 6(2điểm)<br />
Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ <strong>và</strong> ab+bc+ac=1 thì<br />
(1+a 2 )(1+b 2 )(1+c 2 ) bằng bình phương của số hữu tỉ.<br />
……………..Hết…………………….<br />
Đề 24<br />
Bài Nội dung điểm<br />
Bài1<br />
0,5đ<br />
a) 3y-x=6 ⇒ x=3y-6<br />
2đ<br />
Thay <strong>và</strong>o ta có A=4<br />
1,5đ<br />
b)<br />
2đ<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Vì: (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 <strong>và</strong> a,b,c≠ 0.<br />
ab + ac + bc<br />
⇒ ab + ac + bc = 0 ⇒<br />
= 0<br />
abc<br />
⇒<br />
1<br />
a<br />
+<br />
1<br />
b<br />
+<br />
1<br />
= 0<br />
c<br />
1 1<br />
Đặt : = x;<br />
a b<br />
=<br />
1<br />
y; = z<br />
c<br />
1đ<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
47<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì:<br />
Bài<br />
2:<br />
a)<br />
1,5đ<br />
2<br />
x<br />
2<br />
x 3 +y 3 +z 3 =3xyz ⇒ đpcm<br />
. :<br />
2<br />
y<br />
+<br />
3<br />
2<br />
z x<br />
+ =<br />
4<br />
2<br />
+ y<br />
5<br />
2<br />
+ z<br />
2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
x x y y z z<br />
⇔ − + − + − =0<br />
2 5 3 5 4 5<br />
1đ<br />
1đ<br />
b)<br />
1,5đ<br />
Bài 3<br />
a)<br />
1.5đ<br />
b)<br />
1.5đ<br />
.phương<strong>trình</strong>:<br />
2<br />
3x<br />
⇔<br />
10<br />
2y<br />
+<br />
15<br />
2x(8x-1) 2 2<br />
2<br />
(4x-1)=9 ⇔ (64x −16x<br />
+ 1)(8x − 2x) = 9<br />
⇔ (64x<br />
2<br />
−16x<br />
+ 1)(64x<br />
đặt :64x 2 -16x+0,5=k<br />
2<br />
−16x)<br />
= 72<br />
2<br />
2<br />
z<br />
+ = 0 ⇔ x = y = z<br />
20<br />
Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k 2 = 72,25 ⇔ k ± 8, 5<br />
−1<br />
1<br />
Với k=8,5 Ta có x= ;x =<br />
4 2<br />
Với k=-8,5 phương <strong>trình</strong> vô nghiệm<br />
Vậy phương <strong>trình</strong> có 2nghiệm x=-1/4<strong>và</strong> x=1/2<br />
, có: a 5 -a=a(a 4 -1)=a(a 2 -1)(a 2 +1)=a(a-1)(a+1)(a 2 -4+5)<br />
= a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)<br />
vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên<br />
tiếp nên⋮ 30 (2)<br />
cho 30<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết<br />
Từ (1); (2) suy rađpcm<br />
b,Từ bài toán trên ta có: x 5 -x⋮5<br />
⇒ x 5 -x+2 chia 5 dư 2<br />
⇒ x 5 -x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương<br />
0,5đ<br />
0,25đ<br />
0,5đ<br />
0,25đ<br />
0,25đ<br />
0,25đ<br />
0, 75đ<br />
0,25đ<br />
0,25đ<br />
0,25đ<br />
0,75đ<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
48<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
nào có tận cùng là 2hoặc 7)<br />
Vậy:<br />
x 5 -x+2 không thế là số chính phương với mọi x ∈ Z<br />
+<br />
0,5đ<br />
0,25đ<br />
Câu4<br />
⎛ b ⎞⎛<br />
c ⎞ ⎞<br />
2đ đặt A= ⎜ ⎟⎜<br />
⎛ a ⎛<br />
⎜a + ⎟ b + c + ⎟ = ⎜ab<br />
+<br />
⎝ ac ⎠⎝<br />
ba ⎠⎝<br />
bc ⎠ ⎝<br />
câu 5<br />
a)<br />
2 2<br />
2<br />
a c a b b c<br />
= abc + + + + + + +<br />
2<br />
2 2<br />
c b b a c a<br />
2<br />
b 1<br />
+ +<br />
2<br />
ac a<br />
2<br />
⎞ a ⎞ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠⎛ c +<br />
⎝ bc ⎠<br />
AH ' BH CH 2( S<br />
AHB<br />
+ S<br />
BHC<br />
+ SCHA)<br />
Từ (1); (2); (3) ta có: + + = = 2<br />
AA'<br />
BB'<br />
CC'<br />
S<br />
b.<br />
ABC<br />
0,25 đ<br />
b) áp d ụng tính chất đường phân giác <strong>và</strong>o các tam giácABC,<br />
0,5 đ<br />
ABI, AIC:<br />
BI AB AN AI CM IC<br />
= ; = ; =<br />
IC AC NB BI MA AI<br />
suy ra<br />
c)<br />
BI AN CM AB AI IC AB IC AB.<br />
AC<br />
0,75 đ<br />
. . = . . = . = = 1<br />
IC NB MA AC BI AI AC BI AC.<br />
AB<br />
⇒ BI . AN.<br />
CM = BN.<br />
IC.<br />
AM<br />
0,75 đ<br />
c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx<br />
0,5 đ<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
49<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
1<br />
abc<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛ c b ⎞ ⎛ b a ⎞<br />
= ⎜abc<br />
+ ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎝ abc ⎠ ⎝ c a ⎠ ⎝ b c ⎠ ⎝ a b ⎠<br />
1<br />
tacó x+ ≥ 2∀x<br />
>0 Nên A ≥ 8 đẳng <strong>thức</strong> xảy ra khi a=b=c=1<br />
x<br />
B<br />
N<br />
C’<br />
I<br />
A<br />
H<br />
A’<br />
B’<br />
M<br />
C<br />
1<br />
( BA'<br />
+ A'<br />
C).<br />
AH<br />
AH + S<br />
Ta có : =<br />
2<br />
S<br />
= AHB<br />
A'<br />
A 1<br />
S<br />
AH.<br />
BC<br />
ABC<br />
2<br />
BH S + S<br />
BHC<br />
Tương Tự: = AHB<br />
BB'<br />
S<br />
CH S + S<br />
== CHB<br />
CC S<br />
ABC<br />
AHC<br />
(3)<br />
x<br />
ABC<br />
D<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
AHC<br />
(2)<br />
(1)<br />
c<br />
b<br />
1đ<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
1 đ<br />
0,25 đ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’<br />
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD<br />
- ∆ BAD vuông tại A nên: AB 2 +AD 2 = BD 2<br />
⇒ AB 2 + AD 2 ≤ (BC+CD) 2<br />
AB 2 + 4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2<br />
4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2 – AB 2<br />
Tương tự: 4AA’ 2 ≤ (AB+AC) 2 – BC 2<br />
4BB’ 2 ≤ (AB+BC) 2 – AC 2<br />
-Chứng minh được : 4(AA’ 2 + BB’ 2 + CC’ 2 ) ≤ (AB+BC+AC) 2<br />
2<br />
(AB + BC + CA)<br />
⇔<br />
≥ 4<br />
2 2 2<br />
AA' + BB' + CC'<br />
(Đẳng <strong>thức</strong> xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB=BC<br />
Tức tam giác ABC<strong>đề</strong>u<br />
Câu6 có<br />
1+a 2 =ab+ac+bc+a 2 =(a+c)(a+b)<br />
2đ<br />
Tương tự 1+b 2 =(a+b)(b+c)<br />
1+c 2 =(b+c)(a+c)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⇒ ( 1 + a )(1 + b )(1 + c ) = a + b a + c b + c đpcm<br />
[( )( )( )] 2<br />
Đề 25<br />
0,5 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
Bài 1: (5 điểm)<br />
⎡ 2 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎤ x −1<br />
Cho biểu <strong>thức</strong>: A = ⎢<br />
( ) 3 ⎜ + 1⎟ + 1 :<br />
2 ⎜ +<br />
2 ⎟⎥<br />
3<br />
⎢⎣<br />
x + 1 ⎝ x ⎠ x + 2x + 1⎝ x ⎠⎥⎦<br />
x<br />
a/ Thu gọn A<br />
b/ Tìm các giá trị của x để A
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I,<br />
G, H cùng nằm trên một đường thẳng.<br />
Bài 5: (2 điểm)<br />
Tìm nghiệm nguyên của phương <strong>trình</strong>: x 6 +3x 2 +1=y 3<br />
Đề 25<br />
BÀI<br />
Bài 1<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
NỘI DUNG<br />
2<br />
⎛ 2x<br />
x + 1 ⎞ x −1<br />
A= ⎜<br />
⎟<br />
+<br />
:<br />
( )<br />
2 2<br />
2 2 3<br />
x 1 . x ( x 1) x<br />
ĐKXĐX∉{0;1;-1}<br />
⎝ + + ⎠ x<br />
2 3<br />
( x + 1) x<br />
A=<br />
2 2<br />
( x −1)(<br />
x + 1) x<br />
x<br />
A=<br />
x −1<br />
−1<br />
Tacó:1-A= >0 khi x-1
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Bài 4:<br />
b)<br />
Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số<br />
1/2<br />
E<br />
Từ đó chứng<br />
A<br />
B<br />
minh:CK=ED (1)<br />
EB=BC (2)<br />
∠ BED = ∠BCK =135 0 (3)<br />
C<br />
từ: (1);(2);(3)suy ra: D<br />
I<br />
∆BED<br />
= ∆BCK(<br />
cg.<br />
c)<br />
⇔ ∠EBD<br />
= ∠CBK<br />
⇒ ∠DBK<br />
= 90<br />
0<br />
Chứng minh tứ giác DEKM là hinhchữ<br />
M<br />
nhật<br />
Suy ra tam giác CKM vuông cân tại M ⇒<br />
H là trung điểm củaCM<br />
AI//DM (cùng vuông góc với DE) HI//DM (T/c đường trung<br />
bình) nên A; ;I;H thẳng hàng (1)<br />
Các tam giác CIH; CHK vuông cân tại C<strong>và</strong> H nên KH= CI =DI<br />
Mà DI//KH nên tứ giác DIKH là hình bình hành<br />
Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật<br />
Do đó EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK<br />
vậy: G∈IH (2)<br />
Tử (1); (2) ta có A;I;G;H thẳng hàng<br />
Bài 5: Với x≠ 0 ta có 3x 4 >0; 3x 2 >0 ta có<br />
(x 2 ) 3
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu <strong>thức</strong> A ?<br />
b) Tìm giá trị của x để A > 0?<br />
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.<br />
Câu 3: (5,0 điểm)<br />
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương <strong>trình</strong> sau :<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
9x 2 + y 2 + 2z 2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.<br />
x y z a b c<br />
b) Cho + + = 1 <strong>và</strong> + + = 0 . Chứng minh rằng :<br />
a b c x y z<br />
Câu 4: (6,0 điểm)<br />
53<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
+ + = 1.<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F<br />
lần lượt là hình chiếu của B <strong>và</strong> D xuống đường thẳng AC. Gọi H <strong>và</strong> K lần lượt là hình<br />
chiếu của C xuống đường thẳng AB <strong>và</strong> AD.<br />
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?<br />
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK<br />
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC 2 .<br />
HƯỚNG DẪN CHẤM THI<br />
Nội dung đáp án<br />
Điểm<br />
Bài 1<br />
a 2,0<br />
3x 2 – 7x + 2 = 3x 2 – 6x – x + 2 = 1,0<br />
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5<br />
= (x - 2)(3x - 1). 0,5<br />
b 2,0<br />
a(x 2 + 1) – x(a 2 + 1) = ax 2 + a – a 2 x – x = 1,0<br />
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5<br />
= (x - a)(ax - 1). 0,5<br />
Bài 2: 5,0<br />
a 3,0<br />
ĐKXĐ :<br />
⎧2 − x ≠ 0<br />
⎪ 2<br />
x − 4 ≠ 0 ⎧x<br />
≠ 0<br />
⎪<br />
⎪<br />
1,0<br />
⎨2 + x ≠ 0 ⇔ ⎨x<br />
≠ ± 2<br />
⎪ 2<br />
x 3x<br />
0<br />
⎪x<br />
≠ 3<br />
⎪<br />
− ≠ ⎩<br />
⎪<br />
2 3<br />
⎩2x<br />
− x ≠ 0<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2 + x 4x 2 − x x − 3 x (2 + x) + 4 x − (2 − x) x (2 − x)<br />
A = ( − − ) : ( ) = . =<br />
2 2 3<br />
1,0<br />
2 − x x − 4 2 + x 2 x − x (2 − x)(2 + x) x( x − 3)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
x + x .<br />
x − x<br />
(2 − x)(2 + x) x − 3<br />
2<br />
4 8 (2 )<br />
2<br />
4 x( x + 2) x(2 − x) 4x<br />
= =<br />
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3<br />
2<br />
4x<br />
Vậy với x ≠ 0, x ≠ ± 2, x ≠ 3 thì A = . x − 3<br />
0,25<br />
b 1,0<br />
2<br />
4x<br />
Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ± 2 : A > 0 ⇔ > 0<br />
x − 3<br />
0,25<br />
⇔ x − 3 > 0<br />
0,25<br />
⇔ x > 3( TMDKXD)<br />
0,25<br />
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25<br />
c 1,0<br />
⎡x<br />
− 7 = 4<br />
x − 7 = 4 ⇔ ⎢<br />
⎣x<br />
− 7 = − 4<br />
0,5<br />
⎡x<br />
= 11( TMDKXD)<br />
⇔ ⎢<br />
⎣x<br />
= 3( KTMDKXD)<br />
0,25<br />
Với x = 11 thì A = 121<br />
2<br />
0,25<br />
Bài 3 5,0<br />
a 2,5<br />
9x 2 + y 2 + 2z 2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0<br />
⇔ (9x 2 – 18x + 9) + (y 2 – 6y + 9) + 2(z 2 + 2z + 1) = 0 1,0<br />
⇔ 9(x - 1) 2 + (y - 3) 2 + 2 (z + 1) 2 = 0 (*) 0,5<br />
2 2 2<br />
Do : ( x −1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ 0<br />
0,5<br />
Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 0,25<br />
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25<br />
b 2,5<br />
a b c ayz+bxz+cxy<br />
Từ : + + = 0 ⇔ = 0<br />
x y z xyz<br />
0,5<br />
⇔ ayz + bxz + cxy = 0 0,25<br />
Ta có :<br />
x y z x y z 2<br />
+ + = 1 ⇔ ( + + ) = 1<br />
a b c a b c<br />
0,5<br />
2 2 2<br />
x y z xy xz yz<br />
⇔ + + + 2( + + ) = 1<br />
2 2 2<br />
a b c ab ac bc<br />
0,5<br />
2 2 2<br />
x y z cxy + bxz + ayz<br />
⇔ + + + 2 = 1<br />
2 2 2<br />
a b c abc<br />
0,5<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
⇔ + + = 1( dfcm)<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
0,25<br />
Bài 4 6,0<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
=<br />
0,5<br />
0,25<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
54<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
H<br />
B<br />
0,25<br />
C<br />
O<br />
F<br />
A<br />
E<br />
a 2,0<br />
Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF 0,5<br />
Chứng minh : ∆ BEO = ∆DFO( g − c − g)<br />
0,5<br />
=> BE = DF 0,25<br />
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25<br />
b 2,0<br />
Ta có: ABC = ADC ⇒ HBC = KDC <br />
0,5<br />
Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK ( g − g)<br />
1,0<br />
⇒ CH CK<br />
CH. CD CK.<br />
CB<br />
CB<br />
CD<br />
0,5<br />
b, 1,75<br />
Chứng minh : ∆AF D ∼ ∆AKC( g − g)<br />
0,25<br />
⇒ AF AK<br />
AD. AK A F.<br />
AC<br />
AD<br />
AC<br />
0,25<br />
Chứng minh : ∆CFD ∼ ∆AHC( g − g)<br />
0,25<br />
⇒ CF AH<br />
CD<br />
AC<br />
0,25<br />
Mà : CD = AB CF AH<br />
AB. AH CF.<br />
AC<br />
AB<br />
AC<br />
0,5<br />
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC 2<br />
(đfcm).<br />
0,25<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
ĐỀ SỐ 27<br />
Câu1.<br />
a. Phân tích các đa <strong>thức</strong> sau ra thừa số:<br />
4<br />
x + 4<br />
x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 − 24<br />
( )( )( )( )<br />
4 2<br />
b. Giải phương <strong>trình</strong>: x − 30x + 31x − 30 = 0<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
a b c<br />
c. Cho + + = 1. Chứng minh rằng: + + = 0<br />
b + c c + a a + b<br />
b + c c + a a + b<br />
D<br />
K<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
55<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
2<br />
⎛ x 2 1 ⎞ ⎛ 10 − x ⎞<br />
Câu2. Cho biểu <strong>thức</strong>: A = ⎜ + + : x 2<br />
2<br />
⎟ ⎜ − + ⎟<br />
⎝ x − 4 2 − x x + 2 ⎠ ⎝ x + 2 ⎠<br />
a. Rút gọn biểu <strong>thức</strong> A.<br />
b. Tính giá trị của A , Biết |x| = 1 2 .<br />
c. Tìm giá trị của x để A < 0.<br />
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.<br />
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ<br />
ME ⊥ AB, MF ⊥ AD.<br />
a. Chứng minh: DE = CF<br />
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.<br />
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.<br />
Câu 4.<br />
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 + 1 + 1 ≥ 9<br />
a b c<br />
b. Cho a, b d-¬ng vµ a 2000 + b 2000 = a 2001 + b 2001 = a 2002 + b 2002<br />
Tinh: a 2011 + b 2011<br />
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8<br />
Câu Đáp án Điểm<br />
a. x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 - 4x 2<br />
= (x 4 + 4x 2 + 4) - (2x) 2<br />
= (x 2 + 2 + 2x)(x 2 + 2 - 2x)<br />
Câu 1<br />
(6 điểm)<br />
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24<br />
= (x 2 + 7x + 11 - 1)( x 2 + 7x + 11 + 1) - 24<br />
= [(x 2 + 7x + 11) 2 - 1] - 24<br />
= (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2<br />
= (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16)<br />
= (x + 1)(x + 6) )( x 2 + 7x + 16)<br />
4 2<br />
b. x − 30x + 31x − 30 = 0 <br />
2<br />
x − x + 1 x − 5 x + 6 = 0 (*)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
( )( )( )<br />
(2<br />
điểm)<br />
Vì x 2 - x + 1 = (x - 1 2 )2 + 3 4 > 0<br />
∀ x<br />
(*) (x - 5)(x + 6) = 0<br />
⎡x − 5 = 0 ⎡x = 5<br />
⎢ ⇔<br />
x 6 0<br />
⎢<br />
⎣ + = ⎣x = − 6<br />
a b c<br />
c. Nhân cả 2 vế của: + + = 1<br />
b + c c + a a + b<br />
với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm<br />
(2<br />
điểm)<br />
(2<br />
điểm)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
56<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
2<br />
⎛ x 2 1 ⎞ ⎛ 10 − x ⎞<br />
Biểu <strong>thức</strong>: A = ⎜ + + : x 2<br />
2<br />
x 4 2 x x 2<br />
⎟ ⎜ − + ⎟<br />
⎝ − − + ⎠ ⎝ x + 2 ⎠<br />
−1<br />
a. Rút gọn được kq: A =<br />
(1.5<br />
x − 2<br />
điểm)<br />
1 1 −1<br />
b. x = ⇒ x = hoặc x =<br />
2 2 2<br />
Câu 2<br />
(6 điểm)<br />
Câu 3<br />
(6 điểm)<br />
Câu 4:<br />
(2 điểm)<br />
4 4<br />
⇒ A = hoặc A =<br />
(1.5<br />
3 5<br />
điểm)<br />
c. A < 0 ⇔ x > 2<br />
(1.5<br />
−1<br />
x − 2<br />
d. A ∈ Z ⇔ ∈ Z ... ⇒ x∈{ 1;3}<br />
HV + GT + KL<br />
A<br />
F<br />
D<br />
E<br />
M<br />
B<br />
C<br />
điểm)<br />
(1.5<br />
điểm)<br />
(1<br />
điểm)<br />
a. Chứng minh: AE = FM = DF<br />
(2<br />
⇒ ∆ AED = ∆ DFC ⇒ đpcm<br />
điểm)<br />
b. DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC<br />
⇒ đpcm (2<br />
điểm)<br />
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi<br />
⇒ ME + MF = a không đổi<br />
⇒ SAEMF<br />
= ME.MF lớn nhất ⇔ ME = MF (AEMF là hình<br />
vuông)<br />
⇒ M là trung điểm của BD.<br />
(1<br />
điểm)<br />
a. Từ: a + b + c = 1 ⇒<br />
⎧ 1 b c<br />
⎪ = 1 + +<br />
a a a<br />
⎪ 1 a c<br />
⎨ = 1 + +<br />
⎪b b b<br />
(1<br />
⎪ 1 a b<br />
điểm)<br />
⎪ = 1 + +<br />
⎩c c c<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
57<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
1 1 1 ⎛ a b ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛ b c ⎞<br />
⇒ + + = 3 + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟<br />
a b c ⎝ b a ⎠ ⎝ c a ⎠ ⎝ c b ⎠<br />
≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9<br />
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1 3<br />
b. (a 2001 + b 2001 ).(a+ b) - (a 2000 + b 2000 ).ab = a 2002 + b 2002<br />
(a+ b) – ab = 1<br />
(a – 1).(b – 1) = 0<br />
a = 1 hoÆc b = 1<br />
Víi a = 1 => b 2000 = b 2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i)<br />
Víi b = 1 => a 2000 = a 2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i)<br />
VËy a = 1; b = 1 => a 2011 + b 2011 = 2<br />
§Ò <strong>thi</strong> SỐ 28<br />
3 2<br />
a − 4a<br />
− a + 4<br />
C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P=<br />
3 2<br />
a − 7a<br />
+ 14a<br />
− 8<br />
a) Rót gän P<br />
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn<br />
C©u 2 : (2 ®iÓm)<br />
(1<br />
điđm)<br />
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña <strong>hai</strong> sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c<br />
lËp ph−¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.<br />
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :<br />
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .<br />
C©u 3 : (2 ®iÓm)<br />
a) Gii ph−¬ng tr×nh :<br />
x<br />
1<br />
1<br />
1<br />
+<br />
+<br />
2<br />
2<br />
+ 9x<br />
+ 20 x + 11x<br />
+ 30 x + 13x<br />
+ 42<br />
2<br />
=<br />
b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :<br />
C©u 4 : (3 ®iÓm)<br />
a b c<br />
A = + + ≥ 3<br />
b + c − a a + c − b a + b − c<br />
Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 60 0<br />
quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l−ît t¹i D<br />
vµ E . Chøng minh :<br />
2<br />
BC<br />
a) BD.CE= 4<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
b) DM,EM lÇn l−ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.<br />
1<br />
18<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
58<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.<br />
C©u 5 : (1 ®iÓm)<br />
T×m tÊt c c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng vµ sè<br />
®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .<br />
C©u 1 : (2 ®)<br />
®¸p ¸n ®Ò <strong>thi</strong> häc sinh giái<br />
a) (1,5) a 3 - 4a 2 - a + 4 = a( a 2 - 1 ) - 4(a 2 - 1 ) =( a 2 - 1)(a-4)<br />
=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5<br />
a 3 -7a 2 + 14a - 8 =( a 3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a 2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )<br />
=( a -2 )(a 2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5<br />
Nªu §KX§ : a ≠ 1;<br />
a ≠ 2; a ≠ 4<br />
0,25<br />
a + 1<br />
Rót gän P=<br />
a − 2<br />
a − 2 + 3 3<br />
b) (0,5®) P= = 1+<br />
; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ −íc cña 3,<br />
a − 2 a − 2<br />
0,25<br />
mµ ¦(3)={ − 1;1;<br />
−3;3}<br />
0,25<br />
Tõ ®ã t×m ®−îc a ∈ { −1;3;5 }<br />
0,25<br />
C©u 2 : (2®)<br />
a)(1®) Gäi 2 sè phi t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 . 0,25<br />
Ta cã a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 2<br />
2<br />
)=(a+b)[(<br />
a + 2ab<br />
+ b ) − 3ab]<br />
=<br />
=(a+b)[ ( a + b)<br />
3ab]<br />
2 −<br />
0,5<br />
V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b) 2 -3ab chia hÕt cho 3 ;<br />
Do vËy (a+b)[(<br />
a + b)<br />
3ab]<br />
2 − chia hÕt cho 9 0,25<br />
b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x 2 +5x-6)(x 2 +5x+6)=(x 2 +5x) 2 -36 0,5<br />
Ta thÊy (x 2 +5x) 2 ≥ 0 nªn P=(x 2 +5x) 2 -36 ≥ -36 0,25<br />
Do ®ã Min P=-36 khi (x 2 +5x) 2 =0<br />
Tõ ®ã ta t×m ®−îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25<br />
C©u 3 : (2®)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
a) (1®) x 2 +9x+20 =(x+4)(x+5) ;<br />
x 2 +11x+30 =(x+6)(x+5) ;<br />
x 2 +13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
59<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
§KX§ : x ≠ −4;<br />
x ≠ −5;<br />
x ≠ −6;<br />
x ≠ −7<br />
0,25<br />
Ph−¬ng tr×nh trë thµnh :<br />
1<br />
1<br />
1<br />
+<br />
+<br />
=<br />
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7)<br />
1<br />
18<br />
1 1 1 1 1 1<br />
− + − + − =<br />
x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7<br />
1 1<br />
− =<br />
x + 4 x + 7<br />
1<br />
18<br />
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)<br />
(x+13)(x-2)=0<br />
1<br />
18<br />
0,25<br />
Tõ ®ã t×m ®−îc x=-13; x=2; 0,25<br />
b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0<br />
y + z x + z x + y<br />
Tõ ®ã suy ra a= ; b = ; c =<br />
2 2 2<br />
; 0,5<br />
y + z x + z x + y 1 ⎡ y x x z y z ⎤<br />
Thay vµo ta ®−îc A= + + = ⎢(<br />
+ ) + ( + ) + ( + )<br />
2x<br />
2y<br />
2z<br />
2<br />
⎥<br />
⎣ x y z x z y ⎦<br />
0,25<br />
1<br />
Tõ ®ã suy ra A ≥ (2 + 2 + 2)<br />
hay A ≥ 3<br />
2<br />
0,25<br />
C©u 4 : (3 ®)<br />
a) (1®)<br />
0<br />
Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ<br />
ˆ<br />
1<br />
= 120 − M<br />
1<br />
V× ˆM =60 0 nªn ta cã : 0<br />
2<br />
Mˆ<br />
ˆ<br />
3<br />
= 120 − M<br />
1<br />
Suy ra D ˆ ˆ<br />
1<br />
= M<br />
3<br />
Chøng minh ∆ BMD ∾ ∆ CEM (1) 0,5<br />
Suy ra<br />
BD CM = , tõ ®ã BD.CE=BM.CM<br />
BM CE<br />
2<br />
BC BC<br />
V× BM=CM= , nªn ta cã BD.CE= 2<br />
4<br />
b) (1®) Tõ (1) suy ra<br />
Chøng minh<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
BD =<br />
BM<br />
BD MD = mµ BM=CM nªn ta cã<br />
CM EM<br />
MD<br />
EM<br />
2<br />
1 3<br />
M<br />
0,5<br />
∆BMD<br />
∾ ∆ MED<br />
0,5<br />
Tõ ®ã suy ra D ˆ ˆ<br />
1<br />
= D2<br />
, do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE<br />
x<br />
B<br />
D<br />
1<br />
2<br />
A<br />
E<br />
y<br />
C<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
60<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Chøng minh t−¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5<br />
c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC<br />
Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5<br />
TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5<br />
C©u 5 : (1®)<br />
Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z<br />
(x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng )<br />
Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x 2 + y 2 = z 2 (2) 0,25<br />
Tõ (2) suy ra z 2 = (x+y) 2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :<br />
z 2 = (x+y) 2 - 4(x+y+z)<br />
z 2 +4z =(x+y) 2 - 4(x+y)<br />
z 2 +4z +4=(x+y) 2 - 4(x+y)+4<br />
(z+2) 2 =(x+y-2) 2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25<br />
z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®−îc :<br />
xy=2(x+y+x+y-4)<br />
xy-4x-4y=-8<br />
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25<br />
Tõ ®ã ta t×m ®−îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :<br />
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;<br />
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25<br />
ÑEÀ THI SOÁ 29<br />
Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû<br />
( )( )( )( )<br />
A = a + 1 a + 3 a + 5 a + 7 + 15<br />
Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:<br />
( x a)( x )<br />
− − 10 + 1<br />
phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân<br />
4 3<br />
Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x − 3x + ax + b chia heát<br />
cho ña<br />
2<br />
thöùc B( x) = x − 3x<br />
+ 4<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
61<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø<br />
phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy.<br />
Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng<br />
Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng<br />
1 1 1 1<br />
P = + + + ... + < 1<br />
2 2 4 2<br />
2 3 4 100<br />
Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm<br />
Caâu Ñaùp aùn Bieåu<br />
ñieåm<br />
1<br />
2 ñ<br />
2<br />
2 ñ<br />
3<br />
1 ñ<br />
( )( )( )( )<br />
A = a + 1 a + 3 a + 5 a + 7 + 15<br />
2<br />
( a a<br />
2<br />
)( a a )<br />
( a 2 2<br />
a) ( a 2 a)<br />
2<br />
2<br />
( a 8a<br />
11)<br />
1<br />
2<br />
( a 8a 2<br />
12)( a 8a<br />
10)<br />
( a 2)( a<br />
2<br />
6)( a 8a<br />
10)<br />
= + 8 + 7 + 8 + 15 + 15<br />
= + 8 + 22 + 8 + 120<br />
= + + −<br />
= + + + +<br />
= + + + +<br />
Giaû söû: ( )( ) ( )( )<br />
2 2<br />
( 10) 10 1 ( )<br />
x − a x − 10 + 1 = x − m x − n ;( m, n∈<br />
Z)<br />
⇔ x − a + x + a + = x − m + n x + mn<br />
⇔<br />
{<br />
m+ n= a+<br />
10<br />
m. n= 10a+<br />
1<br />
Khöû a ta coù :<br />
mn = 10( m + n – 10) + 1<br />
⇔ mn −10m − 10n<br />
+ 100 = 1<br />
⇔ m( n −10) − 10n<br />
+ 10) = 1<br />
m<br />
vì m,n nguyeân ta coù:<br />
n<br />
v{<br />
suy ra a = 12 hoaëc a =8<br />
{<br />
− 10= 1 m− 10=−1<br />
− 10= 1 n− 10=−<br />
1<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Ta coù:<br />
A(x) =B(x).(x 2 -1) + ( a – 3)x + b + 4<br />
a− = a=<br />
Ñeå A( x) ⋮ B( x)<br />
thì<br />
b+ 4= 0<br />
⇔ { b=−4<br />
{ 3 0 3<br />
0,5 ñ<br />
0,5 ñ<br />
0,5 ñ<br />
0,5 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,5 ñ<br />
0,5 ñ<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
62<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
4<br />
3 ñ<br />
0,25 ñ<br />
5<br />
2 ñ<br />
Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng<br />
Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc AHC maø<br />
AHB vaø AHC laø <strong>hai</strong> goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc<br />
Hay DHE = 90 0 maët khaùc ADH = AEH = 90 0<br />
Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1)<br />
<br />
0<br />
AHB 90 0<br />
AHD = = = 45<br />
2 2<br />
Do <br />
0<br />
AHC 90 0<br />
AHE = = = 45<br />
2 2<br />
⇒ AHD<br />
= AHE<br />
Hay HA laø phaân giaùc DHE (2)<br />
Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng<br />
1 1 1 1<br />
P = + + + ... +<br />
2 2 4 2<br />
2 3 4 100<br />
1 1 1 1<br />
= + + + ... +<br />
2.2 3.3 4.4 100.100<br />
1 1 1 1<br />
< + + + ... +<br />
1.2 2.3 3.4 99.100<br />
1 1 1 1 1<br />
= 1 − + − + ... + −<br />
2 2 3 99 100<br />
1 99<br />
= 1− = < 1<br />
100 100<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,5 ñ<br />
0,5 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,25 ñ<br />
0,5 ñ<br />
0,5 ñ<br />
0,5 ñ<br />
0,5 ñ<br />
Bài 1: (4 điểm)<br />
ĐỀ THI SỐ 30<br />
Phân tích các đa <strong>thức</strong> sau thành nhân tử:<br />
a) (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 .<br />
b) x 4 + 2010x 2 + 2009x + 2010.<br />
Bài 2: (2 điểm)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
63<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Giải phương <strong>trình</strong>:<br />
x − 241 x − 220 x −195 x −166 + + + = 10 .<br />
17 19 21 23<br />
Bài 3: (3 điểm)<br />
Tìm x biết:<br />
( − ) + ( − )( − ) + ( − )<br />
( 2009 − x) − ( 2009 − x)( x − 2010) + ( x − 2010)<br />
2 2<br />
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19<br />
= .<br />
2 2<br />
49<br />
Bài 4: (3 điểm)<br />
2010x + 2680<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu <strong>thức</strong> A =<br />
.<br />
2<br />
x + 1<br />
Bài 5: (4 điểm)<br />
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần<br />
lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.<br />
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.<br />
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.<br />
Bài 6: (4 điểm)<br />
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA,<br />
AB sao cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF .<br />
a) Chứng minh rằng: BDF = BAC .<br />
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.<br />
Bài 1:<br />
Bài 2:<br />
Một lời giải:<br />
⎡ x + y + z − x ⎤ − ⎡<br />
⎣y + z ⎤<br />
⎣<br />
⎦ ⎦<br />
a) (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 = ( ) 3 3 3 3<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2 2 2 2<br />
= ( y + z) ⎡( x + y + z) + ( x + y + z) x + x ⎤ − ( y + z)( y − yz + z )<br />
⎣<br />
+ + + + = 3( y + z) ⎡x( x + y) + z( x + y)<br />
2<br />
= ( y z)( 3x 3xy 3yz 3zx)<br />
= 3( x + y)( y + z)( z + x)<br />
.<br />
b) x 4 + 2010x 2 + 2009x + 2010 = ( x 4 − x) + ( 2010x 2 + 2010x + 2010)<br />
2 2<br />
2 2<br />
= x( x − 1)( x + x + 1) + 2010( x + x + 1)<br />
= ( x x 1)( x x 2010)<br />
x − 241 x − 220 x −195 x −166 + + + = 10<br />
17 19 21 23<br />
⎦<br />
⎣<br />
⎤⎦<br />
+ + − + .<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
64<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
x − 241 x − 220 x −195 x −166<br />
⇔ − 1+ − 2 + − 3 + − 4 = 0<br />
17 19 21 23<br />
x − 258 x − 258 x − 258 x − 258<br />
⇔ + + + = 0<br />
17 19 21 23<br />
⎛ 1 1 1 1 ⎞<br />
⇔ ( x − 258)<br />
⎜ + + + ⎟ = 0<br />
⎝17 19 21 23 ⎠<br />
⇔ x = 258<br />
Bài 3:<br />
( − ) + ( − )( − ) + ( − )<br />
( 2009 − x) − ( 2009 − x)( x − 2010) + ( x − 2010)<br />
2 2<br />
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19<br />
= .<br />
2 2<br />
49<br />
ĐKXĐ: x ≠ 2009; x ≠ 2010 .<br />
Đặt a = x – 2010 (a ≠ 0), ta có <strong>hệ</strong> <strong>thức</strong>:<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
2 2<br />
a + 1 − a + 1 a + a 19<br />
=<br />
2 2<br />
a + 1 + a + 1 a + a 49<br />
2<br />
a + a + 1 19<br />
2<br />
3a 3a 1 49<br />
⇔ =<br />
+ +<br />
2 2<br />
2<br />
⇔ 49a + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 ⇔ 8a + 8a − 30 = 0<br />
⎡ 3<br />
2<br />
⎢<br />
a =<br />
2<br />
⇔ ( 2a + 1) − 4 = 0 ⇔ ( 2a − 3)( 2a + 5)<br />
= 0 ⇔<br />
2<br />
⎢ (thoả ĐK)<br />
⎢ 5<br />
a = −<br />
⎢⎣ 2<br />
Suy ra x = 4023 hoặc x = 4015 (thoả ĐK)<br />
2<br />
2<br />
Vậy x = 4023 <strong>và</strong> x = 4015 là giá trị cần tìm.<br />
2 2<br />
Bài 4:<br />
2010x + 2680<br />
A =<br />
2<br />
x + 1<br />
2 2 2<br />
−335x − 335 + 335x + 2010x + 3015 335(x + 3)<br />
=<br />
= − 335 + ≥ −335<br />
2 2<br />
x + 1 x + 1<br />
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Bài 5:<br />
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì ɵ o<br />
E = A = F = 90 )<br />
Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân<br />
giác của BAC. D<br />
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF F<br />
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD<br />
3AD + 4EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất<br />
⇔ D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.<br />
Bài 6:<br />
A<br />
E<br />
a) Đặt AFE = BFD = ω , BDF = CDE = α , CED = AEF = β.<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
65<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
C<br />
B
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Ta có 0<br />
BAC + β + ω = 180 (*)<br />
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau<br />
tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.<br />
⇒ o<br />
A<br />
OFD + OED + ODF = 90 (1)<br />
Ta có β E<br />
o F ω<br />
OFD + ω + OED + β + ODF + α = 270 (2)<br />
β<br />
o<br />
ω<br />
(1) & (2) ⇒ α + β + ω = 180 (**)<br />
O<br />
(*) & (**) ⇒ BAC = α = BDF .<br />
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:<br />
B = β, C = ω<br />
⇒ ∆ AEF ∆ DBF ∆ DEC ∆ ABC<br />
s<br />
s<br />
⎧BD BA 5 ⎧ 5BF ⎧ 5BF ⎧ 5BF<br />
⎪<br />
= = BD BD BD<br />
BF BC 8 ⎪<br />
=<br />
8 ⎪<br />
=<br />
8 ⎪<br />
=<br />
8<br />
⎪CD CA 7 ⎪ 7CE ⎪ 7CE ⎪ 7CE<br />
⇒ ⎨ = = ⇒ ⎨CD = ⇒ ⎨CD = ⇒ ⎨CD<br />
=<br />
⎪ CE CB 8 ⎪ 8 ⎪ 8 ⎪ 8<br />
⎪AE AB 5 ⎪7AE = 5AF ⎪7(7 − CE) = 5(5 − BF) ⎪7CE − 5BF = 24<br />
⎪ = =<br />
AF AC 7<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩ ⎩ ⎩ ⎩<br />
⇒ CD − BD = 3 (3)<br />
Ta lại có CD + BD = 8 (4)<br />
(3) & (4) ⇒ BD = 2,5<br />
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:<br />
a) x 2 – 4x + 4 = 25<br />
x −17<br />
x − 21 x + 1<br />
b) + + = 4<br />
1990 1986 1004<br />
c) 4 x – 12.2 x + 32 = 0<br />
s<br />
ĐỀ SỐ 31<br />
1 1 1<br />
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau <strong>và</strong> + + = 0 .<br />
x y z<br />
Tính giá trị của biểu <strong>thức</strong>: A yz xz xy<br />
= + +<br />
2<br />
2<br />
x + 2yz y + 2xz z<br />
2 + 2xy<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
B<br />
α<br />
D<br />
α<br />
C<br />
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm<br />
1 đơn vị <strong>và</strong>o chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị <strong>và</strong>o chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị<br />
<strong>và</strong>o chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị <strong>và</strong>o chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số<br />
chính phương.<br />
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực<br />
tâm.<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
66<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
HA' HB' HC'<br />
a) Tính tổng + +<br />
AA' BB' CC'<br />
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC <strong>và</strong><br />
góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.<br />
2<br />
(AB + BC + CA)<br />
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu <strong>thức</strong> 2 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất?<br />
AA' + BB' + CC'<br />
ĐÁP ÁN<br />
• Bài 1(3 điểm):<br />
a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )<br />
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )<br />
c) 4 x – 12.2 x +32 = 0 ⇔ 2 x .2 x – 4.2 x – 8.2 x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )<br />
⇔ 2 x (2 x – 4) – 8(2 x – 4) = 0 ⇔ (2 x – 8)(2 x – 4) = 0 ( 0,25điểm )<br />
⇔ (2 x – 2 3 )(2 x –2 2 ) = 0 ⇔ 2 x –2 3 = 0 hoặc 2 x –2 2 = 0 ( 0,25điểm )<br />
⇔ 2 x = 2 3 hoặc 2 x = 2 2 ⇔ x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )<br />
• Bài 2(1,5 điểm):<br />
1 1 1 xy + yz + xz<br />
+ + = 0 ⇒ = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm )<br />
x y z xyz<br />
x 2 +2yz = x 2 +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )<br />
Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )<br />
yz<br />
xz<br />
xy<br />
Do đó: A = +<br />
+<br />
(x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y)<br />
( 0,25điểm )<br />
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )<br />
• Bài 3(1,5 điểm):<br />
Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ a ,b,c,d ≤ 9,<br />
a ≠ 0 (0,25điểm)<br />
Ta có:<br />
⇔<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
abcd = k<br />
2<br />
( a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) =<br />
2<br />
abcd = k<br />
abcd + 1353=<br />
2<br />
m<br />
2<br />
m<br />
(0,25điểm)<br />
Do đó: m 2 –k 2 = 1353<br />
⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )<br />
(0,25điểm)<br />
m+k = 123 m+k = 41<br />
⇒ m–k = 11 ho…c m–k = 33<br />
m = 67 m = 37<br />
⇔<br />
ho…c<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
67<br />
v…i k, m∈N, 31 < k < m < 100<br />
(0,25…i…m)<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
k = 56 k = 4 (0,25điểm)<br />
Kết luận đúng abcd = 3136<br />
(0,25điểm)<br />
Bài 4 (4 điểm):<br />
Vẽ hình đúng<br />
(0,25điểm)<br />
A<br />
1<br />
.HA'.BC<br />
SHBC<br />
2 HA'<br />
C’<br />
a) = =<br />
S 1<br />
;<br />
B’<br />
x<br />
ABC<br />
AA'<br />
H<br />
.AA'.BC<br />
N<br />
M<br />
2<br />
I<br />
A’<br />
(0,25điểm)<br />
C<br />
B<br />
SHAB HC'<br />
Tương tự: =<br />
SHAC HB'<br />
D<br />
; =<br />
SABC<br />
CC' SABC<br />
BB'<br />
(0,25điểm)<br />
HA' HB' HC' SHBC<br />
SHAB<br />
SHAC<br />
+ + = + + = 1<br />
AA' BB' CC' SABC<br />
SABC<br />
SABC<br />
(0,25điểm)<br />
b) Áp dụng tính chất phân giác <strong>và</strong>o các tam giác ABC, ABI, AIC:<br />
BI AB AN AI CM IC<br />
= ; = ; =<br />
IC AC NB BI MA AI<br />
(0,5điểm )<br />
BI AN CM AB AI IC AB IC<br />
. . = . . = . = 1<br />
IC NB MA AC BI AI AC BI<br />
⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM<br />
c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx<br />
(0,25điểm)<br />
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’<br />
(0,25điểm)<br />
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD<br />
(0,25điểm)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
- ∆ BAD vuông tại A nên: AB 2 +AD 2 = BD 2<br />
⇒ AB 2 + AD 2 ≤ (BC+CD) 2<br />
AB 2 + 4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2<br />
4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2 – AB 2 (0,25điểm)<br />
Tương tự: 4AA’ 2 ≤ (AB+AC) 2 – BC 2<br />
4BB’ 2 ≤ (AB+BC) 2 – AC 2<br />
-Chứng minh được : 4(AA’ 2 + BB’ 2 + CC’ 2 ) ≤ (AB+BC+AC) 2<br />
2<br />
(AB + BC + CA)<br />
⇔<br />
≥ 4<br />
2 2 2 (0,25điểm)<br />
AA' + BB' + CC'<br />
Đẳng <strong>thức</strong> xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC<br />
⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC <strong>đề</strong>u<br />
Kết luận đúng (0,25điểm)<br />
(0,5…i…m )<br />
(0,5…i…m )<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
68<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó<br />
ĐỀ SỐ 32<br />
Bài 1 (4 điểm)<br />
3<br />
2<br />
⎛1−<br />
x ⎞ 1−<br />
x<br />
Cho biểu <strong>thức</strong> A = ⎜ − x :<br />
2 3<br />
1 x<br />
⎟<br />
với x khác -1 <strong>và</strong> 1.<br />
⎝ − ⎠ 1−<br />
x − x + x<br />
a, Rút gọn biểu <strong>thức</strong> A.<br />
2<br />
b, Tính giá trị của biểu <strong>thức</strong> A tại x = −1 .<br />
3<br />
c, Tìm giá trị của x để A < 0.<br />
Bài 2 (3 điểm)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
Cho ( a − b) + ( b− c) + ( c− a) = 4. ( a + b + c −ab −ac − bc)<br />
.<br />
Chứng minh rằng a = b = c .<br />
Bài 3 (3 điểm)<br />
Giải bài toán bằng cách lập phương <strong>trình</strong>.<br />
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị <strong>và</strong> tăng mẫu<br />
lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.<br />
Bài 4 (2 điểm)<br />
4 3 2<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu <strong>thức</strong> A = a − 2a<br />
+ 3a<br />
− 4a<br />
+ 5.<br />
Bài 5 (3 điểm)<br />
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 60 0 , phân giác BD. Gọi<br />
M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.<br />
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.<br />
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.<br />
Bài 6 (5 điểm)<br />
Hình thang ABCD (AB // CD) có <strong>hai</strong> đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng<br />
qua O <strong>và</strong> song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M <strong>và</strong> N.<br />
a, Chứng minh rằng OM = ON.<br />
1 1 2<br />
b, Chứng minh rằng + = .<br />
AB CD MN<br />
c, Biết S AOB = 2008 2 (đơn vị diện tích); S COD = 2009 2 (đơn vị diện tích). Tính S ABCD .<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Đáp án<br />
Bài 1( 4 điểm )<br />
a, ( 2 điểm )<br />
Với x khác -1 <strong>và</strong> 1 thì :<br />
0,5đ<br />
3<br />
2<br />
1−<br />
x − x + x (1 − x)(1<br />
+ x)<br />
A=<br />
:<br />
2<br />
1−<br />
x (1 + x)(1<br />
− x + x ) − x(1<br />
+ x)<br />
2<br />
(1 − x)(1<br />
+ x + x − x)<br />
(1 − x)(1<br />
+ x)<br />
0,5đ<br />
=<br />
:<br />
2<br />
1−<br />
x (1 + x)(1<br />
− 2x<br />
+ x )<br />
2 1<br />
=<br />
0,5đ<br />
(1 + x ) :<br />
(1 − x)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
69<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
2<br />
= (1 + x )(1 − x)<br />
0,5đ<br />
b, (1 điểm)<br />
2 5 ⎡ 5 2 ⎤ ⎡ 5 ⎤<br />
0,25đ<br />
Tại x = − 1 = − thì A = −<br />
3 3 ⎢1<br />
+ ( − ) ⎥ ⎢1<br />
− ( − ) ⎥<br />
⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦<br />
25 5<br />
=<br />
0,25đ<br />
( 1+<br />
)(1 + )<br />
9 3<br />
34 8 272 2<br />
0,5đ<br />
= . = = 10<br />
9 3 27 27<br />
c, (1điểm)<br />
2<br />
Với x khác -1 <strong>và</strong> 1 thì A 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi <strong>và</strong> chỉ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1<br />
0,5đ<br />
KL<br />
0,25đ<br />
Bài 2 (3 điểm)<br />
Biến đổi đẳng <strong>thức</strong> để được<br />
0,5đ<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
a + b − 2ab<br />
+ b + c − 2bc<br />
+ c + a + 2ac<br />
= 4a<br />
+ 4b<br />
+ 4c<br />
− 4ab<br />
− 4ac<br />
− 4bc<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
Biến đổi để có ( a + b − 2ac)<br />
+ ( b + c − 2bc)<br />
+ ( a + c − 2ac)<br />
= 0<br />
0,5đ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Biến đổi để có ( a − b)<br />
+ ( b − c)<br />
+ ( a − c)<br />
= 0 (*) 0,5đ<br />
Vì ( a − b)<br />
2 ≥ 0 ; ( b − c)<br />
2 ≥ 0 ; ( a − c)<br />
2 ≥ 0; với mọi a, b, c<br />
nên (*) xảy ra khi <strong>và</strong> chỉ khi ( a − b)<br />
2 = 0 ; ( b − c)<br />
2 = 0 <strong>và</strong> ( a − c)<br />
2 = 0 ;<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ<br />
Bài 3 (3 điểm)<br />
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11.<br />
0,5đ<br />
x<br />
Phân số cần tìm là (x là số nguyên khác -11)<br />
x +11<br />
x − 7<br />
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị <strong>và</strong> tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số<br />
0,5đ<br />
x + 15<br />
(x khác -15)<br />
x x + 15<br />
Theo bài ra ta có phương <strong>trình</strong> =<br />
0,5đ<br />
x +11 x − 7<br />
Giải phương <strong>trình</strong> <strong>và</strong> tìm được x= -5 (thoả mãn)<br />
1đ<br />
5<br />
Từ đó tìm được phân số<br />
0,5đ<br />
−<br />
6<br />
Bài 4 (2 điểm)<br />
0,5đ<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
Biến đổi để có A= a ( a + 2) − 2a(<br />
a + 2) + ( a + 2) + 3<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
= ( a + 2)( a − 2a<br />
+ 1) + 3 = ( a + 2)( a −1)<br />
+ 3<br />
0,5đ<br />
2<br />
2<br />
Vì a + 2 > 0 ∀ a <strong>và</strong> ( a −1)<br />
≥ 0∀a<br />
nên ( a<br />
2<br />
+ 2)( a −1)<br />
≥ 0∀a<br />
0,5đ<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
2<br />
( a + 2)( a −1)<br />
+ 3 ≥ 3∀a<br />
Dấu = xảy ra khi <strong>và</strong> chỉ khi a −1 = 0 ⇔ a = 1<br />
0,25đ<br />
KL 0,25đ<br />
Bài 5 (3 điểm)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
70<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
B<br />
M<br />
N<br />
a,(1 điểm)<br />
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ<br />
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ<br />
b,(2điểm)<br />
4 3<br />
8 3<br />
0,5đ<br />
Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm<br />
3<br />
3<br />
1 4 3<br />
AM = BD = cm<br />
2 3<br />
4 3<br />
0,5đ<br />
Tính được NI = AM = cm<br />
3<br />
8 3<br />
1 4 3<br />
0,5đ<br />
DC = BC = cm , MN = DC = cm<br />
3<br />
2 3<br />
8 3<br />
0,5đ<br />
Tính được AI = cm<br />
3<br />
Bài 6 (5 điểm)<br />
A<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
D<br />
a, (1,5 điểm)<br />
OM OD ON OC<br />
Lập luận để có = , =<br />
0,5đ<br />
AB BD AB AC<br />
OD OC<br />
Lập luận để có =<br />
0,5đ<br />
DB AC<br />
OM ON<br />
⇒ = ⇒ OM = ON<br />
0,5đ<br />
AB AB<br />
b, (1,5 điểm)<br />
OM DM<br />
Xét ∆ABD<br />
để có = (1), xét ∆ ADC để có OM AM = (2)<br />
0,5đ<br />
AB AD<br />
DC AD<br />
1<br />
Từ (1) <strong>và</strong> (2) ⇒ OM.(<br />
1 + ) AM + DM AD<br />
=<br />
= = 1<br />
AB CD AD AD<br />
M<br />
A<br />
D<br />
O<br />
I<br />
B<br />
N<br />
C<br />
C<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
71<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
1 1<br />
Chứng minh tương tự ON.<br />
0,5đ<br />
( + ) = 1<br />
AB CD<br />
1 1 1 1 2<br />
từ đó có (OM + ON).<br />
0,5đ<br />
( + ) = 2 ⇒ + =<br />
AB CD AB CD MN<br />
b, (2 điểm)<br />
S<br />
AOB OB S<br />
BOC OB S<br />
AOB<br />
S<br />
BOC<br />
0,5đ<br />
= , = ⇒ = ⇒ S<br />
AOB. S<br />
DOC<br />
= S<br />
BOC.<br />
S<br />
AOD<br />
S<br />
AOD<br />
OD S<br />
DOC<br />
OD S<br />
AOD<br />
S<br />
DOC<br />
Chứng minh được S<br />
AOD<br />
= S<br />
BOC<br />
0,5đ<br />
2<br />
⇒ S<br />
AOB. S<br />
DOC<br />
= ( S<br />
AOD<br />
)<br />
0,5đ<br />
Thay số để có 2008 2 .2009 2 = (S AOD ) 2 ⇒ S AOD = 2008.2009<br />
Do đó S ABCD = 2008 2 + 2.2008.2009 + 2009 2 = (2008 + 2009) 2 = 4017 2 (đơn vị 0,5đ<br />
DT)<br />
ĐỀ SỐ 33<br />
§Ò <strong>thi</strong> häc sinh giái líp 8<br />
C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó:<br />
a, A=n 3 -n 2 +n-1 lµ sè nguyªn tè.<br />
4 3 2<br />
n + 3n<br />
+ 2n<br />
+ 6n<br />
− 2<br />
b, B =<br />
2<br />
n + 2<br />
Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.<br />
c, D= n 5 -n+2 lµ sè chÝnh ph−¬ng. (n≥ 2)<br />
C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :<br />
a,<br />
a b c<br />
+ + = 1 biÕt abc=1<br />
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1<br />
b, Víi a+b+c=0 th× a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+bc+ca) 2<br />
2 2 2<br />
a b c c b a<br />
c,<br />
b<br />
+ + ≥ + +<br />
2 2<br />
c a<br />
2 b a c<br />
C©u 3: (5®iÓm) Gii c¸c ph−¬ng tr×nh sau:<br />
x − 214 x −132<br />
x − 54<br />
a, + + = 6<br />
86 84 82<br />
b, 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9<br />
c, x 2 -y 2 +2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d−¬ng.<br />
C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm <strong>hai</strong> ®−êng chÐo.Qua<br />
0 kÎ ®−êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F.<br />
a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.<br />
1 1 2<br />
b. Chøng minh: + =<br />
AB CD EF<br />
c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®−êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i<br />
diÖn tÝch tam gi¸c DEF.<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
C©u Néi dung bµi gii §iÓm<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
72<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
a, (1®iÓm) A=n 3 -n 2 +n-1=(n 2 +1)(n-1)<br />
§Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 ⇔ n=2 khi ®ã A=5<br />
C©u 1<br />
(5®iÓm)<br />
C©u 2<br />
(5®iÓm)<br />
2<br />
b, (2®iÓm) B=n 2 +3nn<br />
2<br />
+ 2<br />
B cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ 2⋮ n 2 +2<br />
n 2 +2 lµ −íc tù nhiªn cña 2<br />
n 2 +2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho m·n<br />
HoÆc n 2 +2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />
c, (2®iÓm) D=n 5 -n+2=n(n 4 -1)+2=n(n+1)(n-1)(n 2 +1)+2<br />
2<br />
=n(n-1)(n+1) [( n − 4)<br />
+ 5]<br />
+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-<br />
1)(n+1)+2<br />
Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2⋮5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp)<br />
Vµ 5 n(n-1)(n+1⋮5 VËy D chia 5 d− 2<br />
Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng phi sè chÝnh<br />
ph−¬ng<br />
VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph−¬ng<br />
a, (1®iÓm)<br />
a b c ac<br />
abc<br />
c<br />
+ + =<br />
+<br />
+<br />
2<br />
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1<br />
ac abc c abc + ac + 1<br />
= + + =<br />
= 1<br />
1+ ac + c c + 1+<br />
ac ac + c + 1 abc + ac + 1<br />
b, (2®iÓm) a+b+c=0⇒ a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a 2 +b 2 +c 2 = -<br />
2(ab+ac+bc)<br />
⇒a 4 +b 4 +c 4 +2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )=4( a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+8abc(a+b+c) V×<br />
a+b+c=0<br />
⇒ a 4 +b 4 +c 4 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (1)<br />
MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+4abc(a+b+c) . V×<br />
a+b+c=0<br />
⇒2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (2)<br />
Tõ (1)vµ(2) ⇒ a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+ac+bc) 2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x 2 +y 2 ≥2xy DÊu b»ng khi x=y<br />
2 2<br />
2 2<br />
a b a b a a c a c c<br />
+ ≥ 2. . = 2. ; + ≥ 2. . = 2. ;<br />
2 2<br />
2 2<br />
b c b c c b a b a b<br />
2 2<br />
c b c b b<br />
+ ≥ 2. . = 2.<br />
2 2<br />
a c a c a<br />
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
a b c a c b a b c a c b<br />
2(<br />
+ + ) ≥ 2( + + ) ⇒ + + ≥ + +<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
b c a c b a b c a c b a<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0.5<br />
0.5<br />
0.5<br />
0.5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
73<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
x − 214 x −132<br />
x − 54<br />
a, (2®iÓm) + + = 6<br />
86 84 82<br />
x − 214 x −132<br />
x − 54<br />
⇔ ( −1)<br />
+ ( − 2) + ( − 3) = 0<br />
86 84 82<br />
x − 300 x − 300 x − 300<br />
⇔ + + = 0<br />
86 84 82<br />
⎛ 1 1 1 ⎞<br />
⇔ (x-300) ⎜ + + ⎟ = 0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S ={ 300 }<br />
⎝ 86 84 82 ⎠<br />
b, (2®iÓm) 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9<br />
⇔ (64x 2 -16x+1)(8x 2 -2x)=9 ⇔ (64x 2 -16x+1)(64x 2 -16x) = 72<br />
C©u 3 §Æt: 64x 2 -16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k 2 =72,25<br />
(5®iÓm) ⇔ k=… 8,5<br />
Víi k=8,5 tacã ph−¬ng tr×nh: 64x 2 -16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; ⇒<br />
x=<br />
1 1<br />
; x =<br />
−<br />
2 4<br />
Víi k=- 8,5 Ta cã ph−¬ng tr×nh: 64x 2 -16x+9=0 ⇔ (8x-1) 2 +8=0 v«<br />
nghiÖm.<br />
⎧1<br />
−1⎫<br />
VËy S = ⎨ , ⎬<br />
⎩2<br />
4 ⎭<br />
c, (1®iÓm) x 2 -y 2 +2x-4y-10 = 0 ⇔ (x 2 +2x+1)-(y 2 +4y+4)-7=0<br />
⇔ (x+1) 2 -(y+2) 2 =7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d−¬ng<br />
Nªn x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1<br />
Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)<br />
C©u 4<br />
(5®iÓm)<br />
a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒S DAB=S CBA<br />
(cïng ®¸y vµ cïng ®−êng cao) A<br />
⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB<br />
Hay SAOD = SBOC<br />
E<br />
D<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
EO AO<br />
b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒ = MÆt kh¸c AB//DC<br />
DC AC<br />
AB AO AB AO AB AO EO AB<br />
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =<br />
DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC<br />
EF AB AB + DC 2 1 1 2<br />
⇒ = ⇒ = ⇒ + =<br />
2DC<br />
AB + DC AB.<br />
DC EF DC AB EF<br />
c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N∈DF) +KÎ<br />
®−êng th¼ng KN lµ ®−êng th¼ng phi dùng<br />
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th×<br />
SIKE=SIMN<br />
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒SDEKN=SKFN.<br />
K<br />
I<br />
N<br />
M<br />
O<br />
B<br />
F<br />
C<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
1,0<br />
0,5<br />
1,0<br />
1,0<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
ĐỀ SỐ 34<br />
74<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
x 3 − 3x x + 4<br />
C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A = − +<br />
2 3<br />
x + 1 x − x + 1 x + 1<br />
a) Rót gän biÓu thøc A<br />
b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A lu«n d−¬ng víi mäi x ≠ - 1<br />
C©u 2(4.0 ®iÓm): Gii ph−¬ng tr×nh:<br />
2<br />
a) x − 3x + 2 + x − 1 = 0<br />
2 2 2<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟<br />
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠⎝ x ⎠<br />
2 2<br />
b) 8 x + + 4 x + − 4 x + x + = ( x + 4)<br />
C©u 3(3.0 ®iÓm) : Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1.<br />
Chøng minh r»ng:<br />
x y 2( xy − 2)<br />
+ − = 0<br />
3 3 2 2<br />
y −1 x − 1 x y + 3<br />
C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x ∈ Q th× gi¸ trÞ cña ®a thøc :<br />
M = ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8)<br />
+ 16 lµ b×nh ph−¬ng cña mét sè h÷u tØ.<br />
C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®−êng cao AH<br />
(H∈BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §−êng vu«ng gãc víi BC t¹i<br />
D c¾t AC t¹i E.<br />
4. Chøng minh r»ng <strong>hai</strong> tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n<br />
BE theo m = AB.<br />
5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng <strong>hai</strong> tam gi¸c BHM<br />
vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM<br />
GB HD<br />
6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: = .<br />
BC AH + HC<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
----------------------------------------------HÕt-------------------------------------------------<br />
2<br />
H−íng dÉn chÊm to¸n 8<br />
C©u Néi dung §iÓm<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
75<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
1<br />
a<br />
b<br />
2<br />
a<br />
b<br />
3<br />
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
2<br />
+ − + + = ( ) ( )( )<br />
2<br />
( x + 1)( x − x + 1)<br />
x 3− 3x x + 4<br />
- Rót gän: A = − +<br />
2 3<br />
x 1 x x 1 x 1<br />
Víi mäi x ≠ - 1 th× A =<br />
V×<br />
2<br />
( x + 1)( x + x + 1)<br />
= ( )(<br />
2<br />
)<br />
2<br />
x + 1 x − x + 1 ( x + 1)( x − x + 1)<br />
x x − x + 1 − x + 1 3− 3x + x + 4<br />
3 2 2<br />
x x x x x<br />
2 2<br />
+ 2 + 2 + 1 + + 1<br />
= =<br />
2<br />
x − x + 1<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞ 3<br />
+ x + 1<br />
− x + 1<br />
= ⎜ x + ⎟ +<br />
⎝ 2 ⎠ 4<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞ 3<br />
⎜ x − ⎟ +<br />
⎝ 2 ⎠ 4<br />
⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ 3<br />
⎜ x + ⎟ + > 0; ⎜ x − ⎟ + > 0, ∀x ≠ −1⇒ A > 0, ∀x<br />
≠ −1<br />
⎝ 2 ⎠ 4 ⎝ 2 ⎠ 4<br />
* Víi x≥ 1 (*) ⇒ x - 1 ≥ 0 ⇒ x − 1 = x − 1 ta cã ph−¬ng tr×nh<br />
x 2 2<br />
-3x + 2 + x-1 = 0 ⇔ x − 2x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) 2<br />
= 0 ⇔ x = 1( Tho<br />
m·n ®iÒu kiÖn *)<br />
* Víi x< 1 (**) ⇒ x - 1 ≤ 0 ⇒ x − 1 = 1− x ta cã ph−¬ng tr×nh<br />
x 2 -3x + 2 + 1 - x = 0 x 2 x ( x )( x )<br />
⇔ − 4 + 3 = 0 ⇔ −1 − 3 = 0<br />
+ x - 1 = 0 ⇔ x = 1( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **)<br />
+ x - 3 = 0 ⇔ x = 3 ( Kh«ng tho m·n ®iÒu kiÖn **)<br />
VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ : x = 1<br />
* §iÒu kiÖn x ≠ 0 (1)<br />
2 2<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤<br />
⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎢⎣<br />
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥⎦<br />
2 2<br />
* pt ⇔ 8 x + + 4 x + ⎢ x + − x + ⎥ = ( x + 4)<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤<br />
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎢⎣<br />
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥⎦<br />
2 2 2<br />
⇔ 8 x + + 2 + 4 x + ⎢ x + − x + ⎥ = ( x + 4)<br />
2<br />
⇔ 16 = ( x + 4) ⇔ x( x + 8)<br />
= 0 ⇔ x = 0 hoÆc x = -8<br />
So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (1) , suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = - 8<br />
Ta cã y 3 1 ( y 1)( y 2 y 1) x( y 2 y 1)<br />
− = − + + = − + + v× xy ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0<br />
⇒ y-1≠ 0 vµ x-1 ≠ 0<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
2<br />
1®iÓm<br />
1®iÓm<br />
1®iÓm<br />
1®iÓm<br />
1®iÓm<br />
1®iÓm<br />
0.5®iÓm<br />
1®iÓm<br />
0.5®iÓm<br />
1®iÓm<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
76<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
4<br />
5<br />
a<br />
b<br />
c<br />
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
x −1<br />
⇒ =<br />
3 2<br />
y − 1 y + y + 1<br />
y −1<br />
− 1 = ( −1)( − + 1) = − ( − + 1)<br />
⇒ =<br />
3 2<br />
x − 1 x + x + 1<br />
3 2 2<br />
x x x x y x x<br />
x y −1 −1<br />
⇒ + = +<br />
3 3 2 2<br />
y −1 x − 1 y + y + 1 x + x + 1<br />
2<br />
( x + y) − 2xy + ( x + y)<br />
+ 2<br />
2<br />
⎜<br />
⎝ ( ) ( ) ( )<br />
( xy − )<br />
⎛ 2 2<br />
x + x + 1+ y + y + 1 ⎞ ⎛ ⎞<br />
= − = −⎜ ⎜<br />
2 2 2 2<br />
( x x 1)( y y 1)<br />
⎟ x y x y 2xy xy x y xy x y 1⎟<br />
⎝<br />
+ + + +<br />
⎠ + + − + + + + + + ⎠<br />
4 − 2xy x y 2 2<br />
= − ⇒ + − = 0<br />
2 2 3 3 2 2<br />
x y + 3 y −1 x − 1 x y + 3<br />
Ta cã: M = ( x 2 x )( x 2 x )<br />
+ 10 + 16 + 10 + 24 + 16<br />
§Æt a = x 2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a 2 + 8a + 16 = ( a+ 4) 2<br />
M = ( x 2 + 10x + 20 ) 2 ( ®pcm)<br />
gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi <strong>thi</strong>Õt).<br />
+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:<br />
Gãc C chung.<br />
CD CA<br />
= (Hai tam gi¸c vu«ng CDE<br />
CE CB<br />
vµ CAB ®ång d¹ng)<br />
Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).<br />
Suy ra: 0<br />
BEC = ADC = 135 (v× tam<br />
Nªn 0<br />
AEB = 45 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: BE = AB 2 = m 2<br />
BM 1 BE 1 AD<br />
Ta cã: = ⋅ = ⋅ (do ∆BEC ∼ ∆ADC<br />
)<br />
BC 2 BC 2 AC<br />
mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
BM 1 AD 1 AH 2 BH BH<br />
nªn = ⋅ = ⋅ = = (do ∆ABH ∼ ∆CBA<br />
)<br />
BC 2 AC 2 AC AB 2 BE<br />
Do ®ã ∆BHM ∼ ∆BEC<br />
(c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 135 ⇒ AHM = 45<br />
0 0<br />
Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.<br />
Suy ra: GB = AB , mµ AB = ED ( ∆ABC ∼ ∆ DEC ) = AH ( ED // AH ) =<br />
HD<br />
GC AC AC DC HC HC<br />
GB HD GB HD GB HD<br />
Do ®ã: = ⇒ = ⇒ =<br />
GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC<br />
ĐỀ SỐ 35<br />
1®iÓm<br />
1®iÓm<br />
1®iÓm<br />
1®iÓm<br />
1®iÓm<br />
1.5®iÓm<br />
1®iÓm<br />
1.5®iÓm<br />
1®iÓm<br />
1®iÓm<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
77<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
2<br />
2<br />
⎡ x 6 1 ⎤ ⎛ 10 − x<br />
Bài 1: Cho bi…u th…c: M = ⎢ + + ⎥ :<br />
3<br />
⎣ x − 4x<br />
6 − 3x<br />
x + 2<br />
⎟ ⎞<br />
⎜ x − 2 +<br />
⎦ ⎝ x + 2 ⎠<br />
a. Rút g…n M<br />
b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt.<br />
Bài 2: a. Tìm giá tr… nh… nh…t c…a bi…u th…c sau:<br />
A = x 2 + 2y 2 – 2xy - 4y + 2014<br />
b. Cho các s… x,y,z th…a mãn ……ng th…i:<br />
x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 v… x 3 + y 3 + z 3 = 1.<br />
Tính t…ng: S = x 2009 + y 2010 + z 2011<br />
Bµi 3:<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
a. Gii ph−¬ng tr×nh:<br />
+<br />
+<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18<br />
b. Gii ph−¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn:<br />
x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1).<br />
Bài 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®−êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H.<br />
HD HE HF<br />
a. TÝnh tæng: + +<br />
AD BE CF<br />
b. Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2<br />
c. Chøng minh: H c¸ch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF.<br />
d. Trªn c¸c ®o¹n HB,HC lÊy c¸c ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN.<br />
Chøng minh ®−êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.<br />
H−íng dÉn chÊm m«n to¸n 8<br />
Bµi Néi dung §iÓm<br />
1 a<br />
2<br />
2<br />
⎡ x 6 1 ⎤ ⎡ x<br />
6 1 ⎤<br />
⎢ + + ⎥ =<br />
3<br />
⎣ x − 4x<br />
6 − 3x<br />
x + 2<br />
⎢<br />
− + ⎥<br />
⎦ ⎣ x(<br />
x − 2)( x + 2) 3( x − 2) x + 2 ⎦<br />
0,5<br />
x − 2( x + 2) + ( x − 2)<br />
=<br />
( x + 2)( x − 2)<br />
−6<br />
=<br />
0,5<br />
( x + 2)( x − 2)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
2<br />
⎛ 10 − x ⎞ + − + −<br />
⎜ x − 2 +<br />
⎟ =<br />
⎝ x + 2 ⎠<br />
x + 2<br />
6<br />
=<br />
x + 2<br />
− 6 x + 2 1<br />
⇒ M =<br />
. =<br />
( x − 2)( x + 2) 6 2 − x<br />
2<br />
( x 2)( x 2) (10 x )<br />
0,5<br />
0,5<br />
b + NÕu x 〉 2 th× M 〈 0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN.<br />
0,5<br />
+ VËy x 〈 2, khi ®ã M cã c Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d−¬ng, nªn M<br />
0,5<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
78<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) phi lµ GTNN,<br />
Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d−¬ng ⇒ 2 – x = 1 ⇒ x = 1.<br />
VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1.<br />
2 a A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 - 2bc)( b 2 + c 2 - a 2 + 2bc)<br />
2 2<br />
2 2<br />
= ⎡<br />
⎣( b − c)<br />
− a ⎤<br />
⎦<br />
⎡<br />
⎣( b + c)<br />
− a ⎤<br />
⎦<br />
= (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)<br />
b Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác)<br />
T−¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0<br />
V…y A< 0<br />
3 a A = x 2 - 2xy + y 2 +y 2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2010<br />
Do (x-y) 2 ≥0 ; (y - 2) 2 ≥ 0<br />
Nên:(x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2010 ≥ 2010<br />
D…u ''='' xy ra ⇔ x – y = 0 v… y – 2 = 0 ⇔ x = y = 2.<br />
V…y GTNN c…a A l… 2010 t¹i x = y =2<br />
b Ta có: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)<br />
k…t h…p các …i…u ki…n …ã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0<br />
⇒M…t trong các th…a s… c…a tích (x + y)(y + z)(z + x) ph…i<br />
b…ng 0<br />
Gi… s… (x + y) = 0, k…t h…p v…i …/k : x + y + z = 1 ⇒ z = 1, l¹i<br />
k…t h…p v…i …/k : x 2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ x = y = 0.<br />
Vậy trong 3 s… x,y,z ph…i có 2 s… b…ng 0 v… 1 s… b…ng 1,<br />
S = x 2009 + y 2010 + z 2011 = 1<br />
Nên t…ng S luôn có giá tr… b…ng 1.<br />
4 a Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§: { x ≠ −4; −5; −6; − 7}<br />
)<br />
1 1 1<br />
+ +<br />
= 1<br />
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18<br />
1 1<br />
⇒( −<br />
x + 4 x + 5<br />
) + ( 1 1<br />
−<br />
x + 5 x + 6<br />
) + ( 1 1<br />
−<br />
x + 6 x + 7<br />
) = 1<br />
18<br />
⇒ 1 −<br />
1 = 1 ⇒ (x + 4)(x +7) = 54<br />
x + 4 x + 7 18<br />
⇒ (x + 13)(x – 2) = 0 ⇒ x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa mn §KX§)<br />
− 13;2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: S = { }<br />
b + Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2<br />
+ Ta chøng minh (x + 1) vµ (x 2 + 1) nguyªn tè cïng nhau !<br />
V× nÕu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) th× d phi lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ)<br />
2<br />
⎧ x + x⋮d<br />
⎧x<br />
+ 1⋮<br />
d ⎪<br />
2 ⎧x<br />
+ 1⋮<br />
d<br />
⇒ ⎨ ⇒ x 1 d<br />
2 ⎨ + ⋮ ⇒ ⎨ ⇒2⋮ d mµ d lÎ nªn d = 1.<br />
⎩x<br />
+ 1⋮<br />
d ⎪ x − 1 d<br />
x +<br />
⎩ ⋮<br />
1⋮<br />
d<br />
⎩<br />
+ Nªn muèn (x + 1)(x 2 + 1) lµ sè chÝnh ph−¬ng<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,25<br />
0,25<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
79<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Th× (x+1) vµ (x 2 + 1) ®Òu phi lµ sè chÝnh ph−¬ng<br />
2 2<br />
⎧ ⎪x<br />
+ 1 = k<br />
⎧k<br />
= 1 ⎧k<br />
= −1<br />
§Æt: ⎨ ⇒(k + x)(k – x) = 1⇒<br />
2<br />
⎨ hoÆc ⎨ ⎪ ⎩x<br />
+ 1 = t<br />
⎩x<br />
= 0 ⎩x<br />
= 0<br />
+ Víi x = 0 th× (2y + 1) 2 = 1 ⇒ y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa mn pt)<br />
(0;0),(0; − 1)<br />
5<br />
VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: (x;y) ={ }<br />
A<br />
0,25<br />
0,25<br />
F<br />
E<br />
B<br />
M<br />
O<br />
D<br />
H<br />
I<br />
K<br />
a<br />
Tr−íc hÕt chøng minh: HD<br />
AD = S( HBC)<br />
S( ABC)<br />
HE S( HCA)<br />
HF S( HAB)<br />
T−¬ng tù cã: = ; =<br />
BE S( ABC)<br />
CF S( ABC)<br />
HD HE HF S( HBC) + S( HCA) + S( HAB)<br />
Nªn + + =<br />
AD BE CF<br />
S( ABC)<br />
HD HE HF<br />
⇒ + + = 1<br />
AD BE CF<br />
b Tr−íc hªt chøng minh ∆ BDH ~ ∆ BEC<br />
⇒BH.BE = BD.BC<br />
Vµ ∆ CDH ~ ∆ CFB ⇒ CH.CF = CD.CB.<br />
⇒BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (®pcm)<br />
c Tr−íc hÕt chøng minh: ∆ AEF ~ ∆ ABC ⇒ AEF = ABC<br />
Vµ ∆ CDE ~ ∆ CAB ⇒ CED = CBA <br />
⇒ AEF = CED mµ EB ⊥ AC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña gãc DEF.<br />
T−¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc EDF vµ DFE.<br />
VËy H lµ giao ®iÓm c¸c ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c DEF<br />
nªn H c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF (®pcm)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
N<br />
C<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
d Gäi O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®−êng trung trùc cña <strong>hai</strong> ®o¹n MN vµ<br />
HC, ta cã ∆ OMH = ∆ ONC (c.c.c) ⇒ OHM = OCN .(1)<br />
0,25<br />
MÆt kh¸c ta còng cã ∆ OCH c©n t¹i O nªn: OHC = OCH .(2)<br />
0,25<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
80<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Tõ (1) vµ (2) ta cã: OHC = OHB ⇒ HO lµ ph©n gi¸c cña gãc BHC<br />
VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ ph©n gi¸c cña gãc<br />
BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh.<br />
Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh lµ O.<br />
O,25<br />
0,25<br />
ĐỀ SỐ 36<br />
Bài 1: (3,5đ) a, Với giá trị nào của n thì ( n + 5)( n + 6)<br />
⋮ 6n<br />
với n ∈ Ν .<br />
5<br />
b, CMR với n ∈ Ν thì: n − n⋮ 30 .<br />
n + 13<br />
c, Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản.<br />
n − 2<br />
Bài 2: (3đ) Phân tích các đa <strong>thức</strong> sau thành nhân tử:<br />
4a 2 b 2 − a 2 + b 2 − c<br />
2<br />
a, ( )<br />
b, x 5 + x + 1<br />
c, ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)<br />
+ 1<br />
Bài 3: (3đ) Giải phương <strong>trình</strong>:<br />
a, x 4 – 30x 2 + 31x – 30 = 0<br />
b, 1 + 1 + 1 =<br />
1<br />
2 2 2<br />
x + 4x + 3 x + 8x + 15 x + 12x<br />
+ 35 9<br />
4 4<br />
c, ( x − 2) + ( x − 3)<br />
= 1<br />
Bài 4: (3,5đ) a/ Tìm đa <strong>thức</strong> dư trong phép chia<br />
1 + x + x 19 + x 20 + x 2010 cho 1 – x 2<br />
b/ Giải bài toán bằng cách lập phương <strong>trình</strong>:<br />
Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số<br />
táo <strong>và</strong> bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra 1 số táo còn lại <strong>và</strong> lấy thêm ra 4 quả.<br />
3<br />
Cuối cùng trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả?<br />
Bài 5: (4,5đ)<br />
Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu<br />
của C lên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng:<br />
a, AB.AE + AD.AF = AC 2<br />
b, ∆ FCE ∆ ABC.<br />
Bài 6: (2,5đ) Dựng hình thoi biết  = 30 0 <strong>và</strong> tổng <strong>hai</strong> đường chéo bằng 5cm.<br />
(Chỉ cần phân tích, nêu cách dựng <strong>và</strong> dựng hình).<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
**************-The end-**************<br />
Bài Phần Nội dung Điểm<br />
Ta có: (n + 5)(n + 6) = n 2 + 11n + 30<br />
= n(n – 1) + 30 + 12n ⋮ 6n<br />
1<br />
a<br />
⎧⎪ n( n −1) ⋮3<br />
⎪⎧<br />
n = 3∨ n = 3k<br />
+ 1<br />
1<br />
⇔ n( n + 1)<br />
+ 30⋮6n<br />
⇔ ⎨ ⇔ ⎨<br />
⎪⎩<br />
30⋮3<br />
⎪⎩<br />
n 30<br />
⇔ n = 1; 3; 6; 10; 15; 30<br />
b<br />
5<br />
CMR: với n ∈ Ν thì: n − n⋮ 30<br />
1,5<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
81<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Ta có 30 = 2.3.5<br />
5 4 2<br />
n − n = n n − 1 = n − 1 n n + 1 n + 1<br />
2<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
3 a<br />
( ) ( ) ( )( )<br />
n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích<br />
( n − 1) n( n + 1)<br />
⋮ 6<br />
ta chứng minh n 5 n n( n 2 )( n<br />
2<br />
)<br />
− = − 1 + 1 ⋮ 5<br />
Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k ± 1 hoặc n = 5k ±<br />
2<br />
5<br />
1, Nếu n = 5k thì n − n⋮<br />
5<br />
2 5<br />
2, Nếu n = 5k ± 1 thì n −1⋮5 ⇒ n − n⋮<br />
5<br />
2 5<br />
3, Nếu n = 5k ± 2 thì n + 1⋮5 ⇒ n − n⋮<br />
5<br />
n + 13 15<br />
= 1+<br />
tối giản ⇔ ( 15; n − 2)<br />
= 1<br />
n − 2 n − 2<br />
n ≠ 3k<br />
+ 2<br />
⇔ n – 2 ⋮ 3 <strong>và</strong> n – 2 ⋮<br />
⎧<br />
5 ⇔ ⎨<br />
⎩n<br />
≠ 3k<br />
+ 5<br />
2 2 2 2 2<br />
2<br />
− ( + − )<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
( 2ab) ( a b c )<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( 2ab a b c )( 2ab a b c )<br />
4a b a b c<br />
= − + −<br />
= − − + + + −<br />
( ) ( )<br />
2 2 2<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
2<br />
⎤<br />
= c − a − b a + b − c<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
= ( a + b + c)( a + b − c)( c + a − b)( c − a + b)<br />
x 5 + x + 1 = x 5 + x 4 + x 3 – x 4 – x 3 – x 2 + x 2 x + 1<br />
= x 3 (x 2 + x + 1) – x 2 (x 2 + x + 1) + 1(x 2 + x + 1)<br />
= (x 2 + x + 1)(x 3 – x 2 + 1)<br />
( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)<br />
+ 1<br />
= ( x + 1)( x + 4)( x + 2)( x + 3)<br />
+ 1<br />
2 2<br />
( x 5x 4)( x 5x<br />
6)<br />
1<br />
2 2<br />
( x x ) ( x x )<br />
2 2<br />
( x 5x 5) 1 1 ( x 5x<br />
5)<br />
= + + + + +<br />
= ⎡ 5 5 1⎤ ⎡ 5 5 1⎤<br />
⎣<br />
+ + −<br />
⎦ ⎣<br />
+ + +<br />
⎦<br />
+ 1<br />
2 2<br />
= + + − + = + +<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
x 4 – 30x 2 + 31x – 30 = 0<br />
4 2<br />
⇔ x + x − 30 x − x + 1 = 0<br />
( )<br />
3 2<br />
x( x 1) 30( x x 1)<br />
0<br />
2 2<br />
x( x )( x x ) ( x x )<br />
( x 2 x 1)( x 2 x 30)<br />
0<br />
⇔ + − − + =<br />
⇔ + 1 − + 1 − 30 − + 1 = 0<br />
⇔ − + + − =<br />
2<br />
⎛<br />
2 2 ⎛ 1 ⎞ 3 ⎞<br />
⇔ x + x − 30 = 0 vìx − x + 1 = x − + > 0<br />
⎜<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ 4 ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
2<br />
⇔ x + 6x − 5x<br />
− 30 = 0<br />
⎧x<br />
= −6<br />
⇔ ( x + 6)( x − 5)<br />
= 0 ⇔ ⎨<br />
⎩x<br />
= 5<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
82<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
S = − 6;5<br />
b<br />
Bµi 1 (4 ®iÓm)<br />
Vậy { }<br />
1 1 1 1<br />
+ + =<br />
2 2 2<br />
x + 4x + 3 x + 8x + 15 x + 12x<br />
+ 35 9<br />
1 1 1 1<br />
⇔ + + =<br />
2 2 2<br />
x + 3x + x + 3 x + 5x + 3x + 15 x + 7x + 5x<br />
+ 35 9<br />
1 1 1 1<br />
⇔ + + =<br />
( x + 1)( x + 3) ( x + 3)( x + 5) ( x + 5)( x + 7)<br />
9<br />
ĐKXĐ: x ≠ −1; −3; −5; − 7<br />
<strong>Phương</strong> <strong>trình</strong> trên có thể viết:<br />
1 ⎡⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤<br />
1<br />
2<br />
⎢⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ =<br />
x 1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7<br />
⎥<br />
⎣⎝ + + ⎠ ⎝ + + ⎠ ⎝ + + ⎠⎦<br />
9<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 6 1<br />
⇔ ⎜ − ⎟ = ⇔ =<br />
2 ⎝ x + 1 x + 7 ⎠ 9 2 x + 1 x + 7 9<br />
( )( )<br />
( )<br />
( )( )<br />
⇔ x + x + = ⇔ x + x − =<br />
2<br />
1 7 27 8 20 0<br />
2 2 2<br />
⇔ x + 8x + 16 = 36 ⇔ x + 4 = 6<br />
⎧x<br />
+ 4 = 6 ⎧x<br />
= 2<br />
⇔ ⎨ ⇔ ⎨ (TM ĐKXĐ)<br />
⎩x<br />
+ 4 = − 6 ⎩x<br />
= −10<br />
Vậy nghiệm của phương <strong>trình</strong> đã cho là: x = 2; x = -10<br />
⎛1−<br />
x<br />
⎜<br />
⎝ 1−<br />
x<br />
ĐỀ SỐ 37<br />
Cho biÓu thøc A = 2 3<br />
a, Rót gän biÓu thøc A.<br />
3<br />
⎞ 1−<br />
x<br />
− x<br />
⎟ :<br />
⎠ 1−<br />
x − x<br />
b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x<br />
c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0.<br />
2<br />
+ x<br />
2<br />
= −1 .<br />
3<br />
víi x kh¸c -1 vµ 1.<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Bµi 2 (3 ®iÓm)<br />
2<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
Cho ( a−b) + ( b−c) + ( c−a) = 4 .( a + b + c −ab−ac−bc)<br />
.<br />
Chøng minh r»ng a = b = c.<br />
Bµi 3 (3 ®iÓm)<br />
Gii bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph−¬ng tr×nh.<br />
Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu<br />
lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®−îc ph©n sè nghÞch ®o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã.<br />
Bµi 4 (2 ®iÓm)<br />
4 3 2<br />
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a − 2a<br />
+ 3a<br />
− 4a<br />
+ 5.<br />
Bµi 5 (3 ®iÓm)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
83<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 60 0 , ph©n gi¸c BD. Gäi M,N,I<br />
theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD.<br />
a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh.<br />
b, Cho AB = 4cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c AMNI.<br />
Bµi 6 (5 ®iÓm)<br />
H×nh thang ABCD (AB // CD) cã <strong>hai</strong> ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §−êng th¼ng<br />
qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N.<br />
a, Chøng minh r»ng OM = ON.<br />
1 1 2<br />
b, Chøng minh r»ng + = .<br />
AB CD MN<br />
c, BiÕt S AOB = 2008 2 (®¬n vÞ diÖn tÝch); S COD = 2009 2 (®¬n vÞ diÖn tÝch). TÝnh<br />
S ABCD .<br />
h−íng dÉn chÊm <strong>thi</strong> häc sinh giái<br />
Bµi 1( 4 ®iÓm )<br />
a, ( 2 ®iÓm )<br />
Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× :<br />
0,5®<br />
3<br />
2<br />
1−<br />
x − x + x (1 − x)(1<br />
+ x)<br />
A=<br />
:<br />
2<br />
1−<br />
x (1 + x)(1<br />
− x + x ) − x(1<br />
+ x)<br />
2<br />
(1 − x)(1<br />
+ x + x − x)<br />
(1 − x)(1<br />
+ x)<br />
0,5®<br />
=<br />
:<br />
2<br />
1−<br />
x (1 + x)(1<br />
− 2x<br />
+ x )<br />
2 1<br />
= (1 + x ) :<br />
(1 − x)<br />
0,5®<br />
2<br />
= (1 + x )(1 − x)<br />
0,5®<br />
KL<br />
b, (1 ®iÓm)<br />
2 5 ⎡ 5 2 ⎤ ⎡ 5 ⎤<br />
T¹i x = − 1 = − th× A =<br />
0,25®<br />
−<br />
3 3 ⎢1<br />
+ ( − ) ⎥ ⎢1<br />
− ( − ) ⎥<br />
⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦<br />
25 5<br />
= ( 1+ )(1 + )<br />
9 3<br />
0,25®<br />
34 8 272 2<br />
= . = = 10<br />
9 3 27 27<br />
0,5®<br />
KL<br />
c, (1®iÓm)<br />
2<br />
Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A 0 víi mäi x nªn (1) xy ra khi vµ chØ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1<br />
KL<br />
0,5®<br />
0,25®<br />
Bµi 2 (3 ®iÓm)<br />
BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®−îc<br />
0,5®<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
a + b − 2ab<br />
+ b + c − 2bc<br />
+ c + a + 2ac<br />
= 4a<br />
+ 4b<br />
+ 4c<br />
− 4ab<br />
− 4ac<br />
− 4bc<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
BiÕn ®æi ®Ó cã ( a + b − 2ac)<br />
+ ( b + c − 2bc)<br />
+ ( a + c − 2ac)<br />
= 0<br />
0,5®<br />
2<br />
2<br />
2<br />
BiÕn ®æi ®Ó cã ( a − b)<br />
+ ( b − c)<br />
+ ( a − c)<br />
= 0 (*) 0,5®<br />
V× ( a − b)<br />
2 ≥ 0 ; ( b − c)<br />
2 ≥ 0 ; ( a − c)<br />
2 ≥ 0; víi mäi a, b, c<br />
nªn (*) xy ra khi vµ chØ khi ( a − b)<br />
2 = 0 ; ( b − c)<br />
2 = 0 vµ ( a − c)<br />
2 = 0 ;<br />
0,5®<br />
0,5®<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
84<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Tõ ®ã suy ra a = b = c 0,5®<br />
Bµi 3 (3 ®iÓm)<br />
Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x+11.<br />
0,5®<br />
x<br />
Ph©n sè cÇn t×m lµ (x lµ sè nguyªn kh¸c -11)<br />
x +11<br />
x − 7<br />
Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®−îc ph©n sè<br />
x + 15<br />
0,5®<br />
(x kh¸c -15)<br />
x x + 15<br />
Theo bµi ra ta cã ph−¬ng tr×nh =<br />
x +11 x − 7<br />
0,5®<br />
Gii ph−¬ng tr×nh vµ t×m ®−îc x= -5 (tho m·n) 1®<br />
5<br />
Tõ ®ã t×m ®−îc ph©n sè −<br />
6<br />
0,5®<br />
KL<br />
Bµi 4 (2 ®iÓm)<br />
0,5®<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
BiÕn ®æi ®Ó cã A= a ( a + 2) − 2a(<br />
a + 2) + ( a + 2) + 3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= ( a + 2)( a − 2a<br />
+ 1) + 3 = ( a + 2)( a −1)<br />
+ 3<br />
0,5®<br />
2<br />
2<br />
V× a + 2 > 0 ∀ a vµ ( a −1)<br />
≥ 0∀a<br />
nªn ( a<br />
2<br />
+ 2)( a −1)<br />
≥ 0∀a<br />
0,5®<br />
2<br />
2<br />
( a + 2)( a −1)<br />
+ 3 ≥ 3∀a<br />
DÊu = xy ra khi vµ chØ khi a −1 = 0 ⇔ a = 1<br />
0,25®<br />
KL 0,25®<br />
Bµi 5 (3 ®iÓm)<br />
a,(1 ®iÓm)<br />
Chøng minh ®−îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang<br />
D<br />
I<br />
C<br />
0,5®<br />
Chøng minh ®−îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang c©n 0,5®<br />
b,(2®iÓm)<br />
4 3<br />
8 3<br />
0,5®<br />
TÝnh ®−îc AD = cm ; BD = 2AD = cm<br />
3<br />
3<br />
1 4 3<br />
AM = BD = cm<br />
2 3<br />
TÝnh ®−îc NI = AM =<br />
DC = BC =<br />
8 3<br />
3<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
cm<br />
4 0,5®<br />
3<br />
3<br />
cm<br />
A<br />
B<br />
1<br />
, MN = DC =<br />
4 3<br />
cm<br />
0,5®<br />
2 3<br />
M<br />
N<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
85<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
TÝnh ®−îc AI =<br />
8 3<br />
cm<br />
0,5®<br />
3<br />
Bµi 6 (5 ®iÓm)<br />
A<br />
B<br />
M<br />
O<br />
N<br />
a, (1,5 ®iÓm)<br />
D<br />
OM OD ON OC<br />
LËp luËn ®Ó cã = , =<br />
AB BD AB AC<br />
0,5®<br />
OD OC<br />
LËp luËn ®Ó cã =<br />
DB AC<br />
0,5®<br />
OM ON<br />
⇒ = ⇒ OM = ON<br />
AB AB<br />
0,5®<br />
b, (1,5 ®iÓm)<br />
OM DM<br />
XÐt ∆ ABD ®Ó cã = (1), xÐt ADC OM AM = (2)<br />
AB AD<br />
DC AD<br />
0,5®<br />
1<br />
Tõ (1) vµ (2) ⇒ OM.(<br />
AM + DM AD<br />
=<br />
= = 1<br />
AB CD AD AD<br />
1 1<br />
Chøng minh t−¬ng tù ON. ( + ) = 1<br />
AB CD<br />
0,5®<br />
1 1 1 1 2<br />
tõ ®ã cã (OM + ON). ( + ) = 2 ⇒ + =<br />
AB CD AB CD MN<br />
0,5®<br />
b, (2 ®iÓm)<br />
S<br />
AOB OB S<br />
BOC OB S<br />
AOB<br />
S<br />
BOC<br />
= ,<br />
0,5®<br />
= ⇒ = ⇒ S<br />
AOB. S<br />
DOC<br />
= S<br />
BOC.<br />
S<br />
AOD<br />
S<br />
AOD<br />
OD S<br />
DOC<br />
OD S<br />
AOD<br />
S<br />
DOC<br />
Chøng minh ®−îc S<br />
AOD<br />
= S<br />
BOC<br />
0,5®<br />
2<br />
⇒ S<br />
AOB. S<br />
DOC<br />
= ( S<br />
AOD<br />
)<br />
0,5®<br />
Thay sè ®Ó cã 2008 2 .2009 2 = (S AOD ) 2 ⇒ S AOD = 2008.2009<br />
Do ®ã S ABCD = 2008 2 + 2.2008.2009 + 2009 2 = (2008 + 2009) 2 = 4017 2 (®¬n vÞ 0,5®<br />
DT)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
ĐỀ SỐ 38<br />
C<br />
Bµi 1. ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng:<br />
6 6<br />
a) Víi mäi a∈<br />
Z, nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× a − b chia hÕt cho 9<br />
b) Với mọi n∈ N thì n 5 <strong>và</strong> n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.<br />
Bµi 2. ( 2,0 ®iÓm)<br />
a) Gii ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1<br />
2 2 2<br />
x + 9x + 20 + x + 11x + 30 + x + 13x<br />
+ 42<br />
= 18<br />
b) Tìm các số x, y, z biết :<br />
x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx<br />
2009 2009 2009 2010<br />
v… x + y + z = 3<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
86<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng:<br />
Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: 1 + 1 + 1 ≥ a + b + c<br />
a b c<br />
th× ta có bất đẳng <strong>thức</strong> a + b + c ≥ 3abc<br />
Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a 2 + 25b 2<br />
Bµi 5. ( 3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña<br />
AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:<br />
a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.<br />
NC NB<br />
b) = + 1<br />
AN AB<br />
ĐÁP ÁN<br />
Bµi 1. a) (1,0 ®iÓm)<br />
Vì a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn a cã d¹ng 3k+1 hoÆc 3k+2 (k∈ Z )<br />
NÕu a = 3k+1 th× a 2 = (3k+1) 2 = 9k 2 + 6k +1 chia 3 d− 1.<br />
NÕu a = 3k+2 th× a 2 = (3k+2) 2 = 9k 2 + 12k + 4 chia 3 d− 1.<br />
VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a 2 chia 3 d− 1.(1)<br />
T−¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b 2 chia 3 d− 1.(2)<br />
Tõ (1) vµ (2) ta cã a 2 -b 2 ⋮3 (3) (0,5 ®)<br />
Ta cã a 6 -b 6 = (a 2 -b 2 )[(a 2 ) 2 +a 2 b 2 +(b 2 ) 2 ] = (a 2 -b 2 )[( a 2 ) 2 - 2a 2 b 2 +(b 2 ) 2 +3a 2 b 2 ]<br />
= (a 2 -b 2 ) [(a 2 -b 2 ) 2 + 3a 2 b 2 ]<br />
Theo c/m trªn a 2 -b 2 ⋮3 => (a 2 -b 2 ) 2 ⋮3 mµ 3a 2 b 2 ⋮3 víi mäi a∈<br />
Z<br />
nªn (a 2 -b 2 ) 2 + 3a 2 b 2 ⋮3 (4)<br />
Tõ (3) vµ (4) suy ra (a 2 -b 2 ) [(a 2 -b 2 ) 2 + 3a 2 b 2 ] ⋮ 3.3 hay a 6 -b 6 ⋮ 9 (0,5 ®)<br />
b) (1,0 ®iÓm)<br />
Ta cần chứng minh: n 5 – n ⋮ 10<br />
* Chứng minh : n 5 - n ⋮ 2<br />
n 5 – n = n(n 2 – 1)(n 2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n 2 + 1) ⋮ 2 (0,25 ®)<br />
(vì với n∈<br />
N ta có n(n – 1) là tích của <strong>hai</strong> số nguyên liên tiếp)<br />
* Chứng minh: n 5 – n ⋮ 5<br />
n 5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n 2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n 2 – 4 + 5)<br />
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) ⋮ 5<br />
( Vì với n∈<br />
N ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tích của năm số nguyên liên tiếp<br />
nên chia hết cho 5 <strong>và</strong> 5n( n – 1)( n + 1 ) ⋮ 5 với mọi n∈ N ) (0,5 ®)<br />
Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n 5 – n ⋮ 2.5 tức là n 5 – n ⋮ 10<br />
Suy ra n 5 <strong>và</strong> n có chữ số tận cũng giống nhau. (0,25 ®)<br />
Bµi 2. a) 1,0 ®iÓm<br />
x 2 + 9x + 20 = (x+4)(x+5)<br />
x 2 + 11x + 30 = (x+5)(x+6)<br />
x 2 + 13x + 42 = (x+6)(x+7)<br />
§KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ − 7<br />
1 1 1 1<br />
2 2 2<br />
x + 9x + 20 + x + 11x + 30 + x + 13x<br />
+ 42<br />
= 18<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
87<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
1 1 1 1<br />
⇔ + + =<br />
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18<br />
(0,5 ®)<br />
⇒ 1 1 1<br />
( x + 4) − ( x + 7) = 18<br />
=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7)<br />
=> (x+13)(x-2) = 0 (0,25 ®)<br />
=> x = -13 hoÆc x = 2 ( Tháa m·n §KX§)<br />
VËy PT ®· cho cã <strong>hai</strong> nghiÖm lµ x 1 =-13; x 2 =2 (0,25 ®)<br />
b) 1,0 ®iÓm<br />
Ta cã x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx<br />
⇔ 2x 2 +2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0<br />
⇔ (x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2 = 0 (0,25 ®)<br />
⎧x − y = 0<br />
⎪<br />
⇔ ⎨y − z = 0<br />
⎪<br />
⎩z − x = 0<br />
⇔ x = y = z ⇔ x 2009 = y 2009 = z 2009 (1) (0,25 ®)<br />
2009 2009 2009<br />
Theo bµi ra ta cã x + y + z<br />
2010<br />
= 3 (2)<br />
Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z 2009 = 3 2010 ⇔ z 2009 = 3 2009 ⇔ z = 3 (0,25 ®)<br />
V…y x = y = z = 3 (0,25 ®)<br />
Bµi 3. Chứng minh rằng:<br />
N…u a, b, c l… các s… d……ng tho… mãn: 1 + 1 + 1 ≥ a + b + c<br />
a b c<br />
th× ta có b…t ……ng th…c a + b + c ≥ 3abc<br />
Ta cã 1 + 1 + 1 ≥ a + b + c ⇔ bc + ca + ab ≥ a + b + c<br />
a b c<br />
abc<br />
⇔ ab + bc + ca ≥ ( a + b + c)<br />
abc (*)(v× a,b,c > 0 nªn abc>0)<br />
Mµ a 2 + b 2 ≥ 2 ab; c 2 + b 2 ≥ 2 cb; a 2 + c 2 ≥ 2ac<br />
nªn céng theo vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc nµy ta<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
®−îc 2( a + b + c ) ≥ 2( ab + bc + ca)<br />
⇔ a + b + c ≥ ab + bc + ca) (1)<br />
2 2 2 2<br />
L¹i cã ( a + b + c) = a + b + c + 2( ab + bc + ca)<br />
(2)<br />
2<br />
Tõ (1) vµ (2) ta cã ( a + b + c) ≥ 3( ab + bc + ca)<br />
(**)<br />
2<br />
Tõ (*) vµ(**) ta cã ( a + b + c) ≥ 3 abc( a + b + c)<br />
⇔ a + b + c ≥ 3abc<br />
(V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0)<br />
Bµi 4. ( 1,0 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a 2 + 25b 2<br />
§Æt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn (3x+ y) 2 =(6a – 5b) 2 = 1<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho <strong>hai</strong> sè 3x vµ y ta cã:<br />
(3x + y) 2 ≤ (x 2 + y 2 )(9 + 1) => x 2 + y 2 ≥ 10<br />
1 Hay 4a<br />
2<br />
+ 25b 2 ≥ 10<br />
1 .<br />
DÊu b»ng xÈy ra <br />
3 1 = 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b (2)<br />
x y<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
88<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
1<br />
Tõ (1) vµ (2) => b = − ; a =<br />
50<br />
3<br />
20<br />
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM<br />
lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:<br />
a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.<br />
NC NB<br />
b) = + 1<br />
AN AB<br />
a) ∆ ANC vu«ng t¹i N (v× MN =AM = 1 2 AC )<br />
CNM + MNA = 1v<br />
BAN + NAC = 1v<br />
Mµ MNA = NAC => CNM = BAN<br />
MÆt kh¸c CNM = BNE (®®) =>BNE = BAN<br />
=> ∆ BNE ∞ ∆ BAN<br />
b) Trªn tia ®èi tia MN lÊy ®iÓm F sao cho FM = MN.<br />
Tø gi¸c ANCF lµ h×nh ch÷ nhËt (v× cã 2 ®−êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i<br />
trung ®iÓm cña mçi ®−êng)<br />
=> CE // AF => AFB = ENB (®ång vÞ) => ∆ BAN ∞ ∆ BFA =><br />
FA<br />
AN<br />
F<br />
M<br />
C<br />
BF NC FN + NB NC AB + NB NC NB<br />
= => = => = => = + 1 (§pcm)<br />
BA AN AB AN AB AN AB<br />
C¸ch kh¸c: b) Ta cã: ∆ ACN ∞ ∆ EAN => CN = AC =<br />
AN (1)<br />
AN EA EN<br />
AN BA BE NB<br />
∆ BNE ∞ ∆ BAN => = (2) va = (3) . Tõ (1) vµ (2) => BN = AE<br />
NE BN BN AB<br />
CN AC CN AB AE + EB EB EB<br />
AN EA AN AE AE AE BN<br />
Tõ = => = = = 1+ = 1+<br />
( 4)<br />
CN NB<br />
Tõ (3) vµ (4) => = 1+ (§pcm)<br />
AN AB<br />
§Ề SỐ 39<br />
Bµi 1: (2 ®iÓm)<br />
Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:<br />
2<br />
1. x + 7x<br />
+ 6<br />
2.<br />
4 2<br />
x + 2008x + 2007x<br />
+ 2008<br />
Bµi 2: (2®iÓm) Gii phư¬ng tr×nh:<br />
N<br />
A E B<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
89<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
x − 3x + 2 + x − 1 = 0<br />
1.<br />
2<br />
2 2 2<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟<br />
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠⎝ x ⎠<br />
2 2<br />
2. 8 x + + 4 x + − 4 x + x + = ( x + 4)<br />
Bµi 3: (2®iÓm)<br />
1 1 1<br />
(a+b+c)( + + ) ≥ 9<br />
a<br />
b<br />
c<br />
2<br />
1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè dư¬ng ,ta cã:<br />
3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8)<br />
+ 2008<br />
2<br />
cho ®a thøc x + 10x<br />
+ 21.<br />
Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH<br />
(H∈BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi<br />
BC t¹i D c¾t AC t¹i E.<br />
1. Chøng minh r»ng <strong>hai</strong> tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi<br />
®o¹n BE theo m = AB.<br />
2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng <strong>hai</strong> tam gi¸c<br />
BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM<br />
GB HD<br />
3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: = .<br />
BC AH + HC<br />
Bµi C© Néi dung<br />
§iÓm<br />
1 u<br />
1. 2,0<br />
1.1 (0,75 ®iÓm)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
90<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
2 2<br />
x + 7x + 6 = x + x + 6x + 6 = x x + 1 + 6 x + 1<br />
1.2 (1,25 ®iÓm)<br />
( x 1)( x 6)<br />
= + +<br />
( ) ( )<br />
4 2 4 2 2<br />
x x x x x x x<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
91<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
0.5<br />
0,5<br />
+ 2008 + 2007 + 2008 = + + 2007 + 2007 + 2007 + 1 0,25<br />
4 2 2 2<br />
2<br />
2 2<br />
x x 1 2007( x x 1) ( x 1) x 2007( x x 1)<br />
( x 2 x 1)( x 2 x 1) 2007( x 2 x 1) ( x 2 x 1)( x 2 x 2008)<br />
= + + + + + = + − + + + 0,25<br />
= + + − + + + + = + + − +<br />
0,25<br />
2. 2,0<br />
2<br />
2.1 x − 3x + 2 + x − 1 = 0 (1)<br />
2.2<br />
+ NÕu x ≥ 1: (1) ⇔ ( x − 1) 2<br />
= 0 ⇔ x = 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn<br />
x ≥ 1).<br />
+ NÕu x < 1: (1)<br />
0,5<br />
2 2<br />
⇔ x − 4x + 3 = 0 ⇔ x − x − 3( x − 1) = 0 ⇔ ( x −1)( x − 3)<br />
= 0<br />
⇔ x = 1; x = 3 (c <strong>hai</strong> ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1,<br />
nªn bÞ lo¹i)<br />
0,5<br />
VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x = 1.<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞<br />
2<br />
8⎜ x + ⎟ + 4⎜ x + ⎟ − 4⎜ x + ⎟⎜ x + ⎟ = ( x + 4)<br />
(2)<br />
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠⎝ x ⎠<br />
§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x ≠ 0<br />
2 2<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎡⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤<br />
⇔ 8⎜ x + ⎟ + 4⎜ x + x x x 4<br />
2 ⎟ ⎢⎜ + − + = +<br />
2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎥<br />
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎢⎣<br />
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥⎦<br />
(2) ( )<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞<br />
2 2<br />
8 x 8 x<br />
2<br />
( x 4) ( x 4)<br />
16<br />
⇔ ⎜ + ⎟ − ⎜ + ⎟ = + ⇔ + =<br />
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠<br />
⇔ x = 0 hay x = − 8 vµ x ≠ 0 .<br />
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x = − 8<br />
2<br />
0,25<br />
0,5<br />
0,25<br />
3 2.0<br />
3.1 Ta cã:<br />
1 1 1 a a b b c c<br />
A= ( a + b + c)(<br />
+ + ) = 1+<br />
+ + + 1+<br />
+ + + 1 0,5<br />
a b c b c a<br />
a b a c c b<br />
= 3 + ( + ) + ( + ) + ( + )<br />
b a c a b c<br />
x y<br />
Mµ: + ≥ 2 (B§T C«-Si)<br />
y x<br />
Do ®ã A ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9.<br />
VËy A ≥ 9<br />
3.2 Ta cã:<br />
P( x) = x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 + 2008<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
( )( )( )( )<br />
2 2<br />
( x x )( x x )<br />
= + 10 + 16 + 10 + 24 + 2008<br />
2<br />
§Æt t = x + 10x + 21 ( t ≠ −3; t ≠ − 7) , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt<br />
l¹i:<br />
2<br />
P( x) = ( t − 5)( t + 3) + 2008 = t − 2t<br />
+ 1993<br />
Do ®ã khi chia t<br />
2 − 2t<br />
+ 1993 cho t ta cã sè d lµ 1993<br />
c<br />
a<br />
b<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
4 4,0<br />
4.1 + Hai tam gi¸c<br />
ADC vµ BEC cã:<br />
Gãc C chung.<br />
CD CA<br />
= (Hai<br />
CE CB<br />
tam gi¸c vu«ng<br />
CDE vµ CAB<br />
1,0<br />
®ång d¹ng)<br />
Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).<br />
Suy ra: 0<br />
BEC = ADC = 135 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i<br />
H theo gi <strong>thi</strong>Õt).<br />
Nªn 0<br />
AEB = 45 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy<br />
ra: BE = AB 2 = m 2<br />
4.2<br />
BM 1 BE 1 AD<br />
Ta cã: = ⋅ = ⋅ (do ∆BEC ∼ ∆ADC<br />
)<br />
BC 2 BC 2 AC<br />
mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)<br />
BM 1 AD 1 AH 2 BH BH<br />
nªn<br />
= ⋅ = ⋅ = = (do<br />
BC 2 AC 2 AC AB 2 BE<br />
∆ABH<br />
∼ ∆CBA)<br />
Do ®ã ∆BHM ∼ ∆BEC<br />
(c.g.c), suy ra:<br />
0 0<br />
BHM = BEC = 135 ⇒ AHM = 45<br />
4.3 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n<br />
gi¸c gãc BAC.<br />
GB AB<br />
Suy<br />
ra:<br />
= , mµ<br />
GC AC<br />
AB = ED ( ∆ABC ∼ ∆ DEC ) = AH ( ED // AH ) =<br />
HD<br />
AC DC HC HC<br />
GB HD GB HD GB HD<br />
Do ®ã: = ⇒ = ⇒ =<br />
GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC<br />
®Ò SỐ 40<br />
®Ò bµi:<br />
Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:<br />
2<br />
⎛ 2x − 3 2x − 8 3 ⎞ 21+ 2x − 8x<br />
P = ⎜<br />
+ − : 1<br />
2 2 ⎟<br />
+<br />
2<br />
⎝ 4x − 12x + 5 13x − 2x − 20 2x − 1 ⎠ 4x + 4x<br />
− 3<br />
a) Rót gän P<br />
1<br />
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x =<br />
2<br />
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.<br />
d) T×m x ®Ó P > 0.<br />
Bµi 2(3 ®iÓm):Gii ph¬ng tr×nh:<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
92<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
15 x<br />
1 1<br />
1 12<br />
⎛<br />
⎞<br />
− = ⎜ + ⎟<br />
x + 3 x − 4 ⎝ x + 4 3 x − 3 ⎠<br />
148 − x 169 − x 186 − x 199 − x<br />
+ + + = 10<br />
25 23 21 19<br />
a) 2<br />
b)<br />
c) x − 2 + 3 = 5<br />
Bµi 3( 2 ®iÓm): Gii bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:<br />
Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn<br />
tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh khong c¸ch AB vµ vËn tèc dù<br />
®Þnh ®i cña ngêi ®ã.<br />
Bµi 4 (7 ®iÓm):<br />
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng<br />
cña ®iÓm C qua P.<br />
a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×?<br />
b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC<br />
vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.<br />
c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo<br />
vÞ trÝ cña ®iÓm P.<br />
PD 9<br />
d) Gi sö CP ⊥ BD vµ CP = 2,4 cm,<br />
PB = . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt<br />
16<br />
ABCD.<br />
Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 2009 2008 + 2011 2010 chia hÕt cho 2010<br />
b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:<br />
1 1 2<br />
+ ≥<br />
+ x + y + x y<br />
2 2<br />
1 1 1<br />
иp ¸n vµ biÓu ®iÓm<br />
Bµi 1: Ph©n tÝch:<br />
4x 2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)<br />
13x – 2x 2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)<br />
21 + 2x – 8x 2 = (3 + 2x)(7 – 4x)<br />
4x 2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5®<br />
§iÒu kiÖn:<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
1 5 −3 7<br />
x ≠ ; x ≠ ; x ≠ ; x ≠ ; x ≠ 4<br />
0,5®<br />
2 2 2 4<br />
a) Rót gän P = 2 x − 3<br />
2 x − 5<br />
1 1<br />
b) x = ⇔ x = hoÆc x =<br />
2 2<br />
1<br />
+) x = ⇒ … P = 1 2 2<br />
−1<br />
2<br />
2®<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
93<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
−1<br />
+) x = ⇒ …P = 2 2<br />
3<br />
c) P = 2 x − 3 2<br />
= 1+ 2 x − 5 x − 5<br />
Ta cã: 1∈<br />
Z<br />
2<br />
VËy P∈ Z khi ∈ Z<br />
x − 5<br />
1®<br />
⇒ x – 5 ∈ ¦ (2)<br />
Mµ ¦ (2) = { -2; -1; 1; 2}<br />
x – 5 = -2 ⇒ x = 3 (TM§K)<br />
x – 5 = -1 ⇒ x = 4 (KTM§K)<br />
x – 5 = 1 ⇒ x = 6 (TM§K)<br />
x – 5 = 2 ⇒ x = 7 (TM§K)<br />
KL: x∈ {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 1®<br />
d) P = 2 x − 3 2<br />
= 1<br />
2 x − 5<br />
x 5<br />
0,25®<br />
Ta cã: 1 > 0<br />
2<br />
§Ó P > 0 th× > 0 ⇒ x – 5 > 0 ⇔ x > 5<br />
x − 5<br />
0,5®<br />
Víi x > 5 th× P > 0. 0,25<br />
Bµi 2:<br />
15 x<br />
1 1<br />
1 12<br />
⎛<br />
⎞<br />
− = ⎜ + ⎟<br />
x + 3 x − 4 ⎝ x + 4 3 x − 3 ⎠<br />
15x<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
⇔ − 1 = 12<br />
+<br />
( x + 4)( x − 1) ⎜ x + 4 3( x −1)<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
a) 2<br />
⇔ 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)<br />
…<br />
⇔ 3x.(x + 4) = 0<br />
§K: x ≠ −4; x ≠ 1<br />
⇔ 3x = 0 hoÆc x + 4 = 0<br />
+) 3x = 0 => x = 0 (TM§K)<br />
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K)<br />
S = { 0} 1®<br />
b)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
148 − x 169 − x 186 − x 199 − x<br />
+ + + = 10<br />
25 23 21 19<br />
⎛148 − x ⎞ ⎛169 − x ⎞ ⎛186 − x ⎞ ⎛199<br />
− x ⎞<br />
⇔ ⎜ − 1⎟ + ⎜ − 2⎟ + ⎜ − 3⎟ + ⎜ − 4⎟<br />
= 0<br />
⎝ 25 ⎠ ⎝ 23 ⎠ ⎝ 21 ⎠ ⎝ 19 ⎠<br />
⎛ 1 1 1 1 ⎞<br />
⇔ (123 – x) ⎜ + + + ⎟<br />
⎝ 25 23 21 19 ⎠ = 0<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
94<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
⎛ 1 1 1 1 ⎞<br />
Do ⎜ + + + ⎟<br />
⎝ 25 23 21 19 ⎠ > 0<br />
Nªn 123 – x = 0 => x = 123<br />
S = {123} 1®<br />
c) x − 2 + 3 = 5<br />
Ta cã: x − 2 ≥ 0∀ x => x − 2 + 3 > 0<br />
nªn x − 2 + 3 = x − 2 + 3<br />
PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:<br />
2 3 5 x − + =<br />
⇔ x − 2 = 5 – 3<br />
⇔ x − 2 = 2<br />
+) x - 2 = 2 => x = 4<br />
+) x - 2 = -2 => x = 0<br />
S = {0;4} 1®<br />
Bµi 3(2 ®)<br />
Gäi khong c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) 0,25®<br />
VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ:<br />
x 3 x = ( km / h)<br />
1<br />
1<br />
3<br />
10<br />
(3 h 20 ’ = 3 ( h ) ) 0,25®<br />
3<br />
3<br />
VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:<br />
3x<br />
+ 5 ( km / h)<br />
0,25®<br />
10<br />
Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh:<br />
⎛ 3x<br />
⎞<br />
⎜ + 5 ⎟.3<br />
= x<br />
⎝ 10 ⎠<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
95<br />
0,5®<br />
⇔ x =150 0,5®<br />
VËy khong c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 0,25®<br />
3.150<br />
VËn tèc dù ®Þnh lµ: = 45 ( km / h)<br />
10<br />
D<br />
C<br />
Bµi 4(7®)<br />
VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng<br />
P<br />
0,5®<br />
M<br />
O<br />
I F<br />
E<br />
A<br />
B<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.<br />
PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.<br />
AM//PO<br />
⇒ tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. 1®<br />
b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ)<br />
Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB<br />
Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë<br />
I nªn gãc IAE = gãc IEA.<br />
Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1®<br />
MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2)<br />
Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1®<br />
c) ∆MAF ∼ ∆DBA( g − g<br />
MF AD<br />
) nªn = kh«ng ®æi. (1®)<br />
FA AB<br />
PD 9<br />
d) NÕu<br />
PB = 16<br />
th× PD PB = = k ⇒ PD = 9 k , PB = 16 k<br />
9 16<br />
CP PB<br />
NÕu CP ⊥ BD th× ∆CBD ∼ ∆DCP ( g − g ) ⇒ = 1®<br />
PD CP<br />
do ®ã CP 2 = PB.PD<br />
hay (2,4) 2 = 9.16 k 2 => k = 0,2<br />
PD = 9k = 1,8(cm)<br />
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d<br />
BD = 5 (cm)<br />
C/m BC 2 = BP.BD = 16 0,5®<br />
do ®ã BC = 4 (cm)<br />
CD = 3 (cm) 0,5®<br />
Bµi 5:<br />
a) Ta cã: 2009 2008 + 2011 2010 = (2009 2008 + 1) + ( 2011 2010 – 1)<br />
V× 2009 2008 + 1 = (2009 + 1)(2009 2007 - …)<br />
= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1)<br />
2011 2010 - 1 = ( 2011 – 1)(2011 2009 + …)<br />
= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1®<br />
Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.<br />
1 + 1 ≥<br />
2<br />
1 + x 1 + y 1 + x y<br />
b) 2 2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
(1)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
96<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞<br />
⇔ ⎜ − 0<br />
2 ⎟ + ⎜ −<br />
2 ⎟ ≥<br />
⎝1+ x 1+ xy ⎠ ⎝1+ y 1+<br />
xy ⎠<br />
x y x y x y<br />
⇔ + ≥ 0<br />
2 2<br />
1+ x 1+ xy 1+ y 1+<br />
xy<br />
⇔<br />
( − )<br />
( )( )<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
2<br />
( y − x) ( xy −1)<br />
2 2<br />
( 1+ x )( 1+ y )( 1+<br />
xy)<br />
( − )<br />
( )( )<br />
( )<br />
≥ 0 2<br />
V× x ≥1; y ≥ 1 => xy ≥ 1 => xy −1 ≥ 0<br />
=> B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ xy ra khi x = y) 1®<br />
ĐỀ SỐ 41<br />
Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa <strong>thức</strong> x 3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử<br />
b) Tìm giá trị nguyên của x để A ⋮ B biết<br />
A = 10x 2 – 7x – 5 <strong>và</strong> B = 2x – 3 .<br />
c) Cho x + y = 1 <strong>và</strong> x y ≠ 0 . Chứng minh rằng<br />
x y 2( x − y)<br />
− + = 0<br />
3 3 2 2<br />
y −1 x − 1 x y + 3<br />
Bài 2: (3đ) Giải các phương <strong>trình</strong> sau:<br />
a) (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) = 12<br />
b)<br />
x+ 1 x + 2 x + 3 x+<br />
4 x+<br />
5 x + 6<br />
+ + = + +<br />
2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />
Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy<br />
F sao cho AE = CF<br />
a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân<br />
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC <strong>và</strong> BD. Gọi I là trung điểm EF.<br />
Chứng minh O, C, I thẳng hàng.<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển<br />
trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:<br />
a/ DE có độ dài nhỏ nhất<br />
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.<br />
H−íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm<br />
Bài 1: (3 điểm)<br />
a) ( 0,75đ) x 3 - 5x 2 + 8x - 4 = x 3 - 4x 2 + 4x – x 2 + 4x – 4<br />
(0,25đ)<br />
= x( x 2 – 4x + 4) – ( x 2 – 4x + 4) (0,25đ)<br />
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ)<br />
2<br />
b) (0,75đ) Xét A 1 0 x 7 x − 5 7<br />
(0,25đ)<br />
= = 5 x + 4 +<br />
B 2 x − 3 2 x − 3<br />
97<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
7<br />
Với x ∈ Z thì A ⋮ B khi ∈ Z ⇒ 7 ⋮ ( 2x – 3) (0,25đ)<br />
2x − 3<br />
Mà Ư(7) = { −1;1; − 7;7}<br />
⇒ x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A ⋮ B (0,25đ)<br />
c) (1,5đ) Biến đổi<br />
x y<br />
− = 4 4<br />
x − x − y + y<br />
3 3<br />
3 3<br />
y −1 x − 1<br />
x − y − (x − y)<br />
4 4<br />
=<br />
( )<br />
2 2<br />
xy(y + y + 1)(x + x + 1)<br />
2 2<br />
= ( )( )( )<br />
= ( )<br />
(y −1)(x −1)<br />
x − y x + y x + y − (x − y)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
xy(x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1)<br />
2 2<br />
x − y (x + y −1)<br />
2 2 2 2<br />
xy x y + xy(x + y) + x + y + xy + 2<br />
⎡⎣<br />
2 2<br />
x − y (x − x + y − y)<br />
= ( )<br />
2 2 2<br />
xy x y + (x + y) + 2<br />
⎡⎣<br />
x − y x( − y) + y( −x)<br />
= ( )[ ]<br />
=<br />
2 2<br />
xy(x y + 3)<br />
−2(x − y)<br />
2 2<br />
x y + 3<br />
⎤⎦<br />
( do x + y = 1⇒ y - 1= -x <strong>và</strong> x - 1= - y) (0,25đ)<br />
⎤⎦<br />
x − y x(x − 1) + y(y −1)<br />
= ( )[ ]<br />
x − y ( −2xy)<br />
= ( ) 2 2<br />
xy(x y + 3)<br />
2 2<br />
xy(x y + 3)<br />
Suy ra điều cần chứng minh<br />
(0,25đ)<br />
(0,25đ)<br />
(0,25đ)<br />
(0,25đ)<br />
(0,25đ)<br />
Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)<br />
(x 2 + x ) 2 + 4(x 2 + x) = 12 đặt y = x 2 + x<br />
y 2 + 4y - 12 = 0 ⇔ y 2 + 6y - 2y -12 = 0<br />
(0,25đ)<br />
⇔ (y + 6)(y - 2) = 0 ⇔ y = - 6; y = 2<br />
(0,25đ)<br />
* x 2 + x = - 6 vô nghiệm vì x 2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ)<br />
* x 2 + x = 2 ⇔ x 2 + x - 2 = 0 ⇔ x 2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)<br />
⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 1) = 0 ⇔ x = - 2; x = 1<br />
(0,25đ)<br />
Vậy nghiệm của phương <strong>trình</strong> x = - 2 ; x =1<br />
x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6<br />
b) (1,75đ) + + = + +<br />
2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />
⇔ x + 1 x + 2 x + 3 x +<br />
( 1) ( 1) ( 1) ( 4 1) ( x + 5 1) ( x +<br />
+ + + + + = + + + + 6 + 1)<br />
2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />
⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009<br />
+ + = + +<br />
2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />
⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 0<br />
2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
+ + − − − = (0,25đ)<br />
⇔ 1 1 1 1 1 1<br />
( + 2009)( + + − − − ) = 0<br />
2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />
< ;<br />
2008 2005<br />
x (0,5đ) Vì<br />
1 1<br />
1 1<br />
< ;<br />
2007 2004<br />
1 1<br />
<<br />
2006 2003<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Do đó : + + − − − < 0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = -<br />
2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />
2009<br />
E<br />
2<br />
I<br />
1<br />
Bài 3: (2 điểm)<br />
1<br />
a) (1đ)<br />
B<br />
C<br />
2<br />
Chứng minh ∆ EDF vuông cân<br />
Ta có ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c)⇒ ∆ EDF cân tại D<br />
O<br />
Mặt khác: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ E ˆ ˆ<br />
1<br />
= F 2<br />
A<br />
D<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
98<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
F
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Mà Eˆ 1<br />
+ Eˆ ˆ<br />
2<br />
+ F = 90 0 ⇒ Fˆ 1<br />
2<br />
+ Eˆ ˆ<br />
2<br />
+ F 1<br />
= 90 0<br />
⇒ EDF= 90 0 . Vậy ∆ EDF vuông cân<br />
b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng<br />
Theo tính chất đường chéo hình vuông ⇒ CO là trung trực BD<br />
Mà ∆ EDF vuông cân ⇒ DI = 1 2 EF<br />
Tương tự BI = 1 B<br />
EF ⇒ DI = BI<br />
2<br />
⇒ I thuộc dường trung trực của DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO<br />
Hay O, C, I thẳng hàng<br />
D<br />
Bài 4: (2 điểm)<br />
A<br />
a) (1đ)<br />
DE có độ dài nhỏ nhất<br />
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)<br />
Áp dụng định lý Pitago với ∆ ADE vuông tại A có:<br />
DE 2 = AD 2 + AE 2 = (a – x) 2 + x 2 = 2x 2 – 2ax + a 2 = 2(x 2 – ax) – a 2<br />
a<br />
= 2(x – 2<br />
2 2<br />
a<br />
4 )2 +<br />
2 ≥ a<br />
2<br />
Ta có DE nhỏ nhất ⇔ DE 2 nhỏ nhất ⇔ x = a 2<br />
⇔ BD = AE = a ⇔ D, E là trung điểm AB, AC<br />
2 (0,25đ)<br />
b) (1đ)<br />
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.<br />
(0,25đ)<br />
(0,25đ)<br />
(0,25đ)<br />
Ta có: S ADE = 1 2 AD.AE = 1 2 AD.BD = 1 2 AD(AB – AD)= 1 2 (AD2 – AB.AD) (0,25đ)<br />
= – 1 2 (AD2 – 2 AB<br />
2 .AD + 2<br />
AB<br />
4 ) + 2<br />
AB<br />
= – 1 2<br />
AB AB<br />
(AD –<br />
8 2 4 )2 + ≤<br />
2<br />
2<br />
2<br />
AB AB<br />
Vậy S BDEC = S ABC – S ADE ≥ – = 3 2 8 8 AB2 không đổi<br />
(0,25đ)<br />
2<br />
AB<br />
8<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Do đó min S BDEC = 3 8 AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC<br />
E<br />
(0,25đ)<br />
(0,25đ)<br />
C<br />
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:<br />
a) x 2 – y 2 – 5x + 5y<br />
b) 2x 2 – 5x – 7<br />
Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng:<br />
ĐỀ SỐ 42<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
99<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
2<br />
4x<br />
−16<br />
A<br />
=<br />
2<br />
x + 2 x<br />
5x<br />
+ 5<br />
Bµi 3: Cho ph©n thøc:<br />
2x<br />
2 + 2x<br />
a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh.<br />
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1.<br />
x + 2 1 2<br />
Bµi 4: a) Gii ph¬ng tr×nh : − =<br />
x − 2 x x(<br />
x − 2)<br />
b) Gii bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2) 2 + 3<br />
Bµi 5: Gii bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:<br />
Mét tæ sn xuÊt lËp kÕ ho¹ch sn xuÊt, mçi ngµy sn xuÊt ®îc 50<br />
sn phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã sn xuÊt ®îc 57 sn phÈm. Do ®ã ®·<br />
hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 sn phÈm. Hái theo kÕ<br />
ho¹ch tæ phi sn xuÊt bao nhiªu sn phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy.<br />
Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ<br />
trung tuyÕn AM.<br />
a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA<br />
b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ?<br />
c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ?<br />
BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n<br />
§¸p ¸n<br />
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:<br />
a) x 2 – y 2 – 5x + 5y = (x 2 – y 2 ) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x<br />
– y)<br />
= (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm)<br />
b) 2x 2 – 5x – 7 = 2x 2 + 2x – 7x – 7 = (2x 2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1)<br />
– 7(x + 1)<br />
= (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm)<br />
Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm)<br />
A =<br />
2<br />
2 2<br />
x(4x<br />
−16<br />
x[(2x)<br />
− 4 x(2x<br />
− 4)(2x<br />
+ 4) x.2(<br />
x − 2).2( x + 2)<br />
=<br />
=<br />
=<br />
= 4( x − 2) = 4x<br />
− 8<br />
2<br />
2<br />
x + 2x<br />
x + 2x<br />
x(<br />
x + 2)<br />
x(<br />
x + 2)<br />
Bµi 3: (2 ®iÓm)<br />
a) 2x 2 + 2x = 2x(x + 1) ≠ 0<br />
⇔ 2x ≠ 0 vµ x + 1 ≠ 0<br />
⇔ x ≠ 0 vµ x ≠ -1<br />
(1 ®iÓm)<br />
b) Rót gän:<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
BiÓu<br />
®iÓm<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
100<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
5x<br />
+ 5 5( x + 1) 5<br />
= =<br />
2<br />
2x<br />
+ 2x<br />
2x(<br />
x + 1) 2x<br />
(0,5 ®iÓm)<br />
5<br />
5<br />
= 1 ⇔ 5 = 2x<br />
⇔ x =<br />
2x<br />
2<br />
(0,25 ®iÓm)<br />
5<br />
V× tho m·n ®iÒu kiÖn cña <strong>hai</strong> tam gi¸c nªn x = (0,25 ®iÓm)<br />
2 2<br />
5<br />
Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x ≠ 0; x ≠ 2<br />
x(x + 2) - (x - 2) 2<br />
- Gii:<br />
= ⇔ x 2 + 2x – x +2 = 2;<br />
x(<br />
x − 2) x(<br />
x − 2)<br />
⇔ x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = { − 1}<br />
b) ⇔ x 2 – 9 < x 2 + 4x + 7<br />
⇔ x 2 – x 2 – 4x < 7 + 9 ⇔ - 4x < 16 ⇔ x> - 4<br />
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4<br />
Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh sn xuÊt lµ : x ngµy<br />
§iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1<br />
VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy)<br />
- Sè sn phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (sn phÈm)<br />
- Sè sn phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (sn phÈm)<br />
Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13<br />
⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70<br />
⇔ x = 10 (tho m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh sn xuÊt lµ 10 ngµy.<br />
Sè sn phÈm phi sn xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (sn phÈm)<br />
Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã:<br />
Gãc A = gãc H = 90 0 ; cã gãc B chung<br />
⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc)<br />
b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC<br />
2 2<br />
2 2<br />
ta cã : BC = AB + AC = 15 + 20 = 625 = 25 (cm)<br />
AB AC BC 15 20<br />
v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn = = hay = =<br />
HB HA BA HB HA<br />
20.05<br />
⇒ AH = = 12 (cm)<br />
25<br />
15.15<br />
BH = = 9 (cm)<br />
25<br />
HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)<br />
BC 25<br />
c) HM = BM – BH = − BH = − 9 = 3,5( cm)<br />
2 2<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
S AHM =<br />
2<br />
1 AH . HM =<br />
2<br />
1 . 12. 3,5 = 21 (cm 2 )<br />
25<br />
15<br />
1 ®<br />
1®<br />
0,5 ®<br />
0,5 ®<br />
0,5 ®<br />
0,5 ®<br />
1 ®<br />
1 ®<br />
1 ®<br />
1 ®<br />
1 ®<br />
1®<br />
- VÏ ®óng h×nh: A<br />
1 ®<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
101<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
B H M C<br />
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:<br />
a) x 2 – 4x + 4 = 25<br />
x −17<br />
x − 21 x + 1<br />
b) + + = 4<br />
1990 1986 1004<br />
c) 4 x – 12.2 x + 32 = 0<br />
ĐỀ SỐ 43<br />
1 1 1<br />
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau <strong>và</strong> + + = 0 .<br />
x y z<br />
Tính giá trị của biểu <strong>thức</strong>: A yz xz xy<br />
= + +<br />
2<br />
2<br />
x + 2yz y + 2xz z<br />
2 + 2xy<br />
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm<br />
1 đơn vị <strong>và</strong>o chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị <strong>và</strong>o chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị<br />
<strong>và</strong>o chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị <strong>và</strong>o chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số<br />
chính phương.<br />
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực<br />
HA' HB' HC'<br />
tâm. a) Tính tổng + +<br />
AA' BB' CC'<br />
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC <strong>và</strong><br />
góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.<br />
2<br />
(AB + BC + CA)<br />
c) Chứng minh rằng: ≥ 4<br />
2 2 2 .<br />
AA' + BB' + CC'<br />
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI<br />
• Bài 1(3 điểm):<br />
a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )<br />
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )<br />
c) 4 x – 12.2 x +32 = 0 ⇔ 2 x .2 x – 4.2 x – 8.2 x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )<br />
⇔ 2 x (2 x – 4) – 8(2 x – 4) = 0 ⇔ (2 x – 8)(2 x – 4) = 0 ( 0,25điểm )<br />
⇔ (2 x – 2 3 )(2 x –2 2 ) = 0 ⇔ 2 x –2 3 = 0 hoặc 2 x –2 2 = 0 ( 0,25điểm )<br />
⇔ 2 x = 2 3 hoặc 2 x = 2 2 ⇔ x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )<br />
• Bài 2(1,5 điểm):<br />
1 1 1 xy + yz + xz<br />
+ + = 0 ⇒ = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz<br />
x y z xyz<br />
( 0,25điểm )<br />
x 2 +2yz = x 2 +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )<br />
102<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
yz<br />
xz<br />
xy<br />
Do đó: A = +<br />
+<br />
(x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y)<br />
( 0,25điểm<br />
)<br />
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )<br />
• Bài 3(1,5 điểm):<br />
Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d∈ N, 0 ≤ ,b,c,d ≤ 9,<br />
a ≠ 0<br />
a (0,25điểm)<br />
2<br />
Ta có: abcd = k<br />
2<br />
với k, m∈N, 31 < k < m < 100<br />
( a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m<br />
(0,25điểm)<br />
2<br />
abcd = k<br />
⇔<br />
2<br />
abcd + 1353=<br />
m<br />
(0,25điểm)<br />
Do đó: m 2 –k 2 = 1353<br />
⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )<br />
(0,25điểm)<br />
m+k = 123 m+k = 41<br />
⇒ m–k = 11 hoặc m–k = 33<br />
m = 67 m = 37<br />
⇔ k = 56 hoặc k = 4 (0,25điểm)<br />
Kết luận đúng abcd = 3136<br />
(0,25điểm)<br />
• Bài 4 (4 điểm):<br />
Vẽ hình đúng<br />
(0,25điểm)<br />
A<br />
1<br />
.HA'.BC<br />
S<br />
HA'<br />
C’<br />
HBC<br />
a) =<br />
2<br />
=<br />
1<br />
;<br />
B’<br />
x<br />
H<br />
SABC<br />
AA'<br />
N<br />
.AA'.BC<br />
M<br />
2<br />
I<br />
A’<br />
C<br />
(0,25điểm)<br />
B<br />
SHAB HC'<br />
Tương tự: =<br />
SHAC HB'<br />
D<br />
; =<br />
SABC<br />
CC' SABC<br />
BB'<br />
(0,25điểm)<br />
HA' HB' HC' SHBC<br />
SHAB<br />
SHAC<br />
+ + = + + = 1<br />
AA' BB' CC' SABC<br />
SABC<br />
SABC<br />
(0,25điểm)<br />
b) Áp dụng tính chất phân giác <strong>và</strong>o các tam giác ABC, ABI, AIC:<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
103<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
BI AB AN AI CM IC<br />
= ; = ; =<br />
IC AC NB BI MA AI<br />
(0,5điểm )<br />
BI AN CM AB AI IC AB IC<br />
. . = . . = . = 1<br />
IC NB MA AC BI AI AC BI<br />
⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM<br />
c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx<br />
(0,25điểm)<br />
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’<br />
(0,25điểm)<br />
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD<br />
(0,25điểm)<br />
- ∆ BAD vuông tại A nên: AB 2 +AD 2 = BD 2<br />
⇒ AB 2 + AD 2 ≤ (BC+CD) 2<br />
(0,25điểm)<br />
AB 2 + 4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2<br />
4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2 – AB 2<br />
Tương tự: 4AA’ 2 ≤ (AB+AC) 2 – BC 2<br />
4BB’ 2 ≤ (AB+BC) 2 – AC 2<br />
(0,25điểm)<br />
-Chứng minh được : 4(AA’ 2 + BB’ 2 + CC’ 2 ) ≤ (AB+BC+AC) 2<br />
⇔<br />
2<br />
(AB + BC + CA)<br />
≥ 4<br />
2 2 2<br />
AA' + BB' + CC'<br />
(0,25điểm)<br />
(Đẳng <strong>thức</strong> xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC<br />
⇔ ∆ ABC <strong>đề</strong>u)<br />
§Ò SỐ 44<br />
C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó:<br />
a, A=n 3 -n 2 +n-1 lµ sè nguyªn tè.<br />
4 3 2<br />
n + 3n<br />
+ 2n<br />
+ 6n<br />
− 2<br />
b, B =<br />
Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.<br />
2<br />
n + 2<br />
c, D= n 5 -n+2 lµ sè chÝnh ph−¬ng. (n≥ 2)<br />
C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :<br />
a,<br />
a b c<br />
+ + = 1 biÕt abc=1<br />
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
b, Víi a+b+c=0 th× a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+bc+ca) 2<br />
c,<br />
2 2 2<br />
a b c c b a<br />
b<br />
+ ≥ + +<br />
2 2<br />
c a<br />
b a c<br />
C©u 3: (5®iÓm) Gii c¸c ph−¬ng tr×nh sau:<br />
a,<br />
x − 214 x −132<br />
x − 54<br />
+ + = 6<br />
86 84 82<br />
(0,5điểm )<br />
(0,5điểm )<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
104<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
b, 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9<br />
c, x 2 -y 2 +2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d−¬ng.<br />
C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm <strong>hai</strong> ®−êng chÐo.Qua<br />
0 kÎ ®−êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F.<br />
a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.<br />
1 1 2<br />
b. Chøng minh: + =<br />
AB CD EF<br />
c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®−êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i<br />
diÖn tÝch tam gi¸c DEF.<br />
C©u Néi dung bµi gii §iÓm<br />
C©u 1<br />
(5®iÓm)<br />
a, (1®iÓm) A=n 3 -n 2 +n-1=(n 2 +1)(n-1)<br />
§Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 ⇔ n=2 khi ®ã A=5<br />
2<br />
b, (2®iÓm) B=n 2 +3nn<br />
2<br />
+ 2<br />
B cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ 2⋮ n 2 +2<br />
n 2 +2 lµ −íc tù nhiªn cña 2<br />
n 2 +2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho m·n<br />
HoÆc n 2 +2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />
c, (2®iÓm) D=n 5 -n+2=n(n 4 -1)+2=n(n+1)(n-1)(n 2 +1)+2<br />
2<br />
=n(n-1)(n+1) [( n − 4)<br />
+ 5]<br />
+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-<br />
1)(n+1)+2<br />
Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2⋮5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp)<br />
Vµ 5 n(n-1)(n+1⋮5 VËy D chia 5 d− 2<br />
Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng phi sè chÝnh<br />
ph−¬ng<br />
VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph−¬ng<br />
a, (1®iÓm)<br />
a b c ac<br />
abc<br />
c<br />
+ + =<br />
+<br />
+<br />
2<br />
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1<br />
ac abc c abc + ac + 1<br />
= + + =<br />
= 1<br />
1+ ac + c c + 1+<br />
ac ac + c + 1 abc + ac + 1<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
C©u 2<br />
(5®iÓm)<br />
b, (2®iÓm) a+b+c=0⇒ a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a 2 +b 2 +c 2 = -<br />
2(ab+ac+bc)<br />
⇒ a 4 +b 4 +c 4 +2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )=4( a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+8abc(a+b+c) V×<br />
a+b+c=0<br />
⇒ a 4 +b 4 +c 4 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (1)<br />
MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+4abc(a+b+c) . V×<br />
a+b+c=0<br />
⇒ 2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (2)<br />
Tõ (1)vµ(2) ⇒ a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+ac+bc) 2<br />
0.5<br />
0.5<br />
0.5<br />
0.5<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
105<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
C©u 3<br />
(5®iÓm)<br />
c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x 2 +y 2 ≥ 2xy DÊu b»ng khi<br />
x=y<br />
2 2<br />
2 2<br />
a b a b a a c a c c<br />
+ ≥ 2. . = 2. ; + ≥ 2. . = 2. ;<br />
2 2<br />
2 2<br />
b c b c c b a b a b<br />
2 2<br />
c b c b b<br />
+ ≥ 2. . = 2.<br />
2 2<br />
a c a c a<br />
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:<br />
2 2 2<br />
a b c a c b<br />
2(<br />
+ + ) ≥ 2( + + )<br />
2 2 2<br />
b c a c b a<br />
2 2 2<br />
a b c a c b<br />
⇒ + + ≥ + +<br />
2 2 2<br />
b c a c b a<br />
x − 214 x −132<br />
x − 54<br />
a, (2®iÓm) + + = 6<br />
86 84 82<br />
x − 214 x −132<br />
x − 54<br />
⇔ ( −1)<br />
+ ( − 2) + ( − 3) = 0<br />
86<br />
84 82<br />
x − 300 x − 300 x − 300<br />
⇔ + + = 0<br />
86 84 82<br />
⎛ 1 1 1 ⎞<br />
⇔ (x-300) ⎜ + + ⎟ = 0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S ={ 300 }<br />
⎝ 86 84 82 ⎠<br />
b, (2®iÓm) 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9<br />
⇔ (64x 2 -16x+1)(8x 2 -2x)=9 ⇔ (64x 2 -16x+1)(64x 2 -16x) = 72<br />
§Æt: 64x 2 -16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k 2 =72,25<br />
⇔ k=… 8,5<br />
Víi k=8,5 tacã ph−¬ng tr×nh: 64x 2 -16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; ⇒<br />
x=<br />
1 1<br />
; x =<br />
−<br />
2 4<br />
Víi k=- 8,5 Ta cã ph−¬ng tr×nh: 64x 2 -16x+9=0 ⇔ (8x-1) 2 +8=0 v«<br />
nghiÖm.<br />
⎧1<br />
−1⎫<br />
VËy S = ⎨ , ⎬<br />
⎩2<br />
4 ⎭<br />
c, (1®iÓm) x 2 -y 2 +2x-4y-10 = 0 ⇔ (x 2 +2x+1)-(y 2 +4y+4)-7=0<br />
⇔ (x+1) 2 -(y+2) 2 =7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn<br />
d−¬ng<br />
Nªn x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1<br />
Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
106<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒ S DAB=S CBA A<br />
(cïng ®¸y vµ cïng ®−êng cao)<br />
⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB<br />
E<br />
Hay SAOD = SBOC<br />
K<br />
I<br />
O<br />
B<br />
F<br />
0,5<br />
0,5<br />
C©u 4<br />
(5®iÓm)<br />
EO AO<br />
b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒ = MÆt kh¸c AB//DC<br />
DC AC<br />
AB AO AB AO AB AO EO AB<br />
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =<br />
DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC<br />
EF AB AB + DC 2 1 1 2<br />
⇒ = ⇒ = ⇒ + =<br />
2DC<br />
AB + DC AB.<br />
DC EF DC AB EF<br />
c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N∈DF) +KÎ<br />
®−êng th¼ng KN lµ ®−êng th¼ng phi dùng<br />
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th×<br />
SIKE=SIMN<br />
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN.<br />
ĐỀ THI SỐ 45<br />
Bµi 1: (1.5®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö<br />
a) x 2 – xz – 9y 2 + 3yz.<br />
b) 4x 4 + 4x 3 – x 2 - x.<br />
Bµi 2: (2.5®) Cho biÓu thøc.<br />
P = (<br />
x<br />
3<br />
x<br />
2<br />
+ 3x<br />
a) Rót gän P.<br />
+ 3x<br />
3 1<br />
+ ): ( -<br />
+ 9x<br />
+ 27 x 2 + 9 x − 3 x<br />
2<br />
3<br />
6x<br />
)<br />
2<br />
− 3x<br />
+ 9x<br />
− 27<br />
b) Víi x > 0 th× P kh«ng nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo?<br />
c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />
Bµi 3: (1.5®) Gii ph¬ng tr×nh.<br />
a) x 3 – 3x 2 + 4 = 0<br />
b)<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
⎜1 . 1 ⎟ ⎜1<br />
⎟...<br />
1 =<br />
1.3 2.4 3.5<br />
⎜ +<br />
( 2)<br />
⎟<br />
⎠⎛ ⎞<br />
+ ⎟ ⎜ + +<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ x x + ⎠<br />
Bµi 4: (1®) Gii ph¬ng tr×nh.<br />
Cho 3 sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng nhá h¬n 2.<br />
D<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Chøng minh r»ng 3 sè a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ ®ång thêi lín h¬n 1.<br />
31<br />
16<br />
N<br />
M<br />
C<br />
0,5<br />
1,0<br />
0,5<br />
1,0<br />
1,0<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
107<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
Bµi 5: (3.5®)<br />
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AC, tõ C vÏ ®-<br />
êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O.<br />
Chøng minh r»ng:<br />
a) OA.OB = OC.OH<br />
b) OHA cã sè ®o kh«ng ®æi.<br />
c) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi.<br />
BiÓu ®iÓm vµ ®¸p ¸n to¸n 8<br />
Bµi 1: (1.5®)<br />
C©u a: (0.57®)<br />
= (x 2 - 9y 2 ) – (xz - 3yz) 0.25®<br />
= (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y) 0.25®<br />
= (x - 3y)(x + 3y - z) 0.25®<br />
C©u b: (0.75®)<br />
= x(4x 3 + 4x 2 – x – 1) 0.25®<br />
[ ]<br />
= x 4x<br />
2 ( x + 1) − ( x + 1)<br />
0.25®<br />
= x(x + 1)(4x 2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 0.25®<br />
Bµi 2: (2.5®)<br />
C©u a: 1®<br />
P =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣(<br />
x<br />
2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
x(<br />
x + 3)<br />
+<br />
+ 9)( x + 3) x<br />
x + 3<br />
:<br />
2<br />
x + 9<br />
x + 3<br />
.<br />
2<br />
x + 9<br />
x + 3<br />
x − 3<br />
C©u b: (0.75®)<br />
x<br />
2<br />
2<br />
3 ⎤ ⎡ 1 6x<br />
⎤<br />
⎥ : ⎢ −<br />
2 ⎥<br />
+ 9 ⎦ ⎣ x − 3 ( x − 3)( x + 9)<br />
⎦<br />
+ 9 − 6x<br />
2<br />
( x − 3)( x + 9)<br />
2<br />
( x − 3)( x + 9)<br />
( x − 3) 2<br />
0.25®<br />
0.25®<br />
0.25®<br />
0.25®<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
x + 3<br />
P = ⇔<br />
x − 3<br />
Px - 3P = x + 3 0.25®<br />
(P – 1)x = 3(P + 1)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
108<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
3 P + 1<br />
x =<br />
P −1<br />
Ta cã: x > 0 ⇔ x<br />
( P + 1)<br />
3<br />
=<br />
P −1<br />
( )<br />
> 0 ⇒<br />
P + 1<br />
> 0<br />
P −1<br />
⎡⎧P<br />
+ 1 > 0<br />
⎢⎨<br />
⎢⎩P<br />
−1<br />
> 0 ⎡P<br />
> 1<br />
⇒ ⇒<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎧P<br />
+ 1 < 0 ⎣P<br />
< 1<br />
⎢⎨<br />
⎢⎣<br />
⎩P<br />
−1<br />
< 0<br />
VËy kh«ng nhËn gi¸ trÞ tõ -1 ®Õn 1. 0.25®<br />
C©u c: 0.75® §KX§: x ≠ ± 3<br />
x + 3 x − 3 + 6 6<br />
P = = = 1+<br />
x − 3 x − 3 x − 3<br />
P nhËn gi¸ trÞ nguyªn ⇔ x - 30∈¦ (6) = { ± 1 ; ± 2; ± 3; ± 6}<br />
Tõ ®ã t×m ®îc x { 4;2;5;1;6;0;9;<br />
−3}<br />
0.25®<br />
∈ 0.25®<br />
KÕt hîp víi §/C x ≠ ± 3; x ∈ z ta ®îc.<br />
x ∈ { 4;2;5;1;6;0;9 }<br />
0.25®<br />
VËy x ∈ { 4;2;5;1;6;0;9 } th× P nguyªn.<br />
Bµi 3: Gii ph¬ng tr×nh (1.5®)<br />
C©u a: (0.75®)<br />
- §a ®îc vÒ d¹ng tÝch: (x + 1)(x - 2) 2 = 0 0.50®<br />
⎡ x = 1<br />
⇒ ⎢<br />
⎣ x = 2<br />
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 1; x = 2 0.25®<br />
C©u b: (0.75®) §K: x∈N *n<br />
- §a vÒ d¹ng<br />
2<br />
2<br />
.<br />
1.3<br />
2 2<br />
2<br />
3 4 ( x + 1)<br />
. ... =<br />
2.4 3.5 x(<br />
x + 2)<br />
2( x + 1)<br />
⇔ = x + 2<br />
31<br />
16<br />
Tõ ®ã ⇒ t×m ®îc x = 30 (t/m x∈N * )<br />
31<br />
16<br />
0.25®<br />
0.25®<br />
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 30 0.25®<br />
Bµi 4: (1®)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Gi sö a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > 1<br />
⇒ abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1 (1) 0.25®<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
109<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
v× 0 < a < 2 nªn 2 – a > 0.<br />
Do a + (2 – a) = 2 kh«ng ®æi, suy ra a(2 – a) lín nhÊt.<br />
⇔ a = 2 – a ⇔ a = 1<br />
T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt ⇔ b = 1<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
c(2 – c) lín nhÊt ⇔ c = 1<br />
VËy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c) ≤ 1.1.1 = 1 (2)<br />
DÊu “=” xy ra khi vµ chØ khi a = b = c =1 0.25®<br />
(1) vµ (2) m©u thuÈn nhau.<br />
Do ®ã 3 sè a(2 – b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ<br />
®ång thêi lín h¬n 1 0.25®<br />
Bµi 5: (3.5®)<br />
C©u a: (1®)<br />
Chøng minh: ∆ B0H ∆ C0A (g.g) 0.5®<br />
0B<br />
0H<br />
⇒ = ⇔ 0A.0B = 0C.0H 0.25®<br />
0C<br />
0 A<br />
C©u b: (1.25®)<br />
0B<br />
0H<br />
= (suy ra tõ ∆ B0H ∆ C0A)<br />
0C<br />
0A<br />
0A<br />
0H<br />
⇒ =<br />
0.25®<br />
0C<br />
0B<br />
- Chøng minh ∆ 0HA ∆ 0BC (c.g.c) 0.25®<br />
⇒ OHA = OBC (kh«ng ®æi)<br />
C©u c: (1.25®)<br />
VÏ MK ⊥ BC<br />
- ∆ BKM ∆ BHC (g.g)<br />
O<br />
H<br />
BM ⇒ =<br />
BC<br />
BK<br />
BH<br />
⇒ BM.BH = BC.BK (1) 0.5®<br />
∆ CKM ∆ CAB (g.g) 0.25®<br />
C<br />
M<br />
A<br />
K<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
110<br />
B<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
CM CK<br />
⇒ = ⇒ CM.CA = BC.CK<br />
CB CA<br />
(2) 0.25®<br />
- Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc:<br />
- BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK<br />
= BC . (BK + CK) = BC 2 (kh«ng ®æi) 0.25®<br />
ĐỀ THI SỐ 46<br />
Câu 1: (4,0 điểm)<br />
Phân tích các đa <strong>thức</strong> sau thành nhân tử :<br />
Câu 2: (5,0 điểm)<br />
Cho biểu <strong>thức</strong> :<br />
a) 3x 2 – 7x + 2; b) a(x 2 + 1) – x(a 2 + 1).<br />
A<br />
2 2<br />
2 + x 4 x 2 − x x − 3 x<br />
= ( − − ) : ( )<br />
2 2 3<br />
2 − x x − 4 2 + x 2 x − x<br />
d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu <strong>thức</strong> A ?<br />
e) Tìm giá trị của x để A > 0?<br />
f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.<br />
Câu 3: (5,0 điểm)<br />
c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương <strong>trình</strong> sau :<br />
9x 2 + y 2 + 2z 2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.<br />
x y z a b c<br />
d) Cho + + = 1 <strong>và</strong> + + = 0 . Chứng minh rằng :<br />
a b c x y z<br />
Câu 4: (6,0 điểm)<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
+ + = 1.<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F<br />
lần lượt là hình chiếu của B <strong>và</strong> D xuống đường thẳng AC. Gọi H <strong>và</strong> K lần lượt là hình<br />
chiếu của C xuống đường thẳng AB <strong>và</strong> AD.<br />
d) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?<br />
e) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK<br />
f) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC 2 .<br />
HƯỚNG DẪN CHẤM THI<br />
Bài 1<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
Nội dung đáp án<br />
111<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
Điểm
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
a 2,0<br />
3x 2 – 7x + 2 = 3x 2 – 6x – x + 2 = 1,0<br />
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5<br />
= (x - 2)(3x - 1). 0,5<br />
b 2,0<br />
a(x 2 + 1) – x(a 2 + 1) = ax 2 + a – a 2 x – x = 1,0<br />
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5<br />
= (x - a)(ax - 1). 0,5<br />
Bài 2: 5,0<br />
a 3,0<br />
ĐKXĐ :<br />
⎧2 − x ≠ 0<br />
⎪ 2<br />
x − 4 ≠ 0 ⎧x<br />
≠ 0<br />
⎪<br />
⎪<br />
1,0<br />
⎨2 + x ≠ 0 ⇔ ⎨x<br />
≠ ± 2<br />
⎪ 2<br />
x 3x<br />
0<br />
⎪x<br />
≠ 3<br />
⎪<br />
− ≠ ⎩<br />
2 3<br />
⎩<br />
⎪2x<br />
− x ≠ 0<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2 + x 4x 2 − x x − 3 x (2 + x) + 4 x − (2 − x) x (2 − x)<br />
A = ( − − ) : ( ) = . =<br />
2 2 3<br />
1,0<br />
2 − x x − 4 2 + x 2 x − x (2 − x)(2 + x) x( x − 3)<br />
2<br />
4x 8 x x(2 x)<br />
+ −<br />
.<br />
(2 − x)(2 + x) x − 3<br />
2<br />
4 x( x + 2) x(2 − x) 4x<br />
= =<br />
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3<br />
2<br />
4x<br />
Vậy với x ≠ 0, x ≠ ± 2, x ≠ 3 thì A = . x − 3<br />
0,25<br />
b 1,0<br />
2<br />
4x<br />
Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ± 2 : A > 0 ⇔ > 0<br />
x − 3<br />
0,25<br />
⇔ x − 3 > 0<br />
0,25<br />
⇔ x > 3( TMDKXD)<br />
0,25<br />
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25<br />
c 1,0<br />
⎡x<br />
− 7 = 4<br />
x − 7 = 4 ⇔ ⎢<br />
⎣x<br />
− 7 = − 4<br />
0,5<br />
⎡x<br />
= 11( TMDKXD)<br />
⇔ ⎢<br />
⎣x<br />
= 3( KTMDKXD)<br />
0,25<br />
Với x = 11 thì A = 121<br />
2<br />
0,25<br />
Bài 3 5,0<br />
a 2,5<br />
9x 2 + y 2 + 2z 2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0<br />
⇔ (9x 2 – 18x + 9) + (y 2 – 6y + 9) + 2(z 2 + 2z + 1) = 0 1,0<br />
⇔ 9(x - 1) 2 + (y - 3) 2 + 2 (z + 1) 2 = 0 (*) 0,5<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
=<br />
0,5<br />
0,25<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
112<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
2 2 2<br />
Do : ( x −1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ 0<br />
0,5<br />
Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 0,25<br />
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25<br />
b 2,5<br />
a b c ayz+bxz+cxy<br />
Từ : + + = 0 ⇔ = 0<br />
x y z xyz<br />
0,5<br />
⇔ ayz + bxz + cxy = 0 0,25<br />
Ta có :<br />
x y z x y z 2<br />
+ + = 1 ⇔ ( + + ) = 1<br />
a b c a b c<br />
0,5<br />
2 2 2<br />
x y z xy xz yz<br />
⇔ + + + 2( + + ) = 1<br />
2 2 2<br />
a b c ab ac bc<br />
0,5<br />
2 2 2<br />
x y z cxy + bxz + ayz<br />
⇔ + + + 2 = 1<br />
2 2 2<br />
a b c abc<br />
0,5<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
⇔ + + = 1( dfcm)<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
0,25<br />
Bài 4 6,0<br />
A<br />
E<br />
H<br />
B<br />
0,25<br />
O<br />
a 2,0<br />
Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF 0,5<br />
Chứng minh : ∆ BEO = ∆DFO( g − c − g)<br />
0,5<br />
=> BE = DF 0,25<br />
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25<br />
b 2,0<br />
Ta có: ABC = ADC ⇒ HBC = KDC <br />
0,5<br />
Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK ( g − g)<br />
1,0<br />
⇒ CH CK<br />
CH. CD CK.<br />
CB<br />
CB<br />
CD<br />
0,5<br />
b, 1,75<br />
Chứng minh : ∆AF D ∼ ∆AKC( g − g)<br />
0,25<br />
⇒ AF AK<br />
AD. AK A F.<br />
AC<br />
AD<br />
AC<br />
0,25<br />
Chứng minh : ∆CFD ∼ ∆AHC( g − g)<br />
0,25<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
F<br />
D<br />
C<br />
K<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
113<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
⇒ CF AH<br />
CD<br />
AC<br />
0,25<br />
Mà : CD = AB CF AH<br />
AB. AH CF.<br />
AC<br />
AB<br />
AC<br />
0,5<br />
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC 2<br />
(đfcm).<br />
0,25<br />
ĐỀ THI SỐ 47<br />
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:<br />
a) x 2 – 4x + 4 = 25<br />
x −17<br />
x − 21 x + 1<br />
b) + + = 4<br />
1990 1986 1004<br />
c) 4 x – 12.2 x + 32 = 0<br />
1 1 1<br />
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau <strong>và</strong> + + = 0 .<br />
x y z<br />
Tính giá trị của biểu <strong>thức</strong>: A yz xz xy<br />
= + +<br />
2<br />
2<br />
x + 2yz y + 2xz z<br />
2 + 2xy<br />
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm<br />
1 đơn vị <strong>và</strong>o chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị <strong>và</strong>o chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị<br />
<strong>và</strong>o chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị <strong>và</strong>o chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số<br />
chính phương.<br />
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực<br />
HA' HB' HC'<br />
tâm. a) Tính tổng + +<br />
AA' BB' CC'<br />
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC <strong>và</strong><br />
góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.<br />
2<br />
(AB + BC + CA)<br />
c) Chứng minh rằng: ≥ 4<br />
2 2 2 .<br />
AA' + BB' + CC'<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI<br />
• Bài 1(3 điểm):<br />
a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )<br />
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )<br />
c) 4 x – 12.2 x +32 = 0 ⇔ 2 x .2 x – 4.2 x – 8.2 x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )<br />
⇔ 2 x (2 x – 4) – 8(2 x – 4) = 0 ⇔ (2 x – 8)(2 x – 4) = 0 ( 0,25điểm )<br />
⇔ (2 x – 2 3 )(2 x –2 2 ) = 0 ⇔ 2 x –2 3 = 0 hoặc 2 x –2 2 = 0 ( 0,25điểm )<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
114<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
⇔ 2 x = 2 3 hoặc 2 x = 2 2 ⇔ x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )<br />
• Bài 2(1,5 điểm):<br />
1 1 1 xy + yz + xz<br />
+ + = 0 ⇒ = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz<br />
x y z xyz<br />
( 0,25điểm )<br />
x 2 +2yz = x 2 +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )<br />
Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )<br />
yz<br />
xz<br />
xy<br />
Do đó: A = +<br />
+<br />
(x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y)<br />
( 0,25điểm )<br />
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )<br />
• Bài 3(1,5 điểm):<br />
0 ≤ a ≤ ≠<br />
(0,25điểm)<br />
Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d∈ N, ,b,c,d 9,<br />
a 0<br />
2<br />
Ta có: abcd = k<br />
2<br />
với k, m∈N, 31 < k < m < 100<br />
( a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m<br />
(0,25điểm)<br />
2<br />
abcd = k<br />
⇔<br />
2<br />
abcd + 1353=<br />
m<br />
(0,25điểm)<br />
Do đó: m 2 –k 2 = 1353<br />
⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )<br />
(0,25điểm)<br />
m+k = 123 hoặc m+k = 41<br />
⇒ m–k = 11 m–k = 33<br />
m = 67<br />
hoặc<br />
m = 37<br />
⇔ k = 56 k = 4 (0,25điểm)<br />
Kết luận đúng abcd = 3136<br />
(0,25điểm)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
• Bài 4 (4 điểm):<br />
Vẽ hình đúng<br />
(0,25điểm)<br />
1<br />
.HA'.BC<br />
SHBC<br />
HA'<br />
a) =<br />
2<br />
=<br />
S 1<br />
;<br />
ABC<br />
AA'<br />
.AA'.BC<br />
2<br />
(0,25điểm)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
115<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
SHAB HC'<br />
Tương tự: =<br />
SHAC HB'<br />
; =<br />
SABC<br />
CC' SABC<br />
BB'<br />
(0,25điểm)<br />
HA' HB' HC' SHBC<br />
SHAB<br />
SHAC<br />
+ + = + + = 1<br />
AA' BB' CC' SABC<br />
SABC<br />
SABC<br />
(0,25điểm)<br />
b) Áp dụng tính chất phân giác <strong>và</strong>o các tam giác ABC, ABI, AIC:<br />
BI AB AN AI CM IC<br />
= ; = ; =<br />
IC AC NB BI MA AI<br />
(0,5điểm )<br />
BI AN CM AB AI IC AB IC<br />
. . = . . = . = 1<br />
IC NB MA AC BI AI AC BI<br />
(0,5…i…m )<br />
(0,5…i…m )<br />
⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM<br />
c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx<br />
(0,25điểm)<br />
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’<br />
(0,25điểm)<br />
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD<br />
(0,25điểm)<br />
- ∆ BAD vuông tại A nên: AB 2 +AD 2 = BD 2<br />
⇒ AB 2 + AD 2 ≤ (BC+CD) 2<br />
(0,25điểm)<br />
AB 2 + 4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2<br />
4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2 – AB 2<br />
Tương tự: 4AA’ 2 ≤ (AB+AC) 2 – BC 2<br />
4BB’ 2 ≤ (AB+BC) 2 – AC 2<br />
(0,25điểm)<br />
-Chứng minh được : 4(AA’ 2 + BB’ 2 + CC’ 2 ) ≤ (AB+BC+AC) 2<br />
2<br />
(AB + BC + CA)<br />
⇔<br />
≥ 4<br />
2 2 2<br />
AA' + BB' + CC'<br />
(0,25điểm)<br />
(Đẳng <strong>thức</strong> xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC<br />
⇔ ∆ ABC <strong>đề</strong>u)<br />
A<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
B<br />
N<br />
C’<br />
I<br />
H<br />
A’<br />
B’<br />
M<br />
C<br />
x<br />
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu<br />
đó.<br />
D<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
116<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
ĐỀ THI SỐ 48<br />
Bµi 1: (6 ®iÓm)<br />
Gii c¸c ph−¬ng tr×nh sau:<br />
a, 2(x + 5) - x 2 - 5x = 0<br />
1 2x<br />
− 3<br />
b, + 2 =<br />
x −1 1−<br />
x<br />
c, |x - 4| + |x - 9| = 5<br />
Bµi 2: (4 ®iÓm)<br />
x − 1 x + 1<br />
Gii bÊt ph−¬ng tr×nh x + < − ( m − 2) x víi m lµ h»ng sè.<br />
m m<br />
Bµi 3: (3 ®iÓm)<br />
Hai c¹nh cña mét h×nh b×nh hµnh cã ®é dµi lµ 6cm vµ 8cm. Mét trong c¸c ®−êng cao<br />
cã ®é dµi lµ 5cm. TÝnh ®é dµi ®−êng cao thø <strong>hai</strong>.<br />
Bµi 4: (3 ®iÓm)<br />
Mét vßi n−íc chy vµo mét bÓ kh«ng cã n−íc. Cïng lóc ®ã mét vßi n−íc kh¸c<br />
chy tõ bÓ ra. Mçi giê l−îng n−íc chy ra b»ng 4 5<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
117<br />
l−îng n−íc chy vµo. Sau 5 giê<br />
n−íc trong bÓ ®¹t tíi 1 dung tÝch bÓ. Hái nÕu bÓ kh«ng cã n−íc mµ chØ më vßi chy<br />
8<br />
vµo th× bao l©u bÓ ®Çy?<br />
Bµi 5: (4 ®iÓm)<br />
Cho tam gi¸c ABC cã A = 2B . Gäi BC = a, AC = b, AB = c. Chøng minh hÖ thøc a 2 =<br />
b 2 + bc.<br />
ĐÁP ÁN<br />
Bµi S¬ l−îc lêi gii §iÓm<br />
Bµi 1<br />
(6<br />
®iÓm)<br />
a, §−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch.<br />
Gii ®−îc x = -5 hoÆc x = 2<br />
b, §KX§: x ≠ 1.<br />
1 3 − 2x<br />
Víi x ≠ 1 ta cã + 2 = ⇔ 1+ 2( x − 1) = 3 − 2x ⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1<br />
x −1 x −1<br />
Ta thÊy x = 1 kh«ng tháa m·n §KX§. VËy ph−¬ng tr×nh v«<br />
nghiÖm.<br />
1<br />
1<br />
0,5<br />
1<br />
0,5<br />
⎧x − 4 víi x ≥ 4<br />
c, NhËn xÐt |x - 4| = ⎨<br />
⎩4 − x víi x < 4 vµ |x - 9| = ⎧x − 9 víi x ≥ 9<br />
⎨<br />
⎩9 − x víi x < 9<br />
- Víi x < 4 ta cã |x - 4| = 4 - x; |x - 9| = 9 - x nªn ph−¬ng tr×nh cã 0,5<br />
d¹ng<br />
4 - x + 9 - x = 5 -2x = -8 x = 4 (kh«ng tháa m·n)<br />
- Víi 4 ≤ x < 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = 9 - x nªn ph−¬ng<br />
tr×nh cã d¹ng x - 4 + 9 - x = 5 5 = 5 (lu«n ®óng)<br />
- Víi x ≥ 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = x - 9 nªn ph−¬ng tr×nh cã<br />
d¹ng<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
x - 4 + x - 9 = 5 2x = 18 x =9 (tháa m·n)<br />
x | 4 ≤ x ≤ 9<br />
Bµi 2<br />
(4<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
VËy tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ S = { }<br />
x − 1 x + 1 2<br />
x + < − ( m − 2) x ⇔ ( m − 1) x < (1)<br />
m m m<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
1
0,5<br />
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
®iÓm)<br />
2<br />
- NÕu m < 1 vµ m ≠ 0 th× m - 1 < 0. Khi ®ã (1) ⇔ x ><br />
m( m −1)<br />
0,5<br />
2<br />
- NÕu m > 1 th× m - 1 > 0. Khi ®ã (1) ⇔ x <<br />
m( m −1)<br />
0,5<br />
- NÕu m = 1 th× m - 1 = 0. Khi ®ã (1) ⇔ 0x < 2 (lu«n ®óng víi mäi<br />
x).<br />
0,5<br />
KÕt luËn:<br />
⎧ 2 ⎫<br />
- Víi m < 1 vµ m ≠ 0 th× tËp nghiÖm lµ S = ⎨x | x > ⎬<br />
⎩ m( m −1)<br />
⎭<br />
0,5<br />
- Víi m = 0 th× biÓu thøc v« nghÜa.<br />
0,25<br />
⎧ 2 ⎫<br />
- Víi m > 1 th× tËp nghiÖm lµ S = ⎨x | x < ⎬<br />
⎩ m( m −1)<br />
⎭<br />
0,5<br />
- Víi m = 1 th× S = R<br />
0,25<br />
Bµi 3 - VÏ h×nh:<br />
(3<br />
®iÓm)<br />
A<br />
8cm<br />
B<br />
VËy ®−êng cao thø <strong>hai</strong> cã ®é dµi lµ 20<br />
3 cm hoÆc 15 4 cm<br />
6cm<br />
K<br />
D H<br />
C<br />
Gi sö ABCD lµ h×nh b×nh hµnh cã AB = 8cm, AD = 6cm vµ cã<br />
mét ®−êng cao dµi 5cm .<br />
V× 5 < 6 vµ 5 < 8 nªn cã thÓ xy ra <strong>hai</strong> tr−êng hîp:<br />
AH = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = 1<br />
20<br />
3 (cm)<br />
AK = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 1<br />
15<br />
4 (cm)<br />
0,5<br />
Bµi 4<br />
(3<br />
®iÓm)<br />
Bµi 5<br />
(4<br />
®iÓm)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
Gäi thêi gian vßi n−íc chy ®Çy bÓ lµ x(giê). §K: x > 0<br />
Khi ®ã 1 giê vßi ®ã chy ®−îc 1 x bÓ<br />
1 giê vßi kh¸c chy ra l−îng n−íc b»ng 4<br />
5x bÓ.<br />
0,5<br />
⎛ 1 4 ⎞ 1<br />
0,5<br />
Theo ®Ò bµi ta cã ph−¬ng tr×nh ⎜ − ⎟.5<br />
=<br />
⎝ x 5x<br />
⎠ 8<br />
Gii ph−¬ng tr×nh t×m ®−îc x = 8 (TM§K x>0)<br />
1<br />
VËy thêi gian ®Ó vßi chy ®Çy bÓ lµ 8 giê.<br />
0,5<br />
- VÏ h×nh ®óng 0,5<br />
0,25<br />
0,5<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
118<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
E<br />
HÖ thøc a 2 = b 2 + bc a 2 = b (b + c)<br />
0,25<br />
C<br />
b<br />
A<br />
c<br />
Baøi 1: ( 3 ñieåm ) Rút gọn biểu <strong>thức</strong><br />
x − y 3x + y y − x<br />
A = − i<br />
xy y<br />
2 x<br />
2<br />
+ − xy x + y<br />
c<br />
a<br />
B<br />
Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm E sao cho<br />
AE = c, suy ra CE = b + c.<br />
0,5<br />
Khi ®ã ABE = E (do tam gi¸c ABE c©n t¹i A)<br />
BAC = ABE + E<br />
(gãc ngoµi tam gi¸c) nªn 0,5<br />
A<br />
= 2E<br />
.<br />
Theo gi <strong>thi</strong>Õt A = 2B . VËy E = ABC 1<br />
.<br />
0,25<br />
Chøng minh ®−îc ∆ BCE ∆ ACB (g.g)<br />
BC CE 2<br />
suy ra = ⇒ BC = AC.CE<br />
AC BC<br />
hay a 2 = b (b + c)<br />
ĐỀ THI SỐ 49<br />
Baøi 2: ( 3 ñieåm ) Giải phương <strong>trình</strong><br />
3x x 3x<br />
+ + = 0<br />
x − 2 5 − x ( x − 2)( x − 5)<br />
Baøi 3: ( 3 ñieåm ) Tìm giá trị nguyên của x để phân <strong>thức</strong> có giá trị là số nguyên<br />
3 2<br />
x − 3x − 11x<br />
+ 8<br />
A =<br />
x − 5<br />
Baøi 4: ( 3 ñieåm )<br />
0,25<br />
Số học sinh tiên tiến của <strong>hai</strong> khối 7 <strong>và</strong> 8 là 270 học sinh. Biết rằng 3 4 số<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
học sinh tiên tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiên tiến của khối 8. Tính số<br />
học sinh tiên tiến của mỗi khối?<br />
Baøi 5: ( 4 ñieåm )<br />
Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC,<br />
CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.<br />
a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?<br />
b/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật?<br />
c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi?<br />
Baøi 6: ( 4 ñieåm )<br />
Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), AC ⊥ BD,<br />
BD=15(m).<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
119<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh<br />
2<br />
BD = DE.DH. Từ đó tính độ dài DE.<br />
b/ Tính diện tích hình thang ABCD.<br />
ÑAÙP AÙN VAØ THANG ÑIEÅM CHAÁM<br />
Baøi Ñaùp aùn Ñieåm<br />
1<br />
(3 đ) x − y 3x + y y − x<br />
A = − i<br />
xy y<br />
2 x<br />
2<br />
+ − xy x + y<br />
* Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ ± y<br />
2<br />
(3 đ)<br />
3<br />
(3 ñ)<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
x − y 3x + y y − x x − y 3x + y x − y<br />
A = − i = + i 1<br />
xy + y x − xy x + y y x + y x x − y x + y<br />
2 2<br />
( ) ( )<br />
x − y 3x + y ( x − y) x + ( 3x + y)<br />
y<br />
( + ) ( + ) ( + )<br />
2<br />
− + 3 + ( x + y)<br />
( x + y)<br />
xy ( x + y)<br />
xy ( x + y)<br />
xy<br />
= + =<br />
y x y x x y xy x y<br />
2 2<br />
x xy xy y<br />
= = =<br />
3x x 3x<br />
+ + = 0<br />
x − 2 5 − x ( x − 2)( x − 5)<br />
* Tập xác định: x ≠ 2; x ≠ 5<br />
3x x 3x 3x x 3x<br />
+ + = 0 ⇔ − + = 0<br />
x − − x x − x −<br />
2 5 ( x − 2)( x − 5) 2 5 ( x − 2)( x − 5)<br />
2 2<br />
( ) ( )<br />
⇔ 3x x − 5 − x x − 2 + 3x = 0 ⇔ 3x −15x − x + 2x + 3x<br />
= 0<br />
2<br />
⎡ x = 0∈TXÑ<br />
⇔ 2x − 10x = 0 ⇔ 2x ( x − 5)<br />
= 0 ⇔ ⎢<br />
⎣x<br />
− 5 = 0 ⇔ x = 5 ∉ TXÑ<br />
Vaäy S = { 0}<br />
3 2<br />
x − 3x − 11x<br />
+ 8 2 3<br />
A = = x + 2x<br />
− 1+<br />
x − 5 x − 5<br />
3<br />
A∈ Ζ ⇔ ∈ Ζ ⇔ x − 5 = ± 1; ± 3<br />
x − 5<br />
* x − 5 = ± 1 ⇔ x ∈ 6;4<br />
{ 2;4;6;8}<br />
{ }<br />
{ }<br />
* x − 5 = ± 3 ⇔ x ∈ 8;2<br />
x ∈<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
4<br />
(3 ñ) Goïi soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 7 laø x (hoïc sinh) (x > 0) 0,25<br />
120<br />
1<br />
1<br />
0,5<br />
1<br />
1<br />
0,5<br />
1<br />
1<br />
0,5<br />
0,5<br />
Trường THCS Thanh Mỹ
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 8 laø 270 - x (hoïc sinh)<br />
0,25<br />
5<br />
(4 ñ)<br />
Ta coù phöông <strong>trình</strong>:<br />
3 60 3 3<br />
. x = ( 270 − x) ⇔ . x = ( 270 − x)<br />
4 100 4 5<br />
3 810 − 3x<br />
⇔ . x = ⇔ 15x = 3240 −12x ⇔ 27x<br />
= 3240<br />
4 5<br />
⇔ x = 120 ( Nhaän)<br />
Vaäy soá hoïc sinh cuûa khoái 7 laø 120 hoïc sinh, vaø khoái 8 laø 270 – 120 =<br />
150 hoïc sinh.<br />
a/<br />
1 ⎫<br />
MN / / DF;<br />
MN = DF<br />
2 ⎪<br />
⎬ ⇒ MN / / PQ;<br />
MN = PQ<br />
1<br />
PQ / / DF;<br />
PQ = DF ⎪<br />
2 ⎪⎭<br />
. Vaäy MNPQlaø hình<br />
bình haønh.<br />
b/ Giaû söû MNPQ laø hình chöû nhaät thì MP = NQ<br />
Maø<br />
= = AC ⎫<br />
MP AF<br />
2 ⎪ ⎬ ⇒ AC = AB<br />
AB<br />
NQ = AD = ⎪<br />
2 ⎪⎭<br />
Vaäy tam giaùc ABC caân taïi A thì MNPQ laø hình chöû nhaät.<br />
** Hoaëc:<br />
MN ⊥ MQ⎫<br />
⎪<br />
MN / / BC ⇒ AE ⊥ BC;<br />
ñoàng thôøi EB = EC<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
⎬<br />
MQ / / AE ⎪<br />
⎭<br />
Neân tam giaùc ABC caântaïi A.<br />
c/ Giaû söû MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ<br />
BC AE<br />
MN = MQ ⇔ = ⇔ AE = 1 BC<br />
4 2 2<br />
0,5<br />
Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A thì MNPQ laø hình thoi.<br />
1<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
121<br />
Trường THCS Thanh Mỹ<br />
1<br />
1<br />
0,25<br />
0,25<br />
1<br />
0,5<br />
1
<strong>Tuyển</strong> <strong>tập</strong> <strong>đề</strong> <strong>thi</strong> <strong>HSG</strong> <strong>Toán</strong> 8<br />
MP ⊥ NQ ⇔ AC ⊥ AB<br />
** Hoaëc:<br />
Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A<br />
6<br />
(4 ñ<br />
a/ Keû BH ⊥ DC<br />
DH = BD − BH = − =<br />
2 2 2 2 2 2<br />
⇒ DH = 9<br />
( m)<br />
15 12 9<br />
Xeùt tam giaùc BDH vaø tam giaùc EDB<br />
BHD<br />
<br />
= DBE<br />
<br />
= 1v⎫⎪ ⇒<br />
<br />
⎬ ∆BDH # ∆EDB<br />
BDE chung ⎪⎭<br />
2<br />
BD DH BD<br />
⇒ = ⇔ DE = = 25( m)<br />
DE BD DH<br />
b/<br />
1<br />
S = ( AB + DC)<br />
BH<br />
ABCD<br />
2<br />
= 1 ⋅ DE ⋅ BH = 1 ⋅ 25 ⋅ 12 = 150<br />
2 2<br />
( m)<br />
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST><br />
daykemquynhonbusiness@gmail.com<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0,5<br />
0,5<br />
Gv: Nguyễn Văn Tú<br />
122<br />
Trường THCS Thanh Mỹ