SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ, ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
https://app.box.com/s/1qs72umifq66yuue67azmvwxe1st8uwm
https://app.box.com/s/1qs72umifq66yuue67azmvwxe1st8uwm
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
G I Ả I T O Á N T Ư Ơ N G G I A O
C Ủ A H À M S Ố
vectorstock.com/28062405
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN
KĨ NĂNG CHO HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN
TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ, ÔN THI THPT
QUỐC GIA MÔN TOÁN
WORD VERSION | 2022 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT TÂY HIẾU
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
“RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN
TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ”
THUỘC MÔN: TOÁN HỌC
Sáng kiến kinh nghiệm
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Công cuộc Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đòi hỏi Giáo dục
phổ thông phải có “ chuyển biến căn bản toàn diện về chất lượng và hiệu quả; góp
phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát
triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực” (Nghị quyết 88/2014/QH13 của Quốc
hội). Mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông mới là giúp học sinh phát triển
toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển
năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt
Nam xã hội chủ nghĩa. Do vậy việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh là một nhiệm vụ
quan trọng và cần thiết của người giáo viên. Học sinh cần có kĩ năng tốt mới có
khả năng vận dụng thành thạo các kiến thức để giải quyết các nhiệm vụ được giao.
Qua quá trình đó mới dần hình thành phẩm chất và năng lực cần thiết của người
học.
Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chương trình toán THPT. Trong
đó bài toán về sự tương giao giữa các đồ thị hàm số là một trong những bài toán cơ
bản của nội dung này, thường xuất hiện trong các đề thi THPTQG, đề thi tốt
nghiệp, các đề đánh giá năng lực của các trường đại học…những năm gần đây.Tuy
nhiên nhiều học sinh chưa có kĩ năng quan sát bảng biến thiên, kĩ năng quan sát đồ
thị và thực sự chưa hiểu và nắm được cách giải các dạng bài liên quan tới sự tương
giao của hàm số, đặc biệt là các bài liên quan tới hàm hợp, các bài toán chứa tham
số... Vì vậy khi đứng trước các bài toán đó các em thường tỏ ra lúng túng, một số
thì hiểu mơ màng dẫn tới mất nhiều thời gian mới giải quyết được hoặc không giải
quyết được bài toán. Do vậy vấn đề đặt ra là cần phải rèn luyện kĩ năng giải toán
tương giao cho học sinh để giúp học sinh dễ dàng vận dụng được các kiến thức đã
học, khả năng quan sát, tư duy và kĩ năng phản xạ lựa chọn cách giải tối ưu để giải
quyết nhanh chóng bài toán. Chính vì thế chúng tôi lựa chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ
năng cho học sinh qua giải toán tương giao của hàm số”
Trang 1
Sáng kiến kinh nghiệm
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích rèn luyện kĩ năng cho học sinh khi giải một số dạng bài liên quan
tới sự tương giao của đồ thị các hàm số, thường gặp trong quá trình học tập, trong
các kì thi tốt nghiệp hay thi thử tốt nghiệp lớp 12.
3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 12 và giáo viên THPT
Các bài toán tương giao của đồ thị hai hàm số từ đó rút ra một số kĩ năng cần
thiết cần rèn luyện cho học sinh
4. Phạm vi nghiên cứu
Bám sát nội dung chương trình Toán THPT.
Mở rộng phù hợp với nội dung thi tốt nghiệp lớp 12.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết
Nghiên cứu SGK, sách giáo viên
Nghiên cứu tài tiệu tham khảo
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Tây Hiếu
Qua dự giờ đồng nghiệp, qua học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô đi trước
Qua trao đổi với học sinh để tìm hiểu nhũng khó khăn, qua các bài kiểm tra,
qua các hình thức đánh giá và vở bài tập của học sinh
Trang 2
Sáng kiến kinh nghiệm
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận và cở thực tiễn của đề tài
1.1. Cơ sở lý luận
a) Khái niệm kĩ năng
Theo tác giả Đặng Thành Hưng, kỹ năng là một dạng hành động được thực hiện
tự giác dựa trên tri thức về công việc, khả năng vận động và những điều kiện sinh
học – tâm lí khác của cá nhân (tức chủ thể của kỹ năng đó), như nhu cầu, tình cảm,
ý chí, tính tích cực cá nhân... để đạt được kết quả theo mục đích hay tiêu chí đã
định, hoặc mức độ thành công theo chuẩn mực hay quy định.
Nhà tâm lý học người Liên Xô L.D.Leviton cho rằng “Kỹ năng là sự thực hiện
có kết quả một động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa
chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn, có tính đến những điều kiện nhất
định”. Theo ông, người có kỹ năng hành động là người phải nắm được và vận dụng
đúng đắn các cách thức và quy tắc nhằm thực hiện hành động có kết quả. Ông cũng
cho rằng con người có kỹ năng không chỉ nắm lý thuyết về hành động mà còn phải
vận dụng vào thực tế.
Theo tác giả Vũ Dũng thì kỹ năng là năng lực vận dụng có kết quả tri thức về
phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ
tương ứng.
Tác giả Thái Duy Tuyên định nghĩa kỹ năng là sự ứng dụng kiến thức trong hoạt
động. Mỗi kỹ năng bao gồm một hệ thống thao tác trí tuệ và thực hành mà nếu thực
hiện trọn vẹn hệ thống thao tác này sẽ đảm bảo đạt được mục đích đặt ra cho hoạt
động. Điều đáng chú ý là việc thực hiện một kỹ năng luôn luôn được kiểm tra bằng
ý thức, nghĩa là khi thực hiện bất kỳ một kỹ năng nào đều nhằm vào một mục đích
nhất định.
Nhìn chung, các tác giả đều cho rằng kỹ năng là quá trình áp dụng những tri
thức đúng đắn mà một cá nhân tích lũy được để thực hiện mục tiêu đã đề ra.
b) Kĩ năng học tập môn toán
Trong tâm lý - giáo dục, người ta thường chia kĩ năng học tập cơ bản thành bốn
nhóm: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức
và kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá.
Trang 3
Sáng kiến kinh nghiệm
*) Kĩ năng nhận thức
+) Kĩ năng nắm vững khái niệm
+) Kĩ năng nắm vững định lí
+) Kĩ năng vận dụng các quy tắc
+) Kĩ năng dự đoán và suy đoán
*) Kĩ năng thực hành
+) Hoạt động giải toán
+) Kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn
*) Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức
*) Kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá
1.2.Cơ sở thực tiễn
a) Thực trạng của việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh khi giải toán tương giao
Các bài toán về sự tương giao của hàm số xuất hiện một cách thường xuyên
trong các đề thi THPTQG và đề thi tốt nghiệp 12, bài tập mức độ nhận biết thông
hiểu cũng có mà ở mức độ vận dụng và vận dụng cao cũng có. Ngoài ra sự tương
giao còn được lồng ghép trong quá trình giải toán về cực trị hàm số, về sự đồng
biến nghịch biến của hàm số…và rất nhiều các dạng toán khác. Tuy nhiên qua kết
quả khảo sát kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 35 học sinh tôi thấy kết quả tiếp
thu về giải toán tương giao của hàm số như sau:
Điểm dưới 5 Điểm từ 5-6 Điểm từ 6-8 Điểm từ 8-10
SL % SL % SL % SL %
14 40 11 31,1 7 20 3 8,9
Một trong những nguyên nhân dẫn tới khó khăn trên của học sinh đó là:
+) Học sinh chưa nắm vững kiến thức về sự tương giao của hàm số. Trong
quá trình giải toán chưa nắm được bản chất số nghiệm của phương trình chính là
bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số.
Trang 4
Sáng kiến kinh nghiệm
+) Một số học sinh còn hạn chế trong việc quan sát và đọc số liệu “ biết nói”
trong bảng biến thiên của đồ thị hàm số
+) Khi giải các bài toán tương giao chứa tham số thì việc xác định điều kiện
có nghiệm, có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước của phương trình còn mơ
màng, chưa chính xác.
+)Khi giải các bài toán tương giao liên quan tới hàm hợp thì kĩ năng tìm điều
kiện cho biến mới khi đổi biến, kĩ năng giải phương trình lên quan tới biến mới, kĩ
năng vận dụng mối liên hệ giữa biến mới và biến cũ, giữa biến mới với đồ thị, bảng
biến thiên đã cho còn hạn chế. Do đó học sinh gặp khó khăn trong việc lập bảng
biến thiên hay vẽ đồ thị của hàm số đặc biệt là các hàm số cho ở dạng hàm hợp,
khó khăn trong việc quan sát bảng biến thiên, đồ thị để tìm ra kiến thức cần sử
dụng.
b) Giải pháp
Củng cố khắc sâu lí thuyết về sự tương giao của hàm số, hệ thống lại các
kiến thức có liên quan như kiến thức về phương trình bậc hai, phương rình bậc ba,
điều kiện có nghiệm …Bên cạnh đó rèn luyện kĩ năng vẽ và đọc bảng biến thiên
hay đồ thị của hàm số.
Đặc biệt, với các bài toán tương giao của hàm hợp chúng tôi chú trọng việc
rèn kĩ năng ghép trục tọa độ trong các bài toán hợp để giải nhanh một số bài toán
đó.
Với mỗi dạng bài tập giáo viên chọn một vài ví dụ điển hình để phân tích và
hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải và chọn ra cách giải tối ưu cho bài toán. Từ đó
đưa ra hệ thống bài tập tương tự dưới hình thức trắc nghiệm nhằm củng cố kiến
thức, giúp học sinh hiểu rõ và nắm chắc phương pháp giải
Tổ chức kiểm tra đánh giá sau mỗi chủ đề nhằm đánh giá khả năng tiếp thu
và vận dụng kiến thức cũng như các năng lực cần hình thành của học sinh để rút ra
phương pháp phát huy điểm mạnh khắc phục điểm yếu cho học sinh.
Trang 5
Sáng kiến kinh nghiệm
II. Những kĩ năng cần rèn luyện cho học sinh qua việc giải toán tương giao của
hàm số
II.1. Rèn kĩ năng giải toán tương giao của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến
thiên cho trước.
1. Kĩ năng tìm số nghiệm của phương trình af ( x) + b = 0 , a f ( x) + b = 0,...
Kiến thức trọng tâm:
+ Cho hàm số y = f ( x)
có đồ thị là ( C ) ; hàm số y = g ( x)
có đồ thị là ( C )
1
Số giao điểm của 2 đồ thị ( C
1 ) và ( C
2 ) chính là số nghiệm của phương trình hoành
độ giao điểm: f ( x) = g ( x)
và ngược lại
Phương pháp:
Để tìm số nghiệm của phương trình af ( x) + b = 0, a f ( x) + b = 0,... bằng
phương pháp bảng biến thiên, hoặc đồ thị hàm số ta làm như sau:
−b
+) Đưa phương trình về dạng f ( x)
= hoặc f ( x)
a
−b
= ,…
a
+) Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x)
, y = f ( x)
,…
+) Dựa vào BBT, hoặc đồ thị hàm số và giả thiết để đưa ra kết luận
Kĩ năng cần rèn luyện:
Rèn luyện cho sinh kĩ năng vận dụng kiến thức về sự tương giao để tìm số
nghiệm của phương trình
Rèn luyện cho học sinh kĩ năng quan sát bảng biến thiên, đồ thị hàm số để
tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x),
y = f ( x)
…với đường thẳng y=k
Rèn kĩ năng vẽ đồ thị hàm số y = f ( x)
khi biết bảng biến thiên hay đồ thị
hàm số y = f ( x)
Ví dụ 1: Cho hàm số y f ( x)
= có bảng biến thiên sau
2
Trang 6
Sáng kiến kinh nghiệm
Tìm số nghiệm phương trình 2 f ( x)
− 1=
0
Hướng dẫn
1
− = ⇔ = .
2
Ta có, phương trình 2 f ( x) 1 0 f ( x)
Khi đó số nghiệm phương trình ( )
của đồ thị hàm số y ( )
1
f x = bằng số giao điểm
2
= f x
1
và đường thẳng y = .
2
1
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y = và đồ thị
2
y = f x có 4 giao điểm phân biệt. Do đó, phương
hàm số ( )
trình 2 f ( x)
− 1= 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x)
có đồ thị như hình vẽ.
Tìm số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x ) − 5 = 0 là
Hướng dẫn
5
− = ⇔ = .
2
Ta có, phương trình 2 f ( x) 5 0 f ( x)
Khi đó số nghiệm phương trình ( )
( )
y = f x và đường thẳng
5
y = .
2
5
Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng
2
điểm phân biệt. Do đó, phương trình 2 ( ) − 5 = 0
5
f x = bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
2
y = và đồ thị hàm số y f ( x)
f x có 1 nghiệm phân biệt.
= có 1 giao
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x)
có đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ . Tìm
Trang 7
Sáng kiến kinh nghiệm
số nghiệm của phương trình 2 f ( x ) = 3
Hướng dẫn
3
= ⇔ = .
2
Ta có, phương trình 2 f ( x) 3 f ( x)
Khi đó số nghiệm phương trình 2 f ( x ) = 3 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ( x)
và đường thẳng
3
y = .
2
Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng
3
2
2 3
điểm phân biệt. Do đó, phương trình ( )
y = và đồ thị hàm số y = f ( x)
có 4 giao
f x = có 4 nghiệm phân biệt.
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x)
có bảng biến thiên như sau
Trang 8
Sáng kiến kinh nghiệm
Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x ) + 5 = 0 là
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Bài tập 2: Cho hàm số y f ( x)
= có đồ thị như sau
Phương trình f ( x ) = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.
Bài tập 3: Cho hàm số y = f ( x)
có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x)
− 1 = 0là
A.6. B. 4 . C. 2 . D. 3 .
2. Kĩ năng tìm tham số m để phương trình af ( x) + bg( m) = 0 ,
a f ( x) + bg( m) = 0có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Để tìm số nghiệm của phương trình af ( x) + bg( m) = 0, a f ( x) + bg( m) = 0,...
bằng phương pháp bảng biến thiên, hoặc đồ thị hàm số ta làm như sau:
−bg( m)
−bg( m)
+) Đưa phương trình về dạng f ( x)
= hoặc f ( x)
= ,…
a
a
+) Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x)
, y = f ( x)
,…
+) Dựa vào BBT, hoặc đồ thị hàm số và giả thiết để đưa ra kết luận cho tham
Trang 9
Sáng kiến kinh nghiệm
số m
Kĩ năng cần rèn luyện:
Ngoài những kĩ năng cần rèn luyện cho học sinh trong phần 1 (trang5) ta
cần rèn luyện thêm cho học sinh khả năng biện luận, dự đoán, phân tích các kết quả
−bg( m)
xảy ra khi đường thẳng y = thay đổi
a
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
3
2x − 6x + 2m
= 0 có hai điểm phân biệt?
Hướng dẫn:
Ta có 2x 3 − 6x + 2m = 0 ⇔ − x 3 + 3x = m ( 1)
Xét hàm số ( ) 3
2 x
= 1
f x = − x + 3x ( C ).Ta có f ( x) 3x
3 0
′ = − + = ⇔
x
= − 1
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số
3
( ) = − + 3 ( ) giao đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt. Do đó m = 2 hoặc
f x x x C
m = − 2. Vậy chỉ có một giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x)
liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả
các giá trị của tham số m để phương trình f ( x) − m = 0 có nghiệm duy nhất lớn hơn
2.
Hướng dẫn
Trang 10
Sáng kiến kinh nghiệm
Ta có f ( x) − m = 0( ∗ )
Xem phương trình ( ∗ ) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
(C): y = f ( x)
và đường thẳng d: y = m. Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của
( ∗ ) . Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán m 4
⇔ < − .
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x)
xác định trên R \ { 0}
định và có bảng biến thiên như sau:
, liên tục trên mỗi khoảng xác
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình f ( x)
= m
có hai nghiệm thực phân biệt?
Hướng dẫn:
Phương trình f ( x)
= m có 2 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm
số y = f ( x)
tại hai điểm phân biệt. Dựa vào bảng biến thiên ( ; 1] { 2}
m ∈ −∞ − ∪ .
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x)
có đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ . Tìm
tất cả các giá trị thực của m để phương trình f ( x)
= m có 4 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn:
Ta có : f ( x)
( ) ( )
f ( x) khi f ( x)
f x khi f x ≥ 0
= .
− < 0
Trang 11
Sáng kiến kinh nghiệm
Suy ra, đồ thị hàm số y = f ( x)
gồm 2 phần:
Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f ( x)
ở phía trên trục Ox .
Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số y = f ( x)
phía dưới trục Ox .
Số nghiệm của phương trình f ( x)
= m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x)
và đường thẳng y
= m .
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < m < 4 .
Ví dụ 8: Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm trùng phương
y = f ( x)
. Tìm giá trị của m để phương trình f ( x)
= m có
4 nghiệm phân biệt
A. m = 0; m = 3. B. 1< m < 3.
Hướng dẫn
C. − 3 < m < 1. D. m < 0.
Đồ thị hàm số y = f ( x)
như hình vẽ
Số nghiệm phương trình f ( x)
và đường thẳng y
= m .
= m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x)
Trang 12
Sáng kiến kinh nghiệm
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f ( x)
= m có 4 nghiệm phân biệt khi
và chỉ khi m = 0 hoặc m = 3.
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Cho hàm số y f ( x)
phương trình f ( x) 2m
1 0
= có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị m dương để
+ + = có hai nghiệm là
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Bài tập 2: Cho đồ thị của hàm số y = f ( x)
như hình vẽ. Tìm số giá trị nguyên của
m để phương trình f ( x)
= m có đúng 3 nghiệm phân biệt.
A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Bài tập 3: Cho hàm số y = f ( x)
có đồ thị như đường cong trong hình vẽ dưới đây.
Tìm giá trị của tham số m để phương trình f ( x) + 1= m có 6 nghiệm phân biệt?
Trang 13
Sáng kiến kinh nghiệm
A. 4 < m < 5 B. m > 5 C. 0 < m < 4 D. − 4 < m < − 3
II.2. Rèn kĩ năng giải toán tương giao của hàm số thông qua hàm số cho
trước.
1. Kĩ năng tìm số giao điểm, tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị y = f ( x)
và
y = g( x)
Phương pháp:
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm: f ( x) g( x)
= (1)
+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm
+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị
Kĩ năng cần rèn luyện:
Rèn luyện cho học sinh kĩ năng lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ
thị, kĩ năng giải phương trình để tìm ra tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
3
Ví dụ 9: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 3x
+ 3 và đường thẳng y x
Hướng dẫn:
= .
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
3
Vậy đồ thị hai hàm số có ba giao điểm.
x − 3x + 3 = x
3
⇔ x − x + =
4 3 0
x = 1
− 1+
13
⇔
x =
2
−1−
13
x =
2
.
3 2
3 2
Ví dụ 10: Đồ thị hàm số y = x − 3x
+ 1 và đồ thị hàm số y = x − 3x
có bao nhiêu
giao điểm?
Hướng dẫn
3 2 3 2
Phương trình hoành độ giao điểm x − 3x + 1 = x − 3x
. Phương trình này vô nghiệm
nên hai đồ thị không có giao điểm.
4 2
Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y = − x + 2x
+ 3 và trục hoành có bao nhiêu điểm chung?
Trang 14
Sáng kiến kinh nghiệm
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm:
( )
4 2 2 2 2
− x + 2x + 3= 0⇔ x + 1 ( x − 3) = 0⇔ x = 3⇔ x=± 3.
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
4 2
Ví dụ 12: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 5x
+ 5 và đường thẳng y = 1
Hướng dẫn
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
4 2 4 2 2 2
x − 5x + 5 = 1 x − 5x + 4 = 0 x = 4 ∨ x = 1
4 2
x − 5x
+ 5 = 1 ⇔ ⇔
4 2
⇔
4 2
2 2
x − 5x + 5 = −1 x − 5x + 6 = 0 x = 3∨ x = 2
x = 2 ∨ x = −2 ∨ x = 1∨ x = −1
⇔
x = 3 ∨ x = − 3 ∨ x = 2 ∨ x = − 2
Vậy có 8 giao điểm
4 2
Ví dụ 13: Cho hàm số y = f ( x) = x + 2x
. Tìm số giao điểm của đồ thị
( 1 )
y = f x + và đường thẳng y=3:
Hướng dẫn:
Ta có: f ( x 1 ) x 1 2 x 1 ( x 1) 2( x 1)
( 1 )
+ = + 4 + + 2 = + 4 + + 2
. Do đó số giao điểm của đồ thị
y = f x + và đường thẳng y = 3 là nghiệm của phương trình:
( ) ( ) ( )
( x )
2
4 2
+ 1 = 1 x
= 0
+ 1 − 3 = 0 ⇔ + 1 + 2 + 1 − 3 = 0 ⇔
⇔
2
x = −
f x x x
( x )
+ 1 = − 3 < 0
Vậy có 2 giao điểm.
4 2
Ví dụ 14: Cho hàm số y = f ( x) = − x + 3 x . Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số
( 2)
y = f x − và đường thẳng y = − 4
Hướng dẫn
Xét phương trình hoành độ giao điểm ( 2)
4
( )
( x )
f x − = − .
2
x − = − < x = x = ∨ x = −
4 2
2 1 0 4 4 4
⇔ −( x − 2) + 3( x − 2)
= −4
⇔
⇔ ⇔
2
− 2 = 4
x = 0 x
= 0
2
.
.
Trang 15
Sáng kiến kinh nghiệm
Ta có số giao điểm của đồ thị hàm số y f ( x 2)
= − và đường thẳng y = − 4 bằng số
nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Vậy có 3 giao điểm.
Ví dụ 15: Gọi M , N
số
2x
+ 4
y =
x −1
Hướng dẫn
lần lượt là giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đồ thị hàm
. Tìm hoành độ của trung điểm I của đoạn thẳng MN .
2x
+ 4
x −1
Phương trình hoành độ giao điểm: x + 1 = ( x ≠ 1)
Hoành độ của M , N là các nghiệm của phương trình ( 1 ) nên theo định lý Viet:
x
M
+ x = 2
N
x + x
= = .
2
M N
Suy ra hoành độ của trung điểm I của đoạn thẳng MN là: x
1
Ví dụ 16: Cho hàm số
y
x + 1
x 1
= có đồ thị ( C ) và đường thẳng d : 2x − y − 1 = 0 . Biết d
−
cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt M ( x1; y1 ); N ( x2;
y
2 ) . Tính y1 y2
Hướng dẫn
x + 1
x −1
Phương trình hoành độ giao điểm: 2x
− 1 = ( x ≠ 1)
I
+ .
⇔ − =
( )
2
2x
4x
0 1
Hoành độ của M , N là các nghiệm của phương trình ( 1 ) nên theo định lý Viet:
x
1
x2 2
+ = .
Suy ra y y ( x ) ( x )
+ = 2 − 1 + 2 − 1 = 2
1 2 1 2
2. Kĩ năng tìm tham số m để đồ thị hai hàm số y = f ( x, m)
và y = g( x, m)
cắt
nhau tại n điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Để tìm điều kiện của tham số m sao cho đồ thị hai hàm số cắt nhau thỏa mãn
điều kiện cho trước thì học sinh vẫn phải vận dụng kiến thức dùng phương trình
hoành độ giao điểm sau đó biến đổi phù hợp với yêu cầu bài toán cần hướng tới.
Với mục đích khắc sâu và nâng cao khả năng vận dụng kiến thức khi giải toán
tương giao của hàm số tác giả chia làm ba loại hàm thường gặp: hàm số bậc ba,
hàm số trùng phương và hàm số bậc nhất trên bậc nhất
Ngoài ra học sinh còn phải biết vận dụng kiến thức về điều kiện có nghiệm
của phương trình bậc hai, điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện
Trang 16
Sáng kiến kinh nghiệm
cho trước, kĩ năng vận dụng kiến thức hình học vào giải toán như: tọa độ trung
điểm của đoạn thẳng, diện tích tam giác, tích vô hướng…,và kĩ năng vận dụng kiến
thức về cấp số cộng, cấp số nhân để giải toán
2.1. Kĩ năng tìm tham số m trong bài toán tương giao đồ thị hàm số bậc ba
Phương pháp giải toán tương giao đồ thị của hàm số bậc ba
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm
Phương trình hoành độ giao điểm được đưa về dạng ax 3 bx 2 cx d 0 ( 1)
+ + + = .
Để giải bài toán về tương giao của đồ thị hàm bậc ba với đường thẳng,
parabol hoặc đồ thị hàm bậc ba khác về nguyên tắc ta sẽ xét phương trình hoành
độ giao điểm (với bậc cao nhất là bậc ba). Tuy nhiên, trong chương trình phổ
thông thì phương trình bậc ba không được học cách giải tổng quát, do đó có nhiều
bài phải dùng đến những kĩ thuật khác nhau xoay quanh các phương pháp: nhẩm
nghiệm hữu tỉ của phương trình bậc ba, dựa vào hình dạng đồ thị và cực trị hàm
bậc ba,… sao cho phù hợp.
Đối với những bài toán có chứa tham số, thì ta nên áp dụng các cách giải theo các
thứ tự ưu tiên sau:
Giải pháp thứ nhất: Biết được ( 1 ) có một nghiệm x = α . khi đó
3 2
2
ax + bx + cx + d = 0 ⇔ ( x − )( a x + b x + c ) =
x
= α
α
1 1 1
0 ⇔ 2
a1 x + b1 x + c1 = 0
Tùy yêu cầu mà ta có điều kiện tương ứng của phương trình
a x + b x + c = .
2
1 1 1
0
Giải pháp thứ hai: Không biết được nghiệm của ( 1)
nhưng có thể cô lập biến số và
tham số về 2 vế của phương trình rồi lập BBT của hàm số chứa biến đã được cô
lập. Quan sát BBT sẽ nhìn thấy điều kiện để phương trình thỏa mãn yêu cầu.
3 2
Giải pháp thứ ba: Hàm số f ( x) = ax + bx + cx + d có các điểm cực trị là số đẹp, khi
đó ta có
+) ( 1)
có 1 nghiệm ⇔ f ( x)
không có cực trị hoặc có cực trị thỏa mãn . 0
+) ( 2)
có 2 nghiệm phân biệt ⇔ f ( x)
có cực trị thỏa mãn . 0
f f = .
CD
CT
f f > .
CD
CT
Trang 17
Sáng kiến kinh nghiệm
+) ( 2)
có 3 nghiệm phân biệt ⇔ f ( x)
có cực trị thỏa mãn . 0
f f < .
3 2
Giải pháp thứ tư: Hàm số f ( x) = ax + bx + cx + d có các điểm cực trị là số lẻ, khi đó
ta sử dụng tới đường thẳng đi qua hai điểm cực trị và kết hợp với định lý Viet để
tính f . f .
CD
CT
Tóm tắt các dạng cụ thể.
*) Phương trình ( 1 ) có một nghiệm (H.1).
Phương trình
a x + b x + c = vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép trùng α .
2
1 1 1
0
Hoặc hàm số y = f ( x)
không có cực trị
( )
( )
f ' x ≥ 0, ∀x
∈ R
⇔
f ' x ≤ 0, ∀x
∈ R
Hoặc hàm số y = f ( x)
có cực đại, cực tiểu và f . f > 0
CD
CT
CD
CT
*) Phương trình ( 1 ) có hai nghiệm phân biệt (H.2)
Phương trình
a x + b x + c = có nghiệm kép khác α .
2
1 1 1
0
Hoặc
a x + b x + c = có 2 nghiệm phân biệt và có 1 nghiệm bằng α .
2
1 1 1
0
Hoặc hàm số y = f ( x)
có cực đại và cực tiểu thỏa mãn f . f = 0
*) Phương trình ( 1 ) có ba nghiệm phân biệt (H.3)
CD
CT
Phương trình
a x + b x + c = có nghiệm kép khác α .
2
1 1 1
0
Hoặc hàm số y = f ( x)
có cực đại và cực tiểu thỏa mãn f . f < 0
CD
CT
Trang 18
Sáng kiến kinh nghiệm
*) Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
dương.
⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt.
⇔ x = α > 0và phương trình
a x + b x + c = có 2 nghiệm phân biệt dương khác α .
2
1 1 1
0
Hoặc hàm số y = f ( x)
có cực đại và cực tiểu thỏa mãn
fCD. fCT
< 0
xCD
> 0, xCT
> 0
af
( 0)
< 0
*) Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.
⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt.
⇔ x = α < 0và phương trình
a x + b x + c = có 2 nghiệm phân biệt âm khác α .
2
1 1 1
0
Hoặc hàm số y = f ( x)
có cực đại và cực tiểu thỏa mãn
fcd. fct
< 0
xcd
< 0, xct
< 0
af
( 0)
> 0
Trang 19
Sáng kiến kinh nghiệm
Đặc biệt: Trong bài toán tương giao có chứa tham số và liên quan tới cấp số cộng,
cấp số nhân ta phải giả sử phương trình có ba nghiệm từ đó dùng phương pháp
đồng nhất hệ số để đưa ra mối liên hệ cần thết giữa ba nghiệm đó
Ví dụ 17: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số ( )
trục hoành tại một điểm duy nhất.
Hướng dẫn
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục hoành là:
− + + − = ⇔ − = −
3 2 3 2
2x 3x 2m 1 0 2x 3x 2m
1. 1
3 2
C : y = − 2x + 3x + 2m
− 1 cắt
(Nhìn vào phương trình hoành độ giao điểm ta có thể cô lập tham số nên ta dùng
giải pháp 2)
( )
Số giao điểm của ( C ) và trục hoành chính là số nghiệm của phương trình ( 1 ) .
Mặt khác số nghiệm của ( 1 ) chính là số giao điểm của đồ thị ( C′ ) của hàm số
3 2
= 2 − 3 với đường thẳng dm
: y 2m
1
y x x
= − .
Xét hàm số
y x x
3 2
= 2 − 3 . Ta có
x = 0
2
y′ = 6x − 6x
= 0 ⇔ .
x
= 1
Bảng biến thiên:
Trang 20
Sáng kiến kinh nghiệm
Khi đó yêu cầu bài toán ⇔ ( C′ ) cắt d
m tại 1 điểm duy nhất
1
2m
− 1 > 0 m >
⇔
⇔ 2
2m
− 1< −1
m
< 0
Ví dụ 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈ −2019; 2019
để đồ thị hàm số
3
y x m x
= + ( + 2) + 1 cắt đường thẳng y = 2x − 1 tại một điểm duy nhất và thỏa mãn
hoành độ dương ?
Hướng dẫn
(Tương tự như ví dụ 17 ta có thể sử dụng giải pháp 2 cô lập tham số m)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:
3
x + mx + 2 = 0
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với
2 2
( 0)
m = −x − x ≠
x
2 2
Xét hàm số f ( x)
= −x
− với x ≠ 0, suy ra
x
3
2 − 2x
+ 2
f '( x) = − 2x
+ = , f '( x) = 0 ⇔ x = 1
2 2
x x
Bảng biến thiên:
x −∞ 0 1 +∞
f x + + 0 -
'( )
f ( x )
+∞
−∞
−∞
−∞
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị của m để đồ thị cắt trục hoành tại
một điểm duy nhất có hoành độ dương.
Ví dụ 19: Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
3 2
y = x + 3mx − 3m
cắt đường thẳng y = 3x
− 2 tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn
( Nhận thấy phương trình hoành độ có một nghiệm đẹp x=1 nên ta dùng giải
pháp 1 để giải)
-3
Trang 21
Sáng kiến kinh nghiệm
Phương trình hoành độ giao điểm là
3 2
x + 3mx − 3m = 3x
− 2
3 2
⇔ x + mx − x − m + =
3 3 3 2 0
Đặt
2
x
= 1
2
⇔ ( x − 1) x + (3m + 1) x + 3m
− 2
= 0 ⇔ 2
x m x m
g( x) = x + (3m + 1) x + 3m
− 2 .
+ (3 + 1) + 3 − 2 = 0
3 2
Đồ thị của hàm số y = x + 3mx − 3m
cắt đường thẳng y = 3x
− 2 tại ba điểm phân
2
biệt khi và chỉ khi phương trình x + (3m + 1) x + 3m
− 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt
khác 1
2
∆ = 9 − 6 + 9 > 0, ∀
m m m
⇔
⇔ m ≠ 0.
g(1) = 6m
≠ 0
Vậy m ∈ R \{ 0 }.
Ví dụ 20: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số tham số m thuộc khoảng
2
( − 2020;2020)
để parabol y = x − 3x
+ 2 cắt đồ thị của hàm số
y x x m x m
3 2 2 2
= − 2 − 3 + + 1 tại ba điểm phân biệt?
Hướng dẫn
( Trong ví dụ này ta đề cập tới giải pháp thứ 3 tức là hàm số trong vế trái của
phương trình hoành độ có các điểm cực trị là số đẹp)
Phương trình hoành độ giao điểm:
.
3 2 2 2 2
x x m x m x x
− 2 − 3 + + 1 = − 3 + 2
3 2 2 2
⇔ x − x + − m x + m − =
3 3(1 ) 1 0
3 2 2 2
Đặt f x x x m x m
( ) 3 3(1 ) 1
2 2
= − + − + − . Ta có f x x x m
'( ) = 3 − 6 + 3(1 − ) .
x
= 1−
m
3 2 3 2
f '( x) = 0 ⇔ . Ta có f (1 − m) = 2m − 2 m ; f (1 + m) = −2m − 2m
.
x
= 1 + m
2
3 2 2 2
Parabol y = x − 3x
+ 2 cắt đồ thị của hàm số y = x − 2x − 3m x + m + 1 tại ba điểm
3 2 2 2
phân biệt khi và chỉ khi phương trình x − 3x + 3(1 − m ) x + m − 1 = 0 có ba nghiệm
phân biệt
⇔
m
≠ 0
f (1 − m). f (1 + m) < 0
m
≠ 0
⇔
3 2 3 2
(2m − 2 m ).( −2m − 2 m ) < 0
m
< −1
⇔ ( m − 1)( m + 1) > 0 ⇔ .
m
> 1
Vì m nguyên thuộc khoảng ( − 2020;2020)
nên
m∈{ −2019; −2018;...; −3; −2} ∪ { 2;3;..;2018;2019 }.
Trang 22
Sáng kiến kinh nghiệm
Vậy có tất cả 4036 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3 2
Ví dụ 21: Cho hàm số y = x − 3x + ( m + 1)
x + 1 có đồ thị ( C ). Tìm m để đường thẳng
= + cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt P ( 0;1)
; M ; N sao cho bán kính đường tròn
d : y x 1
ngoại tiếp tam giác OMN bằng 5 2
2
Hướng dẫn
(với O là gốc tọa độ).
( Ví dụ 21 lại sử dụng giải pháp 1, tuy nhiên học sinh còn phải biết vận dụng công
thức liên quan tới bán kính đường tròn ngoại tiếp,định lí Vi-ét để giải)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và d :
x
= 0 ( y = 1)
− 3 + ( + 1)
+ 1 = + 1 ⇔ 2
x − 3x + m = 0 (1)
3 2
x x m x x
( C ) cắt d tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
⇔ 2
∆ = 9 − 4m
> 0 9
⇔ 0 ≠ m <
0 − 3.0 + m ≠ 0 4
(*)
Gọi M x1 x1 N x2 x2
( ; + 1), ( ; + 1) với x 1
, x 2 là hai nghiệm phương trình (1).
x
+ x = 3
x1 x2
= m
Theo hệ thức Viet ta có:
1 2
. Khoảng cách từ O đến d là:
h =
1
2
Ta có:
S
OMN
=
MN. OM . ON
4R
1 MN. OM . ON
⇔ MN. h = ⇔ OM . ON = 5
2 4R
⇔ (2x + 2x + 1)(2 x + 2x
+ 1) = 25
2 2
1 1 2 2
⇔ 4( x x ) + 4 x x ( x + x ) + 2( x + x ) + 2( x + x ) = 24
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
m
= 0
⇔ 4 m( m + 3) = 0 ⇔
m
= −3
Đối chiếu (*) ta được m = − 3.
3 2
Ví dụ 22: Cho hàm số y = x − 3x − 9x + m có đồ thị ( C
m ) . Có tất cả bao nhiêu giá trị
của m để đồ thị ( C
m ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp
số cộng?
Hướng dẫn
Trang 23
Sáng kiến kinh nghiệm
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
x − 3x − 9x + m = 0 ( ∗ )
Giả sử đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x 1
, x 2
, x 3
< < thì x1, x2 , x
3
là nghiệm của phương trình ( ∗ ).
( x x x )
1 2 3
Khi đó:
3 2
x − x − x + m = x − x1 x − x2 x − x3
3 9 ( )( )( )
= x − ( x + x + x ) x + ( x x + x x + x x ) x − x x x
3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
x + x + x = 3 (1)
1 2 3
Do x 1
, x 2
, x 3
lập thành một cấp số cộng x1 x3 x2
⇔ + = 2 (2) .
Thế (2) vào (1) ta có: x
2
= 1. Thay x
2
= 1vào phương trình ( ∗ ), tìm được m = 11.
Thử lại thấy có m = 11 thỏa yêu cầu bài toán. Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn.
3 2
Ví dụ 23: Cho hàm số y = x − mx − 6x
− 8 có đồ thị ( C
m ) . Hỏi có tất cả bao nhiêu
giá trị của m để đồ thị ( C
m ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập
thành cấp số nhân?
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
x mx x
− −6 − 8 = 0
Ta chứng minh nếu x
1
, x
2
, x
3
là nghiệm của phương trình
x1 x2x 3
= 8 .
3 2
x mx x
− −6 − 8 = 0 thì
3 2
Thật vậy x − mx − 6x − 8 = ( x − x )( x − x )( x − x )
1 2 3
( ) ( )
x − mx − 6x − 8 = x − x + x + x x + x x + x x + x x x − x x x
3 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
x1 x2x3 = 8 .
Phương trình
3 2
x mx x
− −6 − 8 = 0 có ba nghiệm thực x 1
< x 2
< x 3
lập thành một cấp số nhân
x . x = x
2
1 3 2
x . x . x = x
3
1 2 3 2
3
8 = x 2 x2 = 2 .
Vậy phương trình
3 2
x mx x
− −6 − 8 = 0 phải có nghiệm bằng 2 .
Thay x = 2 vào phương trình ta có m = − 3.
Trang 24
Sáng kiến kinh nghiệm
Thử lại với m = − 3 ta thấy thỏa mãn.
Qua các ví dụ từ 17 tới 21 mỗi ví dụ đều dùng giải pháp khác nhau để xử lí
nhằm minh họa một cách rõ ràng các phương pháp có thể áp dụng. Từ đó giúp học
sinh nâng cao được kĩ năng giải toán từ đó phát triển tư duy cho học sinh
Như đã nói ở trên, bài toán tìm điều kiện của tham số m để hai đồ thị hàm
số cắt nhau tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng hay cấp số nhân trong ví
dụ 22, ví dụ 23 tưởng như rất phức tạp nhưng nếu ta biết sử dụng phương pháp
đồng nhất hệ số để đưa ra mối quan hệ của các nghiệm thì bài toán trở nên đơn
giản hơn nhiều
Bài tập tương tự
3 2
Bài tập 1: Số giao điểm của đồ thị y = x − 2x + x − 1 và đường thẳng y 1 2
= − x là
A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
3 2
3
Bài tập 2: Đồ thị hàm số y = x − 3x + 3x
− 2 và đồ thị hàm số y = − x + 8x
− 2 có bao
nhiêu giao điểm?
A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
3 2
Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số y = x − 3x + 3x
− 2 và đồ thị hàm số
3 2
có duy nhất một giao điểm là A( a; b ) . Hãy tính a + b .
y = x − 3x + 2x
− 1
A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
Bài tập 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số
2
parabol y = − 10x + x − 1 tại đúng 1 điểm?
3 2
y = x + ax cắt
A. 9 . B. 10. C. 11. D. 8 .
Bài tập 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
3 2 2
2
y = x − 3x + 2m + 1 x + m − 1 và parabol y = 2x + x− m có hai giao điểm phân biệt và
( )
tổng hoành độ hai giao điểm đó là 3 ?
A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1.
Bài tập 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số tham số m để đồ thị hàm số
3 2
3 2
y = 2x − 3x
+ 1 cắt đồ thị của hàm số y = x − 6x + 9x + m − 1 tại ba điểm phân biệt ?
A. 33. B. 30. C. Vô số. D. 31.
Trang 25
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài tập 7: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = m( x − 1)
cắt đồ thị
3 2
hàm số y = x − 3x
+ 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x
3
thỏa mãn
x + x + x > .
2 2 2
1 2 3
5
A. m ≥ − 3. B. m ≥ − 2. C. m > − 3. D. m > − 2
1 1
3 3
d : y mx
1
3
3 2
Bài tập 8: Cho hàm số y = x − 2x + 3x
− có đồ thị là ( C ). Biết có duy nhất một
giá trị m
0
để đường thẳng
với A cố định và S = 2 S . Chọn khẳng định đúng?
OBC
OAB
= − cắt đồ thị ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C
A. m0 ∈ ( 0;1 ).
B. m0 ∈ ( 1;2 ).
C. m0 ∈ ( 2;3 ).
D. m ∈ ( )
Bài tập 9: Cho hàm số ( ) ( )
3 2 2 2
y x 4m 5 x 3m 12m 8 x 7m 8m
Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của m để đồ thị ( m )
biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?
0
3;4 .
= − + + + + − − có đồ thị ( C
m ) .
C cắt trục hoành tại ba điểm phân
A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 .
3 2
Bài tập 10: Cho hàm số y = x − ( 2m + 5)
x + 14mx
− 8 có đồ thị ( C
m ) . Biết m là giá trị
để đồ thị ( C
m ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân,
hỏi m thuộc khoảng nào dưới đây?
5 1
A. − ;
2 2
. B. 1 5
;
2 2
. C. 5 9
;
2 2
. D. 9 5
−
; −
2 2
.
2.2. Kĩ năng tìm tham số m trong bài toán tương giao đồ thị hàm số trùng
phương
Để xét sự tương giao của đồ thị hàm trùng phương với đường thẳng
y kx n = + ,hoặc với đồ thị một hàm số nào đó ta cũng xét phương trình hoành độ
giao điểm sau đó dựa vào yêu cầu của bài toán để đưa ra các điều kiện ràng buộc
cho nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.Chẳng hạn
+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0)
và
4 2 4 2
đường thẳng y = k là: ax + bx + c = k ⇔ ax + bx + c − k = 0 . Số nghiệm của phương
trình này là số giao điểm của đồ thì hàm số và đường thẳng đã cho.
+ Đặt t = x 2
( t ≥ 0)
. Phương trình trở thành at 2 + bt + c − k = 0 (*)
.
TH1: Phương trình (*)
có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì chúng không có điểm
chung.
Trang 26
Sáng kiến kinh nghiệm
TH2: Phương trình (*)
có 2 nghiệm trái dấu thì chúng có hai điểm chung.
TH3: Phương trình (*)
có 2 nghiệm dương phân biệt thì chúng có 4 điểm chung.
TH4: Phương trình (*)
có nghiệm kép dương thì chúng có 2 điểm chung.
TH5: Phương trình (*)
có 01 nghiệm dương và 01 nghiệm bằng 0 ( c = k ) thì chúng
có 3 điểm chung.
TH6: Nếu
duy nhất.
b
= 0
c
= k
2
phương trình (*)
trở thành at = 0( a ≠ 0)
thì chúng có 1 giao điểm
Ví dụ 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
4 2
y = mx − ( 2m − 10)
x + 6m
+ 10 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt?
Hướng dẫn
4 2
mx − 2m − 10 x + 6m+ 10 = 0 có 4 nghiệm phân biệt ta có
Để phương trình ( )
2
( m − 5) − m( 6m
+ 10)
> 0
' 0
∆ >
− 5 < m < 1
2m
−10
5
S > 0 ⇔ > 0 ⇔ m∈( −∞,0) ∪ ( 5, +∞)
⇔ − 5 < m < − .
m
3
P 0
>
6m
+ 10 −5
> 0
m∈
−∞, ∪ ( 0, +∞)
m
3
Do m nguyên nên m = −2; −3; − 4. Vậy có 3 giá trị của tham số m
Ví dụ 25: Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( − 20;20 ) để
4 2
đồ thị hàm số y = ( m+ 5) x + ( m−3)
x − m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt
Hướng dẫn
m x m x m
Để phương trình ( ) ( )
hợp
TH1: m = − 5 thỏa mãn
4 2
+ 5 + −3 − = 0 có 2 nghiệm phân biệt ta xét 4 trường
TH2:
2
( m ) m ( m )
− 3 + 4 + 5 = 0 m
= −1( TM )
m − 3
⇔ −9
m = −1
− > 0
m = ( KTM
m + 5
5
thỏa mãn.
TH3: m= 0 bị loại.
TH4: ( )
m
> 0
m + 5 m > 0 ⇔ m = −19,.., −6;1,..19.
m
< −5
Trang 27
Sáng kiến kinh nghiệm
Như vậy có các giá trị sau của tham số m : −19; −18;...; −5; − 1;1; 2;...;19. Tổng các giá
trị này bằng 2 + 3+ 4 = 9.
4 2
Ví dụ 26: Cho hàm số y = x − ( m −1)
x − m (C). Tìm m để ( C ) cắt Ox tại 2 điểm
phân biệt có hoành độ x1, x
2 thỏa mãn x1 + x2 = 4.
Hướng dẫn
Xét phương trình hoành độ giao điểm
2
x 1
4 2
− ( −1) − =0 ⇔
2
x = m
x m x m
=−
Đề ( C ) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt thì m> 0. Khi đó x 1
= m;
x 2
= − m .
x1 + x2 = 4 ⇔ 2 m = 4 ⇔ m = 2 ⇔ m = 4.
Vậy giá trị cần tìm là m= 4.
Ví dụ 27: Cho hàm số y = x 4 − ( 2m+ 4)
x 2 + m
2
với m là tham số thực. Tìm m để đồ
thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một
cấp số cộng.
Hướng dẫn
Sử dụng công thức giải nhanh sau: Đồ thị hàm số
bốn điểm lập thành một cấp số cộng thì điều kiện:
2
ac > 0 1. m > 0
1
m =
3
< 0 ⇔ 1. − 2 + 4 < 0 ⇔
3
2 100
2 100 m = −
b = ac
2
( 2m + 4)
= m
4
9
9
(*) ab
( m )
Chứng minh công thức (*):
Phương trình hoành độ giao điểm:
4 2
2
2
Đặt t = x ≥ 0 . Phương trình trở thành:
Đồ thị hàm số
ax + bx + c = 0 (1)
at + bt + c = 0 (2)
4 2
y= ax + bx + c cắt trục hoành tại
4 2
y= ax + bx + c cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi
phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt t 1
, t 2 . Điều kiện để PT (2) có hai
nghiệm dương phân biệt là:
Trang 28
Sáng kiến kinh nghiệm
a
≠ 0
b 4ac
0 a
≠ 0
b
S = t1 + t2
= − > 0 ⇔
a ab
< 0
c ac > 0
P
= t1. t2
= > 0
a
2
∆ = − >
∆ =
2
b − ac >
4 0
(I)
Với ĐK (I) phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 0< t1 < t2
. Khi đó
phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt: x1 = − t2 , x2 = − t1 , x3 = t1 , x4 = t2
theo
thứ tự lập thành cấp số cộng khi
x − x = x − x = x −x ⇔ t = 9t
. Theo định lý Viet:
2 1 3 2 4 3 2 1
Từ (I) và (II) suy ra công thức (*).
Bài tập tương tự
Bài tập 1: Tìm m để đường thẳng 1
4 2
y x (3m 2) x 3m
b
t1 + t2
= −
a
c
t1t
2
= a
2
.Từ đó
100
b = ac (II)
y = − cắt đồ thị hàm số ( C ) :
= − + + tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
A. m> 0. B.
1
− < m < 1
3
m ≠ 0
. C.
1
m
< −
3
m ≠ 0
. D. m ≥ 1.
4 2
Bài tập 2: Cho hàm số y = x − 2( m + 1) x + 2m
+ 1. Tìm m không âm để đồ thị hàm số
2 2 2 2
cắt trục Ox tại 4 điểm có hoành độ là x1 , x2, x3,
x
4 sao cho x1 + x2 + x3 + x4
đạt giá trị
nhỏ nhất.
A. m= 0. B. m = 1. C. m= 2. D. m= 3.
4 2
Bài tập 3: Cho hàm số y = x − 2( m + 1)
x + 2m
+ 1 có đồ thị là ( C
m ) . Định m để đồ thị
( C
m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
A.
4
m = 4;
−
9 . B. 4
m= −
9
. C. { 4}
m = . D. 4
m = −4;
9
4 2
Bài tập 4: Gọi ( C
m ) là đồ thị của hàm số y = x − ( 3m − 2)
x + 2m − 5m
− 1, m là tham
số. Giá trị m để ( C
m ) cắt đường thẳng d : y − 2 = 0 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ
lập thành một cấp số cộng thuộc khoảng?
A. m∈( − 3;0)
. B. m∈ ( 0;3)
. C. m∈ ( 3;6)
. D. ( 6;9)
9
m∈ .
m
Trang 29
Sáng kiến kinh nghiệm
2.3 .Kĩ năng tìm tham số m trong bài toán tương giao đồ thị hàm số
ax + b
cx + d
ax + b
y =
cx + d
Để xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ( c ≠ 0)
với đường thẳng y=kx+n
a ' x + b '
hoặc với đồ thị hàm số y = ( c ' ≠ 0)
c ' x + d ' hay đồ thị hàm số
ta đều đi xét phương trình hoành độ giao điểm chẳng hạn:
2
y Ax Bx C A
= + + ( ≠ 0)
ax + b = kx + n
cx d
+ sau đó
dựa vào yêu cầu của bài toán để đưa ra các điều kiện ràng buộc cho nghiệm của
phương trình hoành độ giao điểm.
Ví dụ 28: Cho hàm số
y
x
x 1
= có đồ thị ( C ) và đường thẳng :
−
giá trị thực của tham số m để d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt?
Hướng dẫn
d y x m
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị ( C ) là
x
= − x + m
x −1
2
x − mx + m = 0 (2)
(1) ⇔
x
≠ 1
= − + . Tìm các
Để d cắt( C ) tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình (1) có
hai nghiệm phân biệt, hay ( 2 ) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Tức là:
Ví dụ 29: Cho hàm số
2
∆ = m − 4m
> 0 m
> 4
⇔
1 ≠ 0
m
< 0.
x + 2
y = có đồ thị ( C ) và hàm số
x + 1
mx + 1
y =
x −1
có đồ thị là ( C ')
, với m là tham số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m thuộc khoảng ( − 5;15)
để ( C ) cắt ( C ') tại hai điểm phân biệt.
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và (
C ')
là:
x + 2 mx + 1
=
x + 1 x −1
( 1 )
x
≠ −1
⇔ x
≠ 1
2
( x + 2)( x − 1) = ( mx + 1)( x + 1)
( )
x
≠ −1
⇔ x ≠1
x ≠ 1
⇔
m − 1 x 2 + mx + 3 = 0 2
m− 1 x + mx + 3 = 0
( ) ( )
Trang 30
Sáng kiến kinh nghiệm
(vì ∀m∈R thì x = − 1 không là nghiệm của (2))
( C ) cắt ( C ') tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình ( 1)
có hai nghiệm phân biệt ⇔
phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt khác 1
1 0 m 1
m
− ≠
≠
m ≠ 1
2
⇔ ∆ > 0 ⇔ m − 12m + 12 > 0 ⇔ m
≠ −1
m 1 m 3 0 m 1
− + + ≠ ≠ −
m∈ −∞;6 − 2 6 ∪ 6 + 2 6; +∞
Do m ∈ Z và m ∈ ( − 5;15)
nên m ∈ { −4; −3; − 2; 0;11;12;13;14}
Vậy tổng tất cả các giá trị của m bẳng: 41
( ) ( )
x − 2
Ví dụ 30: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = cắt
x + 1
2
parabol y = x − mx + 2m
− 4 tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của
x − 2
2
y = và parabol y = x − mx + 2m
− 4 là:
x + 1
x − 2 = 2
x − mx + 2m
− 4
x + 1
(*) x 2 ( x 1)( x 2 mx 2m
4)
⇔ − = + − + − (Do x = − 1 không phải là
nghiệm của phương trình) ⇔ x − 2 = ( x + 1)( x − 2)( x + 2 − m)
2
( x 2)
x ( 3 m)
x 1 m
0 ⇔ 2
x + ( 3 − m) x + 1− m = 0 ( 1)
⇔ − + − + − =
x
= 2
x − 2
2
Đồ thị hàm số y = cắt parabol y = x − mx + 2m
− 4 tại ba điểm phân biệt
x + 1
⇔ Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2
( m)
m
2
( m) ( m)
4 + 2 3 − + 1 − ≠ 0 11
⇔ ⇔ m ≠
∆ = 3 − − 4 1 − > 0 3
.
2x
+ 1
Ví dụ 31: Cho hàm số y = có đồ thị (C). Gọi S là tập tất cả các giá trị của
x + 1
tham số m để đường thẳng d : y = x + m− 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho AB = 2 3 . Tính tổng bình phương các phần tử của S.
Trang 31
Sáng kiến kinh nghiệm
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là
2x
+ 1
x
≠ −1
= x + m − 1 ⇔ x +
x + m − x + m − =
2
1 ( 2) 2 0 (*).
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
khác − 1
∆ > (*)
0
⇔
− − − + − ≠
2
( 1) ( m 2) m 2 0
− − − >
⇔
1 ≠ 0
2
( m 2) 4( m 2) 0
m < 2
2
⇔ m − 8m
+ 12 > 0 ⇔ (**).
m
> 6
Khi đó, A( x1; x1
+ m − 1) và B( x2; x2
+ m − 1) , với x
1
và x
2
là hai nghiệm của phương
trình (*).
2 2 2
Hơn nữa, ta có AB = 2 3 ⇔ AB = 12 ⇔ 2( x − x ) = 12 ⇔ ( x + x ) − 4x x = 6 , với
x1 x2 2 m
2 1 1 2 1 2
2
m = 4 + 10
+ = − và x 1
x 2
= m − 2 . Từ đó, ta có m − 8m
+ 6 = 0 ⇔ .
m = 4 − 10
So điều kiện (**), ta nhận hai giá trị m trên. Do đó, S = { 4 − 10; 4 + 10}
.
2 2
Vậy, tổng bình phương các phần tử của S là ( 4 − 10 ) + ( 4 + 10 ) = 52.
Ví dụ 32: Cho hàm số
đường thẳng ( d) : y x m
cho tam giác OMN vuông tại O.
Hướng dẫn
x −1
y = có đồ thị ( C ). Tìm tất cả giá trị thực của m để
2x
C tại hai điểm phân biệt M , N sao
= − + cắt đồ thị hàm số ( )
Phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) và ( C ):
2
( ) 2 ( 2 1) 1 0 ( 1)
x −1
g x = x − m − x − =
= − x + m ⇔
2x
x
≠ 0
Đường thẳng ( d ) cắt đồ thị( C)
tại hai điểm phân biệt M , N khi phương trình
( 1 ) có hai nghiệm phân biệt khác 0
2
∆ = 4m
− 4m
+ 9 > 0
⇔
⇔ m ∈ R .
g ( 0)
= −1 ≠ 0
Trang 32
Sáng kiến kinh nghiệm
Gọi x , x ( x x )
trình ( )
≠ lần lượt là hoành độ của M và N thì x1,
x2
là nghiệm của phương
2m
−1 1
1 . Theo định lí Vi-et, ta có: x 1
+ x 2
= ; x 1
. x 2
= − .
2 2
1 2 1 2
Khi đó tọa độ giao điểm M ( x ; − x + m) , N ( x ; − x + m)
1 1 2 2
∆ OMN vuông tại O OM ⊥ ON ⇔ OM. ON = 0 ⇔ x . x + ( − x + m) .( − x + m)
= 0
2 2m
−1
2
⇔ 2 x1. x2 − m( x1 + x2
) + m = 0 ⇔ −1 − m. + m = 0 ⇔ m = 2
2
Bài tập tương tự
1 2 1 2
x + 2
Bài tập 1: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = − x + m với m
x + 1
là tham số. Tổng tất cả các giá trị của m để d và ( C ) có duy nhất một điểm chung.
A. 0 . B. 2 . C. − 2. D. 4 .
Bài tập 2: Tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị
x + 2
hàm số y = tại hai điểm phân biệt là
x − 1
A. R . B. ( − 2; +∞ ) . C. ( −∞ ; 3)
. D. ( 2;3)
− .
x −3
Bài tập 3: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = và
1 − x
2
parabol y = x − ( m + 1)
x + 3m
− 6 có đúng một điểm chung.
A. S = ∅ . B. S = R . C. S = ( −∞;1) ∪ ( 5; +∞ ). D. ( 1;5 )
S = .
Bài tập 4: Cho hàm số y =
x ( C) và điểm A( −1;1 ). Tìm m để đường thẳng
1− x
d : y = mx − m −1 cắt ( C)tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giá trị
nhỏ nhất.
A. m = −1. B. m = 0. C. m = −2. D. m = − 2 3 .
2x
+ 1
Bài tập 5: Cho hàm số y =
x + 1
đường thẳng d : y x m 1
AB = 2 3 .
có đồ thị ( C ). Tìm các giá trị của tham số m để
= + − cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho
Trang 33
Sáng kiến kinh nghiệm
A. m = 4± 3 . B. m = 4 ± 10 . C. m = 2 ± 10 . D. m = 2 ± 3
II.3. Rèn kĩ năng giải toán tương giao của hàm số qua các bài toán hàm hợp.
Xét bài toán : Cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y f ( x)
điểm của đồ thị hàm số y = f u( x ) với đường thẳng d .
Giải pháp 1:
( )
+ Đặt u( x) = t , xác định điều kiện của t .
Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y f ( x)
của đồ thị y = f ( t ) với d .
+ Với mỗi giao điểm có hoành độ i
t , thay vào ( ) =
= . Xét giao
= , xác định các giao điểm
u x
của x tương ứng. Để xác định x trong phương trình u( x) =
đồ thị hoặc lập bảng biến thiên của y u( x)
t để xác định các giá trị
t ta thường hay phải vẽ
= sau đó tìm giao điểm với y = t
( )
Từ các giá trị x này đánh giá được giao điểm của đồ thị hàm số y = f u( x )
với đường thẳng d .
Tuy nhiên trong trường hợp ( )
của hàm số y f ( x a)
u x = x + a để vẽ đồ thị hay lập bảng biến thiên
= + ta có thể dùng phương pháp tịnh tiến đồ thị như sau:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị (G) của hàm số y f ( x)
hai số dương tùy ý. Khi đó:
= ; p và q là
1) Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x)
+ q .
2) Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x)
− q.
3) Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y f ( x p)
= + .
4) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y f ( x p)
= − .
Giải pháp 2: Dùng cách ghép trục như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm y = f ( u ( x ))
, giả sử ta được tập xác định
D = ( a1; a2 ) ∪ ( a3; a4 ) ∪ ... ∪ ( an−
1;
an
). Ở đây có thể là a1 ≡ −∞; an
≡ +∞ .
Bước 2: Xét sự biến thiên của u = u ( x)
và hàm y = f ( x)
.
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa
x;
u = u ( x ) và
[ u; g f ( u)
]
= .
Bảng này thường có 3 dòng dạng
Trang 34
Sáng kiến kinh nghiệm
Cụ thể các thành phần trong BBT như sau
Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm u = u ( x)
, sắp xếp các điểm này theo thứ
tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: a1 < a2 < .... < a
n −1
< a ( đó là điểm biên
n
của tập xác định D , các điểm cực trị của u = u ( x)
.).
Dòng 2: Điền các giá trị u u ( a )
Trên mỗi khoảng ( )
i
=
i
với ( i = 1,..., n)
ui; ui+ 1
, i = 1, n − 1 cần bổ xung các điểm kỳ dị b 1
; b 2
;...; b k
f x và f ′( x)
không xác định; các
= .
của của hàm y = f ( x)
. (đó là các điểm tại đó ( )
điểm cực trị hàm số y f ( x)
Trên mỗi khoảng ( )
ui; ui+ 1
, i = 1, n − 1 cần sắp xếp các điểm ui;
bk
theo thứ tự
chẳng hạn: ui < b1 < b2 < ... < bk < u
i + 1
hoặc ui > b1 > b2 > ... > bk > u
i + 1
Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g = f ( u ( x ))
dựa vào BBT của hàm y = f ( x)
bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của x ; f ( u)
đóng vai trò của f ( x ) .
Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp g = f ( u ( x ))
ta thấy được hình dạng đồ thị
hàm này.
Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g = f u ( x ) giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài
toán và kết luận.
Ví dụ 33: Cho hàm số y f ( x)
( )
= có bảng biến thiên sau
a) Tìm số nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 (1)
b) Tìm số nghiệm của phương trình f ( x + 1)
= 0 (2)
Trang 35
Sáng kiến kinh nghiệm
c) Tìm số nghiệm của phương trình f ( x 2 x )
d) Tìm số nghiệm của phương trình f ( x 3 x)
− 2 + 1 = 0 (3)
− 3 = 0 (4)
e) Tìm số nghiệm của phương trình f ( sin x + 1)
= 0 (5) trên khoảng
2
x
f) Tìm số nghiệm của phương trình ( )
Hướng dẫn
f e − 3 + 1= 0 (6)
π 5π
− ;
2 2
Trong ví dụ 33 các câu tăng dần mức độ các hàm u=u(x) (từ câu b) thay đổi từ
dễ đến khó,tư đơn giản đến phức tạp. Tuy nhiên, câu nào cũng làm được bằng hai
cách, ngoài phương pháp đặt truyền thống ta còn có thể hướng dẫn học sinh cách
ghép trục để quyết nhanh các câu đó.
a) Đây là bài toán thuộc dạng cơ bản. Số nghiệm của phương trình bằng số giao
điểm của đồ thị y f ( x)
trình có 4 nghiệm phân biệt
= và đường thẳng y=0. Theo bảng biến thiên suy ra phương
b) Cách 1: Dùng phương pháp tịnh tiến đồ thị
Đồ thị của hàm số y = f ( x + 1)
có được khi tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x)
sang trái 1 đơn vị, do đó bảng biến thiên của hàm số y = f ( x + 1)
là
Từ bảng biến thiên suy ra số nghiệm của phương trình f ( x + 1)
= 0 là 4 nghiệm
Cách 2: Đặt t = x + 1. Khi đó phương trình trở thành phương trình f ( t ) = 0 ( 2 ')
.
Số nghiệm x của phương trình (2) bằng số nghiệm t của phương trình ( 2 ')
.
Số nghiệm của phương trình ( 2 ')
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t)
và
đường thẳng y = 0.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 0 và đồ thị hàm số y = f ( t)
có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 2 ')
có 4 nghiệm t phân biệt. Do
đó phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x
c) Cách 1: Đặt
2
t = x − 2x
+ 1.
Trang 36
Sáng kiến kinh nghiệm
Khi đó phương trình trở thành phương trình f ( t ) = 0 ( 3 ').
Số nghiệm của phương trình ( 3 ')
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ( t)
và đường thẳng y = 0.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 0 và đồ thị hàm số y = f ( t)
có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 3 ')
có 4 nghiệm t phân biệt đó
là
( ; 2)
( )
( )
( )
2
− + = ∈ −∞ −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
t
= a ∈ −∞ − x 2 x 1 a ; 2 3.1
2
t = b ∈ − 2;0 x − 2 x + 1 = b ∈ − 2;0 3.2
f ( t) = 0 ⇔
t = c ∈
x − x + = c ∈
t d
= ∈ +∞ x − x + = d ∈ +∞
2
0; 2 2 1 0; 2 3.3
2; 2
2 1 2; 3.4
Số nghiệm của các phương trình (3.1), (3.2),(3.3), (3.4) là số giao điểm của
đồ thị hàm số
2
y = x − 2x
+ 1 và các đường thẳng y = a, y = b, y = c,
y = d . Dựa vào
dồ thị ta thấy phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt.(Ta có thể có nhiều cách để
tính nghiệm của 4 phương trình (3.1), (3.2),(3.3), (3.4))
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục
Phân tích:
2
+) Đặt t = x − 2x + 1 t ' = 0 ⇔ x = 1 khi đó trên dòng 1 của bảng biến thiên có điểm
2
cực trị của t = x − 2x
+ 1là x=1
Trang 37
Sáng kiến kinh nghiệm
2
+) Trên dòng 2 ta tính giá trị cực trị của hàm số t = x − 2x
+ 1tại x=1 là t(1)=0. Đồng
thời lim t( x) ; lim t( x)
−∞ ;0 hàm số y=f(t) có điểm
= −∞ = +∞, trong khoảng ( )
x→−∞
x→+∞
cực trị là x=-2, trong khoảng ( )
0;+∞ hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=2.Nên ta
bổ sung hai điểm cực trị của hàm này trên dòng 2 của BBT
+) Trên dòng 3 ta tính các giá trị của hàm y=f(t) và xác định được sự biến thiên của
hàm số dựa vào giải thiết. Từ đó hoàn thành BBT của hàm số bằng cách ghép trục.
+) Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán ta suy ra được kết quả ta cần
Lời giải
2
Đặt t = x − 2x + 1 t ' = 0 ⇔ x = 1 ta có bảng biến thiên
x −∞ 1 +∞
2
= − 2 + 1 −∞ -2 0 2 +∞
t x x
y = f ( t)
+∞
-2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
d) Cách 1: Đặt
3
t = x − 3x
.
Khi đó phương trình trở thành phương trình f ( t ) = 0 ( 4 ')
.
Số nghiệm của phương trình ( 4 ')
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ( t)
và đường thẳng y = 0.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 0 và đồ thị hàm số y = f ( t)
có
đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 4 ')
có 4 nghiệm t phân biệt đó là
( ; 2)
( )
( )
( )
3
t
= a ∈ −∞ − x − x = a ∈ −∞ −
3
t = b ∈ − x − x = b ∈ −
1
-2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 ; 2 4.1
2;0 3 2;0 4.2
f ( t) = 0 ⇔
t = c ∈ x − x = c ∈
t d
= ∈ +∞ x − x = d ∈ +∞
3
0;2 3 0; 2 4.3
2; 3
3 2; 4.4
+∞
y=d
2
y=c
-1
O
1
y=b
-2
y=a
Trang 38
Sáng kiến kinh nghiệm
Số nghiệm của các phương trình (4.1), (4.2),(4.3), (4.4) là số giao điểm của
3
đồ thị hàm số y = x − 3x
và các đường thẳng y = a, y = b, y = c,
y = d . Dựa vào đồ
thị ta thấy phương trình (4) có 8 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục
Phân tích:
3 x
= 1
+) Đặt t x 3 x t ' 0
= − = ⇔
x = −1
t x 3x
3
cực trị của = − là x=1 và x=-1
khi đó trên dòng 1 của bảng biến thiên có điểm
3
+) Trên dòng 2 ta tính giá trị cực trị của hàm số t = x − 3x
tại x=1,x=-1 là t(-1)=2;
t(1)=-2. Đồng thời lim t( x) ; lim t( x)
−∞ ;2 hàm số
= −∞ = +∞, trong khoảng ( )
x→−∞
x→+∞
y=f(t) có điểm cực trị là x=-2 và x=0 , trong khoảng ( 2;2)
cực trị là x=0, trong khoảng ( − 2; )
− hàm số y=f(t) có điểm
+∞ hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=0 và x=2.
Nên ta bổ sung các điểm cực trị của hàm này trong mỗi khoảng trên dòng 2 của
BBT
+) Trên dòng 3 ta tính các giá trị của hàm y=f(t) và xác định được sự biến thiên của
hàm số dựa vào giải thiết. Từ đó hoàn thành BBT của hàm số bằng cách ghép trục.
+) Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán ta suy ra được kết quả ta cần
3 x
= 1
Lời giải: Đặt t x 3 x t ' 0
= − = ⇔
x = −1
ta có bảng biến thiên
x −∞ − 1
1 +∞
3
= − 3 −∞ -2 0 2 0 -2 0 2 +∞
t x x
y = f ( t)
+∞
1
1
1
+∞
-2
-2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = 0 có 8 nghiệm phân biệt
e) Cách 1: Đặt t sin x 1
= + .
Khi đó phương trình trở thành phương trình f ( t ) = 0 ( 5' ) .
Số nghiệm của phương trình ( 5' ) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t)
và
đường thẳng y = 0.
-2
-2
Trang 39
Sáng kiến kinh nghiệm
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 0 và đồ thị hàm số y = f ( t)
có
đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 5' ) có 4 nghiệm t phân biệt đó là
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
y=d
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
t = a ∈ −∞; − 2 sin x + 1 = a ∈ −∞; −2 5.1
t = b ∈ − 2;0 sin x + 1 = b ∈ −2;0 5.2
f ( t) = 0 ⇔
t = c ∈ 0;2
sin x + 1 = c ∈ 0; 2 5.3
t d 2;
= ∈ +∞ sin x + 1 = d ∈ 2; +∞ 5.4
y=c
Số nghiệm của các phương trình (5.1), (5.2),(5.3), (5.4) là số giao điểm của
đồ thị hàm số y = sin x + 1 và các đường thẳng y = a, y = b, y = c,
y = d . Dựa vào
đồ thị ta thấy phương trình (5) có 3 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục. Tương tự như phân tích câu c) và d) ta có
BBT của hàm số
Đặt
3
t sin x 1 t ' cos x, t ' 0 x π π
; x
2 2
= + = = ⇔ = = ta có bảng biến thiên
x
π
−
2
π
2
3π
2
t = sin x + 1 0 2 0 2
y = f ( t)
1
-2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt
f) Cách 1: Đặt
y
t
2
x
= e − 3 .
Khi đó phương trình trở thành phương trình f ( t ) = − 1 ( 6' ) .
Số nghiệm của phương trình ( 6' ) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
= f ( t)
và đường thẳng y = − 1.
y=a
1
y=b
5π
2
-2
Trang 40
Sáng kiến kinh nghiệm
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 0 và đồ thị hàm số y = f ( t)
có
đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 6' ) có 4 nghiệm t phân biệt đó là
( ; 2)
( )
( )
( 2; )
2
x
e − = a ∈ −∞ −
( ) ( )
t
= a ∈ −∞ −
3 ; 2 6.1
2
x
t b 2;0
= ∈ − e − 3 = b ∈ ( −2;0 ) ( 6.2)
f ( t) = 0 ⇔
2
t = c ∈ 0; 2 x
e − 3 = c ∈ ( 0; 2 ) ( 6.3)
t d
2
= ∈ +∞ x
e − 3 = d ∈ 2; +∞ 6.4
( ) ( )
y=d
2
y=c
O
y=b
-2 y=a
Số nghiệm của các phương trình (6.1), (6.2),(6.3), (6.4) là số giao điểm của
x
2
đồ thị hàm số y = e − 3 và các đường thẳng y = a, y = b, y = c,
y = d . Dựa vào dồ
thị ta thấy phương trình (6) có 6 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục
Đặt
2 2
x
x
= − 3 ' = 2 , ' = 0 ⇔ = 0 ta có bảng biến thiên
t e t xe t x
x −∞ 0 +∞
x
2
t = e − 3
+∞ 2 0 - 2 0 2 +∞
y = f ( t)
+∞
1
1
+∞
-2
-2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = 0 có 6 nghiệm phân biệt
Trong những năm gần đây BGD thường rất hay ra các câu tương giao hàm hợp
trong đề thi THPTQG cũng như trong đề thi tốt nghiệp lớp 12 mà một phương án
-2
Trang 41
Sáng kiến kinh nghiệm
tối ưu để học sinh tìm ra nhanh kết quả bài toán chính là phương pháp ghép trục,
chẳng hạn đề thi năm 2019.
Ví dụ 34 (Mã 101 đề thi THPTQG năm 2019):
Cho hàm số bậc ba y = f ( x)
có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình f ( x 3x)
− = là
3
3 4
A. 3 . B. 8 . C. 7 . D. 4 .
Hướng dẫn:
Cách 1: (Đáp án của BGD)
Xét phương trình: f ( x 3x)
3
1 .
3
2
Đặt t = x − 3x
, ta có: t′ = 3x
− 3 ; t′ = 0 ⇔ x = ± 1.
Ta có bảng biến thiên:
− = ( )
3 4
Phương trình ( 1 ) trở thành f ( t ) = với t ∈R.
Từ đồ thị hàm số y f ( x)
4
3
= ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( t)
như sau:
Trang 42
Sáng kiến kinh nghiệm
4
Suy ra phương trình f ( t ) = có các nghiệm t
3
1
< − 2 < t 2
< t 3
< 2 < t 4
.
Từ bảng biến thiên ban đầu ta có:
3
+) x − 3x = t1
có 1 nghiệm x 1
.
3
+) x − 3x = t4
có 1 nghiệm x
2
.
3
+) x − 3x = t2
có 3 nghiệm x3 , x3 , x
5
.
3
+) x − 3x = t3
có 3 nghiệm x6 , x7 , x
8
.
Vậy phương trình f ( x 3x)
− = có 8 nghiệm.
3
3 4
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục
a
b
Từ đồ thị y = f ( x)
ta gọi điểm cực đại, điểm cực của đồ thị của hàm số lần lượt
là M ( a; f ( a )),
với f ( a ) > 2, và N ( b; − 1)
3 x
= 1
Đặt t = x − 3 x t ' = 0 ⇔
x = −1
Khi đó
Phân tích để đưa ra BBT
3 x
= 1
+) Đặt t x 3 x t ' 0
= − = ⇔
x = −1
t x 3x
3
cực trị của = − là x=1 và x=-1
4
( )
4
f t =
3
f ( t)
= ⇔
3 4
f ( t)
= −
3
khi đó trên dòng 1 của bảng biến thiên có điểm
Trang 43
Sáng kiến kinh nghiệm
3
+) Trên dòng 2 ta tính giá trị cực trị của hàm số t = x − 3x
tại x=1,x=-1 là t(-1)=2;
t(1)=-2. Đồng thời lim t( x) ; lim t( x)
−∞ ;2 hàm số
= −∞ = +∞, trong khoảng ( )
x→−∞
x→+∞
y=f(t) có điểm cực trị là x=a , trong khoảng ( 2;2)
x=a, trong khoảng ( − 2; )
− hàm số y=f(t) có điểm cực trị là
+∞ hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=a và x=b. Nên ta
bổ sung các điểm cực trị của hàm này trong mỗi khoảng trên dòng 2 của BBT
+) Trên dòng 3 ta tính các giá trị của hàm y=f(t) và xác định được sự biến thiên của
hàm số dựa vào giải thiết. Từ đó hoàn thành BBT của hàm số bằng cách ghép trục.
+) Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán ta suy ra được kết quả ta cần
Ta có bảng biến thiên
x −∞ -1 1 +∞
3
= − 3 −∞ a 2 a -2 a b +∞
t x x
y = f ( t)
f(a)
−∞
0
f(a)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = 0 có 8 nghiệm phân biệt
Ví dụ 35: Cho hàm số bậc ba y f ( x)
0
f(a)
-1
= có đồ thị trong hình vẽ dưới đây
+∞
a) Tìm số nghiệm phương trình f ( f ( x )) = 0
b) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f ( f ( x))
= m
có nghiệm thuộc khoảng ( 0; 1 ) . Tìm số phần tử của tập S .
Trang 44
Sáng kiến kinh nghiệm
c) Xét các số thực m ∈ [ 0; 2 ], khi đó phương trình f ( x − 2x + 2021x)
= m − 2m+
2 có
bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
3 2 2 3
2
d) Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( 4 )
nghiệm thuộc nửa khoảng −
2 ; 3)
Hướng dẫn
a) Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
⎡ x = a
f ( x)
= 0 ⇔ x = b với − 2 < a < − 1, 0 < b < 1,
1 < c < 2 .
⎢
⎣x
= c
f − x = m có
⎡ f ( x) = a ( 1)
f ( f ( x)) = 0 ⇔ f ( x) = b ( 2)
. Số nghiệm phương trình (1), (2), (3) lần lượt là: 1, 3, 3.
⎢
⎣ f ( x) = c ( 3)
Vậy phương trình có tất cả 1 + 3 + 3 = 7 nghiệm.
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục
x
= −1
t = f ( x), t ' = f '( x),t' = 0 ⇔ . Ta có BBT
x
= 1
x −∞ -1 1 +∞
t = f ( x)
−∞ -1 1 3 1 -1 1 +∞
y = f ( t)
3
−∞ -1
f(3)
-1
3
-1
+∞
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = 0 có 7 nghiệm phân biệt
(vì theo đồ thị f(3)>3)
b) Trong trường hợp bài toán chứa tham số thì ta thấy phương pháp ghép trục
dường như chiếm ưu thế rõ rệt.
Trang 45
Sáng kiến kinh nghiệm
x
= −1
Đặt t = f ( x), t ' = f '( x),t' = 0 ⇔ . Khi đó ta có phương trình: f ( t)
= m
x
= 1
Tương tự câu a) ta có bảng biến thiên
x −∞ -1 0 1 +∞
t = f ( x)
−∞ -1 1 3 1 -1 +∞
1
y = f ( t)
3
f(3) 3
+∞
−∞ -1
-1 -1
Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm trên khoảng (0;1)
⇔ − 1< m < 3 m = 0;1;2
c) Đặt
3 2
{ }
t = x − 2x + 2021x
2
t ' = 3x − 4x
+ 2021. Ta thấy t ' > 0∀
x
Mặt khác .Xét g( m)
= m − 2m+
2 với m ∈ [ 0; 2 ],
( ) ; '(
)
Bảng biến thiên:
2 3
g ′ m = 2 m − 2 g m = 0 ⇔ m = 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có: ∀m ∈[ 0; 2] ⇒ g( m) ∈[ 1 ; 3 ] ⇒− 1< g( m)
< 3 .
2 2
Khi đó ta có bảng biến thiên của y = f ( t)
:
x −∞ +∞
3 2
= − 2 + 2021 −∞ -
t x x x
y = f ( t)
3
1
y=g(m)
1 +∞
+∞
−∞ -1
Trang 46
Sáng kiến kinh nghiệm
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ∀m∈
[ 0;2]
d) Đặt
2
t = 4 − x , t ' = 0 ⇔ x = 0
Ta có bảng biến thiên của y = f ( t)
trên −
2;3)
x -2 − 2 0 3 2
t
2
= 4 − x 0 1 2 2 1 0
y = f ( t)
1
f ( 2 )
3
1
-1
-1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có nghiệm thuộc nửa khoảng −
2 ; 3)
khi và chỉ khi m∈( − 1;3 ]
Trong các ví dụ 33, 34, 35 ta đề cập tới vấn đề xét tương giao của đồ thị hàm
y = f u( x)
và đường thẳng y = k có đồ thị song song với trục Ox . Tuy nhiên
hợp ( )
vấn đề đặt ra là với các bài toán tương giao của đồ thị hàm y f ( u( x)
)
= với các
đồ thị các hàm số khác không phải là y = k thì ta làm như thế nào? Có còn làm
được hai cách nữa hay không? Ta đi xét tiếp
các ví dụ sau
3 2
Ví dụ 36: Cho hàm số f ( x)
= ax + bx + bx + c
có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm nằm
−π 9π
trong ;
2 2
f cos x + 1 = cos x + 1.
( )
Hướng dẫn
Từ đồ thị ta có ( )
của phương trình
( ;0)
( 0;1)
x
= a ∈ −∞
f x = x ⇔ x = b ∈
x = 2
Trang 47
Sáng kiến kinh nghiệm
Do đó ( )
( )
( )
cos x + 1 = a ∈ −∞;0
f cos x + 1 = cos x + 1 ⇔ cos x + 1 = b ∈ 0;1
cos x + 1 = 2
( )
( )
cos x = a − 1 = t1
∈ −∞; −1 ( VN)
⇔ cos x = b − 1 = t2
∈ −1;0 (1)
cos x = 1 (2)
Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình (1) có 4 nghiệm nằm trong
−π 9
;
π
2 2
.Phương trình (2) có 6 nghiệm nằm trong −π 9 π
;
2 2
.
9
Vậy phương trình ban đầu có tất cả 10 nghiệm nằm trong
−π ;
π
2 2
.
Ví dụ 37: Cho hàm số y f ( x)
thiên như hình vẽ
= liên tục, có đạo hàm trên ⎡−2;4⎤
⎢⎣
⎥⎦ và có bảng biến
Tìm số nghiệm của phương trình
Hướng dẫn. Đặtt
2x
1
3 f ( − 2x + 1) = 8x − 6x
trên đoạn
−3 3
2 2
= − + .Với x∈
; t ∈[ − 2;4 ]
Mỗi nghiệm của t cho duy nhất một nghiệm của x .
3 3
Biến đổi ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2
8x − 6x = 2x − 3 2x = 1− t − 3 1− t = − t + 3t
− 2 .
Phương trình trở thành 3 f ( t) − ( − t 3 + 3t
2 − 2)
= 0.
Xét hàm số g( t) = 3 f ( t) − ( − t 3 + 3t 2 − 2 ) g '( t) = 3 f '( t) − ( − t 2 + 2t
)
3
.
−3 3
;
2 2
t
= 0 t
= 0
f ' t = 0 ⇔ ; - t + 2t
= 0 ⇔
t 2
= t
= 2
2
2
= ⇔ ( ) = − + . Ta có ( )
g '( t) 0 f ' t t 2t
Từ đó ta có bảng biến thiên sau:
Trang 48
Sáng kiến kinh nghiệm
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình g( t ) = 0 có 1 nghiệm nên phương
trình ban đầu có 1 nghiệm.
Ví dụ 38 (Trích đề thi khảo sát chất lượng của tỉnh Nghệ An 2020-2021)
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f’(x) trên R và đồthị hàm y=f’(x) như hình vẽ.
y
1
-1
O
1
2
x
-2
Hỏi phương trình 1 1 1 6 1 2 7 1
f cos 2 x + − cos x − sin 2 x + − f = 0
2 2 3 4 24 2
π
nhiêu nghiệm thuộc ;2 π
4
Hướng dẫn
Biến đổi phương trình đã cho ta được
Đặt t
( ) ( )
1 7 1
cos − cos − 1 − cos cos + − = 0
3 24 2
f 2 x 6 x 2 x 2
x f
π
4
2
= cos x . Với x∈
;2 π t ∈[ 0;1]
Khi đó phương trình trở thành:
1 3 2 7 1
f ( t ) − t − t + t + − f = 0
3 24 2
Xét hàm số
1 3 2 7 1
g ( t ) = f ( t ) − t − t + t + − f
3 24 2
4
2
1
-1
y
O 1 2
có bao
x
5
-2
Trang 49
Sáng kiến kinh nghiệm
2
g '( t) = f '( t) − ( t − 2t
+ 1)
. g '( t) = 0 ⇔ f '( t) = ( t 2 − 2t
+ 1)
Từ đồ thị suy ra g' ( t)
= 0 ⇔ t = 0; t = 1 với t ∈ [ 0;1]
và g'( t) 0 t [ 0;1]
số đồng biến trên (0;1). Nhận thấy
duy nhất
t =
1
2
3π 5π 7π
x∈
; ;
4 4 4
> ∀ ∈ nên hàm
g 1
0
2
= phương trình g(t)=0 có nghiệm
2 1
π
cos x = phương trình có ba nghiệm trên ;2 π
2
4 là
Ví dụ 39: Cho hàm số y = f ( x)
liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi
S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình f (sin x) = 2 sin x + 2m
có
nghiệm thuộc khoảng (0; π ) . Tổng các phần tử của S bằng:
Hướng dẫn:
Đặt
t = sin x với x ( 0; ) t ( 0;1]
∈ π ∈ . Xét phương trình ( ) 2 2
f t = t + m .
Để phương trình có nghiệm thì đồ thị hàm y = f ( t ) cắt đồ thị hàm số y = 2t + 2m
tại
ít nhất một điểm có hoành độ t thuộc ( 0;1 ].
Trang 50
Sáng kiến kinh nghiệm
Từ đồ thị ta suy ra đồ thị hàm số y = 2t + 2m
nằm ở phần hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị 2 hàm số y = 2t
+ 1 và y = 2t
− 3.
Từ đó suy ra −3 ≤ 2m
< 1 m ∈{ − 1;0}
. Vậy tổng các phần tử bằng 1
Tóm lại: +) Qua các ví dụ trên ta thấy khi xét tương giao hàm hợp với
đường thẳng y=k (song song với Ox) ta có thể dễ dàng hướng dẫn học sinh làm
theo hai phương pháp đặc biệt là phương pháp ghép trục giúp học sinh nhanh
chóng tìm ra kết quả của bài toán. Tuy nhiên khi xét với các hàm số khác không
phải dạng y=k thì phương pháp truyền thống vẫn là tối ưu hơn.
+) Đặc biệt, sự tương giao của hàm số còn xuất hiện trong các ứng
dụng khác của hàm số như: sự đồng biến,nghịch biến, cực trị của hàm số…có
nhiều bài toán dùng kiến thức tương giao của hàm số để tìm nghiệm của phương
trình đạo hàm từ đó có thể tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số rất hay. Tuy
nhiên trong đề tài này chúng tôi chỉ tập trung viết về các vấn đề sự tương giao để
có thể viết sâu sắc nhất.
Bài tập tương tự
Bài tập 1(Trích đề minh họa của BGD 2019-2020, lần 1)
Cho hàm số f ( x)
có bảng biến thiên như sau:
− .
Số nghiệm thuộc đoạn [ − π ;2π
] của phương trình ( )
2 f sin x + 3 = 0 là
A. 4. B. 6 . C. 3. D. 8.
Bài tập 2(Trích đề minh họa của BGD 2019-2020, lần 2)
Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau
Trang 51
Sáng kiến kinh nghiệm
Số nghiệm thuộc đoạn
5π
0; 2
của phương trình f ( )
sin x = 1 là
A. 7 . B. 4 . C. 5. D. 6 .
Bài tập 3: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình f ( x 4 x
2
)
3 − 6 + 1 = 1 là
A. 4 . B. 5. C. 6 . D. 3.
Bài tập 4: Cho hàm số y = f ( x)
có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới . Hỏi
phương trình f ( x
3 x )
− 3 + 1 − 2 = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 8. B. 6. C. 9. D. 11.
Bài tập 5: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình f ( x 2 x)
− = 2 là:
A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .
Bài tập 6: Cho hàm số y = f ( x)
có bảng biến thiên như sau
Trang 52
Sáng kiến kinh nghiệm
x
Số nghiệm của phương trình ( )
f e − 4 − 1 = 0 trong đoạn [ ln 2 ; ln 6 ] là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4 .
Bài tập 7: Cho hàm số y = f ( x)
có bảng biến thiên như sau:
1
x ∞
2
1 + ∞
y' + 0 0 +
1
+∞
y
∞
2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
( sin
4 cos
4
)
π
f x + x = m có nghiệm x∈ 0; .
4
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Bài tập 8: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn [ − 2019;1]
của phương trình ( )
f ln x = 4
A. 2020 B. 4. C. 2019. D. 3.
Bài tập 9: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
Trang 53
Sáng kiến kinh nghiệm
Số nghiệm của phương trình f ( x )
3 x 2 x
4 − − 6 + 9 − 3 = 0 là
A. 5. B. 6 . C. 3. D. 4 .
Bài tập 10: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên.
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2
f ( cos x) + ( 3 − m) f ( cos x)
+ 2m
− 10 = 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc
π
đoạn −
; π
3 là
A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 4 .
III. Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm.
Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
2. Nội dung thực nghiệm
Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
3. Tổ chức thực nghiệm
Trang 54
Sáng kiến kinh nghiệm
3.1 Địa điểm và đối tượng thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Tây Hiếu, Thị Xã Thái
Hòa, Tỉnh Nghệ An.
+ Lớp thực nghiệm: 12K
+ Lớp đối chứng: 12H
Tôi đã tìm hiểu rất kỹ và nhận thấy trình độ chung về môn toán tương ứng của
các lớp 12K,12H là tương đương nhau.
Trên cơ sở đó, tôi đã đề xuất được thực nghiệm tại các lớp 12K và lấy 12H
làm lớp đối chứng.
3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm được tiến hành từ ngày 19/10/2020 đến 07/11/2020 với số buổi
dạy 9 tiết/ 1 lớp (khoảng 3 buổi chiều ôn tốt nghiệp) (trong đó có 1 bài kiểm tra).
Phần lớn số tiết này được giảng dạy cho học sinh trong các buổi chiều ôn thi
THPTQG, các tiết tự chọn, tiết luyện tập
3.3. Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện
a) Công tác chuẩn bị:
- Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm
- Soạn bài giảng dạy theo nội dung của sáng kiến.
b).Tổ chức thực hiện:
* Ở lớp dạy thực nghiệm:
- Dạy theo nội dung Sáng kiến trong các giờ luyện tập, các tiết tự chọn, các
buổi ôn thi THPTQG
- Quan sát hoạt động học tập của học sinh xem các em có rèn luyện được các kĩ
năng cần thiết qua từng dạng bài hay không, như kĩ năng nhận thức, kĩ năng giải
toán, kĩ năng quan sát,...
Trang 55
Sáng kiến kinh nghiệm
- Tiến hành bài kiểm tra (45 phút) sau khi thực nghiệm.
* Ở lớp đối chứng:
- Giáo viên thực hiện quan sát hoạt động học tập của học sinh ở lớp đối chứng
được Giáo viên giảng dạy các bài tập cùng nội dung trong SKKN nhưng không
theo hướng đi của sáng kiến.
- Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm
*Kết quả thực nghiệm
Lớp
12H
12K
Điểm dưới 5 Điểm từ 5-6 Điểm từ 6-8 Điểm từ 8-10
Sĩ số SL % SL % SL % SL %
35 14 40 11 31,1 7 20 3 8,9
36 0 0 8 22,2 16 44,4 12 33,4
C. KẾT LUẬN
1.Ý nghĩa của đề tài.
Đề tài đã làm sáng tỏ các kĩ năng học sinh cần rèn luyện đặc biệt kĩ năng
nhận thức và kĩ năng thực hành đó là hoạt động giải toán. Đề tài giúp học sinh tích
cực chủ động nắm vững kiến thức về sự tương giao của hàm số, biết phân tích, dự
đoán và vận dụng các kiến thức vào làm các dạng bài tập. Phát triển và rèn luyện
kĩ năng quan sát bảng biến thiên, đồ thị hàm số, biết lập bảng biến thiên của các
Trang 56
Sáng kiến kinh nghiệm
hàm phức tạp. Ngoài ra đề tài còn giúp cho học sinh một số kĩ năng giải phương
trinh chứa tham số, tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm có
nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước …
Đề tài giúp học sinh giải được và giải thành thạo các bài toán về sự tương
giao của hàm số, đặc biệt là các bài toán tương giao của hàm số hợp bằng phương
pháp đặt truyền thống và phương pháp ghép trục tọa độ. Từ đó giúp học sinh tìm
được nhanh kết quả bài
Qua mỗi dạng bài đều có các bài tập tương tự giúp học sinh có thể rèn luyện
thêm và dựa trên cơ sở đó giáo viên có thể rèn luyện thêm cho học sinh kĩ năng tự
kiểm tra đánh giá, đồng thời đưa ra các hình thức kiểm tra phù hợp cho mỗi học
sinh qua mỗi dạng bài toán
2. Phạm vi áp dụng của đề tài
3. Kiến nghị và đề xuất
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÁC GIẢ
Phan Văn Đại
Lương Thị Lan Phương
Trang 57