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Calculating with and

Calculating with and without p,q (4) Relation between Z n � Z p, Z q : Chinese Remainder Theorem (CRA) since x � y mod n � x � y mod p � x � y mod q n|(x-y) � p|(x-y) � q|(x-y) n = p • q, p,q prime, p � q � To calculate f(x) mod n, at first you have to calculate mod p, q separately. y p := f(x) mod p y q := f(x) mod q 171

Compose ? Calculating with and without p,q (5) extended Euclidean : u • p + v • q = 1 Since : y := (u • p) • y q + (v • q) • y p mod p mod q u • p 0 1 v • q 1 0 y 0 • y q + 1 • y p 1 • y q + 0 • y p � y p CRA � y q � y p mod p � y q mod q 172

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