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Contents 1 Forced

Contents 1 Forced Oscillators 6 1.1 Parametrically Forced Oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 The Mathieu Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Floquet Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.3 Stability and Instability in the Mathieu Equation . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Nonlinear Oscillators: Forced Duffing Oscillator I . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1 1:1 Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2 Duffing Oscillator as a System of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.1 No Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.2 1:1 Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.3 3:1 Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.4 Non-resonant Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4 Forced Duffing Oscillator II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.1 3:1 Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 Asymptotic Evaluation of Integrals 42 2.1 Elementary Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 x in the Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Laplace Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Watson’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.2 General Laplace Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.3 Higher-order Terms with Laplace’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4 Generalized Fourier Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.1 Method of Stationary Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.5 Method of Steepest Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.5.1 Saddle Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.5.2 Complex x and the Stokes Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 Nonlinear Schrödinger Equation 75 3.1 Some Properties of the NLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Soliton Solutions of the NLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3 Perturbed Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2

4 Fronts and Their Interaction 87 4.1 Single Fronts Connecting Stable States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.1.1 Perturbation Calculation of the Front Velocity . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Interaction between Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3

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