2026 - Vol 10

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Arts et sciences

Art and Science

redactrice en chef. editor-in-chief

Marie-Christine MAUREL

Sorbonne Universite, MNHN, Paris

2026 - Volume 1 O - Numero 1

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Arts et sciences

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La revue Arts et sciences présente les travaux, réalisations, réflexions, techniques et prospectives qui concernent

toute activité créatrice en rapport avec les arts et les sciences. La peinture, la poésie, la musique, la littérature, la

fiction, le cinéma, la photo, la vidéo, le graphisme, l’archéologie, l’architecture, le design, la muséologie etc. sont

invités à prendre part à la revue ainsi que tous les champs d’investigation au carrefour de plusieurs disciplines telles

que la chimie des pigments, les mathématiques, l’informatique ou la musique pour ne citer que ces exemples.

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Arts et Sciences, une longue alliance source de

réciprocité créatrice

Marie-Christine Maurel

Depuis l'Antiquité, Arts et Sciences sont congénialement liés. Aristote, déclarait l’art comme

esthétique dont : “Les formes les plus hautes du beau sont l'ordre, la symétrie, le défini, et c'est

là surtout ce que font apparaître les sciences mathématiques. » (Métaphysique, 1078b).

A la Renaissance, le lien épistémique de tout art se renforce encore, avec des figures telles

que Piero della Francesca, grand scientifique, mathématicien éminent, et artiste exceptionnel.

Pensons aussi au Perugino, à son penchant naturaliste et à son élève le génial Raphael. Les arts

visuels ont ainsi particulièrement servi de "passerelles" entre les différentes formes artistiques

et les disciplines scientifiques. Léonard de Vinci polymathe incarne parfaitement cet

universalisme en tant que peintre, sculpteur, mathématicien et poète. Bernard Palissy,

céramiste, sculpteur et savant, a tenté de fusionner l’art et les sciences de la nature à travers ses

représentations de « natures mortes », still life. Diderot a plus tard affirmé dans l’Encyclopédie,

combien l'histoire de la nature est incomplète sans celle des arts. Les exemples sont

nombreux… Malgré une certaine distanciation entre arts et sciences au XXe siècle, en partie

due à la ferveur industrielle, cette séparation s'estompe progressivement aujourd’hui, en

particulier avec l'émergence des arts numériques mais aussi par des lectures qui re-pensent la

modernité de textes dits « classiques ».

Il est essentiel de comprendre comment un scientifique peut aider un artiste, mais aussi

comment un artiste peut apporter sa contribution à un scientifique. Les méthodes, l'imagination

et l'invention sont au cœur des processus scientifiques et artistiques. Cette convergence est

évidente dans la création et dans la scénographie théâtrale, rappelant par exemple le visuel des

mises en scène extraordinaires de Jérôme Bosch, véritable retour à un paradis perdu ou à un

enfer selon les perspectives.

Au-delà des sujets abordés, la créativité commune entre l'art et la science est le fil

conducteur. Les écrits de Diderot Le Rêve de d’Alembert et La Lettre sur les Aveugles à l’usage

de ceux qui voient, les œuvres de Molière traitant de considérations politico-religieuses (voir le

Tartuffe ou l’imposteur) annonciateur de l’imposture créationniste, sont autant d'exemples de

l’actualité et de la convergence entre arts et sciences.

Enfin rappelons que pour Einstein la véritable source de tout art et science réside dans le

mystère et dans l’engagement commun envers l'inconnu : « La plus belle chose dont nous

puissions faire l’expérience est le mystère – la source de tout vrai art, de toute vraie science ».

Aristote Métaphysique, traduction (éd. de 1953) de J. Tricot (1893-1963) Éditions Les Échos du Maquis (ePub, PDF), v.:

1,0, janvier 2014

Diderot Denis. 1769. Le rêve de D’Alembert. GF – Philosophie. Poche, 2002.

Diderot Denis. 1749. Lettre sur les aveugles à l’usage de ceux qui voient. Folio-Poche.

Molière. Le Tartuffe ou l’Imposteur. 1669. Librio-Poche.

Einstein, Albert. Textes écrits entre 1930-1935. Comment je vois le monde. Flammarion-Champs Sciences

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Raphael ou l’innovation artistique et scientifique dans : L’Ecole d’Athènes (1509-1511).

Fresque 550x770 cm(18x25ft) Salles Raphael, Musée-Cité du Vatican.

Les personnages représentés ont été identifiés comme suit : Au centre, Platon tenant le

Timée pointe le ciel, illustrant sa théorie des formes idéales et immuables qui existent au-delà

du monde physique. La connaissance, la transcendance va de la réalité à la vérité. A ses

côtés, Aristote, qui tient l’Ethique à Nicomaque, étend sa main vers le sol, symbolisant

l’immanence, la réalité concrète et les phénomènes naturels. La vérité ne peut résider qu’icibas,

dans la réalité.

Le visage de Platon est représenté par Raphael sous les traits de Léonard de Vinci.

A gauche au 1er plan et au bas de la fresque Pythagore et le groupe des géomètres.

Hypathie (philosophe, mathématicienne et astronome d’Alexandrie en Égypte

du IVe au Ve siècle), vêtue de blanc au centre est à proximité de Pythagore.

À l’opposé du côté d’Aristote, la géométrie représentée par la figure d'Euclide et son compas

est entouré d'étudiants. On reconnaît également l'architecte Bramante.

Au-dessus d’Euclide, les astronomes Ptolémée, et Zoroastre soutiennent chacun une

sphère céleste en hommage à leurs contributions en astronomie.


Arts et sciences

2026 - Volume 10

Numéro 1

‣ L’Homme de Vitruve et la géométrie du vivant selon Léonard de Vinci ............................................1

Jean-Charles Pomerol, Nathalie Popis

DOI : 10.21494/ISTE.OP.2026.1407

‣ The Vitruvian Man, and the Geometry of Life According to Leonardo da Vinci ................................51

Jean-Charles Pomerol, Nathalie Popis

DOI : 10.21494/ISTE.OP.2026.1408

‣ Arts et sciences, proximité .................................................................................................................99

Jean-Claude Serge Lévy

DOI : 10.21494/ISTE.OP.2026.1409

‣ L’énigme du calice dans Bouvard et Pécuchet....................................................................................125

Eric Tannier, Simon Castellan, Marine Fauché, Sophie Nadot, Agnès Schermann-Le-gionnet

DOI : 10.21494/ISTE.OP.2026.1425

‣ Color perception and taste for abstract paintings .............................................................................142

Karl Heinz Szekielda

DOI : 10.21494/ISTE.OP.2026.1446


Arts et sciences

2026, vol. 10, n° 1, 1-50 pages, DOI : 10.21494/ISTE.OP.2026.1407 ISTE OpenScience

L’Homme de Vitruve et la géométrie du vivant

selon Léonard de Vinci

The Vitruvian Man, and the Geometry of Life

According to Leonardo da Vinci

Jean-Charles Pomerol 1 , Nathalie Popis 2

1

Professeur Émérite Sorbonne Université

2

Chercheuse indépendante spécialisée dans l’étude de l’œuvre de Léonard de Vinci

RÉSUMÉ. Cette étude est consacrée à l’étude du dessin de l’Homme de Vitruve de Léonard de Vinci, ce qui nous permet

de dévoiler la géométrie sous-jacente à la construction dudit homme, défi antique lancé par l’architecte romain, Marcus

Vitruvius Pollio, dans son ouvrage De architectura. Notre étude vise à comprendre la genèse de cette œuvre, son

élaboration progressive et la manière dont Léonard a su élucider un problème resté sans réponse durant des siècles.

L’analyse met également en lumière le rôle fondateur des mathématiques érigées depuis les premières civilisations en

langage commun de la connaissance et de la perfection. Considérées, depuis toujours, comme un moyen de percer les

secrets de l’univers, leur usage dans ce dessin emblématique, révèle l’esprit scientifique de Léonard animé par la recherche

d’une harmonie universelle.

ABSTRACT. This study aims to understand the construction by Leonardo da Vinci of the Vitruvian Man, which represents

the graphic resolution of an ancient challenge set by the Roman architect Marcus Vitruvius Pollio in his treatise De

Architectura. It seeks to explain the genesis of this work, its progressive elaboration, and the way in which Leonardo

succeeded in addressing a problem that had remained unanswered for centuries. The analysis also highlights the seminal

role of mathematics, which since the earliest civilizations has been regarded as a universal language of knowledge and

perfection. Long considered to unlock the secrets of the universe, its use in this emblematic drawing reveals Leonardo’s

scientific spirit, driven by the pursuit of universal harmony.

MOTS-CLÉS. Léonard de Vinci, L’homme de Vitruve, Mathématiques, Harmonie, géométrie ancienne.

KEYWORDS. Leonardo da Vinci, Vitruvian Man, Mathematics, Harmony, Ancient geometry.

1. La chaîne du savoir, de l’Orient antique à la Renaissance

1.1. Les berceaux de la connaissance

Depuis toujours, les hommes se sont interrogés sur l’origine du monde et sur l’ordre qui le régit. Les

premiers récits furent mythiques. Ils mettaient en scène des dieux qui incarnaient les forces de la nature.

Mais à côté de ces récits sacrés, peu à peu, se sont formés des savoirs fondés sur l’observation, le calcul

et l’expérience. Cette nouvelle quête guidée par la raison, inaugura une nouvelle manière de comprendre

le monde et elle allait traverser toute l’histoire de l’humanité, de la Mésopotamie à l’Égypte, de la Perse

à l’Inde et à la Chine, puis de la Grèce à Rome et de l’Orient à l’Occident médiéval.

Ainsi s’est tissée, à travers le temps, une véritable chaîne du savoir, où chaque civilisation assimile,

transforme et enrichit l’héritage de la précédente. Au fil des siècles, l’Orient antique, la Grèce et Rome

ont transmis à la Renaissance un corpus de connaissances qui allait trouver en Léonard de Vinci un

héritier exceptionnel. C’est pourquoi, pour comprendre le dessin de l’Homme de Vitruve et l’œuvre

scientifique de Léonard, il faut d’abord retracer cette généalogie intellectuelle. Il convient donc de

revenir aux sources les plus anciennes, en Mésopotamie et en Égypte, là où naquirent les premiers savoirs

du ciel, des nombres et des proportions.

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L’une des toutes premières civilisations savantes fut la Mésopotamie, berceau des Sumériens et des

Babyloniens. Dès le deuxième millénaire avant notre ère, les prêtres-astronomes observaient le ciel nuit

après nuit. Pour eux, scruter les astres revenait à interpréter la volonté des dieux, Vénus était Ishtar,

Jupiter Marduk, la Lune Sîn 1 . Leurs observations furent consignées sur des tablettes d’argile, comme en

témoignent les archives retrouvées à Uruk et à Babylone 2 . Ces relevés permettaient non seulement de

prévoir certains phénomènes célestes, comme les éclipses, mais aussi de réguler la vie agricole qui

dépendait directement des cycles célestes. L’astronomie était ainsi indissociable de l’organisation de la

cité.

Ces tablettes donnèrent naissance aux éphémérides babyloniennes 3 , de véritables journaux du ciel qui,

jour après jour, consignaient les phénomènes observés. Ces journaux servirent de base aux calculs et aux

prévisions. Un tel suivi a pu être rendu possible grâce à l’adoption du système sexagésimal 4 .

Contrairement à notre système décimal, fondé sur des paquets de dix (unités, dizaines, centaines), les

mésopotamiens raisonnaient en paquets de soixante. Ce choix simplifiait les calculs de fractions et de

proportions. L’héritage en subsiste aujourd’hui dans la division du temps (60 minutes, 60 secondes) et

de l’espace (360 degrés pour le cercle).

Ce système numérique permit aux scribes de développer une culture mathématique avancée. Ils

établirent des tables numériques, surent calculer des racines carrées et résoudre des équations simples.

Ces savoirs constituaient une véritable science des nombres. Ainsi, la Mésopotamie apparaît comme la

matrice d’une démarche intellectuelle qui allait marquer toute l’histoire. Derrière les dieux et les mythes,

c’est bien par les nombres que l’homme commença à comprendre l’ordre de la création.

Au Moyen-Orient, entre 2000 et 1700 av. J.-C., puis durant le Nouvel Empire de 1550 à 1070 av. J.-

C., une même volonté de déchiffrer les lois de la nature se manifestait dans la vallée du Nil. Héritière en

partie des traditions mésopotamiennes venues par le Proche-Orient, mais aussi des cultures africaines

plus anciennes issues du cours du fleuve et des régions subsahariennes, l’Égypte élabora ses propres

observations et expérimentations.

Dans ce vaste entrelacs naquit une pensée où la marche des astres et le rythme du fleuve formaient un

langage, garant de l’ordre du monde 5 . Comme en Mésopotamie, Les grandes forces de l’univers étaient

incarnées par des dieux. Les crues régulières du Nil, synonymes de fertilité, étaient perçues comme une

bénédiction. À l’inverse, une inondation trop faible ou trop forte, une sécheresse ou une famine pouvaient

être interprétées comme une punition divine 6 . Mais peu à peu, les Égyptiens comprirent que les

perturbations climatiques et agricoles, qu’ils interprétaient comme les gestes des dieux, n’étaient en

réalité que des phénomènes réguliers qu’il fallait observer de près pour maintenir l’équilibre de la vie.

Ainsi, c’est en observant l’étoile Sothis (Sirius) que les égyptiens découvrirent que son lever héliaque,

c’est-à-dire le moment où elle redevenait visible à l’aube après une période d’invisibilité, coïncidait avec

le début de la crue du Nil 7 . Ce repère astronomique marquait le début de l’année et permit aux Égyptiens

de mettre au point le premier calendrier solaire de 365 jours 8 .

Les prêtres-mathématiciens d’Égypte avaient aussi développé une géométrie et une arithmétique

avancées, comme en témoigne le papyrus Rhind (vers 1650 av. J.-C.), rédigé par le scribe Ahmès 9 . Ainsi,

à l’image de la Mésopotamie, les égyptiens transformèrent une lecture religieuse en un savoir

mathématique et astronomique, avec la conviction que l’univers, pour être compris et maîtrisé, devait

être mesuré.

1.2. L’antiquité grecque et la pensée rationnelle

Depuis des millénaires, les égyptiens, les mésopotamiens et les perses avaient accumulé des savoirs

sur le ciel, les nombres et les proportions. À cela s’ajoutent aussi les traditions indiennes et chinoises.

En Inde, les Śulbasūtras (vers 800-500 av. J.-C.) contiennent déjà des énoncés géométriques proches du

théorème de Pythagore, tandis qu’en Chine, le Zhou Bi Suan Jing (IIIᵉ siècle av. J.-C.) témoigne de

calculs astronomiques et géométriques avancés 10 . Ces connaissances, qui circulaient par les routes

commerciales, les voyages et les conquêtes, ont constitué un patrimoine commun.


C’est de ce fond universel que s’est nourrie la Grèce antique, qui transforma une partie de ces pratiques

en une véritable science rationnelle. Héritière de l’observation orientale, elle ne se contenta plus de

prévoir et de mesurer les phénomènes célestes, mais chercha à en comprendre les causes et à les

démontrer par le raisonnement.

Ainsi commence avec Thalès de Milet (vers 624-546 av. J.-C.) la première grande étape de la pensée

rationnelle en Occident. Considéré par Aristote (384-322 av. J.-C.) comme l’un des premiers

physiciens 11 , Thalès incarne la transition entre les savoirs orientaux et la philosophie grecque. D’après

l’historien grec, Hérodote 12 , il aurait voyagé en Égypte, où il reçut l’enseignement des prêtres sur l’art

de mesurer la terre et d’observer les astres. Ce séjour est également mentionné par l’historien et

biographe, Diogène Laërce 13 , qui rapporte que Thalès revint de son voyage avec des méthodes nouvelles

de calcul et d’observation. La tradition veut qu’il ait mesuré la hauteur des pyramides en utilisant leur

ombre. Il attendit que la sienne égalât sa taille, et en déduisit par proportion celle de la pyramide. Ce

procédé, fondé sur la similitude des triangles, devint l’un des principes majeurs de la géométrie. Thalès

apparaît ainsi comme le premier à avoir montré que l’on pouvait mesurer l’intangible grâce au

raisonnement mathématique.

Plusieurs siècles plus tard, Léonard de Vinci (1452-1519) reprit cette logique dans ses études sur la

lumière (figure 1). Il représenta par un grand arc, une surface lumineuse, et trois cônes placés en dessous

qui figurent un objet de face, et deux objets placés sur les côtés. Les rayons issus des bords de l’arc

délimitent la partie lumineuse. Ce sont des triangles semblables représentant les objets latéraux, qui

permettent de comparer la quantité de lumière reçue selon la position. Ainsi Léonard mesura la lumière

avec la même logique géométrique que Thalès.

Figure 1. Étude sur la théorie de la lumière et des ombres

Manuscrit A, Institut de France

De Vinci

Pour Léonard, la géométrie constituait l’outil principal pour la compréhension des phénomènes et

orientait la conduite de toutes ses recherches. Dans ses études anatomiques, il décomposait les formes

vivantes en réseaux de triangles. Cette grille géométrique appliquée dans sa quête de l’homme et du

cheval idéaux, lui permit de comparer et de comprendre les rapports de proportion qui gouvernent leurs

mesures (figures 2). Dans les deux cas, la méthode employée repose sur un principe qui témoigne de

l’influence de Thalès et de la volonté de Léonard d’étudier le vivant grâce à un langage géométrique

universel.


Étude de proportions équines

RCIN 912318, Codex Windsor

Étude de proportions humaines


Figures 2

Parmi les héritiers de la tradition orientale et grecque, Pythagore de Samos (vers 570-vers 495 av. J.-

C.), philosophe, mathématicien et fondateur d’une communauté spirituelle, fut l’une des figures les plus

influentes de l’Antiquité. Les philosophes Jamblique 14 et Porphyre 15 ( III ème et IV ème siècle) rapportèrent

qu’il voyagea en Égypte et en Babylonie, où il entra en contact avec les prêtres égyptiens et les chaldéens,

héritiers de longues traditions astronomiques et mathématiques. Il fut initié en Égypte aux pratiques

sacerdotales et aux savoirs géométriques, et aurait également reçu l’enseignement des mages perses.

Au cœur de sa pensée se trouve l’idée que les nombres et les rapports numériques expriment la

structure profonde du monde. Pour Pythagore, tout phénomène peut être décrit à travers des relations de

proportionnalité. Cette conception trouve une illustration dans le théorème de Pythagore, selon lequel,

dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés adjacents à l’angle droit est égale au carré

de l’hypothénuse. La même logique se manifeste dans la découverte des proportions musicales, l’octave

(2:1), la quinte (3:2), et la quarte (4:3), qui montrent que les intervalles les plus harmonieux à l’oreille

obéissent eux aussi à des rapports simples des longueurs des cordes vibrantes. Ainsi, pour les

pythagoriciens, les mathématiques représentaient un langage divin, capable de révéler l’ordre caché du

cosmos 16 .

Cet héritage parvint à Léonard qui reprit explicitement l’analogie entre la musique et la géométrie 17 .

Sur plusieurs pages de ses carnets, se trouvent des études de tuyaux d’orgue, de cordes vibrantes et de

systèmes mécaniques destinés à produire des séquences régulières (figure 3). ll compara la vibration des

cordes et la production sonore à des rapports numériques. Il observa que la hauteur du son varie selon la

longueur et la tension de la corde, confirmant ainsi de manière expérimentale, les principes de

proportionnalités déjà énoncés par Pythagore.


Figure 3. Études musicales

Codex Arundel, f.133v, f.133r

De Vinci

De même, Léonard utilisa le triangle rectangle, comme un outil universel, capable de ramener

l’ensemble des phénomènes naturels à des rapports mesurables. Cette démarche est particulièrement

évidente dans ses recherches sur l’optique.

Dans une étude sur la propagation de la lumière, Léonard dessina un faisceau lumineux, sous la forme

d’un cône (figures 4). Il représenta des rayons provenant d’un astre, qui en passant par un petit orifice

forment derrière ce trou un faisceau lumineux. À partir de ce point, ces rayons se déploient en divisant

le faisceau en six triangles rectangles successsifs. Cette division en six secteurs s’inscrit dans la tradition

héritée du système sexagéminal 4 , utilisé dans l’astronomie et l’optique médiévales. Et comme la

construction repose sur des triangles rectangles, Léonard fixa naturellement l’angle d’ouverture du

faisceau à 90°, c’est-à-dire un quart du cercle.

Figures 4. Étude sur l’optique, la propagation de la lumière, Codex Arundel I, De Vinci

Pour décrire géométriquement cette construction, on note d la distance entre le trou et le centre de la

surface circulaire qui sert de repère spatial pour permettre de visualiser et mesurer l’ouverture du cône

lumineux. On désigne par hn la hauteur du niveau et par cn la longueur oblique du rayon lumineux

correspond à ce niveau. La distance d est égale à la premiere hauteur h0.


Chaque niveau du faisceau possède ainsi son propre rayon oblique, qui constitue l’hypoténuse du

triangle rectangle formé avec d et hn. La configuration obéit alors au théorème de Pythagore.

hn² + d² = cn²

D’un niveau au suivant, la hauteur hn augmente d’une valeur constante, tandis que la longueur oblique

cn croit de moins en moins vite. Plus la taille des triangles rectangles augmente, plus la distance des

rayons lumineux se resserre. Cette décroissance des rapports cn+1/cn est due à la fonction cn= √(d 2 +h 2 n),

qui est croissante est concave. Ainsi, lorsque hn augmente d’une quantité constante, les incréments cn+1-

cn deviennent progressivement plus faibles, ce qui est caractérisitque d’une courbure concave.

Cette géométrie interne traduit un phénomène physique que Léonard énonça dans plusieurs

manuscrits. Dans le Codex Atlanticus, f.337 r. il nota :

« La luce si indebolisce secondo la distanza. »

« La lumière s’affaiblit en fonction de la distance. »

u folio 126r. de ce même manuscrit :

« Ogni cosa veduta da lunga distanza perde di vigore e di chiarezza. »

« Toute chose vue de loin perd de vigueur et de clarté. »

Et dans le manuscrit A, f. 17 v., de l’Institut de France :

« La luce si diminusce quanto più si allontana dalla sua origine. »

« La lumière diminue à mesure qu’elle s’éloigne de son origine. »

Ainsi les rayons cn, de plus en plus longs, transportent une lumière progressivement afaiblie, ce qui

renforce visuellement l’effet de resserrement observé dans le faisceau.

Pour rendre visible ce mécanisme naturel, Léonard construisit une véritable grille géométrique à

l’intérieur du faisceau lumineux. Il commença par découper, en deux, le premier triangle rectangle. Il

traça un segment à partir du centre du cercle jusqu’au milieu de l’hypoténuse, perpendiculaire à hn.

Depuis le milieu de l’hypoténuse, il traça un segment L1, jusqu’au plus grand segment cn, l’hypoténuse

du cône, de telle sorte que que les rayons lumineux soient divisés en deux parties égales.

À chaque niveau hn, un segment analogue à Ln, est tracé jusqu’au plus grand rayon lumineux cn. Ces

transversales découpent alors chaque rayon en un nombre croissant de parties égales, deux pour le

premier, trois pour le second, quatre pour le troisième, et ainsi de suite, jusqu’à 7.

Cette subdivision régulière fait apparaître une progression concave sur chaque rayon lumineux. Les

points d’intersections successifs correspondent aux fractions : 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7. Chacune de ces

valeurs est plus grande que la précédente, mais selon des incréments qui diminuent régulièrement. C’est

la signature d’une croissance concave, parfaitement comprise par Léonard.

Pour achever sa construction, Léonard projetta, depuis le centre du cercle, des segments (voir flèche

verte, sur la figure 4) jusqu’au segment parralèle à d, à l’endroit où se croisent les hypoténuses des

triangles rectangles. Les points d’intersections de ces segments sur le cercle furent ensuite reliés par des

segments jusqu’au trou (voir flèche rouge, sur la figure 4). Enfin, à partir de ces mêmes points

d’intersection, il traça des segments jusqu’au sommet hn de chaque triangle rectangle (flèche noire, sur

la figure 4). Ces projections permettent de visualiser comment les angles se resserrent et comment la

lumière s’affaiblit dans le faisceau.


Ainsi, par l’application du théorème de Pythagore, Léonard chercha à comprendre le comportement

de la lumière, en observant les variations successives des rayons. Cette étude fondée sur la concavité de

la fonction √(d 2 +h 2 n), constitue une anticipation remarquable du calcul différentiel, bien avant sa

formalisation par Newton et Leibniz, au XVII ème siècle 18 .

À la même époque, tandis que certains philosophes exploraient les nombres et les figures pour

déchiffrer les mystères de la création, le domaine de la médecine traçait une nouvelle voie du savoir

tournée vers la compréhension du corps humain. Hippocrate (vers 460-370 av. J.-C.), surnommé « père

de la médecine », rompit avec les explications religieuses de la maladie et affirma que le corps obéit aux

mêmes lois que la nature 19 . La santé n’était pas un don des dieux, mais le résultat d’un équilibre fragile.

Cette idée s’enracinait dans un héritage plus ancien. En Égypte déjà et en Perse, la vie était perçue

comme un jeu d’équilibre entre les quatre éléments de la nature. Empédocle d’Agrigente (vers 490-430

av. J.-C.) en donna une première formulation philosophique en associant l’air, l’eau, le feu et la terre, à

la naissance et à la transformation des êtres 20 . Hippocrate formula cette conception de l’équilibre naturel

dans sa célèbre théorie des quatre humeurs, selon laquelle le corps humain est composé de quatre

substances fondamentales, le sang, la bile jaune, la bile noire et le phlegme. Chacune d’elles correspond

à un élément de la nature, l’air, le feu, la terre et l’eau, et se définit par une qualité essentielle, chaud,

froid, sec ou humide. Le sang, associé à l’air et caractérisé par la chaleur et l’humidité, symbolise la

vitalité et la joie, en proportion harmonieuse, il rend le tempérament vif et généreux, mais en excès, il

provoque l’agitation et l’instabilité. La bile jaune, liée au feu, chaude et sèche, représente la force

d’action et le courage, équilibrée, elle nourrit la détermination, mais trop abondante, elle engendre la

colère et l’irritabilité, d’où l’expression « se faire de la bile ». La bile noire, rattachée à la terre, froide et

sèche, évoque la profondeur de l’esprit et la sensibilité, lorsqu’elle domine, elle plonge l’individu dans

la mélancolie et la tristesse, mot d’ailleurs issu du grec « melaina chole », signifiant « bile noire ». Quant

au phlegme, associé à l’eau, froid et humide, il incarne la stabilité et le calme intérieur, bien dosé, il

permet de garder son sang-froid, mais lorsqu’il s’accumule, il provoque lenteur et inertie, ce qui a donné

l’expression « garder son flegme ». Ainsi, dans la pensée d’Hippocrate, la santé du corps dépendait de

l’équilibre harmonieux de ces quatre humeurs, reflet de l’harmonie même de la nature 21 . La maladie

apparaissait lorsque l’une d’elles devenait excessive ou insuffisante. Ainsi, de même que le monde vit

de l’équilibre entre les éléments, l’homme vit de l’équilibre entre ses humeurs. Cette doctrine, fondée

sur l’observation et l’expérience, fit de la médecine une science empirique, attentive aux symptômes et

à l’évolution des maladies 22 .

Cette vision fut prolongée par Galien de Pergame (129 – vers 201 apr. J.-C.), médecin grec au service

de l’Empire romain. Admirateur d’Hippocrate, il systématisa la théorie des humeurs dans une véritable

anatomie fonctionnelle, en s’appuyant sur des dissections animales. Son autorité resta incontestée

pendant plus d’un millénaire. Les écoles de médecine médiévale et renaissante enseignaient avant tout

Galien, dont les traités furent traduits en latin et en arabe 23 . Mais faute d’autopsie humaine systématique,

il conserva des erreurs anatomiques majeures. C’est précisément ce savoir figé que Léonard, des siècles

plus tard, allait contester par l’expérience directe.

Léonard commença à s’intéresser à l’anatomie dès les années 1480 à Florence, où il dessinait d’après

des modèles vivants. Toutefois, sa véritable campagne de dissection ne débuta qu’entre 1506 et 1513.

Durant l’hiver 1507-1508, à l’hôpital Santa Maria Nuova de Florence, il pratiqua l’autopsie d’un vieillard

centenaire mort « sans douleur » 24 . Dans ses feuillets, aujourd’hui conservés à Windsor, il consigna des

observations pathologiques inédites sur les vaisseaux du cerveau et du cœur.

Il partageait avec les penseurs de l’Antiquité, notamment Hippocrate, la conviction que l’homme est

un microcosme. Dans sa pensée, qu’il exprima dans le Codex Atlanticus, f 80r., l’être humain et le monde

ne sont que deux expressions d’une même organisation, gouvernés par des lois universelles :

«L’omo è detto da’ antichi mondo minore; e certo questa denominazione è ben data, perché, come il

corpo della terra è composto d’acqua, d’aria, di terra e di fuoco, così questo corpo dell’omo è fatto di


queste medesime cose. E come l’omo ha in sé ossa che sostengono la carne, e la terra ha le rupi che

sostengono la terra, come nell’omo le vene e i fiumi, così nel mondo; come nell’omo il sangue, così nel

corpo della terra l’acqua, e come nell’omo il polso e il batter del cuore, così la terra ha il flusso e

reflusso del mare.»

« L’homme est appelé par les anciens un monde mineur, et cette appellation est très juste, car, tout

comme le corps terrestre est composé de terre, d’eau, d’air et de feu, de même le corps humain est formé

de ces mêmes éléments. L’homme a en lui des os qui sont comme les rochers, une chair qui est comme

la terre, les veines et les rivières, le sang qui est comme la mer, et la respiration qui est comme le flux et

reflux de l’océan. Ainsi, pour tout le reste, l’homme et le monde sont semblables. »

Dans ses notes tardives sur l’anatomie, conservées dans le Codex Atlanticus, Léonard élargit encore

cette conception. Inspiré par la vision cosmographique de Ptolémée, il concevait le corps humain comme

un petit monde (minor mondo), organisé selon les mêmes principes que l’univers. Il en fit mention sur

le folio 327 r:

«Adunque qui con quindici figure intere ti sarà mostrata la cosmografia del minor mondo col

medesimo ordine che innanzi a me fu fatto da Tolomeo nella sua cosmografia, e così dividerò poi quelli

in membra, come lui divise il tutto in provincie.»

« Ainsi, avec quinze figures complètes, te sera montrée la cosmographie du petit monde selon le même

ordre que celui que Ptolémée adopta avant moi dans sa Cosmographia ; et je diviserai ensuite le corps

en membres, comme lui divisa le tout en provinces. »

Léonard reprit également la pensée d’Hippocrate et de Galien selon laquelle la santé du corps dépend

de l’harmonie des quatre humeurs. Il s’inscrit ainsi dans la continuité de la tradition antique, tout en la

renouvelant par l’observation directe et l’expérimentation. Ses recherches relevaient d’une conception

unifiée du vivant, où les phénomènes physiologiques, la circulation du sang, la chaleur interne et la

respiration, sont ordonnés selon un principe d’organisation supérieur. Léonard considérait que l’âme agit

à travers les quatre humeurs, qui assurent l’équilibre et la cohésion du corps. Pour Léonard, elle est le

siège des émotions et du sentiment intérieur. C’est d’ailleurs de cette conception ancienne que

proviennent encore nos expressions telles que « avoir mal à l’âme » ou « le vague à l’âme », qui traduisent

l’unité profonde entre le corps et l’esprit. Cette pensée s’incarne dans une citation du Codex Atlanticus,

f.198r. :

«I movimenti dell’anima sono le cause delle varie complessioni degli uomini.»

« Les mouvements de l’âme sont la cause des différentes humeurs. »

Ainsi, les dissections de Léonard, au-delà d’une description anatomique du corps humain, visaient

aussi à comprendre cette organisation invisible, et les relations dynamiques qui unissent la vie matérielle,

la pensée et le principe divin qui les ordonne.

Par la suite, Léonard multiplia les dissections dans divers contextes hospitaliers et académiques, à

Florence, puis à Milan (probablement à l’Ospedale Maggiore), et enfin à Rome, à l’hôpital de Santo

Spirito in Sassia, où des accusations de sacrilège mirent fin à ses travaux 25 . Ses notes méthodiques

témoignent d’une approche rigoureusement scientifique, avant l’heure. Dans le manuscrit A, conservé à

l’Institut de France, il décrivit en détail sa méthode de travail. Il expliqua avoir ouvert plus de dix corps

humains, procédant « couche par couche », retirant successivement la chair, les tissus et le sang pour

révéler les veines, jusqu’aux plus fines ramifications capillaires (figures 5). Un seul corps ne lui suffisait

pas, il répétait sans cesse l’opération afin d’atteindre une connaissance aussi exacte que possible.


Les os et les muscles de l’épaule

L’anatomie superficielle de l’épaule et du cou

RCIN 919001, De Vinci

Figures 5

Vers 1510-1511, il collabora à Pavie avec le médecin Marcantonio della Torre, jeune professeur

d’anatomie formé à Padoue. Ensemble, ils projetèrent de composer un grand atlas anatomique illustré,

mais la mort prématurée de della Torre interrompit cette entreprise 26 . Ce projet avorté ne mit pourtant

pas fin à la curiosité insatiable de Léonard. Ses carnets témoignent d’un esprit visionnaire, animé par

une quête constante de compréhension des lois du vivant.

Après Hippocrate, Platon (427–347 av. J.-C.), disciple de Socrate et fondateur de l’académie

d’Athènes, hérita des intuitions pythagoriciennes et des traditions d’Empédocle et d’Hippocrate, qui

avaient pensé le monde à partir des quatre éléments fondamentaux (feu, air, eau et terre). Dans le Timée

(53c–56c) 27 , il leur donna une forme géométrique, le tétraèdre pour le feu, l’octaèdre pour l’air,

l’icosaèdre pour l’eau et le cube pour la terre. À ces quatre solides, il en ajouta un cinquième, le

dodécaèdre, qu’il associa à l’univers dans son ensemble (figures 6). Ce dernier rassemblait les quatre

autres et les unissait en une totalité supérieure. Le dodécaèdre devint ainsi la figure de l’Un, principe

premier d’où provenait toute chose. Platon voyait dans ces formes parfaites le reflet de l’ordre rationnel

du cosmos, car il pensait que l’univers avait été conçu géométriquement par le Démiurge (l’artisan divin

qui façonne le monde matériel à partir des formes éternelles). À l’entrée de son école, on pouvait

d’ailleurs lire la célèbre devise : « Nul n’entre ici s’il n’est géomètre 28 », affirmation du rôle central de

la géométrie dans la formation de l’esprit et dans la compréhension du réel.

À la fin du XV ème siècle, Léonard de Vinci réalisa les illustrations du traité de son ami, le moine

mathématicien, Luca Pacioli, dans son ouvrage De Divina Proportione (1496–1498), publié en 1509 29 ,

consacré à l’idée qu’une certaine proportion universelle présente dans l’univers se retrouve dans le corps

humain. Léonard étudia les polyèdres réguliers et semi-réguliers de Platon, en version pleine et

transparente (figures 6). Parmi eux, le dodécaèdre occupa dans ses recherches une place singulière, car

il concentre en lui des rapports harmoniques. En effet, dans un dodécaèdre régulier, chaque face est un

pentagone, et dans ce dernier, le rapport entre la diagonale et le côté est celui d’une proportion idéale, le

nombre d’or (≈1,618). Ainsi, ce rapport se retrouve à toutes les échelles de la figure. Les grecs

reconnaissaient dans le dodécaèdre, l’empreinte géométrique d’une intelligence ordonnatrice du monde,

celle du Démiurge 30 . À l’instar de Platon, Léonard voyait dans les mathématiques le fondement

nécessaire à toute connaissance véritable. Dès l’introduction de son Traité de la peinture, il réaffirme

cette idée par un avertissement : « Que nul ne me lise s’il n’est mathématicien » 31 .

À cette époque, comme à la Renaissance, la philosophie n’était pas séparée des mathématiques. Le

philosophe était aussi géomètre, car comprendre le monde supposait de connaître ses rapports, ses

proportions et ses mesures. La pensée rationnelle, la science et la contemplation formaient un seul et

même chemin vers la vérité. C’est pourquoi les sages de l’Antiquité concevaient la connaissance du


nombre comme une voie d’accès au divin. Peu à peu, ce domaine s’éloigna de la science dont il fut

l’origine, pour s’attacher davantage à la logique, à l’éthique, au langage, et à la conscience.

Les cinq polyèdres, Manuscrit M, f 80v., Institut de France

De Vinci

Dodécaèdre, Codex atlanticus F.707 r.

Da Vinci

Icosaèdre,Codex Atlanticus F.518 r.

Da Vinci

Figures 6

Après Platon et sa vision d’un cosmos ordonné par l’unité et la géométrie, son disciple Aristote (384

– 322 av. J.-C.) marqua un tournant dans l’histoire de la pensée. Là où Platon cherchait la vérité dans le

monde des Idées, c’est-à-dire dans une réalité intelligible, Aristote affirma qu’elle devait d’abord se

trouver dans l’expérience sensible, celle de l’observation et de l’étude des phénomènes accessibles aux

sens 32 . Philosophe encyclopédique, il s’intéressa à tous les domaines du savoir. Sa méthode reposait sur

la conviction que la connaissance naît de l’observation et de l’expérience, mais elle doit ensuite s’élever

vers des principes universels.

Léonard de Vinci a souvent été comparé à Platon, en raison de sa quête d’harmonie et d’unité du

monde, thèmes centraux de la philosophie platonicienne. Cette comparaison apparaît légitime car

Léonard s’inscrit dans la culture humaniste de la Renaissance, qui redécouvrit Platon et ses formes

idéales avec la même conviction que l’âme transcende le corps. Platon, dans le Phédon 33 , soutenait que

le corps n’est qu’un tombeau qui emprisonne, et que seule l’âme conduit à la vérité. Léonard, plusieurs

siècles plus tard, prolongea cette idée en écrivant dans le Codex Windsor (Anatomical Manuscript A,

fol. 2r) :

«E tu, o omo, che consideri in questa mia fatica l’opere mirabili della natura, se giudicherai essere

cosa nefanda il distruggerla, or pensa essere cosa nefandissima il tôrre la vita all’omo; del quale, se

questa sua composizione ti pare di maraviglioso artifizio, pensa questa essere nulla rispetto all’anima


che in tale architettura abita; e veramente, quale essa si sia, ella è cosa divina: sicché lasciala abitare

nella sua opera a suo beneplacito…»

« Et toi, ô homme, qui contemple dans ce travail à quel point les œuvres de la nature sont admirables,

si tu juges qu’il est chose abominable de les détruire, songe qu’il est infiniment plus abominable d’ôter

la vie à un homme ; car si cette composition extérieure te paraît d’un art merveilleux, pense qu’elle n’est

rien en comparaison de l’âme qui habite une telle architecture. Et en vérité, quelle qu’elle soit, cette

âme est chose divine ; laisse-la donc demeurer dans son œuvre selon son bon plaisir… »

Toutefois, si Léonard partageait avec Platon cette quête de transcendance et d’unité, sa méthode de

recherche le rapproche davantage d’Aristote qu’il cita à plusieurs reprises dans ses carnets, tantôt pour

l’approuver, tantôt pour le contredire. Dans ses notes, il se référa explicitement au philosophe en

discutant des éléments de la nature et du mouvement. Cette présence constante montre qu’Aristote fut

pour lui une véritable autorité de référence.

Léonard partageait avec Aristote l’importance accordée à l’expérience directe comme fondement du

savoir. Dans une démarche épistémologique, il ne se contentait pas de répéter ce qu’il lisait dans les

livres, il vérifiait, expérimentait et confrontait sans cesse les savoirs reçus à l’épreuve de l’expérience.

D’ailleurs, dans ses écrits, il critiqua vivement ceux qui se bornaient à répéter les autorités anciennes

sans vérifier par eux-mêmes. Cette méfiance envers la spéculation abstraite et cette exigence de

vérification par l’observation rejoignent directement la méthode aristotélicienne.

Il écrivit, dans le Manuscrit G de l’Institut de France, fol. 8r:

«Quelli, che s’innamoran di pratica sanza scienza, son come ’l nocchiere, ch’entra in navilio sanza

timone o bussola, che mai ha certezza dove si vada. Sempre la pratica dev’esser edificata sopra la bona

teorica; della quale la prospettiva è guida e porta, e, sanza questa, nulla si fa bene.»

« Ceux qui s’éprennent de la pratique sans la science sont comme le pilote qui entre dans un navire

sans gouvernail ni boussole, et qui n’a jamais la certitude de la direction qu’il prend. La pratique doit

toujours être fondée sur une bonne théorie, dont la perspective est le guide et la porte, sans celle-ci, rien

ne se fait bien »

Il ajouta, dans le Codex Atlanticus, folio 76 recto :

«Chi disputa allegando l’autorità, non adopra(lo) ’ngegno, ma più tosto la memoria.»

« Celui qui, en disputant, invoque l’autorité n’emploie pas son intelligence, mais plutôt sa mémoire. »

Comme Aristote, Léonard consacra des centaines de pages à la biologie, à l’étude des animaux et du

corps humain. Son ambition était la même que celle du philosophe grec, transformer l’observation

empirique en science rationnelle. Qu’il s’agisse du vol des oiseaux, du cheval ou de l’homme, Léonard

suivit une démarche rigoureusement fondée sur l’observation, la description et la comparaison.

Léonard compara le squelette humain et le squelette équin, en particulier au niveau des jambes et de

leurs proportions. Cette analogie prolonge directement l’affirmation d’Aristote selon laquelle les jambes

du cheval sont semblables à celles de l’homme 34 (figure 7). En observateur attentif, Léonard reprit,

vérifia et confirma par le dessin cette intuition antique.


Figure 7. RCIN 912625, Royal Collection Trust

Codex Windsor, De Vinci

Sa curiosité scientifique se nourrissait aussi de ses lectures. Léonard possédait dans sa bibliothèque 35 ,

l’Historia Naturalis de Pline l’Ancien (23-79 après J.C.), une véritable encyclopédie du monde naturel,

qu’il considérait comme un ouvrage de référence. Il y trouva matière à approfondir sa connaissance des

minéraux, des plantes, des animaux et du corps humain.

Après Aristote, Euclide (vers 325 – 265 av. J.-C.) apporta une nouvelle forme de rigueur et de clarté

qui marquera toute l’histoire des sciences. Mathématicien actif à Alexandrie, probablement sous le règne

de Ptolémée Ier Sôter (367 – 283 av. J.-C.), Euclide composa les Éléments 36 , un traité monumental en

treize livres qui rassemble, organise et systématise l’ensemble du savoir géométrique de son temps.

Euclide hérita de Thalès, de Pythagore, de Platon et d’Aristote, mais aussi des savoirs plus anciens

venus d’Égypte et de Babylonie. Toutefois, il leur donna une forme nouvelle, fondée sur des définitions

claires, des axiomes simples et une succession de démonstrations. Chaque théorème découla

logiquement du précédent, comme les maillons d’une chaîne parfaite. Cette méthode déductive, d’une

rigueur inédite, fera autorité pendant plus de deux millénaires.

Ce qui distingue Euclide, c’est sa capacité à transformer des découvertes éparses en un système

cohérent. Les Égyptiens avaient pratiqué l’arpentage, les Babyloniens l’astronomie numérique, les

pythagoriciens l’étude des proportions, et Platon avait donné une dimension cosmologique aux formes

géométriques. Euclide reprit cet héritage et en fit une science universelle. La géométrie cessa d’être un

art pratique ou une spéculation philosophique pour devenir un langage rationnel applicable en tout temps

et en tout lieu.

Parmi les nombreuses notions exposées dans les Éléments figure la division d’un segment « en

extrême et moyenne raison » (Les Éléments, Livre VI, Déf. 3). Il s’agit de la première définition

mathématique du fameux nombre d’or (≈1,618). Euclide démontra que ce rapport exprimait une

proportion particulière, déjà présente dans le dodécaèdre composé de douze pentagones réguliers.

Cette proportion, présente dans la structure du pentagone régulier, fut sans doute connue des

Pythagoriciens, qui voyaient dans les figures régulières l’expression de l’ordre du monde. Selon Proclus,

dans un de ses commentaires sur le premier livre d’Euclide 37 , Hippase de Métaponte, un Pythagoricien

du V ème siècle avant notre ère, aurait découvert la construction du dodécaèdre régulier et les rapports

irrationnels qu’il renfermait. Il rapporta : « On dit qu’un des Pythagoriciens fut le premier à découvrir

le dodécaèdre dans la sphère, et qu’ayant rendu publique la manière de l’y inscrire, il disparut sous

l’action du dieu, car il était juste qu’il meure, lui qui avait révélé ce qui devait rester secret. »

Cette tradition illustre la discipline du silence (ἐχεμυθία) qui régnait dans l’école pythagoricienne, où

tout savoir était tenu pour sacré. Les découvertes mathématiques y étaient perçues comme des révélations


d’ordre divin et leur divulgation constituait une faute grave. À cette époque, le savoir n’était pas

accessible à tous, il relevait d’une pratique spirituelle, une voie de purification intérieure, réservée à un

cercle restreint d’initiés. Comme le rappelle Jamblique 14 : « Chez les Pythagoriciens, tout enseignement

avait un caractère sacré, réservé aux initiés. La parole du maître était chose sainte, et toute doctrine

révélée hors du cercle des disciples était tenue pour une profanation. Ceux qui enfreignaient la règle du

silence et divulguaient les enseignements étaient exclus de la communauté comme des impurs. »

Porphyre confirma également le caractère initiatique et la pédagogie secrète de l’école : « À ceux qui

venaient pour écouter son enseignement, il ordonnait de passer cinq années dans le silence, pour

éprouver s’ils savaient dominer leur langue et être maîtres de leurs paroles. Et s’ils traversaient ce

temps dans le calme et la douceur, alors il les admettait à la contemplation des sciences. »

Ces témoignages expriment le vertige qu’a pu susciter l’une des découvertes les plus bouleversantes

de toute l’histoire de la pensée grecque. La mise au jour des nombres irrationnels, révélés dans la

construction du dodécaèdre, remit en cause le cœur même de la doctrine de Pythagore, qui reposait sur

l’idée que tout l’univers obéit à la mesure et au nombre. Ainsi, en donnant à ces figures une structure

rationnelle, Euclide transforma une intuition mystique en un véritable système démonstratif, fondé sur

la mesure, l’axiome et la preuve.

Cette filiation qui marqua le passage de la pensée grecque d’une dimension ésotérique à une science

plus rationnelle, permet de comprendre combien le retour à l’esprit de l’antiquité fit battre le cœur de la

Renaissance.

Euclide fut redécouvert en Occident dès le XII ème siècle grâce aux traductions d’Adélard de Bath (vers

1080–vers 1152) et de Campanus de Novare (vers 1220–1296) 38 , puis imprimé à Venise en 1482. C’est

dans ce climat que Léonard de Vinci (1452–1519) étudia la géométrie. Ses codex témoignent d’un intérêt

constant pour les mêmes régularités que celles mises en évidence par Fibonacci (1170–1250), auteur de

la célèbre suite numérique (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…), dont les rapports successifs tendent vers le nombre

d’or 39 et expriment l’harmonie présente dans la nature.

Léonard remplit ses carnets de dessins d’hélices, de spirales et de vortex (figures 8). Cette fascination

se retrouve dans ses études conservées à la Royal Collection Trust, où il analysa les mouvements de

l’eau sous forme de tourbillons. Même dans ses visions sur le déluge, comme dans ses observations des

tempêtes et du mouvement de l’air, les flots en furie s’organisent en spirales, révélant l’omniprésence de

ces formes dans la nature.

Étude de l’eau

RCIN 912660, Codex Windsor, De Vinci

Déluge

RCIN 912380, Codex Windsor, De Vinci

Figures 8

Cette recherche de régularités trouva aussi un prolongement dans ses études anatomiques. Fasciné par

le mouvement des fluides, Léonard disséqua des cœurs de bœufs afin de mieux comprendre la forme des

ventricules et le mouvement du sang. Il injecta de la cire dans les cavités pour en obtenir des moulages

et visualiser les structures internes. Il observa que le flux sanguin à l’intérieur du cœur s’organise


naturellement en spirale, un mouvement qui ferme les valves cardiaques de façon rapide et efficace

(figure 9). Ses observations, qu’il décrivit dans ses notes anatomiques sur le cœur (RL 19073r),

témoignent d’une compréhension remarquable du rôle de la géométrie naturelle avant que la science

moderne ne le confirme.

Figure 9. Étude valve aortique

Rcin 919083, Codex Windsor, De Vinci

À la suite d’Euclide, qui avait donné à la géométrie sa forme la plus rigoureuse, la pensée grecque

découvrit avec Archimède (287–212 av. J.-C.) l’importance de l’application des mathématiques à la

compréhension des forces, des poids et des mouvements. Né à Syracuse et probablement, selon le

philosophe Proclus 37 , formé auprès des savants d’Alexandrie, Archimède fut à la fois mathématicien,

physicien, ingénieur et inventeur. Il incarne l’idéal du savant complet, capable de relier la théorie à la

pratique et d’inscrire les mathématiques au cœur de la vie quotidienne.

Ses recherches, sur la mécanique et les équilibres, furent déterminantes. Il établit les lois du levier et

définit la notion de centre de gravité, ouvrant la voie à une véritable science des forces. Il développa

également un savoir hydraulique expérimental, concevant la célèbre vis d’Archimède qui permet d’élever

l’eau (figure 10). Il imagina des machines de siège, des catapultes, des poulies, des grues, inspirées de

la nature et qui témoignent d’une compréhension rationnelle des lois de la physique. Par cette capacité à

traduire les mathématiques en applications concrètes, il devint l’un des modèles les plus puissants de

l’Antiquité.

Figure 10. Outils et Machines, Vis d’Archimède

F 386 r, Codex Atlanticus, De Vinci


Dans ses études mécaniques et d’ingénierie, Léonard évoqua, à plusieurs reprises Archimède. Comme

son illustre prédécesseur, il ne séparait jamais la théorie de l’expérience. Ses croquis de ponts, de poulies,

de pompes, de vis hydrauliques et de machines de guerre prolongent directement l’inspiration

archimédienne, dans une recherche constante sur les principes fondamentaux qui régissent le mouvement

et l’équilibre.

Un dessin de Léonard de Vinci illustre une réflexion sur les rapports proportionnels nécessaires à

l’équilibre des mécanismes (figure 11). La figure est composée de deux roues de diamètres différents,

dans un rapport de 5/4, la plus grande a un diamètre supérieur d’un quart à celui de la petite. Les deux

roues sont reliées par un système de bielles articulées fixées sur les moyeux, formant deux triangles

rectangles. Ce dispositif relève d’une étude cinématique et vise à comprendre le mouvement des pièces

entre elles, indépendamment des forces qui les provoquent. L’ensemble constitue un mécanisme fondé

sur le principe du levier composé, où plusieurs leviers coopèrent pour transmettre, transformer ou

amplifier un mouvement. Dans ce dispositif, les barres obliques et les axes remplissent la fonction de

leviers, assurant la transmission du mouvement d’une roue à l’autre selon des rapports de longueur

précis.

Figure 11. Étude mécanique

Institut de France, Manuscrit B, 36 recto

Si l’on prolonge les segments jusqu’à la base des cercles, l’ensemble délimite un rectangle dont les

côtés sont dans un rapport de 3/2. Ce rapport se retrouve dans la transmission des forces selon des bras

inégaux, comparable à la loi du levier formulée par Archimède. Il se manifeste dans la répartition des

charges d’un système équilibré. La roue arrière supporte environ soixante pour cent du poids total, tandis

que la roue avant en porte quarante pour cent. Cette disposition assure la stabilité de l’ensemble, avec

un centre de gravité légèrement déplacé vers l’arrière. Il convient enfin de souligner que les deux rapports

présents dans ce mécanisme reflètent les rapports harmoniques décrits dans la théorie musicale de

Pythagore, celui de la tierce majeure (5/4) et celui de la quinte juste (3/2).

Ainsi, Léonard a relié les lois de la mécanique d’Archimède aux principes d’harmonie musicale

décrits par Pythagore en les inscrivant dans les formes géométriques élémentaires (carré, triangle,

rectangle et cercle). Comme Archimède, Léonard voyait dans la mécanique la démonstration vivante de

la puissance des mathématiques. Il exprima cette idée avec clarté dans le manuscrit E de l’institut de

France, folio 8.v:

«La meccanica è il paradiso delle scienze matematiche, perché con quella si viene al frutto delle

scienze matematiche.»

« La mécanique est le paradis des sciences mathématiques, car c’est par elle que les mathématiques

donnent leurs fruits. »


1.3. L’antiquité romaine, la transmission et l’héritage du savoir grec

De la Grèce à Rome, l’idéal d’un monde ordonné par les mathématiques se transmit sans rupture.

Archimède en avait montré la puissance mécanique, l’architecte et ingénieur, Marcus Vitruvius Pollio,

dit Vitruve (Ier siècle av. J.-C.) en fit la règle de l’art de bâtir. Dans son traité De Architectura 40 , le seul

ouvrage d’architecture de l’Antiquité qui nous soit parvenu, il reprit l’héritage grec en y intégrant une

conception profondément unitaire du monde. Pour lui, l’architecture devait refléter l’ordre de l’univers,

et l’homme en constituait le modèle à travers ses proportions qui incarnaient à la fois l’équilibre et

l’harmonie. Vitruve affirma ainsi que « l’homme est la mesure de toute chose ». L’architecture relevait

donc d’une cosmologie où l’homme reflète l’univers dans son ensemble, une idée déjà présente chez

Empédocle, Hippocrate ou Platon mais que Vitruve appliqua pour la première fois à l’art de bâtir.

Dans la continuité des savants grecs, Vitruve fonda sa théorie de la construction sur l’équilibre des

quatre éléments, la terre, l’eau, l’air et le feu, dont la juste combinaison assure la stabilité et la durabilité

des ouvrages. La terre, par sa masse et sa cohésion, constituait la base des fondations et des murs

porteurs, l’architecte romain insista sur la qualité du sol, qu’il faut éprouver avant toute construction (De

Architectura, II, 1). L’eau, principe de vie et d’union des matières, qui intervient dans la préparation de

la chaux, du mortier et des enduits, devait être pure, légère et non stagnante pour garantir la solidité des

ouvrages (VIII, 3). Pour l’air, élément du souffle vital, il recommanda de choisir l’orientation des villes

et des maisons en fonction des vents dominants, pour préserver la santé des habitants (I, 4). Quant au

feu, Vitruve conseilla de carboniser la surface du bois afin de le rendre plus résistant à l’humidité et aux

insectes (II, 9,2). Ainsi, bâtir revenait à trouver la juste mesure, celle qui maintient l’harmonie entre les

forces naturelles, où chaque élément agit en correspondance avec les autres, formant un tout

indissociable.

Dans ce cadre conceptuel, Léonard de Vinci aborda la nature comme un champ d’expérimentation

régi par les lois de la physique. Pour lui, comprendre le monde revenait à en observer les forces

élémentaires, à en analyser les effets et à en mesurer les rapports. Il étudia la terre à travers la structure

des sols et des roches, notant les effets du temps, de l’érosion et de la gravité sur la forme du relief. Il

consacra à l’eau d’innombrables observations, l’analysant comme une force motrice du monde, il en

mesura la pression, la vitesse et la turbulence, et étudia le comportement des courants dans les rivières

et les canaux. Il explora la physique de l’air, observant la résistance, la portance et le mouvement, afin

de comprendre les principes du vol et de la propagation du son. Quant au feu, il examina ses effets sur

les métaux, les pigments et le bois. Dans le folio 91 v., du Codex Madrid I, Léonard reprit explicitement

un conseil hérité de Vitruve « Ligna quae leviter amburuntur, diuturniora fiunt. » (II, 9,2):

«Il legno, la cui superficie sia stata leggermente abbrusciata, diventa più duro e più atto a resistere

all’umidità.»

« Le bois dont la surface a été légèrement brûlée devient plus dur et plus résistant à l’humidité. »

Cette technique 41 a été identifiée sur des pieux et différents éléments en bois mis au jour à Ostie, dont

les vestiges se situent principalement entre le Iᵉʳ et le IIIᵉ siècle après J.-C., puis à Pompéi et à

Herculanum, conservées dans leur état de 79 après J.-C., ainsi que dans les camps militaires du Limes

de Germanie occupés du Iᵉʳ au IIIᵉ siècle. Les traces relevées concernent aussi bien des pieux de

soutènement et des éléments porteurs que des poteaux de palissades militaires et des piquets de clôture.

L’ensemble de ces données atteste que les romains recouraient déjà à la carbonisation superficielle du

bois dans des contextes variés, bien avant que Léonard de Vinci n’en reformule le principe à la

Renaissance.

Léonard de Vinci prolongea les principes vitruviens en les appliquant également à l’étude du corps

humain. Pour lui, les mêmes lois qui gouvernent la matière s’expriment dans les proportions de l’homme.

Il voyait dans le corps humain un système naturellement équilibré, gouverné par les mêmes lois

physiques que celles du monde, la gravité, la tension, l’appui et la résistance 42 . La mécanique du corps

constituait, à ses yeux, un modèle parfait d’efficacité dont il s’inspira dans ses recherches et ses


inventions. En observant le fonctionnement des muscles, il transposa le geste humain dans des systèmes

articulés (figure 12), et il reprit les rapports de proportion du corps dans plusieurs de ses créations,

notamment dans la conception de son cheval idéal.

Figure 12. Codex atlanticus f844r

De Vinci

2. L’homme de Vitruve selon Léonard de Vinci

2.1. La genèse et les sources du dessin

La preuve la plus éclatante de l’influence de la pensée antique sur Léonard de Vinci demeure son

célèbre dessin de l’Homme de Vitruve qui concentre dans une seule image tout un héritage millénaire.

On y retrouve l’inspiration de Thalès, l’un des premiers penseurs grecs, à avoir introduit le raisonnement

géométrique dans l’étude du monde. Dans ce dessin, le corps humain est considéré comme une figure

mesurable, soumis à la géométrie comme n’importe quel objet naturel. À cette première intuition s’ajoute

l’influence de Pythagore, par l’incarnation d’une harmonie visuelle et une quête de perfection où la

géométrie devient le moyen d’approcher l’idéal. Mais cette harmonie n’est pas seulement celle du corps,

elle est l’expression d’une unité plus vaste. C’est ici qu’intervient l’inspiration de Platon, qui affirmait

dans le Timée 27 que « tout vient de l’Un ». Léonard illustre l’homme comme un microcosme, une partie

intégrée dans un ensemble plus large, reflet d’une unité fondamentale qui relie toutes choses. L’influence

d’Aristote apparaît également, à travers la méthode empirique fondée sur l’observation et

l’expérimentation que Léonard utilisa pour concevoir ce dessin. Cette quête de perfection conduit

naturellement à Euclide. Tout l’équilibre dans la conception de ce dessin repose sur l’harmonie de la

géométrie. À cela s’ajoute l’héritage d’Archimède, qui révéla les lois de la pesanteur et de l’équilibre.

L’homme de Vitruve est représenté dans deux mouvements superposés qui démontre que, lorsque les

jambes sont écartées et les bras déployés en trois quarts, l’homme conserve son équilibre et sa

stabilité. En revanche, avec les jambes jointes et les bras dans la même position, cet équilibre se perdrait,

il se maintient, en revanche, avec les bras écartés à l’horizontal. Ce dessin illustre ainsi, de manière

rationnelle, les lois de la gravité et de la stabilité du corps humain.

Cependant, il faut rappeler que la genèse et la représentation de l’homme de Vitruve ne sont pas nées

de l’imagination de Léonard. Elles s’appuient et répondent à un problème formulé par Vitruve dans son

traité De architectura (Livre III, chap. 1), où sont exposées les proportions idéales du corps humain. Il

consigna : « Le nombril est, naturellement, le centre du corps humain. Si, en effet, un homme est couché


sur le dos, les mains et les pieds étendus, et que l’on place un compas sur son nombril, en traçant un

cercle on passera par les extrémités des mains et des pieds. De même, la hauteur de l’homme est égale

à l’envergure de ses bras ; ainsi, un carré peut être tracé autour de lui. »

Vitruve posait ainsi les bases d’une réflexion : Comment inscrire un homme dans deux positions, à la

fois dans un carré et dans un cercle ?

Ce défi posé par l’architecte romain fut longtemps une énigme redoutable pour de nombreux érudits

et artistes. Mariano di Jacopo dit Taccola (1382-1453) 43 esquissa une figure schématique sans précision

anatomique (figure 13). Francesco di Giorgio Martini (1439-1501) 44 , à son tour, tenta d’accorder la

géométrie aux proportions du corps, mais ses dessins restèrent maladroits (figure 14). Enfin, Giacomo

Andrea de Ferrara (vers 1450-1500) 45 , lecteur attentif de Vitruve, proche de Léonard, proposa une

solution encore bancale, où la figure ne respectait pas l’anatomie humaine (figure 15). Tous se heurtèrent

à des contradictions ou à des approximations. C’est dire à quel point ce problème exerçait une fascination

tenace tout en résistant aux plus habiles. En relevant ce défi, Léonard fut le premier à donner à ce

problème antique une solution visuelle à la fois rigoureuse et universelle. Il transforma une théorie

architecturale en une véritable construction géométrique fondée sur la mesure de l’homme.

Figure 13. Taccola,

vers 1419/1450

Figure 14. Giorgio Martini,

vers 1475/1482

Figure 15. Giacomo Andrea de

Ferrara, vers 1490

2.2. Entre infini et mesure

Dans cette quête d’unité, Léonard s’inscrivait dans la tradition des géomètres grecs, notamment

Pythagore et Euclide, pour qui la beauté résultait de la mesure et des rapports justes. Il voyait dans la

géométrie un moyen de relier l’homme à l’univers. Le corps humain, par ses proportions, devait refléter

un ordre universel à l’œuvre dans la nature et les êtres vivants, mais aussi dans le déploiement des formes,

des sons et des lois physiques. C’est dans cette continuité que Léonard s’intéressa aux travaux d’Euclide,

dont les Éléments posent les fondements de la géométrie classique.

Chez Euclide, la recherche de proportions idéales repose sur l’idée d’un équilibre entre deux rapports.

Cette relation qui relie la mesure à l’harmonie, devint un principe fondamental de la géométrie. La

proportion dite « extrême et moyenne » décrite dans le livre VI des Éléments d’Euclide, en offre

l’exemple le plus abouti (figures 16). Elle consiste à diviser un segment de telle sorte que le rapport de

la totalité à la plus grande partie soit égal au rapport de cette plus grande partie à la plus petite. Autrement

dit, si l’on divise un segment AB en un point C, on obtient la relation : AB/BC = BC/AC.


Euclidis Elementa, Vaticanus Graecus 190,

Bibliothèque apostolique du Vatican,

IX ème siècle, folio 31r, section du livre VI

Reproduction du Rectangle d’or

Figures 16

Pour désigner cette harmonie, Euclide utilisa un signe distinctif représenté par un cercle traversé par

une ligne horizontale. Il le plaça à l’intersection entre la hauteur commune au carré et au petit rectangle

d’or. À cet endroit, le rapport entre ces deux segments est égal au nombre d’or car le côté du petit

rectangle d’or est 1/ φ puisque EA=ES= √5/2 et SB=(√5-1)/2= 1/ φ (figures 16).

Dans la pensée grecque, le cercle représentait l’unité, la totalité et la perfection. Quant à la barre, dans

la pratique géométrique grecque, elle indiquait l’acte rationnel de division d’un segment, autrement dit

la mesure du tout par la partie. L’union du cercle et de la barre incarne ainsi l’esprit grec d’un ordre

mesuré, où l’unité se divise en parties proportionnelles.

Au XIX ème siècle, le mathématicien américain Mark Barr 46 proposa d’utiliser la lettre grecque φ pour

désigner le nombre d’or. Selon une explication, souvent reprise dans la littérature, notamment chez

Matila Ghyka 47 et d’autres auteurs du XX ème siècle, Barr aurait choisi cette lettre en hommage au

sculpteur Phidias, auquel on attribuait l’usage du nombre d’or. Toutefois, aucune preuve directe ne vient

confirmer cette hypothèse. Il s’agit vraisemblablement d’une interprétation ultérieure. On peut donc

aussi supposer que, familier des écrits d’Euclide, il ait repris le même signe mais à la verticale, dans la

continuité du signe antique.

Léonard de Vinci s’est inspiré des études réalisées par Euclide (figure 17), jusqu’à recopier certaines

figures, parmi elles, une illustration du théorème de Pythagore. Dans la figure réalisée par Euclide

réapparaît de nouveau le signe d’un cercle traversé par un trait horizontal (figure 18). Ce rapprochement

a conduit à réexaminer la portée de cette figure.


Figure 17. Études géométriques

De Vinci, Codex Arundel, British Library

Figure 18. Théorème de Pythagore

Élément I, proposition 47

Bibliothèque apostolique du Vatican

L’analyse de la figure, nous a permis de découvrir l’existence d’une structure géométrique sousjacente,

qui lie le théorème de Pythagore au nombre d’or (Figure 19). Si l’on considère un carré ABCD

de côté 1 et que l’on trace un arc de cercle de centre E, situé au milieu du segment BC, et de rayon √5/2,

cet arc permet de construire un rectangle d’or TSCD, de côté (1+√5) /2, qui passe précisément par les

sommets O et L du petit carré pythagoricien de côté (1/√2) car, grâce au théorème de Pythagore, sa

diagonale BR est égale à 1. Le point d’intersection M entre le rectangle d’or TSDC et le petit carré

pythagoricien détermine la position du rectangle d’or MPSB ainsi que celle du carré TMPA. De manière

analogue, en prolongeant le segment OB (côté du petit carré pythagoricien) jusqu’au segment TS, on

obtient le point U, qui permet de définir un rectangle d’or TUKA ainsi qu’un carré USBK.

Figure 19. Reproduction du rectangle d’or combiné au Théorème de Pythagore

L est situé 1/2 à droite du grand carré de côté 1 car OL=1. N est le milieu de LE, situé sur la droite

passant par AB. Ainsi BN= 1/4 et AE=EL= √5/2. AEL est donc un triangle rectangle.

Par le théorème de Pythagore :


AL= √(AE 2 +EL 2 ) = √ (5/4 + 5/4) = (√10) /2

L’aire du carré de côté AL, associée à l’angle AEL, est alors égale à la somme des aires du rectangle

d’or TSCD, du petit carré pythagoricien ORLB et du carré USBK ou TMPA.

Soit AL 2 = (TSxSC) + OB 2 +US 2 où US = SC-1= 1/φ

(√10/2) 2 = (1 x φ) +(1/√2) 2 +( 1/φ) 2

Ces rapports peuvent s’expliquer par la longueur √5/2 qui agit comme une véritable charnière

géométrique entre le rectangle d’or et le théorème de Pythagore. Cette longueur est un facteur

multiplicateur au sein de la famille des triangles rectangles associés (figure 20).

En effet, si dans un triangle rectangle, le plus grand côté vaut deux fois le plus petit, alors l’aire du

triangle est égale à l’aire du carré construit sur le petit côté. Ce procédé se poursuit en prenant la moitié

de l’hypoténuse comme nouveau petit côté. On constate que le petit côté est passé de 1/2 à √5/4, il a

donc été multiplié par √5/2. Et l’aire est passé de 1/4 à 5/16, elle a donc été multiplié par (√5/2) 2 .

Figure 20. Représentation géométrique de la suite des triangles rectangles gouvernés par la progression √5/2

Cette construction fait également apparaître une nouvelle suite récurrente entière, définie

géométriquement à partir d’un carré initial et d’une itération du théorème de Pythagore. Les rapports

successifs convergent vers la proportion du nombre d’or. Les valeurs de la suite sont : 1, 4, 5, 9, 14, 23,

37, 60, 97, 157…Cette progression suit une loi d’addition où chaque terme est la somme des deux

précédents.

Le premier terme correspond à un petit carré de côté ½. L’aire de ce carré vaut donc (1/2) 2 = 0,25.

Pour éviter les fractions, on choisit une nouvelle échelle, où l’aire 0,25 devient 1. Le second terme est

un carré, de côté 1, qui devient 4, dans cette nouvelle échelle. Le troisième est issu de l’hypoténuse du

triangle rectangle des valeurs précédentes. Son carré d’aire de 1,25 devient 5 (1+4= 5).

Ainsi, à chaque étape, on forme un triangle rectangle à partir des longueurs précédentes, puis on

construit un nouveau carré sur l’hypoténuse obtenue.

Cette croissance géométrique engendre une série de rapports successifs qui tendent vers une valeur

limite correspondant à la racine carrée du nombre d’or.

On désigne R(k) le rapport entre deux longueurs successives. Le tableau suivant présente ces valeurs

sous forme exacte et décimale, qui illustre la convergence vers √ φ ≈ 1,272 (figure 21).


Figure 21. Tableau des rapports R(k)

L’étude numérique montre qu’à partir du cinquième terme, l’écart entre deux rapports successifs

décroit selon une progression géométrique de raison (1/φ ≈ 0,618). Cette propriété est bien connue en

analyse des suites récurrentes. Toutefois, elle prend ici une forme inédite, appliquée à une construction

géométrique issue du théorème de Pythagore (figure 22).

Figure 22. Représentation géométrique de la suite qui converge vers √ φ

2.3. L’unité du monde

L’idée d’une harmonie entre mesure et infini, héritée de la tradition pythagoricienne 48 , a profondément

marqué la pensée de la Renaissance. Léonard de Vinci, en s’appuyant sur les textes antiques, a cherché

à comprendre et à révéler les rapports fondamentaux qui structurent l’univers. Dans ses études sur les

proportions du corps, Léonard explora les rapports mesurables qui structurent l’anatomie humaine, selon

des principes d’harmonie et de proportion 49 . Il nota ces rapports sous forme de fractions. Il ne s’agissait

pas, pour lui, de retrouver le nombre d’or en tant que valeur absolue, mais plutôt de comprendre comment

des rapports concrets et rationnels pouvaient traduire l’ordre harmonique du monde. Pour exprimer

l’équilibre des rapports géométriques, d’une mesure capable d’unir le multiple et la totalité, il reprit le

même symbole qu’Euclide (figures 23, 25).


Euclide

Symbole d’harmonie

Da Vinci

Figures 23. Étude de proportions

Rcin 919130, Royal Collection Trust

De Vinci

Dans la conception de l’homme de Vitruve (figure 24), Léonard de Vinci recopia sur le dessin les

proportions établies par Vitruve, mais il ne se limita pas à les reproduire. Il en fit un principe

d’expérimentation. Par l’observation directe du corps, par la dissection et l’étude du mouvement, il

vérifia ces rapports, les rectifia et les harmonisa afin que chaque partie contribue à l’équilibre du tout.

Son objectif dépassa la mesure, il chercha une unité organique, où la forme humaine ne se réduit plus à

une somme de segments, mais se comprend comme un système de correspondances.

Figure 24. L’homme de Vitruve,

Galerie de l’académie de Venise, De Vinci


Léonard constata que les différentes parties du corps se répondent selon un système rigoureux de

rapports proportionnels (figures 24, 25). La largeur des épaules est égale à la moitié d’une jambe,

proportion identique à celle qui va du torse au pubis, ou du torse au sommet de la tête. La main, quant à

elle, correspond aux dimensions du visage, de la racine des cheveux jusqu’au menton, ainsi que celle qui

sépare le nombril du pubis. La longueur du pied équivaut à la distance du poignet au coude, mais aussi

à celle du buste au nombril.

De nombreuses parties du corps ont une longueur double l’une par rapport l’autre. Par exemple, la

longueur du pubis à la plante des pieds correspond à la moitié de la hauteur du corps. La hauteur comprise

entre le cou et le pubis est deux fois celle située entre le cou et le sommet de la tête, et la distance du cou

au sommet de la tête est, à son tour, deux fois celle du cou au buste. La même logique s’observe dans

les membres supérieurs. La distance de l’épaule au milieu du buste est deux fois plus petite que celle du

milieu du buste au coude, et la longueur du coude à la main se retrouve doublée dans la portée totale du

bras jusqu’au milieu du buste.

D’autres rapports complètent cette structure selon des multiplications régulières. Le segment compris

entre le buste et le pubis est trois fois plus grand que celui qui sépare le cou du buste. La hauteur du

pubis au sommet de la tête présente le même rapport avec la distance du cou au sommet de la tête. La

hauteur du cou au pubis est, quant à elle, quatre fois plus grande que celle du cou au buste, tandis que la

distance du pubis à la plante des pieds en représente six fois la longueur.

Ce principe se retrouve dans ses études de proportions humaines, notamment sur un dessin conservé

à la Galerie de l’académie de Venise, où Léonard a segmenté le visage d’un homme de profil. Sur le côté

gauche de la feuille apparaissent des fractions 1/2, 1/3, 1/4, et 1/6 (figure 25).

Figures 25. Étude de proportions

Galerie de l’académie de Venise

De Vinci

Chaque mesure qui renvoie à une autre, révèle un principe d’autosimilarité. Le corps de l’homme de

Vitruve manifeste une récurrence géométrique comme si la forme humaine portait en elle un message

mathématique. Ainsi, chaque partie devient un multiple ou un sous-multiple rationnel de l’ensemble.

Les multiples de 2, 3, 4 et 6, employés par Léonard, révèlent que la structure du corps repose sur un

système duodécimal 50 hérité des méthodes de mesure antiques. Dans l’Antiquité, la base 12 était

considérée comme la plus harmonieuse, car elle permettait d’engendrer un grand nombre de divisions


simples et exactes, la moitié, le tiers, le quart, le sixième. Elle offrait une souplesse de calcul que le

système décimal ne pouvait pas atteindre.

À la Renaissance aussi, ce système faisait partie de la vie quotidienne. Dans la monnaie, il structurait

toutes les valeurs, douze deniers formaient un sou, vingt sous équivalaient à une livre, soit deux cent

quarante deniers pour une livre. On comptait également par grandes mesures de cent vingt unités, plus

faciles à diviser en douzaines pour le commerce. Dans les longueurs et les poids, le même principe

s’appliquait, douze pouces égalaient un pied et douze onces une livre. Ce modèle, hérité de Rome, fut

encore enseigné par Luca Pacioli dans sa Summa de arithmetica 51 (1494), dans laquelle il décrivit les

méthodes de calcul marchand fondées sur ces divisions en douze.

Vitruve lui-même avait recours à ce principe métrologique dans les directives qu’il formula pour

établir les proportions de l’homme idéal 40 : « Quatre paumes font un pied, six paumes font une coudée,

et vingt-quatre paumes font un homme. »

Toutefois, il ne respecta pas toujours le système duodécimal, dans ses consignes. Il affirma, par

exemple, que la tête devait représenter un dixième de la hauteur totale du corps, ce qui introduit une

logique décimale étrangère à la division antique.

Léonard de Vinci reprit donc l’énoncé de Vitruve, qu’il recopia presque mot pour mot sur son célèbre

dessin de L’Homme de Vitruve. Cependant, il ne le suivit pas dans ses mesures. S’il adopta le système

duodécimal, hérité de la tradition antique, comme en témoignent les rapports fondés sur les multiples de

2, 3, 4 et 6, les proportions qu’il observa montrent que ce modèle ne suffisait pas à rendre compte de la

complexité du corps humain.

Pour certaines parties, telles que le pied, la main ou le visage, il étendit le principe duodécimal à une

échelle plus fine, fondée sur une base commune de 120 divisions de l’unité, le plus petit commun

multiple des principaux dénominateurs employés pour décrire les rapports de la forme humaine (figure

26).

Partie du corps Valeur Fraction exacte

Du sommet de la tête à la plante des pieds 1 1/1

Du nombril à la plante des pieds 0,60833 73/120

Du pubis à la plante des pieds 0,5 1/2

De l’extrémité de la main au milieu du buste 0,5 1/2

Du pubis au sommet de la tête 0,5 1/2

Du sommet de la tête au nombril 0,3916 47/120

Du cou au pubis 0,3333 1/3

Du buste au pubis 0,25 1/4

Largeur du buste (d’une épaule à l’autre) 0,25 1/4

Du sommet de la tête au buste 0,25 1/4

Du genou à la plante des pieds 0,25 1/4

Du pubis au genou 0,25 1/4

Du milieu du buste au coude 0,25 1/4

Du coude à l’extrémité de la main 0,25 1/4

Du cou au sommet de la tête 0,1666 1/6

Longueur du pied 0,1416 17/120

Du poignet au coude 0,1416 17/120

Du buste au nombril 0,1416 17/120

De l’épaule au milieu du buste 0,125 1/8

Du nombril au pubis 0,108 13/120

De la racine des cheveux au menton (visage) 0,108 13/120

De l’extrémité de la main au poignet (main) 0,108 13/120

Du cou au buste 0,0833 1/12

Figure 26. Tableau des proportions du corps humain telles qu’on peut les inférer

sur l’homme de Vitruve de Léonard de Vinci


Le choix d’une base de 120 unités permet d’obtenir des rapports qui deviennent parfaitement

mesurables (40, 47, 60, etc.). Par exemple, la moitié du corps correspond à 60 unités sur 120, et la

longueur du pied à 17 unités, soit une proportion de 17/120. Ainsi, chaque valeur de la suite est calculée

à partir de la précédente selon un rapport simple et rationnel, qui assure la continuité et l’harmonie du

système de proportions (figure 27).

Figure 27. Équivalence des rapports sur une base de120 divisions

Le nombre 120 s’inscrit aussi dans la longue tradition antique des recherches sur l’harmonie des

proportions, en particulier dans le système sexagésimal 4 , hérité des civilisations mésopotamiennes pour

définir la mesure du temps et de l’espace. Le choix de Léonard d’adopter cette base numérique témoigne

de sa volonté d’ancrer la science du corps humain dans la continuité d’un savoir ancien, où la mesure et

la proportion expriment l’ordre universel. En outre, l’intérêt de ce système réside également dans sa

souplesse harmonique. Il permet d’engendrer et de combiner à la fois des rapports binaires (1/2, 1/4, 1/8)

et ternaires (1/3, 1/6, 1/12), au sein d’une même structure de mesure. Appliqué aux proportions du corps

humain, il agit comme un « modulus harmonique », c’est-à-dire une unité de référence qui relie toutes

les subdivisions du corps à une échelle commune.

Le rayon du cercle, qui a pour centre le nombril, a une valeur (73/120), proche de l’inverse du nombre

d’or (0,618). Par conséquent, la figure semble s’inscrire dans deux rectangles d’or superposés, l’un issu

de la géométrie du carré, l’autre de celle du cercle.

Au-delà de sa valeur arithmétique, le nombre 120 occupe, dans la tradition pythagoricienne 52 , une

place structurante. Il est interprété comme un principe d’organisation numérique qui reflète l’harmonie

du monde. Chez les penseurs de l’Antiquité 53 , les rapports mathématiques étaient perçus comme des

modèles d’ordre universel, capables de rendre compte aussi bien du mouvement des astres que des

structures du vivant.

Le nombre 120 résulte du produit des cinq premiers entiers (1 × 2 × 3 × 4 × 5=120). Cela représentait,

pour les pythagoriciens, une conception hiérarchique du monde qui symbolisait le passage progressif de

l’unité à la complexité, de l’abstraction à l’incarnation. Chaque nombre était ainsi envisagé comme une

étape qui participe à la genèse du réel.

Dans la pensée grecque, cette gradation s’exprime à travers cinq niveaux 54 , la Monade (1), principe

d’unité et d’origine, la Dyade (2), principe de dualité et de différenciation, la Triade (3), principe

d’harmonie et de médiation, la Tétrade (4), principe d’organisation et de stabilité du monde, et la Pentade

(5), principe de génération et de vie (figure 28). L’ensemble (1 à 5) définit une structure complète, où la

combinaison de ces rapports numériques est perçue comme la base de toute forme organisée.


Figure 28. La hiérarchie pythagoricienne des nombres

Chez Platon, notamment dans le Timée 27 , où les cinq solides parfaits, constituent la structure

géométrique fondamentale du cosmos, le dodécaèdre, symbole d’unité et l’icosaèdre, miroir de ce

dernier, possèdent un groupe complet de symétrie comprenant cent vingt transformations, soixante

rotations et soixante réflexions, qui ramènent la figure sur elle-même sans altérer sa structure (figures

6). Ce nombre 120 illustre à la fois la complexité harmonieuse de ces figures et la perfection géométrique

que les philosophes de l’Antiquité associaient à l’ordre universel.

Dans les traditions monothéistes ultérieures, le nombre 120 conserve également une valeur

symbolique. Dans la Genèse (ancien testament, 6, verset 3), Dieu fixa à cent vingt ans la durée de vie de

l’homme. Dans le Livre des Actes des Apôtres (nouveau testament, 1, verset 15), ce même nombre

apparaît à nouveau, cent vingt disciples sont réunis lors de la descente de l’Esprit Saint. Dans la tradition

islamique primitive, la durée de cent vingt jours correspond au temps nécessaire à la formation de l’être

humain. Le développement embryonnaire y est décrit comme se déroulant en trois phases de quarante

jours chacune, d’abord sous forme de goutte, puis de caillot, et enfin d’embryon (Bad’al-Khalq, hadith

n°3208). Ainsi, de l’arithmétique pythagoricienne à la théologie, ce chiffre se présente comme une unité

de structure et de totalité, qui relie la science des proportions à une conception globale de l’ordre du

monde.

Cette relation, qui repose sur une recherche d’équilibre entre le multiple et l’unité, Léonard de Vinci

l’exprime également dans ses observations sur la croissance végétale (figure 29). Il nota dans le Codex

Arundel, folio 152 r.:

«Ogni anno, quando i rami d’un albero hanno compiuto la loro crescita, la somma delle loro

grossezze, in ogni livello di ramificazione, è sempre eguale a quella del tronco. »

« Chaque année, lorsque les branches d’un arbre ont achevé leur croissance, elles auront mis

ensemble une épaisseur égale à celle du tronc, et à chaque niveau de ramification, l’épaisseur des

branches issues de la même division sera toujours égale à celle du tronc. »

Par cette remarque, Léonard transposa une loi de conservation 55 où à chaque niveau de division, la

somme des diamètres des branches filles est égale au diamètre du tronc. Autrement dit, la matière se

divise, mais l’unité se maintient.


Figure 29. Étude de proportions d’un arbre

De Vinci, Codex Arundel, British Library

Ce principe admet un parallèle direct dans la musique pythagoricienne 16 où la série des douze quintes

converge vers l’unité. Pour illustrer cette correspondance, les pythagoriciens exprimaient les rapports

harmoniques en termes de fréquences. Ils observaient que la quinte juste, intervalle fondamental de la

gamme, se définit par un rapport de 3/2 entre deux sons.

Soit f la fréquence d’une note fondamentale. La quinte juste correspond au rapport 3/2. La note située

une quinte au-dessus a pour fréquence :

f (quinte) = (3/2) × f

En enchaînant douze quintes justes successives, c’est-à-dire douze intervalles de rapport 3/2

appliquées les uns à la suite des autres, on obtient les douze notes du système musical qui forme le cycle

complet des sons. La fréquence de départ est donc multipliée douze fois par 3/2, ce qui donne :

f (12 quintes) = f × (3/2)¹²

Cependant, après l’ajout de ces douze quintes, la hauteur obtenue dépasse la zone où se situait la note

initiale. Le résultat se trouve à environ sept octaves plus haut puisque douze quintes couvrent

approximativement 7 octaves. En musique, une octave correspond à un intervalle dont la fréquence est

le double de la précédente (rapport 2/1). Ainsi, chaque octave multiplie la fréquence par 2, et sept octaves

correspondent à une multiplication par 2 7 .

Pour ramener cette fréquence dans le même registre sonore, c’est-à-dire dans la même plage de

hauteur que la note de départ, il faut donc diviser la fréquence obtenue après les douze quintes par 2⁷.

f(normalisée) = f (12 quintes) / 2⁷

La valeur normalisée obtenue correspond à la note initiale, replacée dans son registre d’origine. Le

rapport est :

(3/2)¹²/ 2⁷ ≈ 1,0136

Ce résultat est très proche de 1, ce qui montre que la série des douze quintes ramène pratiquement à

la note initiale. Ainsi, de la proportion du corps humain, à celle de la musique et de la nature, le même

principe d’unité se manifeste.

Léonard de Vinci concevait la nature comme une œuvre divine régie par des lois d’une perfection

absolue. Véritable esprit de la Renaissance, il ne chercha pas à opposer la foi et la raison, mais à les unir

dans une même quête de vérité. Dans ses écrits, à l’instar de Platon qui disait : « Dieu est la mesure de

toutes choses, bien plus que ne le fut jamais l’homme, comme le dit Protagoras 56 », Léonard affirmait

que les forces naturelles ne sont que les instruments de la volonté divine.


Cette conviction transparaît dans la note du Codex Arundel, f 155v, Bristish Library :

«O mirabile necessità ! Tu costringi ogni effetto ad essere il risultato di sua causa; e per una legge

breve, severa e immutabile, disponi ogni azione naturale. »

« Ô merveilleuse nécessité ! Tu contrains tout effet à être le résultat de sa cause, et par une loi brève,

sévère et immuable, tu disposes de toute action naturelle. »

Par ces mots, Léonard proclama que le mouvement du cosmos participe de l’harmonie divine.

Dans cette même perspective, il nota dans le Codex Atlanticus, F 273r, Bibliothèque Ambroisienne :

«Io t’ubbidisco, Signore, prima per l’amore che ragionelemente portare ti debbo, secondaria che tu

sai abbreviare o prolungare le vite a li omini. »

« Je t’obéis, Seigneur, d’abord par l’amour que je te dois raisonnablement, ensuite parce que tu es

le seul à pouvoir abréger ou prolonger la vie des hommes. »

Ces paroles révèlent, chez Léonard, la reconnaissance d’un ordre supérieur, intelligible et parfait. Sa

foi profonde et réfléchie, relevait moins d’une dévotion religieuse que d’une méditation sur l’ordre du

monde. Il cherchait Dieu dans la raison et l’expérience, voyant dans la nature l’expression d’une

intelligence créatrice.

Léonard de Vinci percevait également la cyclicité des phénomènes naturels et l’unité des lois qui

gouvernent le ciel et la terre. Observateur rigoureux, il comprenait que les mouvements célestes se

reflètent dans les transformations terrestres, les marées, les saisons, la croissance des êtres vivants. Dans

le Codex Leicester (folio 9r), il partagea ses observations :

«L’acqua ritorna per i medesimi luoghi, crescendo e diminuendo per i corsi del sole e della luna. »

« L’eau revient par les mêmes lieux, croissant et décroissant selon les cours du soleil et de la lune. »

Ce constat exprime une vision cyclique et mécanique de la nature, où les astres agissent sur les

éléments selon des lois physiques et mesurables. En cela, Léonard rejoignit l’esprit des anciens

égyptiens, qui observaient le retour périodique de l’étoile Sothis (Sirius) comme le signe du

renouvellement des saisons et du cycle de la vie 7 .

Toutefois, Léonard se distingua profondément des croyances superstitieuses de son temps. Il

condamna les astrologues de cour, les devins, les chiromanciens et autres lecteurs de présages, qu’il

considérait comme autant d’imposteurs se réclamant à tort de la science. Il formula cette idée dans le

Codex Arundel, folio 176r, British Library :

«Gli astrologi fanno professione di predire i fatti futuri degli uomini, dicendo che essi nascono dalle

stelle; ma io dico che, se così fosse, non sarebbe in noi libero arbitrio, e per conseguenza non ci sarebbe

scienza né ragione. »

« Les astrologues prétendent prédire les actions futures des hommes, disant qu’elles proviennent des

étoiles ; mais je dis que, si cela était, il n’y aurait point en nous de libre arbitre, et par conséquent ni

science ni raison. »

L’étude du réel devint ainsi, pour Léonard, un acte spirituel. Il était convaincu que la raison et l’art

pouvait élever l’homme jusqu’à Dieu. Ainsi, il fit de la connaissance et de la création les voies d’une

ascension vers le divin. Il exprima cette conviction, dans le Codex Arundel, folio 155r, British Library :

«Quella scienzia è più utile della quale il frutto è più simile a quello di Dio; e così la pittura è di tal

genere, perché essa è cosa mentale, e per conseguenza partorita da Dio. »


« Cette science (la peinture) est la plus utile dont le fruit ressemble le plus à celui de Dieu; et ainsi la

peinture est de ce genre, car elle est une chose de l’esprit, et, par conséquent, engendrée par Dieu. »

2.4. L’homme de Vitruve, une construction purement géométrique

Avant même de concevoir son Homme de Vitruve, Léonard de Vinci avait mené un immense travail

préparatoire. Ses carnets révèlent une accumulation de mesures, de dissections et d’observations. Il

scrutait l’homme dans ses moindres détails anatomiques, calculait les rapports entre segments et

confrontait la théorie à la réalité du corps. Ses dessins témoignent de d’une quête d’harmonie qui régit

les proportions du corps humain.

Suivant les principes énoncés par Vitruve, Léonard recopia d’abord l’énoncé du texte de l’architecte,

dans lequel était décrit les mesures de chaque partie du corps. Il ajouta ensuite ses propres observations

et notes, en comparant les valeurs théoriques proposées par Vitruve avec celles qu’il mesurait sur le

corps humain.

Pour établir sa figure, Léonard traça plusieurs segments horizontaux destinés à marquer les divisions

principales du corps, l’un au niveau du cou, un autre à la hauteur du thorax, un autre au niveau du pubis

et un dernier à la hauteur des genoux. Ces lignes de repère, visibles sur le dessin, servaient à mesurer la

longueur des différentes parties du corps et à vérifier leurs rapports proportionnels.

Ses carnets datés de 1489 à 1498 témoignent d’une réflexion entre l’anatomie, la mécanique du

mouvement et les principes mathématiques de l’équilibre. Il constata (Anatomical Manuscript A, F 2r,

Royal Library, Windsor Castle):

«Il movimento delle membra è governato dalle proporzioni. »

« Les mouvements du corps sont gouvernés par les proportions. »

L’analyse géométrique du dessin révèle une organisation interne d’une grande précision (figure 30).

Le choix des fractions employé par Léonard, rapporté à une base de 120 divisions, permet d’obtenir des

rapports précis et harmonieux dans la structure du corps et de l’espace.

Figure 30. Construction géométrique de l’homme de Vitruve, De Vinci

Galerie de l’académie de Venise


Le positionnement des articulations principales de l’homme de Vitruve, combiné aux segments tracés

par Léonard sur le corps, constitue les points d’ancrage d’un système géométrique. Ce dispositif obéit à

une loi de projection qui engendre des angles droits convergeant vers des points significatifs du dessin.

En effet, si on trace un segment depuis la main droite, placée en trois quarts et située précisément sur

l’un des points d’intersection entre le cercle et le carré, jusqu’au centre du corps, au niveau du cou, il

forme un angle droit avec le segment qui part du milieu du cou à l’extrémité intérieure du pied droit

écarté (voir segments bleus).

De même, le segment qui relie la main gauche en trois quarts, jusqu’au milieu du segment qui souligne

le buste, forme un angle droit avec le segment qui relie le milieu du buste à l’extrémité extérieure du

pied gauche écarté (voir segments violets).

Par ailleurs, le segment qui part du milieu du sommet de la tête à l’extrémité de la main gauche

horizontale, forme un angle droit avec le segment qui part de ce dernier point vers l’extrémité intérieur

du pied gauche écarté. Un autre angle droit se forme, en traçant un segment du sommet de la tête à

l’extrémité extérieure du pied droit écarté (voir segments rouges).

De façon symétrique, celui qui part du sommet de la tête jusqu’à l’extrémité de la main droite

horizontale, forme un angle droit avec le segment du sommet de la tête à l’extrémité extérieure du pied

droit en trois quart (voir segments verts). Enfin, les segments qui relient le sommet de la tête aux

extrémités extérieures des pieds écartés, mis en regard de l’axe central du corps, forment deux angles

droits égaux, qui assurent l’équilibre et la symétrie de la figure.

Parmi les consignes énoncées par Vitruve figure celle-ci :

« Si tu ouvres les jambes de manière à diminuer ta hauteur d’un quatorzième et que tu écartes et

élèves les bras jusqu’à ce que le bout des doigts touche la hauteur du sommet de la tête sache que le

centre des membres écartés se trouve au nombril et que l’espace entre les jambes forme un triangle

équilatéral. »

Or dans son dessin, Léonard ne suivit pas strictement cette indication, il la rectifia. Après avoir étudié

l’anatomie de l’homme, il constata que le nombril ne se situe pas au milieu du corps. Il déplaça le centre

au niveau du pubis. Ce léger décalage fut indispensable à la cohérence géométrique et à la fidélité

anatomique de la figure.

C’est à partir de ce centre que se forme naturellement le triangle équilatéral mentionné par Vitruve.

Sa base correspond aux extrémités intérieures des pieds écartés et son sommet se situe exactement au

centre du pubis. Le triangle n’est pas centré au milieu du corps car les jambes sont légèrement en

mouvement. Ce décalage subtil témoigne de la dynamique du vivant. Enfin, si l’on prolonge le segment

tracé par Léonard au niveau des genoux, un autre triangle équilatéral se forme à l’intérieur du premier.

Ce savant équilibre, entre la rigueur géométrique et l’observation anatomique, manifeste toute la

complexité de la démarche. Léonard connaissait intimement le corps humain qu’il avait observé et étudié

dans le moindre détail. Il comprenait la gravité, la tension des muscles, la résistance des os et l’équilibre

des masses. Chaque position, chaque inclinaison du tronc, chaque appui du pied correspondait à une

réaction mesurée dans tout le corps. Si le bras se levait le poids se déplaçait, l’axe se corrigeait, la hanche

compensait. Cette conscience du mouvement et des forces donne à son dessin une stabilité réelle, presque

vivante.

Dans cette correspondance constante, entre le mouvement du corps et la mesure, émerge l’armature

invisible d’un ordre mathématique. L’ensemble de ces rapports révèle une grille géométrique sousjacente

régie par une harmonie interne qui organise le corps en un ensemble proportionnel et équilibré.

Une telle conception témoigne d’une ingéniosité mathématique rare. Léonard parvint à faire coïncider

la rigueur du calcul avec la complexité du corps vivant. Il résolut simultanément un ensemble de


contraintes métriques, angulaires et proportionnelles, tout en unifiant dans une même structure les

exigences de la mesure et celles de la nature. La représentation du corps de l’Homme de Vitruve devint

ainsi une véritable démonstration géométrique.

Par cette approche scientifique, Léonard de Vinci a résolu le problème posé par Vitruve, mais sans

jamais en révéler la solution. Ses suiveurs, comme Bernardino Luini, copièrent ou reprirent ses carnets

sans saisir la logique géométrique du dessin. Le Codex Huygens 57 , réalisé vers 1570 par le peintre

milanais Carlo Urbino, en atteste. Ce manuscrit rassemble de nombreux dessins qui reprennent et

commentent les études de Léonard, dont l’Homme de Vitruve lui-même (figures 31). Mais loin de

retrouver la clarté du maître, ces copies témoignent surtout d’une recherche laborieuse et inaboutie, signe

que ses imitateurs échouèrent à saisir pleinement la solution que Léonard avait donné.

Figures 31. Codex Huygens, carlo Urbino, Fol.6 et 7, 1560/1570

3. Le projet sculptural du cheval idéal de Léonard de Vinci

3.1. Contexte historique

Léonard de Vinci conçut son Homme de Vitruve, à Milan, lorsqu’il était au service du duc Ludovico

Sforza. C’est dans ce milieu intellectuel et artistique d’une richesse exceptionnelle qu’il entreprit ses

recherches sur les proportions du corps humain. C’est précisément au sein de cette période d’activité

scientifique et artistique intense que Léonard entra en contact avec le mathématicien et moine franciscain

Luca Pacioli. Vers 1496, ce dernier, fut appelé à Milan par Ludovico Sforza 58 . Il y rencontra Léonard de

Vinci, déjà actif à la cour depuis plus d’une décennie. Les deux hommes se lièrent d’amitié et

collaborèrent étroitement entre 1496 et 1499. Les sources contemporaines rapportent qu’ils résidèrent

dans la même maison 59 , située à proximité de Santa Maria delle Grazie, là même où Léonard peignit La

Cène. Cette proximité favorisa une collaboration intellectuelle soutenue, centrée sur l’étude des rapports

de proportion, de la perspective et de la géométrie.

En 1498, Pacioli rédigea son grand traité De Divina Proportione, consacré à la proportion divine,

c’est-à-dire au nombre d’or. Il y affirma:

«Questa proporzione noi chiamiamo divina, perché simile a Dio ;

e nelle opere di Dio si trova, e principalmente nel corpo dell’uomo,

che si può dire modello e misura d’ogni cosa creata.»

« Nous appelons cette proportion divine, parce qu’elle est semblable à Dieu ; on la trouve dans toutes

les œuvres de Dieu, et principalement dans le corps de l’homme, que l’on peut considérer comme le

modèle et la mesure de toute chose créée. »

Léonard illustra personnellement le traité en réalisant les polyèdres réguliers et semi-réguliers,

dessinés avec une rigueur géométrique remarquable et destinés à démontrer visuellement la construction

du nombre d’or 29 . Dans sa préface, Pacioli le remercia explicitement:


«A Leonardo da Vinci, excellentissimo pittore et perspectivo,

devo le mirabili figure che adornano questo libro.»

« À Léonard de Vinci, peintre et perspectiviste d’excellence, je dois les admirables figures qui ornent

cet ouvrage. »

Cette collaboration marqua profondément les deux hommes. Pacioli considérait Léonard comme « il

più gran maestro della geometria applicata all’arte »59, le plus grand maître de la géométrie appliquée à

l’art. Il est vraisemblable que le choix de Léonard pour illustrer son ouvrage ne fut pas fortuit, Le génie

toscan poursuivait, depuis plusieurs années déjà, une réflexion parallèle sur la proportion du corps

humain, dont l’Homme de Vitruve constitue la synthèse. Ce célèbre dessin, réalisé vers 1490–1492,

s’inscrivait dans une démarche où la figure humaine devenait le modèle même de la mesure et de

l’harmonie universelle. Léonard et Pacioli partageaient ainsi cette vision commune d’un ordre rationnel,

inhérent à toute forme de perfection.

Cette affinité entre Léonard et Pacioli s’enracina également dans la tradition intellectuelle

franciscaine. Léonard fit lui-même allusion, dans le Codex Arundel, à deux figures majeures de cette

tradition. Dans le codex Arundel, 71v, il mentionna : « Rugieri Bacon fatto in istampa», qui correspond

à Roger Bacon 60 , philosophe, savant et alchimiste anglais du XIII ème siècle, considéré comme l’un des

précurseurs de la méthode expérimentale. Il cita également « Cerca in Firenze della Ramondina » codex

Arundel, 192v, qui renvoie à Raymond Lulle, théologien et missionnaire catalan. Tous deux

appartenaient à l’ordre franciscain et cherchaient à unir la foi, la raison et la science dans la

compréhension du monde. Bacon prôna une connaissance fondée sur l’observation et l’expérience, tandis

que Lulle conçut, dans son Ars magna 61 , une logique géométrique et spirituelle destinée à révéler l’ordre

divin de la création.

Ces références témoignent de l’intérêt que Léonard portait à cette pensée où la mesure et la géométrie

sont perçues comme des voies d’accès à la vérité. Dans ce contexte, sa proximité avec le moine

franciscain Luca Pacioli et son insertion dans les milieux religieux milanais, dont témoigne notamment

la commande de la Vierge aux Rochers 62 pour la confrérie franciscaine de l’Immaculée Conception, le

rattachent pleinement à cette tradition intellectuelle.

De plus, Léonard partageait avec les disciples de Saint François le goût de la simplicité et le

détachement des richesses. Il ironisait souvent sur la vanité du luxe et la futilité du pouvoir, leur opposant

la sobriété, la contemplation et le travail de l’esprit. Pour lui (Codex Arundel, folio 155 recto, Bristish

Library):

«Il più nobile diletto è la gioia dell’intendere. »

« Le plus noble plaisir est la joie de comprendre. »

Dans le Codex Trivulazianus, f. 86r, il partagea une note sur la vanité de l’homme :

«O vana speranza, quanti ti seguono e quanti ti perdono! »

(Ô vaine espérance, combien te suivent et combien se perdent à ta suite !)

Et ailleurs, sur le même feuillet :

«O misera umanità, di quante cose ti rendi schiava per vile guadagno! »

« Ô misérable humanité, de combien de choses te rends-tu esclave pour un vil profit ! »

À cette même époque, Léonard travaillait à son projet du cheval idéal, destiné à honorer la mémoire

du père du Duc Ludovico Sforza 63,64 , projet auquel il appliqua les mêmes principes d’équilibre et de


proportions que ceux élaborés dans la conception de l’homme de Vitruve. Il déclara, dans le Codex

Madrid II, 2r:

«Farò un cavallo di bronzo, grande, che non fu mai fatto di simile grandezza, e di proporzioni

perfette.»

« Je ferai un cheval de bronze, grand, comme jamais il n’en fut fait de semblable grandeur, et de

proportions parfaites. »

3.2. La recherche de perfection par le dessin

Commandé au début des années 1480, ce premier projet équestre occupa Léonard pendant plus d’une

décennie. Après de longues années d’études, il réalisa une maquette en plâtre, présentée en 1494 à

l’occasion du mariage de Bianca Maria Sforza avec Maximilien du Saint-Empire. À la vue de cette

maquette, le poète Piattino Piatti, ami du duc, composa un poème en hommage à cette œuvre 65 . Il

compara Léonard aux grands sculpteurs et peintres de l’antiquité, soulignant combien cette maquette

représentait une recherche d’équilibre et de proportions parfaites, digne des idéaux antiques.

Afin de parvenir à concevoir un cheval, avec l’objectif de dépasser les grands modèles qui l’avaient

précédé, du Gattamelata de Donatello au Colleone de Verrocchio, Léonard remplit ses carnets

d’observations, de croquis et de calculs, qui constituaient un véritable laboratoire de recherches 66 .

Chaque dessin visait à définir, avec une précision extrême, une partie anatomique de l’animal. Léonard

avait pour ambition de combiner les éléments les plus remarquables observés chez différents chevaux 67 ,

afin de créer un cheval à la fois réel et imaginaire.

La profusion et la diversité de ses études témoignent de l’ampleur de cette entreprise graphique.

Léonard multiplia les vues sous tous les angles et expérimenta divers matériaux, fusain, pierre noire,

craie rouge, pour explorer les volumes, la dynamique musculaire et les effets de la lumière. Cette

recherche aboutit à un dessin exceptionnel à la craie rouge identifié comme la version la plus achevée

du cheval idéal 68 (figure 32).

Figure 32. Cheval Idéal, recto, 45,3 cm x 27,5 cm

Craie rouge, Collection privée

De Vinci


Au verso de ce dessin se trouve une autre étude qui représente un cheval exécuté de manière plus libre

et spontanée (figure 33). Il s’agit d’une esquisse, probablement réalisée d’après des observations directes

dans les écuries, comme dans plusieurs études de Léonard, conservées aujourd’hui à la Royal Collection

Trust à Windsor (figures 34). Léonard réutilisait fréquemment ses feuilles, dessinant au recto comme au

verso, ce qui témoigne d’un travail d’observation constant 69 . Il avait également pour habitude de couper

ses feuilles. On constate qu’une partie de la tête du cheval est manquante, comme sur les dessins cidessous

de la Royale Collection Trust.

Figure 33. Verso cheval idéal

Figures 34. Études de chevaux, Codex Windsor,

Rcin 912309, Rcin 912312

La technique employée sur le dessin du Cheval idéal est rigoureusement identique à celle observée,

dans plusieurs études de Léonard, conservées à la Royal Collection Trust. Dans l’étude de l’enfant

(figure 35), celle du chien (figure 36), de l’homme nu de dos (figure 37) et dans une étude de cheval

(figure 38), Léonard utilisa la craie rouge, un médium qu’il maîtrisait avec une précision exceptionnelle,

pour modeler les formes avec souplesse et leur conférer une présence physique saisissante. Le contour,

posé d’un geste continu et fluide, varie selon la lumière, appuyé dans l’ombre et allégé dans les zones

éclairées. C’est par cette modulation du trait que s’établit un jeu d’ombre et de lumière où le volume naît

de la respiration du tracé lui-même. Ce contour définit la structure optique et anatomique du sujet,

autrement dit, la charpente visuelle du corps et son orientation dans l’espace.

Figure 35. Étude d’un enfant

Figure 36. Étude de chien


Figure 37. Homme nu de dos

Figure 38. Étude de cheval

Sur les dessins ci-dessus, comme sur l’étude du cheval idéal, le modelé est ensuite construit par un

réseau de hachures obliques et courbes, disposé en plusieurs passages successifs (figures 39). Leur

orientation dépend du relief anatomique, du mouvement du corps et de la direction de la lumière. Ces

trames, qui attestent de la dynamique interne du modèle, expriment la tension des muscles, la gravité des

masses et la continuité des plans. Les faisceaux se resserrent dans les zones de pression et s’ouvrent dans

les zones de détente, en fonction de la logique fonctionnelle du corps. Dans ces études, Léonard ajusta

la pression du trait, plus dense sur les saillies osseuses, plus légère sur les chairs. Il intervint également

parfois par un léger estompage, obtenu au doigt ou à l’estompe, pour adoucir les transitions sans effacer

le grain du support. Ce procédé crée un modelé diffus et précis fondé sur la variation de la densité du

pigment.

Figures 39. Détails du modelé et du réseau de hachures dans les études à la craie rouge de Léonard de Vinci

Dans l’étude du cheval idéal, les réserves lumineuses sont distribuées avec une exactitude

remarquable (figures 32,39). Elles correspondent aux zones où la lumière glisse sur le relief, le garrot,

la croupe, la poitrine, le rachis, et participent à l’équilibre général de la forme. Leur rôle est de laisser

respirer la matière. Léonard exploita le fond du support comme une source lumineuse à part entière, il

joua de la teinte et de la texture du papier pour créer une lumière interne qui semble émaner du corps

lui-même. Cette technique donne au dessin une présence vibrante, où la lumière devient un moyen de


construction autant que de perception. C’est l’un des principes les plus caractéristiques de Léonard de

Vinci, qu’aucun disciple n’a su égaler.

La tête de cheval (figure 38) conservée à la Royal Collection Trust (codex Windsor) s’inscrit

exactement dans cette méthode. Attribuée à Léonard de Vinci depuis toujours, elle provient du fonds de

Francesco Melzi, héritier direct des dessins du maître, passé ensuite au sculpteur Pompeo Leoni, puis à

Thomas Howard, comte d’Arundel, avant d’être acquise par le roi Charles II, vers 1690. Cette chaîne de

provenance, parfaitement documentée, rattache la feuille au corpus léonardien. Ce n’est qu’au XX ème

siècle, dans les années 1930, que l’historien Kenneth Clark proposa une réattribution à Cesare da Sesto,

fondée sur l’inclinaison droite des hachures. Une telle hypothèse, purement formelle, s’inscrit dans une

tendance critique de l’époque qui visait à réduire le corpus autographe de Léonard, en attribuant à ses

élèves une partie importante de ses études. De nombreuses feuilles manifestement autographes ont ainsi

été écartées injustement, ce qui affaibli la compréhension de l’œuvre graphique de Léonard 70 . Or,

replacée dans le contexte de l’activité de Léonard, la Tête de cheval (figure 38) trouve naturellement sa

place.

Léonard de Vinci a consacré près de quinze années à l’étude du cheval, depuis les recherches pour le

monument Sforza jusqu’aux projets pour le monument Trivulzio, multipliant les analyses anatomiques

et mécaniques du mouvement. Il avait même entrepris la rédaction d’un traité complet dédié à l’animal,

destiné à accompagner le projet du cheval monumental. Cet ouvrage, mentionné par ses contemporains

et évoqué dans ses notes, a malheureusement été perdu 66 . Il ne subsiste que par quelques feuillets

dispersés et des études préparatoires conservées à Windsor.

Après la mort de Léonard de Vinci en 1519, son élève Francesco Melzi emporta, en Lombardie, la

plupart des carnets et dessins de son maître 71 . Ces milliers de feuillets, contenaient des études

d’anatomie, de mécanique, de géométrie et de proportions, qui furent jalousement conservés dans la villa

de Melzi, à Vaprio d’Adda, jusqu’à sa mort, vers 1570, puis peu à peu dispersés par ses descendants, qui

n’en comprenaient ni la valeur, ni la portée scientifique.

Une grande partie passa entre les mains du sculpteur milanais Pompeo Leoni 72 , au service du roi

d’Espagne Philippe II, qui remania le tout, en classant, découpant et collant les pages pour former de

vastes recueils, aujourd’hui connus sous le nom de Codex Atlanticus, Codex Madrid ou encore Codex

Windsor. Cette opération provoqua aussi la dispersion physique et thématique des feuillets, dont

beaucoup furent vendus ou donnés à des collectionneurs italiens et étrangers.

Carlo Pedretti souligne d’ailleurs que « certaines études de chevaux à la sanguine, mentionnées dans

des inventaires anciens, ont dû être détachées des volumes de Leoni et sont aujourd’hui perdues ou non

localisées 73 ». Ces études perdues figurent dans les inventaires rédigés après la mort de Leoni, conservés

dans les collections de la Bibliothèque Ambrosienne à Milan et du palais de l’Escorial 74 . Plusieurs

notices y mentionnent des « dessins de chevaux »et « études de membres en mouvement », qui auraient

circulé indépendamment des volumes, avant de passer dans des collections privées italiennes, puis en

Angleterre 69 .

Au XVII ème siècle, le grand collectionneur anglais Thomas Howard, 14ᵉ comte d’Arundel, réunit à

Londres l’une des plus importantes collections d’art d’Europe 75 . Celle-ci comprenait notamment de

nombreux dessins de Léonard de Vinci. Le diariste, John Evelyn 76 , nota dans ses carnets : « des dessins

et manuscrits de Léonard de Vinci remplis d’études de mouvement, d’anatomie et de mécanique ». Dans

une lettre contemporaine, William Petty évoqua également 77 : « des dessins à la craie rouge représentant

les parties du corps et les dispositifs du mouvement. »

Après la mort du comte d’Arundel en 1646, ses héritiers commencèrent à vendre des lots entiers de

la collection, certains manuscrits rejoignirent la Royal Collection, comme le Codex Arundel, aujourd’hui

à la British Library, et plusieurs dessins conservés à Windsor, tandis que d’autres lots partirent sur le

marché londonien 78 . Evelyn mentionna la visite de « beaucoup de visiteurs originaires des anciens Pays-


Bas », venus voir ou acheter des dessins italiens. Au siècle suivant, des catalogues de ventes d’art, à

Londres, signalèrent encore des feuilles italiennes « provenant de la collection du défunt comte

d’Arundel » acquises par des négociants d’Amsterdam et d’Anvers. Les historiens Francis Haskell et

Nicholas Penny résumèrent cette circulation 79 : « Une partie des dessins de la collection Arundel est

passée entre les mains de marchands hollandais et flamands actifs à Londres, notamment la famille

Uylenburgh 80 , qui commerçait entre Amsterdam, Anvers et Bruxelles. »

Le spécialiste Carlo Pedretti, qui a consacré une grande partie de sa vie à l’étude des manuscrits

léonardiens, rappelait que cette dispersion « fit éclater la cohérence de l’œuvre graphique de Léonard,

ce qui relevait d’un même traité se retrouva réparti entre des pays et des siècles différents ». Il souligna

aussi que l’absence de provenance ne doit pas faire douter de l’authenticité d’une feuille, car beaucoup

de dessins autographes, connus aujourd’hui, notamment à Turin, Florence ou Windsor, ont refait surface

après plusieurs siècles d’oubli et peuvent aujourd’hui encore réapparaître dans des collections privées 69 .

L’examen de l’ensemble du corpus actuel léonardien montre en effet une abondance d’esquisses et

d’études analytiques sur le thème du cheval, souvent tracées à la plume ou à la pierre noire, destinées à

explorer les proportions, la mécanique du mouvement ou la structure musculaire. En revanche, les études

pleinement construites à la craie rouge sont exceptionnellement rares. Pourtant, cette étape s’inscrit

logiquement dans la continuité de sa pratique. Léonard a expérimenté successivement chaque médium

pour en exploiter les propriétés propres 81 . La craie rouge, par sa souplesse et sa capacité à unifier le trait

et la lumière, lui permettait d’aborder la question du modelé avec une précision que n’offrent ni la plume

ni la pierre noire.

Cette approche expérimentale se manifeste notamment dans un dessin conservé à la Royal Collection

Trust, qui représente le corps d’un cheval de profil, exécuté à la pointe métallique sur papier préparé

bleu avec rehauts de blanc (figure 40). Dans cette étude, Léonard chercha à rendre les volumes par le

seul contraste du métal et du rehaut, mais le résultat demeure limité, ce médium ne lui permit pas

d’obtenir la densité ni la fluidité du modelé qu’il recherchait. Ce passage vers la craie rouge s’impose

ainsi comme une étape nécessaire dans le prolongement naturel de ses recherches, comme en témoignent

ses études du corps humain, où chaque médium est mis au service d’une analyse spécifique. Il indiqua

dans son traité de la peinture 31 :

«I pittori debbono avere conoscenza dei colori e de’ loro misti, e de’ varii modi del disegno, sì col

carbon nero come col gesso o pietra rossa. »

« Les peintres doivent connaître les couleurs et leurs mélanges, ainsi que les divers moyens du dessin,

au charbon noir, à la craie ou à la pierre rouge. »

Figure 40. Étude du corps du cheval de profil, Rcin 912289

De Vinci, Royal collection Trust


L’attention extrême que Léonard consacra à la représentation du cheval, et les longues séries d’études

qu’il lui dédie, s’expliquent non seulement par son intérêt scientifique et son véritable attachement à

l’animal, mais aussi par le rôle majeur que le cheval occupa dans la culture de son temps.

À la Renaissance, le cheval joua un rôle majeur dans la culture visuelle et politique 67 . Dans les grandes

commandes équestres, comme celles de Ludovico le More, le cheval incarnait la puissance militaire, la

noblesse et le rang de son cavalier. L’animal est pensé comme le prolongement du prince, sa force et sa

prestance reflètent celles de son maître.

Les chevaux de Léonard de Vinci sont imposants, avec des encolures puissantes. Un détail fréquent

est la queue coupée ou raccourcie. La caudectomie fut une pratique courante, à la Renaissance, pour

éviter qu’elle ne gêne le cavalier pendant les combats ou la chasse (figures 41).

Cheval idéal, collection privée

Étude de chevaux, Royal Library

Encolure imposante des chevaux de Léonard de Vinci

Étude de chevaux

Musée du Louvre

Caudectomie

Étude de chevaux

British Library

Figures 41

Le dessin du cheval idéal, qui peut être considéré comme une véritable pré-sculpture, correspond à

une étape avancée. À ce titre, il apporte des informations précieuses sur la manière dont Léonard

envisage la sculpture, sa monumentalité et surtout sa conception spatiale. Léonard y met en œuvre une

perspective parfaitement maîtrisée à travers une organisation interne précise qui confère à la composition

une réelle profondeur tridimensionnelle. Le socle esquissé sur lequel repose le cheval est légèrement

incliné et vue en plongé, ce qui place le spectateur en contrebas et accentue la sensation de hauteur

(figure 42). Ce dispositif permet à la figure équestre de dominer visuellement, comme elle le ferait dans

l’espace public depuis son piédestal.


Ce socle a été esquissé, à l’aide de hachures en zigzag, similaires à celles du portrait de Cesare Borgia

(figure 43). Ce procédé rapide lui permit de couvrir des zones ou d’indiquer des ombres tout en

dissimulant parfois des esquisses antérieures, les feuilles étant souvent réemployées.

Figure 42. Cheval idéal

Collection Privée

De Vinci

Figure 43. Étude portrait de Cesare Borgia

Inv.15573, Bibliothèque Royale de Turin

De Vinci

3.3. La géométrie du vivant, de l’homme à l’animal

Léonard hérita d’un contexte visuel marqué par la tradition du cheval monumental mais il développa

une vision personnelle, fondée sur une approche anatomique beaucoup plus poussée, issue de

l’observation directe et de l’étude scientifique. Il y transposa les mêmes principes qu’il appliquait au

corps humain.

Comme pour l’Homme de Vitruve, Léonard commença par construire une structure géométrique

précise, dans laquelle le corps de l’animal s’inscrit dans un réseau où chaque partie est déterminée en

fonction de rapports de proportion rigoureux. Cette méthode se manifeste dans un dessin consacré à

l’étude d’un cheval, entièrement gouverné par des rapports géométriques internes (figure 44). Chaque

segment est mis en correspondance avec des proportions mathématiques précises qui soulignent que la

figure résulte d’une construction rationnelle avant toute intervention artistique.

Figure 44. Étude de cheval, Codex Madrid II, folio 151v.

Les arrière-trains des chevaux de Léonard s’organisent selon une structure circulaire dont le centre

correspond à l’articulation de la hanche (figure 45). Ce dispositif géométrique reflète le fonctionnement

réel du membre postérieur, la propulsion résulte d’un mouvement de rotation autour de ce point. Le tracé

circulaire qui relie ainsi la hanche, la cuisse et le jarret révèle la dynamique interne du mouvement.


Cheval Idéal, collection privée

Étude de chevaux, Bibliothèque Royale de Turin

Figures 45

L’objectif de Léonard était de révéler l’existence d’une harmonie universelle, commune à toutes les

formes du vivant, qu’il s’agisse du corps humain, du monde animal, de la musique ou de la nature. Il

appliqua les mêmes principes géométriques et les mêmes lois de proportions au cheval qu’à l’homme de

Vitruve. La superposition des deux figures (figure 46), bien que leurs mesures absolues diffèrent,

révèlent qu’ils partagent la même proportionnalité. Le canevas de lignes tracées par Léonard sur

l’homme de Vitruve sert de règle aux deux corps. Chaque segment rencontre un repère anatomique du

cheval, comme si une seule grille mathématique ordonnait l’anatomie de ces deux êtres. Cette

correspondance rappelle le principe énoncé par Vitruve selon lequel « l’homme est la mesure de toutes

choses 40 . » Le corps humain devient ici l’étalon à partir duquel Léonard évalue et harmonise le corps du

cheval.

Figure 46. Juxtaposition en transparence du cheval idéal et de l’homme de Vitruve

En effet, la hauteur de la base du cou de l’homme coïncide avec le garrot du cheval. La ligne du torse

rejoint la croupe, la ligne du pubis correspond à la jonction des deux membres antérieurs, et la ligne des

genoux tombe au niveau du carpe de la patte fléchie. Le centre du cheval, c’est-à-dire la moitié de sa


hauteur, se situe à la hauteur du nombril de l’homme. Il correspond également au niveau du pubis de

l’animal, soit le milieu de son corps comme sur l’homme de Vitruve (figure 46,47).

Figure 47. Dessin anatomique équin, position du Pubis

De Nombreuses études de Léonard, sur les proportions humaines et équines, se retrouvent sur les

mêmes feuillets, ce qui atteste d’une démarche comparative (figures 7, 48). En reprenant l’idée formulée

par Aristote 34 , selon laquelle les jambes de l’homme et celles du cheval présentent une structure

analogue, le genou de la jambe droite écartée de l’homme croise celui de la jambe avant droite du cheval,

tandis que le pied gauche joint de l’homme s’aligne avec le sabot arrière gauche fléchi de l’animal.

Verso

Recto

Figures 48. RCIN 912304, Windsor collection, Da Vinci

On the same sheet, studies of equine and human proportions

Ainsi, à travers cette conception anthropométrique, issue du modèle vitruvien, Léonard illustre l’idée

que les rapports internes du corps humain incarnent l’ordre rationnel du monde et peuvent être appliqués

à toute construction, qu’elle soit architecturale, mécanique ou artistique.

Ce dessin porte aussi l’empreinte de la rigueur anatomique de Léonard. Le cheval est représenté en

mouvement, une patte avant levée et l’autre parfaitement tendue, tandis que la tête se tourne vers le haut

à droite. En effet, chez le cheval, les vertèbres cervicales ne permettent pas un redressement vertical pur

du crâne. Pour lever la tête, le cheval doit combiner une extension et une rotation latérale du cou. Ce

mouvement entraîne une mise en tension de tout le corps, qui fait apparaître le long de la jambe tendue

la veine saphène médiale, saillante sous la peau (figure 49). Ce détail anatomique, rendu avec une

exactitude remarquable, atteste de la rigueur scientifique de Léonard. La tension musculaire et la ligne

ascendante formée par le cou et la tête définissent la hauteur maximale mesurable du cheval, sans rompre


l’équilibre du mouvement. Léonard restitue ainsi, avec la précision d’un anatomiste, les tensions et les

structures internes de l’animal.

Toutefois, ce cheval demeure une création idéalisée. Léonard, tout en s’appuyant sur l’observation

rigoureuse du réel, ajuste certains détails pour en faire une œuvre sculpturale. C’est pourquoi, la courbure

du sabot est relevée pour assurer la stabilité de l’ensemble, selon une tradition équestre héritée de

l’Antiquité et reprise par les maîtres de la Renaissance.

Figure 49. Cheval idéal, veine saphène médiale

3.4. La maîtrise de la matière et du mouvement

Dans la conception de ce projet sculptural d’envergure, Léonard associa à la science des proportions

à une véritable réflexion d’ingénierie, où la mécanique du corps animal devient le modèle d’une

architecture vivante, stable et rationnelle. Conçu selon une planification géométrique et mécanique

rigoureuse, cette entreprise visait la solidité structurelle, la maîtrise des masses et l’équilibre général de

la composition. Léonard organisa ainsi l’ensemble autour d’une trame orthogonale, qui divise la surface

en modules proportionnels, et définit des axes de référence, qui servent à la mise en place des volumes

et à l’orientation des forces internes.

Dans ses études sur les proportions équines (figure 50), Léonard établit que l’envergure de la tête et

du cou du cheval représente environ 30% de son corps. Cette répartition proportionnelle, qui se retrouve

dans l’étude du cheval idéal, sert de fondement à la conception du corps, tel un système de force en

équilibre régi par les lois de la mécanique statique. Ainsi, la croupe et les postérieurs, qui assurent la

résistance, occupent 60%. Les 10% restant constitue une zone de transition mécanique, qui absorbe les

efforts opposés, relie les masses et assure la continuité des contraintes entre la traction avant et la poussée

arrière. Le garrot joue le rôle de pivot.

Ce rapport de 1/2, entre les masses avant et arrière, correspond à un principe mécanique, observé dans

les systèmes de levier et de répartition des charges. Une faible force, appliquée sur un bras court, peut

équilibrer une masse plus importante sur un bras deux fois plus long, ce qui garantit ainsi un équilibre

stable. Sur le cheval idéal, la tension du cou (traction) qui s’oppose à la poussée des

postérieurs (compression), génère un moment mécanique stable et une compensation

dynamique continue.


Figure 50. Étude sur les proportions du cheval,

Rcin 912319, Codex Windsor

De cette organisation rationnelle découle, dans l’étude du cheval idéal, une véritable charpente

géométrique, constituée de deux triangles rectangles égaux, qui structurent la composition (figure 51).

Le premier relie la tête à la patte d’appui antérieure, le second, le garrot à la croupe et aux postérieurs.

Leurs angles droits verrouillent la direction des charges, et leurs hypoténuses convergent vers un point

gravitationnel unique, situé dans la partie inférieure de l’axe central vertical. Ce nœud statique concentre

les vecteurs de traction, de compression et de réaction. Toutes les lignes principales, le cou, le dos, les

membres et la croupe, y aboutissent. Ce point agit comme un pivot de redistribution des efforts

mécaniques vers les appuis. Par cette convergence, les forces s’annulent partiellement, celles qui tirent

vers l’avant et celles qui poussent vers l’arrière, se compensent. Ce jeu d’équilibre permet au cheval de

conserver une posture stable et harmonieuse.

Figure 51. Charpente géométrique, cheval idéal

L’arrière-train, conçu selon une géométrie circulaire, complète cette structure. La croupe, qui forme

un arc de rotation centré sur l’articulation de la hanche, agit comme un levier de propulsion. Cette

courbure transmet les efforts linéaires du dos, sous forme de mouvement rotatif, qui assure la poussée

vers l’avant. En termes mécaniques, cette zone fonctionne comme une poulie naturelle, qui stabilise la


masse postérieure tout en compensant les charges générées par la tension du cou. L’ensemble du corps

se comporte ainsi comme une poutre triangulée vivante, organisée autour d’un point gravitationnel, et

soutenue par une base circulaire de rotation. Cette conception témoigne de l’assimilation par Léonard de

Vinci des travaux d’Archimède 81 . Ainsi, au-delà de la représentation équestre, ce dessin révèle une

pensée d’ingénieur pleinement intégrée à la création artistique. Chaque ligne répond à une fonction

structurelle précise, ce qui fait de cette étude une véritable modélisation de la statique. Elle préfigure les

contraintes techniques de la future fonte en bronze. Cette Conception rejoint les principes mécaniques

formulées par Léonard 83 dans le Codex Madrid I, F 10v :

« Ogni peso che ha il suo centro di gravità sopra il suo sostegno non cade, ma quando lo passa cade,

e quanto più lo passa tanto più presto cade. »

« Tout poids dont le centre de gravité se trouve au-dessus de son appui ne tombe pas ; mais dès qu’il

le dépasse, il tombe, et plus il le dépasse, plus il tombe vite. »

4. L’Anatomie de la Nature

Entre 1482 et 1499, Léonard réalisa de nombreuses études anatomiques et mécaniques, destinées à

concevoir un cheval monumental en bronze, pour le duc Francesco Sforza. Ces recherches, fondées sur

la géométrie, la mécanique, l’ingénierie, l’anatomie et la physique du mouvement, témoignaient déjà de

sa volonté d’unir la science à l’art. Après la chute du duché de Milan en 1499, Léonard poursuivit ses

études sur le cheval idéal, qu’il perfectionna au fil de ses découvertes dans les domaines de la statique et

de la mécanique appliquées.

Le dessin du cheval idéal marque une étape décisive dans l’évolution de son travail. Vers 1508 84 ,

Léonard appliqua au cheval de Trivulzio une conception plus dynamique, tout en reprenant les principes

anatomiques, mécaniques et géométriques élaborés deux décennies plus tôt pour le cheval de Sforza.

Resté inachevé, ce projet témoigne d’une approche plus mûre, qui prolonge les recherches menées pour

le monument du duc de Milan.

Afin de se consacrer pleinement à ce nouveau projet sculptural, Léonard interrompit la réalisation

d’une œuvre religieuse (la Vierge, Sainte Anne, l’Enfant Jésus et saint Jean-Baptiste), commencée

quelques années plus tôt, vers 1501-1503 85 , à Florence. Mais à la mort du maréchal Trivulzio, et face à

l’instabilité politique milanaise, l’entreprise fut abandonnée. Léonard revint alors à ses recherches sur la

Vierge et Sainte Anne, vers 1510/1513.

L'imagerie scientifique, en ultraviolet, réalisée au revers du cheval idéal atteste de cette période de

transition artistique. Une esquisse de la Vierge, qui correspond au dessin conservé au Louvre (figures

54, 55), apparaît. Si elle devient visible sous ultraviolet mais demeure invisible en infrarouge, c’est en

raison de la présence d’oxyde de fer dans le pigment. Les analyses effectuées, par l’Université Pierre et

Marie Curie (UPMC/CNRS, ISTEP) ont en effet confirmé une forte concentration en oxyde de fer dans

la composition du matériau, identifiée comme de l’hématite rouge, fréquemment employée par Léonard.

Ce composé absorbe fortement le rayonnement infrarouge, tandis qu’il réagit à la lumière ultraviolette

par une légère fluorescence rougeâtre, qui permet de rendre le dessin perceptible 86 . Ce phénomène a été

signalé par le scientifique et conservateur italien, Antonino Consentino 87 . Il est d’autant plus

remarquable de constater que le panneau final, conservé au Louvre, (figure 56) présente en imagerie

infrarouge, une tête de cheval (figure 57), qui témoigne du passage de la conception du cheval Trivulzio

à l’élaboration de la peinture religieuse.

Ces indices matériels et scientifiques contribuent à replacer, avec une précision nouvelle, les

différentes étapes du travail de Léonard et la chronologie de ses recherches. Ils témoignent de la

contemporanéité de ses études, menées de front dans des domaines aussi divers que la sculpture, la

peinture, la mécanique et la cartographie.


Dessin sous-jacent de la Vierge

Réflectographie UV au dos du cheval idéal

Mise en évidence du dessin sous-jacent de la Vierge

Figure 54

Figure 55. Dessin préparatoire « La Vierge, Sainte Anne et l’enfant »

Figure 56. Sainte-Anne, la Vierge et l’enfant Jésus

De Vinci

Figure 57. Mise en évidence du dessin sous-jacent

De Vinci

Au début du XVIᵉ siècle, alors qu’il venait de regagner Florence, après son service auprès de César

Borgia, duc de Romagne, Léonard mit ses compétences d’ingénieur et de cartographe au service de la


République florentine, qui lui confia l’étude du cours de l’Arno et de ses dérivations. Cette mission

coïncida avec la première phase de travail sur « La Vierge et Sainte Anne ».

À Florence, Léonard retrouva une cité engagée dans de vastes projets d’ingénierie hydraulique. Sous

le gonfalonier Piero Soderini et le secrétaire Niccolò Machiavel, la République florentine envisageait de

détourner le cours de l’Arno afin de relier la ville à la mer et d’affaiblir la puissance de Pise. Dès l’été

1503, une lettre de Machiavel mentionna explicitement sa mission d’étude du fleuve et de ses dérivations

possibles 88 .

Entre 1503 et 1504, il réalisa plusieurs cartes de la Toscane et de la vallée de l’Arno, aujourd’hui

conservées à Windsor (figures 58). Ces cartes, de grandes dimensions, furent exécutées à la plume, à

l’encre, et rehaussées de lavis colorés. Leur support est un papier de fort grammage, épais et résistant,

qui correspond aux papiers administratifs de qualité, très différents de ceux employés dans les ateliers

d’artistes.

Carte de la Vallée d’Arno, 27,5cm x 40,1cm

Rcin 912683, Royal Collection Trust, Da Vinci

Carte rivières et montagnes, centre d’Italie,

31,7cm x 44,9cm


Figures 58

L’analyse du papier de l’étude du Cheval idéal, réalisé par Stefano Fortunati, spécialiste des

documents anciens, en collaboration avec Silvio Balloni, conservateur des archives Ginori Lisci à

Florence, a révélé qu’il s’agissait d’un papier administratif du même type que celui utilisé dans les

chancelleries, les registres, les livres comptables et les études notariales pour la rédaction des actes

officiels. De plus, le format de la feuille (45,3 × 27,5 cm) correspond étroitement à celui des grandes

cartes topographiques de Windsor (figures 58).

L’emploi de ces grandes feuilles notariales, capables d’absorber les lavis colorés et de supporter les

reprises à la plume, répondait parfaitement aux exigences techniques de la cartographie ainsi que pour

ses recherches anatomiques et ses dessins préparatoires à la craie rouge. Sa surface, légèrement

granuleuse et sa densité, permettait une adhérence fine du pigment, qui favorisait les effets de modelé et

les dégradés subtils qu’il recherchait dans ses études de volumes et de drapés. Ce papier robuste, conçu

pour durer, offrait ainsi à Léonard un support idéal pour ses travaux à la fois scientifiques et graphiques.

Ce type de papier, dont plusieurs feuilles utilisées par Léonard portent des filigranes attribuables aux

moulins de Fabriano et plus rarement de Foligno 89 , correspond exactement à la production de haute

qualité qui circulait en Toscane.

Par ailleurs, le fait que ce papier soit du même type que celui utilisé dans les registres et les actes

officiels donne un relief particulier à la présence, à Florence, du père de Léonard, Ser Piero da Vinci,

notaire de la République, décédé 1504, au moment où Léonard travaillait à ses cartes et à ses grands

projets picturaux 90 .


Les cartographies de Léonard présentent une exactitude topographique vérifiée par les géographes

modernes. Les distances et les orientations sont représentées d’une précision étonnante pour l’époque,

obtenues à la main et sans aucun des instruments de mesure modernes.

Léonard parvint à restituer la dynamique du relief, des cours d’eau et des vents, transformant la carte

en une véritable anatomie vivante du territoire. Il concevait la terre comme un organisme en mouvement,

régi par des forces internes analogues à celles du corps humain. Dans ses cartes, les rivières sont les

veines de la terre, les vallées en sont les muscles et les montagnes en forment l’ossature, tandis que l’eau

joue le rôle du sang, fluide vital, qui irrigue et modèle le relief. Il formula cette pensée, vers 1504, dans

le Codex Leicester, F.10.r. :

« Il sangue che scorre per le vene dell’uomo è simile all’acqua che scorre per le vene della terra;

come il sangue nutrisce e vivifica il corpo umano, così l’acqua nutrisce e vivifica la terra. »

« Le sang qui coule dans les veines de l’homme est semblable à l’eau qui coule dans les veines de la

terre ; comme le sang nourrit et vivifie le corps humain, l’eau nourrit et vivifie la terre. »

Cette analogie témoigne d’une pensée profondément unitaire. À travers, ses représentations du

territoire, Léonard cherchait à révéler la physiologie de la nature, un système d’équilibres et de

circulations où chaque élément est relié à l’autre.

Cette pensée est attestée, dans le Codex Arundel, f.155 r. :

«Tutte le cose sono legate insieme da vincoli che l’occhio non può vedere. »

« Toutes choses sont liées ensemble par des liens que l’œil ne peut voir. »

Ainsi, là où la Mésopotamie inaugura la pensée de la mesure, et l’idée qu’il existe un ordre rationnel

dans la nature, Léonard passa à une lecture physiologique et géométrique du vivant.

Conclusion

La géométrie et la science furent, pour léonard de Vinci, les voies par lesquelles l’esprit humain

pouvait s’élever vers la connaissance des lois divines. Sa démarche reposait sur une exigence, à la fois

morale et rationnelle. Par la raison et la foi en une harmonie supérieure, il chercha à dévoiler les forces

invisibles qui régissent l’univers.

À travers L’Homme de Vitruve, il révéla que la beauté du monde procède de l’ordre, de la mesure et

de la proportion, reflets d’une harmonie divine que les sages de l’Antiquité avaient déjà pressentie. En

unissant les mathématiques à l’observation du réel, il accomplit la démonstration la plus aboutie, celle

d’un équilibre où l’homme devient le miroir et la mesure de la création.

Ainsi, L’Homme de Vitruve ne représente pas seulement un idéal de proportions, mais incarne encore

aujourd’hui l’affirmation d’un principe universel, celui d’une unité vivante qui relie le corps humain, la

nature et le cosmos. Par cette synthèse, Léonard de Vinci s’impose comme l’un des esprits les plus vastes

de tous les temps, à la fois scientifique, artiste et philosophe, pour qui l’observation, l’expérience et la

raison conduisent à la compréhension de l’ordre suprême de l’univers.

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Arts et sciences


The Vitruvian Man, and the Geometry of Life

According to Leonardo da Vinci

L’Homme de Vitruve et la géométrie du vivant de Léonard de Vinci

Jean-Charles Pomerol 1 , Nathalie Popis 2

1

Professor Emeritus Sorbonne University

2

Independent Scholar expert of Leonardo da Vinci’s works

ABSTRACT. This study aims to understand the construction by Leonardo da Vinci of the Vitruvian Man, which represents

the graphic resolution of an ancient challenge set by the Roman architect Marcus Vitruvius Pollio in his treatise De

Architectura. It seeks to explain the genesis of this work, its progressive elaboration, and the way in which Leonardo

succeeded in addressing a problem that had remained unanswered for centuries. The analysis also highlights the seminal

role of mathematics, which since the earliest civilizations has been regarded as a universal language of knowledge and

perfection. Long considered to disclose the secrets of the universe, its use in this emblematic drawing reveals Leonardo’s

scientific spirit, driven by the pursuit of universal harmony.

RÉSUMÉ. Cette étude est consacrée à l’étude du dessin de l’Homme de Vitruve de Léonard de Vinci, ce qui nous permet

de dévoiler la géométrie sous-jacente à la construction dudit homme, défi antique lancé par l’architecte romain, Marcus

Vitruvius Pollio, dans son ouvrage De architectura. Notre étude vise à comprendre la genèse de cette œuvre, son

élaboration progressive et la manière dont Léonard a su élucider un problème resté sans réponse durant des siècles.

L’analyse met également en lumière le rôle fondateur des mathématiques érigées depuis les premières civilisations en

langage commun de la connaissance et de la perfection. Considérées, depuis toujours, comme un moyen de percer les

secrets de l’univers, leur usage dans ce dessin emblématique, révèle l’esprit scientifique de Léonard animé par la recherche

d’une harmonie universelle.

MOTS-CLÉS. Léonard de Vinci, L’homme de Vitruve, Mathématiques, Harmonie, géométrie ancienne.

KEYWORDS. Leonardo da Vinci, Vitruvian Man, Mathematics, Harmony, Ancient geometry.

1.The continuum of knowledge from the ancient Orient to the Renaissance

1.1. The cradles of wisdom

Since the beginning of time, human beings have questioned the origin of the world and the order that

governs it. The earliest accounts were mythical. They staged gods who embodied the forces of nature.

But alongside these sacred narratives, little by little, forms of knowledge emerged that were based on

observation, calculation and experience. This new quest guided by reason inaugurated a new way of

understanding the world and it would cross the entire history of humanity, from Mesopotamia to Egypt,

from Persia to India and China, then from Greece to Rome and from the Orient to the medieval West.

Thus, was woven, across time, a true chain of knowledge, in which each civilization assimilated,

transformed and enriched the heritage of the previous one. Over the centuries, the ancient Orient, Greece

and Rome transmitted to the Renaissance a body of knowledge that would find in Leonardo da Vinci an

exceptional heir. This is why, in order to understand the drawing of the Vitruvian Man and Leonardo’s

scientific work, it is first necessary to retrace this intellectual genealogy. It’s therefore fitting to return to

the most ancient sources, in Mesopotamia and Egypt, where the first knowledge about the sky, numbers

and proportions was born.

One of the very first scholarly civilizations was Mesopotamia, cradle of the Sumerians and

Babylonians. As early as the second millennium before our era, priest-astronomers observed the sky

night after night. For them, scrutinizing the stars meant interpreting the will of the gods, Venus was


Ishtar, Jupiter was Marduk, the Moon was Sîn 1 . Their observations were recorded on clay tablets, as

evidenced by the archives found at Uruk and Babylon 2 . These records not only made it possible to predict

certain celestial phenomena, such as eclipses, but also to regulate agricultural life which depended

directly on celestial cycles. Astronomy was thus inseparable from the organization of the city.

These tablets gave rise to the Babylonian ephemerides 3 , genuine journals of the sky that recorded

observed phenomena day after day. These journals served as the basis for calculations and predictions.

Such systematic tracking was made through the adoption of the sexagesimal system 4 . Unlike our decimal

system based on groups of ten (units, tens, hundreds), the Mesopotamians reasoned in groups of sixty.

This choice simplified calculations of fractions and proportions. Its legacy survives today in the division

of time (60 minutes, 60 seconds) and of space (360 degrees for the circle).

This numerical system allowed scribes to develop an advanced mathematical culture. They

established numerical tables, were able to calculate square roots and solve simple equations. This

knowledge constituted a true science of numbers. Thus, Mesopotamia appears as the matrix of an

intellectual approach that would mark all of history. Behind the gods and myths, it was indeed through

numbers that humanity began to understand the order of creation.

In the Middle East, between 2000 and 1700 BC, and then during the New Kingdom from 1550 to

1070 BC, the same desire to decipher the laws of nature appeared in the Nile Valley. Heir in part to

Mesopotamian traditions coming through the Near East, but also to older African cultures rooted in the

river basin and sub-Saharan regions, Egypt developed its own observations and experiments.

Within this vast interlacing was born a way of thinking in which the movement of the stars and the

rhythm of the river formed a language, guarantor of the order of the world 5 . As in Mesopotamia, the

great forces of the universe were embodied by gods. The regular floods of the Nile, synonymous with

fertility, were perceived as a blessing. Conversely, a flood that was too low or too high, a drought or a

famine could be interpreted as a divine punishment 6 . But little by little, the Egyptians understood that

the climatic and agricultural disturbances that they interpreted as the gestures of the gods were only

regular phenomena that had to be observed closely to maintain the balance of life. This means that, it

was by observing the star Sothis (Sirius) that the Egyptians discovered that its heliacal rising, that is, the

moment when it became visible again at dawn after a period of invisibility, coincided with the beginning

of the flooding of the Nile 7 . This astronomical marker signaled the beginning of the year and enabled

the Egyptians to develop the first solar calendar of 365 days 8 .

The priest-mathematicians of Egypt had also developed an advanced geometry and arithmetic, as

evidenced by the Rhind papyrus (around 1650 BC), written by the scribe Ahmès 9 . Thus, like

Mesopotamia, the Egyptians transformed a religious interpretation into mathematical and astronomical

knowledge, with the conviction that the universe, to be understood and mastered, had to be measured.

1.2. Greek Antiquity and rational thought

For millennia, the Egyptians, the Mesopotamians and the Persians had accumulated knowledge about

the sky, numbers and proportions, to this must be added the Indian and Chinese traditions. In India, the

Śulbasūtras (around 800–500 BC) already contain geometric statements close to the Pythagorean

theorem, while in China, the Zhou Bi Suan Jing (3rd century BC) bears witness to advanced astronomical

and geometric calculations 10 . This knowledge, which circulated through trade routes, travel and

conquests, constituted a shared heritage.

It was from this universal foundation that ancient Greece was nourished, which transformed part of

these practices into a true rational science. Heir to oriental observation, it no longer contented itself with

predicting and measuring celestial phenomena but sought to understand their causes and to demonstrate

them through reasoning.

Therefore, begins with Thales of Miletus (around 624–546 BC) the first great stage of rational thought

in the West. Considered by Aristotle (384–322 BC) as one of the first physicists 11 , Thales embodies the


transition between oriental knowledge and Greek philosophy. According to the Greek historian

Herodotus 12 , he is said to have travelled to Egypt, where he received instruction from the priests in the

art of measuring the earth and observing the stars. This stay is also mentioned by the historian and

biographer Diogenes Laërtius 13 , who reports that Thales returned from his journey with new methods of

calculation and observation. Tradition holds that he measured the height of the pyramids by using their

shadow. He waited until his own shadow equaled his height and deduced by proportion that of the

pyramid. This procedure, based on the similarity of triangles, became one of the major principles of

geometry. Thales thus appears as the first to have shown that the intangible could be measured through

mathematical reasoning.

Several centuries later, Leonardo da Vinci (1452–1519) applied this same logic in his studies on light

(figure 1). He drew a large arc that represents an illuminated surface, and three cones placed below that

depict an object facing forward and two objects positioned to the sides. The rays coming from the edges

of the arc delimit the illuminated area. It is the similar triangles that represent the lateral objects which

make it possible to compare the quantity of light received according to position. Thus, Leonardo

measured light with the same geometric logic as Thales.

Figure 1. Studies on the theory of light and shadows

Manuscript A, Institut de France

Da Vinci

For Leonardo, geometry constituted the principal tool for the understanding of phenomena and guided

the conduct of all his research. In his anatomical studies, he decomposed living forms into networks of

triangles. This geometric grid applied in his quest for the ideal man and horse enabled him to compare

and understand the proportional relationships that govern their measurements (figures 2). In both cases,

the method employed is based on a principle that demonstrates the influence of Thales and Leonardo’s

desire to unify the study of living beings within a universal geometric language.

Study of horse proportions


Study of human proportions


Figures 2. Da Vinci


Among the heirs of the oriental and Greek tradition, Pythagoras of Samos (around 570–around 495

BC), philosopher, mathematician and founder of a spiritual community, was one of the most influential

figures of Antiquity. The philosophers Iamblichus 14 and Porphyry 15 (3rd and 4th centuries) reported that

he travelled to Egypt and Babylonia, where he came into contact with the Egyptian priests and the

Chaldeans, heirs to long astronomical and mathematical traditions. He was initiated in Egypt into priestly

practices and geometric knowledge, and is also said to have received the teaching of the Persian magi.

At the heart of his thought lies the idea that numbers and numerical ratios express the deep structure

of the world. For Pythagoras, every phenomenon can be described through proportional relationships.

This conception finds an illustration in the Pythagorean theorem, according to which, in a right triangle,

the sum of the squares of the two sides adjacent to the right angle is equal to the square of the hypotenuse.

The same logic is manifested in the discovery of musical proportions, the octave (2:1), the fifth (3:2) and

the fourth (4:3), which show that the intervals most harmonious to the ear also obey simple ratios of the

lengths of vibrating strings. Thus, for the Pythagoreans, mathematics represented a divine language,

capable of revealing the hidden order of the cosmos 16 .

This heritage reached Leonardo, who explicitly took up the analogy between music and geometry 17 .

On several pages of his notebooks are found studies of organ pipes, vibrating strings and mechanical

systems designed to produce regular sequences (figure 3). He compared the vibration of strings and the

production of sound to numerical ratios. He observed that the pitch of the sound varies according to the

length and tension of the string, thus confirming experimentally the principles of proportionality already

stated by Pythagoras.

Figure 3. Music studies, Codex Arundel, f.133v, f.133r, Da Vinci

Similarly, Leonardo used the right triangle as a universal tool, capable of reducing all natural

phenomena to measurable ratios. This approach is particularly evident in his research on optics.

In a study on the propagation of light, Leonardo drew a beam of light in the form of a cone (figures

4). He represented rays coming from a celestial body which, passing through a small opening, form

behind this hole a beam of light. From this point, these rays unfold by dividing the beam into six

successive right triangles. This division into six sectors is part of the tradition inherited from the

sexagesimal system, used in medieval astronomy and optics⁴. And as the construction is based on right

triangles, Leonardo naturally set the opening angle of the beam at 90°, that is, a quarter of the circle.


Figures 4. Study on optics, the propagation of light, Codex Arundel I, Da Vinci

To describe this construction geometrically, let d denote the distance between the opening and the

center of the circular surface which serves as a spatial reference to allow the visualization and

measurement of the opening of the luminous cone. Let hₙ denote the height of the level and cₙ the oblique

length of the light ray corresponding to this level. The distance d is equal to the first height h0.

Each level of the beam thus has its own oblique ray, which constitutes the hypotenuse of the right

triangle formed with d and hₙ. The configuration then obeys the Pythagorean theorem.

hn² + d² = cn²

From one level to the next, the height hₙ increases by a constant value, while the oblique length cₙ

grows more and more slowly. The larger the size of the right triangles becomes, the more the distance

between the light rays narrows. This decrease of the ratios cₙ+₁/cₙ is due to the function cn= √(d 2 +h 2 n),

which is increasing and concave. Thus, when hn increases by a constant amount, the increments cₙ+₁ -cₙ

gradually become smaller, which is characteristic of a concave curvature.

This internal geometry corresponds to a physical phenomenon that Leonardo stated in several

manuscripts, in the Codex Atlanticus, f.337 r. he noted:

« La luce si indebolisce secondo la distanza. »

« Light decreases as a function of distance »

On folio 126r. of this same manuscript :

«Ogni cosa veduta da lunga distanza perde di vigore e di chiarezza. »

« Anything seen from a distance loses strenght and clarity »

And in manuscript A, f. 17 v., of Institut de France :

«La luce si diminusce quanto più si allontana dalla sua origine. »

« Light diminushes as it moves away from its origin »

Thus, the rays cₙ, progressively longer, carry a gradually weakened light, which visually reinforces

the narrowing effect observed in the beam.

To make this natural mechanism visible, Leonardo constructed a true geometric grid within the beam

of light. He began by dividing the first right triangle in two. He drew a segment from the center of the


circle to the midpoint of the hypotenuse, perpendicular to hn. From the midpoint of the hypotenuse, he

drew a segment L1 up to the larger segment cn, the hypotenuse of the cone, in such a way that the rays

of light were divided into two equal parts.

At each level hₙ, an analogous segment Lₙ is drawn to the largest light ray cₙ. These transversals then

divide each ray into an increasing number of equal parts, two for the first, three for the second, four for

the third and so on up to 7.

This regular subdivision reveals a concave progression on each light ray. The successive intersection

points correspond to the fractions: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7. Each of these values is greater than the

preceding one, but according to increments that decrease regularly. This is the signature of a concave

growth, perfectly understood by Leonardo.

To complete his construction, Leonardo projected from the center of the circle segments (see green

arrow in figure 4) to the segment parallel to d at the point where the hypotenuses of the right triangles

intersect. The intersection points of these segments on the circle were then connected by segments to the

opening (see red arrow in figure 4). Finally, from these same intersection points, he drew segments to

the summit hₙ of each right triangle (black arrow in figure 4). These projections make it possible to

visualize how the angles narrow and how the light weakens within the beam.

Thus, through the application of the Pythagorean theorem, Leonardo sought to understand the

behavior of light by observing the successive variations of the rays. This study based on the concavity

of the function √(d² + hₙ²), constitutes a remarkable anticipation of differential calculus, long before its

formalization by Newton and Leibniz in the 17th century 18 .

At the same period, while certain philosophers explored numbers and figures to decipher the mysteries

of creation, the field of medicine traced a new path of knowledge oriented toward the understanding of

the human body. Hippocrates (around 460–370 BC), known as the “father of medicine”, broke with

religious explanations of illness and affirmed that the body obeys the same laws as nature 19 . Health was

not a gift from the gods, but the result of a fragile balance.

This idea was rooted in an older heritage. In Egypt already and in Persia, life was perceived as a play

of balance between the four elements of nature. Empedocles of Acragas (around 490–430 BC) gave a

first philosophical formulation by associating air, water, fire and earth with the birth and transformation

of beings 20 . Hippocrates expressed this conception of natural balance in his famous theory of the four

humors, according to which the human body is composed of four fundamental substances: blood, yellow

bile, black bile and phlegm. Each of them corresponds to an element of nature, air, fire, earth and water,

and is defined by an essential quality, hot, cold, dry or moist. Blood, associated with air and characterized

by heat and moisture, symbolizes vitality and joy. In harmonious proportion it produces a lively and

generous temperament, but in excess it causes agitation and instability. Yellow bile, linked to fire, hot

and dry, represents strength of action and courage. Balanced it nourishes determination, but too abundant

it generates anger and irritability, hence the french expression “se faire de la bile”, which conveys the

idea of anxiety and agitation. Black bile, attached to earth, cold and dry, evokes depth of mind and

sensitivity. When it dominates it plunges the individual into melancholy and sadness, a word moreover

derived from the Greek “melaina chole” meaning “black bile”. As for phlegm, associated with water,

cold and moist, it embodies stability and inner calm. Properly proportioned it makes it possible to keep

one’s composure, but when it accumulates it causes slowness and inertia, which gave rise to the french

expression “garder son flegme”, which denotes emotional restraint and self-control. Thus, in

Hippocratic thought, the health of the body depended on the harmonious balance of these four humors,

reflection of the very harmony of nature 21 . Illness appeared when one of them became excessive or

insufficient. Thus, just as the world lives from the balance of the elements, man lives from the balance

of his humors. This doctrine, founded on observation and experience, made medicine an empirical

science attentive to symptoms and to the evolution of diseases 22 .


This vision was extended by Galen of Pergamon (129–around 201 AD), a Greek physician in the

service of the Roman Empire. An admirer of Hippocrates, he systematized the theory of the humors into

a true functional anatomy based on animal dissections. His authority remained uncontested for more than

a millennium, the schools of medieval and Renaissance medicine taught above all Galen, whose treatises

were translated into Latin and Arabic 23 . But in the absence of systematic human autopsy, he retained

major anatomical errors. It was precisely this fixed knowledge that Leonardo, centuries later, would

challenge through direct experience.

Leonardo began to take an interest in anatomy as early as the 1480s in Florence, where he drew from

living models. However, his true campaign of dissection did not begin until between 1506 and 1513.

During the winter of 1507–1508, at the hospital of Santa Maria Nuova in Florence, he performed the

autopsy of a centenarian who had died “without pain” 24 . In his sheets, today preserved in Windsor, he

recorded unprecedented pathological observations on the vessels of the brain and the heart.

He shared with thinkers of Antiquity, notably Hippocrates, the conviction that man is a microcosm.

In his thought, which he expressed in the Codex Atlanticus, f.80r., the human being and the world are

but two expressions of the same organization, governed by universal laws.

«L’omo è detto da’ antichi mondo minore; e certo questa denominazione è ben data, perché, come il

corpo della terra è composto d’acqua, d’aria, di terra e di fuoco, così questo corpo dell’omo è fatto di

queste medesime cose. E come l’omo ha in sé ossa che sostengono la carne, e la terra ha le rupi che

sostengono la terra, come nell’omo le vene e i fiumi, così nel mondo; come nell’omo il sangue, così nel

corpo della terra l’acqua, e come nell’omo il polso e il batter del cuore, così la terra ha il flusso e

reflusso del mare.»

«The man is called by the ancients the lesser world; and certainly this denomination is well given,

because, as the body of the earth is composed of water, air, earth, and fire, so this body of the man is

made of the same elements. And as man has bones in him that support the flesh and the earth has rocks

that support the earth, as in man the veins and rivers, so in the world; as in man blood, so in the body

of the earth water, and as in man the pulse and the beating of the heart, so the earth has the ebb and

flow of the sea. »

His late anatomical notes, preserved in the Codex Atlanticus, Leonardo further broadened this

conception, inspired by Ptolemy’s cosmographic vision, he conceived the human body as a small world

(minor mondo), organized according to the same principles as the universe, he mentioned it on folio 327

r:

«Adunque qui con quindici figure intere ti sarà mostrata la cosmografia del minor mondo col

medesimo ordine che innanzi a me fu fatto da Tolomeo nella sua cosmografia, e così dividerò poi quelli

in membra, come lui divise il tutto in provincie.»

«Thus, with fifteen complete figures, the cosmography of the small world will be shown to you

according to the same order that Ptolemy adopted before me in his Cosmographia; and I shall then

divide the body into members, as he divided the whole into provinces»

Leonardo also adopted the thought of Hippocrates and Galen according to which the health of the

body depends on the harmony of the four humors. He thus placed himself in the continuity of the ancient

tradition while renewing it through direct observation and experimentation. His research belonged to a

unified conception of living beings, in which physiological phenomena, the circulation of the blood,

internal heat and respiration are ordered according to a higher organizing principle. Leonardo considered

that the soul acts through the four humors, which ensure the balance and cohesion of the body. For

Leonardo it is the seat of emotions and inner feeling, it is moreover from this ancient conception that

French expressions such as “avoir mal à l’âme” which conveys profound emotional suffering, and by

expression “le vague à l’âme”, which denotes a diffuse melancholy and inner yearning, both testifying


to the ancient idea of a profound unity between body and mind. This thought is embodied, by Leonardo,

in a quotation from the Codex Atlanticus, f.198r.:

«I movimenti dell’anima sono le cause delle varie complessioni degli uomini.»

«The movements of the soul are the cause of the various humors. »

Thus, Leonardo’s dissections, beyond an anatomical description of the human body, also aimed to

understand this invisible organization and the dynamic relations that unite material life, thought and the

divine principle that orders them. Thereafter, Leonardo multiplied dissections in various hospital and

academic contexts, in Florence, then in Milan (probably at the Ospedale Maggiore), and finally in Rome

at the hospital of Santo Spirito in Sassia, where accusations of sacrilege put an end to his work 25 , his

methodical notes bear witness to a rigorously scientific approach ahead of its time, in Manuscript A,

preserved at the Institute de France, he described in detail his working method, he explained that he had

opened more than ten human bodies, proceeding “layer by layer”, removing successively the flesh, the

tissues and the blood to reveal the veins, down to the finest capillary branches (figures 5), a single body

did not suffice for him, he repeated the operation endlessly in order to attain knowledge as exact as

possible.

Figures 5. Anatomical studies, RCIN 919001, Da Vinci

Around 1510–1511, he collaborated in Pavia with the physician Marcantonio della Torre, a young

professor of anatomy trained in Padua, together they planned to compose a great illustrated anatomical

atlas, but the premature death of della Torre interrupted this undertaking 26 . Yet this abandoned project

did not put an end to Leonardo’s insatiable curiosity, his notebooks bear witness to a visionary mind

driven by a constant quest to understand the laws of living beings.

After Hippocrates, Plato (427–347 BC), disciple of Socrates and founder of the academy of Athens,

inherited the Pythagorean intuitions and the traditions of Empedocles and Hippocrates, who had

conceived the world from the four fundamental elements (fire, air, water and earth), in the Timaeus 27 he

gave them a geometric form, the tetrahedron for fire, the octahedron for air, the icosahedron for water

and the cube for earth, to these four solids he added a fifth, the dodecahedron, which he associated with

the universe as a whole (figures 6). The latter gathered the four others and united them into a superior

totality, the dodecahedron thus became the figure of the One, first principle from which all things arose,

Plato saw in these perfect forms the reflection of the rational order of the cosmos, for he thought that the

universe had been geometrically designed by the Demiurge (the divine craftsman who shapes the

material world from eternal forms). At the entrance to his school could be read the famous motto: “Let

no one ignorant of geometry enter here 28 ”, an affirmation of the central role of geometry in the formation

of the mind and in the understanding of reality.

At the end of the 15th century, Leonardo da Vinci produced the illustrations for the treatise of his

friend, the mathematician monk Luca Pacioli, in his work De Divina Proportione (1496–1498), published


in 1509 29 , devoted to the idea that a certain universal proportion present in the universe is found in the

human body. Leonardo studied the regular and semi-regular polyhedra of Plato, in solid and transparent

versions (figures 6). Among them, the dodecahedron occupied in his research a singular place, for it

contains within it harmonic ratios, indeed, in a regular dodecahedron, each face is a pentagon, and in the

latter, the ratio between the diagonal and the side is that of an ideal proportion, the golden ratio (≈1.618).

Thus, this ratio is found at all scales of the figure, the Greeks recognized in the dodecahedron the

geometric imprint of an intelligence ordering the world, that of the Demiurge 30 . Like Plato, Leonardo

saw in mathematics the necessary foundation for all true knowledge, from the introduction to his Treatise

on Painting, he reaffirmed this idea with a warning: “Let no one read me who is not a mathematician 31 .”

At that time, as in the Renaissance, philosophy was not separated from mathematics, the philosopher

was also a geometer, for understanding the world required knowing its ratios, its proportions and its

measures. Rational thought, science and contemplation formed one and the same path toward truth, this

is why the sages of Antiquity conceived the knowledge of number as a path to the divine. Little by little

this domain moved away from the science from which it originated, to attach itself more to logic, ethics,

language and consciousness.

The five polyhedra, Manuscript M, f 80v., Institut de France, DaVinci

Dodecahedron, Codex atlanticus Fol 707 r

Da Vinci

Icosahedron, Codex Atlanticus Fol 518 r.

Da Vinci

Figures 6

After Plato and his vision of a cosmos ordered by unity and geometry, his disciple Aristotle (384–322

BC) marked a turning point in the history of thought. Where Plato sought truth in the world of Ideas,

that is, in an intelligible reality, Aristotle affirmed that it must first be found in sensible experience, that

of observation and the study of phenomena accessible to the senses 32 . An encyclopedic philosopher, he

was interested in all fields of knowledge, his method was based on the conviction that knowledge is born

of observation and experience but must then rise toward universal principles.

Leonardo da Vinci has often been compared to Plato, because of his quest for harmony and unity of

the world, central themes of Platonic philosophy. This comparison appears legitimate because Leonardo

belongs to the humanist culture of the Renaissance, which rediscovered Plato and his ideal forms with

the same conviction that the soul transcends the body. Plato, in the Phaedo 33 , maintained that the body


is nothing but a tomb that imprisons, and that only the soul leads to truth. Leonardo, several centuries

later, continued this idea by writing in the Windsor Codex (Anatomical Manuscript A, fol. 2r):

«E tu, o omo, che consideri in questa mia fatica l’opere mirabili della natura, se giudicherai essere

cosa nefanda il distruggerla, or pensa essere cosa nefandissima il tôrre la vita all’omo; del quale, se

questa sua composizione ti pare di maraviglioso artifizio, pensa questa essere nulla rispetto all’anima

che in tale architettura abita; e veramente, quale essa si sia, ella è cosa divina: sicché lasciala abitare

nella sua opera a suo beneplacito…»

« And you, O man, who contemplate in this work how admirable the works of nature are, if you judge

that it is an abominable thing to destroy them, think that it is infinitely more abominable to take the life

of a man. For if this outward structure appears to you to be of marvelous craftsmanship, consider that

it is nothing in comparison with the soul that dwells in such an architecture, and in truth, whatever it

may be, this soul is a divine thing. Therefore, let it remain in its work according to its good pleasure… »

However, if Leonardo shared with Plato this quest for transcendence and unity, his method of research

brings him closer to Aristotle, whom he cited on several occasions in his notebooks, sometimes to

approve him, sometimes to contradict him. In his notes he explicitly referred to the philosopher when

discussing the elements of nature and movement, this constant presence shows that Aristotle was for him

a true authority of reference.

Leonardo shared with Aristotle the importance given to direct experience as the foundation of

knowledge. In an epistemological approach he did not content himself with repeating what he read in

books, he verified, experimented and constantly confronted received knowledge with the test of

experience. Moreover, in his writings he strongly criticized those who limited themselves to repeating

ancient authorities without verifying for themselves. This mistrust of abstract speculation and this

requirement of verification through observation correspond directly to the Aristotelian method.

He wrote, in Manuscript G of the Institut de France, fol. 8r:

« Quelli, che s’innamoran di pratica sanza scienza, son come ’l nocchiere, ch’entra in navilio sanza

timone o bussola, che mai ha certezza dove si vada. Sempre la pratica dev’esser edificata sopra la bona

teorica; della quale la prospettiva è guida e porta, e, sanza questa, nulla si fa bene. »

« Those who fall in love with practice without science are like the pilot who boards a ship without

rudder or compass and who never has certainty of the direction he takes. Practice must always be

founded on a good theory, whose perspective is the guide and the gate. Without it nothing is done well. »

He added, in the Codex Atlanticus, folio 76 recto:

« Chi disputa allegando l’autorità, non adopra(lo) ’ngegno, ma più tosto la memoria. »

« He who, in disputing, invokes authority does not employ his intelligence, but rather his memory »

Like Aristotle, Leonardo devoted hundreds of pages to biology, to the study of animals and of the

human body. His ambition was the same as that of the Greek philosopher, to transform empirical

observation into rational science. Whether concerning the flight of birds, the horse or man, Leonardo

followed a method rigorously founded on observation, description and comparison.

Leonardo compared the human skeleton and the equine skeleton, at the level of the legs and their

proportions. This analogy directly extends Aristotle’s assertion according to which the legs of the horse

are like those of man 34 (figure 7). As an attentive observer, Leonardo resumed, verified and confirmed

through drawing this ancient intuition.


Figure 7. RCIN 912625, Royal Collection Trust

Codex Windsor, Da Vinci

His scientific curiosity was also nourished by his reading. Leonardo possessed in his library 35 the

Historia Naturalis of Pliny the Elder (23–79 AD), a true encyclopedia of the natural world, which he

regarded as a work of reference. In it he found material for deepening his knowledge of minerals, plants,

animals and the human body.

After Aristotle, Euclid (around 325–265 BC) brought a new form of rigor and clarity that would mark

the entire history of science. A mathematician active in Alexandria, probably under the reign of Ptolemy

I Soter, Euclid composed the Elements 36 , a monumental treatise in thirteen books that gathers, organizes

and systematizes the whole of the geometric knowledge of his time.

Euclid inherited from Thales, Pythagoras, Plato and Aristotle, but also from the more ancient

knowledge that came from Egypt and Babylonia. However, he gave it a new form, founded on clear

definitions, simple axioms and a succession of demonstrations. Each theorem followed logically from

the preceding one, like the links of a perfect chain. This deductive method, of unprecedented rigor, would

hold authority for more than two millennia.

What distinguishes Euclid is his ability to transform scattered discoveries into a coherent system. The

Egyptians had practiced land surveying, the Babylonians numerical astronomy, the Pythagoreans the

study of proportions, and Plato had given a cosmological dimension to geometric forms. Euclid took up

this heritage and made it into a universal science. Geometry ceased to be a practical art or a philosophical

speculation and always became a rational language applicable in all places.

Among the many notions presented in the Elements is the division of a segment “in extreme and mean

ratio” (The Elements, Book VI, Def. 3). It is the first mathematical definition of the famous golden ratio

(≈1.618). Euclid demonstrated that this ratio expressed a particular proportion already present in the

dodecahedron composed of twelve regular pentagons.

This proportion, present in the structure of the regular pentagon, was no doubt known to the

Pythagoreans, who saw in regular figures the expression of the order of the world. According to Proclus,

in one of his commentaries on the first book of Euclid 37 , Hippasus of Metapontum, a Pythagorean of the

5th century before our era, is said to have discovered the construction of the regular dodecahedron and

the irrational ratios it contained. He reported: « It is said that one of the Pythagoreans was the first to

discover the dodecahedron in the sphere, and that having made public the way to inscribe it there, he

disappeared under the action of the god, for it was just that he die, he who had revealed what ought to

remain secret. »


This tradition illustrates the discipline of silence (ἐχεμυθία) that reigned in the Pythagorean school,

where all knowledge was held to be sacred. Mathematical discoveries were perceived there as revelations

of divine order and their divulgation constituted a grave fault. At that time knowledge was not accessible

to all, it belonged to a spiritual practice, a path of inner purification reserved for a restricted circle of

initiates. As Jamblichus 14 reminds us: « Among the Pythagoreans, all teaching had a sacred character

reserved for initiates, the word of the master was a holy thing, and any doctrine revealed outside the

circle of disciples was regarded as a profanation, those who violated the rule of silence and divulged

the teachings were excluded from the community as impure. »

Porphyry also confirmed the initiatory character and the secret pedagogy of the school: « To those

who came to listen to his teaching, he ordered five years of silence to test whether they knew how to

control their tongue and be masters of their words, and if they passed this time in calm and gentleness,

then he admitted them to the contemplation of the sciences. »

These testimonies express the vertigo that may have been caused by one of the most overwhelming

discoveries in the entire history of Greek thought. The uncovering of irrational numbers, revealed in the

construction of the dodecahedron, called into question the very heart of the doctrine of Pythagoras, which

rested on the idea that the whole universe obeys measure and number. Thus, by giving these figures a

rational structure, Euclid transformed a mystical intuition into a true demonstrative system founded on

measurement, axiom and proof.

This lineage, which marked the passage of Greek thought from an esoteric dimension to a more

rational science, makes it possible to understand how the return to the spirit of antiquity made the heart

of the Renaissance beat.

Euclid was rediscovered in the West as early as the 12th century thanks to the translations of Adelard

of Bath (around 1080–around 1152) and of Campanus of Novara (around 1220–1296) 38 , then printed in

Venice in 1482. It was in this climate that Leonardo da Vinci (1452–1519) studied geometry. His codices

bear witness to a constant interest in the same regularities as those brought to light by Fibonacci (1170–

1250), author of the famous numerical sequence (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…), whose successive ratios tend

toward the golden ratio 39 and express the harmony present in nature.

Leonardo filled his notebooks with drawings of helices, spirals and vortices (figures 8). This

fascination is found in his studies preserved at the Royal Collection Trust, where he analyzed the

movements of water in the form of whirlpools. Even in his visions of the deluge, as in his observations

of storms and the movement of air, the raging waters organize themselves into spirals, revealing the

omnipresence of these forms in nature.

Study of water

RCIN 912660, Codex Windsor, Da Vinci

Study of the Deluge

RCIN 912380, Codex Windsor, Da Vinci

Figures 8


This search for regularities also found an extension in his anatomical studies. Fascinated by the

movement of fluids, Leonardo dissected ox hearts to better understand the shape of the ventricles and

the movement of the blood. He injected wax into the cavities to obtain molds and visualize the internal

structures. He observed that the blood flow inside the heart naturally organizes itself into a spiral, a

movement that closes the cardiac valves rapidly and efficiently (figure 9). His observations, which he

described in his anatomical notes on the heart (RL 19073r), bear witness to a remarkable understanding

of the role of natural geometry before modern science confirmed it.

Figure 9. Study of the aortic valve

Rcin 919083, Codex Windsor, Da Vinci

Following Euclid, who had given geometry its most rigorous form, Greek thought discovered with

Archimedes (287–212 BC) the importance of applying mathematics to the understanding of forces,

weights and movements. Born in Syracuse and probably, according to the philosopher Proclus 37 , trained

among the scholars of Alexandria, Archimedes was at once a mathematician, physicist, engineer and

inventor. He embodies the ideal of the complete scholar, capable of linking theory to practice and placing

mathematics at the heart of daily life.

His research on mechanics and balances was decisive. He established the laws of the lever and defined

the notion of center of gravity, opening the way to a true science of forces. He also developed an

experimental hydraulic knowledge, designing the famous Archimedean screw which made it possible to

raise water (figure 10). He devised siege machines, catapults, pulleys and cranes inspired by nature and

which reveal a rational understanding of the laws of physics. Through this ability to translate

mathematics into concrete applications, he became one of the most powerful models of Antiquity.

Figure 10. Tool and machine, Archimedean screw

F 386 r, Codex Atlanticus, Da Vinci

In his mechanical and engineering studies, Leonardo mentioned Archimedes on several occasions.

Like his illustrious predecessor, he never separated theory from experience. His sketches of bridges,


pulleys, pumps, hydraulic screws and war machines directly extend the Archimedean inspiration, in a

constant search for the fundamental principles that govern movement and equilibrium.

A drawing by Leonardo da Vinci illustrates a reflection on the proportional ratios necessary for the

equilibrium of mechanisms (figure 11). The figure is composed of two wheels of different diameters in

a ratio of 5/4, the larger one has a diameter greater by a quarter than that of the smaller one. The two

wheels are connected by a system of articulated connecting rods fixed to the hubs, forming two right

triangles. This device belongs to a kinematic study and aims to understand the movement of the parts

with respect to one another independently of the forces that produce them. The whole constitutes a

mechanism based on the principle of the compound lever, where several levers cooperate to transmit,

transform or amplify a movement. In this device the oblique bars and the axes fulfil the function of

levers, ensuring the transmission of movement from one wheel to the other according to precise length

ratios.

Figure 11. Studies in mechanics

Institut de France, Manuscript B, 36 recto

If the segments are extended to the base of the circles, the whole defines a rectangle whose sides are

in a ratio of 3/2. This ratio is found in the transmission of forces according to unequal arms, comparable

to the law of the lever formulated by Archimedes. It appears in the distribution of loads in a balanced

system. The rear wheel supports about sixty per cent of the total weight, while the front wheel carries

forty per cent. This arrangement ensures the stability of the whole with a center of gravity slightly

displaced towards the rear. It should finally be noted that the two ratios present in this mechanism reflect

the harmonic ratios described in the musical theory of Pythagoras, that of the major third (5/4) and that

of the perfect fifth (3/2).

Thus, Leonardo linked the laws of the mechanics of Archimedes with the principles of musical

harmony described by Pythagoras by inscribing them in elementary geometric forms (square, triangle,

rectangle and circle). Like Archimedes, Leonardo saw in mechanics the living demonstration of the

power of mathematics. In the manuscript E of the French Institute folio 8.v, he expressed this idea with

clarity :

« La meccanica è il paradiso delle scienze matematiche, perché con quella si viene al frutto delle

scienze matematiche. »

« Mechanics is the paradise of the mathematical sciences, for it is through it that mathematics bears

fruit »

1.3. Roman Antiquity, the transmission and the legacy of Greek knowledge

From Greece to Rome, the ideal of a world ordered by mathematics was transmitted without rupture.

Archimedes had shown its mechanical power, the architect and engineer Marcus Vitruvius Pollio, known

as Vitruvius (1st century BC), made it the rule of the art of building. In his treatise De Architectura 40 ,


the only architectural work of Antiquity that has come down to us, he took up the Greek heritage by

integrating into it a profoundly unitary conception of the world. For him architecture had to reflect the

order of the universe, and man constituted its model through his proportions which embodied both

balance and harmony. Vitruvius thus affirmed that « man is the measure of all things. » Architecture

therefore belonged to a cosmology in which man reflects the universe as a whole, an idea already present

in Empedocles, Hippocrates or Plato, but which Vitruvius applied for the first time to the art of building.

In continuity with the Greek scholars, Vitruvius founded his theory of construction on the equilibrium

of the four elements, earth, water, air and fire, whose proper combination ensures the stability and

durability of structures. Earth, through its mass and cohesion, constituted the base of foundations and

load-bearing walls, the Roman architect insisted on the quality of the soil, which must be tested before

any construction (De Architectura, II, 1). Water, principle of life and union of materials, which intervenes

in the preparation of lime, mortar and coatings, had to be pure, light and non-stagnant to guarantee the

solidity of buildings (VIII, 3). For air, element of vital breath, he recommended choosing the orientation

of cities and houses according to prevailing winds to preserve the health of inhabitants (I, 4). As for fire,

Vitruvius advised charring the surface of wood to make it more resistant to humidity and insects (II, 9,2).

Thus, building amounted to finding the right measure, that which maintains harmony between natural

forces, where each element acts in correspondence with the others, forming an indivisible whole.

Within this conceptual framework, Leonardo da Vinci approached nature as a field of experimentation

governed by the laws of physics. For him understanding the world meant observing its elementary forces,

analyzing their effects and measuring their ratios. He studied earth through the structure of soils and

rocks, noting the effects of time, erosion and gravity on the form of the landscape. He devoted countless

observations to water, analyzing it as a driving force of the world. He measured its pressure, its speed

and its turbulence, and studied the behavior of currents in rivers and canals. He explored the physics of

air, observing resistance, lift and movement to understand the principles of flight and the propagation of

sound. As for fire, he examined its effects on metals, pigments and wood. In folio 91 v. of the Codex

Madrid I, Leonardo explicitly took up a piece of advice inherited from Vitruvius: « Ligna quae leviter

amburuntur, diuturniora fiunt. » (II, 9,2)

« Il legno, la cui superficie sia stata leggermente abbrusciata, diventa più duro e più atto a resistere

all’umidità. »

« Wood whose surface has been slightly burned becomes harder and more resistant to moisture »

This technique 41 has been identified on piles and various wooden elements uncovered at Ostia, whose

remains date mainly from the 1st to the 3rd century AD, as well as at Pompeii and Herculaneum,

preserved in their state of 79 AD, and in the military camps along the Germanic Limes occupied between

the 1st and the 3rd century. The traces documented concern supporting piles and structural components

as well as posts from military palisades and fence stakes. Taken together, this evidence demonstrates

that the Romans already made use of superficial wood carbonization in a range of contexts, long before

Leonardo da Vinci reformulated the principle during the Renaissance.

Leonardo da Vinci also extended the Vitruvian principles by applying them to the study of the human

body. For him the same laws that govern matter are expressed in the proportions of man. He saw in the

human body a naturally balanced system governed by the same physical laws as those of the world,

gravity, tension, support and resistance 42 . The mechanics of the body constituted in his eyes a perfect

model of efficiency from which he drew inspiration in his research and his inventions. In observing the

functioning of the muscles, he transposed the human gesture into articulated systems (figure 12), and he

took up the proportional ratios of the body in several of his creations, notably in the conception of his

ideal horse.


Figure 12. Codex atlanticus f844r, Da Vinci

2. Vitruvian Man according to Leonardo da Vinci

2.1. The genesis and the sources of the drawing

The most striking proof of the influence of ancient thought on Leonardo da Vinci remains his famous

drawing of the Vitruvian Man. It concentrates in a single image an entire millennial heritage. In it we

find the inspiration of Thales, one of the first Greek thinkers to have introduced geometric reasoning into

the study of the world. In this drawing the human body is considered as a measurable figure, subject to

geometry like any natural object. To this first intuition is added the influence of Pythagoras, through the

embodiment of a visual harmony and a quest for perfection in which geometry becomes the means of

approaching the ideal. But this harmony is not only that of the body, it is the expression of a vaster unity.

This is where the inspiration of Plato comes in, who affirmed in the Timaeus 27 that “all comes from the

One.” Leonardo illustrates man as a microcosm, a part integrated within a larger whole, reflection of a

fundamental unity that links all things. The influence of Aristotle also appears through the empirical

method founded on observation and experimentation that Leonardo used to conceive this drawing. This

quest for perfection naturally leads to Euclid. The entire balance in the conception of this drawing rests

on the harmony of geometry. To this is added the heritage of Archimedes, who revealed the laws of

weight and equilibrium. The Vitruvian Man is represented in two superimposed movements which

demonstrate that when the legs are spread and the arms extended at three quarters, man preserves his

equilibrium and stability. On the other hand, with the legs together and the arms in the same position,

this equilibrium would be lost. It is maintained, however, with the arms extended horizontally. This

drawing thus illustrates, in a rational manner, the laws of gravity and stability of the human body.

However, it must be recalled that the genesis and representation of the Vitruvian Man were not born

from Leonardo’s imagination. They are based on and respond to a problem formulated by Vitruvius in

his treatise De architectura (Book III, chap. 1), in which the ideal proportions of the human body are

presented. He wrote:

“The navel is, by nature, the center of the human body, for if a man lies on his back, with hands and

feet extended, and one places a compass upon his navel, in tracing a circle one will pass through the

extremities of the hands and feet, likewise the height of the man is equal to the span of his arms; thus a

square can be traced around him.”

Vitruvius thus posed the basis of a reflection: how can a man be inscribed in two positions, both in a

square and in a circle?

This challenge posed by the Roman architect was for a long time a formidable enigma for many

scholars and artists. Mariano di Jacopo, known as Taccola (1382–1453) 43 , sketched a schematic figure

without anatomical precision (figure 13). Francesco di Giorgio Martini (1439–1501) 44 in turn attempted

to reconcile geometry with the proportions of the body, but his drawings remained clumsy (figure 14).

Finally, Giacomo Andrea de Ferrara (around 1450–1500) 45 , attentive reader of Vitruvius and close to


Leonardo, proposed a still unstable solution in which the figure did not respect human anatomy (figure

15). All encountered contradictions or approximations. This shows how much this problem exercised a

tenacious fascination while resisting the most skilled. In taking up this challenge, Leonardo was the first

to give this ancient problem a visual solution both rigorous and universal. He transformed an

architectural theory into a true geometric construction founded on the measurement of man.

Figure 13. Taccola, circa

1419/1450

Figure 14. Giorgio Martini, circa

1475/1482

Figure 15. Giacomo Andrea de

Ferrara, circa 1490

2.2. Between infinity and measure

In this quest for unity, Leonardo belonged to the tradition of the Greek geometers, notably Pythagoras

and Euclid, for whom beauty resulted from measure and just ratios. He saw in geometry a means of

linking man to the universe. The human body, through its proportions, had to reflect a universal order at

work in nature and in living beings, but also in the unfolding of forms, sounds and physical laws. It is in

this continuity that Leonardo took an interest in the works of Euclid, whose Elements lay the foundations

of classical geometry.

In Euclid, the search for ideal proportions rests on the idea of a balance between two ratios. This

relation which links measure to harmony became a fundamental principle of geometry. The proportion

called « extreme and mean » described in Book VI of Euclid’s Elements offers the most complete

example (figures 16). It consists in dividing a segment in such a way that the ratio of the whole to the

greater part is equal to the ratio of this greater part to the smaller one. That is, if one divides a segment

AB at a point C, one obtains the relation:

AB/BC = BC/AC

Euclidis Elementa, Vaticanus Graecus 190

Apostolic library of the Vatican,

9 th century, folio 31r, section of the book VI.

Reproduction of the golden rectangle

Figures 16


To designate this harmony, Euclid used a distinctive sign represented by a circle crossed by a

horizontal line. He placed it at the intersection between the height common to the square and to the small

golden rectangle, at this point the ratio between these two segments is equal to the golden number

because the side of the small golden rectangle is 1/φ since EA = ES= √5/2 et SB= (√5-1)/2= 1/ φ (figures

16).

In Greek thought, the circle represented unity, totality and perfection, as for the bar, in Greek

geometric practice it indicated the rational act of dividing a segment, in other words the measurement of

the whole by the part. The union of the circle and the bar thus embodies the Greek spirit of an ordered

measure, where unity is divided into proportional parts.

In the nineteenth century, the American mathematician Mark Barr 46 proposed using the Greek letter

φ to designate the golden number. According to an explanation often repeated in the literature, notably

in Matila Ghyka 47 and other authors of the twentieth century, Barr is said to have chosen this letter in

homage to the sculptor Phidias, to whom the use of the golden number was attributed. However, no

direct proof confirms this hypothesis, it is most likely a later interpretation, one may therefore also

suppose that familiar with the writings of Euclid, he reused the same sign but vertically, in continuity

with the ancient sign.

Leonardo da Vinci was inspired by the studies carried out by Euclid (figure 17), even copying certain

figures, among them an illustration of the Pythagorean theorem. In the figure made by Euclid the sign

of a circle crossed by a horizontal line appears again (figure 18). This comparison has led to a

reexamination of the significance of this figure.

Figure 17. Geometrics studies

Da Vinci, Codex Arundel, British Library

Figure 18. Pythagorean theorem

Element I, proposition 47

Apostolic library of Vatican

The analysis of the figure enabled us to discover the existence of an underlying geometric structure

which links the Pythagorean theorem to the golden number (figure 19). If one considers a square ABCD

of side 1 and one draws an arc of a circle with center E, situated at the middle of segment BC, and of

radius √5/2, this arc makes it possible to construct a golden rectangle TSCD of side (1+√5)/2, which

passes precisely through the vertices O and L of the small Pythagorean square of side (1/√2) because its

diagonal BR is equal to 1. The point of intersection M between the golden rectangle TSDC and the small

Pythagorean square determines the position of the golden rectangle MPSB as well as that of the square

TMPA. In an analogous manner, by extending segment OB (side of the small Pythagorean square) to

segment TS one obtains point U, which makes it possible to define a golden rectangle TUKA as well as

a square USBK.


Figure 19. Reproduction of golden rectangle with Pythagorean theorem

L is situated 1/2 to the right of the large square of side 1 because OL=1. N is the midpoint of LE,

situated on the line passing through AB. Thus BN = 1/4 and AE = EL = √5/2. AEL is therefore a right

triangle.

By the Pythagorean theorem:

AL = √(AE² + EL²) = √(5/4 + 5/4) = (√10)/2

The area of the square of side AL, associated with angle AEL, is then equal to the sum of the areas of

the golden rectangle TSCD, of the small Pythagorean square ORLB and of the square USBK or TMPA.

Thus, AL² = (TS × SC) + OB² + US² where US = SC − 1 = 1/ φ

(√10/2)² = (1 × φ) + (1/√2)² + (1/ φ)²

These ratios can be explained by the length √5/2, which acts as a genuine geometric hinge between

the golden rectangle and the Pythagorean theorem. This length serves as a multiplicative factor within

the family of associated right triangles (Figure 20).

Indeed, if in a right triangle the largest side is twice the smallest, then the area of the triangle is equal

to the area of the square constructed on the smallest side. This process continues by taking half of the

hypotenuse as the new smallest side. One observes that the smallest side has gone from 1/2 to √5/4 and

has therefore been multiplied by √5/2. Likewise, the area has increased from 1/4 to 5/16, meaning it has

been multiplied by (√5/2)².

Figure 20. Geometric representation of the sequence of right triangles governed by the √5/2 progression

This construction also reveals a new whole recurrent sequence defined geometrically from an initial

square and an iteration of the Pythagorean theorem. The successive ratios converge toward the


proportion of the golden number. The values of the sequence are: 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157…

This progression follows a rule of addition in which each term is the sum of the two preceding ones.

The first term corresponds to a small square of side 1/2, the area of this square is therefore (1/2)² =

0.25. To avoid fractions one chooses a new scale in which the area 0.25 becomes 1. The second term is

a square of side 1 which becomes 4. In this new scale, the third comes from the hypotenuse of the right

triangle of the previous values. Its square of area 1.25 becomes 5 (1 + 4 = 5).

Thus, at each step, a right triangle is formed from the preceding lengths, then a new square is

constructed on the hypotenuse obtained. This geometric growth generates a series of successive ratios

that tend toward a limit value corresponding to the square root of the golden number.

Let R(k) denote the ratio between two successive lengths. The following table presents these values

in exact and decimal form, which illustrates the convergence toward √φ ≈ 1.272 (figure 21).

Indice K R(k)=√(n(k+1) / n(k)) (R(K) (Decimal value)

1 √(5/4) ≈ 1.118

2 √(9/5) ≈ 1.341

3 √(14/9) ≈ 1.247

4 √(23/14) ≈ 1.281

5 √(37/23) ≈ 1.269

6 √(60/37) ≈ 1.273

7 √(97/60) ≈ 1.271

8 √(157/97) ≈ 1.272

9 √(254/157) ≈ 1.271

10 √(411/254) ≈ 1.272

11 √(665/411) ≈ 1.272

12 √(1076/665) ≈ 1.272

13 √(1741/1076) ≈ 1.272

14 √(2817/1741) ≈ 1.272

15 √(4558/2817) ≈ 1.272

Figure 21. Table of ratios R(k)

The numerical study shows that from the fifth term onwards, the difference between two successive

ratios decreases according to a geometric progression with ratio (1/φ ≈ 0.618). This property is well

known in the analysis of recurrent sequences. However it here takes an unprecedented form, applied to

a geometric construction derived from the Pythagorean theorem (figure 22).


Figure 22. Geometric representation of the sequence that converges toward √ φ

2.3. The unity of the world

The idea of a harmony between measure and infinity, inherited from the Pythagorean tradition 48 ,

profoundly marked the thought of the Renaissance. Leonardo da Vinci, drawing upon ancient texts,

sought to understand and to reveal the fundamental ratios that structure the universe. In his studies on

the proportions of the body Leonardo explored the measurable ratios that structure human anatomy

according to principles of harmony and proportion 49 . He noted these ratios in the form of fractions. It

was not for him a matter of rediscovering the golden number as an absolute value, but rather of

understanding how concrete and rational ratios could express the harmonic order of the world. To express

the equilibrium of geometric ratios, of a measure capable of uniting the multiple and the totality, he took

up the same symbol as Euclid (figures 23, 25).

Euclide

Da Vinci

Symbol of harmony

Figures 23. Studies of proportions,



In the conception of the Vitruvian Man (figure 24), Leonardo da Vinci copied onto the drawing the

proportions established by Vitruvius, but he did not limit himself to reproducing them. He made them a

principle of experimentation. Through direct observation of the body, through dissection and the study

of movement, he verified these ratios, corrected them and harmonized them so that each part contributes

to the equilibrium of the whole. His objective went beyond measurement, he sought an organic unity in

which the human form is no longer reduced to a sum of segments but is understood as a system of

correspondences.

Figure 24. Vitruvian Man,

Gallerie dell‘academia of Venise, Da Vinci

Leonardo observed that the different parts of the body correspond to one another according to a

rigorous system of proportional ratios (figures 24, 25). The width of the shoulders is equal to half a leg,

a proportion identical to that which runs from the torso to the pubis or from the torso to the top of the

head, the hand, for its part, corresponds to the dimensions of the face, from the root of the hair to the

chin, as well as to that which separates the navel from the pubis. The length of the foot is equivalent to

the distance from the wrist to the elbow but also to that of the torso to the navel.

Many parts of the body have a length double one another, for example the length from the pubis to

the soles of the feet corresponds to half the height of the body. The height between the neck and the

pubis is twice that between the neck and the top of the head, and the distance from the neck to the top of

the head is in turn twice that from the neck to the torso, the same logic is observed in the upper limbs,

the distance from the shoulder to the middle of the torso is twice smaller than that from the middle of

the torso to the elbow, and the length from the elbow to the hand is found doubled in the total reach of

the arm to the middle of the torso.

Other ratios complete this structure according to regular multiplications. The segment between the

torso and the pubis is three times larger than that which separates the neck from the torso, the height

from the pubis to the top of the head presents the same ratio with the distance from the neck to the top

of the head. The height from the neck to the pubis is in turn four times larger than that from the neck to

the torso, while the distance from the pubis to the soles of the feet represents six times its length.

This principle is found in his studies of human proportions, notably in a drawing preserved at the

Gallerie dell’Accademia of Venice, where Leonardo segmented the face of a man in profile. On the left

side of the sheet appear the fractions 1/2, 1/3, 1/4 and 1/6 (figure 25).


Figures 25. Studies of proportions

Gallerie dell’académia of Venise

Da Vinci

Each measurement that refers to another reveals a principle of self-similarity. The body of the

Vitruvian Man manifests a geometric recurrence, as if the human form carried within it a mathematical

message. Thus, each part becomes a multiple or a rational submultiple of the whole.

The multiples of 2, 3, 4 and 6 employed by Leonardo reveal that the structure of the body rests upon

a duodecimal system 50 inherited from ancient methods of measurement. In Antiquity base 12 was

considered the most harmonious because it made it possible to generate many simple and exact divisions,

the half, the third, the quarter, the sixth. It offered a flexibility of calculation which the decimal system

could not attain.

In the Renaissance as well, this system formed part of daily life. In currency it structured all values,

twelve deniers formed one sou, twenty sous were equivalent to one livre, that is two hundred and forty

deniers for one livre. Large unit of one hundred and twenty units were also used, as they were easier to

divide into dozens for commercial purposes. The same principle was applied to lengths and weights,

were twelve inches made a foot and twelve ounces one pound. This model, inherited from Rome, was

still taught by Luca Pacioli in his Summa de arithmetica 51 (1494), in which he described merchant

calculation methods founded on these divisions into twelve.

Vitruvius himself made use of this metrological principle in the directives he formulated to establish

the proportions of the ideal man 40 : “Four palms make a foot, six palms make a cubit and twenty-four

palms make a man.”

However, he did not always respect the duodecimal system in his instructions. He affirmed for

example that the head had to represent one tenth of the total height of the body, which introduces a

decimal logic foreign to ancient division.

Leonardo da Vinci therefore took up the statement of Vitruvius, which he copied almost word for

word on his famous drawing of the Vitruvian Man. However, he did not follow him in his measurements.

If he adopted the duodecimal system inherited from the ancient tradition, as shown by the ratios founded

on the multiples of 2, 3, 4 and 6, the proportions he observed show that this model did not suffice to

account for the complexity of the human body.


For certain parts such as the foot, the hand or the face he extended the duodecimal principle to a finer

scale founded on a common base of 120 divisions of the unit, the smallest common multiple of the

principal denominators employed to describe the ratios of the human form (figure 26).

Body part Value Exact fraction

From the top of the head to the soles of the feet 1 1/1

From the navel to the soles of the feet 0,60833 73/120

From the pubis to the soles of the feet 0,5 1/2

From the tip of the hand to the middle of the

torso

0,5 1/2

From pubis to the top of the head 0,5 1/2

From the top of the head to the navel 0,3916 47/120

From the neck to the pubis 0,3333 1/3

From the torso to the pubis 0,25 1/4

Width of the torso (from one shoulder to the

other)

0,25 1/4

From the top of the head to the torso 0,25 1/4

From the knee to the soles of the feet 0,25 1/4

From the pubis to the knee 0,25 1/4

From the middle of the toroso to the elbow 0,25 1/4

From the elbow to the tip to the hand 0,25 1/4

From the neck to the top of the head 0,1666 1/6

Lenght of the foot 0,1416 17/120

From the wrist to the elbow 0,1416 17/120

From the torso to the navel 0,1416 17/120

From the shoulder to the middle of the torso 0,125 1/8

From the navel to the pubis 0,108 13/120

From the hairline to the chin (face) 0,108 13/120

From the tip of the hand to the wrist (hand) 0,108 13/120

From the neck to the torso 0,0833 1/12

Figure 26. A table of the proportions as they can be inferred from Leonardo da Vinci’s Vitruvian Man

The choice of a base of 120 units makes it possible to obtain ratios that become perfectly measurable

(40, 47, 60, etc.). For example, half of the body corresponds to 60 units out of 120, and the length of the

foot to 17 units, that is a proportion of 17/120. Thus, each value of the sequence is calculated from the

previous one according to a simple and rational ratio, which ensures the continuity and harmony of the

system of proportions (figure 27).

Ratio Decimal value Equivalent over 120 divisions

1 (whole body) 1 120

73/120 0,60833 73

1/2 0,5 60

47/120 0,3916 47

1/3 0,33333 40

1/4 0,25 30

1/6 0,16666 20

17/120 0,14166 17

1/8 0,125 15

13/120 0,108 13

1/12 0,08333 10

Figure 27. Equivalence of ratios on a base of 120 divisions

The number 120 is also part of the long ancient tradition of research on the harmony of proportions,

within the sexagesimal system 4 inherited from the Mesopotamian civilizations to define the measurement

of time and space. Leonardo’s choice to adopt this numerical base reveals his desire to anchor the science

of the human body in the continuity of an ancient knowledge in which measurement and proportion

express the universal order. Moreover, the interest of this system also lies in its harmonic flexibility, it

makes it possible to generate and combine both binary ratios (1/2, 1/4, 1/8) and ternary ratios (1/3, 1/6,


1/12) within a single structure of measurement. Applied to the proportions of the human body it acts as

a “harmonic modulus”, that is a reference unit which links all the subdivisions of the body to a common

scale.

The radius of the circle whose center is the navel has a value (73/120), close to the inverse of the

golden number (0.618). Consequently, the figure seems to be inscribed in two superimposed golden

rectangles, one arising from the geometry of the square, the other from that of the circle.

Beyond its arithmetic value the number 120 occupies, in the Pythagorean tradition 52 , a structuring

place. It is interpreted as a principle of numerical organization which reflects the harmony of the world.

Among the thinkers of Antiquity 53 mathematical ratios were perceived as models of universal order

capable of accounting both for the movement of the stars and for the structures of living beings.

The number 120 results from the product of the first five integers (1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120). This

represented for the Pythagoreans a hierarchical conception of the world which symbolized the

progressive passage from unity to complexity, from abstraction to incarnation. Each number was thus

understood as a stage that participates in the genesis of reality.

In Greek thought this gradation is expressed through five levels 54 , the Monad (1), principle of unity

and origin. The Dyad (2), principle of duality and differentiation. The Triad (3), principle of harmony

and mediation. The Tetrad (4), principle of organization and stability of the world. And the Pentad (5),

principle of generation and life (figure 28). The whole (1 to 5) defines a complete structure in which the

combination of these numerical ratios is perceived as the basis of every organized form.

Number Pythagorean Symbol Meaning

1 Monad

Divine principle, absolute unity,

origin of all being.

2 Dyad

Duality, polarity, separation of

principle and matter.

3 Triad

Harmony, mediation, equilibrium

between opposites.

4 Tetrad

Structure of the world, stability,

the four elements.

5 Pentad

Life, generation, humankind as

microcosm of the whole.

Figure 28. The Pythagorean hierarchy of numbers

In Plato, notably in the Timaeus 27 , where the five perfect solids constitute the fundamental geometric

structure of the cosmos, the dodecahedron, symbol of unity, and the icosahedron, mirror of the former,

possess a complete symmetry group comprising one hundred and twenty transformations, sixty rotations

and sixty reflections, which return the figure to itself without altering its structure (figures 6). This

number 120 illustrates both the harmonious complexity of these figures and the geometric perfection

that the philosophers of Antiquity associated with the universal order.

In later monotheistic traditions the number 120 also retains a symbolic value. In Genesis (Old

Testament, 6, verse 3) God fixed at one hundred and twenty years the duration of human life. In the

Book of the Acts of the Apostles (New Testament, 1, verse 15) this same number appears again. One

hundred and twenty disciples are gathered at the descent of the Holy Spirit. In early Islamic tradition the

duration of one hundred and twenty days corresponds to the time necessary for the formation of the

human being. Embryonic development is described there as unfolding in three phases of forty days each,

first in the form of a drop, then of a clot, and finally of an embryo (Bad’al-Khalq, hadith n°3208). Thus,

from Pythagorean arithmetic to theology this number appears as a unit of structure and totality which

links the science of proportions to a global conception of the order of the world.


This relation, which rests on a search for equilibrium between the multiple and unity, Leonardo da

Vinci also expresses in his observations on plant growth (figure 29). He noted in the Codex Arundel,

folio 152 r.:

« Ogni anno, quando i rami d’un albero hanno compiuto la loro crescita, la somma delle loro

grossezze, in ogni livello di ramificazione, è sempre eguale a quella del tronco. »

« Each year, when the branches of a tree have completed their growth, they will together have a

thickness equal to that of the trunk, and at each level of branching the thickness of the branches issuing

from the same division will always be equal to that of the trunk. »

Through this remark Leonardo transposed a law of conservation 55 in which, at each level of division,

the sum of the diameters of the daughter branches is equal to the diameter of the trunk. In other words

matter divides but unity is maintained.

Figure 29. Study of the tree’s proportion

Da Vinci, Codex Arundel, British Library

This principle admits a direct parallel in Pythagorean music 16 , where the series of twelve fifths

converges toward unity. To illustrate this correspondence, the Pythagoreans expressed harmonic ratios

in terms of frequencies. They observed that the perfect fifth, fundamental interval of the scale, is defined

by a ratio of 3/2 between two sounds.

Let f be the frequency of a fundamental note. The perfect fifth corresponds to the ratio 3/2. The note

located a fifth above has for frequency:

f(quinte) = (3/2) × f.

By chaining twelve successive perfect fifths, that is twelve intervals of ratio 3/2 applied one after

another, one obtains the twelve notes of the musical system which forms the complete cycle of sounds.

The starting frequency is therefore multiplied twelve times by 3/2, which gives:

f(12 quintes) = f × (3/2)¹².

However, after the addition of these twelve fifths, the pitch obtained exceeds the zone where the initial

note was situated. The result is found approximately seven octaves higher, since twelve fifths cover

roughly seven octaves. In music an octave corresponds to an interval whose frequency is double the

previous one (ratio 2/1). Thus, each octave multiplies the frequency by 2, and seven octaves correspond

to a multiplication by 2⁷.


To bring this frequency back into the same sound register, that is into the same range of pitch as the

starting note, it is therefore necessary to divide the frequency obtained after the twelve fifths by 2⁷:

f(normalized) = f(12 quintes) / 2⁷.

The normalized value obtained corresponds to the initial note replaced in its original register. The

ratio is:

(3/2)¹² / 2⁷ ≈ 1,0136.

This result is very close to 1, which shows that the series of twelve fifths returns practically to the

initial note. Thus, from the proportion of the human body to that of music and of nature, the same

principle of unity is manifested.

Leonardo da Vinci conceived nature as a divine work governed by laws of absolute perfection. A true

spirit of the Renaissance, he did not seek to oppose faith and reason, but to unite them in a single quest

for truth. In his writings, following Plato who said: « God is the measure of all things, far more than

man ever was, as Protagoras says 56 », Leonardo affirmed that natural forces are only the instruments of

the divine will.

This conviction appears in the note of the Codex Arundel, f 155v, British Library:

«O mirabile necessità! Tu costringi ogni effetto ad essere il risultato di sua causa; e per una legge

breve, severa e immutabile, disponi ogni azione naturale.»

«O marvelous necessity! You constrain every effect to be the result of its cause, and by a brief, severe

and immutable law you dispose of every natural action. »

By these words Leonardo proclaimed that the movement of the cosmos participates in divine harmony.

In this same perspective he noted in the Codex Atlanticus, F 273r, Biblioteca Ambrosiana:

«Io t’ubbidisco, Signore, prima per l’amore che ragionelemente portare ti debbo, secondaria che tu

sai abbreviare o prolungare le vite a li omini. »

« I obey you, Lord, first through the love that I reasonably owe you, then because you alone can

shorten or prolong the lives of men. »

These words reveal in Leonardo the recognition of a higher order, intelligible and perfect. His deep

and reflective faith arose less from religious devotion than from a meditation on the order of the world.

He sought God in reason and experience, seeing in nature the expression of a creative intelligence.

Leonardo da Vinci also perceived the cyclicity of natural phenomena and the unity of the laws that

govern the heavens and the earth. A rigorous observer, he understood that celestial movements are

reflected in terrestrial transformations, tides, seasons, the growth of living beings. In the Codex Leicester

(folio 9r) he shared his observations:

«L’acqua ritorna per i medesimi luoghi, crescendo e diminuendo per i corsi del sole e della luna.»

“Water returns by the same places, growing and diminishing according to the courses of the sun and

the moon.”

This observation expresses a cyclical and mechanical vision of nature in which the stars act upon the

elements according to physical and measurable laws. In this, Leonardo joined the spirit of the ancient

Egyptians who observed the periodic return of the star Sothis (Sirius) as the sign of the renewal of the

seasons and of the cycle of life 7 .


However, Leonardo distinguished himself profoundly from the superstitious beliefs of his time. He

condemned the court astrologers, diviners, chiromancers and other readers of omens, whom he regarded

as impostors falsely claiming science. He formulated this idea in the Codex Arundel, folio 176r, British

Library:

«Gli astrologi fanno professione di predire i fatti futuri degli uomini, dicendo che essi nascono dalle

stelle; ma io dico che, se così fosse, non sarebbe in noi libero arbitrio, e per conseguenza non ci sarebbe

scienza né ragione. »

«Astrologers claim to predict the future actions of men, saying that they arise from the stars, but I say

that if that were so there would be no free will in us, and consequently neither science nor reason. »

The study of reality thus became for Leonardo a spiritual act. He was convinced that reason and art

could raise man toward God. Thus, he made knowledge and creation the paths of an ascent toward the

divine. He expressed this conviction in the Codex Arundel, folio 155r, British Library:

«Quella scienzia è più utile della quale il frutto è più simile a quello di Dio; e così la pittura è di tal

genere, perché essa è cosa mentale, e per conseguenza partorita da Dio. »

«This science (painting) is the most useful, whose fruit most resembles that of God, and thus painting

is of that kind, for it is a thing of the mind and consequently engendered by God. »

2.4. The Vitruvian Man, a purely geometric construction

Even before conceiving his Vitruvian Man, Leonardo da Vinci had undertaken an immense

preparatory work. His notebooks reveal an accumulation of measurements, dissections and observations.

He scrutinized the human being in the smallest anatomical details, calculated the ratios between

segments and compared theory with the reality of the body. His drawings bear witness to a quest for

harmony that governs the proportions of the human body.

Following the principles set out by Vitruvius, Leonardo first copied the statement of the architect’s

text, in which the measurements of each part of the body were described. He then added his own

observations and notes, comparing the theoretical values proposed by Vitruvius with those he measured

on the human body.

To establish his figure, Leonardo drew several horizontal segments intended to mark the principal

divisions of the body, one at the level of the neck, another at the height of the thorax, another at the level

of the pubis and a final one at the height of the knees. These reference lines, visible on the drawing,

served to measure the length of the different parts of the body and to verify their proportional ratios.

His notebooks dated from 1489 to 1498 bear witness to a reflection between anatomy, the mechanics

of movement and the mathematical principles of equilibrium. He observed (Anatomical Manuscript A,

f. 2r, Royal Library, Windsor Castle):

«Il movimento delle membra è governato dalle proporzioni.»

« The movements of the body are governed by proportions. »

The geometric analysis of the drawing reveals an internal organization of great precision (figure 30).

The choice of fractions used by Leonardo, expressed on a base of 120 divisions, makes it possible to

obtain precise and harmonious ratios in the structure of the body and of space.


Figure 30. Geometric construction of the Vitruvian Man, Da Vinci

Gallerie dell’accademia of Venise

The positioning of the principal joints of the Vitruvian Man, combined with the segments drawn by

Leonardo on the body, constitutes the anchoring points of a geometric system. This arrangement obeys

a law of projection which generates right angles converging toward significant points of the drawing.

Indeed, if one draws a segment from the right hand placed in three-quarter view and situated precisely

on one of the points of intersection between the circle and the square, to the center of the body at the

level of the neck, it forms a right angle with the segment that runs from the middle of the neck to the

inner extremity of the right foot in extension (see blue segments).

Likewise, the segment that links the left hand in three-quarter view to the middle of the segment that

marks the bust forms a right angle with the segment that links the middle of the bust to the outer extremity

of the left foot in extension (see violet segments).

Moreover, the segment that runs from the middle of the top of the head to the extremity of the

horizontal left hand forms a right angle with the segment that runs from this latter point to the inner

extremity of the left foot in extension. Another right angle is formed by drawing a segment from the top

of the head to the outer extremity of the right foot in extension (see red segments).

In a symmetrical way, the one that runs from the top of the head to the extremity of the horizontal

right hand forms a right angle with the segment from the top of the head to the outer extremity of the

right foot in three-quarter view (see green segments). Finally, the segments that link the top of the head

to the outer extremities of the extended feet, when aligned with the central axis of the body, form two

equal right angles which ensure the equilibrium and symmetry of the figure.

Among the instructions stated by Vitruvius appears the following:

“If you spread your legs so as to diminish your height by one fourteenth and extend and raise your

arms until the tips of your fingers reach the height of the top of the head, know that the center of the

extended limbs is located at the navel and that the space between the legs forms an equilateral triangle.”

Yet in his drawing Leonardo did not strictly follow this indication. He corrected it. After having

studied the anatomy of man he observed that the navel is not situated at the middle of the body. He

displaced the center to the level of the pubis. This slight shift was indispensable to the geometric

coherence and anatomical fidelity of the figure.


It is from this center that the equilateral triangle mentioned by Vitruvius is naturally formed. Its base

corresponds to the inner extremities of the extended feet and its apex is situated exactly at the center of

the pubis. The triangle is not centered at the middle of the body because the legs are slightly in movement.

This subtle displacement bears witness to the dynamics of living form. Finally, if one prolongs the

segment drawn by Leonardo at the level of the knees another equilateral triangle is formed inside the

first.

This subtle equilibrium between geometric rigor and anatomical observation manifests the full

complexity of the approach. Leonardo knew the human body intimately, having observed and studied it

in the smallest detail. He understood gravity, the tension of the muscles, the resistance of the bones and

the balance of the masses. Each position, each inclination of the torso, each support of the foot

corresponded to a measured reaction throughout the body. If the arm was raised the weight shifted, the

axis corrected, the hip compensated. This awareness of movement and forces gives his drawing a real

stability, almost living.

In this constant correspondence between the movement of the body and measurement emerges the

invisible armature of a mathematical order. All these ratios reveal an underlying geometric grid governed

by an internal harmony that organizes the body into a proportional and balanced whole. Such a

conception bears witness to a rare mathematical ingenuity. Leonardo succeeded in making the rigor of

calculation coincide with the complexity of the living body. He simultaneously resolved a set of metrics,

angular and proportional constraints while unifying in a single structure the requirements of

measurement and those of nature. The representation of the body of the Vitruvian Man thus became a

true geometric demonstration.

Through this scientific approach Leonardo da Vinci solved the problem posed by Vitruvius, but

without ever revealing the solution. His followers, such as Bernardino Luini, copied or reused his

notebooks without grasping the geometric logic of the drawing. The Codex Huygens 57 , produced around

1570 by the Milanese painter Carlo Urbino, attests to this. This manuscript gathers numerous drawings

that reprise and comment on Leonardo’s studies, including the Vitruvian Man itself (figures 31). But far

from rediscovering the clarity of the master these copies bear witness above all to a laborious and

unfinished search, a sign that his imitators failed to grasp fully the solution that Leonardo had given.

Figures 31. Codex Huygens, Carlo Urbino, Fol.6 et 7, 1560/1570

3. Leonardo’s da Vinci Sculptural Project of the Ideal Horse

3.1. Historical Context

Leonardo da Vinci conceived his Vitruvian Man in Milan, while he was in the service of Duke

Ludovico Sforza. It was in this intellectual and artistic environment of exceptional richness that he

undertook his research on the proportions of the human body. It was precisely within this period of


intense scientific and artistic activity that Leonardo met the mathematician and Franciscan friar Luca

Pacioli. Around 1496 the latter was summoned to Milan by Ludovico Sforza 58 . There he met Leonardo

da Vinci, already active at the court for more than a decade. The two men formed a friendship and

collaborated closely between 1496 and 1499. Contemporary sources report that they resided in the same

house 59 , situated near Santa Maria delle Grazie, the very place where Leonardo painted The Last Supper.

This proximity favored sustained intellectual collaboration centered on the study of proportional ratios,

perspective and geometry.

In 1498 Pacioli composed his great treatise De Divina Proportione, devoted to the divine proportion,

to the golden ratio. He stated:

«Questa proporzione noi chiamiamo divina, perché simile a Dio ;e nelle opere di Dio si trova, e

principalmente nel corpo dell’uomo,che si può dire modello e misura d’ogni cosa creata. »

« We call this proportion divine, because it resembles God; one finds it in all the works of God, and

principally in the body of man, which may be considered the model and measure of all created things. »

Leonardo personally illustrated the treatise by producing the regular and semi-regular polyhedra,

drawn with remarkable geometric rigor and intended visually to demonstrate the construction of the

golden ratio 29 . In his preface Pacioli explicitly thanked him:

«A Leonardo da Vinci, excellentissimo pittore et perspectivo, devo le mirabili figure che adornano

questo libro. »

« To Leonardo da Vinci, most excellent painter and perspectivist, I owe the marvelous figures that

adorn this work. »

This collaboration deeply marked both men. Pacioli regarded Leonardo as “il più gran maestro della

geometria applicata all’arte 59 , the greatest master of geometry applied to art. It is likely that the choice

of Leonardo to illustrate his work was not accidental. The Tuscan genius had already been pursuing for

several years a parallel reflection on the proportion of the human body, of which the Vitruvian Man

constitutes the synthesis. This celebrated drawing, produced around 1490–1492, formed part of an

approach in which the human figure became the very model of measurement and universal harmony.

Leonardo and Pacioli thus shared this common vision of a rational order inherent in every form of

perfection.

This affinity between Leonardo and Pacioli also took root in the Franciscan intellectual tradition.

Leonardo himself alluded in the Codex Arundel to two major figures of this tradition. In Codex Arundel,

71v he mentioned: “Rugieri Bacon fatto in istampa”, which corresponds to Roger Bacon 60 , philosopher,

scholar and English alchemist of the thirteenth century, regarded as one of the precursors of the

experimental method. He also cited “Cerca in Firenze della Ramondina” in Codex Arundel, 192v,

which refers to Ramon Llull, Catalan theologian and missionary. Both belonged to the Franciscan order

and sought to unite faith, reason and science in the understanding of the world. Bacon advocated

knowledge founded on observation and experience, while Llull conceived in his Ars magna 61 a

geometrical and spiritual logic intended to reveal the divine order of creation.

These references bear witness to the interest Leonardo showed for this mode of thought in which

measurement and geometry are perceived as paths toward truth. In this context his closeness with the

Franciscan friar Luca Pacioli and his insertion in the religious circles of Milan, as is shown notably by

the commission of the Virgin of the Rocks 62 for the Franciscan confraternity of the Immaculate

Conception, link him fully to this intellectual tradition.

Moreover, Leonardo shared with the disciples of Saint Francis a taste for simplicity and detachment

from wealth. He often mocked the vanity of luxury and the futility of power, opposing to them sobriety,

contemplation and the work of the mind. For him (Codex Arundel, folio 155 recto, British Library):


«Il più nobile diletto è la gioia dell’intendere.»

« The noblest pleasure is the joy of understanding. »

In the Codex Trivulzianus, f. 86r, he shared a note on the vanity of man:

«O vana speranza, quanti ti seguono e quanti ti perdono!»

« O vain hope, how many follow you and how many are lost in your wake! »

And elsewhere on the same folio:

«O misera umanità, di quante cose ti rendi schiava per vile guadagno!»

« O miserable humanity, how many things enslave you for a paltry gain! »

At this same period Leonardo was working on his project of the ideal horse intended to honor the

memory of the father of Duke Ludovico Sforza 63,64 , a project to which he applied the same principles of

equilibrium and proportion as those developed in the conception of the Vitruvian Man. He declared in

the Codex Madrid II, 2r:

«Farò un cavallo di bronzo, grande, che non fu mai fatto di simile grandezza, e di proporzioni

perfette.»

« I shall make a horse of bronze, large, such as never has been made of similar size, and of perfect

proportions. »

3.2. The Pursuit of Perfection trough Drawing

Commissioned in the early 1480s this first equestrian project occupied Leonardo for more than a

decade. After many years of studies, he produced a plaster model presented in 1494 on the marriage of

Bianca Maria Sforza with Maximilian of the Holy Empire. At the sight of this model the poet Piattino

Piatti, friend of the duke, composed a poem in homage to this work 65 , he compared Leonardo to the great

sculptors and painters of antiquity, emphasizing how much this model represented a search for

equilibrium and perfect proportions worthy of ancient ideals.

To succeed in conceiving a horse with the aim of surpassing the great models that preceded it, from

Donatello’s Gattamelata to Verrocchio’s Colleone, Leonardo filled his notebooks with observations,

sketches and calculations which constituted true research laboratory 66 . Each drawing aimed to define

with extreme precision an anatomical part of the animal. Leonardo’s ambition was to combine the most

remarkable elements observed in different horses 67 , to create a horse that was both real and imaginary.

The abundance and diversity of his studies bear witness to the magnitude of this graphic enterprise.

Leonardo multiplied views from every angle and experimented with various materials, charcoal, black

chalk, red chalk, to explore volumes, muscular dynamics and the effects of light. This research resulted

in an exceptional drawing in red chalk identified as the most accomplished version of the ideal horse 68

(figure 32).


Figure 32. Ideal Horse, recto, 45,3 cm x 27,5 cm

Red Chalk drawing, Private Collection

Da Vinci

On the reverse of this drawing is another study depicting a horse executed in a freer and more

spontaneous manner (figure 33). It is a sketch probably made from direct observation in the stables, as

in several of Leonardo’s studies preserved today at the Royal Collection Trust in Windsor (figures 34).

Leonardo frequently reused his sheets, drawing on both the recto and the verso, which attests to a

constant practice of observation 69 . He also had the habit of cutting his sheets. One can see that part of

the horse’s head is missing, as in the drawings below from the Royal Collection Trust.

Figure 33. Verso Ideal Horse Figures 34. Studies of horses, Codex Windsor, Rcin 912309,

Rcin 912312

The technique used in the drawing of the Ideal Horse is strictly identical to that observed in several

studies by Leonardo preserved at the Royal Collection Trust. In the study of the child (figure 35), that of

the dog (figure 36), the nude man seen from the back (figure 37), and in a study of a horse (figure 38),

Leonardo used red chalk, a medium he mastered with exceptional precision, to model forms with

suppleness and to give them a striking physical presence. The contour, laid down with a continuous and

fluid gesture, varies according to the light, pressed more firmly in shadow and lightened in illuminated

areas. It is through this modulation of the line that a play of shadow and light is established, where

volume emerges from the very breathing of the stroke. This contour defines the optical and anatomical

structure of the subject, the visual framework of the body and its orientation in space.


Figure 35. Study of a child

Figure 36. Study of a dog

Figure 37. Nude man from the back

Figure 38. Study of a horse

In the drawings above, as in the study of the Ideal Horse, the modelling is then constructed through a

network of oblique and curved hatching applied in several successive passes (figure 39). Their

orientation depends on anatomical relief, the movement of the body, and the direction of the light. These

hatchings, which reveal the internal dynamism of the model, express the tension of the muscles, the

weight of the masses, and the continuity of the planes. The bundles tighten in areas of pressure and open

in areas of release, according to the functional logic of the body. In these studies, Leonardo adjusted the

pressure of the stroke denser over bony protrusions, lighter over soft flesh. He also occasionally softened

transitions with a slight blending, applied with the finger or a stump, without erasing the tooth of the

paper. This method creates a diffuse yet precise modelling based on the variation in pigment density.


Figures 39. Details of modeling and hatching networks in Leonardo da Vinci’s red chalk studies

In the study of the ideal horse, the reserved highlights are distributed with remarkable exactness

(figures 32, 39). They correspond to the areas where light glides across the relief, the withers, the croup,

the chest, the spine, and contribute to the overall balance of the form. Their role is to allow the material

to breathe. Leonardo exploited the tone of the support as a luminous source, he played with the tint and

texture of the paper to create an internal light that seems to emanate from the body itself. This technique

gives the drawing a vibrant presence, where light becomes a means of construction as much as

perception. It is one of the most characteristic principles of Leonardo da Vinci, which no disciple ever

equaled.

The Horse’s Head (figure 38) preserved at the Royal Collection Trust (Codex Windsor) fits exactly

within this method. Attributed to Leonardo da Vinci since always, it comes from the collection of

Francesco Melzi, direct heir to the master’s drawings, then passed to the sculptor Pompeo Leoni, then to

Thomas Howard, Earl of Arundel, before being acquired by King Charles II, around 1690. This chain of

provenance, perfectly documented, links the sheet to the Leonardian corpus. It was only in the twentieth

century, in the 1930s, that the historian Kenneth Clark proposed a reattribution to Cesare da Sesto, based

on the rightward inclination of the hatching. Such a hypothesis, purely formal, belongs to a critical trend

of the time that sought to reduce the autograph corpus of Leonardo by attributing a significant part of his

studies to his students. Numerous sheets manifestly autograph were thus unjustly excluded, which

weakened the understanding of Leonardo’s graphic work⁷⁰. Yet, when replaced in the context of

Leonardo’s activity, the Horse’s Head (figure 38) naturally finds its place.

Leonardo da Vinci devoted nearly fifteen years to the study of the horse, from the research for the

Sforza monument to the projects for the Trivulzio monument, multiplying anatomical and mechanical

analyses of movement. He even undertook the writing of a complete treatise dedicated to the animal,

intended to accompany the monumental horse project. This work, mentioned by his contemporaries and

evoked in his notes, was unfortunately lost⁶⁶. It survives only through a few scattered leaves and

preparatory studies preserved at Windsor.

After the death of Leonardo da Vinci in 1519, his pupil Francesco Melzi took with him to Lombardy

most of the master’s notebooks and drawings⁷¹. These thousands of folios contained studies of anatomy,

mechanics, geometry and proportions, which were jealously kept in Melzi’s villa at Vaprio d’Adda until

his death, around 1570, then gradually dispersed by his descendants, who understood neither their value

nor their scientific significance.

A large portion passed into the hands of the Milanese sculptor Pompeo Leoni⁷², in the service of the

king of Spain Philip II, who reorganized the whole, arranging, cutting and mounting the pages to form

vast volumes, today known as the Codex Atlanticus, Codex Madrid and Codex Windsor. This operation


also caused the physical and thematic dispersal of the sheets, many of which were sold or given to Italian

and foreign collectors.

Carlo Pedretti notes that « certain studies of horses in red chalk, mentioned in ancient inventories,

must have been detached from Leoni’s volumes and are today lost or unlocated⁷³. »These lost studies

appear in the inventories drafted after Leoni’s death, preserved in the collections of the Biblioteca

Ambrosiana in Milan and the palace of El Escorial⁷⁴. Several entries mention “drawings of horses” and

“studies of limbs in motion,” which likely circulated independently of the volumes before passing into

private Italian collections, then to England⁶⁹.

In the seventeenth century, the great English collector Thomas Howard, 14 th Earl of Arundel,

assembled in London one of the most important art collections in Europe⁷⁵. It included notably numerous

drawings by Leonardo da Vinci. The diarist John Evelyn⁷⁶ noted in his journals: « drawings and

manuscripts by Leonardo da Vinci filled with studies of movement, anatomy and mechanics. » In a

contemporary letter, William Petty also mentioned⁷⁷: « drawings in red chalk representing the parts of

the body and the mechanisms of movement. »

After the death of the Earl of Arundel in 1646, his heirs began selling large portions of the collection,

some manuscripts joining the Royal Collection, such as the Codex Arundel, now at the British Library,

and several drawings preserved at Windsor, while other lots went onto the London art market⁷⁸. Evelyn

noted the visit of “many visitors from the former Low Countries,” who came to view or purchase Italian

drawings. In the following century, London auction catalogues continued to record Italian sheets “from

the collection of the late Earl of Arundel,” acquired by dealers from Amsterdam and Antwerp. Historians

Francis Haskell and Nicholas Penny summarized this circulation⁷⁹: “Part of the drawings from the

Arundel collection passed into the hands of Dutch and Flemish dealers active in London, including the

Uylenburgh family⁸⁰, who traded between Amsterdam, Antwerp and Brussels.”

The specialist Carlo Pedretti, who devoted a large part of his life to the study of Leonardo’s

manuscripts, recalled that this dispersion “shattered the coherence of Leonardo’s graphic work, so that

what belonged to a single treatise ended up separated across countries and centuries.” He also stressed

that the absence of provenance should not cast doubt on the authenticity of a sheet, for many autograph

drawings known today, notably in Turin, Florence or Windsor, resurfaced after several centuries of

oblivion and may still reappear in private collections⁶⁹.

The examination of the current Leonardian corpus reveals indeed an abundance of sketches and

analytical studies on the theme of the horse, often drawn with pen or black chalk, intended to explore

proportions, movement mechanics or muscular structure. By contrast, fully constructed studies in red

chalk are exceptionally rare. Yet this stage aligns logically with the continuity of his practice. Leonardo

experimented successively with each medium to exploit its properties⁸¹. Red chalk, by its suppleness and

its ability to unify line and light, allowed him to approach the question of modelling with a precision that

neither pen nor black chalk could offer.

This experimental approach is manifest in a drawing preserved at the Royal Collection Trust, which

represents the body of a horse in profile, executed in metalpoint on blue-prepared paper with white

heightening (figure 40). In this study, Leonardo attempted to render volume through the sole contrast of

metal and heightening, but the result remains limited, as this medium did not allow him to obtain the

density nor the fluidity of modelling he sought. The transition toward red chalk thus appears as a

necessary step in the natural progression of his research, as demonstrated in his studies of the human

body, where each medium serves a specific analytical purpose. He stated in his Treatise on Painting³¹:

«I pittori debbono avere conoscenza dei colori e de’ loro misti, e de’ varii modi del disegno, sì col

carbon nero come col gesso o pietra rossa.»

« Painters must know the colors and their mixtures, as well as the various means of drawing, in black

charcoal, in chalk, or in red stone. »


Figure 40. Étude du corps du cheval de profil, Rcin 912289

da Vinci,Royal collection Trust

The extreme attention that Leonardo devoted to the representation of the horse, and the long series of

studies he dedicated to it, may be explained not only by his scientific interest and his genuine attachment

to the animal, but also by the major role the horse occupied in the culture of his time.

At the Renaissance, the horse played a major role in visual and political culture 67 . In the great

equestrian commissions, such as those of Ludovico il Moro, the horse embodied military power, nobility

and the rank of its rider. The animal was conceived as an extension of the prince, its strength and bearing

reflecting those of its master.

Leonardo da Vinci’s horses are imposing, with powerful necks, a frequent detail is the cut or shortened

tail. Caudectomy was a common practice in the Renaissance to prevent the tail from hindering the rider

during combat or hunting (figures 41).

Ideal Horse, Private Collection

Studies of horses, Royal Library

The imposing neck of Leonardo da Vinci’s horses

Studies of horses

Museum of Louvre

Tail docking

Study of horse

British Library

Figures 41


The drawing of the ideal horse, which may be considered as a true pre-sculptural study, corresponds

to an advanced stage. In this respect, it provides valuable information on the way Leonardo conceived

sculpture, its monumentality and especially his spatial conception. Leonardo implemented a perfectly

mastered perspective through a precise internal organization that gives the composition real threedimensional

depth. The sketched base on which the horse stands is slightly inclined and seen from above,

which places the viewer below and accentuates the sensation of height (figure 42). This device enables

the equestrian figure to dominate visually, as it would in public space upon its pedestal.

This base was sketched using zigzag hatching, like that of the portrait of Cesare Borgia (figure 43).

This rapid technique allowed him to cover areas or indicate shadows while sometimes concealing earlier

sketches, the sheets being frequently reused.

Figures 42. Ideal Horse

Private Collection

Da Vinci

Figure 43. Portrait of Cesare Borgia

Inv.15573, Royal Library of Turin

Da Vinci

3.3. The Geometry of living forms, from man to animal

Leonardo inherited a visual context shaped by the tradition of the monumental horse, but he developed

a personal vision founded on a far more advanced anatomical approach, derived from direct observation

and scientific study. He transposed into it the same principles that he applied to the human body.

Like for the Vitruvian Man, Leonardo began by constructing a precise geometric structure, in which

the body of the animal is inscribed within a network where each part is determined according to rigorous

proportional ratios. This method appears in a drawing devoted to the study of a horse, entirely governed

by internal geometric relationships (figure 44). Each segment corresponds to precise mathematical

proportions, demonstrating that the figure results from a rational construction prior to any artistic

intervention.

Figure 44. Study of horse, Codex Madrid II, folio 151v.


The hindquarters of Leonardo’s horses are organized according to a circular structure whose center

corresponds to the hip joint (figure 45). This geometric device reflects the real functioning of the hind

limb, propulsion resulting from a rotational movement around this point. The circular line that links the

hip, the thigh and the hock reveals the internal dynamics of movement.

Ideal Horse, Private Collection

Studies of horses, Royal Library of Turin

Figures 4. Da Vinci

Leonardo’s objective was to reveal the existence of a universal harmony shared by all living forms,

whether the human body, the animal world, music, or nature itself. He applied the same geometric

principles and the same laws of proportion to the horse as to the Vitruvian Man. The superimposition of

the two figures (figure 46), although their absolute measurements differ, reveals that they share the same

proportionality. The framework of lines drawn by Leonardo on the Vitruvian Man serves as a rule for

both bodies. Each segment meets an anatomical reference point of the horse, as though a single

mathematical grid ordered the anatomy of both beings. This correspondence recalls the principle stated

by Vitruvius according to which « man is the measure of all things 40 . » The human body here becomes

the standard by which Leonardo evaluates and harmonizes the body of the horse.

Figure 46. Transparent juxtaposition of the Ideal Horse and the Vitruvian Man


Indeed, the height of the base of the man’s neck coincides with the withers of the horse. The line of

the torso meets the croup, the line of the pubis corresponds to the junction of the two forelimbs, and the

line of the knees falls at the level of the carpus of the flexed foreleg. The center of the horse, that is, half

of its height, is located at the level of the man’s navel. It also corresponds to the level of the animal’s

pubis, that is, the midpoint of its body just as in the Vitruvian Man (figures 46,47).

Figure 47. Drawing of the anatomy of the horse, position of the pubis

Many studies by Leonardo, on human and equine proportions, are found on the same sheets, which

demonstrates a comparative approach (figures 7, 48). Taking up the idea expressed by Aristotle 34 ,

according to which the legs of man and those of the horse share an analogous structure, the knee of the

man’s right leg, set apart, meets that of the horse’s right foreleg, while the left joined foot of the man

aligns with the flexed left hind hoof of the animal.

Verso

Recto

Figures 48. RCIN 912304, Windsor collection, Da Vinci

On the same sheet, studies of equine and human proportions

Thus, through this anthropometric conception, derived from the Vitruvian model, Leonardo illustrates

the idea that the internal ratios of the human body embody the rational order of the world and may be

applied to any construction, whether architectural, mechanical or artistic.

This drawing also bears the imprint of Leonardo’s anatomical rigor. The horse is represented in

motion, one foreleg raised and the other perfectly extended, while the head turns upward to the right.

Indeed, in the horse, the cervical vertebrae do not allow a purely vertical elevation of the skull. To raise


its head, the horse must combine an extension and a lateral rotation of the neck. This movement produces

a tension throughout the body, which causes the medial saphenous vein to appear prominently along the

extended leg, visible beneath the skin (figure 49). This anatomical detail, rendered with remarkable

accuracy, attests to Leonardo’s scientific precision. The muscular tension and the ascending line formed

by the neck and the head define the maximal measurable height of the horse, without breaking the

balance of the movement. Leonardo thus conveys, with the precision of an anatomist, the tensions and

internal structures of the animal.

However, this horse remains an idealized creation. Leonardo, while relying on rigorous observation

of reality, adjusts certain details to make it a sculptural work. This is why the curvature of the hoof is

raised to ensure the stability of the whole, in accordance with an equestrian tradition inherited from

Antiquity and taken up by the masters of the Renaissance.

Figure 49. Ideal Horse, medial saphenous vein

3.4. The mastery of matter and movement

In the conception of this large-scale sculptural project, Leonardo combined the science of proportions

with a true reflection on engineering, where the mechanics of the animal body become the model of a

living, stable and rational architecture. Conceived according to a rigorous geometrical and mechanical

planning, this undertaking aimed at structural solidity, the control of masses and the overall balance of

the composition. Leonardo thus organized the whole around an orthogonal grid, which divides the

surface into proportional modules, and defines reference axes, which serve for the placement of volumes

and the orientation of internal forces.

In his studies on equine proportions (figure 50), Leonardo established that the span of the horse’s head

and neck represents about 30% of its body. This proportional distribution, which appears in the study of

the ideal horse, forms the basis for the conception of the body, like a balanced force system governed by

the laws of static mechanics. Thus, the croup and the hindquarters, which ensure resistance, occupy 60%.

The remaining 10% constitute a zone of mechanical transition, which absorbs opposing forces, connects

the masses and ensures the continuity of constraints between the traction of the front and the push of the

rear. The withers act as a pivot.

This ratio of 1/2 between the front and rear masses corresponds to a mechanical principle observed in

systems of leverage and weight distribution. A small force applied to a short arm can balance a larger

mass on an arm twice as long, thereby ensuring a stable equilibrium. On the ideal horse, the tension of

the neck (traction), which opposes the push of the hindquarters (compression), generates a stable

mechanical moment and continuous dynamic compensation.


Figure 50. Study horse’s proportion,

Rcin 912319, Codex Windsor

Da Vinci

From this rational organization arises, in the study of the ideal horse, a true geometric framework,

composed of two equal right triangles, which structure the composition (figure 51). The first connects

the head to the supporting foreleg, the second the withers to the croup and hindquarters. Their right

angles lock the direction of the loads, and their hypotenuses converge toward a single gravitational point,

located in the lower part of the central vertical axis. This static node concentrates the vectors of traction,

compression and reaction. All the principal lines, the neck, the back, the limbs and the croup, converge

there. This point acts as a pivot for the redistribution of mechanical forces toward the supports. Through

this convergence, the forces partially cancel each other, those pulling forward and those pushing

backward compensate each other. This balance allows the horse to maintain a stable and harmonious

posture.

Figure 51. Geometric framework of the Ideal Horse

The hindquarters, conceived according to a circular geometry, complete this structure. The croup,

which forms an arc of rotation centered on the hip joint, acts as a lever of propulsion. This curvature

transmits the linear forces of the back in the form of rotational movement, which ensures the forward

thrust. In mechanical terms, this zone functions like a natural pulley, stabilizing the posterior mass while

compensating for the loads generated by the tension of the neck. The entire body thus behaves like a

living triangulated beam, organized around a gravitational point and supported by a circular base of

rotation. This conception reflects Leonardo da Vinci’s assimilation of the works of Archimedes 82 . Thus,


beyond the equestrian representation, this drawing reveals an engineer’s way of thinking fully integrated

into artistic creation. Each line responds to a precise structural function, which makes this study a true

modelling of statics. It anticipates the technical constraints of the future bronze casting. This conception

corresponds to the mechanical principles formulated by Leonardo 83 in the Codex Madrid I, F 10v:

«Ogni peso che ha il suo centro di gravità sopra il suo sostegno non cade, ma quando lo passa cade,

e quanto più lo passa tanto più presto cade.»

« Any weight whose center of gravity is above its support does not fall; but once it passes beyond it,

it falls, and the more it passes beyond it, the faster it falls. »

4. The Anatomy of Nature

Between 1482 and 1499, Leonardo produced numerous anatomical and mechanical studies intended

to design a monumental bronze horse for Duke Francesco Sforza. These investigations, grounded in

geometry, mechanics, engineering, anatomy, and the physics of movement, already testified to his desire

to unite science and art. After the fall of the Duchy of Milan in 1499, Leonardo continued his studies of

the ideal horse, which he refined in the light of his discoveries in the fields of statics and applied

mechanics.

The drawing of the ideal horse marks a decisive stage in the evolution of his work. Around 1508 84 ,

Leonardo applied to the Trivulzio horse a more dynamic conception while reintroducing the anatomical,

mechanical, and geometric principles developed two decades earlier for the Sforza horse. Left

unfinished, this project reflects a more mature approach, extending the research undertaken for the

monument of the Duke of Milan.

To devote himself fully to this new sculptural project, Leonardo interrupted the execution of a

religious work (the Virgin, Saint Anne, the Christ Child and Saint John the Baptist), begun a few years

earlier, around 1501–1503 85 , in Florence. But upon the death of Marshal Trivulzio and in the face of

political instability in Milan, the undertaking was abandoned. Leonardo then returned to his research on

the Virgin and Saint Anne, around 1510/1513.

Scientific ultraviolet imaging carried out on the reverse of the ideal horse confirms this period of

artistic transition. A sketch of the Virgin, corresponding to the drawing preserved in the Louvre (figures

54, 55), appears. If it becomes visible under ultraviolet but remains invisible in infrared, this is due to

the presence of iron oxide in the pigment. The analyses conducted by the Université Pierre et Marie

Curie (UPMC/CNRS, ISTEP) confirmed a high concentration of iron oxide in the material, identified as

red hematite, frequently used by Leonardo. This compound strongly absorbs infrared radiation, while

reacting under ultraviolet light with a faint reddish fluorescence, which allows the drawing to become

perceptible 86 . This phenomenon was noted by the Italian scientist and conservator Antonino

Consentino 87 . It is more remarkable that the final panel preserved in the Louvre (figure 56) reveals, under

infrared imaging, a horse’s head (figure 57), which demonstrates the transition from the conception of

the Trivulzio horse to the elaboration of the religious painting.

These material and scientific indications help reposition, with new precision, the different stages of

Leonardo’s work and the chronology of his research. They testify to the contemporaneity of his studies,

carried out simultaneously in fields as diverse as sculpture, painting, mechanics, and cartography.


Underlying drawing of the Virgin

UV reflectography on the reverse of the Ideal Horse

Da Vinci

Revealing the underlying drawing

Figure 54

Figure 55. Preparatory drawings « The Virgin, Saint Anne and the Christ Child »

Da Vinci

Figure 56. The Virgin, Saint Anne and the Christ child

Da Vinci

Figure 57. Revealing the underlying drawing

Da Vinci

At the beginning of the sixteenth century, after having returned to Florence following his service with

Cesare Borgia, Duke of Romagna, Leonardo placed his skills as an engineer and cartographer at the


service of the Florentine Republic, which entrusted him with the study of the course of the Arno and its

possible diversions. This mission coincided with the first phase of work on The Virgin and Saint Anne.

In Florence, Leonardo found a city engaged in large-scale hydraulic engineering projects. Under the

gonfalonier Piero Soderini and the secretary Niccolò Machiavelli, the Florentine Republic was

considering diverting the course of the Arno to link the city to the sea and weaken the power of Pisa. As

early as the summer of 1503, a letter from Machiavelli explicitly mentioned his mission to study the

river and its possible diversions 88 .

Between 1503 and 1504, he produced several maps of Tuscany and of the Arno valley, today

preserved at Windsor (figures 58). These maps, of large dimensions, were executed in pen and ink, and

heightened with colored washes. Their support is a heavy-weight paper, thick and resistant,

corresponding to high-grade administrative papers, very different from those used in artists’ workshops.

Carte de la Vallée d’Arno, 27,5cm x 40,1cm

Rcin 912683, Royal Collection Trust

Da Vinci

Carte rivières et montagnes, centre d’Italie,

31,7cm x 44,9cm


Figures 58

The analysis of the paper of the study of the Ideal Horse, carried out by Stefano Fortunati, specialist

in ancient documents, in collaboration with Silvio Balloni, curator of the Ginori Lisci archives in

Florence, revealed that it was an administrative paper of the same type as that used in chanceries,

registers, accounting books and notarial studies for the drafting of official acts. Moreover, the format of

the sheet (45.3 × 27.5 cm) corresponds closely to that of the large topographical maps at Windsor (figures

58).

The use of these large notarial sheets, capable of absorbing-colored washes and supporting reworking

with the pen, suited perfectly the technical requirements of cartography as well as of his anatomical

research and preparatory drawings in red chalk. Its slightly grainy surface and density allowed for a fine

adhesion of pigment, favoring the modelling effects and subtle gradations he sought in his studies of

volumes and drapery. This robust paper, designed to last, thus offered Leonardo an ideal support for both

his scientific and graphic work.

This type of paper, several sheets of which used by Leonardo bear watermarks attributable to the mills

of Fabriano and more rarely of Foligno 89 , corresponds exactly to the high-quality production that

circulated in Tuscany.

Furthermore, the fact that this paper is of the same type as that used in registers and official acts gives

resonance to the presence in Florence of Leonardo’s father, Ser Piero da Vinci, notary of the Republic,

who died in 1504, when Leonardo was working on his maps and his major pictorial projects 90 .


The cartographies of Leonardo present a topographical accuracy verified by modern geographers.

Distances and orientations are represented with astonishing precision for the period, obtained by hand

and without any modern measuring instruments.

Leonardo succeeded in rendering the dynamics of relief, watercourses and winds, transforming the

map into a true living anatomy of the territory. He conceived the earth as an organism in motion,

governed by internal forces analogous to those of the human body. In his maps, rivers are the veins of

the earth, valleys its muscles and mountains its skeletal structure, while water plays the role of blood,

the vital fluid that irrigates and shapes the landscape. He formulated this idea, around 1504, in the Codex

Leicester, F.10.r.:

«Il sangue che scorre per le vene dell’uomo è simile all’acqua che scorre per le vene della terra;

come il sangue nutrisce e vivifica il corpo umano, così l’acqua nutrisce e vivifica la terra.»

« The blood that flows through the veins of man is like the water that flows through the veins of the

earth; as blood nourishes and gives life to the human body, so water nourishes and gives life to the

earth. »

This analogy reveals a profoundly unified conception. Through his representations of the territory,

Leonardo sought to reveal the physiology of nature, a system of balances and circulations in which each

element is bound to the other.

This idea is attested in the Codex Arundel, f.155 r.:

«Tutte le cose sono legate insieme da vincoli che l’occhio non può vedere.»

« All things are bound together by links that the eye cannot see. »

Thus, where Mesopotamia inaugurated the idea of measurement and the existence of a rational order

in nature, Leonardo advanced to a physiological and geometric reading of living matter.

Conclusion

Geometry and science were, for Leonardo da Vinci, the paths through which the human mind could

rise toward the knowledge of divine laws. His approach was founded upon a requirement that was both

moral and rational. Through reason and faith in a higher harmony, he sought to unveil the invisible forces

that govern the universe.

Through the Vitruvian Man, he revealed that the beauty of the world proceeds from order, measure,

and proportion, reflections of a divine harmony that the sages of Antiquity had already intuited. By

uniting mathematics with the observation of reality, he achieved the most accomplished demonstration,

that of an equilibrium in which man becomes the mirror and the measure of creation.

Thus, the Vitruvian Man does not only represent an ideal of proportions, but still today embodies the

affirmation of a universal principle, that of a living unity that links the human body, nature, and the

cosmos. Through this synthesis, Leonardo da Vinci stands as one of the most expansive minds of all

time, at once scientist, artist, and philosopher, for whom observation, experience, and reason lead to the

understanding of the supreme order of the universe.

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Arts et sciences


Arts et sciences, proximité

Sciences and arts, closeness

Jean-Claude Serge Lévy 1

1

MPQ UMR 7162 CNRS UPC jean-claude.levy@univ-paris-diderot.fr

RÉSUMÉ. Dans une perspective historique des rapports entre arts et sciences, on rappelle d’abord ce qu’est la

propagation en physique avant d’approfondir l’histoire des pavages, c’est-à-dire de l’occupation de l’espace, en art

comme en science, ce qui démontre de nombreux liens interdisciplinaires à toute époque, de la décoration aux

mathématiques, à la physique et la chimie et l’architecture, dans tous les sens. La considération de l’art et la science à

l’ère industrielle et notamment les musiques et leurs connexions possibles permet de conclure sur la réalisation de

nouvelles voies entre arts et sciences.

ABSTRACT. Starting from a global historical view of the links between arts and sciences we first focus on the physical

content of propagation, before looking at the long story of tiling and packing in art and science with questions and

comments on these numerous links between all disciplines. After looking at the connections between art and science at

industrial era, a word on the connections between different musical worlds enables us to conclude about how to improve

the paths between arts and sciences in the future.

MOTS-CLÉS. Propagation, art de l’islam, quasi-cristaux, agrégats, alliages à forte entropie, taille critique, tenségrité,

Street art, alliages à mémoire de forme.

KEYWORDS. Propagation, art of islam, quasi-crystals, clusters, high entropy alloys, critical size, tensegrity, Street art,

shape memory alloy.

1. Introduction

Comme son titre l’indique, cet article s’inscrit dans la suite d’un article récemment paru dans la

même revue 1 . Le présent article reprend l’approche d’histoire « globale » 2 de ces distances entre les

arts et les sciences, des disciplines nées toutes deux d’une étude approfondie de la nature qui nous

entoure, une nature dont nous faisons aussi partie.

Les finalités de ces disciplines sont différentes, les arts sont destinés à l’appréciation d’une

communauté d’amateurs, tandis que les sciences ont une visée universelle, pratique ou théorique, sous

le contrôle d’experts. Cette différenciation s’est accrue au cours du temps, avec l’accroissement de la

population et la structuration de plus en plus complexe de la société 3 . Donc la propagation des idées, à

l’intérieur d’une même discipline ou entre disciplines est devenue plus lente, voire problématique,

même si les moyens de propagation de tout signal se sont énormément développés. Ce problème de

propagation des concepts à travers la société et dans le temps sera donc l’objet d’une première partie,

1

L’article intitulé « Arts et sciences, des voies proches » est paru dans le volume 9 de la revue Arts et Sciences, aux pages 130-146

en 2025.

2

La notion d’« histoire globale » a été largement approfondie par Fernand Braudel (1902-1985) qui fut professeur au Collège de

France et qui a marqué le développement des sciences humaines en France après la fin de la seconde guerre mondiale. Ses ouvrages

principaux sont cités dans la bibliographie.

3

La complexité de la société « moderne » est particulièrement mise en évidence dans l’ouvrage « La distinction » de Pierre Bourdieu

(1930-2002) qui fut aussi professeur au Collège de France. L’ouvrage, cité dans la bibliographie, montre le besoin de se différencier,

au-delà des fonctions sociales strictes et le résultat est une mosaïque de personnalités.


avec une réflexion formelle et quelques exemples concrets qui montrent la diversité et la complexité de

ces phénomènes.

Dans l’article précédent, le problème des pavages, de l’occupation de l’espace, s’est révélé être un

problème central de cet interface entre art et science car il concerne de nombreuses formes de

structuration. Il reste ici à développer cette étude, d’une part sur un plan théorique : savoir quelles sont

toutes les conséquences d’un changement de structuration d’un groupe lors de sa croissance et ceci

qu’il soit constitué de nucléons interagissants, d’atomes ou d’êtres humains ou d’animaux ? Dans le cas

de la physique cette réflexion signifie toujours l’espoir de trouver de nouveaux matériaux mieux

adaptés par leur structure à de nouveaux emplois. C’est la perspective d’une recherche permanente,

d’une dynamique renouvelée qui s’ouvre. Sur le plan de la pratique artistique, la question qui se pose

est : comment ces modèles de pavage ont évolué au cours de l’histoire et se sont toujours adaptés aux

problématiques du moment ? Ces deux questions de dynamique sont l’objet de la deuxième partie.

Elles nous montreront le profond entrelacement des arts et des sciences dans leur actualité au point, un

exemple parmi tant d’autres, de donner le nom d’un artiste et architecte (Fuller) à des agrégats de

carbone ainsi nommés fullerènes. Ces observations largement reconnues ont valu à leurs découvreurs

le prix Nobel de chimie.

La troisième partie est consacrée à la connexion entre l’art et la science à l’ère industrielle, et

notamment à la musique, un art si scientifique.

La quatrième partie pose la question de l’animation présente et à venir de ces liens entre arts et

sciences en considérant trois cas types de situations actuelles qui se situent à la charnière entre arts et

sciences. Cela permet d’envisager des perspectives concrètes de progrès dans ces zones intermédiaires

peu reconnues.

La conclusion reprend le bilan de cet article et permet de réfléchir aux voies d’optimisation de ces

transferts de connaissance dans le futur proche.

2. La propagation ou la non-propagation des concepts dans une discipline et entre disciplines

Avant même de rappeler les modèles usuels de propagation en physique, ce qui constitue un cadre

concret de réflexion, il est quand même utile de revenir sur quelques cas de non-propagation. En effet

il arrive souvent que des groupes humains, à des lieux et à des époques différentes se posent des

questions semblables et y trouvent des réponses semblables, mais différentes, sans la trace d’un

quelconque échange entre ces groupes. Ce relatif isolement et cette indépendance dépendent

évidemment de la question qui ne doit pas être univoque, et aussi de l’état des communications entre

groupes à ce moment là. Nous allons donner quelques exemples de tels cas, dont certains ont été déjà

notés dans l’article précédent : les pyramides et les écritures, et le dernier, la notation musicale, sera

développé plus amplement plus loin dans cet article.

2.1. La non-propagation

Ce cas semble a priori curieux, c’est un cas limite, mais il est essentiel, comme le zéro parmi les

nombres. C’est en effet un point important de résoudre soi-même ses problèmes, indépendamment des

autres, voisins ou non. Bien sûr, l’éloignement physique et matériel, ici, l’absence de moyens efficaces

de communication, renforcent cet état d’indépendance.

2.1.1. Non-Propagation de la notion de pyramide

Un tel premier cas de figure a été déjà cité 4 . En effet de grandes pyramides sont apparues à peu près

simultanément en Egypte, dans de nombreux sites de ce qui est devenu le Mexique, et aussi dans des

4

C’est cité dans la référence 1.


sites de ce qui est devenu le Pérou, avec la civilisation Caral. Les hauteurs de ces pyramides sont

différentes, mais toujours importantes, leurs formes sont assez semblables avec des bases carrées dans

tous les cas, des pentes assez fortes, mais elles aussi différentes. La référence naturelle commune de

ces pyramides semble bien être la dune, dont la pente maximale est définie par les propriétés

mécaniques de ses constituants. De plus, des dunes existent dans les déserts proches de ces zones

habitées, ce qui a donc pu inspirer les architectes de ces pyramides. A cette époque si reculée, il semble

difficile de croire à une quelconque communication entre des peuples aussi éloignés. C’est donc un

premier cas très clair de non-propagation et de coïncidence approximative des idées.

Dans l’article précédent nous avons montré que pour obtenir les impressionnantes masses des

pyramides égyptiennes, des découvertes scientifiques avaient été effectuées et utilisées comme l’ont

montré le professeur Daniel Bonn et son équipe 5 . C’est un bel exemple de collaboration entre

scientifiques et artistes, ce qui semble fréquent aux premiers temps de l’humanité 6 où la société était

bien moins compartimentée qu’elle ne l’est aujourd’hui.

2.1.2. Propagation resteinte de l’écriture

Un deuxième cas de figure de non-propagation ou de propagation réduite, est celui de l’invention de

l’écriture, elle aussi déjà mentionnée dans l’article précédent, avec en particulier la référence à

l’exposition « La naissance de l’écriture » réalisée à Paris en 1982 et le texte associé 7 . Le langage parlé

a dû exister depuis très longtemps. Les animaux eux-mêmes utilisent des ensembles de sons

complexes, dont la signification de certains a même été analysée et comprise. Par contre les traces du

langage écrit dans l’humanité sont bien plus récentes. Le langage écrit a un potentiel de transmission

beaucoup plus important que l’oral, à la fois dans le temps et dans l’espace, une permanence.

Evidemment ce langage écrit est apparu par nécessité pratique, par exemple pour communiquer lors de

grands travaux collectifs, ou pour faire des échanges commerciaux entre plusieurs parties en laissant

des traces précises de ces accords.

Comme ils sont un support essentiel d’échange, les langages écrits se sont évidemment vite

répandus dans leurs sphères respectives d’influence. Différents centres économiques indépendants

existaient parfois à des distances atteignables par des commerçants nomades, aussi une telle

propagation pratique a conduit localement à produire des traductions entre ces différents langages,

comme c’est le cas des traductions inscrites sur la pierre de Rosette. Cette remarque signifie donc qu’il

existe à la fois des cas de propagation et des cas de non-propagation, faute d’intermédiaires, dans le cas

d’un grand éloignement.

A l’origine, le langage écrit est naturellement fait de dessins qui représentent symboliquement

l’objet, l’acte, voire le sentiment. Ce langage iconographique est donc très riche, très complexe,

puisque chaque idée nécessite une représentation. Ce langage se révèle ainsi à la fois puissant et aussi

réservé à une élite savante, les lettrés, les scribes, capables d’une si grande culture. L’individu

5

Précisément, le physicien néerlandais Daniel Bonn et son équipe ont publié en 2014 dans la fameuse revue scientifique « Physical

Review Letters » à propos de la modification du coefficient de frottement du sable lors de son humidification, l’élément important

de l’opération, l’article intitulé « Nonuniversality in the Pinch-off coefficient of yeld stress fluids : rôle of non-local rheology » (PRL

113, 218302 (2014). Cet article récemment complété par un suivant (PRL 134, 176202 (2025) eut un retentissement international

avec des articles de commentaires dans « The Washington Post » et « The Huffington Post » notamment, des journaux d’intérêt

général mondialement connus, car ce travail révélait toute la qualité technique et scientifique insoupçonnée de ces constructeurs

antiques.

6

Les peintures des grottes préhistoriques témoignent d’une incontestable maîtrise technique et scientifique des matériaux et d’un

art efficace largement reconnus. Picasso et d’autres peintres à sa suite s’en sont inspirés.

7

L’exposition « Naissance de l’écriture : cunéiformes et hiéroglyphes » aux Galeries nationales du Grand Palais a eu une large

audience. Jean-Paul Boulanger et Geneviève Renisio en étaient les commissaires, Béatrice André-Lecknam et Christiane Ziegler les

auteures du catalogue. Cette exposition a suscité un vif intérêt pour cette transition, bien au-delà de ces pays.


ordinaire a, lui, besoin d’une version simplifiée, réduite, de ce langage, une version qui corresponde

directement à son langage oral. Du coup, en général, des versions de langage écrit proches du langage

oral, c’est-à-dire faites d’assemblages de phonèmes eux-mêmes décrits par quelques lettres, sont

apparues dans la pratique et ont progressivement supplanté les versions iconographiques trop

complexes.

Le Moyen Orient réunissant de nombreuses anciennes civilisations comme l’Egypte, la

Mésopotamie et les pays proches, à la fois indépendants et en communication commerciale avec leurs

voisins, a été un berceau de ces nouvelles versions phonétiques de langage écrit. Les pays d’Amérique

ont dû connaître la même transition entre un langage écrit iconographique et un langage écrit

phonétique qui s’est peu à peu imposé. Par contre, la Chine a toujours conservé son langage écrit

iconographique et aussi sa structure sociale très hiérarchisée, les deux points étant probablement

corrélés. Mieux, la Corée et le Japon ont aussi conservé cette écriture en sinogrammes. Là encore la

longue pratique de communication a eu tendance à limiter petit à petit le nombre des signes utiles, mais

cette écriture iconographique persiste encore sur un large territoire.

Cet exemple de l’écriture montre bien la complexité de ce phénomène de propagation

d’informations, de concepts dans l’univers culturel. Tout d’abord il faut percevoir une connnaissance

physique de ce contenu de l’information, contenu qui peut alors être accepté ou rejeté pour des raisons

qui peuvent mettre en jeu de nombreux mécanismes sociaux. La non-propagation peut même être

volontaire, par choix délibéré, comme le montrent les exemples précédents.

2.1.3. Propagation restreinte de la musique

Le dernier exemple que nous traiterons ici très brièvement est celui de l’écriture de la musique.

Comme nous le verrons un peu plus loin, beaucoup du charme de l’écoute de la musique provient de

résonances approximatives entre les sons émis successivement. Du coup, il existe plusieurs façons

« mathématiques » d’organiser ces résonances d’une façon que l’on pourrait qualifier d’optimale. Donc

initialement, selon leur localisation, les hommes ont choisi assez tôt différents codes musicaux pour

optimiser ces résonances. Ensuite ces différents codes se sont imposés dans des régions assez étendues

par propagation de proche en proche. Mais, in fine, il existe encore différents codes, différentes

gammes, heureusement pas trop différents, ce qui a permis d’effectuer des traductions et d’obtenir

ainsi, relativement récemment, des extensions du domaine musical. Ravi Shankar (1920-2012) sitariste

et compositeur indien a été un exemple d’une telle traduction entre musique occidentale et musique

indienne. Cet exemple ainsi que d’autres semblables, pour différentes traditions musicales, ont permis

une relative transmission tardive de ces cultures en ajoutant de nouvelles couleurs sonores à la musique

locale dominante. On a ainsi vu apparaître de nouvelles sortes de musiques composites, plus aptes à

conquérir de larges publics. Dans ce cas la propagation de ces codes artistiques entre eux s’est produite

grâce à une interface physico-mathématique qui a permis la transcription entre ces codes. On est ainsi

passé d’une musique-art à une autre musique-art en passant par les sciences. Cela montre déjà la

richesse et la complexité de ces phénomènes de propagation.

Ce bref aperçu nous permet de revenir à une vue rapide de la propagation en physique, qui pourra

servir de référence concrète pour l’observation de la propagation des concepts.

2.2. La propagation des phénomènes physiques

La propagation des phénomènes physiques peut même avoir lieu sans aucun support matériel, une

réalité abstraite qui est donc difficile à comprendre. C’est effectivement un concept dur à admettre,

mais important, d’autant que ces forces ainsi propagées sont très importantes, omniprésentes dans la

nature et agissent très loin de leur source. Donc ce concept ne fut enregistré qu’assez tardivement dans

l’humanité, relativement longtemps après les grandes découvertes. Ce délai avait permis à

l’imagination de se libérer.


2.2.1. Propagation dans le vide

C’est le cas de la gravitation, l’attraction entre les masses, découverte par Isaac Newton (1643-

1727), et c’est aussi le cas des forces électriques de Coulomb (1736-1806), des forces qui ont toutes

deux des comportements similaires à longue distance, une décroissance lente. Une des nuances entre

ces deux interactions est que les forces de gravitation sont toujours attractives entre les masses, tandis

que les charges électriques sont positives ou négatives et que, des charges de mêmes signes se

repoussent, tandis que des charges de signes opposés s’attirent. Du coup, pour la propagation de

l’électricité, on parle ici de champ électrique pour indiquer cette possibilité de déplacement des charges

qui dépend de leur signe, une sorte de distorsion se produit à l’intérieur de la matière selon le signe des

charges, une voie bien différente de celle de la gravitation qui a un effet uniforme sur la matière.

2.2.1.1. Propagation dans le vide de l’électromagnétisme

Des charges en déplacement ont des effets plus complexes que des charges statiques. Ce

déplacement des charges dans le temps et dans l’espace induit non seulement un champ électrique mais

aussi un champ magnétique qui agit à son tour sur le déplacement des autres charges. Finalement le

champ électromagnétique, cet ensemble d’actions électriques et magnétiques à distance a été bien

étudié par Maxwell (1831-1879) et son équipe, avec cette dualité entre (position, vitesse) et (champ

électrique, champ magnétique).

Ce champ électromagnétique, selon sa fréquence, c’est-à-dire selon la rapidité du mouvement des

charges qui le produisent, a de multiples effets pratiques, c’est le rayonnement optique, mais c’est aussi

l’infra-rouge et l’ultra-violet, les rayons X et les rayons gamma. Autrement dit, le champ

électromagnétique représente un très large spectre de phénomènes physiques qui se propagent dans le

vide et interagissent avec la matière.

Ces champs électromagnétiques pénètrent donc dans la matière, ce qui ajoute alors la réponse de la

matière à ces sollicitations propres et élargit considérablement le problème puisque les contributions du

champ initial et du champ induit se combinent. Le résultat de cette combinaison dépend évidemment

de l’état, de la nature, de la matière en question. Dans un premier temps on considère la matière

comme continue et uniforme, quitte à préciser ensuite sa nature de façon plus précise, plus réaliste,

dans une approche plus détaillée.

2.2.2. Propagation dans la matière

La gravitation, c’est-à-dire les forces induites par la gravitation, agit sur la matière en provoquant

des forces, des tensions, voire des déplacements si le milieu considéré est mobile. Un exemple pratique

est l’effet de la marée qui est induite par l’attraction de la lune sur la masse d’eau des océans, une

masse mobile dont le mouvement suit donc la fréquence des rotations de la lune autour de la terre.

2.2.2.1 Propagation de l’électromagnétisme dans la matière

Les forces électromagnétiques agissent sur la matière en déplaçant les charges potentiellement mobiles

que sont, par exemple, les électrons plus ou moins liés à leurs atomes de référence. Selon la nature du

matériau, deux sortes de réactions à ces sollicitations existent.

Isolants

Soit le champ électromagnétique pénètre profondément dans la matière et est freiné de façon

uniforme par cette matière qu’il traverse et que l’on qualifie alors d’isolante. Dans ce cas, une partie du

rayonnement est réfléchie dans le milieu initial, le vide, c’est-à-dire y revient. Le freinage correspond,

quant à lui, à une transmission partielle d’énergie au milieu matériel rencontré, une absorption et en

optique, ce changement de propagation est qualifié de réfraction, car la direction de propagation peut

changer alors à l’interface.


Conducteurs

Soit le champ électromagnétique produit une polarisation locale de la matière à la surface d’entrée

du rayonnement. Et cette polarisation locale s’oppose à la propagation du champ électromagnétique à

l’intérieur de cette matière. Cette matière est alors qualifiée de conductrice car elle a répondu à

l’excitation, et le rayonnement électromagnétique est, lui, totalement réfléchi dans le milieu initial.

L’observation de ce phénomène de réfraction et réflexion en optique est bien entendu très ancienne 8 ,

très antérieure à la compréhension détaillée de l’électromagnétisme. En France on attribue sa

formalisation avec la notion d’indice de réfraction à Descartes (1596-1650).

Ce qui nous intéresse ici du point de vue de la propagation en général est cet effet de freinage du

rayonnement « réfracté », vis-à-vis du phénomène incident, tandis qu’une autre partie du phénomène

incident est renvoyée, réfléchie, dans son milieu de départ. Et le second point est que ce freinage et

l’absorption d’énergie associée dépendent de la nature du milieu matériel rencontré.

Un milieu matériel inhomogène, comme c’est le cas du corps humain traversé par des rayons X, va

révéler différentes parties comme les os ou les muscles qui se comportent différemment avec ces

rayons, notamment en les absorbant plus ou moins. Moyennant une résolution optimale des images

ainsi produites, cela permet d’observer l’intérieur du corps sans pénétration, sans opération

chirurgicale. La propagation de l’onde électromagnétique dans le corps va donner lieu à différents

freinages et réflexions, tout comme à des absorptions.

2.2.3. Propagation de phénomènes élastiques dans la matière

Dans les milieux matériels plus ou moins denses, les atomes, les molécules, qui constituent ces

milieux interagissent entre eux, avec des effets du type attraction-répulsion par exemple, et des effets

plus complexes qui vont maintenir la structure à longue distance du matériau, selon sa rigidité et ses

propriétés élastiques. Ces différentes propriétés élastiques permettent aussi la propagation

d’ébranlements, d’ondes, de proche en proche, à travers ces milieux. C’est le cas du son qui a une

nature simple dans un milieu très dilué comme l’air, mais a une nature beaucoup plus complexe dans

un milieu dense, selon la nature des nombreuses interactions qui ont lieu dans ce milieu.

La propagation de ces ondes dépend donc fortement du milieu. Cette fois, plus le milieu est dense et

réactif, meilleure et plus rapide est la propagation. A contrario des ondes électromagnétiques, ces

ondes ne se propagent pas du tout dans le vide. Elles se propagent lentement dans un milieu peu dense

comme un gaz, tandis qu’elles se propagent rapidement dans un milieu dense, liquide ou solide.

Dans un milieu composite, la propagation devient complexe, on peut observer plusieurs sons se

propageant à des vitesses différentes. Ainsi, par exemple, il faut utiliser une source convenablement

guidée pour obtenir des résultats d’échographie lors de l’observation de différentes parties du corps

qui, chacune à sa façon, réfractent, réfléchissent et absorbent les ondes élastiques.

Ce petit rappel nous situe la complexité de la propagation dans des milieux homogènes et nous

incite à considérer encore d’autres cas, d’autres géométries de propagation.

2.2.4. Propagation diffusive

Le premier cas considéré d’une telle propagation, évidemment dans la matière, est une errance, c’est

la propagation aléatoire sur un réseau régulier, elle est aussi appelée « marche aléatoire » ou « marche

8

En France on parle de la loi de réfraction de Descartes et en Grande-Bretagne de la loi de réfraction de Snell. Dominique Raynaud,

historien des Sciences, a trouvé d’autres références à ces observations dans d’autres pays.


de l’homme ivre » 9 selon une expression imagée. Cette marche consiste à changer aléatoirement de

direction à chaque pas. Ces pas étant de longueur déterminée. Le résultat est cette fois que

l’éloignement du point de départ augmente en moyenne comme la racine carrée du temps 10 ! La

propagation est donc différente et bien plus lente.

Cette remarque incite donc à considérer ce qui se passe sur un réseau à lacunes, ce qui impose des

contraintes supplémentaires. Dans le cas d’un réseau réduit, d’une île par exemple, la propagation est

limitée à la taille de l’île. De fait, il n’y a plus de propagation au-delà de l’île ! Du coup dans un

système à lacunes, le cas où une seule voie ou juste quelques voies permettent de sortir de l’île devenue

une presqu’ile, le cheminement aléatoire est encore plus lent que la racine carrée du temps. Ces ponts,

ces liens faibles prennent donc une importance considérable dans la propagation de l’information.

C’est ce qu’a remarqué le sociologue Mark Granovetter en notant l’importance de ces liens faibles 11 .

Du coup la matière lacunaire a pris un intérêt en physique 12 où elle a un intérêt non seulement pour des

matériaux composites mais aussi lors de changements de phase comme la fusion ou la cristallisation où

deux phases d’un même composé cohabitent comme la glace et l’eau avec de multiples fragments

liquides ou solides qui coexistent. On peut aussi citer dans un registre différent la propagation des

manifestations, un cas étudié par le juriste Didier Joubert 13 , c’est-à-dire une propagation clairement

non uniforme.

Une version « petit poucet » de la marche de l’homme ivre, où les briques s’accumulent, a même eu

un succès exceptionnel, vu le nombre de publications qui s’y réfèrent. Il s’agit de « l’agrégation limitée

par la diffusion » (Diffusion limited aggregation en anglais, DLA en acronymes) 14 qui permet de

construire de telles structures, où la propagation d’ébranlements est évidemment lente. L’algorithme de

base propose la marche aléatoire d’éléments qui se figent lorsqu’ils rencontrent un autre élément, isolé

ou non, amorçant ainsi la croissance d’un agrégat. Cette version relativement simple, car les

interactions sont simplistes, a eu un grand succès car elle ouvrait la perspective de l’étude fine de

beaucoup de situations 15 . Du côté modèle, cela signifie un développement informatique et notamment

l’optimisation du caractère pseudo-aléatoire d’une suite de nombres et du côté expérimental, un

développement de la précision de l’information.

9

La notion de marche aléatoire a été introduite en 1905 par un mathématicien anglais, Karl Pearson, à propos de biologie. Elle fait

suite au mouvement brownien aussi introduit pour la biologie. Les applications mathématiques aux modèles économiques ou

physiques sont nombreuses ( Lord Rayleigh, Markov, Polya). On cite à ce propos le travail de la thèse de Louis Bachelier sur la

variation des valeurs en bourse.

10

L’application des méthodes statistiques conduit à une répartition « gaussienne » des écarts et donc à un éloignement moyen

« diffusif » proportionnel à la racine carrée du temps.

11

Le sociologue Mark Granovetter a publié l’article « The strength of weak ties » dans le “American Journal of Sociology 78, pp.

1360-1380 (1973), suivi de « The strength of weak ties : a network theory revisited» dans Sociological Theory 1, pp. 201-233 (1983)

12

Les phénomènes de transition de phase ont été largement étudiés avec de nombreux prix Nobel dont celui de Kenneth Wilson

(1936-2013) obtenu en 1982 pour le groupe de renormalisation. Ces sujets ont largement débordé sur d’autres domaines avec

notamment la création de l’ « éconophysique » par le physicien H. Eugene Stanley en 1995.

13

Didier Joubert a écrit l’article « The epidemic of collective violence, a manifestation of disorder and complexity » EPJ WOC 300,

01004 (2024) qui montre une propagation complexe selon un réseau de connexions.

14

T.A Witten et L.M. Sander ont écrit l’article intitulé « Diffusion limited aggregation : a kinetic critical phenomenon » paru dans la

revue « Physical Review Letters 47 pp.1400-1403 (1981)

15

Parmi les développements il faut évidemment citer les fractals de Benoît Mandelbrot (1924-2010) et son livre : « The fractal

geometry of nature » publié chez Freeman en 1982


2.3. Conclusions sur les modèles de propagation

Deux conclusions s’imposent : d’une part l’émergence au début du dix-neuvième siècle du thème de

l’aléatoire correspond probablement à la constatation d’une profonde instabilité sociale d’où découlait

un avenir aléatoire obsédant tout individu, scientifique ou non, et d’autre part, la difficulté de

propagation des idées non obsédantes dans un monde complexe et à la mémoire volatile.

Du coup, il faut forcer le destin et créer des situations favorables à la diffusion des idées. C’est

évidemment le cas de la revue « Arts et Sciences ». Mais un contact direct doit s’avérer plus efficace 16

et donc il faut aussi promouvoir des rencontres avec présence physique sur le thème « arts et sciences »

pour apporter les conditions d’un échange fructueux entre les différents participants, ce qui implique

donc des efforts de communication de part et d’autre.

La transition avec le thème suivant, « les pavages », est claire, puisque l’existence des pavages

suppose des frontières entre domaines, entre espaces d’une certaine uniformité. Les pavages sont un

peu le dual de la propagation.

3. Les pavages

Profitant de la référence à l’article précédent, nous commençons ici directement par étudier les

pavages depuis leur développement avec l’art islamique jusqu’à leur présence aujourd’hui en

soulignant les commentaires qu’ils suscitent dans les arts et les sciences, une façon concrète d’observer

les connexions entre les arts et les sciences.

3.1. Les pavages de l’art islamique

L’art décoratif de l’islam est plus ou moins marqué dès son origine par la volonté d’absence de

représentations humaines, animales ou végétales. Cette intention, avec ses nuances locales, qui peuvent

être importantes, correspond à un désir évident d’abstraction, d’élévation de pensée, de spiritualité. Et

cet effort intense et étendu d’abstraction de la décoration a conduit à une étude savante très poussée de

la géométrie, une étude dont nous n’avons pas fini d’apprécier la qualité et le potentiel scientifique,

même dans l’art comme dans la décoration.

Le point de départ des réalisations artistiques décoratives du monde musulman est tout simple, voire

presqu’incontournable : la réalisation de découpages, de pavages pour décorer un panneau, un plan.

C’est la réflexion sur l’assemblage des formes, une réflexion commencée très tôt, dès le début de la

sédentarisation de l’humanité. Et cette réflexion basique s’est poursuivie au cours du temps, avec une

analyse qu’il faut bien qualifier de mathématique, ce qu’elle est.

Ainsi les artistes de l’art de l’islam ont vite considéré l’assemblage de polygones réguliers de

différentes symétries, en tirant parti de la régularité introduite par ces symétries, une idée très

fructueuse, pour réaliser des assemblages de grandes dimensions de quelques motifs reproduits d’une

part à l’identique et d’autre part à des échelles différentes. Cette économie de moyens était aussi

pratique pour la réalisation ainsi standardisée.

Les polyèdres réguliers de Platon

Il faut bien dire que les cinq polyèdres réguliers de Platon, le tétraèdre - une référence en matière de

pyramide : le thème architectural fort de l’Egypte et de la civilisation américaine précolombienne-, le

cube, l’octaèdre, l’icosaèdre et le dodécaèdre avaient ouvert la voie à ce principe de décoration

géométrique en mettant en évidence ces polygones réguliers.

16

C’est tout à fait la remarque de Christian Ruby dans l’article « Arts et sciences, sciences et arts, sur une médiation en cours de

réalisation » Le Philosophoire, 35 pp.129-143 (2011)


À partir de dessins, de plans, les artistes de l’art de l’islam ont ainsi réalisé des pavages en mosaïque

ou en pierre. Ces pavages ont assez vite été répandus dans tout le si vaste monde islamique comme on

peut encore le constater par les traces monumentales qui demeurent. Ce monde s’est rapidement étendu

aux trois continents alors connus : Asie, Europe et Afrique en de nombreux témoignages exemplaires

qui restent bien présents, à la fois par leur richesse géométrique et aussi par la qualité de leurs couleurs,

voire de leur relief.

Le tour de force scientifique des artistes de l’art islamo-andalou est d’avoir découvert tous les 17

pavages du plan dont la symétrie est cristalline. Cette découverte a été probablement le résultat d’une

suite d’essais-erreurs pour passer d’un polygone ou de quelques polygones à tout un ensemble de

polygones jointifs. Cette recherche témoigne d’une forte détermination car elle a dû nécessiter

beaucoup d’essais et aussi beaucoup d’imagination pour obtenir une telle variété de résultats, ce dont

nous allons reparler. Car ces artistes ne se sont pas contentés d’une seule formule, mais la concurrence

aidant, ils ont exploré quantité de possibilités.

Le résultat de ces réalisations est aussi une évidence de la proximité entre science et art. Ainsi à

l’Alhambra de Grenade, un des hauts lieux de l’Andalousie, ces artistes ont multiplié des œuvres

superbes de belle qualité mathématique, comme l’a noté le mathématicien Marcel Berger. Ce que

Marcel Berger ne disait pas, c’est que parmi les œuvres de Grenade, de l’Andalousie, et du monde

musulman, on peut observer non seulement ces pavages cristallins mais aussi des structures encore

plus complexes dont on reparlera bientôt. C’est une avancée tout à fait exceptionnelle.

Ces constructions de Grenade sont bien sûr antérieures à 1492, avant l’expulsion des musulmans

d’Espagne, et bien avant que la notion de symétrie cristalline ne soit même formulée. Et sans avoir

besoin de connaître leur valeur scientifique, ces pavages nous illuminent encore par leur présence

complexe et colorée.

Mieux, les artistes de l’art islamo-andalou ont aussi construit des pavages de symétrie d’ordre 5, des

pavages de symétrie d’ordre 8, et des pavages de symétrie d’ordre 12, là aussi bien avant que les

symétries « quasi cristallines » qui correspondent à ces symétries ne soient imaginées actives dans la

nature et ne soient finalement observées. Encore mieux, ces artistes ont construit des pavages de

symétrie d’ordre 7, ce qui n’a pas encore été observé dans la nature parmi les structures de solide, mais

devrait l’être bientôt, comme nous allons le préciser un peu plus loin !

Les premières tentatives de réalisations concrètes, des mosaïques, de ces pavages de symétrie

d’ordre 7, ces défis exceptionnels, datent environ de l’an 1100. Bien entendu, cette date se situe bien

après les réalisations de pavages cristallins et des pavages quasicristallins dont l’étude systématique a

rebondi après les observations scientifiques récentes.

Ainsi après la prévision de l’existence des quasicristaux de symétrie d’ordre 5 en1982, et leur

observation en 1984, qui a donné un supplément d’intérêt aux pavages de l’art de l’islam, différents

auteurs ont recherché les premières traces de ces pavages encore plus complexes, encore plus originaux

que ces quasicristaux si récemment observés.

Ce fut le cas de Jay Bonner et Marc Pelletier, des spécialistes en design, qui ont publié l’article « A

7-fold system for creating Islamic geometric patterns I Historic antecedents » dans la revue Bridges

2012 : Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture, p. 141-148, (2012). D’après leur étude bien

documentée, le premier pavage de cette nature, c’est-à-dire de symétrie d’ordre 7, aurait été produit à

Ghazna en Afghanistan vers 1100, donc très tôt.

La Figure 1 montre une partie du pavage du sol de la mosquée Bibi Khanoum (1404), dont le nom

est celui de l’épouse (1341-1405) de Tamerlan (1320-1405). Ce pavage montre une symétrie d’ordre 5,

une symétrie non cristalline. Les traits rouges parallèles ajoutés sur la photo sont entre eux, à des

distances m+n fois la plus petite de leurs distances, où m et n sont des entiers et où est le nombre

d’or soit 1.61803. Ces rapports simples soulignent la régularité de la structure, bien étudiée et


maîtrisée. Le trait bleu est à 72° des traits rouges. Le schéma à droite correspond à la coupe dans un

plan orthogonal à un axe de symétrie d’ordre 5 d’un ensemble de sphères de symétrie icosaédrique.

L’article d’où est issue cette coupe parut en 1982, deux ans avant la parution du premier article sur

l’observation des quasi-cristaux dont la structure est tout à fait semblable et dont les figures de

diffraction révèlent ces symétries originales. On remarque donc la grande ressemblance entre le dessin

de ce sol pavé et la coupe de cet assemblage de sphères, avec notamment les mêmes rapports entre les

distances remarquables, une propriété algébrique singulière.

C’est dire combien est grande la distance temporelle entre ces réalisations artistiques et les études

mathématiques et physiques qui se rapportent, bien plus tard, à des structures semblables de solides.

Bien sûr les motivations des artistes et des scientifiques étaient très différentes et donc les dynamiques

d’activité l’étaient aussi, mais la réalité de la nature, de l’objet est bien commune. Nous reviendrons

plus loin sur ces thèmes car ces problématiques sont loin d’être closes, elles peuvent ëtre étendues à

des structures potentielles et méritent une attention soutenue car elles offrent aussi de nouvelles

perspectives pratiques scientifiques et artistiques.

3.2. Self-similarité et fractales

De fait ces créateurs de pavages bien concrets, de mosaïques, ont utilisé des propriétés

d’autosimilarité, de ressemblance à grande échelle, bien avant que des mathématiciens comme B. B.

Mandelbrot ne les formulent. Benoît B. Mandelbrot (1924-2010) a introduit la théorie des fractales qui

permet de construire des structures complexes autosimilaires utiles pour représenter bien des structures

complexes dont les quasi-cristaux. Ces constructions fractales sont un moyen de développer des

pavages originaux de symétrie d’ordre 5 comme l’ont montré R. Penrose, R. M. Robinson, ainsi que B.

Grünbaum et G. C. Shephard, ces derniers dans leur ouvrage synthétique « Tilings and Patterns » paru

en 1987 chez W.H. Freeman. Ces fameux triangles autosimilaires de Roger Penrose ont même été

mentionnés lorsqu’il a reçu le prix Nobel de physique en 2020.

Comme les exemples donnés dans l’article de Jay Bonner et Marc Pelletier le montrent, ces schémas

de pavage ont été assez vite largement répandus dans tout le monde musulman ; en quelques dizaines

d’années, voire un peu plus. Ce succès incontestable témoigne d’une profonde avancée scientifique et

artistique à la fois, ce qui a séduit tant d’amateurs. Aussi ces résultats méritent d’être visualisés ici sur

une photographie complétée par un extrait d’une simulation réalisée dans le cadre d’études ultérieures

de physiciens. La comparaison visuelle souligne la réalité de cette proximité.

La Figure 1 donne un exemple des différents pavages observés à Samarcande en Ouzbékistan, un

des nombreux sites de cet art largement propagé en Asie, en Europe et en Afrique. Il faut ajouter ici

que la compétition entre des artistes qui ont, chacun, tenus à se singulariser par rapport à leurs proches

voisins, a donné lieu à des œuvres d’une qualité exceptionnelle. Une telle émulation a du bon pour le

spectateur, et c’est une émulation à la fois scientifique par la recherche des thèmes, et artistique par le

choix des matériaux et de leurs couleurs.


Figure 1. Une partie du pavage du sol de la mosquée Bibi Khanoum située à Samarcande (Ouzbékistan). La

taille des éléments du pavage n’a pas permis de réaliser une parfaite harmonie des couleurs, mais l’ensemble

reste très agréable à la vue. On remarque la symétrie d’ordre 10 de l’ensemble soulignée par les traits

parallèles rouges et le trait bleu à 72°. On compare à droite avec la coupe d’un agrégat à symétrie

icosaédrique, coupe perpendiculaire à un axe d’ordre 5, où l’on remarque les alignements similaires décalés

de 72°. Cette coupe fait partie du travail présenté par D. Mercier et J.-C.S. Lévy à une conférence de la 3M

(Magnetism and Magnetic Materials) à Montréal en 1982. Ce travail est commenté plus tard dans le texte.

L’article « Amorphous structures : a local analysis » de J.-C. S. Lévy et D. Mercier qui sert de base

au dessin introduit dans la figure 1 a été présenté à la conférence 3 M (Magnetism and Magnetic

Materials) à Montréal en juillet 1982 et est paru en 1982 dans la revue « Journal of Applied Physics ».

Il a été complété par l’article « Construction of amorphous structures » paru en janvier 1983 dans la

revue « Physical Review B 27, 1292 » par les mêmes auteurs qui ont aussi étudié les propriétés

élastiques d’une partie de ces structures qui constitue alors un agrégat dans : « Local elasticity

properties of an amorphous structure : evidences for typical sites and shell structure : Dynamic

stability » un article paru en février 1984 dans la revue J. Physique 45 pp.291-301.

L’article sur le premier matériau observé correspondant à cette symétrie de l’icosaèdre, et qualifié de

« quasi-cristal » peu de temps après la parution de cet article, s’intitule : « Metallic phase with long

range orientational order and no translational symmetry ». Le titre de cet article signé par D.

Shechtman, I. Blech, D. Gratias et J.W. Cahn précise bien à la fois le caractère non cristallin de ce

matériau et ses propriétés étendues de symétrie. Cet article est paru en 1984 dans la revue « Physical

Review Letters 53, 1951 ». D. Shechtman a reçu le prix Nobel de chimie en 2011 pour cette

découverte. Peu après la parution de cet article, D. Levine et P. J. Steinhardt ont fait paraître, toujours

en 1984, l’article « Quasicrystals : a new class of ordered structures », toujours dans la revue

« Physical Review Letters 53, 2477 ». Cet article-là a donné ce nom à cette nouvelle classe de

matériaux ainsi qu’à une classe plus large de matériaux dont les symétries sont d’ordre 5, 8 ou 12. Peu

de temps après, le regretté Christopher Henley (1956-2015) a noté dans son article « Sphere packings

and local environment in Penrose tilings » paru en 1986 dans la revue « Physical Review B 53, 797 »

que, curieusement certaines des figures parues dans son article et certaines des figures parues dans

l’article de Socolar et Steinhardt intitulé « Quasicrystals II : Definition and Structure » étaient

identiques à des figures de l’article de Mercier et Lévy paru en 1983. Signalons aussi que P. J.

Steinhardt a poursuivi cette recherche en cosignant bien plus tard l’article « Decagonal and

Quasicrystalline Tilings in medieval islamic art » de P. J. Lu et P. J. Steinhardt, paru dans « Science

315 1106-1110 (2007) ». Ils signaient ainsi un retour des structures cristallines et quasi-cristallines aux

sources imagées de l’art islamique.


3.3. La physique des quasicristaux et au-delà

Le surgissement de ces images de physique tout à fait comparables aux pavages islamiques

traditionnels impose donc de revenir sur le contexte de la physique récente de ces matériaux denses

pour comprendre ce phénomène. Nous allons considérer cette physique en plusieurs temps, c’est-à-dire

selon plusieurs approches.

En effet le moteur économique de la physique, et donc un moteur à effets rapides, puisqu’il

déclenche des moyens puissants, est celui de la recherche de nouveaux matériaux pleins de promesse,

tandis que le moteur à long terme de la physique, ce qui sous-entend une certaine lenteur, est celui de

la compréhension des phénomènes, l’aspect théorique, qui n’est pas vraiment lié à la production

immédiate.

3.3.1. La trempe, la trempe rapide et son avenir

Dans le cas qui nous intéresse, l’apparition de nouvelles techniques de « trempe » a fait surgir

l’espoir de la production d’une grande variété de nouveaux matériaux de toutes sortes de propriétés

potentiellement utiles pour l’industrie. Ce « tsunami » expérimental fut et est encore le moteur d’une

recherche active, car comme le montre si bien l’historien Fernand Braudel à propos de l’invention de la

machine à vapeur, l’innovation est faite d’une multiplicité d’avancées, et une première découverte est

peut-être la trace d’une ou plusieurs autres à venir.

La trempe des aciers, des bronzes et des verres est un phénomène bien connu de refroidissement

rapide. Ce procédé physique utilisé depuis longtemps dans l’industrie permet d’obtenir des matériaux

originaux dont la texture fine est différente de celle des matériaux bruts et dont les propriétés physiques

sont aussi originales. L’exemple bien connu des aciers trempés évoque des matériaux particulièrement

durs. La prononciation du mot anglais qui signifie trempe : « quenching » rappelle bien

phonétiquement l’effet de « coinçage » de la texture ainsi réalisée par cette transition brutale.

Un premier grand changement dans cette perspective de développement industriel a été celui de la

découverte de la « trempe rapide » ou « trempe sur roue », introduite en Californie en 1960 par le

physicien belge Pol Duwez (1907-1984). Cette expérience de trempe ultra-rapide dite de « splat

quenching » permet de réaliser des « verres métalliques » à partir de mélanges en fusion pour donner

des films très minces. Cette nouvelle découverte s’est répandue rapidement dans le milieu scientifique,

et il en est vite résulté une grande quantité de films minces de verres métalliques. Leurs observations

ont donné lieu à de nombreux résultats et pour enregistrer, comparer ces nombreux résultats et en faire

la synthèse, on a organisé des conférences scientifiques désignées sous le nom de RQM (« Rapidly

Quenched Materials »).

RQM

La chronologie de ces conférences et leur localisation donnent bien une idée de la propagation

spatio-temporelle de ce phénomène dans le monde scientifique actuel et donc de son importance

pratique. La première RQM a eu lieu en Europe, à Brela en Yougoslavie en 1970, donc dix ans après la

mise au point de la méthode. La suivante a lieu à Cambridge, Massachusetts, USA en 1975. Les

suivantes sont encore plus rapprochées dans le temps et plus variées dans leur localisation : RQM 3 à

Brighton UK (1978), RQM 4 à Sendai Japon (1981), RQM 5 à Würzburg Allemagne (1984). Cela

continue, nous en sommes à RQM 17 à Varsovie Pologne (2023) et RQM 18 à venir à Busan en Corée

(2026). Il faut quand même ajouter que le thème initial s’est élargi pour les dernières conférences

RQM en y ajoutant le thème des structures métastables. La thématique s’est donc un peu étendue.

HEA

L’actualité très récente de cette nouvelle thématique consiste à imposer cette fois la présence d’au

moins trois éléments en quantité comparable, une garantie de complexité et surtout de variété de ces

nouveaux matériaux agrégés. En effet au début des RQM, on s’intéressait à des matériaux composites


où un ou deux éléments dominaient largement dans la composition, ce qui laissait aux autres éléments

le rôle de bouche-trou. Ce sont donc les « High Entropy Alloys » (HEA) Conférences, qui portent cette

nouvelle thématique et l’on en compte déjà beaucoup. Une HEA a eu lieu à Pittsburgh en 2023, une

autre à Londres en 2025, une nouvelle est prévue à Los Angeles en 2026. La fréquence déjà élevée

s’accélère, et les espoirs sont bien sûr de la même taille. Evidemment on a déjà retrouvé parmi les

résultats de ces HEA des structures locales icosaédriques 17 , on reviendra par la suite sur l’explication

de ce phénomène.

3.3.2. Vers de nouvelles structures !

Et surtout on peut espérer trouver ainsi des structures de symétrie plus complexe, au-delà de celles

des quasicristaux. Ainsi dans les couches électroniques successives, s, p, d et f des éléments lourds, on

compte 2, 6, 10 et 14 électrons respectivement, ce qui donne de l’espoir pour trouver plus de liaisons

chimiques pour un même élément, des états de « valence » plus élevés et donc potentiellement des

structures plus complexes. Pour cela il faut utiliser des éléments « lourds » de masse nucléaire élevée, à

l’origine de ces multiples liaisons potentielles et par exemple des terres rares. Les résultats sont à venir.

Venons-en donc maintenant à ce que l’on peut considérer comme le fond de cette histoire ou la

partie théorique physico-mathématique. Le premier point est la situation particulière de l’icosaèdre et

du dodécaèdre par rapport aux autres polyèdres réguliers. Le deuxième point qui est une conséquence

indirecte du premier, est la différence entre les petits assemblages et les grands assemblages. Cette

différence produit un schisme, une séparation entre petits et grands ensembles, et enfin le dernier point

est la notion de taille critique entre petit et grand, autrement dit les notions de taille moyenne ou de lieu

de rupture. Tout cela semble anodin, mais peut mener loin comme on va le voir.

3.3.3. De nouvelles architectures et sculptures à symétrie d’ordre 5

Pour construire un bâtiment de forme sphérique, on peut justement se servir d’une telle construction

à base d’icosaèdre ou de dodécaèdre et l’améliorer, comme dans le cas du ballon de football. C’est la

recette qu’a appliquée l’ingénieur allemand Bauersfeld (1879-1959) dès 1925, puis l’américain

Buckminster Fuller (1895-1985), inventeur et architecte, cette fois avec la production de dômes

géodésiques dès 1945. Deux exemples célèbres d’une telle construction issue de l’icosaèdre, sont le

dôme géodésique de Montréal, « la Biosphère », une structure de 80 mètres de diamètre construite à

Montréal en 1967, et la « Géode » cette salle de cinéma de 36 mètres de diamètre construite à Paris en

1985. La propagation a donc été large dans le temps et dans l’espace.

Ces structures géométriques se développent dans l’espace avec une masse minimale de côtés

solides. Elles ont induit une nouvelle sculpture dite de « tenségrité », qui a un certain succès dû aussi à

la fois à ce caractère minimaliste et à une complexité séduisante.

3.3.4. De l’architecture urbaine à l’architecture atomique de même symétrie

Le succès international de ces dômes, faciles à construire, fut tel que les chimistes Kroto, Curl et

Smalley qui observèrent des structures de carbone C60, C80, d’allure comparable aux dômes précités,

mais d’une toute autre échelle, les appelèrent « buckminsterfullerenes » dans leur publication dans la

revue « Nature 318, 162 (1985)». Quel bel échange entre art et science ! Et Kroto (1939-2016), Curl

(1933-2022) et Smalley (1943-2005) reçurent le prix Nobel de chimie en 1996 pour leur découverte

des « fullerenes ». Car c’est finalement le mot fullerene qui est resté jusqu’à présent le nom de ces

structures ! Le va-et-vient entre science et art se produit donc parfois rapidement dans les deux sens,

avec une belle propagation.

17

Les chercheurs J. Ding, M. Asta et R.O. Ricthie ont publié l’article « Melts of CrCoNi-based high-entropy alloys : Atomic diffusion

and electronic/atomic structure from ab initio simulations” dans la revue « Applied Physics Letters 113 111902 ( 2018). Ils ont

observé la présence de symétrie icosaédrique dans ces alliages d’une rigidité exceptionnelle.


3.4. Différents effets de taille critique dans différents domaines !

Enfin cette propriété curieuse de symétrie optimale non cristalline, n’est pas vraie à une et deux

dimensions, où les assemblages cristallins à la queue leu-leu et en nid d’abeille sont aussi les plus

symétriques ! Cette singularité de l’espace à trois dimensions signifie donc que les petits systèmes et

les grands ont des comportements différents dans cet espace à trois dimensions, le nôtre ! Ce nouveau

principe entraîne beaucoup de conséquences.

3.4.1. Stabilité et instabilité des espèces animales

Une telle différence entre petits et grands systèmes explique par exemple la disparition des

dinosaures, curieusement plus fragiles, plus sensibles aux aléas par exemple climatiques, du fait de leur

grande taille, alors que des traces de vie à des échelles plus petites ont survécu à de tels aléas. La

situation actuelle de l’humanité, très nombreuse, très active et donc interférant fortement avec son

environnement, évoque aussi une telle fragilité, cette fois-ci due à une très large extension à la fois en

nombre et en interaction avec l’environnement.

3.4.2. Stabilité des agrégats catalytiques

De même en chimie, l’étude de petits agrégats métalliques de fer, cobalt et nickel, formés à

relativement basse température par synthèse en milieu polyol, montre que l’agrégat ainsi formé

démarre autour d’un ion platine, puis s’accroît par dépôt d’ions de fer, cobalt ou nickel en couches

successives autour de cet ion initial fédérateur, jusqu’à ce que l’ion platine, fondateur, ne soit,

vraisemblablement, expulsé de l’agrégat initial et ne redémarre la construction d’un nouvel agrégat

autour de lui. C’est une remarque récurrente de l’équipe de chimistes du professeur Fernand Fiévet 18 de

l’Université Paris Cité. Cette remarque s’appuie sur une très longue pratique expérimentale de cette

synthèse originale d’agrégats utiles pour leurs propriétés catalytiques.

Le point théorique qui prolonge ces genres de problème dans d’autres circonstances est celui de

l’existence d’une taille critique de structure qui sépare deux genres de comportement, bien différents

pour des petits et des grands ensembles. Cela indique donc un phénomène nouveau, une question à la

fois de structure et de dynamique, qui a lieu lorsque l’on atteint cette taille dite critique.

3.4.3. Stabilité structurelle des agrégats

Le premier point qui vient à l’esprit quand on parle de taille critique après ces considérations de

structures est, pour cette taille précise, celui d’une manifestation de faiblesse dans ces structures

quasicristallines de symétrie icosaédrique à une seule espèce atomique. Nous avons évidemment étudié

cela en considérant les propriétés élastiques locales de ces structures et trouvé des tailles critiques qui

dépendent un peu de la nature des interactions considérées 19 . Une approche parallèle consiste à

considérer des agrégats qui peuvent être formés en vol dans un milieu raréfié et à observer leurs

structures pour différentes tailles d’agrégats. De telles expériences ont été faites notamment par

l’équipe d’Yves Farge à Orsay sur des agrégats de gaz rares et ont été aussi simulées. Là encore on

trouve des tailles critiques qui sont autour de 300 éléments avec de petites structures icosaédriques et

de plus grandes structures composées de parties cristallines 20 . La nature des grandes structures dépend

bien sûr de la nature de l’interaction entre les éléments, ce qui s’observe bien dans les simulations.

18

Fernand Fiévet, professeur de chimie à l’Université Paris Cité prépare ainsi ses catalyseurs depuis lanotamment fin des années 80,

cf. l’article de F. Fiévet, J.-P. Lagier, M. Figlarz « Preparing monodisperse metal powders micrometer and submicrometer sizes by the

polyol process » MRS Bull. 14 29-34 (1989)

19

C’est le résultat de l’article intitulé “Local elasticity properties of an amorphous structure : evidences for typical sites and shell

structure ; dynamic stability” de J.-C.S. Levy et D. Mercier, paru dans J. Phys 45 291-301 (1984)

20

Par exemple dans l’article « Structural transitions in clusters” de A. Ghazali et J.-C.S. Levy paru dans Phys. Lett. A 228, 291-296

(1997)


3.4.4. Stabilité des noyaux atomiques, étoiles à neutrons et nouveaux éléments

Cette valeur particulière de 300 éléments comme seuil critique fait aussi songer au nombre

maximum de nucléons d’un atome. On ne connaît pas beaucoup d’atomes de plus de 300 nucléons, et

parmi les atomes d’environ 300 nucléons, beaucoup sont radioactifs, c’est-à-dire instables, à des

niveaux différents, par exemple avec des radioactivités différentes selon les isotopes considérés.

Cependant à propos de structures riches en nucléons, il existe aussi des étoiles à neutrons qui

contiennent, elles, des ensembles denses et complexes de neutrons. Ces étoiles contiennent

évidemment bien plus que 300 neutrons, au-delà de ce seuil apparent. Donc on peut soupçonner une

certaine analogie entre les structures d’agrégats atomiques et les structures d’agrégats de nucléons,

avec bien entendu, des interactions spécifiques entre nucléons, et donc en conclusion l’existence de

nouveaux atomes particulièrement lourds de plus de 300 nucléons.

3.4.5. Stabilité et masse critique

La répétition du mot taille critique suggère encore une analogie avec la « masse critique » de la

bombe atomique. Cette observation mérite vraiment un détour du fait de l’importance à la fois

stratégique et dramatique de cet effet. Dans le résumé de cette expérience, les noyaux atomiques

« fissiles » émettent spontanément de temps en temps des neutrons, et lorsqu’ils reçoivent des

neutrons, par exemple ceux émis par leurs voisins, ils peuvent exploser au bout d’un certain temps en

émettant à leur tour des neutrons et d’autres éléments selon différentes possibilités, dans une réaction

dite en chaîne puisque les neutrons ainsi émis vont à leur tour interagir avec d’autres noyaux et

produire d’autres neutrons. Autrement dit l’ensemble de ces réactions en chaîne est complexe et

dépend de la structure géométrique de cet ensemble d’atomes « snipers ». Le résultat est bien sûr

dangereux puisque l’on connaît les terribles dégâts causés par les bombes atomiques et nucléaires. Le

point pratique important est ici que, si la masse de matériau fissile considérée est relativement petite, la

réaction ne s’emballe pas, tandis que si elle est grande, la réaction s’emballe, devient explosive et

terriblement destructrice. Pour rappel, la masse critique de la bombe historique était estimée être de

l’ordre de 10 kg.

Le procédé opérationnel de la mise au point de cette arme consiste donc à préparer de petites masses

« sous critiques » de ce produit fissile, puis à les réunir au moment choisi, de façon à passer au-delà de

ce seuil critique pour produire alors l’explosion. Autrement dit, il ne faut pas se tromper sur les

quantités, sinon on saute si la masse préparée de façon groupée est trop grande, ou rien ne se passe si la

masse totale préparée est finalement trop petite. L’enjeu de ce calcul difficile est donc énorme, à la fois

pour limiter le risque lors de la préparation et pour assurer ensuite la réussite de l’explosion.

3.5. Retombées scientifiques du calcul de la masse critique: l’électronique moderne

Cette nécessaire précision dans le calcul a conduit à inventer alors, dans le cadre de ce projet

« Manhattan », des principes de calcul innovants incluant un aspect probabiliste comme la méthode de

Monte-Carlo utilisée pour résoudre ces problèmes délicats de réaction en chaîne avec un résultat

précis. Pour cela, on a utilisé les premiers ordinateurs disponibles, qui étaient à lampes électroniques,

triodes et pentodes. Juste retour des choses, ces méthodes statistiques comme la méthode Monte-Carlo

sont devenues par la suite très utiles pour traiter de l’évolution spontanée des systèmes, comme la

structure des agrégats dont nous venons de parler, en tenant compte, grâce à elles, d’un certain

caractère aléatoire des processus, cette fois d’agrégation.

Pour effectuer les nombreux calculs numériques qui étaient alors nécessaires, on a ainsi été amené

ainsi à utiliser les premiers calculateurs électroniques qui étaient « à lampes », à tubes électroniques,

c’est-à-dire à la fois encombrants et énergivores. Le succès des conclusions de ce calcul et de leurs

applications a vite amené l’essor de l’électronique moderne, à composants solides, puisque la

découverte du transistor chez Bell labs date de 1947, très peu de temps après l’explosion des premières

bombes atomiques en 1945. Il faut quand même dire que cette piste de l’électronique à composants

solides était déjà anticipée depuis l’utilisation du détecteur à galène en radio.


3.6. L’utilisation des pavages dans la décoration depuis la grande époque de l’art de l’islam

La notion de pavage, d’occupation du plan, de l’espace est restée gravée dans les mémoires depuis

longtemps, mais le niveau très élevé atteint par l’art islamique a marqué son évolution et donc l’a

isolée un peu dans sa rigueur. De même l’absence de motifs figuratifs dans les pavages, leur donne une

certaine froideur.

Citons quand même deux exemples artistiques proches de cette tradition géométrique et donc

évidemment reliés à l’art islamique lui-même. Ainsi parmi les tapis, un art oriental, les « tapis de

Boukhara » gardent fidèlement le principe d’une structure géométrique et aussi une opposition

relativement austère de couleurs foncées entre rouge et noir. Bien sûr Boukhara est en Ouzbékistan,

assez près de Samarcande et donc au cœur de cette tradition artistique.

D’autre part, les « azulejos », ces faïences portugaises, conservent aussi ces formes géométriques,

cette fois avec un bleu plein de douceur. Là encore l’histoire relie bien le Portugal, qui fut à l’origine

des grandes découvertes, à ces hauts lieux de l’art islamique situés près du parcours des navigateurs.

Mais le pavage et l’aspect géométrique de la décoration ont eu aussi beaucoup d’autres applications, de

haut niveau, dans la décoration, et en particulier dans la décoration des palais modernes.

3.6.1. Le pavage des palais

Ainsi le Versailles de Louis XIV a eu de grandes ambitions et est donc devenu assez naturellement

un haut lieu du pavage dans différents domaines, et une référence de haut niveau artistique. Citons déjà

le parquet avec pour exemple les structures complexes du parquet de la galerie des Glaces. Les jardins

de Le Nôtre sont un autre exemple de structures géométriques, même si ces structures sont souvent

complétées par la présence de quelques sculptures figuratives ! L’architecture classique a apporté le

goût des colonnes apparentes en façade, un art développé par Palladio, avec une large influence sur

l’architecture, une influence issue du livre de Vitruve. Et l’art du pavage a encore enrichi ce décor.

A Versailles et surtout au Grand Trianon, autrefois appelé Trianon de marbre, construit par Jules

Hardouin-Mansart et achevé en 1687, les plaques de marbre servent de décoration en alternance avec

les colonnes du même marbre ou d’un marbre assorti. C’est en particulier un marbre rouge veiné

appelé « incarnat » et issu des carrières de Caunes-Minervois, qui a été utilisé en alternance avec un

marbre blanc. La réussite de ce pavage coloré peut se mesurer au nombre de copies effectuées du

Grand Trianon, plus ou moins tard et plus ou moins loin, dont, par exemple, cet hôtel particulier où

demeure Xavier Niel, près du jardin du Ranelagh à Paris. Cet hôtel, malheureusement appelé « Petit

Trianon » alors qu’il ne ressemble pas au « « Petit Trianon », mais au Grand dont il est une réplique

réduite ! Et les copies royales du Grand Trianon que sont les palais de « Sans souci » à Potsdam,

« Schönbrunn » à Vienne et « Peterhof » près de Saint Pétersbourg rivalisent de couleurs et de jardins à

décoration géométrique avec Versailles et le Grand Trianon.

L’ère industrielle va apporter une puissance nouvelle à l’architecture et l’urbanisme à la fois par les

nouvelles concentrations urbaines et par les possibilités techniques alors disponibles.

3.6.2. Les pavages à l’époque des chemins de fer

L’étape suivante de l’évolution des pavages et de leur structuration géométrique, c’est pratiquement

celle de la révolution industrielle. Bien sûr la nouveauté, c’est alors le chemin de fer, les gares, le

tourisme avec les grands hôtels, le thermalisme et bien sûr, l’industrie, les banques. Un nouveau style

architectural, sérieux, imposant le respect, se développe alors avec ses propres codes géométriques. En

France c’est le style Haussmannien qui arrive dès 1850, avec ses règles, peu de temps après les débuts

de cette nouvelle civilisation. L’effet de ce renouveau architectural et artistique se produit alors à

grande échelle du fait du nouveau potentiel industriel et du désir de laisser son empreinte.


En Angleterre, Turner va peindre les panaches de fumée autour de la locomotive d’un train

franchissant un pont, ce qui va marquer la peinture. A son tour la diffusion de la lumière par ce nuage

de fumée va déclencher les débuts de l’impressionnisme en France et toute une recherche sur la

diffusion de la lumière par les irrégularités du paysage.

Les trains vont aussi déclencher un nouveau mouvement architectural pour célébrer leur présence.

Aux Pays-Bas, la gare centrale d’Amsterdam (1889) a des allures de palais, elle contient d’ailleurs un

pavillon royal. Elle va servir de modèle pour la gare centrale de Tokyo (1914) qui, depuis, a subi de

nombreuses rénovations à la suite notamment de tremblements de terre. En France les gares et les

grands hôtels développent progressivement le style Haussmannien avec ses règles et aussi son goût

pour les dômes bulbeux, une tradition orientale 21 .

Les nouveaux styles architecturaux se développent parallèlement à ces styles officiels dans tout le

monde industriel. Ce sont le style Art Nouveau aux multiples déclinaisons locales, puis le style Art

déco, tout aussi largement propagé.

Le style Art Nouveau impose une décoration à motifs floraux plus ou moins complexes, avec

l’exemple des décorations du métro parisien et de nombreux immeubles parisiens réalisées par Hector

Guimard (1867-1942). Ce mouvement est aussi bien représenté à Bruxelles avec par exemple les

décors intérieurs très complets de Victor Horta (1861-1947) et notamment le mobilier très élaboré, très

travaillé. La compétition artistique est évidemment au moins européenne et on ne peut pas oublier le

catalan Antoni Gaudi (1852-1926) et ses multiples réalisations, parfois toujours en cours de réalisation.

Toute l’Europe participe à ce mouvement qui porte une réaction au développement industriel avec ce

retour de la décoration florale. C’est une réaction quand même pondérée car elle s’appuie aussi sur

l’efficacité de ces nouvelles techniques industrielles pour produire de si nombreuses œuvres

imposantes.

Le style Art Déco s’appuie lui sur des formes géométriques élaborées et est en cela plus en

continuité avec les pavages islamiques. Un superbe exemple de ce style est le Chrysler Building (1930)

à New York et sa flèche décorée. Dans ce style imposant, la compétition, de ce haut niveau, devint vite

internationale avec le Rockefeller Center (1939) à New York, l’Université Lomonosov (1953) à

Moscou ou Le Palais de la Culture et de la Science à Varsovie (1955), des immeubles finalement

parents de la pyramide et du style gothique pour leur élan vertical et leur aspect global.

Le renouveau des pavages en architecture a suscité un intérêt accru chez les peintres et les autres

artistes.

3.6.3. L’influence du pavage sur la peinture et la décoration modernes

Notons aussi que les réussites artistiques de l’art islamique ont eu une réelle descendance directe,

mais largement différée dans la peinture moderne. Dans ce sens une première série de tableaux vient en

France avec le « cubisme », une des époques de Pablo Picasso (1881-1973), et son style géométrique.

De nombreux artistes comme Robert Delaunay (1885-1941), Sonia Delaunay (1885-1979) et Jacques

Villon (1875-1963) ont aussi déployé ces formes géométriques du cubisme. En Allemagne le courant

« Blaue Reiter » correspond assez à cette tradition avec, cette fois, son choix de couleurs fortes et ses

formes géométriques développées par Vassily Kandinsky (1866-1941), Paul Klee (1879-1940) et

August Macke (1887-1914).

Mais le grand retour des pavages plus traditionnels vient avec les tableaux abstraits du peintre

néerlandais P. Mondrian (1872-1944). Ces tableaux sont marqués par le nombre d’or caractéristique de

la symétrie d’ordre 5 (1918). Un autre artiste néerlandais, M. C. Escher (1898-1972) resta longtemps

en résidence à Grenade, ce haut lieu des pavages islamiques et est resté imprégné toute sa vie de ces

21

Il faut encore citer l’Histoire de l’architecture d’Auguste Choisy, déjà citée dans la référence 1.


pavages qu’il a su faire siens en les enrichissants d’annotations plus personnelles figuratives. Ainsi

avec lui les polygones peuvent devenir des oiseaux ou des poissons selon leurs positions. Son jeu

permanent avec les mathématiques les plus sophistiquées comme la géométrie hyperbolique où il

mélange savoureusement « Anges et Démons », lui permet d’obtenir des créations de pavages d’une

grande originalité.

À son tour l’architecte Jean Nouvel a produit à Paris la structure complexe des moucharabiehs de

l’Institut du monde arabe (1987), une structure dynamique, mouvante, malheureusement bloquée dans

son évolution par des soucis techniques. Depuis, Jean Nouvel a su encore jouer les « paveurs » sur la

« Philharmonie de Paris » (2015) en y reprenant les thèmes chers à Escher pour envelopper ce lieu de

concert. Escher avait, quant à lui, su ajouter une figuration issue du monde animal et variable, à la

rigueur mathématique des pavages de l’art islamique. Jean Nouvel s’est bien servi de cette inspiration

avec ici un pavage ondulant dans l’espace, et qui joue aussi avec la lumière de son environnement.

Sur ce thème de l’enveloppe d’un volume considérée comme un pavage de cette surface, on peut

aussi considérer les emballages éphémères de Christo (1935-2020) et Jeanne-Claude (1935-2009),

deux artistes originaux et très créatifs, comme des pavages, à Paris, avec par exemple l’emballage du

Pont Neuf (1985) puis pour finir celui de l’Arc de Triomphe de l’Etoile (2021). Ils ont aussi réalisé à

Berlin l’habillage du Reichstag (1995) et à New York, celui de « the Gates » (2004-2005).

Dans un genre assez proche, on ne peut pas oublier les multiples pavages, éphémères ou non, de

Daniel Buren, que ce soit dans la cour d’honneur du Palais Royal avec ce que l’on appelle maintenant

les colonnes de Buren (1988), sur, et dans, le Grand Palais à l’occasion de Monumenta (2012) ou sur

les parois de la Fondation Louis Vuitton (2016).

Avec ces grands exemples, le pavage décoratif a repris, reconquis sa place dans l’espace urbain et

les décorateurs du Street Art ne s’en sont pas privés.

3.6.4. Les pavages et le Street Art

A ces exemples assez nombreux, il faut ajouter cette nouvelle version de la peinture qu’est le

« Street Art », un art, souvent figuratif, mais aussi parfois géométrique, au moins dans son fond, du fait

des grandes surfaces considérées pour ces décorations sur des murs qui ne sont pas toujours aveugles.

Ces grandes surfaces imposent une structuration géométrique de cet espace à peindre. La modernité du

Street Art, sa présence incontournable dans le nouvel espace urbain, en font un élément phare du

nouveau monde artistique accessible à tous. A son tour il est devenu un reflet de ce monde si complexe

qui est le nôtre. Citons par exemple, à Paris, qui est devenu un lieu d’exposition tantôt permanent

tantôt temporaire du Street art, « le totem solaire » de Da Cruz, rue des Périchaux dans le 15 ème

arrondissement.

La figure 2 montre, elle, une œuvre de l’américain John Perello (JoneOne en Street Art) réalisée en

2025 à Paris où il réside. Le choix des couleurs est raffiné et harmonieux. Surtout la conception de ces

disques faits de sphères évoque, l’auteur le dit lui-même, un ensemble d’atomes ou de molécules.

Autrement dit cette œuvre réalise directement la synthèse entre le thème des pavages artistiques et

celui des structures atomiques ou moléculaires, une synthèse que nous avons déjà remarquée.


Figure 2. « Fantaisie » rue Vulpian Paris 13ème, une œuvre de John Perello qu’il qualifie lui-même

d’atomique ou moléculaire.

Figure 3. rue Saint Laurent Paris 13 « Snoopy part à la Manoeuvre », une œuvre de Dark Snoopy,

alias Joachim Romain (2018)


La figure 3 est un exemple un peu plus ancien (2018), elle représente « Snoopy à la manœuvre » et

est due à Joachim Romain (Dark Snoopy en Street Art). Elle se relie directement aux pavages en ce

sens qu’elle présente sur un fond de calligraphies orientales, un chien, de bandes dessinées, très occupé

par la poursuite de cette décoration avec des techniques de plus en plus sophistiquées et modernes, en

lisant le panneau de gauche à droite. Là encore l’artiste marie art traditionnel, celui de la calligraphie

orientale, et histoire des techniques, avec un clin d’œil aux héros de bandes dessinées. C’est un peu la

marque de cet art actuel, complexe et désireux d’appréhender notre monde dans sa complexité qu’est le

« Street Art ». Là encore on retrouve une harmonie des couleurs sur une palette assez restreinte, une

autre parenté avec ces références historiques.

Figure 4. rue Vergniaud Paris 13 « l’arbre de la connaissance » une œuvre de Philippe Baudelocque (2025).

La figure 4, une œuvre récente (2025) de Philippe de Baudelocque, est intitulée « l’arbre de la

connaissance ». Elle se trouve sur la façade d’un hôtel dont l’intérieur est aussi décoré par le même

artiste, toujours dans cet esprit de mélange de formes naturelles observées à des échelles très

différentes, une référence à la réalité scientifique actuelle. Les couleurs, peu nombreuses mais fortes,

insistent sur le détail du dessin très varié, très détaillé.

Ces trois figures montrent quelques perspectives d’un art urbain en pleine expansion, omniprésent

dans la vie moderne, à la fois facile d’accès, gratuit, et aussi valorisé par des galeries. Le « Street Art »

revivifie l’architecture comme un nouvel art décoratif en se référant aux possibilités scientifiques et

techniques actuelles.

3.6.5. L’optimisation scientifique du pavage moderne

Et en un certain sens, ce jeu du pavage qui se situe entre science, technique et architecture s’est

encore étendu avec, par exemple l’usage fréquent du logiciel « CATIA », dont l’acronyme signifie

« Conception Assistée Tridimensionnelle Interactive Appliquée », un logiciel issu de Dassault

industries, c’est-à-dire des techniques de l’aviation, autrement dit un apport scientifique mis au point

dans les années 70. Ce logiciel adapté au pavage par des surfaces courbes de profils d’avion


mécaniquement stables, donc résistants aux conditions de l’aérodynamique, a été depuis largement

utilisé en architecture par exemple pour concevoir le plan de la fondation Louis Vuitton établi par

Frank Gehry (1926-2025) en 2014, tout comme les constructions complexes de Zaha Hadid (1950-

2016), dont la tour CMA à Marseille. Cette brillante architecte a développé avec Patrik Schumacher

une conception paramétrique des bâtiments, ce qui lui a permis d’arriver à des réalisations audacieuses

dans le monde entier. A ce propos rappelons l’exposition « Zaha Hadid, une architecture » présentée à

l’Institut du monde arabe en 2011.

Il faut ajouter que la pratique des logiciels en architecture est devenue, depuis cette époque, c’est-àdire

les années 70, chose courante, voire indispensable. Ce sont les logiciels du BIM (Building

Information Modeling). Un exemple particulier d’une telle utilisation est le logiciel Revit utilisé par les

architectes Tolila et Gilliland (titulaires de 2 équerres d’argent obtenues en 2022 et 2024) pour

concrétiser les versions possibles de leur brique émaillée complexe et colorée qui fait toute l’originalité

de leur construction d’un ensemble de boutiques du Miami Design District.

Dans un article paru en 2018 dans « l’avenir de la complexité et du désordre » paru aux éditions

Matériologiques, et intitulé « complexité et désordre en peinture, architecture et urbanisme : vers une

cité tridimensionnelle », je signalais aussi l’utilisation récente des pavages et des jeux de lumière.

Parmi les exemples cités, on trouve la reconstruction du Havre par les frères Perret qui ont su utiliser

des bétons de couleurs différentes pour briser l’uniformité d’une architecture industrielle et donc

répétitive par principe.

L’église Saint-Joseph du Havre (1957) et sa tour lanterne de 107 mètres de haut donne un élan

incontestable à cet ensemble. Surtout, dans cette église, les vitraux uniformément colorés de

Marguerite Huré (1874-1967) apportent une dimension nouvelle aux pavages, par leur abstraction. Une

telle initiative de décoration sobre des vitraux sera reprise notamment par Pierre Soulages (1919-2022)

à l’abbatiale Sainte Foy de Conques en 1994, avec une version personnelle très reconnue.

Au-delà de ces versions très actuelles des pavages artistiques, il faut aussi considérer l’inspiration

biologique de l’architecture, un autre rapport entre science et art.

3.7. Les nouvelles formes architecturales inspirées du végétal au Moyen Âge

Revenons-en au Moyen Âge, déjà bien avancé, vers la fin de l’art roman. L’art religieux intègre

cette fois de nouvelles pratiques architecturales enrichies par la compétition avec les voisins plus ou

moins lointains. C’est tout d’abord l’arrivée de l’art gothique qui allège considérablement les édifices

élevés que sont les églises, en jouant sur la stabilité de l’arc de cercle, qui devient ici l’arc de voûte ou

l’arc boutant. On démontrera bien plus tard que cet arc de cercle est une structure mécanique optimale

dans sa résistance et sa légèreté. Cette démonstration, on la doit à Robert Hooke (1635-1703)

polymathe anglais, et notamment mécanicien, à qui l’on doit les bases de la théorie de l’élasticité et à

Christopher Wren (1632-1723) architecte anglais aux multiples réalisations architecturales dont la

cathédrale Saint Paul à Londres. Bien plus tard Pascal Monceau et moi-même avons montré que toute

structure mécanique lacunaire avait tendance à se former en arc de cercle quand elle est soumise à une

tension (Physical Review B 49 1026 (1994)) 22 , ce qui confirme l’universalité de ces formes arrondies ;

une universalité bien observée dans la nature.

Avec la technique de l’art gothique on a atteint ainsi, lors de la construction de telles églises, des

hauteurs comparables à celles des plus hautes pyramides, sans leur énorme masse et l’énorme chantier

que ces réalisations nécessitaient alors. Ces monuments élégants évoquent aussi des formes végétales

déformées par le vent. Cette propriété de biomimétisme correspond bien sûr à l’optimisation technique

qui vient d’être notée. C’est évidemment aussi une propriété valable pour les végétaux dont les tiges se

courbent élégamment sous le vent. Avec ce succès technique, l’essor de l’architecture gothique a été

22

L’article s’intitule « Monodimensional effects on elastic and vibrational properties of lacunary networks”


immense jusqu’au gothique flamboyant qui se joue de la complexité en produisant un délire de

courbes. Un exemple entre autres est celui du palmier, le pilier central entouré de ses multiples arcs, de

l’église des Jacobins à Toulouse (1335), une église d’un gothique particulier. Cette église à double nef

présente en effet un palmier complexe qui a inspiré à Salvador Dali, ce grand amateur de délires

surréalistes, le fond du tableau « Santiago El Grande » réalisé en 1957 qui fait apparaître Saint Jacques

en chevalier du moyen âge devant ce décor architectural inspirant.

Parmi les formes végétales qui ont marqué l’architecture ainsi libérée de ses traditions, de ses

contraintes, on trouve aussi les bulbes, qui sont notamment imités dans les églises orthodoxes, et dont

la mode s’est propagée très loin.

L’œcuménisme règne alors dans les arts et chez les artistes soucieux d’originalité, et les dômes

orientaux des mosquées sont largement reproduits dans les églises catholiques occidentales. C’est le

cas de la basilique Saint Marc de Venise (inaugurée en 1094) ou de la cathédrale Saint-Front de

Périgueux (1170) ou encore de l’église Sainte-Marie de Souillac (1150), voire de l’église Saint-Pierre

de Chauvigny. L’historien et archéologue de l’architecture Auguste Choisy (1841-1909) suppose

même dans son « Histoire de l’Architecture » , déjà citée dans la référence 21, que des artisans venus

d’Orient ont été employés à l’édification de ces constructions originales, tout comme d’autres artisans

orientaux ont participé en Europe à d’autres activités artistiques telles que la poterie et la céramique en

y apportant à chaque fois leur touche originale et finalement une grande diversité de formes, comme on

l’a vu à propos des azulejos. Ces nombreux échanges favoriseront la transition vers la nouvelle ère

dont l’ouverture, cette fois mondiale, va se révéler exceptionnelle.

4. Art et science à l’ère industrielle

La transition vers la nouvelle ère est aussi progressive. On a l’habitude de faire débuter cette

transition avec la Renaissance et Pétrarque qui a apporté une première marque de liberté de pensée. Le

phénomène marquant de cette transition est bien sûr la conquête du « Nouveau Monde ». Cette

conquête repose sur la maîtrise de la navigation, une maîtrise initiée par Henri le Navigateur (1394-

1460), un prince portugais qui a développé la recherche technique autour de la navigation, avec même

la réalisation de la « Caravelle », ce nouveau bateau exceptionnel de stabilité. Cette maîtrise

scientifique et technique va, par ses nombreux résultats, obtenus peu à peu, avec l’aide de l’Espagne,

complètement chambouler « l’Ancien Monde », par la découverte de nouveaux espaces et de leurs

richesses, une découverte bientôt suivie par l’apport de quantité de produits nouveaux, et finalement

par la mise en question à la fois des anciennes théories comme des pratiques traditionnelles.

Ce grand changement est étudié en détail sous ses multiples aspects dans l’ouvrage « Histoire du

monde au XVe siècle », un livre collectif rédigé sous la direction de Patrick Boucheron et cité dans la

bibliographie. A partir de ce succès, à l’origine technique, s’ensuit un engouement pour la science ainsi

triomphante et un développement scientifique considérable qui mène par exemple à la construction de

la machine thermique (James Watt 1776), laquelle à son tour conduira définitivement l’humanité vers

l’ère industrielle en disposant ainsi à volonté d’énergies considérables pour effectuer toutes sortes de

travaux. Nous ne retiendrons ici encore que quelques fragments historiques choisis pour illustrer

encore une fois le parallèle entre science et art. La considération de deux arts, la peinture et la musique

s’impose alors, car, à l’évidence, ils mettent en jeu des propriétés scientifiques, l’optique et

l’acoustique respectivement dont l’essor dès les débuts de cette période industrielle est très net.

4.1. L’impressionnisme

Une autre étape marquante de la peinture est le début de l’impressionnisme avec le tableau de Monet

« Impressions, soleil levant » (1872) qui a donné son nom à cette importante école de peinture.

L’explication du phénomène montré dans ce tableau et souvent photographié depuis : une traînée

lumineuse de la largeur du soleil semble posée sur la mer agitée, relève évidemment de la physique.

Pierre Coullet et Yves Pomeau ont essayé récemment de comprendre cette observation dans l’article


« Light, water and physics in Monet painting » paru dans « European Physical Journal Web of

Conferences 244, 01011 » en 2020. Leur interprétation, fondée sur l’étude de l’océanographe Walter

Munk (1917-2019), tient au résultat de la somme statistique de la lumière de l’astre réfléchie par les

multiples miroirs constitués par les nombreuses vagues de la mer agitée. Le résultat de leurs

simulations confirme l’apparence de cette traînée de lumière sur la mer. Néanmoins, les espoirs

d’interprétations des phénomènes marins à partir des observations faites depuis des satellites n’ont pas

encore réussi. L’art donne des pistes aux scientifiques, mais certaines résistent aux investigations.

4.2. Quelques exemples de dialogue entre musique et sciences

Un autre cas de figure de dialogue entre art et science est celui de la musique et de l’acoustique, art

et science qui sont évidemment très liés. La musique impose à l’homme son évidence naturelle avec le

souffle du vent, le chant des oiseaux, les cris des animaux. Et la musique a été réellement pratiquée

depuis longtemps par l’humanité comme en témoignent les nombreuses flutes préhistoriques

retrouvées dans de nombreux sites. Pour faire de la musique, et surtout le faire de façon collective et de

façon répétée, il faut obligatoirement une certaine codification commune, une règle, une écriture en

quelque sorte qui fasse trace, référence. Et donc différentes codifications de la musique, proches dans

leurs principes, mais un peu différentes entre elles, selon leur lieu d’exercice et selon l’époque de leur

réalisation ont été produites et existent. Déjà la réalisation de flutes demande une expérience

approfondie du son.

Revenons donc brièvement sur ces codes, avec ici une vue basée sur l’analyse spectrale des sons,

une observation récente et puissante, dont les anciens n’ont eu qu’indirectement conscience, que ces

sons soient émis par un instrument à vent, un instrument à corde ou une voix. Premièrement, ces

observations ne sont pas toutes identiques, elles dépendent de nombreux facteurs comme l’intensité,

l’instrument, le jeu de l’instrumentiste. Donc il faut s’attacher à leurs caractéristiques générales, en

ayant aussi conscience de l’amplitude des variations de ces données.

La première observation montre que chaque enregistrement des fréquences des sons émis par un

instrument met en évidence la présence d’un premier maximum, ce que l’on appelle la fréquence

fondamentale, un maximum assez large, donc pas très bien défini. Ce maximum est suivi d’une série

d’autres maximums à des fréquences qui sont (approximativement bien sûr, puisque le fondamental

n’est pas parfaitement défini) à des multiples entiers de la fréquence fondamentale et que l’on appelle

les harmoniques. Ce principe de répartition des fréquences principales fut observé depuis longtemps

car plusieurs notes émises successivement ou simultanément peuvent posséder des harmoniques

communes, ce qui produit à l’écoute un effet de résonance agréable, vite noté et recherché. Ces

résonances ont permis de codifier la musique et tout bonnement de réaliser ces flutes dont les sons sont

harmonieux justement parce qu’ils ont des harmoniques (approximatives) en commun.

Et cette codification de la musique ne date pas d’hier puisque l’on parle de la gamme

pythagoricienne ! Pythagore (-580 ? - -495) est vraiment très connu pour de nombreuses activités d’une

mathématique aux effets pratiques, très tôt. Cela prouve donc l’ancienneté de la musique, des

musiques.

La fréquence approximative du fondamental de l’instrument correspond à ses propriétés de

construction. Pour un instrument à vent, la distance entre le point d’émission du son et la première

ouverture disponible sert à définir la longueur d’onde dans l’air du son émis et de là, la fréquence

sonore. Pour un instrument à corde, la longueur de corde entre son point d’attache et l’autre point fixé

par l’artiste ou l’instrument, sert à définir la longueur d’onde dans la corde et ensuite la fréquence

sonore de l’instrument à corde, fréquence qui est transmise à l’air ambiant. Donc pour accorder

l’instrument à vent et l’instrument à corde, il faut ajuster la tension de l’instrument à cordes, car on ne

peut pas modifier la hauteur de la fréquence du son de l’instrument à vent.

Ensuite, pour un même instrument, il faut s’arranger pour que les sons successifs, les notes émises,

aient entre eux des harmoniques communs pour procurer une résonnance agréable à l’oreille. Ce


problème mathématique a été résolu pratiquement de plusieurs façons approximatives, par exemple par

Pythagore. Les résultats sont les gammes et les accords, ces successions de notes aux effets agréables.

Du phonème qu’est la note, on est ainsi passé au mot. Comme on l’annonçait plus tôt, on obtient ainsi

une écriture, une structure de sons successifs. Le plus simple des multiplicateurs entiers est 2, donc

passer de la note de fréquence f à sa première harmonique, la note de fréquence 2f est un point

important, c’est la même note dans la gamme supérieure, ce qui définit la gamme. Du coup, pour

optimiser les résonances entre notes par leurs harmoniques, on est conduit à ne faire intervenir que

quelques notes dans la même gamme de fréquence c’est-à-dire dans l’intervalle [f, 2f], dans des

rapports simples de fréquence. Les choix optimaux sont évidemment approximatifs comme on l’a déjà

noté, et ils ne sont pas très différents d’une civilisation musicale à une autre, ce qui permet des

adaptations assez faciles d’une tradition à une autre.

La musique a donc réellement une vocation universelle, car, heureusement, les différentes traditions

sont assez proches. En revanche son expression n’est pas très précise, alors que les langues comptent

souvent de l’ordre de 100000 mots qui peuvent encore être précisés par des juxtapositions, des

constructions, on ne peut pas distinguer aussi bien des motifs musicaux différents. Cela donne à la

musique un statut particulier, à la fois universel et diffus. De fait, la musique a été associée très tôt aux

religions en faisant partie de leurs activités, de leurs rites, avec ce statut à la fois solennel et distancié.

Ce statut privilégié lui a aussi valu l’appréciation de riches mécènes qui entretenaient sa pratique, ses

compositeurs et ses interprètes pour leurs divertissements. Les progrès techniques et sociaux de la

révolution industrielle en marche, ont alors fait apparaître une bourgeoisie soucieuse de culture, de

divertissement, et donc susceptible d’affranchir les musiciens de leur servitude vis-à-vis des

établissements religieux et des mécènes. Et il faut aussi dire que les pratiques musicales se sont très tôt

diversifiées, comme les instruments et les groupes musicaux et vocaux.

On est donc arrivés au point déjà abordé où les conversions entre les musiques de civilisations

différentes deviennent nécessaires. Pour avancer encore cet état des lieux dans le passé récent, le

présent et le futur, nous allons considérer quelques cas particuliers contemporains.

5. Trois cas particuliers entre arts et sciences

Après ce bref parcours qui montre la réalité et aussi les difficultés des échanges entre arts et

sciences, nous allons montrer ici trois cas particuliers d’ouverture actuelle entre arts et sciences, des

cas qui illustrent la richesse de cette thématique et ses espoirs. C’est une voie déjà existante et bien sûr

à développer.

Jean-Marc Philippe (1939-2008)

Jean-Marc Philippe avec une formation de scientifique (DEA de Géophysique) s’est très tôt tourné

vers les arts en devenant peintre. La rencontre en 1984, lors d’une conférence scientifique, de l’exposé

d’Alain Dubertret, chercheur au CNRS Vitry, sur les alliages à mémoire de forme alors utilisés dans

l’aérospatiale pour déployer dans l’espace les photopiles nécessaires à la fourniture d’énergie des

satellites, transportées sous un volume minimum dans les fusées, a changé sa vie. En effet, Jean-Marc

Philippe s’est alors lancé dans un sérieux apprentissage technique auprès du constructeur américain de

ces supports pour devenir sculpteur d’alliages à mémoire de forme, avec l’espoir, réalisé plus tard, de

lancer de tels messages dans l’espace. Il avait aussi l’idée fructueuse de réaliser des sculptures à sens

multiples, dont le sens pouvait varier selon la température de l’environnement, ce qu’il a aussi réussi.

Ce parcours tout à fait exceptionnel ouvre des perspectives fructueuses de transfert des connaissances

d’un domaine à l’autre.

LINKs


LINKs est une revue créée par le critique d’art Louis-José Lestocart dans les années 2010 pour être

le lien entre diverses activités artistiques et scientifiques, un lieu d’échanges, d’ouverture. Cette revue

d’une quinzaine d’années d’existence a permis des rencontres assez exceptionnelles sur un art en

création, en mouvement, à la pointe de la science et de la technologie. La réalisation de cette revue fut

d’ailleurs un bouleversement pour ce spécialiste formé initialement en paléoarchéologie ! Un des

nombreux artistes ainsi révélés par cette revue et ces échanges est Antoine Schmitt, un musicien rompu

à de multiples techniques actuelles et en devenir.

Antoine Schmitt

Antoine Schmitt a une formation d’ingénieur des télécommunications et après une carrière

d’ingénieur a développé une activité artistique où l’image et le son générés par l’ordinateur occupent

notre imaginaire en l’enrichissant d’expériences multiples. Il saisit, ou au moins tente de saisir toutes

ces possibilités, ce qui est, malheureusement rare actuellement, en créant un spectacle aux multiples

vies dans de nombreux lieux dont le musée Pompidou à Beaubourg.

Ces derniers exemples, tout comme les exemples plus anciens cités précédemment prouvent

amplement la possibilité de la communication entre arts et sciences. Ces différents cas mettent tous en

évidence plusieurs niveaux d’interaction sociale, un niveau individuel avec des capacités multiples, des

goûts assez larges, un niveau intermédiaire susceptible de générer des rencontres rares comme dirait

Granovetter, et enfin la nécessité d’un soutien plus permanent, d’un mécénat social en quelque sorte,

qui permette la durée de tels trajets transverses et leur donne l’opportunité d’un épanouissement.

Le deuxième niveau d’interaction, la rencontre de thématiques, demande une création de colloques,

de lieux d’exposition largement ouverts, et ceci selon une pratique régulière. Le troisième niveau

demande quant à lui, un effort prolongé dans la durée : un accord de bourse sur des durées assez

longues pour assurer le succès de telles entreprises, de longue durée, un réel mécénat, pour dépasser les

aléas liés à de telles entreprises.

6. Conclusion

Au cours de ce résumé historique, nous avons observé bien des échanges entre arts et sciences.

Citons entre autres, la pratique de la self-similarité dans les pavages de l’art de l’islam, et ceci bien

avant les fractals de Benoît Mandelbrot et l’étude des phénomènes critiques. De même les pavages de

l’art de l’islam ont anticipé de plusieurs siècles l’étude des cristaux et des quasicristaux. Plus près de

nous, Escher a su tirer parti des découvertes scientifiques et notamment de celles d’Henri Poincaré

pour créer des dessins pleins de talent. L’exploitation des données géométriques des pavages a conduit

à imaginer des structures architecturales légères et à leur tour des œuvres d’art dites en « tenségrité »,

et le tout est revenu en chimie avec la découverte des fullerènes ! Le Street Art sait aussi tirer parti de

cette réflexion sur la structure intime de la matière pour décorer les murs et les villes. A leur tour les

architectes utilisent des logiciels scientifiques pour réaliser leurs œuvres ! Et les alliages à mémoire de

forme, récemment découverts, suggèrent un renouveau de la sculpture en proposant des statues dont la

forme dépend de la température extérieure, voire d’un souffle.

Ces liens se produisent dans les deux sens et la question du développement de ces liens est ici posée

d’après des expériences récentes. Cette question met en évidence le besoin d’une reconnaissance

sociale de ce genre d’activité qui peut se révéler créatrice en sciences comme en arts.

7. Bibliographie

[BRA 49] BRAUDEL F., La Méditerranée et le Monde Méditerranée, à l’époque de Philippe II, Armand Colin, Paris,

1949.

[BRA 81] BRAUDEL F., Civilization and Capitalism 15th-18 th Century, University of California, Berkeley, 1981.


[BRA 88] BRAUDEL F., The identity of France, Harper and Row, New York, 1988.

[CHO 64] CHOISY A., Histoire de l’Architecture Tomes 1 et 2, Éditions Vincent, Fréal & Cie, Paris, 1964.

[JOF 79] JOFFROY R., Musée des Antiquités nationales Saint-Germain-en-Laye Guide, Éditions Réunion des musées

nationaux, Paris, 1979.

[MAN 77] MANDELBROT B.B., Fractals: Form, Chance and Dimension, W. H. Freeman and Co., San Francisco, 1977.

[GRU 87] GRÜNBAUM B., SHEPHARD, G.C., Tilings and Patterns, W. H. Freeman and Co., San Francisco, 1987.

[DEL 89] DELACOUR J., LEVY J.-C.S. (dir.), Systèmes à Mémoire, une approche multidisciplinaire, Masson, Paris,

1989

[LEV 92] LEVY J.-C.S. (dir.), Nouvelles Structures de Matériaux, Masson, Paris, 1992

[LEV 15] LEVY J.-C.S. (dir.), Complexité et Désordre, éléments de réflexion, EDP Sciences, 2015

[LEV 18] LEVY J.-C.S., S. OFMAN (dir.), L’avenir de la complexité et du désordre, Editions Matériologiques, 2018

[BOU 09] BOUCHERON P., (dir.) Histoire du monde au XV é siècle, Fayard, Paris, 2009.


Arts et sciences


L’énigme du calice dans Bouvard et Pécuchet

The Enigma of the Calyx in Bouvard and Pécuchet

Eric Tannier 1,2,* , Simon Castellan 3 , Marine Fauché 4 , Sophie Nadot 5 , Agnès Schermann-Legionnet

6

1

Centre Inria de Lyon et Institut des systèmes complexes, ENS Lyon

2

Université de Lyon, CNRS, Laboratoire de Biométrie et Biologie Évolutive

3

Centre Inria de l’Université de Rennes

4

Université Paris-Saclay, CNRS, AgroParisTech, Écologie Société et Evolution

5

Université Paris-Saclay, CNRS, AgroParisTech, Écologie Société et Evolution

6

Université de Rennes, CNRS, Écosystèmes, biodiversité, évolution

*

pour les correspondances : eric.tannier@inria.fr

RÉSUMÉ. Quelques jours avant de mourir le 8 mai 1880, Gustave Flaubert élaborait l’épisode sur la botanique, un des

derniers de son roman Bouvard et Pécuchet. À cette fin, et inspiré par une phrase de Rousseau sur le calice des fleurs qui

« manque à la plupart des liliacées », il avait rédigé une note en forme d’énigme botanique : trouver une plante commune,

poussant en Normandie au mois d’avril, qui serait d’une famille qui dérogerait à une règle générale chez les plantes (« Toute

plante a des feuilles, un calice et une corolle »), mais qui elle-même dérogerait à cette exception au sein de sa famille (une

exception à l’exception). Sans grande familiarité avec la botanique, Flaubert prétendait prédire l’existence d’une telle plante,

alors que l’énigme suscitait la circonspection chez ses amis plus savants. Une enquête de Maupassant lui a permis d’examiner

des solutions possibles d’abord parmi les Renonculacées puis les Rubiacées, où la shérarde lui a semblé répondre

à son attente. Cet épisode laisse toujours plusieurs questions sans réponse, auxquelles nous tentons d’apporter des éclairages,

qui nécessitent un regard botanique sur cette énigme : pourquoi Rousseau a-t-il écrit « la plupart » ? Pourquoi

Flaubert a-t-il refusé la première solution de Maupassant ? Pourquoi a-t-il accepté la seconde ? La shérarde était-elle en

1880, et est-elle aujourd’hui une bonne solution à son énigme ? Quels mécanismes naturels ou épistémologiques, produisent

les exceptions aux exceptions ? Comment cette plante imaginaire peut-elle devenir le terrain de confrontation de

conceptions différentes de la nature et de la connaissance, du XIXe au XXIe siècle ?

ABSTRACT. A few days before his death on May 8, 1880, Gustave Flaubert was working on the episode about botany,

one of the last in his novel Bouvard and Pécuchet. To this end, inspired by a sentence by Rousseau about the calyx of

flowers, which “is missing in most liliaceae,” he wrote a note in the form of a botanical enigma: to find a common plant,

growing in Normandy in April, that would belong to a family that deviated from a general rule among plants (“Every plant

has leaves, a calyx, and a corolla”), but which itself would deviate from this exception within its family (an exception to the

exception). Without much familiarity with botany, Flaubert claimed to predict the existence of such a plant, while the enigma

aroused caution among his more knowledgeable friends. An investigation by Maupassant allowed him to examine possible

solutions, first among the Ranunculaceae and then the Rubiaceae, where the sherardia seemed to meet his expectations.

This episode still leaves several questions unanswered, which we will attempt to shed light on, requiring a botanical and

historical perspective on this enigma: why did Rousseau write “most”? Why did Flaubert reject Maupassant's first solution?

Why did he accept the second? Was the sherardia in 1880, and is it today, a good solution to his enigma? What natural or

epistemological mechanisms produce exceptions to exceptions? How can this imaginary plant become the battleground for

different conceptions of nature and knowledge, from the 19th to the 21st century?

MOTS-CLÉS. Botanique, Littérature, Histoire, Flaubert, Rousseau, Philosophie de la connaissance, Campagne, Périanthe.

KEYWORDS. Botany, Literature, History, Flaubert, Rousseau, Philosophy of knowledge, Countryside, Perianth.

1. Introduction

Dans une de ses dernières lettres, le 1er mai 1880, Gustave Flaubert écrivait à Georges Pennetier,

conservateur au muséum d’histoire naturelle de Rouen : « Mon cher ami, Pourriez-vous, demain, me

montrer des dessins de Rubiacées (gratteron, caille muguet, etc. qui n’ont point de calice) – & la

représentation exacte d’une Sherarde (ou Sherardia) plante de la même famille, qui en possède un ! Ainsi,


j’ai ce qu’il me faut : une exception à la règle, – & une exception à l’exception. » 1 . On sait que le

lendemain, le soir du 2 mai, Flaubert a effectivement rendu visite à Pennetier 2 , mais on ignore s’ils ont

regardé ensemble des dessins de plantes, et si Flaubert a pu considérer ces dessins comme des solutions

satisfaisantes à la quête à laquelle il s’était consacré pendant les deux derniers mois de sa vie, inspiré par

une phrase énigmatique de Rousseau lue dans ses Lettres élémentaires sur la botanique.

Nous proposons dans cet article une lecture botanique approfondie de cet épisode. Nous nous référons

à la documentation de Rousseau et celle de Flaubert et de ses informateurs, nous donnons une

interprétation et des réponses possibles aux multiples questions botaniques que s’était posées Flaubert et

que ses contemporains et les nôtres n’ont pas jusqu’ici abordées de bonne grâce. Nous produisons les

dessins qu’avait demandés Flaubert à Pennetier, qui font voir et comprendre l’enjeu diégétique des

organes floraux ou de leur absence.

Trois familles de plantes sont impliquées dans l’énigme : les Liliacées, car c’est la famille concernée

par la phrase de Rousseau qui a inspiré la quête de Flaubert, les Renonculacées, car elles ont d’abord été

proposées par Maupassant comme solution à l’énigme, et les Rubiacées, car c’est là que Flaubert a vu la

solution qui semblait lui convenir. Nous montrons des éléments historiques, botaniques, graphiques, qui

permettent de comprendre les enjeux littéraires et philosophiques de cet épisode.

La partie botanique de l’énigme n’est pas entièrement résolue à la fin de notre enquête. En chemin,

elle a néanmoins permis d’examiner une prédiction théorique surprenante de Flaubert, qui donne à

Bouvard et Pécuchet, vu depuis la botanique, l’aspect d’un herbier, collection de failles illustrant les

difficultés posées par la nature à l’entreprise humaine de connaissance, de maîtrise ou de contrôle du

monde. Herbier que la littérature ou le cinéma du XXe siècle a continué à alimenter, et qui pourrait être

utile aujourd’hui à la représentation de l’équilibre des rapports des sociétés occidentales à la nature où,

comme l’écrivait Michel Serres, la maîtrise des éléments s’est accélérée, au détriment de la « maîtrise

de notre maîtrise ».

2. L’énigme et son contexte

L’histoire de l’épisode botanique est documentée par la correspondance et les brouillons successifs

de Bouvard et Pécuchet. Elle est racontée en particulier par Mitsumasa Wada [WAD 99], mais

l’introduction de quelques détails importants pour notre propos justifient qu’on en recommence le récit.

Flaubert est mort brusquement le 8 mai 1880, en fin de matinée. Sa dernière lettre connue est du 6 ou

7 mai, où il écrit à Maxime du Camp « j’ai à peu près terminé mon livre ; ce qui me reste à faire est peu

de chose » 3 . Deux mois avant, il entame un passage sur la botanique pour Bouvard et Pécuchet, ce conte

philosophique sur la fragilité des savoirs, pour la documentation duquel il affirme avoir lu plus de 1500

livres, parcourant les connaissances de son époque, et leurs failles, sur presque tous les sujets.

Pour cela il commence 4 par consulter les Lettres élémentaires sur la botanique de Rousseau. Dès le

premier chapitre il tombe sur cette formule qui nous fait entrevoir l’acuité qu’il avait développée pour

percevoir les failles dans les édifices qu’il contemplait : « Le calice qui accompagne presque toutes les

autres fleurs manque à la plupart des liliacées » [ROU 89]. Du « presque » de Rousseau, Flaubert déduit

1

Notre source pour la correspondance est l’édition en ligne publiée sous la direction de Yvan Leclerc et Danielle Girard, Centre Flaubert,

Université de Rouen Normandie [FLA 17]

2

Comme l’atteste une lettre à Pennetier le 3 mai.

3

Lettre à Maxime du Camp, 6 ou 7 mai 1880

4

Dans la lettre à Frédéric Baudry du 29 mars, on trouve « N’ayant pas d’autre livre sur le sujet, j’ai pris la Botanique de J-J Rousseau

», tandis que le 27 mars il écrivait à Caroline Commanville « Pour un passage de 6 lignes j’ai lu 3 volumes ».


une première exception à une règle générale : les fleurs ont généralement un calice 5 , mais pas toutes.

Certaines familles 6 , dont les Liliacées, en manquent. Du « la plupart » 7 , il déduit une exception à

l’exception : Rousseau sous-entend que certaines Liliacées 8 ont un calice tout de même.

Figure 1. Extrait de l’exemplaire lu et annoté par Flaubert des Lettres élémentaires sur la botanique de Rousseau,

conservé à la bibliothèque de l’université de Rouen et numérisé, disponible en ligne sur le site du Centre

Flaubert 9 . Dans la marge, on lit de la main de Flaubert « trouver un liliacée qui ait un calice » (avec peut-être

un « X », qui depuis Descartes est la marque de l’inconnue). Reproduction avec l’accord de Yvan Leclerc, que

nous remercions pour le signalement de cette source.

5

Les fleurs sont décrites depuis le XVIIIe siècle comme composées des organes sexuels (étamines et pistils), situés au centre, et entourés

par une corolle, ensemble des pétales, souvent colorés, et un calice, que Rousseau décrit comme « cette partie verte et communément

en cinq folioles, qui soutient et embrasse par le bas la corolle, et qui lʼenveloppe toute entière avant son épanouissement,

comme vous aurez pu le remarquer dans la Rose ». L’ensemble est aujourd’hui nommé le périanthe, terme utilisé de façon

générique quand il est difficile de distinguer corolle et calice, comme chez la plupart des Liliacées.

6

Une famille, terme et concept formalisés par Jussieu au XVIIIe siècle, est un ensemble de plantes partageant des caractères morphologiques

ou fonctionnels, absents des plantes à l’extérieur de l’ensemble. Les environ 6000 plantes de la flore de France métropolitaine

sont aujourd’hui classées en environ 200 familles, aux répartitions très inégales, la moitié étant recensées dans une dizaine

de familles.

7

Wada [WAD 99] a écrit que Flaubert a imaginé le mot « la plupart », n’ayant pas eu accès à l'époque de la rédaction de son article

à l’édition des Lettres sur la botanique lue par Flaubert. Il reproduit la même erreur dans un article plus récent [WAD 09]. Cette erreur

lui fait peut-être minimiser l’importance de l’énigme botanique, qui aurait concerné dans ce cas une plante imaginaire issue

d’une phrase inventée. Flaubert est pourtant, habituellement et cette fois encore, précis avec les éléments de sa documentation.

8

Nous adoptons, autant que faire se peut, les règles de nomenclatures botaniques utilisées à l’époque concernée dans le passage

(XVIIIe siècle ici, XIXe siècle ou XXIe siècle par la suite), c’est pour cette raison que nous pouvons écrire liliacées pour la famille dont

parle Rousseau, et Liliacées, avec une majuscule, pour la famille contemporaine.

9

https://flaubert.univ-rouen.fr/qui-%C3%A9tait-flaubert/dossiers-documentaires/une-vie-de-lectures/la-biblioth%C3%A8que-deflaubert/autres-%C5%93uvres/jean-jacques-rousseau-%C5%93uvres-compl%C3%A8tes-t-v


Il n’en faut quasiment pas plus à Flaubert pour la trame de son épisode : devant ses élèves (l’épisode

se trouve dans un chapitre sur l’éducation), Pécuchet énonce une règle : « Toute plante a des feuilles, un

calice et une corolle enfermant un ovaire ou péricarpe qui contient la graine 10 » [FLA 81]:p389, mais les

plantes à proximité la démentent immédiatement. Il justifie les observations par une exception à sa règle,

mais une plante commune dément l’exception. Si l’exception confirme la règle, comme Flaubert l’écrit

dans le Dictionnaire des idées reçues, l’exception à l’exception la réduit à néant. Flaubert écrit dans la

marge des Lettres sur la botanique : « Trouver un liliacée qui ait un calice » (Figure 1), qu’on retrouve

aussi dans une note de lecture 11 .

Il se lance dans la quête. Il en parle à plusieurs savants de son entourage. Le 21 mars il s’entretient à

Croisset avec Georges Pennetier, conservateur au muséum d’histoire naturelle de Rouen, et Georges

Pouchet, un biologiste du muséum d’histoire naturelle de Paris et son ami de longue date 12 . Tous les

deux le prennent de haut, et Flaubert le leur rend bien : « Quelles drôles de cervelles que celles des

savants, pour ne pas distinguer une idée accessoire d’une idée principale !!! – Tout cela, faute d’habitude

littéraire et philosophique » 13 . Ils lui affirment que les Liliacées n’ont pas de calice, que les

approximations de Rousseau ne sont que de peu d’utilité pour la botanique. Flaubert s’entête. « Si je n’ai

pas cela autant supprimer tout le passage sur la botanique » 14 . Parallèlement à la rédaction progressive

de son passage, où les noms des plantes sont laissés provisoirement vides, il écrit une longue lettre à

Frédéric Baudry 15 , un ami d’enfance qui est bibliothécaire à Paris, accompagnée d’une note qui explique

le mieux possible son énigme (note reproduite en Figure 2). Il étend sa recherche à d’autres familles : si

les Liliacées sont toutes dépourvues de calice, admettons une imprécision ou une prudence de Rousseau

dans son expression, alors il devrait exister une autre famille, dépourvue de calice, mais dont un membre

en un aurait tout de même. Cette démarche froisse ses interlocuteurs : Flaubert prétend prédire

l’existence d’une plante sur la base d’un vieux texte qui parle d’une autre, couplé à une vision esthétique

de la nature, sans connaissances scientifiques. Baudry affirme que les plantes recherchées par Flaubert

sont « introuvables dans les conditions de plantes vulgaires où vous les recherchez » 16 , et il donne des

leçons d’écriture à Flaubert, le comparant, volontairement ou non, à ses personnages : « Mais, tonnerre

de Dieu, pourquoi vous engagez-vous dans la botanique que vous ne savez pas ? Vous vous exposez à

une foule d’erreurs qui n’en seront pas moins drôles pour être involontaires. »

Flaubert ne renonce pas. Il écrit à son ami Ivan Tourgueniev « Ma plus grande indignation porte

maintenant sur les botanistes. Impossible de leur faire comprendre une question, que je trouve très claire !

Vous verrez cela vous-même. Et vous serez stupéfait du peu de jugement qu’il y a dans ces cervelles ! » 17

10

Phrase fausse à toutes les époques, évidemment, non seulement pour les exceptions dont il est question ici, mais aussi parce que

ce n’est pertinent que pour les plantes à fleur, et qu’il existe d’autres sortes de plantes organisées très différemment (les mousses,

les fougères, les conifères, entre autres).

11

Conservée à la bibliothèque municipale de Rouen, dans les dossiers de Bouvard et Pécuchet, numérisée et accessible en ligne ici :

https://www.dossiers-flaubert.fr/cote-g226_2_f_174__r____-trn. Merci à Stéphanie Dord-Crouslé pour le signalement.

12

Georges Pouchet est le fils de Félix-Archimède Pouchet, connu pour ses controverses avec Pasteur à propos de la génération

spontanée, et ancien professeur de sciences naturelles de Flaubert au collège de Rouen.

13

Lettre à Caroline Commanville du 27 mars 1880. On note dans cette formule étonnante une opposition entre les savants et les

philosophes qui rappellent la distinction entre les sciences de la nature et les sciences de l’esprit que faisait Wilhelm Dilthey à la

même époque. On note également une opposition entre les idées principales et les idées accessoires, où, pour Flaubert, l’exception

à l’exception fait figure d’idée principale. Flaubert renverse donc la pensée nomologique propre aux sciences de la nature, qui voudrait

qu’une idée principale soit une règle, un fait général, et non un fait singulier. Ceci explique probablement la mésentente avec

ses correspondants, et comment Flaubert construit son roman en faisant des exceptions son idée principale.

14

Lettre à Frédéric Baudry du 29 mars 1880. Cette formule fait apparaître que donner une existence à cette plante imaginaire est

une nécessité diégétique plus qu’une quête scientifique.

15

Cette lettre (voir aussi la note précédente) a été retrouvée en 1975 dans l’exemplaire ayant appartenu à Frédéric Baudry des

Lettres élémentaires sur la botanique de Rousseau [BRI 76]

16

Lettre de Frédéric Baudry à Flaubert du 4 avril 1880.

17

Lettre de Flaubert à Ivan Tourgueniev du 7 avril 1880.


Il demande à Guy de Maupassant, à qui il fait suivre la note envoyée à Baudry, une solution à son énigme.

Maupassant se prend au jeu en allant poser la question à des spécialistes : « tous les professeurs d’histoire

naturelle de France sont à ma disposition » 18 . Il propose tout d’abord dans une lettre du 23 avril la famille

des Renonculacées, dont certaines ont un calice (les renoncules), et d’autres non (anémones, clématites).

Mais Flaubert n’est pas satisfait : il ne retient pas les renoncules comme une exception à l’exception, les

voit plutôt comme des exemples suivant la règle générale : « Non ! ça ne me suffit pas, bien que déjà, ce

soit mieux. Les anémones (dans la famille des renonculacées) sans calice, – très bien. Mais [...] il me

faut une exception à l’exception, malice qui m’est suggérée par le « la plupart » du citoyen de Genève. »

Maupassant consulte le professeur de botanique du Jardin des plantes, sans doute Édouard Bureau, qui

suggère la shérarde 19 , qui aurait un calice, tandis que les Rubiacées, famille dont elle fait partie, n’en

auraient pas. Flaubert a tout juste le temps d’envoyer à sa nièce Caroline (le 1er mai) l’expression de sa

satisfaction pour cette solution : « Je triomphe. » On ne sait pas s’il était toujours aussi satisfait après sa

soirée du 2 mai avec Pennetier où il a peut-être regardé des dessins de Rubiacées, comme le suggère la

lettre citée en début d’introduction.

Après la mort de Flaubert, Caroline Commanville tenta de compléter le paragraphe botanique du

roman en assurant à la fois la cohérence botanique et le respect de ce qu’elle pensait être la volonté de

son oncle, en sollicitant l’aide de Pennetier 20 . Les éditions ultérieures de Bouvard et Pécuchet font des

compromis différents en éliminant les ajouts de l’héritière, quitte à mélanger Liliacées et Rubiacées, et

expliquer en note que les incohérences sont dues au caractère inachevé de l’ouvrage 21 .

Figure 2. La note de Flaubert, décrivant l’énigme, disponible sur le site de l’édition de la correspondance de

l’université de Rouen 22 . Reproduite avec l’autorisation de Yvan Leclerc.

18

Lettre de Maupassant à Flaubert du 23 avril 1880.

19

Par un moyen et à une date qui ne sont pas connus. Dans une lettre postérieure à la mort de Flaubert, sa nièce Caroline dit avoir

en sa possession une lettre de Édouard Bureau à Flaubert, perdue aujourd’hui [DOR 26]. La lettre du 1er mai 1880 à Georges Pennetier,

citée en introduction, fait pour la première fois une mention de cette solution, avec une demande de vérification.

20

Il est fait mention de deux lettres de Caroline Commanville à Georges Pennetier sur ce sujet dans l’article de Stéphanie Dord-Crouslé

[DOR 26].

21

Par exemple dans l’édition Garnier Flammarion, 1999 [FLA 81]. Voir aussi Stéphanie Dord-Crouslé [DOR 20], où l’autrice explique le

rôle de l’éditeur scientifique dans l’élaboration d’un texte, et pointe une autre incongruité botanique dans un roman de Flaubert,

avec des nappes de violettes en octobre, dues à des erreurs de copie.

22

https://flaubert.univ-rouen.fr/correspondance/correspondance/29-mars-1880-de-gustave-flaubert-%C3%A0-

fr%C3%A9d%C3%A9ric-baudry/?person_id=126


Transcription : « un bourgeois ignorant la Botanique, pose l’axiome suivant pr l’instruction de deux enfants :

« toutes les plantes ont des feuilles, un calice et une corole 23 enfermant l’ovaire ou péricarpe qui contient la

graine. » L’axiome doit être démenti par trois faits :

1° les enfants apportent à leur professeur

– une touffe de gazons des graminées où il n’y a pas de péricarpe

– & X .................................. ?

2° Une rose. | ici l’ovaire n’est pas dans la corole mais au-dessous des pétales.

3° Je demande une plante n’ayant pas de calice comme les jacinthes, les anémones. J.-J. Rousseau dans sa

botanique, dit que « la plupart des liliacées en manquent ». ce mot « la plupart » m’avait donné à croire que

certains liliacées en manquent. mais on m’affirme que tous en manquent. Je ne tiens pas aux liliacées. Donc,

cherchez une autre famille n’ayant pas de calice, mais où cependant, il on trouve, par exception, une plante

en ayant un. Pr arriver à ce double effet : L’axiome posé est démenti par X qui n’ont pas de corole 24 . Eh bien

ce n’est pas vrai ? X qui sont de cette famille – en ont un. De sorte que non seulement la règle est démolie,

mais encore l’exception à la règle.

Il me faut des plantes vulgaires. On est à la fin d’avril, en Basse-Normandie. »

3. Des solutions, des mécanismes

Il reste, malgré l’exemple de la shérarde qui a satisfait Flaubert, plusieurs questions sans réponses

dans la genèse de l’épisode botanique. L’une est la toute première recherche de Flaubert, « trouver un

liliacée qui ait un calice », qu’il a abandonnée suite au scepticisme de ses amis. Pourtant, Rousseau écrit

bien que le calice « manque à la plupart des liliacées », ce qui laisse penser qu’il connaissait des

exceptions. Lesquelles ? Une autre question concerne le refus de Flaubert devant la première solution de

Maupassant. Pourquoi Flaubert n’est-il pas satisfait de l’exemple des renoncules ? Comprendre ce

premier échec peut permettre de mieux saisir la quête de Flaubert, et le statut biologique,

épistémologique et esthétique de l’exception à l’exception. Une troisième question est de savoir si

l’exemple de la shérarde répond bien à la demande de Flaubert. Pour plusieurs commentateurs du XXe

siècle [WAD 99, BOU 81] ce n’est pas le cas mais leurs arguments sont discutables.

Tenter de résoudre aujourd’hui ces énigmes pose la question des points de vue historique et

géographique. Historique parce que d’une part les plantes qui fleurissent en Normandie au mois d’avril

ne sont pas nécessairement les mêmes aux XVIIIe, XIXe et XXIe siècles ; et d’autre part et

principalement, parce que les noms, les classifications en familles et les descriptions des caractères

peuvent être différents pour les contemporains de Rousseau, pour ceux de Flaubert et pour nous. Les

classifications sont diverses et mouvantes, controversées et évolutives 25 . Géographique aussi parce que

dire que les plantes d’une certaine famille sont dépourvues de calice, c’est se prononcer soit sur toutes

les plantes connues mondialement de cette famille, soit sur les plantes de cette famille qui poussent en

France métropolitaine, soit sur les plantes qu’on trouve en Normandie. Et ce choix peut inverser le statut

23

C’est l’orthographe habituelle en 1880.

24

Wada [WAD 99] remarque l’étourderie de Flaubert qui écrit « qui n’ont pas de corole » au lieu de « calice ». Il fait à son tour une

étourderie en transcrivant la note dans son article, où « au-dessus » des pétales est écrit à la place du « au-dessous » de la note de

Flaubert, et c’est cette dernière qui est conforme à la description botanique des roses, aussi bien au XIXe siècle qu’aujourd’hui, et

qui est utilisée dans le passage botanique de Bouvard et Pécuchet.

25

De nombreux systèmes de classification se sont succédé et ont même cohabité simultanément, différant selon le choix et l’interprétation

des caractères utilisés pour classer. Aujourd’hui la plupart des classifications issues du monde académique sont plutôt

phylogénétiques et fondées sur des données moléculaires, ce qui n’élimine ni les controverses ni le caractère mouvant parce que les

façons d’interpréter le signal moléculaire sont également sujettes à controverses.


d’une exception : une exception en France peut être une généralité dans le monde. Cette étude tente donc

de situer les énigmes et leurs éventuelles solutions 26 .

3.1. L’énigme de Rousseau et l’exception à l’exception chez les Liliacées

Dans la cinquième promenade des Rêveries du promeneur solitaire, Rousseau écrit qu’il part

herboriser avec le Systema Naturae de Linné sous le bras [ROU 89b]. Il lui sert à connaître les genres et

leur diversité en espèces. Mais ce n’est pas dans Systema Naturae qu’il a pu trouver la documentation

pour le passage des Lettres élémentaires sur la botanique qui nous intéresse ici, car la classification en

familles n’y figure pas 27 . On trouve cette classification dans les Éléments de botanique de Tournefort,

paru en 1694, que Rousseau a également consulté 28 . Dans cet ouvrage, la famille des lis (les liliacées)

est divisée en plusieurs sections selon la composition de la « feuille de la fleur » (le périanthe) en six

parties identiques ou bien décomposée en calice et corolle. Dans la première section (six parties

identiques, comme dans la Figure 3, ligne du haut), on trouve la plupart des genres de liliacées. Dans la

deuxième section (calice et corolle distincts, Figure 3, ligne du milieu) on trouve un unique genre 29 ,

Ephemerum, qui pourrait être l’origine du « la plupart » de Rousseau.

Cette solution reste valable au cours du XIXe siècle 30 , mais plus pour les classifications d’aujourd’hui

où ce genre est nommé Tradescantia (les misères) et classé dans la famille des Commelinacées. Il reste

cependant possible de trouver une Liliacée contemporaine avec un calice dans le genre Calochortus, qui

présente des tépales en deux séries distinguables (Figure 3, ligne du bas).

Malheureusement (ou heureusement, car on serait déçus de s’arrêter là) ces genres, s’ils peuvent

expliquer le « la plupart » de Rousseau, n’auraient pas fourni à Flaubert le « renseignement botanique »

qu’il attendait, car les plantes des genres Ephemerum (ou Tradescantia) ou Calochortus ne sont pas des

plantes communes qui poussent dans les prairies de Normandie en avril. Elles sont natives du continent

américain, et les misères ont été importées en France métropolitaine pour servir d’ornementation.

26

Nous nous plaçons ainsi dans la veine de nombreux travaux analogues qui étudient le même roman avec une perspective scientifique

et historique. Par exemple sur l’agriculture [GAY 98], ou un numéro spécial de la revue Flaubert [LEC 17].

27

Une classification des plantes de Linné figure dans son ouvrage Species plantarum publié en 1753, mais les catégories, fondées

uniquement sur le système reproducteur, n’ont pas résisté au temps.

28

Tournefort est cité dans les Lettres élémentaires sur la botanique, ainsi que dans sa correspondance. Voir en particulier l’extrait de

la correspondance cité par Alexandra Cook [COO 07], où Rousseau écrit qu’il « rapporte les noms de Tournefort au système de

Linné » (note 23 de cet article) en recourant à des travaux de Gaspard Bauhin.

29

Le genre est un niveau de classification plus précis que la famille. Habituellement, on classe dans un même genre les plantes qui

ont des feuilles et des fleurs similaires, alors qu’on s’autorise plus de disparité dans les familles.

30

Dans la seconde partie du XIXe siècle, la famille des Liliacées est à peu près celle déjà reconnue par Tournefort dès la fin du XVIIe

siècle. dans Familles des plantes publié par Michel Adanson en 1763, la famille des Liliacées (orthographiée Liliasées ou Liliacées ou

Liliacea) est décrite comme dépourvue de « corole », les pièces colorées étant interprétées comme un calice. Dans ce système de

classification la famille englobe le genre Tradescantia (orthographié Tradeskantia). Adanson interprète cependant le calice de ce

genre comme un ensemble de feuilles vertes et affirme que les pièces colorées sont un calice et pas une corolle. En 1789, dans Genera

Plantarum, Antoine-Laurent de Jussieu sépare la famille des Liliacées en 7 ordres (ordines en latin, qui est synonyme de famille),

les genres Tradescantia et Commelina étant rangés à part, dans l’ordre (i.e. famille) des joncs. Ces auteurs, suivis par De Candolle

(Théorie élémentaire de la botanique. 1815) servent de référence pour les classifications botaniques pendant une bonne partie

du XIXe siècle.


Figure 3. Dessin de fleurs, vues de face (à gauche) et vues de côté (à droite). Ts : Tulipa sylvestris, la tulipe

des bois, et la fleur vue de côté est fermée. On distingue deux cycles de pièces florales très similaires, ce qui

peut s’interpréter comme l’absence de calice. C : Calochortus apiculatus, la tulipe des mormons, la fleur vue

de côté est fermée. Tv : Tradescantia virginiana, une misère. Sur la tulipe des Mormons et sur la misère, on

distingue deux cycles de pièces florales différant par la taille et la forme, constituant un calice (cycle externe)

et une corolle (cycle interne). Toutes les échelles : 1cm. Dessins inédits de Agnès Schermann-Legionnet,

d’après des photos sur Wikimedia Commons (Ts : Meneerke bloem et Limani07 ; C : Thayne Tuason et Matt

Lavin ; Tv : Frank Vincentz).

3.2. La première solution de Maupassant et l’exception à l’exception chez les Renonculacées

Dans une lettre datée du 23 avril 1880, Maupassant écrit « Voici, mon bien cher maître, le

renseignement demandé. Dans la famille des Renonculacées toutes les Renoncules ont un calice ; mais

les : Clematis, Thalictrum ou Pigamon, et l’Anémone, qui appartiennent à la même famille n’en ont

pas » 31 . Flaubert, on l’a vu, ne retient pas cette solution.

31

Maupassant, ou plus probablement ses informateurs, se réfère possiblement ici à la définition de la famille des Renonculacées

établie par Jussieu dans Genera Plantarum (1789), dans laquelle il est indiqué que le calice est composé de plusieurs sépales libres

entre eux (« polyphylle »), parfois absent. Les pièces colorées des clématites ou des anémones sont donc interprétées par Jussieu

comme des pétales, la fleur étant alors dépourvue de calice. Aujourd’hui ces pièces florales sont considérées comme un calice, et

c’est la corolle qui est absente.


On est donc en présence de deux interprétations possibles d’une même situation : pour Maupassant,

la famille des Renonculacées est une exception à la règle générale (comme en témoignent plusieurs

genres de cette famille, dont les anémones, sans calice, voir la Figure 4, ligne du haut), et le genre des

renoncules peut donc faire figure d’exception à l’exception (voir la Figure 4, ligne du bas) ; cependant

pour Flaubert, ce sont les anémones qui sont une exception à la règle générale, ce qui semble indiquer

qu’il considère les renoncules non comme une exception à l’exception, mais comme un genre suivant la

règle.

Alors où situer l’exception ? Dans les classifications, peut-être. Il est possible que la nomenclature ait

son importance : le genre des renoncules est censé être le représentant privilégié de la famille des

Renonculacées, ce qui rend difficile son statut d’exception dans la famille. Le niveau taxonomique

aussi peut rebuter Flaubert : il cherche une plante (une espèce et pas un genre) faisant exception à son

genre ou à sa famille, comme exception à l’exception. Un genre (et celui des renoncules contient de

nombreuses espèces présentes en France) lui semble peut-être une catégorie trop ample, inadéquate pour

figurer son exception.

Il est possible aussi de situer l’exception sur un plan biologique, en cherchant les mécanismes qui

peuvent les provoquer. Aujourd’hui où les classifications sont issues de la biologie évolutive et conçues

de façon à refléter les relations de parenté entre les groupes taxonomiques, nous pouvons aussi faire

l’interprétation suivante de l’exception à l’exception : un évènement évolutif, comme la perte du calice,

provoque une exception à la règle, elle-même interprétée comme un état ancestral. Un autre évènement,

postérieur, de réapparition du calice dans la famille qui l’a perdu, pourra ainsi provoquer une exception

à l’exception : il s’agit d’une « réversion évolutive ». Cependant c’est peut-être aussi trahir l’esprit de

l’énigme, destinée à mettre en difficulté les classifications, que de proposer un mécanisme qui fasse

entrer cette recherche dans un nouveau type de classification.

Les réversions sont cependant des mécanismes qui ont parfois contredit la prétention à élaborer des

lois de l’évolution. On peut citer ici ce qui est connu sous le nom de loi de Dollo, du nom du

paléontologue belge Louis Dollo (1857-1931), qui stipule que l’évolution ne revient jamais sur ses pas.

On pourrait interpréter la loi de Dollo comme affirmant l’inexistence de l’exception à l’exception de

Flaubert, bien que la formulation de Dollo lui-même soit plus subtile, et probablement vraie : « un

organisme ne revient jamais exactement à un stade antérieur ».

L’étude évolutive des Renonculacées [RAN 24] n’apporte pas d’éclairage définitif sur l’existence

d’une telle réversion. L’organisation florale dans cette famille, contrairement à la plupart des autres

familles, est d’une grande diversité. La présence d’un calice n’est pas un critère facile à déterminer : si

au XIXe siècle, l’absence du calice chez certains genres de renonculacées avait été décrite, on pense

plutôt aujourd’hui que toutes les renonculacées ont gardé leur calice, tandis que certaines ont perdu leur

corolle. Ce qu’on pouvait prendre pour des pétales sont en réalité des sépales colorés. Ce qui ne change

pas nécessairement la structure de l’énigme de Flaubert, chez qui on pourrait interchanger « calice » et

« corolle » (il le fait d’ailleurs une fois par inadvertance dans sa note), ou, mieux, utiliser un trait moins

sujet à interprétation comme « périanthe à calice et corolle différentiés ». On peut en tous cas donner

raison à Flaubert sur l’incertitude liée à la première solution de Maupassant et la difficulté de l’utiliser

dans un roman.


Figure 4. Ranunculus acris, la renoncule âcre ou bouton-d'or, ligne du haut, et Anemone nemorosa, l'anémone

des bois, ligne du bas. Dessins des fleurs vues de face à gauche, dessins des fleurs vues de dos à

droite (échelle 1cm). Chez la renoncule, on distingue les sépales, plus petits que les pétales, d'une autre couleur

et poilus alors que les pétales sont glabres. Chez l'anémone, il est impossible de distinguer deux cycles

de pièces de formes ou couleurs différentes, ce qui s’interprète comme l’absence de calice. Dessins inédits de

Agnès Schermann-Legionnet, d’après photos (Wikimedia Commons : Stefan.lefnaer CC-BY-SA 4.0, Robert

Flogaus-Faust CC-BY-SA 4.0, Gilles Ayotte, Bibliothèque de l'Université Laval CC-BY-SA).

3.3. La shérarde, ou l’exception à l’exception chez les Rubiacées

La shérarde, proposée en deuxième solution par Maupassant, avait enthousiasmé Flaubert : « – Ah !

Ah ! je triomphe ! Ça, c’est un succès » 32 . Mitsumasa Wada n’est pas de cet avis : « il est difficile de

tenir la shérarde pour une exception à l'exception. Même s'il est vrai que toutes les autres rubiacées n'ont

pas un calice aussi développé et aussi vivace que celui de la shérarde, cette dernière ne constitue pas

réellement une exception à l'exception. Car le développement réduit du calice chez les rubiacées n'est

qu'un des traits distinctifs de cette famille, et non une condition sine qua non d’appartenance. Bref, le

calice de la shérarde ne constitue pas une exception au second degré, puisque le développement réduit

du calice chez les rubiacées ne constitue pas en lui-même une exception par rapport aux autres familles

de plante. Une exception au second degré n’a pas lieu d’être, là où une exception au premier degré n'est

pas possible. » Plus loin, « Le calice de la shérarde, même s’il est exceptionnellement développé parmi

les rubiacées, ne suffit pas pour constituer l’exception à l’exception. » [WAD 99]. Wada pense

nécessaire l’existence d’une condition sine qua non d’appartenance à une famille pour qu’elle constitue

une exception de premier ordre. C’est pourtant une manière restrictive et maximaliste de définir une

exception, alors que déroger à une caractéristique commune pourrait suffire. L’argument de Wada ne

semble pas décisif pour rejeter la solution.

32

Lettre de Flaubert à Caroline Commanville du 2 mai 1880


Bernard Boullard, ancien professeur de biologie végétale à Rouen et fin connaisseur de Flaubert,

donne une raison plus précise : « Hélas, là, la montagne accoucha d'une souris ! Les données scientifiques

les plus sérieuses sont formelles : toutes les Rubiacées possèdent un calice, même s'il est parfois

extrêmement discret ! » [BOU 81]. Toutes les Rubiacées ? Données formelles ? Le site « World Flora

Online » est plus nuancé : on peut lire à l’entrée « Rubiacées » : « Calice gamosépale à (3)4-5(8) lobes

d'aspect variable, égaux ou non, parfois très réduits à nuls, ou au contraire plus ou moins foliacés,

imbriqués, contortés ou espacés. » 33 . Le « extrêmement discret » de Boullard se rapporte au « très réduit

à nul », qui commence à ressembler à une absence possible.

Les commentateurs contemporains semblent donc s’accorder pour ne pas retenir la shérarde comme

exception à l’exception, principalement parce que l’absence de calice chez les Rubiacées ne leur paraît

pas suffisamment caractérisée. Cependant ils ne semblent pas avoir cherché pourquoi Édouard Bureau,

botaniste au muséum de Paris, secrétaire général de la société botanique de France, a pensé à cette plante

pour répondre à Flaubert. Regardons la documentation disponible en 1880, et celle à laquelle a pu avoir

accès le professeur Bureau. Les descriptions botaniques varient beaucoup sur la description du calice des

Rubiacées, depuis le XVIIIe siècle. Dans l’ouvrage Famille des plantes de Michel Adanson (publié en

1763), il est fait mention d’un calice pourvu de dents ou formant un bourrelet, présent pour toute la

famille. Dans Genera Plantarum d’Antoine-Laurent de Jussieu, paru en 1815 et considéré comme

fondateur pour une définition formelle des familles des plantes, cette interprétation est reprise puisque

les Rubiacées sont décrites avec la mention d’un « calice monophylle 34 , supère, simple, à limbe divisé,

ou plus rarement entier. ». Ceci vient à l’appui de Boullard.

Cependant en consultant le dictionnaire de botanique de Baillon, qui date de 1876, et auquel a

collaboré Édouard Bureau, on lit pour le genre aspérule (un genre de Rubiacées): « Son réceptacle floral

(calice des aut.) est profondément creusé en une coupe sur les bords de laquelle se trouvent un calice

représenté par un bourrelet ou quatre dents très-courtes » et pour le genre Sherardia : « remarquable par

les bractées soulevées jusqu’en haut de ses ovaires et qui simulent un calice ». Ce qui complexifie la

situation : on peut confondre le réceptacle floral des aspérules avec un calice 35 alors que le calice a lui

l’apparence de bourrelets ou des dents, et l’apparent calice des shérardes serait fait de bractées simulant

des sépales 36 . Les bractées, qui sont des feuilles à la base des pièces florales, sont parfois très difficiles

à distinguer des sépales du calice, qui sont des pièces de la fleur.

Cette difficulté de distinction est assumée par la flore Bonnier de 1908, qui fait encore partiellement

référence aujourd’hui, et qui différencie les genres Rubia, Asperula, ou Galium (Figure 5, ligne du haut)

du genre Sherardia (Figure 5, ligne du bas), par les alternatives « Calice à sépales non distincts, fruits

non surmontés par les dents du calice » et « Calice à sépales distincts, fruits surmontés par les dents du

calice persistantes ». Autrement dit, la reconnaissance de plusieurs genres de Rubiacées parmi les plus

courants en France est faite sur la possibilité ou non de voir un calice. Dans cette flore destinée à la

reconnaissance des plantes plutôt qu’à leur description, c’est la possibilité de voir un calice à l’œil nu

pour un observateur pas forcément expert qui fait foi pour la présence ou non d’un calice. En plus des

points de vue qui varient d’un endroit à l’autre ou d’une époque à l’autre, une description peut donc

changer en fonction de l’observateur, son outillage, ses connaissances [CAS 25].

Finalement, pour tenter de résumer, le statut d’exception à l’exception n’est pas aussi univoque que

pouvaient le penser à la fois Flaubert, puis après lui, et dans l’autre sens, Wada ou Boullard : la shérarde

n’est pas une exception à l’exception selon certains manuels de botanique du XIXe siècle, pour qui toutes

les Rubiacées ont un calice. Selon d’autres, elle n’est pas une exception à l’exception parce que son

33

https://www.worldfloraonline.org/taxon/wfo-7000000534#citation146

34

Monophylle signifie que les sépales composant le calice sont soudés entre eux, formant comme une seule « feuille » (phylle).

35

La pièce qui soutient les organes floraux, dont le calice. Le réceptacle est parfois dit « caliciforme ».

36

Une pièce foliaire à la base des fleurs, qu’on appelle parfois le « calicule » pour sa ressemblance avec un calice.


calice n’en est pas vraiment un, elle ne se distinguerait donc pas des autres Rubiacées par le calice, mais

par des bractées plus proéminentes et persistantes.

Elle est cependant une exception à l’exception dans le cas, et c’est sans doute ce qu’a imaginé Édouard

Bureau, où l'on s'en tient aux organes visibles par un observateur non averti, susceptible d’appeler calice

des bractées caliciformes. Ce qui, pour les besoins d’un récit, peut s’accorder avec la quête de Flaubert.

Figure 5. Dessins de Rubiacées, que nous imaginons semblables à ceux que Flaubert a demandé à voir dans

sa lettre à Pennetier (citée dans l’introduction). Ligne du haut : Galium aparine, le gaillet, dessin de la fleur entière

(à gauche) et coupe longitudinale (à droite). La présence de calice n’est pas évidente, on peut soit interpréter

cette organisation florale par l’absence de calice (comme le fait Édouard Bureau), soit identifier le bourrelet

situé au-dessus de l'ovaire comme étant une corolle, et les pièces blanches allongées comme des sépales,

mais ce bourrelet est un disque nectarifère. Ligne du bas : Sherardia arvensis, la shérardie, dessin de

la fleur entière (à gauche) et coupe longitudinale (à droite). La corolle est en tube à la base et on voit bien son

insertion au-dessus de l'ovaire. Les pièces ressemblant à des sépales et insérées sur le pédicelle sous l'ovaire

évoquent un calice, mais sont des bractées. C'est le fait que les pétales et les sépales sont habituellement insérés

au même niveau (soit au-dessus de l'ovaire, soit en-dessous) qui indique que ces pièces ne sont pas

des sépales. Barres d'échelle 1mm ; sur les coupes longitudinales les hachures désignent les parties coupées.

Dessins inédits de Agnès Schermann, d’après photos (Wikimedia Commons : Stefan.lefnaer CC-BY-SA 4.0,

Robert Flogaus-Faust CC-BY-SA 4.0) et planches botaniques (Wikimedia Commons : O.W. Thomé (1885),

public domain).

Cette prise en compte du point de vue des observateurs, dans la définition des exceptions, aurait peutêtre

aussi mieux convenu au rapport critique aux savoirs que Flaubert développe dans son roman et

ailleurs, en pointant notamment leur relativisme historique : comme il l’écrit à Léon Hennique dans une

lettre du 3 février 1880, « Cette manie de croire qu’on vient de découvrir la nature et qu’on est plus vrai


que les devanciers m’exaspère. La Tempête de Racine est tout aussi vraie que celle de Michelet. Il n’y a

pas de Vrai ! Il n’y a que des manières de voir 37 . »

Flaubert, qui voulait que la nature résiste aux tentatives de la catégoriser, en produisant des exceptions

aux exceptions, ne pouvait pas lui en vouloir de résister à sa propre initiative de lui imposer ses conditions

diégétiques.

4. La vie trouve toujours un chemin

La place que prend la recherche du renseignement botanique dans la fin de la vie de Flaubert montre

l’importance qu’il accordait à l’existence de la plante qui servirait d’exemple à l’exception à l’exception.

L’enjeu dépasse rapidement la botanique et la rédaction d’un court passage du roman. Flaubert écrit le 2

mai 1880 à sa nièce Caroline, à propos du renseignement botanique « j’avais raison parce que

l’Esthétique est le Vrai & qu’à un certain degré intellectuel (quand on a de la méthode) on ne se trompe

pas. La Réalité ne se plie pas à l’idéal mais le confirme. Il m’a fallu pr Bouvard et Pécuchet trois voyages

en des régions diverses avant de trouver leur Cadre. Le milieu idoine à l’action. ». Dans ces phrases

stupéfiantes il n’est pas question de plantes, mais d’une série de concepts plus ou moins articulés,

esthétique, réalité, vrai, méthode, idéal, erreur, milieu, qui font penser, même si le ton fanfaron n’invite

pas à tout prendre au sérieux, que des conceptions du monde, de la nature, de la connaissance, de la

littérature, s’affrontent sur ce minuscule terrain.

La confirmation sur le terrain d’une idée théorique rappelle les planètes dont l’existence est d’abord

prédite mathématiquement, puis observée effectivement, à l’exemple de Neptune, prédite par

l’astronome français Urbain Le Verrier. De Flaubert, on pourrait alors dire, en reprenant la formule de

François Arago, qu’il a vu cette plante « au bout de sa plume » sans avoir besoin de jeter un seul regard

vers le sol 38 . Darwin avait également prédit sans l’avoir jamais vu l’existence d’un insecte à la trompe

suffisamment longue pour récolter le nectar d’une orchidée dotée d’un éperon de 35cm 39 . Pour effectuer

cette prédiction, Flaubert a eu besoin de deux ingrédients : une phrase de Rousseau qui lui suggère

l’existence d’exceptions aux exceptions dans le domaine botanique, et un « milieu idoine », c’est-à-dire

l’endroit dans lequel on peut faire confiance à l’exubérance végétale pour générer de telles exceptions.

Examinons ces deux ingrédients, et comment Flaubert et le milieu s’allient pour élaborer cette

surprenante prévision théorique basée sur une collection d’échecs des prévisions théoriques.

4.1. Un herbier de monstres

Dans leur ouvrage Arranger les choses, Bowker et Star pointent l’importance des exceptions dans les

catégories. Ils écrivent que « toute chose peut relever d’une catégorie résiduelle dans un système de

classification quelconque » [BOW 99]. L’exception devient un « monstre », et la classification une

entreprise de production de monstres. Tout individu est susceptible de devenir un monstre au gré des

classifications.

On retrouve cette idée chez Flaubert : une plante commune, « vulgaire », accessible sans difficulté, se

transforme en monstre sous l’apposition d’une simple catégorie : présence ou absence d’un calice.

Pourtant ce n’est pas l’objectif de Flaubert que de prendre le parti des marges créées par les catégories.

Il tente de disloquer les catégories elles-mêmes, l’exception à l’exception inversant les statuts de norme

et de monstre. Normand Lalonde écrit, à propos de l’épisode botanique : « La réalité se révèle

37

Lettre à Léon Hennique du 3 février 1880, citée par Gisèle Séginger [SEG 20]

38

« M. Le Verrier a aperçu le nouvel astre sans avoir besoin de jeter un seul regard vers le ciel ; il l'a vu au bout de sa plume ; il a

déterminé par la seule puissance du calcul, la place et la grandeur d'un corps situé bien au-delà des limites jusqu'ici connues de

notre système planétaire » [ARA 46]

39

En biologie, de telles prédictions sont plus rares qu’en physique, mais on peut mentionner les chromosomes, puis les inversions

chromosomiques, ont aussi été prédits théoriquement par les généticiens avant d’être observés par les cytologues [TAN 22]


essentiellement contradictoire ; elle bafoue les règles qui devraient régir, en théorie, les rapports entre le

genre et l’exception » [LAL 05]. Florence Pellegrini voit l’exception à l’exception comme l’expression

de « la volonté flaubertienne de mettre à mal toute forme de prévision : celle de la règle, bien sûr, mais

aussi celle de l’exception, susceptible de renforcer, dans son unicité marginale, la règle à laquelle elle

déroge. » [PEL 08].

Pourtant malgré cette entreprise destructrice des règles, des catégories et de leurs capacités prédictives,

Flaubert accomplit ici lui-même une prédiction, en vertu d’une phrase de Rousseau lui faisant penser

qu’il existe des exceptions aux exceptions dans le domaine botanique. Henri Céard, dans un commentaire

de Bouvard et Pécuchet pour l’Express en 1881 40 lui reprochait d’avoir choisi l’esthétique comme

mesure de toute chose, en rabaissant ainsi les vérités scientifiques. L’expression de Flaubert

« L’Esthétique est le Vrai » appuie évidemment ce jugement, autant que les quelques formules

vénéneuses qu’il emploie pour désigner ses collègues savants (voir les citations de ses lettres dans la

première section). Pourtant il y a là plus qu’une rivalité entre sciences et littérature 41 . Car Bouvard et

Pécuchet, en plus d’être « une encyclopédie critique en farce, un conte philosophique, une fable, une

épopée, une préface, un poème héroï-comique, une comédie d’idées, [...] un poème bucolique, un poème

didactique, une parodie biblique, un récit cosmogonique » [LAL 05], est un herbier. Mais un herbier fait

non pas d’illustrations de règles générales, mais au contraire d’illustrations de ce qui n’y entre pas, des

exceptions, des failles, des erreurs, des anomalies, des échecs, des monstres, des approximations, des

incertitudes, des doutes, les discordances, un herbier sauvage qui au lieu de mettre de l’ordre dans les

connaissances, de les présenter pour ce qu’elles ont de puissant et rassurant, comme le faisait Jules Verne,

détruit cet ordre. En ceci Flaubert accomplit un travail de philosophe naturaliste, correspondant à

certaines de ses anciennes aspirations : « Combien je regrette souvent de n’être pas un savant et comme

j’envie ces calmes existences passées à étudier des pattes de mouche, des étoiles ou des fleurs. » 42 . On

comprend ainsi que quand il lit cette phrase de Rousseau qui contient à la fois « presque » et « la

plupart », il la trouve prometteuse pour son entreprise à la fois destructrice, des catégories, et créatrice,

d’une histoire des savoirs par l’erreur 43 .

4.2. Un milieu idoine

Les longues énumérations botaniques ou horticoles dans les Rougon-Macquart [RAC 25], La faute

de l’abbé Mouret 44 , ou encore L’Archipel de la Manche 45 n’ont pas d’équivalent chez Flaubert. Lui,

témoigne plutôt d’une sensibilité à la nature en général [BOU 81], il insère souvent des descriptions

succinctes du paysage et de la présence des plantes, les reliant à des sentiments, à des personnes,

mentionnant parfois le nom d’une espèce. Il écrit souvent « la nature », « des fleurs », « des arbres »,

parfois « des forêts de pins », il n’a pas la tentation de décortiquer ses catégories, de lister, de tenter d’y

mettre de l’ordre. Il exprime néanmoins un attachement aux plantes, et écrit par exemple : « ... si la

40

Inclus dans l’édition Garnier Flammarion de Bouvard et Pécuchet [FLA 81]. C’est aussi l’interprétation de Wada [WAD 09] qui voit

dans la confiance de Flaubert une confiance dans la langue plus que dans les faits.

41

Wilhelm Dilthey publie en 1883 son Introduction à l’étude des sciences humaines (édition française aux PUF, 1942), où il conceptualise

les différences épistémologiques entre sciences « de l’esprit » et sciences « de la nature ».

42

Lettre à Mademoiselle Leroyer de Chantepie, 1er mars 1858

43

Les histoires des erreurs scientifiques sont rares, et les histoires des sciences insistent plus sur les succès. On peut pourtant en

trouver quelques-unes [FIR 15, LIV 14].

44

La visite du jardin du Paradou, dans La Faute de l'abbé Mouret, est reprise dans un livre de Umberto Eco [ECO 09] consacré aux

énumérations, dont Flaubert est absent, malgré son livre en forme de longue énumération d’échecs.

45

« Vous y trouvez des fétuques et des paturins, comme dans la première herbe venue, plus le brome mollet aux épillets en fuseau,

plus le phalaris des Canaries, l’agrostide qui donne une teinture verte, l’ivraie raygrass, la houlque qui a de la laine sur sa tige, la

flouve qui sent bon, l’amourette qui tremble, le souci pluvial, la fléole, le vulpin dont l’épi semble une petite massue, le stype propre

à faire des paniers, l’élyme utile à fixer les sables mouvants. Est-ce tout ? non » [HUG 66]


Société continue à aller de ce train, il n’y aura plus dans deux mille ans ni un brin d'herbe, ni un arbre ;

ils auront mangé la nature... » 46

Aude Campnas voit dans les échecs répétés de Bouvard et Pécuchet une « revanche de la nature »

[CAM 11] sur ce grignotage de la société et sur les tentatives de la connaître et de la contrôler. L’épisode

botanique est à ce titre emblématique. Pour garantir la survenue des exceptions et des échecs, il était

nécessaire de situer l’intrigue à la campagne. Comme le faisait remarquer Michel Serres, la ville n’est

pas propice à la résistance aux catégories humaines, puisqu’elle est conçue selon ces catégories ellesmêmes

: il décrivait ainsi l’existence de « deux physiques du monde vécu [...] Celle-ci est industrielle ;

l’autre est rurale ». Dans l’une, « le monde, par la pratique de l’industrie, [est] devenu le fait, [...] les

problèmes n’ont pas d’autres résidus que leurs solutions exhaustives, ils sont, à la lettre, des

représentations. [...] Sans lacune, sans défaite que temporaire au niveau des objets. » [SER 74]. Un

monde sans lacune et sans défaite n’était certainement pas le milieu idoine d’un herbier des défaites.

Il y a pour le milieu, comme pour les catégories, une volonté paradoxale, celle du contrôle de la

survenue de l’incontrôlable. Dans une lettre à George Sand du 5 septembre 1873 Flaubert écrit : « J’ai

passé le mois d’août à vagabonder, car j’ai été à Dieppe, à Paris, à St-Gratien, dans la Brie & dans la

Beauce pour découvrir un certain paysage que j’ai en tête. » (nous soulignons). Flaubert cherche ce qui

dans la réalité peut (et même, doit !) se prêter aux exigences diégétiques de son œuvre en préparation. Il

confie à Maupassant : « Voici mon plan, que je ne puis changer. Il faut que la Nature s’y prête. » 47 . Ainsi

Flaubert commande à la nature d’être indocile, autant qu’il choisit le meilleur endroit pour pouvoir

prédire qu’elle sera imprédictible.

C’est finalement de cette alliance interspécifique entre Flaubert et la végétation 48 rebelle que se forme

dans le roman l’image d’une Terre qui « ne se laisse pas connaître » 49 comme la décrivait Isabelle

Stengers. Ou, dans un autre registre, l’image d’une nature qui ne se laisse pas contrôler comme la

décrivait Ian Malcolm, le personnage mathématicien dans Jurassic Park, de Michael Crichton. Dans une

situation qui rappelle celle de Flaubert devant les botanistes : contre les biologistes plus savants que lui

sur le fonctionnement du vivant, et sans en connaître tous les mécanismes, et sur la base d’une culture

en théorie du chaos, Ian Malcolm affirme que « la nature trouve toujours un chemin. » 50

COMPLEMENTS BOTANIQUES. Les fleurs sont décrites depuis le XVIIIe siècle comme composées

des organes sexuels (étamines et pistils), situés au centre, et entourés par une corolle, ensemble des

pétales, souvent colorés, et un calice. C’est Linné qui a le premier formalisé cette description de la

fleur, définie auparavant par rapport à son rôle dans la reproduction du fait de sa transformation en

fruit (comme chez Tournefort), même si on parle déjà de calice et de corolle dans la description des

fleurs. Le calice correspond à ce que Rousseau décrit comme « cette partie verte et communément en

cinq folioles, qui soutient et embrasse par le bas la corolle, et qui lʼenveloppe toute entière avant son

épanouissement, comme vous aurez pu le remarquer dans la Rose ». L’ensemble formé par le calice

et la corolle est aujourd’hui nommé le périanthe (littéralement « autour de la fleur »), terme utilisé de

façon générique quand il est difficile de distinguer corolle et calice, comme chez la plupart des Liliacées

et familles apparentées.

46

Lettre citée par Boullard [BOU 81]

47

Lettre du 5 novembre 1877 à Maupassant

48

De telles alliances politiques interspécifiques sont par exemple décrites dans le livre Nous ne sommes pas seuls [BAL 21]. Selon

cette lecture, Flaubert s’allie avec la campagne contre Baudry.

49

Stengers [STE 20] raconte comment le séquençage de l’ADN, une technique qui portait la promesse d’un déchiffrement du vivant,

a conduit au contraire au brouillage des catégories et des frontières.

50

« Nature finds a way » est la réplique célèbre du personnage qui s’oppose aux techniciens de la biologie moléculaire, persuadés

de contrôler la situation. La ressemblance avec Flaubert et les botanistes est frappante. Les deux affirment, selon une idée théorique,

et contre des plus savants qu’eux, que la nature ne se pliera pas à leurs catégories et à leur contrôle.


Les bractées sont des feuilles associées à des fleurs ou des ensembles de fleurs (inflorescences).

Les bractées peuvent avoir des formes et des couleurs différentes de celles des autres feuilles de l’appareil

végétatif. Certaines sont grandes et colorées, comme chez les bougainvillées (rose pourpre chez

Bougainvillea spectabilis), d’autres au contraire sont minuscules et scarieuses. Souvent les bractées

ressemblent aux feuilles végétatives, mais sont plus petites, comme dans le cas de la shérarde.

Ovaire supère ou infère : l’ovaire, partie de l’appareil reproducteur femelle des fleurs qui contient

les ovules, se trouve généralement au centre de la fleur, comme dans la phrase énoncée par Pécuchet

en guise de règle « (...) un calice et une corolle enfermant un ovaire ou péricarpe qui contient la

graine » .Le péricarpe est le nom donné à la paroi du fruit qui provient de la transformation de la paroi

de l’ovaire, alors que les graines proviennent de la transformation des ovules (ici Pécuchet mélange

le vocabulaire propre à la fleur avec celui approprié pour les fruits). Dans certains cas, le réceptacle

floral, pièce située au sommet de la tige et qui porte les différents organes de la fleur, est creusé, ce

qui a pour effet d’abaisser l’ovaire en-dessous du niveau d’insertion des autres pièces florales. C’est

le cas chez la rose, citée par Flaubert (voir figure 2), et chez le gaillet. Chez la shérarde, la corolle est

insérée au-dessus de l’ovaire (voir figure 5), et les pièces qui évoquent un calice sont situées audessous,

c’est pourquoi on les interprète comme des bractées et non comme des sépales.

Une famille, terme et concept formalisés par Adanson puis par Jussieu au XVIIIe siècle, est un

ensemble de plantes partageant des caractères morphologiques ou fonctionnels, absents des plantes à

l’extérieur de l’ensemble. Les environ 6000 espèces de la flore de France métropolitaine sont aujourd’hui

classées en environ 200 familles, aux répartitions très inégales, la moitié des espèces étant

recensée dans une dizaine de familles.

Remerciements

Merci à Yvan Leclerc, Stéphanie Dord-Crouslé et Pablo Jensen pour leurs encouragements dans la

rédaction de ce texte et les références qu'ils nous ont suggérées pour l'enrichir. Merci aux membres de

Botascopia pour l'hébergement de conversations botaniques et philosophiques.

Bibliographie

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Arts et sciences


Color perception and taste for abstract paintings

Perception des couleurs et goût des peintures abstraites

Karl Heinz Szekielda 1

1

Alumnus Adjunct Professor City University of New York, Fulbright Scholar University of The Bahamas,

karl.szekielda@gmail.com

ABSTRACT. This article raises the fundamental questions whether all humans are experiencing the same color and

taste. Color perception is significantly impacted when the eye loses capability to discriminate color gradients that lead to a

shift to more gray and yellow. Cognitive differences are observed between men and women for the perception of color

because women can differentiate more shades of colors than males and they have also a wider color spectrum than men.

However the complexity in judgment on color is primarily based on the educational level of a viewer and his experience in

visual perception. The evaluation of color and taste therefore is subjective and is based almost entirely on personal

experience. There is not a single satisfactory answer to the question of whether a particular color and taste is the right

one or not, or why we interpret color differently.

RÉSUMÉ. Cet article soulève la question fondamentale de savoir si tous les êtres humains perçoivent les couleurs et les

goûts de la même manière. La perception des couleurs est fortement altérée lorsque l'œil perd sa capacité à distinguer

les dégradés de couleurs, ce qui entraîne une tendance vers le gris et le jaune. Des différences cognitives sont

observées entre les hommes et les femmes quant à la perception des couleurs : les femmes peuvent distinguer

davantage de nuances et possèdent un spectre de couleurs plus étendu. Cependant, la complexité du jugement des

couleurs repose principalement sur le niveau d'instruction et l'expérience visuelle de l'observateur. L'évaluation des

couleurs et des goûts est donc subjective et repose presque entièrement sur l'expérience personnelle. Il n'existe pas de

réponse unique et satisfaisante à la question de savoir si une couleur ou un goût particulier est approprié ou non, ni

pourquoi nous interprétons les couleurs différemment.

KEYWORDS. Abstract painting, color perception, cognitive differences, color judgment.

MOTS-CLÉS. Peinture abstraite, perception des couleurs, différences cognitives, jugement des couleurs.

1.Introduction

An old saying refers to an assertion that there is no arguing about taste and color, and this claim is

widespread in various societies. Basically it means that there is no necessity to debate, because no

dispute would lead to a judgment on the level of taste and color. The problem in establishing an

evaluation on taste and color is to develop appropriate arguments on what actually is required to

determine on a quantitative scale if a certain taste is the right one. Hindrance to elaborate on such

measure is that a judgment would be based on personal experience in aesthetics and social upbringing

that would complicate the setting for a universal standard. Thus an individual evaluating on taste and

color will certainly call for a dispute with individuals or groups, and may generate conflicts between

the parties involved. Furthermore, differences in educational level and discipline orientation may

impact benchmarking for a possible ranking of taste and color. This task also raises the question if

varying educational and ethnic backgrounds play a role in perception of abstract paintings and if

everybody perceives colors the same way equally.

Before abstract painting was fully integrated into our present culture, the reigning class in previous

societies set norms for the styles and subjects of art, and consequently it restrained artists’ imagination

and set limits to their deliberation. The departure from this intellectual barrier was possible by

introducing concepts that set priorities on the use of lines, shapes, colors and forms and abolished the

classical representation of natural scenes and events (Art Rewards, 2025). This approach gave more

freedom to the artists, and the deviation from reality allowed them to diverge from the conduct of


classical painting. However, the new phase also addressed a new audience that had to overcome

interferences by those who objected to the new appearance in art. Irrelevant judgments on what is good

and what is bad led to more confusion, because artists continued to look for more freedom and

experimented without limit or constraint.

The discrepancy between artists and the audience became more intricate due to the interaction with

and support by the scientific development and access to new resources and techniques that could be

integrated into artistic expressions. This further complicated the evaluation of modern abstract art,

because it required a more sophisticated education on the reviewer’s part. It has been demonstrated that

the comprehension of abstraction and complexity of paintings depends on recognition capabilities and

extent of art education, and persons with training in art may even distinguish between levels of

abstraction and visual complexity of paintings (Freedman, 1988).

In the past, a few centuries ago, it was possible to master scientific skills and art equally. For

instance, Leonardo da Vinci during the High Renaissance was a leading painter, but he was also a

scientist and dealt with anatomy, astronomy, botany, cartography, paleontology and engineering

(Pomerol and Popis 2026). However, from his time, science advanced to new levels of materials and

techniques that expanded the artist’s range of tools, but it also set limits to get actively involved in the

very discipline-oriented science as of today. Despite this short coming, the benefits of progress in

science had a feedback to art as outlined in Figure 1 that shows the general information flow in science

and technology with the feedback into art.

INTERRELATION ART AND SCIENCE

SCIENCE

DEVELOPMENT and DESIGN

TECHNOLOGY

MATERIALS

+

TECHNIQUES

ART

Figure 1. General information flows in science technology with feedback to art.

Still, a close relationship between art and science is not yet fully recognized in our society and its

educational institutions, although many universities have departments that merge in their programs art

and sciences. However, at present, mergers of art, science and technology are especially seen in the

commercial and public service sectors where presentations are commonly enhanced by artistic design

and color annotations. On the other side, certain art principles are used to enhance scientific

information especially in data displays of which two examples are shown in Figure 2. Figure 2A shows

two images that have the same image content, but Figure 2A is displayed in a black and white scale,

whereas Figure 2B has a color annotation that makes it easier to recognize features that may go

unnoticed by an unskilled interpreter and also has a more aesthetic appearance. The remarquable point

is that the Figure 2A in black-and-white reveals for a skilled image interpreter the same content and

structures as seen in the color coded Figure 2B. Such color-coding is also applied in daily information

flow, for instance in weather maps, and Figure 2C gives an example of temperature data display where

specific colors are annotated to mark regions with the same temperature.


Against this background, the question arises whether observation and evaluation of abstract

paintings can be uniformly generalized and whether certain criteria can be systematically applied to

qualitatively assess taste and color. In order to address this matter, the following elaborates on some

criteria that may illustrate the difficulties of this undertaking, but it should be noted that this task is by

no means exhaustive although it may provide some concepts for further considerations.

International Journal of Geology, Earth & Environmental Sciences ISSN: 2277-2081

An Open Access, Online International Journal Available at http://www.cibtech.org/jgee.htm

2023 Vol. A 13, pp. 100-132/Karl

B

Research Article

2003

SEA

YEAR

SURFACE

AVERAGED

TEMPERATURE

DAYTIME SURFACE

JULY 2002

TEMPERATURE

TO DECEMBER

( 0 C

2022

)

A

15 0 N

10 0 N

DAYTIME

75 0 W 70 0 W 65 0 W

60 0 W

0

C

B

DAY - NIGHT

Figure 8: Sea surface temperature ( 0 C) July 2002 to December 2022. A: Daytime

measurements ( 0 C); B: Temperature difference of day minus night time measurements.

70 0 W, 10N, 55W, 20N

20 0 N

c

15 0 N

10 0 N

65 0 W

70 0 W 60 0 W

Figure 2. A: Image perception Figure 9: Yearly of black-and-white average daytime image sea surface images. temperature Figure 2B is ( 0 C) the for same 2003. as the one shown in

Figure 2A, but the grey-scale has been color-coded. Source: NASA Webb’s near-infrared image of the Pillars

of Creation. Figure 2C shows the color- coding of a temperature map.

Centre for Info Bio Technology (CIBTech) 120


2. Color perception through the human eye

The comprehension of abstract art is very complex and its evaluation is based on many

characteristics that contribute to a decision whether a work of art appeals either with positive or

negative feedback. Judgment of art is mainly based on perceived color schemes and on physiological

factors. Fundamental questions however arise if every human sees the same color and texture and how

much education plays a role in the decision process to evaluate art. Many other factors play a role in

judging abstract art, but only a few that seem to have possible impact on a decision making process

that will be highlighted in the following with the inclusion of some basic principles of visual

perception. Basically, perceiving a picture is based on the physical properties of light at different

wavelengths that is either absorbed or reflected from a scene and is identified by the brain as various

colors. However, our vision is rather limited, because only a small range of the perceived light from

the electromagnetic spectrum (EMS) that is emitted from a light source is recognized by the human

eye, and it ranges only from about 0.38 to 0.74μm as shown in Figure 3.

0.70µm

A

CHOROID

B

0.65µm

CILIARY BODY

OPTIC NERVE

IRIS

0.60µm

VITREUS

LENS

PUPIL

0.55µm

RETINA

CORNEA

0.50µm

SCLERA

0.45µm

0.40µm

Figure 3. A: Schematic of the human eye: B: The narrow band of the electromagnetic spectrum in the visible.

Narrow spectral bands are recognized in specific spectral regions as color: red at 0.625–0.740 μm, orange at

0.590–0.625 μm, yellow, at 0.565–0.590 μm, green at 0.500–0.565 μm, cyan at 0.485–0.500 μm, blue at

0.450–0.485 μm and violet at 0.380–0.450 μm.

Figure 3A shows that light first enters a flexible lens that focuses light onto the retina for near or far

objects where light is converted into electrical signals that are carried through the optic nerve to the

brain, which interprets them as a perceived color. This shows that changes in the human optical system

may also result in a different color perception by individuals and that they may see the same image

differently. This discrepancy is remarkably enhanced by general degeneration of the eyes as witnessed

in persons with cataracts. Color vision is significantly reduced when cataracts are building in the eyes

and colors loose brightness, and it is difficult to discriminate color gradients. This shortcoming in

reduced color recognition is due a shift in wavelength recognition that causes colors to appear to a

person with cataracts as faded colors that are dull or less vibrant, with a distinct shift toward yellow or

brown tones. Especially, blue and purple become more difficult to distinguish, appearing as muted or

gray, while white may shift to yellow or brown. A simulation how cataracts may produce possible


optical changes in color perception by viewing of an abstract painting is shown in Figure 4.1, and

Figure 4.2.

The spectral perception of artwork, especially abstract paintings, can be modified by exposure to

different illumination. For instance, when objects with the same color are exposed to different light

conditions they may change their reflective properties according to their surface conditions. Another

phenomenon known as metamerism, is the process where two colors, though physically different,

appear identical under one light source but different under another (Rafizadeh, 2015). This shows that

changes in the human optical system may also result in a different color perception by individuals, and

they may see the same image differently. It also has been pointed out by Lafer-Sousa et al. (2015) that

some people may perceive selective colors according to the wavelength of a viewed scene.

Furthermore, the perception of beauty in abstract paintings seems to be a function of exposure time to

artwork, and it correlates with particular image properties. For instance, when abstract paintings were

rated after long exposure to the viewer, the degree of beauty decreased after exposure to paintings that

were originally rated as beautiful (Mallon et al. 2014). It shows that appreciation of artworks increases

with exposure time of art to the viewer that was also recognized by Böthig and Hayn-Leichsenring

(2017).

1 2

Figure 4. 4.1. Original painting, 4.2. Simulated color perception when contrast, tint and sharpness are reduced

from the reflection of the painting in 4.1.

The perception of the human eye can also be manipulated by vision techniques that simulate a threedimensional

effect in a pictorial display according to their reflection properties. Viewing artwork with

glasses that have diffraction and refraction properties may change a 2D image into a three-dimensional

image. Basically a diffraction grating bends different wavelengths at different angles and red light is

bent more than blue light whereas other colors like green are bent at intermediate angles (Steenblik,

1991; Ucke, 1998)). Thus red areas in an image are interpreted to be closer to a viewer, and blue areas

seem to be further away. The effect on a viewer is well documented in Figure 5. However the

disadvantage of this three-dimensional viewing of art is the wearing of glasses, but this technique is

very useful as a training tool to better recognize color pattern.


There is also a gender difference for the perception of color, because females can see more shades of

colors than males, and this difference is caused by deviations in the perceived saturation of green–

yellow stimuli (Murray et al., 2012; Jain et al., 2010). As an outcome, females are better at

discriminating among colors and have a wider color spectrum than men (Jisha et al., 2023). That shows

that obviously men and women exhibit dissimilar behavior, and females reveal a more differentiated

color perception compared to males (Fider and Komarova, 2019). This seems to have an impact on the

selection process in the arts, because longer wavelengths in the red are associated with warmer colors

and the green region may appear greener to women than to men. However, woman can distinguish very

small differences between certain colors that men cannot. In this context it is interesting to compare

the gender of contact persons in events that are related to art. As an example, by analyzing the number

of contact persons in visual art events including galleries in the San Diego area in 2025, that out of 219

listed occasions about 79.5% were guided by women and only 20.6% were affiliated with men

(unpublished author’s study). A similar scenario on female participation seems to be symptomatic in

other cities and regions. However, this high percentage of women in more managerial position does not

reflect the role in the production of actual artwork by women nor does it explain whether socioeconomic

factors create this difference and not just different color perception.

A

B

Figure 5. A. Color-coded painting; B. The effect of a three-dimensional illusion of a two-dimensional painting

by wearing glasses with diffraction grating (from an exhibit in the German House, New York).

3. Color and emotions

It is generally accepted that taste and color are based on emotional reactions when viewers are

exposed to art, and such emotional reactions may play a role in evaluating pieces of art. However

judgment of visual art is based on a mixture of low- and high-level features in artwork and subjective

value evaluation can be predicted across individuals, at least in part, as a “systematic integration over

the underlying visual features of an image” (Iigaya et al. (2021). Emotional responses from abstract

paintings may be even so strong that they can be identified by electronic recognition systems. It was

shown with statistical pattern extraction that paintings are associated with positive and negative

emotions that can be used to predict a person’s reaction on viewing a painting (Yanulevskaya et al.,

2012; Alameda-Pineda et al., 2016; Castellano and Vessio, 2021). Thus computer vision techniques

can extract features that make it possible to identify in abstract paintings to a high degree the emotions

that are generated by color, shapes and texture on the human emotional response (Sartori, 2014). This

has an interesting effect, namely that mood variations of a viewer may influence the capability to

differentiate between particular pieces of art and a selective preference for specific colors.

Furthermore, variations in moods are also related to seasonal changes and changes in natural light

conditions that are a function of climate and latitude. These effects are grouped as seasonal affective


disorder (SAD) symptoms and typically may begin in fall and can emotionally influence a person’s

judgment on color and taste. As light intensity also is a function of latitude, residents in the north are

more vulnerable to SAD than those living in the south, because the southern countries have more

daylight in the late fall and winter (Rosenthal et al., 1984). Schloss and Heck (2017) reasoned that

during the fall season, dark-warm colors are preferred, and therefore dark-red, dark-orange and darkyellow

colors are preferred more during fall seasons. This shows that a viewer’s color preferences may

change according to seasons, and color-associated objects may be received differently when evaluated

at different times.

Artists express their own mood and their color perception and inspire viewers with their work. As an

outcome, a viewer of abstract paintings is exposed to the color selection that was applied by an artist

according to a specific mood situation. It is not a coincidence that artists and viewers have a preference

for certain colors that is related to their emotional associations and their psyche. For instance red is a

very intense color and may be associated with emotions and excitement, yellow is considered a happy

color, whereas blue relates more to water and the sky. Black is known to relate in most societies to

darkness, melancholy and is in many societies associated with death and mourning. Some of those

moods can be unveiled in paintings with color selection for simulating various levels of emotions. It

seems to be agreeable that specific colors initiate emotions that can be deducted from abstract paintings

of which samples are shown in Figure 6. It is irrelevant which season the pictures can be assigned to,

however some deductions can be drawn from the color arrangement. Figure 6.1 has been crafted with a

wide color pallet and appears as a rather cold reminder of a winter scenario while Figure 6.2 has a

wider color pallet with a more joyful display and relates better to a spring season, whereas Figures 6.3

and 6.4 dominate with somber colors that preferably refer to a fall scenario.

1 2

3

4

Figure 6. Examples of different color arrangement to simulate preferred seasonal color changes.

Many artistic expressions stimulate mental processes that are below the threshold of consciousness

and can be perceived by a viewer without being aware of it, and interaction between art work and a

viewer can also lead to a reciprocal interaction. Such reciprocal interaction and subconscious feedback


can be demonstrated with a display of expressions of a three-year old child working with bold strokes

shown in Figure 7A. An adult artist who concurrently painted as shown with two examples in Figures

7B and 7C that show an unintended transmission of lines and strokes to the artist’s own work. The two

paintings deviated from the expressions the artist used normally with his own techniques. This example

shows that focusing on the expression of another person’s perception, regardless of educational level or

training in art has an emotional retroflection on the perception of art by another individual.

A

B

C

Figure 7. A. Unaware motivation by child’s drawing (Olivia) at age of three with oil pen and crayon on paper

32” X 16”. Figure B and C were painted during the same period by an artist.

4. Complexity of judgment and concluding remarks

Only a few perspectives on color and taste are covered in this study, however the topics addressed

show the many complicated psychological aspects that would require a more thorough analysis on

judging what is good in abstract art or what is not. The complexity in evaluating abstract art is further

demonstrated with a study by Sidhu et al. (2018) that showed even a distinction between liking and

beauty ratings for abstract paintings, and a comparison of ratings showed liking ratings were much

more predictable than beauty ratings. However the educational level of viewers and experience in

understanding visual perception of abstract paintings may play the major role. This statement can be

underlined with a comparison in which three independent viewers were exposed to the same artwork

but evaluated the work very differently. A professor in geology found that “upon closer inspection,

human figures occasionally emerge from this cosmos of color. As a geologist, I naturally have different

associations than others. My summary could be described as Man, trapped in the lattice of a crystalline,

yet opaque and confusing world of matter. Of course, squares immediately bring pyrite to mind for

me.” The second viewer, who has decades of experience as an art writer and artist career coach, looked

at the same art work very differently, ”With a superior handling of graduated tones, gestures, and a

variety of translucent and transparent applications of paint, he achieves a robust rhythmic expression.


Colors and forms coalesce in an exquisite sense of harmony, balance and depth." The third viewer

wrote as an art critic and published the comments as “…the abstract paintings are bold. Bright aquas

blend with midnight blues, brushed smoothly across large expanse of canvas. Drips of black paint seem

to stream from craters of brown punctuated with dazzles of rich red. Still other paintings draw the eye

with oranges and shades of yellow which liberally mingle with greens, pinks and blues seemingly atop

shades of brown and cream.” What does that seemingly discrepancy in evaluation has to do with color

and taste? All three viewers may have experienced the same emotional feeling, but they express them

differently based on a distinctive educational background and through the use of a specialized

vocabulary. The possible feedback is that the information contained in these statements will be further

communicated to an audience that is equivalent to the communication level of the evaluator, but it may

not relate to any other audience, and a shortcoming in this approach is the subjective opinion on what

is good and what is bad. A possible weighing on the importance of some of the above arguments for

evaluating an artwork has been undertaken by rating qualitatively some factors that have been

described above by using a scale of 1 to 5, and are shown in Table 1.

Influence on perception Comments Rating

1. Gender; Female/Male Significant differences 4

2. Eye Condition Serious interference 4

3. Emotions Time and season dependent 3

4. Cultural Important differences 3

5. Education Most important 5

Table 1. Qualitative evaluation on color perception that may have a feedback on selecting and judging

abstract art.

The gender factor seems to be significant, and due to the better color perception by women, the

selection of an artwork may differ from a selection by men. Eye degeneration is another factor that has

serious consequences on image perception; however, it develops at a later stage in life. Cultural

differences seem to be an important factor in the perception of color and the interpretation in

connection with taste. The ranking established in Table 1 is of less importance if an item is selected for

the private sphere, but it may have significance when abstract paintings are publicly shown or are

selected, for instance, at a competition or in selection for display in a gallery.

It can be recapitulated that the evaluation of color and taste is subjective and is based almost entirely

on the personal experience of the viewer. Finally, it is important to note that cultural perceptions also

affect how we perceive color, because different cultures have varying associations with specific colors,

and these perceptions can affect how color is interpreted in other contexts. For example, while white

may be associated with purity in western cultures, it is considered the color of mourning in eastern

cultures, but some colors remain particularly constant across populations. That means perception of an

abstract painting may be powerful in one culture but not necessarily in another. All above arguments

do not lead to a satisfactory answer to the question whether a particular taste or color is the right one or

not. Therefore the answer to this question has to wait until science delivers more information on this

issue, but meanwhile we have to stay with the Latin expression, De gustibus et coloribus non est

disputandum, meaning no necessity to argue about tastes and colors.

Acknowledgment

The author acknowledges the useful comments of two anonymous reviewers that enhanced the

manuscript.


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