19.02.2013 Views

12FOywO

12FOywO

12FOywO

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática<br />

Número 47 (noviembre 2012 - febrero 2013)<br />

ISSN – 1698-277X<br />

ÍNDICE<br />

Artículos, Notas y lecciones de preparación olímpica 47<br />

In Memoriam Prof. Juan Bosco Romero Márquez, por F.J. García Capitán<br />

y F. Bellot Rosado<br />

Nuevas generalizaciones y aplicaciones de la desigualdad de Nesbitt, por<br />

D.M. Batinetzu-Giurgiu y Neculai Stanciu.<br />

Problemas para los más jóvenes 47<br />

Soluciones a los problemas PMJ del vol. 46, por Luis M. Maraví Zavaleta,<br />

Huamachuco, Perú.<br />

Cinco problemas de la Olimpiada de Moldavia<br />

Problemas de nivel medio y de Olimpiadas 47<br />

Cinco problemas de la revista rusa Kvant<br />

Problemas<br />

Problemas propuestos 231-235<br />

Problemas resueltos<br />

Problema 226<br />

Recibidas soluciones de Roberto Bosch Cabrera, Florida, USA y Daniel<br />

Lasaosa Medarde, Pamplona, España; y el proponente. Presentamos la<br />

solución de Bosch.


Problema 227<br />

Recibidas soluciones de Roberto Bosch Cabrera, Florida, USA; Daniel<br />

Lasaosa Medarde, Pamplona, España; y Cristóbal Sánchez-Rubio,<br />

Benicassim, España y el proponente. Presentamos la solución de<br />

Sánchez-Rubio.<br />

Problema 228<br />

No se han recibido soluciones, por lo que el problema sigue abierto.<br />

Problema 229<br />

Recibidas soluciones de Roberto Bosch Cabrera, Florida, USA; Neculai<br />

Stanciu y Titu Zvonaru (conjuntamente), Rumania; Daniel Lasaosa<br />

Medarde, Pamplon, España y el proponente. Presentamos la solución de<br />

Lasaosa.<br />

Problema 230<br />

Recibidas soluciones de Miguel Amengual Covas, Cala Figuera, España;<br />

Roberto Bosch Cabrera, Florida, USA; Daniel Lasaosa medarde,<br />

Pamplona, España; Cristóbal Sánchez-Rubio, Benicassim, España;<br />

Neculai Stanciu (Buzau) y Titu Zvonaru (Comanesti),conjuntamente,<br />

Rumania; y el proponente. Presentamos la solución de Lasaosa.<br />

Noticia de Congresos, comentario de libros y de páginas web 47<br />

Comentario al libro Probleme de extrem in Geometrie, de Ionut<br />

Ivanescu; por F.Bellot<br />

Divertimentos Matemáticos 47<br />

Capturado en Internet (4)


Curso iberoamericano de formación de profesores de secundaria en el área de<br />

matemáticas<br />

El curso lo convoca la Organización de Estados Iberoamericanos<br />

para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI) en el seno de su<br />

Centro de Altos Estudios Universitarios con la participación de<br />

aquellos países Iberoamericanos que decidan incorporarse al<br />

proyecto. El proyecto se enmarca en la colaboración que la OEI y<br />

la Consejería de Innovación, Ciencia, Empresa y Empleo de la<br />

Junta de Andalucía (España) desarrollan con el fin de apoyar la<br />

construcción del Espacio Iberoamericano del Conocimiento a<br />

través del fomento de vocaciones hacia la ciencia y al avance del Programa Metas<br />

Educativas 2021.<br />

Además, presta su colaboración el Ministerio de Educación de Paraguay y la AECID<br />

(España). http://www.oei.es/cursomatematica/<br />

Curso GeoGebra de formación docente en TIC y matemática<br />

Especialización en TIC y Educación del CAEU de la OEI<br />

Este curso de formación tiene como objetivo dar a conocer<br />

distintas aplicaciones que faciliten la incorporación de las TIC al<br />

aula de matemáticas en los diferentes niveles educativos.<br />

Es evidente que resulta imposible recoger todos los recursos<br />

existentes, por lo que en cada uno de los bloques desarrollados en<br />

el siguiente material se ha apostado por unos determinados programas por sus<br />

características y posibilidades, apoyados en todo momento con otros recursos disponibles<br />

en Internet.<br />

Matrícula y becas parciales abiertas http://www.oei.es/ticymatematicas/


In Memoriam<br />

Prof. Juan Bosco Romero Márquez (1945-2013)<br />

El pasado 19 de enero falleció repentinamente en su casa de Ávila el Prof. Juan<br />

Bosco Romero Márquez, habitual colaborador de la REOIM. Sirvan estas líneas,<br />

escritas conjuntamente por Francisco Javier García Capitán y el editor, de sincero<br />

homenaje a su memoria.<br />

Juan Bosco (como le llamábamos algunos de sus amigos, tal vez para<br />

diferenciarle de otros “Juanes”, matemáticos también) nació en<br />

Montilla (Córdoba) en 1945. Estudió la carrera de Matemáticas en<br />

Madrid, y a su término comenzó a trabajar en el Instituto “Jorge<br />

Juan” del Consejo Superior de Investigaciones Científicas, como<br />

becario de Investigación, entre 1971 y 1976; al tiempo que resolvía y<br />

proponía problemas en la revista Gaceta Matemática, de la Real<br />

Sociedad Matemática Española. Sus intereses eran las desigualdades<br />

con medias y la Geometría. Posteriormente, combinó ambas áreas<br />

proponiendo y resolviendo problemas de desigualdades geométricas.<br />

Una vez ganadas las oposiciones a Cátedras de Instituto, en 1976, se<br />

estableció en Ávila, sirviendo, hasta su jubilación, en el Instituto<br />

“Isabel de Castilla”.<br />

La siguiente foto, amablemente cedida por el Prof. Tomás Recio<br />

Muñiz, compañero de despacho de Juan Bosco en el CSIC, nos<br />

muestra a los profesores del departamento de Álgebra de la U.<br />

Complutense en 1973 rodeando a su Director, el Prof. Abellanas:


Juan Bosco está en la segunda fila, el segundo por la izquierda. La<br />

primera de la derecha en la primera fila es Ángeles, su esposa.<br />

Su interés por la investigación de nuevos problemas y la<br />

profundización de otros conocidos era infatigable; en el caso de los<br />

geométricos, sin ayuda de programas informáticos.<br />

En la Revista Virtual Laboratorio de Triángulos Cabri, cuyo editor es el<br />

Prof. Ricardo Barroso Campos, de la U. de Sevilla, se publicó una<br />

entrañable entrevista virtual con Juan Bosco, en la que se dan<br />

numerosos detalles de su trayectoria profesional. Se puede leer la<br />

entrevista en<br />

http://personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/600jbrm.pdf<br />

Además de su trabajo inicial en la sección de problemas de Gaceta<br />

Matemática, las colaboraciones con revistas extranjeras fueron muy<br />

numerosas: The American Mathematical Monthly, Crux<br />

Mathematicorum, Mathematics Magazine, Math Horizons, School<br />

Science and Mathematics son los títulos de algunas de ellas. De entre<br />

las españolas, la Gaceta de la R.S.M.E.; y entre las virtuales, la<br />

REOIM y el Laboratorio Virtual de Triángulos Cabri. La página web de<br />

García Capitán incluye una sección titulada Charlas con JBRM en la<br />

que se reflejan muchos de los problemas estudiados por Juan Bosco,<br />

en este caso conjuntamente con el mantenedor de la página.<br />

En el libro de Ross Honsberger Mathematical Diamonds (MAA 2003)<br />

se dedica una de sus secciones a Three Pretty Theorems in<br />

Geometry. Citamos textualmente a Honsberger: Es un placer felicitar<br />

al Prof. Marquez (sic) por sus deliciosos descubrimientos y<br />

agradecerle por el permiso para presentarlos aquí con mis propias<br />

palabras”.<br />

Las dos fotografías siguientes muestran a Juan Bosco con el editor de<br />

REOIM, en Ávila, en 2010, durante la Olimpiada Regional de 2º y 4º<br />

de E.S.O.; y con García Capitán, comentando unos problemas en su<br />

casa de Ávila. Tal vez sea la única donde Juan Bosco no luce su<br />

característico bigote.


El problema con el que terminamos esta Nota es uno de los que más<br />

apreciaba Juan Bosco; lo envió a Crux Mathematicorum como<br />

homenaje a Murray S. Klamkin:<br />

Problema Klamkin-08. Sean m y n números enteros positivos, y sean x1, x2, � xm<br />

números reales positivos. Si λ es un número real, λ ≥ 1, demostrar que<br />

m<br />

i=<br />

1<br />

xi 1<br />

n<br />

⎛ m m n<br />

⎛ ⎞ ⎞<br />

1<br />

n<br />

⎜λ i (1 ) i<br />

m ⎜∑x ⎟ + −λ<br />

∑x<br />

⎟ m<br />

i= 1 i=<br />

1 1<br />

≤<br />

⎜ ⎟<br />

≤ x<br />

n<br />

∑ i<br />

λm + (1 −λ)<br />

m m i=<br />

1<br />

⎛ ⎞ ⎝ ⎠<br />

⎜∏ ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

Le despedimos con el antiguo aforismo funerario latino: Sit tibi terra<br />

levis.<br />

Valladolid y Priego de Córdoba, enero de 2013.<br />

Francisco Bellot Rosado y Francisco Javier García Capitán<br />

.


NUEVAS GENERALIZACIONES Y APLICACIONES DE LA<br />

DESIGUALDAD DE NESBITT<br />

D. M. BĂTINEŢU-GIURGIU y NECULAI STANCIU<br />

Abstract. This paper presents new generalizations and new refinements for Nesbitt’s<br />

inequality (other than those of [ 1 ] ).<br />

Keywords: Nesbitt’s inequality, Jensen’s inequality, Radon’s inequality, Bergström<br />

inequality.<br />

MSC : 26D15.<br />

1. Introducción<br />

Consideramos los siguientes conjuntos, N = { 0,<br />

1,<br />

2,...<br />

} , N * { 1,<br />

2,...<br />

}<br />

*<br />

R + = ( , ∞)<br />

quiere decir que k ∈ { 1,<br />

2,<br />

3,...,<br />

n}<br />

.<br />

La desigualdad de Nesbitt (v. por ej. [ 2 ] ) es<br />

= , R + = [ 0 , ∞)<br />

y<br />

0 . También usaremos los símbolos ∀ , que significa “para todo”, y k = 1,<br />

n que<br />

x y z 3<br />

+ + ≥ , cualesquiera que sean x , y,<br />

z ∈R<br />

y + z z + x x + y 2<br />

*<br />

+<br />

En este artículo probaremos una generalización de la desigualdad de Nesbitt y por<br />

particularización obtendremos refinamientos de la misma.<br />

2. Una generalización de la desigualdad de Nesbitt<br />

* *<br />

TEOREMA 2.1. Si n ∈ N − { 1},<br />

a ∈ R , b, c,<br />

d,<br />

xk<br />

∈ R , ∀ k = 1, n,<br />

X = x ,<br />

[ 1 ∞)<br />

m , p,<br />

r,<br />

s ∈ , , tales que<br />

+<br />

+<br />

n<br />

n<br />

∑<br />

k = 1<br />

r<br />

r<br />

cX n > d max xk<br />

, entonces<br />

1≤k<br />

≤n<br />

n m m p<br />

m p<br />

( aX n + bxk<br />

) ( an + b)<br />

rs−mp+<br />

1 mp−rs<br />

∑<br />

≥ n X<br />

s<br />

s<br />

n<br />

r r<br />

r<br />

k = 1 ( cX n − dxk<br />

) ( cn − d )<br />

n<br />

xk<br />

y k = ∀ k = 1,<br />

n , entonces n = ∑ yk<br />

= 1<br />

X n<br />

k = 1<br />

( )<br />

( )<br />

( ) ≥<br />

k = 1<br />

m m p<br />

n<br />

m p<br />

m p<br />

aX n + bxk<br />

mp−rs<br />

a + byk<br />

( an + b)<br />

rs−mp+<br />

1 mp−rs<br />

= X s n<br />

n X<br />

r r<br />

r s<br />

n<br />

r s<br />

cX −<br />

k =<br />

n dx<br />

1<br />

k<br />

c − dyk<br />

( cn − d )<br />

Demostración. Si llamamos ,<br />

U<br />

n<br />

n ( )<br />

∑<br />

= ∑<br />

Y , y (1) se escribe<br />

Probaremos (2) considerando las funciones<br />

1 ⎛ ⎞<br />

⎜ ⎛ c ⎞ r ⎟ *<br />

m p<br />

r −s<br />

f , g,<br />

h : ⎜0,<br />

⎜ ⎟ ⎟ → R+<br />

, f ( y)<br />

= ( a + by ) , g(<br />

y)<br />

= ( c − dy ) , h = fg .<br />

⎜ ⎝ d ⎠ ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

Se tiene<br />

1 ⎛ ⎞<br />

m p−1<br />

m−1<br />

r −( s+<br />

1)<br />

r−1<br />

⎜<br />

f ′ ( y)<br />

= bmp(<br />

a + by ) y > 0,<br />

′<br />

⎛ c ⎞ r ⎟<br />

g ( y)<br />

= drs(<br />

c − dy ) y > 0,<br />

∀y<br />

∈ ⎜0,<br />

⎜ ⎟ ⎟ și<br />

⎜ ⎝ d ⎠ ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

m p−2<br />

m−2<br />

m<br />

f<br />

′<br />

( y)<br />

= bmp a + by y m −1<br />

a + b mp −1<br />

y > 0<br />

( ) ( ) ( ) ) ,<br />

k<br />

(1)<br />

(2)


g′<br />

′ ( y)<br />

= drs<br />

r −( s+<br />

2)<br />

r−2<br />

r<br />

( c − dy ) y ( r −1)<br />

c + d(<br />

rs + 1)<br />

y ) > 0,<br />

Ya que h = fg , tenemos h ′ = f ′<br />

g + 2 f ′ g′<br />

+ fg′<br />

′ y entonces<br />

1 ⎛ ⎞<br />

⎜ ⎛ c ⎞ r ⎟<br />

∀y<br />

∈ ⎜0<br />

, ⎜ ⎟ ⎟ .<br />

⎜ ⎝ d ⎠ ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

1 ⎛ ⎞<br />

⎜ ⎛ c ⎞ r ⎟<br />

h′<br />

′ ( y)<br />

= f ′<br />

( y)<br />

g(<br />

y)<br />

+ 2 f ′ ( y)<br />

g′<br />

( y)<br />

+ f ( y)<br />

g′<br />

′ ( y)<br />

> 0,<br />

∀y<br />

∈ ⎜0<br />

, ⎜ ⎟ ⎟ ,<br />

⎜ ⎝ d ⎠ ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ ⎛ c ⎞ r ⎟<br />

Luego h es convexa en ⎜ ⎜ ⎟ ⎟<br />

⎜ ⎝ d ⎠ ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

1<br />

0, y por la desigualdad de Jensen deducimos que<br />

n<br />

n<br />

m ( a + byk<br />

)<br />

∑ h(<br />

yk<br />

) ∑<br />

r s<br />

k = 1 k = 1 ( c − dy )<br />

Por (2) y (3) obtenemos que<br />

luego (1) queda demostrado.<br />

n ⎛ 1<br />

= ≥ nh⎜<br />

∑ y<br />

⎝ n k = 1<br />

k<br />

p<br />

U<br />

n<br />

≥<br />

k<br />

m ( an + b)<br />

r ( cn − d )<br />

⎛ b ⎞<br />

⎜a<br />

+ m ⎟<br />

⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />

= ⋅<br />

⎝ n ⎠<br />

⎟ = nh⎜<br />

Yn<br />

⎟ = nh⎜<br />

⎟ n<br />

s<br />

⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎛ d ⎞<br />

⎜c<br />

− r ⎟<br />

⎝ n ⎠<br />

p<br />

s<br />

=<br />

n<br />

m ( an + b)<br />

r ( cn − d )<br />

rs−mp+<br />

1<br />

X<br />

p<br />

s<br />

mp−rs<br />

n<br />

n<br />

,<br />

rs−mp+<br />

1<br />

3. Un refinamiento de la desigualdad de Nesbitt<br />

* *<br />

TEOREMA 3.1. Si n ∈ N − { 1},<br />

a ∈ R , b, c,<br />

d,<br />

xk<br />

∈ R , ∀ k = 1, n,<br />

X = x ,<br />

[ 1 ∞)<br />

m , p,<br />

r,<br />

s ∈ , , tales que cX<br />

n m m ( aX n + bxk<br />

)<br />

∑ r r s<br />

k = 1 ( cX − dx )<br />

n<br />

k<br />

p<br />

1 ⎛<br />

≥ ⎜<br />

n ⎝<br />

r<br />

n > d<br />

1≤k<br />

≤n<br />

max x , entonces<br />

r<br />

k<br />

n<br />

m m<br />

∑(<br />

aX n + bxk<br />

)<br />

k = 1<br />

p<br />

p<br />

+<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

n<br />

( ) ≥ ∑ r r s<br />

k = 1 cX − dx<br />

n<br />

⎛ m<br />

m ⎞<br />

⎜anX<br />

n + b∑<br />

xk<br />

⎟<br />

m p<br />

≥<br />

⎝<br />

k = 1 ⎠ s−<br />

p+<br />

1 ( an + b)<br />

rs−mp+<br />

1 mp−rs<br />

n ≥ n X<br />

n<br />

s<br />

n<br />

(4)<br />

r s<br />

⎛ r<br />

r ⎞ ( cn − d )<br />

⎜cnX<br />

n − d∑<br />

xk<br />

⎟<br />

⎝<br />

k = 1 ⎠<br />

Demostración. Sin pérdida de la generalidad podemos suponer que n x x x ≤ ≤<br />

1 ≤ 2 ... y<br />

entonces<br />

y<br />

( ) ( ) ( ) p<br />

m m p m m p<br />

m m<br />

aX + bx ≤ aX + bx ≤ ... ≤ aX + bx<br />

n<br />

n<br />

1<br />

1 n 2<br />

n n<br />

(5)<br />

( ) ( ) ( ) s<br />

r r s r r s<br />

r r<br />

cX − dx cX − dx cX − dx<br />

n<br />

1<br />

n<br />

≤ ... ≤<br />

Por la desigualdad de P.L. Chebyshev tenemos<br />

1<br />

≤<br />

1<br />

2<br />

n<br />

1<br />

n<br />

k<br />

+<br />

n<br />

n<br />

∑<br />

k = 1<br />

p<br />

k<br />

=<br />

(3)<br />

(6)


U<br />

n<br />

=<br />

n m m p<br />

( aX n + bxk<br />

)<br />

∑ r r s<br />

k 1 ( cX − dx )<br />

1 ⎛<br />

≥ ⎜<br />

n ⎝<br />

n<br />

m m<br />

∑(<br />

aX n + bxk<br />

)<br />

∑ r r<br />

k = 1 ( cX dx )<br />

= k = 1<br />

n k<br />

n −<br />

* *<br />

p<br />

*<br />

Ya que la función u : R+<br />

→ R+<br />

, u ( t)<br />

= t , p ≥ 1es<br />

convexa en R + deducimos que<br />

p<br />

n<br />

p<br />

⎞ 1 ⎛ m<br />

m ⎞<br />

aX + ⎟ = ⎜anX<br />

p<br />

n + b xk<br />

⎟ −1<br />

∑<br />

k = 1<br />

⎝ n k = 1<br />

⎠ n ⎝<br />

k = 1 ⎠<br />

n<br />

n<br />

m m p ⎛ 1<br />

m m<br />

∑(<br />

n bxk<br />

) ≥ n⎜<br />

∑(<br />

aX n + bxk<br />

)<br />

Por la desigualdad de J. Radon obtenemos que<br />

n<br />

s+<br />

1<br />

1<br />

n<br />

∑<br />

≥<br />

=<br />

r r s<br />

n<br />

s<br />

k = 1 ( cX n − dxk<br />

) ⎛ r r ⎞ ⎛<br />

⎜∑<br />

( cX n − dxk<br />

) ⎟ ⎜cnX<br />

⎝ k = 1 ⎠ ⎝<br />

Por (7), (8) y (9) resulta que<br />

p<br />

r<br />

n<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

n<br />

n<br />

s+<br />

1<br />

− d<br />

n<br />

p<br />

m ⎞<br />

∑ xk<br />

⎟<br />

k = 1 ⎠ s−<br />

p+<br />

1<br />

n<br />

n<br />

s<br />

r ⎞<br />

∑ xk<br />

⎟<br />

k = 1<br />

⎛ m<br />

⎜anX<br />

n + b<br />

U ≥<br />

⎝<br />

n<br />

⎛ r<br />

⎜cnX<br />

n − d<br />

⎝<br />

⎠<br />

(10)<br />

* *<br />

m<br />

r<br />

*<br />

Ya que las funciones v , w : R+<br />

→ R+<br />

, v ( t)<br />

= t , w ( t)<br />

= t , m, r ≥ 1son<br />

convexas en R+ se tiene<br />

n<br />

m<br />

∑ x k<br />

k = 1<br />

m<br />

X n<br />

≥<br />

(11)<br />

m−1<br />

n<br />

Y, respectivamente,<br />

n<br />

r<br />

∑ x k<br />

k = 1<br />

r<br />

X n<br />

≥<br />

(12)<br />

r−1<br />

n<br />

Por (11) y (12) la desigualdad (10) se convierte en<br />

⎛<br />

⎜anX<br />

U n ≥<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎜cnX<br />

⎝<br />

Por lo tanto<br />

m<br />

n<br />

r<br />

n<br />

b<br />

+<br />

n<br />

m−1<br />

d<br />

−<br />

n<br />

r−1<br />

X<br />

X<br />

m<br />

n<br />

r<br />

n<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

s<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

p<br />

n<br />

s−<br />

p+<br />

1<br />

=<br />

m ( an + b)<br />

r ( cn − d )<br />

n<br />

⎛ m<br />

m ⎞<br />

⎜anX<br />

n + b∑<br />

xk<br />

⎟<br />

m<br />

≥<br />

⎝<br />

k = 1 ⎠ s−<br />

p+<br />

1 ( b)<br />

U n<br />

n ≥<br />

n<br />

s<br />

r<br />

⎛ r<br />

r ⎞ ( cn − d )<br />

⎜cnX<br />

n − d∑<br />

xk<br />

⎟<br />

⎝<br />

k = 1 ⎠<br />

p<br />

p<br />

s<br />

n<br />

rs−mp+<br />

1<br />

n<br />

∑<br />

k = 1<br />

X<br />

x<br />

r<br />

k<br />

1<br />

s<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

mp−rs<br />

n<br />

p<br />

an + rs−mp+<br />

1 mp−rs<br />

n X<br />

s<br />

n<br />

4. Algunas consecuencias<br />

* *<br />

COROLARIO 4.1. Si n ∈ N − { 1},<br />

a ∈ R , b, c,<br />

d,<br />

xk<br />

∈ R , ∀ k = 1, n,<br />

n<br />

∑<br />

k = 1<br />

X = x , α ∈ [ 1,<br />

∞)<br />

, tales que cX n d max xk<br />

, entonces<br />

n<br />

k<br />

n<br />

∑<br />

><br />

1≤k<br />

≤n<br />

α<br />

α<br />

( aX + bx ) ( an + b)<br />

2−<br />

−1<br />

k = 1<br />

n<br />

cX n<br />

k<br />

− dxk<br />

≥<br />

cn − d<br />

n<br />

α α<br />

X n<br />

Demostración: En el teorema 2.1., basta tomar m = r = s = 1,<br />

p = α .<br />

+<br />

+<br />

k<br />

s<br />

(7)<br />

(8)<br />

(9)<br />

(13)<br />

(14)<br />

(15)


* *<br />

COROLARIO 4.2. Si n ∈ N − { 1},<br />

∈ R , ∀ k = 1, n,<br />

= x , α ∈ 1,<br />

∞ ,<br />

x k<br />

+<br />

n<br />

n<br />

∑<br />

k = 1<br />

X [ )<br />

entonces<br />

n α<br />

2−α<br />

xk<br />

n α −1<br />

∑ ≥ X n<br />

(16)<br />

k = 1 X n − xk<br />

n −1<br />

Demostración: En el corolario 4.1. tomamos a = 0,<br />

b = c = d = 1y<br />

se obtiene (16), es<br />

decir, el corolario 2.1. de [ 1 ] .<br />

[ 1 ] .<br />

* *<br />

COROLARIO 4.3. Si n ∈ N − { 1},<br />

∈ R , ∀ k = 1, n,<br />

X = x , entonces<br />

x k<br />

+<br />

n xk<br />

n<br />

∑ ≥<br />

(17)<br />

k = 1 X n − xk<br />

n −1<br />

Demostración: En el corolario 4.2. tomamos α = 1 y obtenemos el corolario 2.2. de<br />

NOTA 4.1. Para n = 3 , por el corolario 4.3. se obtiene la desigualdad de Nesbitt<br />

“clásica”:<br />

x 1 x2<br />

x3<br />

3<br />

*<br />

+ + ≥ , ∀x 1 , x2<br />

, x3<br />

∈ R+<br />

(18)<br />

x + x x + x x + x 2<br />

cX<br />

cX<br />

que<br />

2<br />

3<br />

3<br />

1<br />

1<br />

2<br />

* *<br />

COROLARIO 4.5. Si n ∈ N − { 1},<br />

a ∈ R , b, c,<br />

d,<br />

xk<br />

∈ R , ∀ k = 1, n,<br />

X = x ,<br />

n > d<br />

1≤k<br />

≤n<br />

max x , α ∈ R , entonces<br />

k<br />

+<br />

⎛<br />

⎜anX<br />

+ b<br />

n<br />

+<br />

α + 1<br />

n<br />

+<br />

n<br />

∑<br />

k = 1<br />

α + 1<br />

n<br />

k<br />

α + 1<br />

( + bx ) k = 1<br />

α ( an + b)<br />

α α<br />

n aX n<br />

∑<br />

k = 1 cX n<br />

k<br />

− dxk<br />

≥<br />

⎝<br />

⎠<br />

n<br />

cnX n − d∑<br />

xk<br />

k = 1<br />

1−<br />

n ≥<br />

cn − d<br />

1−<br />

n<br />

Demostración. En el teor. 3.1.basta tomar p = α + 1,<br />

m = r = s = 1.<br />

* *<br />

COROLARIO 4.6. Si n ∈ N − { 1},<br />

c, d,<br />

xk<br />

∈ R , ∀ k = 1, n,<br />

X = x ,<br />

d max x , α ∈ R , entonces<br />

n ><br />

1≤k<br />

≤n<br />

k<br />

+<br />

n α + 1<br />

xk<br />

∑ ≥ ∑<br />

cX − dx n cX<br />

∑<br />

x<br />

⎞<br />

⎟<br />

n<br />

α + 1<br />

∑ xk<br />

n<br />

1−α<br />

k = 1<br />

1 n<br />

− dx<br />

k = 1 n k<br />

k = 1 n k<br />

+<br />

≥<br />

cn − d<br />

Demostración: En (4) tomamos a = 0,<br />

b = 1,<br />

m = r = s = 1,<br />

p = α + 1,<br />

y deducimos<br />

es decir, el teor. 4.1. de [ ]<br />

x<br />

1<br />

n α + 1<br />

n<br />

k<br />

α + 1<br />

∑ ≥ X n ⋅∑<br />

k = 1 cX n − dxk<br />

n k = 1 cX n − dxk<br />

1 .<br />

1<br />

X<br />

α<br />

n<br />

1−α<br />

n<br />

≥<br />

cn − d<br />

* *<br />

COROLARIO 4.7. Si n ∈ N − { 1},<br />

∈ R , ∀ k = 1, n,<br />

X = x , α ∈ R , entonces<br />

x<br />

1 ⎛<br />

n α + 1<br />

n<br />

n<br />

k<br />

α + 1<br />

∑ ≥ ⎜∑<br />

xk<br />

⎟∑<br />

k = 1 X n − xk<br />

n k = 1 k = 1 X n − xk<br />

⎝<br />

⎞<br />

⎠<br />

x k<br />

+<br />

1<br />

1−α<br />

n<br />

≥ X<br />

n −1<br />

n<br />

α<br />

n<br />

n<br />

X<br />

n<br />

∑<br />

k = 1<br />

α<br />

n<br />

k<br />

n<br />

∑<br />

k = 1<br />

,<br />

k<br />

X<br />

k<br />

n<br />

n<br />

+<br />

k<br />

n<br />

∑<br />

k = 1<br />

k<br />

(19)<br />

(20)<br />

(21)


Demostración. En el corolario 4.6. basta tomar c = d = 1.De<br />

esta forma se vuelve a<br />

1 .<br />

obtener el corolario 4.1. de [ ]<br />

NOTA 4.2. La desigualdad (21) es uj refinamiento de la desigualdad 2.2. de [ 1 ] , así<br />

que (21) es una generalización y un refinamiento de la de Nesbitt<br />

*<br />

COROLARIO 4.8. Si x , y,<br />

z ∈ R+<br />

, entonces<br />

α + 1 α + 1<br />

α + 1<br />

x<br />

y<br />

z<br />

+<br />

+<br />

≥<br />

c(<br />

y + z)<br />

− ( d − c)<br />

x c(<br />

z + x)<br />

− ( d − c)<br />

y x(<br />

x + y)<br />

− ( d − c)<br />

z<br />

1<br />

≥<br />

3<br />

de [ 1 ] .<br />

1−α<br />

α + 1⎛<br />

1<br />

1<br />

1 ⎞ 3<br />

⎜<br />

+<br />

+<br />

⎟ ≥ (22)<br />

⎝ c(<br />

y + z)<br />

− ( d − c)<br />

x c(<br />

z + x)<br />

− ( d − c)<br />

y c(<br />

x + y)<br />

− ( d − c)<br />

z ⎠ 3c<br />

− d<br />

Demostración: En (20) basta tomar n = 3 .<br />

*<br />

COROLARIO 4.9. Si x , y,<br />

z ∈ R+<br />

, entonces<br />

x y z 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 3<br />

+ + ≥ ( x + y + z)<br />

⎜ + + ⎟ ≥<br />

(23)<br />

y + z z + x x + y 3 ⎝ y + z z + x x + y ⎠ 2<br />

Demostración: En (22) se toma α = 0 , es decir, se vuelve a obtener el corolario 4.2.<br />

( x + y + z)<br />

NOTA 4.3. La desigualdad (23) es un refinamiento de la de Nesbitt.<br />

5. Algunas aplicaciones<br />

n<br />

* +<br />

*<br />

1<br />

APLICACIÓN 5.1. Si n ∈ N − { 1},<br />

a ∈ R , b, c,<br />

d,<br />

ak<br />

∈ R+<br />

, ∀ k = 1, n,<br />

H n = ∑ ,<br />

k = 1 ak<br />

r 1<br />

m , p,<br />

r,<br />

s ∈ [ 1,<br />

∞)<br />

, y cH n > d max , entonces<br />

1≤k ≤n<br />

a<br />

⎛<br />

⎜aH<br />

+<br />

b<br />

⎞<br />

⎟<br />

m<br />

n ⎜ n m<br />

a ⎟<br />

⎝<br />

k ⎠<br />

∑<br />

≥ s<br />

k = 1 ⎛ r d ⎞ −<br />

⎜cH<br />

⎟<br />

⎜ n − r<br />

a ⎟<br />

k<br />

k<br />

p<br />

m ( an + b)<br />

r ( cn d )<br />

p<br />

s<br />

n<br />

rs−mp+<br />

1<br />

H<br />

mp−rs<br />

n<br />

⎝ ⎠<br />

1<br />

Demostración: En el teor. 2.1. tomamos x k = , k = 1,<br />

n , y obtenemos (24).<br />

a<br />

1<br />

Si a 1 a2...<br />

an<br />

= 1,<br />

entonces H n ≥ n ⋅ n = n , y (24) se convierte en<br />

a a ... a<br />

⎛ m b ⎞<br />

⎟<br />

⎜<br />

⎜aH<br />

+<br />

n<br />

n m<br />

m p<br />

⎝ ak<br />

⎠ ( an + b)<br />

rs−mp+<br />

1<br />

∑<br />

≥ n n<br />

s<br />

r s<br />

k = 1 ⎛ ⎞ ( − )<br />

r d cn d<br />

⎟<br />

⎜<br />

⎜cH<br />

n − r<br />

⎝ ak<br />

⎠<br />

Si consideramos n = 3 , entonces por (25) se tiene<br />

p<br />

p<br />

⎛ m b ⎞ ⎛ m b ⎞ ⎛ m b ⎞<br />

⎜<br />

⎜aH<br />

+<br />

⎟<br />

3 m<br />

⎝ a ⎜<br />

⎜aH<br />

⎟<br />

3 + aH<br />

m<br />

m<br />

1 ⎠<br />

+<br />

⎝ a2<br />

⎠<br />

a ⎟<br />

⎜ 3 +<br />

+<br />

⎝<br />

3 ⎠<br />

s<br />

s<br />

s<br />

⎛ r d ⎞ ⎛ r d ⎞ ⎛ r d ⎞<br />

⎜<br />

⎜cH<br />

−<br />

⎟<br />

3 r<br />

⎝ a ⎜<br />

⎜cH<br />

−<br />

⎟<br />

3<br />

cH<br />

r<br />

r<br />

1 ⎠ ⎝ a2<br />

⎠<br />

a ⎟<br />

⎜ 3 −<br />

⎝<br />

3 ⎠<br />

p<br />

1<br />

2<br />

n<br />

k<br />

mp−rs<br />

p<br />

=<br />

≥ 3⋅<br />

( )<br />

( ) n<br />

m p<br />

an + b<br />

r s<br />

cn − d<br />

( )<br />

( ) s<br />

m p<br />

3 a + b<br />

r<br />

3 c − d<br />

(24)<br />

(25)<br />

(26)


y para a = 0,<br />

b = c = d = 1,<br />

deducimos que<br />

1<br />

1<br />

+ s<br />

mp ⎛ 1 1 ⎞ mp ⎛ 1 1 ⎞<br />

a<br />

⎟<br />

⎜ 1 + a<br />

r r<br />

⎝ a2<br />

a<br />

⎟<br />

⎜ 2 + r r<br />

3 ⎠ ⎝ a3<br />

a1<br />

⎠<br />

1<br />

1<br />

⇔<br />

mp+<br />

rs<br />

s<br />

a1 2 3<br />

( ) +<br />

r r<br />

a + a<br />

s<br />

+<br />

a<br />

( ) +<br />

r r s<br />

a + a<br />

mp+<br />

rs<br />

a2 3 1<br />

mp<br />

3<br />

1<br />

⎛ 1 1 ⎞<br />

⎜ +<br />

⎟<br />

r r<br />

⎝ a1<br />

a2<br />

⎠<br />

1<br />

s<br />

≥<br />

3<br />

( ) ⇔<br />

r s<br />

3 −1<br />

≥<br />

( ) ( ) s<br />

r r s r<br />

a + a 3 −<br />

mp+<br />

rs<br />

a3 1 2 1<br />

Si tomamos m = 2,<br />

p = r = s = 1,<br />

entonces por (27) se obtienee<br />

1<br />

1<br />

1 3<br />

+<br />

+<br />

≥<br />

(28)<br />

3<br />

3<br />

3<br />

a1<br />

( a2<br />

+ a3<br />

) a2 ( a3<br />

+ a1)<br />

a3<br />

( a1<br />

+ a2<br />

) 2<br />

Es decir, el problema propuesto por Rusia en la 36ª I.M.O., Canada, 1995.<br />

*<br />

APLICACIÓN 5.2. Si tomamos a = 0,<br />

b = c = d = 1,<br />

p ∈ N y m = r = s = 1,<br />

entonces<br />

por (1) resulta<br />

n p<br />

p−1<br />

xk<br />

X n<br />

∑ ≥<br />

(29)<br />

p−2<br />

k = 1 X n − xk<br />

n ( n −1)<br />

Es decir, el problema O:1087 de la revista rumana Gazeta Matematica, 5/2005, p. 226 ,<br />

propuesto por Gh. Ivancev (Vidin, Bulgaria) y Lucian Tușescu (Craiova, Romania).<br />

REFERENCES<br />

[ 1 ] M. BENCZE AND O.T. POP, Generalizations and refinements for Nesbitt’s inequality, J. Math.<br />

inequalities, 5 (2011), No. 1, 13-20.<br />

[ 2 ] A.M. NESBITT, Problem 15114, Educational Times (2), 3 (1903), 37-38.<br />

3<br />

(27)<br />

D.M. Bătineţu- Giurgiu<br />

Department of Mathematics<br />

“Matei Basarab” National College<br />

Bucharest, Romania<br />

Neculai Stanciu<br />

Department of Mathematics,<br />

“George Emil Palade” Secondary School,<br />

Buzău, Romania<br />

e-mail: stanciuneculai@yahoo.com


Luis M. Maraví Zavaleta<br />

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA PJ42 – 1 DEL VOL. 42 DE LA REOIM<br />

Esta igualdad también puede ser expresada como<br />

El factor al que multiplica 6 constituye la suma de los 2011 primeros términos de una progresión geométrica<br />

de razón 7, por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:<br />

Como , entonces .


Luis M. MARAVÍ ZAVALETA<br />

REVISTA DE LA OIM Nº 45<br />

PROBLEMAS PARA LOS MÁS JÓVENES<br />

OLIMPÍADA DE ESLOVENIA, 1997<br />

I.E. 80915 “Miguel Grau Seminario”, C. P. El Pallar, Huamachuco, La Libertad, Perú<br />

………………………………………………………………………………………………………..<br />

PJ45 – 2: El punto P dista 9 unidades del centro de un círculo de radio 15. ¿Cuántas<br />

cuerdas de longitud entera pasan por P?<br />

Realicemos un boceto:<br />

Q1<br />

Q2<br />

N<br />

A<br />

O<br />

Q’’<br />

A’<br />

P<br />

En el gráfico, la cuerda AQ pasa por P. Los segmentos AP y PQ poseen las<br />

distancias más cortas desde los puntos A y Q de la circunferencia O. Como el centro O<br />

equidista de aquellos puntos, entonces pertenece a la mediatriz del segmento AQ. Es<br />

decir, OP es mediatriz de la cuerda AQ. Con este dato y la aplicación del teorema de<br />

Pitágoras en el triángulo OAP, obtenemos que AQ mide 24 u. Esta es la mediana más<br />

corta que pasa por P.<br />

Como el diámetro también es una cuerda, entonces aquellas que pasan por P<br />

pueden tener como longitudes enteras a 24 u., 25 u., 26 u., 27 u., 28 u., 29 u. y 30 u.<br />

Ahora imaginemos que la cuerda AQ rota en sentido antihorario con centro en P y “crece”<br />

hasta coincidir con el diámetro MN. Las cuerdas A’Q’ y A”Q” ilustran algunos de los casos<br />

de este razonamiento. Continuemos imaginando que el movimiento sigue pero hacia el<br />

“otro lado” del círculo y con la longitud “decreciente” de las cuerdas (A1Q1 y A2Q2 ilustran<br />

algunas de las posiciones de este razonamiento). De esta manera, la cantidad de cuerdas<br />

de longitud entera que pasan por P se duplicaría. Considerando que el diámetro y la<br />

cuerda AQ deben ser contadas solamente una vez, concluimos que las cuerdas que<br />

tiene longitud entera y pasan por P son 12.<br />

A’’<br />

M<br />

A1<br />

Q’<br />

Q<br />

A2


PJ45 – 3: Se da el cuadrado ABCD. Sea E el punto medio del lado CD y F la<br />

intersección de AE y BD. Calcular la razón AF/FE.<br />

Esbocemos la situación<br />

B<br />

A<br />

Por las propiedades del cuadrado, BD es diagonal y bisectriz de D. Entonces, en el<br />

triángulo ADE se aplica el teorema de la bisectriz interior:<br />

.<br />

Por lo tanto, la razón AF/FE es 2.<br />

PJ45 – 4: ¿Para qué valores del parámetro “a” las ecuaciones 19x 2 + ax + 97 = 0 y<br />

97x 2 + ax + 19 = 0 tienen una raíz común?<br />

Designemos a las ecuaciones de la siguiente manera:<br />

19x 2 + ax + 97 = 0…E1<br />

97x 2 + ax + 19 = 0…E2<br />

Expresando ambas ecuaciones en función de ax, tenemos las siguientes<br />

expresiones (procedimientos abreviados):<br />

Analicemos los dos casos:<br />

F<br />

D<br />

C<br />

E


(1) La raíz común es<br />

Sustituyendo este valor de x en E1, obtenemos a = 78 y en E2, a = -116. De esta<br />

forma, obtenemos las siguientes ecuaciones:<br />

19x 2 + 78x + 97 = 0…E1<br />

97x 2 - 116x + 19 = 0…E2<br />

El discriminante de la primera ecuación es -1288, mientras que el discriminante de<br />

la segunda ecuación es 6084. Ello nos indica que ambas ecuaciones no pueden tener<br />

raíces comunes, ya que E1 no las tiene reales mientras que E2, sí. Por lo tanto, x1 = -1 no<br />

puede ser la raíz común.<br />

(2) La raíz común es<br />

Al sustituir el valor de x en ambas ecuaciones, obtenemos a = -116 en E1 y en E2.<br />

De esta manera, obtenemos las ecuaciones:<br />

19x 2 - 116x + 97 = 0…E1<br />

97x 2 - 116x + 19 = 0…E2<br />

El discriminante de ambas ecuaciones 6084. Al resolver E1 obtenemos como<br />

raíces a 5,11 y a 1, mientras que al resolver E2, tenemos a 1 y a 0,20. Es decir que,<br />

solamente cuando a = -116, ambas ecuaciones tienen la raíz común x = 1.


REVISTA DE LA OIM Nº 46<br />

PROBLEMAS PARA LOS MÁS JÓVENES<br />

PRUEBA FINAL DE LA OJM DE VENEZUELA 2011 (Primer Año)<br />

Luis M. MARAVÍ ZAVALETA<br />

I.E. 80915 “Miguel Grau Seminario”, C. P. El Pallar, Huamachuco, La Libertad, Perú<br />

………………………………………………………………………………………………………..<br />

PMJ46-1<br />

Sea n un entero positivo y k el entero que resulta al borrar la cifra de las unidades de n:<br />

(por ejemplo, si n = 7492; k = 7499). Si n - k = 2011, ¿cuál es el valor de n?<br />

Sea . Se trata de resolver:<br />

Claramente, . Además 2011 = 9(223) + 4. 2011 también es igual a 9(222) + 13, pero<br />

. Por lo tanto, .


Problemas para los más jóvenes 47<br />

Cinco problemas de la Olimpiada de Moldavia<br />

PMJ47-1<br />

Hallar los números naturales n tales que los números n+200 y n-269 sean<br />

cubos de números naturales.<br />

PMJ47-2<br />

Las longitudes de los lados de un triángulo son números enteros consecutivos.<br />

Se sabe que una mediana del triángulo es perpendicular a una bisectriz. Hallar<br />

las longitudes de los lados del triángulo.<br />

PMJ47-3<br />

Sea M un subconjunto del conjunto A = {1, 2, ..., 50} tal que la suma de dos<br />

elementos distintos cualesquiera de M no es divisible por 7. ¿Cuál es el máximo<br />

número de elementos que puede contener M?<br />

PMJ47-4<br />

En el cuadrilátero ABCD los ángulos A y C son iguales. La bisectriz del<br />

ángulo B corta al círculo circunscrito al triángulo BCD en el punto C1, distinto<br />

de D. La bisectriz del ángulo D corta al círculo circunscrito a BDA en un punto<br />

A1, distinto de B. Demostrar que el cuadrilátero A1BC1D es un paralelogramo.<br />

PMJ-47-5<br />

Hallar el mayor número natural d que divide a todo número de la forma<br />

n(n + 1)(2n + 1996), para todo n natural.<br />

1


Problemas de Nivel Medio y de Olimpiadas 47<br />

Cinco problemas de la revista rusa Kvant<br />

PNM47-1<br />

Probar que para todo número impar a existe un número natural b tal que<br />

2 b − 1 es divisible por a.<br />

PNM47-2<br />

Tres circunferencias del mismo radio r pasan por un punto H. Las tres circunferencias<br />

se cortan dos a dos en tres puntos A, B y C. ¿Cuánto mide el radio<br />

de la circunferencia que pasa por A, B y C?<br />

PNM47-3<br />

Cada uno de los números x1, x2, ..., xn es igual a +1 ó a −1. Además, x1x2 +<br />

x2x3 + ... + xn−1xn + xnx1 = 0.<br />

Demostrar que n es divisible por 4 (A.Leontovich)<br />

PNM47-4<br />

Los 7 enanitos están esperando a Blanca Nieves, sentados en torno a una<br />

mesa circular. Cada uno tiene una enorme copa, y en algunas de las copas hay<br />

leche. El primer enanito distribuye toda la leche de su copa en las de los otros<br />

6, a partes iguales. El siguiente sentado a su derecha hace lo mismo, y así se<br />

continúa hasta que el séptimo enenito reparte toda la leche de su copa a partes<br />

iguales en las de los demás. Entonces ocurre que cada uno de ellos tiene en su<br />

copa la misma cantidad que tenía al principio. ¿Cuál era ésta, si en total hay 3<br />

litros de leche?(V.Gutenmacher)<br />

PNM47-5<br />

Resolver el sistema de ecuaciones<br />

x − 1 y − 2 3 − x − y<br />

= =<br />

xy − 3 xy − 4 7 − x2 − y2 1


PROBLEMAS PROPUESTOS 231-235<br />

Problema 231, propuesto por Antonio F. Costa y Juan Bosco Romero<br />

Márquez (†), Ávila, España<br />

Sea ABC un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto tiene por vértice A. En la<br />

recta que contiene a la hipotenusa de ABC se consideran los puntos B’,<br />

exterior a la hipotenusa y tal que BB’ = BA, y C’, exterior a la hipotenusa y<br />

tal que CC’ = CA.<br />

Sea r la recta que pasa por B’ y C’; H1 el semiplano determinado por r que<br />

contienen a A; H2 el semiplano determinado por r que no contiene a A.<br />

Por B’ trazamos dos rectas paralelas a los catetos y lo mismo hacemos por<br />

C’ obteniendo así un rectángulo A’B’C’D’; el punto A’ es el vértice del<br />

rectángulo que está en el semiplano H2.<br />

Por A’ trazamos las rectas que pasan por B y C, y llamamos B’’ y C’’ a las<br />

intersecciones de dichas rectas con los lados del rectángulo y distintas de<br />

A’.<br />

Probar:<br />

1. Que el punto A está en el segmento B’’C’’<br />

2. El triángulo A’B’’C’’ es rectángulo si y sólo si el triángulo ABC tiene<br />

ángulos agudos que miden 30º y 60º.<br />

3. El ángulo con vértice A’ del triángulo A’B’’C’’ es como máximo 45º, y<br />

ese valor se alcanza cuando ABC es un triángulo isósceles (y por<br />

tanto también A’B’’C’’ es isósceles).<br />

Problema 232, propuesto por Juan Bosco Romero Márquez (†),<br />

Ávila, España.<br />

Sean a, b números reales positivos. Si λ es un parámetro, se definen<br />

Demostrar que<br />

( )( ) 2 2<br />

λa+ b a+ λb a + λab<br />

+ b a + b<br />

x = ab, y = , z = ; u = .<br />

λ+ 1 λ+<br />

2 2<br />

1) Si a,b>0, λ ≥ 2 ,entonces<br />

2) Si a,b >0, 0≤λ≤ 2,<br />

entonces<br />

( )( ) 2 2<br />

λa+ b a+ λb a + λab<br />

+ b a + b<br />

ab ≤ ≤ ≤<br />

λ+ 1 λ+<br />

2 2<br />

( )( ) 2 2<br />

λa+ b a+ λb a + b a + λab<br />

+ b<br />

ab ≤ ≤ ≤<br />

λ+ 1 2 λ+<br />

2<br />

.


*Problema 233, propuesto por Aldo Gil Crisóstomo, Lima,<br />

Perú.<br />

En un cono recto, de radio r y altura h, por un punto O sobre la<br />

circunferencia de la base trazamos un plano inclinado. Hallar el<br />

ángulo que debe formar el plano con la base para que los volúmenes<br />

determinados por el plano en el cono sean iguales.<br />

Problema 234, propuesto por D.M. Batinetu-Giurgiu, Bucarest,<br />

y Neculai Stanciu, Buzau, Rumania<br />

Sea f : �→�una función par y derivable, con derivada continua.<br />

+<br />

Si a ∈ � , calcular<br />

a<br />

⎛ f( x)<br />

x ⎞<br />

∫ ⎜ + f '( x) ln ( 1+<br />

e x<br />

) ⎟dx<br />

1+<br />

e<br />

−a<br />

⎝ ⎠<br />

Problema 235, propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest,<br />

Rumania<br />

Hallar la variable aleatoria Y que verifica la relación<br />

P X≥ 3 = PY≤ n , cuando la variable aleatoria X ∈ γ ( n+ 1,1), n∈�<br />

, y<br />

( ) ( )<br />

después estudiar si<br />

( )<br />

( )<br />

⎡m Y ⎤<br />

es un número primo.<br />

3<br />

⎢ ⎥<br />

⎣m2Y ⎦


Problema 226. Solución de Roberto Bosch Cabrera, Ciudad de la Habana, Cuba.<br />

Se tiene xn = αna + βn. Donde αn+1 = 73αn − 256αn−1 y βn+1 = 73βn − 256βn−1 con α0 = 4, α1 = 256 y<br />

β0 = 3, β1 = 27. Si reducimos módulo 11 queda αn+1 ≡ 7αn − 3αn+1 y βn+1 ≡ 7βn − 3βn−1. Vamos a probar por<br />

inducción que αn es 10-periódica módulo 11. (Análogo para βn). Para esto supongamos que αn−1 ≡ αn+9(11) y<br />

αn ≡ αn+10(11) , entonces se tiene αn+1 ≡ 7αn − 3αn−1 ≡ 7αn+10 − 3αn+9 ≡ αn+11(11). De esta forma es suficiente<br />

considerar los primeros 10 valores de ambas sucesiones para determinar xn. Tenemos<br />

αn(11) = {4, 3, 9, 10, 10, 7, 8, 2, 1, 1}<br />

βn(11) = {3, 5, 4, 2, 2, 8, 6, 7, 9, 9}<br />

a)Si xn es convergente entonces las subsucesiones constantes 4a + 3 y 3a + 5 convergen al mismo límite, de donde<br />

4a + 3 ≡ 3a + 5(11), lo cual es equivalente a a ≡ 2(11), de donde el límite de xn será 0 porque se verifica fácilmente<br />

que todos sus términos son divisibles por 11.<br />

b) Si a ≡ 1(11) entonces xn = {7, 8, 2, 1, 1, 4, 3, 9, 10, 10}.<br />

1


Problema 227.<br />

En el plano del cuadrado ABCD, M es un punto cualquiera. Encontrar el conjunto de valores de la<br />

expresión<br />

MA + MC<br />

R( M ) =<br />

MB + MD<br />

Solución.<br />

Vamos a determinar los extremos de R(M) cuando M se mueve en el plano y por comodidad para<br />

los cálculos buscaremos los extremos de<br />

2 2<br />

2 MA + MC + 2 MA· MB<br />

R( M ) =<br />

(1)<br />

2 2<br />

MB + MD + 2 MC· MD<br />

B<br />

Por la simetría del problema respecto de los ejes OX, OY, basta considerar que M se mueve en el<br />

primer cuadrante.<br />

Pongamos ρ = OM , r = OD, α = AMC, β = BMD .<br />

Como OM es la mediana del triángulo AMC,<br />

2 2 2<br />

2 2MA + 2MC − 4r<br />

2 2 2 2<br />

ρ = ⇔ MA + MC = 2ρ + 2r<br />

.<br />

4<br />

2 2 2 2<br />

De modo análogo en el triángulo BMD, MB + MD = 2ρ + 2r<br />

.<br />

Por otra parte, por el teorema del coseno en el triángulo AMC,<br />

2 2 2 2 2 2ρ − 2r<br />

4r = MA + MC − 2 MA· MC·cosα = 2ρ + 2r − 2 MA· MC·cosα ⇔ 2 MA· MC =<br />

cosα<br />

Y por el mismo teorema en el triángulo BMD ,<br />

P<br />

A<br />

C<br />

Sustituyendo todo lo anterior en (1), queda<br />

Y<br />

M'<br />

O D<br />

M<br />

Q<br />

2 2<br />

2ρ − 2r<br />

2 MB· MD = .<br />

cos β<br />

bisectriz<br />

X<br />

2 2


2<br />

( )<br />

R M<br />

2 2<br />

2 2 ρ − r<br />

2 2<br />

ρ + r +<br />

MA + MC + 2 MA· MB<br />

= = cosα<br />

2 2<br />

2 2<br />

MB + MD + 2 MC· MD 2 2 ρ − r<br />

ρ + r +<br />

cos β<br />

Si fijamos ρ y movemos M en el arco desde P hasta Q, α crece, el coseno decrece y el numerador<br />

crece para cualquier valor de ρ .<br />

Para ver la variación del denominador basta tener en cuenta que simetrizando M respecto de la<br />

bisectriz del primer cuadrante obtenemos M’ y el valor de β correspondiente a M coincide con el de<br />

α correspondiente a M’ de modo que al moverse M de P a Q , M’ lo hace en sentido inverso y el<br />

denominador decrece.<br />

Resumiendo: para ρ constante M se mueve en el arco desde P hasta Q y tiene el mínimo en P y el<br />

máximo en Q.<br />

MA + MC<br />

Sólo nos resta hallar el máximo y el mínimo de R( M ) = en las semirrectas OX y OY<br />

MB + MD<br />

B<br />

Y<br />

A<br />

C<br />

O D<br />

respectivamente.<br />

Si M se mueve en el semieje OX positivo, el valor denominador de R(M) cambia según M esté a la<br />

izquierda o a la derecha de D. De modo más preciso se tiene<br />

⎧ MA 1<br />

⎪<br />

= , si ρ ≥ r<br />

ρ α<br />

⎪ cos<br />

⎪ 2<br />

R( M ) = ⎨<br />

⎪ MA 1<br />

= , si ρ ≤ r<br />

⎪ r α<br />

⎪⎩<br />

sen<br />

2<br />

1 1 2<br />

Y claramente el máximo se alcanza cuando ρ = r (M = D) y vale = = .<br />

cos45º sen45º<br />

2<br />

Procediendo de modo análogo con M en el semieje OY positivo, resulta<br />

M<br />

(2)<br />

X


( )<br />

R M<br />

⎧ ρ β<br />

= cos , si ρ ≥ r<br />

⎪ MB 2<br />

= ⎨<br />

⎪ r β<br />

= sen , si ρ ≤ r<br />

⎪⎩ MB 2<br />

Y el mínimo se alcanza para ρ = r (M = A) y vale sen 45º = cos45º =<br />

2<br />

.<br />

2<br />

Como las funciones son continuas toman todos los valores intermedios y el conjunto de valores<br />

⎡ 2<br />

pedido es el intervalo real ⎢ ,<br />

⎣ 2<br />

⎤<br />

2⎥<br />

.<br />

⎦<br />

Cristóbal Sánchez-Rubio, Benicasim


PROBLEMA 229 (propuesto por Marcel Chirita, Bucarest, Rumanía)<br />

Sea ABC un triángulo y AA1, BB1, CC1 tres cevianas concurrentes en un punto<br />

O interior al triángulo. Sean<br />

α = [AOC1]−[COA1], β = [BOA1]−[AOB1], γ = [COB1]−[BOC1].<br />

Probar que si α + β + γ = 0, entonces αβγ = 0.<br />

Nota: [P QR] es el área del triángulo P QR.<br />

Solución por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Pública de Navarra,<br />

Pamplona, España<br />

Claramente, existen constantes reales positivas ρ, κ tales que BC1 = ρAC1,<br />

CA1 = κBA1, y por el teorema de Ceva, CB1 = ρκAB1. Al mismo tiempo, por el<br />

terorema de Menelao,<br />

AO<br />

· A1C<br />

CB<br />

BC1<br />

· = 1,<br />

C1A<br />

OA1<br />

o equivalentemente,<br />

AA1<br />

= 1 +<br />

OA1<br />

AO<br />

=<br />

OA1<br />

1 + κ + ρκ<br />

,<br />

ρκ<br />

luego por estar en la misma proporción las alturas desde A y desde O sobre BC<br />

por el teorema de Thales, se tiene que [BOC] = ρκ[ABC]<br />

1+κ+ρκ , y al ser BA1 = BC<br />

1+κ ,<br />

CA1 = κBC<br />

1+κ , tenemos que<br />

[BOA1] = BA1<br />

ρκ[ABC]<br />

[BOC] =<br />

BC (1 + κ)(1 + κ + ρκ) ,<br />

[COA1] = CA1<br />

ρκ<br />

[BOC] =<br />

BC 2 [ABC]<br />

(1 + κ)(1 + κ + ρκ) .<br />

De forma análoga, se demuestra que<br />

OB1<br />

BB1<br />

κ<br />

=<br />

1 + κ + ρκ ,<br />

OC1<br />

CC1<br />

1<br />

=<br />

1 + κ + ρκ ,<br />

ρκ<br />

[COB1] =<br />

2 [ABC]<br />

(1 + ρκ)(1 + κ + ρκ) , [AOB1]<br />

κ[ABC]<br />

=<br />

(1 + ρκ)(1 + κ + ρκ) ,<br />

[ABC]<br />

[AOC1] =<br />

(1 + ρ)(1 + κ + ρκ) , [BOC1]<br />

ρ[ABC]<br />

=<br />

(1 + ρ)(1 + κ + ρκ) .<br />

Tenemos entonces que<br />

α =<br />

Luego<br />

(1 − ρκ)[ABC]<br />

(1 + κ)(1 + ρ)<br />

κ(1 − ρ)[ABC]<br />

ρ(1 − κ)[ABC]<br />

, β = − , γ = −<br />

(1 + κ)(1 + ρκ) (1 + ρ)(1 + ρκ) .<br />

α+β+γ = (1 − κ − ρ + ρκ2 + κρ 2 − ρ 2 κ 2 )[ABC]<br />

(1 + κ)(1 + ρ)(1 + ρκ)<br />

= (1 − ρ)(1 − κ)(1 − ρκ)[ABC]<br />

(1 + κ)(1 + ρ)(1 + ρκ)<br />

= (1 + κ)(1 + ρ)(1 + ρκ)<br />

ρκ[ABC] 2 αβγ,<br />

y como ρ, κ, [ABC] son reales positivos, se tiene que αβγ = 0 si y sólo si α+β +γ =<br />

0, quedando probado el resultado propuesto y su recíproco.<br />

1<br />

=


PROBLEMA 230 (propuesto por Marcel Chirita, Bucarest, Rumanía)<br />

Demostrar que se verifica la siguiente desigualdad triangular:<br />

�� max 1 + a<br />

� �<br />

1 +<br />

b<br />

a<br />

� �<br />

, 1 +<br />

c<br />

b<br />

� �<br />

1 +<br />

c<br />

b<br />

� �<br />

, 1 +<br />

a<br />

c<br />

� �<br />

1 +<br />

a<br />

c<br />

�<br />

b<br />

�<br />

≥ 4.<br />

Solución por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Pública de Navarra,<br />

Pamplona, España<br />

Demostramos el siguiente resultado,<br />

�<br />

más general: Sea (u, v, w, x, y, z) una per-<br />

. Entonces,<br />

mutación cualquiera de � a<br />

b<br />

, b<br />

c<br />

, c<br />

a<br />

, a<br />

c<br />

, b<br />

a<br />

, c<br />

b<br />

max {(1 + u)(1 + x), (1 + v)(1 + y), (1 + w)(1 + z)} ≥ 4,<br />

con igualdad si y sólo si a = b = c.<br />

Claramente uvwxyz = 1, mientras que el resultado a demostrar es equivalente a<br />

que<br />

max {u + x + ux, v + y + vy, w + z + wz} ≥ 3.<br />

Por la desigualdad entre medias aritmética y geométrica, u + x + ux ≥ 3 3√ u 2 x 2 ,<br />

con igualdad si y sólo si u = x = ux, es decir si y sólo si u = x = 1 por ser u, x<br />

reales positivos. Nos basta entonces con demostrar que<br />

max{ux, vy, wz} ≥ 1,<br />

claramente cierta porque ux, vy, wz son tres reales positivos con producto igual a 1.<br />

Nótese que se da la igualdad en esta última relación si y sólo si ux = vy = wz = 1,<br />

y en estas condiciones, se da la igualdad en la anterior si y sólo si, simultáneamente,<br />

u = x = 1, v = y = 1, y w = z = 1. Es decir, se da la igualdad en la desigualdad<br />

alternativa a la propuesta, si y sólo si a = b = c, como queríamos demostrar.<br />

1


Comentario de páginas web, reseña de congresos y de libros 47<br />

Ionut Ivanescu: Probleme de extrem in Geometrie. Ed.Grapho,<br />

Bacau 2012, Rumania.<br />

Este manual de 160 páginas, escrito en lengua rumana, y al que he tenido<br />

acceso gracias a la generosidad de un amigo, constituye una aportación, a<br />

mi juicio, muy importante con vistas a la preparación de los estudiantes<br />

para las Olimpiadas, concursos y la enseñanza de la Matemática. Su<br />

contenido se distribuye en 4 capítulos.<br />

El primero (Métodos de resolución de problemas de extremos geométricos)<br />

es posiblemente esencial, puesto que en él se describen, con precisión y<br />

numerosas aplicaciones, los 8 métodos de resolución: de las desigualdades,<br />

de la simetría, de las desigualdades algebraicas, del trinomio cuadrático, de<br />

las relaciones métricas, trigonométrico, de desarrollos en el plano, y de<br />

geometría analítica. Es un capítulo muy sistemático, que ayudará al lector a<br />

comprender porqué unos métodos son buenos para un cierto tipo de<br />

problemas y otros no.<br />

Tras una explicación de cada uno de los métodos, se dan varias aplicaciones<br />

de los mismos.<br />

El segundo capítulo trata de la caracterización de unos elementos<br />

geométricos importantes con ayuda de las propiedades de los extremos<br />

geométricos. Caracterización de puntos, de figuras geométricas, de cuerpos<br />

geométricos en el espacio.<br />

El tercero versa sobre Aplicaciones prácticas de los problemas de extremos<br />

geométricos.<br />

Y el cuarto sobre Problemas de extremos geométricos para Olimpiadas y<br />

Círculos de alumnos.<br />

Se añade una Bibliografía de 36 entradas y el índice.<br />

Valladolid, febrero 2013<br />

Francisco Bellot Rosado


Divertimentos Matemáticos 47<br />

Capturados en internet<br />

Esta foto no es, obviamente un “divertimento”, sino un homenaje a<br />

todos los profesores que siguen dándolo todo cuanto saben en sus<br />

clases, sobreponiéndose a las circunstancias más difíciles.<br />

en espiral


Einstein and company<br />

Simplemente hermoso


Árbol de Navidad matemático<br />

La primera computadora del mundo

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!