CARTAS - Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

CARTAS
FÍSICO-MATEMÁTICAS.
7

R.'*
t &
CARTAS
FÍSICO-MATEMÁTICAS
DE TEODOSIO Á EUGENIO,
QUE PASA INTELIGENCIA Y COMPLEMENTO
DE LA RECREACIÓN FILOSÓFICA
ESCRIBIÓ
EL P. D. TEODORO DE ALMEIDA,
de la Congregación del Oratorio de S. Felipe Neri
y de la Academia de las Ciencias de Lisboa,
Socio de la Real Sociedad de Londres,
y de la de Vizcaya.
ESTA OBRA
Contiene un aparato de principios necesarios para
entender la Física Experimental, como se explica
en los Reales Estudios de San Isidro , y para los
que estudian á Jaquier , ú otros muchos Tratados que
se han publicado en la Europa , fice.
TRADUCIDA AL CASTELLANO.
SEGUNDA IMPRESIÓN,
CORREGIDA Y AUMENTADA.
TOMO PRIMERO.
CON PRIVILEGIO.
MADRID EN LA IMPRENTA RJ
AÑO DE 1792.
^
% • i»

Se advierte d los Libreros encuadernadores , que
estos dos tomos de Cartas Físico-Matemáticas son
j,° y 2. 0 como se dice en las portadas ;y así no
atiendan á que en los pliegos dice VIII. y IX.
El octavo, que completa la Recreación ,y se añade
en esta edición, saldrá presto.
PROLOGO
BEL TRADUCTOR.
JLJOS motivos principalmente me han
animado á facilitar mas la lectura de estas
Cartas del Padre Almeyda: el uno
el deseo de desengañar á los que han
oido decir á sus Maestros, aunque ignorantes
de la Física Experimental, y por
consiguiente de toda verdadera filosofía
natural, que esta ciencia no se compone
bien con la verdadera Religión : quando
esto fuese otra cosa que el querer dar á
su misma ignorancia y pereza un color
mas agradable á costa de la verdad, la
mucha piedad y religión del Padre Almeyda
pudieran desmentirlos, pues junta
lo benemérito de la Religión en sus
apreciables tareas de pulpito y confesonario
, y aquel espíritu de piedad que encanta
en tantos libros devotos que tiene
escritos con general aceptación de los
buenos, con estar firmemente persuadido
á que sola la experimental es la verdadera
Física.
Ya está averiguado, que la Religión
no puede padecer detrimento por la ver-

dadera Física, enla'qual no suben á la
dignidad de principios las ficciones ó supuestos
arbitrarios, como en Platón y Aristóteles,
sino verdades averiguadas con la
experiencia; y nadie duda que la verdad
no contradice á la verdad: las verdades
naturales no se oponen á las que enseña
la Fe: la diferencia consiste, en que las
primeras se demuestran, porque sus principios
ó los efectos que las indican caben
en nuestro entendimiento, y las verdades
que llamamos Dogmas, tienen el
principio por donde pueden demostrarse
, no en nosotros, sino en el divino entendimiento
: todo quanto puede saber
un Teólogo en este punto es que son evidentemente
creíbles; y son tales los testimonios
que Dios nos ha dado, que sería
temeridad el no creer: también debe estar
pronto á manifestar, que no tienen
contradicion los Misterios, y no puede
la verdadera Filosofía dexar de tener para
esto tan buenas y mejores expresiones
que la Filosofía Aristotélica, si llegan á
manejarla buenos Teólogos. Los impíos
y hereges de los siglos anteriores todos
ignoraron la verdadera Física.
El segundo motivo que me inclinó
fué el ver que muchos aficionados á los
descubrimientos que ha hecho en nuestro
tiempo la:Física, no podrían entenderla
sin los principios que son indispensables;
y yo los hallaba todos en las Cartas del
Padre Almeyda claros y compendiosos;
porque ¿en dónde se verá un tomo tan
pequeño como el primero, y que al mismo
tiempo abrace la geometría y el cálculo
que necesita un Físico? ¿ó quién enseña
los principios de la Física Experimental^
los demuestra en tan pocos pliegos
como comprehende el segundo tomó?
" Mas general me pareció la utilidad
de estas Cartas: la Geometría es la me 1
jor Lógica,porque no puede el buen Geómetra
apartarse de la verdad sin sentir
repugnancia; tanto se acostumbra el entendimiento
con esta ciencia á la exactitud.
Luego podremos esperar qué emr
pezará la educación de los jóvenes .por la
Geometría, ya que está tan clara en el
primer: tomo de estas Cartas., á imitación
de los grandes Autores de la antigüedad,
los que todos tomaban sus principios; y
por eso se observa en sus escritos una
evidencia y un orden que aun nos encanta.
VALS.
*

•
ÍNDICE
DE LAS CARTAS
DEL PRIMER TOMO.
G i ARTA PRELIMINAR , que sirve de
prólogo para las demás Cartas. Pag« i.
CARTA I. Sobre las líneas y los ángulos,
ir.
CARTA H. De la medida de los ángulos.
, 42.
CARTA HI. De las razones y proporciones.
CARTA IV. De las líneas proporciona­
66
les. 108.
CARTA V. De las superficies. 148'.
CARTA VI. Sobre los sólidos.
EPÍLOGO. Sobre las razones y proporciones
de las líneas, superficies y só­
200.
lidos. 263.
•4- •>
-> >o»>eoo:>oc j %
; CARTAS
FÍSICO-MATEMÁTICAS
13
DE
TEODOSIO T EUGENIO.
l * e *OMoto

¡t Cartas Tísico-Matemáticas
entiendes. Confieso que ninguna de tus Cartas
me ha hecho impresión mas gustosa que
esta última del 9 de Enero, en que te quejas
con mayor sentimiento. A la verdad que
yo gusto de verte tan sediento ; y ahora
conozco , que el tiempo , las adversidades,
los cuidados y los sustos no han podido
extinguir en tí el deseo de saber ; y si la
semilla arrojada en la playa ha fructificado
tanto , me prometo abundantes frutos de
esas viciosas plantas de los ardientes deseos
en que ahora te veo ; pero sábete , que mi
silencio en algunas materias en compañía
de Silvio , fué preciso , y fue prudente. Si
yo hubiera de tratar de todo lo que pertenece
á esas materias , el estómago de tu
entendimiento , por no poder digerir asuntos
tan fuertes, padecería indigestiones con
mucho dolor , hipo y angustia. No siempre
el orden natural de las materias es el
orden natural con que deben enseñarse. Hay
qüestiones, que aunque pertenecen á puntos
que se tratan aLprincipio de la Física,
no son para la capacidad de los principiantes
, como verás por experiencia. Ademas
de que tu entendimiento era como un lienzo
limpio, en que yo quería dibujar la imagen
de la naturaleza , imprimiendo en ella
las ideas mas claras de las maravillas de
Dios ; me pareció que debia primero hacer
un dibujo de lápiz por mayor de las partes
mas principales , é importantes; y des-
de Teodosio y Eugenio. 3
pues ir metiendo los colores, ó retocando
las menudencias para perfeccionar la imagen.
Sin duda seria ridículo el Pintor que para
hacer un retrato no delinease la nariz , boca
, hombros , brazos y cuerpo , antes de
dar los últimos toques de los ojos , ó de
los cabellos, por la regla de que , según el
orden natural, son los que tienen el primer
lugar en la cabeza. Esto mismo haria yo,
si no dexase una materia sin decir desde
luego todo quanto se puede saber acerca de
ella , por pasar á otras mas substanciales.
Por esto no esperé á que quedase evaquada
toda la mecánica en las leyes de movimiento
, antes de tratar de los colores * del
I sonido , del fuego, &c. cosas que te habían
de dar curiosidad desde el principio.- Soy
de parecer, que en el método de enseñar
se ha de poner la atención principal en lá
mayor facilidad para la inteligencia de las
materias, y en su dependencia, pudieñdo reservarse
para otra segunda mano ó retoque
de la pintura muchas cosas , que si se tratasen
desde luego , pudieran fastidiar ó cansar
á los principiantes. No obstante quando
se escribe para gente instruida se puede observar
con todo rigor el orden de las materias.
Ademas de que en la instrucción particular
que te he dado , se debia tener presente
el dar tan deliciosa idea del estudio
de la Física , que todos se aplicasen á ella
con gusto ; y por esto convenia separar to-
A2

4 Cartas Ttsico-Matemd'ticas
do quanto pudiese ser mas espinoso y difícil.
Ahora , pues , te daré gustoso la instrucción
que me pides , porque ya sera íacil
, y podrá servir de suplemento á la que
ya te he dado.
Lo primero que me pides es una instrucción
sobre la Geometría , solamente la
que baste para poder discurrir bien en las
materias mas vulgares de la Física , y particularmente
para la mecánica , ó ciencia
del movimiento , que es la basa de toda
"ella ; y añades, que no obstante la grande
dificultad y trabajo que hallarías en la inteligencia
de esta ciencia abstracta y espinosa
, deseas tu instrucción. Advierto en tí
mucho miedo para lo que solo te ha de
causar consuelo y gusto. No temas , amigo,
que tan vano es ese miedo en la Geometría
, como lo fué en la Física , en la que
te dixo la experiencia , que sirvió de materia
de recreación lo que recelabas, que solo
lo fuese de aplicación difícil y costosa.
Créeme que has de hallar tanto gusto en
ella, como en Ja Física , aunque al principio
no sentirás el mismo sabor ; pues solo
]o conocerás en entrando un poco mas adentro
en esta admirable ciencia , que es la llave
de otras muchas. Los primeros pasos son
los mas obscuros ; pero cada verdad geométrica
es una luz ó una antorcha que se enciende
, y esta va succcsivamente encendiendo
otras ; de modo, que al principio solo
de Teodosio y luginio. 5
tenemos la simple luz de la razón que nos
guia , y da conocimiento de los primeros
principios , los quales se llaman axiomas 6
primeras verdades ; pero después al,paso que
estas van declarando otras , va el entendimiento
iluminado con muchas luces , que se
van multiplicando cada vez mas ; de modo,
que quanto mas se adelanta , mas claro es
el camino, y se anda con mas desembarazo.
Digo esto de la instrucción que te prometo
, porque la experiencia me ha dado esta
esperanza.
No es mi intento escribir en estas Cartas
los Elementos de Geometría para los
que han de seguir profundamente los estu-
, dios de Matemática , sino solo preparar á
líos que como tú desean profundizar en el
• estudio de la Física , la que en los tiempos
presentes no se puede entender bien sin esta
previa instrucción. Los apasionados del
grande Eúclides pretenden que solo en él ó
en su método de tratar las verdades Geométricas
se halla la genuina evidencia matemática.
Creo que no disputarían conmigo,
poique me contento con la evidencia , que
se halla en los ¡numerables tratados modernos
, en que Geómetras muy hábiles, dexando
el método de Eúclides , siguieron el
que les pareció mas acomodado á'las materias
que trataban , siguiendo en estas el orden
que les pareció mas natural. Bastante
honor seria el mió, si pudiera entrar en el

6 Cartas Tísico-Matan/ticas
catálogo inmenso en que se leen los nombres
de Arnaldo, Lami, Cleraut, la Chápele,
Besout , y otros muchos , que pusieron la
mira en la facilidad de introducir en la mente
de sus discípulos las verdades que los
querian enseñar. El mismo Mr. de Mont-
Luca , Flistoriador de la Matemática , con
ser famoso partidario de Eúclides , dice:
No obstante , si yo hubiera de enseñar , no
dudaría en adoptar el método de los modernos.
Puede ser que me acriminen el no haber
adoptado alguno de los tratados excelentes
de Geometría , ya impresos , y que
seria mejor que el mió. No lo dudo ; mas
la libertad de pensar como mejor los parece
, que todos tienen en lo que no sea materia
de Fe ó de costumbres , da á cada qual
el derecho de exponer sus pensamientos , sin
que le puedan acusar de vana presunción,
por parecerle mejores que los de los otros.
Esta libertad ha sido útilísima , así en todas
las ciencias naturales , como en las Matemáticas.
Aunque no se concede en las verdades
substanciales , sobre las que todos estan
acordes , jamas se negó en el modo de
enlazarlas , y deducir unas de otras , o en
el de manifestarlas al entendimiento. Si así
no fuese , no habria mas que un solo curso
de Geometría, porque todos tendrían la precisión
de seguir en todo las pisadas del primero.
de Teodosio y Ingenio. 7
Tal vez algunas circunstancias serán objeto
de la crítica : unos me censurarán de
difuso en la explicación , ó demasiado abundante
en las figuras. Respondo , que mas
bien quiero que entendida bien una proposición
, lean ademas un par de reglas , que
no les serán penosas, que no el que sea preciso
volver muchas veces atrás para leer lo
que ya hubiesen leido sin entenderlo. Quisiera
yo, si fuese posible, que cada uno por
sí mismo sin Maestro pudiese entender todo
quanto le quiero enseñar.
También parecerá extraño , que regularmente
quando yo anuncio la proposición,
ya esta queda aprobada ; observando con
rigor el método sintético ó de doctrina,
desciendo siempre de los principios á las
conseqüencias. Lo que me movió á seguir
este método no fué el vano deseo de distinguirme
de los mas, sino la propia exper
rienda de muchos años , que estuve ensenando
por diferentes modos las mismas verdades
Geométricas, y siempre observé constantemente
, que quando usaba yo este método
, insensiblemente , y como sin trabajo
alguno me percibían , y se convencían de las
verdades mas complicadas. La razón es porque
no sabiendo á qué fin me dirigía, ponían
toda la atención en las proposiciones que
yo iba trayendo á la memoria ; y después
de haber ofrecido al entendimiento las verdades
ya sabidas , en un instante las junta-

¡II.
8 cartas Ttsko-Matemdtieds
ban , y veian salir de ellas el theorema que
yo intentaba manifestarles. Al contrario,
quando las anunciaba el theorema, y me preparaba
para demostrarle , advertía yo que
muchas veces les costaba trabajo compre-hender
bien lo que yo quería probar; porque
á cada verdad que yo iba diciendo,
observaba yo que su entendimiento repartía
la atención en dos partes , dando la mitad
á la verdad que yo les decia , y reservando
la otra para el theorema , cuya verdad
querían probar ; esperando con impaciencia
hasta ver quando se les presentaba la conexión
, que esperaban descubrir : de esta
atención repartida nacían muchas equivocaciones
, y de la impaciencia , con que estaban
esperando quando se vería Ja conexión
con la nueva verdad , también nadan otras,
y esto sucedia muchas veces. No es lo mismo
en el método que yo sigo ; pues en éste
va el entendimiento de los discípulos sosegado
, y sin poder distraerse á cosa alguna,
porque solo puede atender á lo que se les
dice , por ignorar el fin que lleva el discurso.
No pretendo por esto condenar á ninguno
, sino dar la razón que tengo para seguir
este camino , que la experiencia me ha
enseñado ser útil. Teniendo presente que sucede
muchas veces, que el desacierto de un
Autor temerario da ocasión, y abre la puerta
á los felices aciertos de los que después
sobrevienen. La multitud inmensa de Auco-
de Tcedosio y Eugenio. _ 9
res , que han escrito y cada dia escriben,
dando Elementos de Geometría , es buena
prueba de que todavía falta , y se desea conseguir
alguna cosa en punto de la facilidad,
para que estas verdades se hagan notorias a
todos.
Hasta en el modo de escribir las verdades
y sus pruebas , separándolas totalmente,
poniendo aquellas sueltas y descarnadas de
las pruebas , me podrán criticar. Si la experiencia
no me hubiera enseñado , que hasta
el ser la impresión á la vista mas clara y
desembarazada , es conducente para que sea
mas fácil y clara la impresión en el alma , no
lo hiciera yo así; pero sigo lo que conozco
que es mas útil para la claridad y la inteligencia.
La mayor claridad y facilidad es
lo que me he propuesto en esta instrucción,
no la mayor profundidad de doctrina , la
que ni es propia de mis fuerzas , ni de una
simple preparación para la Física , como llevo
dicho. Tú que por la amistad que me
profesas , y la grande confianza que tienes
de mi método de enseñar, me prometes seguir
en todo lo que yo hallare por conveniente
, así para tu instrucción , como para
la mayor facilidad de ésta , me animas á que
solo atienda á estos dos fines : el uno á instruirte
en las verdades mas útiles que se enseñan
en la Geometría , de lo que tenemos
comunmente necesidad en el estudio de la
Física : el otro es ahorrarte trabajo, y au-

• i
io cartas Físico-Matemáticas
mentarte la claridad en la percepción é inteligencia.
Con esta licencia , pues, empezare
en Ja Carta siguiente.
de Teodosio y Eugenio. 11
CARTA PRIMERA.
Sobre las Líneas y los Ángulos.
%. I.
De la formación de las líneas recta
y curva.
Jtliugenio imagínate que un punto se
mueve ; de qualquiera modo que se mueva
, siempre ha de seguir algún camino : este
camino que Heva el punto es el que llamamos
Unta y como A. B. (I. i. F. i.) Ahora
bien , si el punto se mueve en busca de
otro punto determinado , la línea es recta,
como sucede al punto A. el qual se supone
que va buscando siempre en su movimiento
al punto B.
Mas si el punto que se mueve á cada paso
fuere mudando de dirección (L. i. F. 2.)
la línea que describiere se llamará curva, como
sucede en el punto E. de la línea E. I.
Explico esto mas. Si juntásemos muchas
rectas inclinadas mutuamente , claro está que
el punto O. siguiendo estas líneas, ya buscaria
el punto A, ya el B, ya C , y ya últimamente
D; esto no lo dudas: lo mismo,
X

•
H :
12 Cartas Tísico-Matemáticas
pues, hace en la curva el punto movible E,
porque á cada movimiento infinitamente pequeño
va mudando de dirección.
Por eso quando el punto movible caminase
por una línea recta, llegará á su término
mas presto, que si antes de llegar á él
fuese describiendo una curva. De aquí saco
una conseqüencia, que tú irás escribiendo á
parte en un quaderno para conservarlas mejor
en Ja memoria.
N? i. Luego la línea recta es menor que ¡a
curva, si ambas salen de un punto , y ambas
terminan en otro.
§. II.
De la línea circular.
Si la recta A. B. (I. i. F. 3.), Eugenio
amigo , se íuere moviendo al rededor , afirmándose
sobre la extremidad A, la otra extremidad
B. irá describiendo una curva, la
que vendrá á concluir en su principio quando
k recta vuelva por último á su lugar antiguo.
Esta línea recta que se mueve, se llama
rayo ó radio, como A. B.: el punto A, ó
la extremidad fixa se llama centro.
La curva formada por la extremidad movible
se llama circunferencia ó periferia, como
B. C. D. E. F.
Qualquicra porción de esta circunferen­
te Teodosio y Eugenio. 13
cía se llama arco , como D. C , ó D. E, &c.
El espacio comprehendido dentro de la
circunferencia se llama círculo.
La recta , que de un punto de la circunferencia
llega hasta el otro , atravesando
por el centro , se llama diámetro. (Latn. 1.
H- 4-)
La recta , que no pasare por el centro , y
termina por ambos extremos en la circunferencia
, se llama cuerda , como O. I.
La recta, que saliere fuera del círculo,
se llama secante , como E. F.
Ahora , amigo , de la formación del círculo
salen varias conseqüencias.
I.
Los diferentes rayos de un círculo (I. 1.
ty' JO no son otra cosa sino la misma línea
A. B. que se movió, haciendo el círculo y
puesta en diversas situaciones hace diversos
rayos.
N? 2. Luego todos los rajos de un círculo
son iguales entre sí.
II.
Los rayos de un círculo son la medida
de las distancias entre el centro v los puntos
de la circunferencia; y como los rayos son
iguales, se sigue:

I •
!•••
14 Cartas Físico-Matemáticas
N? 3. Luego todos los puntos de la circunferencia
están igualmente distantes del centro.
III.
Doblado un círculo por el centro (L. 1.
F. 5.) si algún punto de alguna mitad saliere
mas acia fuera , ó entrase mas acia dentro,
que los de la otra mitad , distaría este punto
del centro mas ó menos que los otros, lo
que es imposible.
N? 4. Luego doblado qualquier círculo por
el centro , se ajustarán perfectamente las dos medias
circunferencias tí semicírculos.
IV.
Si dos arcos en un círculo fueren iguales
(L. 1. F. 6.) , se podrá doblar el círculo
por el centro, de tal modo , que no solo se
ajusten las dos medias circunferencias, sino
también los dos arcos iguales, que son partes
de ellas. Entonces poniendo Jas. extremidades
de un arco sobre las extremidades del
otro , se ajustará perfectamente la distancia
entre estas extremidades , ó las cuerdas que
las miden.
N? 5. Luego en el mismo círculo los arcos
iguales tienen cuerdas iguales.
Del mismo modo si en el mismo círculo
son las cuerdas iguales , la» extremi-
de Teodosio y Eugenio. 15
dades de los arcos que estas atan , estarán
igualmente distantes j y por ser igual su curvatura
, pues se forman con igual movimiento
del mismo rayo, se podrán ajustar y
concidir.
N? 6. Luego en el mismo círculo , cuerdas
iguales piden arcos iguales.
%. III.
De los Ángulos en común.
•• &.m¡go Eugenio , antes de hablar de los
Ángulos, conviene explicarte algunos térmi-
Inos, que podrán ser estrañas i los principiantes.
Quando dos líneas van conservando siempre
entre sí igual distancia, se llaman paralelas
: de estas trataremos adelante.
Quando la distancia va siendo mayor al
paso que van adelantando estas líneas, se llaman
divergentes, v. g. (Fig. 6.) las líneas
M. I, y N. E. que según van baxando, van
distando mas entre sí.
Quando las líneas van distando entre sí
cada vez menos , se llaman convergentes,
v - g' las mismas líneas, si se toman de
abaxo acia arriba. Esto supuesto , sabrás
que:
N. 7. Ángulo es la divergencia de dos ra-
J°f , o' de dos líneas que se consideren como
r «w (U». 1. r,g. 7.) El punto A. en que

•
16 Cartas Físico-Matemáticas
se unen se llama vértice : las dos líneas se
llaman lados. *
De este conocimiento se siguen las conse- 1
queridas siguientes.
I.
N? 8. El ángulo mayor o' menor es la mayor
o' menor divergencia de las líneas. Y así la
longitud de las líneas no tiene conexión
alguna con la grandeza del ángulo. Por esto
(Lam. i. Fig. 8. ) el ángulo E. no mudará
de quantidad , bien sea que sus líneas
se corten en I, ó paren en A, ó continúen
hasta O.
II.
N? 9. La medida del ángulo es la medida
de la divergencia; esto es, el arco comprehendido
entre los dos rayos que se for-
r Confieso, que dos líneas unidas en un punto
pueden hacer ángulo , aunque sea fuera del círculo
; no obsta, como para medir la grandeza de
este ángulo siempre se considera una punta. del
compás puesta en el vértice , y se describe un círculo
que corte sus dos lados en igual distancia,
para conocer el valor del arco que comprehende,
en este particular se consideran como rayos. También
advierto, que algunas veces se nota ó señala
el ángulo con tres Ietra3. En este caso siempre se
ha de poner en medio de las otras dos la letra
que está en el vértice.
dS teodosio y Eugenio. i7
man y describen desde' el vértice, como de
centro.
La circunferencia de qualquier círculo
grande o pequeño se divide en 360 partes
iguales , las que se llaman grados : los
círculos grandes tienen grados grandes , y
Jos pequeños los tienen pequeños. Cada erado
se puede dividir en 60 partes iguales,
que se llaman minutos, y cada minuto
en 60 partes iguales, que 5e llaman segúndos,
&c. °
•N? 10. Quando el arco comprehendido enre
los lados de un ángulo es la quarta parte de
\»" rc «l> comprende 90 grados, y se llama
Ingulo recto, como A. (Lam. i.Fig.oA
1 Quando d arco es menos que la quar-
\ig.10.) ^ agUd ° ' C ° m ° B * (Lam ' u
Quando el arco comprehende mas de la
ZoJFn "" CÍ ' CUl ° * " lkma ° htHS0 orno v. (Lam. 1. Fig. n.)
>
Ve estas tres definiciones se sacan
varias consecuencias.
I.
bi. "£ n * !r Ue § 0 solme » t f l°* ángulos rectenen
medula constante y número sabido de
aaos >y todos son iguales entre sí.
Tom. pxif. B

i8
Cartas Tísico-Matemáticas
H.
N° 12. Luego el semicírculo S media circunferencia
es la medida de dos ángulos rectos,
o' de dos ángulos que tengan el valor de cstts
(Lam. i.Tig. 12.) porque es igualados quartM
partes del círculo, o'á logrados.
III.
N° 13. Luego la circunferencia total ei
medida de quatro ( Lam. 1. Tig. 8.) ángulos rectos
, o de los ángulos que tengan el valor de ella
(Lam. i.Tig. 13.) porque tiene por medida
quatro quartas partes del círculo.
IV.
N? 14. Luego todos los ángulos que se pudieren
formar sobre una línea recta j en 0
punto (Lam. 1. Tig. 12..) tienen el valor de dt>¡
rectos, porque todos juntos se pueden medir
por la media circunferencia , ó tienen d
mismo valor que un semicírculo.
V.
N? 15. Luego todos los ángulos que 1
pueden formar al rededor de un punto (Lam. i-
Fig. íy) son iguales áquatro rectos , porque s¡
pueden medir por una circuniut.ncia entera
de Teodosio y Eugenio. 19
Se llama suplemento de un ángulo lo que
falta á éste para completar la media circunferencia
ó semicírculo (Lam. 1. Tig. 14.) y
así el ángulo A. tiene por suplemento la porción
de semicírculo AL N. Se llama complemento
de un ángulo lo que falta en éste
para la. quarta parte de un círculo , como B.
(Lam. 1. Fig. 15.) por lo qual el ángulo B.
tiene por complemento el arco A. C.
De esta definición se sacan las consecuencias
siguientes.
I.
K? 16. Luego quando dos ángulos tuvieren
el mismo complemento , o' .el ñnsmo suplemento
serán iguala entre sí, porque sí á ambos
les hita el mismo número de grados
para 9o o para 180 , ambos tendrán igual
numero de grados,
&
Quando dos rectas se cruzan (Lam. 1.
>&• 16.) tenemos quatro ángulos A. M. O.
*N. Aquellos ángulos que no tienen un la-
ta°mK 0n T, á l0S d0$ ' V ' &• A " °- como
tibien M. N. se llaman opuestos por el
ti tice, o como algunos dicen opuestos veramente
; adviértase bien , que como he
„ ° ' han J e ser formados por dos recfts
que se crucen.
-0n Sl c °mos juntamente el ángulo M.
el A. ambos se miden por un semicír-
Uz

2o Cartas Tísico-Matemáticas
culo , y por consiguiente A. es el suplemento
de M. Asimismo , si tomamos juntos
el ángulo N. con el A. tienen por su
medida un semicírculo ; y por consiguiente
A- es suplemento de N. Luego M. y N.
tendrán el mismo suplemento A: y estose
puede probar con los ángulos A. y O.
II.
N? 17. Luego los ángulos opuestos por
el vértice son iguales.
§. IV.
De la línea perpendicular y de la
obliqua.
Se llama línea perpendicular la recta , que
cayendo sobre otra , no se inclina mas acia
un lado , que acia otro. (Lam. 1. Tig. 17.)
De esta definición se sacan varias
conseqüencias.
I.
N.° 18. Luego quando la perpendicular
hace dos ángulos con la otra línea sobre que cae,
estos serán entre sí iguales; pues á no serlo,
se inclinarla ñus acia un lado que á otro
de Teodosio y Eugenio. 21
(Lam¿ 1. Fig. 17.) y no seria perpendicular.
II.
N? 19. Luego los ángulos que hace la perpendicular
son rectos, porque valen ambos dos
rectos, y pues son iguales entre sí, cada uno
será un recto : por consiguiente :
La línea que con otra hiciere dos ángulos
rectos , será ^perpendicular á esta otra, supuesto
que no se inclina mas á un lado que á
otro.
ra.
N? 20. Si dos líneas hicieren un ángulo
recto (Lam. 1. Tig. 18.) podemos por el
vértice O. prolongar una de ellas, y aparecera
un nuevo ángulo , que también será
recto: (Núm. 14.) por consiguiente una línea
será perpendicular á otra ; y si prolongásemos
las dos líneas que concurren en el
ángulo Q , tendremos por la misma razón
quatro ángulos rectos, y todas las líneas serian
mutuamente perpendiculares.
N. 21. Luego siempre que una recta hace
ángulo recto con otra, la será perpendicular.
IV.
Quando una recta es perpendicular sobre
otra (Lam. 1. Tig. 19.) hace con ella un
ángulo recto , y entonces también la según-

I 1
22 cartas Tísico-Matemáticas
da le hace con la primera ; y por el n. 21.
precedente la será perpendicular.
NV 22. Luego quando una línea fuere
perpendicular á otra, también esta otra lo será
respecto de la primera.
V.
,Puesta una recta m. n. (Lant. i« Fig, 20.)
y levantada una perpendicular A. O. si desde
el mismo punto queremos levantar otra,
ó bien ha de pasar sobre la primera , y entonces
no es línea distinta , ó ha de caer
acia alguno de los lados , y entonces no se*
rá perpendicular, porque se inclina más á un
lado que á otro.
N? 23. Luego del mismo punto de una línea
no se pueden .levantar dos perpendiculares,
VI,
Del mismo modo (Lam. 1. Tig. 21.) si
la perpendicular A. O. no se inclina á un
lado , ni á otro , qualquicra otra línea que
saliere de A , ó ha de venir á parar á O, y
entonces no es linca diversa , ó ha de caer
acia uno de los lados , y se inclinará mas
á un lado que á otro , y entonces no será
perpendicular.
N? 24. Luego de un punto no se podra'n
tirar dos perpendiculares sobre ¡a misma línea.
de Teodosio y Eugenio. 23
V.
De otras propiedades de las lineas
perpendiculares.
Oupuesto que la perpendicular no se inclina
'"as á un lado que á otro , saldrán las conseqüencias
Siguientes.
I.
N. 25. Si del medio de una línea M. N.
Lam. 1. Tig. 22.) se levanta una perpendicular
, su extremidad superior (O.) distará iguallente
de los dos extremos de la línea M. N;
mes de lo contrario , teniendo la perpendiular
la extremidad inferior A. igualmente
istante de los extremos M. N. y la de arriba
O. mas cerca del uno que del otro , toda
la línea se inclinaría acia esta parte, y
ya no seria perpendicular.
II.
Podemos partir esta perpendicular O. A.
por qualquier punto que se quiera , y en
este caso ese punto , v. g. E. seria la extremidad
superior , y por consiguiente igualtnente^distante
de los extremos M. N.
N • z6. Luego si del medio de una línea

24 Cartas Tísico-Matemáticas
se levantare una perpendicular, todos los puntos
de ella distarán igualmente de los extremos de
la otra línea M, N.
III.
Diximos en el n. 25 , que si del medio
de la línea M. N. se levantase una perpendicular
, iria á buscar el punto O. igualmente
distante de las extremidades M. N. luego
la línea que saliere de O, y viniere á parar
en A, será perpendicular, y como del punto
O. no se pueden tirar dos perpendiculares
sobre la misma línea (Niim. 24.) se sigue
que la línea que saliere de O. igualmente distante
de las extremidades, si fuere perpendicular
ha de venir á buscar el punto A. tanibicn
igualmente distante de ellas.
N? 27. Luego si la extremidad superior de
¡a perpendicular dista igualmente de los extremos
de la otra línea , también la extremidad inferior
distará igualmente de ellos.
IV.
Ahora bien , pudiéndose cortar la perpendicular
por el punto que se quiera , v. g.
por E. (Lam. 1. Trg. 22.), y hacer que ésre
sea la extremidad superior , se sigue:
N? 28. Luego dado en una perpendicular
qualquier punto (E. ) que diste igualmente
de los extremos de la otra línea M. N. la per-
de Teodosto y Eugenio. 2 j
findicular vendrá á dar en el medio de ella
( por el Núm. 27. )
V.
N? 29. Luego , generalmente hablando,
dando en la línea, perpendicular qualquier punto
igualmente distante de los extremos M. N. sea
ínfimo o' superior o' qualquier a otro , o' por el medio
, todos los otros puntos de la perpendicular
tendrán igual distancia del uno y el otro extremo
de la otra línea (Núm. 26 , 27 y 28.)
VI.
También podemos cortar la línea M. N.
(por donde nos parezca , y de qualesquiera
'puntos de ella haremos extremidades ; y de
este modo lo que hemos dicho de la perpendicular
, que dista igualmente de las extremidades
de la otra línea , lo podremos decir
de la perpendicular, que distará igualmente
de qualesquiera puntos notados en la
otra línea,
N? 30. Luego la perpendicular que tuviere
un punto (Lam. 1. Tig. 23.), qualquier a que
"a , igualmente distante de los dos notados
M. N. en la línea sobre que cae , teñirá todos
sus puntos igualmente distantes de ambos
á dos.
Ahora bien, si todos los puntos de la
perpendicular A. E. I. O. (£41». 1. Tig. 25O

26 Cartas Físico-Matemáticas
se suponen igualmente distantes de M. N¿
(Núm. 30.), todos los otros puntos que
quedaron á los lados de esa perpendicular,
o han de quedar mas cerca de M. ó de N ; y
así no es posible que punto alguno que quede
fuera de la perpendicular diste igualmente
de los dos puntos notados en la línea sobre
que cae.
N? 31. Luego si un punto de la perpendicular
dista igualmente de los dos notados
en la línea sobre que cae, la perpendicular pa?
sará por todos los puntos que distaren igualmente
de ellos.
§. VI.
Señales para conocer las perpendiculares^
y modo de formarlas.
JTlasta aquí, amigo Eugenio, del conocimiento
de la perpendicular te enseñé, á sacar
sus propiedades ; ahora por las propiedades
te enseñaré á conocer la perpendicular.
I.
N? 32. Si una línea (Lam. 1. Tig. 24.)
tuviere dos puntos igualmente distantes í
otros dos señalados en otra, basta esto para
ser perpendicular ; v. g. si A. O. tuviese
A. igualmente distante de M. N, y tam-
de Teodosio y Eugenio., 27
>ien O. igualmente distante de estos misios
, esto basta para ser perpendicular á
N.
Porque la perpendicular que pasase por
fcl punto O. igualmente distante de M. N,
ria< á tocar al punto A. también igualmene
distante de los puntos M. N. (por el
•Júm. 31.) Luego si esta línea de que se tra-
a llega de O. hasta A, pasa por donde patria
Ja perpendicular; y por consiguiente
o será,
N? 3^. Luego para levantar una perpendicular
(Lam. 1. Tig. 25.) sobre un punto,
lado O , bastaría lo primero señalar en esa
tnea Jos puntos M. N. igualmente distantes de
, y describir desde ellos como de centros dos
\rcos con igual abertura del compás , de modo
ue se crucen en A. y tirar la línea desde A.
'asta O ; pues- de este modo tenemos que
3. y A. distan igualmente de M, y N; y así
>or estos dos puntos podremos tirar la perpendicular
que se desea , según el Núm. préndente,
N? 34. Si el punto dado para levantar
a perpendicular (Lam. 1. Tig. 26.) fuere I.
extremidad de Ja línea , podremos continuara,
y notando , como hicimos arriba , los
los puntos M. N, si desde estos describimos
os dos arcos, hallaremos que el punto E. es
:n donde se corta, y desde allí sacaremos
a perpendicular hasta I.

28 Cartas Tísico-Matemáticas
III.
Si de las dos extremidades de una líneí
M. N. (Lam. i. Tig. 27.) describiésemos dos
arcos iguales para hallar un punto A. igualmente
distante de ellas, y repitiésemos la
operación con la misma ú otra abertura de
compás para hallar otro punto donde cruce,
igualmente distante de ellas, la línea tirada
por los dos puntos en donde se cortan los
arcos será perpendicular á la primera (Núm.
32.), y pasará por todos los puntos que tuvieren
igual distancia de las extremidades
(Núm. 3 5.); y así también pasará por el medio
de la línea I.
N? 35. Luego para cortar una línea por
el medio (Lam. 1. Tig, 27,) bastará describir
de Teodosio y Eugenio. 29
N? 36. Luego de este modo, de un punto
se puede laxar una perpendicular sobre otra
línea.
4. VIL
De la línea obliqua.
l-i a línea que se inclina sobre otra mas í un
lado que á otro se llama obliqua.
Tres conseqüencias se sacan de esta
noción.
Que de un punto dado A. (Lam. i.Fig.
29.) podemos tirar sobre una misma línea
muchas obliquas , dando mas ó menos in­
desde sus extremidades dos arcos iguales que si clinación ; aunque sola una perpendicular se
crucen o'corten en un punto A , y otros dos qitt puede tirar desde un solo punto.
se corten en otro , y tirar una línea por los dos Si habiendo tirado de A. una perpen­
puntos en que se cruz.au los arcos.
dicular y muchas obliquas sobre M. N.
(Lam. 1. Tig. 29.) , repitiendo la operación
IV.
acia baxo tirásemos otras líneas iguales , y
del mismo modo que las superiores, la lí­
Si de un punto A. (Lam. r. Tig. 28.) nea A. I. O. será recta y perpendicular-, pues
describiésemos un arco que corte una línea por la construcción hace los quatro ángulos,
en dos puntos M. N , y de estos como de rectos (Núm. 20.), y pasa por donde pasa­
centro describiésemos dos arcos iguales, que ría la perpendicular A. I. continuada. Las
se corten en O, la línea A. O. tendrá los otras líneas AMO, ARO, A NO,
puntos igualmente distantes de M. N;y pot formadas de dos obliquas inclinadas , serán
consiguiente le será perpendicular (Núm. 32O mayores que la recta. Porque así como si
I.
1

3 o Cartas Físico-Matemáticas
el punto A. llegase á O , no por vna recta,
sino por una curva , llegada mas tarde, y
andaría mas camino : lo mismo le sucedería,
si primero fuese á R. ó N. para ir desde allí
á O. Luego la mitad de esas líneas compuestas
A. R. O , A. N. O. serian mayores
que la mitad de la recta A. I. O.
II.
N? 37. Luego la perpendicular es la mas
corta de todas las líneas que se pueden tirar
desde un punto á otra línea.
III.
N? 38. Luego la línea menor que se pudiere
tirar desde un punto á otra línea será perpendicular
d esta, supuesto que la menor de todas
es una y única, y Ja perpendicular es esa
menor de todas (por el N. 37.)
§. VIII.
De las paralelas.
t N? 39. \i puesta una línea sobre otrf,
fuésemos apartando igualmente Jas extremidades
de una de los lugares en donde estaban
(Lam, 1. Tig. 30. ) , estas líneas conservarían
entre sí igual distancia , pues el mo-
de Teodosto y Eugenio. _ 3»
vimiento fué igual; y esto se entiende , ó
bien se haga el movimiento por una línea
perpendicular, como M. O. (Lam. 1. Fig. 30.)
ó bien por una línea obliqua, como N. E.
(Lam. i.Fig. 31.)
N? 40. Estas líneas que conservan entre
sí distancia igual por todas partes , se llaman
, como hemos dicho , paralelas.
De esta simple noción de las paralelas se
sacan las eonseqüencias siguientes.
1.
Si ajustásemos dos ángulos iguales (Lam.
\. Tig. 32.) E A M , I O N , y después hiciésemos
mover la línea O M por encima
de la línea A M , daremos igual movimiento
á todos los puntos de la línea O 1 ; por
consiguiente quedarán sus puntos igualmente
distantes de los puntos correspondientes en
la línea A E; y así las dos líneas serán paralelas.
Todas las veces , pues, que dos ángulos
sean ¡guales, podemos ajustar muy bien uno
con otro , y después separarlos, como acabamos
de hacer ahora.
N° 41. Luego siempre que dos líneas caen
¡obre otra , y hacen á la misma parte ángulos
iguales, son paralelas.
N? 42. Luego siempre que dos líneas caen
sobre otra , ] son perpendiculares por hacer a la

3? Cartas Tísico-Matemáticas
ie Teodosio y Eugenio. 3 3
misma parte ángulos rectos, serán entre sí pa­ mos una de las lineas A O hasta encontrar
ralelas.
un lado del otro ángulo E. En este caso el
Luego para tirar una línea paralela á otra ángulo A será igual á O , pues una línea
por un punto dado N. (Lam. i. Tig. 34.) , basta- corta dos paralelas (N. 34.): )' ademas de
rá levantar una perpendicular A O, que pase por esto O será igual E , porque dos paralelas
el punto dado N ; y después levantar desde este caen sobre una línea (N. 43.) Luego A es
punto otra que sea perpendicular á la primera que igual á E.
se levanto'.
NV 45. Luego todos los ángulos hechos por
Si dos líneas, pues, cayendo una sobre paralelas son iguales.
otra ; v. g. si A E O I, cayendo sobre A N, Quando una recta corta dos paralelas
son paralelas (Lam. 1. Tig. 32.), los puntos (Lam. 1. Tig. 36.), los ángulos contrapues­
de una distarán igualmente de los que les cortos A O , como también O M , se llaman
responden en la otra ; y así haciendo mover alternos , por razón de estar el uno baxo la
O N sobre A M, se ajustarán las dos líneas una paralela , y el otro encima de la opues­
paralelas, y los dos ángulos también quedata; y si el uno está á la izquierda de Ja lírán
ajustados el uno con el otro; lo que no nea que corta, el otro está á la derecha; por
podría ser , si no fuesen iguales.
la misma razón son alternos E N, y tam­
N? 43. Luego quando dos líneas son parabién
1 R.
lelas (Lam. 1. Tig. 32.), harán á la misma par­ Ahora bien , ya hemos dicho que A es
te tos ángulos iguales.
'gual i j ) opuesto en el vértice (N. 15.)
Considerando yo la Lam. 1. Fig. 33 , veo también diximos que el ángulo I era igual á
que si Jas dos paralelas caen sobre otra ter­ O por las paralelas (N. 43. ); y así A es igual
cera A O , también la línea A O va á encon­ * O , por ser su alterno.
trar las dos paralelas.
KV 46. Luego todos los ángulos alternos
J
N? 44. Luego quando una recta cae sobre »« iguales entre sí.
dos paralelas, hace por la misma parte ángulos Luego quando una recta, cortando dos recta
iguales ; y quando una recta hiciere con dos líneas ', hiciere los ángulos alternos iguales, las dos
ángulos iguales por la misma parte , las dos son lineas son paralelas. Porque si O es igual á A,
paralelas.
como A es igual á I, verticalmente epues-
10
Supongamos ahora (Lam. 1. Tig. 55.) , viene á ser O igual á I , y entonces por
e
que formamos dos ángulos, cuyos lados sean ' N. 41. serán las dos líneas paralelas.
respectivamente paraklos , y que prolonga- Quando una recta corta dos paralelas
Tora. VUl. C

34 Cartas Tísico-Matemáticas
(Lam. i. Tig. 36.) , decimos que M junto
con I valen dos rectos (N. 11. ) , y que 1
es igual á O por las paralelas : luego M junto
con O valen dos rectos.
N? 47. Luego quando una recta cortase
dos paralelas , los dos ángulos internos acia U
misma parte valen dos rectos. La misma demostración
se aplica á los ángulos externos de la
misma parte.
Luego quando una recta corta dos paralelas
, los ángulos externos acia la misma parte
valen dos rectos. Y así I mas N son iguales a
dos rectos , como también E mas R.
§. IX.
De las tangentes de los círculos.
N? 48. Sitiando una recta toca un
círculo sin poderle cortar, aunque se la prolongue
por ambas partes , se llama tangente.
Ahora, pues, la recta nunca puede coincidir
con la curva , ni la tangente con la
circunferencia. Luego la recta que toca en
la circunferencia, si la prolongan , entrará
en la circunferencia, ó saldrá fuera de ella:
si entra, sera secante, si sale , será tangente.
N? 49. Luego la tangente solo toca en el
círculo por un punto O (Lam. 2. Tig. 1.)
N? 50. Si del centro de un círculo A
tirásemos una línea (Lam. i. Tig. 2. ) al pun­
í/e Teodosio y Eugenio. 3 j
to del contacto O , y ademas de esto otras
muchas hasta tocar en la tangente, sola la
del contacto quedará sin salir del círculo¿
pues todos los demás puntos de la tangente
están fuera de él.
N? 51. Luego el rayo, que es la única línea
que llega al punto del contacto , es la menor
línea que se puede tirar desde el centro á la
tangente.
N? j2. Luego el rayo del contacto es perpendicular
sobre la tangente , y la tangente lo es
sobre el rayo. (N. 38. y 22.)
NV 53. Luego no se pueden tirar muchos
tangentes aun mismo punto del círculo (Lam. 2.
h &-\-)í porque entonces habría muchas perpendiculares
sobre el mismo punto del rayo
O; Jo que es imposible (N. 23.)
N? 54. Luego si muchos círculos ( Lam. 2.
''Í- .4- ) se tocan en un punto común , todos ten-
"«w la misma tangente en este punto ; pues
n o puede haber muchas en un mismo punto
(N. 53.) V .
Ahora bien , quando muchos círculos se
tocan en un punto común, todos Jos rayos
que vienen á parar al punto del contacto son
Perpendiculares á la tangente en este punto
vN. 52.); y no pudiendo haber muchas perpendiculares
sobre un solo punto (N.23.), es
preciso que estos rayos hagan una sola línea.
N. yj¡. Luego quando muchos círculos se
oca» en m íob fmt0 t ,Qf r4jet hMm una ^(4
Ci

3 6 Cartas Tísico-Matemáticas
Los centros , pues, de estos círculos son
las extremidades de los rayos , los quales to«
dos están. en una línea recta.
NV 56. Luego quando muchos círculos si
tocan en un solo punto , todos sus centros estan
en la misma línea recta.
N° 57. Luego si dos dieren un círculo M
(Lam. 2.Jig. 5.) , y nos pidieren el centro de
qualesquira otros que le toquen en un punto determinado
A , para hallarle , bastará tirar desdt
ti centro I una línea por el punto del contacto,
y prolongarla.
Por quanto en esta línea prolongada se
hallarán los centros de todos los círculos
imaginables que pueden tocar el círculo M
en el punto dado A. (N. 56.)
«. X.
De las perpendiculares en los círculos.
A irada una cuerda en el círculo (Lam, z.
fig. 6.), y sobre ella levantada una perpendicular
, observamos, que si Ja perpendicular
pasa por el centro , ya tiene un punto
igualmente distante de las extremidades de
la cuerda, porque están en Ja circunferencia;
y así (N. 30. ) Ja perpendicular ha -de pasar
por todos los puntos que distan igualmente
de eJJas : uno , pue&i de estos puntos es el
medio de ia cuerda.
deteodosio y Eugenio. 37
N° 58. Luego la perpendicular sobre la
cuerda , si pasa por el centro , la corta por el
medio.
N? 59. Luego si la perpendicular pasa
por el medio de la cuerda, pasa también por el
centro (Lam. 2. Tig. 6.); porque aquí vale h
misma razón del N. 3 o *
Del mismo modo debemos discurrir
acerca del arco , porque el pedio del arco
dista igualmente de las extremidades de h
cuerda , pues esas mitades del arco son arcos
iguales que tienen cuerdas iguales, y estas
cuerdas son las distancias de las extremidades;
y así la perpendicular que debe pasar
todos los puntos , .que distan igualmente
de las extremidades de la cuerda , pasará
también por el medio del arco. (Lam. 2.
Tig. 6.)
N? fío. Luego íi la perpendicular pasa por^
el centro ¿ por el medio de la cuerda, pasara
t.wibicn por el medio del arco ; como también si
p*s,tte por medio del arco , también pasará por
el medio de la cuerda y del centro , si la prolongan
, por la misma razón del N. 30.
Si en un círculo hubiese dos cuerdas
(Lam. 2. Tig. 7.) paralelas entre sí, y á una
tangente, la perpendicular que pasare por el
centro dividirá los arcos por el medio ; de
este modo e a ,e o serán iguales , como también
e m, e n; por consiguiente quitando de
cada arco grande ó pequeño que en él se incluye
, los restos m a, » o serán iguales.

38 Cartas Tísico-Matemáticas
N? fíi. Luego los arcos de un círculo comprendidos
entre paralelas son iguales.
Diximos que la perpendicular que pasa
por el medio de la cuerda corta al arco por
el medio (N. tío.), y que Jos arcos son Ja
medida de Jos ángulos. (N. 8.)
Luego si nos dieren un ángulo A (Lam. z.
Fig. 8. ) , para dividirle por el medio bastará
describir desde su vértice , como de centro , un
arco M.N,j tirarle su cuerda, dividiendo ésta
por el medio con la perpendicular A O, supuesto
que dividida la cuerda por el medio, se
divide por consiguiente el arco , el qual es
la medida del ángulo.
Diximos que la perpendicular sobre el
medio de la cuerda pasa por el centro del
circulo que hubiere de pasar por las extremidades
dé ella. (N. 59.)
N? 6z. Luego si nos dieren tres puntos
(Lam. 2. Tig. 9. ) M N O que no estén en línea
recta , y pidieren un círculo que pase por todos
ellos, resolveremos el problema del modo siguiente
:
1. Ataremos los tres puntos por medio
de dos lineas O N , O M.
2. Levantaré del medio de cada una de
ellas las perpendiculares , y estas se cortarán
en I , y en donde se cortan ó cruzan me
darán el centro del círculo deseado.
Porque la perpendicular A I demuestra,
que el centro del círculo que pasa por N O
debe estar en ella : la perpendicular E I mar
de Teodosio y Eugenio. 39nifiesta
, que el centro del círculo que pasare
por M O delse estar en ella. Luego ambas
juntas demuestran , que el círculo que
hubiere de pasar por los tres puntos M N O,
debe tener el centro en el punto I común
á entrambas.
N? 63. Luego para hallar el centro de un
círculo (Lam. 2. Tig. lo.) bastará tirar dos
cuerdas, y sobre el medio de cada una de ellas
levantar su pe-rpendiciilar , y entonces el punto en
que se crucen será el centro deseado , por la razón
del núm. precedente.
§. XI.
Problemas sobre los círculos que tocan
á otros en puntos dados en ¡a periferia
,y pasan por puntos dados fuera
de ella.
I.
*5i te dieren , Eugenio, un círculo A (Lam.
2 * Tig. 11.) , y en él un punto M para el
contacto de un nuevo círculo , que debe pasar
por B, se hará lo siguiente:
>. Por el N. 52 : todo círculo que hubiere
de tocar en M , ha de tener el centro
en una línea , que pase por ese punto y por
el centro del círculo A ; por consiguiente estará
el centro del nuevo círculo en la línea
'"definita A M O.

40 Cartas Físico-Matemáticas
2. Ademas de esto , el círculo pedido
no solo ha de pasar por M , sino también
por B; para esto , pues , tirada la línea B
M ; se levantará en el medio de ella la perpendicular
E I, la qual (N. 59. ) debe pasar
por el centro de qualquier círculo, cuya
circunferencia haya de pasar por los puntos
B M.
N° 64. Luego el centro del nuevo círcu­
lo que toque en M , y pase por B , d< be estar
en el punto R , en el qual se cruzan las dos
líneas.
U.
N? 6

42 Cartas Físico-Matemáticas
& •3Sff- $
CARTA SEGUNDA.
De la medida de los ángulos.
S. I.
De la medida de los ángulos , que tienen
el vértice en la circunferencia.
.migo Eugenio , supuesto que hayas entendido
todo lo que te dixc en la carta antecedente
, y el grande gusto que me insinúas
en que yo continué esta instrucción,
prosigo y te advierto , que aunque el ángulo
, según la definición que dimos, es formado
por dos rayos, ó por dos qualesquiera
líneas, que se Consideren como tales , y
se debe medir , poniendo el compás en su
vértice , y describiendo un arco que corte
Jos dos lados á igual distancia para conocer
el valor del ángulo ; no obstante muchas
veces no se necesita de esta diligencia para
saber su valor , como sucede en los ángulos
que tuvieren el vértice en la circunferencia
, porque fácilmente se conoce quál sea so
medida.
Pero de tres modos puede ser el ángulo
que tiene el vértice en la circunferencia:
de Teodosio y Eugenio. 4J
i. Si uno de los lados pasare por el cenro
(Lam. 2. Fig. iy.)
2. Sí el centro que'dase entre los lados.
Lam. 2. Tig. ití'.)
3. Si el centro estuviese fuera del ángu-
0. (Lam. 2. Tig. 17.)
En el primer caso (Lam.z. Tig. 15.) si por
•I centro se tirase una paralela al lado A R,
|uedará el ángulo central L igual al de la circunferencia
O , por causa de las paralelas.
N. 4J.) Luego el arco M N será medida de
y también de O.
Veamos ahora , si el arco M N es la miad
del arco total A N , comprehendido por
' ángulo O. Los ángulos E I, vertícalmente
'Puestos, son iguales. (N. 17.) Luego M N
s ¡gual ^ R Ts Ahora , pues , R T también
s igual á A M, por ser arcos compreheniidos
entre paralelas. (N. 61.) Luego M N
" ] S"al á M A; y por consiguiente M N,
'edida del ángulo O , es la mitad del arco
N comprehendido por él.
N? 68. Luego en el primer caso el ángulo
e l* circunferencia tiene por medida la mitad de
« ano.
En el segundo caso (Lam. 2. Tig. ití.) en
e el centro queda comprehendido dentro
el a ngulo , tírese desde el vértice A un diámetro,
que divida el ángulo total en dos n n,
cada uno de ellos quedará en los términos
caso antecedente, y por eso tendrá por
e uida la mitad de su arco parcial. I

44 Cartas Tísico-Matemáticas
N° 69. Luego en este segundo caso el án­
de Teodosio y Eugenio. 45
gulo de la circunferencia A tiene por medida U
mitad de su arco totalf'
CONSEQUENCIAS.
En el tercer caso (Lam. 2. Tig. 17.) en
que el centro queda fuera del ángulo A, há­
I.
gase ' lo siguiente:
_- 0
„
N? 70. Tírese del punto T una línea T
N paralela al primer lado R M : en este caso
los ángulos O A son alternos é iguales, }'
tendrán la misma medida (N. 46.); pero ti
ángulo O por el caso precedente tiene por
N? 73. Luego (Lam. 2. Tig. 19.) todos los
ángulos que tienen el vértice en la circunferencia
, y se apoyan sobre el mismo arco , sen iguales,
pues tienen la misma medida; y asi los
ángulos A B C son iguales.
medida la mitad del arco M N, ó de su igual
R T. (N. 61.) Luego A subalterno tend»
II.
por medida la mitad de su arco R T.
K° 74. Luego el ángulo en la circunfe­
N? 71. Si el nuevo ángulo O todavia
rencia (Lam. 2. Tig. 20.) apoyado sobre todo el
no comprehendicre el centro, como se ve I
iUmttro es recto , pues tiene por medida la
en (Lam. 2. Tig. 18) , se irán tirando suce-1
mitad del semicírculo.
sívamente paralelas al primer lado E A, }'
después al segundo , y de aquí al tercero,
&c. hasta que un ángulo comprehenda el cen­
III.
tro , ó pase por él, y entonces se discurrí
como arriba; pues todos los ángulos, sien­ Dada la recta O R (Lam. 2. Tig. 21.), la
do alternos, serán iguales , y todos los ar­ cjual no se pueda alargar , si quisieren lecos
, estando entre paralelas, también lo sevantar de su extremidad O una perpendicurán.
(N. 61.)
lar , se hará lo siguiente:
Póngase el compás en un punto arbitra­
N? 72. Luego en todos los casos posible rio , ábrase hasta que llegue al punto dado
el ángulo que tiene el vértice en U circunferen­ O , y descríbase un círculo , el qual cortará
cia , tiene por medida la mitad de su arco. ^a recta dada en R: de aquí tírese una línea
Por el centro , la que irá á terminar en S, y
de este punto báxese una línea hasta O.
Esta línea hará con la dada un ángulo
0> que tiene el vértice en la circunferencia,

46 Cartas Tísico-Matemáticas
y está apoyado sobre todo el diámetro R S:
por consiguiente es recto; y así una línea es
perpendicular á la otra.
N? 75". Luego por el ángulo en la circunferencia
podemos levantar una perpendicular en U
extremidad de una línea dada.
Si dado un círculo A (Lam. 2. Tig. 22.)
se quisiere hallar el punto y en que una tangente
tirada desde el punto B toque al círculo
dado , se hallará por el método siguiente:
Tírese de M , centro del círculo A, uní
línea hasta B : descríbase sobre esta línea un
círculo : el punto en que éste cortare al antiguo
ángulo A , será el punto del contacto
de Ja tangente.
Porque tirando la.línea O M , ya tenemos
el ángulo O , cuyo vértice está en h
circunferencia , y está apoyado sobre el diámetro
M B : por consiguiente es recto ; y
por ser O M un rayo , O B será tangente.
(N. jaO
N? 76. Luego por el ángulo en la circunferencia
podemos hallar el punto de contacto de
una tangente tirada desde un punto dado , y sobre
un círculo dado.
de Teodosio y Eugenio.
*. II.
47
I De la medida de los ángulos formados
en el círculo.
-migo , los ángulos en la circunferencia
siempre son formados por dos cuerdas , o
un diámetro con una cuerda ; pero como en
el círculo hay varias líneas que no son cuerdas
, ni diámetros , ya se advierte que hay
varios ángulos diferentes de los que hemos
examinado, y es preciso tratar de todos con
separación.
El ángulo formado por la tangente y
por una cuerda nacida del punto de contacto
(Lam. 2. Tig. 23.), ó ha de ser agudo ú
obtuso : ambos los hemos de medir ; y asi
empezaremos por el agudo A.
Pues sabemos medir los ángulos en la
circunferencia, reduciré el ángulo de la qüestion
A á otro igual en la circunferencia F;
y esto ha de ser por medio de una línea M
S paralela á la tangente : como F y A son
alternos , la medida del uno será medida del
°tro (N. 46.); pero el ángulo F tiene por
hedida la mitad del arco R. S.(N. 72.) ,6
' a mitad de M R su igual , por ser compretendidos
entre paralelas. (Núm. 61.) Luego
'anibien el ángulo A tiene por medida la mitad
de ese mismo arco M R comprehendido
en él.
• v:
H

I
48 Cartas Tísico-Matemáticas
En quanto al ángulo obtuso M R O , divídase
en dos por medio de una cuerda, sea
la que fuese R B ; y en este caso el ángulo
de la circunferencia tiene por medida la mitad
de su arco M B (N. 72): el ángulo de
la tangente en I tiene por medida la mitad
de su arco B R, por lo que se acaba de decir
: por consiguiente el ángulo total M R 0
tiene por medida la mitad del arco total M
RB.
N? 77. Luego todo el ángulo formado por
cuerda y tangente tiene por medida la mitad del
arco que comprehende. Estos ángulos también
se llaman ángulos en el secmento.
Ademas de estos ángulos se puede formar
otro por una cuerda , y la continuación
de otra ; v. g. el ángulo S O A (Lam. 2.
Tig. 24.)
Para medir este ángulo divídase el ángulo
total con una tangente M N : esto hecho,
el ángulo inferior SON tendrá por medida
Ja mirad del arco S O , que en sí comprehende
(N. 77.); y el ángulo superior N O A>
como es igual á I, por serle opuesto en el
vértice, tendrá la misma medida de él, la
que es la mitad del arco R I, por la misma
razón del N? preferente.
N° 78. Luego el ángulo total SOAÍP
cho por una cuerda, y la continuación de otra,
de Teodosio y Eugenio. 49
(Lam. 2. Tig. 25,) dentro del círculo, cuyo
vértice se quede entre el círculo y la circunferencia.
Para medir este ángulo A prodúzcanse
6 continúense ambos lados hasta la circunlerencia,
y del punto O tírese una línea paralela
á A N : esto hecho , el ángulo O es
igual A (N. 45.) , y tendrá por medida la
mitad del arco M N R (N. 72.),, ó la mitad
de M N y la mitad de N R; pero el
arco N R es igual á S T , comprehendidos
entre paralelas; y por consiguiente en lugar
de la mitad de N R , podemos susbtituir S
T. Luego esta misma será la medida del ángulo
A su igual.
NV 79. Luego todo ángulo , cuyo vértice
esta entre el centro y la circunferencia, tiene por
"¡edida la mitad del arco concavo sobre que estriba
, y u mitad del convexo comprehendido entre
sus lados , si estos se prolongaran.
Últimamente se puede formar un ángulo
por dos secantes , que se junten fuera
del círculo, y por consiguiente tendrá su
v ertice fuera de la circunícrcncia. (Lam. 2.
% 26.)
Para medir este ángulo A , redúzcasele
a otro igual O , hecho en la circunferencia
P°r medio de una paralela R S : es así que
tst e ángulo O tiene por medida la mitad de
Sl1
tiene por medida la mitad del arco comprehendi' arco SM; y por consiguiente si yo le diedo,y
mas la mitad del arco opuesto.
""
También se puede formar uq ángulo
a Por medida la mitad del arco total N M,
bebiera descontar lo. que le di de mas, que
r
««. VIH. D
•
vi

5 o Cartas Tísico-Matemáticas
de Teodosio y Eugenio. 5 1
es la mitad de N S , ó la mitad de T R su los lados es igual á otro , y entonces se lla­
igual (por el N. tíi.) ; y así tomando la mima el triángulo staleño. (Lam. 2. Fig. 29.)
tad del arco cóncavo N M, menos la mitad
Considerando los ángulos de Jos trián­
del convexo T R , tendremos la medida vergulos
, hallamos otras tres especies , porque
dadera de O , ó de A su igual.
si tiene un ángulo recto, se llama rectángulo.
N? 8o Luego el ángulo , cuyo vértice que­ (Lam. 2. Fig. 30.) Si tiene un ángulo obtuda
fuera de la circunferencia , tiene por mediso, se llama obtnsangulo. (Lam. 2. Eig. 31.) Si
da la mitad del arco cóncavo, menos la mita tiene todos los ángulos agudos , se llama acu-
del convexo.
tángulo. (Lam. 2. Fig. 277 28.).
§. III.
Para saber el valor de los ángulos de
quajqm'era triángulo podremos tirar por el
De la medida de los ángulos en ¡os vértice ( Lam. 2. Fig. 32.) una paralela á la
triángulos.
base.
Esto hecho , se ve que M es igual á su
alterno O , así como N es igual al suyo E
(N46.); pcro MAN tienen el valor de
dos rectos (N. n.): luego O A E tienen ese
mismo valor. En qualquier triángulo, pues,
que sea rectilíneo podemos hacer esta misma
demostración.
N? 81. Luego todo triángulo rectilíneo tienc
en sus tres ángulos el valor de dos rectos.
esembarazados ya , amigo Eugenio, ¿t
la medida de los ángulos que pertenecen al
círculo , vamos á medir los ángulos en los
triángulos.
Llamamos triángulo una figura formada
por tres líneas rectas, las que por consiguiente
forman tres ángulos. Qualquiera de estos
ángulos se puede llamar vértice del triángulo;
y entonces las lincas que forman el ángulo
del vértice se llaman lados, y la otra lint*
opuesta al vértice se llama base.
Esto supuesto , si consideramos los lados
del triángulo, hallamos tres especies de triángulos
, porque
O los tres lados son iguales, y se llam«'
rá equilátero (Lam. 2. Fig. 27. ), ó solo tiene
dos lados iguales, y se llamará el triángulo
isósceles (Lam. 2. Fig. 28.), ó ninguno &
CONSEQUENCIAS.
I.
N? 82. Luego en un triángulo no puede
"° e r dos ángulos rectos ; porque entonces es-
°s dos con el tercer ángulo tendrían el valQ
r de mas de dos rectos.
Dz

j2 CtfMr Físico-Matemáticas
II.
N? 83. Luego en un triángulo no
haber dos ángulos obtusos , por la misma razón.
ni.
N? 84. Luego sabiéndose el valor de
ángulo , se sabrá el valor de la suma de lot
otros dos; porque éste será lo que falta para
el valor de dos rectos.
IV.
N? 85. Luego sabiéndose el valor de do¡
ángulos , se sabrá el valor del tercero , porque
éste será lo que faltare á la suma de
los dos para llegar á 180 grados , valor át
dos rectos.
V.
de Teodosio y Eugenio. 5 3
dos rectos ( N. 11.) , también junto con N
M vale dos rectos, por lo que se acaba de
decir; y así tanto vale el ángulo E solo , como
el M y el N juntos.
Ní 88. Luego el ángulo externo de qualquiera
triangulo es igual á los dos internos
opuestos.
Esta misma verdad de que los tres ángulos
de qualquiera triángulo rectilíneo , son
iguales á dos rectos , se conoce tirando porlos
tres ángulos un. círculo (Lam. 2. Fig.
54-) > porque entonces por estar los tres ángulos
en la circunferencia , cada uno tiene
por medida la mitad de su arco , y por consiguiente
entre todos tres la mitad del círculo
, U que es la medida de dos rectos. De
aquí se sacan otras
CONSEQUENCIAS.
N° 8tí. Luego si un triángulo tiene dos En el triángulo equilátero los tres lados
ángulos iguales á dos de otro triángulo , el ter­ (.Lam. 2. Tig. 34. ) son tres cuerdas iguales,
cer ángulo será también igual al tercero dd °,ue sostienen arcos iguales ( Nún. 6. ) ; por
otro.
consiguiente siendo las mitades de estos igua-
N? 87. Si se prolongase un lado de í
qualquier triángulo ( Lam. 2. Tig. 33.) , este
ángulo que se continuase haria un nuevo ángulo
con el lado A M , y se llama ángulo
externo.
Este ángulo A , que junto con E val«
es > dan á los tres ángulos opuestos medidas
'guales.
N° 89. Luego todo triángulo equilátero es
"¡"'ángulo.
I.

J4 Cartas Tísico-Matemáticas
n. •
Por la misma razón , si los tres ángulos
de un triángulo son iguales , tendrá medida
igual, y los arcos opuestos serán iguales
, lo qual pide cuerdas ó lados iguales.
(Núm. 5.)
N° 90. Luego todo triángulo equiángulo es
equilátero.
III.
Haciéndose la misma operación en el
triángulo isósceles (Lam. 2. Tig. 35. ), se ve
que los dos lados ¡guales piden dos arcos
iguales, los quales dan iguales medidas á los
ángulos opuestos.
Y del mismo modo si dos ángulos A E
son ¡guales, deben tener medida igual en los
arcos opuestos, y estos, por ser iguales, piden
cuerdas ó lados ¡guales. (N. 5.)
N° 91. Luego todo triángulo isósceles tiene
dos ángulos iguales.
N? 92. Luego todo triángulo que tiene dos
ángulos iguales será isósceles.
IV.
Al triángulo scaleno (Lam. 2. Tig. 36.),
por tener todos los lados desiguales , y por
ser los lados cuerdas , forzosamente han de
corresponder arcos desiguales ; y por consi-
de Teodosio y Eugenio. 55
guíente la medida de los ángulos opuestos
ha de ser desigual.
N° 93. Luego el triángulo scaleno tiene
todos los ángulos desiguales , y todo triángulo
que tenga los tres ángulos desiguales , será scaleno.
V.
N? 94. Luego en el triángulo scaleno
(por la misma razón) el mayor ángulo debe
estar opuesto al mayor lado , y el ángulo menor
al menor lado.
§. IV.
De la medida de los ángulos en los
polígonos.
A-damamos polígono toda figura formada
Por muchas líneas rectas; pero cerno ya sabemos
valuar los ángulos de los triángulos,
bastará dividir los polígonos en triángulos
(Lam 2. Tig. 37.) , tirando varias líneas de un
ángulo acia los otros; y de este modo medias
los ángulos de los triángulos , quedarán
hedidos los del polígono.
En esta división sucede necesariamente,
°< u e las líneas tiradas de A á los dos ángulos
próximos coinciden con los dos lados inmediatos
del polígono; por consiguiente hay
d °s líneas inútiles, que no dividen el polígon
° en triángulos.

jfí Cartas Tísico-Matemáticas
Considerando , pues , todos los triángulos
con los vértices en el punto A , de donde
salieron las líneas de división , vemos que
todos los lados del polígono son bases de
triángulos, excepto los dos lados A E, AI,
que son los lados inmediatos.
N? 9j. Luego en el polígono dividido lifibra
tantos triángulos , qu autos fueren los lados,
de Teodosio y Eugenio. ^ 57
si se continuasen todos los lados acia fuera,
y acia la misma parte , como en la (Lam. 2.
Tig. 38.) .
Para esto tómese qualquiera de los ángulos
, v. g. A, y en su vértice , por medio de
las paralelas á los demás lados , formemos
ángulos iguales á todos los ángulos externos;
de suerte , que b quedará igual á B , porque
suprimiendo primero dos lados, que no entran t» la línea b 2 será paralela á B 2 ; y por la
cuenta.
misma razón el ángulo c es igual á C ; y asi
N? 96. Luego en los polígonos habrá el n- de los demás, por razón de estar todos helor
de tantos rectos, quanto es el duplo de sui chos por paralelas. (N.45.) Pero sabemos por
lados , habiendo suprimido dos de estos lados : ó elN. 12, que los ángulos formados al re­
de otro modo : en el polígono hay el valor ¿' dedor de un punto tienen el valor de< qua­
tantos rectos , quanto es el duplo de los lados, tro rectos.
menos quatro rectos.
N° 97. Luego todos los ángulos externos
Luego en el pentágono, que es el polígoM de un polígono , ^sea el que fuere, valen qua­
de cinco lados, se bailara' el valor de seis rectos;
tro rectos.
porque quitando dos lados de los cinco,
N? 98. En los polígonos regulares, es­
quedan tres, y el duplo de éstos es seis. En
to es (LÍIII. 2. Tig. í9-)\
el exágono ó de seis Jados habrá el valor de
ocho rectos. En el eptágono ó de siete lados,
habrá el valor de diez. El octógano ó de ocho
lados, tendrá el valor dé doce. El decágono
de diez lados, el de diez y seis. El dodecágono
de doce lados , tendrá valor de veinte
rectos, &c.
Sabido el valor de la suma de los ángulos
internos , de los polígonos , esto es,
los ángulos que se forman dentro de ellos;
conviene saber valuar la suma de Jos ángulos
externos, ó de los ángulos que habría,
cn Ios w tiencn

58 Castas Tísico-Matemáticas
guiar, ó que en todos sus ángulos y lados
sea igual y semejante : describamos un círculo
que pase por los tres ángulos a e i
Qf*2. Tig. 41.) por d método que ensene
CN. 62.), y se hallará por centro el punto
T : si se repitiere la operación respecto
de Jos ángulos e i o, y de Jos demás sucesivamente
se hallará el mismo punto T por
centro; porque cortando la perpendicular m
I. en T, por Ja perpendicular al lado a t
también se verá cortada allí mismo por la
otra perpendicular al lado i o , por ser igual
a 7>y tan indinada como ella k e i , si es
perfecta la regularidad del polígono. Lue^o
el circulo descrito desde c! punto T no solamente
pasará por a e i, sino también por
o v s. '
N? 100. Tiremos ahora desde el centro
meas á todos los ángulos (Lam. 2. Fig. 40.);
Jos ángulos del centro todos serán de 60
grados para componer juntos el valor de
360 : Jos ángulos de Ja circunferencia , antes
de ser divididos , eran de 120, y ahora
quedaran de 60. Luego el triángulo e M i es
equiángulo. Lo mismo se dice de los otro;
triángulos; y todos los rayos Ma Me Mi, &c
serán iguales á los Jados. (N. 90.) Esto supuesto:
> N? 101. Este círculo será formado de
seis arcos , y Ja circunferencia del polígono
es compuesta de seis cuerdas , que sostienen
esos arcos; y como cada uno de ellos es ma-
de Teodosio y Eugenio. 59
'or que su cuerda, los seis arcos ó la cirunferencia
del círculo será mayor que Jos
eis lados, que hacen el circuito del polígo-
10 ; pero estos seis lados son iguales á los
¡eis rayos (N. 100.) ó á tres diámetros.
N° 102. Luego la circunferencia del círculo
es mayor que tres diámetros de éste; esto
es, que si el diámetro vale 7 , la circunfeencia
ha de valer mas de 21.
N° 103. Hasta hoy no se ha hallado
geométricamente la proporción que tiene la
circunferencia del círculo con su diámetro;
en esto consiste la grande dificultad de la
quadratura del círculo , ó de reducirle al
espacio de un quadrado perfectamente igual;
no obstante , Archimedes halló que el diámetro
comparado con la circunferencia era
como 7 á quasi 22, bien que algo menos
que 22. De esta proporción se sirven comunmente
los Geómetras, despreciando, como
muy leve , el yerro que hay en ella;
y aunque haya otros números que se acerquen
con mas exactitud á la razón que "hay
entre el diámetro y la circunferencia , usaremos
de estos de Archimedes , por ser mas
sencillos.

'"'i
So Cartas Tísico-Matemáticas
%. V.
Modo de formar triángulos 6 polígonos
iguales á los que nos dieren.
N? 104. ljado un triángulo ABC
(Lam. 3. F¡¿. 1.) , si nos pidieren otro triángulo
igual y semejante , Je podemos hacer
por vanos modos : ios mas comunes son
tres:
N? 1 o y. 1? Midiendo los fres lados.
2? Midiendo dos lados y d ángulo incluso.
3? Midiendo un lado y los dos ángulos
adyacentes.
PRIMER MODO,
midiendo ¡os tres lados.
N? iofj. Pondré una base a b igual i
A B (Lam. i- Tig. 1. ): tomaré después con
el compás la distancia A C , y describiré
un arco desde el punto a , como centro ;/
últimamente tomando con el compás la otra
linea B C , describiré otro arcó desde el
punto b , los qualcs se cruzan ó cortan en
C ; y desde este punto tiraré dos líneas acia
a y acia b , y tendremos el triángulo abe,
el que vamos í examinar si es igual ó no
de Teodosio y Eugenio. 61
que nos dieron ABC.
N°. 107. Como A B es igual á a b,
podremos poner el un ángulo sobre el otro,
' ajustar las dos bases : hecho esto , necesariamente
ha de caer el punto C en el arco
i o ,. que se describió con el rayo A C,
í con el a c ; y siendo este punto C extrenidad
de la línea B C , ha de caer en el
arco r s , que se describió con;d rayo B C
6 b c. Luego el punto C necesariamente ha
de caer en el punto c , en el que los dos
arcos se cortan.
. Pero si ajustando las dos líneas A B, y
« b, el punto C coincide con c , la línea tirada
de A hasta B coincidirá con a b, y B
gC con be-, y quedando los dos triángulos
juntos, se manifiesta que son iguales.
SEGUNDO MODO,
midiendo dos lados y el ángulo incluso.
N° 108. Medida la línea M N en el
triángulo A (Lam. i-Tig. 2.) , haré otra lí-
"ea igual m n : describiré desde el punto
M un arco arbitrario « o , y con la misma
abertura de compás describiré otro arco indefinito
r s : después tomaré con el compás
.el intervalo a o, y haciendo centro en
r , cortaré el arco indefinito r s , y por el
Punto s , en que los dqs arcos se cruzan , tir
«é una línea indefinita desde m. Ultimamen-
'

62 Cartas Tísico-Matemáticas
te tomaré con el compás el lado M E, y
cortaré con igual porción en la línea indefinita
M * : hecho esto , tirare la línea en,
quedará el triángulo B igual á A.
Por quanto sobreponiendo el triángulo
B en A , y ajustando M N con m », el lado
me, también caerá sobre su correspondiente
M E, por la igualdad de ios ángulos
que forman con M N , m n : y como
m i es igual á M E , no puede el punto i
dexar de coincidir con E ; y así la línea t*
coincidirá con E N , pues ambas son rectas,
y por una y otra parte se terminan en puntos
que coinciden.
TERCER MODO, ,
midiendo un lado con los dos ángulos
adyacentes.
Antes de pasar adelante conviene explicar
este término adyacentes. Llamo ángulos
adyacentes á la línea M A (Lam. 3. Tig. .3.) los
que se forman sobre ella con los lados que
suben de las extremidades , como son los
ángulos o e en el triángulo D.
N° 109. S¡ yo mido M A (Lam. 3.
T 'g- ?•)> y hago otra línea igual m a , y
después mido Jos ángulos o e , y hago otros
iguales en m y en a por el método ya arriba
dicho (N. 108. ) , y tiro dos líneas indefinidas
, tendré un punto n , en el que st
de Teodosio y Eugenio. 6 3
cruzan , y este será el vértice del nuevo triángulo
E igual á D.
Por quanto sobreponiendo el triángulo
enD ,las bases se ajustarían , como tam-
Ibien los lados , supuesta la igualdad de los
ángulos. Luego el punto N, común á los dos
lados del triángulo antiguo D , caerá sobre
n , punto común á los dos lados del triángulo
nuevo E , y quedarán los dos triángulos
ajustados.
NV no. Luego para hacer una figura rectilínea
igual á otra dada , qualquiera qua sea,
(Lam. 3. Fig. 4. ) ( bastará dividir en triángulos
la que nos dieron , y hacer otros triángulos
iguales y semejantes , y disponerlos en la nueva
fon la misma forma.
CONSEQUENCIAS.
I.
N® 111, Luego todo triángulo que tiene
los tres lados iguales á los tres de otro ángulo,
le 'ttá igual. (N. 107.)
N° 112. Luego todo triángulo que tiene
áos lados iguales á dos lados de otro , y el ángulo
incluso también igual, será igual en todo al
tr o triángulo. (N. 108.)
N° 113. Luego todo triángulo que tenga
Un lado igual á un lado de otro, y los dos ángulos
adyacentes iguales á los dos adyacentes en
« otro , será en todo igual.
I

64 Cartas Tísico-Matemáticas
Pongamos ahora dos paralelas-, y cortémoslas
con otras dos (Lam. }.Fig. 5.): tiremos
ademas una línea diagonal , esto es,
desde una punca R á la otra opuesta S ¡tenemos
dos triángulos P Q con un lado común
, que es la diagonal : ademas de esto,
los dos ángulos A O, que la son adyacentes
en P , son ¡guales á sus alternos a o, adyacentes
á la diagonal en el triángulo Q ; por
consiguiente Jos dos triángulos son perfectamente
iguales, y sus lados correspondientes
también lo son.
N° 114. Luego las paralelas cortadas por
parakias , son iguales.; y así M R es igual á
S N , y M S es igual á R N.
ADVERTENCIA.
JUiabiendo ya tratado de las líneas y de
los ángulos , para poder explicar Ja relación
que dicen entre sí varias líneas , conviene
tratar de las razones y proporciones en general.
Para facilitarte, amigo Eugenio , la ex­
presión , y abreviártela , haré lo que todos
Jos modernos acostumbran , usando de las
señales ó signos del Algebra ; pues la experiencia
enseña, que lo que hace mas corta
la expresión de una verdad , y en una mirada
la coloca enfrente de la imaginación,
facilita increíblemente su inteligencia. Los
signos , pues , ó señales de Algebra , que
por ahora se necesitan , son los siguientes;
de Teodosio y Eugenio. 65
El signo •+- significa aumentar una canillad
sobre otr»'¿ v. g. 2 -H 3- , quiere de-
:ir 2 mas 3 , que vale j.
La señal ó signo — significa quitar la secunda
cantidad de la primera ; y así 8 —%
quiere decir 8 menos 2 , que es igual á 6.
La señal =3 significa igualdad de dos canidades
, v. g. 4 = j .+. 1 quiere decir que
es igual á 3 mas 1.
Esta expresión 2. 3 : 5. 6 significa que
a diferencia de 2 á 3 es igual á la diferen-
: 'a de j á 6.
Esta expresión .4 : 2 : : 6 : 3 significa
^ue 4 contiene al 2 tantas veces, como 6
contiene al 3.
Esta expresión 2X5 significa que 2 está
multiplicado por 5 , y se lee así: dos mullicado
por cinco.
Por ultimo esta J. significa 8 partido
por 2.
Quando nos servimos del alfabeto para
s, gnficar las cantidades sobre que hacemos
c ' cálculo de las tales letras ; expresamos la
Multiplicación de varios modos, v. g. para
^ultiplicar a por a podemos decir a x a , ó
'en aa , ó bien a* : y se lee a dos , ó a
Multiplicado por a ; pero 2 a quiere decir
'*+-

l
66 Cartas Físico-Matemáticas
CARTA TERCERA.
De las razones y proporciones.
§. I.
De la razón en general.
.A. migo Eugenio, en esta Carta te voy ¿
dar la instrucción mas importante, porqt> {
es una llave precisa para entrar en mil gavínetes
de verdades lindísimas; pero es algún
tanto enfadosa al principio : si te disgusta,
déxala á un lado, y ve leyendo las siguientes
: después volverás á acabar de leer est»
poco á poco, porque es muy precisa c importante.
Empecemos, pues, que tal vez con
el gusto no te parecerá enfadosa, y saltarás
de contento , al ver en Jas Cartas siguientes
las utilidades que esta trae.
Quando comparamos entre sí dos quantidades
del mismo género , v. g. 6 con 4>
6 con 3 , para "saber su respectiva grandeza
, decimos que están en esta ó aquella razón.
En esta comparación la cantidad que s«
pone en primer lugar se llama antecedente: ' J
segunda consiguiente; y ambas se llaman tér-
de Teodosio y Eugenio. 6j
minos de la comparación ó de la razón.
De dos modos se pueden comparar las
cantidades: ó bien observando el exceso de
una respecto de la otra, y esta diferencia ó
exceso se llama razón aritmética; de este modo
entre 8 y 5 la razón aritmética es 3.
O también podemos reparar en el número
de veces, que una cantidad contiene á la
otra, y este número de veces se llama razón
geométrica; y por eso entre 12 y 4 la razón
es 3, porque el antecedente 12 contiene tres
Voces á su consiguiente 4.
Quando el antecedente ó el primer término
es mayor que el consiguiente, le contiene
mas de una vez, como si digo 6 : 3,
cuya razón es 2 ; ó 6 : 4, cuya razón es ií,
que quiere decir uno y medio ; ó si yo digo
11 '• 3 , cuya razón es tres y dos tercios, y se
escribe así 3 § , porque el antecedente 11
contiene tres veces á tres , que hacen 9 , y
a demas de esto contiene dos unidades, que
son dos tercios de 3 , que era el consiguiente.
Quando el antecedente , pues , es igual al
consiguiente, solo le contiene una vez, como
6: 6 , cuya razón es 1.
Pero quando el antecedente es menor
que el consiguiente, v. g. quando digo 3:
6, la razón es menos que uno , y es un
quebrado ó fracción , esto es, parte de 1 , y
en este exemplo de 3 : 6 la razón es la mitad
de uno , y se expresa J, y en este de 2:8
E2

68 Cartas Tísico-Matemáticas
ja razón es $, porque le contiene la quarta
parte de una vez.
§. II.
De la proporción en común.
\¿ uando habiendo comparado dos cantidades
homogéneas, esto es, del mismo género,
hallamos la razón que hay entre ellas, y después
comparando entre sí otras dos cantidades
, hallamos entre ellas otra razón ; s'
esta es igual, decimos que estos quatro términos
están en proporción; y así generalmente
se dice que
NV I I 5. Proporción es igualdad de razones
de un mismo género : v. g. si entre 6
y 3 hay razón dupla, y entre 8 y 4 hay también
razón dupla, decimos que estos quatro
términos están en proporción , y se escribí
así: 6 : 3 : : 8 : 4, que quiere decir: la razón
de 6 y 3 es igual á la razón de 8 respecto
de 4.
Pero así como toda razón pide dos términos
, la proporción que envuelve dos razones
pide quatro ; esto es , dos antecedentes
y dos consiguientes.
No obstante , sucede tal vez que el mismo
termino puede ocupar dos lugares, y ser
consiguiente para el primero , y antecedente
para el tercero; v. g. si se dixere 12 es a
6 , como 6 es á 3 , se escribe así -~-12 : i•}
de Tcodosio y Eugenio. » 69
y esto se llama proporción continua ; y
quando hay quatro términos distintos , se
llama proporción discreta , com esta 12 : 6::
8:4.
Pero como hay dos especies de razony
también debe haber dos especies de proporción
, como después diremos.
%. m.
De la raxon aritmética.
NOCIÓN.
1 a hemos dicho , que el exceso ó diferencia
que hay entre dos cantidades del mismo
género , se llama razón aritmética.
N? 116. El modo de conocer esta diferencia
es sacar ó quitar una cantidad de
otra, y el resto es la razón aritmética que
se buscaba , v. g. 6 y 4 la razón es 2 , porque
si de 6 se quitan 4, quedan 2 , lo que
se escribe así 6 — 4 = 2 , comunmente se
expresa esta razón aritmética, poniendo un
puntó entre las dos cantidades de este modo
6 . 4 ; y se lee : 6 4
Otro exemplo. (Lam. 3. Tig. 6.) Las lineas
B y A son desiguales, el exceso de una sobre
la otra vale v. g. dos palmos; podemos,
pues decir B — 2 = A, y este exceso 2 es
la tazón aritmética entre B y A.
•

7o Cartas Tísico-Matemáticas
PROPIEDADES.
De esta simple noción se deducen varías
propiedades de la razón aritmética , las
que explicaré á mi modo : ten paciencia,
Eugenio.
# Por ser la razón aritmética la diferencia
que se halla entre dos cantidades; si esta
diferencia desaparece ( ó porque se añade
á la que era mayor, o porque se quita
á la que era menor, las dos cantidades quedarán
iguales, v. g. entre J y 3 la diferencia
es 2: luego si añadimos 2 á 3 , quedará
igual á 5 , y si quitamos 2 á 5 , quedara
igual á 3. ^
PROPIEDAD I?
N? 117. Luego la razón aritmética, si
se quita de la cantidad mayor , la dexa igual
á la menor , y si se añade á la menor, la dexa
igual á la mayor. V. g. la razón de < á 2
es 3. Luego y — 3 ~ 2 y 3 ^ 2 = DeJ
mismo modo (Lam. 3. Tig. 6.) A -•. 2 = B
y B — 2 = A.
Pasemos adelante : si puesta una razón
entre'dos términos , añadimos ó quitamos á
los dos la misma cantidad , quedarán ambos
con la diferencia y desigualdad que tenían
; porque ni en Jo que se aumentó , ni
en lo que se quitó se produce diferencia al-
de Teo&osio y Eugenio. 71
tuna, v. g. en 8 y 6 la diferencia es 2 : supongamos
, pues, que se añade á ambos el
'alor de 3 , quedarán 11 y 9 , cuya diferenia
es el mismo 2 : supongamos por el conrario,
que quitamos de los dos 3 , quedaán
5 y 3 , y la diferencia será también 2. Lo
lismo sucede en las líneas (Lam. 3. Tig. 7.)
ntre A y B la razón aritmética es 2 : lue-
50 si de ambas líneas quitamos n , quedará
a diferencia 2 , y si á ambas añadimos «, U
üferencia siempre será 2.
PROPIEDAD II?
N? 118. Luego si á ambas añadimos á quimas
porción igual, conservarán entre sí la mU'
na razón aritmética.
Supuesto lo que queda dicho , esto es,
[que en la diferencia o exceso de una canidad
respecto de otra consiste la razón aritmética
, digo ahora, que esta diferencia conpiste
en que una cantidad tiene lo que la
Qt ra no tiene ; y así aumentar en la una, ó
quitar en la otra, hará el mismo efecto para
la diferencia entre ambas, v. g. entre 6
y 9 la diferencia es 3 ; pero si yo aumento
2 , á un término, haré el mismo efecto que
51 quitase 2 del otro: si quito 2 de 6 , quct
' an 4 > y P ara 9 kl tan 5 » P cro tamc *' en . s '
y° aumento 2 al 9 , quedarán U , y 1* diferencia
de fe* á 6 es 5.

72 , cartas Físico-Matemáticas
PROPIEDAD III?
N? 119. Luego para la razón aritmítki
unto importa añadir una cantidad á m térmno
, como quitarla del otro.
*. IV.
Proporción aritmiticat
r
a dixjmos, que la igualdad de razone!
del mismo género hacían Ja proporción di
ese mismo género.
de Teodosio y Eugenio.
PROPIEDADES.
75
De esta noción se sacan varias propiedades.
I.
La suma de los extremos es igttal á la suma
de los medios. V. g. si 3. 5 : 4. 6 , podemos
decir 3 -*.

74 Cartas Tísico-Matemáticas
señal de que están en proporción aritmétiu.
V. g. si 9 -(-.2 = 6 -+. 6 podemos decir $.
6 : 5. 2.
. Porque la igualdad de las sumas es se­
ñal de que el primer extremo excede tanto
á su medio, como el último extremo es excedido
por el suyo ; pues de Jo contrario
no se podia compensar el exceso del uno
con la falta del otro,
III.
En la proporción continua , v. g. 9. 7.
5, un término ocupa ef lugar de dos ,.pudiendo
decirse 9. 7 : 7. 5 , y entonces 9+
5 — 7-1-7. Luego si el término medio repetido
es igual á la suma-de los extremos, no
repetido, será la mitad de esa misma suma.
N. 124. Luego en la proporción céntima
aritmética la suma de los extremos es dupla del
término medio.
IV.
N? 12 5-. Quando tres términos están
dispuestos de modo , que la suma de Jos
extremos es dupla del término medio , están
en proporción continua , v. g. si 1 H-4 es
duplo de 8 , puedo decir - 12. 8. 4 ; porque
en este caso , repitiendo el término medio
, quedará igual a la suma de los extremos
, lo que es señal, como está dicho, de
que están los términos en proporción aritmética.
*
de Teodosio y Eugenio.
V.
7J
N? 136. Dados tres términos de una
rporcion aritmética, es fácil hallar el quar-
• Porque haciendo la suma del segundo y
cero, y sacando de ella el primer térmi-
, el resto será el quarto ; porque este resjunto
con el primero debe ser igual á la
ma de los medios , y así quedarán en prorcion
por el N° 223.
peí mismo modo dados qualesquiera tres
minos de una proporción , se puede hallar el
e falta. V. g. si falta el segundo , hecha la
ma de los extremos, y quitando de ella el
cer o , tendremos el segundo , &c.
*. V.
De la razón geométrica,
a diximos que el número de veces que
la cantidad comprehende á otra se llama
^"geométrica, v. g. entre 6 y 2 la razón
^métrica es 3 , y en líneas (Lam. 3. Tig.
' entre B y A 'la razón geométrica es 3;
''que B contiene tres veces A. Debe adrt
'rse que quando se dice razón absolutactlt
e , se entiende la geométrica.
N. 127. Se conoce la razón que hay
' tre dos cantidades,dividiendo el antecede
por ei consiguiente , v. g. 6 por 2;
•

•y 6 Cartas Tísico-Matemáticas
el quociente 3 que sale en la división , mal
nifiesta la razón que hay entre los dos tú
minos: este numero , que sale en el cocieni
en la división , se llama también expontfitu
Esta razón se expresa de varios moclff
ó bien poniendo dos puntos entre las de
cantidades, diciendo 6:2, ó bien ponié»
do los 1 úmeros con Ja señal de división ,i
ciendo *.
N? 128. Siempre el antecedente se
de dividir por el consiguiente ; y si le coai
tiene dos veces, la razón es dupla, si trfl
la razón es triple , si quatro:, quadruplaJ
y así- igual 3 ; ó (Lam. 3. Tig. 9. ) ¿
3 ; porque el antecedente dividido por 1
consiguiente 2 , da 3 á cada uno , p
le contiene tres veces ," porque la línea
contiene la línea A tres veces.
Si por d contrario , el antecedente fu*|
re menor que el consiguiente , como si'
cimos 3 : 6, 6 3 : 9 , 03: 12 , de
suerte ," que el consiguiente contenga al ¡
tecedente dos , tres ó quatro veces , la rl
zon será subdupla , subtriple y subquátlr J
pía , y se pueden expresar así 4 l' •*-, ,
quiere decir que la razón es tres sextas p 3 1
tes, ó tres nonas partes , ó tres duodc-ci" 1
partes ; de suerte, que siempre ha de ser
quebrado ó fracción.
En la Aritmética se enseña, que los q ut 1
de Teodosio y Eugenio. 77
Jos se expresan con dos números, uno
bre la rayita, éste se llama numerador , otro
ebaxo de ella , éste se llama denominador,
g. para decir tres quartos se esciibe
í i : el de encima dice quántos quebraos
son , el de abaxo qué especie de queridos
es; á saber , si son tercios , quartos,
uintos, &c.
N° 129. Diximos al N? 127. que la
izon geométrica se espresaba en dos núíeros
puestos con la señal de división , v. g.
6 y 3 colocados de este modo •*•. De aquí
sigue, que en todos los casos el anteceente
se puede tomar como numerador , y
consiguiente como denominador ; de suer-
> que en la expresión j , ó 6 compaados
con 3 , podemos decir seis tercios; y
razón de 12 respecto de 7 es de 12
éptimos l2 , &c. Esto facilita mucho para
onocer la razón entre qualesquiera númeos.
N? 130. Quando la razón entre las canidades
se puede explicar por números,Bien
e »n enteros ó quebrados , se llama racio-
*' > pero quando no se puede explicar por
eneros algunos , v. g. el lado del qua-
'ado y su diagonal, ó el número 1 , la raíz
["adrada del número 2 , entonces esta ra-
0n se llama surda ó irracional.
Las cantidades que tienen entre sí ra-
0n de número á número , son conmensu-

78 Cartas Tísico-Matemáticas
de Teodosio y Eugenio. 79
rabies , las que tienen razón surda , sonin la división deshizo, y pone la cantidad en
conmensurables, por no haber medida ce los términos en que estaba antes de divi­
mun que las pueda medir.
dida; y así vemos que por la multiplicación
También es preciso explicar estas da se prueba si está bien hecha la división. Va­
voces , partes aliquotas y aliquantas : las até ya otro exemplo para quando el anteceden­
quotas son aquellas que multiplicadas cierte
fuere menor que el consiguiente : si deto
numero de veces , agotan el todo exactamente
, como son palmos respecto de h cirnos 3 : 6 , ó § , la razón es ¿; pero el
vara : las aliquantas son las que nunca ajustan
con el todo, como el codo respecto de
una vara ; porque ésta no contiene un nú­
consiguiente 6 multiplicado por g es igual
al antecedente 3. ó seis medios = 3.
mero de codos exactamente.
II.
S. VI.
Propiedades de la razón geométrica.
n
.Oemos dicho , que la razón geométrica
se conocía , dividiendo una cantidad por
otra , y que el quociente expresaba la razón
, v. g. f=2.
De esta noción se sacan varías
propiedades.
1.
N? 131. El consiguiente multiplicado f
la razón es igual al antecedente. V. s. si f
digo fesa , diré luego 2 x * = 6 , porque
Ja multiplicación vuelve á hacer lo q" c
Los dos términos de una razón multiplicados
por una cantidad , conservan la misma ra-
*•» en que estaban. V. g. si 12 y 6 están en
«2on dupla , y se multiplican por 3 , siempre
quedarán en razón dupla : así 12X3 =
?> y 6 X 3 = 18 , que también estañ en
I a rnisma razón dupla. Otro exemplo (Lam.
I' fig. 11.) : si D y B están en razón dupla,
multiplicando ambos por 3 , quedarán
en la misma razón ; y así N y M están en
ri *on dupla.
Por quanto si un antecedente, v. g. D,
c °ntiene dos veces á su consiguiente B,
untando otro antecedente igual á D , este
n uevo antecedente comprehenderá también
otras dos veces á su consiguiente igual á
"> y lo mismo será con todos los demás
*ntecedentes iguales que fuéremos añadien-
*° > respecto de sus consiguientes, que ks

8o Cartas Tísico-Matemáticas
fuéremos uniendo; cada antecedente D llevará
en sí el valor de dos consiguientes iguales
á B. Luego tomando .el antecedente prw
mitivo D tres veces , y tomando otras tantas
su consiguiente primitivo B , el valor de
todos los antecedentes juntos N será duplo
del valor de los consiguientes juntos M; pero
tomar los términos tres ó quatro veces,
&c. es lo mismo que multiplicarlos por } ó
por 4 , &c.
NV 132. Luego la multiplicación de k
términos por una misma cantidad los dexa en l*
misma razón que ellos tenían.
III.
la división de dos términos por la mism*
cantidad los dexa en la misma razón que til» 1
teman. V. g. si 12 y 6 están en razón dupla
, sigúese que *± y * están en la mism»
razón. Pongamos otro exemplo (Lam. 5'
Fig. 10.) : los dos espacios representados p° r
Q y P están en razón dupla. Q consta d J
seis espacios, como el de A y P solo const 3
de tres ^dividamos ahora á P y á Q por J.
y tendremos en P una A , y en Q^dos J /
así se ve otra vez la razón dupla.
La razón de esto es porque dividido d
valor del antecedente Q en tres partes ig« 3 '
les, y también el del consiguiente P ; si u. n
de ícodosio y Eugenio. 81
*S4l tercio del consiguiente, ninguna de
as otras partes iguales á la primera las conendrá
dos veces. Luego todas las partes del
antecedente juntas , ó el antecedente ehtero
i no podra contener dos veces las partes
untas del consiguiente entero P , como se
iupouia.
N. 133. Luego si dos términos se divi-
¥
tercio del antecedente no contiene dos vi"
ln por una misma cantidad , deben conservar
" misma razón que tenían. Adviértase , que
liando dos cantidades se dividen igualmene
por otra, las partes de éstas se llaman pro-
'Orcíonales.
NV 134. Luego la misma razbn que se
Aim entre dos términos, se hallará tan:'bién vne
sus partes proporcionales ; esto es , entre sus
•'tades , y entre sus tercios ó sus quaros
Ȓcc.
IV.
Establecimos arriba , que dos cantidades
'U'tiplicadas por una se quedaban en la mis-
«razon que tenían (N. 132.); pero multi-
" ca r dos cantidades por una , ó una por
l0s
> es Jo mismo.
N. 135. Luego quando una cantidad se
''ylíca por dos , se quedará en la misma ra-
Wqueeítas tenían. V'.

82 Cartas Tísico-Matemáticas
V.
También diximos arriba, que dos cantidades
divididas por una , se quedaban en
Ja misma razón que tenían antes de dividirse.
N? 136. Luego una cantidad dividids
dos , queda en la razón de éstas ; pero ¿«««¿i
esto es, si el divisor es duplo ó triple, & Ci
el quociente es subduplo , subtiple , &&
v. g. 7 = 4; I* =, 8 ; pero 4, 8 tienen razo»
subdupla, y los divisores 6 í 3 estabanc»
razón dupla. Pongamos otro exemplo. (!•*
3. Tig. 10.) : el espacio Q dividido en seis
partes, queda con el valor de A, y dividido
en tres partes, queda con el valor dup
de A. Luego quando el divisor es subdupla
el quociente es duplo.
La razón de todo esto es , porque i" 1
mismo valor del dividendo Q , repartido p 01
mas partes, da menos valor á cada una ° {
ellas. Luego en la misma razón que se aumentare
el número de las parces , ó creciere t!
divisor , se ha de disminuir el valor de ca^
una de ellas, ó será menor el quociente.
VI.
Ya en el N? 134 quedó establecido 1 ü!
las parces proporcionales de dos cantidad
de Teodosio y Eugenio. 83
staban en la misma razón que las cantidades
•dan antes de dividirse.
N? 137. Luego si aumentaremos los dos
vninos con alguna parte proporcional, o' la quietaos
de ellos , quedarán en la misma razón
»< antes tenían. V. g¿ 12:6 tienen la razón
lupia; aumentemos en 12 su tercio , y en
f l suyo j tendremos 12 H- 4 = 16 , y
n el consiguiente tendremos 6 -+- 2 = 8;
ues 16 y 8 también están en razón dupla.
*el mismo modo, si de ambos términos
litamos una parte proporcional, v. g. un *,
"edarah en la misma razón dupld : y así
-4 = 8'iyt>-a.2=4, quedan 8 : 4,
Ue «tan en razón dupla.
l~i tazón es : para que un antecedente
ontengá v. g. dos veces á su consiguiente,
s Preciso que cada parte proporcional del
"acédente contenga dos veces á la que la
Or|, esponde en el "consiguiente. (N. 133.)
Ue go si acrecentásemos á ambos la tercera
a rte v¿ g. j esta nueva parte del consiguiene
se hallará inclusa dos veces en lá que se
u mentó al antecedente, y de este modo queara
'n estos dos términos en la razón dupla
n que se estabartí
, Del mismo modo sucede en la división:
'jarnos dé ambos términos $, ú otraquall'l'era
parte proporcional las que restaren,
s ,' en uno , como en otro se comprthende-
'n dos veces , como sucedia en el antecede
, y consiguiente. Por eso diximos, que
F2

84 cartas Tísico-Matemáticas
aumentar ó quitar de dos términos una parte
proporcional, los dexa en la misma razón que
antes tenían.
VIL
N? 138. En la razón geométrica la misma
mutación causa el multiplicar un termino
por una cantidad , que dividir por
ella el otro término. V. g. en 24 y 6 la razón
es quadrupla : digo , pues : si yo conservo
el consiguiente , y divido el antecedente
por 3 , diciendo ^ : 6; el quociente
1 f, porque^ = 8; y 8 ; 6 = 1 |i
ro esto mismo sucederá si yo conservare t.
antecedente 24, y solo multiplicase el consiguiente
por 3 , diciendo : 24: 6 X 3 > P uCi
6 X 3 = 18 ; ya se ve que en 24 1 18 "
quociente es 1 f.
La razón es , porque el que el antecedente
comprehenda en sí al consiguiente m a '
ó menos veces , depende tanto de la gr an "
deza del antecedente , como de la pcq ,,e '
ñez del consiguiente : luego lo mismo ser'
disminuir el antecedente , partiéndole P 1 ' 1
un término , v. g. 3 , como aumentar el coi'
siguiente , multiplicándole por él ; como
contrario , lo mismo será aumentar el va '
lor del antecedente , multiplicándole po r *
v. g. que disminuir el consiguiente , P 3t '
tiéndole por 2.
de Teodosio y Eugenio.
§. VIL
De la proporción geométrica.
NOCIÓN.
N? 13 9. Jf roporcion geométrica es la igualid
de dos razones geométricas. V. g. entre 6
y 3 la razón es 2 , entre 8 y 4 la razón
K 2; entonces , pues , diremos , que estos
quatro términos están en proporción , lo
que se expresa así, 6 < 3 : : 8 : 4 , ó asi
1 = |. diré: 6 á 3 como 8 á 4.
N? 140. Quando la proporción geométrica
consta de tres términos , en tal forroi
>que el primero sea respecto del segundo,
eomo el segundo es respecto del terceto»
se llama continua , como ya se dixo , y
se escribe así 12: 6 :.: 6 : 3 , ó de este modo
r 12:6: 3.
De esta noción se siguen varias
propiedades*
I.
85
Puesta qualquiera proporción geometri-
, v. g. la de 6 : 3 : : 8 : 4 , conviene
ominar si el producto de los extremos es
'gtial al de los medios , v, g. si 6 X 4 es
a 5 X8.

86 Cartas Tísico-Matemáticas
Saquemos primeramente el producto ¿i
los medios 3 X 8 = 24 : sí en lugar del medio
3 pusiéremos su extremo 6 , que es duplo
, el producto

88 Cartas Tísico-Matemát'teas
de multiplicar por sí mismo , para llenar los
lugaresfde los medios, quedan los términos
en- el caso dd número precedente y en proporción
; pero entonces , suprimiendo una
vez el termino medio , quedará proporción
contiua.
N? 144. Luego siempre que el producá
dos términos es igual al quadrado de otro , ll
pojlrán disponer en proporción continua.
VI.
Podemos considerar qualquier dividendo
como un producto hecho por el divisor y
quociente , como factores.
N° 146, Luego toda división nos da un»
proporción , si colocamos, el divisor J el qtiQt'W
de Teodosio y Eugenio. 89
• como medios , y el dividendo y la unidad co-
L extremos. V. g. si f = 5 » podemos decir
¡5:3:: 1:5, y también 1: 3: : 5 : 15 »P or "
que por la razón dd N° precedente el producto
de los extremos es el dividendo : el
quociente y el divisor son factores.
V,
Toda cantidad multiplicada por 1 queda
en el mismo valor que tenia ; Juego si
la unidad fuese extremo de una proporción,
el otro extremo solo será igual aj producto
de los medios, v, g. s¡ dixeremos i : 3 : Lo que llaman regla de tres consiste en
hallar el qiiarto término de una proporción,
dados los tres. Pero si d producto de los
medios es igual al de los extremos , repartiendo
el producto délos medios por el termino
primero ,, dará por quociente el quar*
to término de la proporción. , • .
¡
5:15,0 al contrario 15 ; 3 ; ,• y ; 1 , el N? 147. Luego teniendo tres términos de
producto de los medios será igual í solo ua «na proporción , podemos bailar el quarta.
extremo.
NT 148. Por el mismo método , podemos^
odiar qualquiera de los dos términos. V. g. si
N? 145. Luego en toda multiplicación po­
faltaba d tercero , sacaremos el producto de
demos disponer una proporción , poniendo dos ftu­
los extremos,, y la partiremos por el seguntores
por medios , el producto por un extrefflti
do , y dará por quociente d tercero.
y la unidad por otro,
VII.

50 cartas Tísico-Matemáticas
§. VIII.
De las mutaciones que se pueden hactt
en los termines , conservando la
proporción.
I. ,
Mutaciones de lugar solamente.
de Tcodosio y Eugenio.
III.
Hacer los extremos med.os, y los rnelios
extremos , lo qual no muda su valor,
y esto da de sí muchas mutaciones.
De este modo puesta es-
(a proporción 6:3:
1. Podremos transponer,
esto es , poner primero los
dos últimos términos , y en
9i
8t4-
AJe lo que diximos arriba (N. 142.) se
su lugar los que estaban antes
, v. g. • • • ••
¡4: : 6 : 3.
hiriere , que toda mudanza hecha en una pro­ porque los extremos se conporción
, que conserve la igualdad entre el provierten en medios, y los meducto
de los medios y el de los extremos , condios en extremos,
servará también la proporción.
2. podemos invertir , es­
NV 149. Luego poesía qualquiera proporto es , hacer los antecedentes
ción , podemos hacer las mutaciones siguientes; consiguientes , y los consiguientes
antecedentes, dicien-
I.
do.,
3.
3:6::4-»-
Pedemos alternar , es­
Trocar los medios entre sí, pues por to es , comparar los dos an­
esto no se muda el valor de su producto. tecedentes entre sí , y entre
sí también comparar los con-
II.
siguientes..... 6 : 8 :: 3 • 4porque
se truecan los lugares
Trocar solos los extremos entre sí , por
la misma razón.
En los dos medios.
4. Podremos cambiar solos
los extremos entre si , lo
que se llama alternar y invertir
J* transponer , diciendo 4 : 3 = = » •

92 Cartas Tísico-Matemáticas
5. Podemos tomar todos
los quatro términos al revés,
lo que se llama invertir y transponer
, diciendo. 4: 8 :: 3 : •
Pongamos otro exemplo en líneas ( Lam. 3. F

94 Cartas Tísico-Matemáticas
decir 12-H 6 : 8+4: : 12 : 8, ó bietí
12 —tí : 8 : — 4: : 12 : 8.
En otros términos; es decir lo primero,
que la suma de los dos primeros términos es
á la suma de los dos segundos , como el primer
antecedente es al segundo , ó que dicen
la misma proporción. í
Lo segundo , que la diferencia de los
dos primeros términos es á la diferencia de
los dos segundos, como el primer antece j
dente es al segundo.
IIÍ.
N? 151. Ahora bien , sí las sumas eri->
tre sí , y las diferencias entre sí son como
un antecedente es al otro ; las sumas entre
sí, y las diferencias entre sí vendrán á tener
la misma razón, y podemos hacer esta
proporción : una suma es respecto de otra
suma , como una diferencia es respecto de
otra diferencia : v. g. si 12 : 6 : : 8 : 4 :
luego 12 + 6: 8-H4: : 12 — tí : 8—4.
ó bien si A : B : : C : D : luego A -+- B:
C -+- D : : A — B:C — D; y alternando esta
, también podemos decir : una suma respecto
de su diferencia es como otra suma
respecto déla suya. Y así 12 -1- 6 : 12 £>::
8-+-4: 8 — 4,
N. 152. Luego la suma de los primeros
es á su diferencia , como la suma de los st*
gumías es á la suya.
de Teodosio y Eugenio.
IV.
N? 153. Sentada esta doctrina, y la que
diximos de la alternación , podemos sacar.
otras conseqüencias, v. g. si diximos:
12 : tí : : 8 : 4,
también podremos decir:
< 12-4- 6" : 8-+-4 : : 12 : 8.
^12 -t-6" : 8-»-4 : : 6 : 4.
Luego , alternando la primera consequencia
dirémosí
12-t-tí : 12 : : 8 -f-4: 8,
y alternando la segunda diremos:
12-í-tí : 6 :: 8-t-4 : 4.
Por la misma razón si decimos:
A : B : i C : D,
podremos inferir:
\uigo A-t-B:A::C4-D:C.
o de otro modo:
A + B:B::C + D:D.
N? 154. Luego en qualquiera proporción
l * suma de los dos primeros es a qualquiera de
''¡os, como la suma de los dos segundo* al que
' c corresponde.
V.
95
Puesta ía primitiva proporción 12 : tí::
8:
4, inferíamos estas dos proporciones:
I2_6: 8 —4:: 12 : 8.
12 — 6: 8 — 4 :
Luego alternando la primera diremos:
-t
•

Cartas tísico-Mátemátkas
12 — 6 : 12 :: 8 —4: 8,
y alternando la segunda diremos:
12 — 6:6::8 —4:4.
N
O 1 •' '
. 155* Luego en qualquiera proponían
pedemos decir : la diferenúa de los primeros
términos es á qualquiera de ellos , como la ii Á
ferencia de los últimos respecto del que la corresponde.
de Teodosio y Eugenio. 97
5. Luego combinando sumas con difeencias
AH-C:B + D : : A - C : B + D .
6. Luego alcernando
A + C;A-C::B + D:B-D.
Exemplo en números.
Podemos alternar toda proporción propuesta
; y con esto haremos que los antecedentes
sean términos primeros, y los Consiguientes
términos últimos.
VI.
N.° 15 tí. Todo quanto hemos dicho de Us
sumas y diferencias de los primeros y últimos
términos , lo podemos decir de las sumas y ¿i"
ferencias de los antecedentes
tes; de donde se deducen
porciones nacidas de una
v. g. si
A : B í: C : D.
Luego alternando será
A : C : : B : D-
1. Luego combinando
A + C:J1+D ::
2. O bien
A + C:B + D::
3. Luego combinando
A — Cí B— D::
4. óA —C;B — D
1
Demos que sea la proporción primitiva
12:4:: 9: 3.
•uego alternando
12:9:: 4: 3.
'• Luego combinando las sumas
12 -•- 9 = 4 •+• 3
y de los consiguenlas
siguientes pro*
proporción dada,
las sumas
A: B,
C: D.
las diferencias
A: B,
:C:D.
: 12:4.
H. O bien
12+ 9: 4-*-3 :: 0: $•
«í. Luego combinando las diferencias
12 — 9: 4—. 3 :: 9: 3.
IV. Luego combinando sumas con difeencias
i2-H9 = 4-+-3 :: I2 — 9=4— 3-
'• Luego alternando
i2-f-9 : 12 — 9 : : 4.4-3 : 4—3.
, De aquí se prueban las proposiciones
luientes:
VIL
N? 157. Luego la suma de los antecedents
es ¿ ia suma de los consiguientes, como un
""eiedente á su consiguiente.
T
«w. VIH. G

98 Cartas Tísico-Matemáticas
VIII.
N? 158. Luego la diferencia de los anttcedentes
es á la de los consiguientes, como a
antecedente es á su consiguiente.
LX.
N? 159. Luego la suma de los anteceden­
tes es á su diferencia , como la suma de los («'
siguientes es á la diferencia de éstos.
Hasta aquí en estas seis proporciones,
que son conseqüencias de la proporción primitiva
, combinamos sumas con sumas, diferencias
con diferencias, y sumas con diferencias.
Ahora falta combinar las sumas di
los antecedentes ó consiguientes y sus diferencias
con cada uno de ellos, y para esto
bastará alternar las proporciones de arriba-
Exemplo.
Sea la proporción primitiva
A : B :: C : D.
Luego alternando Ja primer conseqüena' 5
que pusimos arriba N? 156 , diremos:
A-+-C:A::BH-D:B;
y alternando Ja segunda , diremos:
A -+- C : C :: B .+. D : D;
y alternando la tercera, diremos:
A — C:A::B — D:B;
de Teodosio y Eugenio. 99
y alternando la quarta , diremos:
A —C;C ::B— D : D.
Otro exemplo en números.
Sea la proporción primitiva
12: 4:: 9 13.
Luego alternando la primer conseqüencia de
arriba , diremos:
12-1-9: 12 :: 4-4-3 : 4:
a 'ternando la segunda tendremos:
. 12 + 9: 9:: 4+. 3: 3:
"temando la tercera , se dirá:
12—9: 12 ::4—3:4;
1 alternando la quarta , se dirá:
12. —9- 9 — 4—3 : 3-
De aquí se prueban las dos verdades siguientes:
XI.
N? 1 tío. La suma de los antecedentes es £
! *da uno de ellos como la.suma de los consiguientCs
es al que le corresponde.
XII.
N? itíi. La diferencia de los antecedentes
's para cada uno de ellos , lo que la diferencia
"* los consiguientes para el que la corresponde.
Gz

ioo Cartas Tísico-Matemáticas
§. IX.
De la razón compuesta.
N? ití2. Sucede muchas veces, amigo
Eugenio, que una cantidad excede áotra
por muchos principios: v. g. una sala es mayor
que un gavinete por ser mas larga, por
ser mas ancha , y por ser mas alta : supongamos
que tiene la longitud quadrupla de la
dd gavinete ; solo por este principio seria
como 4:1: supongamos también que la anchura
es como tres á la del gavinete ; ya solo
por este principio debe ser como 3:1;/
combinando estas dos razones no hemos de
juntar ó sumar una con otra , y 4.+. 3 =7,
sino multiplicar la una por la otra , y decir
4 x por 3 =¿ 12 , siendo el 12 el exponente
de esta razón compuesta.
Por quanto si la anchura es triple podremos
dividirla en tres iguales partes , y por
haber en cada uno de estos tres tercios una
longitud quadrupla de la del gavinete, entrará
en solo un tercio quatro veces el gavinete, y
otras tantas en cada uno de los otros dos
tercios, lo que en todo compone 12;y así
será preciso repetir doce veces el área ó el
suelo dd gavinete para llenar el arca ó pavimento
de la sala.
Ahora bien , si la altura de la sala fue-
de Teodosio'y Eugenio, 101
re dupla , y la dividimos por medio con tablas
, quedaría en la parte superior otro tanto
vacío como en la parte inferior ; esto es,
se podian hacer otros doce gavinctes : volveremos
, pues , á multiplicar por 2 ( exponente
de las alturas) el exponente compuesto
del pavimento 12 , y diremos que la sala
es al gavinete como 24 : f<
N? 165. Quando el exponento de tina
razón es el producto de dos exponentes , la
razón se llama compuesta de dos : quando
« producto de tres exponentes, la razón será
compuesta de tres , &c.
Si las dos razones ó exponentes , que
multiplicados dan una razón compuesta,son
«guales entre sí , v. g. 2 x 2 , 5 X 3 , 4 X
4 , &c. entonces la razón compuesta se llama
duplicada , y en el primer caso es duplida
de razón dupla , en el segundo duplica-
¿ * de razón triple , en el tercero duplicada
de razón quadrupla , &c.
Del mismo modo si el exponente de la
razón es el producto de tres exponentes1 iguales
, será exponente de una razón triplicada
; y si los exponentes primitivos , v. g. de
tongitud , latitud y altura fueren 2 X = 8,
fe razón será triplicada de razón dupla 3 X
5 X 3 igual, 27 será la razón triplicada de la
r azon triple ; si fueren 4 X 4 X 4 = 64, la
tazón será triplicada de razón quadrupla.
Aquí se ve la diferencia que hay entre
fe razón dupla y la razón duplicada, entre

i o 2 Cartas Tísico-Matemáticas
la razón triple ó quadrupla y la razón triplicada
ó quadruplicada. Las duplas , triples
, quadruplas se hacen , añadiendo ó sumando
unidades : las duplicadas, triplicadas,
&c. se hacen , multiplicando exponentes semejantes.
También se advierte que qualquiera de
las razones que componen la duplicada , es
subduplicada ; las que componen Ja triplicada
son subtriplicadas. Pongamos ahora dos
proporciones.
i o : 5 : : 4 : 2. (su exponente. . 2.
° '• 2 •" : 9 : 3- (su exponente. . 3.
Los exponentes son 2 y 3 ; multipliquemos
ordenadamente los términos de una por
los de la otra , diciendo :
toxtí,5x2,4x9, 2x3.
fcn los mismos productos resulta otra
proporción:
60 : 10 : : 36* , tí,
cuyo exponente es 6 , producto de los dos
exponentes el 2 y el 3 , por ser lo mismo
multiplicar 10 por 6 , qUe multiplicar dos
reces 5 por tres veces 2 ; y en esto no solo
multiphcamos los dos consiguientes 5 y
2 , sino los dos exponentes , uno que dice
dos veces , y otro que dice tres veces : y así
el producto tío , no solo comprehende á su
consiguiente (10) Jas dos veces de Ja primera
proporción , sino Jas dos veces de esta
primera proporción multiplicadas por z de
la segunda , que hacen tí. Ahora , pues , co-
de Teodosio y Eugenio. 103
no en los otros dos términos de la proporion
4x9, y 2 X 3 hay la misma razón,
en ellos se multiplica también el 4 duplo
or 9 triple , el producto debe ser séxtuplo
, como vemos en 36 y 6 ; y así habiendo
en ambas razones el mismo exponente
, quedan los quatro términos en proporción.
N? 164. Luego quando se multiplican ordenadamente
los términos de una proporción por
'« de otra , los productos hacen tercera propor-
'i

io4 Cartas Tísico-Matemáticas
de Teodosio y Eugenio. 105
ponente sera el producto de todos los exponento
primitivos. '
razon de que en la proporción de los quaarados
el exponente es el producto de dos
De aquí se sigue que si fueren solas dos razones iguales; y en la de los cubos el ex­
las proporciones , y del mismo exponento, ponente es el producto de tres razones igua­
v. g. 2.
les,
3 tí.
S. X.
í¿ los productos"'Tendrán un «ponente , que
De la proporción recíproca.
sera 4 quadrado del primero ; y estarán «
esto°es P .' - ' a Pn ' mera ' azon du P l3;
, 4 : 16 :: 1 j : g0 . CUy0 CXponen(e
es 4, termino quadrado del exponente 2,
que reynaba en Jas otras proporciones.
1 por la misma razón : si juntaremos
tres proporciones en que haya la misma fizón
, os productos tendrán por exponente
un cubo dd pnmero, ó el producto de tres
razones iguales, y quedarán en razon triplicada
de Ja primera.
r
mh^V 61 ' LUeg ° í " imos pesquera tírm„os
en proporción I : 2 : : 3 /6 , ¿ üdli.
j * * * * * * * •:9:z6,y'JUs S ,:
* • - 27 . 2ltí fe*,, w/j| tn -m¡
i^a proporción directa , que es la que hem
°s explicado hasta aquí, se da quando una
cosa contiene á otra igualmente por dos circunstancias
, v. g. si una puerta contiene í
otra dos veces por la altura , y dos veces
P 0r la latitud ; entonces decimos que la altura
mas grande es á la mas pequeña , como
' a latitud grande es á la longitud pequeña,
Meciendo siempre á proporción tanto la lon-
§ m 'd, como la altura. Lo mismo decimos
T'-'ndo una sala es seis veces mas ancha que
J 1 " gavinete, como también seis veces mas
"rga.
s;,M¡!nf rqUe emre Cada ance «dente y su consiguiente
siempre se hallará ««n igual, esto
igu'aJes/ ° dC d ° S 6 de tr « ^
¿* Jítíf^ Lucgo Ñ? 167. Quando una cosa excede á otra,
v
- ?• tres veces en una circunstancia , y es
hedida de ella también tres veces en otra,
es
tan en proporción recíproca , v. g. quando
ün ** ^ w"»» * /«^ campo es diez veces mas largo que otro,
tediad'""" te de la proporción "?' simple "" *"*"* o' de la raíz ^ ***" P
, y en l*
un cube del expíeme de la proporción simple;^
Cr 0 diez veces mas estrecho que el otro, cxc
ede en una dimensión , pero igualmente es
^cedido en otra.
Pongamos otro exemplo : Quando dos

xotí" cartas Tísico-Matemáticas
animales corren , y tanto mayor es la velocidad
en el uno , quanto el tiempo preciso
para andar una legua es menor que el dd
otro , decimos que entonces están las velocidades
en proporción recíproca con los tiempos.
Y Ja velocidad de un galgo, v. g. esa
la velocidad del hombre , como el tiempo
que emplea el hombre es al tiempo que emplea
el galgo.
Otro exemplo : Quanto mayor es la tripulación
de una nave, menos tiempo dura
una determinada provisión de alimentos, y
decimos : la tripulación de la nave grande es
a la tripulación de la pequeña; como la duración
de las provisiones es en la nave pequeña
, respecto de la duración de Jos aumentos
en la grande.
En todos estos casos se ve que en k
proporción recíproca el segundo y tercero
termino pertenecen al mismo objeto , y ¿
primero con el quarto pertenecen al otro,v.
g. en el exemplo de Jas velocidades y tiempos,
la velocidad del galgo es el primer término
, y su tiempo que gasta es el quarto;
y la velocidad del hombre es el segundo término
y su tiempo el tercero , como se ve
haciendo la proporción ; y para abreviar llamaremos
a las velocidades V , á los tierop° s
T , al galgo G , y al hombre H.
VG:VH:TH:TG.
Y en esto está la diferencia de la propor-
de Teodosio y Eugenio. 107
1 directa , en que en la directa el primer
mino y el tercero pertenecen á un objeto,
el segundo con el quarto á otro ; pero en
míproca el primero y el quarto pertenecen
uno , y el segundo y tercero á otro.
Esta materia , amigo mió , es un poco
usada y obscura , pero es indispensable: si
la primera vez que se lee esta Carta no se
'•aprehende bien, pasa adelante : ve leyen-
1 las otras, y vuelve después á leer en esta
isma Carta , que la irás entendiendo mer
'• y créeme , amigo , que puse toda dilinca
para tratar esta materia con la mayor
tilidad posible : agradéceme la buena vontad.
FIN DE LA TERCERA CARTA.

io8 Cartas Tísico-Matemáticas
CARTA QUARTA.
De las líneas proporcionales.
*. I.
Dividir las líneas en la proporción
pedida.
•S-ia doctrina , amigo Eugenio , que te,
acerca de la proporción de los números,!
aplica fácilmente á las líneas , dividiendo
en cierto número de partes iguales: y )«
ahora trata.-do de las líneas proporciona
Jes , me jré fundando sobre lo que dixe acer
ca de las razones y proporciones de los ni
meros.
N? 168. Supongamos , pues , que m«|
dan una linea AC (Lam. 3. F¡s. ,3.),)'
que nos piden que la dividamosTen cierto
numero de partes iguales , v. g. seis; haremos
lo siguiente:
• J ? e -V na cxtre midad A tiremos otra lío*
indefinida , como A B.
I.
de Teodosio y Eugenia.
II.
109
Tomemos con el compás en esta línea
definida A B varias porciones ¡guales , y
fin de la última porción B tiremos una
ha B C lwsta la extremidad de la línea
ida para dividir la A C.
III.
De todos los puntos que i*ué*señalanel
compás en A B , tiremos parale-
* á A B C.
IV.
De todos los puntos 1,2,3, que las
"alelas van á tocar en A C , tiremos unas
güeñas líneas á A B. Esto hecho , se inere,
I.
Que estos triángulos pequeños tienen los
dos de los puntitos iguales entre sí por
r iguales á las porciones que tomó el comben
la línea AB. (N. 114.)
II.
Que estos triángulos tienen los ángulos
F°rrespondientes iguales entre sí, por ser

ito cartas Tísico-Matemáticas
hechos por una línea , que corta parale!
(N. 45.)
III.
- Que en esta suposición estos triángula
tienen un Jado igual , y Jos ángulos adv>
ccntes : y por esto (N. 109.) son igual:
ent e
| J?'.'.y P or con siguiente Ja línea A1
esta dividida en seis partes iguales, yr"
mismo modo que Jo está la Jínea A -
aunque las partes de A C no son iguales
las de A B , así como Jas líneas totales
Jo eran.
N? 169. Luego qualquiera de las ptn
las día base de este triángulo divide sus Id
de tal suerte , que las quatro partes de elUsd
tan en proporción ; porque la Jínea m n v. f
de taJ suerte divide las líneas AB A C,f
Am : mB : : A» : »C ; pues en ambas parte
Ja razon es de 4 : 2.
Lo mismo podemos decir de qualquien
otra paralela,así en este, como en otroqutq]

11 z [Cartas Tísico-Matemáticas
Sean las líneas que deben reducirse (L?.
Fig. 16.) aO,bO,cO,dQ, eO ,fO.
I.
II.
Tiraré una línea indefinida P Q : iré,
pues poniendo con el compás todas las líneas
dadas , de tal forma , que todas salgan
del punto O , y terminen en la línea
1 Q ; Jo que es muy fácil, haciendo á 0
centro de muchos arcos , cuyos rayos sean
Jas lineas dadas , los quales irán á cortar 1»
indefinida en a,b, Í,/,¿,*,&C.
III.
Cortaré de una, qualquiera , v. g. 0 4
Ja parte que hayan pedido ( Núm. ití8.)y
del punto M de Ja división tiraré Ja paralela
M N; esta línea dividirá todas las demás con
proporción á la primera.
,. . . N " I ? 2 ' Luc 'go ya tenemos método par*
dividir muchas líneas juntamente en la mist»*
razon pedida.
Dado un triángulo , qualquiera que sea
(Lam. 3. Tig. 17.), supongamos que dividimos
por medio el ángulo del vértice B¡
esta línea B P dividirá )a base en dos partes
M N. Veamos ahora si son estas proport>
de Teodosio y Eugenio. 1,13
mnales á los dos lados, de suerte que polamos
decir M : N : : Q : T : para exámiiar
este punto tiro de la extremidad E una
•aralela AB P, y continuo el lado T S hasta
ncontrar.con la paralela en I.
Por lo que queda dicho al Núm. 170,
p ser la línea B P paralela á R I base del
['ángulo grande , dividirá sus lados propor-
'onalmente , y por conseqüencia M : N : :
Ahora bien , si el lado Q fuere igual á
iSe le podrá substituir y poner en su Ju-
5 ar : de este modo tendremos la proporción
)ue buscamos. Para conocer que Q es igual
S , advertiremos que el ángulo y ss o por
as paralelas, o = c por la división en dos mifes,
e = r su alterno : luego» = r; por consiente
el triángulo I B R es isósceles (N.
I2- ) » y su lado S igual Q : luego podemos
ln lugar de S poner Q , sin perturbar la prodición
, y decir M : N : : Q : T.
, N? 173. Luego la línea que divide el án-
"'» del vértice por el medio , divide la base fre-
"""analmente 4 los lados.
T «". I'JJJ. H

114 Cartas Físico-Matemáticas
§. n.
De los lados proporcionales en ¡oí
triángulos semejantes.
tr
N? 174. .¿Jamamos triángulos sewjantes
aquellos que tienen todos los ¡
gulos correspondientes , iguales (Lam.
Tig. 18.), v. g. los triángulos ABC, )'
abe.
Los lados opuestos á ángulos semejantes
se llaman también homólogos. Si yo , p ue5 ¡
sobrepongo el triángulo pequeño O sobre»
grande E á la parte del ángulo A los dos
ángulos Aa , y las líneas que los forma"'
coincidirán. Ademas de esto, como el >"'
guio b = B , y el ángulo c — C , la línea ti'
puntos b c es paralela á B C (N. 42.); y ^
corta los dos lados A B, A C proporcional'
mente (N. 170.); y comparando los do s
triángulos O E , podemos decir a b : A S ;;
ac,AC.
Del mismo modo poniendo el tríáng u *
lo pequeño O sobre el grande E en el ¿ n '
guio C : se prueba que a b , que corresp" 0 '
de á A B, le es paralela ; y que por cons^'
guíente corta en proporción los dos I a '
A C , B C.
N? 175. Luego toáoslos triángulos so" 1 '
jantes tienen ios lados proporcionales.
de Teodosio y Eugenio. 115
Amigo Eugenio , por ser esta proposición
la clave de infinitos descubrimientos en
jeometría , procuraiémos todos los modos
de conocer quando son semejantes dos triángulos
: y á esto se ordenan las observaciones
siguientes:
Sabemos que siempre que una línea es
paralela á la base de un triángulo (Lam. 3.
r !
ÍS' 4-)> hace dos ángulos m n iguales á
M N, adyacentes á la base (N. 44.) ; y que
el ángulo del vértice A queda común al
'"ángulo antiguo y al nuevo. Pero quando
uos triángulos tienen los ángulos correspondientes
iguales , son semejantes.
iN? 176. Luego toda línea que córtelos
« de un triángulo , siendo paralela á la base,
"ice dos triángulos semejantes.
JJixímos también que todos los ángulos
formados por líneas , respectivamente pararías
, eran iguales (N. 45.)
N? 177. Luego quando todos los lados de
Un
triangulo fueren paralelos á los de otro , los
"léngutos son semejantes.
, Sabemos (Lam. 3. Tig. 20.) que si una
'nea fuere perpendicular sobre otra , si se
5
da una revolución de 90 grados , ó coinc
'de con ella , ó es su paralela (N. 18.) ; y
' Sl quando un triángulo tuviere todos los
a
dos perpendiculares á sus correspondientes
Cn
d otro , en dando una revolución de 90
j'ados á un triángulo , todos los lados de
ün
o (Lam. 3. Tig. 20.) serán paralelos á los
H 2

iití Cartas Tísico-Matemáticas
del otro ; y por consiguiente Jos ángulos respectivos
iguales.
N? 178. Luego quando el triángulo mire
todos sus lados perpendiculares á los de Mi,
le será semejante.
También diximos que los ángulos opuestos
en el vértice son iguales (N. 15.), y Rut
también lo eran los ángulos alternos.
N? 179. Luego quando los triángulos «»
formados por dos líneas que se cruzan , ]
dos entre sí paralelas , son semejantes (Lam. ]•
Fig. 21.), porque sus ángulos ó son verticalmente
opuestos, ó son alternos.
Formando un triángulo qualquier h
(Lam. 3. Tig. 22.), si tomamos tres líneas Bi
1,0, proporcionales á sus lados , podrém"'
hacer de ellas un triángulo v. g. P. Veamos
ahora si necesariamente es este nuevo triángulo
semejante al primero.
Poniendo Jos dos Jados E, O sobre si»
correspondientes (supongamos que son W
tades de elJos) terminan en D , E : tirem 0 '
por los puntos en que los lados quedan cor'
tados proporcionalmentc una línea, la

ll8 x-o Cm * S Tíúc °- Ma temáticas
N. 181. Luego tenemos modo de bdUt
una quarta proporcional.
SÍ dadas dos ,íne3$
AR De Í^' Sm ° m ° d ° '
AB , AC , nos pidieren una tercera proporcional
, haremos lo siguiente (Lam. 5.
Ftg.24.):
y
Hecho el ángulo arbitrario, pondremos
de un lado la primera y segunda Jínea, y
en el otro repetiremos la segunda , y cerraremos
d triángulo con Ja 1,'nea BC ¡ 1
últimamente, por medio de Ja paralela CD
hallaremos Ja tercera Jínea que buscábamos;
y podremos decir AB : AC : : AC : AD.
N. 182. Luego tenemos modo de bdUt
una tercera proporcional.
5. III.
aplicación de ¡a doctrina precedente ¿
medtr distancias inaccesibles sin:el socorro
de ta Trigommetría,
l/Nada lisonjea mas el gusto de Jos principiantes
que el medir distancias inaccesibles
sin intrumentos , ni cálculos embarazosos;
lo qual pueden conseguir , sacando varias
ba hSí" 035 ^ ^ rC S' a S eneral V 3rri ba hemos puesto , y '
es esta.
l
de Teodosio y Eugenio. 119
fados los triángulos semejantes tienen
los, lados en proporción. •
CONSEQUENCIAS.
I.
N? 183. Luego para medir la distancia
mcesible A B (Lam. 4. Tig. $.) bastará hacer
'«siguiente:
I. :
Poner una estaca Éfi B y otra en Q , esto
es, en la línea visual que va desde JJ
Watlobjeto A; Después se tira la-linea visual
desde B hasta C, en ¿onde pondremos
otra estaca C. •
II.
Tiraremos una línea visual a b paralela
' U otra visual B A ;fla línea b a se notará
con dos estacas, pero de modo que la
«taca a esté también en la: visual C A , y
* «n U visual C B.
III.
Estas estacas con el objeto distante A,
hacen los términos de los triángulos semejantes
C B A y « b * » consideremos las
1 I

120 Cartas Tísico-Matemáticas
dos lineas BC y b c como bases de los dC!
triángulos , cuyos vértices sean A y a. Ahora
bien , como estos triángulos , por ser semejantes
han de tener los lados proporcionales
(N. 175.), se sigue que la pequeña
base es respecto de la grande , como la pequena
altura es respecto de la grande ; y así
tenemos esta proporción c b: C B:: b a : B A;
y asi si la pequeña base es , v. g. fl¡e£»ec«
menor que la grande B C .también la lina
* ¿ sera diez veces menor que la. distancia
V A , que es la que deseábamos conocer.
II.
NT? 184. Quando no se puede trabajar
en el terreno que va desde Ja Jínea B C
(Lam. 4. Fig. 2.) acia adelante , por ser el
terreno corto o escabroso , se puede hacer
esta operación en Ja paVte opuesta en el rerreno
mismo que pisamos, y el modo esfí'
CU. .-
1.
nerr!n? ta }' o"? VÍS " aI B A > tíre ' U " J
perpendicular Bb,y después otra ¿ 4 .perpendicular
í b B.
v
II.
Estas dos líneas B A y b a , siendo perpendiculares
i ja misma línea B b , hace"
de Teodosio y Eugenio. 121
a'ngulos alternos iguales, y vienen á quear
paralelas entre sí. (N. 41.)
III.
Dividamos la línea B b en partes ali*
«otas (así se llaman las que repetidas agoan
el valor de la cantidad , como si una
ínea se divide en doce dedos ó quartas, que
wlgan tanto como toda la línea , sé dice
M» dividida en partes aliquotas , porque alicuantas
son las que se consideran mitades
|e mitades , &c.) : divídase , pues , la línea
B > y pongamos en una de ellas la esta-
IV.
' •
Retirémonos por cima de la línea b a
'«ta que la estaca C nos embarace la vista
del objeto distante A , y pongamos allí
otr a estaca a.
En este caso los dos triángulos abe
* B C son semejantes (N. 179.) , y los
"dos proporcionales : llamamos bases de esjos
triángulos las líneas B C y b c : luego
1 pequeña base es respecto de Ja grande,
C( >mo Ja altura del triángulo pequeño es á
k altura del grande , y podemos hacer esu
proporción b c: B C : : b a : B A ; y así
^eda conocida Ja distancia B A , que nos
Cs inaccesible.

122 Cartas Físico-Matemáticas
III.
N. i8j. Si quisiésemos medir la altura
de una torre , por la sombra lo podremos
hacer del modo siguiente (Lant¿a,.Fig 3;):
Me llegaré al fin de 1* sombra de la
torre , de modo que la sombra de mi cabeza
llegue á la última punta de la sombra
que hace Ja torre.
I.
n.
Dexaré una señal en el suelo en el mismo
lugar en que estaban mis pies; un criado
notará también en el suelo el lugar B,
en que estuvo la sombra de mi cabeza,
igual al mismo punto donde llegaba la sombra
de la torre.
III.
Hecho esto , ya tenemos dos triángulo'
semejantes , porque todos sus lados son ; res :
pectivamente paralelos ; pues la sombra ¿ e
mi cuerpo es paralela á la dé la torre : !

124 Cartas Físico-Matemáticas
ADVERTENCIA.
_ Quando se forman estas proporciones
siempre se ha de guardar el término no conocido
para quarto lugar ; y por consiguiente
se ha de principiar por un término que
no sezhomo'logo , ó correspondiente al término
incógnito , v. g. pues en el caso presente
el termino no conocido es la altura de J»
torre , ha de entrar en quarto Jugar, y "0
debo empezar por mi altura, porque es el
termino homologo , correspondiente al incógnito
, sino que debo principiar por mi sombra
, y decir : una sombra es á otra , como
unaaltura á otra altura; ó una sombra pequena
es a la altura pequeña, como la sombra
grande á la altura grande.
Te enseno este problema, amigo Eugenio
, no porque en la práctica se pueda executar
con perfecta exactitud , sino porque
sirve para una medida poco mas 6 menos,
y es fácil.
También te advierto , que quando *
comparan los lados de dos triángulos semejantes
, solo se comparan entre sí los lados
homólogos , esto es, los que están opuestos
a ángulos iguales.
IV.
N? i8tí. Si hubiere un grafómetro
de Teodosio y Eugenio. 12^
\Um. 3. Fig. 4.) y un semicírculo gradúalo
{Lam. 4. Tig. 5.), se pueden medir las
distancias inaccesibles con bastante exactitud
de este modo:
I.
Poniendo dos estacas en B C (Lam. 4.
Fi». i.), las quales con el objeto distante A
nacen los tres puntos del triángulo visual:
después de esto , en el lugar C pondré el
grafómetro (Lam. 4. Tig. 4.) para medir el
ángulo C.
El medio de medir los ángulos visuales
con el grafómetro es el siguiente : Pondré
«n C orizontal el instrumento , y de modo
°ue por la regla ó alidada fixa P Q vea yo
!a estaca fixa en B, y sin mover el instrumento
volveré la alidada ó regla movible M
N j de forma , que por las pínulas M N vea
yo el objeto distante A : de este modo el
arco del grafómetro , comprehendido entre
ks dos alidadas, dará el numero de grados
c omprehendidos por el ángulo visual C A y
c B de la (Lam. 4. Tig. 2.)
II.
Medido por este modo el ángulo visual
ei > C , quitaré el grafómetro de allí, y de-
*aré una estaca en su lugar: le pasaré al lu-
£ a r de otra estaca en A: volveré el instru-
m

126 Cartas Tísico-Matemáticas
mentó de modo , que por Ja alidada fixa,
Q pueda ver la estaca C; y sin tocar al instrumento
volveré la alidada movible MN
hasta ver el objeto distante en A; y entonces
el arco comprehendido entre Jas dos ali
dadas mostrará el valor del ángulo visual
en B. °
III.
Mediré la línea B C para ver quánw
pasos o varas contiene.
IV.
Esto supuesto , haré en un papel (Lam.H
Fig. j.) una línea b c , que tendrá tantas partes
de pie de Rey, ó qualquiera otro petif)ie,
quantas varas, brazas, &c. hubiere en
la línea visual B C : tirada así esta línea K
pondré en sus extremidades el centro o de.
semicírculo H y haré allí dos ángulos ¡guajes
a Jos dos ángulos visuales, que tenemos
en B y en C ; pondré dos puntitos en los
grados que les corresponden en el semicírculo,
por los quales tiraré dos líneas , q««
se han de cruzar en alguna parte; y en donde
se cruzan pondré Ja letra a, que corresponde
al objeto distante A.
V.
Hechos estos triángulos, llamaré bases»
ie Teodos'io y Eugenio. 127
as líneas BCyit; llamaré alturas las líleas
B A y b a, y diré que la base del triángulo
pequeño es á su altura , como la base
del grande es á la suya. Y de este modo,
sabiendo yo quantas partes de petipie tiene
la línea ít , y pudiendo averiguar quantas
se contienen en b a ; sabiendo también quantas
brazas tiene la línea visual B C, tengo
una proporción b c : b a : : B C : B A: los
'res términos son conocidos , y por consiguiente
el quarto lo será, y este quarto terruño
es la distancia que buscábamos.
V.
N? 187. Podemos medir de otro modo
a ' mismo tiempo la distancia y altura de un
°újeto distante, sin mas instrumento que dos
estacas á plomo. (Lam. 4. Tig. tí.)
I.
Pongamos dos estacas á plomo P y Q.
II.
Llegando á la estaca P notaré allí el punto
a á la altura de los ojos , y notaré en la
otr a estaca el punto » , por donde pasa el
ra yo visual que va í terminar á la base N
«l edificio.

128 Cartas Físico-Matemáticas
III.
Tomaré la distancia que hay desde i
hasta el suelo , y |a pasaré á Ja estaca P en
el punto m ; ya con esto tenemos un triángulo
pequeño a n m ,y otro grande que le
es semejante A N M ; y ]a razon ¿e *m(.
janza es porque « OT es paralela al suelo ó
pavimento representado en Ja línea N M.
IV.
Supuesta la semejanza de los triángulos,
llamaré su altura las líneas a m yAM,?
diré : Ja altura del pequeño es á Ja del grande
, como la base del pequeño es á Ja bast
del grande , y así a m : A M : : m „ - M N,
siendo las tres primeras cantidades conocidas
, también Jo será Ja quarta , que es I»
distancia del edificio representada en Ja línea
N Jvl. .
Mas para medir la altura haré lo siguiente
:
I.
Llevaré á Ja estaca Q la altura a M , *'
tando allí el punto o , de forma , que la lí­
nea visual 4 o yO qucde paraleU** , v¡.
mentó.
r
de Teodosio y Eugenio.
v II.
129
Desde a miraré á lo mas alto del edicío
, y notaré en la segunda estaca el pun-
', por donde pasa el rayo visual.
III.
Con esto tenemos un pequeño triángu-#
*i o , y otro grande A 1 O , el qual es
mejante , porque la estaca Q está paralela
edificio.
IV.
Luego la base del pequeño triángulo es
l' del grande , como la altura del peque-
0 a la altura del grande , y así diré : a 0:
0 :: o ¡ : O I; pero las tres primeras candades
son conocidas: luego también lo sc-
'* quarta : y si juntáremos la altura O I
0n 1* altura a y M , ó bien O N , quedaconocida
la altura total del edificio N I.
Advierto que tampoco esta operación
^e ser exactísima ; pero hecha con cui-
J uo dará á conocer la distancia y altura
0a corta diferencia.
VI.
• N. 188, por semejante método tenes
e l medio para medir una distancia inacr
«». V1U. I

130 Cartas Tísico-Matemáticas
cesible por ambas extremidades (Lam, 4.
%• 7-)
I.
Del punto C, tomado á discreción , miraré
á los dos objetos, cuya distancia quiero
conocer, y tendré el triángulo ACB,
cuyos tres lados, por ser incógnitos, parecen
inútiles para toda operación ; mas para
conocerlos haré lo siguiente:
H.
De un punto arbitrario M , tomado en
la Jínea C A , miraré al objeto B , y tomando
en esa misma línea una parte proporcional
á mi discreción, notaré un pun»
i» , del qual tiraré la línea m b , paralela 1
la grande M B , Jo que es muy fácil , ^
niendo el grafómetro en M , y después en
m , sin mudar la graduación de la alictada
movible , y notaré el punto n.
Esto hecho , ya tenemos dos triángulos
semejantes m b c y M BC: llamaré bases i
las líneas MCym (j podré decir: la bas«
del pequeño es á Ja del grande , como '»
obliqua del pequeño es á la del grande , *
este modo Cw:CM::C¿:CB.
III.
Transportaré á Ja línea C B las mistf 3!
de Teodosio y Eugenio. 131
distancias que tomé en la Jínea C A ; esto
es, notando los puntos N 0 que están en
las mismas distancias de C , que m y M,
tiraré de N una línea visual N A , y otra
paralela á esta n a con el fin de tener dos
triángulos semejantes » a c , N A C ; y
llamando bases de estos triángulos las líneas
C » , C N , podemos decir : la base del pequeño
es á la del grande , como Ja obliqua
del pequeño es á la del grande ; esto es,
c » : C N : : C a : C A , y como las tres
Primeras cantidades son conocidas , también
» será la quarta C A.
IV.
Si el terreno no consintiere tomar los
puntos » N en la misma distancia de m M;
bastará tomar qualesquiera otros, con tal que
a pequeña distancia C n sea respecto de la
grande C N , como C m es á C JM.
V.
Juntando ahora lo que tenemos proba-
'> conoceremos que si C m es v. g. la
JUarca parte de C « ; y C » de CN, tam-
Ien C a será la quarta parte de C A , y
L o de C B.
U
i 'i

132 Cartas Físico-Matemáticas
VI.
Habiendo hallado los dos puntos a h
que dividen en proporción los dos lados C
A , C B , tiraremos por ellos una línea ti,
la qual por el N? 171. es paralela á la no
conocida A B ; y así los dos triángulos C
a b , C A B son semejantes , y los lados
proporcionales : por consiguiente , llamando
bases las líneas a b , A B , diremos que el
lado dd pequeño C b es al lado del grande
C B , como la base del pequeño a l> i
la del grande A C, esto es, B a : C A: :
a b : A B.
Y con esto se conocerá no solo la d¡ s '
tanda AB, sino también en qué rumbo o
dirección se halla esta línea , pues debe ser
la misma que la de su paralela a b.
%. IV.
aplicación de la doctrina dada á ^
división de qualquiera línea en partes
proporcionales muy pequeñas.
X eniendo presente , amigo Eugenio , ¿ oS
verdades esenciales ya probadas : una q üe
la parale-laque corta un triángulo, hace d° s
triángulos semejantes (Núm. 176.): otra q ue
los triángulos semejantes tienen los Ja 0 ^
de Teodosio y Eugenio. 13 3
proporcionales (Núm. 175.)» sacaremos de
ellas varias conseqiiencias.
I.
N? 189. El modo de dividir exactamente
qualquier línea muy pequeña en las
partes que se pidieren. (Lam. 4. Tig. 8.)
Sea la línea dada DE, y supongamos
que la quieren dividir en 2 , 3 ó 5 séptimas
partes , lo que se expresa así: , \ *,.
I.
Tomaremos una línea arbitraria B C,
)' en ella con el compás haremos siete medidas
iguales entre sí ¿ bien que también i
discreción.
II.
Tomaré con el compás las siete medicas
juntas que hace la línea B C , y describiré
desde sus extremidades dos arcos,
que se cruzan en A , para formar un triángulo
equilátero.
III.
De las divisiones 2,3,5 tiraré líneas
•l vértice A. Esto hecho , ya sé que toda
línea que fuere paralela á B C, quedará dividida
, como ella lo está , esto es , en \ \ \.

»34 C*rtas Físico-Matemáticas
IV.
Tomaré con el compás la línea dada
D E , y desde el vértice A describiré un
arco , que corte los lados del triángulo en
b c y tiraré la línea b c , la qual será igual
a JJ £ , por quanto el nuevo triángulo A
¿ Í , teniendo el vértice común en A, y los
ángulos de la base iguales con los del triángulo
grande A B C , ha de ser equilátero
como d, y por Ja misma razón todos los
triángulos pequeños , cuyas bases hacen la
Jínea\ b c , son semejantes á Jos grandes, cuyas
bases juntas hacen la línea B C.
Luego la línea dada D E, (ó su igual
be) se halla dividida como B C, esto es,
H.
N? 190. Tenemos el modo de formar el
petipie de centésimas , qUe muchos llaman
de décimas.
EJ_ petipie de centésimas se halla en muchos
instrumentos matemáticos para tomar
las partes centésimas de una pulgada, y se
puede aplicar á qualquiera otra Jínea ; éste se
torma del modo siguiente (Lam. 4. Tig. 9.)
I.
Sea la línea dada A B, la qual se procu-
de Teodosio y Eugenio. 1J J
1 dividir en cien partes iguales: para esto
a dividiremos en diez partes iguales, numerándolas
por las decenas siguientes : 10 , 20,
30, &c.
II.
De las dos extremidades baxarémos las
pos paralelas entre sí A e, B o, en cada una
de las quales tomaré con el compás diez
partes iguales , notándolas con los números
siguientes 1 , 2 , 5 , &c.
III.
Uniremos las dos paralelas A e, B o con
1» línea e o igual aAB.
IV.
Tiraremos paralelas á A B por todos los^
Puntos notados en A e.
V.
Tiraremos una obliqua A m, y todas las
demás paralelas á esta obliqua.
Esto supuesto demos que me pidan 56
partes iguales centésimas de la línea A B,
buscaré en ella la división 50 , y en A e la
división 6 , y veré en qué parte esas dos d¡v
isiones se encuentran, lo que sucede en el
P^nto O; y tomando con el compás la dis-

í 3 6 castas Tísico-Matemáticas
uncía de O hasta 6 , hallaré jtí partes ce»
tésimas. Por quanto de O hasta i hay < divisiones
, cada una de io partes , y desde i
hasta 6 hay seis partes centésimas; lo que SÍ
prueba de este modo:
Estando este triángulo e A m dividida
por paralelas, en qualquier parte que Je cor.
ten estas .siempre queda triángulo semejantt
aJ total: Luego así como Ja altura del grande
es á Ja del pequeño como io á tí , asila
base del grande será á la dd pequeño, como
i o i 6-, y ¡sí e m vale lo partes centésimas,
tí i valdrá tí.
Del mismo modo se pueden hallar todas
las partes centesimas desde i hasta 99.
§. V.
De las líneas que son medias proporcionales.
N? 191. .Llamamos , Eugenio , media
Proporcional una Jínea , que si se pone entre
otras dos lineas dadas , haga con ellas
una progresión geométrica , ó proporcio»
continua. * v
Pero antes es preciso advertir , que *
Dama hipotenusa en un triángulo Ja línea
opuesta a un ángulo recto v. g. (Lam. ^
Fig- lo.) la Jínea A B , y d trilngulo que
tiene un ángulo recto se JJama triángulo
rectángulo. °
de Teodosio y Eugenio. IJ7
Tomemos ahora un triángulo rectángui;baxemos
desde el ángulo recto la línea
1 o perpendicular sobre la hipotenusa A B:
a tenemos el triángulo total T dividido en
los, uno pequeño P , otro mayor M.
P tiene un ángulo recto en o , así como
I total le tiene en O ; y ademas de esto tie-
¡e el ángulo A común al triángulo P y al
ota! T; y por consiguiente (N. 86.) será secante
al total.
Del mismo modo el triángulo M tiene
"i recto en o , y otro agudo en B, común
'; triángulo M y al triángulo T; y por confuiente
será semejante al total, y semejane
también á A P: de aquí sacaremos esta
coMeqüencia general:
N? 192. Luego toda perpendicular sobre
4 hipotenusa divide el triángulo en dos , que son
'"nejantes entre sí y al total.
Siendo , pues , los tres triángulos secantes
, sus lados serán proporcionales.
W- 175.) Tomemos , pues , en P y en M
05 lados que forman los ángulos rectos para
compararlos entre sí: y diremos : Ao : oO::
»0: oB.
N? 193, Luego la perpendicular baxada
J M'« u hipotenusa es media proporcional entre
'* dos partes de ella.
Luego si nos dieren dos líneas a, b (Lam.4.
'

138 Cartas Tísico-Matemáticas
Pondré las dos líneas a , b seguidas «.
á otra ; haré de ambas el diámetro de un i
micírculo , y levantaré del punto e en que s
juntan las dos , una perpendicular : despia
tirando las dos líneas or,os, haré un trun
guio rectángulo (N. 47.) • y por el N°p«
cedente a: m : : m : b.
N? 194. Luego tenemos método (•«
bollar una media proporcional entre dos lina
dadas.
Por la misma razón de la semejanza
Jos triángulos PyT (Lam. 4. Fig. 10.) pdemos
comparar entre sí los Jados que el
uno y otro forman el ángulo común . y decir
: Ao : AO : : AO : AB. Lo mismo bf
remos en Jos triángulos M y T , comparando
entre si los lados que forman el ángulo
común C, y diremos : Bo : BO :: BO
BA.
N? 19 y. Luego dividido qualquier tri'*
guio rectángulo por la perpendicular sóbrela
potenusa, qualquiera de los lados es media projorcwnal
entre toda la hipotenusa y el stgtu*
de ella, que le corresponde.
}\ describimos un semicírculo (Lam- 4'
Ftg. 12.) , su diámetro será hipotenusa ¿¿
triangulo hecho por ella , y por dos cuerdas
terminadas en su circunferencia , P° r '
que estas precisamente hacen áneulo recto-
(N. 74.)
s
de Teodosio y Eugenio. i$9
nd'u proporcional entre todo el diámetro , y
tímente de éste , cortado por la perpendicukxada
desde la extremidad de la cuerda , y
m decir: AO : AM : : AM : AB.
También podemos hallar una media prorional
por otro medio : si juntamos en
punto fuera del círculo (Lam. 4. Fig. 13.)
secante y una tangente, tenemos tres
as, que son la exterior A O , la tangen-
4 N, y la secante total A M. Para exáiar
si están en proporción tiraremos las
as N O y NM, las quales forman dos
¡ngulos N A O , N A M. Llamemos al peino
P, y al grande T.
tstos dos triángulos tienen el ángulo A
"un: ademas de esto , el ángulo M tieor
medida la mitad del ángulo N O
'72«>, y el ángulo O N A tiene también
'medida, por ser ángulo de cuerda y de
gente. Luego los dos triángulos son sejantes;
y si comparamos los lados homó-
!°s que forman el ángulo común A , se
"aran proporcionales, y podremos decir:
^ "• AN : : AN : AM.
^° 179. Luego la tangente que toca en la
anidad de la secante, es media proporcional
" toda la secante y su parte exterior.
N. 196. Luego qualquier cuerda (Lam'-*
Fig. iz.) tirada de la extremidad del diámetro

4o Cartas Físico-Matemáticas
§. VI.
Modo de dividir qualquier línea en
día y extrema razón.
N? 198. .¡Llamamos , amigo Eugen
dividir una línea en media y extrema iek
quando Ja dividimos en tal forma , que
parte pequeña comparada con la grande J
te en la misma razon que Ja mayor tierl
con la total (Lam. y. Fig. 1.) : v. g. si DI
dan la línea A B para dividirla , y la f
timos en el punto e , quedará la paite q
quena p con la grande g, como esta grar
de comparada con la total T , y podren»
decir p:gy.g:T. para conocer que tí
es verdad haremos lo siguiente:
Tomaré la mitad de la línea dada A L
y levantare sobre la extremidad una f
pendicular A O , igual á esa misma mi« c
a que me servirá de radio para un cfa«
Jo , quedando de este modo su düroe"
igual a la línea dada A B
I.
de Teodosioy Eugenio. «4»
II.
Tiraré de la extremidad B una secante,
epase por el centro del círculo , y termien
la circunferencia M.
Esto hecho , ya tenemos una secante y
a tangente unidas en un punto , y por
nsiguiente (N. 197.) la exterior BN esa
tangente B A , como ésta es respecto de
secante B M , diciendo así -ff B N : B A:
M. BN es á B A como B A á B M.
Ahora, pues, el diámetro M N es igual
la tangente A B, y se puede substituir por
la sin perturbar la progresión , luego pódeos
decir -^ B N : N M: B M , quedando
' este modo dividida la secante en media y
P-'ema razon.
Pero si tiramos las dos paralelas M A,
*, tenemos dos triángulos semejantes, cu-
°s lados están cortados proporcionalrnente
del mismo modo ( N. 170. )
N° 199. Luego tenemos modo de cortar
^quiera línea dada en media y extrema raen.

»4 2 Cartas Tísico-Matemáticas
§. VIL
De las líneas que están en proptá\
recíproca.
N. 200. i-damamos proporción red
proca siempre que un objeto comprehende
otro tantas veces en una circunstancia,qoa
us es comprehendido por él en otra: de o
ta suerte en Ja proporción recíproca el segur,
do y tercer término pertenecen al misrai
objeto , y d primero con el quarto pertens
cen a otro.
r
. En esta suposición , si tiramos en
circulo dos cuerdas A N , E M (Lamtig.
2. ) las quales se corten , y unimos sa
extremidades con dos líneas £A, N*
haremos dos triángulos P y Q , Jos qnú
son semejantes , porque los ángulos en C
son opuestos en el vértice , y los ángulo
en fc N , por estar en la circunferencia J
apoyados en el mismo arco A JW , tambi*
son iguales. Luego los lados que forma»
Jos ángulos en O son proporcionales ;>' *
se inhere que OA : QE : : OM • ON. B¡ ea
se advierte que el segundo y tercer término
pertenecen i una misma línea , así como
el primero y el qUarto pertenecen í "
otra.
r
de Teodosio y Eugenio. 143
dentro de un círculo , hacen quatro segmeni
que están en proporción recíproca.
Supongamos ahora que dos secantes se
man en un punto fuera del círculo ( Lam.
%• 3-)> y c¡uc de los puntos O I, en que
tttan el círculo, tiramos dos líneas de puntos
á las extremidades M N : en este caso
ndrémos dos triángulos N I A , M O A,
« quales tienen un ángulo común en A, y
«ángulos en M N iguales , por estar en la
rcunferencia , y apoyados en el mismo ar-
°IO (N. 72.); por consiguiente serán secantes
, y los lados respectivos proporciones
; de suerte , que el lado mas pequeño
e
P será al lado mas pequeño de Q , como
1 lado máximo de P al máximo de Q, esto
s
, AI: AO : : AN : AM.
Ahora , pues , el segundo término y el
rrcero pertenecen á la misma línea AN , así
orno el primero y quarto pertenecen á otra
M, señal propia de proporción recíproca.
N? 202. Luego quando dos secantes se
""> en un punto fuera del círculo , las exteln
's están en razón re.cíproca con las secantes
"¡eras.
N? 201. Luego quando dos lineas se «*'

144 Cartas Tísico-Matemáticas
§. X.
De las circunferencias proporcionales cu
los polígonos y en los círculos.
ara conocer qué proporción hay entre
las circunferencias de varios polígonos semejantes,
ó diversos círculos , podemos advertir
lo siguiente:
Que los polígonos se pueden dividir en
triángulos.
II.
Que siendo los triángulos respectivamente
semejantes , y puestos del mismo modo,
vienen á formar polígonos semejantes : de
esto se infieren varias conseqücndas:
I.
I.
Dado qualquier polígono irregular (£•
cuyo circuito sea duplo , triple, ó en qualquiera
otra razon, respecto del que fué dado
; haremos lo siguiente:
de Teodesio y Eugenio.
I.
'45
Del ángulo O tiraremos diagonales á
dos los demás ángulos, y las prolongamos
indefinidamente.
II.
Prolongaremos también indefinidamente
s hdos que forman el ángulo O.
III.
Tomaremos en la línea O M una exnsion
, que tenga al lado O A , la razón
u pla, triple , &c. y del punto M , en que
; termina el nuevo lado , tiraré una para-
' a AI al lado del polígono antiguo , y del
unto N otra paralela al otro lado antiguo»
así en los demás lados.
Por quanto hecho esto , el nuevo pogono
será semejante al que nos dieron:
"es los triángulos que le forman son semejes
á los que formaban el que nos die-
°MN. 176.)
Ademas de esto , como los lados son
r °porcionales , la misma razon habrá entre
0 y O M , que entre A I y M N , y
0r consiguiente entre los dos circuitos de
ls polígoi nos.
T «». FUI. K

•
14Í Cartas Físico-Matemáticas
de Teodosio y Eugenio. 147
N? 103. Luego en los polígonos semjt» el obscuro camino que resta ; pero te-
tes los circuitos son proporcionales á los lé endo tantas hachas encendidas , no debes
homólogos.
mer las tinieblas. Dios te guarde , &c.
II.
N? 204. Si el polígono fuere regulil
dividido éste en triángulos con los radio
tirados desde el centro , y hecha la mism
operación , quedará el nuevo polígono st
mejante , con el círculo, en la razon des»
radios , por la misma razon que dimos 1
los polígonos irregulares.
IIL
Pues los círculos se consideran como;
ligónos de infinitos lados , podemos decir í
los círculos lo que diximos de los polígo"'
regulares.
N° 2oy. Luego ¡as circunferencias i' 1
círculos son entre sí como los radios d como ¡ s
diámetros , por la razon del número pre £t '
dente.
Ahora bien , amigo Eugenio, si hubieres
entendido bien estas Cartas , puedes sosegar
, pues no encontrarás en los Elemento
de Geometría cosa que sea difícil , porq u
el peor camino ya está pasado : ten prese"
te la comparación que te hice, y creerá
que cada proposición demostrada es coi
una nueva antorcha , que te ha de iluffli 1111
FIN DE LA QUARTA CARTA.
Ka

148
Cartas Tísico-Matemáticas
CARTA QUINTA.
De las superficies.
%. I.
De la formación de la superficie.
'espues de tratar , amigo Eugenio
las líneas y sus propiedades, pide el buc
orden que ahora tratemos de las superfi"'
y después de éstas trataremos de los solide
Ahora te acordarás de que para darte ide
de la línea , te dixe que considerases u
punto en movimiento ; y que tuvieses p°
línea el camino por donde el punto vapa
sando : ahora te digo una cosa semejan!
para darte idea de la superficie. Quando un
linea se considera , moviéndose toda á £l
algún lado , el espacio por donde se con
sidera que la Jínea entera va pasando, s
llama superficie.
N? 205. Debes ahora suponer que q ua0 '
do una línea recta se mueve acia un ladoi
siempre va paralela á sí misma; y así el esp 3
cío que corrió la línea se llama paralelog ra '
mo. (Lam. 5. Fig. 7.) La línea A B se cotí»
dera movible , y h linea A C es la ¿> ílí '
de Teodosio y Eugenio. *4?
iá, y se considera quieta.
N? 207. Si la movible con la directriz
acen un ángulo recto (Lam. y T 'S- 8 ->»
I paraldogramo se llama rectángulo , co-
10A. , .
N° 208. Si ademas de ser el ángulo reco,la
movible es igual á la directriz, el pafclogramo
se llama quadrado , como B.
Um, 5. Tig. 9.) , . ,.
N? 209. Si la movible hiciere con la curectriz
un ángulo que no sea recto , el para-
Eloeramo , se llama obliquángulo; y en este
%, si la movible es igual á la directriz,
J paraldogramo se llama rhombo, v. g. v,
(i 5. Tig. 10.); p«o si no fuesen iguales
W dos líneas , se llama rhomboyde , como
D. (Lam. 5. Tig. n0 , ,,
N? 210. Tomemos ahora un paralelogramo
, de qualquier especie que sea , y «rémos
en él una línea desde un ángulo al
otro ángulo opuesto , y se llamará esta linea
l>&«L5y cada mitad del paraldogramo
"tí un triángulo , y los dos , o son recluios
ú obliquángulos , según era el para-
'^'gramo de donde salieron , como Tyü.
('

15° Cartas Tísico-Matemáticas
lo al otro, se llama simplemente quadrilát
ro. (Lam. ¿.Tig. 13.)
N. 212. Toda figura de muchos lado!
y por consiguiente de muchos ángulos ,s
llama polígono: si los Jados, como tambie
los ángulos , fueren todos ¡guales, será poli
gono regular , como M (Lam. 5. Fig. 14.,'
mas si los lados ó ángulos son desiguales,!
figura será polígono irregular, como N.(Lm
J.Fig.Ji.)
N? 213. El espado comprehendido den
tro de una Jínea circular se llama círcd
(Lam. j. Tig. 16.): el espacio comprehendi
do entre dos radios y el arco, se Jlama stcu
(Lam. 5. Tig. 17.); pero el espacio compre
hendido entre la cuerda y su arco, se llana
segmento. (Lam. j. Fig. 18.)
CONSECUENCIAS.
I.
Diximos al N? 210, que en todo psrslelogramo
, tirada una diagonal, resultaban i" 5
triángulos. Ahora decimos que estos triángulos
(Lam. 5. Fig. % , 9 , \o , i\.) tienen un
lado común, que es la diagonal; y ademas
de esto los ángulos adyacentes á la diagonal
son alternos: y así los dos triángulos vienen
í ser iguales. (N. 113.) Tienen ademas p° r
base Jos Jados que al mismo tiempo son base
de Tcodos» y Eugenio. 15 *
I paraldogramo , y son de la misma altuvicpie
éste. ,.
NV214. Luego todo paralehgramo se át-
¡ten dos triángulos iguales de la misma base,
le U misma altura del paraldogramo.
N° 21$. Nótese que podemos llamar
ise á qualquiera de los lados de un manilo,
con tal que llamemos vértice al ánguque
la sea opuesto. Adviértase también
#t llamamos altura del triángulo o del paaMogramo
la perpendicular sobre la base,
'sobre la continuación de esta, como At>.
'

If2 Cartas Tísico-Matemáticas
esto se advierte , que qualquiera cantida
representada por una línea se debe divid
en cierto número de unidades , aunque
calidad de éstas es arbitraria, pues cada un
dad puede ser línea , pulgada , palmo, &
y así multiplicando el número de las unid
des de una línea por el número de las <
la otra , queda multiplicada una línea po
otra.
N. 218. Adviértase también , que noe
lo mismo formar una superficie , que va
luarla; pues para su formación se consíder
Ja línea matemáticamente , esto es , presein
diendo de su grueso; y esta línea se muev
de lado , caminando siempre paralela á s
misma, según la dirección de otra línea pa
ra formar la superficie.
Pero si queremos valuar la superficie V»
formada, debemos numerar la cantidad de
partes que la componen; y en esto ya se ve,
que esas mismas partes son también supein"cies,
y no puramente líneas, por quanto de
líneas matemáticas sin latitud ó grueso 110
se puede componer una extensión física, ' s
qual tiene anchura ; siendo cierto', que- la
nada, por mas que se multiplique, no puede
dar cosa positiva.
Es evidente, pues, que quando se trata
de valuar alguna superficie , debemos considerar
la línea móvil como la primera serie
de unidades extensas , esto es , pulg 3 *
das, palmos, quadrados, &c. y por Ja n" s "
de teodosio y Eugenio. *53
. razón la línea directriz debe dividirse
umbien en unidades ; y entonces mulnph
..do el número de unidades de la una linea
?ot el de la otra , tendremos el valor de la
iperficie. ' N „.,„
Supongamos ahora (Lam. fc Ttg. 20.) que
I paraldogramo que debemos valuar .ene
Jco pulgadas en la base y tres de ahur
BultipLaré 5 por 3 , y darilS , po que »
fe Le en sí cinco pulgadas «•£"*£»
»secunda serie tiene otras cinco , y las m
masía tercera : poniendo , pues , tre en
de pulgadas quadradas , hemos agotado el
Agramo que tiene tres de altura.
N° 210 Luego multiplicando la base del
r*h¡rZr«t&*,t»'**«' tmmS
" t t u m d a ^ a d e ^ i r j u ^
¿a, no fuere quadrado , sino paralelog m
(U». 5.Fig. 21.), v. g. « queremo saber
pantos ladrillos se necesitan para el ]£
*ento de una sala, debemos hacer \* mima
cuenta , mas con la cautela ^ Lo Qnl
1«e es el lado mayor del paralelogremo que
Srve de unidad fuere la base el 1 do me
% O , debe servir para medir la altura del
Paraldogramo, porque de este modo, mu
picando el primer orden tantas vece* quan
•asía altura del ladrillo entra en la altura di
Welogramo, quedará agotado odoee^
Pac,0 ; y así 3 X 4 = lZ » 1 Ue

IJ4 Cárírfí Tísico-Matemáticas
de Teodosio y Eugenio. M5
Para valuar los paraldógramos obliqílán Mitificando la base por la altura, del mis-
gulos haremos la reflexión siguiente : Tome so modo se debe valuar su igual B, esto
mos el paraldogramo rectángulo A (Lam. 5 B, multiplicando la base R S , no por el la-
Fig. 22.) , y dividámosle en varios paraleló iS O , sino por la altura S E.
gramos orizontales : si después de esto, en N? 221. Luego quando se hubiere de va-
vez de considerarlos unos sobre otros á pío
lur un paraldogramo obliquángulo , se debe muí»
mo, como en A , los consideráremos en la
forma que se ve en B, el valor de ellos siem­
Sfliwr su base por la altura perpendicular, y no
pre será el mismo.
\» uno de sus lados.
De paso observamos que el paralelogra-
Tiremos ahora de Jas dos extremidades
«0 obliquo' B , teniendo lados mas largos
de la base C E dos paralelas á las extremi­
que el recto A , es igual á él en el valor,
dades de la línea D F; la línea C D cortará
luego puede el mismo espacio , sin mudar de
todos los triángulos que se ven en la figura,
y Ja linea E F cerrara en la otra parte otros
"fcr, ser comprehendido, o por líneas mayores
tantos espacios vacíos triangulares , en los
'formenores. (Lam. 5. Tig. 23.)
que cabrían exactamente dos triángulos de la La razon es, porque en los dos paralelo-
parte opuesta ; pues la altura de Tos unos y gramos A y B los lados de A son lineas perde
los otros es la misma; los ángulos adya­ Niculares, los de B son obliquas; y siencentes
al lado que forma su altura , son de do siempre las líneas obliquas mayores que
un ángulo recto siempre igual, y otro án­ •«perpendiculares, que caen sobre la misma
gulo formado por paralelas , que es igual "«a por el Num. 37 , P"
por el Núm. 45 ; por consiguiente cada triangulo
de una parte es igual al vacío que le
corresponde por la otra; y si los consideramos
mudados.á la parte opuesta, la llenarán
perfectamente por el Núm. 113. Hecho esto
asi, el paraldogramo rectángulo A se reduce
al obliquando B.
N? 220. Luego los paralelogramos que tienen
la misma base y U misma altura son iguales;
pues si el paraldogramo B (£4». 5. Fig. *}•)
«S igual al rectángulo A , y éste se valúa,
eden ser ¡ os es P a ~
ños iguales, aunque las líneas que los comprenden
no sean ¡guales. '
N? 222. Luego los espacios o superficies
"' siguen la misma proporción de las líneas que
ltl
terminan. ., ,
N? 223. Diximos que los triángulos eran
11
mitad de los paraldógramos , que tuvie-
*» la misma base y altura (N. 216.); y
? c »bamos de decir que los paraldógramos de
11
misma base y altura son iguales 5 por consiente
también lo serán las mitades respectas.
wir

5 cartas Físico-Matemáticas
. de Teodosio y Eugenio. 157
N? 224. Luego los triángulos de h mi
na base y altura son iguales. A es igual á B
guíente : Tiraremos la línea M N paralela
(Lam.

J58 Cartas Ftsito-Matemáticat
§. III.
Modo de valuar ó hallar el valor de lo,
polígonos regulares y los círculos.
N? 227. Cualquiera polígono regulai
(Lam. y Fig. 27.) se puede dividir en triángulos
iguales y semejantes, tirando líneas desde
el centro á todos sus ángulos, por ser
iguales todos los lados que forman la circunferencia
y todos los ángulos; pues á no serlo,
no seria el polígono regular.
La línea perpendicular tirada desde el
centro á los lados, se llama Aposthema.
Para hallar este centro levantaremos una
perpendicular del medio de un lado F,y
levantando otra en medio del lado E , se
cruzaran en algún punto O ; pero como el
lado A tiene igual inclinación á F, también
la perpendicular desde el medio de este lado
cortará á la de F en el mismo punto 0,
en que Ja cortó Ja perpendicular tirada de E.
El m.smo argumento se hace de los otros
lados , y todas se cruzan en O.
Digo ahora qUe O será el centro del
polígono , porque todos los triángulos tienen
bases iguales en la circunferencia , y 1°«
ángulos adyacentes ¡guales; y así en todo son
iguales: Luego el circulo descrito de O , como
de centro , puede pasar por todos los
de Teodosio y Eugenio. 159
Mos , pues todos los radios y lados de
i triángulos son iguales.
Esto supuesto (Lam. 5. Fig. 28.), si yo
«parase todos los triángulos en que se dividió'
el polígono, poniéndolos en línea recta,
el conjunto de estos triángulos tendria elmis-
) valor del polígono.
Ademas de esto, ya se ve que los espacios
vacíos que dexan entre sí estos triángulos,
son otros triángulos iguales, en situación
inversa ; porque los lados son iguales,,
y los ángulos de los vértices comprehendidos
por ellos también son iguales por ser alternos
; pues los lados C m, D n son parados
por la igualdad de los ángulos de lá
base en todos los triángulos del polígono.
Supongamos, pues , que yo tomaba los
"« últimos triángulos D , E , F para colarlos
sobre los tres primeros A , B , C
( L *m. 5. Fig. 29.) , ajustándolos en los varios
que habia entre ellos , y que divido
Por medio el triángulo F para colocarle en
1« extremidades : en este caso formaría un
Paraldogramo , cuya base seria media circunferencia
del polígono , y su altura todo
l ' Aposthema.
Ñ? 229. Luego el polígono regular es igual
•* «» paraldogramo , cuya base sea media cir-
( Herencia, y su altura todo el Aposthema.
Si divido por el medio el paraldogramo
Üim. 5. Fig. 29.), V pongo (Lam. 5. Tig. 30.)
las dos mitades una delante de la otra, en

lío Cartas Tísico-Matemáticas
este caso tendré un paraldogramo del mis
mo valor , cuya base seria toda la circun
ferencia , y su altura medio Aposthema sola
menté.
N? 230. Luego el polígono regular m\
bien es igual á un paraldogramo , cuya base si,
toda la circunferencia, y cuya altura sea nteiu
Aposthema.
Dividamos ahora este paraldogramo
(Lam. 5. Tig. 30.), y tiremos en la una mitad
la diagonal a o ; haremos con ella un
triángulo » , al qual podemos colocar sobre
el punto o (Lam. 5. Tig. 31.) con el fin de
que caiga acia otra parte , y haga un triángulo.
En estos términos el triángulo m sería
igual á » ; pues ambos tienen un ángulo rec
to , y los lados que le forman son iguales
en uno y otro triángulo (N. 113.); y ^
el valor de ellos es el mismo : Luego cortando
el triángulo m , y poniendo » en sil
lugar , no se mudará el valor; y en este caso
tenemos un triángulo, cuya base es toda
la circunferencia, y su alcura todo el Aposthema.
N? 2 31. Luego el polígono regular es ¡g*d
i un triangulo, cuya base sea toda la circunferencia
, y su altura todo el Aposthema.
Ahora, pues , el círculo (Lam. J. Tig. J 2 de Teodosio y Eugenio. 161
«licar al círculo.
N? 232. Luego el círculo A es igual, lo
mo al paraldogramo B, cuya base sea meuímunfetencía
, y su altura todo el radio : la
•pudo es igual á un paraldogramo C, cuya ba-
'• ¡en toda la circunferencia, y su altura todo el
ÍÍO.
Hemos dicho que sector del círculo era
"a porción de éste comprehendida entre
05
radios y el arco. (Lam. 6. Tig. 1.) En
Ka suposición , así como el círculo se reac
e á un paraldogramo , cuya base sea to-
\'a circunferencia , ó todos Jos arcos que
Jjtorman , y su altura medio radio ; así popaos
decir del sector. Y por la misma ra-
03
1 así como el círculo se reduce á un
¡"alelogramo , cuya base sea media circun-
'rencia , y su altura todo el radio, así tam-
"
')
se puede confundir con el polígono regular
de Jados infinitos ; y de este modo todo
quanto se dice del polígono regular se pued*
cn será el sector.
N? 233. Luego el sector del círculo (Lam.
'%• 1.) será igual al paralelegramo A , que
'^for base medio arco ME,j por altura to-
'/' radio JVí C) , y también será igual al para-
Himno B , cuya base será igual á todo el ano
£ N , y la altura la mitad del radio M. OÍ
"iximos en su lugar , que el segmento
J J la parte del círculo comprehendida entre
Cl,
erda y el arco; por consiguiente , quij'^o
dd valor del sector ( Lam. 6. Eig. 2.),
¡fangulo A , hecho por la cuerda y dos
'°s, el resto será el valor dd segmento.
p
»ra que esto se haga sensible pongar
"«. VUI, L

i6z Cartas Tísico-Matemáticas
mos los dos paraldógramos A B de la figí
ra i , á los que reducimos el valor del s«
tor, y reduzcamos ahora sobre ellos eltriai
guio a , que está por baxo del segmenu
reduzcámosle, digo , á los paraldógramos
a , para ver lo que resta; y primeramen
empezando por el paraldogramo A, reduzc*
mos el triángulo a á un paraldogramo i, c
ya base sea la mitad de la cuerda , y su;
tura todo el complemento de la flecha (es
es , de la altura del segmento). Siguient
después en el paraldogramo B , reduzcan)'
el triángulo a í otro paraldogramo a, cl
ya base sea toda la cuerda , y su altura ni
dio complemento de la flecha , como se
en la figura B. Hecho esto , veremos lo

ie>4 Cartas Físico-Matemáticas
por consiguiente, si del triángulo que está
sobre la diagonal sacamos Mei, y de
it Teodosio y Eugenio.
IV.
rfj
triángulo que está debaxo de la diagonal í>el punto I, en que. se encuentran las
quitamos N e, los dos rectos A B han de Jos líneas , tiraré P I paralela, é igual a m o,
ser iguales.
1 terminaré el paraldogramo mo , PI. Esto
N? 236. Luego los paralelogramos A n, techo, en él se ve que B es paralelógramo
que son complementos , son entre sí iguales. igual De á A , y de la grandeza que nos le pi­
esta regla general se toma la solución de dieron , porque ambos son complementos.
varios problemas:
(N.236.)
n.
N? 237. Dado un paraldogramo A *
(Lam. 5. Fig. 26.), si nos piden otro igual.
que tenga un lado igual á la línea dada m.
N , haremos lo siguiente:
I.
Prolongaremos o n, aumentándole con 1»
dada MNóffl»su igual; y después prolongaré
igualmente e u , base inferior de fr
II.
Prolongaremos indefinidamente los
lados ou y n e ,perpendiculares i n 0.
III.
Tiraremos una diagonal desde tu » 4,
pase por el ángulo e hasta encontrar »'
-nea o I.
K?. 238. Si ademas de esto nos pidieren
(L««. 6. Fig. 6.) que el nuevo paralelógramo
no solamente sea de la grandeza dada
O E, sino que sea obliquo , y con un
«guio igual al ángulo M , haremos lo sl-
8 uicnte: , J u.
Continuaré indefinidamente las dos ba-
***,«-, y entre ellas formaré un parale-
•ogramo obliquángulo B igual á A(N.220.),
y como el ángulo M.
Para reducir B á otro que sea igual , y
'enea por un lado la línea dada O E , na-
'émos la operación como en el numero precedente
, habiendo antes prolongado las dos
tases de B y los otros dos lados á , on',y
«'rando después la diagonal en hasta encontrar
la línea ú , y acabando el paralelógramo
e e i t , se determina la altura del paraklogramo
D. ,
De este modo el paraldogramo D sera

i
•
•
166 Cartas Físico-Matemáticas
igual á B , por ser ambos complementos
(N. 23.6.) ; y por consiguiente D también
será igual á A , y tendrá todas las circunstancias
que se pidieron.
ni.
N? 239. Demos un campo como le representa
la (Lam. 6. Fig. 4. ) , de forma,que
un dueño sea señor de todo el espacio blanco
, y otro de todo .eJ espacio obscuro; pídese
que sin hacer mediación alguna de las
dos lindes, se dé una línea recta xy paralela
í E i, la qual divida los campos en tal forma
, que sin perjuicio de los poseedores una
sola línea separe sus posesiones. Haremos lo
siguiente:
I.
Prolongaremos la línea E i hasta O.
ir.
Pondremos uno de los dueños en O, y
el otro en A. ,
III.
Pasearemos por la linca R i hasta qu«
nuestra persona impida el que los dos poseedores
se vean.
de Teodosio y Eugenio.
rv.
167
Por el punto « , en que estén nuestros
fe, tiraremos la línea*», la qual dará
¿facción á lo que se pidió ; la razón es
porque ¿1 paraldogramo M , que el uno
pierde de su antigua posesión , es igual a
X, que adquiere de nuevo ; pues M N son
'implementos. (N. 236.)
IV.
N° 240. Para convertir un páralelogra-
«», qualquiera , en un quadrado igual, ha-
'énios lo siguiente: • .
N? 241° Debemos traer á la memoria lo
quese dixo de las proporcionales (N. 143 •)»
^e quando tres cantidades estaban en pro-
Non , el producto de los extremos era
'gual al quadrado del término medio.
Ahora bien , siendo el parale ogramo dado
M (Lam. 6. Tig. 7.), P° ndré com ° ??"
mer término de la progresan su altura A,
y por tercer término su longitud C. i^sto
«echo , buscaré una media proporciona enl
reAC,la que será b , y este sera el lato
del quadrado N , que me piden ; porn
estando en progresión las tres lineas
•ir a : b : c , inferiremos , luego a X t -
¿X&, ó 4» (N. 143-)s P or consiguiente
M es igual i N.

I*
n
i¿8 cartas Físico-Matemáticas
V.
También podemos resolver por otro mo
do el problema del Núm. 237, valiénd ono
de Jas proporciones.
N. 242. Sea dado (Lam. 6. iig. 8.) e
paraldogramo A , y pídase otro , cuyo la
do sea Jvl : ignoramos quáJ deba ser su a!
tura «para que este paraldogramo sea ¡gira
aJ dado.
Diximos que estando en proporción qua
tro cantidades, el producto de Jos extre
mos es igual al de los medios (N. 141.); ¿ s
aquí se sigue, que si yo pusiere Ja lineada
da M como primer término de Ja propor
con Ja altura y la base del paraldogramo
dado A como segundo y tercer término
tendré en el quarto término x la altura
dd paraldogramo B , y podré entooCa
decir , stm: n:-. o:X: |Uego m x x =
n X o ; por consiguiente A formado por o X»
es igual a B hecho por m x x.
§. V.
Reducción de las figuras irregulares *
otras también irregulares.
piximos (N. ¿24.) los trU . je
la misma base y altura eran iguales; y ¿<
de Teodosio y Eugenio. i¿9
uta proposición se sacan varias conseqiien-
SS¡
I.
N? 243. Si nos dieren un pentágono B
Jim. 6. Fig. 9.) para reducirle á un quadnho
, haremos Jo siguiente:
Tiraremos una diagonal M N, y por el
vértice I una paralela á la diagonal.
II.
Continuaremos uno de los lados de la
P°rcion inferior hasta encontrar en la paraba
O , y tiraremos la línea MO: en es-
!{ caso el triángulo que hacemos de nuevo
^0 N es igual al que antes habia M I N,
Por tener la misma base y la misma altura:
\o el quadrilátero E M O A sera igual al
Pentágono que nos habían dado.
n.
N? 244. Supongamos que quieren redu-
* (Lam. 6. Fig. to.) este u otro quadrilater
° á un triángulo : haremos la misma operaron
, tirando la diagonal M A y la paralela
^ S, y despucs la línea R A.
Poique, esto hecho,el triángulo antiguo
i

170 Cartas Físico-Matemáticas
Al E A es igual al nuevo Al E A ; y de esl
modo el quadrilátero Al E A O será igu
al triángulo RAO.
III.
' . ' 2 45* Si nos dieren un triángulo,
pidieren un paraldogramo igual, haremos!
que se dixo al núm. 22 j.
IV.
N. 24,6. Si nos dieren un triángulo, y
nos pidieren un quadrado igual, le rcduci
re primero á un paralelógramo , confort*
a lo dicho (N. 2¿y.), y después reducin
este paraldogramo á un quadrado por e
método del núm. 241.
§. VL
De las proporciones , de las superficie
del mismo nombre, supuesto que sean
desemejantes entre sí.
N. 247. Conocido el valor de las soperncies,
conviene saber la razon que tienen
entre si: principiemos por las que tienen «
mismo nombre, v. g. paralelogramos entre
si, y triángulos entre sí ; y para esto h c '
mos de atender ya á sus bases, ya i sus *
de Teodosio y Eugenio. 27 *
te, y ya á todo igualmente.
Siendo la altura de los dos paralelogra-
«A B (Lam. 6. Fig. 11.) la misma, si una
í entra en la otra tres veces , dividida
base por paralelas , aparece A tres veces
N? 248. Luego los paralelogramos de la
m altura están entre sí como sus bases. _
Ahora bien , los triángulos son las mi;
fe de sus paralelogramos, y son entre si
inio estos. (N. 134O
N? 249. Luego los triángulos de la mis-
"euro (Lam. 6. Fig. 12.) están entre sí co-
»«J bases. . .
Si los paralelogramos A B. (.Lam. 6. Fig.
!)tienen la misma base, en dividiendo
'altura del mayor A por paralelas a la ba-
'• quantas veces éntrala altura del uno
1 h del otro , tantas entrará todo el pagramo
B , que es el pequeño, en el
Nde A. . ,
N° 250. Luego los paralelogramos de ¡a
b»a base están entre sí como sus alturas ; de
fcerte que si la altura de A fuere veinte
f eces. mayor que la de B , por la .operaci
«n de las paralelas entrará B veinte veces
«>A.
P
. Ahora bien , los triángulos ó las mita-
*** de los paralelogramos son entre si co-
^ estos.
N? •>< 1. Luego los triángulos de la misma
* ¡ e (Laln. 6. Fig. 14-) "tan entre sí como sus

i 72 Cartas Físico-Matemáticas
alturas; y si B es duplo de A , Ja mitad
sera dupla de la mitad de A.
Los paralelogramos pueden júntame
ser diferentes en la base y en la altura,
forma , que (Lam. 6. Tig. 15.) divididas
paralelas las bases y Jas alturas , A puede
trar en B muchas veces por la cuenta de
base,^y muchas por la cuenta de la altu
N. 252. Luego los paralelogramos de
ferente base y altura están entre sí en la W
de sus bases, multiplicada por la razon it
alturas. ' •
Y así si la base de A es tres veces •*.
pequeña que la de B , por esto solo ent
A tres veces en B por el núm. 248 j F
como en B la altura es dupJa de A,
tres cantidades que ya se contenían en
vuelven a repetirse para formar el parale!
gramo B de altura dupla : por consiguien
B viene á ser seis veces mayor que A,es'
es, esta en razon de tres de Ja basa mu 1 "
phcada por dos de altura. !
Aliora , pues, hemos dicho muchas vi
ees, que os triángulos, por ser Ja mitad '
los paralelogramos, están entre sí como ello'
(N.IJ4.)
N? 253. Luego los triángulos de-&«
sas bases y alturas (Lam. 6. Fi?. 16.) ""
entre sí en razón de las bases , múltipla
por ¡adelas alturas. Por esta razón , *>?»
pletando los paralelogramos A B , que 1°
corresponden , se qucdan s¡endo mitades
deTeodosio y Eugenio. f¡\
¡paralelogramos , que tienen entre Si esta
tn.
§. VII.
k proporción de las superficies del
mismo nombre y semejantes.
K? 254. Acabamos de decir , que los
•r&lograinos y triángulos de diferente base
altura están entre sí en la razon de las ba-
1, multiplicada por las alturas.
Pero quando la razon de las bases y ai-
Mas es la misma , multiplicar una por otra
•¡hacer el quadrado de qualquiera de ellas.
N? 21

174 Cartas Físico-Matemáticas
servarán entre sí la misma razon que ten|
los triángulos de que se formaron.
N? 2 58. >Luego todas las figuras itn
jantes (Lam. 6. Fig. 20.) tienen entre á
misma razon qne los quadrados de sus h
homólogos.
NV 259. Luego todos los polígonos rm
res y semejantes están entre sí, como los qt
arados de sus lados homólogos. Pero como
los polígonos semejantes los lados están el
tre sí, como los rayos que los dividen,]
como los apothemas , esto es, como las f
neas O E, o e, que salen del centro perpeí
diculares á Jos Jados; diremos que Jos po¡
gonos semejantes son como los quadrados
los rayos ó de los apothemas. De este mo(
(Lam. 6. Fig. 20.) el polígono B contier
quatro veces A, pues el lado es dos.
Sabemos que los círculos se pueden coi
siderar como polígonos semejantes de inri"'
tos lados; y que en este caso los apothema
se confunden con los rayos; y por consi
guíente los círculos están entre sí, como lo
polígonos semejantes.
N? 260. Luego los círculos están entre *
como los quadrados de los rayos. (Lam. 7. tig> »•
Y así si el radio de B es duplo del de A, f
deTeodosioy Eugenio.
En los paralelogramos semejantes (Lam•-•y.
, 2.) d exponente de la razon de las ba-
«e el mismo que el de la razon de las
tías 7 quando^ multiplica un exponen,
«por otro, se multiplica por s. mismo J
Ithace un quadrado de ^alquiera de ellos.
¡Pero lo que se dice de los paral logramos
Lejantes, se dice de los triángulos, y de
•todas las figuras semejantes entre si.
I N° 262. Luego el exponente de figura shtjmes
es el quadrado del exponente de los laliif.
(Lam. 7. Tig. 2.)
§• VIII.
Clavazón que hay entre el circulo y
hs quadrados inscripto y circunscripto,
y del formado sobre el radio.
K° 26A. Se llama quadrado circunscribo
qíél que se queda fuera del orcu o
tocándole por todos quatro lados.j^K

176 Cartas Tísico-Matemáticas
razon que hay entre el círculo y el quadr;
do circunscripto , haré lo siguiente (lm?
Fig. i-):
I.
Reduciré el círculo i un paralelogram
A, cuya base sea la circunferencia , y su al
tura medio radio (N. 232) : de este rao
do si el diámetro del círculo vale 7 , la cir
cunferencia de él, ó grandeza del paralelo
gramo será 22. (N. 130.)
de Teodosio y Eugenio.
I.
177
Dividiremos el quadrado circunscripto
n dos diagonales en quatro triángulos, y
Ja uno de ellos tendrá por base el diámepo,
y por altura el radio.
II.
Dividiré el quadrado inscripto con una
¡¡'gonal en dos triángulos, que también tcn-
¡«n por base el diámetro, y por altura el
adío.
Dividiré el quadrado en quatro paralelo
gramos iguales , quedando cada uno de cita
con Ja altura de medio radio , y todo Jo lar
go del diámetro : por consiguiente todo'
quatro juntos hacen un paraldogramo B di
H? 268. Luego el quadrado inscripto es la
*'*¡ del circunscripto. Por consiguiente el
'rculo es, respecto del quadrado inscripto,
°rno la circunferencia á dos diámetros , ó
orno 22 á 14.
la misma altura que A; pero su grandeza se Finalmente para saber la razon que hay
rá quatro veces 7:028. Pero estos dos paralelogramos
A B tienen la misma altura, y
"Iré el círculo y el quadrado de su radio,
a
ré lo siguiente:
son como sus bases. (N. 248.)
Dividiré el quadrado circunscripto (Lam.
N? 267. Luego el círculo es al quadré í'% íOpor dos diámetros en quatro qua-
circunscripto , como la circunferencia es á q0tados
iguales , )' cada uno de ellos será
tro diámetros ; lo que viene á ser como 2í Wrado del radio : por consiguiente si el
á 28.
Wrado circunscripto vale 28, el quadra-
Si queremos saber la proporción del cír­
^ del radio solamente valdrá 7.
culo con el quadrado inscripto, haremos 1" N? 269. Luego el círculo es al quadrado
Í! s
siguiente;(Lam. y. Tig. 4. ).
'i radio, como la circunferencia á un dii-
Wí
"«, ó como 22 á 7. Luego los tres quac
'ados que pertenecen á un círculo, son co-
T»*» Vlll. M
H.

178 Cartas Tísico-Matemáticas
mo 7 , 14 , 28 , valiendo el círculo XI.
%. IX.
De la razón que hay entre el quadrai
de la hipotenusa y los quadrados de h
otros dos lados.
lista proposición , que es famosísima,
atribuye á Pitágoras , de quien dicen , qi
por haberla hallado sacrificó cien bueyes
las Musas en acción de gracias.
Para conocer, pues , la proporción

18o Cartas Tísico-Matemáticas
al quadrado A. Por la misma razón b es igual
á B : Luego a -H b, que hacen el quadia
de la hipotenusa , es igual á A -t- B , qua
drados de los lados..
También se puede demostrar por otr
modo. (Lam. 7. Fig. 8.) Tenemos el trian
guio rectángulo A E O : queremos proba
que el quadrado de A O es igual al quadn
do de A E junto con e, quadrado de li O.
Pongamos el triángulo en b , y formerno
sobre sus lados los dos quadrados P Q¡ te
sultán los dos paralelogramos que se pin"
claros, con los quales se llenaría el quadrad'
total de la figura P, T, R, Q.
Formemos ahora el quadrado de la rn
potcnusa a o, y tendremos el quadrado ¡
o , i, s. Este quadrado dexa quatro trian?"
los m, m ,m, m. Estos triángulos son ig" a '
les entre sí, y también iguales ib ; lo q ul
se conoce , advirtiendo que los lados df
quadrado total P T R Q son iguales , >' ca
da uno es igual á un lado pequeño de l ü -
triángulos junto con un lado grande, )' c0 '
mo todos son rectángulos , todos vienen a
ser iguales. Pero cada paralelógramo claro
vale dos triángulos m ,m: Luego tanto valen
Jos dos paralelogramos claros , como lo_ s
quatro triángulos m,m,tn,m; pero si q ul "
tamos del quadrado total los dos parale' 3 '
gramos , restan los dos quadrados P )' Q'
y si quitamos del quadrado total los qua" 0
triángulos, quedará solo el quadrado «¡e ' J
de Teodosioy Eugenio. '*«
Wnusa : Luego tanto vale el quadrado
i la hipotenusa , como los dos que e form
sobre los otros lados del triangulo rec-
,8 EÍ°grande Eúclides demuestra esta proposición
del modo siguiente (Lam. 7- *• 90-
Forma el triángulo rectángulo M O N,
vlos tres quadrados sobre sus lados : tua
¥a perpendicular sobre la hipotenusa la
qual divide su quadrado en dos para e ogramo,
; y prueba después que el paraldogramo
G es igual al quadrado B , asi como el
paralelógramo H es igual á A , lo que prueba
del modo siguiente :
Primeramente los dos triángulos, S O N,
NM F son iguales , pues ambos tienen un
Jado del quadrado grande , y otro ado del
adrado B ; y el ángulo comprehendido
entre ellos es compuesto del ángulo común e,
} de un ángulo recto ; lo que basta para ser
iguales. (N. 112O , -,.A
Pero el triángulo S O N es la mitad
del paralelógramo G , porque tiene el mismo
valor que tendria si su vertic^ estuviese
en c. Dd mismo modo el triangulo N
M F es la mitad del quadrado B , porque
ti^ne el mismo valor que tendría si su vértice
M pasase á O : Luego si la mitad de
G es i Jal á la mitad de B , el paralelógramo
G es igual al quadrado B , que le cor-
' SP Dei e mismo modo se prueba que H es

182 ^ Cartas Tísico-Matemáticas
j gua ¡ a J A: Luego si H y G hacen el< l ua
drado de Ja hipotenusa , será éste igual alo
dos quadrados de los lados A-f-B.
Conseqüencias de esta proposición.
5i el triángulo rectángulo ( Lam. 7. Tig
10. ) tuviere un lado del ángulo recto que
va 'ga 3 . y otro que valga 4, el quadrado del
1 sera 9 , y el del otro 16 , los quales juntos
hacen 27 : así el quadrado de la hipotenusa
sera 2j , cuya raíz es 5.
N. «i, Luego Í» ,/ /ri/wga/o wAáj*
Wfor ¿ 3 y de 4 , /„ hipotenusa será 5.
I.
II.
N. 272. Si quisiéremos levantar uní
perpendicular en la extremidad de una línea
( Lam. 7. %.,!.), quando e, terreno
no permite prolongarla, ni trabajar masabaxo
de ella, Jo haremos con el método siguiente:
Señalaremos con el compás en la línea
dada cinco medidas iguales.
I.
de Teodosio y Eugenio.
II.
i8j
Tomaremos tres medidas con el com-
¡is,y desde el punto M describiré un arco.
ni.
Tomaré con el compás cinco medidas,
' Uceando al punto A , que termina quatro
medidas, describiré otro arco , que cortará
i primero en O ; y desde ese punto basare
toa perpendicular M ; la qual sin duda es
perpendicular , porque siendo el triangulo
fcrmadoconladosdca.,4, 5 medidas, nefariamente
será rectángulo.
III.
N° 27 x. Siempre que el triángulo rec-
"Wo fuere isósceles , v. g. (como quando
(Lam. 7- *. IZ - ) dividimos un quadra-
*>por su diagonal, el quadrado de la inpntenusa
será duplo de qualquiera quadrado
que se forme sobre los lados, porque
siendo el de la hipotenusa igual ala suma de
¡os dos quadrados de los lados, es duplo de
¡^mitades de esa suma; y asi,
Si nos dan un quadrado A (Lam. 7. Hj.
U.) , y nos pidieren otro que sea doble de
é¡, tiraremos una diagonal , y esa sera d lado
del nuevo quadrado B , porque es hipo-

184 Cartas Tísico-Matemáticas
tenusa de un triángulo isósceles.
N?. 274. Luego hay método para fom
un quadrado duplo de otro dado.
IV.
Si en un quadrado A tiramos las diago
nales R M ,0 N , serán mutuamente per
pendiculares(Iá»j. 7. Fig. 13.); porque 1
primera tiene dos puntos R M igualment
distantes de las extremidades de la otra(N
32.); y del mismo modo la segundares
pecto de la primera ; y por tener cada un
dos puntos igualmente distantes de las exrre
midades de la otra , se cortan por el medie
( N. 3 j. ) ^ por consiguiente el triángulo N
M es rectángulo é isósceles.
Luego el quadrado de'la hipotenusa A
M es duplo del quadrado sobre uno de sus
lados 0 M; y por consiguiente el nuevo qua-
de Teodosio y Eugenio.
I.
185.
Formaremos un ángulo recto con líneas
definidas.
II.
Pondremos de una paríe el lado de A,
y de otra el deB: tiraremos una línea M N,
que será hipotenusa , y por lo mismo el
«"adrado C ,'que está sobre ella ,será igual
* los dos juntos A B.
§. X.
aplicación de la doctrina de la hipotenusa
á los polígonos y círculos.
1J0 " h mItad del °. ue nos diéron A -iximos al núm. 261 , que todas las fi-
' ?"ras semejantes eran entre sí como los qua­
N. 275. Luego tenemos método par i fordrados de sus lados correspondientes ; pero
lüs mar un quadrado B, que sea la mitad de Hit polígonos regulares del mismo número
quadrado que nos hayan dado A.
de lados son figuras semejantes.
N? 277. Luego el polígono regular sobre
V.
l
* hipotenusa es igual á los dos polígonos secantes
sobre los dos lados. Y así el poh-
?«rio C (Lam. 7. Tig. 15.) es igual á los
d
°s A B. • .
Como los círculos se pueden considerar
[ manera de polígonos regulares , podemos
decir dé los círculos lo que acabamos de

286 Cartas Tísico-Matemáticas
decir de los polígonos.
NV 278. Luego el círculo sobre la %
tenusa es igual Á los dos círculos sobre les li-
dos (Lam. 7. Tig. 16. ) ; y así C será igua
a B junto con A ; y si el triángulo fuen
isósceles , el círculo de la hipotenusa ser
doblado del • círculo de qualquiera de lo!
Jados. (N. 273.)
CONSEQUENCIAS.
Si nos dieren una corona ó un anillo
(Lam. 7. Tig. 17. ) , y nos pidieren un círculo
que sea igual al anillo , la operación
se hará de este modo:
I.
Tomaré el diámetro exterior del anillo
1M N para hacer de él una hipotenusa , describiendo
sobre ella un medio círculo m o »•
IJ.
Tomaré el diámetro interior del añil' 0 '
y haré de él el lado m o del triángulo rectángulo.
de Teodosio y Eugenio.
ni.
187
Acabaré el triángulo con la línea o n, y
H'J será el diámetro del círculo P, el qual
Irá igual al anillo dado.
Pues el círculo A de la hipotenusa es
¡pial á los dos P Q : Luego A menos Q , ha
«ser igual í P; pero A menos Q, es lo
'isrno que el anillo , porque el círculo Q es
M al vacío Q; y así lo mismo es decir A
oétios Q , que decir el anillo ; y por consiente
el anillo A es igual á P.
N? 279. Luego hay método para reducir
" iridio o' corona a un círculo entero.
II.
Si nos dieren (Lam. 7. Tig. 18.) una luna
' deciente B para reducirla á un círculo
Kro , procederé como en el caso precede
, porque tanto monta quitar de un
C| ' f eulo is u vigor.

188 Cartas Tísico-Matemáticas
n.
Si nos dieren un círculo A (Lm.
Fig. 19.), y nos pidieren otro que sea di)
pío de éste, lo haré del modo siguiente:
Tiraré dos diámetros en ángulo recto,
los uniré con una hipotenusa B O.
I.
II.
De esta hipotenusa me serviré como d
radio para el nuevo círculo B.
En esta suposición tenemos que B t¡ {
ne como radio una hipotenusa, y A uno o
los lados del triángulo ; siendo éste isosce
les ; pero ya diximos que los círculos era
como los quadiados por el núm. 26°!.
por el 277 , se dixo , que el quadrado c
la hipotenusa era duplo del quadrado d
qualquiera de los lados: Luego B será M l{
de A.
N? 280. Luego hay método para W
un círculo duplo de otro.
IV.
Si nos dieren un círculo A (L-

R-
>«
190 Cartas Tísico-Matemáticas
mos ha de ser igual al quadrado de la can
tidad media; esto es, AOxAB = AM»,qu
es lo mismo que AM x AM. Del mismo me
do (Lam. 8. Fig. 2. ) puedo demostrar qt
la otra cuerda AN es media proporciona
entre el diámetro AB , y el segmento AI
cortado por la perpendicular NI, pudiend
decirse AI: AN : .- AN : AB ; y por consi
guíente Al x AB =5 AN 3 ,
N? 283. Hacemos esto sensible en
(Lam. 8. Fig. 3.) : las dos cuerdas Mr, Al
son medias proporcionales entre el diámetn
total MN , y sus dos segmentos Mo,
por consiguiente Mo : M¿: : Mr : MN:Luei
go Mo x MN = Mr x Mr.
Pero Mo x MN es el paraldogramo t,
cuya base es Mo , y su altura es M»= HNi
y Mr x Mr es el quadrado A : Lueeo el paraldogramo
a es igual al quadrado A.
Del mismo modo se prueba que el paraldogramo
total Mp es igual al quadrado
mayor B , cuyo lado sea la cuerda Ms.
Pero estos dos paralelogramos Mg , M/.
teniendo la misma altura , son entre sí como
sus bases, esto es , como los segmentos
Mo Mi : Luego los dos quadrados que le
son iguales entre sí, son como los segmentos
Mo Mí.
de Teodosio y Eugenio. 191
De esta regla general se sacan varias
conseqüencias.
N? 284. Luego los quadrados de tas cuer­ Tómese con el compás ese segmento /,
das tiradas de la extremidad del diámetro , s"> 'del diámetro ; con esta medida vamos dientre
si lomo los segmentos del diámetro, corta'"•iiendo
todo el diámetro en la forma de
dos por sus perpendiculares.
* d e la figura.
I.
N? 285. Si dado un quadrado A (Lam.
Fig. 4.) , nos pidieren á un tiempo otros
'arios, que tengan diversa proporción coa
I primero , v. g. 4. veces mayor 6 , 9,
'5> ó i5j , ó 20 , en brevísimo tiempo
Memos resolver este problema del modo
luiente:
Tírese una línea arbitraria, y descríbala
sobre esta un medio círculo.
II.
Tómese con el compás a i, lado del
ladrado A que nos dieron , y fórmese de
'Una cuerda a i , que salga de la extremidad
del diámetro ; y de otra extremidad
"da cuerda (i) tírese una perpendicular surc
el diámetro.
ni.

192
Cartas Físico-Matemáticas
IV.
Notaré el número 4,^,9,13,15!
20 , &c. que corresponden á los quadrado
que me pidieron ; levantaré desde ellos per
pendiculares, las quales irán á terminar en lo
puntos de la circunferencia m,n, o,p
adonde también van á parar las cuerdas tira-I
das desde a, que serán los lados de los qu*
drados que nos pidieren.
Por quanto queda ya probado, que es-i
tos diferentes quadrados de la figura son en
tre sí , como los segmentos del diámetro,
cortados por las perpendiculares (N. 284.)'
luego los nuevos quadrados están en est¡
misma proporción de 4, 6 , 9 , 13 , 15&
Si acaso el número de los quadrados q" e
nos pidieren fuere tan largo , que no quep
en el diámetro arbitrario que se escogió, tómese
otra línea mayor á proporción de l* s
que faltaren , y repítase para estos la operación.
N? 286. Luego tenemos método para fot'
Diximos que los círculos estaban en"í
sí, como los quadrados de sus diámetro 5 *
al núm. 261 ; por consiguiente podemos d c '
de Teodosio y Eugenio. 193
(ir de los círculos , cuyos diámetros fueren
lis cuerdas (Lam. 8. Fig. 5.) , que ellos tienen
«"re sí la misma razon de los segmentos de
Un diámetro , cortados por varias perpendiculares
cjue salen de Jas otras extremidades
Je las cuerdas; y así dándonos d círculo B,
Podremos hacer otros C D , que sean «neo
»siete veces mayores, ó en qualquiera otra
"zon que los pidieren.
N? 287. Luego tenemos método para for-
Sl * con una sola operación los círculos que nos
flieren en qualquiera razón que se quiera, resfrio
de algún círculo dado B.
m.
N9-288. Si nos dieren un círculo A
(Uní. 8. Fig. 6.), y nos pidieren otro , que
^ la tercera ó quinta paite de él, haremos
¡"siguiente:
Tírese una línea á discreción ; pero que
mar con una sola operación qualesquiera quadtt' S!a
mayor que el diámetro del círculo dados
en la razon que los pidan.
"j
II.
0 , y descríbase sobre ella un semicírculo;
finiamente tírese una cuerda m n igual al
^metro M N del mismo círculo dado.
I.
II.
Tírese desde n una perpendicular sobre
Fom. Vlll. N

194 Cartas Físico-Matemáticas
el diámetro n o , y divídase este segmentt
del diámetro m o en tres partes iguales: di
Ja división primera levántese una perpendi
cular , la que irá al punto e : desde éstt
tírese la cuerda e m, que será el diámetn
del nuevo círculo B , el qual por lo qui
ya queda dicho , será Ja tercera parte di
A , por razon de que los círculos A B es
tan entre sí, como Jos segmentos del día
metro m i, m 3.
.
VI.
N? 289. Si habiéndonos dado dos qua-j
drados ó dos círculos A B (Lam. 8. Fig. !••
nos preguntaren en qué razon están entrej
sí , haremos lo siguiente:
I.
Descríbase un semicírculo arbitrario, bíeni
que de forma , que sU diámetro sea n>avo f l
que el de qualquiera de ellos.
II.
De los dos diámetros se harán dos cuer*
das, ambas nacidas del punto M.; y de I a5
otras extremidas de las cuerdas baxaré p er '
pendiculares sobre el diámetro del semicírculo.
.de Teodosio y Eugenio.' 19.5
ni.
Veré la proporción que hay entre los
dos segmentos de este diámetro MO , ME,
esa misma será la razon entre los dos
círculos dados.
Dd mismo modo se puede executar si
eren quadrados, haciendo cuerdas de sus
dos.
N? 290. Luego hay método para hallar
'' razón entre muchos quadrados , á entre mu-

I9

198 Cartas Tísico-Matemáticas
le 4 , y el de E vale 5 , multiplicando 4
por 5 , haremos el paraldogramo que vale
20 , medio proporcional entre B , que vale
16, y E que vale 25 , pudiendo decir : ií:
2o : : 20 : 25 ; pues en ambas partes reyna
la razon de 4 á 5.
N? 292. Si dados dos quadrados, nos
piden otro nuevo, que sea medio proporcional
entre los dos, haremos lo siguiente:
Búsquese una media proporcional entre
los lados de los dos quadrados que nos dieron
A B (Lam. 8. Tig. 10.) , y hallaremos
la línea e , que será el lado del quadrado pedido
E.
Porque si tres cantidades a e b están en progresión,
también lo están los quadrados que
se forman de ellas , aunque la razon sea diferente.
(N. 259.)
Exemplo ^-1:2: 4 , el exponenre o
la razon que reyna en esta progresión es Vy
si hacemos los quadrados de estas raices,
tendremos -^ t : 4 : 16 , cuyo exponente
es 4. Luego si ~ a , e , b están en proporción
, también Jo estarán sus quadrados-^-
A. E. B.
Ve aquí, amigo Eugenio , un resumen
de las proposiciones mas útiles que halle en
la materia de superficies; sé que esto te

zoo cartas Físico-Matemáticas
CARTA SEXTA.
Sobre los sólidos,
S. 1.
De la formación de los sólidos.
- ues me envías á decir , amigo Eugenio,
que has entendido bien Jo que te dixe en I»
Carta antecedente , no dudo que comprehenderas
fácilmente lo que ahora te diré sobre
los sólidos.
En quanto á su formación quiero que
tengas presente Ja formación de Jas líneas
y las superficies ; porque asi como considerando
que un punto se mueve acia alguna
parte , formamos idea de que va formando
la línea ; y considerando que una línea
se va moviendo , puesta de Jado, nos
formamos la idea de Ja superficie, acomodando
á la Imea la idea de sola la longitud,
y a la superficie la de la anchura ó latitud,
asi también
NV 293. Considerando d movimiento
de una superficie (v. g. Lam. 9. Tig. '•)
A M, que va siempre paralela á sí misma,/
de Teodosio y Eugenio. 2 01
hiendo una línea recta A E , haremos la
a de un salido : este sólido así formado se
ana con nombre general Prisma.
N? 294. Si la superficie , que se supo-
Í moverse , es un paraldogramo , como
M (Lam. 9- *k- '•), elsoVt í° ° pWm
¡te forma se llama paralelipípedo , esto es,
fiido comprehendido entre superficies palelas.
., , / '
Si Ja superficie móvil es un triangulo o
%ono (Lam. 9- Fig% 1.) , el prisma que se
forma es triangular , ó poügonico. l
N? 295. Si el plano que se supone que
a va moviendo es O, subiendo un círculo,
«¡sólido que resulta se llama cilindro , como
la (Lam. 9- Fig- ?•) , 1 . _ '
N? 296. Si el plano ó superficie que se,
movió , no solamente va siempre paralelo a
< mismo , sino que á proporción que se
fcueve va disminuyendo por todos los lato
proporcionalmente , hasta acabar en un
Punto el sólido que de aquí resulta ; » «
plano era fieura rectilínea , se llama pirámide
, y si era un círculo , se llama cono.
(ím. 9. Fig. 4.) , , , .
N? 297. El movimiento del plano de-
1 Esta voz poligómco fio conviene i los solios,
porque peU'gonoes figura plana de_muchos
*>guÍM : la voz propia es poliedro . que « un
«*rt* q«e tiení asiento por muchas caras , 6 es un
m¡O0 de muchas superticies.
I
i,
,:l
lh

202 cartas Físico-Matemáticas
be seguir una linca recta , v. g. A E (Lm.>
F 'g- i-) , la qual se llama directriz.
Si Ja directriz se eleva perpendicular so
bre e plano , como en las figuras i, 2,
4 > el prisma , cilindro , pirámide ó cono
llaman rectos ; pero si la directriz se inclin
mas a una pane dc, p]ano & ^ ^ (
solido se llama obliquo , como Ja (Lm. 9
Fig. y. y 6.)
N. 298. Si Ja superficie móvil era urj
quadrado, y ]a directriz ¡ , á ]os ,ado
de este y perpendicular , el sólido se liara
Z¡o C ° m ° h ( Lam - 9- Fig. 7.)
N. 299. El movimiento de un círculo
que anda al rededor de su diámetro, forma
una esfera. (Lam. 9. Fig. $.)
NV 300. El movimiento de un sector ó
de un segmento de círculo , andando al rededor
de su exe, hace el sector ó el scemenrodela
esfera. (Lam. 9. Fig. 9. y ío.)
. JN - 3°i. El movimiento de una superficie
oval, andando al rededor dc su menor
diámetro forma una esferoyde abatida.
(Lam 9. Fig. 1,.) ó chata,
7
N. 302. Pero si anduviere al rededor de
nhln m n? 0r ,r ' ametr0 » haCe Una "fero)^
oblonga. (Lam. 9. Fig. ¡z.)
„•» ?'I 5 °J' , SÍ m P olí g°no regular anduviere
al rededor de su diámetro, hace una
un poliedro, que quiere decir Je muchas
caras ó asientos. El Autor la llama poligó-
de Teodosio y Eugenio. 203
D¡ habla impropiamente , porque el poíno
es figura plana , y el poliedro es

204 ^ cartas Físico-Matcmátkas
mide o' c&tw , siendo paralela á la base, w de Teodosio y Eugenio. 205
plano semejante á ella,
Pero la línea e i (Lam. 9- Fig. 14O P
IV.
er ~
¡ndicular al exe del círculo generante que
» en el centro , siempre es el rayo de
It círculo , igual siempre en todos casos.
N? 309. Luego la sección central de U
rJfM siempre es igual.
En el círculo que por su movimiento
rededor del diámetro engendró Ja esfc
(Lam. 9. Fig. 14.), sc puedeo consideri
muchas cuerdas perpendiculares al diámetr
o exe , cuyas mitades a o , e i son rayoque
andando circulares al rededor de un
ememidad fixa , describen otros tantos cít
culos.
Pero hecha qualquiera sección por ui
plano en la esfera , se puede considerar co
mo un plano perpendicular al diámetro de
circulo generante, formado por la revolu
cion de alguna media cuerda.
N- 307- Luego toda sección m la esfa
es un circulo.
P^o si tiramos en d círculo generante
muchas lineas perpendiculares á su diámetro
o exe, Ja línea que pasare por el centro
níZ 9 ' F f ' 4 ° es k ma '*ima de todas;
Porque es ja única que JJega á la tangente
m 1 n siendo todas Jas demás terminatíigeníe.
CirCm£ercnd * 1 * aparta ele b
*. II.
De las superficies de los primas
y cilindros.
f,r* N llf' Lueg ° m toda En las superficies de los prismas, amigo
^genio , solo se consideran los lados que
Cortan al rededor, con abstracción, ó presidiendo
de las bases. Lo mismo se dice
h los cilindros, prismas, &c.
Pero diximos al núm. 219 , que la superficie
de qualquier paraldogramo recto era
igual á la base , multiplicada por la altura
Perpendicular ; y vemos en la ( Lam. 9- Ftg.
'¡Oque los lados del prisma recto B , extf
ndidos , son los paralelogramos también
rectos A , E, I , O , en los que el circui-
'o de la base a , e , i„ o se multiplica por la
a
¡'ura.
N° 310. Luego la superficie del prisma
adonde U * '"•to (Lam. 9. Tig. 15.) es igual al circuiy^asola
la que paso por el centre es el é**
de la base a, e,\,4, multiplicado por la
máximo, como engendrado por el raye máxtwM
t*d* otra mcmsiráeíuulo menor que ella. 'hura. , , ... ,
En quanto á la superficie del cilindro

206 cartas Físico-Matemáticas
recto D (Lam. 9. Fig. 16.) sabemos que
Jgual , ó se puede confundir con la del pri
ma de infinitos lados ; y así podemos d
cir deja una Jo que de la otra.
> c ularmente á la línea del circuito deja
^C Esta altura de los triángulos también
«•/ 't

2oS Cartas Físico-Matemáticas
se llama apothema.
N? 314. Luego la superficie de Us p'a
mides recta y regular ( compuesta de tríáiigé
como lo vemos en B) es igual al circuito de
base, multiplicado per medio apothema , come
ve en D , o'á todo el apothema B e , múltipla
do por medio circuito de la base i r s.
En la pirámide obliqua é irregular, coj
mo los apothemas son diferentes, no es ta
fácil la reducción; pero se debe hacer sep:
radamcnte la reducción de cada triángulo.
Así como el cilindro se puede confuí
dir con el prisma de infinitos Jados, tam
bien d cono se puede confundir con la P¡
rámide de infinitos lados. Y así Ja supe:'
cié verdadera del cono que se ve en í
(Lam. 9. Fig. ai.) , se puede considerar co
mo si fuese una colección de triángulos di
bases infinitamente pequeñas; pero que junto
igualasen d circuito de la base del cono,;
tuviesen por altura su apothema o i.
N? 31 y. Luego la superficie del cono res
to A (Lam. 9. Fig. 21.) es igual á un f*'
lelogramo N , en el qual el circuito de U i»
tr s t se multiplica por medio apothema , í'
paraldogramo H,en que se multiplica medio rir
Cmo d la
J ^se por todo el apothema.
•N- J16. La superficie de la pírámio
truncada p (Lam. 9. Fig. 22.) se compo" 1
de muchos trapecios , los quales juntos h*
cen la figura B ; pero reduciendo Jos trape
cíos á paralelogramos ( N. 226.) , esto « !
de Teodosio y Eugenia. 209
dicando su altura m a por las medias
tálelas n o, todos ellos hacen un parale-
»¡¡ramo M , cuya base es la media paralede
los trapecios , y cuya altura es el
foihema.
N? 317. Luego la superficie de una pirare
truncada P es igual á un paraldogramo fvl,
)'fase es el ciriuito medio de la pirámide, y
)s dtma sea todo el apothema.
Por la misma razon que confundimos el
Dn
o entero con la pirámide f debemos re-
"ar el cono truncado por una pirámide,
""cada también y de infinitas caras.
Ü? 318. Luego la superficie del cono trun-
* E. (Lam. 10. Tig. 1.) es igual al paralélelo
H. , en el qud la base es el circuito medio
f
'"»n« ai , y la altura iodo su apothema m n.
N? 319. Si al cono entero le quitamos,
""que sea un solo punto del vértice , que-
[ 3r > truncado ; y entonces no merece aten-
' ori la diferencia que solo procede de un
lu l
" o. En este caso se puede reputar el vino
joirio el otro , y discurrir de la superficie
'''uno como de la del otro , y asi redur
'a superficie del cono entero (Lam. 9.
v ü.) á un paraldogramo , cuya base sea
''medio circuito A e , y su altura todo el
'fothema , como se ve en H.
T
'm. mi. O

I
210 Cartas Físico-Matemáticas
§. IV.
De la superficie de la esfera ,y del
segmentos de ésta.
N? ?20. J.-&.SÍ como podemos consid
rar un círculo como un polígono de infii
tos lados , así también podemos confunt
la esfera formada por un círculo , que'
vuelta al rededor de su exe , como una i
feroíde formada por un polígono , que a
da al rededor de su mismo diámetro (1<
10. Fig. 2.)
Por consiguiente para medir la super
cié de la esfera bastará medir la superhc
de la esferoide poligónica , ó poliedro es
roide , no obstante que ésta es de pocas c
ras , por quanto esa misma doctrina se "
ca á la de infinitas caras, y de ésta se P a
í la esfera.
Para medir , pues , la superficie de « s
esferoide haremos Jo siguiente:
Dividamos la esferoide (Lam. IO. F J
en conos truncados, cortándola por las se
ciones e r, s t, &c. ,
Ahora bien , supuesto lo dicho en el P 3
rafo precedente, podemos reducir la í u F eI
I.
deTeodosio y Eugenio* 21.1
ície de cada uno de estos conos truncados
it (Lam. 10. Fig. 2.) , ó S E (Lam. 10. Fig.3.)
i un paraldogramo A (Lam. lo. Fig. 4.) , en
que la circular media sea la basa, y los apotemas
sean las alturas. (N. 318.)
Mas como cada cono tiene su particular
media circular, y su especial apothema,
« preciso que se procure reducir todas esto
líneas á otras que sean de menos confusión
; y para esto
II.
Tomemos uno de estos conos truncáis
e r s t, que componen la esferoide , y
Pongámosle á paite (Lam. 10. Fig. 3.). Tíre-
!e una media paralela por la superficie de
*', la que hará una circular, que debe te-
"er su rayo Ai , que sale de Mu , exe del
cono, y llega hasta A.
III.
Tírese desde el mismo punto A una lííe
a hasta M, centro de la esferoide que se
Sü pone; y con la parte del exe Mi comple-
^mos un triángulo de puntitos MAi,
IV.
Dd punto E , en que termina el apotema
del cono.S E , baxarémos una per-
O2
I '1

312 Cartas Físico-Matemáticas
pendicular E R sobre su base.
V.
Dispuesto todo así, tenemos dos tríí
gulos , uno mayor M Ai, otro rneno
SER.
Para probar , pues , que son semejantes
basta probar que los lados del uno son per
pendiculares á los Jados del otro; por quafr
to la línea M A , que pasa por el centro y
por medio de la cuerda S E, le es perpendicular
(N. 32.) Y ademas-de esto E R c° r
ta perpendicularmente á A i, porque es perpendicular
sobre la base del cono, paraba
de Ai : y últimamente S R continuada va a
cortar perpendicularmente á Mi,por ser parte
del exe. Luego los dos triángulos son semejantes
(N. 178.), y sus lados respectivos
proporcionales ; y así podemos decir : M"
á Ai, como SE a ER.
Pero sabemos que la circunferencia del
rayo A» será á la circunferencia del rayo
AM , como los dos rayos son entre si
(N. 205.); por consiguiente en lugar de l° s
dos rayos podemos poner las dos circunle*
rencias sin perder la proporción ; y así |»
circunferencia de MA es á la circunferencia
de Ai, como SE á ER , y podremos decir
: circ. MA es á la circ. Ai, como $5
es á ER.
Luego multiplicando el primer término f f
de Teodosio y Eugenio. «*3
i último , tendremos el mismo producto , que
duplicando el segundo por el tercero (N.141 •);
y así la circunferencia MA multiplicada por
ER, igual á la circunferencia A¿,muluph-
«da por SE. Pero la circunferencia MA se
diferencia de la circunferencia del círculo
máximo de la esfera á proporción que la
linea MA , que hallamos en la esferoide , se
'diferencia del rayo dc la esferoide : por tanlo,
considerando la esferoide compuesta de
infinitos conos truncados , ó como polígono
general de infinitos lados, podremos^ confundir
la esferoide con la esfera , y la línea MA
ton el rayo de la esfera, la cuerda SE con
«¡arco SE; y la circunferencia de MA sera
lo mismo que la circunferencia del círculo
táximo de la esfera; y podremos decir por
consiguiente: ,
La circunferencia del círculo máximo de la
"fera, multiplicada por la línea ER , es igual
¿ U circunferencia de Ai, multiplicada por SE,
1 ti paraldogramo A (Lam. 10. Fig. 4.) tgual
' B.
Para hacer esto visible pongamos B (Lam.
l0 - Tig. 4.), cuya base es la circunferenci
» del círculo máximo de la esfera, y su
!lt ura la altura del cono , y también el pa-
Melogramo A, cuya base es la circunferenti»
de Ai, su altura la línea SE.
N? 321. Luego si la superficie del cono
* igual al paraldogramo A, también lo es al
h'alelogramo B.

214 Cartas Físico-Matemáticas
Por la misma razon todos los demás]
conos truncados de que se compone la esfe
roide tendrán Ja superficie igual á los paralelogramos
, que tengan por base la circunferencia
del circulo máximo de la esfera, y
por altura las alturas de los conos.
De estas verdades se deducen varias
consecuencias..
I.
N? 324. Divídase este paraldogramo en
quatro paralelogramos iguales d, e, f, g,

2i6 Cartas Tísico-Matemáticas
sea la circunferencia del anulo máximo le
esfera, y su altura la flecha.
V.
Ya diximos que Ja superficie del cilii
dro circunscripto E (Lam. 10. Tig. Q.)e
igual á un paraldogramo B , cuya base fui
se la circunferencia dd cilindro , ó la di'
esfera , que es la misma , y cuya altura fue
se la del cilindro , ó el diámetro de la «
fera. (N. 511.)
de Feodosio y Eugenio.
§• V.
217
De Ja solidez o' valor de los prismas
y de los cilindros.
N? 329. i oda medida , amigo Eugenio
, es una repetición ó multiplicación
de la unidad primitiva , y debe ser dd
mismo género que la cantidad que por ella
se ha de medir ó valuar ; y así si quere­
Luego el mismo paralelógramo Brecho, mos medir líneas, esto es , distancias o lon­
la circunferencia del urculo máximo de la esfii gitudes , la unidad debe ser línea ó distan­
y su diámetro , medirá U superficie de la tsf» cia pura , como palmo , vara ó legua : pe­
A , y la del cilindro circunscripto E ; }' así p" ro si queremos medir superficies ó arcas,
demos decir:
la medida debe ser superficie , v. g. palmo
N° 328. Luego la superficie del ciím¿<
quadrado , vara quadrada , ó cosa semejan­
circunscripto es igual ala de U esfera ( Larn. i« te : por último debe significar superficie o
Fig- °0 , y por consiguiente será igual á t»& «pació. ,
circuios máximos.
Finalmente si queremos valuar sólido o
Ya se dixo arriba de la superficie de (volumen , esto es , cosa que tenga las tres
prismas y cilindros , que solo se atendía i 'dimensiones de longitud , latitud, y profun­
superficie que Jos rodea , prescindiendo * didad ó altura , la unidad debe ser también
las dos bases superior é inferior. Por consi­ Un sólido que las tenga , v. g. palmo cubico,
guiente , si contamos la superficie total de Pulgada cúbica, ó cosa semejante.
cilindro circunscripto , sera igual á seis efr NS 330. Ademas de esto diximos en la
culos máximos, siendo la superficie &• multiplicación de una línea por otra para va­
esfera igual á quatro solamente.
luar las superficies, que la línea móvil no se
consideraba como línea matemática sin cuerpo
, sino como una serie de partes ó unidades
quadradas, que se multiplicaban por

218^ cartas Físico-Matemáticas
el numero de unidades que se consideran en
la linea directriz. Así también quando se
quiere valuar el volumen de Jos sólidos, no
se ha de considerar la basa móvil como um
superficie matemática sin grueso alguno, sino
como una cantidad de unidades sólidas,
que puestas unas al lado de otras, ocupan
la base, y esta colección de unidades, que
forman el primer orden de ellas , se debe
multiplicar por el número de unidades que
se cousideran en Ja altura, haciendo de éstas
vanos ordenes, como que todas llenan el espacio
del sólido.
En esta suposición , para medir el volumen
de qualquier sólido , debemos valuar
primero su base, y después multiplicarla por
el valor de la altura, lo que dará el valor
del prisma.
, P °"S^? S P or «emplo la (Lam. 10. Ti¡.
10.) bl solido A tiene en la anchura quatro
veces la de B, que le sirve de medida : tiene
de profundo dos veces el sólido B: Luego
multiplicando 4 por 2 , tenemos que la base
de A esta compuesta de ocho veces B; p" 0
A tiene tripe altura de B, y así es preciso
repetir tres veces Jas ocho medidas B, q««
se hallan en la primera orden de A ; y *•
para formar el volumen de A son precisos
24 volúmenes de B.
N? 331. Luego para valuar qualquier pris­
de Teodosio y Eugenio. _ 219
M y profundidad ; porque multiplicando
longitud por la latitud , tenemos la base;
después , multiplicando la base por la probidad
, tenemos el volumen : Luego mulplicando
las tres dimensiones, sabremos el
¡lor del sólido. _
Advierto que podemos considerar qual-
«'lr lado del prisma como si fuese base,
alocándole sobre él , y así podemos vai«el
modo de multiplicar estas tres diruen-
¡"Hes, y siempre tendremos el mismo prometo
24, porque podemos decir como ar-
4 x 2 = 8 , X 3 — 2 4>
de este modo: 4X 3 =12,X 2 = 24,
también: 3x2 = 6,X4— 2 4>
1 lee de este modo: 4 multiplicado por 2,
igual á 8 , y este 8 multiplicado todavía
í°r 3 , es igual á 24.
Asimismo advierto , que si la base del
Purria fuere paraldogramo obliquángulo,
r ° se debe multiplicar el un lado de esta
I 10 ' el otro para valuar la base , sino un laio
por su perpendicular , como diximos al
"ta. 221 , reduciéndole á rectángulo , y
^Pues este paraldogramo reducido á rec-
; %ulo , multipliqúese por la altura- perpen-
W. , ,
ma recto , cuya base sea un paraldogramo recto, N? 332. Luego si la base de uno o de
bastará multiplicar las tres dimensiones longitud ""ehos prismas fuere igual á la del otro, y su
^"ra la misma, el valor será el mismo.

22o ^ ^ cartas Físico-Matemáticas
Diximos que el triángulo tenia la mita
del valor dc su paraldogramo (N. 21$
Luego quando quisiéremos valuar la ba!
de un prisma triangular (Lam. 10. F¿?. tu
bastará contar con la base del prisma '
que sea un paralelepípedo, y contar solamcn
la mitad de la base para multiplicarla por s
altura. , ,'..-
N. 333. Luego el valor del prisma trim
guiar F es la mitad del valor de su paralelewei
correspondiente G.
Los polígonos diximos que se podían di
vidir en triángulos, por consiguiente Jospris
mas multiláteros, divididas sus bases en crir'n
gulos, y continuadas estas divisiones des*
una hasta otra base , quedarán divididos el
prismas triangulares: por consiguiente pode
mos decir de los unos lo queseábamos dc
decir de los otros.
N. 334. Luego para valuar los prmultiláteros
hemos de multiplicar el valor de sl¡
bases por su altura perpendicular.
Hemos dicho muchas veces , que el car*
culo se puede confundir con el polígono,
considerándole como uno dc infinitos 1»'
dos : de lo que se infiere , que podemos conc
"J J 1 lindro con un prisma de una infinidad
de Jados , y proceder en la valuación
del cilindro, como en el valor de l° s
prismas.
N? 335- Luego valuada la base del cilindro
, y multiplicada por la altura , teue"""
su valor.
de Teodosio y Eugenio. 221
N? 336. Luego si las bases de muchos
hiros fueren iguales á la de uno solo , y
1 iltura fuere la misma , el valor será el
mío.
N? 337. Luego si la base de uno o'mato
cilindros fuere igual á la de uno á muprismas
, y la altura la misma , el valor
iie ser el mismo.
§. VI.
De la comparación de los prismas y cilindros
rectos con los obiiquos.
diximos que el paraldogramo rectángulo
fl igual al obliquángulo , quando los dos
:o ¡an la misma base y la misma altura.
N« 220.) Ahora para saber si también el
"iaria recto y el obliquo son iguales quanio
tienen la misma base y altura, convie-
16 hacer lo siguiente (Lam. 10. Fig. 12.):
Pongamos un paralelepípedo recto A, cubase
sea un rectángulo , y divídase la al-
1^* en partes iguales por secciones paraléis
la base.
, I

!•
222 Cartas Físico-Matemáticas
n.
Pónganse estas partes unas sobre otra
no á plomo, sino en Ja forma que se i
presentan en E.
III.
Tírense dos líneas desde las extremid
des de la base m n hasta o i, y córtense, s<
gun la línea m o , todos los prismas triangu
lares que hay desde m hasta o , para po
nerlos por la otra parte desde » hasta i,«
mo hicimos , hablando de Jos paraldogn
mos (N. 219.) (Lam.

224 Cartas Tísico-Matemáticas
§. VIL
De la comparación de las pirámides
y conos rectos con los obliquos.
Sutcx quanto á las pirámides podemos con
siderar primero (Lam. n. Fig. 2) un sólido
piramidal A , compuesto de varios prismas
de igual altura, y de bases semejantes, cuyos
lados homólogos van disminuyendo en progresión
aritmética, y se ponen á plomo unos
sobre otros.
Consideremos ahora que vamos sttcesivamente
apartando acia un lado estos mismos
prismas , ú otros iguales , huyendo siempre
del plomo , como en B , y siguiendo
una línea directriz , inclinada á la base, lin
este caso es evidente que en A y en B , f°
solo son iguales la base y la altura, sino q" c
también lo es el valor.
Ahora bien , podemos con la consideración
aumentar quanto se quiera el número
de los prismas , y disminuir la altura de
cada uno de ellos ; y quanto mas se disminuya
esta , mas se llegarán estos sólidos
á las pirámides que im'itan. Siendo siempre
verdad , que quando la base y altura
son iguales , serán compuestas de los ruamos
ó iguales prismas , bien que puestos
de diferente modo; y por consiguiente f[ uC
de Teodosio y Eugenio. 22$
1 igual el valor de los sólidos : de este
Jodo podemos confundir estos solidos pi-
«midales con las pirámides , y decir de
d» lo que acabamos de decir , que siendo
base igual , é igual la altura , el valor seú
igual.
N? 342. Luego las pirámides que tienen
IMUW y la altura iguales , sen iguales en el va-
I». (Lam. 11. Tig. 3.)
Los conos se pueden comparar á las píxides
de infinitos lados.
N? 343. Luego los conos de la misma base
Ultura son iguales. •'
Si una pirámide se dividiera desde el verilee
hasta la base , en lugar de una tendríais
muchas, y todas juntas igualarían el va-
*r dc la total.
N° 344. Luego quando las bases de mui«
pirámides fuesen iguales á la de una sola,
)'» altura fuese la misma , el valor sena el
N° 345. Luego quando las bases de mu-
*» conos fuesen iguales á la de uno solo , sienk
U altura la misma , seria ti mismo el valor,
P°r la misma razón.
tom. VIH.

226 Cartas Físico-Matemáticas
§. VIII.
Modo de conocer el valor de las pifi\
mides y de los conos,
¿ara conocer , amigo Eugenio , el vald
de los triángulos , diximos que bastaba cd
nocer el paraldogramo que les correspori
dia , y del qual el triángulo es solamenj
la mitad. Pero no sucede así en las pirami
des , respecto de los prismas: para conocd
el valor de la solidez de ellas haremos 1J
siguiente (Lam. n. Tig, 5.):
I.
Tomemos un prisma triangular recto
y del ángulo e tiremos dos diagonales por loj
dos lados e r, e s , y cortemos el prismal
siguiendo esas líneas: de este modo qu ea ]
separada la pirámide A, cuyo vértice estí
en í ,• y la base.es Ja misma del r o s, siendtj
su altura e o, que es también la del prisma-'
ir.
Separemos esta pirámide A , queda e
prisma antiguo mutilado , y hace la fig ura
que vemos en B: entonces podemos arrojar
sobre la mesa este cuerpo B; de forma, q uC
de Teodosio y Eugenio. 227
¿paralelógramo a r m s sea la base de quats
lados, y el punto e sea d vértice de una
¡cámide de quatro lados.
III.
Tírese en la base de esta pirámide B una
íigonal a s, y desde el vértice e dividamos
¡"pirámide de quatro lados en dos triangules,
siguiendo la dirección de la diagonal,
! tendremos las pirámides C y D.
Estas dos pirámides tienen las bases igua-
¡'s entre sí, porque cada una de ellas es mih

228 Cartas Tísico-Matemáticas
se sigue que las tres pirámides A C D, i
que el prisma triangular recto se dividí
son ¡guales.
N? 346. Luego el prisma triangular re
t« tiene el valor de tres pirámides , que ten$
la misma base y altura que él.
Pero todo el prisma que no fuere recti
se puede reducir á uno'que lo sea, y teñí
la misma base y altura , como también I
pirámides : por consiguiente podremos dec
de todos Jos prismas triangulares obliqm
lo que diximos de Jos rectos.
N? 347. Luego toda la pirámide trk
guiar B (Lam. 11. Tig. 7.) solo vale el tere
del prisma A, que tenga la misma base y d
tura.
N? 348. Luego toda la pirámide trim
guiar es igual á un prisma C de la mismA h
se , y de la tercera parte de su altura. (Lt*
11. Fig. 7.)
kl cu de Teedosio y Eugenio. 229
«dónalas desde d mismo ángulo I, que son
l,Ifvl , 1N , }' dd mismo ángulo I tiremos
ica diagonal , que pase por el centro del
libo, y vaya á parar al ángulo opuesto O:
ipor estas diagonales se hiciere la división,
tadrémos una pirámide quadrilátcraH, cuto
vértice caerá al ángulo de las diagonak
I, y cuya base es la base dd cubo m , o,
1, e, esta es la primera pirámide.
Tenemos otra , cuya base es el lado postor
R , T , O , N , y cuyo vértice viene
¡estar en el ángulo de las diagonales 1.
La tercera pirámide tiene por base la cali
lateral S , R , M, O , que no se ve , y el
'cruce está en el ángulo de las Diagonales I.
Ahora , pues , como todos los lados en
ti cubo son iguales y semejantes , y todos
¡»s ángulos iguales , se sigue que todas estas
pirámides tienen base igual y semejante , como
también la misma altura: por consiguien­
bo (Lam. 11. Tig. 6.) es un prisma te todas son iguales y semejantes.
cuya división en pirámides tiene una propio N? 349. Luego el cubo se divide en tres
dad singular , porque se divide en tres pi« Remides iguales y semejantes , cada una de la
mides ¡guales y semejantes , Jo que no su
cede en ninguna otra especie de prismas.
*sm base y altura del cubo , y cada pirámide,
'«»7«e de la misma base y altura del tubo, solo
£1 cubo tiene seis lados : tres se repre « la tercera parte de él.
sentan en la estampa , y Jos otros tres opues Para examinar qué proporción tiene un
tos que no se ven , se suponen : uno qu< Prisma multilátero con la pirámide de la mises
la base M , O, N, £, otro es el lado p"« "oa base y altura (Lam. 11. Tig. 8.) , divi­
tenor R, T , O, N, otro es la cara del lado damos así d prisma multilátero , como tam­
S , R, M, O.
ben su pirámide de la misma base y altu-
En los tres Jados que se ven tiremos tres r> en prismas triangulares, y en pirámides

I
230 Cartas Tísico-Matemáticas
triangulares. Esto hecho, cada pirámide sei
el tercio de su prisma por el núm. 347. Lúe
go la suma de las pirámides , ó Ja pira'rni
de total B será el tercio de la suma de lo
prismas , esto es , será el tercio del prism
total A.
r
N? 3 jo. Luego la pirámide multilíta
B es igual aun prisma C (Lam. 11. Tig. 8
de la misma base , y de la tercera parte di
tura.
r
Supuesto Jo que hemos dicho acerca di
poder confundir d cilindro con un prism
de infinitos lados , y el cono con la pira
mide correspondiente , podemos inferir:
N. 3 j 1. Luego el cilindro A vale tres ¡o
nos B, de la misma base y altura del cilindro
(Lam. 11. Fig. 9.)
?" I 52 Lüeg ° H cono B vale m edl "
Tírese una línea indefinida N I (Um. u.
droQ ,de la misma base , y de la tercera psrie
de la altura del cono.
H. ,0.) u_
IX.
Del valor de la pirámide y cono
truncado.
, *?* 3 53* V-»omo Ja pirámide truncada
A (Lam..¡i. Fig, ,0.) es una pirámide
entera , menos Ja pequeña pirámide e , para
conocer el valor de Ja truncada es preciso
valuar la totaj, y después valuar Ja peque-
deTeodosioy Eugenio. 231
i imaginaria e , para descontarla dc la toi!,
y el resto será el valor de la pirámide
•encada.
Del mismo modo , como el cono trunido
B es un cono entero , menos la parte
(líese supone cortada r (Lam. 11. Tig. 10.),
íiluado el total, y descontado el cono imapiario
r el resto será el valor del cono
tacado B.
N? 354. La dificultad está en conocer
¡w el cono truncado quál seria la altura
fe! cono , si estuviese entero ; para lo que
tamos lo siguiente, y es una operacfo» qú»
* puede aplicar á la pirámide.
I.
Señálese en esta línea la altura del cono
'fincado N 0.
III.
•
Póngase en N el rayo de la base infe-
>ior del cono N S, y en o el rayo de la
W superior o i, siend o ambas líneas perradiculares
á N I.
•
. I
I I

2J2 Cartas Físico-Matemáticas
IV.
Baxemos de i una paralela i No.
V.
Tiremos por las dos extremidades de iqj
radios i s una obliqua , que irá á cortar I
indefinida en I.
Esto hecho, las dos paralelas o N, <
hacen que sean semejantes Jos dos triín¡>u
los.» IJ, NI SÍ y así», áNS, com
n t á Ni. '
Esto es, la pequeña base es í Ja gran
de como Ja pequeña.altura es respecto d
la grande. En esta proporción Jos tres pri
meros términos son conocidos , porque n
es el exceso dd radio de la base inferió.
W í) , sobre el radio superior o i. Tambic
es conocida la línea N S, radio inferior. Tam-
de Teodosio y Eugenio. 235
m truncado es á la altura del entero.
§. X.
Del valor de la esfera.
N? 357. Consideremos la esfera dividida
muchas veces , mas siempre por el ceiv
¡:o,.y quedarán muchas pirámides, cuyas
bases juntas hacen la. superficie dc la esfera,
cuyo vértice será el centro ; y la altura sera
el radio de esra misma esíera. (Lam.. ti.
I/M Conocída % i»-) ,
De este modo la esfera A es una colección
de estas pirámides, unidas por sus lados.
Pero como la superficie de la esfera A
«s igual á quatro círculos máximos por el
»úm. 325 , si en lugar de esta colección de
rh'mides ,'que componen la esfera , ponemos
quatro conos (Lam. n. Fig. 12. ) , ca­
» ' , altura del cono : Lueda uno de los quales tenga por base un cirgo
hallamos N I , aJtura de] cono totaI> y culo máximo , y por altura el radio de la
asi será también conocida Ja Jínea o I , altu­ «fera , el valor de estos quatro conos sera
ra del cono imaginario r , el qual si fu«« igual a'l de la colección dc pirámides que di­
verdadero , seria complemento del total. urnos (N. 343O , ó al de la esfera.
«• 3 5 J- Luego dado qualquier cono trun­ Estos conos B son iguales á quatro cicado
, en conociendo los radios de ¡a base infelindros
D (Lam. 11. Tig. 13.) de la misma
rior y superior , y /,, altura del cono truncado, base y de la tercera parte de la altura dc
haremos esta proporción.
•os conos. ( N. 352. ) Por consiguiente tam­
N. 356. La diferencia de los radios es, bién la esfera será igual á quatro cilindros
respecto del radio grande, como la altura dd 1>, siendo la base de cada uno un circu-
,

234 Cartas Tísico-Matemáticas
lo máximo, y la altura, un tercio del n
dio ; pero estos quatro cilindros D , pueí
tos unos sobre otros, hacen un cilindro
cuya base es un círculo máximo , y cuyj
altura es la de los quatro juntos , esto v.
quatro tercios de radio , ó dos tercios d)
diámetro. ,-^
N? 358. Luego la esfera también eti^u.
á un tilindroE (Lam. 11. Fig. 13.)» "9* M
se sea un circulo máximo ,. y cuya altura sel
quatro tercios de radio , o dos tercios de ¿i*¡
metro.
Pero los quatro cilindros D de la figura
M tienen la misma base que Uno solí
(Lam. 11. Fig. 14.) , cuva base sea un círculo
que tenga por radio el diámetro de li
esfera , y la altura misma de un tercio di
radio.
N? 359. Luego la solidez de la esferal
también es igual á un cilindro? , cuyo radio seA
ti diámetro de la esfera', y su altura un teM
del radio de ésta.
También los quatro conos B de 1»
(Lam. 11. Tig. 12.) son iguales á uno solo
G de la (Lam. 12. Tig. 1.) , cuya altura sea
el radio, y cuya base sea un círculo,

236 Cartas Físico-Matemáticas
misma razon que ellas tenian ; y tambi
diximos al num. 293 , que en la formaci
del prisma se multiplicaba la base por la
tura; y así quando la misma base se muí
plicare por alturas diversas , los prismas si
rán como las alturas.
N? 362. Luego ¡os prismas de la mis»
base son entre sí como las alturas; y por esl
(Lam. iz. Tig. 2.) Jos prismas A, B están
razón quadrupla , porque esta es la iaz<
de sus alturas.
También diximos al núm. x 3 2 , q 11
quando dos cantidades se multiplicaban [>"
una , quedaban entre sí en la razon que a'n
tes tenían : y así diversas bases multiplicad- 1
por la misma altura , se quedan entre sí c°
mo estaban antes. .
N? 363. Luego los prismas de la w«« ;
altura san entre sí como las bases; y de est
modo (Lam. 12. Tig. 3.) A, B están entre ¡
en razon triple , porque sus bases tienen en
tre sí esta razon.
N? 3 64. Luego quando la altura es iM
sa, y tambicn es diversa la base , los ptism
están entre sí en razón compuesta de la r«*» f
de las bases , multiplicada por la razon ¿ l ^
alturas. (Lam. 12. Tig. A.,)
Por quanto si la altura de A y B nies (
la misma, y la base en B fuese quadrupl" ¿?
A , por solo esto B tendria quatro veces e
valor de A. Supongamos que ponemos encima
de B otro cuerpo semejante B para q u(
de Teodosio y Eugenio. 237
.él fuese dupla la altura de A; esta según*
¿porción superior B sena igual a la in eiii
y por esto tendria en si misma quatro
«es el valor de A : por consiguiente el
;

258 Cartas Tísico-Matemáticas
1:8, porque la razon de las alturas es
y la de las bases es 4 : Luego la razon
las pirámides es 8 , ó 2 X 4.
II.
Ademas de esto como los cilindros
confunden con los prismas de infinitos 1
dos, ó son como prismas de infinitos lado!
podemos decir:
de Feodosio y Eugenio. 239
Luego los conos de la misma base están enhiá
como sus alturas.
Luego los conos de diferente base y diferen-
J Atura están entre sí en la razon de las bases,
lüii;JtouU por la de las alturas.
$. xn.
N? 368. Luego los cilindros de lo misil
altura están entre sí como las bases (Lam- l>
Tig. 8.) ; y así A : B : : 1 : 4 , porque las
ses están en esa razon.
Luego los cilindros dc la misma base e¡Um
• ......,..,,...
entre sí como sus alturas (Lam. 12. Fie. ^•M i I De la razon que tienen entre si los
sólidos semejantes,
r 1
lía diximos en su propio lugar, que los
tóaos se formaban por el movimiento de
lana superficie j y que de la diversidad de
r
superficie
,- . _.¿..:i
móvil
A
o
-»„.*««fí
generante
tantamente
juntamente
así E : F : : t : 2 , poiqUe csta es % ,32oB«n la diversidad de la linea que: dirige^ el
Movimiento , y * llama directriz , nacían
en que están sus alturas.
1¡ diferentes especies y calidades de solidos.
Luego los cilindros de la base diversa,) i
diversa altura están entre sí en la razón de U
Ahora decimos, que quando las super-
bases, multiplicada por la de las alturas (LaiuAdes
generantes son semejantes, y semejante
Fig. lo.).« y así A : B : : 1 : 8, porque las ba |>« movimiento, en tal forma que los anguses
son como 1 : 4 , y Jas alturas como 1 • • *« sean iguales , y todas las líneas en pro-
Luego los cilindros son . como 1 : fircion , los sólidos que de aquí resultan se
es, como 2X4.
Wn solidos semejantes.
Se dixo que los paralelogramos , tnángu-
III. .
«, y demás figuras planas que se torman
¿
t ellos estaban en la razon compuesta de la
Como los conos son los tercios de los 'iton de las bases , multiplicada por la razon
cilindros, debemos decir:
«t las alturas de la figura plana.
N? 369. Luego los conos de la misma al­ Pero los sólidos , como acabamos ele de-
!
tura están entre sí como sus bases. ¡r, están en razo* compuesta de la razon

240 Cartas Tísico-Matemáticas
de las superficies , que les sirven de basl
multiplicada por la razon de las líneas, qil
les miden su altura ;y de este modo los su
lidos están entre sí en una razon compuesj
ta de tres, esto es, de dos. razones que hal
en la base generante , y otra en las altura
del sólido.
N? 370. Luego la razon de los prisma
entre sí es compuesta de tres razones , dos

1
242
Cartas Tísico-Matemáticas
XIII.
De la proporción que se halla entre
valor de la esfera y el del cilindro, cub
y cono , que tuviesen la misma altura
y profundidad de la esfera.
N? 377. JUlamamos cilindro circun;
cripto á la esfera á aquel que tiene por
se un círculo máximo dc la esfera, y P°|
altura su diámetro (Lam. 12. Fig. ll>)\
por consiguiente toca á la esfera por el p ul
to superior, por el inferior , y por el cii
cuito.
Acabamos de decir en el núm. 358,0,"
la esfera A es igual al cilindro , que tien
por base un círculo máximo, y por ahur
dos tercios del diámetro , y que el cilindr
circunscripto B (Lam. 12. Fig. 11.) tiene
misma base del cilindro L (Lam. 12. Fig. i-h
y tres tercios del diámetro por altura. l üt
go estos dos cilindros B , L (Lam. 12. Fig- '
y 14.) son entre sí como las alturas , esto
como dos tercios á tres.
N? 378. Luego también la esfera A(W
12. Fig. 11.) es á su cilindro circunscripto
como dos á tres ; esto es , si la esfera pesa 2
onzas , el cilindro pesará 33.
Vale , pues , la esfera dos tercios o'
cilindro circunscripto. Pero el cono que tü
de Teodosio y Eugenio. 243
*iere esa. misma base y esa misma altura del
cilindro, vale solamente una tercera parte
• él ; esto es, si el cilindro B pesa 3 3 on-
Ss, el cono C (Lam. 12. Fig. 12.) pesará sois
11.
N? 379. Luego el cono (Lam. 12. Tig. 12.)
tiene por base un círculo máximo de la esfe-
",y por altura su diámetro , vale la mitad de
^esfera; de modo, que si la esfera vale 22,
icono valdrá 11.
Y así el cono C que tuviere por base
"n círculo máximo , y por altura el diáme-
"0 ae la esfera , es igual á medía esfera , ó
hemisferio D. (Lam. 12. Fig. 12.)
N? 380. Luego el cono, la esfera y el cikdro
que tienen la misma altura y profundidad,
•'«1 como 1,2, 3 , o'como 11, 22 , 33 (Lam.
ü. Tig. 15.).
Quanto al cubo circunscripto (Lam. 12.
í?. 13.), si le quisiéremos comparar con
kesfera , dividiremos la dificultad, é iremos
dando solución poco á poco.
N? 381. Lo primero comparemos la es-
W, ó el cilindro L su igual (Lam. 12.
% 14.) con un prisma M de la misma al-
'"ra , esto es, de dos tercios de diámetro,
°c¡uatro tercios de radio. Mas siendo la a!-
'"ra la misma , solo se halla la difercncii
e
" las bases F G, y ésta , como diximos al
filero 267 , es como 22 á 28 , esto es,
|°rno la circunferencia á quatro diámetros.
Miego si el cilindro L , ó la esfera que le
Ift

244 Cartas Tísico-Matemáticas
es igual pesa 22 onzas, el prisma M pisará
28.
N? 382. Comparemos ahora este pns J
ma M con el cubo circunscripto N , comol
ambos son de la misma base , toda la dire-j
renda está en la altura; pero teniendo el cu-I
bo tres tercios de diámetro por altura, yi
el prisma solamente dos , si el prisma M va-I
le 4 diámetros, ó 28 , el cubo debe valer 61
diámetros, ó 42 ; y por consiguiente, corn-|
parando la esfera A , ó el cilindro L sul
igual con el cubo N circunscripto , será co-j
¿o 28 á 42 , ó como la circunferencia a
diámetros.
N? 383. Luego los quatro cuerpos
• N? 384. -¿"SLSÍ como arriba considera-
Baos la esfera dividida en pirámides , cuy 01
vértice común era el centro , podemos dividir
ahora el sector en muchas pirámide 5 »!
cuyo vértice común sea el centro, y cU "¡
yas bases, hagan la superficie convexa o t]
de Fcodosio y Eugenia.
2 4?
I mor. (lam. 13- F 'S- l ^ • ,—
Ki 385. Luego el sector es igual a mu-
\us pirámides juntas, cuyas bases bagan lasu-
' ir&cí , y cuya altura sea el radio. Ya se: dixo
/núm. 346 , que cada pirámide valia un
tercio de su prisma correspondiente , y era
$ual á su base multiplicada por d tercio
is la altura del prisma.
N° ?86. Luego el sector Z (Lam. rj.
%. 1.') es igual á un prisma B , cuya base^ sea
•» paralelógramo igual á la superficie convexa del
I mor , 7 cuya altura sea un teru» dd radio de
I4 esfera, , , , 7
Pero la superficie convexa dd sector ¿,
rjue es la misma del segmento , ya diximos
Unúm. 327, que era iguala W parakio-
pertenecen á la esfera en el modo arriba «M
gramo B , cuya longitud tuese la circunte-
cho (Lam. 12. Tig. 15.) , esto es , el cono,
liencia del círculo máximo de la estera , y
esfera , el cilindro y el cubo están en esta f
su altura la flecha. (Lam. l 3- *ig- M
porción 11 , 22 , 33 ,42.
i Una» el valor de L , sector de la esfera,
§. XIV.
U k*al°á un prisma B, cuy* longitud seo la
Cc'unferemU de la esfera, y su anchura la Jle-
Del valor del sector , y del segmento^ U«, y su altura m tercio dd rali*(lam. 13de
la esfera.
I % 1.). , .
N° 387. Para valuar el segmento cíe ia
tsfera '(Lam. 13- Fig. 2.), después de hallado
d valor dd sector 13 , bastara cortar todo
el cono K , }' sabido d valor de este coló
, d resto será el vak-r dd segmento M.
Pero el cono ÍC ya diximos que era
igual á un cilindro de la misma base , y

246 Cartas TÍsico-Mátemáticas
y también habíamos dicho que el círculo
de la base de este cono se podía reducir i
un paraldogramo, que tuviese por longituó-
Ja circunferencia de él, y por altura medio
radio (N. 232.).
N. 388. Luego haciendo un prisma?, cu­
de Feodosio y Eugenio.
§. XV.
247
W modo de valuar el prisma recto
truncado.
ya longitud sea la circunferencia del cono , 7 su
latitud medio radio de su base , y la altar* el N° 391. .Llamamos prisma truncado
tercio de la altura del cono, se conocerá su va­ lodo aquel que sea cortado irregularmente,
lor.
»mo A (Lam. 13- Fig. 3.).
N? 389. Luego el valor del segmento ti Para simplificar la doctrina hablaremos
(Lam; i}.Tig. 2.) es el valor del sector Z (Lam. fe prisma triangular, porque todos los otros
13. Tig. 1.) , m¿nos e¡ del cono K.
"pueden reducir á triangulares.
N? 390. Luego el valor del segmento H Tiene , pues, el prisma triangular A tres
es igual al del prisma B de la (Lam. 13. !%• «quinas desiguales , y para reducirle á un
I. ) , quitando de éste el valor del cono K, tf« ?risrna regular , capaz de ser valuado , se
es el de otro prisma P (Lam. 13. Tig. 2.) , Y hará lo siguiente:
de _ este modo el segmento H será igual al
soiido; y la razon es , porque así como jun­
I.
tando o sumando el cono K con el segmento
H , tenemos el .sector Z , así también
juntando el prisma P:, que tiene el valor del
cono K, y añadiéndole el sólido y , en donde
entra, se formará el prisma B de la (--*•
x
3- *%• -•) igual al sector Z.
N? 392. Tiraremos del ángulo sólido o
dos diagonales om , on : consideraremos corada
esta pequeña pirámide, cuya base man
* la base dd prisma , y cuyo vértice está
(
n o, abaxo ponemos en E esta pirámide.
II.
Separada la pirámide E , queda el resto
o, que es una pirámide irregular de quatr
o caras , cuya base es r s m n, y cuyo
vértice está en o, y en esta base s r m n po-

24 8 Cartas Físico-Matemáticas
demos tirar una diagonal m s.
III.
Podemos considerar una división desd
el vértice o , buscando siempre la diagon:
m s y dividimos esta pirámide quadrilíter
en dos triangulares, las que podemos sepa
rar una C, cuya base es r s m , y su vértic
está en o ; otra D , cuya base es m s n , y si
vértice esta en o , las quales, s¡ se juntan
vuelven á hacer el sólido B; y poniéndola
encima la pirámide E , qucda fürraado c
prisma truncado A primitivo.
De este modo se conoce que el prisma
truncado A se divide en tres pirámides E;
Como estas pirámides son desemejantes,
y nada tienen común , veamos si reducimos
, L y , a „ olr « 'S uaies » que tensan Ja misma
base de E , qlle vicne á ^ ¿ ^ .^
primitivo A; pues de este modo será mas
fac.1 hallar el valor de las pirámides y del
prisma que se dividió en ellas,
IV.
N. 393. Hagamos después dos pirámides
imagmanas F G , cuyís basas sean como
la de Ja pirámide E; esto es, la del prisma
primitivo A , y demos á F la altura
dd prisma en la esquina r m, y á la p¡-
de Teodosio y Eugenio. 249
m¡de G la altura del prisma en a esquían.
Teniendo la pirámide E la altura dd
|¿ma en a o , tenemos con esto tres piranides
todas con la misma base dd prisma,
(cada una tiene por altura una esquina
si prisma , a o será la altura de E , r m
1 de F , y s n la de G. -
V.
Veamos ahora siestas dos pirámides imabarias
F,G valen tanto como las ve.cla-
¿ras C , D , en que el prisma se dividió.
Quanto á C , esta tiene el vértice en o , y
be por base el triángulo m r s. Pero la
Pirámide imaginaria P , si la sobreponen en
fl triángulo mrn, tendrá ese triangulo por
W : para comparar , pues , estas dos ba-
* ó triángulos mrs,mm, busquemosbs
en d prisma A, y veremos que el trian'
Salo s rm ,ór nm son iguales , porque
6tan entre las mismas parakias por el numero
224. Luego el triángulo r s m , base
k C , es igual Im'm, base de F : veamos
iflora la altura de estas dos pirámides t- > r.
C tiene el vértice en o , y P en a 5 pero mi-
"ndo bien el prisma primitivo A , se aayer-
«e que o v a están en la misma paralela: luego
las pirámides C y F tienen base igual y
Mura igual, por consiguiente son «laies..
Vengamos ahora á las pirámides G , W«
Para ver si también son sus jpales entre «.
I •

2so cartas Físico-Matemáticas
Pongamos la una y la otra, de suerte, qu
tengan por vértices en G el punto a , en .
el punto o , ambos por la misma esquina ,i.
del prisma A , que ya vimos estaban en I
misma altura.
Quanto á la base de D , es el triángult
m s n del prisma A ; la base de G es el mis
mo triángulo nuil del prisma A : lueg<
D, G tienen la misma base, y los vértice;
estan_ á Ja misma altura ; y así la pirámide
imaginaria G es igual á la pirámide verdadera
D.
r
«? 35>4- Luego el prisma truncado es igM «puede dividir por una sección rec a y
* las tres pirámides E , F, G , que tienen por ices las dos nuevas superhc.es «ie 1 a sec
bases la del prisma truncado , y por alturas U¡
k pueden servir de bases rectas dc los dos
tres esquinas de éste.
Pero estas tres pirámides (Lam. 15. Tig.4-)
se reducen á tres prismas de Ja misma base
del truncado A , y de una altura que sea
un tercio del de las pirámides, ó un tercio ÜSS^r*» % ViS
dc las esquinas del prisma A ; y así los prismas
B , C, D sen iguales á las pirámides
E , F , G , que se corresponden á plomo en
Ja lamina.
N? 395. Luego d prisma truncado A
( lam. 13. Fig. 3.) es igual d un prisma entero
A (Lam. 13. Fig. 4.) de la misma base, cuya
altura sea la suma de las terceras partes de
las tres esquinas dd truncado; y así el prisma
truncado es igual al prisma entero A, compuesto
de los prismas B , C , D.
Si el prisma no fuere recto , córtese
de Feodosio y Eugenio. *J«
Id medio con una sección P^noMcuí
las esquinas , y quedará dividido, ea
as rectos truncados , y sabicmos
les pnsm
alar su valor.
§. XVI.
ftfc de valuar el volumen de los cuerpos
irregulares.
K? 396. Q--iq«¡« cue . r P° ¡2f*J
'Oá estas ya las sabemos hallar su valor.
Para abreviar la operación pernos a -
finas recias , que nos dispensen de llegar
Clauca división de los prismas trian-
Mares truncados.
I.
MO ,07 Sea un sólido como el de la
Fi, N 5-de 9 irLan,t5:subaseEAOQSea
l

252 cartas FÍsico-Matemátkás
un paraldogramo, sobre cuyos quatro
gu.os se levanten perpendicularmente quar
esquina desiguales E S , A I , P Q , 0
el lado E O SR esté cortado de roí m:M
se termine en I : el lado O Q. R P corte
también de forma-, que se termine en
Aquí tenemos un paralelepípedo inepta
mente truncólo : supongamos , pues, qt
es preciso saber su valor.
U.
.nnf T,Vem ° S en k ba5e ,a fámrbl A O,
conforme a esa diagonal hágase una secc¡«>
5H« f s q ü '""OK,AI, quedará divi
d'doen los dos prismas truncados , que v
m«S con separación en Ja misma figura , j
*& So. MbemOÍ •*$* P° r '°

254 Cartas Físico-Matemáticas •
§• XVII.
De los sólidos regulares.
N? 400. JLlamamos sólido absolut
mente regular al que en las superficies, <
Jas líneas y en los ángulos guarda una peí
fecta igualdad y semejanza. De este géncí
son el cubo , el tetrahedro, ó de quatro supe
ficies , el octahedro de ocho, el ícosabedro c
veinte, y el dodecahedro de doce , en los qua
les no hay la mínima desigualdad en ángu
los , líneas , ni superficies.
N? 401. La esfera (Lam. 14. Fig. l
también podía colocarse entre los cuerpo
regulares, por ser en todas partes semejantes
á sí mismo : de suerte , que de qualquie
ra modo que se la tome siempre ofrecí 1'
misma superficie igualmente convexa.
El cubo (Lam. 14. Fig. 2.) es formade
por seis quadrados ¡guales : el uno está en
la base , los quatro al rededor de la base ha
cen los quatro Jados, y d sexto forma I»
base superior. En el cubo todos los ángulos
sólidos son formados por la concurrencia de
tres quadrados; y en los quadrados todos
los ángulos son de noventa grados, y todas
las líneas son iguales.
N? 402. Luego el cuba es un solido per 0
de Teodosio y Eugenio. 255
Con quadrados no podemos formar otro
¿ido , porque si quisiéremos juntar sola-
Kine dos, no se forma ángulo sólido , pues
* forzosamente ha de tener tres iados á lo
irnos , y tres dimensiones en longitud , laíiud
y profundidad.
Si juntamos los tres lados quadrados
He diximos , formamos un ángulo sólido,
icmo se ve en el cubo. Si juntamos quatro
'km. 14. Fig. 7.) e, i, o, u, teniendo cada
, .1 noventa grados, todos juntos hacen 360;
j por consiguiente el punto en donde concurren
es el centro de un círculo , y no
puede hacer ángulo sólido.
N? 403. Luego con quadrados no se pueh
formar otro solido que no sea el cubo.
Veamos ahora los sólidos que formamos
ron los triángulos equiláteros; pues todos los
«ros triángulos son por su irregularidad
¡"capaces de formar cuerpo perlectamente
'egular.
Juntos tres triángulos (Lam. 14. Fig. 3.),
liarán un ángulo sólido M , y como la ba-
* también ha dc ser un triángulo forma-

2 5 6 Cartas Físico-Matemáticas
lados, que son todos iguales á los que fon]
man el ángulo del vértice M, también le so
iguales. .
Estos quatro triángulos se ven en 1
(Lam. 14. Fig. 8.), y en ella se advierte cerno
podrán formarse de plano para arma
el tetrahedro: B es la base , A , E , O soi
los lados que pueden levantarse al rededo
de la base, y juntándose los ángulos ni m m
de Teodosio y Eugenio. 2J7
II.
Todos los ángulos sólidos son formato
por quatro lados con el vértice en i;
|>'que el vértice inferior t se supone ser lo
¡imo que el de arriba ; les laterales r s,
:.son formados cada uno por el concurre
dos triángulos superiores , y dos in­
harán el vértice del tetrahedro M dc 1J ores ; y así son formados por quatro
(Lam. 41. Tig 3.).
¡«ngulos equiláteros.
N? 404. Luego el- tetrahedro formad N? 405. Luego el octahedro es cuerpo perpor
quatro triángulos equiláteros, es cuerpo reWenre
regular.
gular.
Para formarle de papel se puede cortar
Juntemos ahora quatro triángulos equiláteros
a e m n (Lam. 14. Fig. 12.), de suerte
que se junten o o , quedará una pirámide
de quatro lados con el vértice en i : no
obstante la base será quadrada , v por eso
:omo en la (Lam. 14. Tig. 9.) , y doblarle,
J
e modo que o o se junten , y se verá forado
un sólido en i de los triángulos a e
l
n,y los otros quatro formarán la parte
¡"ftrior del octahedro , cuyo vértice es t. .
desigual á los lados , y así será un sólido
irregular.
Juntemos ahora cinco triángulos equi-
Wos (Lam. 14. Tig. 13.) , y hagamos que
Pero formemos otra pirámide semejan­ ''» se junten , se levantará el centro o , y
te , y juntemos las dos bases quadradas Resultará
el sólido regular H (Lam. 14. Fig. 4->
Redará un sólido de cinco lados ¡guales y
dejantes. Con todo eso la base de esta
Wrnide es un pentágono , y los lados son
I.
ángulos , lo que contradice á la regular i-?
^ que se desea ; y así por este medio to-
Todos los ocho lados son triángulos ""ía no tenemos sólido regular.
equiláteros.
Si formamos otra pirámide de cinco !ah
? s semejantes , para juntarla , poniendo la
S>¡de acia abaxo , como hicimos en el
"nahedro , queda un sólido todo formado
hm. VUI. K

I
258 Cartas Físico-Matemáticas
por triángulos equiláteros. No obstante
ángulos sólidos no son semejantes, por
el superior y el inferior formados con lace
currencia de cinco triángulos, y los latcrj
les de al rededor a a a a , Scc. son formai
por solos quatro, dos de la pirámide sup
rior , y dos de la inferior; por consiguier
aun no tenemos sólido regular.
Pero hagamos una figura en papel, el
mo se representa (Lam. 14. Tig. 10.)) '
Ja que, ademas de los cinco triángulos equ
lateros e, e, e, e, e, que han de formar la
rámide superior O ; y de Jos otros cinj
que formarán la inferior E , tenemos Mí
formada de die2 triángulos equiláteros , cñj
co que unen por las tres bases con los sil
periores , y otros cinco que unen con
inferiores. Doblando , pues , esta lista
triángulos circularmente , de modo q" e
junten las dos extremidades M N , y «d lS Pl
niendo las divisiones en tal forma , que sol
por ellas se doble la lista , y haga un cij
cuito de superficies planas , si arriba unimj
todos los ángulos o, o, o, o, o, y abaxo
ángulos e, e, e, e,e, tendremos un sólido, el
mo se ve en la (Lam. 14. Tig. j.) , en el 1*4
se observa lo siguiente:
Queeste sólido es compuesto dc vem'
triángulos equiláteros.
I.
de Feodosio y Eugenio.
II.
259
Que todos los ángulos sólidos son forados
por el concurso de cinco lados : en
i,E se ve claro; en los laterales d cir-
Íoa,i vemos que cada ángulo sólido de
i que terminan la base de la pirámide siiaior
O , es formado por dos triángulos de
'pirámide superior; otros dos que penden
testos , y caen acia abaxo , y otro que
be dc abaxo á introducirse entre los dos
pe están pendientes. Lo mismo digo de /,
íóe los otros que terminan la base de la
•¡¿mide inferior E.
N? 406. Luego el icosihedro es un cuer-
iugülar , formado por veinte lados semejantes
¡luales , &c ,
si juntamos seis triángulos equiláteros
U», 14. Fig. 14.) » con» 0 «da ángulo de
! « dd centro es de sesenta grados, todos
'* harán 360 , que es el circuito de un
fcciüo : de suerte , que si los juntamos el
-otro O no se puede levantar del plano, ni
k'mar ángulo sólido.
N° 407. Luego con triángulos equiláteros
" se puede formar cuerpo alguno regular , fue-
''del tetrahedro de quatro lados , del octahedro
* ocho , del icosahedro de veinte.
Vengamos ahora á los pentágonos para
'«r qué cuerpos sólidos podremos formar
c °n dios , y juntemos tres pentágonos.
Ra

w
260 Cartas Físico-Matemáticas
(Lam. 14. Tig. 15.) Para examinar qué vi
lor tienen sus ángulos , tomemos un pentl
trono , y tiremos desde un centro radios |
sus ángulos. Los del centro o , como tiene
por medida un quinto de la circuriterencí
tendrán setenta y dos grados por medica.
Pero cada triángulo tiene el valor
180 grados: luego faltan para el valor
los dos ángulos, que cada triángulo tiei
al. rededor del pentágono lo que va de 7
á 180. Esto repartido entre los dos , a c¡
da uno dará 54 ; pero si convertimos est<
radios , que dividen el pentágono en triar
gulos, cada ángulo queda doble del que rw
cia la base del triángulo , esto es , dupij
de 54 , que viene á ser 108.
Luego los ángulos del pentágono v*' 1
108. ,
Juntando ahora tres pentágonos A,'» 1
( Lam. 14. Fig. 15.), solo tenemos ea '
324 grados en el valor que ocupan los ir
ánguíos , y aun falta el valor dc 36 gr ac "
pira completar la circunferencia de 3 6 '
Luego si juntásemos e con i , formare 011
un ángulo sólido con tres lados de cío*
ángulos.
Tomemos , pues , un pentágono de P a
peí M (Lam. 14. Fig. u.), y de sus cinc*
lados hagamos que se levanten otros C»c
pentágonos iguales hasta unirse mutuan ]CP
te en forma de una vandexa (perdónese
familiaridad de los términos , porque so
deFeodosio y Eugenio. f$Í
Pernos á la claridad que es a que ne-
L los principiantes, ) . tornemo otra
tdexa semejante al rededor dd P « » ^
1 V colocaremos una sobre otra , como
ícenla (L-«. 14-Fi,. 6.). Pero en esta
ura tenemos que observar
I.
Que todos los lados son ^ " " ' V w
*do, por ángulos ? ^ ] ^ X X f t
k\ pues todos son pentágonos iguales ) -e
nejantes.
II.
Que todos lo* ángulos sfdos son forados
por tres lados : en los jejj:**
fen al rededor del pentágono supe .01 M,
;cl inferior N, es manifiesto ; pues los for
B¿ 1, hase con los dos pentágonos , que se
Santa' cVmo lados hasja encontrarse mudamente
, y los que se forman P« *^ on
curso de la mitad superior « n ]» »" fer, °¿
naibien se forman por ^^sTeZ'Xs
i«be de abaxo para introducirse ent.e tos
lúe penden del que esta enema , o al con
" lr N¿ 408. Luego el dodecahedro es unso-
Uo regir, compuesto de doce lados iguales y
'Riéremos juntar quatro pentágonos
para "hacer con ello* un ángulo solido , no
fej

J CMUS ¥ ' sko - M *temáticas
podremos ; porque teniendo cada uno
ellos los ángulos de diez grados, quatro ju
tos harían la suma de 432 , los que sien
mucho mas que Ja circunferencia del circ
lo , no^ pueden caber en el plano , y m
cho menos en el ángulo sólido , que pa
elevarse del plano debe tener circunferen
menor que la del círculo.
NV 409. Luego con pentágonos reguUi
no se puede hacer otro ¡o'iído que el dedelA
dro.
¡
Si quisiéremos formar con exágonos a
gun cuerpo sólido , veremos que. es impí
sibíe, porque (Lam. 14. Fig. 16.) juntand
tres tenemos 360 grados , pues cada áí
guio del exágono regular contiene 120 pe
el num. 98 : Luego tres hacen 36o,loq«
es justamente la circunferencia del circule
y asi el punto de concurrencia no podr
elevarse del plano para hacer ángulo solide
; M queremos valemos del eptágono, q"
quiere decir figura de siete ángulos, no P<
dremos hacer sólido alguno , porque si tr<
exágonos no pueden hacer ángulo solide 1
mucho, menos podrán los eptágonos , cuye
ángulos son mayores.
N° 410. Luego no puede haber solido al
guno reguiar fuera de los que hemos dicho, tst
de Teodosio y Eugenio. 265
|r término á estos elementos de Geome-
1, gobernado por la experiencia que ten-
1, quiero hacerte un epílogo de combieion
entre las razones dc las líneas, de las
aperficies y de los sólidos , lo que te da-
1 mucha luz ; le añadiré á esta Carta , que
|i tenia concluida.
E P I L O G O
vibre la combinación de las razones y
proporciones de las líneas, superficies
y sólidos.
S. I.
N? 411. JL/íximos al núm. 139 q ue
luando muchos términos estaban en proporción
, siempre iba reynando la misma raton
entre todos ellos; de suerte , que entre
¿os términos inmediatos se hallará el mismo
(¡¡ponente de la razon. f
También diximos que un numero muí*
liplicado por sí mismo, hacia el quadrado,
i.a. 4 por 4 dará 16 , que es el número
quadrado de 4. También diximos que este
ti , tubo , tetrahedro , octahedro , icosabedroj A ciuadrado multiplicado otra vez por sujaíz,
* 6 por el número primitivo 4 , formaba el
decahedro; exceptúase la esfera , de la qual m cubo. Ahora bien , quando una cantidad se
hablamos aquí.
multiplica por sí misma para formar el qua­
Ahora , amigo Eugenio , antes de podrado , se dice que se eleva á la segunda p-
.

264. Cartas Físico-Matemáticas
tencta ; y quando se multiplica otra vez
te quadrado por Ja raíz para formar elbo
, se dice que sube á la tercera pote*
quando todavía se multiplica el cubo o
vez por la raíz , se eleva ésta á la qu
potencia : s. aun se multiplica de nuevo ,
be a la quinta potencia.
Lo que es costumbre expresar así en
gebra: sea la cantidad simple ó raíz igua
A j el quadrado de A se expresa así A X
6.bien A«:.el cubo de A, ola tercera pon
cía se podría expresar así A X A X A ; p
ro es mas cono A3; y dcl mismo modo
quarta potencia de A se expresa así A4, y
quinta A*. r '*
N? 412. Aquí deben advertir los princ
pwntes , que no es Jo mismo 3 A que A3
porque el numero 3 antes de A significa s.
maio adición, esto es, qüe Ja cantidad A s
toma tres veces , siendo así que A3 signifi<
que la cantidad A no solo se multiplica un
•vez ,..smo que su producto se ha de mt.lri
pl.car por A otra vez. Supongamos que i
valga 4 palmos 3 A significara'. 12 paW
yA^Mgnihcara^pi^p^^x
w - 4 ! v En la Geometría noJrémos da
figura sensioteasi.de Ja segunda potencia, q«
es una superficie como de Ja tercera , que e
un solido ; pero como no hay mas de tre
dimensiones, m podemos d/v figura sens,
-iíJe: dc L.. quam,;de la quima, potenúa, &c.
¿ reodosio y Eugenio. 26$
h los números dan idea de esta multiplirion
, y no las líneas.
Esto supuesto , formando una progretn
geométrica •£ 1:2:4:8 :io:32:
!f: 128 , &c., cuyo exponente común es
, ó el exponente de la razon es doble. Se
! claramente que para llegar el primer reciño
al valor del segundo basta multíplice
una vez por el exponente 2 ; mas pa-
1 elevarle al valor, del tercero es preciso
multiplicarle otra vez por el mismo exponte
; y del mismo modo para que se ele-
1 al valor del quarto término es preciso
"'rcera multiplicación , por el mismo exponte
de la razon que reyna. De esto se inferen
varias conseqüencias:
I.
Que podemos decir , que la razon del
fimer término á su inmediato es el exponte
simple, esto es, 2.
II.
N° 414. Que la razon del primer térmi-
"o al tercero es un quadrado ó segunda porcia
del exponente 2 , esto es, 4.
III.
N? 415. Que la razon dcl primer térmi-

266 Cartas Físico-Matemáticas
no al quarto es un cubo, ó tercera poteni
dcl cxponcnte 2 , esto es , 8.
IV.
N? 416. Que la razon del primer tél
mino al quinto es 2 , elevado á la qutrl
potencia , esto es, 16.
V.
N? 417. Que la razon del primer térmj
no al sixto es 2 , levantado a la quinta fl
tcncia , esto es, 32 , &c
NV 418. Supongamos ahora que formj
mos quadrados de estos mismos términos
la progresión , véase la (Lam, 15. Tig. u)
TT 1 : 2 : 4: 8 razon 2.
•ir i : 4 : 16 : 64 - - - razon - - - 4*
La razon ó exponente que reyna en esrj
segunda progresión es 4 , esto es , el q 11 ^
drado del exponente que reyna en la pri""
ra ; poique como diximos al núm. 164» c j
los quadrados hay la razón compuesta dc \
que habia entre las bases,- y de la que. habi|
entre las alturas; y como son iguales, y
razon compuesta de dos iguales es un I" 3 ]
diado de las simples, se sigue,
de Teodosio y Eugenio. 267
N° 419. Luego en la progresión de los
ukadeld exponente dcl primero al segundo es
I quadrado del exponente simple.
Pero entre el primer termino de las rai-
5 y el tercero el exponento es un quadra-
1 dcl exponente simple por el num. 40S;
entre el primer quadrado y el segundo el
¡ponente también es el quadrado del quotí'nte
simple por el núm. 413.
N? 420. Luego en la progresión de os
udrados el exponente es el mismo que hay
1 la progresión de las raices, saltando un mi-
""Hagamos ahora los cubos de las cantidades
primitivas (Lam. 1 5. Tig. 1.)
•^ 1 • * : 4 : 8 exponente 2 raiz.
Hi:4! 16 : 6a.--- exp. 4 quadrado.
4- i-.8:64:5'2--- ex P- 8 cub °'
En esta tercera progresión el exponente
que reyna es 8 , esto es, un cubo del exponte
primitivo 2 ; porque como ya diximos
'1 núm. 409, el exponento que hay entre
1 primer término y el quarto de Ja prime-
'a progresión simple es un cubo del exponte
simple ; pero también diximos al num.
«4, que entre los cubos el exponente era
compuesto de tres razones semejantes : poi
consiguiente es como el exponente del pnrr.er
termino al quarto de la primera procesión.
i'

atS8 Cartas Tísico-Matemáticas
N? 421. Luego entre el primer térn
no y segundo de la última progresión el i
ponente es un cubo del exponente simple dt\
primera progresión.
S. II.
N? 422. V-/tra cosa has de observa
Eugenio, y es que todo lo que son línea
ó qualesquiera figuras semejantes, tienen el
tre sí la razón de" las raices, esto es, del e}
ponente simple, bien sea la proporción aril
mélica ó geométrica; de suerte, que (Lam.n
Fig. 2.) si en los círculos son los radios cj
mo 1 , 2 , 3 , los di.ímetros sen como 1 »
3 , las circunferencias son como 1 , 2 >
los arcos de igual número de grados será
como 1,2,3, &c '
N? 423. Pero si comparamos superficij
semejantes unas con otras, ya su exponen!
ó razon no es el exponente simple de las rs
ees, sino que lia de ser este exponente elevj
do á la segunda potencia , esto es, el ca»
drado del primero , como diximos al nún
412; y ese mismo exponente ha de reyr> J
en todo quanto fuere superficie ; y así ( ¿»"|
1 5« Fig. 3.) si las líneas son como 1 , 2, 3
los quadrados formados sobre ellas sera
como 1,4,9, Jos triángulos como 1 »
9; y también en las pirámides , cubos, eo
nos, esferas todo lo que fuere superficie ser
como 1,4,9.
de Teodosio y Eugenio. 269
N° 424. Últimamente si comparamos so-
to es ha de ser un cubo del primer exllme';
y si las líneas que les pertenecen
.0 es, los diámetros ó periferias eran I , 2,
^us\olúmenesseránt,8 27 Porque
I cubo de 1 es 1, el de 2 es 8, el de 3 es
,, de forma, que así como en los círculos
minguimos el área ó campo de la circunkuS
que los cierra, y decimos quejas
aerfiries ó áreas son como 1, 4, 9 • P erü
IrolVsUhoUnts sólidos no hemos
te confundir los volúmenes con las upe.fi
¡es que los contienen • y por consigúeme 1
«radios de una esfera (Lam. 15. H- 3 • »
t los lados de varios cubos fueren como, 1,
M t0do loque sea línea, en esos solidos
«nejantes será como 1 , 2 , 3 , e to es, al
,ura 1 2 ^ , 1-uos , como 1 , 2 , 3, «c.
¿todo lo que fuere superficie, v. g. base
Ora V serán como 1,4,9 ¡ H P eso °
volumen, ó el espacio comprehendido dentro
le la superficie total serán como i ,9 ,27.
voL. De aquí se sigue que en los
«idos semejan*- todas las líneas correspondientes
están en la razón simple.
Todas las superficies en la tazón de los
quadrados.

i
270 Cartas Tísico-Matemáticas
Todos los volúmenes, ó el peso del sol
do en la razon de los cubos.
Ve aquí, amigo Eugenio, lo que
ha parecido suficiente para inteligencia de
Física, que deseas saber , y que yo tt ir
enseñando en varias Cartas que te escribiré
conforme á lo que tengo prometido. (*)
(*) E» vez, de enseñar por Cartas compuse c
T. Almeyda una Tísica completa en tres temos ei
octavo mayor, de les quales ya está el prinierú
traducido, é impreso.
y

•
•
I'

. Y,'/ ;.'» .

írami J.'/ll.'J
-.«/».. ¿¿.
JVavür je.

• ,'"4,

"^ la, -L' •
"ni
I
.11

•'

f ' J. •"!.•/ Lam. O
Mr

Irciim.lomaJ.
Lam. £)•

(reom.Tcnw /. Lam. lO.
m n

Mirn. -.••••

Lam. J2.
Navarro JC
m

•,.": i v 1 ü 1 • ' r |f B
JítJtt.-;*-¿*:
.

BU jL-astt, J¿¿.

-S m
m "?>•*
••
m.
H •
i
na
•i
p.Ajr
rt*M
J|
I ELaU
&
m
ww m
maá
^H
-.4%.
^H ¿4*
*S
I • «f
• '•ir*.
J ¡i.-1
V