El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital

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12 El Conjunto de los Números Reales 1.5.1 Operaciones definidas en el conjunto de los números reales En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones, que llamaremos adición y multiplicación. Decir que la adición y la multiplicación son operaciones definidas en el conjunto de los números reales significa que si dos números reales se relacionan mediante alguna de estas dos operaciones el resultado es un número real. Propiedades de adición en el conjunto de los números reales A1 Sean a ∈ R, b ∈ R entonces a + b = b + a (la adicción es conmutativa) Por ejemplo: 5 + 3 = 3 + 5 A2 Sean a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R entonces a + (b + c) = (a + b) + c (la adición es asociativa) Por ejemplo: 7 + (6 + 2) = (7 + 6) + 2 A3 Existe 0, 0 ∈ R tal que para todo a, a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a (0 es el elemento neutro aditivo) Por ejemplo: −3 5 + 0 = −3 5 A4 Para todo a, a ∈ R existe −a, −a ∈ R tal que a + (−a) = (−a) + a = 0 (cada número real posee inverso aditivo) Por ejemplo: el inverso aditivo de −8 es 8 pues −8 + 8 = 0 Propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números reales M1 Sean a ∈ R, b ∈ R entonces a · b = b · a (la multiplicación es conmutativa) Por ejemplo: 3 · 2 = 2 · 3 M2 Sean a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R entonces a · (b · c) = (a · b) · c (la multiplicación es asociativa) Por ejemplo: −5 · (2 · 1) = (−5 · 2) · 1 M3 Existe 1; 1 ∈ R tal que para todo a, a ∈ R, a · 1 = 1 · a = a (1 es el elemento neutro multiplicativo) Por ejemplo: 4 · 1 = 4
J. Rodríguez S. A. Astorga M. 13 M4 Para todo a, a ∈ R, a = 0, existe a −1 , a −1 ∈ R tal que a · a −1 = a −1 · a = 1 (cada número real diferente de 0 posee inverso multiplicativo). Con a −1 = 1 a Por ejemplo: 15 · 1 = 1 15 Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición Si a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R, entonces se cumple que: Por ejemplo: −11 · (3 + 9) = (−11) · 3 + (−11) · 9 a · (b + c) = a · b + a · c La sustracción definida en el conjunto de los números reales Sean a ∈ R, b ∈ R. Llamaremos sustracción de a y b, y denotaremos a − b a la operación definida por: Por ejemplo: a.) 5 − 3 = 5 + (−3) b.) 5 1 5 −1 − = + 4 7 4 7 a − b = a + (−b) La división definida en el conjunto de los números reales Sean a ∈ R, b ∈ R, b = 0. Se define la división de a por b y se denota a ÷ b a la operación definida por: Como se dijo anteriormente a ÷ b se denota como a b a ÷ b = a · 1 b es decir: a ÷ b = a b
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Page 17 and 18: Por ejemplo: a.) 2 < 3 es equivalen
Page 19 and 20: Ejemplo 11 a.) | 3 |= 3 − 0 = 3 e
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Page 55 and 56: El mínimo denominador común de 7
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Page 59 and 60: .) 2 · 11 9 c.) −6 4 d.) −2 3
Page 61 and 62: a.) −3 5 b.) −5 4 c.) 3 ÷ 7 6
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c.) Así: −13 4 6 −13 4 6 = = =
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d.) −8 5 Por lo tanto −8 5 3 3
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1 − 8 −3 · 3 4 − 3 2 2
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a.) b.) 1 1 + 4 3 8 2 5 2 5 − 3 6
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.) −3 · 2 − 3 2 3 − 2 ÷ 1
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Definición 28 Sea a ∈ R , n ∈
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Ejemplo 73 a.) 3 −2 = 1 3 2 b.) (
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a.) b.) 3 5 4 4 −9 7 = = = = =
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Si a ∈ R, n ∈ N, n par y a n
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−3−2 1 + 4 2 3 = −1 49 d.)
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1.) (34 ) 3 · (3 2 ) 4 (−3) 15
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c.) 2 −4 · 3 −1 10 −3 · 3
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a.) En 7√ 29, 7 es el índice del
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Ejercicios 52 J. Rodríguez S. A. A
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a.) b.) 4 (−3) 4 4 = | − 3| =
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225 3 75 3 25 5 5 5 1 Ejemplo 86 J.
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Ejercicios 57 J. Rodríguez S. A. A
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J. Rodríguez S. A. Astorga M. 97 S
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es decir: √ 45 + √ 80 = 7 √ 5
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1 1 · 2 = 3 3 · 2 ; de aquí que
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i.) ii.) iii.) √ 3 = 2·15 √ 3
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