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1 Espacios Vectoriales Normados

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1 <strong>Espacios</strong> <strong>Vectoriales</strong> <strong>Normados</strong><br />

1.1 Normas<br />

1.1.1 Propiedades Básicas<br />

Definición 1.1. Sea X un espacio vectorial sobre = ó . Una norma en X es una función<br />

N : X → , habitualmente denotada por N(x) = x, que cumple las propiedades siguientes.<br />

1. (positividad) x ≥ 0 para todo x ∈ X, siendo x = 0 si y sólo si x = 0.<br />

2. (cambio de escala) λx = |λ|x para todo x ∈ X y λ ∈ , donde |λ| es el valor absoluto en<br />

.<br />

3. (desigualdad triangular) x + y ≤ x + y para todo x, y ∈ X.<br />

Una seminorma es una función que satisface las mismas propiedades salvo la segunda condición<br />

de la positividad, es decir, solamente se supone x ≥ 0 pero no que x = 0 ⇐⇒ x = 0.<br />

De hecho, por (2) debe ser 0 = 0 (tomar λ = 0), luego una seminorma es norma si y sólo si<br />

cumple x = 0 =⇒ x = 0.<br />

Proposición 1.2. Un evn (X, N) es un evt (espacio vectorial topológico) respecto a la topología<br />

de la norma. La norma es una función continua de (X, N) en (con la topología euclidea).<br />

Definición 1.3. La distancia asociada a una norma · es d(x, y) = x − y. Se verifica fácilmente<br />

que efectivamente d es una distancia. La topología asociada a una norma es la topología<br />

de espacio métrico inducida por la distancia asociada.<br />

Los límites de sucesiones en espacios normados y de funciones entre espacios normados, se<br />

suponen respecto a la topología asociada. Por ejemplo, la continuidad de una función f entre<br />

dos espacios normados X, Y en un punto a ∈ X se expresa como<br />

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : x − a < δ =⇒ f(x) − f(a) < ε.<br />

Si el espacio métrico asociado es completo, es decir, toda sucesión de Cauchy converge:<br />

decimos que el evn X es un espacio de Banach.<br />

lim<br />

m,n→∞ d(xn, xm) = 0 =⇒ ∃ lim xn = x ∈ X,<br />

n<br />

Definición 1.4. Sea X un espacio vectorial. Una distancia d : X × X → es homogénea si<br />

satisface<br />

1. d(x + z, y + z) = d(x, y) para todo x, y, z ∈ X.<br />

2. d(λx, λy) = |λ|d(x, y) para todo x, y ∈ X, λ ∈ .<br />

Teorema 1.5. Una distancia d sobre un espacio vectorial X está inducida por una norma N si<br />

y sólo si es homogénea.<br />

1


Definición 1.6. Sea X un espacio normado y {xn} ⊆ X una sucesión. La serie de término<br />

general xn es la sucesión de sumas parciales SN = N n=1 xn. Si esta sucesión converge a un<br />

límite x ∈ X entonces decimos que la serie es convergente y escribimos ∞ n=1 xn = x.<br />

La sucesión de normas xn es una sucesión en [0, ∞) ⊆ y como tal se puede estudiar la<br />

serie de término general xn en . Como los términos son positivos, sólo puede ocurrir una de<br />

dos cosas: la serie es divergente a infinito, o es convergente. Si<br />

∞<br />

xn < ∞<br />

n=1<br />

decimos que la serie es absolutamente convergente. La terminología puede llevar a pensar que si<br />

una serie converge absolutamente entonces converge, pero esto no es cierto en general.<br />

Teorema 1.7. Sea X un espacio vectorial normado. Entonces X es completo (de Banach) si y<br />

sólo si toda serie en X absolutamente convergente es convergente.<br />

1.1.2 Equivalencia<br />

Definición 1.8. Dos normas N1, N2 sobre un espacio vectorial X son equivalentes si inducen<br />

la misma topología. Esto es trivialmente una relación de equivalencia.<br />

Lema 1.9. Dos normas N1, N2 sobre un espacio vectorial X son equivalentes si y sólo si existen<br />

constantes α, β > 0 tales que<br />

αN1(x) ≤ N2(x) ≤ βN1(x). (1)<br />

Corolario 1.10. Si X es un espacio vectorial normado completo respecto a una norma N,<br />

también es completo respecto a cualquier norma equivalente N ′ .<br />

Teorema 1.11 (Equivalencia de Normas). Si X es un espacio vectorial de dimensión finita,<br />

todas las normas sobre X son equivalentes.<br />

Corolario 1.12. Todos los espacios vectoriales normados de dimensión finita son de Banach.<br />

1.1.3 Completación<br />

Teorema 1.13. Sea (X, N) un evn. Existe un evn (, ) completo (es decir, de Banach) tal que<br />

⊇ X, con X denso en y |X = N. Dicho espacio es único salvo isomorfismo isométrico.<br />

2


1.2 Operadores Lineales entre <strong>Espacios</strong> <strong>Normados</strong><br />

1.2.1 Continuidad y Norma de Operadores<br />

Sean (X, N), (Y, N ′ ) evn. Escribiremos por comodidad · para las dos normas en X y en Y .<br />

Teorema 1.14. Sea T : X → Y lineal. Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:<br />

1. T es continuo (en las topologías respectivas de la norma).<br />

2. T es continuo en 0.<br />

3. Existe una constante c > 0 tal que T x ≤ cx para todo x ∈ X (equivalentemente, x = 0).<br />

Definición 1.15. Se dice que un operador lineal que satisface la condición (3) es acotado. El<br />

Teorema entonces dice que para un operador lineal, acotado es lo mismo que continuo. Al espacio<br />

de los operadores lineales y continuos T : X → Y se le denota por (X, Y ).<br />

Si T ∈ (X, Y ) definimos su norma de operador por<br />

T = sup T u.<br />

u=1<br />

Por (3) del Teorema, T < ∞.<br />

En particular, denotamos X ∗ = (X, ), el dual topológico de X. En general una aplicación<br />

lineal ω : X → se llama funcional lineal. X ∗ es el espacio de funcionales lineales continuos.<br />

La norma de un funcional viene dada por<br />

donde | · | es el valor absoluto en .<br />

ω = sup |ω(u)|<br />

u=1<br />

Lema 1.16. Si T ∈ (X, Y ) entonces T es la menor de las constantes c ≥ 0 tales que<br />

T x ≤ cx para todo x ∈ X.<br />

Teorema 1.17. (X, Y ) es un evn respecto a la norma de operador.<br />

Proposición 1.18. Si T ∈ (X, Y ) y <br />

n xn = x, entonces <br />

n T xn = T x.<br />

Proposición 1.19. Si dim X < ∞, todo operador lineal T de X en cualquier evn Y es continuo.<br />

3


1.2.2 Isomorfismos<br />

Definición 1.20. Un isomorfismo entre dos espacios vectoriales normados X, Y es un operador<br />

lineal T : X → Y biyectivo y bicontinuo, es decir, tanto T como su inverso T −1 son continuos.<br />

X, Y son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos.<br />

Corolario 1.21. Todos los evn de una dimensión finita fija n son espacios de Banach isomorfos.<br />

Proposición 1.22. Sea T : X → Y lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:<br />

1. T es un isomorfismo.<br />

2. T es epiyectivo y existen constantes α, β > 0 tales que αx ≤ T x ≤ βx para todo x ∈ X.<br />

3. T es epiyectivo y N(x) = T x es una norma en X equivalente a x.<br />

Lema 1.23. Si X, Y son evn isomorfos, entonces Y es de Banach si y sólo si X es de Banach.<br />

1.2.3 Isometrías<br />

Definición 1.24. Una isometría es un operador lineal T : X → Y que preserva la norma:<br />

T x = x ∀ x ∈ X.<br />

Un isomorfismo isométrico es un isomorfismo T : X → Y tal que T y T −1 son isometrías. X, Y<br />

son isométricamente isomorfos si existe un isomorfismo isométrico entre ellos.<br />

Nota 1.25. Existen funciones ϕ : X → Y que preservan la norma pero no son lineales. Por<br />

ejemplo, si u ∈ Y con u = 1 es fijo, entonces ϕ(x) = xu es una tal.<br />

Lema 1.26. Sea T : X → Y una isometría. Entonces T es inyectiva y continua, con T = 1.<br />

T es un isomorfismo isométrico si y sólo si es una isometría epiyectiva.<br />

Lema 1.27. Cualquier evn Y es isométricamente isomorfo al espacio (, Y ) mediante el operador<br />

i : Y → (, Y ) definido por<br />

[i(y)]λ = λy.<br />

1.2.4 Propiedades de (X, Y )<br />

Teorema 1.28. (X, Y ) es de Banach para todo evn X si y sólo si Y es de Banach.<br />

Proposición 1.29. Sean X, Y, Z evn y T ∈ (X, Y ), S ∈ (Y, Z). Entonces<br />

ST ≤ ST .<br />

4


Definición 1.30. Un álgebra de Banach es una -álgebra normada con norma completa y submultiplicativa,<br />

es decir, tal que ab ≤ ab.<br />

Corolario 1.31. Si X es un espacio de Banach, el espacio (X, X) de endomorfismos lineales<br />

continuos de X es un álgebra de Banach.<br />

Corolario 1.32. Si T : X → Y es un isomorfismo, entonces 1 ≤ T T −1 .<br />

Teorema 1.33. Sean X, Y evn con Y de Banach, y T ∈ (X, Y ). Si es la completación de<br />

X, existe un único operador ∈ (, Y ) tal que X = T . Además, = T .<br />

Ejemplo 1.34 (La Integral de Riemann). Sea [a, b] cualquier intervalo compacto de números<br />

reales. Una partición de [a, b] es una colección ordenada de puntos ℘ = {x0 = a < x1 < x2 <<br />

· · · xn = b. Una función escalonada es una función ϕ : [a, b] → tal que existe una partición ℘ y<br />

constantes {ck} n k=1 tales que ϕ(x) = ck en [xk−1, xk) para 1 ≤ k < n y ϕ(x) = cn en [xn−1, xn].<br />

No es difícil demostrar que el conjunto X de funciones escalonadas es un espacio vectorial,<br />

respecto a las operaciones habituales de suma y múltiplo de funciones. Además, la función<br />

ϕ∞<br />

es una norma en X, y la aplicación<br />

def<br />

= sup |ϕ(x)| = max<br />

x∈[a,b]<br />

1≤k≤n |ck|<br />

I(ϕ) def<br />

=<br />

n<br />

ck(xk − xk−1)<br />

k=1<br />

es un funcional lineal continuo en X. De hecho,<br />

|I(ϕ)| ≤<br />

n<br />

|ck|(xk − xk−1) ≤ ϕ∞<br />

k=1<br />

n<br />

(xk − xk−1) = (b − a)ϕ∞.<br />

Por tanto I extiende de manera única a un funcional continuo sobre la completación de X.<br />

Esta completación contiene al espacio C[a, b] de funciones continuas sobre [a, b], ya que toda<br />

función continua es límite de escalonadas en la norma · ∞ (esto es consecuencia de la continuidad<br />

uniforme). El funcional extendido sobre C[a, b] es la integral de Riemann para funciones<br />

continuas.<br />

1.3 Operaciones Sobre <strong>Espacios</strong> <strong>Vectoriales</strong> <strong>Normados</strong><br />

1.3.1 Subespacios<br />

Definición 1.35. Sea X un espacio vectorial. Usaremos la notación Z ≤ X para indicar que Z<br />

es un subespacio vectorial de X.<br />

Proposición 1.36. Sea X un evn.<br />

1. Si Z ≤ X es de Banach respecto a la norma restringida, entonces es cerrado.<br />

5<br />

k=1


2. Si X es de Banach y Z ≤ X es cerrado, entonces es de Banach respecto a la norma restringida.<br />

Proposición 1.37. Cualquier subespacio de dimensión finita Z en un evn X (no necesariamente<br />

de Banach) es de Banach, y por tanto cerrado.<br />

1.3.2 Productos<br />

Si I es un conjunto de índices y {(Xi, Ni)}i∈I es una colección de espacios normados, podemos<br />

formar el producto directo algebraico X = <br />

i∈I Xi. La cuestión es como normarlo. Cuando I<br />

es finito, una opción habitual es copiar la definición de norma p en n ,<br />

<br />

<br />

Np((xi)i∈I) = Ni(xi) p<br />

1/p , 1 ≤ p ≤ ∞.<br />

i∈I<br />

Estas son normas, todas equivalentes por el Teorema 1.11. Si cada Xi es de Banach entonces el<br />

producto X también lo es. Esta será la opción por defecto para un producto finito de espacios<br />

normados.<br />

Es fácil demostrar que la convergencia respecto a cualquiera de estas “normas producto”<br />

equivale a la convergencia componente a componente. Por ejemplo, usando p = ∞, donde se<br />

tiene<br />

(x1, x2, . . . , xn)∞ = max<br />

1≤k≤n Nk(xk), xk ∈ Xk,<br />

es obvio que<br />

(x1, x2, . . . , xn) → (a1, a2, . . . , an) ⇐⇒ (x1 − a1, x2 − a2, . . . , xn − an)∞ → 0<br />

⇐⇒ max<br />

1≤k≤n Nk(xk − ak) → 0,<br />

⇐⇒ Nk(xk − ak) → 0, 1 ≤ k ≤ n,<br />

⇐⇒ xk → ak, 1 ≤ k ≤ n.<br />

Cuando I es infinito, hay que imponer la condición de convergencia <br />

i∈I Ni(xi) p < ∞ y las<br />

normas resultantes no tienen por qué ser equivalentes.<br />

Proposición 1.38. La aplicación (X, Y ) × X → Y dada por (T, x) → T x es continua.<br />

1.3.3 Cocientes<br />

Sea X un evn y M ≤ X un subespacio. Entonces se puede formar el cociente algebraico X/M<br />

con su aplicación cociente Q : X → X/M, que es lineal y epiyectiva. Escribiremos Qx = x.<br />

En Análisis funcional, se trata de trasladar la norma de X al cociente. Para ello, consideramos<br />

la función distancia a M, dada por<br />

d(x, M) = inf x − m.<br />

m∈M<br />

También escribiremos dM (x) para resaltarla como función de x. Dado que M es un subespacio,<br />

dM es invariante por traslaciones por vectores de M:<br />

dM (x + m) = dM (x) ∀ m ∈ M<br />

6


ya que<br />

inf<br />

m ′ ∈M (x + m) − m′ = inf<br />

m ′ ∈M x − (m′ − m) = inf<br />

m ′′ ∈M x − m′′ <br />

puesto que m ′′ = m ′ −m recorre M cuando m ′ recorre M, con m ∈ M fijo. Como dM (x ′ ) = dM (x)<br />

cuando x ′ ≡ x mod M, dM induce una función ∆ sobre el cociente, definida por<br />

∆ : X/M → , ∆ ◦ Q = dM , es decir, ∆(x) def<br />

= dM (x),<br />

que está bien definida (es independiente del representante elegido).<br />

Proposición 1.39. dM (x) es una seminorma en X y ∆ es una seminorma en X/M. dM es<br />

una norma en X si y sólo si M = (0) y ∆ es una norma en X/M si y sólo si M es cerrado.<br />

Proposición 1.40. Sea X un evn, M ≤ X un subespacio cerrado propio y denotemos por<br />

x = infm∈M x − m a la norma en el cociente X/M definida anteriormente. Entonces<br />

Q ∈ (X, X/M) con Q = 1.<br />

Teorema 1.41. Sea X un evn, M ≤ X cerrado, y Q : X → X/M la aplicación cociente.<br />

1. Q es abierta, es decir, si U ⊆ X es abierto, entonces Q(U) ⊆ X/M es abierto.<br />

2. V ⊆ X/M es abierto si y sólo si Q −1 (V ) ⊆ X es abierto.<br />

Corolario 1.42. Sea X un evn, M ≤ X cerrado y N ≤ X con dim N < ∞. Entonces M + N<br />

es cerrado.<br />

Teorema 1.43. Sea X un evn y M ≤ X. Si dos de entre M, X, X/M son espacios de Banach,<br />

el tercero también es de Banach.<br />

1. Si M y X son de Banach, entonces X/M es de Banach.<br />

2. Si M y X/M son de Banach, entonces X es de Banach.<br />

3. Si X y X/M son de Banach, entonces M es de Banach.<br />

7


2 Los Teoremas Fundamentales de la Teoría de <strong>Espacios</strong><br />

de Banach<br />

2.1 El Teorema de Baire<br />

Teorema 2.1 (Teorema de Baire). Sea (X, d) un espacio métrico completo.<br />

1. La intersección numerable de abiertos densos de X es denso. Es decir, si para cada n ∈ <br />

tenemos un subconjunto Un ⊆ X abierto con U n = X, entonces la intersección ∩nUn es un<br />

subconjunto denso (aunque no necesariamente abierto) de X.<br />

2. Si X es la unión numerable de cerrados, alguno tiene interior no vacío. Es decir, si X =<br />

<br />

n∈ Fn y cada Fn es cerrado, entonces existe n tal que int Fn = ∅.<br />

2.2 El Teorema de la Aplicación Abierta<br />

2.2.1 Operaciones Algebraicas sobre Conjuntos<br />

Nota 2.2. Advertencia: no hay que suponer la veracidad de identidades que parecen “naturales”,<br />

por ejemplo, en general es falso que A + A = 2A. Por definición,<br />

2A = {2a : a ∈ A}, A + A = {a + a ′ : a, a ′ ∈ A},<br />

por tanto 2A ⊆ A + A, pero la inclusión contraria significa que A tiene la propiedad<br />

a, a ′ ∈ A =⇒<br />

a + a′<br />

2<br />

∈ A,<br />

que está relacionada con la convexidad de A y no se cumple en general.<br />

Sea X un espacio normado. Denotaremos por a la bola unidad B(0, 1) y por r la bola<br />

B(0, r) = r. Si tratamos con otro espacio Y , escribiremos ′ y ′ r para las bolas en Y .<br />

Lema 2.3. Sean r, s > 0. Entonces<br />

1. −r = r<br />

2. r + s = r+s.<br />

3. B(c, r) = c + r ⊆ c+r para todo c ∈ X, r > 0.<br />

4. Si T : X → Y es lineal entonces<br />

T (λA) = λT (A) ∀λ ∈ , T (A + B) = T (A) + T (B) ∀A, B ⊆ X.<br />

5. Si T : X → Y es lineal entonces<br />

T −1 (λA) = λT −1 (A) ∀λ ∈ ∗ .<br />

Si λ = 0 no es cierto en general pues diría que T −1 (0) = 0, es decir, ker T = 0, que expresa<br />

la inyectividad de T . Además<br />

En general no se da la igualdad.<br />

T −1 (A) + T −1 (B) ⊆ T −1 (A + B) ∀A, B ⊆ Y.<br />

8


Lema 2.4. Sea T : X → Y una aplicación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:<br />

1. T es continua.<br />

2. int T −1 ( ′ ) = ∅, es decir, T −1 ( ′ ) contiene alguna bola.<br />

3. T −1 ( ′ ) contiene alguna bola centrada en 0.<br />

Lema 2.5. Sea T : X → Y una aplicación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:<br />

1. T es abierta.<br />

2. int T () = ∅, es decir, T () contiene alguna bola.<br />

3. T () contiene alguna bola centrada en 0.<br />

Lema 2.6. Para una aplicación lineal T : X → Y epiyectiva, son equivalentes:<br />

1. int T () = ∅, es decir, T () contiene alguna bola.<br />

2. T () contiene alguna bola centrada en 0.<br />

Teorema 2.7 (Teorema de la Aplicación Abierta). Sean X, Y espacios de Banach. Si T ∈<br />

(X, Y ) es epiyectiva, entonces es abierta.<br />

Corolario 2.8 (Teorema del Isomorfismo). Sean X, Y espacios de Banach. Si T ∈ (X, Y ) es<br />

biyectiva, entonces es un isomorfismo. Es decir, la inversa T −1 es automáticamente continua.<br />

2.3 El Teorema de la Gráfica Cerrada<br />

Definición 2.9. La gráfica de un operador lineal T : X → Y es<br />

Γ(T ) = {(x, T x) : x ∈ X} ⊆ X × Y.<br />

Γ(T ) es un subespacio lineal de X × Y . Si X, Y son evn, entonces Γ(T ) hereda la norma<br />

(x, y) = x + y de X × Y .<br />

Teorema 2.10. Sean X, Y espacios de Banach y T : X → Y lineal. Entonces T es continuo si<br />

y sólo si la gráfica de T es cerrada.<br />

9


Nota 2.11. El Teorema de la Gráfica Cerrada, en términos de sucesiones, dice que para comprobar<br />

que T es continuo, basta con demostrar que<br />

xn → x, T xn → y =⇒ y = T x.<br />

Este enunciado es claramente más débil que el criterio general xn → x =⇒ T xn → T x,<br />

que requiere demostrar la convergencia de T xn, además de que el valor del límite es T x, frente<br />

al criterio de la gráfica cerrada, que permite suponer la convergencia de T xn y sólo requiere<br />

demostrar que el límite es T x.<br />

De hecho, por linealidad, basta con verificar el caso particular x = 0.<br />

Lema 2.12. Si X, Y son evn y T : X → Y es lineal, entonces Γ(T ) es cerrada si y sólo si<br />

xn → 0, T xn → y =⇒ y = 0.<br />

Ejemplo 2.13. Sea X = C 1 [0, 1], Y = C[0, 1], ambos con la norma f∞ = max x∈[0,1] |f(x)|.<br />

Sea D : X → Y el operador derivada, que es lineal. Entonces<br />

1. D no está acotado (por tanto no es continuo).<br />

2. D tiene gráfica cerrada.<br />

Esto no contradice el Teorema de la Gráfica Cerrada. Como Y es un espacio de Banach, se<br />

concluye que X no puede serlo (las demás hipótesis sí se cumplen). De hecho X no es un<br />

subespacio cerrado de Y . Hay sucesiones fn de funciones C 1 uniformemente convergentes a una<br />

función continua f que deja de ser diferenciable en algún punto.<br />

Corolario 2.14 (“Teorema de las Dos Normas”). Sea X un espacio vectorial y N1, N2 dos<br />

normas completas. Si<br />

N1 ≤ βN2<br />

para alguna constante β > 0, entonces existe también una constante α > 0 tal que<br />

αN2 ≤ N1,<br />

es decir, las dos normas son de hecho equivalentes<br />

Ejemplo 2.15. Sea X = C[0, 1] con la norma<br />

1<br />

f1 = |f(x)| dx<br />

0<br />

(verificar que de hecho es una norma). Entonces X no es de Banach. Sabemos que con la norma<br />

de la convergencia uniforme<br />

f∞ = sup<br />

x∈[0,1]<br />

|f(x)|<br />

sí lo es. Por otra parte,<br />

1<br />

1<br />

f1 = |f(x)| dx ≤ f∞ dx = f∞.<br />

0<br />

10<br />

0


Si (C[0, 1], · 1) fuera de Banach, por el Corolario 2.14, las dos normas serían equivalentes, es<br />

decir, f∞ ≤ Cf1 para alguna constante C. Esto no es verdad, pues es fácil construir una<br />

sucesión de funciones continuas fn con fn1 = 1 y fn∞ = n. Un ejemplo de esto son las<br />

“tiendas de campaña:” una función cuya gráfica es un triángulo de base 2/n y altura n. Por<br />

ejemplo,<br />

fn(x) =<br />

<br />

n − n2<br />

2<br />

x si 0 ≤ x ≤ 2<br />

n<br />

0 si 2<br />

n<br />

2.4 El Principio de Acotación Uniforme.<br />

≤ x ≤ 1.<br />

Teorema 2.16 (Teorema de Banach-Steinhaus). Sea X un espacio de Banach, Y un espacio<br />

vectorial normado y F ⊆ (X, Y ). Entonces se da una de las dos siguientes alternativas:<br />

1. El conjunto {x ∈ X : sup T ∈F T x = ∞} es denso.<br />

2. F está uniformemente acotada, es decir, sup T ∈F T < ∞.<br />

En particular, si sup T ∈F T x < ∞ para cada x ∈ X, entonces F está uniformemente<br />

acotada.<br />

Corolario 2.17. Sea X un espacio de Banach, Y un espacio normado y {Tn} ⊆ (X, Y ) tal<br />

que existe limn Tnx def<br />

= T x para todo x ∈ X (“límite puntual”). Entonces<br />

1. La familia {Tn} está uniformemente acotada.<br />

2. T ∈ (X, Y ) (el límite puntual de operadores lineales y continuos es continuo).<br />

3. T ≤ lim inf Tn.<br />

Nota 2.18. Si X no es Banach, entonces el resultado del Principio de Acotación Uniforme y del<br />

Corolario 2.17 pueden ser falsos. Sea X = C[0, 1] con la norma f1 = <br />

|f|, que no es de<br />

[0,1]<br />

Banach (ver el Ejemplo 2.15). Se consideran los operadores<br />

1/n<br />

Tnf = n f(x) dx.<br />

Son lineales y continuos:<br />

Para toda función f ∈ C[0, 1] existe el límite<br />

lim<br />

n→∞ Tnf = lim<br />

n→∞<br />

0<br />

1/n<br />

|Tnf| ≤ n · |f| ≤ nf1 ∴ Tn ≤ n.<br />

1/n<br />

f(x) dx<br />

0 = lim<br />

1/n λ→0<br />

0<br />

λ<br />

f(x) dx<br />

0 = lim<br />

λ λ→0<br />

d<br />

dλ<br />

λ<br />

0<br />

f(x) = lim<br />

λ→0 f(λ) = f(0).<br />

Es decir, Tn converge puntualmente al funcional “evaluación en 0”, denotado por ε0. Sin embargo,<br />

ε0 no es continuo en la norma · 1, como muestra otra vez la “tienda de campaña”<br />

fn(x) =<br />

<br />

n − n2<br />

2<br />

x si 0 ≤ x ≤ 2<br />

n<br />

0 si 2<br />

n<br />

11<br />

≤ x ≤ 1.


con fn1 = 1 pero ε0(fn) = fn(0) = n.<br />

Observar también que Tnf2n = n, por tanto Tn = n y tampoco se cumple la acotación<br />

uniforme, a pesar de que para cada f ∈ C[0, 1] la sucesión {Tnf} sí está acotada.<br />

Corolario 2.19. Sean X, Y espacios de Banach, Z un espacio vectorial normado y T : X ×Y →<br />

Z bilineal y continuo por separado. Entonces T es simultáneamente continuo, es decir acotado:<br />

T (x, y) ≤ Cx y para alguna constante C.<br />

El resultado anterior es válido en general para operadores k-multilineales, k ∈ , con valores<br />

en un espacio normado cualquiera.<br />

Corolario 2.20. Si T : X1×· · ·×Xk → Z, es continuo por separado, siendo cada Xi de Banach,<br />

entonces es simultáneamente continuo.<br />

12


2.5 El Teorema de Hahn-Banach<br />

2.5.1 Funcionales Lineales<br />

Denotemos por L(X, Y ) a los operadores lineales T : X → Y (no necesariamente continuos) y<br />

sigamos denotando por (X, Y ) a los continuos.<br />

Definición 2.21. Un hiperplano de un espacio vectorial X es un subespacio M ≤ X tal que<br />

codim M = 1, es decir, dim X/M = 1.<br />

Lema 2.22. Sea X un espacio vectorial.<br />

1. Si f ∈ L(X, ), f = 0 ⇐⇒ ker f = X.<br />

2. Si f ∈ L(X, ) con f = 0, el núcleo ker f es un hiperplano.<br />

3. Si M ≤ X es un hiperplano, existe f ∈ L(X, ), f = 0 con M = ker f.<br />

4. Si f, g ∈ L(X, ), entonces ker f = ker g si y sólo si g = λf para algún λ ∈ , λ = 0.<br />

Nota 2.23. El resultado anterior no supone nada acerca de la continuidad, es puramente algebraico.<br />

Lema 2.24. Sea X un espacio vectorial normado.<br />

1. Un hiperplano en X o es cerrado o es denso en X.<br />

2. Un funcional lineal f es continuo si y sólo si ker f es cerrado.<br />

Lema 2.25. Sea X un espacio vectorial normado, M ≤ X un hiperplano cerrado y f ∈ X∗ con<br />

ker f = M. Sea Q : X → X/M la aplicación cociente. Hay un único isomorfismo T : → X/M<br />

tal que T f = Q.<br />

Q<br />

X<br />

f<br />

<br />

<br />

T <br />

X/M<br />

Sea X un espacio vectorial complejo. Automáticamente X es también un espacio vectorial<br />

real, ya que es un subcuerpo de . Necesitamos estudiar la relación entre los funcionales<br />

lineales complejos de X y los reales.<br />

<br />

<br />

<br />

Proposición 2.26. Sea X un espacio vectorial complejo.<br />

1. Si f ∈ L(X, ) es un funcional real, entonces<br />

(Cf)(x) def<br />

= f(x) − if(ix)<br />

es un funcional complejo. Es decir, Cf ∈ L(X, ).<br />

2. Si f ∈ L(X, ) es un funcional complejo, entonces Re f : X → es un funcional real. Es<br />

decir, Re f ∈ L(X, ).<br />

13


3. Re Cf = f para todo f ∈ L(X, ) y C Re f = f para todo f ∈ L(X, ). Por tanto,<br />

C : L(X, ) → L(X, ) Re : L(X, ) → L(X, )<br />

son inversas, y de hecho son isomorfismos -lineales. entre L(X, ) y L(X, ) como espacio<br />

vectorial real.<br />

Lema 2.27. Sea X un espacio vectorial complejo y p una seminorma en X. Si f ∈ L(X, ),<br />

entonces<br />

|f(x)| ≤ p(x) ∀x ∈ X ⇐⇒ |Cf(x)| ≤ p(x) ∀x ∈ X.<br />

Corolario 2.28. Sea X un espacio vectorial complejo. Si f ∈ L(X, ), entonces f es continuo<br />

si y sólo si Cf lo es, y se tiene f = Cf. Por tanto, Re y C son isomorfismos isométricos<br />

-lineales entre el dual real (X, ) y el dual complejo (X, ) como espacio vectorial real.<br />

Ejemplo 2.29. Sea X = . Como espacio vectorial real, ∼ = 2 . El dual real es L(, ) ∼ =<br />

L( 2 , ) ∼ = 2 y el complejo es L(, ) ∼ = ∼ = 2 , siendo todos estos isomorfismos isométricos.<br />

2.5.2 Extensiones<br />

Definición 2.30. Sea X un espacio vectorial. Un funcional sublineal es una aplicación p : X →<br />

tal que<br />

1. p(x + y) ≤ p(x) + p(y) para todo x, y ∈ X.<br />

2. p(λx) = λp(x) si λ ∈ , λ ≥ 0.<br />

Ejemplo 2.31.<br />

1. Una seminorma (y por tanto una norma) es un funcional sublineal. Sin embargo, un funcional<br />

sublineal puede ser negativo.<br />

2. Si f ∈ L(X, ), p(x) = |f(x)| es una seminorma.<br />

3. Si f ∈ (X, ) = X ∗ , p(x) = fx es una seminorma.<br />

4. p(x, y) = |x| + y es un funcional sublineal en 2 que no es seminorma, pues p(−x, −y) =<br />

p(x, y).<br />

5. Si X es un espacio vectorial real y p(x) es un funcional sublineal con p(−x) = p(x), entonces<br />

si λ < 0, p(λx) = p((−λ)x) = (−λ)p(x) = |λ|p(x). Además, 0 = p(0) = p(x + (−x)) ≤<br />

p(x) + p(−x) = 2p(x) luego p(x) ≥ 0, por tanto p es una seminorma.<br />

Teorema 2.32 (Teorema de Hahn-Banach Real). Sea X un evn real, p un funcional sublineal<br />

en X, M ≤ X un subespacio y f : M → lineal tal que f(x) ≤ p(x) para todo x ∈ M. Entonces<br />

existe un funcional lineal F : X → tal que F |M = f y F (x) ≤ p(x) para todo x ∈ X.<br />

14


Nota 2.33. El Teorema de Hahn-Banach no requiere suponer que el espacio es completo, es decir,<br />

un espacio de Banach. La condición f ≤ p se expresa diciendo que f está dominado por p.<br />

Teorema 2.34 (Teorema de Hahn-Banach para seminormas). Sea X un espacio vectorial sobre<br />

= , , M ≤ X un subespacio, p una seminorma y f ∈ L(M, ) tal que |f(x)| ≤ p(x) para<br />

todo x ∈ M. Entonces existe F ∈ L(X, ) tal que F |M = f y |F (x)| ≤ p(x) para todo x ∈ X.<br />

Corolario 2.35 (Teorema de Hahn-Banach para Funcionales Continuos). Sea X un espacio<br />

vectorial sobre = , , M ≤ X un subespacio, y f ∈ M ∗ = (M, ) un funcional continuo<br />

sobre M. Entonces existe F ∈ X ∗ tal que F |M = f y F = f.<br />

2.5.3 Propiedades de Separación<br />

Proposición 2.36. Sea X un espacio vectorial normado, M ≤ X un subespacio y a /∈ M.<br />

Existe f ∈ X ∗ tal que<br />

1. f = 1.<br />

2. f|M = 0.<br />

3. f(a) = d(a, M).<br />

Corolario 2.37. Sea X un espacio vectorial normado.<br />

1. Si c ∈ X, c = 0, existe f ∈ X ∗ con f = 1 y f(c) = c. En particular, X = 0 =⇒ X ∗ = 0.<br />

2. Si a, b ∈ X con a = b, existe f ∈ X ∗ con f = 1 y f(a) = f(b).<br />

Proposición 2.38. Sea X un espacio vectorial normado, M ≤ X un subespacio. Entonces<br />

x ∈ M si y sólo si f(x) = 0 para todo f ∈ X∗ con f|M = 0. Equivalentemente,<br />

M =<br />

<br />

ker f.<br />

f∈X ∗ :f|M =0<br />

Es decir, x ∈ M si y sólo si todo funcional que se anula en M también lo hace en x.<br />

Corolario 2.39. Sea X un espacio vectorial normado. Entonces<br />

<br />

ker f = 0.<br />

f∈X ∗<br />

Esto expresa de otra manera la separación de puntos por funcionales.<br />

Corolario 2.40. Sea X un espacio vectorial normado. Un subespacio M es denso, es decir,<br />

M = X, si y sólo si el único funcional que se anula en M es f = 0.<br />

15


Corolario 2.41. Sea X un espacio vectorial normado y x0 ∈ X. Entonces<br />

y de hecho este supremo se alcanza.<br />

2.6 Dualidad<br />

2.6.1 El Doble Dual<br />

x0 = sup{|f(x0)| : f ∈ X ∗ , f = 1}<br />

Sea X un espacio vectorial normado. La operación de formar X ∗ = (X, ) se puede repetir,<br />

obteniendo de esta manera una cadena de duales topológicos sucesivos,<br />

X → X ∗ → X ∗∗ → X ∗∗∗ → · · ·<br />

Por el Teorema 1.28, todos estos espacios a partir de e incluyendo a X ∗ , son espacios de Banach.<br />

De particular interés es el doble dual X ∗∗ . Sus elementos ξ son funcionales sobre X ∗ , es decir,<br />

funcionales de funcionales sobre X.<br />

Definición 2.42. Sea X un espacio vectorial normado. La inmersión canónica asociada a X<br />

es la aplicación<br />

iX : X → X ∗∗<br />

definida por la relación<br />

Se suele emplear la notación<br />

Es decir, x es el funcional “evaluación en x”.<br />

(iX(x))(f) def<br />

= f(x) ∀f ∈ X ∗ .<br />

iX(x) = x ∈ X ∗∗ : x(f) def<br />

= f(x) ∀f ∈ X ∗ .<br />

Lema 2.43. La inmersión canónica iX es una isometría de X en X ∗∗ .<br />

Definición 2.44. Sea X un espacio vectorial normado. Entonces la inmersión canónica iX es<br />

un isomorfismo isométrico sobre su imagen, que denotaremos por<br />

X def<br />

= iX(X) = {x : x ∈ X}.<br />

Si iX es epiyectiva, es decir, si X = X ∗∗ , decimos que X es reflexivo. En este caso iX es un<br />

isomorfismo isométrico de X en X ∗∗ .<br />

Nota 2.45. Si X es reflexivo, es de Banach, al ser isomorfo con X ∗∗ , que siempre es de Banach.<br />

Lema 2.46. X es de Banach si y sólo si X es un subespacio cerrado de X ∗∗ .<br />

Nota 2.47. En general, para cualquier espacio vectorial normado X, su imagen X es denso en el<br />

subespacio cerrado X de X ∗∗ . Como X ∗∗ es de Banach, X es de Banach. Por tanto X representa<br />

una compleción de X.<br />

16


Lema 2.48. Si X es reflexivo, para todo f ∈ X ∗ , existe u ∈ X con u = 1 y f(u) = f. Es<br />

decir, cada funcional sobre X alcanza su norma en algún punto de la esfera unidad en X.<br />

Nota 2.49. De hecho, X es reflexivo si y sólo si todo funcional sobre X alcanza su norma en<br />

algún punto de la esfera unidad.<br />

Teorema 2.50. 1. Si X es reflexivo entonces X ∗∗ es reflexivo.<br />

2. Si X ∗ es reflexivo y X es de Banach, entonces X es reflexivo.<br />

2.6.2 Anuladores<br />

El tipo de resultado visto, que expresa un propiedad de elementos de X en términos de propiedades<br />

de funcionales continuos, lleva a la noción de dualidad. Consideramos la aplicación<br />

〈·, ·〉 : X × X ∗ → , 〈x, f〉 def<br />

= f(x).<br />

Es una aplicación bilineal (lineal tanto en x ∈ X como en f ∈ X ∗ por separado) y continua en<br />

la topología producto, pues<br />

|〈x, f〉| = |f(x)| ≤ fx.<br />

De hecho, por el Corolario 2.37, 〈, 〉 tiene norma 1 si al producto X × X ∗ le damos la norma<br />

(x, f)∞ = max(x, f),<br />

pues dado x ∈ X, x = 1, sea f ∈ X ∗ con f = 1 y f(x) = x = 1. Entonces (x, f) es<br />

unitario respecto a · ∞ y 〈x, f〉 = x = 1. Observemos además que<br />

〈x, f〉 = 0 ∀x ∈ X ⇐⇒ f = 0<br />

ya que esto simplemente dice que f(x) = 0 para todo x. Por otra parte,<br />

〈x, f〉 = 0 ∀f ∈ X ∗ ⇐⇒ x = 0<br />

es el Corolario 2.39. Estos dos resultados significan que 〈, 〉 es no degenerada. La notación<br />

sugiere la de un producto escalar y la noción de ortogonalidad. Siguendo la analogía geométrica,<br />

se hacen las siguientes definiciones.<br />

Definición 2.51. Sea X un espacio normado. Para un subespacio M ≤ X, el anulador u<br />

ortogonal a la derecha es<br />

⊥ def<br />

M = {f : 〈M, f〉 = 0} = {f ∈ X ∗ : f(x) = 0 ∀x ∈ M} = {f : M ⊆ ker f},<br />

es decir, los funcionales que se anulan sobre M. Para un subespacio N ≤ X∗ , el anulador u<br />

ortogonal a la izquierda es<br />

⊥ def<br />

N = {x : 〈x, N〉 = 0} = {x ∈ X : f(x) = 0 ∀f ∈ N} = <br />

ker f,<br />

es decir, los ceros comunes de todos los f ∈ N.<br />

17<br />

f∈N


Lema 2.52.<br />

1. M1 ⊆ M2 =⇒ M ⊥ 1 ⊇ M ⊥ 2 .<br />

2. N1 ⊆ N2 =⇒ ⊥ N1 ⊇ ⊥ N2.<br />

3. X ⊥ = 0, 0 ⊥ = X ∗ .<br />

4. ⊥ X ∗ = 0, ⊥ 0 = X.<br />

5. M ⊥ = X ∗ ⇐⇒ M = 0.<br />

6. ⊥ N = X ⇐⇒ N = 0.<br />

• Observamos que la dualidad correspondiente para el primer y segundo dual es<br />

En particular, restringida a X es<br />

Esto es análogo a una propiedad de simetría.<br />

〈f, ξ〉X ∗ = ξ(f) : X∗ × X ∗∗ → <br />

〈f, x〉X ∗ = x(f) = f(x) = 〈x, f〉X.<br />

Lema 2.53. Sea X un espacio vectorial normado.<br />

1. Para M ≤ X se tiene<br />

2. Para N ≤ X ∗ se tiene<br />

M ⊥ = ⊥ M<br />

N ⊥ ∩ X = ⊥ N<br />

Proposición 2.54. Sea X un espacio vectorial normado.<br />

1. Si M ≤ X es cualquier subespacio, entonces M ⊥ es cerrado en X ∗ .<br />

2. Si N ≤ X ∗ es cualquier subespacio, entonces ⊥ N es cerrado en X.<br />

3. Para cualquier M ≤ X,<br />

4. Para cualquier N ⊆ X ∗ ,<br />

Si X es reflexivo, entonces<br />

⊥ (M ⊥ ) = M.<br />

( ⊥ N) ⊥ ⊇ N.<br />

( ⊥ N) ⊥ = N = ⊥ (N ⊥ ).<br />

Corolario 2.55. Si M ⊆ X entonces M = X ⇐⇒ M ⊥ = 0.<br />

Corolario 2.56.<br />

18


1. Si N ⊆ X ∗ entonces N = X ∗ =⇒ ⊥ N = 0.<br />

2. Si X es reflexivo, entonces N = X ∗ ⇐⇒ ⊥ N = 0.<br />

Corolario 2.57. Los anuladores a la derecha siempre son espacios de Banach.<br />

Nota 2.58. En cambio, si N ≤ X ∗ es un subespacio cerrado, se tiene solamente ⊥ N = N ⊥ ∩ X<br />

(Lema 2.53). Si X es de Banach, entonces X es un subespacio cerrado de X ∗∗ , y por tanto<br />

⊥ N = N ⊥ ∩ X también es cerrado. Como X ∗∗ siempre es de Banach por el Teorema 1.28,<br />

esto implica que ⊥ N es de Banach (Proposición 1.36) y por tanto ⊥ N es de Banach ya que la<br />

inmersión canónica es una isometría.<br />

Proposición 2.59. Sea X un espacio vectorial normado. Entonces<br />

X ∗∗∗ = X ∗ ⊕ X ⊥ .<br />

Corolario 2.60. Sea X un espacio vectorial normado.<br />

1. Si X es reflexivo, entonces X ∗ es reflexivo.<br />

2. Si X ∗ es reflexivo y X es de Banach, entonces X es reflexivo.<br />

2.6.3 Operador Adjunto<br />

Definición 2.61. Sean X, Y espacios vectoriales normados y T : X → Y lineal. El adjunto<br />

algebraico de T es el operador T ∗ : L(Y, ) → L(X, ) entre los duales algebraicos definido por<br />

T ∗ (f) = f ◦ T, f ∈ Y ∗<br />

Es inmediato verificar que T ∗ es lineal.<br />

X<br />

T ∗ <br />

(f) <br />

<br />

T <br />

Y<br />

<br />

• Si T es continuo, es decir, T ∈ (X, Y ), entonces T ∗ (Y ∗ ) ⊆ X ∗ , y tenemos un operador<br />

T ∗ : Y ∗ → X ∗ ,<br />

pues la composición de operadores continuos es continuo. Nos referimos a este operador como el<br />

adjunto de Banach o simplemente adjunto de T . Es el caso que interesa en Análisis Funcional.<br />

• En términos de la dualidad, la definición de T ∗ es<br />

que equivale a<br />

T ∗ f(x) = f(T x) ∀x ∈ X, f ∈ Y ∗ ,<br />

〈x, T ∗ f〉X = 〈T x, f〉Y<br />

19<br />

∀x ∈ X, f ∈ Y ∗<br />

<br />

f


Proposición 2.62. Sean X, Y espacios vectoriales normados y T : X → Y un operador lineal.<br />

Entonces T es continuo si y sólo si T ∗ (Y ∗ ) ⊆ X ∗ .<br />

Proposición 2.63. Si T ∈ (X, Y ) entonces T ∗ ∈ (Y ∗ , X ∗ ) y T ∗ = T .<br />

Proposición 2.64 (Propiedades algebraicas del adjunto). Sean X, Y, Z espacios vectoriales normados.<br />

1. La aplicación T → T ∗ : (X, Y ) → (Y ∗ , X ∗ ) es lineal:<br />

2. Si T ∈ (X, Y ) y S ∈ (Y, Z) entonces<br />

3. 0 ∗ = 0 (el operador nulo Y ∗ → X ∗ ).<br />

(aS + bT ) ∗ = aS ∗ + bT ∗ , S, T ∈ (X, Y ), a, b ∈ .<br />

4. ∗ X = X ∗, donde X es la identidad X → X.<br />

(ST ) ∗ = T ∗ S ∗ .<br />

5. Si T es un isomorfismo entonces T ∗ también es un isomorfismo, con (T −1 ) ∗ = (T ∗ ) −1 .<br />

6. Si T es epiyectiva, entonces T ∗ es inyectiva.<br />

7. Si T ∗ es epiyectiva, entonces T es inyectiva.<br />

Nota 2.65. En particular, la aplicación Φ : (X, Y ) → (Y ∗ , X ∗ ) dada por Φ(T ) = T ∗ es una<br />

isometría lineal. Si dim X, dim Y < ∞ entonces es siempre un isomorfismo isométrico, pero en<br />

dimensión infinita no tiene por qué ser epiyectiva.<br />

Corolario 2.66. Sean X, Y espacios vectoriales normados. Si T : X → Y es un isomorfismo<br />

isométrico, entonces T ∗ : Y ∗ → X ∗ también lo es.<br />

Proposición 2.67 (Doble Adjunto). Sean X, Y espacios vectoriales normados y T ∈ (X, Y ).<br />

Entonces T ∗∗ ∈ (X ∗∗ , Y ∗∗ ) y el siguiente diagrama es conmutativo:<br />

Es decir,<br />

T<br />

X iX <br />

<br />

Y<br />

iY<br />

X ∗∗<br />

T ∗∗<br />

<br />

<br />

∗∗ Y<br />

T ∗∗ x = T x ∀ x ∈ X.<br />

Corolario 2.68. Sean X, Y espacios vectoriales normados isomorfos. Entonces X es reflexivo<br />

si y sólo si Y es reflexivo.<br />

20


Teorema 2.69. Sean X, Y espacios vectoriales normados y T ∈ (X, Y ). Entonces<br />

1. ker T ∗ = (img T ) ⊥ .<br />

2. ker T = ⊥ (img T ∗ ).<br />

3. ⊥ (ker T ∗ ) = img T .<br />

4. (ker T ) ⊥ ⊇ img T ∗ , con igualdad si X es reflexivo.<br />

Corolario 2.70. Sean X, Y espacios vectoriales normados y T ∈ (X, Y ). Entonces<br />

1. T ∗ es inyectiva si y sólo si img T es densa en Y .<br />

2. Si img T ∗ es densa en X ∗ , entonces T es inyectiva.<br />

3. Si X es reflexivo, entonces T es inyectiva si y sólo si img T ∗ es densa en X ∗ .<br />

Teorema 2.71 (Factorización). Sean X, Y espacios vectoriales normados y T ∈ (X, Y ). Si<br />

M ≤ ker T es un subespacio cerrado de ker T , entonces existe un único operador T ∈ (X/M, Y )<br />

tal que el diagrama<br />

T<br />

X <br />

<br />

Y<br />

<br />

Q <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

T<br />

X/M<br />

conmuta, es decir,<br />

T = T Q<br />

donde Q es la aplicación cociente. Además, se tiene<br />

1. T = T .<br />

2. img T = img T , luego T es epiyectiva si y sólo si T lo es.<br />

3. ker T = ker T/M, luego T es inyectiva solamente en el caso M = ker T .<br />

4. Si T es epiyectiva, entonces T : X/ ker T → Y es continua y biyectiva. En particular<br />

(el rango algebraico).<br />

dim Y = codim ker T = rg T<br />

5. Si T es epiyectiva, entonces cualquiera de las siguientes condiciones son suficientes para que<br />

T : X/ ker T → Y sea un isomorfismo de espacios de Banach ( T −1 continua):<br />

(a) X/ ker T , Y son espacios de Banach,<br />

(b) X, Y son espacios de Banach.<br />

(c) dim Y < ∞. Equivalentemente, rg T < ∞.<br />

21


(Estas condiciones son suficientes pero no necesarias).<br />

Definición 2.72. Diremos que el operador T del Lema anterior es el operador incucido por T<br />

en el cociente X/M.<br />

Teorema 2.73. Sea X un espacio vectorial normado, M ≤ X un subespacio cerrado y Q : X →<br />

X/M la aplicación cociente. Entonces Q ∗ : (X/M) ∗ → X ∗ es un isomorfismo isométrico<br />

Q ∗ : (X/M) ∗ ∼ = M ⊥ .<br />

Teorema 2.74. Sea X un espacio vectorial normado, M ≤ X un subespacio cerrado y i : M →<br />

X la inmersión identidad. Entonces<br />

1. i ∗ : X ∗ → M ∗ es la restricción a M.<br />

2. i ∗ es epiyectiva.<br />

3. ker i ∗ = M ⊥ .<br />

4. i ∗ induce un isomorfismo isométrico X ∗ /M ⊥ ∼ = M ∗ .<br />

Nota 2.75. Si X es un espacio vectorial normado y M ≤ X es un subespacio cerrado, entonces<br />

tenemos la sucesión exacta corta de espacios normados<br />

0<br />

<br />

i Q<br />

M <br />

X <br />

X/M<br />

Los dos teoremas anteriores indican que esta sucesión dualiza, es decir,<br />

0<br />

<br />

∗ (X/M) Q∗<br />

<br />

∗ X<br />

i ∗<br />

<br />

0.<br />

<br />

∗ M <br />

0<br />

también es una sucesión exacta corta, siendo img Q ∗ = ker i ∗ = M ⊥ .<br />

22

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