Passeig matemàtic per Catalunya Teresa Ticó Angerri Curs 1999-2000

media.caballe.cat

Passeig matemàtic per Catalunya Teresa Ticó Angerri Curs 1999-2000

Passeig matemàtic per Catalunya

Teresa Ticó Angerri

Curs 1999-2000


ÍNDEX

[Pàg. 2]

Introducció. Matemàtiques i realitat. La resolució de problemes en l’ensenyament

de les matemàtiques. Els referents de l’entorn. Estructura dels capítols.

Metodologia i avaluació.

[Pàg. 25]

1. Introducció a la teoria de grafs. El laberint d’Horta i altres aplicacions

[Pàg. 76]

2. Santa Maria del Mar i les proporcions numèriques de les finestres gòtiques

[Pàg. 91]

3. Les proporcions en l’arquitectura: reconstrucció del temple romà de Barcelona

[Pàg. 101]

4. La Vil·la de Centcelles i la construcció i superfície de plantes simètriques

[Pàg. 126]

5. La Sagrada Família, els quadrats màgics i les progressions aritmètiques

[Pàg. 135]

6. Els logotips, els rosetons i els grups d’isometries

1


[Pàg. 158]

7. Els frisos, les sanefes i els grups d’isometries

[Pàg. 187]

8. Els mosaics periòdics i els grups d’isometries

[Pàg. 227]

9. El pavelló Mies van der Rohe. Càlcul de dimensions i materials

[Pàg. 238]

10. Pesos i mesures tradicionals a Balaguer. Implantació del Sistema Mètric

Decimal

[Pàg. 254]

11. Mesures tradicionals agràries a Cervera: els tres quartans, la quartera i el jornal

[Pàg. 266]

12. El naixement del metre i altres problemes relacionats amb la mesura de

longituds

2


Introducció

Matemàtiques i realitat

A la pregunta Què són les Matemàtiques?, Philip J. Davis i Reuben Hersch, a Experiència

Matemàtica, comenten, entre d’altres, dues concepcions que descriuen parcialment aquesta

ciència:

Definició 1: Les matemàtiques són la ciència de la quantitat i de l’espai.

Definició 2: Les matemàtiques són la ciència de formació de conclusions necessàries. (Pierce,

1850)

La definició 1, molt generalista, ressalta dos objectes d’aplicació: la quantitat i l’espai, dues

entitats abstractes que sorgeixen de l’observació del món físic i a les quals s’aplica

operacions. Les matemàtiques estan lligades a la percepció i són un instrument específic

d’interpretació i control de la realitat física. Posa l’èmfasi en el vessant relacionat amb

capacitats humanes gairebé innates, associant “l’activitat matemàtica a activitats

fonamentals com comptar, mesurar, explicar, dibuixar i situar” (Keitel, 1996).

Aquestes matemàtiques són presents des dels orígens de la civilització: quan els humans van

necessitar delimitar els camps de conreu i repartir les collites, van mirar el cel i van comptar

els dies que havien de passar perquè la lluna tingués la mateixa forma... En aquesta concepció

no es parla de com les matemàtiques treballen amb les quantitats i l’espai. Ens podem

preguntar: fa matemàtiques el dissenyador d’interiors quan fa una distribució de l’espai?; i el

comptable quan fa el balanç d’una empresa?; el sol fet de treballar amb nombres és fer

matemàtiques?; què caracteritza l’activitat matemàtica i la diferencia d’altres activitats

relacionades amb la quantitat i l’espai?

En la definició 2 es posa l’èmfasi en l’aspecte deductiu de les matemàtiques. Històricament,

els Elements d’Euclídes (s. III a. de J.C.) són el primer treball matemàtic presentat com una

seqüència de proposicions amb enunciats geomètrics que es dedueixen d’uns axiomes

prèviament establerts. No és fins a mitjan segle XIX , amb la formalització de l’anàlisi, i més

tard, a començaments del segle XX, amb la teoria de conjunts, quan s’arriba a la formalització

deductiva i unitària de totes les branques de les matemàtiques. En aquesta definició

extremadament logicísta, no es parla dels continguts, “la matemàtica podria “tractar” de


qualsevol cosa, en la mesura que el seu estudi s’atengui a l’esquema hipòtesi-deduccióconclusió”

(Davis i Hersh, 1982). Les matemàtiques són un producte de la màquina del

pensament, que és capaç de produir -a partir d’uns conceptes bàsics i unes regles de

deducció- uns resultats que formen el cos teòric d’aquesta ciència, independentment del món

físic i de la seva percepció. Com pot ser, doncs, que els resultats d’aquesta producció siguin

models teòrics aplicables a contextos reals molt diferents?

Les dues definicions sobre aquesta ciència ressalten només alguns dels elements que la

componen. En La matemàtica: su contenido, métodos y significado, el matemàtic

Aleksandrov fa una fusió de les dues quan descriu el caràcter específic de les abstraccions

matemàtiques que les diferencia de les abstraccions de les altres ciències:

“Les abstraccions de les matemàtiques es distingeixen per tres trets. En primer lloc, tracten

fonamentalment de les relacions quantitatives i de les formes espacials, abstraient-les de totes

les altres propietats dels objectes. En segon lloc, apareixen en una successió de graus

d’abstracció creixent, i arriben molt més lluny en aquesta direcció que l’abstracció en les

diferents ciències...Finalment, i això és obvi, la matemàtica com a tal es mou quasi per

complet en el camp dels conceptes abstractes i les seves interaccions. [...]

És cert que els matemàtics també fan un ús constant de models i analogies físics, i recorren a

exemples ben concrets. Això constitueix la font real de la teoria i un mitjà per a descobrir

teoremes, però cap teorema pertany definitivament a la matemàtica fins que no ha estat

rigorosament demostrat per un raonament lògic.” (Aleksandrov, 1956)

Aleksandrov posa l’èmfasi en l’origen físic dels resultats matemàtics, en el seu grau

d’abstracció i en la necessitat de la demostració, és a dir, d’encadenar-los mitjançant un

sistema deductiu que els vinculi al cos de les matemàtiques.

Sota aquesta concepció de les matemàtiques com a traducció simbòlica de l’univers, no

provoca cap estranyesa que les matemàtiques siguin aplicables a la realitat. En la història del

pensament aquesta ha estat la concepció pitagòrica de l’univers: el món funciona

matemàticament i les persones que es dediquen a la investigació matemàtica només han de

descobrir aquest funcionament.

A la concepció pitagòrica, Davis i Hersh confronten la idea que les matemàtiques aplicades

són models matemàtics que tendeixen a simplificar una realitat molt més complexa i que

25


esdevenen útils en la mesura que poden preveure una part del seu comportament. Una gran

part de les matemàtiques que es produeixen tenen el seu origen, no pas en el món físic, sinó

en la resolució de problemes plantejats dins de la mateixa matemàtica i això comporta que la

seva aplicabilitat al món real no sigui immediata. Els autors descriuen la producció actual de

matemàtica pura com una sèrie de teories molt especialitzades que parlen d’objectes

matemàtics coneguts per la minoria de científics que es dediquen a l’especialitat, els quals,

per descomptat, les produeixen independentment de la possibilitat d’aplicar-les en la pràctica.

Les aplicacions pràctiques de les teories matemàtiques poden ser immediates, aparèixer

després de molts anys de ser produïdes o no aparèixer mai.

Encara que tots els professionals de les matemàtiques estan d’acord en el fet que les

matemàtiques treballen amb abstraccions, que perquè un nou resultat formi part de les

matemàtiques s’ha de poder deduir de resultats anteriors prèviament deduïts, hi ha una part

important de les matemàtiques que s’apliquen al món físic en sentit ampli. La discussió sobre

el paper de la realitat en l’activitat matemàtica i si les matemàtiques constitueixen un

llenguatge explicatiu del món físic és una discussió oberta, en la qual tenen molt a dir els

professionals de la filosofia de la ciència i els matemàtics preocupats per l’epistemologia de la

ciència a què es dediquen.

Les relacions de les matemàtiques amb la realitat són complexes, i cal tenir en compte aquesta

complexitat a l’hora de decidir quins continguts i quina metodologia cal seguir en

l’ensenyament de les matemàtiques en el nivell de secundària. Un ensenyament molt lligat als

problemes reals pot donar la idea falsa que les matemàtiques són només un instrument

necessari per a resoldre problemes referents a altres matèries, com l’economia, la sociologia,

la física, la química...Per altra banda, les matemàtiques que tradicionalment s’han impartit en

l’ensenyament secundari, en què els diferents conceptes s’han introduït per a poder entendre

26


els que venien a continuació, és a dir, justificant-se per si mateixes, han aportat molt poca

cultura matemàtica a la major part de la població, que les recorda com una sèrie de conceptes

sense cap mena de referent, en general poc aplicables als problemes matemàtics que els

planteja la seva relació quotidiana amb l’entorn: estimar l’alçada d’una casa o la superfície

d’una habitació, tenir una visió crítica de les dades numèriques d’una notícia apareguda en

algun mitjà de comunicació, avaluar mentalment el resultat d’un càlcul elemental...

Cal tenir en compte les relacions de les matemàtiques amb el món real a l’hora de

respondre’ns preguntes com aquestes: com s’han d’ensenyar les matemàtiques, com una

matèria instrumental que dóna eines per a resoldre qüestions referents al món real o bé com

una ciència que constitueix un objecte d’aprenentatge per si mateixa?; quines matemàtiques

s’han d’ensenyar en l’ensenyament secundari obligatori on s’hi troba tota la població, tant els

qui continuaran estudis teòrics com els qui tindran activitats professionals més pràctiques? I,

sobretot, la pregunta que ens fan sovint els nois i les noies a la classe de matemàtiques: per a

què serveixen les matemàtiques que estem estudiant?

Al meu entendre, cal tenir en compte les dues consideracions a l’hora de respondre:

constitueixen una disciplina que dóna una sèrie d’habilitats lògiques que ens permeten

avançar en el coneixement de les coses que ens envolten, i també en l’estudi de la mateixa

ciència.

Resulta paradoxal que se’ns faci la pregunta de la utilitat de les matemàtiques en un moment

en què les seves aplicacions a l’entorn estan augmentant progressivament. Sabem que els

grans avenços tecnològics en la informàtica i la comunicació són possibles, entre d’altres

coses, gràcies a l’aplicació de tècniques matemàtiques sofisticades. Els treballs estadístics

apareixen en una gran diversitat de contextos: des de les prospeccions sobre el comportament

electoral d’una població fins a l’efectivitat d’un tractament per a guarir una malaltia

determinada. L’organització de les empreses i de l’economia es basen en teories

matemàtiques. Tot això ho sabem però, malgrat tot, les matemàtiques amb paraules de Juan

Luis Herrero i José Lorenzo són invisibles per a la majoria de la població. Segons els autors,

el motiu d’aquesta invisibilitat és que “Les Matemàtiques tendeixen a construir models de la

27


ealitat prenent-ne solament alguns aspectes, de manera que poden ser usades en molts

contextos diferents. Això comporta una abstracció evident. Aquesta tendència a la

generalització és a la vegada la font de l’èxit de les matemàtiques i la raó de la seva

invisibilitat. Atès que el model és útil en situacions reals diverses, sembla que és el llenguatge

adequat per a la comprensió de la realitat. Però aquesta “mutilació” de la multiplicitat dels

aspectes que la vida presenta, fa que les Matemàtiques no apareguin en la superfície de les

qüestions de què s’ocupa, sinó en la seva estructura més profunda. No és estrany, per tant,

que per a un observador poc avisat, la seva presència passi quasi desapercebuda” (J. L.

Herrero y J. Lorenzo, 1998).

Mostrar els dos aspectes de la matemàtica, el formal i el més directament aplicable, ha de ser

un dels objectius de les matemàtiques en un ensenyament dirigit a una població diversa per a

la major part de la qual aquesta matèria serà útil com a instrument per a interpretar i operar

d’una manera específica sobre la realitat que l’envolta, mentre que només una part petita

d’aquesta població la necessitarà per a desenvolupar estudis més especialitzats.

Precisament pel caràcter “ocult” que tenen les matemàtiques en la realitat de vegades és

complicat trobar activitats adequades encaminades a transmetre la concepció de les

matemàtiques com ”un llenguatge potent, concís i sense ambigüitats d’anàlisi de situacions

problemàtiques de l’entorn” (Informe Cockoft, 1982). Aquest treball pretén ser una aportació

de recursos per treballar aquest aspecte de les matemàtiques.

Les activitats relacionades amb la realitat es presenten en l’ensenyament de les matemàtiques

a secundària en dos contextos: en la llista d’activitats d’aplicació d’un contingut teòric donat

prèviament i en activitats, de vegades extracurriculars, en què es fa la lectura i l’estudi

matemàtic d’un objecte o d’un fenomen real. En molts llibres de text de secundària, al final de

cada unitat, trobem exercicis amb contextos més o menys reals, alguns dels quals d’una certa

artificialitat, en què s’apliquen els continguts que s’han exposat en la unitat. En els darrers

anys s’observa un esforç per part d’aquestes publicacions per augmentar la varietat

d’exercicis i actualitzar-ne els enunciats en la línia de presentar situacions de l’entorn

vivencial i cultural de l’alumnat que, a més, transmetin els valors continguts en els eixos

transversals de l’ensenyament obligatori: educació no discriminatòria, foment del respecte i la

28


conservació de la natura o actitud crítica enfront al consum. Queda encara camí per recórrer

fins que els llibres de text no continguin la varietat desitjable d’aquesta mena d’activitats.

En el segon context hi trobem les activitats matemàtiques que, partint d’un objecte o d’un

fenomen real, busquen fer-ne una lectura matemàtica amb la finalitat de categoritzar-lo, fer-ne

conjectures i operar-hi matemàticament de manera que augmenti el nostre coneixement de la

realitat i, per tant, la possibilitat de controlar-la i transformar-la.

És en aquesta segona mena d’activitat on es posa més de manifest el significat de la

modelització matemàtica de la realitat en el sentit d’extraure només els elements que es

puguin categoritzar matemàticament per a poder aplicar-los operacions o transformacions

matemàtiques. És en aquest sentit que la modelització “mutila” l’objecte amb la finalitat

d’augmentar el coneixement que en tenim. Per exemple, si partim d’un fris situat a la façana

d’un edifici, una possible lectura matemàtica d’aquest objecte és buscar-ne el patró mínim i

les isometries que s’ han d’aplicar per generar-lo. A partir d’aquí podem classificar el fris

segons el seu grup d’isometries. En aquest estudi es prescindeix de la forma del motiu, del

material de què està fet, de la seva mida, de la seva situació respecte dels altres elements que

composen la façana..., característiques que segurament permeten classificar el fris en un

corrent arquitectònic, o datar-lo cronològicament o reconèixer-ne l’origen artesà o industrial.

L’anàlisi matemàtica que s’ha fet del fris aporta un coneixement més sobre aquest element

arquitectònic. Adjuntar aquesta visió científica als objectes que tradicionalment han estat

objecte dels estudis anomenats humanístics, dóna una idea més completa i unitària del

coneixement racional com a manera d’aproximar-se al món.

Saber a quin grup d’isometries pertany un fris permet comparar-lo amb altres frisos, sanefes o

bandes decoratives que poden aparèixer en objectes diversos, com ara una punta de coixí o

l’arquivolta de pedra de la porta d’una església gòtica, que difícilment relacionaríem. És aquí

on es pot apreciar la capacitat de generalització que tenen els conceptes matemàtics i la

diversitat d’aplicacions d’una mateixa teoria.

L’estudi matemàtic del fris augmenta el coneixement sobre les isometries, ens estimula a fernos

un seguit de preguntes pròpies de l’activitat matemàtica: quines són les isometries què es

poden aplicar a un motiu perquè generi un fris?; quantes isometries es poden aplicar en un fris

perquè quedi invariant?; quantes sanefes diferents es poden generar a partir d’un mateix

motiu?. Ens motiva, també, a ampliar el coneixement matemàtic a conceptes més generals i

formals, com la teoria de grups que obre un camp d’aplicacions molt més extens.

29


Aquesta mena d’activitats ajuden a entendre les matemàtiques com una ciència que permet

estudiar des d’una altra òptica els objectes i fenòmens de l’entorn. La recerca de l’ordre, la

regularitat i la proporció ha estat un dels mòbils de l’activitat humana. El plaer estètic que la

dedicació a aquesta recerca produeix és acceptat comunament com una component de les

accions dels artistes, però rarament com a integrant de l’acció científica. Les matemàtiques en

les seves diferents branques - àlgebra, aritmètica i geometria- tenen un gran potencial per a

resoldre problemes relatius a aquests conceptes, que presentats de forma entenedora poden ser

molt atractius. Guiar l’alumne en la descoberta de l’estètica de la creació científica és un dels

objectius de l’ensenyament que un cop assolit permet obrir nous camps de coneixement

sobre la realitat . Apreciar i fruir del component matemàtic del pensament té una importància

fonamental en l’aprenentatge d’aquesta ciència.

És difícil buscar exemplificacions en el món físic per a afavorir la comprensió de les

abstraccions matemàtiques adequant-les a la maduresa intel·lectual dels alumnes. Les

matemàtiques són un ciència abstracta, i encara que alguna de les seves parts té origen en el

món empíric, una bona part es fa amb independència d’aquestes fonts. La manera d’arribar a

aquesta abstracció és diferent en cada individu, però és estrany que al nivell de secundària es

pugui aprendre sense preguntar-se per les aplicacions immediates d’allò que s’està aprenent i

les seves relacions amb l’entorn físic. L’alumne de secundària, per molt que pugui apreciar la

bellesa de les matemàtiques o que les entengui com un repte per a la ment, necessita referents

relacionats amb la seva realitat quotidiana que li facilitin la motivació i la comprensió de la

matèria.

És en aquest segon grup d’activitats on s’engloben les que es presenten en aquest treball, en

què, a partir de l’observació d’objectes situats fora de l’aula (edificis, monuments, objectes

decoratius, objectes de mesura, elements arquitectònics) que s’han de dibuixar, fotografiar,

mesurar o manipular, seguint uns passos seqüenciats en exercicis detallats, es pretén fer una

lectura matemàtica d’aquests objectes, operar-hi i arribar a altres resultats més generals.

Tradicionalment les activitats relacionades amb la vida real s’han considerat més

engrescadores per als alumnes que els exercicis rutinaris i sense significació. Algunes vegades

s’han presentat aquestes activitats com a solució als diversos conflictes en què ens trobem en

l’ensenyament de les matemàtiques: escassa motivació en la realització d’exercicis repetitius,

manca de comprensió pel caràcter excessivament abstracte dels conceptes i manca

d’autonomia a l’hora d’aplicar els coneixements adquirits a l’aula a altres contextos de

30


l’entorn quotidià. Cal ser, però, una mica cauts a l’hora de presentar aquestes activitats com a

panacea de la didàctica de les matemàtiques.

Els mòbils d’actuació de l’alumnat són d’índole molt diversa i alguns no han pas de coincidir

amb els que ens semblen més adequats als ensenyants. En aquest sentit és interessant l’estudi

que el matemàtic André Antibi (1999) va presentar en les IX Jornades Aprenentatge

Ensenyament de les Matemàtiques a Lugo. Antibi va fer un experiment consistent a recollir

els resultats d’un qüestionari on es presentava un mateix problema d’optimització (la

inscripció d’un rectangle d’amplada donada i de longitud màxima en un rectangle donat) sota

dos enunciats diferents: un sobre objectes de la vida quotidiana (un regle d’amplada donada

que es vol col·locar dins una maleta rectangular de dimensions donades) i l’altre plantejat en

llenguatge geomètric i amb la incògnita simbolitzada. Al qüestionari no es proposava resoldre

el problema, sinó que es preguntava per la preferència entre els dos enunciats i el motiu de

l’elecció.

Entre els professionals de l’ensenyament l’elecció generalitzada va ser el primer enunciat,

consideraven l’enunciat motivant i útil per a la vida quotidiana. Les respostes entre els

estudiants van ser més diversificades: un 49% es va inclinar pel primer enunciat, un 34% pel

segon, mentre que a un 17% li resultava indiferent. La inclinació pel primer enunciat no és tan

forta com es podia esperar, essent més important en els cursos amb millors rendiments en

matemàtiques i que, per tant, han manifestat una notable capacitat d’abstracció.

L’experiment d’Antibi fa notar que no és clar que els alumnes i les alumnes amb més

dificultats de comprensió conceptual s’aboquin a resoldre problemes d’índole més pràctica.

L’autor apunta altres motivacions que tenen a veure menys amb els continguts i més amb les

actituds:

“Per començar, l’èxit. Un alumne que té èxit en les seves tasques agafa gust, en general, a

allò que fa i se sent motivat. No es tracta, però, de plantejar només exercicis fàcils. Penso

que cal distingir els treballs sotmesos a una avaluació i els altres. Els primers han de ser

accessibles a la gran part, recórrer a activitats anàlogues a les treballades per l’alumne,

recompensar el treball realitzat. Per descomptat, s’han de proposar a l’alumne altres

activitats més obertes; llavors s’insistirà més en les idees de resolució que en la resolució

completa de l’exercici.” (Antibi, 1999)

31


Molts cops l’aplicació repetida d’un mateix procediment en exercicis molt similars, encara

que es faci sense referents concrets, pot aportar a l’alumna el grau de confiança en ell mateix

necessari per a afrontar situacions més complexes, com són de vegades els problemes

d’enunciat més obert sobre contextos reals, i per a generar actituds positives envers les

matemàtiques.

32


La resolució de problemes en l’ensenyament de les matemàtiques

Imre Lakatos, en la introducció de Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento

matemático (1976) critica la concepció formalista de les matemàtiques que tendeix a

identificar-les amb la seva abstracció axiomàtica formal. Segons aquesta identificació, cap

teoria matemàtica en el període creatiu no constitueix vertaderes matemàtiques fins que no

arriba a la seva presentació axiomàtica.

En la seva concepció de les matemàtiques Lakatos s’interessa més per la lògica del

descobriment i afirma que l’activitat matemàtica “no es desenvolupa mitjançant un monòton

augment del nombre de teoremes indubtablement establerts, sinó que ho fa mitjançant la

millora incessant de les conjectures, gràcies a l’especulació i a la crítica, seguint la lògica de

proves i refutacions” (Lakatos, 1976).

El fet d’optar per aquesta concepció de les matemàtiques, unit amb la teoria didàctica segons

la qual l’aprenentatge d’una ciència ha de reproduir d’alguna manera els processos presents

en l’activitat científica per tal de desenvolupar en els estudiants els hàbits de pensament que

li són propis, fa palesa la necessitat d’optar per un ensenyament de les matemàtiques en què la

pràctica de l’activitat matemàtica per part dels estudiants jugui un paper central.

L’anàlisi dels mecanismes de pensament i la metodologia de l’activitat matemàtica han estat

estudiats des de les matemàtiques i la filosofia de la ciència pels principals pensadors de la

nostra tradició cultural: Plató, Kant i Einstein en són exemples.

Dins de l’activitat matemàtica ens centrarem en la resolució de problemes i ens fixarem en

alguns matemàtics que hi han reflexionat i sobre les fases que la componen, des de l’òptica

de l’ensenyament de les matemàtiques.

Pappus d’Alexandria (320 d. de J.C.), en el llibre VII, presenta unes reflexions sobre els

processos de raonament que s’apliquen en la resolució de problemes geomètrics, entre ells el

mètode anàlisi – síntesi. Segons la descripció que fa Polya (1957) del mètode de Pappus, “

l’anàlisi consisteix a donar per cert allò que es vol demostrar i raonant “cap endarrere”

buscar de quin antecedent es podria deduir el resultat desitjat, desprès buscar l’antecedent

de l’antecedent i així successivament fins a arribar a alguna cosa coneguda o admesa com a

certa. Pel contrari, en la síntesi, invertim el procés: partint de l’últim punt assolit en

l’anàlisi, deduïm allò que el precedia en l’anàlisi i, seguint aquest procés, arribem finalment

33


a allò que volíem demostrar. Distingeix entre dues menes de problemes geomètrics en els que

aplicar el mètode anàlisi-síntesi: els de “demostració” i els de “resolució” on se’ns demana

trobar una incògnita, i explica com s’ha de procedir en cada cas.”

René Descartes, en el seu Discurs del mètode per a dirigir bé la raó i buscar la veritat en les

ciències (1637), dóna quatre preceptes per dirigir bé el pensament que són perfectament

aplicables a la resolució de problemes: primer, admetre només com a vertaderes les coses que

es presenten a la raó com a evidents: clares i distintes; segon, dividir la qüestió estudiada en

parts senzilles i que es presenten com a evidents davant la raó; tercer, a partir de les

naturaleses simples i procedint per raonaments deductius (clars i diferents), arribar a

coneixements més complexos; quart, fer enumeracions completes i revisions generals per no

ometre res. Descartes aplica el seu mètode a la seva metafísica i cosmologia, però on es

mostra realment efectiu és en els seus treballs matemàtics, que posen les bases de la geometria

analítica i que en una gran part es troben en La Geometria, una de les obres científiques de

l’autor prologada pel Discurs del Mètode.

L’obra que ha esdevingut clàssica en el tema de la resolució de problemes és l’obra del

matemàtic nord-americà George Polya How to solve it, apareguda l’any 1945, amb versió

definitiva en la segona edició revisada de 1957.

Polya distingeix quatre fases que es presenten en l’abordatge i la resolució d’un problema:

• Comprensió del problema.

• Buscar les relacions entre les dades i la incògnita i traçar un pla.

• Execució del pla.

• Un cop trobada la solució, examinar-la i discutir-la.

L’autor dóna un llista de preguntes-suggeriments que tendeixen a provocar les operacions

intel·lectuals necessàries per a superar cada una de les fases de la resolució del problema. Si

en un principi és el professor o la professora el que formula les preguntes per tal de guiar

l’estudiant en el seu aprenentatge dels mètodes de resolució, la finalitat última és que

l’aprenent acabi el seu ensenyament interioritzant aquestos processos mentals.

34


Polya posa la resolució de problemes en el centre de l’aprenentatge de les matemàtiques i

dedica la seva obra a descriure i fer conscients els processos intel·lectuals que es mobilitzen

en aquesta activitat, i defensa que l’aprenentatge d’aquests processos, que anomenem

estratègies heurístiques, farà que actuïn instintivament quan es presenta un problema per

resoldre.

Polya ha estat un punt de referència important per a tots els professionals que han fet de la

resolució de problemes una metodologia de l’ensenyament de les matemàtiques. Algunes

crítiques que s’han fet al mètode de Polya afirmen que tan sols amb la pràctica de la resolució

de problemes no s’aprenen els mètodes de resolució i que no està comprovat que

l’ensenyament d’estratègies heurístiques generals faciliti la resolució de problemes que

impliquin contextos nous. Aquests crítics defensen que el rendiment dels alumnes en la

resolució de problemes pot millorar si adquireixen un gran nombre d’estratègies petites i molt

específiques associades a dominis determinats del coneixement de la matèria, més en la línia

dels exercicis tradicionals d’aplicació d’una part conceptual prèviament establerta.

S’acostuma a anomenar model de resolució de problemes o model heurístic el corrent de la

didàctica de la matemàtica que classifica i analitza les fases del procés de resolució de

problemes, els suggeriments i estratègies heurístiques i els diferents aspectes d’ordre cognitiu,

emocional, cultural, científic, etc. que intervenen en el procés.

Les metodologies d’aprenentatge basades en el model heurístic, derivades d’una pedagogia

més activa, han agafat cada vegada més força en l’ensenyament de les matemàtiques a

secundària. Tal com indica Clements (1999), l’anàlisi d’aquesta metodologia passa per

reflexionar sobre un seguit de qüestions: “Què és un problema matemàtic?. Com es pot

dissenyar, posar a la pràctica i avaluar un currículum de matemàtiques basat en la resolució

de problemes? “

Una bona definició, per la seva amplitud, de problema en aquest context és la que dóna

Antoni Vila: “Un problema és una situació que ens ve formulada verbalment, gràficament o

simbòlicament, i en la qual hi ha (de forma explícita o a partir d’una reformulació pròpia

posterior) un propòsit per al qual no es coneix un camí evident per assolir-lo.” (Vila, 1998).

35


Entendrem la resolució de problemes com a metodologia d’aprenentatge com aquell

ensenyament de les matemàtiques en què l’alumne construeix el seu coneixement a partir de

la resolució de problemes que tendeixen a reproduir els processos de pensament propis de les

matemàtiques. Els continguts procedimentals necessaris per a resoldre’ls s’aniran introduint

en la mesura que siguin necessaris per a trobar la solució del problema.

En aquesta metodologia es posa l’èmfasi en el procés més que en el resultat final. Això

determina una avaluació més àmplia en què es valora el grau de domini de les diferents

estratègies heurístiques en cada fase de la resolució d’un problema.

Dins d’aquest enfocament, l’alumnat construeix el seu coneixement matemàtic a partir de la

pràctica de les habilitats del pensament que són pròpies d’aquesta ciència, com ara la

simbolització, l’abstracció, el plantejament de conjectures i l’ús de procediments matemàtics.

El mètode de plantejament i resolució de problemes va néixer de la crítica a l’ensenyament

tradicional a partir de l’observació de l’escassa autonomia dels alumnes per a enfrontar-se

amb un problema que no pertanyi directament a un model dins d’un domini conegut i de la

falta de significació que per a gran part de la població escolaritzada han tingut les

matemàtiques.

Les principals crítiques que es fan a aquesta metodologia aplicada a l’ensenyament secundari

són d’ordre conceptual intern i d’ordre organitzatiu extern.

Dins de les primeres es poden assenyalar:

Les mancances en l’aprenentatge dels algoritmes i en el domini de certes rutines que

formen part dels continguts procedimentals matemàtics bàsics necessaris tant per a

afrontar problemes que plantegin noves situacions com per a futurs estudis de

matemàtiques. Si bé en el sistema tradicional l’aplicació d’algorismes ocupa una part

massa considerable de l’activitat matemàtica dels estudiants, amb la pràctica

d’exercicis repetitius i rutinaris, l’adquisició d’aquestes destreses comporta altres

beneficis, com ara l’augment de seguretat a l’hora d’executar el pla per a resoldre un

problema i l’adquisició d’una actitud crítica més acurada a l’hora d’avaluar els

resultats de l’aplicació d’aquests algoritmes obtinguts amb les calculadores

(aritmètiques, científiques o gràfiques).

La dificultat d’introduir el llenguatge algebraic i l’obtenció i demostració de relacions

algebraiques des d’una metodologia de resolució de problemes, ja que no és freqüent

que certs continguts algebraics, com ara les operacions amb expressions polinòmiques

36


de grau més gran que 2, es puguin plantejar en situacions significatives per a

l’alumnat.

La presentació de la geometria en el seu vessant més descriptiu i figuratiu en què les

propietats de les figures es dedueixen més per mètodes inductius que deductius.

En resum, es tem per una pèrdua del domini de la pràctica d’algoritmes, de les estructures

conceptuals algebraiques i de la pràctica de la demostració, elements que formen part

estructural de les matemàtiques.

Dins de les dificultats d’ordre extern convé assenyalar:

L’escassetat d’hores de classe per a aplicar una metodologia en què l’aprenentatge es

realitza d’una manera més significativa, però requereix una major inversió de temps

per a introduir continguts i donar continuïtat al procés de resolució de problemes. El

professorat es mou en la contradicció d’una major exigència social de qualitat en la

formació de ciutadans amb una cultura matemàtica bàsica i una disminució de

l’assignació horària a la matèria. Hem de fer-ho millor amb menys temps!

La manca d’adequació d’algunes parts del currículum actual a l’aplicació d’una

metodologia activa, com ara, per exemple, les operacions amb radicals.

L’escassetat de materials curriculars i de recursos adequats a un ensenyament basat en

la resolució de problemes.

Dificultats per a d’avaluar els resultats en un aprenentatge més obert que valora els

processos, enfront de l’avaluació de l’aprenentatge de tècniques matemàtiques simples

que es poden descriure amb precisió i asseguren resultats visibles.

Són molts els articles en les revistes, comunicacions i taules rodones en els congressos de

didàctica de les matemàtiques en què es debat sobre quina és la metodologia més adequada

en l’ensenyament secundari: la pràctica escolar tradicional d’aplicar els continguts matemàtics

a un seguit de problemes que pertanyen al domini d’aquests continguts o bé la metodologia de

resolució de problemes, que comporta una nova organització del currículum i de l’aula.

Una gran part de les conferències i comunicacions dels congressos sobre l’ensenyament de les

matemàtiques exposen experiències didàctiques centrades en la resolució de problemes i

aporten materials curriculars atractius i de gran riquesa heurística, ja sigui pel seu lligam amb

l’entorn, o pels conceptes i procediments que se’n deriven.

37


En la major part de les taules rodones que es fan sobre quines matemàtiques cal ensenyar en

l’ensenyament secundari obligatori, on intervenen pedagogs, tots els participants estan

d’acord que cal que la població adquireixi l’anomenat pensament matemàtic per tal que pugui

fer una lectura matemàtica del seu entorn i abominen d’un ensenyament excessivament teòric

i buit de continguts significatius. De vegades s’oblida que el pensament matemàtic requereix

un grau de capacitat d’abstracció i que ensenyar i aprendre aquesta capacitat ja sigui per

mètodes actius o per mètodes tradicionals requereix un esforç i una maduresa intel·lectual de

l’alumnat que, per diferents factors, és difícil d’aconseguir en l’ampli ventall de tipologies

que trobem a les aules.

La realitat és que les matemàtiques teòriques, compostes de definicions i demostracions, són

percebudes pels alumnes com la part de l’assignatura que corre a càrrec del professorat i les

valoren en la mesura que els donen receptes per a resoldre els exercicis, que és l’activitat en

què ells participen. La constatació que els alumnes no escolten ni participen en les

explicacions teòriques fa que en les classes de matemàtiques les activitats d’aplicació cada

vegada ocupi un espai més important. Això comporta que el professorat cerqui, cada vegada

més, mecanismes heurístics per a introduir els aspectes conceptuals que està interessat a

transmetre.

També el fet de tenir a l’abast calculadores i suports informàtics per a la resolució

d’algoritmes poc formatius, com ara les llargues operacions amb decimals, l’aproximació

d’arrels o el càlcul de paràmetres estadístics, permet una major dedicació als problemes més

rics en continguts que els típics exercicis d’aplicació d’algoritmes.

En la pràctica quotidiana de l’ensenyament de les matemàtiques a secundària, tret dels

departaments de matemàtiques que han fet l’opció més radical d’aplicar la metodologia de

resolució de problemes amb la consegüent adaptació del currículum, es van incorporant

elements innovadors, com són les activitats matemàtiques més obertes i significatives per la

seva relació amb l’entorn. De vegades aquestes activitats formen part d’un crèdit variable de

resolució de problemes, a Catalunya; o del Taller de resolución de problemas, en les

comunitats que es regeixen pel currículum de secundària del Ministerio de .Educación y

Ciencia. Altres vegades s’utilitzen en les parts de la matèria, com l’estadística, que, pel seus

continguts, són més adequades per al plantejament de problemes situats en contextos reals.

També en les activitats multidisciplinàries que, sota un tema monogràfic, constitueixen els

Crèdits de Síntesi que prepara l’equip de professors de cada Centre, sovint des de l’àrea de

38


matemàtiques apareixen dificultats per a relacionar els temes programats amb la nostra

matèria, sobretot si aquestes activitats impliquen sortides fora del Centre, de manera que

l’aportació des de l’àrea queda relegada a un paper purament instrumental d’altres matèries.

En aquest àmbit també ha calgut fer un esforç d’elaboració d’activitats matemàtiques

relacionades amb l’entorn.

Sigui com sigui la manera com cada centre introdueix les activitats matemàtiques en

contextos significatius, resulta indispensable disposar d’un bon conjunt de materials i

propostes, que normalment no es troben en els llibres de text, per tal de poder escollir les

pràctiques o recursos més adequats a la tipologia de l’alumnat, a la part de la matèria que

s’està treballant i a l’organització del currículum del centre.

Les activitats matemàtiques que es proposen en aquest treball responen a aquesta necessitat

d’augmentar el conjunt de materials i recursos pedagògics per a l’ensenyament de les

matemàtiques al nivell de secundària i de donar a l’alumne una visió de les matemàtiques com

a ciència integrada al conjunt de coneixements i realitzacions humanes.

Les activitats estan presentades en forma d’exercicis amb enunciats detallats i seqüenciats que

tenen com a objectiu aplicar procediments matemàtics coneguts per l’alumne a objectes

històrics i artístics, arquitectònics o urbanístics amb la finalitat d’interpretar i augmentar el

coneixement general de l’objecte des d’un punt de vista matemàtic.

S’ha intentat que cada activitat contingui des d’exercicis que requereixin habilitats

relacionades amb la manipulació de l’objecte, com ara mesurar, dibuixar i comptar, fins a

exercicis que requereixen un pensament formal més elaborat, com ara, establir relacions

algebraiques i demostrar, mirant de crear situacions d’aprenentatge que puguin satisfer les

necessitats de gran part de l’alumnat.

Les activitats estan relacionades amb visites a diferents indrets de Catalunya, alguns dels

quals també visitats en sortides pedagògiques relacionades amb altres matèries, i s’hi posen de

manifest els aspectes que impliquin una feina matemàtica. Ressaltar els possibles elements

matemàtics que formen part d’algunes obres arquitectòniques, artístiques o urbanístiques

permet entendre les matemàtiques com un codi més per a poder interpretar l’entorn i alhora

pot constituir un al·licient perquè l’alumne s’interessi per la teoria matemàtica subjacent.

En aquests moments els professors i les professores de secundària ens trobem davant de

situacions problemàtiques noves, degudes tant al canvi del sistema educatiu com al canvi

39


cultural i tecnològic de la societat. Disposar de recursos pedagògics que permetin diversificar

les activitats en l’aprenentatge de les matèries pot ajudar a afrontar aquestes dificultats.

És cert que la nostra és una matèria que no necessita experimentació empírica ni habilitats

manipulatives, però si que requereix una bona dosis d’imaginació i de capacitat d’abstracció.

Tenir models materials de l’entorn físic que suggereixin alguna activitat matemàtica que

serveixi d’introducció en algun camp nou o d’il·lustració d’algun tema ja tractat des d’un punt

de vista més teòric pot ajudar l’alumne en l’adquisició d’aquestes habilitats i contribuir a

millorar l’aprenentatge d’aquesta matèria.

40


Els referents de l’entorn

La relació d’objectes i fenòmens urbanístics, arquitectònics i històrics estudiats es troba

agrupada en blocs temàtics corresponents a cada un dels capítols del treball que es presenta

després d’aquesta Introducció.

1. Introducció a la teoria de grafs

Els Jardins del Laberint d’Horta de Barcelona

Una ruta per uns carrers de Barcelona

Les vies ràpides de Barcelona

La xarxa ferroviària de la província de Lleida

2. Proporcions geomètriques en les finestres gòtiques

Església de Santa Maria del Mar de Barcelona

3. Les proporcions en l’arquitectura

El temple romà de Barcelona

4. Disseny i superfície d’edificis de plantes simètriques

La vil·la romana de Centcelles (Constantí)

5. Els quadrats màgics

La Sagrada Família de Barcelona

6. Els rosetons i els grups de simetria

Logotips urbans

Rosetó i claustre de la Catedral de Barcelona i rosetó de Santa Maria del Mar

41


Rosetó i claustre de la Seu Vella de Lleida

Rosetó i claustre de la Catedral de Tarragona

7. Els frisos i les sanefes

La porta dels Fillols de la Seu Vella de Lleida

Un edifici curiós de l carrer Pompeu Fabra a Girona

8. Els mosaics periòdics

Les rajoles del Passeig de Gràcia de Barcelona

Mosaics del Museu de la Ceràmica de Barcelona

Mosaics del Museu d’Art de Girona

Mosaics hidràulics de començaments de segle

42


9. Càlcul de dimensions i de materials

Pavelló Mies van der Rohe de Barcelona

10. Pesos i mesures tradicionals. Implantació del S. M. D.

Mercat setmanal de Balaguer

Museu Comarcal de Balaguer

Un camp de conreu a Balaguer

11. Les mesures tradicionals agràries

Museu del gra i de la pagesia de Cervera (Lleida)

12. El naixement del metre i altres problemes relacionats amb la mesura

Monument a la mesura del meridià de la Plaça de les Glòries de Barcelona

Monument commemoratiu de la triangulació de Merchain al peu de la Torre del Rellotge

del Moll dels Pescadors a la Barceloneta

43


Estructura dels capítols

Cada una d’aquestes unitats temàtiques ve estructurada de la forma següent:

1. Fitxa per al professorat. S’hi especifica:

1.1. El nivell de secundària a què està adreçat.

1.2. Els coneixements previs que ha de tenir l’alumnat per a poder realitzar els

diferents exercicis que componen la pràctica.

1.3. Els objectius didàctics que descriuen les capacitats que l’alumnat

adquireix, practica o reforça amb la realització de l’activitat.

1.4. El potencial multidisciplinar, és a dir, la interrelació amb els continguts de

les altres àrees.

1.5. Les orientacions didàctiques, que donen suggeriments i orientacions per a

la realització d’alguns dels exercicis que componen la pràctica.

1.6. Les característiques de la sortida matemàtica: adreça, mitjans de transport i

com concertar, si escau, la visita en grup.

1.7. La relació del material gràfic (plànols, il·lustracions, etc.), juntament amb

la seva procedència.

2. Material per a l’alumnat. Consta d’exercicis i petites explicacions teòriques que

hauria de tenir cada alumne per a la correcta realització de l’activitat. Dins de cada

unitat temàtica els exercicis són de tipologia diferent.

Observació de l’objecte, per a la qual cosa és indispensable la presència física de

l’alumne per a poder fer fotografies, mesures, croquis o apunts de dades.

L’alumne ha de prendre decisions, com ara quines són les característiques més

rellevants per a allò que es vol estudiar, quins instruments o unitats de mesura

són més adequats, etc.

Plantejament i resolució del problema resolt en l’obra estudiada i plantejament

de problemes similars seguint el mateix model de resolució del problema inicial.

Introducció, si escau, al contingut conceptual matemàtic treballat. Els conceptes

matemàtics utilitzats poden servir d’introducció a temes nous o de reforçament

de temes ja coneguts per l’alumnat.

Resolució de problemes més avançats dins d’aquest marc conceptual.

44


El material dirigit a l’alumne es presenta, doncs, estructurat en una sèrie de tasques

esglaonades per nivells d’abstracció. Les activitats matemàtiques proposades de bon

començament requereixen bàsicament habilitat manipulativa i capacitat

d’observació. Les tasques del bloc que venen a continuació comporten l’adquisició

d’uns procediments matemàtics aplicats en l’obra estudiada i la seva aplicació en

problemes que tinguin un mateix mètode de resolució. Més endavant es troba la part

de formalització teòrica dels procediments que ja s’han aplicat. Els exercicis finals

són l’aplicació dels continguts conceptuals adquirits a altres tipus de problemes. Les

tasques així estratificades permeten atendre la diversitat de l’alumnat, ja que, encara

que els quatre blocs estan encadenats, es poden anar realitzant seqüencialment,

cobrint les expectatives dels alumnes, des dels que necessitaran en el seu futur

professional una visió de les matemàtiques més connectada amb la vida diària i amb

les aplicacions pràctiques d’aquesta ciència fins als que estiguin interessats a

millorar la seva preparació per a poder continuar estudis matemàtics superiors.

3. Referències bibliogràfiques. Adreçada tant als professors com als alumnes, la

bibliografia reuneix dos aspectes: material sobre l’obra estudiada des del punt de

vista humanístic i tècnic; i material sobre el bloc temàtic estudiat des d’un punt de

vista didàctic, fent referència a articles de revistes especialitzades en l’ensenyament

de les matemàtiques i de les ciències en general que hagin tocat aquest tema des

d’un punt de vista innovador.

4. Exercicis resolts. La major part dels exercicis de cada pràctica estan resolts de

manera molt esquemàtica al final de cada capítol només s’han deixat per resoldre

els exercicis de caràcter obert o molt repetitius.

45


Metodologia i avaluació

El professorat que vulgui portar a la pràctica alguna d’aquestes activitats ha de considerar

quina és la millor manera de fer-ho: amb els alumnes treballant en grup o individualment.

Molts educadors valoren positivament el fet de treballar les activitats matemàtiques en grups

reduïts de dos o tres alumnes. Les petites agrupacions afavoreixen la col·laboració i la

compartició de les habilitats i coneixements previs. També és bo per als alumnes amb més

dificultats ja que no han de confrontar els seus coneixements amb els de la resta de la classe

majoritàriament més avançada.

Es recomana que si es fa l’opció del treball en grup siguin grups uniformes per tal que les

aportacions de cada membre siguin de nivell semblant, de manera que s’estimulin mútuament

en la realització de la feina i no es provoquin situacions d’abandó de la tasca, de parasitisme o

d’explotació.

Convé que l’alumnat treballi tan autònomament com sigui possible, però caldrà estar atents a

les situacions de bloqueig o de línia de treball errònia per a introduir els aclariments

col·lectius o individuals que siguin necessaris.

En els casos en què no calgui concertar la visita prèviament i el lloc sigui cèntric per als

alumnes, se’ls pot dir que aprofitin d’anar-hi pel seu compte i que facin la tasca d’observació

indicada en els exercicis.

Com tota activitat relacionada amb el treball matemàtic que es realitza en un període

determinat, aquesta ha de ser avaluable i tenir un pes en la qualificació de l’alumnat. A part de

valorar la participació i l’actitud general respecte al treball, l’alumne hauria de presentar al

final de la pràctica un dossier on constessin les dades recollides, els exercicis i els problemes

resolts i explicats donant justificacions raonades dels passos seguits. Cal tenir en compte que

no només s’hauria de valorar el fet de trobar la solució correcta, sinó també la metodologia

usada i el grau de comprensió que d’aquesta mostren les seves explicacions.

46


Bibliografia

Antibi, André. La motivación en Matemáticas:¿La del professor?¿La del alumno? Actas 9 as

J.A.E.M. Lugo, 1999

Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N. y otros (1956). La matemática: su contenido, métodos

y significado. Alianza Universidad, Madrid 1973.

Bishop, Alan J.: Equilibrando las necesidades matemáticas de la educación general con las

de la instrucción matemática de los especialistas. Revista Suma, nº27, Febrer 1998

Clements, Ken. Planteamiento y resolución de problemas. ¿Es relevante Polya para las

matemáticas escolares del siglo XXI? Revista Suma 30, Febrer 1999

Davis, Philip J. y Hersh, Reuben (1982) . Experiencia matemática. Editorial Labor,

Barcelona, 1988.

Descartes, René (1637). Discurso del método. Alianza Editorial, Madrid, 1979.

Herrero Pérez, Juan Luis, y Lorenzo Blanco, José. La invisibilidad de las matemàticas.

Revista Suma 28, Juny 1998.

Keitel, Cristine. (Educación) matemática y sentido común. Revista Suma, Febrer 1996.

Lakatos, Imre.(1976) Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático.

Alianza Universidad, Madrid, 1978.

Lorenzo Blanco, José. La resolución de problemas. Una revisión teórica. Revista Suma 21,

Febrer, 1996.

Polya, George (1957) . Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. México, 1981.

47


Rio Sánchez, José del. Aprendizaje de las Matemàticas por descubrimiento: estudio

comparado de dos metodologías. Ministerio de Educación y Ciencia. Centro de

Publicaciones, Madrid, 1991.

Vila, Antoni. La idea de problema entre l’alumnat: reflexió per a la creació d’un ambient de

resolució de problemes a l’aula. Revista Biaix, 11, Març, 1998.

1

Introducció a la teoria de grafs

El laberint d’Horta i altres aplicacions

48


1ª PART: LABERINTS I TEORIA DE GRAFS

FITXA PER AL PROFESSORAT

Nivell: Primer Cicle d’ESO.

Coneixements previs: no són necessaris, s’utilitzen tècniques elementals de recompte i

comparació de nombres.

Objectius didàctics

Orientar-se en un laberint.

Fer la representació gràfica d’un laberint i deduir-ne l’aplicabilitat de l’estratègia de la mà.

Distingir els elements fonamentals dels grafs.

Aplicar els resultats d’Euler per indicar si un graf permet un circuit eulerià.

Distingir un graf i un digraf.

Resoldre problemes d’optimització aplicant els grafs ponderats.

Potencial multidisciplinar

Les espècies vegetals del jardí botànic. (Ciències Experimentals)

L’aristocràcia de la primera meitat del segle XIX. (Àrea de Ciències Socials)

L’Arquitectura de jardins. (Ciències Socials)

Urbanisme: recorreguts òptims. (Ciències Socials)

Els políedres. (Expressió plàstica)

Orientacions didàctiques

La visita al Laberint d’Horta es pot aprofitar per mostrar com era la vida de l’aristocràcia

barcelonina a mitjans del segle XIX , així com comentar dades històriques com la placa

commemorativa de la visita dels reis d’Espanya als jardins.

Els laberints constitueixen espais que han exercit una forta atracció en la història de la

humanitat. És bo aprofitar l’existència d’un jardí d’aquest tipus a Barcelona per combinar

l’aspecte lúdic que pot tenir la seva visita per introduir la teoria de grafs que en els últims

temps s’ha mostrat molt potent en la resolució de problemes que pertanyen a diferents

branques de la matemàtica.

La visita al laberint és indispensable per a la realització de l’exercici 1. Es pot demanar a

l’alumnat que es situï en la terrassa superior, des d’on es té una vista elevada del laberint i

que comprovin que el plànol de la làmina 3 s’ajusta a la realitat.

En l’exercici 5 es treballa amb els típics laberints que es poden trobar en les publicacions

de passatemps, es pot animar a l’alumnat perquè en busqui d’altres i també perquè

n’inventi.

49


En els exercicis 9, 11, 13, 14 , 15, 16 i 17 convé que aprenguin a utilitzar adequadament

els conceptes que s’han introduït: ordre d’un graf, grau dels vèrtexs, recorregut, circuit i

cicle, així com diferenciar els grafs dels digrafs.

En els exercicis 18 i 19 utilitzem els grafs per a la resolució de problemes d’optimització

del cost d’una obra real. La senzillesa dels dos algorismes de resolució poden servir per

introduir la idea d’algorisme. L’exercici 19 referent a la xarxa ferroviària entre les capitals

de comarca de la província de Lleida es pot plantejar amb les distàncies entre les capitals

de comarca de les altres tres províncies.

La visita al Laberint d’Horta

Adreça:

Parc del Laberint d’Horta

Carrer dels Germans

08035 Barcelona

Mitjans de transport: Autobusos 27, 60, 73, 76 i 85.

Per concertar la visita cal adreçar-se a:

Institut Municipal de Parcs i Jardins

Av. Marqués de Comillas 16-36

Parc de Montjuïc

08038 Barcelona

Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 93 428 25 00

De cara a la conservació dels elements vegetals i arquitectònics del conjunt, el nombre de

visitants està limitat, per tant, és convenient concertar la visita amb antelació. També convé

demanar si l’espai del laberint és obert ja que de vegades en els mesos d’hivern roman tancat

per la restauració de les bardisses que constitueixen els murs del laberint.

Material gràfic:

Laberint de Chevening de l’article de Walker, J,J. Como cruzar un laberinto sin perderse ni

aturdirse. Investigación y Ciencia. Febrero, 1987

Laberint II de la Làmina 4 del llibre de David Beergamine, Les Mathématiques. Colections

Life, 1965

Plànol del laberint de Versalles del llibre de Santarcangeli, Paolo El libro de los laberintos.

Ediciones Siruela S. A. Madrid, 1997.

El plànol del repartidor: Fragment del plànol de Barcelona de Michelin, 2000

El plànol de les rondes de Barcelona de la Guia Municipal de Barcelona. Ajuntament de

Barcelona, 1995

50


2ª PART: ESTUDI MATRICIAL D’UN GRAF. FÓRMULA D’EULER

FITXA PER AL PROFESSORAT

Nivell: Treball de recerca de Batxillerat.

Coneixements previs: Matrius i composició de matrius.

Objectius didàctics

Interpretar la matriu d’un graf i d’un digraf.

Interpretar les potències de la matriu associada a un graf o a un digraf.

Trobar el graf pla d’un políedre.

Demostrar per inducció la fórmula d’Euler.

Demostrar que només hi ha cinc políedres regulars.

Orientacions didàctiques

Els alumnes i les alumnes de Batxillerat han de realitzar tota la primera part del treball

com a introducció als conceptes fonamentals de la teoria de grafs. Els primers exercicis

referents als laberints no són indispensables pels dos objectius marcats en aquest nivell:

il·lustra un exemple d’aplicació del càlcul matricial i introduir la demostració per inducció.

De tota manera treballar els laberints són un tema engrescador per a tot tipus d’alumnat.

Per a fer la representació plana del graf d’un políedre ha de treballar amb la projecció

estereogràfica, cal tenir en compte que segons el grau de coneixements de geometria de

l’espai i de dibuix tècnic alguns alumnes poden tenir dificultats en visualitzar aquesta

projecció.

Per a la resolució de l’exercici 13, on s’introdueix la idea d’anar afegint una aresta a un

graf planar que satisfà la fórmula d’Euler, es pot utilitzar paper transparent amb una aresta

dibuixada i anar superposant-la en les diferents posicions que s’indiquen en cada apartat.

Convé tenir cura en esgotar tots els casos possibles en que el nombre de vèrtexs, arestes i

cares queda modificat.

Encara que la demostració per inducció de la fórmula d’Euler aplicada als grafs planars

que donem no és del tot formal creiem que es útil per a la introducció d’aquest tipus de

demostració d’una forma constructiva.

L’aplicació de la fórmula d’Euler per a la demostració de l’existència d’exactament cinc

políedres regulars requereix una certa agilitat en el maneig del llenguatge algebraic i de les

desigualtats.

51


Exercici 1

MATERIAL PER A L’ALUMNAT

Estratègies per recórrer un laberint: Regla de la mà dreta (esquerra)

El parc del laberint d’Horta es va començar a construir l’any 1791, quan el marqués de Llupià

va decidir fer un jardí d’esbarjo en la seva finca, situada en aquells temps molt a les afores de

Barcelona. El Laberint centra la composició del conjunt i constitueix el principal atractiu del

jardí des del moment de la seva construcció.

Anem a recórrer el laberint d’Horta seguint una estratègia determinada.

Anomenem vèrtexs als punts de l’entrada, del final, els punts on el laberint es ramifica i on els

camins moren.

L’estratègia consisteix en:

– Triem la direcció dreta (o esquerra) en cada vèrtex on els camins es ramifiquen.

– Si arribem a un vèrtex on el camí mor, tornem al vèrtex anterior i prenem el

camí de la dreta (esquerra) següent.

Recórrer el laberint d’Horta des de l’entrada fins a l’estàtua d’Eros i sortir per l’estany.

Els alumnes i les alumnes es poden dividir en grups de manera que la meitat dels grups

circuli seguint la direcció dreta i l’altra meitat ho faci seguint la direcció esquerra. Els grups

haurien de sortir en intervals de dos minuts.

Exercici 2

Laberint de Chevening (1820, contat de Kent, Gran Bretanya)

Observant el plànol del laberint de Chevening (Làmina 1), escriviu els dos recorreguts que

resulten d’aplicar la regla anterior i que es corresponen a cada una de les direccions: dreta o

esquerra.

Per indicar els dos itineraris escriurem la seqüència de vèrtexs pels que passem i que estan

numerats en el plànol.

52


11

8

PLÀNOL DEL LABERINT DE CHEVENING

2

10

13

17

3

7

6

18

Làmina 1

1

1

14

16

15

5

53

12

4

9


Representació gràfica d’un laberint

Per representar gràficament un laberint indicarem sobre l’esquema cada vèrtex amb un

número, desprès representarem els camins que uneixen els vèrtexs per línies, mantenint

l’ordre relatiu entre elles, és a dir, en cada vèrtex les línies que representen els camins que hi

conflueixen les col·locarem en el mateix ordre i sentit que indica el plànol.

En la làmina 2 pots trobar la representació gràfica del laberint de Chevening .

Exercici 3

Observeu la làmina 2 i resol les qüestions següents

a) Comproveu en el vèrtex 6, on hi conflueixen 4 camins, que es manté l’ordre relatiu entre

ells.

b) Sobre la representació gràfica senyaleu els itineraris de la mà dreta i la mà esquerra en dos

colors diferents.

c) Escriviu la seqüència de nombres corresponen a un itinerari que resolgui el laberint.

Marqueu-lo en un color diferent sobre l’original.

Exercici 4

A partir del plànol del laberint d’Horta (Làmina 3):

a) Numereu els vèrtexs del laberint i feu-ne la representació gràfica.

b) Indiqueu els itineraris de la mà dreta i de la mà esquerra en l’esquema que heu obtingut.

Exercici 5

a) Numereu els vèrtexs del dos laberints de la làmina 4 i feu-ne la representació gràfica.

b) Indiqueu els itineraris de la mà dreta i de la mà esquerra en cada un dels esquemes que

heu obtingut. Es pot aplicar l’estratègia de la mà?

54


1

Làmina 2

REPRESENTACIÓ GRÀFICA DEL LABERINT DE CHEVENING

2

3

6

4

10

7

5 12 18

15

14

16

8

17

13

11

9

55


EL PLÀNOL DEL LABERINT D’HORTA


Làmina 3

78


Laberint I

PLÀNOLS DE LABERINTS

M

79

Entrada


Laberint II

Làmina 4

80


Aplicabilitat de l’estratègia de la mà

Quan al recórrer un laberint passant per camins diferents ens tornem a trobar en un

vèrtex pel qual ja hi havíem passat aleshores hem fet una ruta tancada que ens ha portat

a un lloc que ja havíem visitat. Una ruta tancada en un laberint determina una illa de

murs del laberint no connectada amb els altres murs. La seqüència de la ma dreta en el

laberint de Chevening és 1-2-3-4-14-13-9-11-8-10-2-1 és una ruta tancada i determina

una illa de murs a l’entorn de la meta.

Les estratègies de la mà dreta i de la mà esquerra fallaran només en el cas que hi hagi

una ruta tancada al voltant de la meta del laberint.

La meta M està rodejada pels murs de l’illa, llavors quan seguim l’estratègia de la mà

dreta la meta sempre ens queda a mà esquerra, i quan seguim l’estratègia de la mà

esquerra, la meta ens queda a mà dreta.

Esquemàticament ho podem representar de la manera següent:

E A

B

M

E = entrada

A i B = vèrtexs que determinen una illa al voltant de M

Ruta de la mà dreta: E – A – B – A – E

Ruta de la mà esquerra: E – A – B – A – E

I per tant, no arribem mai a M!

81


En canvi, si l’illa de murs no conté a M, s’arriba al final ja que la meta no està rodejada

pels murs de l’illa.

E

Ruta de la ma dreta (esquerra): E – A – B – M

En aquest cas, sí que arribem a la meta!

A

82

B

M


Exercici 6

a) Sobre la representació gràfica del laberint de Chevening marqueu en un color

diferent als que heu utilitzat abans l’illa que tanca la meta. Marqueu la mateixa illa

en l’original. On et sembla que és més fàcil de detectar aquesta ruta tancada ?

b) Sobre les representacions gràfiques dels altres tres laberints marqueu totes les illes

de murs. En algun d’ells, hi ha alguna illa de murs que tanqui a la meta?

c) En quins dels quatre laberints arribarem a la meta aplicant l’estratègia de la mà? Per

què?

Exercici 7

Si considerem que el recorregut òptim per a recórrer un laberint des de l’entrada fins a

la meta és el que passa pel menor nombre de vèrtexs, indiqueu en cada un dels quatre

laberints quin és aquest recorregut.

Exercici 8

Laberint de Versalles

El laberint de Versalles (Làmina 5) construït a finals del segle XVII tenia dues

entrades i el seu traçat intercalava trams rectes i curvilinis. Estava decorat amb grups

escultòrics i tenia un complicat sistema de regadiu. El laberint va ser destruït en 1775.

Les dues entrades del laberint estan situades a la part superior del plànol i la sortida en

la part inferior.

a) Numereu els vèrtexs on hi conflueixin més d’un camí i feu la representació gràfica

d’aquest laberint.

b) Digueu si es pot arribar a la sortida des de cada una de les entrades seguint

l’estratègia de la mà. Indiqueu-ne els recorreguts en cada cas.

c) Indiqueu el recorregut òptim per sortir del laberint.

83


PLÀNOL DEL LABERINT DE VERSALLES

84


Làmina 5

86


Els grafs

En una primera aproximació els grafs són simples esquemes gràfics constituïts per

punts i línies que uneixen aquests punts.

Les nostres representacions gràfiques dels laberints són exemples de grafs. La seva

utilització ens ha permès veure l’existència de rutes tancades que no ens deixen arribar a

la meta aplicant l’estratègia de la mà i també els recorreguts òptims per anar des de

l’entrada fins a la meta.

Els grafs no només s’apliquen a l’estudi dels laberints sinó per resoldre problemes

diferents de matemàtiques, enginyeria, urbanisme, etc. ja que permeten unificar i aplicar

les mateixes estratègies a problemes d’aparença molt diversa, com veurem a

continuació.

Abans de passar a resoldre problemes donarem una sèrie de terminologia que

utilitzarem per anomenar diferents elements i conceptes relatius als grafs.

Definicions

Els punts del graf s’anomenen vèrtexs i les línies que uneixen dos punts s’anomenen

arestes.

L’ordre d’un graf és igual al nombre de vèrtexs. Exemples: el graf del laberint de

Chevening és d’ordre 18.

Un recorregut és una seqüència de vèrtexs units per arestes. Les respostes a l’exercici 2

són recorreguts del graf.

Un circuit és un recorregut tancat (comença i acaba en el mateix vèrtex) on les arestes

no es repeteixen. El laberint de Chevening conté un circuit que ens impedeix arribar a la

meta seguint l’estratègia de la mà.

Un cicle és un circuit on els vèrtexs no es repeteixen.

Un graf és connex si totes les parelles possibles de vèrtexs estan connectades per una

aresta com a mínim.

Exercici 9

Preneu un mapa de carreteres on apareguin les quatre capitals de província de Catalunya

i fixeu-se en les carreteres principals que les comuniquen entre elles: la N-II que passa

per Lleida – Barcelona – Girona, la N-240 que va de Lleida a Tarragona, la N-340 de

87


Tarragona a Barcelona, l’Eix Transversal que va de Cervera a Girona i serveix per

comunicar Lleida amb Girona.

a) Dibuixeu un graf on es representi de manera esquemàtica les quatre capitals i les

principals carreteres que les comuniquen entre elles.

b) Els punts que representen les quatre capitals i els encreuaments de carreteres

diferents són els vèrtexs del graf. Quin és l’ordre del graf?

c) Indiqueu dos recorreguts diferents que passin per les quatre capitals.

d) Indiqueu dos cicles del graf.

88


Exercici 10

APLICACIONS DE LA TEORIA DE GRAFS

En quins dels grafs següents es pot proposar un recorregut que passi per totes les arestes

una sola vegada i torni al punt de partida? Proveu-ho per tempteig.

Exercici 11

a

Els ponts de Königsberg

En el segle XVIII la ciutat de Königsberg (l’actual Kaliningrado, Lituania) estava

dividida pel riu Pregel en quatre parts unides per set ponts tal com indica el dibuix:

1

3

El repte és trobar una ruta que recorri els set ponts, una vegada solament, i que acabi en

el punt de partida.

2

b

89

4

c


El matemàtic Leonard Euler (1707-1783) va resoldre el problema en un article publicat

a l’any 1736, la manera de fer-ho ha passat a la història com el primer cop en què

apareix la teoria de grafs en la resolució d’un problema de matemàtiques.

Euler va representar el mapa anterior mitjançant un graf on els vèrtexs indiquen les

diferents regions de terra separades per l’aigua del riu i les arestes representen els set

ponts.

1

3

2

90

4


Anomenarem grau d’un vèrtex al nombre d’arestes que el tenen per extrem. A les rutes

que segueixen les condicions del problema les anomenarem circuits eulerians.

Euler va raonar de la manera següent: per poder arribar a un vèrtex del graf i poder

sortir-ne el grau del vèrtex ha de ser parell ja que per cada aresta emprada per arribar-hi

se’n necessita una altra per sortir-ne. En el cas que un vèrtex tingui grau senar podrem

arribar i sortir del vèrtex un nombre de vegades igual al nombre de parelles d’arestes

diferents que vagin a parar a ell i sempre ens quedarà una aresta per recórrer. D’aquí va

deduir les conclusions següents:

Si tots els vèrtex tenen grau parell es pot trobar rutes que compleixin les condicions

començant des de qualsevol punt (circuit eulerià).

En el cas que hi hagi exactament dos vèrtexs de grau senar podem trobar una ruta

que comenci per un d’aquests dos vèrtexs i que passant per totes les arestes acabi en

l’altre vèrtex de grau senar (recorregut eulerià).

Si el nombre de vèrtexs de grau senar és més gran que 2 aleshores el graf no té cap

circuit, ni cap recorregut eulerià.

Fixeu-vos que eulerià en el cas dels grafs vol dir que el recorregut passa per totes les

arestes.

I ara, contesteu la pregunta: És possible fer un circuit eulerià pels set ponts de

Königsberg?

Exercici 12

Resoleu l’exercici 10 utilitzant els resultats d’Euler.

Exercici 13

A un repartidor de propaganda que va per les cases deixant papers a les bústies li han

tocat els carrers següents de la ciutat de Barcelona, representats en el plànol de la làmina

6: Sant Antoni Maria Claret, Cartagena, Marina, Avinguda Gaudí, Gran Via i Avinguda

Meridiana, en els trams que uneixen els llocs següents: Metro Sagrera, Hospital de Sant

Pau, església de la Sagrada Família, plaça de braus Monumental i plaça de les Glòries.

El repartidor arriba a la feina amb metro, fa el recorregut a peu, i se’n torna a casa seva

en metro. Tots els llocs anteriors tenen una parada de metro del mateix nom a prop.

91


És una bona idea intentar començar i acabar pel metro de Sagrera?

Quin metro li convé agafar per començar el recorregut i quin per tornar a casa seva per

tal de no passar dues vegades pel mateix carrer?

Exercici 14

Tornem al graf de les carreteres del exercici 9.

a) Es pot fer un circuit eulerià per aquestes carreteres? En cas afirmatiu escriviu-lo.

b) Es pot fer un recorregut eulerià? En cas afirmatiu escriviu-lo.

92


PLÀNOL DEL REPARTIDOR

93


Làmina 6

94


Exercici 15

Aplicant els resultats d’Euler responeu les qüestions següents:

a) Es pot construir una piràmide quadrada amb filferro sense haver de tallar i

enganxar?

b) Els políedres regulars són cossos que tenen les cares formades per polígons regulars

iguals i en cada vèrtex concorren el mateix nombre de cares. Pot una formiga

passejar-se per totes les arestes d’un políedre regular sense passar dues vegades per

una mateixa aresta?

95


Grafs dirigits

De vegades ens interessa destacar el sentit de les arestes que uneixen els vèrtexs d’un

graf. Quan les línies que uneixen els vèrtexs són orientades es representen mitjançant

fletxes, aleshores diem que el graf és dirigit. Aquests tipus de grafs s’anomenen digrafs.

El grau de sortida d’un vèrtex del digraf és el nombre de fletxes que el tenen com

origen.

El grau d’entrada d’un vèrtex del digraf és el nombre de fletxes que el tenen com

extrem.

Perquè un digraf admeti un circuit eulerià ha de passar que el grau d’entrada sigui igual

al grau de sortida en tots els vèrtexs.

Exercici 16

El repartidor del Exercici 13 ha decidit fer el repartiment en bicicleta, ara, per tant,

haurà de fer atenció a les direccions de circulació dels carrers i no li serveix el graf

anterior, on els carrers estaven representats per arestes. Ara necessita una altra mena de

graf on les línies que uneixen els vèrtexs són fletxes que indiquen la direcció de

circulació. Aquesta és la representació gràfica que ha fet:

MS = Metro de Sagrera

SP = Hospital de Sant Pau

SF = Sagrada Família

PM =Plaça Monumental

GC = Plaça de les Glòries

a) Completeu la taula següent:

A. Gaudí

SF

Marina

PM

Gran Via

SP MS GC PM SF

96

SP

Cartagena

GC

Aº Mª Claret

Meridiana

MS


Grau d’entrada

Grau de sortida

b) Hi ha algun vèrtex al qual no s’arriba mai des dels carrers representats?

c) Hi ha algun circuit amb més de 2 vèrtexs?

d) Quants circuits de dos vèrtexs hi ha? Quins són?

e) Senyaleu un recorregut que passi per tots els vèrtexs del graf.

f) Senyaleu un recorregut que passi per sis de les vuit fletxes.

97


Exercici 17

Les Rondes de Barcelona

Observeu el plànol de les vies “ràpides” de Barcelona (làmina 7) : la Ronda de Dalt, la

Ronda del Litoral, la Ronda del Mig, la Diagonal, la Meridiana i la Gran Via.

Considerem que la Gran Via està connectada amb la sortida 17 i 28 de la Ronda del

Litoral i que la Ronda del Mig va de la sortida 1 a la sortida 18 de la Ronda de Dalt.

a) Dibuixeu un digraf on els vèrtexs són els punts on es creuen dues o més vies

ràpides. Heu de tenir en compte que per la Gran Via des de la Ronda del Mig fins a

la Plaça de les Glòries només es pot circular en el sentit de Llobregat a Besos. Totes

les altres vies són de doble direcció.

b) Quin és l’ordre del digraf?

c) Indiqueu dos recorreguts diferents per anar de la Plaça de les Glòries a la sortida 18

de la Ronda del Litoral.

d) Numereu els vèrtexs i escriviu una seqüència de vèrtexs que formin un cicle del

graf.

e) Escriviu una seqüència de vèrtexs que formen un circuit que no sigui un cicle del

graf.

f) Feu una taula de graus d’entrada i sortida com a l’exercici anterior.

g) Es pot fer un circuit eulerià per les vies ràpides de Barcelona. Justifiqueu la resposta.

h) Es pot fer un recorregut eulerià. Quin?

98


Les rondes de Barcelona

99

Làmina 7


Grafs ponderats

Exercici 18

A la figura següent s’il·lustra el graf de les connexions possibles entre diverses

centraletes telefòniques. Al costat de cada aresta s’indica la longitud aproximada, en

km, del cable telefònic que seria necessari per a dur a terme la connexió. Les arestes que

no apareixen al graf corresponen a connexions que es consideren inviables per motius

tècnics (dificultats del terreny, presència d’obstacles, etc.)

La companyia telefònica necessita establir una xarxa entre les centraletes de manera que

Totes les centraletes quedin connectades a la xarxa

No es produeixin cicles a la xarxa

La longitud total del cable utilitzat sigui mínima.

A

4

2

13

E

11

Per tal de decidir quines connexions cal fer, es poden 20 emprar dos mètodes:

B

Mètode 1 (Algorisme de Prim)

Es connecten les dues centraletes més properes entre elles.

Tants cops com calgui, fins a connectar totes les centraletes, es segueix el criteri

següent: de totes les arestes que connecten una centraleta nova (encara no

connectada) amb una de les ja connectades, s’afegeix a les connexions fetes la de

longitud mínima.

Mètode 2 (Algorisme de Kruskal)

Es connecten les dues centraletes més properes entre elles.

Tants cops com calgui, fins a connectar totes les centraletes, es segueix el criteri

següent: de totes les arestes que no formen un cicle amb les connexions ja fetes,

9

3

100

D

21

C


s’afegeix a les connexions fetes la que té longitud mínima encara que no connecti

amb les anteriorment connectades fins a obtenir un graf connex.

a) Apliqueu els dos mètodes anteriors al problema de la figura , completeu la taula

següent indicant-ne els resultats dibuixeu els arbres que en resulten.

:

Mètode 1 Mètode 2

aresta longitud aresta longitud

1ª connexió

2ª connexió

3ª connexió

4ª connexió

b) Són iguals els dos procediments? Donen el mateix resultat?

c) Quina és la longitud del cable necessària per a fer la connexió?

El graf d’aquest exercici té la particularitat que les seves arestes van acompanyades d’un valor numèric. Aquest

tipus de grafs s’anomenen ponderats i el nombre que acompanya a cada aresta és el pes de l’aresta.

Sovint en aquests grafs ens interessa trobar la connexió entre tots els seus vèrtexs de suma de pesos mínima de

manera que no contingui cicles. Aquesta connexió s’anomena arbre generador minimal. En l’exercici anterior hem

donat dos mètodes diferents per trobar l’arbre generador minimal d’un graf ponderat.

Exercici 19

En aquesta taula podem trobar les distàncies entre les capitals de comarca de la

província de Lleida.

101


-

Balaguer (B)

d’Urgell

Blanques

Cervera

Seu La

Borges Les

Lleida

Suert de

Mollerussa

Pont

Solsona

Sort

Tàrrega

Cervera (C)

La Seu d’Urgell (SU)

Les Borges Blanques (BB)

Lleida (Ll)

Mollerussa (M)

Pont de Suert (PS)

Solsona (Sol)

Sort (S)

Tàrrega (Ta)

45

101 113

35 46 136

27 54 128 23

21 32 132 14 18

125 170 122 144 121 139

76 54 65 100 104 86 187

101 146 54 136 128 122 68 119

34 11 135 33 44 21 159 65 135

Tremp (Tr) 57 102 98 92 84 78 65 102 44 91

Vielha (V) 165 210 162 184 161 179 40 207 108 199 105

La Generalitat de Catalunya ha decidit encarregar un estudi per tal d’unir totes aquestes

poblacions amb una xarxa ferroviària de manera que totes quedin connectades. En una

primera aproximació l’empresa encarregada de fer l’estudi només ha tingut en compte

les distàncies entre les ciutats, deixant a banda els accidents geogràfics i altres

dificultats. Per la qual cosa aquesta empresa ha elaborat l’arbre generador minimal del

graf que resulta d’unir entre si totes les capitals de comarca de Lleida.

Sense dibuixar el graf i aplicant un dels dos algoritmes anteriors dibuixeu sobre el mapa

de la província de Lleida l’arbre generador minimal .

Quants quilòmetres de via es necessiten?

102

Tremp


MAPA DE COMARQUES DE LLEIDA AMB LA CAPITAL

103


SEGON

A

PART

EXE

Pont de Suert

Lleida

Balaguer

Vielha

Tremp

Mollerussa

Les Borges

Blanques

104

Sort

Cervera

La Seu d’Urgell

Solsona

Tàrrega


Estudi matricial d’un graf

RCICIS D’AMPLIACIÓ

Objectiu: Aplicar les matrius i la seva composició a la teoria de grafs

Anomenem matriu d’un graf en que els vèrtexs estan etiquetats numèricament a:

M= a ij nombre d’arestes que van de i a j

La matriu és simètrica en el cas dels grafs.

En el cas dels digrafs el nombre d’arestes que van de i a j no té perquè coincidir, per tant

la matriu associada a un digraf no té perquè ser simètrica.

Exercici 1

Escriu la matriu del graf dels ponts de Königsberg de l’exercici 11.

Exercici 2

Escriu la matriu del digraf de l’exercici 16.

Exercici 3

0


2

La matriu d’un graf és 1



0

a) Quin és l’ordre del graf?

2

0

3

1

1

3

0

4

0


1


.

4


0



105


) Dibuixa el graf que correspon a aquesta matriu.

c) Compta el nombre d’arestes. Té alguna relació amb els termes de la matriu? Quina?

d) Compta el grau de cada vèrtex. Té alguna relació amb els termes de la matriu?

Quina?

e) Creus que admet un circuit eulerià o un recorregut eulerià? Justifica la resposta.

106


Exercici 4

0


1

La matriu d’un graf és 2


0


1

1

0

3

0

4

2

3

0

2

1

0

0

2

0

0

1


4

1

.


0


2

Sense dibuixar-lo resol les qüestions següents:

a) Completa la taula:

vèrtexs 1 2 3 4 5

grau

b) Admet un circuit eulerià. Per què?

c) Quantes arestes té el graf?

Exercici 5

0

1 0 1


2

0 2 0

La matriu d’un digraf és 0

1 0 1



2

0 2 0

a) Dibuixa el digraf que correspon a aquesta matriu.

b) Compta el nombre d’arestes. Té alguna relació amb els termes de la matriu? Quina?

c) Fes una taula amb els graus d’entrada i de sortida de cada vèrtex. Té alguna relació

amb els termes de la matriu? Quina?

d) Creus que admet un circuit eulerià? Justifica la resposta

107


Composició de matrius

Donada las matriu quadrada M d’un graf al calcular M 2 obtindrem una matriu en que

cada terme a ij és igual al nombre de camins diferents de longitud 2, és a dir, formats per

dues arestes que uneixen i amb j.

Exemple: Donat el graf de la figura

La matriu del graf és:

tenim

0


2


1

2

0

0

1 2

1


0

0


i

5

0 0


2

M 0

0 2

. Si analitzem els seus termes


0

2 1

a 11 = 0·0 + 2·2 + 1·1 = 5

arestes de 1 a 1 · arestes de 1 a 1

Camins de longitud

2 que van de 1 a 1

passant per 1

En resum, a 11 5 és el nombre de camins de longitud 2 que van de 1 a 1.

3

arestes de 1 a 2 · arestes de 2 a 1 arestes de 1 a 3 · arestes de 3 a 1

Camins de longitud 2 que

van de 1 a 1 passant per 2

108

Camins de longitud

2 que van de 1 a 1

passant per 3


En general, els termes ij a de Mn , on M és la matriu d’un graf, són iguals al nombre de

camins de longitud n que van de i a j.

Exercici 6

Calcula M 2 de la matriu del graf dels ponts de Königsberg

a) Descriu el significat del terme a34 de la matriu M 2 .

b) Descriu els camins de longitud 2 que van de 1 a 4.

Exercici 7

Calcula M 2 de la matriu del digraf del exercici 16 (el repartidor en bicicleta)

a) Descriu el significat del terme a53 de la matriu M 2 .

b) Descriu els recorreguts de longitud 2 que van de la Plaça Monumental a Sant Pau.

A quin terme de la matriu M 2 correspon?

109


Graf planar d’un políedre. Fórmula d’Euler.

Objectiu: Demostrar la fórmula d’Euler que relaciona el nombre de vèrtexs, de cares i

d’arestes d’un políedre.

Exercici 8

Quan es tracta de conduir sobre edificis cables elèctrics o conduccions d’aigua i d’altra

mena, es convenient, per tal de prevenir perills, evitar que es superposin. Llavors els

edificis-vèrtexs i els conductors-arestes han de forma un graf on les arestes només es

tallin en els vèrtexs.

Suposem que a tres cases: X, Y i Z hi ha d’arribar el gas, l’electricitat i l’aigua des de

tres punts de subministrament: G, E i A. Intenta dibuixar el graf corresponent a les

conduccions des de G, E i A a X, Y i Z, evitant encreuaments. És possible?

Intenta-ho de manera que només hi hagi un encreuament.

Graf planar

Els grafs connexos que admeten una representació en el pla en què les arestes només es

tallen en els vèrtexs s’anomenen grafs planars. Un graf pla és la representació sense

talls d’un graf planar. En el exercici 8 buscàvem un graf planar que complís les

condicions de connexions de l’enunciat, però en aquest cas, això no és possible.

Els grafs planars es fan servir en situacions diverses. En aquest treball utilitzarem els

grafs planars per representar políedres i provar dos resultats importants:

La fórmula d’Euler

No hi ha més políedres regulars que els coneguts: el tetràedre, el cub, el octàedre, el

dodecàedre i l’icosàedre.

Per representar en forma de graf pla un políedre es pot pensar en la projecció

estereogràfica.

Exemple:

Suposem una piràmide de base quadrada inscrita en una esfera i projectem la superfície

de l’esfera en el seu pla tangent per S, on SN és un diàmetre de l’esfera:

110


D

A B

S

C

A’

Sobre el pla tangent obtindrem els punts: A’, B’, C’, D’ i S que és

comú al pla i a l’esfera. Si unim aquests punts amb les línies

corresponents a les arestes de la piràmide haurem obtingut el graf pla

següent:

D’

Aquest graf té 5 vèrtex i 8 arestes.

Les diferents regions en que les arestes d’un graf planar divideixen al pla s’anomenen

cares del graf. En el nostre exemple el pla ha quedat dividit en 5 regions diferents,

quatre limitades per les arestes del graf, es corresponen amb les cares de la piràmide que

contenen al vèrtex S, i una altra no afitada que es correspon amb la cara de la piràmide

que no conté a S. Aquest graf es pot pensar com el resultat “d’estirar” la cara ABCD de

la piràmide fins aconseguir que la piràmide quedi plana. La cara no afitada d’un graf pla

s’anomena cara de l’infinit.

D

C’

S

A’ B’

111

A

C

S

N

B

B’


Si comptem el nombre de vèrtexs, el nombre d’arestes i el nombre de cares del graf pla

veurem que coincideix amb el nombre de vèrtexs, el nombre d’arestes i el nombre de

cares de la piràmide.

En general, qualsevol políedre es pot representar com un graf pla amb el mateix nombre

de vèrtexs, arestes i cares.

Exercici 9

A partir de la seva projecció estereogràfica, intenta dibuixar un graf pla associat a cada

un dels políedres regulars.

Donem el graf del icosàedre ja que pel seu elevat nombre de cares presenta una certa

dificultat.

112


Fórmula d’Euler

En un graf planar de V vèrtexs, C cares i A arestes, es verifica:

Exercici 10

Comprova que es compleix la fórmula d’Euler en qualsevol graf planar d’ordre 2.

Per començar comprova que es compleix en el graf que té només una aresta. Afegeix

arestes al graf de manera que continuï essent pla i observa com es modifiquen els

diferents valors que intervenen en la fórmula d’Euler.

Exercici 11

Dibuixa 4 grafs planars d’ordre 3 amb diferent nombre d’arestes i comprova que es

satisfà la fórmula d’Euler

Exercici 12

Fent servir els grafs de l’exercici 9 comprova que es compleix la fórmula d’Euler en els

5 políedres regulars.

Exercici 13

Donat el graf següent:

V + C = A + 2

113


a) Comprova que es compleix la fórmula d’Euler.

Afegeix una nova aresta al graf, de manera que continuï essent planar, és a dir, connex i

sense que les arestes es tallin en punts diferents als vèrtexs. Comprova que es compleix

la fórmula d’Euler en els casos següents:

b) Al afegir l’aresta no modifiquem el nombre de vèrtexs.

c) Al afegir l’aresta augmentem en 1 el nombre de vèrtexs. En aquest cas cal veure dos

subcasos: quan el nou vèrtex pertany a l’interior d’una cara i quan el nou vèrtex és

interior a una aresta.

d) Al afegir la nova aresta augmentem en dos el nombre de vèrtexs. En aquest cas cal

veure dos subcasos: quan només un dels nou vèrtexs pertany a l’interior d’una

aresta i quan el dos nous vèrtexs són interiors a les arestes.

114


Demostració per inducció de la fórmula d’Euler

Una de les demostracions de la fórmula d’Euler és per inducció sobre el nombre

d’arestes del graf pla.

Volem veure que la fórmula es verifica per qualsevol graf pla amb:

1 aresta, 2 arestes, 3 arestes,... n arestes,.....

La demostració per inducció consisteix en veure que:

a) Es satisfà en el graf pla amb una aresta

b) Si es verifica en un graf amb n arestes aleshores al afegir una nova aresta el graf

continua satisfent la fórmula d’Euler.

Així la fórmula quedarà demostrada, ja que com que es compleix en el graf d’una

aresta i en tots els grafs que ja la satisfan al afegir una aresta continua satisfent-se

obtenim que la fórmula es compleix en tots els grafs amb:

1 aresta, 2 arestes, 3 arestes,... n arestes,.....

a) Per n = 1 la demostració és simple:

V 2


A1

V

C

3

i

C 1


A

23

V 1


A1

V

C

3

i

C 2


A

23

b) Si tenim un graf pla on es satisfà la fórmula d’Euler: V + C = A + 2 i afegim una

aresta de vèrtexs XY , de manera que el graf resultant continuï essent pla, es poden

donar casos diferents:

i) que els vèrtexs XY coincideixin amb dos vèrtexs preexistents del graf,

aleshores aquests vèrtexs formaven part d’una certa cara i obtenim:

V = no ha variat

X

A = augmenta 1

C = augmenta 1

Per tant la fórmula es compleix ja

que V+ (C +1) = (A+1) +2

Y

115


ii) el vèrtex X coincideix amb un vèrtex preexistent del graf i el vèrtex Y no. En

aquest cas hi ha dues possibilitats:

a) Y interior a una cara

b) Y interior a una aresta

a)

V = augmenta 1

X

A = augmenta 1

C = no ha variat, perquè XY no pot tallar cap altra aresta a causa de la planaritat.

b)

116

Per tant la fórmula es compleix ja

que (V+1) + C = (A + 1) + 2

V = augmenta 1

A = augmenta 2, ja que XY no pot

tallar cap altra aresta a causa de la

planaritat

C = augmenta 1

Per tant la fórmula es compleix ja

que (V+1) + C = (A + 1) + 2

iii) els vèrtexs X i Y no coincideixen amb els vèrtexs del graf i el vèrtex X és

interior a una aresta. En aquest cas també hi ha dues possibilitats:

a) Y interior a una cara

b) Y interior a una aresta

a)

b)

X

X

X

Y

Y

Y

V = augmenta 2

A = augmenta 2

C = no ha variat

Per tant la fórmula es compleix ja

que (V+2) + C = (A + 2) + 2


V = augmenta 2

A = augmenta 3

C = augmenta 1

Per tant la fórmula es compleix ja

que (V+2) + C + 1 = (A + 3) +2

iv) Cap dels dos vèrtexs X i Y pertanyen a les arestes del graf. Aquest cas no es

pot donar ja que el graf ha de ser connex.

Aplicació de la fórmula d’Euler: Quants políedres regulars hi ha?

Exercici 14

Els políedres regulars es caracteritzen per:

tenir totes les cares el mateix nombre de costats: n

els nombre d’arestes que convergeixen a cada vèrtexs és el mateix: k

X

Y

Per tant al afegir una aresta en un graf pla que compleix la fórmula d’Euler, si el graf resultant també és pla

la fórmula es continua satisfent.

Com que el graf pla d’una aresta satisfà la fórmula d’Euler, hem obtingut que un graf pla amb qualsevol

nombre d’arestes satisfà la fórmula d’Euler.

117


Escriviu el nombre de vèrtexs en funció de A i k i el nombre de cares en funció de A i n.

Escriviu la fórmula d’Euler en el cas dels políedres regulars de manera que només hi

intervingui: A, n i k.

Ara veurem quins són els possibles valors de k i n que satisfan aquesta fórmula. Els

valors de k i n determinen el políedre regular.

Si heu resolt l’exercici anterior haureu arribat a una fórmula equivalent a:

2An + 2Ak = Akn + 2kn

Igualant a 0 i traient factor comú a A:

0 = A(kn – 2n – 2k) + 2kn (*)

Com que A>0 i 2kn>0 obtenim:

kn – 2n – 2k < 0

Per tant:

(k - 2)(n – 2) – 4 < 0

D’aquí

(k - 2)(n – 2) <

Exercici 15

Fent servir la fórmula anterior respon aquestes qüestions:

a) Quins són els valors mínims de n i k.

b) Quin és el valor màxim de n.

c) Per cada valor de n dóna els valors possibles de k i esbrina de quin políedre regular

es tracta. Pot fer una taula d’aquest tipus, per completar-la has de fer servir (*):

n k A V C Nom del

políedre

118


Com que hem jugat amb tots els possibles valors de k i n, hem arribat al resultat

esperat: els únics 5 políedres regulars són els cinc coneguts: el tetràedre, l’hexàedre,

l’octàedre, el dodecàedre i el icosàedre.

BIBLIOGRAFIA

.

A.A.V.V. Els nombres i els homes, pàgs 256-262. Ed. Ulisses, Barcelona,1978

Brunat Blay, Josep Mª: Combinatòria i teoria de grafs. Edicions UPC;, Barcelona; 1996

Callejo, Mª Luz: Un club matemático para la diversidad. Narcea S.A. de Ediciones,

Madrid, 1998

Coriart, Moisés; Sancho, Juana M.; Gonzalvo, Pilar y Marín, Antonio. Nudos y nexos.

Redes en la escuela. Editorial Síntesis, Madrid, 1989

Fernández Bravo, José Antonio: Investigación sobre los mecanismos de orientación

lateral. El aprendizaje de los conceptos izquierda y derecha. Suma, nº27, Zaragoza,

1998

Menéndez Velázquez, Amador. Una breve introducción a la teoria de grafos. Suma,

nº28, Zaragoza, 1998

Moreno, Mª Rosa,. Els jardins del laberint d’Horta. Ajuntament de Barcelona

Santarcangeli, Paolo El libro de los laberintos. Ediciones Siruela S. A. Madrid, 1997.

119


Walker, J,J. Como cruzar un laberinto sin perderse ni aturdirse. Investigación y

Ciencia. Febrero, 1987

120


EXERCICIS RESOLTS

Exercici 1

L’estratègia de la mà permet arribar a la meta del laberint d’Horta. Suposem, però, que

quan arribem als arquets i veiem la meta des del sender ja hi hem arribat, és a dir que

l’últim pas el fem sense seguir l’estratègia.

Exercici 2

Mà dreta: 1 – 2 – 3 – 4 – 14 – 13 – 9 – 11 – 8 – 10 – 2 – 1

Mà esquerra: 1 – 10 – 8 – 11 – 9 – 11 – 13 – 14 – 4 – 3 – 2 – 1.

Exercici 3

En efecte, arribant des de 3 al vèrtex 4 els camins de dreta a esquerra van a parar en la

representació gràfica a 14, 5, 6, respectivament, seguint el mateix ordre relatiu que

en el pla real.

1 2 3

4

2

3

6

10

7

5 12

15

121

14

16

8

17

13

18

11

9


Itinerari de la mà dreta Itinerari de la mà esquerra

c) Itinerari que

resol el laberint:

1 – 2 – 3 – 4 – 5

– 12 – 18.

122


Exercici 4

a) Aquesta és una possible proposta de numeració:

La representació gràfica del laberint és:

123


1

8

2 3

5

6

7

9

b) Els itineraris són:

Mà dreta: 1 – 5 – 6 – 7 – 8 – 7 – 9 – 7 – 6 – 4 – 10 – 12 – 13 – 14 – 13 – 15 – 16 –

17 – 16 – 18 – 16 – 15 – 19 – 20 – 19 – 22 – 21 – 22 – 23 META

Mà esquerra: 1 – 2 – 3 – 4 – 10 – 11 – 10 – 12 – 13 – 15 – 19 – 22 – 24 – 22 – 23

META

En aquest cas l’itinerari de la mà esquerra és més curt perquè no té tants camins

sense sortida.

Exercici 5

El procediment és el mateix que en els casos anteriors. En el primer laberint

l’estratègia de la mà no és vàlida, en canvi al aplicar aquesta estratègia en el segon

laberint arribem sense cap dificultat al centre del trapezi.

Exercici 6

a)

4

11

10

12 13 15

14 16

17

124

18

19

20

22

21

24 SORTIDA

23 EROS


1 2 3

4

3

6

10

7

5 12

15

125

14

16

8

17

13

18

11

9


Seguint l’estratègia de la mà seguim itineraris externs a aquesta paret de murs que

envolta la meta en el seu interior.

11

8

2

10

13

17

3

7

6

18

126

16

14

15

5

12

4


La forma de ruta tancada al voltant del graf es reconeix més fàcilment en la

representació gràfica.

b) Per poder fer les representacions gràfiques de la làmina 4 cal numerar prèviament

cada encreuament i procedir de la mateixa manera que en el cas del Laberint de

Chevening i del Laberint d’Horta.

En el laberint d’Horta hi ha 4 illes de murs.

1

8

2 3

5

6

7

9

4

11

10

12 13 15

14 16

En el laberint I de la làmina 4 hi ha 4 illes de murs, una de elles voreja la meta.

En el laberint II de la làmina 4 hi ha 2 illes de murs, cap d’elles voreja la meta.

c) Arribarem a la meta seguint l’estratègia de la ma en el laberint d’Horta i en el

laberint II de la làmina IV, ja que no tenen illes de murs al voltant de la meta.

Exercici 7

Recorregut òptim del laberint d’Horta: 1 – 5 – 4 – 10 – 12 – 13 – 15 – 19 – 22 – 23

Recorregut òptim del laberint de Chevening: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 12 – 18.

El recorregut òptim del laberint I de la làmina 4 té cinc vèrtexs.

El recorregut òptim del laberint II de la làmina 4 té vuit vèrtexs.

No donem la seqüència de vèrtexs dels recorreguts òptims dels laberints de la làmina 4

perquè depèn de la numeració que els alumnes hagin escollit.

17

127

18

19

20

22

21

24 SORTIDA

23 EROS


128


Exercici 8

a) Una possible numeració pot ser aquesta:

E2

Una representació gràfica és:

E1

3

1

2

1

1

6

4

5

7

8

9

15

16

129

17

20

21

14

23

24

S

10

11

18

12

19

13

22


) L’estratègia de la mà és vàlida per sortir del laberint ja que de les 11 illes de murs

que hi ha, no n’hi ha cap que rodeigi la sortida. Els itineraris són:

Mà dreta, entrant per E1: 1 – 5 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 13 – 12 – 23 – 24 – Sortida

Mà dreta, entrant per E2: 3 – 2 – 1 - E1 – 1 - 5 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 13 – 12 – 23 –

24 - S

Mà esquerra, entrant per E1: 1 – 2 - 3 - E2 – 3 – 6 – 7 – 8 – 15 – 17 – 18 – 22 – 24 -

S

Mà esquerra, entrant per E2: 3 – 6 – 7 – 8 – 15 – 17 – 18 – 22 – 24 - S

c) Observant la representació gràfica del laberint i tal com hem definit el recorregut

òptim en el Laberint de Versalles té 10 vèrtexs. N’hi ha més d’un, per exemple:

1 – 5 – 7 – 8 – 9 – 10 – 12 – 23 – 24 – Sortida

3 – 6 – 7 – 8 – 15 – 17 – 18 – 22 – 24 – S, que coincideix amb el de la mà esquerra

entrant per E2.

Exercici 9

a) El graf és:

Lleida

b) L’ordre del graf és 5 perqué és igual al nombre de vèrtexs.

C

Tarragona

130

Girona

Barcelona


c) Indicant cada ciutat amb la seva inicial: G – B – T – Ll i G – B – Ll – C – T .

d) Dos cicles del graf: Ll – C – B – T – Ll i G – B – C – G.

Exercici 10

Només en el cas b no és possible fer el que demana l’exercici. Es tracta d’anar-ho

probant fins trobar la solució.

Exercici 11

No és possible fer un circuit eulerià perquè tots els vèrtexs tenen grau senar.

Exercici 12

Tant en el cas a com en el cas c tots els vèrtexs del graf són de grau parell per tant es

poden trobar circuits eulerians.

En el cas b hi ha dos vèrtexs de grau senar, per tant es pot fer un recorregut eulerià que

comenci per un dels vèrtexs de grau senar i acaba en l’altre.

Exercici 13

El graf dels carrers per on ha d’anar el repartidor és:

Essent:

P = Plaça de Toros

SP = Hospital de Sant Pau

SF = Sagrada Família

G = Plaça de les Glòries

M = Metro Sagrera

131

A. Gaudí

SF

Marina

SP

Cartagena

PM

Gran Via GC

A M Claret

MS

Meridiana


Aquest graf té dos vèrtexs de grau senar, per tant si el repartidor només vol passar una

vegada per cada carrer ha de començar el seu recorregut en un dels dos vèrtexs i acabar

en l’altre.

Com que el vèrtex M és de grau parell, no li convé començar el recorregut en el metro

de Sagrera. Li convé arribar amb el metro de Sant Pau i acabar amb el metro de Glòries,

o començar per aquest últim i acabar pel primer.

Un possible recorregut eulerià és: G – P – SF – SP – M – G – SP

Exercici 14

a) No perquè hi ha vèrtexs de grau senar.

b) Si perquè només hi ha dos vèrtexs de grau senar. Un recorregut eulerià és:

Exercici 15

C – G – B – T – Ll – C – B

a) Una piràmide es pot considerar com un conjunt de punts units per arestes, és a dir,

com un graf amb els vèrtexs i les arestes corresponents als de la piràmide. La

pregunta és equivalent a comprovar si es pot fer un recorregut eulerià en aquest graf.

La resposta és no, ja que el graf té més de dos vèrtexs de grau senar.

b) El grau dels vèrtexs d’un poliedre regular és sempre el mateix, ja que en cada vèrtex

conflueixen el mateix nombre d’arestes.

Grau del tetraedre = 3 Grau del cub = 3 Grau de l’octaedre = 4

Grau del docecaedre = 3 Grau de l’icosaedre= 5

La formiga pot fer un circuit eulerià només en el cas de l’octaedre, ja que en els

altres casos els graus dels vèrtexs són senars.

132


Exercici 16

a)

SP MS GC PM SF

Grau d’entrada 3 1 2 0 2

Grau de sortida 1 2 2 2 1

b) Al vèrtex PM (Plaça Monumental) no s’hi arriba per cap d’aquests carrers.

c) No.

d) Circuits de dos vèrtexs: SF – SP – SF i GC – MS – GC.

e) Recorregut que passa per tots els vèrtexs del digraf: PM – GC – MS – SP – SF.

f) Recorregut que passa per 6 arestes orientades: PM – GC – MS – SP – SF – SP

Exercici 17

a) Numerem els vèrtexs de la manera següent:

1 = Sortida 1 de la Ronda de Dalt, on s’uneix amb la Ronda del Mig i Av.

Meridiana.

2 = Sortida 28 de la Ronda del Litoral on s’uneix amb la Gran Via.

3 = Sortida 18 de la Ronda del Litoral on s’uneix amb la Ronda del Mig.

4 = Sortida 17 de la Ronda del Litoral on s’uneix amb la Gran Via.

5 = Sortida 11 de la Ronda de Dalt on s’uneix amb la Diagonal

6 = Creuament entre la Diagonal i la Ronda del Mig.

7 = Creuament entre Gran Via i la Ronda del Mig.

8 = Plaça de les Glòries, on es creuen la Gran Via amb la Diagonal i la Meridiana.

Una representació gràfica del dígraf és:

133


) L’ordre del dígraf és 8.

c) Dos recorreguts per anar del vèrtex 8 al vèrtex 3 són: 8 – 2 – 3 i 8 – 6 – 7 – 3.

d) Un cicle del graf: 1 – 2 – 8 – 6 – 7 – 3 – 4 – 5 – 1.

e) Un circuit que no és un cicle: 1 – 2 – 8 – 6 – 8 – 2 – 1 .

f)

4

3

5

6

7 8 2

1 2 3 4 5 6 7 8

Grau d’entrada 4 3 3 3 3 4 3 4

Grau de sortida 4 3 3 3 3 4 4 3

g) No es pot fer un circuit eulerià perquè els graus d’entrada i de sortida en tots els

vèrtexs no són iguals.

134

1


h) Es pot fer un recorregut eulerià perquè hi ha exactament dos vèrtexs del digraf

que tenen graus d’entrada i sortida diferents, amb un camí de diferència que

forçosament connecta aquests dos vèrtexs. Podrem trobar recorreguts que

comencin en el vèrtex 7 i acabin en el 8 .

Un d’aquests possibles recorreguts eulerians és:

7 – 6 – 5 – 4 – 7 – 4 – 5 – 6 – 7 – 3 – 4 – 3 – 2 – 1 – 5 – 1 – 6 – 8 – 6 – 1– 8 – 1–

2 – 8 – 2 – 3 –7 – 8

Exercici 18

a)

Mètode 1 Mètode 2

aresta longitud aresta longitud

1ª connexió AB 2 AB 2

2ª connexió AE 4 ED 3

3ª connexió ED 3 AE 4

4ª connexió AC 13 AC 13

135


A

4

2

13

B

E

b) Els dos procediments no són iguals ja que l’ordre de les connexions no és el

mateix.

El resultat és idèntic.

c) 4 + 3 + 13 + 2 = 22 km

Exercici 19

Per l’algoritme de Kruskal les arestes de l’arbre generador minimal les prendrem en

aquest ordre: Ta C =11, M BB = 14, M Ll = 18, M B =21, M Ta = 21, V PS = 40, Tr

S =44,

Sol C = 54, S SU = 54, Tr B = 57, Tr PS = 65. Els quilòmetres de via necessaris

s’obtenen sumant aquests valors i en total són 399km

3

136

D

C


Vielha

Pont de Suert Sort

Lleida

Balaguer

Mollerussa

Les Borges

Blanques

Tremp

137

Tàrrega

La Seu d’Urgell

Cervera

Solsona


Exercici 1

Recordem que el graf és:

SEGONA PART

EXERCICIS D’AMPLIACIÓ

0


2

Per tant la matriu és 2



1

2

0

0

1

2

0

0

1

1


1

1

;


0



on cada aij representa el nombre d’arestes que van de i a j.

Exercici 2

1

3

2

Si considerem que cada terme de la matriu indica el nombre d’arestes dirigides des

del vèrtex de la fila al vèrtex de la columna i posem els vèrtexs en aquest ordre

obtenim:

138

4


SF

SF 0


SP 1

MS 0


GC 0

PM


1

SP

1

0

1

1

0

MS

0

0

0

1

0

GC

on per exemple el terme a 32 =1 indica les arestes que surten de MS i van a parar a

SP.

Exercici 3

0

0

1

0

1

a) Com què la matriu és d’ordre 44, vol dir que el nombre de vèrtexs del graf és 4

i per tant l’ordre del graf és 4.

b) Com què la matriu és simètrica es pot considerar la matriu d’un graf no dirigit.

Un dibuix del graf és:

1

3

c) Al comptar el nombre d’arestes s’obté 11. Aquest nombre es pot obtenir a partir de

la matriu sumant els termes de la diagonal més els termes de la matriu que estan a un

139

PM

0

2

0

0

0

0

4


d)

de les dues bandes de la diagonal, per tal de no comptar dues vegades la mateixa

aresta.

Vèrtexs 1 2 3 4

Grau 3 6 8 5

El grau d’un vèrtex i és igual a la suma dels termes de la i-èsima fila ( columna ), ja

que aquests termes indiquen el nombre d’arestes que surten del (arriben al) vèrtex i.

e) Admet un recorregut eulerià perquè hi ha exactament dos vèrtexs de grau senar. El

recorregut ha de començar pel vèrtexs 1 i acabar en el vèrtex 4, o bé, començar en el

vèrtex 4 i acabar en el 1.

Exercici 4

a)

Vèrtexs 1 2 3 4 5

Grau 4 8 8 2 8

b) El graf admet un circuit eulerià perquè tots els vèrtexs són de grau parell.

c) Sumant tots els termes de la diagonal més els que estan situats per sobre de la

diagonal obtenim el nombre d’arestes, és a dir: 2 + 1 + 2 + 1 + 3 + 4 + 2 + 1 = 16

arestes.

Exercici 5

140


a) Un dibuix del digraf és:

b) El digraf té 12 arestes igual a la suma de tots els termes de la matriu.

c)

3

2

Vèrtex 1 2 3 4

Grau d’entrada 4 2 4 2

Grau de sortida 2 4 2 4

Grau d’entrada del vèrtex i = suma dels termes de la columna i-èsima.

Grau de sortida del vèrtex i = suma dels termes de la fila i-èsima.

d) No admet un circuit eulerià perquè hi ha vèrtexs amb els graus d’entrada i de sortida

diferents. En aquest cas tots els vèrtexs tenen graus d’entrada i sortida diferents.

1

4

141


Exercici 6

0


2

2



1

2

0

0

1

2

0

0

1

1

0


1

2



1 2


0


1

2

0

0

1

2

0

0

1

1

9


1

1



1 1


0


4

a) El terme a 34 =2 de la matriu

1

5

5

2

1

5

5

2

4


2

2


3



2

M indica que hi ha dos recorreguts diferents de dues

arestes que van del vèrtex 3 al 4. Observant el dibuix del graf podem veure que

aquests dos recorreguts són els formats per les arestes a i c, i per les arestes b i c.

b) Com què a 14 =4, això vol dir que hi ha 4 recorreguts diferents de dos arestes que van

de 1 a 4. Observant el dibuix, els quatre recorreguts són: af, bf, dg i eg.

Exercici 7

a

1

d

3

2

e

b

c

f

g

142

4


0


1

0


0


1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0 0


0 1

0 0


0 0

0


1

a) El terme a 53 = 1 de la matriu

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0 1


0 0

0 1


0 1

0


0

143

0

1

1

1

2

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0


0

0


0

0



2

M indica que hi ha un recorregut de dos carrers que

va de la Plaça Monumental al Metro de Sagrera. Aquest recorregut és: Gran

Via – Meridiana.

b) El nombre de recorreguts de longitud 2 que van de la Monumental a Sant Pau es

corresponen amb el terme a 52 = 2 de la matriu

Gran Via – Cartagena i Marina- Av.Gaudí.

Exercici 8

2

M . Aquests dos recorreguts són:

No és possible dibuixar un graf amb les 9 connexions sense que les aqrestes no es tallin.

Un graf amb un únic punt de tall

pot ser:

X

A

Y

E

Z

G


Exercici 9

Exercici 10

Tetràedre

Dodecàedre

Hexàedre

144

Octàedre

Icosàedre


Farem una demostració gràfica.

Qualsevol graf planar de dos vèrtexs té com a mínim una aresta:

Si afegim una aresta obtenim:

Si afegim una altra aresta obtenim:

V= 2 A = 1 i C= 1, satisfà la fórmula

V + C = 2 + 1 = 3

A + 2 = 1 + 2 = 3

V= 2 A = 2 i C= 2, satisfà la fórmula

V + C = 2 + 2 = 4

A + 2 = 2 + 2 = 4

145

V= 2 A = 3 i C= 3, satisfà la fórmula

V + C = 2 + 3 = 5

A + 2 = 3 + 2 = 5

Cada cop que afegim una aresta, A i C augmenten en 1, aleshores els dos membres de la

igualtat augmenten en una unitat i per tant la fórmula d’Euler es continua satisfaent.

Exercici 11


Dibuixem quatre grafs plans d’ordre 3:

C = 2 i A=3

C + V = 2 + 3 = 5

A + 2 = 3 + 2 = 5

Exercici 12

C = 4 i A=5

C + V = 4 + 3 = 7

A + 2 = 5 + 2 = 7

146

C = 1 i A=2

C + V = 1 + 3 = 4

A + 2 = 2 + 2 = 4

C = 3 i A=4

C + V = 3 + 3 = 6

A + 2 = 4 + 2 = 6


C 4


Tetràedre: V 4

C V

4 4 6 2 A 2

A 6


C 6


Hexàedre: V 8 C V

6 8 12 2 A 2

A 12


C 8


Octàedre: V 6 C V

8 6 12 2 A 2

A 12


C 12


Dodecàedre: V 20

C V

12 20 30 2 A 2

A 30


C 20


Icosàedre: V 12

C V

20 12

30 2 A 2

A 30


Exercici 13

a) Comptant en el dibuix obtenim:

C 6


V 14

C V

6 14

18 2 A 2

A 18


b) Vol dir que la nova aresta uneix dos vèrtexs del graf:

147


C 7


V 14

C V

7 14

19 2 A 2

A 19


c) Cas 1: El nou vèrtexs és interior a una cara:

148


C 6


V 15

C V

6 15

19 2 A 2

A 19


Cas 2: El nou vèrtexs és interior a una aresta

C

7


V 15

C V 7 15 20 2 A 2

A 20


149


d) Cas 1: Un dels nous vèrtexs pertany a l’interior d’una aresta:

Cas 2: Els dos nous vèrtexs són interiors a les arestes:

Exercici 14

C 6


V 16

C V 6 16 20 2 A 2

A 20


C 7


V 16

C V

7 16

21

2 A 2

A 21


Al multiplicar el nombre de cares C pel nombre de costats n de cada cara comptem les

arestes dues vegades ja que cada aresta forma part de dues cares del políedre. Obtenim:

150


Cn

A ; per tant

2

151

A

C

n

2


Al multiplicar el nombre de vèrtexs V pel nombre d’arestes k que convergeixen en un

vèrtexs comptem les arestes dues vegades ja que cada aresta conté dos vèrtexs.

Obtenim2. Per tant el

valor mínim de n i k és 3.

b) Com què (k-2)(n-2)0, forçosament n-2


c) A partir dels resultats obtinguts en els anteriors apartats i considerant que (k-2)(n-

2)


2

Santa Maria del Mar i les proporcions numèriques

de les finestres gòtiques

153


Nivell: Segon Cicle d’ESO

FITXA PER AL PROFESSORAT

Coneixements previs: Teorema de Pitàgores. Manipulació del llenguatge algebraic:

quadrat d’un binomi, simplificació d’expressions, aïllament de variables. Manipulació

senzilla d’expressions amb radicals.

Objectius didàctics

Establir proporcions geomètriques.

Dibuixar esquemàticament una finestra gòtica, distingint els elements geomètrics

principals.

Interpretar geomètricament el nombre 3.

Aplicar les propietats de les circumferències tangents.

Calcular les dimensions dels elements que componen una finestra gòtica, aplicant el

Teorema de Pitàgores.

Desenvolupar i simplificar expressions algebraiques de segon grau.

Calcular una taula de dimensions d’una finestra ogival a partir de la seva amplada.

Calcular l’àrea d’una superfície curvilínia a partir de la descomposició en

superfícies d’àrea coneguda.

Potencial multidisciplinar

L’Arquitectura Gòtica (Àrea de Ciències Socials)

L’artesania medieval :els picapedrers i els vidriers. (Àrea de Ciències Socials)


Orientacions didàctiques

Els alumnes i les alumnes hauran d’identificar la finestra dels Apòstols i la de la

Mare de Déu i Sant Miquel de l’església de Santa Maria del Mar, de les quals se’ls

hi demana proporcions i superfície. També es convenient que les dibuixin

esquemàticament i que facin una estimació de dimensions a partir de l’observació.

Menys l’exercici 1 on es demana que es detectin elements de la església amb una

forma determinada, la resta d’exercicis es poden treballar tots a l’aula i a casa.

Convé, però, que l’alumnat observi atentament el calat de les finestres i la repetició

de motius perquè pugui entendre la necessitat dels artesans de l’època de tenir un

mètode geomètric per fabricar els disseny dels calats de les finestres de manera que

els diferents elements (cercles, triangles curvilinis, trilobats, etc.) tinguin cabuda

dintre de l’ogiva i poder repetir el mateix disseny en les diverses finestres.

En els exercicis del 4 al 8, es treballa amb expressions algebraiques: quadrat d’un

binomi, operacions amb monomis, etc. La utilitat de les relacions obtingudes en

aquests exercicis es justifica a l’exercici 9, on es veu com es pot dimensionar els

elements del calat a partir de l’amplada de la finestra.

La visita a l’església de Santa Maria del Mar

L’església és d’entrada lliure i està situada en la plaça de Santa Maria de Barcelona.

Transports: Parada Jaume I de la Línia IV del Metro

92


Material gràfic :

Il·lustració del calat d’una finestra gòtica del llibre de B. Bassegoda, Santa Maria de

la Mar, Llibre I.

93


MATERIAL PER A L’ALUMNAT

La Vesica Piscis i l’arquitectura gòtica

Exercici 1

Traçat de la Vesica Piscis

Traceu un cercle de radi qualsevol i de centre A. Trieu un punt qualsevol B de la

circumferència d’aquest cercle i dibuixeu un cercle amb el mateix radi i centre B. La

segona circumferència passa pel centre de la primera. La superfície on es superposen els

dos cercles s’anomena Vesica Piscis.

Aquest nom prové de la forma de bufeta que al omplir-se d’aire pren la forma d’un

peix. Aquesta construcció permet dibuixar la mediatriu d’un segment i la construcció de

triangles equilàters i veurem que apareix sovint en l’arquitectura gòtica.

Exercici 2

Observeu la làmina del calat de la finestra ogival de l’església de Santa Maria del Mar.

Com està construïda l’ogiva que emmarca aquest calat? Té alguna cosa a veure amb la

vesica piscis?

Observeu en quins elements arquitectònics exteriors i interiors a l’edifici apareix

aquesta figura geomètrica.

Exercici 3

Sabent que la superfície ACBD és una vesica piscis, responeu les qüestions següents:

94


H

C

D

a) Demostreu que el triangle ABC és equilàter.

b) Si el radi dels cercles és igual a 1, quant amida CD?

c) Si suposeu l’amplada de la finestra de Santa Maria del Mar igual a a, quant amida

l’alçada del calat de la finestra en funció de a?

d) Construïu un rectangle de manera que la proporció entre les seves dimensions sigui

igual a 3.

95

B


Làmina 1

98


Segons Dan Pedoe en el seu llibre La Geometria en el Arte l’única descripció clara dels

mètodes gòtics que ens ha arribat dóna tres normes generals en el disseny de les

esglésies:

La primera norma fixa la longitud i l’amplada de la planta de l’església mitjançant la

construcció d’un triangle equilàter sobre una base donada. La longitud queda

representada per AD i l’amplada per BC de la Vesica Piscis.

La segona norma tracta de la subdivisió del plànol de l’església en inter-columnis

iguals.

La tercera norma determina l’alçada de les diferents naus mitjançant un esquema de

triangles equilàters en la façana.

La construcció del triangle equilàter mitjançant la vesica piscis juga un paper important

tant en la primera com en la tercera norma.

A la Vesica Piscis se li dóna un significat religiós, ja que en el cristianisme el símbol

del peix representava a Crist . Podem apreciar en molts retaules gòtics la imatge del

Redemptor emplaçada en el lloc central i inscrita en la Vesica. En el Museu Nacional

d’Art de Catalunya es poden veure nombrosos retaules on la imatge de Deu o de la

Verge està posada dins d’aquesta forma de peix.

Des del punt de vista matemàtic, la Vesica Piscis està relacionada geomètricament amb

el triangle equilàter i numèricament amb el nombre irracional 3 . Però aquest no és

l’únic nombre irracional que apareix en les construccions d’aquesta època, veurem que

al resoldre problemes constructius l’aparició d’aquests nombres és inevitable.

99


La geometria en l’arquitectura gòtica és molt present en els rosetons i les finestres

ogivals, per poder decorar-les, els arquitectes del segle XIV varen demostrar una gran

habilitat a l’hora de resoldre problemes sobre cercles tangents, polígons regulars i

polígons estrellats. Ara, resoldrem un seguit d’exercicis sobre decoració de finestres

ogivals.

Cal tenir en compte que les finestres ogivals no sempre estan construïdes a partir d’una

vesica piscis, n’hi ha que són molt més allargades, cosa que vol dir que els centres dels

arcs que formen l’ogiva estan a una distància més petita que el radi.

100


Exercici 4

Primer disseny de finestra gòtica.

Dibuixeu una finestra gòtica fent la meitat d’una vesica piscis i intenteu inscriure un

cercle tangent a la base i als dos arcs de l’ogiva.

Quant val el radi del cercle en funció de l’amplitud de l’ogiva?

Exercici 5

x

Segon disseny de finestra gòtica.

Dibuixeu una finestra gòtica fent la meitat d’una vesica piscis i dibuixem dos

semicercles de radi a/4 i diàmetre sobre la base de l’ogiva, es tracta de construir un

cercle tangent als dos semicercles i als arcs de l’ogiva.

Quant val el radi del cercle en funció de l’amplitud de l’ogiva? A quina alçada respecte

la base de la finestra s’haurà de situar el centre del cercle?

r

a

101


El vitrall dels Apòstols

El vitrall dels Apòstols està situat en el segon nivell de finestres de les naus laterals,

damunt de l’entrada que dóna al carrer de Santa Maria de l’església. La finestra té

quatre cossos verticals i per això es diu que té quatre llums. Les imatges dels quatre

apòstols són disposades en un rengle ocupant cadascun tres plafons del vitrall.

El calat de la finestra és el dibuixat en la làmina 1.

Exercici 6

Observeu el disseny del calat de la finestra on hi ha el vitrall dels Apòstols. Aquest calat

està format per dos triangles curvilinis i cadascun d’ells conté tres triangles amb tres

fulletes inscrites (trilobats) en cadascun.

Feu-ne un dibuix esquemàtic on hi constin les dues ogives tangents a l’ogiva principal i

el cercle inscrit:

102


Calculeu el radi r del cercle inscrit i l’alçada x on està situat el seu centre. En funció de

l’amplada de la finestra.

Exercici 7

Vegeu quina relació hi ha entre el radi R de la

circumferència central de la finestra i el radi r de les sis

circumferències petites tangents a la gran.

Per poder resoldre aquest exercici utilitza el fet que el

radi divideix en sis parts iguals la circumferència i per

tant els triangle OAB és equilàter.

Si teniu en compte que R= a/4, quina relació hi ha

entre els radis dels cercles petits i l’amplada de la

finestra?

r

a

x

103

B

O

A


Exercici 8

Treballem ara dins dels dos arcs ogivals inscrits en l’ogiva principal.

Dibuixeu l’ogiva d’amplitud a/2 i inscriu els tres triangles curvilinis.

Dibuixeu dins del triangle curvilini el trifoli, és a dir les tres fulles en forma de Vesica

Piscis, per això dibuixeu seguint el passos següents:

Un triangle equilàter ABC i les seves mediatrius.

La mediatriu del segment AO. El triangle AMN és equilàter.

La Vesica Piscis circumscrita al triangle AMN.

a) Quant val MN en funció de AB? I en funció de l’amplitud de la finestra?

b) Compareu el resultat anterior amb el que heu trobat a l’exercici 7.

M

C

O

104


Exercici 9

Feu una taula que resumeixi els resultats obtinguts per aquesta finestra i calcula’n les

dimensions aproximant fins al centímetres si sabem que l’amplada de la finestra dels

apòstols és 2,76m :

Amplitud

finestra

Altura del

calat

3

a a

2

Exercici 10

Radi de la

rosassa

a

4

Altura del

centre de

la rosassa

105

5

4

a

Costat dels

triangles

curvilinis

a

4

Amplitud

de la fulla

del trifoli

a

12

a) Deduïu la fórmula de l’àrea de la vesica piscis de radi r.

b) Calcula l’àrea de la finestra dels Apòstols sabent que fa 7’75 m d’alçada i 2’76 m

d’amplada.

7,75


Exercici 11: el vitrall de la Mare de Déu i Sant Miquel

El vitrall de la mare de Déu i Sant Miquel es troba en el primer nivell de finestres de la

nau lateral, en la quarta capella entrant per la porta principal a mà dreta. La finestra és

de dues llums i representa sengles figures d’empeus. A l’esquerra hi ha la Mare de Déu

amb l’Infant i, a la dreta, Sant Miquel Arcàngel amb llança i escut matant el drac que té

als peus.

Calculeu l’àrea de la finestra on es troba el vitrall de la Mare de Déu i Sant Miquel

sabent que fa 7,16 m d’alçada per 1,30 d’amplada.

106


BIBLIOGRAFIA

A.A.V.V. Els nombres i els homes, pàg 158. Ed. Ulisses, Barcelona,1978

Ainaud, Joan, Escudero, Mª Assumpta i Vila-Grau, Joan Els vitralls medievals de

l’església de Santa Maria del Mar a Barcelona. Institut d’Estudis Catalans. Barcelona,

1985

Bassegoda, Bonaventura. Santa Maria de la Mar, Llibre I. Indústries Gràfiques: Fills de

J. Thomas. Barcelona, 1925

Coxeter, H. S.M. Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa. México, 1988

Lawlor, Robert. Geometría Sagrada. Ed. Debate. Madrid, 1982

Pedoe, Dan. La Geometría en el Arte. Gustavo Gili. Barcelona, 1979

Pàgines w.e.p.

http://fisopt14.uab.es/hipertext/presentació.htlm

107


EXERCICIS RESOLTS

Exercici 1

La vesica piscis és la part tramada del dibuix.

Exercici 2

Si prenem com a radi l’amplada de la finestra i com a centres els punts A i B de la

figura és fàcil comprovar amb un compàs que la finestra és igual a la meitat d’una

vesica piscis.

Tant en el exterior com en l’interior de l’església podem observar diversos arcs ojivals

propis de l’arquitectura gòtica ja siguin arcs que uneixen columnes, els arcs de les voltes

de les naus, com els arquets ogivals que decoren la façana de la basílica.

Exercici 3

a) Els tres costats són iguals al radi de les circumferències, per tant, el triangle és

equilàter.

b) Sabem AC = 1 i AH = ½; aplicant Pitàgores obtenim:

CH =

2

2 1

1

2

=

A B

3 3

; i per tant CD = 3.

4 2

2

2

a

a =

c) Alçada del calat de la finestra =

2 C


d) Circumscrivim un rectangle en la vesica piscis,

alçada del rectangle CD

obtenim:


base del rectangle AB

3

1

A B

D

108

a 3a

.

4 2

3 2


109


Per Pitàgores obtenim:

(a-x) 2 = x 2 + (a/2) 2

a 2 –2ax + x 2 = x 2 + a 2 /4

2ax = a 2 - a 2 /4

2ax = 3a 2 /4

x = 3a /8

r=3a/10

Exercici 4

Exercici 5

Aplicant Pitàgores al triangle AMO, obtenim:

x

a-r

A N

a/4

2 + (a/2) 2 = (a-r) 2

x 2 + a 2 /4= a 2 - 2ar + r 2

x 2 = r 2 –2ar + 3a 2 /4 (*)

Aplicant Pitàgores al triangle ANO, obtenim:

x 2 + (a/4) 2 = (r +a/4) 2

x 2 + a 2 /16= r 2 + 2ar/4 + a 2 /16

x 2 = r 2 + ar/2 (**)

Igualant (*) i (**) obtenim:

r 2 –2ar + 3a 2 /4 = r 2 + ar/2

simplificant i eliminant denominadors: -8ar + 3a 2 = 2ar; 10ar = 3 a 2 ;

Substituint en (**) obtenim:

2

2 3a

a 3a


x ; x

10 2 10

2 = 9a 2 /100 +3a 2 /20 ; x 2 = 9a 2 /100 +15a 2 /100; x 2 = 24a 2

/100

Simplificant: x 2 = 6a 2 /25; per tant:

x

6a

x=

5

110

a-x

a/2

O

r

x

M


Exercici 6

Aplicant Pitàgores al triangle rectangle AOM:

x 2 + (a/2) 2 = (a/2 +a/4) 2

x 2 + a 2 /4 = (3a/4) 2

x 2 + a 2 /4 = 9a 2 /16

x 2 = 9a 2 /16 - a 2 /4

x 2 = 5a 2 /16

fent l’arrel quadrada:

Exercici 7

Els centres de les

5a

x=

4

circumferències de radi r són equidistants del

centre O de la circumferència de radi R i són

equidistants entre ells, per tant existeix una

circumferència de centre O i radi R – r que passa pels

centres de les circumferències de radi r i el polígon que té

per vèrtexs aquests centres és un hexàgon regular. Tot

això ens diu que el triangle AOB és equilàter, d’aquí

obtenim:

R - r = OA = AB = 2 r

Per tant : R = 3r, i d’aquí:

r

R

3

Per altra banda R = a/ 4, per tant :

Exercici 8

1 a a

r

3 4 12

a) Per calcular x = AO cal veure en un triangle

equilàter la distancia entre els vèrtexs i el

111

A

A

a/2

M

x

a/4

N

O

x

r

M

B

O

C

D

R

B


circumcente en funció del costat AB del

triangle.

Tenim: OC = OA = x i OD = CD – OC

Sabem per l’exercici 2 que CD =

3AB

, tenim, doncs: OD =

2

112

3AB

- x

2

Com que el triangle AOD és rectangle podem aplicar

Pitàgores i obtenim:

2

2 3AB


x x

+



2



2

2

AB




2

2

2 3AB

2

AB

x x 3ABx

; d’aquí

4

4

Per altra banda

OA 1 AB AB

MN

3 3 3 3

Sabem que AB = a/4, per tant:

2

3ABx AB , i per tant

1 a a

MN


3 4 12

B

x

3



b) Comparant amb el resultat de l’exercici anterior obtenim que el radi de les petites

circumferències tangents a la rosassa i el radi dels arcs de les fulletes són iguals.


Exercici 9

Amplitud

finestra

Exercici 10

a)

A B

Altura del

calat

3

a a

2

Radi de la

rosassa

a

4

Altura del

centre de

la rosassa

113

5

4

a

Costat dels

triangles

curvilinis

a

4

Amplitud

de la fulla

del trifoli

a

12

2,76 m 2,39 m 0,69 m 1,54 m 0’69 m 0,23 m

Per tant l’àrea de la regió S és:

r

6

2 3

12

r

2

r


3r

/ 2 r


2 6

L’àrea de la vesica piscis és igual a la suma de les àrees dels dos triangles equilàters

més quatre vegades la regió S. Per tant:

2

2

2 3r

3r

4 3

àrea de la vesica piscis = 4

2


b) L’àrea de la finestra dels Apòstols és igual a l’àrea del rectangle més l’àrea de la

meitat de la vesica piscis d’amplitud 2,76 m.

altura del rectangle = 7,75 – 2,39 = 5,36 m i base = 2, 76 m

àrea del rectangle = 5,36 2,76 = 14,7936 m 2

12

4


3r

4

2

6

r

2


4 3

2

2,

76

àrea de la meitat de la vesica = = 9,0766 m

12

2

Per tant l’àrea de la finestra és: 14,7937 + 9,0766 = 23,87 m 2

Exercici 11

Per a calcular l’àrea de la finestra de la Mare de Déu i sant Miquel calculem l’alçada del

3 1,

3

calat: 1,

12 m; l’alçada del rectangle de la finestra és: 7,16 – 1,12 = 6,04 m

2

àrea del rectangle: 6,041,12 = 6,7648 m 2

àrea de la meitat de la vesica = 2

4

3 1,

3

2,0137 m

12

2

Per tant, l’àrea de la finestra és 6,7648 + 2,0137 = 8,78 m 2

114


3

Les proporcions en l'arquitectura

La reconstrucció del Temple Romà de Barcelona

115


FITXA PER AL PROFESSORAT

Nivell: Primer Cicle d’ESO

Coneixements previs: L’escala d’un plànol i el Teorema de Pitàgores

Objectius didàctics

Orientar-se en un plànol.

Dibuixar un plànol a partir d’una forma i unes proporcions donades.

Reconstruir la planta d’un edifici a partir d’un mòdul.

Calcular l’escala d’un plànol.

Reconstruir l’alçat d’un edifici a partir d’un mòdul i unes proporcions.

Comparar dimensions.

Potencial multidisciplinar

La Barcelona romana. (Àrea de Ciències Socials)

L’Arquitectura romana. (Àrea de Ciències Socials)

Orientacions didàctiques

El professor o la professora de socials o de matemàtiques hauria d’explicar a

l’alumnat algunes dades sobre la Barcelona romana i l’estructura dels temples

romans per tal que tinguin clar, abans de fer la visita, els diferents elements que

componen els temples.

El lloc és prou cèntric i ben comunicat perquè els alumnes i les alumnes de

Barcelona hi puguin anar pel seu compte, realitzar l’observació de les ruïnes del

temple i recollir les dades del plafó informatiu.


És convenient que l’exercici 1 es realitzi sobre el terreny per poder contrastar els

resultats.

Es pot completar la pràctica fent una visita al Museu de la Ciutat o al Museu

Arqueològic on estan exposades maquetes del temple romà de Barcelona. En el

Museu Arqueològic es poden veure els fragments de cornisa, apareguts en 1931 i

estudiats per Puig i Cadafalch, que van permetre la reconstrucció de l’entaulament.

Material gràfic

Reconstrucció frontal de l’entaulament del temple romà amb escala gràfica. El temple

romà de Barcelona . Joan Bassegoda Nonell.

Fragment de plànol de Barcelona d’escala donada més petita que 1:2500 i orientació

coneguda, on aparegui el carrer Paradís i la Plaça Sant Jaume.

102


MATERIAL PER A L’ALUMNAT

El temple romà de Barcelona

En el patí de la casa número 10 del carrer Paradís, darrere la catedral, es poden visitar

les ruïnes del temple romà de Barcelona. Aquest temple estava ubicat en la part més

alta de l’antiga ciutat romana de Barcino i va ser construït en l’època imperial (s.I d.C.),

quan a totes les ciutats romanes es van edificar temples de culte a l’emperador August.

A primera vista pot semblar que les quatre columnes i el tros d’atri que queden és molt

poca cosa per fer-nos una idea de l’aspecte que devia tenir el temple quan estava en

funcionament. Malgrat la petita part que s’ha conservat, els coneixements que els

estudiosos de l’arquitectura romana tenen de l’estructura dels temples romans els ha

permès dibuixar els plànols, molt aproximats, del que deuria ser el monumental temple.

Els temples romans d’aquesta època tenien tots la mateixa estructura: estaven construïts

sobre una plataforma elevada que s’anomena podi, tenien forma rectangular i estaven

envoltats per columnes. S’accedia al temple mitjançant una escalinata en la façana

principal, aquesta estava constituïda per una filera de columnes que donaven entrada al

pòrtic. La part central, també de forma rectangular i tancada per tres parets, s’anomena

cel·la i es dividia en dues parts: a l’entrada la pronao, lloc on es feien els sacrificis; i al

fondo la nao, on es situava l’estàtua de la divinitat a qui estava dedicat el temple, mirant

cap a l’entrada. El temple de Barcelona estava dedicat a August i per tant podem

suposar que era la seva estàtua la que es trobava en la nao.

L’arquitectura romana es caracteritza per la utilització de patrons ben establerts que es

van repetint en les diferents realitzacions. Així, per exemple coneixent la distància entre

dues columnes i sabent el tipus de temple, podem fer la reconstrucció seguint algunes

operacions matemàtiques molt simples. Els diferents models de construcció i les

relacions que hi ha entre els seus elements ens han arribat gràcies a Vitrubi, arquitecte

romà del segle I d.C. que a la seva obra, Deu llibres d’arquitectura, explica les

proporcions entre els elements que componen un determinat tipus de construcció

romana.

103


Exercici 1

Observeu en el plafó informatiu la reconstrucció ideal del temple de Barcelona, en

podeu veure una maqueta en el Museu de la Ciutat, a la plaça del Rei.

Llegiu atentament el pannell que explica algunes característiques de l’edifici i senyaleu

sobre el dibuix les columnes que es conserven.

a) Indiqueu el pòrtic, la cel·la, la naos i la pronaos.

b) On estava situada l’estàtua de l’emperador? A quina direcció mirava?

104

N


Exercici 2

Sabem que el temple romà de Barcelona és del tipus Perípter Hexàstil, això vol dir que

el rectangle de la planta estava rodejat de columnes, que el nombre de columnes frontal

era 6 i que el nombre d’intercolumnes (espai entre columnes) del costat llarg era doble

que el petit. Gràcies a aquesta classificació del temple podem saber quantes columnes

hi havia en els costats del temple. Quantes n’hi ha d’haver?

A partir del diàmetre de les columnes i de les distàncies entre elles obtenim:

La longitud de les intercolumnes del costat curt del rectangle és igual a un diàmetre i

mig.

La mida de l’intercolumna del costat llarg és igual a dos diàmetres.

Ara intentareu fer un plànol el més acurat possible de la planta real del temple a partir

del diàmetre de les columnes.

Seguint les normes de Vitrubi per aquest tipus de temples sabem que:

Entre els murs de la cel·la i les columnes de la perifèria corre un passadís d’amplada

igual a l’amplada de les intercolumnes (1diàmetre i mig pels laterals, 2 diàmetres

pel passadís del darrera).

El nombre de les intercolumnes que agafa la llargada de la cel·la és doble que el de

l’amplada.

Si dividim la llargada de la cel·la en vuit parts, cinc estan destinades a la nao i tres a

la pronao.

Seguint aquestes dades, i prenent el diàmetre de la columna igual a 0,5 cm dibuixeu

sobre paper mil·limetrat la planta del temple.

Exercici 3

Sabent que el diàmetre de les columnes del temple és igual a 1,1 m, calculeu:

a) Les dimensions reals del rectangle de la planta del temple.

b) Les dimensions de la cel·la, la nao i la pronao.

c) L’escala del vostre plànol.

105


Exercici 4

Sobre un plànol del casc antic de Barcelona d’escala coneguda i tenint en compte les

dimensions que heu calculat i l’orientació del temple, dibuixeu el rectangle que

representa la planta del temple de Barcelona i us fareu a la idea de la seva grandària.

Compareu-ho amb la grandària de la plaça Sant Jaume.

Exercici 5

El temple de Barcelona no compleix els preceptes vitrubians ja que la distància entre les

columnes dels laterals no és la mateixa que la que hi ha entre les de la part frontal i

posterior. El model clàssic compleix que les intercolumnes són totes iguals, aleshores la

llargada de la cel·la és doble que l’amplada. A més si dividim la llargada de la cel·la en

vuit parts, cinc estan destinades a la nao i tres a la pronao.

Quina relació hi ha entre la longitud de la nao i la diagonal de la pronao en un temple

clàssic?

Com es podria construir amb regla i compàs el plànol de la cel·la a partir de les

dimensions de la pronao?

Exercici 6

Mirem de reconstruir en alçada el temple. La informació que tenim ara és la següent:

L’altura de la columna amb la basa i el capitell inclosos és 7’9 vegades el diàmetre.

L’alçada del podi és 1/3 part de l’alçada de la columna incloent-hi la basa i el

capitell.

Per calcular l’alçada de l’entaulament (arquitrau, fris i cornisa) disposem del dibuix

amb l’escala gràfica de la reconstrucció que en va fer l’arquitecte Puig i Cadafalch

en 1931, arrel de la troballa dels fragments de cornisa.

106


entaulament

Per calcular l’alçada del timpà segons Vitrubi, cal dividir la longitud de la cornisa

frontal (l’amplada del temple) en nou parts i prendre’n una com alçada del timpà.

Les cornises inclinades que delimiten el timpà han de tenir l’alçada igual que la

cornisa de l’entaulament que podeu mesurar en la reconstrucció de Puig i Cadafalch.

a) Calculeu les diferents alçades i completeu la taula:

Podi

Columna (basa, fuste i capitell)

107

5 m m5m

cornisa


Entaulament

Timpà

Cornisa inclinada

ALTURA TOTAL

b) Dibuixeu de forma esquemàtica, però seguint les proporcions, la façana principal del

temple.

c) El temple romà de Barcelona tenia una alçada com una casa de quants pisos?

Informeu-vos de quina és l’alçada més freqüent dels pisos actuals.

d) Calculeu la longitud de les cornises inclinades que tanquen el timpà.

Exercici 7

A partir del llibres de Vitrubi se sap que el nombre de graons de l’escalinata que accedia

al temple és sempre senar per tal que al començar a pujar es col·loca el peu dret sobre el

primer graó i així el peu dret serà el que assolirà el graó superior a nivell del terra del

temple.

a) Segons Vitrubi l’alçada dels graons havia d’estar al voltant de tres quarts de peu

romà. Atenent a l’alçada del podi que heu obtingut en l’exercici anterior, quants

graons podia tenir l’escalinata del temple de Barcelona?

b) Quina amplada ocupava l’escalinata si segons Vitrubi l’amplada d’un graó no havia

de ser més petita que un peu i mig, ni més gran que dos peus?

c) Afegiu al plànol de l’exercici 2 la part davantera amb l’escalinata, si sabem que

l’amplada de l’escalinata va des de la primera intercolumna fins a l’última.

d) Amb les noves dades calculeu la superfície que ocupava el temple.

El peu roma és igual a 29’57 cm.

108


BIBLIOGRAFIA

Bassegoda Nonell, Joan. El templo romano de Barcelona. Real Academia de Bellas

Artes de san Jorge. Barcelona, 1974

Gutierrez Behemerid, María Angeles El templo romano de Barcino. Análisis de la

decoración arquitectónica. Cuadernos de Arquitectura Romana, Volumen i.

Publicaciones de la Universidad de Murcia, 1992

Puig i Cadafalch, J. L’Arquitectura romana a Catalunya. Institut d’Estudis Catalans.

Barcelona , 1934

Vitrubio. Los diez libros de Arquitectura. Alianza Forma, Alianza Editorial. Madrid,

1995

.

109


a)

Exercici 1

Portic

EXERCICIS RESOLTS

b) L’estàtua de l’emperador estava en la naos i mirava al sud-oest.

Exercici 2

Pronaos

Naos

Cel·la

Segons els estudis arqueològics el temple tenia 6 columnes d’ample amb els 5

intercolumnes i per tant tenia 11 columnes de llarg amb els 10 intercolumnis (52=!0).

La planta de la cel·la agafarà 4 columnes d’ample per poder deixar el passadís del fons i

per tant agafarà 3 intercolumnes, per tant la llargada de la cel·la serà igual a 6

intercolumnes més 7 columnes. Cal fer el plànol sobre paper mil·limetrat.

Exercici 3

a) Llargada: 1,111 columnes =12,1m ;

intercolumnes= 1,1 2=2,2 m; 2,210 = 22m.

Llarg= 12,1 + 22 = 34,1 m

Amplada: 1,16 columnes =6,6m ;

intercolumnes=1,1 1,5=1,65 m; 1,655=8,25m.

Ample = 6,6 + 8,25 =14,85 m

b) Cel·la :

Columnes = 1,17=7,7; Intercolumnes 1,126=13,2; llarg=7,7+13,2=20,9m

Columnes = 1,14=4,4; Intercolumnes 1,11,53=4,95; ample=4,4+4,95=9,35m

Pronao: Llargada: 3/8 de la cel·la = 7,8375 m Amplada = 9,35m

Nao: Llargada: 20,9-7,8375 = 13,0625 m

c) Si el diàmetre s’ha pres en el plànol igual a 0,5 obtenim:

110

N


0, 5 1

; l’escala és 1:220

1,

1 220

111


Exercici 4

A partir de l’escala del plànol es calculen les dimensions de la Plaça Sant Jaume que són

aproximadament: llarg = 75,5 m i ample=51m; per tant l’àrea = 75,551=3850,5 m 2

Amb les dimensions conegudes de la planta del temple i a partir de l’escala del plànol

dibuixem el rectangle sobre el plànol tal com s’indica en la figura.

Àrea aproximada del temple de Barcelona = 34,114,85 = 506,382 m 2

Nombre de vegades que està contingut el temple en la plaça: 3850,5 : 506,382=7,6

El temple romà tenia una superfície una mica més petita que a una setena part de la

plaça Sant Jaume.

112


113


114


Exercici 5

Si considerem la llargada del rectangle de la cel·la igual 8 unitats,

obtenim que l’amplada és 4 unitats i la llargada de la pronaos és 3/8

2 2

de 8 = 3. Per tant la diagonal de la pronaos és 3 4 5.

Per altra

banda la llargada de la naos és 8-3=5. Per tant, coincideixen.

Per construir el plano de la cel·la a partir de la pronaos cal prendre un rectangle de

costats 34 (pronaos) i transportar la diagonal sobre el costat de la base tal com mostra

la figura:

a)

Exercici 6

Podi 1/3 de 8,69 2,9 m

Columna (basa, fuste i capitell) 7,91,1=8,69 m

115


Entaulament 2,10 m

Timpà 14,85:9=1,65 m

Cornisa inclinada 0,35 m

ALTURA TOTAL 15,69

b) Per dibuixar la façana principal del temple hauran de tenir en compte les dimensions

del diàmetre de les columnes i les intercolumnes. Convé que facin el dibuix a escala.

En la pàgina següent s’hi troba el dibuix de la reconstrucció del temple fet a escala

per l’arquitecte Antonio Celles que va fer un estudi acurat del temple a l’any 1835.

c) Si acceptem que l’alçada mitjana d’un pis és 3m, obtenim que el temple tenia

l’alçada d’un edifici de 4 pisos, ja que cal comptar la planta baixa.

Exercici 7

a) 3/4 de peu romà = (29,57:4) 3=22,17 cm; el podi fa 290 cm: 290:22,17 13 graons

b) 130,2957 1,5=5,76m, 130,29572=7,7 m; per tant el costat llarg del rectangle

de la planta té en total de 6 a 8m més que el calculat en l’exercici 3

c) Cal afegir a escala els 6 o 8 m de llargada en l’orientació sud-est.

d) 614,85=89,1 m 2 i 814,85=118,8m 2 , per tant, es pot afirmar que l’àrea del

rectangle de la planta del temple feia entre 90 m 2 i 120 m 2 .

116


117


La façana principal i l’escalinata del temple de Barcelona tal com devia ser.

Dibuix original de l’arquitecte Antonio Celles (1835)

4

La Vil·la de Centcelles i la construcció i superfície de plantes simètriques

118


Nivell: Segon Cicle d’ESO

Coneixements previs:

FITXA PER AL PROFESSORAT

El teorema de Pitàgores. Càlcul amb radicals. Àrees del triangle, del rectangle i del

cercle. Relació entre el radi de la circumferència i el costat de l’hexàgon regular inscrit.

Objectius didàctics

Mesurar les dimensions d’una planta quadrada i una circular.

Dibuixar amb regla i compàs les plantes regulars de la Vil·la de Centcelles.

Aplicar el teorema de Pitàgores per a calcular les dimensions d’una planta.

Trobar la relació entre el radi de la circumferència i el costat del dodecàgon regular

inscrit.

Comparar àrees de superfícies curvilínies amb les de superfícies poligonals.

Calcular àrees de superfícies formades per polígons i cercles.

Potencial multidisciplinar

La Tarragona romana (Ciències Experimentals)

L’Arquitectura romana. (Àrea de Ciències Socials)


Orientacions didàctiques

Per a la realització de l’exercici 1 és indispensable la visita de l’alumnat al

Mausoleu, ja que hauran de realitzar mesures sobre el terreny. Els alumnes i les

alumnes hauran de prendre mesures de les diferents dimensions de la planta que es

demanen en l’exercici 1. Convé insistir en que s’ha d’amidar prenent com a

referència aquelles parts de la paret que sembla que respectin més la construcció

original.

Un dels objectius d’aquesta pràctica és elaborar hipòtesis sobre la regularitat

geomètrica del projecte arquitectònic. Les dimensions que s’obtenen a partir de les

suposades relacions geomètriques no s’ajusten a les mesures reals però s’hi

aproximen força. Cal comentar als alumnes que el desajust entre el projecte

geomètric i el real està present en la realització de qualsevol edifici, ja que el

projecte s’ha d’adaptar a les circumstàncies reals: dificultats del terreny, adequació

dels materials de construcció, etc. En el nostre cas convé insistir en què les mesures

que hem pres no són exactament iguals a les de la construcció del segle IV ja que

les dues sales han sofert diverses reconstruccions segons les diferents funcions que

han tingut en cada època, encara que l’estructura sigui essencialment la mateixa que

la del edifici original.

En els exercicis 3 i 6 es veu la utilitat de trobar relacions generals entre les

dimensions d’una figura geomètrica utilitzant els radicals i el llenguatge algebraic, ja

127


que permeten calcular les dimensions els diferents elements de la planta a partir

d’una dimensió bàsica.

La visita a la Vil·la de Centcelles

Adreça: Afores, s/n

43120 Contantí

Telèfon 977 52 33 74

Durada aproximada de la visita: 1h amb projecció de dos audiovisuals. Cal concertar la

visita en grup prèviament i demanar permís per prendre mesures.

Telèfons d’informació: 977 23 62 09 – 977 25 15 15

Correu electrònic: mnat@mnat.es.

128


MATERIAL PER A L’ALUMNAT

La Vil·la Romana de Centcelles

Des que els romans es van assentar a Tarragona (finals del s. III a. C.) i la van fer capital

de la Hispània Citerior van començar a construir vil·les destinades a l’explotació

agrícola fora de la ciutat. Aquestes vil·les, cada cop més luxoses, es transformaren en

llocs de residència on el seus propietaris es dedicaven al repòs i al lleure, un exemple

n’és la vil·la de Centcelles.

Les edificacions que es visiten van ser construïdes a mitjan del segle IV d. C. i formen

part d’un conjunt molt més ampli d’instal·lacions on habitaven els senyors de la casa

juntament amb el personal que estava al seu servei. La sala de planta circular amb la

cúpula decorada de mosaic, que dóna una idea del luxe de la construcció, sembla que

amb el temps es va transformar en el mausoleu d’algun personatge important, alguns

pensen que el propi fill de Constantí hi està enterrat, però no hi ha seguretat completa en

la finalitat funerària de l’edifici.

Les dues sales que estudiarem estan edificades sobre dues plantes quadrades de 14,5 m

de costat cada una. En l’interior, una d’elles és de planta circular amb quatre nínxols

adossats, i l’altra té forma quadrada amb quatre absis semicirculars. El que pretenem

amb aquest treball és donar una hipòtesi de construcció geomètrica de la planta i

calcular-ne les dimensions seguint aquesta hipòtesi, així com calcular superfícies per

combinació d’àrees conegudes.

Exercici 1

Sobre la planta de les dues sales principals de la vil·la de Centcelles amideu les

dimensions següents:

A

129

B


Sala A: Costats del quadrilàter de la planta i diàmetres i profunditat dels absis que es

poden amidar.

Sala B: Diàmetre de la planta circular, distàncies entre dos nínxols consecutius i els

diàmetres i profunditat dels quatre nínxols

a) Podeu afirmar que la sala A té planta quadrada?

b) Quina forma tenen els absis de la sala A? Són tots iguals?

c) Quina forma tenen els quatre nínxols de la sala B? Es pot afirmar que són iguals?

d) Els nínxols de la sala B , estan col·locats simètricament sobre la circumferència de la

planta?

130


Estudi de la sala A

L’objectiu d’aquest estudi és fer la descripció geomètrica de la construcció de la planta i

a partir d’ella estudiar la relació numèrica entre el costat del quadrat ABCD i l’amplada

dels absis. També farem un estudi sobre el gruix de les parets i la superfície hàbil.

Exercici 2

A B

D

Partint del fet que els absis són semicirculars completeu sobre el plànol les quatre

circumferències. Què s’observa?

131

C


Traceu les diagonals del quadrat i inscriviu-hi un quadrat de manera que els vèrtexs

coincideixin amb els punts mitjos dels costats del quadrat de la planta. Què s’observa?

132


Observant el dibuix podem fer una hipòtesis de com els antics romans van dissenyar

sobre el terreny aquesta planta tan regular només comptant amb cordes i una esquadra

per obtenir els angles rectes.

Els passos podrien ser els següents:

Marcar el quadrat ABCD amb quatre cordes de la mateixa longitud formant angles

rectes ajudant-se per l’esquadra.

A B

D

Lligar dues cordes unint els vèrtexs

oposats del quadrat per marcar les

diagonals.

A B

D

Senyalar els punts mitjos dels costats del

quadrat: M, N, P i Q i unir-los per a formar el

quadrat MNPQ.

133

C

C


M

A B

Q

D

P

134

N

C


Traçar les circumferències amb centre M, N, P i Q i radi les interseccions dels

costats del quadrat MNPQ amb les diagonals del quadrat ABCD .

Exercici 3

M

a) Aprofitant la construcció geomètrica anterior i aplicant el teorema de Pitàgores

calculeu el diàmetre de l’absis a partir del costat del quadrat. Coincideix amb la

mesura obtinguda en l’exercici 1?

b) En general si el costat del quadrat és l, quant mesura el diàmetre d de l’absis? I el

radi r?

c) La relació anterior permet calcular l’amplada dels absis a partir del costat del

quadrat sense fer la construcció geomètrica. Completa la taula fent servir la fórmula

de l’apartat b)

Costat del

quadrat 7 m 7,5 m 8 m 9 m 10 m

Radi de

135

M

A B

Q

D

P

N

C


Exercici 4

l’absis

Si sabem que el quadrat extern de l’edifici A té 14,5 m de costat calculeu els següent

valors de la construcció:

a) Valor mínim i màxim del gruix de la paret.

b) Àrea del sol que ocupa l’edifici A.

c) Superfície hàbil de l’edifici.

d) Percentatge que representa la superfície hàbil respecte la quantitat de sol ocupat.

136


Estudi de la sala B

L’objectiu d’aquest estudi és fer la descripció geomètrica de la construcció de la planta i

a partir d’ella estudiar la relació numèrica entre el radi del cercle i els radis dels nínxols.

També farem un estudi sobre el gruix de les parets i la superfície hàbil.

A

H

B

G

137

C

F

D

E


Exercici 5

En l’exercici 1 hem obtingut que la planta dels nínxols és semicircular, que tots ells

tenen el mateix diàmetre i que les distàncies entre dos nínxols consecutius són iguals.

Dibuixa el dodecàgon regular inscrit en la circumferència i comprova que el diàmetre

del nínxol coincideix amb el costat del polígon inscrit.

Per dibuixar el dodecàgon dibuixem dos diàmetres perpendiculars i inscrivim dos

hexàgons regulars (costat = radi) cada un amb dos vèrtexs en els extrems d’un dels

diàmetres, els 12 punts que obtenim sobre la circumferència són els vèrtexs del

dodecàgon.

138


Observant el dibuix podem fer una hipòtesis de com els antics romans van dissenyar

sobre el terreny aquesta planta tan regular només comptant amb cordes i una esquadra

per obtenir els angles rectes.

Els passos podrien ser els següents:

Amb l’ajuda de l’esquadra construir amb cordes el quadrat exterior de 14,5 m de

costat.

En el centre del quadrat i amb el radi igual al que hem mesurat en l’exercici 1 fem la

circumferència de la planta i dibuixem els dos diàmetres perpendiculars en les

direccions perpendiculars als costats del quadrat.

Q

O

M

P

139

N


Amb una corda des de M marquem els punts A i D prenent la distància AO, radi de

la circumferència

M

A D

O

140


Repetint la mateixa operació des dels punt N, P i Q obtenim B, C, E, F, G i H.

H

O

M

B C

A D

Prenent el radi igual a la meitat de la corda AB i centre en las meitat de la corda es

poden construir la semicircumferència del nínxol AB. Els nínxols restants es

construeixen

anàlogament.

A

G

B

F

141

E


142


Exercici 6

a) Aprofitant la construcció geomètrica anterior i aplicant el teorema de Pitàgores

calculeu el diàmetre dels nínxols a partir del radi de la circumferència. Aquest

exercici és equivalent a donar la longitud del costat del dodecàgon regular a partir

del radi de la circumferència circumscrita.

A

B

N

O

b) Coincideix amb la mesura obtinguda en l’exercici 1? Quina diferència hi ha?

c) En general si el radi OA és r, quant mesura el diàmetre d dels nínxols? I el radi r’

dels nínxols?

d) La relació anterior permet calcular l’amplada dels nínxols a partir del costat del

quadrat sense fer la construcció geomètrica. Completa la taula fent servir la fórmula

de l’apartat c).

Radi de la

circumferència = r 4 m 5 m 6 m 10 m 12 m

Diàmetre dels

nínxols = d

143


Radi dels

nínxols = r’

144


Superfície de les lúnules

Les superfícies limitades per dos arcs de circumferències de radis diferents s’anomenen

lúnules. Abans de calcular la superfície de la planta en forma de lúnula dels nínxols de

l’edifici B ens entretindrem en estudiar un parell d’exemples de lúnules que tenen una

superfície curiosa.

Exercici 7

Partint d’una circumferència de radi 2 cm considerem la lúnula, indicada en la figura

limitada per la semicircumferència de diàmetre igual al costat del quadrat inscrit en la

circumferència de partida.

a) Calculeu l’àrea del triangle rectangle ombrejat.

b) Calculeu, fent combinació de superfícies d’àrees

conegudes, l’àrea d’aquesta lúnula.

145


c) Què podem afirmar de la superfície de les dues figures ombrejades amb trames

diferents?

146


Hipòcrates de Quios i les lúnules

El primer geòmetra de qui es té notícia que va estudiar les superfícies en forma de lluna

va ser Hipòcrates de Quios, que va viure als voltants del 430 a. C. i va investigar sobre

les àrees de les figures curvilínies. En la seva obra, Elements de Geometria, precursora

dels llibres d’Euclídes, va recollir els coneixements matemàtics del seu temps.

Hipòcrates va demostrar en el cas general l’equivalència entre les superfícies de

l’exercici 7 d’una manera molt diferent a com ho hem comprovat nosaltres ja que no

podia fer servir ni el valor de , ni els radicals. En la seva demostració només utilitza el

teorema de Pitàgores i les proporcions entre les àrees dels semicercles.

El descobriment de que una figura curvilínia tingués la mateixa àrea que un triangle va

ser molt important per als antics grecs preocupats com estaven per poder calcular l’àrea

del cercle com si es tractés d’una figura poligonal, allò que en la història de les

matemàtiques ha passat com el problema de quadrar el cercle. Si hi havia superfícies

limitades per arcs de circumferència que tenien una àrea igual a un triangle, llavors

potser també podrien trobar una superfície equivalent a la del cercle i que tingués l’àrea

igual a la de una figura de costats rectilinis.

Però, totes les lúnules són quadrables? El mateix Hipòcrates va veure que no al

considerar la lúnula corresponent al costat de l’hexàgon regular, tal com veurem en

l’exercici que ve a continuació.

Exercici 8

Calculeu la superfície de les lúnules que es poden construir sobre els costats de

l’hexàgon regular inscrit en la circumferència de radi igual a 2 cm i compareu-la amb la

superfície de l’hexàgon. Quina és més gran?

2 cm

147

2 cm


Calcula l’àrea del cercle de diàmetre el radi de la circumferència inicial i comprova que

la suma de les àrees de les superfícies ombrejades és igual a l’àrea de l’hexàgon.

148


Exercici 9

Si sabem que el quadrat extern de l’edifici B té 14,5 m de costat calculeu els següent

valors de la construcció:

a) Àrea del sol que ocupa l’edifici B.

b) Àrea d’un nínxol, sabem que és la lúnula de diàmetre igual al costat del dodecàgon

regular inscrit en la circumferència.

c) Superfície hàbil de l’edifici.

d) Valor mínim i màxim del gruix de la paret.

e) Percentatge que representa la superfície hàbil respecte la quantitat de sol ocupat.

149

Gruix màxim

Gruix mínim


EXERCICI D’AMPLIACIÓ

Leonardo da Vinci i les capelles octogonals

Leonardo da Vinci (1452-1519) va ser un dels homes universals del Renaixement. Ha

estat reconegut per la seva obra artística i científica. En el camp de les matemàtiques

són coneguts els seus treballs sobre la perspectiva i sobre la simetria.

Leonardo coneixia els estudis sobre lúnules d’Hipòcrates i en alguns fulls dels seus

Quaderns s’hi troben dotzenes de lúnules dibuixades relacionant la seva àrea amb les

àrees dels polígons.

L’interès de Leonardo per les lúnules és debut a la seva aplicació a l’hora de resoldre el

problema d’afegir capelles i nínxols als edificis de planta en forma de cercle o de

polígon regular sense destruir la simetria de l’edifici. En els seus escrits es troben

dissenys de plantes d’edificis amb simetria central que no tenen a veure amb

edificacions reals i en els quals l’artista resol aquest problema.

Exercici 10

Aquest disseny de planta octogonal, amb quatre capelles quadrades i quatre nínxols

semicirculars és del tipus

estudiat per Leonardo.

Mireu de calcular la

superfície de la planta en

funció del costat de l’octògon

regular.

150

l


Nota: Caldrà que descomponeu la figura en superfícies d’àrees que pugueu calcular.

151


BIBLIOGRAFIA

Camprubi, F. El monumento paleocristiano de Centcelles. Barcelona, 1952.

Domenech i Montaner, Ll. Centcelles, estudi històric arquitectònic de la primitiva

església metropolitana de Tarragona. Edicions Industrias del Papeel S. A., Barcelona,

1931.

Hauschild, Theodor. Untersyuchungen in monument von Centcelles. Actas VIII

Congreso de Arqueología Cristiana. Barcelona, 1969.

Boyer, Carl B. Storia della matematica. Oscar Studio Mondadori, 1980.

Pedoe, Dan. La geometria en el arte. Gustavo Gili, Barcelona, 1979.

Informació sobre la vil·la de Centcelles a la xarxa:

http://www.fut.es/patrimhu/tema17.htm

http://www.mnat.es

152


Exercici 1

EXERCICIS RESOLTS

Amidar sobre el terreny un edifici que ha sofert diferents restauracions per a esbrinar les

dimensions originals no és una feina fàcil. En aquest cas encara que les dues sales són

en un bon estat de conservació de vegades les fites de les nostres mesures no estan ben

determinades, i per tan les mides són aproximades. Aquí es detallen les mesures preses

sobre el terreny que ens permetran fer hipòtesis sobre las forma geomètrica de les dues

plantes.

A 5,07 m

B

D

6,95 m

2,56 m

7,25 m

7,25 m

4,98 m

153

6,95 m

C

4,78 m

Accés sala B


e) A la vista de les mesures preses la planta de la sala A és rectangular però tenint en

compte que la paret AD està en molt mal estat i que les cantonades no estan ben

determinades, farem la hipòtesis que la intenció dels constructors romans era la de

fer una sala quadrada i prendrem el costat del quadrat igual a 7m que és la mesura

considerada pels arqueòlegs i arquitectes que han estudiat el monument.

f) L’únic absis de la sala A on es pot mesurar la profunditat és el del costat AB , els

resultats de les mesures són 5,07 m de diàmetre i 2,56 m de profunditat, com que la

profunditat és la meitat del diàmetre podem suposar que la forma dels absis és

semicircular. Per les mesures que hem obtingut dels diàmetres farem la hipòtesis

que es van projectar perquè fossin tots iguals.

154


Les mesures preses en la sala B són les següents:

g)

5,72 m

2,95 m

2,8 m

5,65 m

diàmetre = 10,92 m

5,65 m

El

s


nxols de la sala B són semicirculars, les variacions en els diàmetres són

suficientment petites com per poder fer la hipòtesis que la voluntat del constructor

era fer-los tots iguals.

155

2,91 m

2,9 m

5,62 m


h) Les diferències entre les distàncies de dos nínxols consecutius són suficientment

petites com per considerar que els nínxols estan situats simètricament respecte el

centre de la sala.

156


Estudi de la sala A

Exercici 2

Observem que les circumferències són tangents i que

el radi és igual a la meitat del segment que uneix els punts mitjos

de dos costats consecutius dels quadrat.

Observant el dibuix podem fer una hipòtesis de com els antics romans van dissenyar

sobre el terreny aquesta planta tan regular només comptant amb cordes i una esquadra

per obtenir els angles rectes.

Exercici 3

d) Si considerem el costat del quadrat igual a 7 m obtenim que

el radi de la circumferència és igual a la meitat de la

hipotenusa d’un triangle rectangle de catets iguals a 3,5 m.

Aplicant el teorema de Pitàgores obtenim:

hipotenusa

radi

4,

94

2


3,

5

2

2,

47

3,

5

m

2


4,

95

Comparant amb els diàmetres obtinguts en l’exercici 1

podem afirmar que és probable que en el projecte de

l’arquitecte hi hagués aquesta intencionalitat.

m

157

3,5

3,5


e) El triangle rectangle té els catets iguals a la meitat de l i la hipotenusa igual al

diàmetre d de la absis. Per Pitàgores:

f)

d

l


2

l


2

d l

r

2 2 2

2

2


2l

4

2


l

2

2


Costat del quadrat = l 7 m 7,5 m 8 m 9 m 10 m

Radi de l’absis =

l

2

2

l

2

2,47m 2,65 m 2,82 m 3,18 m 3,53 m

158

l/2

l/2

d


Exercici 4

e) Valor mínim del gruix de la paret = m

14,5 – ( 7 +2 · 2,47) = 2,06; m = 2,06 : 2 = 1,03 m

Valor màxim del gruix de la paret = M

14,5 –7 = 7,5; M = 7,5 : 2 = 3,75 m

f) Àrea del sol que ocupa l’edifici A.

La planta exterior de l’edifici és un quadrat de costat

14,5 m per tant la seva àrea és 14,514,5 = 210,25 m 2

g) Superfície hàbil de l’edifici.

La superfície de la planta interior de la sala A es

compon d’un quadrat de costat 7m i quatre

semicercles, equivalents a dos cercles, de radi 2,47 m , per tant la seva àrea és:

2

àrea del quadrat + 2àrea del cercle = 7 7 2

2,

47

87,

33 m 2

m

h) 87,33: 210,25 = 41,53% superfície hàbil respecte la quantitat de sol edificat

Aquest percentatge juntament al gruix del mur ens dóna una idea de la solidesa de la

construcció. Gràcies a això i a la bona factura dels murs l’edifici s’ha conservat al

llarg de tants segles.

Estudi de la sala B

Exercici 5

159


Exercici 6

a) Per a calcular el costat del dodecàgon s’ha de considerar el triangle OAB, amb OA

= OB = radi de la circumferència = 5,46 m, i calcular-ne amb aquest ordre: ON, NB

i finalment AB.

Com que AN és la meitat del costat de

l’hexàgon regular inscrit, és igual a la meitat

del radi.

AN = meitat del radi = 5,46 :2 = 2,73 m

Per Pitàgores:

A

ON =

2 2

OA AN

2 2

5,

46 2,

73 4,

72 m O

N B

NB = OA – ON = 5,46 – 4,73 = 0,73 m

2 2

2 2

AB = AN NB 2,

73 0,

73 2,

82 m

b) Les diferències amb les mesures obtingudes en l’exercici 1 no són rellevants, ja que

segons les mesures recollides variaven entre 2,8 m i 2,95 m. Podem pensar que el

diàmetre del nínxol és igual al costat del dodecàgon regular inscrit en la

circumferència.

c) Refent els càlculs de l’apartat anterior :

OA = OB = r i AN = r/2

ON =

NB = r

2

2 r 2 r 3r

3r

r r m

2 4 4 2

3r

2

2

2

160


2

2

2

2 2 r 3r

r 2 3r

2

d = AN NB r

r 3r

2 3r

2


2

4 4

d

r'


2

2

2

3

r

d) Fent servir l’última relació que hem obtingut:

2

r = radi de la

circumferència

d = diàmetre dels nínxols

4’5 m 5 m 5’5 m 6 m 6’5 m

2 3r

2,33 m 2,58 m 2,84 m 3,10 m 3,36 m

r’ = radi dels nínxols

2

2

3r

1,16 m 1,29 m 1,42 m 1,55 m 1,68 m

161


Exercici 7

d) L’àrea del triangle és:

b h 2 2

= 2 cm

2 2

2

2 2

e) Diàmetre de la lúnula = 2 2 8 2 2 cm

2 2

Radi de la lúnula = 2

2

A

2 2

B

A = àrea del

semicercle de radi

2

2 + àrea del triangle =

2

2 2

2


cm 2

2

B =àrea d’un quart de cercle de radi 2=

4

2

cm 2

C = A – B = 2 2 cm 2

f) Com que l’àrea de la lúnula és la mateixa que l’àrea del triangle rectangle, les dues

superfícies ombrejades tenen la mateixa àrea en aquest cas l’àrea és igual a 8 cm 2 .

162

r = 2

C


.

163


Exercici 8

Diàmetre de la lúnula = costat del hexàgon inscrit = radi de la circumferència = 2 cm

A = àrea del triangle equilàter de costat 2 + àrea del semicercle de radi 1 cm


6

h 2

1

2 2

2

2


3

2 2

Altura del triangle equilàter = h 2 1

3

2

2 3 1


A = 3 cm

2 2 2

2

B = àrea de la sexta part del cercle =

cm 2

C = A – B =

2

3

2 3



3 cm

6

2


Àrea de les 6 lúnules = 6



3 6

6

3

cm 2

Àrea de l’hexàgon = 6 triangles = 6

2 3



6

2


3

Àrea de la circumferència de diàmetre 2 =

2

2

A B C

cm 2

164

1 cm 2

2 cm


6 lúnules de radi 1 + cercle de radi 1 = 6

regular de radi 1

Exercici 9

3

= 6 3 = àrea de l’hexàgon

f) La planta exterior de l’edifici és un quadrat de costat 14,5 m per tant la seva àrea és

14,514,5 = 210,25 m 2

g) La lúnula té de diàmetre el costat del dodecàgon regular inscrit en la circumferència

A

Per calcular A cal calcular l’àrea d’un triangle isòsceles de base el diàmetre de la

lúnula i els costats iguals al radi del cercle. El diàmetre de la lúnula és igual al costat

del dodecàgon regular inscrit en la circumferència que en l’exercici 6 hem calculat

que era 2,82m.

Per Pitàgores podem calcular

2

2 2,

82

h= 5,

46 5,

27 m

2

5,

27 2,

82

Per tant l’àrea del triangle és: 7,

43 m

2

2

5,46

5,46

h

2 2

L’àrea del semicercle de diàmetre 2,82 és: 1,

41 6,

24 m

Per tant A = 7,43 + 6,24 = 13,67 m 2

Per altra banda B és la dotzena part del cercle, per tant: B =

2

5,

46

7,

80 m

12

2

165

B

C

2,82


Tenim, doncs, que l’àrea de la lúnula és: C = A – B = 13,67 –7,80 =5,87 m 2

h) Per calcular l’àrea de la planta interior de l’edifici s’ha de sumar l’àrea de les quatre

lúnules amb l’àrea del cercle principal.

2

Àrea de la planta interior = 4 5,

87 5,

46 = 117,136 m 2

i) El valor mínim del gruix de la paret és 14,5 – 10,92 = 3,58; 3,58 : 2 = 1,79 m.

El gruix

màxim és igual a la diferència entre la meitat del costat del quadrat i x.

Per calcular x aplicarem Pitàgores al triangle rectangle de la figura que és isòsceles

pel fet que les lúnules estan col·locades simètricament, per tant

t = h + r’ = 5,27 + 1,41 = 6,68 m

2 2

2

2

2

x x 6,

68 ; 2x

44,

62;

x 22,

31;

x 22,

31 4,

72 m

14,

5

per tant el gruix màxim és 4,

72 2,

53m

2

t

x

166

Gruix màxim

Gruix mínim


j) 117,36 : 210,25= 55,8% de superfície útil. A igual que en la sala A, aquest

percentatge juntament amb ell gruix del mur ens dóna una idea de la solidesa de la

construcció.

Exercici 10

l

x

x

L’octògon està format per

quatre triangles rectangles

isòsceles de catets igual a x i d’hipotenusa igual a l, quatre rectangles de dimensions

x l , i un quadrat de costat l.

Per Pitàgores calculem x en funció de l:

2 x

x x

2

l ;

2

2x

2

l ;

2

2 l

x ;

2

x

l

.

2

167

l


l l

Àrea del octògon = 4 triangles + 4 rectangles + 1 quadrat = 4

2

2

2

4

l 2

l l

2

168

2

2 2 2

2

2

2

l l 2

4 4 l

4 2

2

2

2 4l

2 4 2l

2l

2l


2 2

2l

2 2l

l .

Àrea de les capelles circulars :

l

4 semicercles de radi 2 cercles de radi

2

Àrea de les quatre capelles quadrades = 4

l l

2


2 2

2 2

l l

2

.

4 2

2

l .

Àrea de la planta = ( 2 2

2

2 l

2

2)

l 4l

( 6 2

2

2

2 ) l .

2

Aquesta expressió permet calcular l’àrea de la planta de l’església coneixent el costat

del octògon.

5

La Sagrada Família, els quadrats màgics

i les progressions aritmètiques

2


FITXA PER AL PROFESSORAT

Nivell: Segon Cicle d’ESO

Coneixements previs

Fórmula de la suma de termes consecutius de les progressions aritmètiques.

Continguts procedimentals

Deducció d’una propietat aritmètica elemental a partir de l’observació d’un conjunt de nombres.

Constatació de si un determinat model verifica una definició.

Resolució de solucions problemàtiques utilitzant les propietats de les progressions aritmètiques.

Deducció de la fórmula de la suma dels quadrats màgics a partir de la suma dels termes d’una

progressió aritmètica

Potencial multidisciplinar

El modernisme: Gaudí i la Sagrada Família. (Àrea de Ciències Socials)

El Renaixement: els gravats de Durero. (Àrea de Ciències Socials)

Orientacions didàctiques

El lloc és prou cèntric i ben comunicat perquè els alumnes i les alumnes de Barcelona hi puguin anar

pel seu compte i realitzar l’observació del quadrat màgic. Pels alumnes i alumnes de fora de

Barcelona la pràctica és aprofitable en el cas que facin una visita cultural a la Sagrada Família.


La demostració de la fórmula que permet calcular la suma màgica posa en evidència que les

demostracions utilitzen els procediments usats habitualment per l’alumnat en la resolució i la

simplificació de les expressions numèriques i algebraiques.

Si es disposa d’accés als ordinadors es pot fer una pràctica de construcció de quadrats màgics

utilitzant el full de càlcul Microsoft Excel.

Material gràfic

Il·lustració del gravat de La Malenconia d’Albert Durero. Catàleg de l’exposició Durer, en les

col·leccions franceses. Fundació la Caixa, 1998.

136


El quadrat màgic de la Sagrada Família

Exercici 1

Observeu la portada de la Passió de la Sagrada Família, obra de l’escultor Subirachs. Al costat esquerra

de la porta principal hi ha un quadrat quadriculat i en cada casella hi ha un nombre.

Còpieu els nombres en el quadrat:

Quina propietat hi podeu observar?

Suma per files = Suma per columnes = Suma per diagonals=

Aquest nombre, té algun significat en el context on està situat?

Exercici 2

Observeu el gravat de la làmina 1 sobre fusta que va dibuixar Albert Durero en l’any 1514 titulat La

Malencolia. Si us hi fixes bé veureu que aquesta data apareix en el gravat formant part d’un quadrat de 16

quadrets. Còpieu els nombres que apareixen en el gravat i feu la mateixa operació anterior.

137


Quant val la suma de les diagonals, les files i les columnes?

138


139

Làmina 1


Quadrats màgics. Curiositats i investigacions

Un quadrat màgic és un taula quadrada formada per nombres consecutius i diferents

començant pel número 1, col·locats ordenadament per files i columnes, de manera

que el resultat de sumar els nombres d’una mateixa fila, o d’una mateixa columna és

constant. Si, a més a més s’obté aquesta mateixa suma sumant els nombres en cada

diagonal, aleshores el quadrat màgic es diu que és perfecte.

El quadrat perfecte de 9 caselles era conegut a la Xina en l’any 1000 a. de C., i en

una llegenda d’aquest país sobre la creació del món es diu que una tortuga marina va

arribar un dia a la terra amb aquest quadrat dibuixat en la closca. És l’únic que es

pot formar amb els nou primers nombres naturals.

Un dels quadrats màgics amb els setze primers nombres naturals és el que apareix en

el gravat de Durero, però se’n poden formar fins a 880 de diferents!. El matemàtic

Frénicle els va publicar tots en l’any 1693.

Actualment es manté l’interès per a descobrir quina llei matemàtica regula la

distribució dels nombres en les caselles i quin és el nombre de solucions possible, ja

que no se sap quants quadrats màgics diferents es poden formar quan el costat és més

gran que 5.

En els exercicis que venen a continuació descobrirem quant val la suma màgica d’un

quadrat de costat n, per això hauràs de recordar la fórmula de la suma de termes

consecutius d’una progressió aritmètica. Donarem, també, una forma de construir

quadrats màgics perfectes quan el costat té un nombre imparell de caselles.

Exercici 3

Col·loqueu els primers 9 nombres naturals de manera que el quadrat resultant sigui

un quadrat màgic:

140


Exercici 4

El quadrat de la Sagrada Família no és un quadrat màgic. Per què? Podrieu convertir-lo en un quadrat

màgic? Intenteu-ho

141


Exercici 5

Anem a trobar la relació entre el nombre de quadrats del costat del quadrat màgic que li direm n i la suma

màgica.

Els nombres que apareixen en el quadrat de costat n són:

1, 2, 3, 4, ..................n 2

a) Usant la fórmula de la suma de termes consecutius d’una progressió aritmètica,

quant fa la suma de tots els nombres dels quadrat?

b) Si cada una de les files ha de sumar el mateix, a partir del resultat anterior quant val la suma màgica?

Doneu la fórmula simplificada al màxim.

c) Comproveu que la fórmula és certa pels quadrats de costat 3 i de costat 4.

d) Quant valdrà la suma màgica del quadrat màgic de costat 5?

Exercici 6

Aquest és el quadrat ple d’astúcies que es va inventar Benjamin Franklin :

52 61 4 13 20 29 36 45

14 3 62 51 46 35 30 19

53 60 5 12 21 28 37 44

11 6 59 54 43 38 27 22

55 58 7 10 23 26 39 42

142


9 8 57 56 41 40 25 24

50 63 2 15 18 31 34 47

16 1 64 49 48 33 32 17

a) Calculeu mitjançant la fórmula quant val la suma del quadrat màgic 8 8? És màgic aquest quadrat?

b) Dividiu el quadrat pels dos eixos principals en quatre quadrats 44 io comproveu que la suma dels

elements d’una mateixa fila és igual a la suma de quatre elements de la mateixa columna.

c) Comproveu que la suma dels quatre quadrats dels vèrtexs, més els quatre quadrats centrals és igual a

la suma màgica.

d) Comproveu que la suma dels quatre nombres alineats per la recta que forma un angle de 45º amb la

vertical i que travessa les quatre primeres columnes de manera ascendent més els quatre nombres

simètrics respecte la vertical que parteix per la meitat el quadrat té per resultat la suma màgica.

d) Comproveu que també és màgica la suma quant els nombres de les 4 primeres columnes els agafeu

en direcció descendent.

e) Comproveu que tot el que s’ha dit per l’eix vertical es verifica per l’eix horitzontal.

f) Comproveu que si sumeu els quadrats de les línies de punts que no arriben a l’eix amb els quadrats

que completarien la línia de punts fins arribar-hi, juntament amb els simètrics, la suma dels vuit

quadrats és màgica.

EXERCICIS D’AMPLIACIÓ

Exercici 7

Se sap que de moment no s’ha descobert cap mètode per a construir quadrats màgics de dimensió parell,

però pels de dimensió imparell hi ha un mètode descobert pel matemàtic Bachet de Méziriac que és el

següent:

143


3 16 9 22 15

20 8 21 14 2

7 25 13 1 19

24 12 5 18 6

11 4 17 10 23

S’amplia el quadrat tal com indica el dibuix,

s’escriuen els nombres en diagonal creixents i

s’introdueixen els nombres que queden fora del

quadrat tal com indica l’esquema gràfic. Seguint aquest mètode construïu el quadrat màgic perfecte de

7 7.

Exercici 8

També es poden construir estrelles màgiques, entre les quals hi ha les de sis puntes. Es

tracta, ara, de col·locar a cada vèrtex del polígon estrellat un nombre que vagi del 1 al

12 de manera que les sumes al llarg de cada costat siguin constants.

a) Quant valdrà aquesta suma?

b) Construïu una estrella màgica.

k l

j

a

b c

144

d

2

5

4 10

2 8 14 20

1 7 13 17 19 25

6

3

11

9

11 23

21

16 22

16 22

15

23


BIBLIOGRAFIA

Bergamini, David Life le monde des sciences .Les Mathématiques. TIME Inc. 1965

Bolt, Brian : Más actividades matemáticas. Labor, Barcelona, 1983

Guedj, Denis: El imperio de las cifras y los números. Ediciones B, Barcelona, 1998

Raluy, Francisco: Todo un mundo en cuadros. Barcelona, 1998

Warusfel, André : Los números y sus misterios. Martínez Roca, Barcelona 1968

145


Exercici 1

1 14 14 4

11 7 6 9

8 10 10 5

13 2 3 15

Suma per files, columnes i diagonals =33

EXERCICIS RESOLTS

Estem en la portada de la Passió i 33 és l’edat en que va morir Crist.

Exercici 2

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Suma =34

Exercici 3

6 1 8

146


7 5 3

2 9 4

1 14 15 4

12 7 6 9

8 11 10 5

13 2 3 15

Exercici 4

Exercici 5

2

1

n 2

a) n

2

2 2

2 2

2

1 n n 1 n n 1 n

n

b) : n

2

2n

2

2 1 3 3

n 3 ; 15

2

c)

2 144 n 4;

34

2

2 1 5 5 d) n 5;

65

2

Exercici 7

4 29 12 37 20 45 28

35 11 36 19 44 27 3

147

7 10

9

6

2

1

11

5 4

3

8

12


10 42 18 43 26 2 34

41 17 49 25 1 33 9

16 48 24 7 32 8 40

47 23 6 31 14 39 15

22 5 30 13 38 21 46

2

( 1

7 ) 7

2

Exercici 8

Suma = 175

Suma dels dotze primers nombres = 78

Cada nombre participa en dues sumes màgiques, per tant la suma de totes les sumes fa un total de:78 · 2 =

156

dividint perles 6 sumes:156 : 6 = 26

148


6

Els logotips, els rosetons i els grups d’isometries

149


FITXA PER AL PROFESSORAT

Nivell: Segon Cicle d’ESO

Coneixements previs: Isometries en el pla: girs i simetries.

Objectius didàctics

Descobrir les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada.

Caracteritzar les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada.

Compondre isometries.

Classificar les figures planes i afitades segons el seu grup de simetries.

Trobar el motiu mínim que genera una figura plana i afitada coneixent el seu grup

de simetries.

Construir una figura plana i afitada que tingui un grup de simetries donat.

Potencial multidisciplinar

Disseny de logotips i de figures amb un grup de simetries determinat. (Àrea d’Expressió Visual i

Plàstica)

L’Arquitectura gòtica. (Àrea de Ciències Socials)

Orientacions didàctiques

El paper vegetal és molt útil per la realització d’aquesta pràctica. En els exercicis 1, 2 i 3 per dibuixar

els eixos de simetria sense embrutar la il·lustració. En els exercicis 13, 14, 15 i 16 per calcar el motiu

mínim que genera una figura determinada En els exercicis17 i 18 per aplicar isometries a un motiu

inventat.

Si els alumnes i les alumnes tenen poca pràctica en la composició d’isometries, els exercicis 5 i 6 es

poden treballar amb mètodes manipulatius: retallant un triangle i aplicant-li els diferents moviments.

En el cas que s’hagin treballat aquestes composicions es pot introduir l’expressió d’una isometria

aplicada a un triangle en forma de matriu dels vèrtexs i els seus transformats i compondre dues

isometries fent servir aquestes matrius..

La visita a les Catedrals i el treball al carrer

L’exercici 2 d’aquesta pràctica apareix amb tres versions diferents corresponents a les catedrals de Lleida,

Barcelona i Tarragona. L’exercici és aplicable a qualsevol rosetó que estigui a l’abast de l’alumnat.

L’exercici 10 l’han de realitzar els nois i noies pel seu compte. És recomanable que treballin en grups. Els

plats de les rodes dels cotxes són una bona font de grups de Leonardo d’ordre diferent, de tota manera

poden proposar altres objectes. En aquest exercici haurem d’insistir tant en que fotografiïn objectes

diferents amb el mateix grup de Leonardo, com objectes del mateix tipus amb diferent grup d’isometries.

En el exercici 11, que s’aplica als claustres de les catedrals, es pot aprofitar la visita per treballar

qüestions de Ciències Socials.


Material gràfic

Il·lustracions dels rosetons de les catedrals del llibre Les Catedrals de Catalunya de Xavier Barral,

Edicions 62, 1994.

Il·lustracions dels rosetons del llibre de Bonaventura Bassegoda, Santa Maria de la Mar, Llibre I.

Indústries Gràfiques: Fills de J. Thomas. Barcelona, 1925.

Dissenys de logotips de Hornung, Clarence P. Handbook of designs and devices. Dover Publications,

Inc., New York, 1959.

Rosetó de Catàleg de mosaics de E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 192

136


Girs i simetries

Objectiu: detectar els moviments del pla que aplicats a una figura plana i afitada la

deixen superposada sobre ella mateixa.

Exercici 1

Observeu els logotips de la ciutat de Barcelona, dels Transports metropolitans de Barcelona, de RENFE ,

del Ferrocarrils de la Generalitat i la creu de les farmàcies. Superposant un paper transparent marqueu, si

s’escau, els eixos de simetria de cada un dels logotips.

Hi ha algun punt des del qual fent girar el logotip queda superposat sobre ell mateix?

Indiqueu, si s’escau, els angles dels girs de centre el punt anterior que deixen a la figura invariant.


136


Exercici 2 (Lleida)

Observeu el rosetó sobre la porta de Sant Berenguer situada en el braç nord de la Seu Vella de Lleida.

Feu-ne una fotografia o un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent els seus eixos de

simetria.

Indiqueu el centre i els angles dels girs que deixen el rosetó invariable. Quina relació hi

ha entre els angles de gir?

Exercici 2 (Barcelona)

Observeu els rosetons de les façanes principals de la Catedral i de Santa Maria del Mar (Làmina 1) de la

ciutat de Barcelona. Feu-ne una fotografia o un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent

els seus eixos de simetria.

137


Indiqueu els angles dels girs que aplicats des del centre deixen els rosetons invariables. Quina relació hi

ha entre els angles de gir?

138


139


Làmina 1

Exercici 2 (Tarragona)

Observeu el rosetó de la façana principal de la Catedral de la ciutat de Tarragona. Feu-ne una fotografia o

un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent els seus eixos de simetria.

Indiqueu els angles dels girs que aplicats des del centre deixen el rosetó invariable.

Quina relació hi ha entre els angles de gir?

Exercici 3

Observeu els dissenys de la Làmina 2, tots ells extrets del llibre “Handbook of designs and devices” de

Clarence P. Hornun, i ajudant-vos d’un paper transparent resoleu les qüestions següents:

a) Determineu el punt des del qual pots girar el disseny de manera que es “transformi en ell mateix”.

b) Determineu els angles dels girs de l’apartat anterior. Quina relació hi ha entre aquests angles?

140


c) Dibuixeu sobre el paper transparent superposat a la figura els eixos de simetria de cada una de les

figures.

141


142


Grup de simetries d’una figura

Objectiu: Caracteritzar les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada i

estudiar-ne la composició.

En les figures que heu estudiat en els exercicis anteriors heu pogut observar que hi ha dos tipus de

moviments del pla que transformen una figura en ella mateixa: els girs de centre comú (sobre el que

girem la figura) i les simetries axials amb eixos que es tallen en el centre dels girs.

Aquests dos tipus de moviments formen part del conjunt de moviments del pla que conserven les

distàncies i que s’anomenen isometries. Hi ha quatre tipus de isometries: les translacions, els girs, les

simetries i les simetries amb lliscament (composició d’una simetria axial amb una translació de direcció

paral·lela a l’eix de la simetria).

En el nostre cas estem estudiant les isometries que deixen una figura afitada superposada sobre si

mateixa, per tant, no hi pot haver ni translacions, ni simetries amb lliscament ja que aquests moviments

desplacen tota la figura sense deixar-la superposada sobre ella mateixa.

En general el conjunt de isometries que deixen una figura superposada sobre ella mateixa són girs i

simetries totes elles amb un punt fix (centre de tots els girs i punt de tall de tots els eixos de simetria).

Aquest conjunt de moviments al compondre'ls entre ells ens dóna un altre gir o una altra simetria que

deixa invariant la figura i per això s’anomena el grup de simetries de la figura.

En el pitjor dels casos, si la figura és molt irregular, sempre li podem aplicar un gir de 360º que deixi tots

els seus punt fixes, aquesta isometria s’anomena identitat i l’indiquem Id.

Exercici 4

Estudieu el grup de simetria de les figures següents:

a) b) c)

a) Indica el centre dels girs, els girs i les simetries del rectangle.

b) Quants moviments deixen el trapezi invariant?

c) Quants girs deixen la circumferència invariant? Quants eixos de simetria té una circumferència?

143


Exercici 5

Dibuixeu un triangle equilàter orientat, on els costat són vectors per contes de segments, tal com indica la

figura.

B C

a) Indiqueu els girs que deixen el triangle invariant. Té alguna simetria?

b) Anomeneu G, H i Id els tres girs i completeu la taula

G

H

Id

A

G H Id

A cada casella escriurem el resultat d’aplicar al triangle en primer lloc el moviment

que encapçala la columna seguit del moviment que indica la fila corresponent.

Podreu observar que el resultat de compondre aquests girs dóna un gir del mateix

tipus.

144


Exercici 6

Dibuixeu un triangle equilàter tal com indica la figura.

C

B

a) Indiqueu els girs G, H i Id que deixen el triangle invariant i les simetries S1 , S2 i S3

b) Completeu la taula següent

A

Id G H S1 S2 S3

145


Id

G

H

S1

S2

S3

A cada casella escriurem el resultat d’aplicar al triangle en primer lloc el moviment que encapçala la

columna seguit del moviment que indica la fila corresponent. Podreu observar els resultats següents:

El resultat de compondre dues isometries que deixen invariant al triangle és una isometria que també

el deixa invariant.

El resultat de compondre dos girs és un gir del grup.

El resultat de compondre un gir i una simetria és igual a una simetria del grup.

El resultat de compondre dues simetries és un gir del grup.

Aquests resultats que heu obtingut pel triangle equilàter es satisfan en qualsevol polígon regular i en

general en qualsevol conjunt d’isometries que deixen invariant una figura plana i afitada. Per això podem

parlar del grup d’isometries d’una figura i classificar-la segons els elements del seu grup.

Exercici 7

a) Trobeu el grup d’isometries del quadrat i del pentàgon regular.

b) Completeu la taula següent:

Polígon regular Angles de gir Nombre

de

simetries

146

Angle format

per dos eixos de

simetria


Triangle

Quadrat

Pentàgon

Hexàgon

Heptàgon

Octàgon

147

consecutius

c) Descriviu els eixos de simetria segons la paritat del nombre de costats dels polígons regulars.

d) Sabríeu escriure els angles dels girs que deixen invariant un polígon regular de 20 costats? I d’ un

polígon regular de n costats?

e) Sabríeu escriure l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius d’un polígon regular de 20

costats? I d’un polígon regular de n costats?

Exercici 8

Amb els resultats dels exercicis 1, 2 i 3 completeu la taula de la pàgina següent

Un cop completada la taula contesteu les qüestions següents:

a) Quina relació hi ha entre l’angle més petit de gir i el nombre de girs?

b) Quina relació hi ha entre l’angle mínim de gir del grup i l’angle que formen dos eixos de simetria

consecutius?

c) Quina relació hi ha entre el nombre de simetries i el nombre de girs?


Escut BCN

RENFE

T.M.B.

F.G.C.

Farmàcia

A1

A2

A3

B1

B2

B3

C1

C2

C3

D1

Figura

Girs

n

Simet

ries

n

Angles de gir

148

Angle que

formen dos

eixos de

simetria

consecutius

Nom del

grup de

simetries


D2

D3

E1

E2

E3

Catedral

Barcelona

Catedral

Tarragona

Seu Vella

Lleida

Sª Mª Mar I i

II

149


Grups cíclics i grups diedrals

Objectiu: classificar les figures planes i afitades segons el seu grup d’isometries

Observant els valors de la taula anterior ens adonem de uns quants resultats interessants:

a) L’angle més petit de gir és igual a 360º dividit pel nombre de girs, i els altres girs tenen un angle

múltiple enter d’aquest.

b) El nombre de simetries axials, si no és nul, és sempre igual al nombre de girs. (Si una figura té un eix

de simetria i un gir d’angle aleshores la recta que forma un angle /2 amb el primer eix és també

eix de simetria).

c) Figures diferents poden tenir el grup de simetries format pels mateixos elements.

En resum els conjunts d’isometries que deixen una figura invariant són de dos tipus:

1. Si la figura no té eixos de simetria, aleshores està

format pels girs d’angles d’amplitud 360ºk/n amb

k=1,2,..., n.

Aquest conjunt de girs s’anomena grup cíclic d’ordre n i s’indica per Cn

2. Si la figura a més dels girs C n té simetries aleshores hi hauran n simetries amb els eixos que es

tallen en el centre i que formen angles 180ºk/n amb k=1,2,..., n.

Aquest conjunt de girs i simetries s’anomena grup diedral d’ordre n i s’indica per D n .

Els grups diedrals i els grup cíclics s’anomenen grups de Leonardo i ens permeten classificar les figures

segons el grup de moviments que les deixen invariants. Així direm que una figura és del tipus cíclic o del

tipus diedral segons si el seu grup de simetries és un grup cíclic o diedral.

El nom de Leonardo prové de l’artista renaixentista Leonardo da Vinci (1452 –1519) que es va interessar

per la Geometria aplicada a l’art, com ho demostren els seus escrits sobre la perspectiva, la construcció

de polígons regulars i d’el·lipses, els seus treballs sobre àrees de superfícies curvilínies, etc.

En els fulls dels seus quaderns dedicats a arquitectura dóna solucions al problema d’afegir capelles i

nínxols a un edifici de planta circular o en forma d’octògon regular sense destruir-ne la simetria.

Leonardo estudia els eixos de simetria d’aquestes plantes i els girs que les deixen invariants i té en

compte aquests elements a l’hora de dissenyar l’edifici. El fet que la major part d’aquests projectes no es

portessin a la pràctica demostra l’interès teòric que per a Leonardo tenien aquests dissenys. És per això

que alguns autors parlin dels grups de Leonardo quan estudiem el grup d’isometries d’una figura plana i

afitada.

150


Exercici 9

a) Quin tipus de grup de Leonardo és un polígon regular de n costats?

b) Completeu l’última columna de la taula de l’exercici 8, indicant si es tracta d’un grup cíclic, o bé,

d’un grup diedral.

151


Exercici 10

Ara es tracta de que aconseguiu la vostra pròpia col·lecció de fotografies de figures de grups cíclics i

diedrals d’ordre diferent i més gran que 1. Els plats de rodes de models diferents de cotxes ens donen una

gran varietat de grups diedrals i cíclics. En les esglésies romàniques i gòtiques es poden veure, apart dels

rosetons, molts elements decoratius en els vitralls, en la decoració dels arcs ogivals, etc. que formen grups

diedrals o cíclics d’ordre més gran que 1. Feu-ne fotografies i classifiqueu la figura segons el seu grup

d’isometries.

Exercici 11

En els claustres de les catedrals de Barcelona, Tarragona i de la Seu Vella de Lleida en el interior de les

arcades que envolten el pati s’hi troben elements decoratius circulars que presenten simetries diferents.

Feu fotografies de tres elements decoratius circulars de grups de Leonardo diferents. Indiqueu de quin

tipus de grup de Leonardo es tracta.

Exercici 12

A la primera meitat del segle XX la pavimentació dels terres es feia amb mosaic hidràulic. El mosaic

hidràulic està composat de rajoles de morter de ciment hidràulic, emmotllades i premsades, formades de

distintes capes de material de les quals la superior, apta per a ésser trepitjada, presenta un acabat fi, moltes

vegades amb dibuixos que formen conjunts de geometria regular. A Catalunya hi havia les principals

indústries que es dedicaven a la fabricació d’aquests mosaics. En un catàleg de l’any 1929 s’hi troba

aquest rosetó format per rajoles hexagonals. Trobeu el grup de Leonardo de cada una de les rajoles que

composen el paviment i del disseny del rosetó.

152

A B C D

E


153


Motiu mínim d’una figura

Objectiu: trobar el motiu mínim que genera una figura plana i afitada coneixent el seu grup de Leonardo.

Exercici 13:

Motiu mínim d’una figura del tipus cíclic

Preneu la figura E2 de l’exercici 3 del tipus C 5 i dibuixeu en un paper transparent un angle de 360º : 5 =

72º, superposeu el vèrtex O d’aquest angle en el centre de gir de la figura, calqueu el tros de dibuix que

queda dins de l’angle convex. Aquest és el motiu que genera tota la figura al aplicar-li quatre vegades el

gir de 72º i centre O.

Utilitzeu aquesta tècnica per a dibuixar els motius mínims de totes les figures del tipus cíclic de l’exercici

3.

Exercici 14

Motiu mínim d’una figura del tipus diedral

Preneu la figura A3 de l’exercici 3 del tipus D 5 i dibuixeu sobre el paper transparent superposat a la

figura dos eixos de simetria consecutius, calqueu el tros de dibuix que queda determinat per l’angle agut

que formen aquests dos eixos. Aquest és el motiu que genera tota la figura. Apliqueu ara una de les

simetries determinada per un dels dos eixos i apliqueu a la figura resultant quatre vegades el gir de 72º i

centre O. Sobre el paper transparent obtindreu novament la figura.

Utilitzeu aquesta tècnica per a dibuixar els motius mínims de totes les figures del tipus diedral de

l’exercici 3.

Exercici 15

Trobeu el motiu mínim que genera el rosetó de mosaic de l’exercici 12.

154


Exercici 16

Trobeu el motiu mínim que genera els rosetons de les esglésies que heu estudiat a l’exercici 2.

155


Construcció d’una figura plana i afitada amb un grup

d’isometries donat

Objectiu: construir una figura plana i afitada que tingui un grup d’isometries donat

En els exercicis anteriors heu pogut observar que donat un motiu mínim i aplicant successives vegades

alguns moviments obtenim tota la figura. Aquests moviments s’anomenen generadors del grup de

simetries. En el cas del grup cíclic C n el generador és el gir d’angle 360º/ n, en el cas del grup diedral

D n el generador és una simetria qualsevol del grup i el gir d’angle 360º/ n.

Exercici 17

Construïu una figura del tipus C 6 . Per això seguiu els passos següents:

a) Dibuixeu un angle de 60º (360º : 6) i a l’interior del sector convex definit per aquest angle dibuixeu

un motiu qualsevol que no sigui simètric respecte a cap eix que passi pel vèrtex de l’angle.

b) Sobre paper transparent calqueu el dibuix anterior i apliqueu al motiu, amb centre el vèrtex de

l’angle, girs de 60º, 120º, 180º, 240º i 300º, és a dir

Sobre el paper vegetal obtindreu una figura del tipus C 6 .

Exercici 18

156

360 k

amb 1, 2,

3,

4,

5

º·

6

k .

Construïu una figura del tipus D 6 . Per això seguiu els passos següents:

a) Dibuixeu un angle de 30º (180º : 6) i a l’interior del sector convex definit per aquest angle dibuixeu

un motiu qualsevol que no sigui simètric respecte a cap eix que passi pel vèrtex de l’angle.

b) Sobre paper transparent calqueu el dibuix i dibuixeu també el resultat d’aplicar-li una simetria

respecte a un dels costats de l’angle.


c) Apliqueu al dibuix anterior, amb centre el vèrtex de l’angle, un gir de 60º, 120º, 180º, 240º i 300º, és

a dir

360 k

amb 1, 2,

3,

4,

5

º·

6

k .

La figura resultant és del tipus D 6 .

157


BIBLIOGRAFIA

Barral, Xavier. Les Catedrals de Catalunya. Edicions 62. Barcelona, 1994.

Bassegoda, Bonaventura. Santa Maria de la Mar, Llibre I. Indústries Gràfiques: Fills de J. Thomas.

Barcelona, 1925.

Blanco Martín, Mª Francisca. Movimientos y Simetrías. Publicaciones de la Universidad de Valladolid,

D.L. 1994.

Bossard, Yvon. Rosaces, frises et pavages. Vol 1: étude practique. CEDIC, Paris 1977.

Col·legi Oficial d’Aparelladors. El mosaic hidràulic: artesania i industria. Catàleg de l’exposició, 1985.

Escofet, E. F. Mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1929.

Fernández Benito, Inmaculada . Grupos de Leonardo. Actas de las 9 as Jornadas para el Aprendizaje y la

Enseñanza de las Matemáticas. Lugo, 1999.

Hornung, Clarence P. Handbook of designs and devices. Dover Publications, Inc., New York, 1959.

Jaime Pastor, Adela i Angel Gutiérrez Rodríguez. El grupo de las Isometrías del Plano. Síntesis. Madrid,

1996.

Pedoe, Dan. La geometria en el arte. Gustavo Gili, Barcelona, 1979.

Weyl, Hermann. Symetry. Princeton University Press. New Jersey, 1982.

158


Exercici 1

EXERCICIS RESOLTS

L’escut de la ciutat de Barcelona té un eix de simetria horitzontal i no hi ha cap gir, llevat el trivial de

360º, que el deixi superposat sobre ell mateix.

Els logotips de RENFE i de FGC no tenen eixos de simetria i en canvi hi ha un gir de centre el centre del

logotip i d’angle 180º que els deixa superposats sobre ells mateixos.

El logotip dels transports metropolitans de Barcelona té dos eixos de simetria un horitzontal i l’altre

vertical i a més el gir de 180º amb centre el punt de tall dels dos eixos de simetria també el deixa

invariant.

La creu que indica els establiments farmacèutics té quatre eixos de simetria: un horitzontal, l’altre vertical

i les dues bisectrius de l’angle que formen aquests dos eixos perpendiculars. Els quatre girs de centre el

punt on es tallen els eixos d’angles 90º, 180º, 270º i 360º formen part també del conjunt d’isometries que

deixen invariant la creu de Farmàcia.

Exercici 2 (Barcelona)

El rosetó de la catedral de Barcelona té 6 eixos de simetria i 6 girs de centre el centre del rosetó i angles:

60º,120º,180º, 240º, 300º i 360º que el deixen invariable.

Els dos rosetons de l’església de Santa Maria del Mar tenen respectivament 8 eixos de simetria i 8 girs de

centre el centre del rosetó i angles: 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º que els deixen invariables.

Exercici 2 (Tarragona)

El rosetó de la façana principal de la catedral de la ciutat de Tarragona té 12 eixos de

simetria i 12 girs de centre el centre del rosetó i angles : 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º,

210º, 240º, 270º, 300º , 330º i 360º que el deixen invariable.

159


Exercici 2 (Lleida)

El rosetó de la porta de Sant Berenguer de la Seu Vella de Lleida té eixos de simetria i 8 girs de centre el

centre del rosetó i angles: 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º que el deixen invariables.

160


Exercici 3

161


Exercici 4

a) Els dos eixos de simetria són els que apareixen en el dibuix i passen

respectivament pel punt mig dels dos costats paral·lels. Els dos girs que

el deixen invariant són els de centre O i angle de gir 180º i 360º.

b) No hi ha cap simetria que deixi invariant el trapezi,. Només el gir

trivial de 360º amb centre qualsevol punt del pla el deixa invariable.

c) Si girem la circumferència amb centre de gir el centre de la

circumferència i amb angle qualsevol es mantindrà invariable.

Qualsevol diàmetre de la circumferència és eix de simetria. El nombre

d’eixos de simetria d’una circumferència és igual al nombre de diàmetres, per tant, és infinit.

Exercici 5

a) El triangle equilàter orientat no té eixos de simetria i hi ha tres girs amb centre el centre del triangle

equilàter i d’angles 120º, 240º i 360º.

b) Essent G= gir de 120º, i H = gir de 180º :

G H Id

G H Id G

H Id G H

Id G H Id

Exercici 6

a) G, H i Id són els mateixos girs de l’exercici 5.

S1 = simetria d’eix perpendicular a BC i que passa per A.

S2 = simetria d’eix perpendicular a AC i que passa per B.

162


)

S3 = simetria d’eix perpendicular a AB i que passa per C.

Id G H S1 S2 S3

Id Id G H S1 S2 S3

G G H Id S3

H H Id G S2 S3

S1

163

S1 S2

S1 S2 S3 Id G H

S2 S2 S3

S3

S3

S1 H Id G

S1 S2 G H Id

S1


Exercici 7

a) En la figura hi ha indicats els eixos de simetria i l’angle mínim dels girs que deixen la figura

superposada.

b)

Polígon

regular

90º 72º

Angles de gir Nombre

de

simetries

Triangle 120º, 240º i 360º 3 60º

Quadrat 90º, 180º, 270º i 360º 4 45º

Pentàgon 72º, 144º, 216º, 288º, 360º 5 36º

Hexàgon 60º, 120º, 180º, 240º, 300º i 360º 6 30º

Heptàgon 360º/7, 720º/7, 1080º/7, 1440º/7,

1800º/7, 2160º/7, 360º

7 180º/7

Octàgon 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º 8 22,5º

164

Angle format

per dos eixos

de simetria

consecutius

c) Els eixos de simetria dels polígons regulars amb un nombre parell de costats són de dos tipus: les

rectes que van d’un vèrtex al seu vèrtex oposat, i les rectes que van d’un vèrtex al punt mig del seu

costat oposat.

Els eixos de simetria dels polígons regulars amb un nombre senar de costats són les rectes que surten

d’un vèrtex i van a parar a la meitat del costat oposat a aquest vèrtex.

d) Un polígon regular de 20 costats té 20 eixos de simetria concurrents i els angles que formen dos eixos

consecutius són iguals, per tant l’angle que formen és 180º:20 = 9º.


En general, l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius d’un polígon de n costats és: 180º :

n .

Exercici 8

En la pàgina següent s’hi troba la taula completada.

a) Si el nombre de girs és n aleshores l’angle mínim de gir és 360º : n.

b) Si l’angle mínim de gir és aleshores l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius és

/2.

c) El nombre de simetries d’una figura plana i afitada o bé és zero o bé és igual al nombre de girs que la

deixen invariable.

165


Figura

Girs

Simet

ries

Angles de gir

166

Angle que

formen dos

eixos de

simetria

consecutius

Nom del

grup de

simetries

Escut BCN 1 1 360º - D1

RENFE 2 0 180º, 360º - C2

T.M.B. 2 2 180º, 360º 90º D2

F.G.C. 2 0 180º, 360º - C2

Farmàcia 4 4 90º, 180º, 270º, 360º 45º D4

A1 3 3 120º, 240º, 360º 60º D3

A2 3 0 120º, 240º, 360º - C3

A3 5 5 72º, 144º, 216º, 288º, 360º 36º D5

B1 1 1 360º - D1

B2 8 0 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º - C8

B3 4 0 90º, 180º, 270º, 360º - C4

C1 1 1 360º - D1

C2 4 4 90º, 180º, 270º, 360º 45º D4

C3 6 6 60º, 120º, 180º,240º, 300º, 360º 30º D6

D1 4 4 90º, 180º, 270º,t360º 45º D4


D2 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8

D3 3 3 120º, 240º, 360º 60º D3

E1 2 0 180º, 360º - C2

E2 5 0 72º, 144º, 216º, 288º, 360º - C5

18º,36º,54º,72º,90º,108º,126º,144º,162º,180º

E3 20 0 198º,216º,234º,252º,270º,288º,306º,324º,342º,360º - C20

Catedral

Barcelona 6 6 60º, 120º, 180º,240º, 300º, 360º 30º D6

Catedral

Tarragona 12 12

30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270º, 300º, 360º

15º D12

Seu Vella

Lleida 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8

Sª Mª Mar I i

II 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8

Exercici 9

a) Atenent als resultats de l’exercici 7 el grup d’isometries que deixa invariant un polígon regular de n

costats és un grup diedral: Dn..

b) Mireu la pàgina anterior.

Exercici 12

A i E tenen grups D6; B té grup D1 C i D tenen grups C1

El rosetó no té eixos de simetria i 60º és l’angle mínim d’un gir que el deixi invariant, per tant te grup

cíclic d’ordre 6: C6

Exercici 13 i 14

En la figura que acompanya la solució de l’exercici 3 hi ha marcats els motius mínims generadors de les

figures.

167


Exercici 15

Només cal dibuixar dues rectes que passin pel centre del rosetó i que formin un angle de 60º, el tros de

disseny contingut en la regió del pla determinada per aquest angle és el motiu mínim generador del

rosetó.

Exercici 17

a) Dibuixem una figura no

b) Apliquem el gir de 60º i obtenim:

I aplicant els girs successius:

168


Exercici 18

a) Dibuixem un motiu en la regió del pla determinada per un angle de 30º:

b) Aplicant una simetria respecte un dels costats de l’angle

obtenim:

c) Aplicant els girs successius obtenim:

169


6

Els logotips, els rosetons i els grups d’isometries

170


FITXA PER AL PROFESSORAT

Nivell: Segon Cicle d’ESO

Coneixements previs: Isometries en el pla: girs i simetries.

Objectius didàctics

Descobrir les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada.

Caracteritzar les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada.

Compondre isometries.

Classificar les figures planes i afitades segons el seu grup de simetries.

Trobar el motiu mínim que genera una figura plana i afitada coneixent el seu grup

de simetries.

Construir una figura plana i afitada que tingui un grup de simetries donat.

Potencial multidisciplinar

Disseny de logotips i de figures amb un grup de simetries determinat. (Àrea d’Expressió Visual i

Plàstica)

L’Arquitectura gòtica. (Àrea de Ciències Socials)

Orientacions didàctiques

El paper vegetal és molt útil per la realització d’aquesta pràctica. En els exercicis 1, 2 i 3 per dibuixar

els eixos de simetria sense embrutar la il·lustració. En els exercicis 13, 14, 15 i 16 per calcar el motiu

mínim que genera una figura determinada En els exercicis17 i 18 per aplicar isometries a un motiu

inventat.

Si els alumnes i les alumnes tenen poca pràctica en la composició d’isometries, els exercicis 5 i 6 es

poden treballar amb mètodes manipulatius: retallant un triangle i aplicant-li els diferents moviments.

En el cas que s’hagin treballat aquestes composicions es pot introduir l’expressió d’una isometria

aplicada a un triangle en forma de matriu dels vèrtexs i els seus transformats i compondre dues

isometries fent servir aquestes matrius..

La visita a les Catedrals i el treball al carrer

L’exercici 2 d’aquesta pràctica apareix amb tres versions diferents corresponents a les catedrals de Lleida,

Barcelona i Tarragona. L’exercici és aplicable a qualsevol rosetó que estigui a l’abast de l’alumnat.

L’exercici 10 l’han de realitzar els nois i noies pel seu compte. És recomanable que treballin en grups. Els

plats de les rodes dels cotxes són una bona font de grups de Leonardo d’ordre diferent, de tota manera

poden proposar altres objectes. En aquest exercici haurem d’insistir tant en que fotografiïn objectes

diferents amb el mateix grup de Leonardo, com objectes del mateix tipus amb diferent grup d’isometries.

En el exercici 11, que s’aplica als claustres de les catedrals, es pot aprofitar la visita per treballar

qüestions de Ciències Socials.


Material gràfic

Il·lustracions dels rosetons de les catedrals del llibre Les Catedrals de Catalunya de Xavier Barral,

Edicions 62, 1994.

Il·lustracions dels rosetons del llibre de Bonaventura Bassegoda, Santa Maria de la Mar, Llibre I.

Indústries Gràfiques: Fills de J. Thomas. Barcelona, 1925.

Dissenys de logotips de Hornung, Clarence P. Handbook of designs and devices. Dover Publications,

Inc., New York, 1959.

Rosetó de Catàleg de mosaics de E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 192

136


Girs i simetries

Objectiu: detectar els moviments del pla que aplicats a una figura plana i afitada la

deixen superposada sobre ella mateixa.

Exercici 1

Observeu els logotips de la ciutat de Barcelona, dels Transports metropolitans de Barcelona, de RENFE ,

del Ferrocarrils de la Generalitat i la creu de les farmàcies. Superposant un paper transparent marqueu, si

s’escau, els eixos de simetria de cada un dels logotips.

Hi ha algun punt des del qual fent girar el logotip queda superposat sobre ell mateix?

Indiqueu, si s’escau, els angles dels girs de centre el punt anterior que deixen a la figura invariant.


160


Exercici 2 (Lleida)

Observeu el rosetó sobre la porta de Sant Berenguer situada en el braç nord de la Seu Vella de Lleida.

Feu-ne una fotografia o un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent els seus eixos de

simetria.

Indiqueu el centre i els angles dels girs que deixen el rosetó invariable. Quina relació hi

ha entre els angles de gir?

Exercici 2 (Barcelona)

Observeu els rosetons de les façanes principals de la Catedral i de Santa Maria del Mar (Làmina 1) de la

ciutat de Barcelona. Feu-ne una fotografia o un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent

els seus eixos de simetria.

161


Indiqueu els angles dels girs que aplicats des del centre deixen els rosetons invariables. Quina relació hi

ha entre els angles de gir?

162


163


Làmina 1

Exercici 2 (Tarragona)

Observeu el rosetó de la façana principal de la Catedral de la ciutat de Tarragona. Feu-ne una fotografia o

un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent els seus eixos de simetria.

Indiqueu els angles dels girs que aplicats des del centre deixen el rosetó invariable.

Quina relació hi ha entre els angles de gir?

Exercici 3

Observeu els dissenys de la Làmina 2, tots ells extrets del llibre “Handbook of designs and devices” de

Clarence P. Hornun, i ajudant-vos d’un paper transparent resoleu les qüestions següents:

d) Determineu el punt des del qual pots girar el disseny de manera que es “transformi en ell mateix”.

e) Determineu els angles dels girs de l’apartat anterior. Quina relació hi ha entre aquests angles?

164


f) Dibuixeu sobre el paper transparent superposat a la figura els eixos de simetria de cada una de les

figures.

165


166


167


Grup de simetries d’una figura

Objectiu: Caracteritzar les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada i

estudiar-ne la composició.

En les figures que heu estudiat en els exercicis anteriors heu pogut observar que hi ha dos tipus de

moviments del pla que transformen una figura en ella mateixa: els girs de centre comú (sobre el que

girem la figura) i les simetries axials amb eixos que es tallen en el centre dels girs.

Aquests dos tipus de moviments formen part del conjunt de moviments del pla que conserven les

distàncies i que s’anomenen isometries. Hi ha quatre tipus de isometries: les translacions, els girs, les

simetries i les simetries amb lliscament (composició d’una simetria axial amb una translació de direcció

paral·lela a l’eix de la simetria).

En el nostre cas estem estudiant les isometries que deixen una figura afitada superposada sobre si

mateixa, per tant, no hi pot haver ni translacions, ni simetries amb lliscament ja que aquests moviments

desplacen tota la figura sense deixar-la superposada sobre ella mateixa.

En general el conjunt de isometries que deixen una figura superposada sobre ella mateixa són girs i

simetries totes elles amb un punt fix (centre de tots els girs i punt de tall de tots els eixos de simetria).

Aquest conjunt de moviments al compondre'ls entre ells ens dóna un altre gir o una altra simetria que

deixa invariant la figura i per això s’anomena el grup de simetries de la figura.

En el pitjor dels casos, si la figura és molt irregular, sempre li podem aplicar un gir de 360º que deixi tots

els seus punt fixes, aquesta isometria s’anomena identitat i l’indiquem Id.

Exercici 4

Estudieu el grup de simetria de les figures següents:

a) b) c)

d) Indica el centre dels girs, els girs i les simetries del rectangle.

e) Quants moviments deixen el trapezi invariant?

f) Quants girs deixen la circumferència invariant? Quants eixos de simetria té una circumferència?

168


Exercici 5

Dibuixeu un triangle equilàter orientat, on els costat són vectors per contes de segments, tal com indica la

figura.

c) Indiqueu els girs que deixen el triangle invariant. Té alguna simetria?

d) Anomeneu G, H i Id els tres girs B i completeu la taula C

G

H

Id

G H Id

A cada casella escriurem el resultat d’aplicar al triangle en primer lloc el moviment

que encapçala la columna seguit del moviment que indica la fila corresponent.

Podreu observar que el resultat de compondre aquests girs dóna un gir del mateix

tipus.

Exercici 6

Dibuixeu un triangle equilàter tal com indica la figura.

A

A

169


c) Indiqueu els girs G, H i Id que deixen el triangle invariant i les simetries S1 , S2 i S3

d) Completeu la taula següent

Id

G

H

S1

S2

S3

Id G H S1 S2 S3

A cada casella escriurem el resultat d’aplicar al triangle en primer lloc el moviment que encapçala la

columna seguit del moviment que indica la fila corresponent. Podreu observar els resultats següents:

El resultat de compondre dues isometries que deixen invariant al triangle és una isometria que també

el deixa invariant.

El resultat de compondre dos girs és un gir del grup.

El resultat de compondre un gir i una simetria és igual a una simetria del grup.

170


El resultat de compondre dues simetries és un gir del grup.

Aquests resultats que heu obtingut pel triangle equilàter es satisfan en qualsevol polígon regular i en

general en qualsevol conjunt d’isometries que deixen invariant una figura plana i afitada. Per això podem

parlar del grup d’isometries d’una figura i classificar-la segons els elements del seu grup.

Exercici 7

c) Trobeu el grup d’isometries del quadrat i del pentàgon regular.

d) Completeu la taula següent:

Polígon regular Angles de gir Nombre

de

simetries

Triangle

Quadrat

Pentàgon

Hexàgon

Heptàgon

Octàgon

171

Angle format

per dos eixos de

simetria

consecutius

f) Descriviu els eixos de simetria segons la paritat del nombre de costats dels polígons regulars.

g) Sabríeu escriure els angles dels girs que deixen invariant un polígon regular de 20 costats? I d’ un

polígon regular de n costats?

h) Sabríeu escriure l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius d’un polígon regular de 20

costats? I d’un polígon regular de n costats?

Exercici 8

Amb els resultats dels exercicis 1, 2 i 3 completeu la taula de la pàgina següent

Un cop completada la taula contesteu les qüestions següents:

d) Quina relació hi ha entre l’angle més petit de gir i el nombre de girs?

e) Quina relació hi ha entre l’angle mínim de gir del grup i l’angle que formen dos eixos de simetria

consecutius?

f) Quina relació hi ha entre el nombre de simetries i el nombre de girs?


Escut BCN

RENFE

T.M.B.

F.G.C.

Farmàcia

A1

A2

A3

B1

B2

B3

C1

C2

C3

D1

D2

Figura

Girs

n

Simet

ries

n

Angles de gir

172

Angle que

formen dos

eixos de

simetria

consecutius

Nom del

grup de

simetries


D3

E1

E2

E3

Catedral

Barcelona

Catedral

Tarragona

Seu Vella

Lleida

Sª Mª Mar I i

II

173


Grups cíclics i grups diedrals

Objectiu: classificar les figures planes i afitades segons el seu grup d’isometries

Observant els valors de la taula anterior ens adonem de uns quants resultats interessants:

d) L’angle més petit de gir és igual a 360º dividit pel nombre de girs, i els altres girs tenen un angle

múltiple enter d’aquest.

e) El nombre de simetries axials, si no és nul, és sempre igual al nombre de girs. (Si una figura té un eix

de simetria i un gir d’angle aleshores la recta que forma un angle /2 amb el primer eix és també

eix de simetria).

f) Figures diferents poden tenir el grup de simetries format pels mateixos elements.

En resum els conjunts d’isometries que deixen una figura invariant són de dos tipus:

3. Si la figura no té eixos de simetria, aleshores està

format pels girs d’angles d’amplitud 360ºk/n amb

k=1,2,..., n.

Aquest conjunt de girs s’anomena grup cíclic d’ordre n i s’indica per Cn

4. Si la figura a més dels girs C n té simetries aleshores hi hauran n simetries amb els eixos que es

tallen en el centre i que formen angles 180ºk/n amb k=1,2,..., n.

Aquest conjunt de girs i simetries s’anomena grup diedral d’ordre n i s’indica per D n .

Els grups diedrals i els grup cíclics s’anomenen grups de Leonardo i ens permeten classificar les figures

segons el grup de moviments que les deixen invariants. Així direm que una figura és del tipus cíclic o del

tipus diedral segons si el seu grup de simetries és un grup cíclic o diedral.

El nom de Leonardo prové de l’artista renaixentista Leonardo da Vinci (1452 –1519) que es va interessar

per la Geometria aplicada a l’art, com ho demostren els seus escrits sobre la perspectiva, la construcció

de polígons regulars i d’el·lipses, els seus treballs sobre àrees de superfícies curvilínies, etc.

En els fulls dels seus quaderns dedicats a arquitectura dóna solucions al problema d’afegir capelles i

nínxols a un edifici de planta circular o en forma d’octògon regular sense destruir-ne la simetria.

Leonardo estudia els eixos de simetria d’aquestes plantes i els girs que les deixen invariants i té en

compte aquests elements a l’hora de dissenyar l’edifici. El fet que la major part d’aquests projectes no es

portessin a la pràctica demostra l’interès teòric que per a Leonardo tenien aquests dissenys. És per això

que alguns autors parlin dels grups de Leonardo quan estudiem el grup d’isometries d’una figura plana i

afitada.

174


Exercici 9

c) Quin tipus de grup de Leonardo és un polígon regular de n costats?

d) Completeu l’última columna de la taula de l’exercici 8, indicant si es tracta d’un grup cíclic, o bé,

d’un grup diedral.

175


Exercici 10

Ara es tracta de que aconseguiu la vostra pròpia col·lecció de fotografies de figures de grups cíclics i

diedrals d’ordre diferent i més gran que 1. Els plats de rodes de models diferents de cotxes ens donen una

gran varietat de grups diedrals i cíclics. En les esglésies romàniques i gòtiques es poden veure, apart dels

rosetons, molts elements decoratius en els vitralls, en la decoració dels arcs ogivals, etc. que formen grups

diedrals o cíclics d’ordre més gran que 1. Feu-ne fotografies i classifiqueu la figura segons el seu grup

d’isometries.

Exercici 11

En els claustres de les catedrals de Barcelona, Tarragona i de la Seu Vella de Lleida en el interior de les

arcades que envolten el pati s’hi troben elements decoratius circulars que presenten simetries diferents.

Feu fotografies de tres elements decoratius circulars de grups de Leonardo diferents. Indiqueu de quin

tipus de grup de Leonardo es tracta.

Exercici 12

A la primera meitat del segle XX la pavimentació dels terres es feia amb mosaic hidràulic. El mosaic

hidràulic està composat de rajoles de morter de ciment hidràulic, emmotllades i premsades, formades de

distintes capes de material de les quals la superior, apta per a ésser trepitjada, presenta un acabat fi, moltes

vegades amb dibuixos que formen conjunts de geometria regular. A Catalunya hi havia les principals

indústries que es dedicaven a la fabricació d’aquests mosaics. En un catàleg de l’any 1929 s’hi troba

aquest rosetó format per rajoles hexagonals. Trobeu el grup de Leonardo de cada una de les rajoles que

composen el paviment i del disseny del rosetó.

176

A B C D

E


177


Motiu mínim d’una figura

Objectiu: trobar el motiu mínim que genera una figura plana i afitada coneixent el seu grup de Leonardo.

Exercici 13:

Motiu mínim d’una figura del tipus cíclic

Preneu la figura E2 de l’exercici 3 del tipus C 5 i dibuixeu en un paper transparent un angle de 360º : 5 =

72º, superposeu el vèrtex O d’aquest angle en el centre de gir de la figura, calqueu el tros de dibuix que

queda dins de l’angle convex. Aquest és el motiu que genera tota la figura al aplicar-li quatre vegades el

gir de 72º i centre O.

Utilitzeu aquesta tècnica per a dibuixar els motius mínims de totes les figures del tipus cíclic de l’exercici

3.

Exercici 14

Motiu mínim d’una figura del tipus diedral

Preneu la figura A3 de l’exercici 3 del tipus D 5 i dibuixeu sobre el paper transparent superposat a la

figura dos eixos de simetria consecutius, calqueu el tros de dibuix que queda determinat per l’angle agut

que formen aquests dos eixos. Aquest és el motiu que genera tota la figura. Apliqueu ara una de les

simetries determinada per un dels dos eixos i apliqueu a la figura resultant quatre vegades el gir de 72º i

centre O. Sobre el paper transparent obtindreu novament la figura.

Utilitzeu aquesta tècnica per a dibuixar els motius mínims de totes les figures del tipus diedral de

l’exercici 3.

Exercici 15

Trobeu el motiu mínim que genera el rosetó de mosaic de l’exercici 12.

178


Exercici 16

Trobeu el motiu mínim que genera els rosetons de les esglésies que heu estudiat a l’exercici 2.

179


Construcció d’una figura plana i afitada amb un grup

d’isometries donat

Objectiu: construir una figura plana i afitada que tingui un grup d’isometries donat

En els exercicis anteriors heu pogut observar que donat un motiu mínim i aplicant successives vegades

alguns moviments obtenim tota la figura. Aquests moviments s’anomenen generadors del grup de

simetries. En el cas del grup cíclic C n el generador és el gir d’angle 360º/ n, en el cas del grup diedral

D n el generador és una simetria qualsevol del grup i el gir d’angle 360º/ n.

Exercici 17

Construïu una figura del tipus C 6 . Per això seguiu els passos següents:

d) Dibuixeu un angle de 60º (360º : 6) i a l’interior del sector convex definit per aquest angle dibuixeu

un motiu qualsevol que no sigui simètric respecte a cap eix que passi pel vèrtex de l’angle.

e) Sobre paper transparent calqueu el dibuix anterior i apliqueu al motiu, amb centre el vèrtex de

l’angle, girs de 60º, 120º, 180º, 240º i 300º, és a dir

Sobre el paper vegetal obtindreu una figura del tipus C 6 .

Exercici 18

180

360 k

amb 1, 2,

3,

4,

5

º·

6

k .

Construïu una figura del tipus D 6 . Per això seguiu els passos següents:

c) Dibuixeu un angle de 30º (180º : 6) i a l’interior del sector convex definit per aquest angle dibuixeu

un motiu qualsevol que no sigui simètric respecte a cap eix que passi pel vèrtex de l’angle.

d) Sobre paper transparent calqueu el dibuix i dibuixeu també el resultat d’aplicar-li una simetria

respecte a un dels costats de l’angle.

f) Apliqueu al dibuix anterior, amb centre el vèrtex de l’angle, un gir de 60º, 120º, 180º, 240º i 300º, és

a dir

360 k

amb 1, 2,

3,

4,

5

º·

6

k .


La figura resultant és del tipus D 6 .

181


BIBLIOGRAFIA

Barral, Xavier. Les Catedrals de Catalunya. Edicions 62. Barcelona, 1994.

Bassegoda, Bonaventura. Santa Maria de la Mar, Llibre I. Indústries Gràfiques: Fills de J. Thomas.

Barcelona, 1925.

Blanco Martín, Mª Francisca. Movimientos y Simetrías. Publicaciones de la Universidad de Valladolid,

D.L. 1994.

Bossard, Yvon. Rosaces, frises et pavages. Vol 1: étude practique. CEDIC, Paris 1977.

Col·legi Oficial d’Aparelladors. El mosaic hidràulic: artesania i industria. Catàleg de l’exposició, 1985.

Escofet, E. F. Mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1929.

Fernández Benito, Inmaculada . Grupos de Leonardo. Actas de las 9 as Jornadas para el Aprendizaje y la

Enseñanza de las Matemáticas. Lugo, 1999.

Hornung, Clarence P. Handbook of designs and devices. Dover Publications, Inc., New York, 1959.

Jaime Pastor, Adela i Angel Gutiérrez Rodríguez. El grupo de las Isometrías del Plano. Síntesis. Madrid,

1996.

Pedoe, Dan. La geometria en el arte. Gustavo Gili, Barcelona, 1979.

Weyl, Hermann. Symetry. Princeton University Press. New Jersey, 1982.

182


Exercici 1

EXERCICIS RESOLTS

L’escut de la ciutat de Barcelona té un eix de simetria horitzontal i no hi ha cap gir, llevat el trivial de

360º, que el deixi superposat sobre ell mateix.

Els logotips de RENFE i de FGC no tenen eixos de simetria i en canvi hi ha un gir de centre el centre del

logotip i d’angle 180º que els deixa superposats sobre ells mateixos.

El logotip dels transports metropolitans de Barcelona té dos eixos de simetria un horitzontal i l’altre

vertical i a més el gir de 180º amb centre el punt de tall dels dos eixos de simetria també el deixa

invariant.

La creu que indica els establiments farmacèutics té quatre eixos de simetria: un horitzontal, l’altre vertical

i les dues bisectrius de l’angle que formen aquests dos eixos perpendiculars. Els quatre girs de centre el

punt on es tallen els eixos d’angles 90º, 180º, 270º i 360º formen part també del conjunt d’isometries que

deixen invariant la creu de Farmàcia.

Exercici 2 (Barcelona)

El rosetó de la catedral de Barcelona té 6 eixos de simetria i 6 girs de centre el centre del rosetó i angles:

60º,120º,180º, 240º, 300º i 360º que el deixen invariable.

Els dos rosetons de l’església de Santa Maria del Mar tenen respectivament 8 eixos de simetria i 8 girs de

centre el centre del rosetó i angles: 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º que els deixen invariables.

Exercici 2 (Tarragona)

El rosetó de la façana principal de la catedral de la ciutat de Tarragona té 12 eixos de

simetria i 12 girs de centre el centre del rosetó i angles : 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º,

210º, 240º, 270º, 300º , 330º i 360º que el deixen invariable.

183


Exercici 2 (Lleida)

El rosetó de la porta de Sant Berenguer de la Seu Vella de Lleida té eixos de simetria i 8 girs de centre el

centre del rosetó i angles: 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º que el deixen invariables.

184


Exercici 3

185


Exercici 4

d) Els dos eixos de simetria són els que apareixen en el dibuix i passen

respectivament pel punt mig dels dos costats paral·lels. Els dos girs que

el deixen invariant són els de centre O i angle de gir 180º i 360º.

e) No hi ha cap simetria que deixi invariant el trapezi,. Només el gir

trivial de 360º amb centre qualsevol punt del pla el deixa invariable.

f) Si girem la circumferència amb centre de gir el centre de la

circumferència i amb angle qualsevol es mantindrà invariable.

Qualsevol diàmetre de la circumferència és eix de simetria. El nombre

d’eixos de simetria d’una circumferència és igual al nombre de diàmetres, per tant, és infinit.

Exercici 5

c) El triangle equilàter orientat no té eixos de simetria i hi ha tres girs amb centre el centre del triangle

equilàter i d’angles 120º, 240º i 360º.

d) Essent G= gir de 120º, i H = gir de 180º :

G H Id

G H Id G

H Id G H

Id G H Id

Exercici 6

c) G, H i Id són els mateixos girs de l’exercici 5.

S1 = simetria d’eix perpendicular a BC i que passa per A.

S2 = simetria d’eix perpendicular a AC i que passa per B.

S3 = simetria d’eix perpendicular a AB i que passa per C.

186


d)

Id G H S1 S2 S3

Id Id G H S1 S2 S3

G G H Id S3

H H Id G S2 S3

S1

187

S1 S2

S1 S2 S3 Id G H

S2 S2 S3

S3

S3

S1 H Id G

S1 S2 G H Id

S1


Exercici 7

e) En la figura hi ha indicats els eixos de simetria i l’angle mínim dels girs que deixen la figura

superposada.

f)

Polígon

regular

90º 72º

Angles de gir Nombre

de

simetries

Triangle 120º, 240º i 360º 3 60º

Quadrat 90º, 180º, 270º i 360º 4 45º

Pentàgon 72º, 144º, 216º, 288º, 360º 5 36º

Hexàgon 60º, 120º, 180º, 240º, 300º i 360º 6 30º

Heptàgon 360º/7, 720º/7, 1080º/7, 1440º/7,

1800º/7, 2160º/7, 360º

7 180º/7

Octàgon 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º 8 22,5º

188

Angle format

per dos eixos

de simetria

consecutius

g) Els eixos de simetria dels polígons regulars amb un nombre parell de costats són de dos tipus: les

rectes que van d’un vèrtex al seu vèrtex oposat, i les rectes que van d’un vèrtex al punt mig del seu

costat oposat.

Els eixos de simetria dels polígons regulars amb un nombre senar de costats són les rectes que surten

d’un vèrtex i van a parar a la meitat del costat oposat a aquest vèrtex.

h) Un polígon regular de 20 costats té 20 eixos de simetria concurrents i els angles que formen dos eixos

consecutius són iguals, per tant l’angle que formen és 180º:20 = 9º.

En general, l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius d’un polígon de n costats és: 180º :

n .


Exercici 8

En la pàgina següent s’hi troba la taula completada.

d) Si el nombre de girs és n aleshores l’angle mínim de gir és 360º : n.

e) Si l’angle mínim de gir és aleshores l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius és

/2.

f) El nombre de simetries d’una figura plana i afitada o bé és zero o bé és igual al nombre de girs que la

deixen invariable.

189


Figura

Girs

Simet

ries

Angles de gir

190

Angle que

formen dos

eixos de

simetria

consecutius

Nom del

grup de

simetries

Escut BCN 1 1 360º - D1

RENFE 2 0 180º, 360º - C2

T.M.B. 2 2 180º, 360º 90º D2

F.G.C. 2 0 180º, 360º - C2

Farmàcia 4 4 90º, 180º, 270º, 360º 45º D4

A1 3 3 120º, 240º, 360º 60º D3

A2 3 0 120º, 240º, 360º - C3

A3 5 5 72º, 144º, 216º, 288º, 360º 36º D5

B1 1 1 360º - D1

B2 8 0 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º - C8

B3 4 0 90º, 180º, 270º, 360º - C4

C1 1 1 360º - D1

C2 4 4 90º, 180º, 270º, 360º 45º D4

C3 6 6 60º, 120º, 180º,240º, 300º, 360º 30º D6

D1 4 4 90º, 180º, 270º,t360º 45º D4


D2 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8

D3 3 3 120º, 240º, 360º 60º D3

E1 2 0 180º, 360º - C2

E2 5 0 72º, 144º, 216º, 288º, 360º - C5

18º,36º,54º,72º,90º,108º,126º,144º,162º,180º

E3 20 0 198º,216º,234º,252º,270º,288º,306º,324º,342º,360º - C20

Catedral

Barcelona 6 6 60º, 120º, 180º,240º, 300º, 360º 30º D6

Catedral

Tarragona 12 12

30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270º, 300º, 360º

15º D12

Seu Vella

Lleida 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8

Sª Mª Mar I i

II 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8

Exercici 9

c) Atenent als resultats de l’exercici 7 el grup d’isometries que deixa invariant un polígon regular de n

costats és un grup diedral: Dn..

d) Mireu la pàgina anterior.

Exercici 12

A i E tenen grups D6; B té grup D1 C i D tenen grups C1

El rosetó no té eixos de simetria i 60º és l’angle mínim d’un gir que el deixi invariant, per tant te grup

cíclic d’ordre 6: C6

Exercici 13 i 14

En la figura que acompanya la solució de l’exercici 3 hi ha marcats els motius mínims generadors de les

figures.

191


Exercici 15

Només cal dibuixar dues rectes que passin pel centre del rosetó i que formin un angle de 60º, el tros de

disseny contingut en la regió del pla determinada per aquest angle és el motiu mínim generador del

rosetó.

Exercici 17

c) Dibuixem una figura no

d) Apliquem el gir de 60º i obtenim:

I aplicant els girs successius:

192


Exercici 18

d) Dibuixem un motiu en la regió del pla determinada per un angle de 30º:

e) Aplicant una simetria respecte un dels costats de l’angle

obtenim:

f) Aplicant els girs successius obtenim:

193


7

Els frisos, les sanefes i els grups d’isometries

194


FITXA PER AL PROFESSORAT

Nivell: Segon Cicle d’ESO i Batxillerat Artístic

Coneixements previs: Isometries en el pla: translacions, girs i simetries.

Objectius didàctics

Reconèixer el motiu que genera un fris per translació.

Descobrir les isometries que deixen invariant un fris.

Caracteritzar les isometries que deixen invariant un fris.

Construir un fris a partir d’un motiu i aplicant les isometries.

Classificar els frisos segons el seu grup de isometries.

Trobar el motiu mínim que genera un fris coneixent el seu grup de isometries.

Potencial multidisciplinar

Disseny de sanefes i frisos. (Àrea d’Expressió Plàstica)

L’Arquitectura gòtica. (Àrea de Ciències Socials)

Orientacions didàctiques

Al començament de la pràctica cal fer notar que només seran objecte d’estudi aquells frisos que

presenten un motiu que es va repetint per una translació de vector donat.

En l’exercici 1 es menciona especialment les simetries amb lliscament ja que es tracta d’una

isometria que probablement no hagin treballat prèviament. És important que l’alumnat es familiaritzi

amb aquesta isometria per a poder classificar correctament els frisos.

Els exercicis 2, 3, 4 i 5 serveixen per caracteritzar les isometries que deixin la sanefa invariant. Es

poden fer exemples de translacions i de simetries d’eixos de direcció diferent o girs d’amplitud

diferent a 180º perquè se’n adonin que la direcció de les rectes que limiten la banda on està situada la

sanefa, determinen les característiques del seu grup de simetries.

El paper vegetal és molt útil per la realització d’aquesta pràctica. En els exercicis 2, 3, 4, 5 i 6 per

dibuixar els eixos de simetria, els centres de gir i els vectors de translació sense embrutar la

il·lustració. En els exercicis 7, 8, 9, 10, 11, 12 i 13 per aplicar isometries a un motiu inventat.

S’ha considerat que abans de classificar els frisos convé que els alumnes i les alumnes es

familiaritzin amb ells seguint mètodes manipulatius i constructius, aquest és l’objectiu del exercici 7

al exercici 13.

Trobar el motiu mínim que genera una sanefa no és tan senzill com trobar el motiu que es va repetint

per translació, per això s’ha deixat com exercici d’ampliació.

L’exercici 15 constitueix una proposta molt oberta i està pensat perquè l’alumnat comprovi que les

sanefes apareixen en contextos molt diferents: decoracions arquitectòniques, en les decoracions

159


d’objectes de ceràmica o de fusta, etc. Es demanarà que dibuixin, estudiïn les isometries i

classifiquin unes quantes de les sanefes que hagin trobat.

El treball al carrer

L’exercici 6 d’aquesta pràctica apareix en dues versions diferents corresponents a la Porta dels Fillols de

la Seu Vella de Lleida i a un edifici de la ciutat de Girona . S’han posat aquests dos exemples perquè

presenten diferents grups d’isometries en el mateix edifici. De tota manera cada ensenyant pot adaptar

l’exercici a algun altre edifici o motiu que presenti una certa varietat de sanefes.

Material gràfic

Fotografia de la Porta dels Fillols del llibre Les Catedrals de Catalunya de Xavier Barral, Edicions

62, 1994.

160


Les sanefes

Exercici 1

Observeu els parells de trapezis següents i indiqueu quin tipus d’isometria que deixi

fixa la recta r cal aplicar a un d’ells per obtenir-ne l’altre.

a) b)

c) d)

e)

Objectiu: Trobar i caracteritzar les isometries que deixen una sanefa superposada sobre ella mateixa.

r

r

A l’apartat e) cal aplicar al triangle una simetria d’eix r i una translació de vector paral·lel a r. Aquest

moviment és un nou tipus d’isometria que s’anomena simetria amb lliscament i l’indicarem representant

el seu eix per una recta de punts i la translació que provoca el lliscament per una fletxa que té la mateixa

direcció que la recta r, tal com s’indica en el dibuix.

Amb aquest moviment queda completat el

conjunt de les isometries format per: translacions, girs, simetries axials i simetries amb lliscament.

r

161

r

r

r


a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Làmina 1

162


Observeu les sanefes de la làmina 1, totes elles s’obtenen per repetició d’un mateix motiu que es va

traslladant al llarg de la banda, aquesta translació es podria repetir indefinidament. Podem pensar les

sanefes com regions del pla limitades per dues rectes paral·leles, això ens dona una superfície d’amplada

limitada i longitud infinita, recoberta totalment per un motiu que es va repetint, conservant la distància

entre dos motius consecutius.

Estudiem quins moviments del pla deixen la sanefa superposada sobre ella mateixa , per això, realitzeu

els exercicis següents:

Exercici 2

a) Senyaleu, en cada sanefa el motiu que es repeteix per translació. És únic?

b) Senyaleu mitjançant una fletxa la translació de vector de longitud mínima que fa coincidir la sanefa

sobre ella mateixa.

c) Senyaleu, mitjançant fletxes, totes les translacions que desplacen el motiu sobre ell mateix en la

sanefa.

Fixeu-vos que si anomenem v al vector de translació de longitud mínima, tots els altres vectors de


translació són de la forma : 2v, 3v,

4v,...

, és a dir múltiples enters de v .

Exercici 3

Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes els eixos de simetria que deixen la banda superposada sobre ella

mateixa.

Exercici 4

Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes de punts, els eixos de simetria amb lliscament i dibuixeu una fletxa

per indicar-ne la translació associada al moviment.

Exercici 5

Fixeu-vos que només obtenim dos tipus de simetries que són les que tenen l’eix paral

i equidistant a les dues rectes que limiten la sanefa i les que tenen l’eix perpendicular

aquestes rectes. Això és així perquè qualsevol simetria que tingues el seu eix en una

altra direcció canviaria la direcció de la sanefa i, per tant, seria del tot impossible que

quedes superposada sobre ella mateixa.

Fixeu-vos que la translació de la simetria amb lliscament té la mateixa direcció que la sanefa i per tant

els eixos de simetria amb lliscament són sempre paral·lels a les rectes que limiten la sanefa.

A més a més l’eix de la simetria amb lliscament és equidistant a les rectes que limiten la sanefa i el

vector de translació és la meitat de v .

Senyaleu, si s’escau, mitjançant punts, els centres de gir que deixen la banda superposada sobre ella

mateixa, indiqueu-ne l’angle.

Fixeu-vos que els angles de gir són de 180º, ja que és l’única amplitud de gir que deixa invariant la direcció

de la banda. Els centres de gir són equidistants a les dues rectes que limiten la banda i dos centres de gir

consecutius estan a una distància igual a una meitat de la longitud de v .

163


El grup d’isometries dels frisos

Donat una sanefa o un fris s’anomenem grup d’isometries del fris al conjunt d’isometries que deixen la

banda superposada sobre ella mateixa. Si anomenem r a la recta paral·lela equidistant a les dues rectes

que limiten el fris, les isometries que componen aquest grup són les que deixen fixa aquesta recta, i són

necessàriament:

Les translacions de vector nv amb n Z i v paral·lel a r, vector de longitud mínima que deixa

invariant la sanefa.

Les simetries d’eix r.

Les simetries d’eixos perpendiculars a r i a una distància entre ells igual a v 2


.

Els girs de 180º que tenen el seu centre en r i a una distancia igual a v 2


.

Les simetries amb lliscament d’eix r i vector v 2


.

Si es componen entre ells aquests moviments el resultat és una isometria d’un d’aquests tipus. Per això els

matemàtics parlen del grup d’isometries del fris.

164


Un edifici curiós de Girona

En la cantonada de la Plaça Pompeu Fabra amb la Plaça Catalunya de la ciutat de

Girona s’hi troba un bloc de 14 pisos. Els balcons de la seva façana nord estan decorats

amb uns dissenys amb aparença de sanefes. Direm que es tracta d’una sanefa quan hi ha

un motiu que es va repetint per translació al llarg de la banda. En aquest cas, quan el

disseny que observem ens dóna informació suficient per tal de prolongar la sanefa

indefinidament. En la làmina 2 es mostren dues fotografies de l’edifici.

Un dels objectius d’aquest treball és estudiar des del punt de vista geomètric els diferents dissenys que

decoren cada balcó. Això vol dir cercar:

El motiu que es va repetint al llarg del disseny per veure que efectivament es tracta d’una sanefa.

La translació que cal aplicar d’un motiu a l’altre.

Les isometries que deixen invariant el disseny, és a dir, que fan que la sanefa es superposi sobre ella

mateixa.

Per a poder fer l’exercici convé que a partir de fotografies o des del carrer dibuixeu de forma

esquemàtica els dissenys.

Exercici 6

a) Quins pisos tenen un disseny en el balcó que no és una sanefa periòdica? Dibuixeu

esquemàticament en forma de banda horitzontal les sanefes periòdiques que decoren la

façana de l’edifici.

c) Senyaleu en el vostre dibuix mitjançant una fletxa la translació de vector de longitud mínima que fa

coincidir la sanefa sobre ella mateixa.

d) Senyaleu, si s’escau, mitjançant una recta l’eix de simetria horitzontal.

e) Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes, els eixos de simetria verticals.

f) Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes de punts i fletxes, els eixos de simetria amb lliscament.

g) Senyaleu, si s’escau, mitjançant punts, els centres de gir del motiu.

h) Feu una breu descripció dels elements de simetria per a cada una de les sanefes.

165


Un edifici curiós de Girona

Làmina 2

166


Els frisos de la Porta dels Fillols de la Seu Vella de Lleida

Ubicada a la façana sud de la catedral, els seu nom li fou atribuït perquè era l’entrada obligatòria fins al

segle XVII, de tots els nadons que havien de rebre el baptisme.

Se suposa que va ser construïda cap a l’any 1220. La porta consta d’un generós nombre d’arquivoltes

profusament decorades amb motius geomètrics i ornamentals. L’origen d’aquestes formes ornamentals és

molt discutit, ja que alguns estudiosos els relacionen amb l’art islàmic i d’altres amb motius propis de

l’arquitectura gòtica del Nord d’Europa. Aquesta decoració geomètrica amb motius repetitius apareix amb

més o menys variants en diferents esglésies de la zona de la plana de Lleida i voltants, construïdes la

major part al llarg del segle XIII, i els historiadors l’han atribuït a la que han anomenat escola de Lleida.

L’objectiu d’aquest treball és estudiar des del punt de vista geomètric les diferents sanefes que decoren

cada arquivolta. Això vol dir cercar:

El motiu que es va repetint al llarg del fris

La translació que cal aplicar pe passar d’un motiu a l’altre.

Les isometries que deixen invariant al fris, és a dir, que fan que el fris es superposi sobre ell mateix.

Exercici 6

Entenem per sanefa regular quan hi ha un motiu que es va repetint per translació al llarg de la banda.

Observeu detalladament les arquivoltes decorades i dibuixeu esquemàticament en forma de banda

horitzontal les set sanefes regulars diferents que decoren les arquivoltes de la Porta dels Fillols(assegureuvos

que hi ha un motiu que es repeteix exactament).

Hi ha alguna arquivolta que no estigui decorada per una sanefa regular?

De l’exterior a l’interior el nom de les sanefes periòdiques que decoren cada arquivolta són:

Palmetes

Ziga-zaga amb superfície decorada.

Tors anellat

Puntes de diamants

Arquets encreuats

Doble Ziga-zaga

Tiges perlades

a) Senyaleu mitjançant una fletxa la translació de vector de longitud mínima que fa coincidir la sanefa

sobre ella mateixa.

b) Senyaleu, si s’escau, mitjançant una recta l’eix de simetria horitzontal.

c) Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes, els eixos de simetria verticals.

d) Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes de punts i fletxes, els eixos de simetria amb lliscament.


e) Senyaleu, si s’escau, mitjançant punts, els centres de gir del motiu.

f) Feu una breu descripció dels elements de simetria per a cada una de les sanefes.

188


Porta dels Fillols de la Seu Vella de Lleida

189


Làmina 3

190


Construcció de sanefes

Objectius: Construir un fris aplicant isometries a un motiu donat.

Per fabricar un fris determinat només cal triar un motiu i aplicar-li una combinació de les isometries que

deixen invariant una banda. Els matemàtics han demostrat que el nombre de combinacions possibles de

moviments és igual a 7. Això ens dóna 7 grups d’isometries diferents i ens permet classificar qualsevol

fris segons el seu grup d’isometries.

El nostre objectiu serà familiaritzar-nos amb aquests set tipus de frisos. Per això seguint les instruccions

fabricarem un fris de cada tipus aplicant al mateix motiu inicial els set grup de isometries.

Exercici 7

Fabricació del fris que només té translacions.

a) Dibuixeu una figura no simètrica dins del rectangle d’altura a i d’amplada b. Aquest serà el motiu

mínim que genera tota el fris.

a

O

b

b) Traslladeu horitzontalment de manera que el rectangle traslladat comparteixi costat amb l’inicial.

Fer-ho indefinidament.

c) Quina translació heu aplicat?

d) Quina és l’amplitud de la franja?

Heu obtingut un fris del tipus F1

Exercici 8

Fabricació d’un fris amb gir i sense simetries.

a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici anterior un gir de 180º amb centre O

en un vèrtex del rectangle.

b) Construeix la franja traslladant horitzontalment el disseny anterior de manera que la figura

traslladada comparteixi un vèrtex amb l’original i no es superposin. Fer-ho indefinidament.

c) Quina translació heu aplicat?

d) Quina és l’amplitud de la franja?

191


Heu obtingut un fris del tipus 2

F

Nota: El centre de gir pot ser qualsevol punt que sigui del costat a del rectangle. Aleshores l’amplada de

la franja variarà entre a i 2a.

192


Exercici 9

Fabricació d’un fris sense girs i només amb simetria horitzontal

a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici 7 una simetria respecte a la recta que

conté a b.

b) Traslladeu horitzontalment el disseny anterior de manera que el rectangle traslladat comparteixi

costat amb l’inicial. Fer-ho indefinidament.

c) Quina translació heu aplicat?

d) Quina és l’amplada de la franja?

Heu obtingut un fris del tipus

Exercici 10

F

1

1

Fabricació d’un fris sense girs i només amb simetries verticals.

a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici 7 una simetria respecte la recta que

conté a a.

b) Traslladeu horitzontalment el disseny anterior de manera que el rectangle traslladat comparteixi

costat amb l’inicial. Fer-ho indefinidament.

c) Quina translació heu aplicat?

d) Quina és l’amplada de la franja?

Heu obtingut un fris del tipus

F

2

1

Exercici 11

Fabricació d’un fris sense girs ni simetries, i amb una simetria amb lliscament.

a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici 7 una simetria amb lliscament d’eix

la recta que conté a b i de vector b.

b) Construeix la franja traslladant horitzontalment el disseny anterior de manera que la figura

traslladada comparteixi un vèrtex amb l’original i no es superposin. Fer-ho indefinidament.

c) Quina translació heu aplicat?

d) Quina és l’amplada de la franja?

Heu obtingut un fris del tipus

F

3

1

Nota: L’eix de la simetria amb lliscament pot ser qualsevol recta paral·lela a la recta que conté a b. Per

exemple si prenem la recta paral·lela a b que parteix per la meitat al rectangle inicial obtenim una sanefa

d’amplitud igual a a.

193


En general l’amplada de la sanefa varia entre a i 2a.

Exercici 12

Fabricació d’un fris amb gir, simetria horitzontal i simetria vertical.

a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici 7 un gir de 180º respecte O.

b) Apliqueu al motiu que heu obtingut una simetria respecte a la recta que conté a b.

c) Traslladeu horitzontalment el disseny anterior de manera que el rectangle traslladat comparteixi

costat amb l’inicial. Fer-ho indefinidament.

d) Quina translació heu aplicat?

e) Té simetria vertical? A quina distància es troben dos eixos de simetria verticals consecutius?.

Heu obtingut un fris del tipus

F

1

2

Exercici 13

Fabricació d’un fris amb girs, simetria vertical i sense simetria horitzontal.

a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici 4 un gir de 180º amb centre O.

b) Apliqueu a la figura una simetria respecte la recta que conté a a i no passa per O.

c) Construeix la franja traslladant horitzontalment el disseny anterior de manera que la figura

traslladada comparteixi un vèrtex amb l’original i no es superposin. Fer-ho indefinidament .

c) Quina translació heu aplicat?

d) Té simetria amb lliscament.? Indiqueu-ne l’eix i el vector.

Heu obtingut un fris del tipus

F .

2

2

En els exercicis del 7 al 13 heu construït tots els possibles tipus de frisos regulars, atenent al seu grup

d’isometries, obtinguts per repetició d’un mateix motiu.

Els set grups de frisos els indiquem amb la lletra F acompanyada d’un subíndex :

1= no té girs

2 = té girs

i un superíndex:

1 = té simetria horitzontal

2 = té simetria vertical i no en té d’horitzontal

3 = té simetria amb lliscament i no té cap simetria axial (ni horitzontal,

ni vertical)

194


Classificació de frisos

Per a poder classificar els frisos podem seguir l’algoritme de classificació anomenat l’algoritme de Rose i

Stafford, que ens dóna els passos que hem de seguir per a detectar les isometries que generen la sanefa.

Existeix una translació mínima? NO No és un fris

Existeix un gir?

SI

SI

SI

Existeix NO simetria

horitzontal?

Existeix simetria

vertical?

SI

NO

Existeix simetria

amb lliscament?

NO

Existeix simetria horitzontal?

F2 1

NO

Existeix simetria

vertical?

195

NO

NO

NO

F1

F2

SI

SI

SI

SI

F1 3

F1 1

F1 2

2

F2


Exercici 14

Fent servir l’algoritme de Rose i Stafford mireu de classificar els frisos de la làmina 1 i de l’exercici 6.

Exercici 15

Els frisos i sanefes són utilitzats molt sovint en les decoracions d’objectes molt diferents: façanes

d’edificis, objectes de ceràmica, ebenisteria, puntes de coixí, sanefes de diplomes, etc.

Intenteu fer-vos la vostra pròpia col·lecció de frisos fotografiant o bé aconseguint il·lustracions d’objectes

diversos on apareguin, o bé aconseguint il·lustracions de publicacions on es trobin aquest tipus de

d’elements decoratius: revistes de decoració, mostraris de roba, etc.

Classifiqueu les sanefes que hagueu aconseguit per aquests mitjans.

196


EXERCICIS D’AMPLIACIÓ

Motiu mínim d’un fris

Objectiu: trobar el motiu mínim que genera un fris coneixent el seu grup d’isometries

Ara partirem d’una sanefa donada i estem interessats en trobar el motiu mínim a partir de la qual es pot

construir, i les instruccions que convé donar per a construir-lo. És a dir el problema que ara ens plantegem

és l’invers dels exercicis 7 al 14. Volem, a partir de la sanefa, trobar el seu motiu mínim i redactar les

instruccions per a construir-la.

Per això seguirem els passos següents:

a) Sobre paper transparent dibuixarem el vector de translació v mínim, i si s’escau els eixos de

simetria i els centres de gir. Aquest esquema constitueix el patró de la sanefa

b) Classificarem la sanefa a partir de l’algoritme de Rose i Stafford.

c) El motiu mínim està determinat pel rectangle:

• En F1 d’amplada igual a v i alçada igual a la de la franja.



1

En 1

2

En F 1 d’amplada v 2



, limitat per dos eixos de simetria.

3

En F 1 d’amplada v 2


, d’alçada la de la franja.

• En F2 d’amplada 2 , d’alçada la de la franja.

• En

• En

F d’amplada igual a v i alçada igual a la meitat de la franja.

v

1

F 2 d’amplada v 2


F d’amplada v 4


2

2

, i alçada la meitat de la franja i limitat per dos eixos de simetria verticals.

, i d’alçada la de la franja.

El fris està totalment determinat a partir del motiu mínim i del seu grup de simetries (patró de

construcció),

Exercici 16

Trobeu el patró i el motiu mínim de tots els frisos que apareixen en la làmina 1 i en l’exercici 6.

197


BIBLIOGRAFIA

Alsina, C. , R. Pérez i C. Ruiz. Simetría dinámica. Síntesis. Madrid, 1989

Barral, Xavier. Les Catedrals de Catalunya. Edicions 62. Barcelona, 1994

Bergés i Saura, Carme. La Porta dels Fillols. Lambard. Estudis d’art medieval. Volum VIII - 1995

Blanco Martín, Mª Francisca. Movimientos y Simetrías. Publicaciones de la Universidad de Valladolid,

D.L. 1994

Bossard, Yvon. Rosaces, frises et pavages. Vol 1: étude practique. CEDIC, Paris 1977

Jaime Pastor, Adela i Angel Gutiérrez Rodríguez. El grupo de las Isometrías del Plano. Síntesis. Madrid,

1996

Weyl, Hermann. Symetry. Princeton University Press. New Jersey, 1982

198


Exercici 1

EXERCICIS RESOLTS

d) b)

v

Translació de vector v

c) d)

Simetria d’eix r

r

r

199

O

s

Simetria d’eix s

Gir de centre O i angle de 180º

r

r


e)

Exercici 2

L’exercici està resolt gràficament en la pàgina següent.

El motiu que en cada sanefa que es va repetint per translació és el que està contingut en qualsevol

rectangle de base v i alçada la de la sanefa.

En el dibuix només hi ha senyalat el vector de translació v de longitud mínima, falta dibuixar els vectors

2 v , 3 v , 4 v ...

Exercici 3

Les sanefes b) i f) tenen eix de simetria paral·lel i equidistant a les dues rectes que limiten la sanefa.

Les sanefes c), f) i g) tenen eixos de simetria perpendiculars a les dues rectes que limiten la sanefa i a una

distància entre ells igual v .

2

Exercici 4

Les sanefes d) i g) són invariants per una simetria amb lliscament d’eix paral·lel a les dues rectes que

limiten la sanefa i vector igual a v

2


.

Exercici 5

v

Les sanefes e), f) i g) tenen centres de gir indicats per punts en el dibuix. L’angle de gir que deixa

invariant a les sanefes és de 180º. Els centres de gir estan alineats i són equidistants a les dues rectes que

limiten la sanefa.

r

200

Simetria amb lliscament d’eix r i de vector v


v

a)

b)

c)

d)

e)

v

v


v

v

v

v


201

f)


g)

Ex

ercici 6

L’arquivolta sisena començant per l’exterior i que es troba entre els arquets encreuats i la doble ziga-zaga

no és una sanefa, tal com ho entenem en aquest context. De l’exterior a l’interior:

a)

r

v

El vector v és la translació mínima i la recta r és l’eix de simetria.

b)

v


Ziga-zaga amb

v

202

Palmetes


superfície decorada.

El vector v és la translació mínima i les rectes verticals són els eixos de simetria.

c)

Tors

v

anellat

El vector v és la translació mínima i les rectes de punts són els eixos de simetria i els punts indiquen els

centres de gir d’amplitud 180º.

203


d)

Puntes de diamants

Nota: Cal tenir en compte que està dibuixada des de baix i que la gamma de grisos es

deguda a l’ombra, el fris es compon de petites piràmides de base quadrada.

El vector v és la translació mínima i les rectes de punts són els eixos de simetria i els punts indiquen els

centres de gir d’amplitud 180º.

e)

El vector v és la translació mínima i les rectes verticals són els eixos de simetria.

f)

v

v

v

204

Arquets

encreuats


Doble Ziga-zaga

El vector v és la translació mínima i les rectes verticals són els eixos de simetria.

g)

v

Tiges perlades

El vector v és la translació mínima i és l’unica isometria que deixa invariant el fris.

205


Exercici 6

En els balcons dels pisos 4t, 5è, 9è i 11è la sanefa no és periòdica, no hi ha un motiu que es vagi repetint

per translació i per tant no podem saber com continuaria el disseny al prolongar la longitud de la banda.

Es donen a continuació l’estudi detallat de les sis primeres sanefes. Les rectes de punts senyalen els eixos

de simetria, la fletxa indica el vector de translació mínima i els punts, en color blanc, perquè es

distingeixin sobre la fotografia, indiquen els centres de gir d’amplitud 180º.

Pis 1

Pis 3

Pis 7

El

balcó

206

Pis 6

Pis 8

Pis 2


del 10è pis té simetria horitzontal i simetries verticals i té girs amb centre el punt de tall els eixos de

simetria i amplitud de 1180º. Les sanefes del 12è i 13è pis tenen un motiu que es va repetint per

translació, però no hi ha cap simetria, ni gir, ni simetria amb lliscament que les deixi invariants. El balcó

de l’últim pis està decorat amb una sanefa invariant per simetries verticals.

207


Exercici 7

Fabricació del fris que només té translacions.

c)

d)

e) La translació que hem aplicat és la de vector b

f) La franja té una amplitud igual a a.

Exercici 8

Fabricació d’un fris amb gir i sense simetries.

e)

f) .

b

e) Hem aplicat

una translació

de vector b

2 .

f) L’amplitud de la franja és 2a.

a

208


Nota: El centre de gir pot ser qualsevol punt que sigui del costat a del rectangle. L’amplada de la franja

variarà entre a i 2a.

Exercici 9

Fabricació d’un fris sense girs i només amb simetria horitzontal

c) .

209


d)

e) La

translació que hem aplicat és la de vector b

f) La franja té una amplitud igual a 2a

Exercici 10

Fabricació d’un fris sense girs i només amb simetries verticals.

c) .

d)

e) La translació que hem aplicat és la de vector 2b

f) La franja té una amplitud igual a a

Exercici 11

Fabricació d’un fris sense girs ni simetries, i amb una simetria amb lliscament.

b)

e)

210


211


e) La translació que hem aplicat és la de vector 2b

d) La franja té una amplitud igual a 2a

Nota: L’eix de la simetria amb lliscament pot ser qualsevol recta paral·lela a la recta que conté a b. Per

exemple si prenem la recta paral·lela a b que parteix per la meitat al rectangle inicial obtenim:

Aleshores l’amplitud és igual a a.

En general l’amplada de la sanefa varia entre a i 2a.

Exercici 12

Fabricació d’un fris amb gir, simetria horitzontal i simetria vertical.

f)

g) .

h)

O

212

b


i) La translació que hem aplicat és la de vector 2b

j) Els eixos de simetria vertical estan marcats en el dibuix i es troben a una distància igual a b, que és

la meitat de la longitud del vector de translació.

213


Exercici 13

Fabricació d’un fris amb girs, simetria vertical i sense simetria horitzontal.

b)

c)

f) .

2b

O

d) La translació que hem aplicat és la de vector 4b

e) La simetria amb lliscament està marcada en el dibuix el vector és 2b , la meitat del vector de

translació.

214


Exercici 14

Classificació de frisos:

Fris Isometries Tipus

1a Translacions

1b Translacions i simetria horitzontal 1

1

1c Translacions i simetria vertical 2

1

1d Translacions i simetria amb lliscaent 3

1

1e Translacions i girs

1f Translacions, girs, simetria vertical i simetria horitzontal 1

2

1g Translacions, girs, simetria vertical i simetria amb lliscament 2

2

Pis 1 Translacions, girs, simetria vertical i simetria horitzontal 1

2

Pis 2 Translacions i simetria vertical 2

1

Pis 3 Translacions i simetria vertical 2

1

Pis 6 Translacions i girs

Pis 7 Translacions

Pis 8 Translacions i simetria vertical 2

1

Pis 10 Translacions, girs, simetria vertical i simetria horitzontal 1

2

Pis 12 Translacions

Pis 13 Translacions

Pis 14 Translacions i simetria vertical 2

1

Palmetes Translacions i simetria horitzontal 1

1

Ziga-zaga Translacions i simetria vertical 2

1

Tors anellat Translacions, girs, simetria horitzontal i simetria vertical 1

2

Diamants Translacions, girs, simetria horitzontal i simetria vertical 1

2

Arquets Translacions i simetria vertical 2

1

215

F1

F

F

F

F2

F

F

F

F

F

F2

F1

F

F

F1

F1

F

F

F

F

F

F


Doble ziga-zaga Translacions i simetria vertical 2

F1

Tiges perlades Translacions

Els set primers frisos corresponen als dibuixats a la làmina 1.

Els frisos que indiquem com a Pis corresponen a l’edifici de Girona.

Els set frisos últims són els de les arquivoltes que decoren la porta dels Fillols de la Seu Vella de Lleida

Exercici 15

En el Museu de la Ceràmica de Barcelona i en el Museu d’Art de Girona es poden trobar en les

decoracions de les peces de ceràmica exemplificacions de frisos amb diferents grups d’isometries.

En el Museu Arqueològic de Tarragona s’hi troben diferents models de frisos decorant elements

arquitectònics, ceràmiques i paviments romans.

També en el Museu Nacional d’Art de Catalunya (Barcelona) trobem en els retaules romànics diferents

tipus de sanefes decoratives.

Exercici 16

Els motius mínims dels frisos de la làmina 1 són els requadrats, a partir d’aquest motius

aplicant les corresponents isometries es genera el fris

a) b)

Aplicant translació de vector v

Aplicant simetria respecte a s i translac

de vector v

s

c)

216

Aplicant simetria respecte a s i translac

de vector v

d)

F

s

1

Aplicant simetria amb lliscament respe

a s i de vector v/2 i translació de vector

s


e) f)

O

Aplicant gir de 180º i centre O i

translació de vector v

g)

O

s

217

O

s

Aplicant gir de 180º i centre O , simetria d’eix s i

translació de vector v

Aplicant gir de 180º i centre O , simetria d’eix s i

translació de vector v


8

Els mosaics periòdics i els grups d’isometries

218


FITXA PER AL PROFESSORAT

Nivell: Segon Cicle d’ESO i Batxillerat Artístic

Coneixements previs: Isometries en el pla: translacions, girs i simetries. Grups diedrals i grups

cíclics

Objectius didàctics

Trobar les translacions principals i la xarxa d’un mosaic periòdic.

Descobrir les simetries que deixen invariable un mosaic.

Descobrir els girs que deixen invariable un mosaic

Trobar el patró de construcció i el motiu mínim que genera un mosaic.

Classificar un mosaic a partir del seu grup d’isometries.

Potencial multidisciplinar

Disseny d’estampats periòdics. (Educació visual i plàstica).

El mosaic hidràulic i la indústria a Catalunya a començaments del segle XX .

(Ciències Socials)

L’arquitectura modernista i els seus elements constructius. (Ciències Socials)

L’arquitectura àrab i els seus coneixements de geometria. (Àrea de Socials)

Orientacions didàctiques

Al començament de la pràctica cal fer notar que només seran objecte d’estudi aquells mosaics que

presenten un motiu que es va repetint per dues translacions independents i que per tant podem establir

una xarxa de paral·lelograms iguals que recobreixen el pla.


En els quatre primers exercicis es treballa en tot detall un mosaic que per la regularitat de les formes

que el composen és relativament senzill trobar-ne les isometries que el deixen invariant. Convé

treballar a fons aquest mosaic per tal que l’alumnat agafi seguretat a l’hora d’analitzar mosaics més

complicats.

Per trobar les isometries que deixen invariant el mosaic i poder construir-ne el patró és molt útil l’ús

del paper vegetal que permet comprovar a partir d’haver copiat el motiu mínim els moviments que

cal aplicar-li per tal que quedi superposat a les successives repeticions en el recobriment.

La visita al Museu de Ceràmica de Barcelona o a l’àmbit de la ceràmica del Museu d’Art de Girona

no és indispensable per a fer aquesta pràctica matemàtica i s’han introduït les dues visites com

diferents maneres de proposar l’exercici 6. L’objectiu d’aquest exercici és que l’alumnat busqui en el

seu entorn recobriments periòdics amb l’objectiu de trobar-ne la xarxa que el forma, els girs i

simetries que el deixen invariant i el motiu mínim que genera tot l’estampat. Les localitzacions

d’aquests tipus de recobriments del pla poden ser molt diverses.

S’ha considerat que abans de classificar els mosaics convé que els alumnes i les alumnes es

familiaritzin amb ells seguint mètodes manipulatius i constructius, aquest és l’objectiu dels 8 primers

exercicis.

Trobar el motiu mínim que genera un mosaic no és tan senzill com trobar el motiu que es va repetint

per translació, per això cal estudiar amb detall les isometries dins del paral·lelogram que forma la

xarxa.

L’exercici 9 treballa amb la rajola hexagonal del passeig de Gràcia. L’alumnat que tingui un accés

fàcil a aquest carrer pot dibuixar i mesurar aquestes rajoles, si no és així en l’apartat dels exercicis

resolts es dóna el material gràfic i les mides que es necessiten.

Els exercicis d’ampliació estudien mosaics extrets dels catàlegs de les principals indústries de

mosaics hidràulics de començaments del segle XX, aquests catàlegs es troben a la Biblioteca del

Col·legi d’Arquitectes de Barcelona.

188


El treball al carrer

L’exercici 6 d’aquesta pràctica apareix en tres versions diferents corresponents al Museu de la Ceràmica

de Barcelona, al Museu d’Art de Girona, o bé si no es té accés fàcil a cap de les dues ciutats es pot animar

els alumnes perquè busquin paviments o revestiments de parets que compleixin aquestes condicions. De

tota manera cada ensenyant pot adaptar l’exercici a algun altre indret que presenti una certa varietat de

mosaics.

Les visites

Museu d’Art de Girona. Pujada de la Catedral, 12. Girona

Telèfons d’informació: 972 20 38 34 i 972 20 95 36

Museu de Ceràmica de Barcelona. Palau Reial de Pedralbes. Av. Diagonal, 686. 08034 Barcelona

Telèfon d’informació: 93 301 77 75

Internet: http://www.bcn.es

Paviment del Passeig de Gràcia de Barcelona

Material gràfic

Casa Coral. Productos ceràmicos. Catàlogo nº 3. Barcelona, 1930.

Escofet, E. F. Catálogos de mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1912, 1915, 1916, 1921, 1928

y 1929.

189


MATERIAL PER A L’ALUMNAT

El mosaic hidràulic a Catalunya

A la primera meitat del segle XX els terres dels nous habitatges es feien amb un nou tipus de

pavimentació: el mosaic hidràulic. El mosaic hidràulic està composat de rajoles de morter de ciment

hidràulic, emmotllades i premsades de forma artesanal, formades de distintes capes de material de les

quals la superior, apta per a ésser trepitjada, presenta un acabat fi, moltes vegades amb dibuixos que

formen conjunts de geometria regular.

Amb l’increment a Catalunya de l’activitat constructiva a començaments del segle XX es van donar les

condicions perquè el mosaic hidràulic substituís els altres materials de pavimentació d’espais interiors que

s’havien utilitzat fins aquell moment.

A Catalunya hi havia les principals indústries que es dedicaven a la fabricació d’aquests mosaics que es

van comercialitzar també als països mediterranis i a la Amèrica Central.

L’esperit d’empresa de l’època va trobar la manera de fer que el mosaic hidràulic esdevingués un

paviment de moda: remarcant la qualitat del producte i incorporant dissenys dels millors artistes del

moment.

Avui, l’ús del mosaic hidràulic es troba en un alt grau de recessió. S’utilitza bàsicament en la restauració

de les cases modernistes, i es per aquest motiu que resten alguns petits tallers que en produeixen

esporàdicament.

El format de rajola més corrent és el quadrat , encara que n’hi ha d’altres de forma hexagonal i triangular.

Els dibuixos de cada rajola per combinació poden donar resultats diversos: poden ser pensats per a

col·locar-los de manera que el dibuix es repeteixi a cada rajola o bé que permeti d'ésser combinat amb les

rajoles de l'entorn formant dibuixos més grans.

Una de les empreses de materials de construcció més importants era la Companyia Escofet que va ser la

que va fabricar les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia de Barcelona, dissenyades per Gaudí.

Actualment aquesta fàbrica està emplaçada a Martorell , té la oficina comercial en el número 20 de la

Ronda Universitat de la ciutat de Barcelona, i continua sent la subministradora de les rajoles Gaudí.

190


Alguns dels mosaics que estudiarem pertanyen als catàlegs d’aquesta empresa.

Observa el mosaic hidràulic del mostrari dels fabricants Escofet (any 1928, Nº 544). És clar que hi ha un

disseny que es va repetint fins a cobrir el terra que s’està enrajolant. L’objectiu d’aquests exercicis és

obtenir el disseny mínim (superfície mínima) que ens permet obtenir l’estampat aplicant-li simetries, girs

i translacions.

Per això fixarem un full de paper vegetal sobre disseny i intentarem treure el patró del mosaic.

191


Aquest mosaic està fet amb les rajoles següents:

20 20 cm 10 10 cm 20 10 cm

Exercici 1

Sobre el paper vegetal fixeu un punt, que pot ser el vèrtex d’un dels quadrats i dibuixeu quatre fletxes

amb origen aquest punt que assenyalin quatre direccions diferents al llarg de les quals podem fer

lliscar el mosaic de manera que es mantingui inalterable.

192


Hi ha alguna altra direcció al llarg de a qual podem fer lliscar el mosaic perquè torni a coincidir amb

l’original?

Preneu els dos vectors de longitud mínima i construïu el paral·lelogram que els té per costats.

Dibuixeu sobre el paper transparent la malla composada per els paral·lelograms de l’apartat anterior.

Els dissenys en cada paral·lelogram són iguals.

Exercici 2

El mosaic que esteu estudiant presenta molts eixos de simetria: rectes que ens marquen per on hauríem

de doblegar el paper perquè els dibuixos de les dues parts coincideixin.

Sobre un altre paper vegetal dibuixeu l’entramat d’eixos de simetria del mosaic.

En aquest cas concret obteniu quatre direccions diferents.

Exercici 3

Aquest mosaic és prou regular com perquè tingui una sèrie de punts sobre els quals fer-lo girar i torni a

coincidir el dibuix sobre si mateix: són els centres de gir del mosaic.

Marqueu sobre el mateix paper vegetal de l’exercici 2 els centres dels girs i indiqueu amb un nombre

l’ordre del gir (nombre de vegades que cal aplicar el gir perquè sigui igual a la Identitat). Quants

ordres diferents de gir heu obtingut?

Descriviu mitjançant frases curtes on estan situats els centres de gir.

Exercici 4

Sobre el mateix paper vegetal dibuixeu dues fletxes amb origen qualsevol dels centres de gir d’ordre

4 i que indiquin les dues translacions de vector més petit que compleixin les condicions de l’exercici

1.

El diagrama obtingut sobre el paper vegetal és el patró del mosaic.

El disseny mínim que genera tot el mosaic aplicant-li isometries és el triangle rectangle de superfície

mínima amb els costats continguts en els eixos de simetria. Marqueu aquest triangle en el paper

vegetal.

193


Comproveu que el motiu mínim que heu obtingut genera tot el paviment :

a) Dibuixeu aquesta peça solta.

b) Apliqueu les simetries i girs que facin falta fins arribar a una peça que recobreixi el pla només

aplicant-li translacions.

c) Apliqueu les dues translacions indicades en el patró.

Quina superfície té el motiu mínim?

194


Museu de la Ceràmica de Barcelona

El Museu de Ceràmica està ubicat al Palau Reial de Pedralbes. L’edifici propietat de Joan Güell, va ser

ampliat i rehabilitat pels arquitectes, Eusebi Fontbona i Francesc de P. Nebot com a residència reial, l’any

1924. El parc dissenyat pel paisatgista Nicolau Rubió és un magnífic exponent de l’arquitectura de jardins

de finals de segle XIX.

El museu acull una de les col·lecció més significativa de la ceràmica esmaltada espanyola.

Exercici 5

Els àrabs, durant els segles VIII i IX van desenvolupar l’art de recobrir una superfície amb mosaics i

estucats amb motius geomètrics que es van repetint . Aquests dissenys es van anar fent cada cop més

complicats i molts cops no es fàcil trobar el disseny mínim que genera tot el recobriment. En la sala 2 del

museu hi podeu trobar dues mostres de mosaics àrabs realitzades a finals del segle XI.

Sense usar el flaix podeu fer una fotografia de cada un d’aquests recobriments. Se us demana que seguint

els passos dels exercicis 2, 3 i 4 intenteu treure el patró i el disseny mínim de cada un d’aquests mosaic.

Per això podeu fer servir la representació esquemàtica d’un dels paviments que se us dóna a continuació:

195


196


Exercici 6: Museu de la Ceràmica de Barcelona

Preneu una fotografia de les rajoles de la sala 12, podeu triar-ne qualsevol. Intenteu reproduir el que heu

fet en l’anterior exercici per aquest recobriment. Doneu el patró, la peça mínima i les instruccions per

reproduir el disseny.

Exercici 6: Museu d’Art de Girona

En la planta segona del Museu d’Art de Girona hi trobareu les sales monogràfiques dedicades al vidre i la

ceràmica, en aquest últim apartat es troben mostres de mosaics de ceràmica. Fotografieu, sense flaix, o

dibuixeu alguns d’aquest models de paviments i intenteu trobar-ne les translacions de vector mínim i les

isometries que el deixen invariant.

Exercici 6: A la caça de recobriments periòdics.

És relativament fàcil trobar paviments, parets empaperades i amb general superfícies

estampades d on hi ha un motiu que es repeteix per translació. Es tracta de que

localitzeu aquests tipus de recobriments i us en feu la vostra pròpia col·lecció

determinant en cada cas les isometries que el deixen invariant.

Exercici 7

Aquest és el dibuix del paviment d’una terrassa molt comú a començaments de segle. Tota ella és feta

amb peces poligonals: quadrats de dues dimensions i romboides:

197


Seguiu els passos dels exercicis 2, 3 i 4 i intenteu treure el patró i el disseny mínim, per després poder

donar les instruccions pertinent per al disseny del recobriment.

198


Exercici 8

Finalment repetirem el mateix exercici també amb un mosaic àrab que es pot admirar al Palau de

l’Alhambra de Granada. És l’anomenat “mosaic d’os” i encara que té una aparença molt simple, veureu

que el motiu mínim no és evident.

Trobeu-ne el patró, la peça mínima i les instruccions geomètriques per obtenir tot el disseny.

199


Classificació dels mosaics periòdics

La major part del paviments i dels enrajolats són repeticions d’un mateix dibuix que van recobrint una

superfície. Els mosaics periòdics són aquells que els podem considerar com una malla de paral·lelograms

iguals que recobreixen la superfície.

La malla està determinada per les dues direccions de les translacions de vector mínim que desplacen el

mosaic sobre ell mateix. Aquestes dues translacions les anomenarem translacions principals.

El grup d’isometries del mosaic periòdic és el conjunt d’isometries (translacions, girs, simetries axials,

simetries amb lliscament) que deixen la malla invariable, és a dir, superposada sobre ella mateixa.

Els mosaics periòdics queden determinats a partir del seu grup d’isometries.

E. S. Fedorov, estudiant cristalografia, va demostrar que hi ha exactament 17 grups diferents que donen

peu a 17 tipus de mosaics. Això ens permet classificar els mosaics segons el seu grup d’isometries. Al

Palau de l’Alhambra de Granada s’hi pot trobar models dels 17 tipus, cosa que fa pensar que els àrabs del

segle XII eren uns grans coneixedors de la geometria dels mosaics periòdics.

Anomenarem ordre d’un mosaic a l’ordre màxim (nombre de vegades que cal aplicar el gir perquè sigui

igual a la Identitat) dels girs que pertanyen al grup d’isometries.

Els 17 grups d’isometria dels mosaics periòdics s’agrupen en 4 famílies segons l’ordre de gir :

Ordre 1: No hi ha girs diferents a la Identitat.

200


Ordre 2: L’ordre màxim dels girs és 2 i per tant conté girs de 180º.

Ordre 3: L’ordre màxim dels girs és 3 i per tant conté girs de 120º.

Ordre 4: L’ordre màxim dels girs és 4 i per tant conté girs de 90º.

Ordre 6: L’ordre màxim dels girs és 6 i per tant conté girs de 60º.

Indicarem els diferents grups de’isometria amb una G acompanyada per un subíndex que indica l’ordre

màxim dels girs i un super-índex que indica de quin tipus és dins de cada família.

Fins aquí tots els models de rajoles que hem anat estudiant tenen una cosa en comú: l’ordre màxim del

gir que fa que el disseny es superposi sobre ell mateix és 4. Per tant tots ells eren mosaics d’ordre 4.

Els matemàtics han demostrat que hi ha únicament 3 tipus de mosaics d’aquest ordre :

G4 : el grup d’isometries no té simetries.

G4 1 : per cada centre de gir d’ordre 4 hi passen quatre eixos de simetria

G4 2 : els eixos de simetria no passen pels centres de gir d’ordre 4

Tenint en compte aquest resultat estem en situació de classificar els mosaics d’ordre 4 estudiats en els

exercicis anteriors. Veurem que en tenim dels tres tipus.

Un altre resultat que podem observar en els mosaics d’ordre 4 és que tots ells tenien centres de gir d’ordre

2. Aquest és un resultat general, és a dir, es pot demostrar que tots els mosaics d’ordre 4 tenen centres de

gir d’ordre 2.

Anomenarem patró del mosaic a l’esquema format per el parell de vectors principals, els centres de gir

acompanyats del nombre que indica el seu ordre, l’entramat d’eixos de simetria i l’entramat d’eixos de

simetria amb lliscament. Per a trobar el patró del mosaic cal seguir els passos següents:

a) Buscar les translacions principals y dibuixarem el parell de vectors corresponent. Això determinat el

paral·lelogram base.

b) Dibuixar, si s’escau, els eixos de simetria del mosaic.

c) Marcar, si s’escau, els centres de gir, indicant el seu ordre.

d) Traçar, si s’escau, els eixos de simetria de lliscament indicant el vector de la translació.

A l’hora de traçar els eixos de simetria per distingir les simetries amb lliscament de les simetries

pròpiament dites utilitzarem la notació que Yvon Bossard fa servir en el seu llibre Rosaces, frises et

pavages: línies contínues pels eixos de simetria axial i línies a traços per als eixos de les simetries amb

lliscament, dibuixant el vector de la translació associada a l’extrem de l’eix. És a dir, en els patrons

apareixen els elements següents:

v

Eix de simetria

Eix de simetria amb lliscament de vector v.

201


Centre dels girs d’ordre 4

4

Les dues translacions principals que generen la malla

del mosaic

Anomenarem motiu mínim del mosaic a la mínima superfície que genera tot el recobriment al aplicar-li

les isometries del grup que li correspon. Per a trobar el motiu mínim que genera el mosaic es poden fer els

passos següents:

a) Buscar el paral·lelogram determinat pel parell de vectors principals amb origen el centre de gir

d’ordre màxim .

b) Cercar dins del paral·lelogram el motiu mínim que ens permeti reconstruir-lo aplicant les simetries i

els girs del grup.

c) Si en el paral·lelogram que forma la malla principal no hi ha centres de gir, ni eixos de simetria, el

motiu mínim del mosaic és tot el paral·lelogram.

Per a donar les instruccions per aconseguir tot el recobriment a partir del motiu mínim, només cal aplicarli

els girs i les simetries fins aconseguir el paral·lelogram i després les translacions de vector combinació

lineal dels dos vectors que han determinat els costats del paral·lelogram.

Classificar mosaics no és fàcil, cal anar amb molta cura per obtenir les dues translacions principals i totes

les isometries que el deixen invariant. De vegades petits detalls en el dibuix fan que falli la simetria.

A continuació donem l’algoritme de Rose-Stafford per a classificar-los i un seguit d’exercicis de

classificació de mosaics. En una primera aproximació al tema ens podem conformar amb deduir l’ordre

del mosaic i intentar trobar el màxim d’elements del seu grup de simetries. Després podem mirar

d’aplicar-ne l’algoritme de classificació.

Per a poder aplicar l’algoritme de classificació cal recordar els grup de simetria de les figures planes i

finites: els grups diedrals i els grups cíclics.

202


Algoritme de classificació dels mosaics de Rose i

Staford

Eixos de lliscament?


Són perpendiculars?

G2 4


G1 3

NO

NO

G6 1

Buscar màxim ordre d’un centre de

gir per al patró

NO

Dues translacions

independents?


Eixos de simetria?


Eixos de simetria no

paral·lels?


Centre de gir d’ordre 6?

NO

Centre de gir d’ordre 3?


203

NO

NO

NO

C1

No és un mosaic periòdic

Eixos de lliscament

perpendiculars als eixos

de simetria?

NO

Eixos de lliscament

paral·lels a l’eix de

simetria?


Buscar el grup

d’isometries del rectangle

determinat per parells

d’eixos de simetria

consecutius i

perpendiculars

C2

D1 D2


NO

C4

G2 3

G 2

G1 1

G1 2



204


Exercici 9

Aplicant l’algoritme de Rose-Stafford classifiqueu els mosaics que han aparegut en els exercicis anteriors.

Exercici 10: Les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia

En aquest exercici transformareu les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia en rajoles en forma de

paral·lelogram de manera que al enrajolar amb aquestes noves peces el dibuix sigui idèntic.

Fotografieu o dibuixeu esquemàticament les rajoles Gaudí que pavimenten les voreres del passeig de

Gràcia de Barcelona.

Seguiu els passos dels exercicis 1, 2, 3 i 4 i intenteu treure el patró i el disseny mínim, per després

poder donar les instruccions pertinent per al disseny del recobriment. Trobeu el paral·lelogram que

enrajola el passeig de Gràcia.

Classifiqueu el mosaic.

Mesureu la longitud del costat de la rajola hexagonal i calculeu l’àrea del hexàgon i del

paral·lelogram que enrajolen el Passeig de Gràcia.

Quina rajola us sembla més adequada per a la construcció? Per què?

Exercici 11

Busca el patró, el motiu mínim i intenta classificar els mosaics següents.

205


Mosaic A

206


Mosaic B

Mosaic C

207


208


Mosaic D

Mosaic E

209


Mosaic F

210


EXERCICI D’AMPLIACIÓ

En els exercicis anteriors han aparegut 11 dels 17 tipus de mosaics periòdics segons la classificació pel

seu grup d’isometries. Els mosaics que venen a continuació pertanyen als sis grups restants.

Mosaic G:

Nº 2 Catàleg de mosaics. Productos Cerámicos. Casa Coral. (1930).

Mosaic H

211


Nº 401. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1921)

212


Mosaic I

Nº 88. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)

213


Mosaic J

Nº 391. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)

214


Mosaic K

Nº 373 Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)

Mosaic L

215


Nº 74. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)

216


BIBLIOGRAFIA

Alsina, Claudi ; Pérez, Rafael i Ruiz, C. Simetría dinámica. Síntesis. Madrid, 1989

Alsina, Claudi i Trillas, Eduardo. Lecciones de Álgebra y Geometría. Gustavo Gili, Barcelona, 1984

Blanco Martín, Mª Francisca. Movimientos y Simetrías. Publicaciones de la Universidad de Valladolid,

D.L. 1994

Bossard, Yvon. Rosaces, frises et pavages. Vol 1: étude practique. CEDIC, Paris 1977

Casa Coral. Productos ceràmicos. Catàlogo nº 3. Barcelona, 1930.

Col·legi Oficial d’Aparelladors. El mosaic hidràulic: artesania i industria. Catàleg de l’exposició.

Barcelona, 1985.

Escofet, E. F. Catálogos de mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1912, 1915, 1916, 1921, 1928

y 1929.

Jaime Pastor, Adela i Gutiérrez Rodríguez, Angel. El grupo de las Isometrías del Plano. Síntesis. Madrid,

1996

Mora, José A. y Rodrigo, Julio. Mosaicos I; II. Proyecto Sur de Ediciones S. A. L. Graneda, 1993.

Fernández Blanco, Teresa y Rodríguez Taboada, Julio. Mosaicos: un cuento en dos dimensiones. Actas

de las 9 as Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Lugo, 1999.

217


Weyl, Hermann. Symetry. Princeton University Press. New Jersey, 1982

8

Els mosaics periòdics i els grups d’isometries

218


FITXA PER AL PROFESSORAT

Nivell: Segon Cicle d’ESO i Batxillerat Artístic

Coneixements previs: Isometries en el pla: translacions, girs i simetries. Grups diedrals i grups

cíclics

Objectius didàctics

Trobar les translacions principals i la xarxa d’un mosaic periòdic.

Descobrir les simetries que deixen invariable un mosaic.

Descobrir els girs que deixen invariable un mosaic

Trobar el patró de construcció i el motiu mínim que genera un mosaic.

Classificar un mosaic a partir del seu grup d’isometries.

Potencial multidisciplinar

Disseny d’estampats periòdics. (Educació visual i plàstica).

El mosaic hidràulic i la indústria a Catalunya a començaments del segle XX .

(Ciències Socials)

L’arquitectura modernista i els seus elements constructius. (Ciències Socials)

L’arquitectura àrab i els seus coneixements de geometria. (Àrea de Socials)

Orientacions didàctiques

Al començament de la pràctica cal fer notar que només seran objecte d’estudi aquells mosaics que

presenten un motiu que es va repetint per dues translacions independents i que per tant podem establir

una xarxa de paral·lelograms iguals que recobreixen el pla.


En els quatre primers exercicis es treballa en tot detall un mosaic que per la regularitat de les formes

que el composen és relativament senzill trobar-ne les isometries que el deixen invariant. Convé

treballar a fons aquest mosaic per tal que l’alumnat agafi seguretat a l’hora d’analitzar mosaics més

complicats.

Per trobar les isometries que deixen invariant el mosaic i poder construir-ne el patró és molt útil l’ús

del paper vegetal que permet comprovar a partir d’haver copiat el motiu mínim els moviments que

cal aplicar-li per tal que quedi superposat a les successives repeticions en el recobriment.

La visita al Museu de Ceràmica de Barcelona o a l’àmbit de la ceràmica del Museu d’Art de Girona

no és indispensable per a fer aquesta pràctica matemàtica i s’han introduït les dues visites com

diferents maneres de proposar l’exercici 6. L’objectiu d’aquest exercici és que l’alumnat busqui en el

seu entorn recobriments periòdics amb l’objectiu de trobar-ne la xarxa que el forma, els girs i

simetries que el deixen invariant i el motiu mínim que genera tot l’estampat. Les localitzacions

d’aquests tipus de recobriments del pla poden ser molt diverses.

S’ha considerat que abans de classificar els mosaics convé que els alumnes i les alumnes es

familiaritzin amb ells seguint mètodes manipulatius i constructius, aquest és l’objectiu dels 8 primers

exercicis.

Trobar el motiu mínim que genera un mosaic no és tan senzill com trobar el motiu que es va repetint

per translació, per això cal estudiar amb detall les isometries dins del paral·lelogram que forma la

xarxa.

L’exercici 9 treballa amb la rajola hexagonal del passeig de Gràcia. L’alumnat que tingui un accés

fàcil a aquest carrer pot dibuixar i mesurar aquestes rajoles, si no és així en l’apartat dels exercicis

resolts es dóna el material gràfic i les mides que es necessiten.

Els exercicis d’ampliació estudien mosaics extrets dels catàlegs de les principals indústries de

mosaics hidràulics de començaments del segle XX, aquests catàlegs es troben a la Biblioteca del

Col·legi d’Arquitectes de Barcelona.

228


El treball al carrer

L’exercici 6 d’aquesta pràctica apareix en tres versions diferents corresponents al Museu de la Ceràmica

de Barcelona, al Museu d’Art de Girona, o bé si no es té accés fàcil a cap de les dues ciutats es pot animar

els alumnes perquè busquin paviments o revestiments de parets que compleixin aquestes condicions. De

tota manera cada ensenyant pot adaptar l’exercici a algun altre indret que presenti una certa varietat de

mosaics.

Les visites

Museu d’Art de Girona. Pujada de la Catedral, 12. Girona

Telèfons d’informació: 972 20 38 34 i 972 20 95 36

Museu de Ceràmica de Barcelona. Palau Reial de Pedralbes. Av. Diagonal, 686. 08034 Barcelona

Telèfon d’informació: 93 301 77 75

Internet: http://www.bcn.es

Paviment del Passeig de Gràcia de Barcelona

Material gràfic

Casa Coral. Productos ceràmicos. Catàlogo nº 3. Barcelona, 1930.

Escofet, E. F. Catálogos de mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1912, 1915, 1916, 1921, 1928

y 1929.

229


MATERIAL PER A L’ALUMNAT

El mosaic hidràulic a Catalunya

A la primera meitat del segle XX els terres dels nous habitatges es feien amb un nou tipus de

pavimentació: el mosaic hidràulic. El mosaic hidràulic està composat de rajoles de morter de ciment

hidràulic, emmotllades i premsades de forma artesanal, formades de distintes capes de material de les

quals la superior, apta per a ésser trepitjada, presenta un acabat fi, moltes vegades amb dibuixos que

formen conjunts de geometria regular.

Amb l’increment a Catalunya de l’activitat constructiva a començaments del segle XX es van donar les

condicions perquè el mosaic hidràulic substituís els altres materials de pavimentació d’espais interiors que

s’havien utilitzat fins aquell moment.

A Catalunya hi havia les principals indústries que es dedicaven a la fabricació d’aquests mosaics que es

van comercialitzar també als països mediterranis i a la Amèrica Central.

L’esperit d’empresa de l’època va trobar la manera de fer que el mosaic hidràulic esdevingués un

paviment de moda: remarcant la qualitat del producte i incorporant dissenys dels millors artistes del

moment.

Avui, l’ús del mosaic hidràulic es troba en un alt grau de recessió. S’utilitza bàsicament en la restauració

de les cases modernistes, i es per aquest motiu que resten alguns petits tallers que en produeixen

esporàdicament.

El format de rajola més corrent és el quadrat , encara que n’hi ha d’altres de forma hexagonal i triangular.

Els dibuixos de cada rajola per combinació poden donar resultats diversos: poden ser pensats per a

col·locar-los de manera que el dibuix es repeteixi a cada rajola o bé que permeti d'ésser combinat amb les

rajoles de l'entorn formant dibuixos més grans.

Una de les empreses de materials de construcció més importants era la Companyia Escofet que va ser la

que va fabricar les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia de Barcelona, dissenyades per Gaudí.

Actualment aquesta fàbrica està emplaçada a Martorell , té la oficina comercial en el número 20 de la

Ronda Universitat de la ciutat de Barcelona, i continua sent la subministradora de les rajoles Gaudí.

230


Alguns dels mosaics que estudiarem pertanyen als catàlegs d’aquesta empresa.

Observa el mosaic hidràulic del mostrari dels fabricants Escofet (any 1928, Nº 544). És clar que hi ha un

disseny que es va repetint fins a cobrir el terra que s’està enrajolant. L’objectiu d’aquests exercicis és

obtenir el disseny mínim (superfície mínima) que ens permet obtenir l’estampat aplicant-li simetries, girs

i translacions.

Per això fixarem un full de paper vegetal sobre disseny i intentarem treure el patró del mosaic.

231


Aquest mosaic està fet amb les rajoles següents:

20 20 cm 10 10 cm 20 10 cm

Exercici 1

Sobre el paper vegetal fixeu un punt, que pot ser el vèrtex d’un dels quadrats i dibuixeu quatre fletxes

amb origen aquest punt que assenyalin quatre direccions diferents al llarg de les quals podem fer

lliscar el mosaic de manera que es mantingui inalterable.

232


Hi ha alguna altra direcció al llarg de a qual podem fer lliscar el mosaic perquè torni a coincidir amb

l’original?

Preneu els dos vectors de longitud mínima i construïu el paral·lelogram que els té per costats.

Dibuixeu sobre el paper transparent la malla composada per els paral·lelograms de l’apartat anterior.

Els dissenys en cada paral·lelogram són iguals.

Exercici 2

El mosaic que esteu estudiant presenta molts eixos de simetria: rectes que ens marquen per on hauríem

de doblegar el paper perquè els dibuixos de les dues parts coincideixin.

Sobre un altre paper vegetal dibuixeu l’entramat d’eixos de simetria del mosaic.

En aquest cas concret obteniu quatre direccions diferents.

Exercici 3

Aquest mosaic és prou regular com perquè tingui una sèrie de punts sobre els quals fer-lo girar i torni a

coincidir el dibuix sobre si mateix: són els centres de gir del mosaic.

Marqueu sobre el mateix paper vegetal de l’exercici 2 els centres dels girs i indiqueu amb un nombre

l’ordre del gir (nombre de vegades que cal aplicar el gir perquè sigui igual a la Identitat). Quants

ordres diferents de gir heu obtingut?

Descriviu mitjançant frases curtes on estan situats els centres de gir.

Exercici 4

Sobre el mateix paper vegetal dibuixeu dues fletxes amb origen qualsevol dels centres de gir d’ordre

4 i que indiquin les dues translacions de vector més petit que compleixin les condicions de l’exercici

1.

El diagrama obtingut sobre el paper vegetal és el patró del mosaic.

El disseny mínim que genera tot el mosaic aplicant-li isometries és el triangle rectangle de superfície

mínima amb els costats continguts en els eixos de simetria. Marqueu aquest triangle en el paper

vegetal.

233


Comproveu que el motiu mínim que heu obtingut genera tot el paviment :

d) Dibuixeu aquesta peça solta.

e) Apliqueu les simetries i girs que facin falta fins arribar a una peça que recobreixi el pla només

aplicant-li translacions.

f) Apliqueu les dues translacions indicades en el patró.

Quina superfície té el motiu mínim?

234


Museu de la Ceràmica de Barcelona

El Museu de Ceràmica està ubicat al Palau Reial de Pedralbes. L’edifici propietat de Joan Güell, va ser

ampliat i rehabilitat pels arquitectes, Eusebi Fontbona i Francesc de P. Nebot com a residència reial, l’any

1924. El parc dissenyat pel paisatgista Nicolau Rubió és un magnífic exponent de l’arquitectura de jardins

de finals de segle XIX.

El museu acull una de les col·lecció més significativa de la ceràmica esmaltada espanyola.

Exercici 5

Els àrabs, durant els segles VIII i IX van desenvolupar l’art de recobrir una superfície amb mosaics i

estucats amb motius geomètrics que es van repetint . Aquests dissenys es van anar fent cada cop més

complicats i molts cops no es fàcil trobar el disseny mínim que genera tot el recobriment. En la sala 2 del

museu hi podeu trobar dues mostres de mosaics àrabs realitzades a finals del segle XI.

Sense usar el flaix podeu fer una fotografia de cada un d’aquests recobriments. Se us demana que seguint

els passos dels exercicis 2, 3 i 4 intenteu treure el patró i el disseny mínim de cada un d’aquests mosaic.

Per això podeu fer servir la representació esquemàtica d’un dels paviments que se us dóna a continuació:

235


236


Exercici 6: Museu de la Ceràmica de Barcelona

Preneu una fotografia de les rajoles de la sala 12, podeu triar-ne qualsevol. Intenteu reproduir el que heu

fet en l’anterior exercici per aquest recobriment. Doneu el patró, la peça mínima i les instruccions per

reproduir el disseny.

Exercici 6: Museu d’Art de Girona

En la planta segona del Museu d’Art de Girona hi trobareu les sales monogràfiques dedicades al vidre i la

ceràmica, en aquest últim apartat es troben mostres de mosaics de ceràmica. Fotografieu, sense flaix, o

dibuixeu alguns d’aquest models de paviments i intenteu trobar-ne les translacions de vector mínim i les

isometries que el deixen invariant.

Exercici 6: A la caça de recobriments periòdics.

És relativament fàcil trobar paviments, parets empaperades i amb general superfícies

estampades d on hi ha un motiu que es repeteix per translació. Es tracta de que

localitzeu aquests tipus de recobriments i us en feu la vostra pròpia col·lecció

determinant en cada cas les isometries que el deixen invariant.

Exercici 7

Aquest és el dibuix del paviment d’una terrassa molt comú a començaments de segle. Tota ella és feta

amb peces poligonals: quadrats de dues dimensions i romboides:

237


Seguiu els passos dels exercicis 2, 3 i 4 i intenteu treure el patró i el disseny mínim, per després poder

donar les instruccions pertinent per al disseny del recobriment.

238


Exercici 8

Finalment repetirem el mateix exercici també amb un mosaic àrab que es pot admirar al Palau de

l’Alhambra de Granada. És l’anomenat “mosaic d’os” i encara que té una aparença molt simple, veureu

que el motiu mínim no és evident.

Trobeu-ne el patró, la peça mínima i les instruccions geomètriques per obtenir tot el disseny.

239


Classificació dels mosaics periòdics

La major part del paviments i dels enrajolats són repeticions d’un mateix dibuix que van recobrint una

superfície. Els mosaics periòdics són aquells que els podem considerar com una malla de paral·lelograms

iguals que recobreixen la superfície.

La malla està determinada per les dues direccions de les translacions de vector mínim que desplacen el

mosaic sobre ell mateix. Aquestes dues translacions les anomenarem translacions principals.

El grup d’isometries del mosaic periòdic és el conjunt d’isometries (translacions, girs, simetries axials,

simetries amb lliscament) que deixen la malla invariable, és a dir, superposada sobre ella mateixa.

Els mosaics periòdics queden determinats a partir del seu grup d’isometries.

E. S. Fedorov, estudiant cristalografia, va demostrar que hi ha exactament 17 grups diferents que donen

peu a 17 tipus de mosaics. Això ens permet classificar els mosaics segons el seu grup d’isometries. Al

Palau de l’Alhambra de Granada s’hi pot trobar models dels 17 tipus, cosa que fa pensar que els àrabs del

segle XII eren uns grans coneixedors de la geometria dels mosaics periòdics.

Anomenarem ordre d’un mosaic a l’ordre màxim (nombre de vegades que cal aplicar el gir perquè sigui

igual a la Identitat) dels girs que pertanyen al grup d’isometries.

Els 17 grups d’isometria dels mosaics periòdics s’agrupen en 4 famílies segons l’ordre de gir :

Ordre 1: No hi ha girs diferents a la Identitat.

240


Ordre 2: L’ordre màxim dels girs és 2 i per tant conté girs de 180º.

Ordre 3: L’ordre màxim dels girs és 3 i per tant conté girs de 120º.

Ordre 4: L’ordre màxim dels girs és 4 i per tant conté girs de 90º.

Ordre 6: L’ordre màxim dels girs és 6 i per tant conté girs de 60º.

Indicarem els diferents grups de’isometria amb una G acompanyada per un subíndex que indica l’ordre

màxim dels girs i un super-índex que indica de quin tipus és dins de cada família.

Fins aquí tots els models de rajoles que hem anat estudiant tenen una cosa en comú: l’ordre màxim del

gir que fa que el disseny es superposi sobre ell mateix és 4. Per tant tots ells eren mosaics d’ordre 4.

Els matemàtics han demostrat que hi ha únicament 3 tipus de mosaics d’aquest ordre :

G4 : el grup d’isometries no té simetries.

G4 1 : per cada centre de gir d’ordre 4 hi passen quatre eixos de simetria

G4 2 : els eixos de simetria no passen pels centres de gir d’ordre 4

Tenint en compte aquest resultat estem en situació de classificar els mosaics d’ordre 4 estudiats en els

exercicis anteriors. Veurem que en tenim dels tres tipus.

Un altre resultat que podem observar en els mosaics d’ordre 4 és que tots ells tenien centres de gir d’ordre

2. Aquest és un resultat general, és a dir, es pot demostrar que tots els mosaics d’ordre 4 tenen centres de

gir d’ordre 2.

Anomenarem patró del mosaic a l’esquema format per el parell de vectors principals, els centres de gir

acompanyats del nombre que indica el seu ordre, l’entramat d’eixos de simetria i l’entramat d’eixos de

simetria amb lliscament. Per a trobar el patró del mosaic cal seguir els passos següents:

e) Buscar les translacions principals y dibuixarem el parell de vectors corresponent. Això determinat el

paral·lelogram base.

f) Dibuixar, si s’escau, els eixos de simetria del mosaic.

g) Marcar, si s’escau, els centres de gir, indicant el seu ordre.

h) Traçar, si s’escau, els eixos de simetria de lliscament indicant el vector de la translació.

A l’hora de traçar els eixos de simetria per distingir les simetries amb lliscament de les simetries

pròpiament dites utilitzarem la notació que Yvon Bossard fa servir en el seu llibre Rosaces, frises et

pavages: línies contínues pels eixos de simetria axial i línies a traços per als eixos de les simetries amb

lliscament, dibuixant el vector de la translació associada a l’extrem de l’eix. És a dir, en els patrons

apareixen els elements següents:

v

Eix de simetria

Eix de simetria amb lliscament de vector v.

241


Centre dels girs d’ordre 4

4

Les dues translacions principals que generen la malla

del mosaic

Anomenarem motiu mínim del mosaic a la mínima superfície que genera tot el recobriment al aplicar-li

les isometries del grup que li correspon. Per a trobar el motiu mínim que genera el mosaic es poden fer els

passos següents:

d) Buscar el paral·lelogram determinat pel parell de vectors principals amb origen el centre de gir

d’ordre màxim .

e) Cercar dins del paral·lelogram el motiu mínim que ens permeti reconstruir-lo aplicant les simetries i

els girs del grup.

f) Si en el paral·lelogram que forma la malla principal no hi ha centres de gir, ni eixos de simetria, el

motiu mínim del mosaic és tot el paral·lelogram.

Per a donar les instruccions per aconseguir tot el recobriment a partir del motiu mínim, només cal aplicarli

els girs i les simetries fins aconseguir el paral·lelogram i després les translacions de vector combinació

lineal dels dos vectors que han determinat els costats del paral·lelogram.

Classificar mosaics no és fàcil, cal anar amb molta cura per obtenir les dues translacions principals i totes

les isometries que el deixen invariant. De vegades petits detalls en el dibuix fan que falli la simetria.

A continuació donem l’algoritme de Rose-Stafford per a classificar-los i un seguit d’exercicis de

classificació de mosaics. En una primera aproximació al tema ens podem conformar amb deduir l’ordre

del mosaic i intentar trobar el màxim d’elements del seu grup de simetries. Després podem mirar

d’aplicar-ne l’algoritme de classificació.

Per a poder aplicar l’algoritme de classificació cal recordar els grup de simetria de les figures planes i

finites: els grups diedrals i els grups cíclics.

242


Algoritme de classificació dels mosaics de Rose i

Staford

Eixos de lliscament?


Són perpendiculars?

G2 4


G1 3

NO

NO

G6 1

Buscar màxim ordre d’un centre de

gir per al patró

NO

Dues translacions

independents?


Eixos de simetria?


Eixos de simetria no

paral·lels?


Centre de gir d’ordre 6?

NO

Centre de gir d’ordre 3?


243

NO

NO

NO

C1

No és un mosaic periòdic

Eixos de lliscament

perpendiculars als eixos

de simetria?

NO

Eixos de lliscament

paral·lels a l’eix de

simetria?


Buscar el grup

d’isometries del rectangle

determinat per parells

d’eixos de simetria

consecutius i

perpendiculars

C2

D1 D2


NO

C4

G2 3

G 2

G1 1

G1 2



244


Exercici 9

Aplicant l’algoritme de Rose-Stafford classifiqueu els mosaics que han aparegut en els exercicis anteriors.

Exercici 10: Les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia

En aquest exercici transformareu les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia en rajoles en forma de

paral·lelogram de manera que al enrajolar amb aquestes noves peces el dibuix sigui idèntic.

Fotografieu o dibuixeu esquemàticament les rajoles Gaudí que pavimenten les voreres del passeig de

Gràcia de Barcelona.

Seguiu els passos dels exercicis 1, 2, 3 i 4 i intenteu treure el patró i el disseny mínim, per després

poder donar les instruccions pertinent per al disseny del recobriment. Trobeu el paral·lelogram que

enrajola el passeig de Gràcia.

Classifiqueu el mosaic.

Mesureu la longitud del costat de la rajola hexagonal i calculeu l’àrea del hexàgon i del

paral·lelogram que enrajolen el Passeig de Gràcia.

Quina rajola us sembla més adequada per a la construcció? Per què?

Exercici 11

Busca el patró, el motiu mínim i intenta classificar els mosaics següents.

245


Mosaic A

246


Mosaic B

Mosaic C

247


248


Mosaic D

Mosaic E

249


Mosaic F

250


EXERCICI D’AMPLIACIÓ

En els exercicis anteriors han aparegut 11 dels 17 tipus de mosaics periòdics segons la classificació pel

seu grup d’isometries. Els mosaics que venen a continuació pertanyen als sis grups restants.

Mosaic G:

Nº 2 Catàleg de mosaics. Productos Cerámicos. Casa Coral. (1930).

Mosaic H

251


Nº 401. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1921)

252


Mosaic I

Nº 88. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)

253


Mosaic J

Nº 391. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)

254


Mosaic K

Nº 373 Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)

Mosaic L

255


Nº 74. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)

BIBLIOGRAFIA

256


Alsina, Claudi ; Pérez, Rafael i Ruiz, C. Simetría dinámica. Síntesis. Madrid, 1989

Alsina, Claudi i Trillas, Eduardo. Lecciones de Álgebra y Geometría. Gustavo Gili, Barcelona, 1984

Blanco Martín, Mª Francisca. Movimientos y Simetrías. Publicaciones de la Universidad de Valladolid,

D.L. 1994

Bossard, Yvon. Rosaces, frises et pavages. Vol 1: étude practique. CEDIC, Paris 1977

Casa Coral. Productos ceràmicos. Catàlogo nº 3. Barcelona, 1930.

Col·legi Oficial d’Aparelladors. El mosaic hidràulic: artesania i industria. Catàleg de l’exposició.

Barcelona, 1985.

Escofet, E. F. Catálogos de mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1912, 1915, 1916, 1921, 1928

y 1929.

Jaime Pastor, Adela i Gutiérrez Rodríguez, Angel. El grupo de las Isometrías del Plano. Síntesis. Madrid,

1996

Mora, José A. y Rodrigo, Julio. Mosaicos I; II. Proyecto Sur de Ediciones S. A. L. Graneda, 1993.

Fernández Blanco, Teresa y Rodríguez Taboada, Julio. Mosaicos: un cuento en dos dimensiones. Actas

de las 9 as Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Lugo, 1999.

Weyl, Hermann. Symetry. Princeton University Press. New Jersey, 1982

257


9

El pavelló Mies van der Rohe

Càlcul de dimensions i materials

258


Nivell: Primer Cicle d’ESO

FITXA PER AL PROFESSORAT

Coneixements previs: L’escala d’un plànol i àrees de rectangles.

Objectius didàctics

Interpretar un plànol.

Calcular dimensions dels elements d’un plànol a partir de dimensions conegudes.

Calcular l’escala d’un plànol a partir de dimensions conegudes.

Calcular àrees.

Calcular percentatges.

Calcular les possibles ordenacions de quatre elements.

Potencial multidisciplinar

L’Exposició Universal de Barcelona de 1929. (Àrea de Ciències Socials)

L’Arquitectura del segle XX. (Àrea de Ciències Socials)

Els marbres i l’ònix. (Ciències Experimentals)

Orientacions didàctiques

Els alumnes i les alumnes hauran de prendre mesures de les diferents peces que pavimenten el terra i

les parets del pavelló, per tant necessiten una cinta mètrica extensible. Convé insistir en que convé

amidar diverses rajoles de la mateixa forma per assegurar-se de les seves dimensions.

Les qüestions plantejades en els exercicis: 1, 2a, 3c, 4, 5b, 6a i 6b, 7ª, 7b i 7c s’han de resoldre sobre

el terreny, ja que requereixen la identificació dels diferents elements constructius reals en el plànol,

prendre mesures i fer recomptes de rajoles.


Per fer els diferents recomptes que se’ls demana poden seguir diverses estratègies treballant sobre el

plànol i sobre el terreny paral·lelament, utilitzant l’escala o el nombre de rajoles segons l’habilitat de

cada alumne o alumna.

Pels càlculs d’àrees poden fer servir diverses estratègies: calcular l’àrea d’una peça del recobriment i

multiplicar pel nombre de peces o bé fer el producte de les dimensions del rectangle després de

calcular-les.

228


Per resoldre la qüestió 5c, hauran de fer totes les possibles ordenacions de les quatre peces, per

després fer-ne el recompte, ja que en aquest nivell no disposen de càlcul combinatori. Convé, però

que siguin sistemàtics alhora d’escriure-les i de justificar la resposta.

La visita al Pavelló Mies van der Rohe

Adreça: Av. Marqués de Comillas s/n, Montjuïc 08038 Barcelona

Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 343-4234016

Correu electrònic: miesbcn@ysi.es

La visita en grup per a estudiants és gratuïta. Per les dimensions del pavelló i el tipus de pràctica convé

anar-hi en grups reduïts (30 alumnes com a màxim).

Material gràfic : Plànols de la planta del Pavelló.

229


MATERIAL PER A L’ALUMNAT

El pavelló Mies van der Rohe

Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969) va dissenyar i construir el pavelló alemany per a l’Exposició

Universal de Barcelona de 1929. L’obra és una combinació ben proporcionada de superfícies de vidre,

aigua, pedra i acer. Considerada com una de les obres màximes de l’arquitectura racionalista del segle

XX, en el seu moment va ser l’edifici més innovador de l’Exposició, només cal que ho compareu amb les

construccions que es van fer pel mateix motiu, ubicades en la muntanya de Montjuïc: el Palau Nacional,

el Mercat de les Flors i altres pavellons.

El pavelló va ser desmuntat després de l’exposició. Durant molts anys va ser estudiat pels arquitectes com

una nova manera d’entendre l’espai arquitectònic, a partir dels plànols i dissenys que Mies van der Rohe

va realitzar per a la construcció de l’edifici, és a dir, s’estudiava des d’un punt de vista teòric.

Mies van der Rohe va ser també un innovador en el disseny de mobles: les cadires i els tamborets de cuir

blanc i tira d’acer cromat van ser dissenyades especialment per l’Exposició Universal de 1929 i reben el

nom de cadires i tamborets Barcelona. La realització material de les cadires de Mies fou duta a terme

íntegrament a Europa. Però només una empresa d’Estats Units aconseguí introduir-les al mercat del

moble a nivell mundial. La influència que exercí la cadira Barcelona és demostra en la quantitat

d’imitadors que des de llavors ha tingut .

Per iniciativa de l’Ajuntament de Barcelona i de la Fundació Pública del Pavelló Alemany de l’Exposició

Universal, a l’any 1986 es va reconstruir el Pavelló seguint amb tota fidelitat la construcció original. Des

de llavors és obert al públic i constitueix una visita obligada pels estudiosos de l’arquitectura.

Exercici 1

Interpreteu el plànol de la làmina 1 de la planta de l’edifici. Identifiqueu els elements més diferenciats:

les escales per accedir-hi

les oficines

els dos estanys

les parets de marbre blanc (travertí)

les quatre parets de marbre verd

la paret d’ònix daurat

les superfícies de vidre

la paret de material translúcid

les columnes d’acer

el banc exterior

la ubicació de l’estàtua de la dona de G. Kolbe

les portes (dibuixeu-les)

230


les cadires i els tamborets Barcelona (dibuixeu-los)

Per indicar tots aquests elements us podeu ajudar amb llapis de colors, posant fletxes o lletres.

Quina orientació té l’entrada del pavelló?

En quina direcció mirem quan estem asseguts en el banc?

231


Exercici 2

El paviment del terra està format de lloses d’un tipus de marbre blanc de procedència italiana característic

de la pavimentació dels carrers i places de Roma i que s’anomena travertí. Les peces que s’han fet servir

tenen forma quadrada i la planta en conté un nombre enter. Aquesta peça és el mòdul de l’edifici i ens

permet calcular-ne les dimensions i les proporcions dels elements de la construcció.

a) Quina és la longitud del costat de la rajola?

b) Calculeu les dimensions del contorn del pavelló usant el plànol de la làmina 2.

c) Calcula l’escala del plànol de la làmina 2.

Exercici 3

Estudi de les superfícies de la planta.

Tenint en compte les dimensions de la rajola de travertí blanc. Calculeu:

a) L’àrea de la superfície de sol que ocupa la construcció.

b) L’àrea de la superfície ocupada pels dos estanys.

c) L’àrea de la superfície coberta del pavelló (delimiteu sobre el plànol de la làmina 2 les dues zones

cobertes).

d) La proporció de superfície coberta en el total de la construcció.

e) El percentatge de superfície líquida en el total de superfície descoberta del pavelló.

Els materials del Pavelló

Un dels principals mèrits del pavelló va ser la qualitat dels seus materials i la manera en que estan

distribuïts creant diferents espais, sense que cap d’ells estigui tancat. Quan en l’any 1983 se’ls hi va

encomanar la reconstrucció de l’obra als arquitectes Ignasi Solà-Morales, Cristian Cirici i Fernando

Ramos, disposaven dels plànols de Mies, per tant sabien com havien de dimensionar i distribuir l’espai, la

principal dificultat en que es varen trobar va ser en el moment d’aconseguir els materials ja que hi ha

quatre tipus de pedra diferent:

Travertí romà: marbre del paviment i de totes les parets exteriors.

Marbre verd dels Alps: marbre verd que envolta la piscina exterior.

Marbre verd antic de Grècia: paret que condueix de l’entrada principal a l’interior.

Ònix de l’Atlas: mur central del pavelló.

Els exercicis que venen a continuació són similars als que van tenir que resoldre els constructors a l’hora

de fer les comandes a les diferents canteres de marbre.

232


Exercici 4

L’ònix daurat

El material més luxós de l’edifici i més difícil d’aconseguir va ser l’ònix daurat que recobreix el mur

central del pavelló. Mies van der Rohe a l’any 1929 va comprar aquestes peces de procedència nordafricana

en un magatzem d’Hamburg on les tenien destinades a la decoració d’un transatlàntic.

Els arquitectes encarregats de la reconstrucció de 1986 van voltar diversos països del nord d’Àfrica

buscant l’ònix més semblant a l’original. Finalment el van trobar en la cantera de Bou-Hanilfa a Algèria.

Preneu mides i redacteu una comanda el més precisa possible per tal de reconstruir el mur. Si convé

adjunteu-hi algun dibuix. No us oblideu del revestiment lateral.

L’altura de les peces d’ònix és una dimensió fonamental ja que en el seu moment va determinar l’alçada

de l’edifici. Per cert quina és l’alçada de l’edifici?

Exercici 5

El travertí blanc

a) Hi ha dos tipus de travertí: l’utilitzat per a la reconstrucció del paviment del terra i el que es va fer

servir per als murs verticals. El primer és més compacte i el seu dibuix no està tan marcat. Es van

encomanar a una cantera que s’anomena Sybilla de la regió del Lazio(Itàlia).

Quantes rajoles es varen necessitar per recobrir el terra?

Comproveu que l’àrea que heu trobat en l’apartat a de l’exercici 3 és correcta a partir

de la superfície d’una rajola i del nombre de rajoles (caldrà afegir l’àrea de les

superfícies no pavimentades amb travertí)

b) El travertí que es va utilitzar per a recobrir les parets són lloses rectangulars que provenen de la

cantera de Colesseu a prop de Roma i fan 2, 181,

03m.

Es va triar un bloc de pedra amb

irregularitats i un dibuix més marcat per aconseguir una composició adequada en la paret exterior de

darrera el banc, seguint la idea original del primitiu pavelló.

Quina superfície té aquesta paret?

c) Per tal de refer les vetes del dibuix del marbre els arquitectes van encomanar que els hi enviessin les

rajoles numerades segons les havien tallat del bloc de pedra, els marbristes no ho van entendre i van

enviar les peces desordenades. Creieu que és molt difícil tornar-les a ordenar?

233


Per veure’n la dificultat calculeu de quantes maneres diferents pots col·locar les

quatre rajoles rectangulars numerades del dibuix en el rectangle del costat. (suposem

que sabem quina és la part de dalt i la part de baix de les rajoles)

1

3

2

4

Com podeu veure va ser molt difícil recuperar el dibuix de la paret! Gràcies a la paciència dels

constructors es va aconseguir refer el puzzle de travertí després de refer el revestiment fins a quatre

vegades!

234


Exercici 6

El marbre verd grec.

El marbre verd de la paret separadora que condueix de l’entrada a l’interior prové de la regió grega de

Larissa i les seves incrustacions i betes són del tot irregulars.

a) Calculeu les dimensions de les rajoles de la paret i de les cantonades.

b) Fixeu-vos que les rajoles a ambdues cares de la paret tenen dibuixos distints ja que es tracta de peces

diferents que revesteixen les dues cares de la paret. Quantes peces de cada tipus, com a mínim, van

venir de Grècia?

c) Calculeu la longitud i l’alçada de la paret. Calculeu-ne la superfície.

Exercici 7

El marbre verd dels Alps

El marbre verd que envolta l’estany exterior prové de la Vall d’Aosta en la zona dels Alps italians, si us hi

fixeu podeu veure que cada quatre rajoles formen un dibuix concèntric seguint les vetes de la pedra.

Aquest cop es va preveure el problema i les peces van arribar ordenades.

a) Amb les dimensions que heu calculat en l’exercici 2 i només comptant les rajoles que sabem que són

totes iguals, calcula quines són les dimensions de les rajoles de marbre verd.

b) Es pot observar que les peces laterals dels acabats de les parets són diferents, mesureu les dimensions

d’aquestes peces.

c) A partir de les dimensions de les rajoles, encara que les parets siguin inaccessibles podem calcular les

dimensions de les parets de marbre verd que envolten l’estany petit. Quina és la longitud exterior de

cada una d’aquestes parets?

d) Comproveu els resultats obtinguts en l’apartat anterior calculant les longituds a partir de l’escala del

plànol de la làmina 2.

235


BIBLIOGRAFIA

A.A.V.V. El pavelló alemany de Barcelona de Mies van der Rohe. Fundació Pública del Pavelló alemany

de Barcelona. 1986

Solà-Morales, Ignasi; Cristian Cirici y Fernando Ramos. Mies van der Rohe. El Pabellón de Barcelona.

Gustavo Gili. Barcelona, 1993.

Informació sobre el pavelló a la xarxa: http://www.miesbcn.com

236


237


Làmina 1

238


Làmina 2

239


Exercici 2

EXERCICIS RESOLTS

a) 1’09m

b) Comptant rajoles les mides són:

c) El costat de 32,7 m mesura 13,1 cm en el plànol per tant l’escala és 13,1:3270 és a dir

aproximadament igual a 1: 250.

8,72

1,09

5,45

32,7

13,08

21,8

1,09

2,18

Exercici 3

42,51

a) Dividint la planta en rectangles de dimensions conegudes obtenim:

8,72 5,45 + (8,72+32,7) (1,09+10,9+2,18+4,36) + 13,08 13,08 +

+ 2 (2,18 1,09)= 990,8754 m 2 .

b) L’àrea dels dos estanys és: 9,81 21,8 + 4,36 11,99 = 266,1344 m 2 .

c) Per a calcular l’àrea de la superfície coberta de les oficines, utilitzem el valor conegut de 8,72 m

d’amplada per 9,75 m de llargada obtinguda a partir de l’escala ja que el nombre de rajoles no és

enter: 8,72 9,75= 85,02 m 2 .

L’àrea de la coberta principal és: 14,17 25,07 = 355,2419 m 2 .

Si mesurem la superfície del voladís posterior de la coberta, obtenim:

1,09 1,09 = 9,5048 m 2 .

Per tant, l’àrea de la superfície coberta principal és:

355,2419 – 9,5048 = 345,7371 m 2 .

240

4,36

14,17

10,9

2,18

1,09


Àrea total de la superfície coberta: 430,7571 m 2 .

d) 430,75 : 990,8754 = 43,47% de la superfície del pavelló és coberta.

e) 266,1344 : (990,8754 – 430,75) = 47,5% de la superfície descoberta és aigua.

Exercici 4

8 peces rectangulars d’ònix daurat de 2,35 1,55 m

4 peces laterals de 1,55 0,1 m

l’alçada del edifici serà, doncs, 1,55 2 = 3,1 m

Exercici 5

a) 5 8 + 7 38 + 6 18 + 8 12 + 15 4 + 3 + 6 + 22 = 601 rajoles

àrea d’una rajola: 1,09 2 =1,1881m 2 ; àrea enrajolada: 1,1881 601 = 714,0481 m 2

àrea total –àrea dels estanys - àrea de les escales = 990,8754 –266,1344 - 3,27 2 =714,0481 m 2 .

241


) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03 m

mesurant les peces laterals fan 0,49m 1,03m i n’hi ha 6

Per tant, l’àrea de la paret fa (6 0,49 1,03)+(27 2,18 1,03)= 63,654 m 2 .

Calculant-ho d’una altra manera tenim un rectangle d’alçada 3,1 m i de base 18 rajoles de paviment

més els trossos laterals que fan 0,49 cadascun, per tant, la longitud de la base és: 18 1,09 +

2 0,49 = 20,6 m.

L’àrea de la paret és: 3,1 20,6 = 63,86 m 2 .

c) S’han de fer totes les possibles ordenacions a mà i després comptar-les, ja que a aquest nivell no es

poden introduir tècniques de càlcul combinatori. El resultat és 4!=24.

Una manera de fer-ho és escriure totes les ordenacions que tindran la peça 1 en un determinat lloc:

1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2

Hi ha 6 possibles ordenacions en que una peça ocupa un lloc fix, si això ho pensem per les quatre

peces obtenim: 4posicions 6 ordenacions=24.

Exercici 6

a) Hi ha dues mides de peces: les rajoles que recobreixen la superfície i les peces laterals. Les peces

laterals mesuren 0,7m 1,03m i les rectangulars són de 2m 1,03m

b) Es van necessitar per construir la paret: 6 peces laterals i 24 rajoles rectangulars.

c) La paret tindrà una llargada de 2 4 + 0,7 2 = 9,4 m i l’alçada com la de tot el pavelló és 3,1m,

per tant la superfície és: 9,4 3,1 = 29,14 m 2 .

Exercici 7

a) Llarg del estany és 11,99 i hi ha 6 rajoles, per tant, 11,99 : 6 = 1,99, podem comptar que les rajoles

fan 2 m 1,03 m.

b) Mesurant les peces laterals fan 0,65 m 1,03 m.

c) La paret que voreja completament el llarg de la piscina ja sabíem que mesurava 12m de llarg, la

paret posterior amida 0,65 + (7 2) = 14,65 m, la paret més a prop de les escales mesura 0,65 + (

5 2) = 10,65 m.

d) Si apliquem l’escala que hem obtingut a l’exercici 2 obtenim:

Paret posterior: 6 250 = 1.500 cm = 15 m

Paret a prop de les escales: 4,2 250 = 1.050= 10,5 m.

Percentatge d’error en la paret posterior: 14,65 : 15= 97,6%, per tant l’error relatiu és 2,4%.

Percentatge d’error en la paret a prop de les escales: 10,5 : 10,65==98,5%, per tant l’error relatiu és

1,5%.

Podem afirmar que les mesures que hem pres són coherents amb l’escala del plànol.

242


9

El pavelló Mies van der Rohe

Càlcul de dimensions i materials

243


Nivell: Primer Cicle d’ESO

FITXA PER AL PROFESSORAT

Coneixements previs: L’escala d’un plànol i àrees de rectangles.

Objectius didàctics

Interpretar un plànol.

Calcular dimensions dels elements d’un plànol a partir de dimensions conegudes.

Calcular l’escala d’un plànol a partir de dimensions conegudes.

Calcular àrees.

Calcular percentatges.

Calcular les possibles ordenacions de quatre elements.

Potencial multidisciplinar

L’Exposició Universal de Barcelona de 1929. (Àrea de Ciències Socials)

L’Arquitectura del segle XX. (Àrea de Ciències Socials)

Els marbres i l’ònix. (Ciències Experimentals)

Orientacions didàctiques

Els alumnes i les alumnes hauran de prendre mesures de les diferents peces que pavimenten el terra i

les parets del pavelló, per tant necessiten una cinta mètrica extensible. Convé insistir en que convé

amidar diverses rajoles de la mateixa forma per assegurar-se de les seves dimensions.

Les qüestions plantejades en els exercicis: 1, 2a, 3c, 4, 5b, 6a i 6b, 7ª, 7b i 7c s’han de resoldre sobre

el terreny, ja que requereixen la identificació dels diferents elements constructius reals en el plànol,

prendre mesures i fer recomptes de rajoles.


Per fer els diferents recomptes que se’ls demana poden seguir diverses estratègies treballant sobre el

plànol i sobre el terreny paral·lelament, utilitzant l’escala o el nombre de rajoles segons l’habilitat de

cada alumne o alumna.

Pels càlculs d’àrees poden fer servir diverses estratègies: calcular l’àrea d’una peça del recobriment i

multiplicar pel nombre de peces o bé fer el producte de les dimensions del rectangle després de

calcular-les.

228


Per resoldre la qüestió 5c, hauran de fer totes les possibles ordenacions de les quatre peces, per

després fer-ne el recompte, ja que en aquest nivell no disposen de càlcul combinatori. Convé, però

que siguin sistemàtics alhora d’escriure-les i de justificar la resposta.

La visita al Pavelló Mies van der Rohe

Adreça: Av. Marqués de Comillas s/n, Montjuïc 08038 Barcelona

Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 343-4234016

Correu electrònic: miesbcn@ysi.es

La visita en grup per a estudiants és gratuïta. Per les dimensions del pavelló i el tipus de pràctica convé

anar-hi en grups reduïts (30 alumnes com a màxim).

Material gràfic : Plànols de la planta del Pavelló.

229


MATERIAL PER A L’ALUMNAT

El pavelló Mies van der Rohe

Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969) va dissenyar i construir el pavelló alemany per a l’Exposició

Universal de Barcelona de 1929. L’obra és una combinació ben proporcionada de superfícies de vidre,

aigua, pedra i acer. Considerada com una de les obres màximes de l’arquitectura racionalista del segle

XX, en el seu moment va ser l’edifici més innovador de l’Exposició, només cal que ho compareu amb les

construccions que es van fer pel mateix motiu, ubicades en la muntanya de Montjuïc: el Palau Nacional,

el Mercat de les Flors i altres pavellons.

El pavelló va ser desmuntat després de l’exposició. Durant molts anys va ser estudiat pels arquitectes com

una nova manera d’entendre l’espai arquitectònic, a partir dels plànols i dissenys que Mies van der Rohe

va realitzar per a la construcció de l’edifici, és a dir, s’estudiava des d’un punt de vista teòric.

Mies van der Rohe va ser també un innovador en el disseny de mobles: les cadires i els tamborets de cuir

blanc i tira d’acer cromat van ser dissenyades especialment per l’Exposició Universal de 1929 i reben el

nom de cadires i tamborets Barcelona. La realització material de les cadires de Mies fou duta a terme

íntegrament a Europa. Però només una empresa d’Estats Units aconseguí introduir-les al mercat del

moble a nivell mundial. La influència que exercí la cadira Barcelona és demostra en la quantitat

d’imitadors que des de llavors ha tingut .

Per iniciativa de l’Ajuntament de Barcelona i de la Fundació Pública del Pavelló Alemany de l’Exposició

Universal, a l’any 1986 es va reconstruir el Pavelló seguint amb tota fidelitat la construcció original. Des

de llavors és obert al públic i constitueix una visita obligada pels estudiosos de l’arquitectura.

Exercici 1

Interpreteu el plànol de la làmina 1 de la planta de l’edifici. Identifiqueu els elements més diferenciats:

les escales per accedir-hi

les oficines

els dos estanys

les parets de marbre blanc (travertí)

les quatre parets de marbre verd

la paret d’ònix daurat

les superfícies de vidre

la paret de material translúcid

les columnes d’acer

el banc exterior

la ubicació de l’estàtua de la dona de G. Kolbe

les portes (dibuixeu-les)

230


les cadires i els tamborets Barcelona (dibuixeu-los)

Per indicar tots aquests elements us podeu ajudar amb llapis de colors, posant fletxes o lletres.

Quina orientació té l’entrada del pavelló?

En quina direcció mirem quan estem asseguts en el banc?

231


Exercici 2

El paviment del terra està format de lloses d’un tipus de marbre blanc de procedència italiana característic

de la pavimentació dels carrers i places de Roma i que s’anomena travertí. Les peces que s’han fet servir

tenen forma quadrada i la planta en conté un nombre enter. Aquesta peça és el mòdul de l’edifici i ens

permet calcular-ne les dimensions i les proporcions dels elements de la construcció.

d) Quina és la longitud del costat de la rajola?

e) Calculeu les dimensions del contorn del pavelló usant el plànol de la làmina 2.

f) Calcula l’escala del plànol de la làmina 2.

Exercici 3

Estudi de les superfícies de la planta.

Tenint en compte les dimensions de la rajola de travertí blanc. Calculeu:

f) L’àrea de la superfície de sol que ocupa la construcció.

g) L’àrea de la superfície ocupada pels dos estanys.

h) L’àrea de la superfície coberta del pavelló (delimiteu sobre el plànol de la làmina 2 les dues zones

cobertes).

i) La proporció de superfície coberta en el total de la construcció.

j) El percentatge de superfície líquida en el total de superfície descoberta del pavelló.

Els materials del Pavelló

Un dels principals mèrits del pavelló va ser la qualitat dels seus materials i la manera en que estan

distribuïts creant diferents espais, sense que cap d’ells estigui tancat. Quan en l’any 1983 se’ls hi va

encomanar la reconstrucció de l’obra als arquitectes Ignasi Solà-Morales, Cristian Cirici i Fernando

Ramos, disposaven dels plànols de Mies, per tant sabien com havien de dimensionar i distribuir l’espai, la

principal dificultat en que es varen trobar va ser en el moment d’aconseguir els materials ja que hi ha

quatre tipus de pedra diferent:

Travertí romà: marbre del paviment i de totes les parets exteriors.

Marbre verd dels Alps: marbre verd que envolta la piscina exterior.

Marbre verd antic de Grècia: paret que condueix de l’entrada principal a l’interior.

Ònix de l’Atlas: mur central del pavelló.

Els exercicis que venen a continuació són similars als que van tenir que resoldre els constructors a l’hora

de fer les comandes a les diferents canteres de marbre.

232


Exercici 4

L’ònix daurat

El material més luxós de l’edifici i més difícil d’aconseguir va ser l’ònix daurat que recobreix el mur

central del pavelló. Mies van der Rohe a l’any 1929 va comprar aquestes peces de procedència nordafricana

en un magatzem d’Hamburg on les tenien destinades a la decoració d’un transatlàntic.

Els arquitectes encarregats de la reconstrucció de 1986 van voltar diversos països del nord d’Àfrica

buscant l’ònix més semblant a l’original. Finalment el van trobar en la cantera de Bou-Hanilfa a Algèria.

Preneu mides i redacteu una comanda el més precisa possible per tal de reconstruir el mur. Si convé

adjunteu-hi algun dibuix. No us oblideu del revestiment lateral.

L’altura de les peces d’ònix és una dimensió fonamental ja que en el seu moment va determinar l’alçada

de l’edifici. Per cert quina és l’alçada de l’edifici?

Exercici 5

El travertí blanc

c) Hi ha dos tipus de travertí: l’utilitzat per a la reconstrucció del paviment del terra i el que es va fer

servir per als murs verticals. El primer és més compacte i el seu dibuix no està tan marcat. Es van

encomanar a una cantera que s’anomena Sybilla de la regió del Lazio(Itàlia).

Quantes rajoles es varen necessitar per recobrir el terra?

Comproveu que l’àrea que heu trobat en l’apartat a de l’exercici 3 és correcta a partir

de la superfície d’una rajola i del nombre de rajoles (caldrà afegir l’àrea de les

superfícies no pavimentades amb travertí)

d) El travertí que es va utilitzar per a recobrir les parets són lloses rectangulars que provenen de la

cantera de Colesseu a prop de Roma i fan 2, 181,

03m.

Es va triar un bloc de pedra amb

irregularitats i un dibuix més marcat per aconseguir una composició adequada en la paret exterior de

darrera el banc, seguint la idea original del primitiu pavelló.

Quina superfície té aquesta paret?

d) Per tal de refer les vetes del dibuix del marbre els arquitectes van encomanar que els hi enviessin les

rajoles numerades segons les havien tallat del bloc de pedra, els marbristes no ho van entendre i van

enviar les peces desordenades. Creieu que és molt difícil tornar-les a ordenar?

233


Per veure’n la dificultat calculeu de quantes maneres diferents pots col·locar les

quatre rajoles rectangulars numerades del dibuix en el rectangle del costat. (suposem

que sabem quina és la part de dalt i la part de baix de les rajoles)

1

3

2

4

Com podeu veure va ser molt difícil recuperar el dibuix de la paret! Gràcies a la paciència dels

constructors es va aconseguir refer el puzzle de travertí després de refer el revestiment fins a quatre

vegades!

234


Exercici 6

El marbre verd grec.

El marbre verd de la paret separadora que condueix de l’entrada a l’interior prové de la regió grega de

Larissa i les seves incrustacions i betes són del tot irregulars.

d) Calculeu les dimensions de les rajoles de la paret i de les cantonades.

e) Fixeu-vos que les rajoles a ambdues cares de la paret tenen dibuixos distints ja que es tracta de peces

diferents que revesteixen les dues cares de la paret. Quantes peces de cada tipus, com a mínim, van

venir de Grècia?

f) Calculeu la longitud i l’alçada de la paret. Calculeu-ne la superfície.

Exercici 7

El marbre verd dels Alps

El marbre verd que envolta l’estany exterior prové de la Vall d’Aosta en la zona dels Alps italians, si us hi

fixeu podeu veure que cada quatre rajoles formen un dibuix concèntric seguint les vetes de la pedra.

Aquest cop es va preveure el problema i les peces van arribar ordenades.

e) Amb les dimensions que heu calculat en l’exercici 2 i només comptant les rajoles que sabem que són

totes iguals, calcula quines són les dimensions de les rajoles de marbre verd.

f) Es pot observar que les peces laterals dels acabats de les parets són diferents, mesureu les dimensions

d’aquestes peces.

g) A partir de les dimensions de les rajoles, encara que les parets siguin inaccessibles podem calcular les

dimensions de les parets de marbre verd que envolten l’estany petit. Quina és la longitud exterior de

cada una d’aquestes parets?

h) Comproveu els resultats obtinguts en l’apartat anterior calculant les longituds a partir de l’escala del

plànol de la làmina 2.

235


BIBLIOGRAFIA

A.A.V.V. El pavelló alemany de Barcelona de Mies van der Rohe. Fundació Pública del Pavelló alemany

de Barcelona. 1986

Solà-Morales, Ignasi; Cristian Cirici y Fernando Ramos. Mies van der Rohe. El Pabellón de Barcelona.

Gustavo Gili. Barcelona, 1993.

Informació sobre el pavelló a la xarxa: http://www.miesbcn.com

236


237


Làmina 1

238


Làmina 2

239


Exercici 2

EXERCICIS RESOLTS

c) 1’09m

d) Comptant rajoles les mides són:

d) El costat de 32,7 m mesura 13,1 cm en el plànol per tant l’escala és 13,1:3270 és a dir

aproximadament igual a 1: 250.

8,72

1,09

5,45

32,7

13,08

21,8

1,09

2,18

Exercici 3

42,51

b) Dividint la planta en rectangles de dimensions conegudes obtenim:

8,72 5,45 + (8,72+32,7) (1,09+10,9+2,18+4,36) + 13,08 13,08 +

+ 2 (2,18 1,09)= 990,8754 m 2 .

d) L’àrea dels dos estanys és: 9,81 21,8 + 4,36 11,99 = 266,1344 m 2 .

e) Per a calcular l’àrea de la superfície coberta de les oficines, utilitzem el valor conegut de 8,72 m

d’amplada per 9,75 m de llargada obtinguda a partir de l’escala ja que el nombre de rajoles no és

enter: 8,72 9,75= 85,02 m 2 .

L’àrea de la coberta principal és: 14,17 25,07 = 355,2419 m 2 .

Si mesurem la superfície del voladís posterior de la coberta, obtenim:

1,09 1,09 = 9,5048 m 2 .

Per tant, l’àrea de la superfície coberta principal és:

355,2419 – 9,5048 = 345,7371 m 2 .

240

4,36

14,17

10,9

2,18

1,09


Àrea total de la superfície coberta: 430,7571 m 2 .

f) 430,75 : 990,8754 = 43,47% de la superfície del pavelló és coberta.

g) 266,1344 : (990,8754 – 430,75) = 47,5% de la superfície descoberta és aigua.

Exercici 4

8 peces rectangulars d’ònix daurat de 2,35 1,55 m

4 peces laterals de 1,55 0,1 m

l’alçada del edifici serà, doncs, 1,55 2 = 3,1 m

Exercici 5

b) 5 8 + 7 38 + 6 18 + 8 12 + 15 4 + 3 + 6 + 22 = 601 rajoles

àrea d’una rajola: 1,09 2 =1,1881m 2 ; àrea enrajolada: 1,1881 601 = 714,0481 m 2

àrea total –àrea dels estanys - àrea de les escales = 990,8754 –266,1344 - 3,27 2 =714,0481 m 2 .

241


c) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03 m

mesurant les peces laterals fan 0,49m 1,03m i n’hi ha 6

Per tant, l’àrea de la paret fa (6 0,49 1,03)+(27 2,18 1,03)= 63,654 m 2 .

Calculant-ho d’una altra manera tenim un rectangle d’alçada 3,1 m i de base 18 rajoles de paviment

més els trossos laterals que fan 0,49 cadascun, per tant, la longitud de la base és: 18 1,09 +

2 0,49 = 20,6 m.

L’àrea de la paret és: 3,1 20,6 = 63,86 m 2 .

d) S’han de fer totes les possibles ordenacions a mà i després comptar-les, ja que a aquest nivell no es

poden introduir tècniques de càlcul combinatori. El resultat és 4!=24.

Una manera de fer-ho és escriure totes les ordenacions que tindran la peça 1 en un determinat lloc:

1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2

Hi ha 6 possibles ordenacions en que una peça ocupa un lloc fix, si això ho pensem per les quatre

peces obtenim: 4posicions 6 ordenacions=24.

Exercici 6

d) Hi ha dues mides de peces: les rajoles que recobreixen la superfície i les peces laterals. Les peces

laterals mesuren 0,7m 1,03m i les rectangulars són de 2m 1,03m

e) Es van necessitar per construir la paret: 6 peces laterals i 24 rajoles rectangulars.

f) La paret tindrà una llargada de 2 4 + 0,7 2 = 9,4 m i l’alçada com la de tot el pavelló és 3,1m,

per tant la superfície és: 9,4 3,1 = 29,14 m 2 .

Exercici 7

e) Llarg del estany és 11,99 i hi ha 6 rajoles, per tant, 11,99 : 6 = 1,99, podem comptar que les rajoles

fan 2 m 1,03 m.

f) Mesurant les peces laterals fan 0,65 m 1,03 m.

g) La paret que voreja completament el llarg de la piscina ja sabíem que mesurava 12m de llarg, la

paret posterior amida 0,65 + (7 2) = 14,65 m, la paret més a prop de les escales mesura 0,65 + (

5 2) = 10,65 m.

h) Si apliquem l’escala que hem obtingut a l’exercici 2 obtenim:

Paret posterior: 6 250 = 1.500 cm = 15 m

Paret a prop de les escales: 4,2 250 = 1.050= 10,5 m.

Percentatge d’error en la paret posterior: 14,65 : 15= 97,6%, per tant l’error relatiu és 2,4%.

Percentatge d’error en la paret a prop de les escales: 10,5 : 10,65==98,5%, per tant l’error relatiu és

1,5%.

Podem afirmar que les mesures que hem pres són coherents amb l’escala del plànol.

242


9

El pavelló Mies van der Rohe

Càlcul de dimensions i materials

243


Nivell: Primer Cicle d’ESO

FITXA PER AL PROFESSORAT

Coneixements previs: L’escala d’un plànol i àrees de rectangles.

Objectius didàctics

Interpretar un plànol.

Calcular dimensions dels elements d’un plànol a partir de dimensions conegudes.

Calcular l’escala d’un plànol a partir de dimensions conegudes.

Calcular àrees.

Calcular percentatges.

Calcular les possibles ordenacions de quatre elements.

Potencial multidisciplinar

L’Exposició Universal de Barcelona de 1929. (Àrea de Ciències Socials)

L’Arquitectura del segle XX. (Àrea de Ciències Socials)

Els marbres i l’ònix. (Ciències Experimentals)

Orientacions didàctiques

Els alumnes i les alumnes hauran de prendre mesures de les diferents peces que pavimenten el terra i

les parets del pavelló, per tant necessiten una cinta mètrica extensible. Convé insistir en que convé

amidar diverses rajoles de la mateixa forma per assegurar-se de les seves dimensions.

Les qüestions plantejades en els exercicis: 1, 2a, 3c, 4, 5b, 6a i 6b, 7ª, 7b i 7c s’han de resoldre sobre

el terreny, ja que requereixen la identificació dels diferents elements constructius reals en el plànol,

prendre mesures i fer recomptes de rajoles.


Per fer els diferents recomptes que se’ls demana poden seguir diverses estratègies treballant sobre el

plànol i sobre el terreny paral·lelament, utilitzant l’escala o el nombre de rajoles segons l’habilitat de

cada alumne o alumna.

Pels càlculs d’àrees poden fer servir diverses estratègies: calcular l’àrea d’una peça del recobriment i

multiplicar pel nombre de peces o bé fer el producte de les dimensions del rectangle després de

calcular-les.

228


Per resoldre la qüestió 5c, hauran de fer totes les possibles ordenacions de les quatre peces, per

després fer-ne el recompte, ja que en aquest nivell no disposen de càlcul combinatori. Convé, però

que siguin sistemàtics alhora d’escriure-les i de justificar la resposta.

La visita al Pavelló Mies van der Rohe

Adreça: Av. Marqués de Comillas s/n, Montjuïc 08038 Barcelona

Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 343-4234016

Correu electrònic: miesbcn@ysi.es

La visita en grup per a estudiants és gratuïta. Per les dimensions del pavelló i el tipus de pràctica convé

anar-hi en grups reduïts (30 alumnes com a màxim).

Material gràfic : Plànols de la planta del Pavelló.

229


MATERIAL PER A L’ALUMNAT

El pavelló Mies van der Rohe

Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969) va dissenyar i construir el pavelló alemany per a l’Exposició

Universal de Barcelona de 1929. L’obra és una combinació ben proporcionada de superfícies de vidre,

aigua, pedra i acer. Considerada com una de les obres màximes de l’arquitectura racionalista del segle

XX, en el seu moment va ser l’edifici més innovador de l’Exposició, només cal que ho compareu amb les

construccions que es van fer pel mateix motiu, ubicades en la muntanya de Montjuïc: el Palau Nacional,

el Mercat de les Flors i altres pavellons.

El pavelló va ser desmuntat després de l’exposició. Durant molts anys va ser estudiat pels arquitectes com

una nova manera d’entendre l’espai arquitectònic, a partir dels plànols i dissenys que Mies van der Rohe

va realitzar per a la construcció de l’edifici, és a dir, s’estudiava des d’un punt de vista teòric.

Mies van der Rohe va ser també un innovador en el disseny de mobles: les cadires i els tamborets de cuir

blanc i tira d’acer cromat van ser dissenyades especialment per l’Exposició Universal de 1929 i reben el

nom de cadires i tamborets Barcelona. La realització material de les cadires de Mies fou duta a terme

íntegrament a Europa. Però només una empresa d’Estats Units aconseguí introduir-les al mercat del

moble a nivell mundial. La influència que exercí la cadira Barcelona és demostra en la quantitat

d’imitadors que des de llavors ha tingut .

Per iniciativa de l’Ajuntament de Barcelona i de la Fundació Pública del Pavelló Alemany de l’Exposició

Universal, a l’any 1986 es va reconstruir el Pavelló seguint amb tota fidelitat la construcció original. Des

de llavors és obert al públic i constitueix una visita obligada pels estudiosos de l’arquitectura.

Exercici 1

Interpreteu el plànol de la làmina 1 de la planta de l’edifici. Identifiqueu els elements més diferenciats:

les escales per accedir-hi

les oficines

els dos estanys

les parets de marbre blanc (travertí)

les quatre parets de marbre verd

la paret d’ònix daurat

les superfícies de vidre

la paret de material translúcid

les columnes d’acer

el banc exterior

la ubicació de l’estàtua de la dona de G. Kolbe

les portes (dibuixeu-les)

230


les cadires i els tamborets Barcelona (dibuixeu-los)

Per indicar tots aquests elements us podeu ajudar amb llapis de colors, posant fletxes o lletres.

Quina orientació té l’entrada del pavelló?

En quina direcció mirem quan estem asseguts en el banc?

231


Exercici 2

El paviment del terra està format de lloses d’un tipus de marbre blanc de procedència italiana característic

de la pavimentació dels carrers i places de Roma i que s’anomena travertí. Les peces que s’han fet servir

tenen forma quadrada i la planta en conté un nombre enter. Aquesta peça és el mòdul de l’edifici i ens

permet calcular-ne les dimensions i les proporcions dels elements de la construcció.

g) Quina és la longitud del costat de la rajola?

h) Calculeu les dimensions del contorn del pavelló usant el plànol de la làmina 2.

i) Calcula l’escala del plànol de la làmina 2.

Exercici 3

Estudi de les superfícies de la planta.

Tenint en compte les dimensions de la rajola de travertí blanc. Calculeu:

k) L’àrea de la superfície de sol que ocupa la construcció.

l) L’àrea de la superfície ocupada pels dos estanys.

m) L’àrea de la superfície coberta del pavelló (delimiteu sobre el plànol de la làmina 2 les dues zones

cobertes).

n) La proporció de superfície coberta en el total de la construcció.

o) El percentatge de superfície líquida en el total de superfície descoberta del pavelló.

Els materials del Pavelló

Un dels principals mèrits del pavelló va ser la qualitat dels seus materials i la manera en que estan

distribuïts creant diferents espais, sense que cap d’ells estigui tancat. Quan en l’any 1983 se’ls hi va

encomanar la reconstrucció de l’obra als arquitectes Ignasi Solà-Morales, Cristian Cirici i Fernando

Ramos, disposaven dels plànols de Mies, per tant sabien com havien de dimensionar i distribuir l’espai, la

principal dificultat en que es varen trobar va ser en el moment d’aconseguir els materials ja que hi ha

quatre tipus de pedra diferent:

Travertí romà: marbre del paviment i de totes les parets exteriors.

Marbre verd dels Alps: marbre verd que envolta la piscina exterior.

Marbre verd antic de Grècia: paret que condueix de l’entrada principal a l’interior.

Ònix de l’Atlas: mur central del pavelló.

Els exercicis que venen a continuació són similars als que van tenir que resoldre els constructors a l’hora

de fer les comandes a les diferents canteres de marbre.

232


Exercici 4

L’ònix daurat

El material més luxós de l’edifici i més difícil d’aconseguir va ser l’ònix daurat que recobreix el mur

central del pavelló. Mies van der Rohe a l’any 1929 va comprar aquestes peces de procedència nordafricana

en un magatzem d’Hamburg on les tenien destinades a la decoració d’un transatlàntic.

Els arquitectes encarregats de la reconstrucció de 1986 van voltar diversos països del nord d’Àfrica

buscant l’ònix més semblant a l’original. Finalment el van trobar en la cantera de Bou-Hanilfa a Algèria.

Preneu mides i redacteu una comanda el més precisa possible per tal de reconstruir el mur. Si convé

adjunteu-hi algun dibuix. No us oblideu del revestiment lateral.

L’altura de les peces d’ònix és una dimensió fonamental ja que en el seu moment va determinar l’alçada

de l’edifici. Per cert quina és l’alçada de l’edifici?

Exercici 5

El travertí blanc

e) Hi ha dos tipus de travertí: l’utilitzat per a la reconstrucció del paviment del terra i el que es va fer

servir per als murs verticals. El primer és més compacte i el seu dibuix no està tan marcat. Es van

encomanar a una cantera que s’anomena Sybilla de la regió del Lazio(Itàlia).

Quantes rajoles es varen necessitar per recobrir el terra?

Comproveu que l’àrea que heu trobat en l’apartat a de l’exercici 3 és correcta a partir

de la superfície d’una rajola i del nombre de rajoles (caldrà afegir l’àrea de les

superfícies no pavimentades amb travertí)

f) El travertí que es va utilitzar per a recobrir les parets són lloses rectangulars que provenen de la

cantera de Colesseu a prop de Roma i fan 2, 181,

03m.

Es va triar un bloc de pedra amb

irregularitats i un dibuix més marcat per aconseguir una composició adequada en la paret exterior de

darrera el banc, seguint la idea original del primitiu pavelló.

Quina superfície té aquesta paret?

e) Per tal de refer les vetes del dibuix del marbre els arquitectes van encomanar que els hi enviessin les

rajoles numerades segons les havien tallat del bloc de pedra, els marbristes no ho van entendre i van

enviar les peces desordenades. Creieu que és molt difícil tornar-les a ordenar?

233


Per veure’n la dificultat calculeu de quantes maneres diferents pots col·locar les

quatre rajoles rectangulars numerades del dibuix en el rectangle del costat. (suposem

que sabem quina és la part de dalt i la part de baix de les rajoles)

1

3

2

4

Com podeu veure va ser molt difícil recuperar el dibuix de la paret! Gràcies a la paciència dels

constructors es va aconseguir refer el puzzle de travertí després de refer el revestiment fins a quatre

vegades!

234


Exercici 6

El marbre verd grec.

El marbre verd de la paret separadora que condueix de l’entrada a l’interior prové de la regió grega de

Larissa i les seves incrustacions i betes són del tot irregulars.

g) Calculeu les dimensions de les rajoles de la paret i de les cantonades.

h) Fixeu-vos que les rajoles a ambdues cares de la paret tenen dibuixos distints ja que es tracta de peces

diferents que revesteixen les dues cares de la paret. Quantes peces de cada tipus, com a mínim, van

venir de Grècia?

i) Calculeu la longitud i l’alçada de la paret. Calculeu-ne la superfície.

Exercici 7

El marbre verd dels Alps

El marbre verd que envolta l’estany exterior prové de la Vall d’Aosta en la zona dels Alps italians, si us hi

fixeu podeu veure que cada quatre rajoles formen un dibuix concèntric seguint les vetes de la pedra.

Aquest cop es va preveure el problema i les peces van arribar ordenades.

i) Amb les dimensions que heu calculat en l’exercici 2 i només comptant les rajoles que sabem que són

totes iguals, calcula quines són les dimensions de les rajoles de marbre verd.

j) Es pot observar que les peces laterals dels acabats de les parets són diferents, mesureu les dimensions

d’aquestes peces.

k) A partir de les dimensions de les rajoles, encara que les parets siguin inaccessibles podem calcular les

dimensions de les parets de marbre verd que envolten l’estany petit. Quina és la longitud exterior de

cada una d’aquestes parets?

l) Comproveu els resultats obtinguts en l’apartat anterior calculant les longituds a partir de l’escala del

plànol de la làmina 2.

235


BIBLIOGRAFIA

A.A.V.V. El pavelló alemany de Barcelona de Mies van der Rohe. Fundació Pública del Pavelló alemany

de Barcelona. 1986

Solà-Morales, Ignasi; Cristian Cirici y Fernando Ramos. Mies van der Rohe. El Pabellón de Barcelona.

Gustavo Gili. Barcelona, 1993.

Informació sobre el pavelló a la xarxa: http://www.miesbcn.com

236


237


Làmina 1

238


Làmina 2

239


Exercici 2

EXERCICIS RESOLTS

e) 1’09m

f) Comptant rajoles les mides són:

e) El costat de 32,7 m mesura 13,1 cm en el plànol per tant l’escala és 13,1:3270 és a dir

aproximadament igual a 1: 250.

8,72

5,45

1,09

32,7

13,08

21,8

1,09

2,18

Exercici 3

42,51

c) Dividint la planta en rectangles de dimensions conegudes obtenim:

8,72 5,45 + (8,72+32,7) (1,09+10,9+2,18+4,36) + 13,08 13,08 +

+ 2 (2,18 1,09)= 990,8754 m 2 .

f) L’àrea dels dos estanys és: 9,81 21,8 + 4,36 11,99 = 266,1344 m 2 .

g) Per a calcular l’àrea de la superfície coberta de les oficines, utilitzem el valor conegut de 8,72 m

d’amplada per 9,75 m de llargada obtinguda a partir de l’escala ja que el nombre de rajoles no és

enter: 8,72 9,75= 85,02 m 2 .

L’àrea de la coberta principal és: 14,17 25,07 = 355,2419 m 2 .

Si mesurem la superfície del voladís posterior de la coberta, obtenim:

1,09 1,09 = 9,5048 m 2 .

Per tant, l’àrea de la superfície coberta principal és:

355,2419 – 9,5048 = 345,7371 m 2 .

240

4,36

14,17

10,9

2,18

1,09


Àrea total de la superfície coberta: 430,7571 m 2 .

h) 430,75 : 990,8754 = 43,47% de la superfície del pavelló és coberta.

i) 266,1344 : (990,8754 – 430,75) = 47,5% de la superfície descoberta és aigua.

Exercici 4

8 peces rectangulars d’ònix daurat de 2,35 1,55 m

4 peces laterals de 1,55 0,1 m

l’alçada del edifici serà, doncs, 1,55 2 = 3,1 m

Exercici 5

c) 5 8 + 7 38 + 6 18 + 8 12 + 15 4 + 3 + 6 + 22 = 601 rajoles

àrea d’una rajola: 1,09 2 =1,1881m 2 ; àrea enrajolada: 1,1881 601 = 714,0481 m 2

àrea total –àrea dels estanys - àrea de les escales = 990,8754 –266,1344 - 3,27 2 =714,0481 m 2 .

241


d) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03 m

mesurant les peces laterals fan 0,49m 1,03m i n’hi ha 6

Per tant, l’àrea de la paret fa (6 0,49 1,03)+(27 2,18 1,03)= 63,654 m 2 .

Calculant-ho d’una altra manera tenim un rectangle d’alçada 3,1 m i de base 18 rajoles de paviment

més els trossos laterals que fan 0,49 cadascun, per tant, la longitud de la base és: 18 1,09 +

2 0,49 = 20,6 m.

L’àrea de la paret és: 3,1 20,6 = 63,86 m 2 .

e) S’han de fer totes les possibles ordenacions a mà i després comptar-les, ja que a aquest nivell no es

poden introduir tècniques de càlcul combinatori. El resultat és 4!=24.

Una manera de fer-ho és escriure totes les ordenacions que tindran la peça 1 en un determinat lloc:

1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2

Hi ha 6 possibles ordenacions en que una peça ocupa un lloc fix, si això ho pensem per les quatre

peces obtenim: 4posicions 6 ordenacions=24.

Exercici 6

g) Hi ha dues mides de peces: les rajoles que recobreixen la superfície i les peces laterals. Les peces

laterals mesuren 0,7m 1,03m i les rectangulars són de 2m 1,03m

h) Es van necessitar per construir la paret: 6 peces laterals i 24 rajoles rectangulars.

i) La paret tindrà una llargada de 2 4 + 0,7 2 = 9,4 m i l’alçada com la de tot el pavelló és 3,1m,

per tant la superfície és: 9,4 3,1 = 29,14 m 2 .

Exercici 7

i) Llarg del estany és 11,99 i hi ha 6 rajoles, per tant, 11,99 : 6 = 1,99, podem comptar que les rajoles

fan 2 m 1,03 m.

j) Mesurant les peces laterals fan 0,65 m 1,03 m.

k) La paret que voreja completament el llarg de la piscina ja sabíem que mesurava 12m de llarg, la

paret posterior amida 0,65 + (7 2) = 14,65 m, la paret més a prop de les escales mesura 0,65 + (

5 2) = 10,65 m.

l) Si apliquem l’escala que hem obtingut a l’exercici 2 obtenim:

Paret posterior: 6 250 = 1.500 cm = 15 m

Paret a prop de les escales: 4,2 250 = 1.050= 10,5 m.

Percentatge d’error en la paret posterior: 14,65 : 15= 97,6%, per tant l’error relatiu és 2,4%.

Percentatge d’error en la paret a prop de les escales: 10,5 : 10,65==98,5%, per tant l’error relatiu és

1,5%.

Podem afirmar que les mesures que hem pres són coherents amb l’escala del plànol.

242


9

El pavelló Mies van der Rohe

Càlcul de dimensions i materials

243


Nivell: Primer Cicle d’ESO

FITXA PER AL PROFESSORAT

Coneixements previs: L’escala d’un plànol i àrees de rectangles.

Objectius didàctics

Interpretar un plànol.

Calcular dimensions dels elements d’un plànol a partir de dimensions conegudes.

Calcular l’escala d’un plànol a partir de dimensions conegudes.

Calcular àrees.

Calcular percentatges.

Calcular les possibles ordenacions de quatre elements.

Potencial multidisciplinar

L’Exposició Universal de Barcelona de 1929. (Àrea de Ciències Socials)

L’Arquitectura del segle XX. (Àrea de Ciències Socials)

Els marbres i l’ònix. (Ciències Experimentals)

Orientacions didàctiques

Els alumnes i les alumnes hauran de prendre mesures de les diferents peces que pavimenten el terra i

les parets del pavelló, per tant necessiten una cinta mètrica extensible. Convé insistir en que convé

amidar diverses rajoles de la mateixa forma per assegurar-se de les seves dimensions.

Les qüestions plantejades en els exercicis: 1, 2a, 3c, 4, 5b, 6a i 6b, 7ª, 7b i 7c s’han de resoldre sobre

el terreny, ja que requereixen la identificació dels diferents elements constructius reals en el plànol,

prendre mesures i fer recomptes de rajoles.


Per fer els diferents recomptes que se’ls demana poden seguir diverses estratègies treballant sobre el

plànol i sobre el terreny paral·lelament, utilitzant l’escala o el nombre de rajoles segons l’habilitat de

cada alumne o alumna.

Pels càlculs d’àrees poden fer servir diverses estratègies: calcular l’àrea d’una peça del recobriment i

multiplicar pel nombre de peces o bé fer el producte de les dimensions del rectangle després de

calcular-les.

228


Per resoldre la qüestió 5c, hauran de fer totes les possibles ordenacions de les quatre peces, per

després fer-ne el recompte, ja que en aquest nivell no disposen de càlcul combinatori. Convé, però

que siguin sistemàtics alhora d’escriure-les i de justificar la resposta.

La visita al Pavelló Mies van der Rohe

Adreça: Av. Marqués de Comillas s/n, Montjuïc 08038 Barcelona

Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 343-4234016

Correu electrònic: miesbcn@ysi.es

La visita en grup per a estudiants és gratuïta. Per les dimensions del pavelló i el tipus de pràctica convé

anar-hi en grups reduïts (30 alumnes com a màxim).

Material gràfic : Plànols de la planta del Pavelló.

229


MATERIAL PER A L’ALUMNAT

El pavelló Mies van der Rohe

Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969) va dissenyar i construir el pavelló alemany per a l’Exposició

Universal de Barcelona de 1929. L’obra és una combinació ben proporcionada de superfícies de vidre,

aigua, pedra i acer. Considerada com una de les obres màximes de l’arquitectura racionalista del segle

XX, en el seu moment va ser l’edifici més innovador de l’Exposició, només cal que ho compareu amb les

construccions que es van fer pel mateix motiu, ubicades en la muntanya de Montjuïc: el Palau Nacional,

el Mercat de les Flors i altres pavellons.

El pavelló va ser desmuntat després de l’exposició. Durant molts anys va ser estudiat pels arquitectes com

una nova manera d’entendre l’espai arquitectònic, a partir dels plànols i dissenys que Mies van der Rohe

va realitzar per a la construcció de l’edifici, és a dir, s’estudiava des d’un punt de vista teòric.

Mies van der Rohe va ser també un innovador en el disseny de mobles: les cadires i els tamborets de cuir

blanc i tira d’acer cromat van ser dissenyades especialment per l’Exposició Universal de 1929 i reben el

nom de cadires i tamborets Barcelona. La realització material de les cadires de Mies fou duta a terme

íntegrament a Europa. Però només una empresa d’Estats Units aconseguí introduir-les al mercat del

moble a nivell mundial. La influència que exercí la cadira Barcelona és demostra en la quantitat

d’imitadors que des de llavors ha tingut .

Per iniciativa de l’Ajuntament de Barcelona i de la Fundació Pública del Pavelló Alemany de l’Exposició

Universal, a l’any 1986 es va reconstruir el Pavelló seguint amb tota fidelitat la construcció original. Des

de llavors és obert al públic i constitueix una visita obligada pels estudiosos de l’arquitectura.

Exercici 1

Interpreteu el plànol de la làmina 1 de la planta de l’edifici. Identifiqueu els elements més diferenciats:

les escales per accedir-hi

les oficines

els dos estanys

les parets de marbre blanc (travertí)

les quatre parets de marbre verd

la paret d’ònix daurat

les superfícies de vidre

la paret de material translúcid

les columnes d’acer

el banc exterior

la ubicació de l’estàtua de la dona de G. Kolbe

les portes (dibuixeu-les)

230


les cadires i els tamborets Barcelona (dibuixeu-los)

Per indicar tots aquests elements us podeu ajudar amb llapis de colors, posant fletxes o lletres.

Quina orientació té l’entrada del pavelló?

En quina direcció mirem quan estem asseguts en el banc?

231


Exercici 2

El paviment del terra està format de lloses d’un tipus de marbre blanc de procedència italiana característic

de la pavimentació dels carrers i places de Roma i que s’anomena travertí. Les peces que s’han fet servir

tenen forma quadrada i la planta en conté un nombre enter. Aquesta peça és el mòdul de l’edifici i ens

permet calcular-ne les dimensions i les proporcions dels elements de la construcció.

j) Quina és la longitud del costat de la rajola?

k) Calculeu les dimensions del contorn del pavelló usant el plànol de la làmina 2.

l) Calcula l’escala del plànol de la làmina 2.

Exercici 3

Estudi de les superfícies de la planta.

Tenint en compte les dimensions de la rajola de travertí blanc. Calculeu:

p) L’àrea de la superfície de sol que ocupa la construcció.

q) L’àrea de la superfície ocupada pels dos estanys.

r) L’àrea de la superfície coberta del pavelló (delimiteu sobre el plànol de la làmina 2 les dues zones

cobertes).

s) La proporció de superfície coberta en el total de la construcció.

t) El percentatge de superfície líquida en el total de superfície descoberta del pavelló.

Els materials del Pavelló

Un dels principals mèrits del pavelló va ser la qualitat dels seus materials i la manera en que estan

distribuïts creant diferents espais, sense que cap d’ells estigui tancat. Quan en l’any 1983 se’ls hi va

encomanar la reconstrucció de l’obra als arquitectes Ignasi Solà-Morales, Cristian Cirici i Fernando

Ramos, disposaven dels plànols de Mies, per tant sabien com havien de dimensionar i distribuir l’espai, la

principal dificultat en que es varen trobar va ser en el moment d’aconseguir els materials ja que hi ha

quatre tipus de pedra diferent:

Travertí romà: marbre del paviment i de totes les parets exteriors.

Marbre verd dels Alps: marbre verd que envolta la piscina exterior.

Marbre verd antic de Grècia: paret que condueix de l’entrada principal a l’interior.

Ònix de l’Atlas: mur central del pavelló.

Els exercicis que venen a continuació són similars als que van tenir que resoldre els constructors a l’hora

de fer les comandes a les diferents canteres de marbre.

232


Exercici 4

L’ònix daurat

El material més luxós de l’edifici i més difícil d’aconseguir va ser l’ònix daurat que recobreix el mur

central del pavelló. Mies van der Rohe a l’any 1929 va comprar aquestes peces de procedència nordafricana

en un magatzem d’Hamburg on les tenien destinades a la decoració d’un transatlàntic.

Els arquitectes encarregats de la reconstrucció de 1986 van voltar diversos països del nord d’Àfrica

buscant l’ònix més semblant a l’original. Finalment el van trobar en la cantera de Bou-Hanilfa a Algèria.

Preneu mides i redacteu una comanda el més precisa possible per tal de reconstruir el mur. Si convé

adjunteu-hi algun dibuix. No us oblideu del revestiment lateral.

L’altura de les peces d’ònix és una dimensió fonamental ja que en el seu moment va determinar l’alçada

de l’edifici. Per cert quina és l’alçada de l’edifici?

Exercici 5

El travertí blanc

g) Hi ha dos tipus de travertí: l’utilitzat per a la reconstrucció del paviment del terra i el que es va fer

servir per als murs verticals. El primer és més compacte i el seu dibuix no està tan marcat. Es van

encomanar a una cantera que s’anomena Sybilla de la regió del Lazio(Itàlia).

Quantes rajoles es varen necessitar per recobrir el terra?

Comproveu que l’àrea que heu trobat en l’apartat a de l’exercici 3 és correcta a partir

de la superfície d’una rajola i del nombre de rajoles (caldrà afegir l’àrea de les

superfícies no pavimentades amb travertí)

h) El travertí que es va utilitzar per a recobrir les parets són lloses rectangulars que provenen de la

cantera de Colesseu a prop de Roma i fan 2, 181,

03m.

Es va triar un bloc de pedra amb

irregularitats i un dibuix més marcat per aconseguir una composició adequada en la paret exterior de

darrera el banc, seguint la idea original del primitiu pavelló.

Quina superfície té aquesta paret?

f) Per tal de refer les vetes del dibuix del marbre els arquitectes van encomanar que els hi enviessin les

rajoles numerades segons les havien tallat del bloc de pedra, els marbristes no ho van entendre i van

enviar les peces desordenades. Creieu que és molt difícil tornar-les a ordenar?

233


Per veure’n la dificultat calculeu de quantes maneres diferents pots col·locar les

quatre rajoles rectangulars numerades del dibuix en el rectangle del costat. (suposem

que sabem quina és la part de dalt i la part de baix de les rajoles)

1

3

2

4

Com podeu veure va ser molt difícil recuperar el dibuix de la paret! Gràcies a la paciència dels

constructors es va aconseguir refer el puzzle de travertí després de refer el revestiment fins a quatre

vegades!

234


Exercici 6

El marbre verd grec.

El marbre verd de la paret separadora que condueix de l’entrada a l’interior prové de la regió grega de

Larissa i les seves incrustacions i betes són del tot irregulars.

j) Calculeu les dimensions de les rajoles de la paret i de les cantonades.

k) Fixeu-vos que les rajoles a ambdues cares de la paret tenen dibuixos distints ja que es tracta de peces

diferents que revesteixen les dues cares de la paret. Quantes peces de cada tipus, com a mínim, van

venir de Grècia?

l) Calculeu la longitud i l’alçada de la paret. Calculeu-ne la superfície.

Exercici 7

El marbre verd dels Alps

El marbre verd que envolta l’estany exterior prové de la Vall d’Aosta en la zona dels Alps italians, si us hi

fixeu podeu veure que cada quatre rajoles formen un dibuix concèntric seguint les vetes de la pedra.

Aquest cop es va preveure el problema i les peces van arribar ordenades.

m) Amb les dimensions que heu calculat en l’exercici 2 i només comptant les rajoles que sabem que són

totes iguals, calcula quines són les dimensions de les rajoles de marbre verd.

n) Es pot observar que les peces laterals dels acabats de les parets són diferents, mesureu les dimensions

d’aquestes peces.

o) A partir de les dimensions de les rajoles, encara que les parets siguin inaccessibles podem calcular les

dimensions de les parets de marbre verd que envolten l’estany petit. Quina és la longitud exterior de

cada una d’aquestes parets?

p) Comproveu els resultats obtinguts en l’apartat anterior calculant les longituds a partir de l’escala del

plànol de la làmina 2.

235


BIBLIOGRAFIA

A.A.V.V. El pavelló alemany de Barcelona de Mies van der Rohe. Fundació Pública del Pavelló alemany

de Barcelona. 1986

Solà-Morales, Ignasi; Cristian Cirici y Fernando Ramos. Mies van der Rohe. El Pabellón de Barcelona.

Gustavo Gili. Barcelona, 1993.

Informació sobre el pavelló a la xarxa: http://www.miesbcn.com

236


237


Làmina 1

238


Làmina 2

239


Exercici 2

EXERCICIS RESOLTS

g) 1’09m

h) Comptant rajoles les mides són:

f) El costat de 32,7 m mesura 13,1 cm en el plànol per tant l’escala és 13,1:3270 és a dir

aproximadament igual a 1: 250.

8,72

5,45

1,09

32,7

13,08

21,8

1,09

2,18

Exercici 3

42,51

d) Dividint la planta en rectangles de dimensions conegudes obtenim:

8,72 5,45 + (8,72+32,7) (1,09+10,9+2,18+4,36) + 13,08 13,08 +

+ 2 (2,18 1,09)= 990,8754 m 2 .

h) L’àrea dels dos estanys és: 9,81 21,8 + 4,36 11,99 = 266,1344 m 2 .

i) Per a calcular l’àrea de la superfície coberta de les oficines, utilitzem el valor conegut de 8,72 m

d’amplada per 9,75 m de llargada obtinguda a partir de l’escala ja que el nombre de rajoles no és

enter: 8,72 9,75= 85,02 m 2 .

L’àrea de la coberta principal és: 14,17 25,07 = 355,2419 m 2 .

Si mesurem la superfície del voladís posterior de la coberta, obtenim:

1,09 1,09 = 9,5048 m 2 .

Per tant, l’àrea de la superfície coberta principal és:

355,2419 – 9,5048 = 345,7371 m 2 .

240

4,36

14,17

10,9

2,18

1,09


Àrea total de la superfície coberta: 430,7571 m 2 .

j) 430,75 : 990,8754 = 43,47% de la superfície del pavelló és coberta.

k) 266,1344 : (990,8754 – 430,75) = 47,5% de la superfície descoberta és aigua.

Exercici 4

8 peces rectangulars d’ònix daurat de 2,35 1,55 m

4 peces laterals de 1,55 0,1 m

l’alçada del edifici serà, doncs, 1,55 2 = 3,1 m

Exercici 5

d) 5 8 + 7 38 + 6 18 + 8 12 + 15 4 + 3 + 6 + 22 = 601 rajoles

àrea d’una rajola: 1,09 2 =1,1881m 2 ; àrea enrajolada: 1,1881 601 = 714,0481 m 2

àrea total –àrea dels estanys - àrea de les escales = 990,8754 –266,1344 - 3,27 2 =714,0481 m 2 .

241


e) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03 m

mesurant les peces laterals fan 0,49m 1,03m i n’hi ha 6

Per tant, l’àrea de la paret fa (6 0,49 1,03)+(27 2,18 1,03)= 63,654 m 2 .

Calculant-ho d’una altra manera tenim un rectangle d’alçada 3,1 m i de base 18 rajoles de paviment

més els trossos laterals que fan 0,49 cadascun, per tant, la longitud de la base és: 18 1,09 +

2 0,49 = 20,6 m.

L’àrea de la paret és: 3,1 20,6 = 63,86 m 2 .

f) S’han de fer totes les possibles ordenacions a mà i després comptar-les, ja que a aquest nivell no es

poden introduir tècniques de càlcul combinatori. El resultat és 4!=24.

Una manera de fer-ho és escriure totes les ordenacions que tindran la peça 1 en un determinat lloc:

1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2

Hi ha 6 possibles ordenacions en que una peça ocupa un lloc fix, si això ho pensem per les quatre

peces obtenim: 4posicions 6 ordenacions=24.

Exercici 6

j) Hi ha dues mides de peces: les rajoles que recobreixen la superfície i les peces laterals. Les peces

laterals mesuren 0,7m 1,03m i les rectangulars són de 2m 1,03m

k) Es van necessitar per construir la paret: 6 peces laterals i 24 rajoles rectangulars.

l) La paret tindrà una llargada de 2 4 + 0,7 2 = 9,4 m i l’alçada com la de tot el pavelló és 3,1m,

per tant la superfície és: 9,4 3,1 = 29,14 m 2 .

Exercici 7

m) Llarg del estany és 11,99 i hi ha 6 rajoles, per tant, 11,99 : 6 = 1,99, podem comptar que les rajoles

fan 2 m 1,03 m.

n) Mesurant les peces laterals fan 0,65 m 1,03 m.

o) La paret que voreja completament el llarg de la piscina ja sabíem que mesurava 12m de llarg, la

paret posterior amida 0,65 + (7 2) = 14,65 m, la paret més a prop de les escales mesura 0,65 + (

5 2) = 10,65 m.

p) Si apliquem l’escala que hem obtingut a l’exercici 2 obtenim:

Paret posterior: 6 250 = 1.500 cm = 15 m

Paret a prop de les escales: 4,2 250 = 1.050= 10,5 m.

Percentatge d’error en la paret posterior: 14,65 : 15= 97,6%, per tant l’error relatiu és 2,4%.

Percentatge d’error en la paret a prop de les escales: 10,5 : 10,65==98,5%, per tant l’error relatiu és

1,5%.

Podem afirmar que les mesures que hem pres són coherents amb l’escala del plànol.

242


9

El pavelló Mies van der Rohe

Càlcul de dimensions i materials

243


Nivell: Primer Cicle d’ESO

FITXA PER AL PROFESSORAT

Coneixements previs: L’escala d’un plànol i àrees de rectangles.

Objectius didàctics

Interpretar un plànol.

Calcular dimensions dels elements d’un plànol a partir de dimensions conegudes.

Calcular l’escala d’un plànol a partir de dimensions conegudes.

Calcular àrees.

Calcular percentatges.

Calcular les possibles ordenacions de quatre elements.

Potencial multidisciplinar

L’Exposició Universal de Barcelona de 1929. (Àrea de Ciències Socials)

L’Arquitectura del segle XX. (Àrea de Ciències Socials)

Els marbres i l’ònix. (Ciències Experimentals)

Orientacions didàctiques

Els alumnes i les alumnes hauran de prendre mesures de les diferents peces que pavimenten el terra i

les parets del pavelló, per tant necessiten una cinta mètrica extensible. Convé insistir en que convé

amidar diverses rajoles de la mateixa forma per assegurar-se de les seves dimensions.

Les qüestions plantejades en els exercicis: 1, 2a, 3c, 4, 5b, 6a i 6b, 7ª, 7b i 7c s’han de resoldre sobre

el terreny, ja que requereixen la identificació dels diferents elements constructius reals en el plànol,

prendre mesures i fer recomptes de rajoles.

Per fer els diferents recomptes que se’ls demana poden seguir diverses estratègies treballant sobre el

plànol i sobre el terreny paral·lelament, utilitzant l’escala o el nombre de rajoles segons l’habilitat de

cada alumne o alumna.

Pels càlculs d’àrees poden fer servir diverses estratègies: calcular l’àrea d’una peça del recobriment i

multiplicar pel nombre de peces o bé fer el producte de les dimensions del rectangle després de

calcular-les.

3


Per resoldre la qüestió 5c, hauran de fer totes les possibles ordenacions de les quatre peces, per

després fer-ne el recompte, ja que en aquest nivell no disposen de càlcul combinatori. Convé, però

que siguin sistemàtics alhora d’escriure-les i de justificar la resposta.

La visita al Pavelló Mies van der Rohe

Adreça: Av. Marqués de Comillas s/n, Montjuïc 08038 Barcelona

Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 343-4234016

Correu electrònic: miesbcn@ysi.es

La visita en grup per a estudiants és gratuïta. Per les dimensions del pavelló i el tipus de pràctica convé

anar-hi en grups reduïts (30 alumnes com a màxim).

Material gràfic : Plànols de la planta del Pavelló.

4


MATERIAL PER A L’ALUMNAT

El pavelló Mies van der Rohe

Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969) va dissenyar i construir el pavelló alemany per a l’Exposició

Universal de Barcelona de 1929. L’obra és una combinació ben proporcionada de superfícies de vidre,

aigua, pedra i acer. Considerada com una de les obres màximes de l’arquitectura racionalista del segle

XX, en el seu moment va ser l’edifici més innovador de l’Exposició, només cal que ho compareu amb les

construccions que es van fer pel mateix motiu, ubicades en la muntanya de Montjuïc: el Palau Nacional,

el Mercat de les Flors i altres pavellons.

El pavelló va ser desmuntat després de l’exposició. Durant molts anys va ser estudiat pels arquitectes com

una nova manera d’entendre l’espai arquitectònic, a partir dels plànols i dissenys que Mies van der Rohe

va realitzar per a la construcció de l’edifici, és a dir, s’estudiava des d’un punt de vista teòric.

Mies van der Rohe va ser també un innovador en el disseny de mobles: les cadires i els tamborets de cuir

blanc i tira d’acer cromat van ser dissenyades especialment per l’Exposició Universal de 1929 i reben el

nom de cadires i tamborets Barcelona. La realització material de les cadires de Mies fou duta a terme

íntegrament a Europa. Però només una empresa d’Estats Units aconseguí introduir-les al mercat del

moble a nivell mundial. La influència que exercí la cadira Barcelona és demostra en la quantitat

d’imitadors que des de llavors ha tingut .

Per iniciativa de l’Ajuntament de Barcelona i de la Fundació Pública del Pavelló Alemany de l’Exposició

Universal, a l’any 1986 es va reconstruir el Pavelló seguint amb tota fidelitat la construcció original. Des

de llavors és obert al públic i constitueix una visita obligada pels estudiosos de l’arquitectura.

Exercici 1

Interpreteu el plànol de la làmina 1 de la planta de l’edifici. Identifiqueu els elements més diferenciats:

les escales per accedir-hi

les oficines

els dos estanys

les parets de marbre blanc (travertí)

les quatre parets de marbre verd

la paret d’ònix daurat

les superfícies de vidre

la paret de material translúcid

les columnes d’acer

el banc exterior

la ubicació de l’estàtua de la dona de G. Kolbe

les portes (dibuixeu-les)

les cadires i els tamborets Barcelona (dibuixeu-los)

Per indicar tots aquests elements us podeu ajudar amb llapis de colors, posant fletxes o lletres.

Quina orientació té l’entrada del pavelló?

En quina direcció mirem quan estem asseguts en el banc?

5


Exercici 2

El paviment del terra està format de lloses d’un tipus de marbre blanc de procedència italiana característic

de la pavimentació dels carrers i places de Roma i que s’anomena travertí. Les peces que s’han fet servir

tenen forma quadrada i la planta en conté un nombre enter. Aquesta peça és el mòdul de l’edifici i ens

permet calcular-ne les dimensions i les proporcions dels elements de la construcció.

m) Quina és la longitud del costat de la rajola?

n) Calculeu les dimensions del contorn del pavelló usant el plànol de la làmina 2.

o) Calcula l’escala del plànol de la làmina 2.

Exercici 3

Estudi de les superfícies de la planta.

Tenint en compte les dimensions de la rajola de travertí blanc. Calculeu:

u) L’àrea de la superfície de sol que ocupa la construcció.

v) L’àrea de la superfície ocupada pels dos estanys.

w) L’àrea de la superfície coberta del pavelló (delimiteu sobre el plànol de la làmina 2 les dues zones

cobertes).

x) La proporció de superfície coberta en el total de la construcció.

y) El percentatge de superfície líquida en el total de superfície descoberta del pavelló.

Els materials del Pavelló

Un dels principals mèrits del pavelló va ser la qualitat dels seus materials i la manera en que estan

distribuïts creant diferents espais, sense que cap d’ells estigui tancat. Quan en l’any 1983 se’ls hi va

encomanar la reconstrucció de l’obra als arquitectes Ignasi Solà-Morales, Cristian Cirici i Fernando

Ramos, disposaven dels plànols de Mies, per tant sabien com havien de dimensionar i distribuir l’espai, la

principal dificultat en que es varen trobar va ser en el moment d’aconseguir els materials ja que hi ha

quatre tipus de pedra diferent:

Travertí romà: marbre del paviment i de totes les parets exteriors.

Marbre verd dels Alps: marbre verd que envolta la piscina exterior.

Marbre verd antic de Grècia: paret que condueix de l’entrada principal a l’interior.

Ònix de l’Atlas: mur central del pavelló.

Els exercicis que venen a continuació són similars als que van tenir que resoldre els constructors a l’hora

de fer les comandes a les diferents canteres de marbre.

Exercici 4

L’ònix daurat

El material més luxós de l’edifici i més difícil d’aconseguir va ser l’ònix daurat que recobreix el mur

central del pavelló. Mies van der Rohe a l’any 1929 va comprar aquestes peces de procedència nordafricana

en un magatzem d’Hamburg on les tenien destinades a la decoració d’un transatlàntic.

Els arquitectes encarregats de la reconstrucció de 1986 van voltar diversos països del nord d’Àfrica

buscant l’ònix més semblant a l’original. Finalment el van trobar en la cantera de Bou-Hanilfa a Algèria.

Preneu mides i redacteu una comanda el més precisa possible per tal de reconstruir el mur. Si convé

adjunteu-hi algun dibuix. No us oblideu del revestiment lateral.

L’altura de les peces d’ònix és una dimensió fonamental ja que en el seu moment va determinar l’alçada

de l’edifici. Per cert quina és l’alçada de l’edifici?

6


Exercici 5

El travertí blanc

i) Hi ha dos tipus de travertí: l’utilitzat per a la reconstrucció del paviment del terra i el que es va fer

servir per als murs verticals. El primer és més compacte i el seu dibuix no està tan marcat. Es van

encomanar a una cantera que s’anomena Sybilla de la regió del Lazio(Itàlia).

Quantes rajoles es varen necessitar per recobrir el terra?

Comproveu que l’àrea que heu trobat en l’apartat a de l’exercici 3 és correcta a partir

de la superfície d’una rajola i del nombre de rajoles (caldrà afegir l’àrea de les

superfícies no pavimentades amb travertí)

j) El travertí que es va utilitzar per a recobrir les parets són lloses rectangulars que provenen de la

cantera de Colesseu a prop de Roma i fan 2, 181,

03m.

Es va triar un bloc de pedra amb

irregularitats i un dibuix més marcat per aconseguir una composició adequada en la paret exterior de

darrera el banc, seguint la idea original del primitiu pavelló.

Quina superfície té aquesta paret?

g) Per tal de refer les vetes del dibuix del marbre els arquitectes van encomanar que els hi enviessin les

rajoles numerades segons les havien tallat del bloc de pedra, els marbristes no ho van entendre i van

enviar les peces desordenades. Creieu que és molt difícil tornar-les a ordenar?

Per veure’n la dificultat calculeu de quantes maneres diferents pots col·locar les

quatre rajoles rectangulars numerades del dibuix en el rectangle del costat. (suposem

que sabem quina és la part de dalt i la part de baix de les rajoles)

1

3

2

4

Com podeu veure va ser molt difícil recuperar el dibuix de la paret! Gràcies a la paciència dels

constructors es va aconseguir refer el puzzle de travertí després de refer el revestiment fins a quatre

vegades!

7


Exercici 6

El marbre verd grec.

El marbre verd de la paret separadora que condueix de l’entrada a l’interior prové de la regió grega de

Larissa i les seves incrustacions i betes són del tot irregulars.

m) Calculeu les dimensions de les rajoles de la paret i de les cantonades.

n) Fixeu-vos que les rajoles a ambdues cares de la paret tenen dibuixos distints ja que es tracta de peces

diferents que revesteixen les dues cares de la paret. Quantes peces de cada tipus, com a mínim, van

venir de Grècia?

o) Calculeu la longitud i l’alçada de la paret. Calculeu-ne la superfície.

Exercici 7

El marbre verd dels Alps

El marbre verd que envolta l’estany exterior prové de la Vall d’Aosta en la zona dels Alps italians, si us hi

fixeu podeu veure que cada quatre rajoles formen un dibuix concèntric seguint les vetes de la pedra.

Aquest cop es va preveure el problema i les peces van arribar ordenades.

q) Amb les dimensions que heu calculat en l’exercici 2 i només comptant les rajoles que sabem que són

totes iguals, calcula quines són les dimensions de les rajoles de marbre verd.

r) Es pot observar que les peces laterals dels acabats de les parets són diferents, mesureu les dimensions

d’aquestes peces.

s) A partir de les dimensions de les rajoles, encara que les parets siguin inaccessibles podem calcular les

dimensions de les parets de marbre verd que envolten l’estany petit. Quina és la longitud exterior de

cada una d’aquestes parets?

t) Comproveu els resultats obtinguts en l’apartat anterior calculant les longituds a partir de l’escala del

plànol de la làmina 2.

BIBLIOGRAFIA

A.A.V.V. El pavelló alemany de Barcelona de Mies van der Rohe. Fundació Pública del Pavelló alemany

de Barcelona. 1986

Solà-Morales, Ignasi; Cristian Cirici y Fernando Ramos. Mies van der Rohe. El Pabellón de Barcelona.

Gustavo Gili. Barcelona, 1993.

Informació sobre el pavelló a la xarxa: http://www.miesbcn.com

8


Làmina 1

10


Làmina 2

11


Exercici 2

EXERCICIS RESOLTS

i) 1’09m

j) Comptant rajoles les mides són:

g) El costat de 32,7 m mesura 13,1 cm en el plànol per tant l’escala és 13,1:3270 és a dir

aproximadament igual a 1: 250.

21,8

1,09

2,18

Exercici 3

e) Dividint la planta en rectangles de dimensions conegudes obtenim:

8,72 5,45 + (8,72+32,7) (1,09+10,9+2,18+4,36) + 13,08 13,08 +

+ 2 (2,18 1,09)= 990,8754 m 2 .

j) L’àrea dels dos estanys és: 9,81 21,8 + 4,36 11,99 = 266,1344 m 2 .

k) Per a calcular l’àrea de la superfície coberta de les oficines, utilitzem el valor conegut de 8,72 m

d’amplada per 9,75 m de llargada obtinguda a partir de l’escala ja que el nombre de rajoles no és

enter: 8,72 9,75= 85,02 m 2 .

L’àrea de la coberta principal és: 14,17 25,07 = 355,2419 m 2 .

Si mesurem la superfície del voladís posterior de la coberta, obtenim:

1,09 1,09 = 9,5048 m 2 .

Per tant, l’àrea de la superfície coberta principal és:

355,2419 – 9,5048 = 345,7371 m 2 .

Àrea total de la superfície coberta: 430,7571 m 2 .

l) 430,75 : 990,8754 = 43,47% de la superfície del pavelló és coberta.

m) 266,1344 : (990,8754 – 430,75) = 47,5% de la superfície descoberta és aigua.

Exercici 4

8 peces rectangulars d’ònix daurat de 2,35 1,55 m

4 peces laterals de 1,55 0,1 m

l’alçada del edifici serà, doncs, 1,55 2 = 3,1 m

Exercici 5

8,72

5,45

32,7

42,51

e) 5 8 + 7 38 + 6 18 + 8 12 + 15 4 + 3 + 6 + 22 = 601 rajoles

àrea d’una rajola: 1,09 2 =1,1881m 2 ; àrea enrajolada: 1,1881 601 = 714,0481 m 2

12

4,36

1,09

13,08

14,17

10,9

2,18

1,09


àrea total –àrea dels estanys - àrea de les escales = 990,8754 –266,1344 - 3,27 2 =714,0481 m 2 .

13


f) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03 m

mesurant les peces laterals fan 0,49m 1,03m i n’hi ha 6

Per tant, l’àrea de la paret fa (6 0,49 1,03)+(27 2,18 1,03)= 63,654 m 2 .

Calculant-ho d’una altra manera tenim un rectangle d’alçada 3,1 m i de base 18 rajoles de paviment

més els trossos laterals que fan 0,49 cadascun, per tant, la longitud de la base és: 18 1,09 +

2 0,49 = 20,6 m.

L’àrea de la paret és: 3,1 20,6 = 63,86 m 2 .

g) S’han de fer totes les possibles ordenacions a mà i després comptar-les, ja que a aquest nivell no es

poden introduir tècniques de càlcul combinatori. El resultat és 4!=24.

Una manera de fer-ho és escriure totes les ordenacions que tindran la peça 1 en un determinat lloc:

1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2

Hi ha 6 possibles ordenacions en que una peça ocupa un lloc fix, si això ho pensem per les quatre

peces obtenim: 4posicions 6 ordenacions=24.

Exercici 6

m) Hi ha dues mides de peces: les rajoles que recobreixen la superfície i les peces laterals. Les peces

laterals mesuren 0,7m 1,03m i les rectangulars són de 2m 1,03m

n) Es van necessitar per construir la paret: 6 peces laterals i 24 rajoles rectangulars.

o) La paret tindrà una llargada de 2 4 + 0,7 2 = 9,4 m i l’alçada com la de tot el pavelló és 3,1m,

per tant la superfície és: 9,4 3,1 = 29,14 m 2 .

Exercici 7

q) Llarg del estany és 11,99 i hi ha 6 rajoles, per tant, 11,99 : 6 = 1,99, podem comptar que les rajoles

fan 2 m 1,03 m.

r) Mesurant les peces laterals fan 0,65 m 1,03 m.

s) La paret que voreja completament el llarg de la piscina ja sabíem que mesurava 12m de llarg, la

paret posterior amida 0,65 + (7 2) = 14,65 m, la paret més a prop de les escales mesura 0,65 + (

5 2) = 10,65 m.

t) Si apliquem l’escala que hem obtingut a l’exercici 2 obtenim:

Paret posterior: 6 250 = 1.500 cm = 15 m

Paret a prop de les escales: 4,2 250 = 1.050= 10,5 m.

Percentatge d’error en la paret posterior: 14,65 : 15= 97,6%, per tant l’error relatiu és 2,4%.

Percentatge d’error en la paret a prop de les escales: 10,5 : 10,65==98,5%, per tant l’error relatiu és

1,5%.

Podem afirmar que les mesures que hem pres són coherents amb l’escala del plànol.

14

More magazines by this user
Similar magazines