Passeig matemàtic per Catalunya Teresa Ticó Angerri Curs 1999-2000

Passeig matemàtic per Catalunya
Teresa Ticó Angerri
Curs 1999-2000

ÍNDEX
[Pàg. 2]
Introducció. Matemàtiques i realitat. La resolució de problemes en l’ensenyament
de les matemàtiques. Els referents de l’entorn. Estructura dels capítols.
Metodologia i avaluació.
[Pàg. 25]
1. Introducció a la teoria de grafs. El laberint d’Horta i altres aplicacions
[Pàg. 76]
2. Santa Maria del Mar i les proporcions numèriques de les finestres gòtiques
[Pàg. 91]
3. Les proporcions en l’arquitectura: reconstrucció del temple romà de Barcelona
[Pàg. 101]
4. La Vil·la de Centcelles i la construcció i superfície de plantes simètriques
[Pàg. 126]
5. La Sagrada Família, els quadrats màgics i les progressions aritmètiques
[Pàg. 135]
6. Els logotips, els rosetons i els grups d’isometries
1

[Pàg. 158]
7. Els frisos, les sanefes i els grups d’isometries
[Pàg. 187]
8. Els mosaics periòdics i els grups d’isometries
[Pàg. 227]
9. El pavelló Mies van der Rohe. Càlcul de dimensions i materials
[Pàg. 238]
10. Pesos i mesures tradicionals a Balaguer. Implantació del Sistema Mètric
Decimal
[Pàg. 254]
11. Mesures tradicionals agràries a Cervera: els tres quartans, la quartera i el jornal
[Pàg. 266]
12. El naixement del metre i altres problemes relacionats amb la mesura de
longituds
2

Introducció
Matemàtiques i realitat
A la pregunta Què són les Matemàtiques?, Philip J. Davis i Reuben Hersch, a Experiència
Matemàtica, comenten, entre d’altres, dues concepcions que descriuen parcialment aquesta
ciència:
Definició 1: Les matemàtiques són la ciència de la quantitat i de l’espai.
Definició 2: Les matemàtiques són la ciència de formació de conclusions necessàries. (Pierce,
1850)
La definició 1, molt generalista, ressalta dos objectes d’aplicació: la quantitat i l’espai, dues
entitats abstractes que sorgeixen de l’observació del món físic i a les quals s’aplica
operacions. Les matemàtiques estan lligades a la percepció i són un instrument específic
d’interpretació i control de la realitat física. Posa l’èmfasi en el vessant relacionat amb
capacitats humanes gairebé innates, associant “l’activitat matemàtica a activitats
fonamentals com comptar, mesurar, explicar, dibuixar i situar” (Keitel, 1996).
Aquestes matemàtiques són presents des dels orígens de la civilització: quan els humans van
necessitar delimitar els camps de conreu i repartir les collites, van mirar el cel i van comptar
els dies que havien de passar perquè la lluna tingués la mateixa forma... En aquesta concepció
no es parla de com les matemàtiques treballen amb les quantitats i l’espai. Ens podem
preguntar: fa matemàtiques el dissenyador d’interiors quan fa una distribució de l’espai?; i el
comptable quan fa el balanç d’una empresa?; el sol fet de treballar amb nombres és fer
matemàtiques?; què caracteritza l’activitat matemàtica i la diferencia d’altres activitats
relacionades amb la quantitat i l’espai?
En la definició 2 es posa l’èmfasi en l’aspecte deductiu de les matemàtiques. Històricament,
els Elements d’Euclídes (s. III a. de J.C.) són el primer treball matemàtic presentat com una
seqüència de proposicions amb enunciats geomètrics que es dedueixen d’uns axiomes
prèviament establerts. No és fins a mitjan segle XIX , amb la formalització de l’anàlisi, i més
tard, a començaments del segle XX, amb la teoria de conjunts, quan s’arriba a la formalització
deductiva i unitària de totes les branques de les matemàtiques. En aquesta definició
extremadament logicísta, no es parla dels continguts, “la matemàtica podria “tractar” de

qualsevol cosa, en la mesura que el seu estudi s’atengui a l’esquema hipòtesi-deduccióconclusió”
(Davis i Hersh, 1982). Les matemàtiques són un producte de la màquina del
pensament, que és capaç de produir -a partir d’uns conceptes bàsics i unes regles de
deducció- uns resultats que formen el cos teòric d’aquesta ciència, independentment del món
físic i de la seva percepció. Com pot ser, doncs, que els resultats d’aquesta producció siguin
models teòrics aplicables a contextos reals molt diferents?
Les dues definicions sobre aquesta ciència ressalten només alguns dels elements que la
componen. En La matemàtica: su contenido, métodos y significado, el matemàtic
Aleksandrov fa una fusió de les dues quan descriu el caràcter específic de les abstraccions
matemàtiques que les diferencia de les abstraccions de les altres ciències:
“Les abstraccions de les matemàtiques es distingeixen per tres trets. En primer lloc, tracten
fonamentalment de les relacions quantitatives i de les formes espacials, abstraient-les de totes
les altres propietats dels objectes. En segon lloc, apareixen en una successió de graus
d’abstracció creixent, i arriben molt més lluny en aquesta direcció que l’abstracció en les
diferents ciències...Finalment, i això és obvi, la matemàtica com a tal es mou quasi per
complet en el camp dels conceptes abstractes i les seves interaccions. [...]
És cert que els matemàtics també fan un ús constant de models i analogies físics, i recorren a
exemples ben concrets. Això constitueix la font real de la teoria i un mitjà per a descobrir
teoremes, però cap teorema pertany definitivament a la matemàtica fins que no ha estat
rigorosament demostrat per un raonament lògic.” (Aleksandrov, 1956)
Aleksandrov posa l’èmfasi en l’origen físic dels resultats matemàtics, en el seu grau
d’abstracció i en la necessitat de la demostració, és a dir, d’encadenar-los mitjançant un
sistema deductiu que els vinculi al cos de les matemàtiques.
Sota aquesta concepció de les matemàtiques com a traducció simbòlica de l’univers, no
provoca cap estranyesa que les matemàtiques siguin aplicables a la realitat. En la història del
pensament aquesta ha estat la concepció pitagòrica de l’univers: el món funciona
matemàticament i les persones que es dediquen a la investigació matemàtica només han de
descobrir aquest funcionament.
A la concepció pitagòrica, Davis i Hersh confronten la idea que les matemàtiques aplicades
són models matemàtics que tendeixen a simplificar una realitat molt més complexa i que
25

esdevenen útils en la mesura que poden preveure una part del seu comportament. Una gran
part de les matemàtiques que es produeixen tenen el seu origen, no pas en el món físic, sinó
en la resolució de problemes plantejats dins de la mateixa matemàtica i això comporta que la
seva aplicabilitat al món real no sigui immediata. Els autors descriuen la producció actual de
matemàtica pura com una sèrie de teories molt especialitzades que parlen d’objectes
matemàtics coneguts per la minoria de científics que es dediquen a l’especialitat, els quals,
per descomptat, les produeixen independentment de la possibilitat d’aplicar-les en la pràctica.
Les aplicacions pràctiques de les teories matemàtiques poden ser immediates, aparèixer
després de molts anys de ser produïdes o no aparèixer mai.
Encara que tots els professionals de les matemàtiques estan d’acord en el fet que les
matemàtiques treballen amb abstraccions, que perquè un nou resultat formi part de les
matemàtiques s’ha de poder deduir de resultats anteriors prèviament deduïts, hi ha una part
important de les matemàtiques que s’apliquen al món físic en sentit ampli. La discussió sobre
el paper de la realitat en l’activitat matemàtica i si les matemàtiques constitueixen un
llenguatge explicatiu del món físic és una discussió oberta, en la qual tenen molt a dir els
professionals de la filosofia de la ciència i els matemàtics preocupats per l’epistemologia de la
ciència a què es dediquen.
Les relacions de les matemàtiques amb la realitat són complexes, i cal tenir en compte aquesta
complexitat a l’hora de decidir quins continguts i quina metodologia cal seguir en
l’ensenyament de les matemàtiques en el nivell de secundària. Un ensenyament molt lligat als
problemes reals pot donar la idea falsa que les matemàtiques són només un instrument
necessari per a resoldre problemes referents a altres matèries, com l’economia, la sociologia,
la física, la química...Per altra banda, les matemàtiques que tradicionalment s’han impartit en
l’ensenyament secundari, en què els diferents conceptes s’han introduït per a poder entendre
26

els que venien a continuació, és a dir, justificant-se per si mateixes, han aportat molt poca
cultura matemàtica a la major part de la població, que les recorda com una sèrie de conceptes
sense cap mena de referent, en general poc aplicables als problemes matemàtics que els
planteja la seva relació quotidiana amb l’entorn: estimar l’alçada d’una casa o la superfície
d’una habitació, tenir una visió crítica de les dades numèriques d’una notícia apareguda en
algun mitjà de comunicació, avaluar mentalment el resultat d’un càlcul elemental...
Cal tenir en compte les relacions de les matemàtiques amb el món real a l’hora de
respondre’ns preguntes com aquestes: com s’han d’ensenyar les matemàtiques, com una
matèria instrumental que dóna eines per a resoldre qüestions referents al món real o bé com
una ciència que constitueix un objecte d’aprenentatge per si mateixa?; quines matemàtiques
s’han d’ensenyar en l’ensenyament secundari obligatori on s’hi troba tota la població, tant els
qui continuaran estudis teòrics com els qui tindran activitats professionals més pràctiques? I,
sobretot, la pregunta que ens fan sovint els nois i les noies a la classe de matemàtiques: per a
què serveixen les matemàtiques que estem estudiant?
Al meu entendre, cal tenir en compte les dues consideracions a l’hora de respondre:
constitueixen una disciplina que dóna una sèrie d’habilitats lògiques que ens permeten
avançar en el coneixement de les coses que ens envolten, i també en l’estudi de la mateixa
ciència.
Resulta paradoxal que se’ns faci la pregunta de la utilitat de les matemàtiques en un moment
en què les seves aplicacions a l’entorn estan augmentant progressivament. Sabem que els
grans avenços tecnològics en la informàtica i la comunicació són possibles, entre d’altres
coses, gràcies a l’aplicació de tècniques matemàtiques sofisticades. Els treballs estadístics
apareixen en una gran diversitat de contextos: des de les prospeccions sobre el comportament
electoral d’una població fins a l’efectivitat d’un tractament per a guarir una malaltia
determinada. L’organització de les empreses i de l’economia es basen en teories
matemàtiques. Tot això ho sabem però, malgrat tot, les matemàtiques amb paraules de Juan
Luis Herrero i José Lorenzo són invisibles per a la majoria de la població. Segons els autors,
el motiu d’aquesta invisibilitat és que “Les Matemàtiques tendeixen a construir models de la
27

ealitat prenent-ne solament alguns aspectes, de manera que poden ser usades en molts
contextos diferents. Això comporta una abstracció evident. Aquesta tendència a la
generalització és a la vegada la font de l’èxit de les matemàtiques i la raó de la seva
invisibilitat. Atès que el model és útil en situacions reals diverses, sembla que és el llenguatge
adequat per a la comprensió de la realitat. Però aquesta “mutilació” de la multiplicitat dels
aspectes que la vida presenta, fa que les Matemàtiques no apareguin en la superfície de les
qüestions de què s’ocupa, sinó en la seva estructura més profunda. No és estrany, per tant,
que per a un observador poc avisat, la seva presència passi quasi desapercebuda” (J. L.
Herrero y J. Lorenzo, 1998).
Mostrar els dos aspectes de la matemàtica, el formal i el més directament aplicable, ha de ser
un dels objectius de les matemàtiques en un ensenyament dirigit a una població diversa per a
la major part de la qual aquesta matèria serà útil com a instrument per a interpretar i operar
d’una manera específica sobre la realitat que l’envolta, mentre que només una part petita
d’aquesta població la necessitarà per a desenvolupar estudis més especialitzats.
Precisament pel caràcter “ocult” que tenen les matemàtiques en la realitat de vegades és
complicat trobar activitats adequades encaminades a transmetre la concepció de les
matemàtiques com ”un llenguatge potent, concís i sense ambigüitats d’anàlisi de situacions
problemàtiques de l’entorn” (Informe Cockoft, 1982). Aquest treball pretén ser una aportació
de recursos per treballar aquest aspecte de les matemàtiques.
Les activitats relacionades amb la realitat es presenten en l’ensenyament de les matemàtiques
a secundària en dos contextos: en la llista d’activitats d’aplicació d’un contingut teòric donat
prèviament i en activitats, de vegades extracurriculars, en què es fa la lectura i l’estudi
matemàtic d’un objecte o d’un fenomen real. En molts llibres de text de secundària, al final de
cada unitat, trobem exercicis amb contextos més o menys reals, alguns dels quals d’una certa
artificialitat, en què s’apliquen els continguts que s’han exposat en la unitat. En els darrers
anys s’observa un esforç per part d’aquestes publicacions per augmentar la varietat
d’exercicis i actualitzar-ne els enunciats en la línia de presentar situacions de l’entorn
vivencial i cultural de l’alumnat que, a més, transmetin els valors continguts en els eixos
transversals de l’ensenyament obligatori: educació no discriminatòria, foment del respecte i la
28

conservació de la natura o actitud crítica enfront al consum. Queda encara camí per recórrer
fins que els llibres de text no continguin la varietat desitjable d’aquesta mena d’activitats.
En el segon context hi trobem les activitats matemàtiques que, partint d’un objecte o d’un
fenomen real, busquen fer-ne una lectura matemàtica amb la finalitat de categoritzar-lo, fer-ne
conjectures i operar-hi matemàticament de manera que augmenti el nostre coneixement de la
realitat i, per tant, la possibilitat de controlar-la i transformar-la.
És en aquesta segona mena d’activitat on es posa més de manifest el significat de la
modelització matemàtica de la realitat en el sentit d’extraure només els elements que es
puguin categoritzar matemàticament per a poder aplicar-los operacions o transformacions
matemàtiques. És en aquest sentit que la modelització “mutila” l’objecte amb la finalitat
d’augmentar el coneixement que en tenim. Per exemple, si partim d’un fris situat a la façana
d’un edifici, una possible lectura matemàtica d’aquest objecte és buscar-ne el patró mínim i
les isometries que s’ han d’aplicar per generar-lo. A partir d’aquí podem classificar el fris
segons el seu grup d’isometries. En aquest estudi es prescindeix de la forma del motiu, del
material de què està fet, de la seva mida, de la seva situació respecte dels altres elements que
composen la façana..., característiques que segurament permeten classificar el fris en un
corrent arquitectònic, o datar-lo cronològicament o reconèixer-ne l’origen artesà o industrial.
L’anàlisi matemàtica que s’ha fet del fris aporta un coneixement més sobre aquest element
arquitectònic. Adjuntar aquesta visió científica als objectes que tradicionalment han estat
objecte dels estudis anomenats humanístics, dóna una idea més completa i unitària del
coneixement racional com a manera d’aproximar-se al món.
Saber a quin grup d’isometries pertany un fris permet comparar-lo amb altres frisos, sanefes o
bandes decoratives que poden aparèixer en objectes diversos, com ara una punta de coixí o
l’arquivolta de pedra de la porta d’una església gòtica, que difícilment relacionaríem. És aquí
on es pot apreciar la capacitat de generalització que tenen els conceptes matemàtics i la
diversitat d’aplicacions d’una mateixa teoria.
L’estudi matemàtic del fris augmenta el coneixement sobre les isometries, ens estimula a fernos
un seguit de preguntes pròpies de l’activitat matemàtica: quines són les isometries què es
poden aplicar a un motiu perquè generi un fris?; quantes isometries es poden aplicar en un fris
perquè quedi invariant?; quantes sanefes diferents es poden generar a partir d’un mateix
motiu?. Ens motiva, també, a ampliar el coneixement matemàtic a conceptes més generals i
formals, com la teoria de grups que obre un camp d’aplicacions molt més extens.
29

Aquesta mena d’activitats ajuden a entendre les matemàtiques com una ciència que permet
estudiar des d’una altra òptica els objectes i fenòmens de l’entorn. La recerca de l’ordre, la
regularitat i la proporció ha estat un dels mòbils de l’activitat humana. El plaer estètic que la
dedicació a aquesta recerca produeix és acceptat comunament com una component de les
accions dels artistes, però rarament com a integrant de l’acció científica. Les matemàtiques en
les seves diferents branques - àlgebra, aritmètica i geometria- tenen un gran potencial per a
resoldre problemes relatius a aquests conceptes, que presentats de forma entenedora poden ser
molt atractius. Guiar l’alumne en la descoberta de l’estètica de la creació científica és un dels
objectius de l’ensenyament que un cop assolit permet obrir nous camps de coneixement
sobre la realitat . Apreciar i fruir del component matemàtic del pensament té una importància
fonamental en l’aprenentatge d’aquesta ciència.
És difícil buscar exemplificacions en el món físic per a afavorir la comprensió de les
abstraccions matemàtiques adequant-les a la maduresa intel·lectual dels alumnes. Les
matemàtiques són un ciència abstracta, i encara que alguna de les seves parts té origen en el
món empíric, una bona part es fa amb independència d’aquestes fonts. La manera d’arribar a
aquesta abstracció és diferent en cada individu, però és estrany que al nivell de secundària es
pugui aprendre sense preguntar-se per les aplicacions immediates d’allò que s’està aprenent i
les seves relacions amb l’entorn físic. L’alumne de secundària, per molt que pugui apreciar la
bellesa de les matemàtiques o que les entengui com un repte per a la ment, necessita referents
relacionats amb la seva realitat quotidiana que li facilitin la motivació i la comprensió de la
matèria.
És en aquest segon grup d’activitats on s’engloben les que es presenten en aquest treball, en
què, a partir de l’observació d’objectes situats fora de l’aula (edificis, monuments, objectes
decoratius, objectes de mesura, elements arquitectònics) que s’han de dibuixar, fotografiar,
mesurar o manipular, seguint uns passos seqüenciats en exercicis detallats, es pretén fer una
lectura matemàtica d’aquests objectes, operar-hi i arribar a altres resultats més generals.
Tradicionalment les activitats relacionades amb la vida real s’han considerat més
engrescadores per als alumnes que els exercicis rutinaris i sense significació. Algunes vegades
s’han presentat aquestes activitats com a solució als diversos conflictes en què ens trobem en
l’ensenyament de les matemàtiques: escassa motivació en la realització d’exercicis repetitius,
manca de comprensió pel caràcter excessivament abstracte dels conceptes i manca
d’autonomia a l’hora d’aplicar els coneixements adquirits a l’aula a altres contextos de
30

l’entorn quotidià. Cal ser, però, una mica cauts a l’hora de presentar aquestes activitats com a
panacea de la didàctica de les matemàtiques.
Els mòbils d’actuació de l’alumnat són d’índole molt diversa i alguns no han pas de coincidir
amb els que ens semblen més adequats als ensenyants. En aquest sentit és interessant l’estudi
que el matemàtic André Antibi (1999) va presentar en les IX Jornades Aprenentatge
Ensenyament de les Matemàtiques a Lugo. Antibi va fer un experiment consistent a recollir
els resultats d’un qüestionari on es presentava un mateix problema d’optimització (la
inscripció d’un rectangle d’amplada donada i de longitud màxima en un rectangle donat) sota
dos enunciats diferents: un sobre objectes de la vida quotidiana (un regle d’amplada donada
que es vol col·locar dins una maleta rectangular de dimensions donades) i l’altre plantejat en
llenguatge geomètric i amb la incògnita simbolitzada. Al qüestionari no es proposava resoldre
el problema, sinó que es preguntava per la preferència entre els dos enunciats i el motiu de
l’elecció.
Entre els professionals de l’ensenyament l’elecció generalitzada va ser el primer enunciat,
consideraven l’enunciat motivant i útil per a la vida quotidiana. Les respostes entre els
estudiants van ser més diversificades: un 49% es va inclinar pel primer enunciat, un 34% pel
segon, mentre que a un 17% li resultava indiferent. La inclinació pel primer enunciat no és tan
forta com es podia esperar, essent més important en els cursos amb millors rendiments en
matemàtiques i que, per tant, han manifestat una notable capacitat d’abstracció.
L’experiment d’Antibi fa notar que no és clar que els alumnes i les alumnes amb més
dificultats de comprensió conceptual s’aboquin a resoldre problemes d’índole més pràctica.
L’autor apunta altres motivacions que tenen a veure menys amb els continguts i més amb les
actituds:
“Per començar, l’èxit. Un alumne que té èxit en les seves tasques agafa gust, en general, a
allò que fa i se sent motivat. No es tracta, però, de plantejar només exercicis fàcils. Penso
que cal distingir els treballs sotmesos a una avaluació i els altres. Els primers han de ser
accessibles a la gran part, recórrer a activitats anàlogues a les treballades per l’alumne,
recompensar el treball realitzat. Per descomptat, s’han de proposar a l’alumne altres
activitats més obertes; llavors s’insistirà més en les idees de resolució que en la resolució
completa de l’exercici.” (Antibi, 1999)
31

Molts cops l’aplicació repetida d’un mateix procediment en exercicis molt similars, encara
que es faci sense referents concrets, pot aportar a l’alumna el grau de confiança en ell mateix
necessari per a afrontar situacions més complexes, com són de vegades els problemes
d’enunciat més obert sobre contextos reals, i per a generar actituds positives envers les
matemàtiques.
32

La resolució de problemes en l’ensenyament de les matemàtiques
Imre Lakatos, en la introducció de Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento
matemático (1976) critica la concepció formalista de les matemàtiques que tendeix a
identificar-les amb la seva abstracció axiomàtica formal. Segons aquesta identificació, cap
teoria matemàtica en el període creatiu no constitueix vertaderes matemàtiques fins que no
arriba a la seva presentació axiomàtica.
En la seva concepció de les matemàtiques Lakatos s’interessa més per la lògica del
descobriment i afirma que l’activitat matemàtica “no es desenvolupa mitjançant un monòton
augment del nombre de teoremes indubtablement establerts, sinó que ho fa mitjançant la
millora incessant de les conjectures, gràcies a l’especulació i a la crítica, seguint la lògica de
proves i refutacions” (Lakatos, 1976).
El fet d’optar per aquesta concepció de les matemàtiques, unit amb la teoria didàctica segons
la qual l’aprenentatge d’una ciència ha de reproduir d’alguna manera els processos presents
en l’activitat científica per tal de desenvolupar en els estudiants els hàbits de pensament que
li són propis, fa palesa la necessitat d’optar per un ensenyament de les matemàtiques en què la
pràctica de l’activitat matemàtica per part dels estudiants jugui un paper central.
L’anàlisi dels mecanismes de pensament i la metodologia de l’activitat matemàtica han estat
estudiats des de les matemàtiques i la filosofia de la ciència pels principals pensadors de la
nostra tradició cultural: Plató, Kant i Einstein en són exemples.
Dins de l’activitat matemàtica ens centrarem en la resolució de problemes i ens fixarem en
alguns matemàtics que hi han reflexionat i sobre les fases que la componen, des de l’òptica
de l’ensenyament de les matemàtiques.
Pappus d’Alexandria (320 d. de J.C.), en el llibre VII, presenta unes reflexions sobre els
processos de raonament que s’apliquen en la resolució de problemes geomètrics, entre ells el
mètode anàlisi – síntesi. Segons la descripció que fa Polya (1957) del mètode de Pappus, “
l’anàlisi consisteix a donar per cert allò que es vol demostrar i raonant “cap endarrere”
buscar de quin antecedent es podria deduir el resultat desitjat, desprès buscar l’antecedent
de l’antecedent i així successivament fins a arribar a alguna cosa coneguda o admesa com a
certa. Pel contrari, en la síntesi, invertim el procés: partint de l’últim punt assolit en
l’anàlisi, deduïm allò que el precedia en l’anàlisi i, seguint aquest procés, arribem finalment
33

a allò que volíem demostrar. Distingeix entre dues menes de problemes geomètrics en els que
aplicar el mètode anàlisi-síntesi: els de “demostració” i els de “resolució” on se’ns demana
trobar una incògnita, i explica com s’ha de procedir en cada cas.”
René Descartes, en el seu Discurs del mètode per a dirigir bé la raó i buscar la veritat en les
ciències (1637), dóna quatre preceptes per dirigir bé el pensament que són perfectament
aplicables a la resolució de problemes: primer, admetre només com a vertaderes les coses que
es presenten a la raó com a evidents: clares i distintes; segon, dividir la qüestió estudiada en
parts senzilles i que es presenten com a evidents davant la raó; tercer, a partir de les
naturaleses simples i procedint per raonaments deductius (clars i diferents), arribar a
coneixements més complexos; quart, fer enumeracions completes i revisions generals per no
ometre res. Descartes aplica el seu mètode a la seva metafísica i cosmologia, però on es
mostra realment efectiu és en els seus treballs matemàtics, que posen les bases de la geometria
analítica i que en una gran part es troben en La Geometria, una de les obres científiques de
l’autor prologada pel Discurs del Mètode.
L’obra que ha esdevingut clàssica en el tema de la resolució de problemes és l’obra del
matemàtic nord-americà George Polya How to solve it, apareguda l’any 1945, amb versió
definitiva en la segona edició revisada de 1957.
Polya distingeix quatre fases que es presenten en l’abordatge i la resolució d’un problema:
• Comprensió del problema.
• Buscar les relacions entre les dades i la incògnita i traçar un pla.
• Execució del pla.
• Un cop trobada la solució, examinar-la i discutir-la.
L’autor dóna un llista de preguntes-suggeriments que tendeixen a provocar les operacions
intel·lectuals necessàries per a superar cada una de les fases de la resolució del problema. Si
en un principi és el professor o la professora el que formula les preguntes per tal de guiar
l’estudiant en el seu aprenentatge dels mètodes de resolució, la finalitat última és que
l’aprenent acabi el seu ensenyament interioritzant aquestos processos mentals.
34

Polya posa la resolució de problemes en el centre de l’aprenentatge de les matemàtiques i
dedica la seva obra a descriure i fer conscients els processos intel·lectuals que es mobilitzen
en aquesta activitat, i defensa que l’aprenentatge d’aquests processos, que anomenem
estratègies heurístiques, farà que actuïn instintivament quan es presenta un problema per
resoldre.
Polya ha estat un punt de referència important per a tots els professionals que han fet de la
resolució de problemes una metodologia de l’ensenyament de les matemàtiques. Algunes
crítiques que s’han fet al mètode de Polya afirmen que tan sols amb la pràctica de la resolució
de problemes no s’aprenen els mètodes de resolució i que no està comprovat que
l’ensenyament d’estratègies heurístiques generals faciliti la resolució de problemes que
impliquin contextos nous. Aquests crítics defensen que el rendiment dels alumnes en la
resolució de problemes pot millorar si adquireixen un gran nombre d’estratègies petites i molt
específiques associades a dominis determinats del coneixement de la matèria, més en la línia
dels exercicis tradicionals d’aplicació d’una part conceptual prèviament establerta.
S’acostuma a anomenar model de resolució de problemes o model heurístic el corrent de la
didàctica de la matemàtica que classifica i analitza les fases del procés de resolució de
problemes, els suggeriments i estratègies heurístiques i els diferents aspectes d’ordre cognitiu,
emocional, cultural, científic, etc. que intervenen en el procés.
Les metodologies d’aprenentatge basades en el model heurístic, derivades d’una pedagogia
més activa, han agafat cada vegada més força en l’ensenyament de les matemàtiques a
secundària. Tal com indica Clements (1999), l’anàlisi d’aquesta metodologia passa per
reflexionar sobre un seguit de qüestions: “Què és un problema matemàtic?. Com es pot
dissenyar, posar a la pràctica i avaluar un currículum de matemàtiques basat en la resolució
de problemes? “
Una bona definició, per la seva amplitud, de problema en aquest context és la que dóna
Antoni Vila: “Un problema és una situació que ens ve formulada verbalment, gràficament o
simbòlicament, i en la qual hi ha (de forma explícita o a partir d’una reformulació pròpia
posterior) un propòsit per al qual no es coneix un camí evident per assolir-lo.” (Vila, 1998).
35

Entendrem la resolució de problemes com a metodologia d’aprenentatge com aquell
ensenyament de les matemàtiques en què l’alumne construeix el seu coneixement a partir de
la resolució de problemes que tendeixen a reproduir els processos de pensament propis de les
matemàtiques. Els continguts procedimentals necessaris per a resoldre’ls s’aniran introduint
en la mesura que siguin necessaris per a trobar la solució del problema.
En aquesta metodologia es posa l’èmfasi en el procés més que en el resultat final. Això
determina una avaluació més àmplia en què es valora el grau de domini de les diferents
estratègies heurístiques en cada fase de la resolució d’un problema.
Dins d’aquest enfocament, l’alumnat construeix el seu coneixement matemàtic a partir de la
pràctica de les habilitats del pensament que són pròpies d’aquesta ciència, com ara la
simbolització, l’abstracció, el plantejament de conjectures i l’ús de procediments matemàtics.
El mètode de plantejament i resolució de problemes va néixer de la crítica a l’ensenyament
tradicional a partir de l’observació de l’escassa autonomia dels alumnes per a enfrontar-se
amb un problema que no pertanyi directament a un model dins d’un domini conegut i de la
falta de significació que per a gran part de la població escolaritzada han tingut les
matemàtiques.
Les principals crítiques que es fan a aquesta metodologia aplicada a l’ensenyament secundari
són d’ordre conceptual intern i d’ordre organitzatiu extern.
Dins de les primeres es poden assenyalar:
Les mancances en l’aprenentatge dels algoritmes i en el domini de certes rutines que
formen part dels continguts procedimentals matemàtics bàsics necessaris tant per a
afrontar problemes que plantegin noves situacions com per a futurs estudis de
matemàtiques. Si bé en el sistema tradicional l’aplicació d’algorismes ocupa una part
massa considerable de l’activitat matemàtica dels estudiants, amb la pràctica
d’exercicis repetitius i rutinaris, l’adquisició d’aquestes destreses comporta altres
beneficis, com ara l’augment de seguretat a l’hora d’executar el pla per a resoldre un
problema i l’adquisició d’una actitud crítica més acurada a l’hora d’avaluar els
resultats de l’aplicació d’aquests algoritmes obtinguts amb les calculadores
(aritmètiques, científiques o gràfiques).
La dificultat d’introduir el llenguatge algebraic i l’obtenció i demostració de relacions
algebraiques des d’una metodologia de resolució de problemes, ja que no és freqüent
que certs continguts algebraics, com ara les operacions amb expressions polinòmiques
36

de grau més gran que 2, es puguin plantejar en situacions significatives per a
l’alumnat.
La presentació de la geometria en el seu vessant més descriptiu i figuratiu en què les
propietats de les figures es dedueixen més per mètodes inductius que deductius.
En resum, es tem per una pèrdua del domini de la pràctica d’algoritmes, de les estructures
conceptuals algebraiques i de la pràctica de la demostració, elements que formen part
estructural de les matemàtiques.
Dins de les dificultats d’ordre extern convé assenyalar:
L’escassetat d’hores de classe per a aplicar una metodologia en què l’aprenentatge es
realitza d’una manera més significativa, però requereix una major inversió de temps
per a introduir continguts i donar continuïtat al procés de resolució de problemes. El
professorat es mou en la contradicció d’una major exigència social de qualitat en la
formació de ciutadans amb una cultura matemàtica bàsica i una disminució de
l’assignació horària a la matèria. Hem de fer-ho millor amb menys temps!
La manca d’adequació d’algunes parts del currículum actual a l’aplicació d’una
metodologia activa, com ara, per exemple, les operacions amb radicals.
L’escassetat de materials curriculars i de recursos adequats a un ensenyament basat en
la resolució de problemes.
Dificultats per a d’avaluar els resultats en un aprenentatge més obert que valora els
processos, enfront de l’avaluació de l’aprenentatge de tècniques matemàtiques simples
que es poden descriure amb precisió i asseguren resultats visibles.
Són molts els articles en les revistes, comunicacions i taules rodones en els congressos de
didàctica de les matemàtiques en què es debat sobre quina és la metodologia més adequada
en l’ensenyament secundari: la pràctica escolar tradicional d’aplicar els continguts matemàtics
a un seguit de problemes que pertanyen al domini d’aquests continguts o bé la metodologia de
resolució de problemes, que comporta una nova organització del currículum i de l’aula.
Una gran part de les conferències i comunicacions dels congressos sobre l’ensenyament de les
matemàtiques exposen experiències didàctiques centrades en la resolució de problemes i
aporten materials curriculars atractius i de gran riquesa heurística, ja sigui pel seu lligam amb
l’entorn, o pels conceptes i procediments que se’n deriven.
37

En la major part de les taules rodones que es fan sobre quines matemàtiques cal ensenyar en
l’ensenyament secundari obligatori, on intervenen pedagogs, tots els participants estan
d’acord que cal que la població adquireixi l’anomenat pensament matemàtic per tal que pugui
fer una lectura matemàtica del seu entorn i abominen d’un ensenyament excessivament teòric
i buit de continguts significatius. De vegades s’oblida que el pensament matemàtic requereix
un grau de capacitat d’abstracció i que ensenyar i aprendre aquesta capacitat ja sigui per
mètodes actius o per mètodes tradicionals requereix un esforç i una maduresa intel·lectual de
l’alumnat que, per diferents factors, és difícil d’aconseguir en l’ampli ventall de tipologies
que trobem a les aules.
La realitat és que les matemàtiques teòriques, compostes de definicions i demostracions, són
percebudes pels alumnes com la part de l’assignatura que corre a càrrec del professorat i les
valoren en la mesura que els donen receptes per a resoldre els exercicis, que és l’activitat en
què ells participen. La constatació que els alumnes no escolten ni participen en les
explicacions teòriques fa que en les classes de matemàtiques les activitats d’aplicació cada
vegada ocupi un espai més important. Això comporta que el professorat cerqui, cada vegada
més, mecanismes heurístics per a introduir els aspectes conceptuals que està interessat a
transmetre.
També el fet de tenir a l’abast calculadores i suports informàtics per a la resolució
d’algoritmes poc formatius, com ara les llargues operacions amb decimals, l’aproximació
d’arrels o el càlcul de paràmetres estadístics, permet una major dedicació als problemes més
rics en continguts que els típics exercicis d’aplicació d’algoritmes.
En la pràctica quotidiana de l’ensenyament de les matemàtiques a secundària, tret dels
departaments de matemàtiques que han fet l’opció més radical d’aplicar la metodologia de
resolució de problemes amb la consegüent adaptació del currículum, es van incorporant
elements innovadors, com són les activitats matemàtiques més obertes i significatives per la
seva relació amb l’entorn. De vegades aquestes activitats formen part d’un crèdit variable de
resolució de problemes, a Catalunya; o del Taller de resolución de problemas, en les
comunitats que es regeixen pel currículum de secundària del Ministerio de .Educación y
Ciencia. Altres vegades s’utilitzen en les parts de la matèria, com l’estadística, que, pel seus
continguts, són més adequades per al plantejament de problemes situats en contextos reals.
També en les activitats multidisciplinàries que, sota un tema monogràfic, constitueixen els
Crèdits de Síntesi que prepara l’equip de professors de cada Centre, sovint des de l’àrea de
38

matemàtiques apareixen dificultats per a relacionar els temes programats amb la nostra
matèria, sobretot si aquestes activitats impliquen sortides fora del Centre, de manera que
l’aportació des de l’àrea queda relegada a un paper purament instrumental d’altres matèries.
En aquest àmbit també ha calgut fer un esforç d’elaboració d’activitats matemàtiques
relacionades amb l’entorn.
Sigui com sigui la manera com cada centre introdueix les activitats matemàtiques en
contextos significatius, resulta indispensable disposar d’un bon conjunt de materials i
propostes, que normalment no es troben en els llibres de text, per tal de poder escollir les
pràctiques o recursos més adequats a la tipologia de l’alumnat, a la part de la matèria que
s’està treballant i a l’organització del currículum del centre.
Les activitats matemàtiques que es proposen en aquest treball responen a aquesta necessitat
d’augmentar el conjunt de materials i recursos pedagògics per a l’ensenyament de les
matemàtiques al nivell de secundària i de donar a l’alumne una visió de les matemàtiques com
a ciència integrada al conjunt de coneixements i realitzacions humanes.
Les activitats estan presentades en forma d’exercicis amb enunciats detallats i seqüenciats que
tenen com a objectiu aplicar procediments matemàtics coneguts per l’alumne a objectes
històrics i artístics, arquitectònics o urbanístics amb la finalitat d’interpretar i augmentar el
coneixement general de l’objecte des d’un punt de vista matemàtic.
S’ha intentat que cada activitat contingui des d’exercicis que requereixin habilitats
relacionades amb la manipulació de l’objecte, com ara mesurar, dibuixar i comptar, fins a
exercicis que requereixen un pensament formal més elaborat, com ara, establir relacions
algebraiques i demostrar, mirant de crear situacions d’aprenentatge que puguin satisfer les
necessitats de gran part de l’alumnat.
Les activitats estan relacionades amb visites a diferents indrets de Catalunya, alguns dels
quals també visitats en sortides pedagògiques relacionades amb altres matèries, i s’hi posen de
manifest els aspectes que impliquin una feina matemàtica. Ressaltar els possibles elements
matemàtics que formen part d’algunes obres arquitectòniques, artístiques o urbanístiques
permet entendre les matemàtiques com un codi més per a poder interpretar l’entorn i alhora
pot constituir un al·licient perquè l’alumne s’interessi per la teoria matemàtica subjacent.
En aquests moments els professors i les professores de secundària ens trobem davant de
situacions problemàtiques noves, degudes tant al canvi del sistema educatiu com al canvi
39

cultural i tecnològic de la societat. Disposar de recursos pedagògics que permetin diversificar
les activitats en l’aprenentatge de les matèries pot ajudar a afrontar aquestes dificultats.
És cert que la nostra és una matèria que no necessita experimentació empírica ni habilitats
manipulatives, però si que requereix una bona dosis d’imaginació i de capacitat d’abstracció.
Tenir models materials de l’entorn físic que suggereixin alguna activitat matemàtica que
serveixi d’introducció en algun camp nou o d’il·lustració d’algun tema ja tractat des d’un punt
de vista més teòric pot ajudar l’alumne en l’adquisició d’aquestes habilitats i contribuir a
millorar l’aprenentatge d’aquesta matèria.
40

Els referents de l’entorn
La relació d’objectes i fenòmens urbanístics, arquitectònics i històrics estudiats es troba
agrupada en blocs temàtics corresponents a cada un dels capítols del treball que es presenta
després d’aquesta Introducció.
1. Introducció a la teoria de grafs
Els Jardins del Laberint d’Horta de Barcelona
Una ruta per uns carrers de Barcelona
Les vies ràpides de Barcelona
La xarxa ferroviària de la província de Lleida
2. Proporcions geomètriques en les finestres gòtiques
Església de Santa Maria del Mar de Barcelona
3. Les proporcions en l’arquitectura
El temple romà de Barcelona
4. Disseny i superfície d’edificis de plantes simètriques
La vil·la romana de Centcelles (Constantí)
5. Els quadrats màgics
La Sagrada Família de Barcelona
6. Els rosetons i els grups de simetria
Logotips urbans
Rosetó i claustre de la Catedral de Barcelona i rosetó de Santa Maria del Mar
41

Rosetó i claustre de la Seu Vella de Lleida
Rosetó i claustre de la Catedral de Tarragona
7. Els frisos i les sanefes
La porta dels Fillols de la Seu Vella de Lleida
Un edifici curiós de l carrer Pompeu Fabra a Girona
8. Els mosaics periòdics
Les rajoles del Passeig de Gràcia de Barcelona
Mosaics del Museu de la Ceràmica de Barcelona
Mosaics del Museu d’Art de Girona
Mosaics hidràulics de començaments de segle
42

9. Càlcul de dimensions i de materials
Pavelló Mies van der Rohe de Barcelona
10. Pesos i mesures tradicionals. Implantació del S. M. D.
Mercat setmanal de Balaguer
Museu Comarcal de Balaguer
Un camp de conreu a Balaguer
11. Les mesures tradicionals agràries
Museu del gra i de la pagesia de Cervera (Lleida)
12. El naixement del metre i altres problemes relacionats amb la mesura
Monument a la mesura del meridià de la Plaça de les Glòries de Barcelona
Monument commemoratiu de la triangulació de Merchain al peu de la Torre del Rellotge
del Moll dels Pescadors a la Barceloneta
43

Estructura dels capítols
Cada una d’aquestes unitats temàtiques ve estructurada de la forma següent:
1. Fitxa per al professorat. S’hi especifica:
1.1. El nivell de secundària a què està adreçat.
1.2. Els coneixements previs que ha de tenir l’alumnat per a poder realitzar els
diferents exercicis que componen la pràctica.
1.3. Els objectius didàctics que descriuen les capacitats que l’alumnat
adquireix, practica o reforça amb la realització de l’activitat.
1.4. El potencial multidisciplinar, és a dir, la interrelació amb els continguts de
les altres àrees.
1.5. Les orientacions didàctiques, que donen suggeriments i orientacions per a
la realització d’alguns dels exercicis que componen la pràctica.
1.6. Les característiques de la sortida matemàtica: adreça, mitjans de transport i
com concertar, si escau, la visita en grup.
1.7. La relació del material gràfic (plànols, il·lustracions, etc.), juntament amb
la seva procedència.
2. Material per a l’alumnat. Consta d’exercicis i petites explicacions teòriques que
hauria de tenir cada alumne per a la correcta realització de l’activitat. Dins de cada
unitat temàtica els exercicis són de tipologia diferent.
Observació de l’objecte, per a la qual cosa és indispensable la presència física de
l’alumne per a poder fer fotografies, mesures, croquis o apunts de dades.
L’alumne ha de prendre decisions, com ara quines són les característiques més
rellevants per a allò que es vol estudiar, quins instruments o unitats de mesura
són més adequats, etc.
Plantejament i resolució del problema resolt en l’obra estudiada i plantejament
de problemes similars seguint el mateix model de resolució del problema inicial.
Introducció, si escau, al contingut conceptual matemàtic treballat. Els conceptes
matemàtics utilitzats poden servir d’introducció a temes nous o de reforçament
de temes ja coneguts per l’alumnat.
Resolució de problemes més avançats dins d’aquest marc conceptual.
44

El material dirigit a l’alumne es presenta, doncs, estructurat en una sèrie de tasques
esglaonades per nivells d’abstracció. Les activitats matemàtiques proposades de bon
començament requereixen bàsicament habilitat manipulativa i capacitat
d’observació. Les tasques del bloc que venen a continuació comporten l’adquisició
d’uns procediments matemàtics aplicats en l’obra estudiada i la seva aplicació en
problemes que tinguin un mateix mètode de resolució. Més endavant es troba la part
de formalització teòrica dels procediments que ja s’han aplicat. Els exercicis finals
són l’aplicació dels continguts conceptuals adquirits a altres tipus de problemes. Les
tasques així estratificades permeten atendre la diversitat de l’alumnat, ja que, encara
que els quatre blocs estan encadenats, es poden anar realitzant seqüencialment,
cobrint les expectatives dels alumnes, des dels que necessitaran en el seu futur
professional una visió de les matemàtiques més connectada amb la vida diària i amb
les aplicacions pràctiques d’aquesta ciència fins als que estiguin interessats a
millorar la seva preparació per a poder continuar estudis matemàtics superiors.
3. Referències bibliogràfiques. Adreçada tant als professors com als alumnes, la
bibliografia reuneix dos aspectes: material sobre l’obra estudiada des del punt de
vista humanístic i tècnic; i material sobre el bloc temàtic estudiat des d’un punt de
vista didàctic, fent referència a articles de revistes especialitzades en l’ensenyament
de les matemàtiques i de les ciències en general que hagin tocat aquest tema des
d’un punt de vista innovador.
4. Exercicis resolts. La major part dels exercicis de cada pràctica estan resolts de
manera molt esquemàtica al final de cada capítol només s’han deixat per resoldre
els exercicis de caràcter obert o molt repetitius.
45

Metodologia i avaluació
El professorat que vulgui portar a la pràctica alguna d’aquestes activitats ha de considerar
quina és la millor manera de fer-ho: amb els alumnes treballant en grup o individualment.
Molts educadors valoren positivament el fet de treballar les activitats matemàtiques en grups
reduïts de dos o tres alumnes. Les petites agrupacions afavoreixen la col·laboració i la
compartició de les habilitats i coneixements previs. També és bo per als alumnes amb més
dificultats ja que no han de confrontar els seus coneixements amb els de la resta de la classe
majoritàriament més avançada.
Es recomana que si es fa l’opció del treball en grup siguin grups uniformes per tal que les
aportacions de cada membre siguin de nivell semblant, de manera que s’estimulin mútuament
en la realització de la feina i no es provoquin situacions d’abandó de la tasca, de parasitisme o
d’explotació.
Convé que l’alumnat treballi tan autònomament com sigui possible, però caldrà estar atents a
les situacions de bloqueig o de línia de treball errònia per a introduir els aclariments
col·lectius o individuals que siguin necessaris.
En els casos en què no calgui concertar la visita prèviament i el lloc sigui cèntric per als
alumnes, se’ls pot dir que aprofitin d’anar-hi pel seu compte i que facin la tasca d’observació
indicada en els exercicis.
Com tota activitat relacionada amb el treball matemàtic que es realitza en un període
determinat, aquesta ha de ser avaluable i tenir un pes en la qualificació de l’alumnat. A part de
valorar la participació i l’actitud general respecte al treball, l’alumne hauria de presentar al
final de la pràctica un dossier on constessin les dades recollides, els exercicis i els problemes
resolts i explicats donant justificacions raonades dels passos seguits. Cal tenir en compte que
no només s’hauria de valorar el fet de trobar la solució correcta, sinó també la metodologia
usada i el grau de comprensió que d’aquesta mostren les seves explicacions.
46

Bibliografia
Antibi, André. La motivación en Matemáticas:¿La del professor?¿La del alumno? Actas 9 as
J.A.E.M. Lugo, 1999
Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N. y otros (1956). La matemática: su contenido, métodos
y significado. Alianza Universidad, Madrid 1973.
Bishop, Alan J.: Equilibrando las necesidades matemáticas de la educación general con las
de la instrucción matemática de los especialistas. Revista Suma, nº27, Febrer 1998
Clements, Ken. Planteamiento y resolución de problemas. ¿Es relevante Polya para las
matemáticas escolares del siglo XXI? Revista Suma 30, Febrer 1999
Davis, Philip J. y Hersh, Reuben (1982) . Experiencia matemática. Editorial Labor,
Barcelona, 1988.
Descartes, René (1637). Discurso del método. Alianza Editorial, Madrid, 1979.
Herrero Pérez, Juan Luis, y Lorenzo Blanco, José. La invisibilidad de las matemàticas.
Revista Suma 28, Juny 1998.
Keitel, Cristine. (Educación) matemática y sentido común. Revista Suma, Febrer 1996.
Lakatos, Imre.(1976) Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático.
Alianza Universidad, Madrid, 1978.
Lorenzo Blanco, José. La resolución de problemas. Una revisión teórica. Revista Suma 21,
Febrer, 1996.
Polya, George (1957) . Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. México, 1981.
47

Rio Sánchez, José del. Aprendizaje de las Matemàticas por descubrimiento: estudio
comparado de dos metodologías. Ministerio de Educación y Ciencia. Centro de
Publicaciones, Madrid, 1991.
Vila, Antoni. La idea de problema entre l’alumnat: reflexió per a la creació d’un ambient de
resolució de problemes a l’aula. Revista Biaix, 11, Març, 1998.
1
Introducció a la teoria de grafs
El laberint d’Horta i altres aplicacions
48

1ª PART: LABERINTS I TEORIA DE GRAFS
FITXA PER AL PROFESSORAT
Nivell: Primer Cicle d’ESO.
Coneixements previs: no són necessaris, s’utilitzen tècniques elementals de recompte i
comparació de nombres.
Objectius didàctics
Orientar-se en un laberint.
Fer la representació gràfica d’un laberint i deduir-ne l’aplicabilitat de l’estratègia de la mà.
Distingir els elements fonamentals dels grafs.
Aplicar els resultats d’Euler per indicar si un graf permet un circuit eulerià.
Distingir un graf i un digraf.
Resoldre problemes d’optimització aplicant els grafs ponderats.
Potencial multidisciplinar
Les espècies vegetals del jardí botànic. (Ciències Experimentals)
L’aristocràcia de la primera meitat del segle XIX. (Àrea de Ciències Socials)
L’Arquitectura de jardins. (Ciències Socials)
Urbanisme: recorreguts òptims. (Ciències Socials)
Els políedres. (Expressió plàstica)
Orientacions didàctiques
La visita al Laberint d’Horta es pot aprofitar per mostrar com era la vida de l’aristocràcia
barcelonina a mitjans del segle XIX , així com comentar dades històriques com la placa
commemorativa de la visita dels reis d’Espanya als jardins.
Els laberints constitueixen espais que han exercit una forta atracció en la història de la
humanitat. És bo aprofitar l’existència d’un jardí d’aquest tipus a Barcelona per combinar
l’aspecte lúdic que pot tenir la seva visita per introduir la teoria de grafs que en els últims
temps s’ha mostrat molt potent en la resolució de problemes que pertanyen a diferents
branques de la matemàtica.
La visita al laberint és indispensable per a la realització de l’exercici 1. Es pot demanar a
l’alumnat que es situï en la terrassa superior, des d’on es té una vista elevada del laberint i
que comprovin que el plànol de la làmina 3 s’ajusta a la realitat.
En l’exercici 5 es treballa amb els típics laberints que es poden trobar en les publicacions
de passatemps, es pot animar a l’alumnat perquè en busqui d’altres i també perquè
n’inventi.
49

En els exercicis 9, 11, 13, 14 , 15, 16 i 17 convé que aprenguin a utilitzar adequadament
els conceptes que s’han introduït: ordre d’un graf, grau dels vèrtexs, recorregut, circuit i
cicle, així com diferenciar els grafs dels digrafs.
En els exercicis 18 i 19 utilitzem els grafs per a la resolució de problemes d’optimització
del cost d’una obra real. La senzillesa dels dos algorismes de resolució poden servir per
introduir la idea d’algorisme. L’exercici 19 referent a la xarxa ferroviària entre les capitals
de comarca de la província de Lleida es pot plantejar amb les distàncies entre les capitals
de comarca de les altres tres províncies.
La visita al Laberint d’Horta
Adreça:
Parc del Laberint d’Horta
Carrer dels Germans
08035 Barcelona
Mitjans de transport: Autobusos 27, 60, 73, 76 i 85.
Per concertar la visita cal adreçar-se a:
Institut Municipal de Parcs i Jardins
Av. Marqués de Comillas 16-36
Parc de Montjuïc
08038 Barcelona
Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 93 428 25 00
De cara a la conservació dels elements vegetals i arquitectònics del conjunt, el nombre de
visitants està limitat, per tant, és convenient concertar la visita amb antelació. També convé
demanar si l’espai del laberint és obert ja que de vegades en els mesos d’hivern roman tancat
per la restauració de les bardisses que constitueixen els murs del laberint.
Material gràfic:
Laberint de Chevening de l’article de Walker, J,J. Como cruzar un laberinto sin perderse ni
aturdirse. Investigación y Ciencia. Febrero, 1987
Laberint II de la Làmina 4 del llibre de David Beergamine, Les Mathématiques. Colections
Life, 1965
Plànol del laberint de Versalles del llibre de Santarcangeli, Paolo El libro de los laberintos.
Ediciones Siruela S. A. Madrid, 1997.
El plànol del repartidor: Fragment del plànol de Barcelona de Michelin, 2000
El plànol de les rondes de Barcelona de la Guia Municipal de Barcelona. Ajuntament de
Barcelona, 1995
50

2ª PART: ESTUDI MATRICIAL D’UN GRAF. FÓRMULA D’EULER
FITXA PER AL PROFESSORAT
Nivell: Treball de recerca de Batxillerat.
Coneixements previs: Matrius i composició de matrius.
Objectius didàctics
Interpretar la matriu d’un graf i d’un digraf.
Interpretar les potències de la matriu associada a un graf o a un digraf.
Trobar el graf pla d’un políedre.
Demostrar per inducció la fórmula d’Euler.
Demostrar que només hi ha cinc políedres regulars.
Orientacions didàctiques
Els alumnes i les alumnes de Batxillerat han de realitzar tota la primera part del treball
com a introducció als conceptes fonamentals de la teoria de grafs. Els primers exercicis
referents als laberints no són indispensables pels dos objectius marcats en aquest nivell:
il·lustra un exemple d’aplicació del càlcul matricial i introduir la demostració per inducció.
De tota manera treballar els laberints són un tema engrescador per a tot tipus d’alumnat.
Per a fer la representació plana del graf d’un políedre ha de treballar amb la projecció
estereogràfica, cal tenir en compte que segons el grau de coneixements de geometria de
l’espai i de dibuix tècnic alguns alumnes poden tenir dificultats en visualitzar aquesta
projecció.
Per a la resolució de l’exercici 13, on s’introdueix la idea d’anar afegint una aresta a un
graf planar que satisfà la fórmula d’Euler, es pot utilitzar paper transparent amb una aresta
dibuixada i anar superposant-la en les diferents posicions que s’indiquen en cada apartat.
Convé tenir cura en esgotar tots els casos possibles en que el nombre de vèrtexs, arestes i
cares queda modificat.
Encara que la demostració per inducció de la fórmula d’Euler aplicada als grafs planars
que donem no és del tot formal creiem que es útil per a la introducció d’aquest tipus de
demostració d’una forma constructiva.
L’aplicació de la fórmula d’Euler per a la demostració de l’existència d’exactament cinc
políedres regulars requereix una certa agilitat en el maneig del llenguatge algebraic i de les
desigualtats.
51

Exercici 1
MATERIAL PER A L’ALUMNAT
Estratègies per recórrer un laberint: Regla de la mà dreta (esquerra)
El parc del laberint d’Horta es va començar a construir l’any 1791, quan el marqués de Llupià
va decidir fer un jardí d’esbarjo en la seva finca, situada en aquells temps molt a les afores de
Barcelona. El Laberint centra la composició del conjunt i constitueix el principal atractiu del
jardí des del moment de la seva construcció.
Anem a recórrer el laberint d’Horta seguint una estratègia determinada.
Anomenem vèrtexs als punts de l’entrada, del final, els punts on el laberint es ramifica i on els
camins moren.
L’estratègia consisteix en:
– Triem la direcció dreta (o esquerra) en cada vèrtex on els camins es ramifiquen.
– Si arribem a un vèrtex on el camí mor, tornem al vèrtex anterior i prenem el
camí de la dreta (esquerra) següent.
Recórrer el laberint d’Horta des de l’entrada fins a l’estàtua d’Eros i sortir per l’estany.
Els alumnes i les alumnes es poden dividir en grups de manera que la meitat dels grups
circuli seguint la direcció dreta i l’altra meitat ho faci seguint la direcció esquerra. Els grups
haurien de sortir en intervals de dos minuts.
Exercici 2
Laberint de Chevening (1820, contat de Kent, Gran Bretanya)
Observant el plànol del laberint de Chevening (Làmina 1), escriviu els dos recorreguts que
resulten d’aplicar la regla anterior i que es corresponen a cada una de les direccions: dreta o
esquerra.
Per indicar els dos itineraris escriurem la seqüència de vèrtexs pels que passem i que estan
numerats en el plànol.
52

11
8
PLÀNOL DEL LABERINT DE CHEVENING
2
10
13
17
3
7
6
18
Làmina 1
1
1
14
16
15
5
53
12
4
9

Representació gràfica d’un laberint
Per representar gràficament un laberint indicarem sobre l’esquema cada vèrtex amb un
número, desprès representarem els camins que uneixen els vèrtexs per línies, mantenint
l’ordre relatiu entre elles, és a dir, en cada vèrtex les línies que representen els camins que hi
conflueixen les col·locarem en el mateix ordre i sentit que indica el plànol.
En la làmina 2 pots trobar la representació gràfica del laberint de Chevening .
Exercici 3
Observeu la làmina 2 i resol les qüestions següents
a) Comproveu en el vèrtex 6, on hi conflueixen 4 camins, que es manté l’ordre relatiu entre
ells.
b) Sobre la representació gràfica senyaleu els itineraris de la mà dreta i la mà esquerra en dos
colors diferents.
c) Escriviu la seqüència de nombres corresponen a un itinerari que resolgui el laberint.
Marqueu-lo en un color diferent sobre l’original.
Exercici 4
A partir del plànol del laberint d’Horta (Làmina 3):
a) Numereu els vèrtexs del laberint i feu-ne la representació gràfica.
b) Indiqueu els itineraris de la mà dreta i de la mà esquerra en l’esquema que heu obtingut.
Exercici 5
a) Numereu els vèrtexs del dos laberints de la làmina 4 i feu-ne la representació gràfica.
b) Indiqueu els itineraris de la mà dreta i de la mà esquerra en cada un dels esquemes que
heu obtingut. Es pot aplicar l’estratègia de la mà?
54

1
Làmina 2
REPRESENTACIÓ GRÀFICA DEL LABERINT DE CHEVENING
2
3
6
4
10
7
5 12 18
15
14
16
8
17
13
11
9
55

EL PLÀNOL DEL LABERINT D’HORTA

Làmina 3
78

Laberint I
PLÀNOLS DE LABERINTS
M
79
Entrada

Laberint II
Làmina 4
80

Aplicabilitat de l’estratègia de la mà
Quan al recórrer un laberint passant per camins diferents ens tornem a trobar en un
vèrtex pel qual ja hi havíem passat aleshores hem fet una ruta tancada que ens ha portat
a un lloc que ja havíem visitat. Una ruta tancada en un laberint determina una illa de
murs del laberint no connectada amb els altres murs. La seqüència de la ma dreta en el
laberint de Chevening és 1-2-3-4-14-13-9-11-8-10-2-1 és una ruta tancada i determina
una illa de murs a l’entorn de la meta.
Les estratègies de la mà dreta i de la mà esquerra fallaran només en el cas que hi hagi
una ruta tancada al voltant de la meta del laberint.
La meta M està rodejada pels murs de l’illa, llavors quan seguim l’estratègia de la mà
dreta la meta sempre ens queda a mà esquerra, i quan seguim l’estratègia de la mà
esquerra, la meta ens queda a mà dreta.
Esquemàticament ho podem representar de la manera següent:
E A
B
M
E = entrada
A i B = vèrtexs que determinen una illa al voltant de M
Ruta de la mà dreta: E – A – B – A – E
Ruta de la mà esquerra: E – A – B – A – E
I per tant, no arribem mai a M!
81

En canvi, si l’illa de murs no conté a M, s’arriba al final ja que la meta no està rodejada
pels murs de l’illa.
E
Ruta de la ma dreta (esquerra): E – A – B – M
En aquest cas, sí que arribem a la meta!
A
82
B
M

Exercici 6
a) Sobre la representació gràfica del laberint de Chevening marqueu en un color
diferent als que heu utilitzat abans l’illa que tanca la meta. Marqueu la mateixa illa
en l’original. On et sembla que és més fàcil de detectar aquesta ruta tancada ?
b) Sobre les representacions gràfiques dels altres tres laberints marqueu totes les illes
de murs. En algun d’ells, hi ha alguna illa de murs que tanqui a la meta?
c) En quins dels quatre laberints arribarem a la meta aplicant l’estratègia de la mà? Per
què?
Exercici 7
Si considerem que el recorregut òptim per a recórrer un laberint des de l’entrada fins a
la meta és el que passa pel menor nombre de vèrtexs, indiqueu en cada un dels quatre
laberints quin és aquest recorregut.
Exercici 8
Laberint de Versalles
El laberint de Versalles (Làmina 5) construït a finals del segle XVII tenia dues
entrades i el seu traçat intercalava trams rectes i curvilinis. Estava decorat amb grups
escultòrics i tenia un complicat sistema de regadiu. El laberint va ser destruït en 1775.
Les dues entrades del laberint estan situades a la part superior del plànol i la sortida en
la part inferior.
a) Numereu els vèrtexs on hi conflueixin més d’un camí i feu la representació gràfica
d’aquest laberint.
b) Digueu si es pot arribar a la sortida des de cada una de les entrades seguint
l’estratègia de la mà. Indiqueu-ne els recorreguts en cada cas.
c) Indiqueu el recorregut òptim per sortir del laberint.
83

PLÀNOL DEL LABERINT DE VERSALLES
84

Làmina 5
86

Els grafs
En una primera aproximació els grafs són simples esquemes gràfics constituïts per
punts i línies que uneixen aquests punts.
Les nostres representacions gràfiques dels laberints són exemples de grafs. La seva
utilització ens ha permès veure l’existència de rutes tancades que no ens deixen arribar a
la meta aplicant l’estratègia de la mà i també els recorreguts òptims per anar des de
l’entrada fins a la meta.
Els grafs no només s’apliquen a l’estudi dels laberints sinó per resoldre problemes
diferents de matemàtiques, enginyeria, urbanisme, etc. ja que permeten unificar i aplicar
les mateixes estratègies a problemes d’aparença molt diversa, com veurem a
continuació.
Abans de passar a resoldre problemes donarem una sèrie de terminologia que
utilitzarem per anomenar diferents elements i conceptes relatius als grafs.
Definicions
Els punts del graf s’anomenen vèrtexs i les línies que uneixen dos punts s’anomenen
arestes.
L’ordre d’un graf és igual al nombre de vèrtexs. Exemples: el graf del laberint de
Chevening és d’ordre 18.
Un recorregut és una seqüència de vèrtexs units per arestes. Les respostes a l’exercici 2
són recorreguts del graf.
Un circuit és un recorregut tancat (comença i acaba en el mateix vèrtex) on les arestes
no es repeteixen. El laberint de Chevening conté un circuit que ens impedeix arribar a la
meta seguint l’estratègia de la mà.
Un cicle és un circuit on els vèrtexs no es repeteixen.
Un graf és connex si totes les parelles possibles de vèrtexs estan connectades per una
aresta com a mínim.
Exercici 9
Preneu un mapa de carreteres on apareguin les quatre capitals de província de Catalunya
i fixeu-se en les carreteres principals que les comuniquen entre elles: la N-II que passa
per Lleida – Barcelona – Girona, la N-240 que va de Lleida a Tarragona, la N-340 de
87

Tarragona a Barcelona, l’Eix Transversal que va de Cervera a Girona i serveix per
comunicar Lleida amb Girona.
a) Dibuixeu un graf on es representi de manera esquemàtica les quatre capitals i les
principals carreteres que les comuniquen entre elles.
b) Els punts que representen les quatre capitals i els encreuaments de carreteres
diferents són els vèrtexs del graf. Quin és l’ordre del graf?
c) Indiqueu dos recorreguts diferents que passin per les quatre capitals.
d) Indiqueu dos cicles del graf.
88

Exercici 10
APLICACIONS DE LA TEORIA DE GRAFS
En quins dels grafs següents es pot proposar un recorregut que passi per totes les arestes
una sola vegada i torni al punt de partida? Proveu-ho per tempteig.
Exercici 11
a
Els ponts de Königsberg
En el segle XVIII la ciutat de Königsberg (l’actual Kaliningrado, Lituania) estava
dividida pel riu Pregel en quatre parts unides per set ponts tal com indica el dibuix:
1
3
El repte és trobar una ruta que recorri els set ponts, una vegada solament, i que acabi en
el punt de partida.
2
b
89
4
c

El matemàtic Leonard Euler (1707-1783) va resoldre el problema en un article publicat
a l’any 1736, la manera de fer-ho ha passat a la història com el primer cop en què
apareix la teoria de grafs en la resolució d’un problema de matemàtiques.
Euler va representar el mapa anterior mitjançant un graf on els vèrtexs indiquen les
diferents regions de terra separades per l’aigua del riu i les arestes representen els set
ponts.
1
3
2
90
4

Anomenarem grau d’un vèrtex al nombre d’arestes que el tenen per extrem. A les rutes
que segueixen les condicions del problema les anomenarem circuits eulerians.
Euler va raonar de la manera següent: per poder arribar a un vèrtex del graf i poder
sortir-ne el grau del vèrtex ha de ser parell ja que per cada aresta emprada per arribar-hi
se’n necessita una altra per sortir-ne. En el cas que un vèrtex tingui grau senar podrem
arribar i sortir del vèrtex un nombre de vegades igual al nombre de parelles d’arestes
diferents que vagin a parar a ell i sempre ens quedarà una aresta per recórrer. D’aquí va
deduir les conclusions següents:
Si tots els vèrtex tenen grau parell es pot trobar rutes que compleixin les condicions
començant des de qualsevol punt (circuit eulerià).
En el cas que hi hagi exactament dos vèrtexs de grau senar podem trobar una ruta
que comenci per un d’aquests dos vèrtexs i que passant per totes les arestes acabi en
l’altre vèrtex de grau senar (recorregut eulerià).
Si el nombre de vèrtexs de grau senar és més gran que 2 aleshores el graf no té cap
circuit, ni cap recorregut eulerià.
Fixeu-vos que eulerià en el cas dels grafs vol dir que el recorregut passa per totes les
arestes.
I ara, contesteu la pregunta: És possible fer un circuit eulerià pels set ponts de
Königsberg?
Exercici 12
Resoleu l’exercici 10 utilitzant els resultats d’Euler.
Exercici 13
A un repartidor de propaganda que va per les cases deixant papers a les bústies li han
tocat els carrers següents de la ciutat de Barcelona, representats en el plànol de la làmina
6: Sant Antoni Maria Claret, Cartagena, Marina, Avinguda Gaudí, Gran Via i Avinguda
Meridiana, en els trams que uneixen els llocs següents: Metro Sagrera, Hospital de Sant
Pau, església de la Sagrada Família, plaça de braus Monumental i plaça de les Glòries.
El repartidor arriba a la feina amb metro, fa el recorregut a peu, i se’n torna a casa seva
en metro. Tots els llocs anteriors tenen una parada de metro del mateix nom a prop.
91

És una bona idea intentar començar i acabar pel metro de Sagrera?
Quin metro li convé agafar per començar el recorregut i quin per tornar a casa seva per
tal de no passar dues vegades pel mateix carrer?
Exercici 14
Tornem al graf de les carreteres del exercici 9.
a) Es pot fer un circuit eulerià per aquestes carreteres? En cas afirmatiu escriviu-lo.
b) Es pot fer un recorregut eulerià? En cas afirmatiu escriviu-lo.
92

PLÀNOL DEL REPARTIDOR
93

Làmina 6
94

Exercici 15
Aplicant els resultats d’Euler responeu les qüestions següents:
a) Es pot construir una piràmide quadrada amb filferro sense haver de tallar i
enganxar?
b) Els políedres regulars són cossos que tenen les cares formades per polígons regulars
iguals i en cada vèrtex concorren el mateix nombre de cares. Pot una formiga
passejar-se per totes les arestes d’un políedre regular sense passar dues vegades per
una mateixa aresta?
95

Grafs dirigits
De vegades ens interessa destacar el sentit de les arestes que uneixen els vèrtexs d’un
graf. Quan les línies que uneixen els vèrtexs són orientades es representen mitjançant
fletxes, aleshores diem que el graf és dirigit. Aquests tipus de grafs s’anomenen digrafs.
El grau de sortida d’un vèrtex del digraf és el nombre de fletxes que el tenen com
origen.
El grau d’entrada d’un vèrtex del digraf és el nombre de fletxes que el tenen com
extrem.
Perquè un digraf admeti un circuit eulerià ha de passar que el grau d’entrada sigui igual
al grau de sortida en tots els vèrtexs.
Exercici 16
El repartidor del Exercici 13 ha decidit fer el repartiment en bicicleta, ara, per tant,
haurà de fer atenció a les direccions de circulació dels carrers i no li serveix el graf
anterior, on els carrers estaven representats per arestes. Ara necessita una altra mena de
graf on les línies que uneixen els vèrtexs són fletxes que indiquen la direcció de
circulació. Aquesta és la representació gràfica que ha fet:
MS = Metro de Sagrera
SP = Hospital de Sant Pau
SF = Sagrada Família
PM =Plaça Monumental
GC = Plaça de les Glòries
a) Completeu la taula següent:
A. Gaudí
SF
Marina
PM
Gran Via
SP MS GC PM SF
96
SP
Cartagena
GC
Aº Mª Claret
Meridiana
MS

Grau d’entrada
Grau de sortida
b) Hi ha algun vèrtex al qual no s’arriba mai des dels carrers representats?
c) Hi ha algun circuit amb més de 2 vèrtexs?
d) Quants circuits de dos vèrtexs hi ha? Quins són?
e) Senyaleu un recorregut que passi per tots els vèrtexs del graf.
f) Senyaleu un recorregut que passi per sis de les vuit fletxes.
97

Exercici 17
Les Rondes de Barcelona
Observeu el plànol de les vies “ràpides” de Barcelona (làmina 7) : la Ronda de Dalt, la
Ronda del Litoral, la Ronda del Mig, la Diagonal, la Meridiana i la Gran Via.
Considerem que la Gran Via està connectada amb la sortida 17 i 28 de la Ronda del
Litoral i que la Ronda del Mig va de la sortida 1 a la sortida 18 de la Ronda de Dalt.
a) Dibuixeu un digraf on els vèrtexs són els punts on es creuen dues o més vies
ràpides. Heu de tenir en compte que per la Gran Via des de la Ronda del Mig fins a
la Plaça de les Glòries només es pot circular en el sentit de Llobregat a Besos. Totes
les altres vies són de doble direcció.
b) Quin és l’ordre del digraf?
c) Indiqueu dos recorreguts diferents per anar de la Plaça de les Glòries a la sortida 18
de la Ronda del Litoral.
d) Numereu els vèrtexs i escriviu una seqüència de vèrtexs que formin un cicle del
graf.
e) Escriviu una seqüència de vèrtexs que formen un circuit que no sigui un cicle del
graf.
f) Feu una taula de graus d’entrada i sortida com a l’exercici anterior.
g) Es pot fer un circuit eulerià per les vies ràpides de Barcelona. Justifiqueu la resposta.
h) Es pot fer un recorregut eulerià. Quin?
98

Les rondes de Barcelona
99
Làmina 7

Grafs ponderats
Exercici 18
A la figura següent s’il·lustra el graf de les connexions possibles entre diverses
centraletes telefòniques. Al costat de cada aresta s’indica la longitud aproximada, en
km, del cable telefònic que seria necessari per a dur a terme la connexió. Les arestes que
no apareixen al graf corresponen a connexions que es consideren inviables per motius
tècnics (dificultats del terreny, presència d’obstacles, etc.)
La companyia telefònica necessita establir una xarxa entre les centraletes de manera que
Totes les centraletes quedin connectades a la xarxa
No es produeixin cicles a la xarxa
La longitud total del cable utilitzat sigui mínima.
A
4
2
13
E
11
Per tal de decidir quines connexions cal fer, es poden 20 emprar dos mètodes:
B
Mètode 1 (Algorisme de Prim)
Es connecten les dues centraletes més properes entre elles.
Tants cops com calgui, fins a connectar totes les centraletes, es segueix el criteri
següent: de totes les arestes que connecten una centraleta nova (encara no
connectada) amb una de les ja connectades, s’afegeix a les connexions fetes la de
longitud mínima.
Mètode 2 (Algorisme de Kruskal)
Es connecten les dues centraletes més properes entre elles.
Tants cops com calgui, fins a connectar totes les centraletes, es segueix el criteri
següent: de totes les arestes que no formen un cicle amb les connexions ja fetes,
9
3
100
D
21
C

s’afegeix a les connexions fetes la que té longitud mínima encara que no connecti
amb les anteriorment connectades fins a obtenir un graf connex.
a) Apliqueu els dos mètodes anteriors al problema de la figura , completeu la taula
següent indicant-ne els resultats dibuixeu els arbres que en resulten.
:
Mètode 1 Mètode 2
aresta longitud aresta longitud
1ª connexió
2ª connexió
3ª connexió
4ª connexió
b) Són iguals els dos procediments? Donen el mateix resultat?
c) Quina és la longitud del cable necessària per a fer la connexió?
El graf d’aquest exercici té la particularitat que les seves arestes van acompanyades d’un valor numèric. Aquest
tipus de grafs s’anomenen ponderats i el nombre que acompanya a cada aresta és el pes de l’aresta.
Sovint en aquests grafs ens interessa trobar la connexió entre tots els seus vèrtexs de suma de pesos mínima de
manera que no contingui cicles. Aquesta connexió s’anomena arbre generador minimal. En l’exercici anterior hem
donat dos mètodes diferents per trobar l’arbre generador minimal d’un graf ponderat.
Exercici 19
En aquesta taula podem trobar les distàncies entre les capitals de comarca de la
província de Lleida.
101

-
Balaguer (B)
d’Urgell
Blanques
Cervera
Seu La
Borges Les
Lleida
Suert de
Mollerussa
Pont
Solsona
Sort
Tàrrega
Cervera (C)
La Seu d’Urgell (SU)
Les Borges Blanques (BB)
Lleida (Ll)
Mollerussa (M)
Pont de Suert (PS)
Solsona (Sol)
Sort (S)
Tàrrega (Ta)
45
101 113
35 46 136
27 54 128 23
21 32 132 14 18
125 170 122 144 121 139
76 54 65 100 104 86 187
101 146 54 136 128 122 68 119
34 11 135 33 44 21 159 65 135
Tremp (Tr) 57 102 98 92 84 78 65 102 44 91
Vielha (V) 165 210 162 184 161 179 40 207 108 199 105
La Generalitat de Catalunya ha decidit encarregar un estudi per tal d’unir totes aquestes
poblacions amb una xarxa ferroviària de manera que totes quedin connectades. En una
primera aproximació l’empresa encarregada de fer l’estudi només ha tingut en compte
les distàncies entre les ciutats, deixant a banda els accidents geogràfics i altres
dificultats. Per la qual cosa aquesta empresa ha elaborat l’arbre generador minimal del
graf que resulta d’unir entre si totes les capitals de comarca de Lleida.
Sense dibuixar el graf i aplicant un dels dos algoritmes anteriors dibuixeu sobre el mapa
de la província de Lleida l’arbre generador minimal .
Quants quilòmetres de via es necessiten?
102
Tremp

MAPA DE COMARQUES DE LLEIDA AMB LA CAPITAL
103

SEGON
A
PART
EXE
Pont de Suert
Lleida
Balaguer
Vielha
Tremp
Mollerussa
Les Borges
Blanques
104
Sort
Cervera
La Seu d’Urgell
Solsona
Tàrrega

Estudi matricial d’un graf
RCICIS D’AMPLIACIÓ
Objectiu: Aplicar les matrius i la seva composició a la teoria de grafs
Anomenem matriu d’un graf en que els vèrtexs estan etiquetats numèricament a:
M= a ij nombre d’arestes que van de i a j
La matriu és simètrica en el cas dels grafs.
En el cas dels digrafs el nombre d’arestes que van de i a j no té perquè coincidir, per tant
la matriu associada a un digraf no té perquè ser simètrica.
Exercici 1
Escriu la matriu del graf dels ponts de Königsberg de l’exercici 11.
Exercici 2
Escriu la matriu del digraf de l’exercici 16.
Exercici 3
0
2
La matriu d’un graf és 1
0
a) Quin és l’ordre del graf?
2
0
3
1
1
3
0
4
0
1
.
4
0
105

) Dibuixa el graf que correspon a aquesta matriu.
c) Compta el nombre d’arestes. Té alguna relació amb els termes de la matriu? Quina?
d) Compta el grau de cada vèrtex. Té alguna relació amb els termes de la matriu?
Quina?
e) Creus que admet un circuit eulerià o un recorregut eulerià? Justifica la resposta.
106

Exercici 4
0
1
La matriu d’un graf és 2
0
1
1
0
3
0
4
2
3
0
2
1
0
0
2
0
0
1
4
1
.
0
2
Sense dibuixar-lo resol les qüestions següents:
a) Completa la taula:
vèrtexs 1 2 3 4 5
grau
b) Admet un circuit eulerià. Per què?
c) Quantes arestes té el graf?
Exercici 5
0
1 0 1
2
0 2 0
La matriu d’un digraf és 0
1 0 1
2
0 2 0
a) Dibuixa el digraf que correspon a aquesta matriu.
b) Compta el nombre d’arestes. Té alguna relació amb els termes de la matriu? Quina?
c) Fes una taula amb els graus d’entrada i de sortida de cada vèrtex. Té alguna relació
amb els termes de la matriu? Quina?
d) Creus que admet un circuit eulerià? Justifica la resposta
107

Composició de matrius
Donada las matriu quadrada M d’un graf al calcular M 2 obtindrem una matriu en que
cada terme a ij és igual al nombre de camins diferents de longitud 2, és a dir, formats per
dues arestes que uneixen i amb j.
Exemple: Donat el graf de la figura
La matriu del graf és:
tenim
0
2
1
2
0
0
1 2
1
0
0
i
5
0 0
2
M 0
0 2
. Si analitzem els seus termes
0
2 1
a 11 = 0·0 + 2·2 + 1·1 = 5
arestes de 1 a 1 · arestes de 1 a 1
Camins de longitud
2 que van de 1 a 1
passant per 1
En resum, a 11 5 és el nombre de camins de longitud 2 que van de 1 a 1.
3
arestes de 1 a 2 · arestes de 2 a 1 arestes de 1 a 3 · arestes de 3 a 1
Camins de longitud 2 que
van de 1 a 1 passant per 2
108
Camins de longitud
2 que van de 1 a 1
passant per 3

En general, els termes ij a de Mn , on M és la matriu d’un graf, són iguals al nombre de
camins de longitud n que van de i a j.
Exercici 6
Calcula M 2 de la matriu del graf dels ponts de Königsberg
a) Descriu el significat del terme a34 de la matriu M 2 .
b) Descriu els camins de longitud 2 que van de 1 a 4.
Exercici 7
Calcula M 2 de la matriu del digraf del exercici 16 (el repartidor en bicicleta)
a) Descriu el significat del terme a53 de la matriu M 2 .
b) Descriu els recorreguts de longitud 2 que van de la Plaça Monumental a Sant Pau.
A quin terme de la matriu M 2 correspon?
109

Graf planar d’un políedre. Fórmula d’Euler.
Objectiu: Demostrar la fórmula d’Euler que relaciona el nombre de vèrtexs, de cares i
d’arestes d’un políedre.
Exercici 8
Quan es tracta de conduir sobre edificis cables elèctrics o conduccions d’aigua i d’altra
mena, es convenient, per tal de prevenir perills, evitar que es superposin. Llavors els
edificis-vèrtexs i els conductors-arestes han de forma un graf on les arestes només es
tallin en els vèrtexs.
Suposem que a tres cases: X, Y i Z hi ha d’arribar el gas, l’electricitat i l’aigua des de
tres punts de subministrament: G, E i A. Intenta dibuixar el graf corresponent a les
conduccions des de G, E i A a X, Y i Z, evitant encreuaments. És possible?
Intenta-ho de manera que només hi hagi un encreuament.
Graf planar
Els grafs connexos que admeten una representació en el pla en què les arestes només es
tallen en els vèrtexs s’anomenen grafs planars. Un graf pla és la representació sense
talls d’un graf planar. En el exercici 8 buscàvem un graf planar que complís les
condicions de connexions de l’enunciat, però en aquest cas, això no és possible.
Els grafs planars es fan servir en situacions diverses. En aquest treball utilitzarem els
grafs planars per representar políedres i provar dos resultats importants:
La fórmula d’Euler
No hi ha més políedres regulars que els coneguts: el tetràedre, el cub, el octàedre, el
dodecàedre i l’icosàedre.
Per representar en forma de graf pla un políedre es pot pensar en la projecció
estereogràfica.
Exemple:
Suposem una piràmide de base quadrada inscrita en una esfera i projectem la superfície
de l’esfera en el seu pla tangent per S, on SN és un diàmetre de l’esfera:
110

D
A B
S
C
A’
Sobre el pla tangent obtindrem els punts: A’, B’, C’, D’ i S que és
comú al pla i a l’esfera. Si unim aquests punts amb les línies
corresponents a les arestes de la piràmide haurem obtingut el graf pla
següent:
D’
Aquest graf té 5 vèrtex i 8 arestes.
Les diferents regions en que les arestes d’un graf planar divideixen al pla s’anomenen
cares del graf. En el nostre exemple el pla ha quedat dividit en 5 regions diferents,
quatre limitades per les arestes del graf, es corresponen amb les cares de la piràmide que
contenen al vèrtex S, i una altra no afitada que es correspon amb la cara de la piràmide
que no conté a S. Aquest graf es pot pensar com el resultat “d’estirar” la cara ABCD de
la piràmide fins aconseguir que la piràmide quedi plana. La cara no afitada d’un graf pla
s’anomena cara de l’infinit.
D
C’
S
A’ B’
111
A
C
S
N
B
B’

Si comptem el nombre de vèrtexs, el nombre d’arestes i el nombre de cares del graf pla
veurem que coincideix amb el nombre de vèrtexs, el nombre d’arestes i el nombre de
cares de la piràmide.
En general, qualsevol políedre es pot representar com un graf pla amb el mateix nombre
de vèrtexs, arestes i cares.
Exercici 9
A partir de la seva projecció estereogràfica, intenta dibuixar un graf pla associat a cada
un dels políedres regulars.
Donem el graf del icosàedre ja que pel seu elevat nombre de cares presenta una certa
dificultat.
112

Fórmula d’Euler
En un graf planar de V vèrtexs, C cares i A arestes, es verifica:
Exercici 10
Comprova que es compleix la fórmula d’Euler en qualsevol graf planar d’ordre 2.
Per començar comprova que es compleix en el graf que té només una aresta. Afegeix
arestes al graf de manera que continuï essent pla i observa com es modifiquen els
diferents valors que intervenen en la fórmula d’Euler.
Exercici 11
Dibuixa 4 grafs planars d’ordre 3 amb diferent nombre d’arestes i comprova que es
satisfà la fórmula d’Euler
Exercici 12
Fent servir els grafs de l’exercici 9 comprova que es compleix la fórmula d’Euler en els
5 políedres regulars.
Exercici 13
Donat el graf següent:
V + C = A + 2
113

a) Comprova que es compleix la fórmula d’Euler.
Afegeix una nova aresta al graf, de manera que continuï essent planar, és a dir, connex i
sense que les arestes es tallin en punts diferents als vèrtexs. Comprova que es compleix
la fórmula d’Euler en els casos següents:
b) Al afegir l’aresta no modifiquem el nombre de vèrtexs.
c) Al afegir l’aresta augmentem en 1 el nombre de vèrtexs. En aquest cas cal veure dos
subcasos: quan el nou vèrtex pertany a l’interior d’una cara i quan el nou vèrtex és
interior a una aresta.
d) Al afegir la nova aresta augmentem en dos el nombre de vèrtexs. En aquest cas cal
veure dos subcasos: quan només un dels nou vèrtexs pertany a l’interior d’una
aresta i quan el dos nous vèrtexs són interiors a les arestes.
114

Demostració per inducció de la fórmula d’Euler
Una de les demostracions de la fórmula d’Euler és per inducció sobre el nombre
d’arestes del graf pla.
Volem veure que la fórmula es verifica per qualsevol graf pla amb:
1 aresta, 2 arestes, 3 arestes,... n arestes,.....
La demostració per inducció consisteix en veure que:
a) Es satisfà en el graf pla amb una aresta
b) Si es verifica en un graf amb n arestes aleshores al afegir una nova aresta el graf
continua satisfent la fórmula d’Euler.
Així la fórmula quedarà demostrada, ja que com que es compleix en el graf d’una
aresta i en tots els grafs que ja la satisfan al afegir una aresta continua satisfent-se
obtenim que la fórmula es compleix en tots els grafs amb:
1 aresta, 2 arestes, 3 arestes,... n arestes,.....
a) Per n = 1 la demostració és simple:
V 2
A1
V
C
3
i
C 1
A
23
V 1
A1
V
C
3
i
C 2
A
23
b) Si tenim un graf pla on es satisfà la fórmula d’Euler: V + C = A + 2 i afegim una
aresta de vèrtexs XY , de manera que el graf resultant continuï essent pla, es poden
donar casos diferents:
i) que els vèrtexs XY coincideixin amb dos vèrtexs preexistents del graf,
aleshores aquests vèrtexs formaven part d’una certa cara i obtenim:
V = no ha variat
X
A = augmenta 1
C = augmenta 1
Per tant la fórmula es compleix ja
que V+ (C +1) = (A+1) +2
Y
115

ii) el vèrtex X coincideix amb un vèrtex preexistent del graf i el vèrtex Y no. En
aquest cas hi ha dues possibilitats:
a) Y interior a una cara
b) Y interior a una aresta
a)
V = augmenta 1
X
A = augmenta 1
C = no ha variat, perquè XY no pot tallar cap altra aresta a causa de la planaritat.
b)
116
Per tant la fórmula es compleix ja
que (V+1) + C = (A + 1) + 2
V = augmenta 1
A = augmenta 2, ja que XY no pot
tallar cap altra aresta a causa de la
planaritat
C = augmenta 1
Per tant la fórmula es compleix ja
que (V+1) + C = (A + 1) + 2
iii) els vèrtexs X i Y no coincideixen amb els vèrtexs del graf i el vèrtex X és
interior a una aresta. En aquest cas també hi ha dues possibilitats:
a) Y interior a una cara
b) Y interior a una aresta
a)
b)
X
X
X
Y
Y
Y
V = augmenta 2
A = augmenta 2
C = no ha variat
Per tant la fórmula es compleix ja
que (V+2) + C = (A + 2) + 2

V = augmenta 2
A = augmenta 3
C = augmenta 1
Per tant la fórmula es compleix ja
que (V+2) + C + 1 = (A + 3) +2
iv) Cap dels dos vèrtexs X i Y pertanyen a les arestes del graf. Aquest cas no es
pot donar ja que el graf ha de ser connex.
Aplicació de la fórmula d’Euler: Quants políedres regulars hi ha?
Exercici 14
Els políedres regulars es caracteritzen per:
tenir totes les cares el mateix nombre de costats: n
els nombre d’arestes que convergeixen a cada vèrtexs és el mateix: k
X
Y
Per tant al afegir una aresta en un graf pla que compleix la fórmula d’Euler, si el graf resultant també és pla
la fórmula es continua satisfent.
Com que el graf pla d’una aresta satisfà la fórmula d’Euler, hem obtingut que un graf pla amb qualsevol
nombre d’arestes satisfà la fórmula d’Euler.
117

Escriviu el nombre de vèrtexs en funció de A i k i el nombre de cares en funció de A i n.
Escriviu la fórmula d’Euler en el cas dels políedres regulars de manera que només hi
intervingui: A, n i k.
Ara veurem quins són els possibles valors de k i n que satisfan aquesta fórmula. Els
valors de k i n determinen el políedre regular.
Si heu resolt l’exercici anterior haureu arribat a una fórmula equivalent a:
2An + 2Ak = Akn + 2kn
Igualant a 0 i traient factor comú a A:
0 = A(kn – 2n – 2k) + 2kn (*)
Com que A>0 i 2kn>0 obtenim:
kn – 2n – 2k < 0
Per tant:
(k - 2)(n – 2) – 4 < 0
D’aquí
(k - 2)(n – 2) <
Exercici 15
Fent servir la fórmula anterior respon aquestes qüestions:
a) Quins són els valors mínims de n i k.
b) Quin és el valor màxim de n.
c) Per cada valor de n dóna els valors possibles de k i esbrina de quin políedre regular
es tracta. Pot fer una taula d’aquest tipus, per completar-la has de fer servir (*):
n k A V C Nom del
políedre
118

Com que hem jugat amb tots els possibles valors de k i n, hem arribat al resultat
esperat: els únics 5 políedres regulars són els cinc coneguts: el tetràedre, l’hexàedre,
l’octàedre, el dodecàedre i el icosàedre.
BIBLIOGRAFIA
.
A.A.V.V. Els nombres i els homes, pàgs 256-262. Ed. Ulisses, Barcelona,1978
Brunat Blay, Josep Mª: Combinatòria i teoria de grafs. Edicions UPC;, Barcelona; 1996
Callejo, Mª Luz: Un club matemático para la diversidad. Narcea S.A. de Ediciones,
Madrid, 1998
Coriart, Moisés; Sancho, Juana M.; Gonzalvo, Pilar y Marín, Antonio. Nudos y nexos.
Redes en la escuela. Editorial Síntesis, Madrid, 1989
Fernández Bravo, José Antonio: Investigación sobre los mecanismos de orientación
lateral. El aprendizaje de los conceptos izquierda y derecha. Suma, nº27, Zaragoza,
1998
Menéndez Velázquez, Amador. Una breve introducción a la teoria de grafos. Suma,
nº28, Zaragoza, 1998
Moreno, Mª Rosa,. Els jardins del laberint d’Horta. Ajuntament de Barcelona
Santarcangeli, Paolo El libro de los laberintos. Ediciones Siruela S. A. Madrid, 1997.
119

Walker, J,J. Como cruzar un laberinto sin perderse ni aturdirse. Investigación y
Ciencia. Febrero, 1987
120

EXERCICIS RESOLTS
Exercici 1
L’estratègia de la mà permet arribar a la meta del laberint d’Horta. Suposem, però, que
quan arribem als arquets i veiem la meta des del sender ja hi hem arribat, és a dir que
l’últim pas el fem sense seguir l’estratègia.
Exercici 2
Mà dreta: 1 – 2 – 3 – 4 – 14 – 13 – 9 – 11 – 8 – 10 – 2 – 1
Mà esquerra: 1 – 10 – 8 – 11 – 9 – 11 – 13 – 14 – 4 – 3 – 2 – 1.
Exercici 3
En efecte, arribant des de 3 al vèrtex 4 els camins de dreta a esquerra van a parar en la
representació gràfica a 14, 5, 6, respectivament, seguint el mateix ordre relatiu que
en el pla real.
1 2 3
4
2
3
6
10
7
5 12
15
121
14
16
8
17
13
18
11
9

Itinerari de la mà dreta Itinerari de la mà esquerra
c) Itinerari que
resol el laberint:
1 – 2 – 3 – 4 – 5
– 12 – 18.
122

Exercici 4
a) Aquesta és una possible proposta de numeració:
La representació gràfica del laberint és:
123

1
8
2 3
5
6
7
9
b) Els itineraris són:
Mà dreta: 1 – 5 – 6 – 7 – 8 – 7 – 9 – 7 – 6 – 4 – 10 – 12 – 13 – 14 – 13 – 15 – 16 –
17 – 16 – 18 – 16 – 15 – 19 – 20 – 19 – 22 – 21 – 22 – 23 META
Mà esquerra: 1 – 2 – 3 – 4 – 10 – 11 – 10 – 12 – 13 – 15 – 19 – 22 – 24 – 22 – 23
META
En aquest cas l’itinerari de la mà esquerra és més curt perquè no té tants camins
sense sortida.
Exercici 5
El procediment és el mateix que en els casos anteriors. En el primer laberint
l’estratègia de la mà no és vàlida, en canvi al aplicar aquesta estratègia en el segon
laberint arribem sense cap dificultat al centre del trapezi.
Exercici 6
a)
4
11
10
12 13 15
14 16
17
124
18
19
20
22
21
24 SORTIDA
23 EROS

1 2 3
4
3
6
10
7
5 12
15
125
14
16
8
17
13
18
11
9

Seguint l’estratègia de la mà seguim itineraris externs a aquesta paret de murs que
envolta la meta en el seu interior.
11
8
2
10
13
17
3
7
6
18
126
16
14
15
5
12
4

La forma de ruta tancada al voltant del graf es reconeix més fàcilment en la
representació gràfica.
b) Per poder fer les representacions gràfiques de la làmina 4 cal numerar prèviament
cada encreuament i procedir de la mateixa manera que en el cas del Laberint de
Chevening i del Laberint d’Horta.
En el laberint d’Horta hi ha 4 illes de murs.
1
8
2 3
5
6
7
9
4
11
10
12 13 15
14 16
En el laberint I de la làmina 4 hi ha 4 illes de murs, una de elles voreja la meta.
En el laberint II de la làmina 4 hi ha 2 illes de murs, cap d’elles voreja la meta.
c) Arribarem a la meta seguint l’estratègia de la ma en el laberint d’Horta i en el
laberint II de la làmina IV, ja que no tenen illes de murs al voltant de la meta.
Exercici 7
Recorregut òptim del laberint d’Horta: 1 – 5 – 4 – 10 – 12 – 13 – 15 – 19 – 22 – 23
Recorregut òptim del laberint de Chevening: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 12 – 18.
El recorregut òptim del laberint I de la làmina 4 té cinc vèrtexs.
El recorregut òptim del laberint II de la làmina 4 té vuit vèrtexs.
No donem la seqüència de vèrtexs dels recorreguts òptims dels laberints de la làmina 4
perquè depèn de la numeració que els alumnes hagin escollit.
17
127
18
19
20
22
21
24 SORTIDA
23 EROS

128

Exercici 8
a) Una possible numeració pot ser aquesta:
E2
Una representació gràfica és:
E1
3
1
2
1
1
6
4
5
7
8
9
15
16
129
17
20
21
14
23
24
S
10
11
18
12
19
13
22

) L’estratègia de la mà és vàlida per sortir del laberint ja que de les 11 illes de murs
que hi ha, no n’hi ha cap que rodeigi la sortida. Els itineraris són:
Mà dreta, entrant per E1: 1 – 5 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 13 – 12 – 23 – 24 – Sortida
Mà dreta, entrant per E2: 3 – 2 – 1 - E1 – 1 - 5 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 13 – 12 – 23 –
24 - S
Mà esquerra, entrant per E1: 1 – 2 - 3 - E2 – 3 – 6 – 7 – 8 – 15 – 17 – 18 – 22 – 24 -
S
Mà esquerra, entrant per E2: 3 – 6 – 7 – 8 – 15 – 17 – 18 – 22 – 24 - S
c) Observant la representació gràfica del laberint i tal com hem definit el recorregut
òptim en el Laberint de Versalles té 10 vèrtexs. N’hi ha més d’un, per exemple:
1 – 5 – 7 – 8 – 9 – 10 – 12 – 23 – 24 – Sortida
3 – 6 – 7 – 8 – 15 – 17 – 18 – 22 – 24 – S, que coincideix amb el de la mà esquerra
entrant per E2.
Exercici 9
a) El graf és:
Lleida
b) L’ordre del graf és 5 perqué és igual al nombre de vèrtexs.
C
Tarragona
130
Girona
Barcelona

c) Indicant cada ciutat amb la seva inicial: G – B – T – Ll i G – B – Ll – C – T .
d) Dos cicles del graf: Ll – C – B – T – Ll i G – B – C – G.
Exercici 10
Només en el cas b no és possible fer el que demana l’exercici. Es tracta d’anar-ho
probant fins trobar la solució.
Exercici 11
No és possible fer un circuit eulerià perquè tots els vèrtexs tenen grau senar.
Exercici 12
Tant en el cas a com en el cas c tots els vèrtexs del graf són de grau parell per tant es
poden trobar circuits eulerians.
En el cas b hi ha dos vèrtexs de grau senar, per tant es pot fer un recorregut eulerià que
comenci per un dels vèrtexs de grau senar i acaba en l’altre.
Exercici 13
El graf dels carrers per on ha d’anar el repartidor és:
Essent:
P = Plaça de Toros
SP = Hospital de Sant Pau
SF = Sagrada Família
G = Plaça de les Glòries
M = Metro Sagrera
131
A. Gaudí
SF
Marina
SP
Cartagena
PM
Gran Via GC
A M Claret
MS
Meridiana

Aquest graf té dos vèrtexs de grau senar, per tant si el repartidor només vol passar una
vegada per cada carrer ha de començar el seu recorregut en un dels dos vèrtexs i acabar
en l’altre.
Com que el vèrtex M és de grau parell, no li convé començar el recorregut en el metro
de Sagrera. Li convé arribar amb el metro de Sant Pau i acabar amb el metro de Glòries,
o començar per aquest últim i acabar pel primer.
Un possible recorregut eulerià és: G – P – SF – SP – M – G – SP
Exercici 14
a) No perquè hi ha vèrtexs de grau senar.
b) Si perquè només hi ha dos vèrtexs de grau senar. Un recorregut eulerià és:
Exercici 15
C – G – B – T – Ll – C – B
a) Una piràmide es pot considerar com un conjunt de punts units per arestes, és a dir,
com un graf amb els vèrtexs i les arestes corresponents als de la piràmide. La
pregunta és equivalent a comprovar si es pot fer un recorregut eulerià en aquest graf.
La resposta és no, ja que el graf té més de dos vèrtexs de grau senar.
b) El grau dels vèrtexs d’un poliedre regular és sempre el mateix, ja que en cada vèrtex
conflueixen el mateix nombre d’arestes.
Grau del tetraedre = 3 Grau del cub = 3 Grau de l’octaedre = 4
Grau del docecaedre = 3 Grau de l’icosaedre= 5
La formiga pot fer un circuit eulerià només en el cas de l’octaedre, ja que en els
altres casos els graus dels vèrtexs són senars.
132

Exercici 16
a)
SP MS GC PM SF
Grau d’entrada 3 1 2 0 2
Grau de sortida 1 2 2 2 1
b) Al vèrtex PM (Plaça Monumental) no s’hi arriba per cap d’aquests carrers.
c) No.
d) Circuits de dos vèrtexs: SF – SP – SF i GC – MS – GC.
e) Recorregut que passa per tots els vèrtexs del digraf: PM – GC – MS – SP – SF.
f) Recorregut que passa per 6 arestes orientades: PM – GC – MS – SP – SF – SP
Exercici 17
a) Numerem els vèrtexs de la manera següent:
1 = Sortida 1 de la Ronda de Dalt, on s’uneix amb la Ronda del Mig i Av.
Meridiana.
2 = Sortida 28 de la Ronda del Litoral on s’uneix amb la Gran Via.
3 = Sortida 18 de la Ronda del Litoral on s’uneix amb la Ronda del Mig.
4 = Sortida 17 de la Ronda del Litoral on s’uneix amb la Gran Via.
5 = Sortida 11 de la Ronda de Dalt on s’uneix amb la Diagonal
6 = Creuament entre la Diagonal i la Ronda del Mig.
7 = Creuament entre Gran Via i la Ronda del Mig.
8 = Plaça de les Glòries, on es creuen la Gran Via amb la Diagonal i la Meridiana.
Una representació gràfica del dígraf és:
133

) L’ordre del dígraf és 8.
c) Dos recorreguts per anar del vèrtex 8 al vèrtex 3 són: 8 – 2 – 3 i 8 – 6 – 7 – 3.
d) Un cicle del graf: 1 – 2 – 8 – 6 – 7 – 3 – 4 – 5 – 1.
e) Un circuit que no és un cicle: 1 – 2 – 8 – 6 – 8 – 2 – 1 .
f)
4
3
5
6
7 8 2
1 2 3 4 5 6 7 8
Grau d’entrada 4 3 3 3 3 4 3 4
Grau de sortida 4 3 3 3 3 4 4 3
g) No es pot fer un circuit eulerià perquè els graus d’entrada i de sortida en tots els
vèrtexs no són iguals.
134
1

h) Es pot fer un recorregut eulerià perquè hi ha exactament dos vèrtexs del digraf
que tenen graus d’entrada i sortida diferents, amb un camí de diferència que
forçosament connecta aquests dos vèrtexs. Podrem trobar recorreguts que
comencin en el vèrtex 7 i acabin en el 8 .
Un d’aquests possibles recorreguts eulerians és:
7 – 6 – 5 – 4 – 7 – 4 – 5 – 6 – 7 – 3 – 4 – 3 – 2 – 1 – 5 – 1 – 6 – 8 – 6 – 1– 8 – 1–
2 – 8 – 2 – 3 –7 – 8
Exercici 18
a)
Mètode 1 Mètode 2
aresta longitud aresta longitud
1ª connexió AB 2 AB 2
2ª connexió AE 4 ED 3
3ª connexió ED 3 AE 4
4ª connexió AC 13 AC 13
135

A
4
2
13
B
E
b) Els dos procediments no són iguals ja que l’ordre de les connexions no és el
mateix.
El resultat és idèntic.
c) 4 + 3 + 13 + 2 = 22 km
Exercici 19
Per l’algoritme de Kruskal les arestes de l’arbre generador minimal les prendrem en
aquest ordre: Ta C =11, M BB = 14, M Ll = 18, M B =21, M Ta = 21, V PS = 40, Tr
S =44,
Sol C = 54, S SU = 54, Tr B = 57, Tr PS = 65. Els quilòmetres de via necessaris
s’obtenen sumant aquests valors i en total són 399km
3
136
D
C

Vielha
Pont de Suert Sort
Lleida
Balaguer
Mollerussa
Les Borges
Blanques
Tremp
137
Tàrrega
La Seu d’Urgell
Cervera
Solsona

Exercici 1
Recordem que el graf és:
SEGONA PART
EXERCICIS D’AMPLIACIÓ
0
2
Per tant la matriu és 2
1
2
0
0
1
2
0
0
1
1
1
1
;
0
on cada aij representa el nombre d’arestes que van de i a j.
Exercici 2
1
3
2
Si considerem que cada terme de la matriu indica el nombre d’arestes dirigides des
del vèrtex de la fila al vèrtex de la columna i posem els vèrtexs en aquest ordre
obtenim:
138
4

SF
SF 0
SP 1
MS 0
GC 0
PM
1
SP
1
0
1
1
0
MS
0
0
0
1
0
GC
on per exemple el terme a 32 =1 indica les arestes que surten de MS i van a parar a
SP.
Exercici 3
0
0
1
0
1
a) Com què la matriu és d’ordre 44, vol dir que el nombre de vèrtexs del graf és 4
i per tant l’ordre del graf és 4.
b) Com què la matriu és simètrica es pot considerar la matriu d’un graf no dirigit.
Un dibuix del graf és:
1
3
c) Al comptar el nombre d’arestes s’obté 11. Aquest nombre es pot obtenir a partir de
la matriu sumant els termes de la diagonal més els termes de la matriu que estan a un
139
PM
0
2
0
0
0
0
4

d)
de les dues bandes de la diagonal, per tal de no comptar dues vegades la mateixa
aresta.
Vèrtexs 1 2 3 4
Grau 3 6 8 5
El grau d’un vèrtex i és igual a la suma dels termes de la i-èsima fila ( columna ), ja
que aquests termes indiquen el nombre d’arestes que surten del (arriben al) vèrtex i.
e) Admet un recorregut eulerià perquè hi ha exactament dos vèrtexs de grau senar. El
recorregut ha de començar pel vèrtexs 1 i acabar en el vèrtex 4, o bé, començar en el
vèrtex 4 i acabar en el 1.
Exercici 4
a)
Vèrtexs 1 2 3 4 5
Grau 4 8 8 2 8
b) El graf admet un circuit eulerià perquè tots els vèrtexs són de grau parell.
c) Sumant tots els termes de la diagonal més els que estan situats per sobre de la
diagonal obtenim el nombre d’arestes, és a dir: 2 + 1 + 2 + 1 + 3 + 4 + 2 + 1 = 16
arestes.
Exercici 5
140

a) Un dibuix del digraf és:
b) El digraf té 12 arestes igual a la suma de tots els termes de la matriu.
c)
3
2
Vèrtex 1 2 3 4
Grau d’entrada 4 2 4 2
Grau de sortida 2 4 2 4
Grau d’entrada del vèrtex i = suma dels termes de la columna i-èsima.
Grau de sortida del vèrtex i = suma dels termes de la fila i-èsima.
d) No admet un circuit eulerià perquè hi ha vèrtexs amb els graus d’entrada i de sortida
diferents. En aquest cas tots els vèrtexs tenen graus d’entrada i sortida diferents.
1
4
141

Exercici 6
0
2
2
1
2
0
0
1
2
0
0
1
1
0
1
2
1 2
0
1
2
0
0
1
2
0
0
1
1
9
1
1
1 1
0
4
a) El terme a 34 =2 de la matriu
1
5
5
2
1
5
5
2
4
2
2
3
2
M indica que hi ha dos recorreguts diferents de dues
arestes que van del vèrtex 3 al 4. Observant el dibuix del graf podem veure que
aquests dos recorreguts són els formats per les arestes a i c, i per les arestes b i c.
b) Com què a 14 =4, això vol dir que hi ha 4 recorreguts diferents de dos arestes que van
de 1 a 4. Observant el dibuix, els quatre recorreguts són: af, bf, dg i eg.
Exercici 7
a
1
d
3
2
e
b
c
f
g
142
4

0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0 0
0 1
0 0
0 0
0
1
a) El terme a 53 = 1 de la matriu
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0 1
0 0
0 1
0 1
0
0
143
0
1
1
1
2
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
2
M indica que hi ha un recorregut de dos carrers que
va de la Plaça Monumental al Metro de Sagrera. Aquest recorregut és: Gran
Via – Meridiana.
b) El nombre de recorreguts de longitud 2 que van de la Monumental a Sant Pau es
corresponen amb el terme a 52 = 2 de la matriu
Gran Via – Cartagena i Marina- Av.Gaudí.
Exercici 8
2
M . Aquests dos recorreguts són:
No és possible dibuixar un graf amb les 9 connexions sense que les aqrestes no es tallin.
Un graf amb un únic punt de tall
pot ser:
X
A
Y
E
Z
G

Exercici 9
Exercici 10
Tetràedre
Dodecàedre
Hexàedre
144
Octàedre
Icosàedre

Farem una demostració gràfica.
Qualsevol graf planar de dos vèrtexs té com a mínim una aresta:
Si afegim una aresta obtenim:
Si afegim una altra aresta obtenim:
V= 2 A = 1 i C= 1, satisfà la fórmula
V + C = 2 + 1 = 3
A + 2 = 1 + 2 = 3
V= 2 A = 2 i C= 2, satisfà la fórmula
V + C = 2 + 2 = 4
A + 2 = 2 + 2 = 4
145
V= 2 A = 3 i C= 3, satisfà la fórmula
V + C = 2 + 3 = 5
A + 2 = 3 + 2 = 5
Cada cop que afegim una aresta, A i C augmenten en 1, aleshores els dos membres de la
igualtat augmenten en una unitat i per tant la fórmula d’Euler es continua satisfaent.
Exercici 11

Dibuixem quatre grafs plans d’ordre 3:
C = 2 i A=3
C + V = 2 + 3 = 5
A + 2 = 3 + 2 = 5
Exercici 12
C = 4 i A=5
C + V = 4 + 3 = 7
A + 2 = 5 + 2 = 7
146
C = 1 i A=2
C + V = 1 + 3 = 4
A + 2 = 2 + 2 = 4
C = 3 i A=4
C + V = 3 + 3 = 6
A + 2 = 4 + 2 = 6

C 4
Tetràedre: V 4
C V
4 4 6 2 A 2
A 6
C 6
Hexàedre: V 8 C V
6 8 12 2 A 2
A 12
C 8
Octàedre: V 6 C V
8 6 12 2 A 2
A 12
C 12
Dodecàedre: V 20
C V
12 20 30 2 A 2
A 30
C 20
Icosàedre: V 12
C V
20 12
30 2 A 2
A 30
Exercici 13
a) Comptant en el dibuix obtenim:
C 6
V 14
C V
6 14
18 2 A 2
A 18
b) Vol dir que la nova aresta uneix dos vèrtexs del graf:
147

C 7
V 14
C V
7 14
19 2 A 2
A 19
c) Cas 1: El nou vèrtexs és interior a una cara:
148

C 6
V 15
C V
6 15
19 2 A 2
A 19
Cas 2: El nou vèrtexs és interior a una aresta
C
7
V 15
C V 7 15 20 2 A 2
A 20
149

d) Cas 1: Un dels nous vèrtexs pertany a l’interior d’una aresta:
Cas 2: Els dos nous vèrtexs són interiors a les arestes:
Exercici 14
C 6
V 16
C V 6 16 20 2 A 2
A 20
C 7
V 16
C V
7 16
21
2 A 2
A 21
Al multiplicar el nombre de cares C pel nombre de costats n de cada cara comptem les
arestes dues vegades ja que cada aresta forma part de dues cares del políedre. Obtenim:
150

Cn
A ; per tant
2
151
A
C
n
2
Al multiplicar el nombre de vèrtexs V pel nombre d’arestes k que convergeixen en un
vèrtexs comptem les arestes dues vegades ja que cada aresta conté dos vèrtexs.
Obtenim2. Per tant el
valor mínim de n i k és 3.
b) Com què (k-2)(n-2)0, forçosament n-2

c) A partir dels resultats obtinguts en els anteriors apartats i considerant que (k-2)(n-
2)

2
Santa Maria del Mar i les proporcions numèriques
de les finestres gòtiques
153

Nivell: Segon Cicle d’ESO
FITXA PER AL PROFESSORAT
Coneixements previs: Teorema de Pitàgores. Manipulació del llenguatge algebraic:
quadrat d’un binomi, simplificació d’expressions, aïllament de variables. Manipulació
senzilla d’expressions amb radicals.
Objectius didàctics
Establir proporcions geomètriques.
Dibuixar esquemàticament una finestra gòtica, distingint els elements geomètrics
principals.
Interpretar geomètricament el nombre 3.
Aplicar les propietats de les circumferències tangents.
Calcular les dimensions dels elements que componen una finestra gòtica, aplicant el
Teorema de Pitàgores.
Desenvolupar i simplificar expressions algebraiques de segon grau.
Calcular una taula de dimensions d’una finestra ogival a partir de la seva amplada.
Calcular l’àrea d’una superfície curvilínia a partir de la descomposició en
superfícies d’àrea coneguda.
Potencial multidisciplinar
L’Arquitectura Gòtica (Àrea de Ciències Socials)
L’artesania medieval :els picapedrers i els vidriers. (Àrea de Ciències Socials)

Orientacions didàctiques
Els alumnes i les alumnes hauran d’identificar la finestra dels Apòstols i la de la
Mare de Déu i Sant Miquel de l’església de Santa Maria del Mar, de les quals se’ls
hi demana proporcions i superfície. També es convenient que les dibuixin
esquemàticament i que facin una estimació de dimensions a partir de l’observació.
Menys l’exercici 1 on es demana que es detectin elements de la església amb una
forma determinada, la resta d’exercicis es poden treballar tots a l’aula i a casa.
Convé, però, que l’alumnat observi atentament el calat de les finestres i la repetició
de motius perquè pugui entendre la necessitat dels artesans de l’època de tenir un
mètode geomètric per fabricar els disseny dels calats de les finestres de manera que
els diferents elements (cercles, triangles curvilinis, trilobats, etc.) tinguin cabuda
dintre de l’ogiva i poder repetir el mateix disseny en les diverses finestres.
En els exercicis del 4 al 8, es treballa amb expressions algebraiques: quadrat d’un
binomi, operacions amb monomis, etc. La utilitat de les relacions obtingudes en
aquests exercicis es justifica a l’exercici 9, on es veu com es pot dimensionar els
elements del calat a partir de l’amplada de la finestra.
La visita a l’església de Santa Maria del Mar
L’església és d’entrada lliure i està situada en la plaça de Santa Maria de Barcelona.
Transports: Parada Jaume I de la Línia IV del Metro
92

Material gràfic :
Il·lustració del calat d’una finestra gòtica del llibre de B. Bassegoda, Santa Maria de
la Mar, Llibre I.
93

MATERIAL PER A L’ALUMNAT
La Vesica Piscis i l’arquitectura gòtica
Exercici 1
Traçat de la Vesica Piscis
Traceu un cercle de radi qualsevol i de centre A. Trieu un punt qualsevol B de la
circumferència d’aquest cercle i dibuixeu un cercle amb el mateix radi i centre B. La
segona circumferència passa pel centre de la primera. La superfície on es superposen els
dos cercles s’anomena Vesica Piscis.
Aquest nom prové de la forma de bufeta que al omplir-se d’aire pren la forma d’un
peix. Aquesta construcció permet dibuixar la mediatriu d’un segment i la construcció de
triangles equilàters i veurem que apareix sovint en l’arquitectura gòtica.
Exercici 2
Observeu la làmina del calat de la finestra ogival de l’església de Santa Maria del Mar.
Com està construïda l’ogiva que emmarca aquest calat? Té alguna cosa a veure amb la
vesica piscis?
Observeu en quins elements arquitectònics exteriors i interiors a l’edifici apareix
aquesta figura geomètrica.
Exercici 3
Sabent que la superfície ACBD és una vesica piscis, responeu les qüestions següents:
94

H
C
D
a) Demostreu que el triangle ABC és equilàter.
b) Si el radi dels cercles és igual a 1, quant amida CD?
c) Si suposeu l’amplada de la finestra de Santa Maria del Mar igual a a, quant amida
l’alçada del calat de la finestra en funció de a?
d) Construïu un rectangle de manera que la proporció entre les seves dimensions sigui
igual a 3.
95
B

Làmina 1
98

Segons Dan Pedoe en el seu llibre La Geometria en el Arte l’única descripció clara dels
mètodes gòtics que ens ha arribat dóna tres normes generals en el disseny de les
esglésies:
La primera norma fixa la longitud i l’amplada de la planta de l’església mitjançant la
construcció d’un triangle equilàter sobre una base donada. La longitud queda
representada per AD i l’amplada per BC de la Vesica Piscis.
La segona norma tracta de la subdivisió del plànol de l’església en inter-columnis
iguals.
La tercera norma determina l’alçada de les diferents naus mitjançant un esquema de
triangles equilàters en la façana.
La construcció del triangle equilàter mitjançant la vesica piscis juga un paper important
tant en la primera com en la tercera norma.
A la Vesica Piscis se li dóna un significat religiós, ja que en el cristianisme el símbol
del peix representava a Crist . Podem apreciar en molts retaules gòtics la imatge del
Redemptor emplaçada en el lloc central i inscrita en la Vesica. En el Museu Nacional
d’Art de Catalunya es poden veure nombrosos retaules on la imatge de Deu o de la
Verge està posada dins d’aquesta forma de peix.
Des del punt de vista matemàtic, la Vesica Piscis està relacionada geomètricament amb
el triangle equilàter i numèricament amb el nombre irracional 3 . Però aquest no és
l’únic nombre irracional que apareix en les construccions d’aquesta època, veurem que
al resoldre problemes constructius l’aparició d’aquests nombres és inevitable.
99

La geometria en l’arquitectura gòtica és molt present en els rosetons i les finestres
ogivals, per poder decorar-les, els arquitectes del segle XIV varen demostrar una gran
habilitat a l’hora de resoldre problemes sobre cercles tangents, polígons regulars i
polígons estrellats. Ara, resoldrem un seguit d’exercicis sobre decoració de finestres
ogivals.
Cal tenir en compte que les finestres ogivals no sempre estan construïdes a partir d’una
vesica piscis, n’hi ha que són molt més allargades, cosa que vol dir que els centres dels
arcs que formen l’ogiva estan a una distància més petita que el radi.
100

Exercici 4
Primer disseny de finestra gòtica.
Dibuixeu una finestra gòtica fent la meitat d’una vesica piscis i intenteu inscriure un
cercle tangent a la base i als dos arcs de l’ogiva.
Quant val el radi del cercle en funció de l’amplitud de l’ogiva?
Exercici 5
x
Segon disseny de finestra gòtica.
Dibuixeu una finestra gòtica fent la meitat d’una vesica piscis i dibuixem dos
semicercles de radi a/4 i diàmetre sobre la base de l’ogiva, es tracta de construir un
cercle tangent als dos semicercles i als arcs de l’ogiva.
Quant val el radi del cercle en funció de l’amplitud de l’ogiva? A quina alçada respecte
la base de la finestra s’haurà de situar el centre del cercle?
r
a
101

El vitrall dels Apòstols
El vitrall dels Apòstols està situat en el segon nivell de finestres de les naus laterals,
damunt de l’entrada que dóna al carrer de Santa Maria de l’església. La finestra té
quatre cossos verticals i per això es diu que té quatre llums. Les imatges dels quatre
apòstols són disposades en un rengle ocupant cadascun tres plafons del vitrall.
El calat de la finestra és el dibuixat en la làmina 1.
Exercici 6
Observeu el disseny del calat de la finestra on hi ha el vitrall dels Apòstols. Aquest calat
està format per dos triangles curvilinis i cadascun d’ells conté tres triangles amb tres
fulletes inscrites (trilobats) en cadascun.
Feu-ne un dibuix esquemàtic on hi constin les dues ogives tangents a l’ogiva principal i
el cercle inscrit:
102

Calculeu el radi r del cercle inscrit i l’alçada x on està situat el seu centre. En funció de
l’amplada de la finestra.
Exercici 7
Vegeu quina relació hi ha entre el radi R de la
circumferència central de la finestra i el radi r de les sis
circumferències petites tangents a la gran.
Per poder resoldre aquest exercici utilitza el fet que el
radi divideix en sis parts iguals la circumferència i per
tant els triangle OAB és equilàter.
Si teniu en compte que R= a/4, quina relació hi ha
entre els radis dels cercles petits i l’amplada de la
finestra?
r
a
x
103
B
O
A

Exercici 8
Treballem ara dins dels dos arcs ogivals inscrits en l’ogiva principal.
Dibuixeu l’ogiva d’amplitud a/2 i inscriu els tres triangles curvilinis.
Dibuixeu dins del triangle curvilini el trifoli, és a dir les tres fulles en forma de Vesica
Piscis, per això dibuixeu seguint el passos següents:
Un triangle equilàter ABC i les seves mediatrius.
La mediatriu del segment AO. El triangle AMN és equilàter.
La Vesica Piscis circumscrita al triangle AMN.
a) Quant val MN en funció de AB? I en funció de l’amplitud de la finestra?
b) Compareu el resultat anterior amb el que heu trobat a l’exercici 7.
M
C
O
104

Exercici 9
Feu una taula que resumeixi els resultats obtinguts per aquesta finestra i calcula’n les
dimensions aproximant fins al centímetres si sabem que l’amplada de la finestra dels
apòstols és 2,76m :
Amplitud
finestra
Altura del
calat
3
a a
2
Exercici 10
Radi de la
rosassa
a
4
Altura del
centre de
la rosassa
105
5
4
a
Costat dels
triangles
curvilinis
a
4
Amplitud
de la fulla
del trifoli
a
12
a) Deduïu la fórmula de l’àrea de la vesica piscis de radi r.
b) Calcula l’àrea de la finestra dels Apòstols sabent que fa 7’75 m d’alçada i 2’76 m
d’amplada.
7,75

Exercici 11: el vitrall de la Mare de Déu i Sant Miquel
El vitrall de la mare de Déu i Sant Miquel es troba en el primer nivell de finestres de la
nau lateral, en la quarta capella entrant per la porta principal a mà dreta. La finestra és
de dues llums i representa sengles figures d’empeus. A l’esquerra hi ha la Mare de Déu
amb l’Infant i, a la dreta, Sant Miquel Arcàngel amb llança i escut matant el drac que té
als peus.
Calculeu l’àrea de la finestra on es troba el vitrall de la Mare de Déu i Sant Miquel
sabent que fa 7,16 m d’alçada per 1,30 d’amplada.
106

BIBLIOGRAFIA
A.A.V.V. Els nombres i els homes, pàg 158. Ed. Ulisses, Barcelona,1978
Ainaud, Joan, Escudero, Mª Assumpta i Vila-Grau, Joan Els vitralls medievals de
l’església de Santa Maria del Mar a Barcelona. Institut d’Estudis Catalans. Barcelona,
1985
Bassegoda, Bonaventura. Santa Maria de la Mar, Llibre I. Indústries Gràfiques: Fills de
J. Thomas. Barcelona, 1925
Coxeter, H. S.M. Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa. México, 1988
Lawlor, Robert. Geometría Sagrada. Ed. Debate. Madrid, 1982
Pedoe, Dan. La Geometría en el Arte. Gustavo Gili. Barcelona, 1979
Pàgines w.e.p.
http://fisopt14.uab.es/hipertext/presentació.htlm
107

EXERCICIS RESOLTS
Exercici 1
La vesica piscis és la part tramada del dibuix.
Exercici 2
Si prenem com a radi l’amplada de la finestra i com a centres els punts A i B de la
figura és fàcil comprovar amb un compàs que la finestra és igual a la meitat d’una
vesica piscis.
Tant en el exterior com en l’interior de l’església podem observar diversos arcs ojivals
propis de l’arquitectura gòtica ja siguin arcs que uneixen columnes, els arcs de les voltes
de les naus, com els arquets ogivals que decoren la façana de la basílica.
Exercici 3
a) Els tres costats són iguals al radi de les circumferències, per tant, el triangle és
equilàter.
b) Sabem AC = 1 i AH = ½; aplicant Pitàgores obtenim:
CH =
2
2 1
1
2
=
A B
3 3
; i per tant CD = 3.
4 2
2
2
a
a =
c) Alçada del calat de la finestra =
2 C
d) Circumscrivim un rectangle en la vesica piscis,
alçada del rectangle CD
obtenim:
base del rectangle AB
3
1
A B
D
108
a 3a
.
4 2
3 2

109

Per Pitàgores obtenim:
(a-x) 2 = x 2 + (a/2) 2
a 2 –2ax + x 2 = x 2 + a 2 /4
2ax = a 2 - a 2 /4
2ax = 3a 2 /4
x = 3a /8
r=3a/10
Exercici 4
Exercici 5
Aplicant Pitàgores al triangle AMO, obtenim:
x
a-r
A N
a/4
2 + (a/2) 2 = (a-r) 2
x 2 + a 2 /4= a 2 - 2ar + r 2
x 2 = r 2 –2ar + 3a 2 /4 (*)
Aplicant Pitàgores al triangle ANO, obtenim:
x 2 + (a/4) 2 = (r +a/4) 2
x 2 + a 2 /16= r 2 + 2ar/4 + a 2 /16
x 2 = r 2 + ar/2 (**)
Igualant (*) i (**) obtenim:
r 2 –2ar + 3a 2 /4 = r 2 + ar/2
simplificant i eliminant denominadors: -8ar + 3a 2 = 2ar; 10ar = 3 a 2 ;
Substituint en (**) obtenim:
2
2 3a
a 3a
x ; x
10 2 10
2 = 9a 2 /100 +3a 2 /20 ; x 2 = 9a 2 /100 +15a 2 /100; x 2 = 24a 2
/100
Simplificant: x 2 = 6a 2 /25; per tant:
x
6a
x=
5
110
a-x
a/2
O
r
x
M

Exercici 6
Aplicant Pitàgores al triangle rectangle AOM:
x 2 + (a/2) 2 = (a/2 +a/4) 2
x 2 + a 2 /4 = (3a/4) 2
x 2 + a 2 /4 = 9a 2 /16
x 2 = 9a 2 /16 - a 2 /4
x 2 = 5a 2 /16
fent l’arrel quadrada:
Exercici 7
Els centres de les
5a
x=
4
circumferències de radi r són equidistants del
centre O de la circumferència de radi R i són
equidistants entre ells, per tant existeix una
circumferència de centre O i radi R – r que passa pels
centres de les circumferències de radi r i el polígon que té
per vèrtexs aquests centres és un hexàgon regular. Tot
això ens diu que el triangle AOB és equilàter, d’aquí
obtenim:
R - r = OA = AB = 2 r
Per tant : R = 3r, i d’aquí:
r
R
3
Per altra banda R = a/ 4, per tant :
Exercici 8
1 a a
r
3 4 12
a) Per calcular x = AO cal veure en un triangle
equilàter la distancia entre els vèrtexs i el
111
A
A
a/2
M
x
a/4
N
O
x
r
M
B
O
C
D
R
B

circumcente en funció del costat AB del
triangle.
Tenim: OC = OA = x i OD = CD – OC
Sabem per l’exercici 2 que CD =
3AB
, tenim, doncs: OD =
2
112
3AB
- x
2
Com que el triangle AOD és rectangle podem aplicar
Pitàgores i obtenim:
2
2 3AB
x x
+
2
2
2
AB
2
2
2 3AB
2
AB
x x 3ABx
; d’aquí
4
4
Per altra banda
OA 1 AB AB
MN
3 3 3 3
Sabem que AB = a/4, per tant:
2
3ABx AB , i per tant
1 a a
MN
3 4 12
B
x
3
b) Comparant amb el resultat de l’exercici anterior obtenim que el radi de les petites
circumferències tangents a la rosassa i el radi dels arcs de les fulletes són iguals.

Exercici 9
Amplitud
finestra
Exercici 10
a)
A B
Altura del
calat
3
a a
2
Radi de la
rosassa
a
4
Altura del
centre de
la rosassa
113
5
4
a
Costat dels
triangles
curvilinis
a
4
Amplitud
de la fulla
del trifoli
a
12
2,76 m 2,39 m 0,69 m 1,54 m 0’69 m 0,23 m
Per tant l’àrea de la regió S és:
r
6
2 3
12
r
2
r
3r
/ 2 r
2 6
L’àrea de la vesica piscis és igual a la suma de les àrees dels dos triangles equilàters
més quatre vegades la regió S. Per tant:
2
2
2 3r
3r
4 3
àrea de la vesica piscis = 4
2
b) L’àrea de la finestra dels Apòstols és igual a l’àrea del rectangle més l’àrea de la
meitat de la vesica piscis d’amplitud 2,76 m.
altura del rectangle = 7,75 – 2,39 = 5,36 m i base = 2, 76 m
àrea del rectangle = 5,36 2,76 = 14,7936 m 2
12
4
3r
4
2
6
r
2

4 3
2
2,
76
àrea de la meitat de la vesica = = 9,0766 m
12
2
Per tant l’àrea de la finestra és: 14,7937 + 9,0766 = 23,87 m 2
Exercici 11
Per a calcular l’àrea de la finestra de la Mare de Déu i sant Miquel calculem l’alçada del
3 1,
3
calat: 1,
12 m; l’alçada del rectangle de la finestra és: 7,16 – 1,12 = 6,04 m
2
àrea del rectangle: 6,041,12 = 6,7648 m 2
àrea de la meitat de la vesica = 2
4
3 1,
3
2,0137 m
12
2
Per tant, l’àrea de la finestra és 6,7648 + 2,0137 = 8,78 m 2
114

3
Les proporcions en l'arquitectura
La reconstrucció del Temple Romà de Barcelona
115

FITXA PER AL PROFESSORAT
Nivell: Primer Cicle d’ESO
Coneixements previs: L’escala d’un plànol i el Teorema de Pitàgores
Objectius didàctics
Orientar-se en un plànol.
Dibuixar un plànol a partir d’una forma i unes proporcions donades.
Reconstruir la planta d’un edifici a partir d’un mòdul.
Calcular l’escala d’un plànol.
Reconstruir l’alçat d’un edifici a partir d’un mòdul i unes proporcions.
Comparar dimensions.
Potencial multidisciplinar
La Barcelona romana. (Àrea de Ciències Socials)
L’Arquitectura romana. (Àrea de Ciències Socials)
Orientacions didàctiques
El professor o la professora de socials o de matemàtiques hauria d’explicar a
l’alumnat algunes dades sobre la Barcelona romana i l’estructura dels temples
romans per tal que tinguin clar, abans de fer la visita, els diferents elements que
componen els temples.
El lloc és prou cèntric i ben comunicat perquè els alumnes i les alumnes de
Barcelona hi puguin anar pel seu compte, realitzar l’observació de les ruïnes del
temple i recollir les dades del plafó informatiu.

És convenient que l’exercici 1 es realitzi sobre el terreny per poder contrastar els
resultats.
Es pot completar la pràctica fent una visita al Museu de la Ciutat o al Museu
Arqueològic on estan exposades maquetes del temple romà de Barcelona. En el
Museu Arqueològic es poden veure els fragments de cornisa, apareguts en 1931 i
estudiats per Puig i Cadafalch, que van permetre la reconstrucció de l’entaulament.
Material gràfic
Reconstrucció frontal de l’entaulament del temple romà amb escala gràfica. El temple
romà de Barcelona . Joan Bassegoda Nonell.
Fragment de plànol de Barcelona d’escala donada més petita que 1:2500 i orientació
coneguda, on aparegui el carrer Paradís i la Plaça Sant Jaume.
102

MATERIAL PER A L’ALUMNAT
El temple romà de Barcelona
En el patí de la casa número 10 del carrer Paradís, darrere la catedral, es poden visitar
les ruïnes del temple romà de Barcelona. Aquest temple estava ubicat en la part més
alta de l’antiga ciutat romana de Barcino i va ser construït en l’època imperial (s.I d.C.),
quan a totes les ciutats romanes es van edificar temples de culte a l’emperador August.
A primera vista pot semblar que les quatre columnes i el tros d’atri que queden és molt
poca cosa per fer-nos una idea de l’aspecte que devia tenir el temple quan estava en
funcionament. Malgrat la petita part que s’ha conservat, els coneixements que els
estudiosos de l’arquitectura romana tenen de l’estructura dels temples romans els ha
permès dibuixar els plànols, molt aproximats, del que deuria ser el monumental temple.
Els temples romans d’aquesta època tenien tots la mateixa estructura: estaven construïts
sobre una plataforma elevada que s’anomena podi, tenien forma rectangular i estaven
envoltats per columnes. S’accedia al temple mitjançant una escalinata en la façana
principal, aquesta estava constituïda per una filera de columnes que donaven entrada al
pòrtic. La part central, també de forma rectangular i tancada per tres parets, s’anomena
cel·la i es dividia en dues parts: a l’entrada la pronao, lloc on es feien els sacrificis; i al
fondo la nao, on es situava l’estàtua de la divinitat a qui estava dedicat el temple, mirant
cap a l’entrada. El temple de Barcelona estava dedicat a August i per tant podem
suposar que era la seva estàtua la que es trobava en la nao.
L’arquitectura romana es caracteritza per la utilització de patrons ben establerts que es
van repetint en les diferents realitzacions. Així, per exemple coneixent la distància entre
dues columnes i sabent el tipus de temple, podem fer la reconstrucció seguint algunes
operacions matemàtiques molt simples. Els diferents models de construcció i les
relacions que hi ha entre els seus elements ens han arribat gràcies a Vitrubi, arquitecte
romà del segle I d.C. que a la seva obra, Deu llibres d’arquitectura, explica les
proporcions entre els elements que componen un determinat tipus de construcció
romana.
103

Exercici 1
Observeu en el plafó informatiu la reconstrucció ideal del temple de Barcelona, en
podeu veure una maqueta en el Museu de la Ciutat, a la plaça del Rei.
Llegiu atentament el pannell que explica algunes característiques de l’edifici i senyaleu
sobre el dibuix les columnes que es conserven.
a) Indiqueu el pòrtic, la cel·la, la naos i la pronaos.
b) On estava situada l’estàtua de l’emperador? A quina direcció mirava?
104
N

Exercici 2
Sabem que el temple romà de Barcelona és del tipus Perípter Hexàstil, això vol dir que
el rectangle de la planta estava rodejat de columnes, que el nombre de columnes frontal
era 6 i que el nombre d’intercolumnes (espai entre columnes) del costat llarg era doble
que el petit. Gràcies a aquesta classificació del temple podem saber quantes columnes
hi havia en els costats del temple. Quantes n’hi ha d’haver?
A partir del diàmetre de les columnes i de les distàncies entre elles obtenim:
La longitud de les intercolumnes del costat curt del rectangle és igual a un diàmetre i
mig.
La mida de l’intercolumna del costat llarg és igual a dos diàmetres.
Ara intentareu fer un plànol el més acurat possible de la planta real del temple a partir
del diàmetre de les columnes.
Seguint les normes de Vitrubi per aquest tipus de temples sabem que:
Entre els murs de la cel·la i les columnes de la perifèria corre un passadís d’amplada
igual a l’amplada de les intercolumnes (1diàmetre i mig pels laterals, 2 diàmetres
pel passadís del darrera).
El nombre de les intercolumnes que agafa la llargada de la cel·la és doble que el de
l’amplada.
Si dividim la llargada de la cel·la en vuit parts, cinc estan destinades a la nao i tres a
la pronao.
Seguint aquestes dades, i prenent el diàmetre de la columna igual a 0,5 cm dibuixeu
sobre paper mil·limetrat la planta del temple.
Exercici 3
Sabent que el diàmetre de les columnes del temple és igual a 1,1 m, calculeu:
a) Les dimensions reals del rectangle de la planta del temple.
b) Les dimensions de la cel·la, la nao i la pronao.
c) L’escala del vostre plànol.
105

Exercici 4
Sobre un plànol del casc antic de Barcelona d’escala coneguda i tenint en compte les
dimensions que heu calculat i l’orientació del temple, dibuixeu el rectangle que
representa la planta del temple de Barcelona i us fareu a la idea de la seva grandària.
Compareu-ho amb la grandària de la plaça Sant Jaume.
Exercici 5
El temple de Barcelona no compleix els preceptes vitrubians ja que la distància entre les
columnes dels laterals no és la mateixa que la que hi ha entre les de la part frontal i
posterior. El model clàssic compleix que les intercolumnes són totes iguals, aleshores la
llargada de la cel·la és doble que l’amplada. A més si dividim la llargada de la cel·la en
vuit parts, cinc estan destinades a la nao i tres a la pronao.
Quina relació hi ha entre la longitud de la nao i la diagonal de la pronao en un temple
clàssic?
Com es podria construir amb regla i compàs el plànol de la cel·la a partir de les
dimensions de la pronao?
Exercici 6
Mirem de reconstruir en alçada el temple. La informació que tenim ara és la següent:
L’altura de la columna amb la basa i el capitell inclosos és 7’9 vegades el diàmetre.
L’alçada del podi és 1/3 part de l’alçada de la columna incloent-hi la basa i el
capitell.
Per calcular l’alçada de l’entaulament (arquitrau, fris i cornisa) disposem del dibuix
amb l’escala gràfica de la reconstrucció que en va fer l’arquitecte Puig i Cadafalch
en 1931, arrel de la troballa dels fragments de cornisa.
106

entaulament
Per calcular l’alçada del timpà segons Vitrubi, cal dividir la longitud de la cornisa
frontal (l’amplada del temple) en nou parts i prendre’n una com alçada del timpà.
Les cornises inclinades que delimiten el timpà han de tenir l’alçada igual que la
cornisa de l’entaulament que podeu mesurar en la reconstrucció de Puig i Cadafalch.
a) Calculeu les diferents alçades i completeu la taula:
Podi
Columna (basa, fuste i capitell)
107
5 m m5m
cornisa

Entaulament
Timpà
Cornisa inclinada
ALTURA TOTAL
b) Dibuixeu de forma esquemàtica, però seguint les proporcions, la façana principal del
temple.
c) El temple romà de Barcelona tenia una alçada com una casa de quants pisos?
Informeu-vos de quina és l’alçada més freqüent dels pisos actuals.
d) Calculeu la longitud de les cornises inclinades que tanquen el timpà.
Exercici 7
A partir del llibres de Vitrubi se sap que el nombre de graons de l’escalinata que accedia
al temple és sempre senar per tal que al començar a pujar es col·loca el peu dret sobre el
primer graó i així el peu dret serà el que assolirà el graó superior a nivell del terra del
temple.
a) Segons Vitrubi l’alçada dels graons havia d’estar al voltant de tres quarts de peu
romà. Atenent a l’alçada del podi que heu obtingut en l’exercici anterior, quants
graons podia tenir l’escalinata del temple de Barcelona?
b) Quina amplada ocupava l’escalinata si segons Vitrubi l’amplada d’un graó no havia
de ser més petita que un peu i mig, ni més gran que dos peus?
c) Afegiu al plànol de l’exercici 2 la part davantera amb l’escalinata, si sabem que
l’amplada de l’escalinata va des de la primera intercolumna fins a l’última.
d) Amb les noves dades calculeu la superfície que ocupava el temple.
El peu roma és igual a 29’57 cm.
108

BIBLIOGRAFIA
Bassegoda Nonell, Joan. El templo romano de Barcelona. Real Academia de Bellas
Artes de san Jorge. Barcelona, 1974
Gutierrez Behemerid, María Angeles El templo romano de Barcino. Análisis de la
decoración arquitectónica. Cuadernos de Arquitectura Romana, Volumen i.
Publicaciones de la Universidad de Murcia, 1992
Puig i Cadafalch, J. L’Arquitectura romana a Catalunya. Institut d’Estudis Catalans.
Barcelona , 1934
Vitrubio. Los diez libros de Arquitectura. Alianza Forma, Alianza Editorial. Madrid,
1995
.
109

a)
Exercici 1
Portic
EXERCICIS RESOLTS
b) L’estàtua de l’emperador estava en la naos i mirava al sud-oest.
Exercici 2
Pronaos
Naos
Cel·la
Segons els estudis arqueològics el temple tenia 6 columnes d’ample amb els 5
intercolumnes i per tant tenia 11 columnes de llarg amb els 10 intercolumnis (52=!0).
La planta de la cel·la agafarà 4 columnes d’ample per poder deixar el passadís del fons i
per tant agafarà 3 intercolumnes, per tant la llargada de la cel·la serà igual a 6
intercolumnes més 7 columnes. Cal fer el plànol sobre paper mil·limetrat.
Exercici 3
a) Llargada: 1,111 columnes =12,1m ;
intercolumnes= 1,1 2=2,2 m; 2,210 = 22m.
Llarg= 12,1 + 22 = 34,1 m
Amplada: 1,16 columnes =6,6m ;
intercolumnes=1,1 1,5=1,65 m; 1,655=8,25m.
Ample = 6,6 + 8,25 =14,85 m
b) Cel·la :
Columnes = 1,17=7,7; Intercolumnes 1,126=13,2; llarg=7,7+13,2=20,9m
Columnes = 1,14=4,4; Intercolumnes 1,11,53=4,95; ample=4,4+4,95=9,35m
Pronao: Llargada: 3/8 de la cel·la = 7,8375 m Amplada = 9,35m
Nao: Llargada: 20,9-7,8375 = 13,0625 m
c) Si el diàmetre s’ha pres en el plànol igual a 0,5 obtenim:
110
N

0, 5 1
; l’escala és 1:220
1,
1 220
111

Exercici 4
A partir de l’escala del plànol es calculen les dimensions de la Plaça Sant Jaume que són
aproximadament: llarg = 75,5 m i ample=51m; per tant l’àrea = 75,551=3850,5 m 2
Amb les dimensions conegudes de la planta del temple i a partir de l’escala del plànol
dibuixem el rectangle sobre el plànol tal com s’indica en la figura.
Àrea aproximada del temple de Barcelona = 34,114,85 = 506,382 m 2
Nombre de vegades que està contingut el temple en la plaça: 3850,5 : 506,382=7,6
El temple romà tenia una superfície una mica més petita que a una setena part de la
plaça Sant Jaume.
112

113

114

Exercici 5
Si considerem la llargada del rectangle de la cel·la igual 8 unitats,
obtenim que l’amplada és 4 unitats i la llargada de la pronaos és 3/8
2 2
de 8 = 3. Per tant la diagonal de la pronaos és 3 4 5.
Per altra
banda la llargada de la naos és 8-3=5. Per tant, coincideixen.
Per construir el plano de la cel·la a partir de la pronaos cal prendre un rectangle de
costats 34 (pronaos) i transportar la diagonal sobre el costat de la base tal com mostra
la figura:
a)
Exercici 6
Podi 1/3 de 8,69 2,9 m
Columna (basa, fuste i capitell) 7,91,1=8,69 m
115

Entaulament 2,10 m
Timpà 14,85:9=1,65 m
Cornisa inclinada 0,35 m
ALTURA TOTAL 15,69
b) Per dibuixar la façana principal del temple hauran de tenir en compte les dimensions
del diàmetre de les columnes i les intercolumnes. Convé que facin el dibuix a escala.
En la pàgina següent s’hi troba el dibuix de la reconstrucció del temple fet a escala
per l’arquitecte Antonio Celles que va fer un estudi acurat del temple a l’any 1835.
c) Si acceptem que l’alçada mitjana d’un pis és 3m, obtenim que el temple tenia
l’alçada d’un edifici de 4 pisos, ja que cal comptar la planta baixa.
Exercici 7
a) 3/4 de peu romà = (29,57:4) 3=22,17 cm; el podi fa 290 cm: 290:22,17 13 graons
b) 130,2957 1,5=5,76m, 130,29572=7,7 m; per tant el costat llarg del rectangle
de la planta té en total de 6 a 8m més que el calculat en l’exercici 3
c) Cal afegir a escala els 6 o 8 m de llargada en l’orientació sud-est.
d) 614,85=89,1 m 2 i 814,85=118,8m 2 , per tant, es pot afirmar que l’àrea del
rectangle de la planta del temple feia entre 90 m 2 i 120 m 2 .
116

117

La façana principal i l’escalinata del temple de Barcelona tal com devia ser.
Dibuix original de l’arquitecte Antonio Celles (1835)
4
La Vil·la de Centcelles i la construcció i superfície de plantes simètriques
118

Nivell: Segon Cicle d’ESO
Coneixements previs:
FITXA PER AL PROFESSORAT
El teorema de Pitàgores. Càlcul amb radicals. Àrees del triangle, del rectangle i del
cercle. Relació entre el radi de la circumferència i el costat de l’hexàgon regular inscrit.
Objectius didàctics
Mesurar les dimensions d’una planta quadrada i una circular.
Dibuixar amb regla i compàs les plantes regulars de la Vil·la de Centcelles.
Aplicar el teorema de Pitàgores per a calcular les dimensions d’una planta.
Trobar la relació entre el radi de la circumferència i el costat del dodecàgon regular
inscrit.
Comparar àrees de superfícies curvilínies amb les de superfícies poligonals.
Calcular àrees de superfícies formades per polígons i cercles.
Potencial multidisciplinar
La Tarragona romana (Ciències Experimentals)
L’Arquitectura romana. (Àrea de Ciències Socials)

Orientacions didàctiques
Per a la realització de l’exercici 1 és indispensable la visita de l’alumnat al
Mausoleu, ja que hauran de realitzar mesures sobre el terreny. Els alumnes i les
alumnes hauran de prendre mesures de les diferents dimensions de la planta que es
demanen en l’exercici 1. Convé insistir en que s’ha d’amidar prenent com a
referència aquelles parts de la paret que sembla que respectin més la construcció
original.
Un dels objectius d’aquesta pràctica és elaborar hipòtesis sobre la regularitat
geomètrica del projecte arquitectònic. Les dimensions que s’obtenen a partir de les
suposades relacions geomètriques no s’ajusten a les mesures reals però s’hi
aproximen força. Cal comentar als alumnes que el desajust entre el projecte
geomètric i el real està present en la realització de qualsevol edifici, ja que el
projecte s’ha d’adaptar a les circumstàncies reals: dificultats del terreny, adequació
dels materials de construcció, etc. En el nostre cas convé insistir en què les mesures
que hem pres no són exactament iguals a les de la construcció del segle IV ja que
les dues sales han sofert diverses reconstruccions segons les diferents funcions que
han tingut en cada època, encara que l’estructura sigui essencialment la mateixa que
la del edifici original.
En els exercicis 3 i 6 es veu la utilitat de trobar relacions generals entre les
dimensions d’una figura geomètrica utilitzant els radicals i el llenguatge algebraic, ja
127

que permeten calcular les dimensions els diferents elements de la planta a partir
d’una dimensió bàsica.
La visita a la Vil·la de Centcelles
Adreça: Afores, s/n
43120 Contantí
Telèfon 977 52 33 74
Durada aproximada de la visita: 1h amb projecció de dos audiovisuals. Cal concertar la
visita en grup prèviament i demanar permís per prendre mesures.
Telèfons d’informació: 977 23 62 09 – 977 25 15 15
Correu electrònic: mnat@mnat.es.
128

MATERIAL PER A L’ALUMNAT
La Vil·la Romana de Centcelles
Des que els romans es van assentar a Tarragona (finals del s. III a. C.) i la van fer capital
de la Hispània Citerior van començar a construir vil·les destinades a l’explotació
agrícola fora de la ciutat. Aquestes vil·les, cada cop més luxoses, es transformaren en
llocs de residència on el seus propietaris es dedicaven al repòs i al lleure, un exemple
n’és la vil·la de Centcelles.
Les edificacions que es visiten van ser construïdes a mitjan del segle IV d. C. i formen
part d’un conjunt molt més ampli d’instal·lacions on habitaven els senyors de la casa
juntament amb el personal que estava al seu servei. La sala de planta circular amb la
cúpula decorada de mosaic, que dóna una idea del luxe de la construcció, sembla que
amb el temps es va transformar en el mausoleu d’algun personatge important, alguns
pensen que el propi fill de Constantí hi està enterrat, però no hi ha seguretat completa en
la finalitat funerària de l’edifici.
Les dues sales que estudiarem estan edificades sobre dues plantes quadrades de 14,5 m
de costat cada una. En l’interior, una d’elles és de planta circular amb quatre nínxols
adossats, i l’altra té forma quadrada amb quatre absis semicirculars. El que pretenem
amb aquest treball és donar una hipòtesi de construcció geomètrica de la planta i
calcular-ne les dimensions seguint aquesta hipòtesi, així com calcular superfícies per
combinació d’àrees conegudes.
Exercici 1
Sobre la planta de les dues sales principals de la vil·la de Centcelles amideu les
dimensions següents:
A
129
B

Sala A: Costats del quadrilàter de la planta i diàmetres i profunditat dels absis que es
poden amidar.
Sala B: Diàmetre de la planta circular, distàncies entre dos nínxols consecutius i els
diàmetres i profunditat dels quatre nínxols
a) Podeu afirmar que la sala A té planta quadrada?
b) Quina forma tenen els absis de la sala A? Són tots iguals?
c) Quina forma tenen els quatre nínxols de la sala B? Es pot afirmar que són iguals?
d) Els nínxols de la sala B , estan col·locats simètricament sobre la circumferència de la
planta?
130

Estudi de la sala A
L’objectiu d’aquest estudi és fer la descripció geomètrica de la construcció de la planta i
a partir d’ella estudiar la relació numèrica entre el costat del quadrat ABCD i l’amplada
dels absis. També farem un estudi sobre el gruix de les parets i la superfície hàbil.
Exercici 2
A B
D
Partint del fet que els absis són semicirculars completeu sobre el plànol les quatre
circumferències. Què s’observa?
131
C

Traceu les diagonals del quadrat i inscriviu-hi un quadrat de manera que els vèrtexs
coincideixin amb els punts mitjos dels costats del quadrat de la planta. Què s’observa?
132

Observant el dibuix podem fer una hipòtesis de com els antics romans van dissenyar
sobre el terreny aquesta planta tan regular només comptant amb cordes i una esquadra
per obtenir els angles rectes.
Els passos podrien ser els següents:
Marcar el quadrat ABCD amb quatre cordes de la mateixa longitud formant angles
rectes ajudant-se per l’esquadra.
A B
D
Lligar dues cordes unint els vèrtexs
oposats del quadrat per marcar les
diagonals.
A B
D
Senyalar els punts mitjos dels costats del
quadrat: M, N, P i Q i unir-los per a formar el
quadrat MNPQ.
133
C
C

M
A B
Q
D
P
134
N
C

Traçar les circumferències amb centre M, N, P i Q i radi les interseccions dels
costats del quadrat MNPQ amb les diagonals del quadrat ABCD .
Exercici 3
M
a) Aprofitant la construcció geomètrica anterior i aplicant el teorema de Pitàgores
calculeu el diàmetre de l’absis a partir del costat del quadrat. Coincideix amb la
mesura obtinguda en l’exercici 1?
b) En general si el costat del quadrat és l, quant mesura el diàmetre d de l’absis? I el
radi r?
c) La relació anterior permet calcular l’amplada dels absis a partir del costat del
quadrat sense fer la construcció geomètrica. Completa la taula fent servir la fórmula
de l’apartat b)
Costat del
quadrat 7 m 7,5 m 8 m 9 m 10 m
Radi de
135
M
A B
Q
D
P
N
C

Exercici 4
l’absis
Si sabem que el quadrat extern de l’edifici A té 14,5 m de costat calculeu els següent
valors de la construcció:
a) Valor mínim i màxim del gruix de la paret.
b) Àrea del sol que ocupa l’edifici A.
c) Superfície hàbil de l’edifici.
d) Percentatge que representa la superfície hàbil respecte la quantitat de sol ocupat.
136

Estudi de la sala B
L’objectiu d’aquest estudi és fer la descripció geomètrica de la construcció de la planta i
a partir d’ella estudiar la relació numèrica entre el radi del cercle i els radis dels nínxols.
També farem un estudi sobre el gruix de les parets i la superfície hàbil.
A
H
B
G
137
C
F
D
E

Exercici 5
En l’exercici 1 hem obtingut que la planta dels nínxols és semicircular, que tots ells
tenen el mateix diàmetre i que les distàncies entre dos nínxols consecutius són iguals.
Dibuixa el dodecàgon regular inscrit en la circumferència i comprova que el diàmetre
del nínxol coincideix amb el costat del polígon inscrit.
Per dibuixar el dodecàgon dibuixem dos diàmetres perpendiculars i inscrivim dos
hexàgons regulars (costat = radi) cada un amb dos vèrtexs en els extrems d’un dels
diàmetres, els 12 punts que obtenim sobre la circumferència són els vèrtexs del
dodecàgon.
138

Observant el dibuix podem fer una hipòtesis de com els antics romans van dissenyar
sobre el terreny aquesta planta tan regular només comptant amb cordes i una esquadra
per obtenir els angles rectes.
Els passos podrien ser els següents:
Amb l’ajuda de l’esquadra construir amb cordes el quadrat exterior de 14,5 m de
costat.
En el centre del quadrat i amb el radi igual al que hem mesurat en l’exercici 1 fem la
circumferència de la planta i dibuixem els dos diàmetres perpendiculars en les
direccions perpendiculars als costats del quadrat.
Q
O
M
P
139
N

Amb una corda des de M marquem els punts A i D prenent la distància AO, radi de
la circumferència
M
A D
O
140

Repetint la mateixa operació des dels punt N, P i Q obtenim B, C, E, F, G i H.
H
O
M
B C
A D
Prenent el radi igual a la meitat de la corda AB i centre en las meitat de la corda es
poden construir la semicircumferència del nínxol AB. Els nínxols restants es
construeixen
anàlogament.
A
G
B
F
141
E

142

Exercici 6
a) Aprofitant la construcció geomètrica anterior i aplicant el teorema de Pitàgores
calculeu el diàmetre dels nínxols a partir del radi de la circumferència. Aquest
exercici és equivalent a donar la longitud del costat del dodecàgon regular a partir
del radi de la circumferència circumscrita.
A
B
N
O
b) Coincideix amb la mesura obtinguda en l’exercici 1? Quina diferència hi ha?
c) En general si el radi OA és r, quant mesura el diàmetre d dels nínxols? I el radi r’
dels nínxols?
d) La relació anterior permet calcular l’amplada dels nínxols a partir del costat del
quadrat sense fer la construcció geomètrica. Completa la taula fent servir la fórmula
de l’apartat c).
Radi de la
circumferència = r 4 m 5 m 6 m 10 m 12 m
Diàmetre dels
nínxols = d
143

Radi dels
nínxols = r’
144

Superfície de les lúnules
Les superfícies limitades per dos arcs de circumferències de radis diferents s’anomenen
lúnules. Abans de calcular la superfície de la planta en forma de lúnula dels nínxols de
l’edifici B ens entretindrem en estudiar un parell d’exemples de lúnules que tenen una
superfície curiosa.
Exercici 7
Partint d’una circumferència de radi 2 cm considerem la lúnula, indicada en la figura
limitada per la semicircumferència de diàmetre igual al costat del quadrat inscrit en la
circumferència de partida.
a) Calculeu l’àrea del triangle rectangle ombrejat.
b) Calculeu, fent combinació de superfícies d’àrees
conegudes, l’àrea d’aquesta lúnula.
145

c) Què podem afirmar de la superfície de les dues figures ombrejades amb trames
diferents?
146

Hipòcrates de Quios i les lúnules
El primer geòmetra de qui es té notícia que va estudiar les superfícies en forma de lluna
va ser Hipòcrates de Quios, que va viure als voltants del 430 a. C. i va investigar sobre
les àrees de les figures curvilínies. En la seva obra, Elements de Geometria, precursora
dels llibres d’Euclídes, va recollir els coneixements matemàtics del seu temps.
Hipòcrates va demostrar en el cas general l’equivalència entre les superfícies de
l’exercici 7 d’una manera molt diferent a com ho hem comprovat nosaltres ja que no
podia fer servir ni el valor de , ni els radicals. En la seva demostració només utilitza el
teorema de Pitàgores i les proporcions entre les àrees dels semicercles.
El descobriment de que una figura curvilínia tingués la mateixa àrea que un triangle va
ser molt important per als antics grecs preocupats com estaven per poder calcular l’àrea
del cercle com si es tractés d’una figura poligonal, allò que en la història de les
matemàtiques ha passat com el problema de quadrar el cercle. Si hi havia superfícies
limitades per arcs de circumferència que tenien una àrea igual a un triangle, llavors
potser també podrien trobar una superfície equivalent a la del cercle i que tingués l’àrea
igual a la de una figura de costats rectilinis.
Però, totes les lúnules són quadrables? El mateix Hipòcrates va veure que no al
considerar la lúnula corresponent al costat de l’hexàgon regular, tal com veurem en
l’exercici que ve a continuació.
Exercici 8
Calculeu la superfície de les lúnules que es poden construir sobre els costats de
l’hexàgon regular inscrit en la circumferència de radi igual a 2 cm i compareu-la amb la
superfície de l’hexàgon. Quina és més gran?
2 cm
147
2 cm

Calcula l’àrea del cercle de diàmetre el radi de la circumferència inicial i comprova que
la suma de les àrees de les superfícies ombrejades és igual a l’àrea de l’hexàgon.
148

Exercici 9
Si sabem que el quadrat extern de l’edifici B té 14,5 m de costat calculeu els següent
valors de la construcció:
a) Àrea del sol que ocupa l’edifici B.
b) Àrea d’un nínxol, sabem que és la lúnula de diàmetre igual al costat del dodecàgon
regular inscrit en la circumferència.
c) Superfície hàbil de l’edifici.
d) Valor mínim i màxim del gruix de la paret.
e) Percentatge que representa la superfície hàbil respecte la quantitat de sol ocupat.
149
Gruix màxim
Gruix mínim

EXERCICI D’AMPLIACIÓ
Leonardo da Vinci i les capelles octogonals
Leonardo da Vinci (1452-1519) va ser un dels homes universals del Renaixement. Ha
estat reconegut per la seva obra artística i científica. En el camp de les matemàtiques
són coneguts els seus treballs sobre la perspectiva i sobre la simetria.
Leonardo coneixia els estudis sobre lúnules d’Hipòcrates i en alguns fulls dels seus
Quaderns s’hi troben dotzenes de lúnules dibuixades relacionant la seva àrea amb les
àrees dels polígons.
L’interès de Leonardo per les lúnules és debut a la seva aplicació a l’hora de resoldre el
problema d’afegir capelles i nínxols als edificis de planta en forma de cercle o de
polígon regular sense destruir la simetria de l’edifici. En els seus escrits es troben
dissenys de plantes d’edificis amb simetria central que no tenen a veure amb
edificacions reals i en els quals l’artista resol aquest problema.
Exercici 10
Aquest disseny de planta octogonal, amb quatre capelles quadrades i quatre nínxols
semicirculars és del tipus
estudiat per Leonardo.
Mireu de calcular la
superfície de la planta en
funció del costat de l’octògon
regular.
150
l

Nota: Caldrà que descomponeu la figura en superfícies d’àrees que pugueu calcular.
151

BIBLIOGRAFIA
Camprubi, F. El monumento paleocristiano de Centcelles. Barcelona, 1952.
Domenech i Montaner, Ll. Centcelles, estudi històric arquitectònic de la primitiva
església metropolitana de Tarragona. Edicions Industrias del Papeel S. A., Barcelona,
1931.
Hauschild, Theodor. Untersyuchungen in monument von Centcelles. Actas VIII
Congreso de Arqueología Cristiana. Barcelona, 1969.
Boyer, Carl B. Storia della matematica. Oscar Studio Mondadori, 1980.
Pedoe, Dan. La geometria en el arte. Gustavo Gili, Barcelona, 1979.
Informació sobre la vil·la de Centcelles a la xarxa:
http://www.fut.es/patrimhu/tema17.htm
http://www.mnat.es
152

Exercici 1
EXERCICIS RESOLTS
Amidar sobre el terreny un edifici que ha sofert diferents restauracions per a esbrinar les
dimensions originals no és una feina fàcil. En aquest cas encara que les dues sales són
en un bon estat de conservació de vegades les fites de les nostres mesures no estan ben
determinades, i per tan les mides són aproximades. Aquí es detallen les mesures preses
sobre el terreny que ens permetran fer hipòtesis sobre las forma geomètrica de les dues
plantes.
A 5,07 m
B
D
6,95 m
2,56 m
7,25 m
7,25 m
4,98 m
153
6,95 m
C
4,78 m
Accés sala B

e) A la vista de les mesures preses la planta de la sala A és rectangular però tenint en
compte que la paret AD està en molt mal estat i que les cantonades no estan ben
determinades, farem la hipòtesis que la intenció dels constructors romans era la de
fer una sala quadrada i prendrem el costat del quadrat igual a 7m que és la mesura
considerada pels arqueòlegs i arquitectes que han estudiat el monument.
f) L’únic absis de la sala A on es pot mesurar la profunditat és el del costat AB , els
resultats de les mesures són 5,07 m de diàmetre i 2,56 m de profunditat, com que la
profunditat és la meitat del diàmetre podem suposar que la forma dels absis és
semicircular. Per les mesures que hem obtingut dels diàmetres farem la hipòtesis
que es van projectar perquè fossin tots iguals.
154

Les mesures preses en la sala B són les següents:
g)
5,72 m
2,95 m
2,8 m
5,65 m
diàmetre = 10,92 m
5,65 m
El
s
ní
nxols de la sala B són semicirculars, les variacions en els diàmetres són
suficientment petites com per poder fer la hipòtesis que la voluntat del constructor
era fer-los tots iguals.
155
2,91 m
2,9 m
5,62 m

h) Les diferències entre les distàncies de dos nínxols consecutius són suficientment
petites com per considerar que els nínxols estan situats simètricament respecte el
centre de la sala.
156

Estudi de la sala A
Exercici 2
Observem que les circumferències són tangents i que
el radi és igual a la meitat del segment que uneix els punts mitjos
de dos costats consecutius dels quadrat.
Observant el dibuix podem fer una hipòtesis de com els antics romans van dissenyar
sobre el terreny aquesta planta tan regular només comptant amb cordes i una esquadra
per obtenir els angles rectes.
Exercici 3
d) Si considerem el costat del quadrat igual a 7 m obtenim que
el radi de la circumferència és igual a la meitat de la
hipotenusa d’un triangle rectangle de catets iguals a 3,5 m.
Aplicant el teorema de Pitàgores obtenim:
hipotenusa
radi
4,
94
2
3,
5
2
2,
47
3,
5
m
2
4,
95
Comparant amb els diàmetres obtinguts en l’exercici 1
podem afirmar que és probable que en el projecte de
l’arquitecte hi hagués aquesta intencionalitat.
m
157
3,5
3,5

e) El triangle rectangle té els catets iguals a la meitat de l i la hipotenusa igual al
diàmetre d de la absis. Per Pitàgores:
f)
d
l
2
l
2
d l
r
2 2 2
2
2
2l
4
2
l
2
2
Costat del quadrat = l 7 m 7,5 m 8 m 9 m 10 m
Radi de l’absis =
l
2
2
l
2
2,47m 2,65 m 2,82 m 3,18 m 3,53 m
158
l/2
l/2
d

Exercici 4
e) Valor mínim del gruix de la paret = m
14,5 – ( 7 +2 · 2,47) = 2,06; m = 2,06 : 2 = 1,03 m
Valor màxim del gruix de la paret = M
14,5 –7 = 7,5; M = 7,5 : 2 = 3,75 m
f) Àrea del sol que ocupa l’edifici A.
La planta exterior de l’edifici és un quadrat de costat
14,5 m per tant la seva àrea és 14,514,5 = 210,25 m 2
g) Superfície hàbil de l’edifici.
La superfície de la planta interior de la sala A es
compon d’un quadrat de costat 7m i quatre
semicercles, equivalents a dos cercles, de radi 2,47 m , per tant la seva àrea és:
2
àrea del quadrat + 2àrea del cercle = 7 7 2
2,
47
87,
33 m 2
m
h) 87,33: 210,25 = 41,53% superfície hàbil respecte la quantitat de sol edificat
Aquest percentatge juntament al gruix del mur ens dóna una idea de la solidesa de la
construcció. Gràcies a això i a la bona factura dels murs l’edifici s’ha conservat al
llarg de tants segles.
Estudi de la sala B
Exercici 5
159

Exercici 6
a) Per a calcular el costat del dodecàgon s’ha de considerar el triangle OAB, amb OA
= OB = radi de la circumferència = 5,46 m, i calcular-ne amb aquest ordre: ON, NB
i finalment AB.
Com que AN és la meitat del costat de
l’hexàgon regular inscrit, és igual a la meitat
del radi.
AN = meitat del radi = 5,46 :2 = 2,73 m
Per Pitàgores:
A
ON =
2 2
OA AN
2 2
5,
46 2,
73 4,
72 m O
N B
NB = OA – ON = 5,46 – 4,73 = 0,73 m
2 2
2 2
AB = AN NB 2,
73 0,
73 2,
82 m
b) Les diferències amb les mesures obtingudes en l’exercici 1 no són rellevants, ja que
segons les mesures recollides variaven entre 2,8 m i 2,95 m. Podem pensar que el
diàmetre del nínxol és igual al costat del dodecàgon regular inscrit en la
circumferència.
c) Refent els càlculs de l’apartat anterior :
OA = OB = r i AN = r/2
ON =
NB = r
2
2 r 2 r 3r
3r
r r m
2 4 4 2
3r
2
2
2
160

2
2
2
2 2 r 3r
r 2 3r
2
d = AN NB r
r 3r
2 3r
2
2
4 4
d
r'
2
2
2
3
r
d) Fent servir l’última relació que hem obtingut:
2
r = radi de la
circumferència
d = diàmetre dels nínxols
4’5 m 5 m 5’5 m 6 m 6’5 m
2 3r
2,33 m 2,58 m 2,84 m 3,10 m 3,36 m
r’ = radi dels nínxols
2
2
3r
1,16 m 1,29 m 1,42 m 1,55 m 1,68 m
161

Exercici 7
d) L’àrea del triangle és:
b h 2 2
= 2 cm
2 2
2
2 2
e) Diàmetre de la lúnula = 2 2 8 2 2 cm
2 2
Radi de la lúnula = 2
2
A
2 2
B
A = àrea del
semicercle de radi
2
2 + àrea del triangle =
2
2 2
2
cm 2
2
B =àrea d’un quart de cercle de radi 2=
4
2
cm 2
C = A – B = 2 2 cm 2
f) Com que l’àrea de la lúnula és la mateixa que l’àrea del triangle rectangle, les dues
superfícies ombrejades tenen la mateixa àrea en aquest cas l’àrea és igual a 8 cm 2 .
162
r = 2
C

.
163

Exercici 8
Diàmetre de la lúnula = costat del hexàgon inscrit = radi de la circumferència = 2 cm
A = àrea del triangle equilàter de costat 2 + àrea del semicercle de radi 1 cm
6
h 2
1
2 2
2
2
3
2 2
Altura del triangle equilàter = h 2 1
3
2
2 3 1
A = 3 cm
2 2 2
2
B = àrea de la sexta part del cercle =
cm 2
C = A – B =
2
3
2 3
3 cm
6
2
Àrea de les 6 lúnules = 6
3 6
6
3
cm 2
Àrea de l’hexàgon = 6 triangles = 6
2 3
6
2
3
Àrea de la circumferència de diàmetre 2 =
2
2
A B C
cm 2
164
1 cm 2
2 cm

6 lúnules de radi 1 + cercle de radi 1 = 6
regular de radi 1
Exercici 9
3
= 6 3 = àrea de l’hexàgon
f) La planta exterior de l’edifici és un quadrat de costat 14,5 m per tant la seva àrea és
14,514,5 = 210,25 m 2
g) La lúnula té de diàmetre el costat del dodecàgon regular inscrit en la circumferència
A
Per calcular A cal calcular l’àrea d’un triangle isòsceles de base el diàmetre de la
lúnula i els costats iguals al radi del cercle. El diàmetre de la lúnula és igual al costat
del dodecàgon regular inscrit en la circumferència que en l’exercici 6 hem calculat
que era 2,82m.
Per Pitàgores podem calcular
2
2 2,
82
h= 5,
46 5,
27 m
2
5,
27 2,
82
Per tant l’àrea del triangle és: 7,
43 m
2
2
5,46
5,46
h
2 2
L’àrea del semicercle de diàmetre 2,82 és: 1,
41 6,
24 m
Per tant A = 7,43 + 6,24 = 13,67 m 2
Per altra banda B és la dotzena part del cercle, per tant: B =
2
5,
46
7,
80 m
12
2
165
B
C
2,82

Tenim, doncs, que l’àrea de la lúnula és: C = A – B = 13,67 –7,80 =5,87 m 2
h) Per calcular l’àrea de la planta interior de l’edifici s’ha de sumar l’àrea de les quatre
lúnules amb l’àrea del cercle principal.
2
Àrea de la planta interior = 4 5,
87 5,
46 = 117,136 m 2
i) El valor mínim del gruix de la paret és 14,5 – 10,92 = 3,58; 3,58 : 2 = 1,79 m.
El gruix
màxim és igual a la diferència entre la meitat del costat del quadrat i x.
Per calcular x aplicarem Pitàgores al triangle rectangle de la figura que és isòsceles
pel fet que les lúnules estan col·locades simètricament, per tant
t = h + r’ = 5,27 + 1,41 = 6,68 m
2 2
2
2
2
x x 6,
68 ; 2x
44,
62;
x 22,
31;
x 22,
31 4,
72 m
14,
5
per tant el gruix màxim és 4,
72 2,
53m
2
t
x
166
Gruix màxim
Gruix mínim

j) 117,36 : 210,25= 55,8% de superfície útil. A igual que en la sala A, aquest
percentatge juntament amb ell gruix del mur ens dóna una idea de la solidesa de la
construcció.
Exercici 10
l
x
x
L’octògon està format per
quatre triangles rectangles
isòsceles de catets igual a x i d’hipotenusa igual a l, quatre rectangles de dimensions
x l , i un quadrat de costat l.
Per Pitàgores calculem x en funció de l:
2 x
x x
2
l ;
2
2x
2
l ;
2
2 l
x ;
2
x
l
.
2
167
l

l l
Àrea del octògon = 4 triangles + 4 rectangles + 1 quadrat = 4
2
2
2
4
l 2
l l
2
168
2
2 2 2
2
2
2
l l 2
4 4 l
4 2
2
2
2 4l
2 4 2l
2l
2l
2 2
2l
2 2l
l .
Àrea de les capelles circulars :
l
4 semicercles de radi 2 cercles de radi
2
Àrea de les quatre capelles quadrades = 4
l l
2
2 2
2 2
l l
2
.
4 2
2
l .
Àrea de la planta = ( 2 2
2
2 l
2
2)
l 4l
( 6 2
2
2
2 ) l .
2
Aquesta expressió permet calcular l’àrea de la planta de l’església coneixent el costat
del octògon.
5
La Sagrada Família, els quadrats màgics
i les progressions aritmètiques
2

FITXA PER AL PROFESSORAT
Nivell: Segon Cicle d’ESO
Coneixements previs
Fórmula de la suma de termes consecutius de les progressions aritmètiques.
Continguts procedimentals
Deducció d’una propietat aritmètica elemental a partir de l’observació d’un conjunt de nombres.
Constatació de si un determinat model verifica una definició.
Resolució de solucions problemàtiques utilitzant les propietats de les progressions aritmètiques.
Deducció de la fórmula de la suma dels quadrats màgics a partir de la suma dels termes d’una
progressió aritmètica
Potencial multidisciplinar
El modernisme: Gaudí i la Sagrada Família. (Àrea de Ciències Socials)
El Renaixement: els gravats de Durero. (Àrea de Ciències Socials)
Orientacions didàctiques
El lloc és prou cèntric i ben comunicat perquè els alumnes i les alumnes de Barcelona hi puguin anar
pel seu compte i realitzar l’observació del quadrat màgic. Pels alumnes i alumnes de fora de
Barcelona la pràctica és aprofitable en el cas que facin una visita cultural a la Sagrada Família.

La demostració de la fórmula que permet calcular la suma màgica posa en evidència que les
demostracions utilitzen els procediments usats habitualment per l’alumnat en la resolució i la
simplificació de les expressions numèriques i algebraiques.
Si es disposa d’accés als ordinadors es pot fer una pràctica de construcció de quadrats màgics
utilitzant el full de càlcul Microsoft Excel.
Material gràfic
Il·lustració del gravat de La Malenconia d’Albert Durero. Catàleg de l’exposició Durer, en les
col·leccions franceses. Fundació la Caixa, 1998.
136

El quadrat màgic de la Sagrada Família
Exercici 1
Observeu la portada de la Passió de la Sagrada Família, obra de l’escultor Subirachs. Al costat esquerra
de la porta principal hi ha un quadrat quadriculat i en cada casella hi ha un nombre.
Còpieu els nombres en el quadrat:
Quina propietat hi podeu observar?
Suma per files = Suma per columnes = Suma per diagonals=
Aquest nombre, té algun significat en el context on està situat?
Exercici 2
Observeu el gravat de la làmina 1 sobre fusta que va dibuixar Albert Durero en l’any 1514 titulat La
Malencolia. Si us hi fixes bé veureu que aquesta data apareix en el gravat formant part d’un quadrat de 16
quadrets. Còpieu els nombres que apareixen en el gravat i feu la mateixa operació anterior.
137

Quant val la suma de les diagonals, les files i les columnes?
138

139
Làmina 1

Quadrats màgics. Curiositats i investigacions
Un quadrat màgic és un taula quadrada formada per nombres consecutius i diferents
començant pel número 1, col·locats ordenadament per files i columnes, de manera
que el resultat de sumar els nombres d’una mateixa fila, o d’una mateixa columna és
constant. Si, a més a més s’obté aquesta mateixa suma sumant els nombres en cada
diagonal, aleshores el quadrat màgic es diu que és perfecte.
El quadrat perfecte de 9 caselles era conegut a la Xina en l’any 1000 a. de C., i en
una llegenda d’aquest país sobre la creació del món es diu que una tortuga marina va
arribar un dia a la terra amb aquest quadrat dibuixat en la closca. És l’únic que es
pot formar amb els nou primers nombres naturals.
Un dels quadrats màgics amb els setze primers nombres naturals és el que apareix en
el gravat de Durero, però se’n poden formar fins a 880 de diferents!. El matemàtic
Frénicle els va publicar tots en l’any 1693.
Actualment es manté l’interès per a descobrir quina llei matemàtica regula la
distribució dels nombres en les caselles i quin és el nombre de solucions possible, ja
que no se sap quants quadrats màgics diferents es poden formar quan el costat és més
gran que 5.
En els exercicis que venen a continuació descobrirem quant val la suma màgica d’un
quadrat de costat n, per això hauràs de recordar la fórmula de la suma de termes
consecutius d’una progressió aritmètica. Donarem, també, una forma de construir
quadrats màgics perfectes quan el costat té un nombre imparell de caselles.
Exercici 3
Col·loqueu els primers 9 nombres naturals de manera que el quadrat resultant sigui
un quadrat màgic:
140

Exercici 4
El quadrat de la Sagrada Família no és un quadrat màgic. Per què? Podrieu convertir-lo en un quadrat
màgic? Intenteu-ho
141

Exercici 5
Anem a trobar la relació entre el nombre de quadrats del costat del quadrat màgic que li direm n i la suma
màgica.
Els nombres que apareixen en el quadrat de costat n són:
1, 2, 3, 4, ..................n 2
a) Usant la fórmula de la suma de termes consecutius d’una progressió aritmètica,
quant fa la suma de tots els nombres dels quadrat?
b) Si cada una de les files ha de sumar el mateix, a partir del resultat anterior quant val la suma màgica?
Doneu la fórmula simplificada al màxim.
c) Comproveu que la fórmula és certa pels quadrats de costat 3 i de costat 4.
d) Quant valdrà la suma màgica del quadrat màgic de costat 5?
Exercici 6
Aquest és el quadrat ple d’astúcies que es va inventar Benjamin Franklin :
52 61 4 13 20 29 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
142

9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17
a) Calculeu mitjançant la fórmula quant val la suma del quadrat màgic 8 8? És màgic aquest quadrat?
b) Dividiu el quadrat pels dos eixos principals en quatre quadrats 44 io comproveu que la suma dels
elements d’una mateixa fila és igual a la suma de quatre elements de la mateixa columna.
c) Comproveu que la suma dels quatre quadrats dels vèrtexs, més els quatre quadrats centrals és igual a
la suma màgica.
d) Comproveu que la suma dels quatre nombres alineats per la recta que forma un angle de 45º amb la
vertical i que travessa les quatre primeres columnes de manera ascendent més els quatre nombres
simètrics respecte la vertical que parteix per la meitat el quadrat té per resultat la suma màgica.
d) Comproveu que també és màgica la suma quant els nombres de les 4 primeres columnes els agafeu
en direcció descendent.
e) Comproveu que tot el que s’ha dit per l’eix vertical es verifica per l’eix horitzontal.
f) Comproveu que si sumeu els quadrats de les línies de punts que no arriben a l’eix amb els quadrats
que completarien la línia de punts fins arribar-hi, juntament amb els simètrics, la suma dels vuit
quadrats és màgica.
EXERCICIS D’AMPLIACIÓ
Exercici 7
Se sap que de moment no s’ha descobert cap mètode per a construir quadrats màgics de dimensió parell,
però pels de dimensió imparell hi ha un mètode descobert pel matemàtic Bachet de Méziriac que és el
següent:
143

3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23
S’amplia el quadrat tal com indica el dibuix,
s’escriuen els nombres en diagonal creixents i
s’introdueixen els nombres que queden fora del
quadrat tal com indica l’esquema gràfic. Seguint aquest mètode construïu el quadrat màgic perfecte de
7 7.
Exercici 8
També es poden construir estrelles màgiques, entre les quals hi ha les de sis puntes. Es
tracta, ara, de col·locar a cada vèrtex del polígon estrellat un nombre que vagi del 1 al
12 de manera que les sumes al llarg de cada costat siguin constants.
a) Quant valdrà aquesta suma?
b) Construïu una estrella màgica.
k l
j
a
b c
144
d
2
5
4 10
2 8 14 20
1 7 13 17 19 25
6
3
11
9
11 23
21
16 22
16 22
15
23

BIBLIOGRAFIA
Bergamini, David Life le monde des sciences .Les Mathématiques. TIME Inc. 1965
Bolt, Brian : Más actividades matemáticas. Labor, Barcelona, 1983
Guedj, Denis: El imperio de las cifras y los números. Ediciones B, Barcelona, 1998
Raluy, Francisco: Todo un mundo en cuadros. Barcelona, 1998
Warusfel, André : Los números y sus misterios. Martínez Roca, Barcelona 1968
145

Exercici 1
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
Suma per files, columnes i diagonals =33
EXERCICIS RESOLTS
Estem en la portada de la Passió i 33 és l’edat en que va morir Crist.
Exercici 2
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Suma =34
Exercici 3
6 1 8
146

7 5 3
2 9 4
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 15
Exercici 4
Exercici 5
2
1
n 2
a) n
2
2 2
2 2
2
1 n n 1 n n 1 n
n
b) : n
2
2n
2
2 1 3 3
n 3 ; 15
2
c)
2 144 n 4;
34
2
2 1 5 5 d) n 5;
65
2
Exercici 7
4 29 12 37 20 45 28
35 11 36 19 44 27 3
147
7 10
9
6
2
1
11
5 4
3
8
12

10 42 18 43 26 2 34
41 17 49 25 1 33 9
16 48 24 7 32 8 40
47 23 6 31 14 39 15
22 5 30 13 38 21 46
2
( 1
7 ) 7
2
Exercici 8
Suma = 175
Suma dels dotze primers nombres = 78
Cada nombre participa en dues sumes màgiques, per tant la suma de totes les sumes fa un total de:78 · 2 =
156
dividint perles 6 sumes:156 : 6 = 26
148

6
Els logotips, els rosetons i els grups d’isometries
149

FITXA PER AL PROFESSORAT
Nivell: Segon Cicle d’ESO
Coneixements previs: Isometries en el pla: girs i simetries.
Objectius didàctics
Descobrir les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada.
Caracteritzar les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada.
Compondre isometries.
Classificar les figures planes i afitades segons el seu grup de simetries.
Trobar el motiu mínim que genera una figura plana i afitada coneixent el seu grup
de simetries.
Construir una figura plana i afitada que tingui un grup de simetries donat.
Potencial multidisciplinar
Disseny de logotips i de figures amb un grup de simetries determinat. (Àrea d’Expressió Visual i
Plàstica)
L’Arquitectura gòtica. (Àrea de Ciències Socials)
Orientacions didàctiques
El paper vegetal és molt útil per la realització d’aquesta pràctica. En els exercicis 1, 2 i 3 per dibuixar
els eixos de simetria sense embrutar la il·lustració. En els exercicis 13, 14, 15 i 16 per calcar el motiu
mínim que genera una figura determinada En els exercicis17 i 18 per aplicar isometries a un motiu
inventat.
Si els alumnes i les alumnes tenen poca pràctica en la composició d’isometries, els exercicis 5 i 6 es
poden treballar amb mètodes manipulatius: retallant un triangle i aplicant-li els diferents moviments.
En el cas que s’hagin treballat aquestes composicions es pot introduir l’expressió d’una isometria
aplicada a un triangle en forma de matriu dels vèrtexs i els seus transformats i compondre dues
isometries fent servir aquestes matrius..
La visita a les Catedrals i el treball al carrer
L’exercici 2 d’aquesta pràctica apareix amb tres versions diferents corresponents a les catedrals de Lleida,
Barcelona i Tarragona. L’exercici és aplicable a qualsevol rosetó que estigui a l’abast de l’alumnat.
L’exercici 10 l’han de realitzar els nois i noies pel seu compte. És recomanable que treballin en grups. Els
plats de les rodes dels cotxes són una bona font de grups de Leonardo d’ordre diferent, de tota manera
poden proposar altres objectes. En aquest exercici haurem d’insistir tant en que fotografiïn objectes
diferents amb el mateix grup de Leonardo, com objectes del mateix tipus amb diferent grup d’isometries.
En el exercici 11, que s’aplica als claustres de les catedrals, es pot aprofitar la visita per treballar
qüestions de Ciències Socials.

Material gràfic
Il·lustracions dels rosetons de les catedrals del llibre Les Catedrals de Catalunya de Xavier Barral,
Edicions 62, 1994.
Il·lustracions dels rosetons del llibre de Bonaventura Bassegoda, Santa Maria de la Mar, Llibre I.
Indústries Gràfiques: Fills de J. Thomas. Barcelona, 1925.
Dissenys de logotips de Hornung, Clarence P. Handbook of designs and devices. Dover Publications,
Inc., New York, 1959.
Rosetó de Catàleg de mosaics de E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 192
136

Girs i simetries
Objectiu: detectar els moviments del pla que aplicats a una figura plana i afitada la
deixen superposada sobre ella mateixa.
Exercici 1
Observeu els logotips de la ciutat de Barcelona, dels Transports metropolitans de Barcelona, de RENFE ,
del Ferrocarrils de la Generalitat i la creu de les farmàcies. Superposant un paper transparent marqueu, si
s’escau, els eixos de simetria de cada un dels logotips.
Hi ha algun punt des del qual fent girar el logotip queda superposat sobre ell mateix?
Indiqueu, si s’escau, els angles dels girs de centre el punt anterior que deixen a la figura invariant.

136

Exercici 2 (Lleida)
Observeu el rosetó sobre la porta de Sant Berenguer situada en el braç nord de la Seu Vella de Lleida.
Feu-ne una fotografia o un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent els seus eixos de
simetria.
Indiqueu el centre i els angles dels girs que deixen el rosetó invariable. Quina relació hi
ha entre els angles de gir?
Exercici 2 (Barcelona)
Observeu els rosetons de les façanes principals de la Catedral i de Santa Maria del Mar (Làmina 1) de la
ciutat de Barcelona. Feu-ne una fotografia o un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent
els seus eixos de simetria.
137

Indiqueu els angles dels girs que aplicats des del centre deixen els rosetons invariables. Quina relació hi
ha entre els angles de gir?
138

139

Làmina 1
Exercici 2 (Tarragona)
Observeu el rosetó de la façana principal de la Catedral de la ciutat de Tarragona. Feu-ne una fotografia o
un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent els seus eixos de simetria.
Indiqueu els angles dels girs que aplicats des del centre deixen el rosetó invariable.
Quina relació hi ha entre els angles de gir?
Exercici 3
Observeu els dissenys de la Làmina 2, tots ells extrets del llibre “Handbook of designs and devices” de
Clarence P. Hornun, i ajudant-vos d’un paper transparent resoleu les qüestions següents:
a) Determineu el punt des del qual pots girar el disseny de manera que es “transformi en ell mateix”.
b) Determineu els angles dels girs de l’apartat anterior. Quina relació hi ha entre aquests angles?
140

c) Dibuixeu sobre el paper transparent superposat a la figura els eixos de simetria de cada una de les
figures.
141

142

Grup de simetries d’una figura
Objectiu: Caracteritzar les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada i
estudiar-ne la composició.
En les figures que heu estudiat en els exercicis anteriors heu pogut observar que hi ha dos tipus de
moviments del pla que transformen una figura en ella mateixa: els girs de centre comú (sobre el que
girem la figura) i les simetries axials amb eixos que es tallen en el centre dels girs.
Aquests dos tipus de moviments formen part del conjunt de moviments del pla que conserven les
distàncies i que s’anomenen isometries. Hi ha quatre tipus de isometries: les translacions, els girs, les
simetries i les simetries amb lliscament (composició d’una simetria axial amb una translació de direcció
paral·lela a l’eix de la simetria).
En el nostre cas estem estudiant les isometries que deixen una figura afitada superposada sobre si
mateixa, per tant, no hi pot haver ni translacions, ni simetries amb lliscament ja que aquests moviments
desplacen tota la figura sense deixar-la superposada sobre ella mateixa.
En general el conjunt de isometries que deixen una figura superposada sobre ella mateixa són girs i
simetries totes elles amb un punt fix (centre de tots els girs i punt de tall de tots els eixos de simetria).
Aquest conjunt de moviments al compondre'ls entre ells ens dóna un altre gir o una altra simetria que
deixa invariant la figura i per això s’anomena el grup de simetries de la figura.
En el pitjor dels casos, si la figura és molt irregular, sempre li podem aplicar un gir de 360º que deixi tots
els seus punt fixes, aquesta isometria s’anomena identitat i l’indiquem Id.
Exercici 4
Estudieu el grup de simetria de les figures següents:
a) b) c)
a) Indica el centre dels girs, els girs i les simetries del rectangle.
b) Quants moviments deixen el trapezi invariant?
c) Quants girs deixen la circumferència invariant? Quants eixos de simetria té una circumferència?
143

Exercici 5
Dibuixeu un triangle equilàter orientat, on els costat són vectors per contes de segments, tal com indica la
figura.
B C
a) Indiqueu els girs que deixen el triangle invariant. Té alguna simetria?
b) Anomeneu G, H i Id els tres girs i completeu la taula
G
H
Id
A
G H Id
A cada casella escriurem el resultat d’aplicar al triangle en primer lloc el moviment
que encapçala la columna seguit del moviment que indica la fila corresponent.
Podreu observar que el resultat de compondre aquests girs dóna un gir del mateix
tipus.
144

Exercici 6
Dibuixeu un triangle equilàter tal com indica la figura.
C
B
a) Indiqueu els girs G, H i Id que deixen el triangle invariant i les simetries S1 , S2 i S3
b) Completeu la taula següent
A
Id G H S1 S2 S3
145

Id
G
H
S1
S2
S3
A cada casella escriurem el resultat d’aplicar al triangle en primer lloc el moviment que encapçala la
columna seguit del moviment que indica la fila corresponent. Podreu observar els resultats següents:
El resultat de compondre dues isometries que deixen invariant al triangle és una isometria que també
el deixa invariant.
El resultat de compondre dos girs és un gir del grup.
El resultat de compondre un gir i una simetria és igual a una simetria del grup.
El resultat de compondre dues simetries és un gir del grup.
Aquests resultats que heu obtingut pel triangle equilàter es satisfan en qualsevol polígon regular i en
general en qualsevol conjunt d’isometries que deixen invariant una figura plana i afitada. Per això podem
parlar del grup d’isometries d’una figura i classificar-la segons els elements del seu grup.
Exercici 7
a) Trobeu el grup d’isometries del quadrat i del pentàgon regular.
b) Completeu la taula següent:
Polígon regular Angles de gir Nombre
de
simetries
146
Angle format
per dos eixos de
simetria

Triangle
Quadrat
Pentàgon
Hexàgon
Heptàgon
Octàgon
147
consecutius
c) Descriviu els eixos de simetria segons la paritat del nombre de costats dels polígons regulars.
d) Sabríeu escriure els angles dels girs que deixen invariant un polígon regular de 20 costats? I d’ un
polígon regular de n costats?
e) Sabríeu escriure l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius d’un polígon regular de 20
costats? I d’un polígon regular de n costats?
Exercici 8
Amb els resultats dels exercicis 1, 2 i 3 completeu la taula de la pàgina següent
Un cop completada la taula contesteu les qüestions següents:
a) Quina relació hi ha entre l’angle més petit de gir i el nombre de girs?
b) Quina relació hi ha entre l’angle mínim de gir del grup i l’angle que formen dos eixos de simetria
consecutius?
c) Quina relació hi ha entre el nombre de simetries i el nombre de girs?

Escut BCN
RENFE
T.M.B.
F.G.C.
Farmàcia
A1
A2
A3
B1
B2
B3
C1
C2
C3
D1
Figura
Girs
n
Simet
ries
n
Angles de gir
148
Angle que
formen dos
eixos de
simetria
consecutius
Nom del
grup de
simetries

D2
D3
E1
E2
E3
Catedral
Barcelona
Catedral
Tarragona
Seu Vella
Lleida
Sª Mª Mar I i
II
149

Grups cíclics i grups diedrals
Objectiu: classificar les figures planes i afitades segons el seu grup d’isometries
Observant els valors de la taula anterior ens adonem de uns quants resultats interessants:
a) L’angle més petit de gir és igual a 360º dividit pel nombre de girs, i els altres girs tenen un angle
múltiple enter d’aquest.
b) El nombre de simetries axials, si no és nul, és sempre igual al nombre de girs. (Si una figura té un eix
de simetria i un gir d’angle aleshores la recta que forma un angle /2 amb el primer eix és també
eix de simetria).
c) Figures diferents poden tenir el grup de simetries format pels mateixos elements.
En resum els conjunts d’isometries que deixen una figura invariant són de dos tipus:
1. Si la figura no té eixos de simetria, aleshores està
format pels girs d’angles d’amplitud 360ºk/n amb
k=1,2,..., n.
Aquest conjunt de girs s’anomena grup cíclic d’ordre n i s’indica per Cn
2. Si la figura a més dels girs C n té simetries aleshores hi hauran n simetries amb els eixos que es
tallen en el centre i que formen angles 180ºk/n amb k=1,2,..., n.
Aquest conjunt de girs i simetries s’anomena grup diedral d’ordre n i s’indica per D n .
Els grups diedrals i els grup cíclics s’anomenen grups de Leonardo i ens permeten classificar les figures
segons el grup de moviments que les deixen invariants. Així direm que una figura és del tipus cíclic o del
tipus diedral segons si el seu grup de simetries és un grup cíclic o diedral.
El nom de Leonardo prové de l’artista renaixentista Leonardo da Vinci (1452 –1519) que es va interessar
per la Geometria aplicada a l’art, com ho demostren els seus escrits sobre la perspectiva, la construcció
de polígons regulars i d’el·lipses, els seus treballs sobre àrees de superfícies curvilínies, etc.
En els fulls dels seus quaderns dedicats a arquitectura dóna solucions al problema d’afegir capelles i
nínxols a un edifici de planta circular o en forma d’octògon regular sense destruir-ne la simetria.
Leonardo estudia els eixos de simetria d’aquestes plantes i els girs que les deixen invariants i té en
compte aquests elements a l’hora de dissenyar l’edifici. El fet que la major part d’aquests projectes no es
portessin a la pràctica demostra l’interès teòric que per a Leonardo tenien aquests dissenys. És per això
que alguns autors parlin dels grups de Leonardo quan estudiem el grup d’isometries d’una figura plana i
afitada.
150

Exercici 9
a) Quin tipus de grup de Leonardo és un polígon regular de n costats?
b) Completeu l’última columna de la taula de l’exercici 8, indicant si es tracta d’un grup cíclic, o bé,
d’un grup diedral.
151

Exercici 10
Ara es tracta de que aconseguiu la vostra pròpia col·lecció de fotografies de figures de grups cíclics i
diedrals d’ordre diferent i més gran que 1. Els plats de rodes de models diferents de cotxes ens donen una
gran varietat de grups diedrals i cíclics. En les esglésies romàniques i gòtiques es poden veure, apart dels
rosetons, molts elements decoratius en els vitralls, en la decoració dels arcs ogivals, etc. que formen grups
diedrals o cíclics d’ordre més gran que 1. Feu-ne fotografies i classifiqueu la figura segons el seu grup
d’isometries.
Exercici 11
En els claustres de les catedrals de Barcelona, Tarragona i de la Seu Vella de Lleida en el interior de les
arcades que envolten el pati s’hi troben elements decoratius circulars que presenten simetries diferents.
Feu fotografies de tres elements decoratius circulars de grups de Leonardo diferents. Indiqueu de quin
tipus de grup de Leonardo es tracta.
Exercici 12
A la primera meitat del segle XX la pavimentació dels terres es feia amb mosaic hidràulic. El mosaic
hidràulic està composat de rajoles de morter de ciment hidràulic, emmotllades i premsades, formades de
distintes capes de material de les quals la superior, apta per a ésser trepitjada, presenta un acabat fi, moltes
vegades amb dibuixos que formen conjunts de geometria regular. A Catalunya hi havia les principals
indústries que es dedicaven a la fabricació d’aquests mosaics. En un catàleg de l’any 1929 s’hi troba
aquest rosetó format per rajoles hexagonals. Trobeu el grup de Leonardo de cada una de les rajoles que
composen el paviment i del disseny del rosetó.
152
A B C D
E

153

Motiu mínim d’una figura
Objectiu: trobar el motiu mínim que genera una figura plana i afitada coneixent el seu grup de Leonardo.
Exercici 13:
Motiu mínim d’una figura del tipus cíclic
Preneu la figura E2 de l’exercici 3 del tipus C 5 i dibuixeu en un paper transparent un angle de 360º : 5 =
72º, superposeu el vèrtex O d’aquest angle en el centre de gir de la figura, calqueu el tros de dibuix que
queda dins de l’angle convex. Aquest és el motiu que genera tota la figura al aplicar-li quatre vegades el
gir de 72º i centre O.
Utilitzeu aquesta tècnica per a dibuixar els motius mínims de totes les figures del tipus cíclic de l’exercici
3.
Exercici 14
Motiu mínim d’una figura del tipus diedral
Preneu la figura A3 de l’exercici 3 del tipus D 5 i dibuixeu sobre el paper transparent superposat a la
figura dos eixos de simetria consecutius, calqueu el tros de dibuix que queda determinat per l’angle agut
que formen aquests dos eixos. Aquest és el motiu que genera tota la figura. Apliqueu ara una de les
simetries determinada per un dels dos eixos i apliqueu a la figura resultant quatre vegades el gir de 72º i
centre O. Sobre el paper transparent obtindreu novament la figura.
Utilitzeu aquesta tècnica per a dibuixar els motius mínims de totes les figures del tipus diedral de
l’exercici 3.
Exercici 15
Trobeu el motiu mínim que genera el rosetó de mosaic de l’exercici 12.
154

Exercici 16
Trobeu el motiu mínim que genera els rosetons de les esglésies que heu estudiat a l’exercici 2.
155

Construcció d’una figura plana i afitada amb un grup
d’isometries donat
Objectiu: construir una figura plana i afitada que tingui un grup d’isometries donat
En els exercicis anteriors heu pogut observar que donat un motiu mínim i aplicant successives vegades
alguns moviments obtenim tota la figura. Aquests moviments s’anomenen generadors del grup de
simetries. En el cas del grup cíclic C n el generador és el gir d’angle 360º/ n, en el cas del grup diedral
D n el generador és una simetria qualsevol del grup i el gir d’angle 360º/ n.
Exercici 17
Construïu una figura del tipus C 6 . Per això seguiu els passos següents:
a) Dibuixeu un angle de 60º (360º : 6) i a l’interior del sector convex definit per aquest angle dibuixeu
un motiu qualsevol que no sigui simètric respecte a cap eix que passi pel vèrtex de l’angle.
b) Sobre paper transparent calqueu el dibuix anterior i apliqueu al motiu, amb centre el vèrtex de
l’angle, girs de 60º, 120º, 180º, 240º i 300º, és a dir
Sobre el paper vegetal obtindreu una figura del tipus C 6 .
Exercici 18
156
360 k
amb 1, 2,
3,
4,
5
º·
6
k .
Construïu una figura del tipus D 6 . Per això seguiu els passos següents:
a) Dibuixeu un angle de 30º (180º : 6) i a l’interior del sector convex definit per aquest angle dibuixeu
un motiu qualsevol que no sigui simètric respecte a cap eix que passi pel vèrtex de l’angle.
b) Sobre paper transparent calqueu el dibuix i dibuixeu també el resultat d’aplicar-li una simetria
respecte a un dels costats de l’angle.

c) Apliqueu al dibuix anterior, amb centre el vèrtex de l’angle, un gir de 60º, 120º, 180º, 240º i 300º, és
a dir
360 k
amb 1, 2,
3,
4,
5
º·
6
k .
La figura resultant és del tipus D 6 .
157

BIBLIOGRAFIA
Barral, Xavier. Les Catedrals de Catalunya. Edicions 62. Barcelona, 1994.
Bassegoda, Bonaventura. Santa Maria de la Mar, Llibre I. Indústries Gràfiques: Fills de J. Thomas.
Barcelona, 1925.
Blanco Martín, Mª Francisca. Movimientos y Simetrías. Publicaciones de la Universidad de Valladolid,
D.L. 1994.
Bossard, Yvon. Rosaces, frises et pavages. Vol 1: étude practique. CEDIC, Paris 1977.
Col·legi Oficial d’Aparelladors. El mosaic hidràulic: artesania i industria. Catàleg de l’exposició, 1985.
Escofet, E. F. Mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1929.
Fernández Benito, Inmaculada . Grupos de Leonardo. Actas de las 9 as Jornadas para el Aprendizaje y la
Enseñanza de las Matemáticas. Lugo, 1999.
Hornung, Clarence P. Handbook of designs and devices. Dover Publications, Inc., New York, 1959.
Jaime Pastor, Adela i Angel Gutiérrez Rodríguez. El grupo de las Isometrías del Plano. Síntesis. Madrid,
1996.
Pedoe, Dan. La geometria en el arte. Gustavo Gili, Barcelona, 1979.
Weyl, Hermann. Symetry. Princeton University Press. New Jersey, 1982.
158

Exercici 1
EXERCICIS RESOLTS
L’escut de la ciutat de Barcelona té un eix de simetria horitzontal i no hi ha cap gir, llevat el trivial de
360º, que el deixi superposat sobre ell mateix.
Els logotips de RENFE i de FGC no tenen eixos de simetria i en canvi hi ha un gir de centre el centre del
logotip i d’angle 180º que els deixa superposats sobre ells mateixos.
El logotip dels transports metropolitans de Barcelona té dos eixos de simetria un horitzontal i l’altre
vertical i a més el gir de 180º amb centre el punt de tall dels dos eixos de simetria també el deixa
invariant.
La creu que indica els establiments farmacèutics té quatre eixos de simetria: un horitzontal, l’altre vertical
i les dues bisectrius de l’angle que formen aquests dos eixos perpendiculars. Els quatre girs de centre el
punt on es tallen els eixos d’angles 90º, 180º, 270º i 360º formen part també del conjunt d’isometries que
deixen invariant la creu de Farmàcia.
Exercici 2 (Barcelona)
El rosetó de la catedral de Barcelona té 6 eixos de simetria i 6 girs de centre el centre del rosetó i angles:
60º,120º,180º, 240º, 300º i 360º que el deixen invariable.
Els dos rosetons de l’església de Santa Maria del Mar tenen respectivament 8 eixos de simetria i 8 girs de
centre el centre del rosetó i angles: 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º que els deixen invariables.
Exercici 2 (Tarragona)
El rosetó de la façana principal de la catedral de la ciutat de Tarragona té 12 eixos de
simetria i 12 girs de centre el centre del rosetó i angles : 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º,
210º, 240º, 270º, 300º , 330º i 360º que el deixen invariable.
159

Exercici 2 (Lleida)
El rosetó de la porta de Sant Berenguer de la Seu Vella de Lleida té eixos de simetria i 8 girs de centre el
centre del rosetó i angles: 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º que el deixen invariables.
160

Exercici 3
161

Exercici 4
a) Els dos eixos de simetria són els que apareixen en el dibuix i passen
respectivament pel punt mig dels dos costats paral·lels. Els dos girs que
el deixen invariant són els de centre O i angle de gir 180º i 360º.
b) No hi ha cap simetria que deixi invariant el trapezi,. Només el gir
trivial de 360º amb centre qualsevol punt del pla el deixa invariable.
c) Si girem la circumferència amb centre de gir el centre de la
circumferència i amb angle qualsevol es mantindrà invariable.
Qualsevol diàmetre de la circumferència és eix de simetria. El nombre
d’eixos de simetria d’una circumferència és igual al nombre de diàmetres, per tant, és infinit.
Exercici 5
a) El triangle equilàter orientat no té eixos de simetria i hi ha tres girs amb centre el centre del triangle
equilàter i d’angles 120º, 240º i 360º.
b) Essent G= gir de 120º, i H = gir de 180º :
G H Id
G H Id G
H Id G H
Id G H Id
Exercici 6
a) G, H i Id són els mateixos girs de l’exercici 5.
S1 = simetria d’eix perpendicular a BC i que passa per A.
S2 = simetria d’eix perpendicular a AC i que passa per B.
162

)
S3 = simetria d’eix perpendicular a AB i que passa per C.
Id G H S1 S2 S3
Id Id G H S1 S2 S3
G G H Id S3
H H Id G S2 S3
S1
163
S1 S2
S1 S2 S3 Id G H
S2 S2 S3
S3
S3
S1 H Id G
S1 S2 G H Id
S1

Exercici 7
a) En la figura hi ha indicats els eixos de simetria i l’angle mínim dels girs que deixen la figura
superposada.
b)
Polígon
regular
90º 72º
Angles de gir Nombre
de
simetries
Triangle 120º, 240º i 360º 3 60º
Quadrat 90º, 180º, 270º i 360º 4 45º
Pentàgon 72º, 144º, 216º, 288º, 360º 5 36º
Hexàgon 60º, 120º, 180º, 240º, 300º i 360º 6 30º
Heptàgon 360º/7, 720º/7, 1080º/7, 1440º/7,
1800º/7, 2160º/7, 360º
7 180º/7
Octàgon 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º 8 22,5º
164
Angle format
per dos eixos
de simetria
consecutius
c) Els eixos de simetria dels polígons regulars amb un nombre parell de costats són de dos tipus: les
rectes que van d’un vèrtex al seu vèrtex oposat, i les rectes que van d’un vèrtex al punt mig del seu
costat oposat.
Els eixos de simetria dels polígons regulars amb un nombre senar de costats són les rectes que surten
d’un vèrtex i van a parar a la meitat del costat oposat a aquest vèrtex.
d) Un polígon regular de 20 costats té 20 eixos de simetria concurrents i els angles que formen dos eixos
consecutius són iguals, per tant l’angle que formen és 180º:20 = 9º.

En general, l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius d’un polígon de n costats és: 180º :
n .
Exercici 8
En la pàgina següent s’hi troba la taula completada.
a) Si el nombre de girs és n aleshores l’angle mínim de gir és 360º : n.
b) Si l’angle mínim de gir és aleshores l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius és
/2.
c) El nombre de simetries d’una figura plana i afitada o bé és zero o bé és igual al nombre de girs que la
deixen invariable.
165

Figura
Girs
Simet
ries
Angles de gir
166
Angle que
formen dos
eixos de
simetria
consecutius
Nom del
grup de
simetries
Escut BCN 1 1 360º - D1
RENFE 2 0 180º, 360º - C2
T.M.B. 2 2 180º, 360º 90º D2
F.G.C. 2 0 180º, 360º - C2
Farmàcia 4 4 90º, 180º, 270º, 360º 45º D4
A1 3 3 120º, 240º, 360º 60º D3
A2 3 0 120º, 240º, 360º - C3
A3 5 5 72º, 144º, 216º, 288º, 360º 36º D5
B1 1 1 360º - D1
B2 8 0 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º - C8
B3 4 0 90º, 180º, 270º, 360º - C4
C1 1 1 360º - D1
C2 4 4 90º, 180º, 270º, 360º 45º D4
C3 6 6 60º, 120º, 180º,240º, 300º, 360º 30º D6
D1 4 4 90º, 180º, 270º,t360º 45º D4

D2 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8
D3 3 3 120º, 240º, 360º 60º D3
E1 2 0 180º, 360º - C2
E2 5 0 72º, 144º, 216º, 288º, 360º - C5
18º,36º,54º,72º,90º,108º,126º,144º,162º,180º
E3 20 0 198º,216º,234º,252º,270º,288º,306º,324º,342º,360º - C20
Catedral
Barcelona 6 6 60º, 120º, 180º,240º, 300º, 360º 30º D6
Catedral
Tarragona 12 12
30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270º, 300º, 360º
15º D12
Seu Vella
Lleida 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8
Sª Mª Mar I i
II 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8
Exercici 9
a) Atenent als resultats de l’exercici 7 el grup d’isometries que deixa invariant un polígon regular de n
costats és un grup diedral: Dn..
b) Mireu la pàgina anterior.
Exercici 12
A i E tenen grups D6; B té grup D1 C i D tenen grups C1
El rosetó no té eixos de simetria i 60º és l’angle mínim d’un gir que el deixi invariant, per tant te grup
cíclic d’ordre 6: C6
Exercici 13 i 14
En la figura que acompanya la solució de l’exercici 3 hi ha marcats els motius mínims generadors de les
figures.
167

Exercici 15
Només cal dibuixar dues rectes que passin pel centre del rosetó i que formin un angle de 60º, el tros de
disseny contingut en la regió del pla determinada per aquest angle és el motiu mínim generador del
rosetó.
Exercici 17
a) Dibuixem una figura no
b) Apliquem el gir de 60º i obtenim:
I aplicant els girs successius:
168

Exercici 18
a) Dibuixem un motiu en la regió del pla determinada per un angle de 30º:
b) Aplicant una simetria respecte un dels costats de l’angle
obtenim:
c) Aplicant els girs successius obtenim:
169

6
Els logotips, els rosetons i els grups d’isometries
170

FITXA PER AL PROFESSORAT
Nivell: Segon Cicle d’ESO
Coneixements previs: Isometries en el pla: girs i simetries.
Objectius didàctics
Descobrir les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada.
Caracteritzar les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada.
Compondre isometries.
Classificar les figures planes i afitades segons el seu grup de simetries.
Trobar el motiu mínim que genera una figura plana i afitada coneixent el seu grup
de simetries.
Construir una figura plana i afitada que tingui un grup de simetries donat.
Potencial multidisciplinar
Disseny de logotips i de figures amb un grup de simetries determinat. (Àrea d’Expressió Visual i
Plàstica)
L’Arquitectura gòtica. (Àrea de Ciències Socials)
Orientacions didàctiques
El paper vegetal és molt útil per la realització d’aquesta pràctica. En els exercicis 1, 2 i 3 per dibuixar
els eixos de simetria sense embrutar la il·lustració. En els exercicis 13, 14, 15 i 16 per calcar el motiu
mínim que genera una figura determinada En els exercicis17 i 18 per aplicar isometries a un motiu
inventat.
Si els alumnes i les alumnes tenen poca pràctica en la composició d’isometries, els exercicis 5 i 6 es
poden treballar amb mètodes manipulatius: retallant un triangle i aplicant-li els diferents moviments.
En el cas que s’hagin treballat aquestes composicions es pot introduir l’expressió d’una isometria
aplicada a un triangle en forma de matriu dels vèrtexs i els seus transformats i compondre dues
isometries fent servir aquestes matrius..
La visita a les Catedrals i el treball al carrer
L’exercici 2 d’aquesta pràctica apareix amb tres versions diferents corresponents a les catedrals de Lleida,
Barcelona i Tarragona. L’exercici és aplicable a qualsevol rosetó que estigui a l’abast de l’alumnat.
L’exercici 10 l’han de realitzar els nois i noies pel seu compte. És recomanable que treballin en grups. Els
plats de les rodes dels cotxes són una bona font de grups de Leonardo d’ordre diferent, de tota manera
poden proposar altres objectes. En aquest exercici haurem d’insistir tant en que fotografiïn objectes
diferents amb el mateix grup de Leonardo, com objectes del mateix tipus amb diferent grup d’isometries.
En el exercici 11, que s’aplica als claustres de les catedrals, es pot aprofitar la visita per treballar
qüestions de Ciències Socials.

Material gràfic
Il·lustracions dels rosetons de les catedrals del llibre Les Catedrals de Catalunya de Xavier Barral,
Edicions 62, 1994.
Il·lustracions dels rosetons del llibre de Bonaventura Bassegoda, Santa Maria de la Mar, Llibre I.
Indústries Gràfiques: Fills de J. Thomas. Barcelona, 1925.
Dissenys de logotips de Hornung, Clarence P. Handbook of designs and devices. Dover Publications,
Inc., New York, 1959.
Rosetó de Catàleg de mosaics de E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 192
136

Girs i simetries
Objectiu: detectar els moviments del pla que aplicats a una figura plana i afitada la
deixen superposada sobre ella mateixa.
Exercici 1
Observeu els logotips de la ciutat de Barcelona, dels Transports metropolitans de Barcelona, de RENFE ,
del Ferrocarrils de la Generalitat i la creu de les farmàcies. Superposant un paper transparent marqueu, si
s’escau, els eixos de simetria de cada un dels logotips.
Hi ha algun punt des del qual fent girar el logotip queda superposat sobre ell mateix?
Indiqueu, si s’escau, els angles dels girs de centre el punt anterior que deixen a la figura invariant.

160

Exercici 2 (Lleida)
Observeu el rosetó sobre la porta de Sant Berenguer situada en el braç nord de la Seu Vella de Lleida.
Feu-ne una fotografia o un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent els seus eixos de
simetria.
Indiqueu el centre i els angles dels girs que deixen el rosetó invariable. Quina relació hi
ha entre els angles de gir?
Exercici 2 (Barcelona)
Observeu els rosetons de les façanes principals de la Catedral i de Santa Maria del Mar (Làmina 1) de la
ciutat de Barcelona. Feu-ne una fotografia o un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent
els seus eixos de simetria.
161

Indiqueu els angles dels girs que aplicats des del centre deixen els rosetons invariables. Quina relació hi
ha entre els angles de gir?
162

163

Làmina 1
Exercici 2 (Tarragona)
Observeu el rosetó de la façana principal de la Catedral de la ciutat de Tarragona. Feu-ne una fotografia o
un dibuix esquemàtic i dibuixeu sobre un paper transparent els seus eixos de simetria.
Indiqueu els angles dels girs que aplicats des del centre deixen el rosetó invariable.
Quina relació hi ha entre els angles de gir?
Exercici 3
Observeu els dissenys de la Làmina 2, tots ells extrets del llibre “Handbook of designs and devices” de
Clarence P. Hornun, i ajudant-vos d’un paper transparent resoleu les qüestions següents:
d) Determineu el punt des del qual pots girar el disseny de manera que es “transformi en ell mateix”.
e) Determineu els angles dels girs de l’apartat anterior. Quina relació hi ha entre aquests angles?
164

f) Dibuixeu sobre el paper transparent superposat a la figura els eixos de simetria de cada una de les
figures.
165

166

167

Grup de simetries d’una figura
Objectiu: Caracteritzar les simetries i els girs que deixen invariant una figura plana i afitada i
estudiar-ne la composició.
En les figures que heu estudiat en els exercicis anteriors heu pogut observar que hi ha dos tipus de
moviments del pla que transformen una figura en ella mateixa: els girs de centre comú (sobre el que
girem la figura) i les simetries axials amb eixos que es tallen en el centre dels girs.
Aquests dos tipus de moviments formen part del conjunt de moviments del pla que conserven les
distàncies i que s’anomenen isometries. Hi ha quatre tipus de isometries: les translacions, els girs, les
simetries i les simetries amb lliscament (composició d’una simetria axial amb una translació de direcció
paral·lela a l’eix de la simetria).
En el nostre cas estem estudiant les isometries que deixen una figura afitada superposada sobre si
mateixa, per tant, no hi pot haver ni translacions, ni simetries amb lliscament ja que aquests moviments
desplacen tota la figura sense deixar-la superposada sobre ella mateixa.
En general el conjunt de isometries que deixen una figura superposada sobre ella mateixa són girs i
simetries totes elles amb un punt fix (centre de tots els girs i punt de tall de tots els eixos de simetria).
Aquest conjunt de moviments al compondre'ls entre ells ens dóna un altre gir o una altra simetria que
deixa invariant la figura i per això s’anomena el grup de simetries de la figura.
En el pitjor dels casos, si la figura és molt irregular, sempre li podem aplicar un gir de 360º que deixi tots
els seus punt fixes, aquesta isometria s’anomena identitat i l’indiquem Id.
Exercici 4
Estudieu el grup de simetria de les figures següents:
a) b) c)
d) Indica el centre dels girs, els girs i les simetries del rectangle.
e) Quants moviments deixen el trapezi invariant?
f) Quants girs deixen la circumferència invariant? Quants eixos de simetria té una circumferència?
168

Exercici 5
Dibuixeu un triangle equilàter orientat, on els costat són vectors per contes de segments, tal com indica la
figura.
c) Indiqueu els girs que deixen el triangle invariant. Té alguna simetria?
d) Anomeneu G, H i Id els tres girs B i completeu la taula C
G
H
Id
G H Id
A cada casella escriurem el resultat d’aplicar al triangle en primer lloc el moviment
que encapçala la columna seguit del moviment que indica la fila corresponent.
Podreu observar que el resultat de compondre aquests girs dóna un gir del mateix
tipus.
Exercici 6
Dibuixeu un triangle equilàter tal com indica la figura.
A
A
169

c) Indiqueu els girs G, H i Id que deixen el triangle invariant i les simetries S1 , S2 i S3
d) Completeu la taula següent
Id
G
H
S1
S2
S3
Id G H S1 S2 S3
A cada casella escriurem el resultat d’aplicar al triangle en primer lloc el moviment que encapçala la
columna seguit del moviment que indica la fila corresponent. Podreu observar els resultats següents:
El resultat de compondre dues isometries que deixen invariant al triangle és una isometria que també
el deixa invariant.
El resultat de compondre dos girs és un gir del grup.
El resultat de compondre un gir i una simetria és igual a una simetria del grup.
170

El resultat de compondre dues simetries és un gir del grup.
Aquests resultats que heu obtingut pel triangle equilàter es satisfan en qualsevol polígon regular i en
general en qualsevol conjunt d’isometries que deixen invariant una figura plana i afitada. Per això podem
parlar del grup d’isometries d’una figura i classificar-la segons els elements del seu grup.
Exercici 7
c) Trobeu el grup d’isometries del quadrat i del pentàgon regular.
d) Completeu la taula següent:
Polígon regular Angles de gir Nombre
de
simetries
Triangle
Quadrat
Pentàgon
Hexàgon
Heptàgon
Octàgon
171
Angle format
per dos eixos de
simetria
consecutius
f) Descriviu els eixos de simetria segons la paritat del nombre de costats dels polígons regulars.
g) Sabríeu escriure els angles dels girs que deixen invariant un polígon regular de 20 costats? I d’ un
polígon regular de n costats?
h) Sabríeu escriure l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius d’un polígon regular de 20
costats? I d’un polígon regular de n costats?
Exercici 8
Amb els resultats dels exercicis 1, 2 i 3 completeu la taula de la pàgina següent
Un cop completada la taula contesteu les qüestions següents:
d) Quina relació hi ha entre l’angle més petit de gir i el nombre de girs?
e) Quina relació hi ha entre l’angle mínim de gir del grup i l’angle que formen dos eixos de simetria
consecutius?
f) Quina relació hi ha entre el nombre de simetries i el nombre de girs?

Escut BCN
RENFE
T.M.B.
F.G.C.
Farmàcia
A1
A2
A3
B1
B2
B3
C1
C2
C3
D1
D2
Figura
Girs
n
Simet
ries
n
Angles de gir
172
Angle que
formen dos
eixos de
simetria
consecutius
Nom del
grup de
simetries

D3
E1
E2
E3
Catedral
Barcelona
Catedral
Tarragona
Seu Vella
Lleida
Sª Mª Mar I i
II
173

Grups cíclics i grups diedrals
Objectiu: classificar les figures planes i afitades segons el seu grup d’isometries
Observant els valors de la taula anterior ens adonem de uns quants resultats interessants:
d) L’angle més petit de gir és igual a 360º dividit pel nombre de girs, i els altres girs tenen un angle
múltiple enter d’aquest.
e) El nombre de simetries axials, si no és nul, és sempre igual al nombre de girs. (Si una figura té un eix
de simetria i un gir d’angle aleshores la recta que forma un angle /2 amb el primer eix és també
eix de simetria).
f) Figures diferents poden tenir el grup de simetries format pels mateixos elements.
En resum els conjunts d’isometries que deixen una figura invariant són de dos tipus:
3. Si la figura no té eixos de simetria, aleshores està
format pels girs d’angles d’amplitud 360ºk/n amb
k=1,2,..., n.
Aquest conjunt de girs s’anomena grup cíclic d’ordre n i s’indica per Cn
4. Si la figura a més dels girs C n té simetries aleshores hi hauran n simetries amb els eixos que es
tallen en el centre i que formen angles 180ºk/n amb k=1,2,..., n.
Aquest conjunt de girs i simetries s’anomena grup diedral d’ordre n i s’indica per D n .
Els grups diedrals i els grup cíclics s’anomenen grups de Leonardo i ens permeten classificar les figures
segons el grup de moviments que les deixen invariants. Així direm que una figura és del tipus cíclic o del
tipus diedral segons si el seu grup de simetries és un grup cíclic o diedral.
El nom de Leonardo prové de l’artista renaixentista Leonardo da Vinci (1452 –1519) que es va interessar
per la Geometria aplicada a l’art, com ho demostren els seus escrits sobre la perspectiva, la construcció
de polígons regulars i d’el·lipses, els seus treballs sobre àrees de superfícies curvilínies, etc.
En els fulls dels seus quaderns dedicats a arquitectura dóna solucions al problema d’afegir capelles i
nínxols a un edifici de planta circular o en forma d’octògon regular sense destruir-ne la simetria.
Leonardo estudia els eixos de simetria d’aquestes plantes i els girs que les deixen invariants i té en
compte aquests elements a l’hora de dissenyar l’edifici. El fet que la major part d’aquests projectes no es
portessin a la pràctica demostra l’interès teòric que per a Leonardo tenien aquests dissenys. És per això
que alguns autors parlin dels grups de Leonardo quan estudiem el grup d’isometries d’una figura plana i
afitada.
174

Exercici 9
c) Quin tipus de grup de Leonardo és un polígon regular de n costats?
d) Completeu l’última columna de la taula de l’exercici 8, indicant si es tracta d’un grup cíclic, o bé,
d’un grup diedral.
175

Exercici 10
Ara es tracta de que aconseguiu la vostra pròpia col·lecció de fotografies de figures de grups cíclics i
diedrals d’ordre diferent i més gran que 1. Els plats de rodes de models diferents de cotxes ens donen una
gran varietat de grups diedrals i cíclics. En les esglésies romàniques i gòtiques es poden veure, apart dels
rosetons, molts elements decoratius en els vitralls, en la decoració dels arcs ogivals, etc. que formen grups
diedrals o cíclics d’ordre més gran que 1. Feu-ne fotografies i classifiqueu la figura segons el seu grup
d’isometries.
Exercici 11
En els claustres de les catedrals de Barcelona, Tarragona i de la Seu Vella de Lleida en el interior de les
arcades que envolten el pati s’hi troben elements decoratius circulars que presenten simetries diferents.
Feu fotografies de tres elements decoratius circulars de grups de Leonardo diferents. Indiqueu de quin
tipus de grup de Leonardo es tracta.
Exercici 12
A la primera meitat del segle XX la pavimentació dels terres es feia amb mosaic hidràulic. El mosaic
hidràulic està composat de rajoles de morter de ciment hidràulic, emmotllades i premsades, formades de
distintes capes de material de les quals la superior, apta per a ésser trepitjada, presenta un acabat fi, moltes
vegades amb dibuixos que formen conjunts de geometria regular. A Catalunya hi havia les principals
indústries que es dedicaven a la fabricació d’aquests mosaics. En un catàleg de l’any 1929 s’hi troba
aquest rosetó format per rajoles hexagonals. Trobeu el grup de Leonardo de cada una de les rajoles que
composen el paviment i del disseny del rosetó.
176
A B C D
E

177

Motiu mínim d’una figura
Objectiu: trobar el motiu mínim que genera una figura plana i afitada coneixent el seu grup de Leonardo.
Exercici 13:
Motiu mínim d’una figura del tipus cíclic
Preneu la figura E2 de l’exercici 3 del tipus C 5 i dibuixeu en un paper transparent un angle de 360º : 5 =
72º, superposeu el vèrtex O d’aquest angle en el centre de gir de la figura, calqueu el tros de dibuix que
queda dins de l’angle convex. Aquest és el motiu que genera tota la figura al aplicar-li quatre vegades el
gir de 72º i centre O.
Utilitzeu aquesta tècnica per a dibuixar els motius mínims de totes les figures del tipus cíclic de l’exercici
3.
Exercici 14
Motiu mínim d’una figura del tipus diedral
Preneu la figura A3 de l’exercici 3 del tipus D 5 i dibuixeu sobre el paper transparent superposat a la
figura dos eixos de simetria consecutius, calqueu el tros de dibuix que queda determinat per l’angle agut
que formen aquests dos eixos. Aquest és el motiu que genera tota la figura. Apliqueu ara una de les
simetries determinada per un dels dos eixos i apliqueu a la figura resultant quatre vegades el gir de 72º i
centre O. Sobre el paper transparent obtindreu novament la figura.
Utilitzeu aquesta tècnica per a dibuixar els motius mínims de totes les figures del tipus diedral de
l’exercici 3.
Exercici 15
Trobeu el motiu mínim que genera el rosetó de mosaic de l’exercici 12.
178

Exercici 16
Trobeu el motiu mínim que genera els rosetons de les esglésies que heu estudiat a l’exercici 2.
179

Construcció d’una figura plana i afitada amb un grup
d’isometries donat
Objectiu: construir una figura plana i afitada que tingui un grup d’isometries donat
En els exercicis anteriors heu pogut observar que donat un motiu mínim i aplicant successives vegades
alguns moviments obtenim tota la figura. Aquests moviments s’anomenen generadors del grup de
simetries. En el cas del grup cíclic C n el generador és el gir d’angle 360º/ n, en el cas del grup diedral
D n el generador és una simetria qualsevol del grup i el gir d’angle 360º/ n.
Exercici 17
Construïu una figura del tipus C 6 . Per això seguiu els passos següents:
d) Dibuixeu un angle de 60º (360º : 6) i a l’interior del sector convex definit per aquest angle dibuixeu
un motiu qualsevol que no sigui simètric respecte a cap eix que passi pel vèrtex de l’angle.
e) Sobre paper transparent calqueu el dibuix anterior i apliqueu al motiu, amb centre el vèrtex de
l’angle, girs de 60º, 120º, 180º, 240º i 300º, és a dir
Sobre el paper vegetal obtindreu una figura del tipus C 6 .
Exercici 18
180
360 k
amb 1, 2,
3,
4,
5
º·
6
k .
Construïu una figura del tipus D 6 . Per això seguiu els passos següents:
c) Dibuixeu un angle de 30º (180º : 6) i a l’interior del sector convex definit per aquest angle dibuixeu
un motiu qualsevol que no sigui simètric respecte a cap eix que passi pel vèrtex de l’angle.
d) Sobre paper transparent calqueu el dibuix i dibuixeu també el resultat d’aplicar-li una simetria
respecte a un dels costats de l’angle.
f) Apliqueu al dibuix anterior, amb centre el vèrtex de l’angle, un gir de 60º, 120º, 180º, 240º i 300º, és
a dir
360 k
amb 1, 2,
3,
4,
5
º·
6
k .

La figura resultant és del tipus D 6 .
181

BIBLIOGRAFIA
Barral, Xavier. Les Catedrals de Catalunya. Edicions 62. Barcelona, 1994.
Bassegoda, Bonaventura. Santa Maria de la Mar, Llibre I. Indústries Gràfiques: Fills de J. Thomas.
Barcelona, 1925.
Blanco Martín, Mª Francisca. Movimientos y Simetrías. Publicaciones de la Universidad de Valladolid,
D.L. 1994.
Bossard, Yvon. Rosaces, frises et pavages. Vol 1: étude practique. CEDIC, Paris 1977.
Col·legi Oficial d’Aparelladors. El mosaic hidràulic: artesania i industria. Catàleg de l’exposició, 1985.
Escofet, E. F. Mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1929.
Fernández Benito, Inmaculada . Grupos de Leonardo. Actas de las 9 as Jornadas para el Aprendizaje y la
Enseñanza de las Matemáticas. Lugo, 1999.
Hornung, Clarence P. Handbook of designs and devices. Dover Publications, Inc., New York, 1959.
Jaime Pastor, Adela i Angel Gutiérrez Rodríguez. El grupo de las Isometrías del Plano. Síntesis. Madrid,
1996.
Pedoe, Dan. La geometria en el arte. Gustavo Gili, Barcelona, 1979.
Weyl, Hermann. Symetry. Princeton University Press. New Jersey, 1982.
182

Exercici 1
EXERCICIS RESOLTS
L’escut de la ciutat de Barcelona té un eix de simetria horitzontal i no hi ha cap gir, llevat el trivial de
360º, que el deixi superposat sobre ell mateix.
Els logotips de RENFE i de FGC no tenen eixos de simetria i en canvi hi ha un gir de centre el centre del
logotip i d’angle 180º que els deixa superposats sobre ells mateixos.
El logotip dels transports metropolitans de Barcelona té dos eixos de simetria un horitzontal i l’altre
vertical i a més el gir de 180º amb centre el punt de tall dels dos eixos de simetria també el deixa
invariant.
La creu que indica els establiments farmacèutics té quatre eixos de simetria: un horitzontal, l’altre vertical
i les dues bisectrius de l’angle que formen aquests dos eixos perpendiculars. Els quatre girs de centre el
punt on es tallen els eixos d’angles 90º, 180º, 270º i 360º formen part també del conjunt d’isometries que
deixen invariant la creu de Farmàcia.
Exercici 2 (Barcelona)
El rosetó de la catedral de Barcelona té 6 eixos de simetria i 6 girs de centre el centre del rosetó i angles:
60º,120º,180º, 240º, 300º i 360º que el deixen invariable.
Els dos rosetons de l’església de Santa Maria del Mar tenen respectivament 8 eixos de simetria i 8 girs de
centre el centre del rosetó i angles: 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º que els deixen invariables.
Exercici 2 (Tarragona)
El rosetó de la façana principal de la catedral de la ciutat de Tarragona té 12 eixos de
simetria i 12 girs de centre el centre del rosetó i angles : 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º,
210º, 240º, 270º, 300º , 330º i 360º que el deixen invariable.
183

Exercici 2 (Lleida)
El rosetó de la porta de Sant Berenguer de la Seu Vella de Lleida té eixos de simetria i 8 girs de centre el
centre del rosetó i angles: 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º que el deixen invariables.
184

Exercici 3
185

Exercici 4
d) Els dos eixos de simetria són els que apareixen en el dibuix i passen
respectivament pel punt mig dels dos costats paral·lels. Els dos girs que
el deixen invariant són els de centre O i angle de gir 180º i 360º.
e) No hi ha cap simetria que deixi invariant el trapezi,. Només el gir
trivial de 360º amb centre qualsevol punt del pla el deixa invariable.
f) Si girem la circumferència amb centre de gir el centre de la
circumferència i amb angle qualsevol es mantindrà invariable.
Qualsevol diàmetre de la circumferència és eix de simetria. El nombre
d’eixos de simetria d’una circumferència és igual al nombre de diàmetres, per tant, és infinit.
Exercici 5
c) El triangle equilàter orientat no té eixos de simetria i hi ha tres girs amb centre el centre del triangle
equilàter i d’angles 120º, 240º i 360º.
d) Essent G= gir de 120º, i H = gir de 180º :
G H Id
G H Id G
H Id G H
Id G H Id
Exercici 6
c) G, H i Id són els mateixos girs de l’exercici 5.
S1 = simetria d’eix perpendicular a BC i que passa per A.
S2 = simetria d’eix perpendicular a AC i que passa per B.
S3 = simetria d’eix perpendicular a AB i que passa per C.
186

d)
Id G H S1 S2 S3
Id Id G H S1 S2 S3
G G H Id S3
H H Id G S2 S3
S1
187
S1 S2
S1 S2 S3 Id G H
S2 S2 S3
S3
S3
S1 H Id G
S1 S2 G H Id
S1

Exercici 7
e) En la figura hi ha indicats els eixos de simetria i l’angle mínim dels girs que deixen la figura
superposada.
f)
Polígon
regular
90º 72º
Angles de gir Nombre
de
simetries
Triangle 120º, 240º i 360º 3 60º
Quadrat 90º, 180º, 270º i 360º 4 45º
Pentàgon 72º, 144º, 216º, 288º, 360º 5 36º
Hexàgon 60º, 120º, 180º, 240º, 300º i 360º 6 30º
Heptàgon 360º/7, 720º/7, 1080º/7, 1440º/7,
1800º/7, 2160º/7, 360º
7 180º/7
Octàgon 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º i 360º 8 22,5º
188
Angle format
per dos eixos
de simetria
consecutius
g) Els eixos de simetria dels polígons regulars amb un nombre parell de costats són de dos tipus: les
rectes que van d’un vèrtex al seu vèrtex oposat, i les rectes que van d’un vèrtex al punt mig del seu
costat oposat.
Els eixos de simetria dels polígons regulars amb un nombre senar de costats són les rectes que surten
d’un vèrtex i van a parar a la meitat del costat oposat a aquest vèrtex.
h) Un polígon regular de 20 costats té 20 eixos de simetria concurrents i els angles que formen dos eixos
consecutius són iguals, per tant l’angle que formen és 180º:20 = 9º.
En general, l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius d’un polígon de n costats és: 180º :
n .

Exercici 8
En la pàgina següent s’hi troba la taula completada.
d) Si el nombre de girs és n aleshores l’angle mínim de gir és 360º : n.
e) Si l’angle mínim de gir és aleshores l’angle que formen dos eixos de simetria consecutius és
/2.
f) El nombre de simetries d’una figura plana i afitada o bé és zero o bé és igual al nombre de girs que la
deixen invariable.
189

Figura
Girs
Simet
ries
Angles de gir
190
Angle que
formen dos
eixos de
simetria
consecutius
Nom del
grup de
simetries
Escut BCN 1 1 360º - D1
RENFE 2 0 180º, 360º - C2
T.M.B. 2 2 180º, 360º 90º D2
F.G.C. 2 0 180º, 360º - C2
Farmàcia 4 4 90º, 180º, 270º, 360º 45º D4
A1 3 3 120º, 240º, 360º 60º D3
A2 3 0 120º, 240º, 360º - C3
A3 5 5 72º, 144º, 216º, 288º, 360º 36º D5
B1 1 1 360º - D1
B2 8 0 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º - C8
B3 4 0 90º, 180º, 270º, 360º - C4
C1 1 1 360º - D1
C2 4 4 90º, 180º, 270º, 360º 45º D4
C3 6 6 60º, 120º, 180º,240º, 300º, 360º 30º D6
D1 4 4 90º, 180º, 270º,t360º 45º D4

D2 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8
D3 3 3 120º, 240º, 360º 60º D3
E1 2 0 180º, 360º - C2
E2 5 0 72º, 144º, 216º, 288º, 360º - C5
18º,36º,54º,72º,90º,108º,126º,144º,162º,180º
E3 20 0 198º,216º,234º,252º,270º,288º,306º,324º,342º,360º - C20
Catedral
Barcelona 6 6 60º, 120º, 180º,240º, 300º, 360º 30º D6
Catedral
Tarragona 12 12
30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270º, 300º, 360º
15º D12
Seu Vella
Lleida 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8
Sª Mª Mar I i
II 8 8 45º, 90º, 135º, 180º,225º, 270º, 315º, 360º 22,5º D8
Exercici 9
c) Atenent als resultats de l’exercici 7 el grup d’isometries que deixa invariant un polígon regular de n
costats és un grup diedral: Dn..
d) Mireu la pàgina anterior.
Exercici 12
A i E tenen grups D6; B té grup D1 C i D tenen grups C1
El rosetó no té eixos de simetria i 60º és l’angle mínim d’un gir que el deixi invariant, per tant te grup
cíclic d’ordre 6: C6
Exercici 13 i 14
En la figura que acompanya la solució de l’exercici 3 hi ha marcats els motius mínims generadors de les
figures.
191

Exercici 15
Només cal dibuixar dues rectes que passin pel centre del rosetó i que formin un angle de 60º, el tros de
disseny contingut en la regió del pla determinada per aquest angle és el motiu mínim generador del
rosetó.
Exercici 17
c) Dibuixem una figura no
d) Apliquem el gir de 60º i obtenim:
I aplicant els girs successius:
192

Exercici 18
d) Dibuixem un motiu en la regió del pla determinada per un angle de 30º:
e) Aplicant una simetria respecte un dels costats de l’angle
obtenim:
f) Aplicant els girs successius obtenim:
193

7
Els frisos, les sanefes i els grups d’isometries
194

FITXA PER AL PROFESSORAT
Nivell: Segon Cicle d’ESO i Batxillerat Artístic
Coneixements previs: Isometries en el pla: translacions, girs i simetries.
Objectius didàctics
Reconèixer el motiu que genera un fris per translació.
Descobrir les isometries que deixen invariant un fris.
Caracteritzar les isometries que deixen invariant un fris.
Construir un fris a partir d’un motiu i aplicant les isometries.
Classificar els frisos segons el seu grup de isometries.
Trobar el motiu mínim que genera un fris coneixent el seu grup de isometries.
Potencial multidisciplinar
Disseny de sanefes i frisos. (Àrea d’Expressió Plàstica)
L’Arquitectura gòtica. (Àrea de Ciències Socials)
Orientacions didàctiques
Al començament de la pràctica cal fer notar que només seran objecte d’estudi aquells frisos que
presenten un motiu que es va repetint per una translació de vector donat.
En l’exercici 1 es menciona especialment les simetries amb lliscament ja que es tracta d’una
isometria que probablement no hagin treballat prèviament. És important que l’alumnat es familiaritzi
amb aquesta isometria per a poder classificar correctament els frisos.
Els exercicis 2, 3, 4 i 5 serveixen per caracteritzar les isometries que deixin la sanefa invariant. Es
poden fer exemples de translacions i de simetries d’eixos de direcció diferent o girs d’amplitud
diferent a 180º perquè se’n adonin que la direcció de les rectes que limiten la banda on està situada la
sanefa, determinen les característiques del seu grup de simetries.
El paper vegetal és molt útil per la realització d’aquesta pràctica. En els exercicis 2, 3, 4, 5 i 6 per
dibuixar els eixos de simetria, els centres de gir i els vectors de translació sense embrutar la
il·lustració. En els exercicis 7, 8, 9, 10, 11, 12 i 13 per aplicar isometries a un motiu inventat.
S’ha considerat que abans de classificar els frisos convé que els alumnes i les alumnes es
familiaritzin amb ells seguint mètodes manipulatius i constructius, aquest és l’objectiu del exercici 7
al exercici 13.
Trobar el motiu mínim que genera una sanefa no és tan senzill com trobar el motiu que es va repetint
per translació, per això s’ha deixat com exercici d’ampliació.
L’exercici 15 constitueix una proposta molt oberta i està pensat perquè l’alumnat comprovi que les
sanefes apareixen en contextos molt diferents: decoracions arquitectòniques, en les decoracions
159

d’objectes de ceràmica o de fusta, etc. Es demanarà que dibuixin, estudiïn les isometries i
classifiquin unes quantes de les sanefes que hagin trobat.
El treball al carrer
L’exercici 6 d’aquesta pràctica apareix en dues versions diferents corresponents a la Porta dels Fillols de
la Seu Vella de Lleida i a un edifici de la ciutat de Girona . S’han posat aquests dos exemples perquè
presenten diferents grups d’isometries en el mateix edifici. De tota manera cada ensenyant pot adaptar
l’exercici a algun altre edifici o motiu que presenti una certa varietat de sanefes.
Material gràfic
Fotografia de la Porta dels Fillols del llibre Les Catedrals de Catalunya de Xavier Barral, Edicions
62, 1994.
160

Les sanefes
Exercici 1
Observeu els parells de trapezis següents i indiqueu quin tipus d’isometria que deixi
fixa la recta r cal aplicar a un d’ells per obtenir-ne l’altre.
a) b)
c) d)
e)
Objectiu: Trobar i caracteritzar les isometries que deixen una sanefa superposada sobre ella mateixa.
r
r
A l’apartat e) cal aplicar al triangle una simetria d’eix r i una translació de vector paral·lel a r. Aquest
moviment és un nou tipus d’isometria que s’anomena simetria amb lliscament i l’indicarem representant
el seu eix per una recta de punts i la translació que provoca el lliscament per una fletxa que té la mateixa
direcció que la recta r, tal com s’indica en el dibuix.
Amb aquest moviment queda completat el
conjunt de les isometries format per: translacions, girs, simetries axials i simetries amb lliscament.
r
161
r
r
r

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Làmina 1
162

Observeu les sanefes de la làmina 1, totes elles s’obtenen per repetició d’un mateix motiu que es va
traslladant al llarg de la banda, aquesta translació es podria repetir indefinidament. Podem pensar les
sanefes com regions del pla limitades per dues rectes paral·leles, això ens dona una superfície d’amplada
limitada i longitud infinita, recoberta totalment per un motiu que es va repetint, conservant la distància
entre dos motius consecutius.
Estudiem quins moviments del pla deixen la sanefa superposada sobre ella mateixa , per això, realitzeu
els exercicis següents:
Exercici 2
a) Senyaleu, en cada sanefa el motiu que es repeteix per translació. És únic?
b) Senyaleu mitjançant una fletxa la translació de vector de longitud mínima que fa coincidir la sanefa
sobre ella mateixa.
c) Senyaleu, mitjançant fletxes, totes les translacions que desplacen el motiu sobre ell mateix en la
sanefa.
Fixeu-vos que si anomenem v al vector de translació de longitud mínima, tots els altres vectors de
translació són de la forma : 2v, 3v,
4v,...
, és a dir múltiples enters de v .
Exercici 3
Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes els eixos de simetria que deixen la banda superposada sobre ella
mateixa.
Exercici 4
Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes de punts, els eixos de simetria amb lliscament i dibuixeu una fletxa
per indicar-ne la translació associada al moviment.
Exercici 5
Fixeu-vos que només obtenim dos tipus de simetries que són les que tenen l’eix paral
i equidistant a les dues rectes que limiten la sanefa i les que tenen l’eix perpendicular
aquestes rectes. Això és així perquè qualsevol simetria que tingues el seu eix en una
altra direcció canviaria la direcció de la sanefa i, per tant, seria del tot impossible que
quedes superposada sobre ella mateixa.
Fixeu-vos que la translació de la simetria amb lliscament té la mateixa direcció que la sanefa i per tant
els eixos de simetria amb lliscament són sempre paral·lels a les rectes que limiten la sanefa.
A més a més l’eix de la simetria amb lliscament és equidistant a les rectes que limiten la sanefa i el
vector de translació és la meitat de v .
Senyaleu, si s’escau, mitjançant punts, els centres de gir que deixen la banda superposada sobre ella
mateixa, indiqueu-ne l’angle.
Fixeu-vos que els angles de gir són de 180º, ja que és l’única amplitud de gir que deixa invariant la direcció
de la banda. Els centres de gir són equidistants a les dues rectes que limiten la banda i dos centres de gir
consecutius estan a una distància igual a una meitat de la longitud de v .
163

El grup d’isometries dels frisos
Donat una sanefa o un fris s’anomenem grup d’isometries del fris al conjunt d’isometries que deixen la
banda superposada sobre ella mateixa. Si anomenem r a la recta paral·lela equidistant a les dues rectes
que limiten el fris, les isometries que componen aquest grup són les que deixen fixa aquesta recta, i són
necessàriament:
Les translacions de vector nv amb n Z i v paral·lel a r, vector de longitud mínima que deixa
invariant la sanefa.
Les simetries d’eix r.
Les simetries d’eixos perpendiculars a r i a una distància entre ells igual a v 2
.
Els girs de 180º que tenen el seu centre en r i a una distancia igual a v 2
.
Les simetries amb lliscament d’eix r i vector v 2
.
Si es componen entre ells aquests moviments el resultat és una isometria d’un d’aquests tipus. Per això els
matemàtics parlen del grup d’isometries del fris.
164

Un edifici curiós de Girona
En la cantonada de la Plaça Pompeu Fabra amb la Plaça Catalunya de la ciutat de
Girona s’hi troba un bloc de 14 pisos. Els balcons de la seva façana nord estan decorats
amb uns dissenys amb aparença de sanefes. Direm que es tracta d’una sanefa quan hi ha
un motiu que es va repetint per translació al llarg de la banda. En aquest cas, quan el
disseny que observem ens dóna informació suficient per tal de prolongar la sanefa
indefinidament. En la làmina 2 es mostren dues fotografies de l’edifici.
Un dels objectius d’aquest treball és estudiar des del punt de vista geomètric els diferents dissenys que
decoren cada balcó. Això vol dir cercar:
El motiu que es va repetint al llarg del disseny per veure que efectivament es tracta d’una sanefa.
La translació que cal aplicar d’un motiu a l’altre.
Les isometries que deixen invariant el disseny, és a dir, que fan que la sanefa es superposi sobre ella
mateixa.
Per a poder fer l’exercici convé que a partir de fotografies o des del carrer dibuixeu de forma
esquemàtica els dissenys.
Exercici 6
a) Quins pisos tenen un disseny en el balcó que no és una sanefa periòdica? Dibuixeu
esquemàticament en forma de banda horitzontal les sanefes periòdiques que decoren la
façana de l’edifici.
c) Senyaleu en el vostre dibuix mitjançant una fletxa la translació de vector de longitud mínima que fa
coincidir la sanefa sobre ella mateixa.
d) Senyaleu, si s’escau, mitjançant una recta l’eix de simetria horitzontal.
e) Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes, els eixos de simetria verticals.
f) Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes de punts i fletxes, els eixos de simetria amb lliscament.
g) Senyaleu, si s’escau, mitjançant punts, els centres de gir del motiu.
h) Feu una breu descripció dels elements de simetria per a cada una de les sanefes.
165

Un edifici curiós de Girona
Làmina 2
166

Els frisos de la Porta dels Fillols de la Seu Vella de Lleida
Ubicada a la façana sud de la catedral, els seu nom li fou atribuït perquè era l’entrada obligatòria fins al
segle XVII, de tots els nadons que havien de rebre el baptisme.
Se suposa que va ser construïda cap a l’any 1220. La porta consta d’un generós nombre d’arquivoltes
profusament decorades amb motius geomètrics i ornamentals. L’origen d’aquestes formes ornamentals és
molt discutit, ja que alguns estudiosos els relacionen amb l’art islàmic i d’altres amb motius propis de
l’arquitectura gòtica del Nord d’Europa. Aquesta decoració geomètrica amb motius repetitius apareix amb
més o menys variants en diferents esglésies de la zona de la plana de Lleida i voltants, construïdes la
major part al llarg del segle XIII, i els historiadors l’han atribuït a la que han anomenat escola de Lleida.
L’objectiu d’aquest treball és estudiar des del punt de vista geomètric les diferents sanefes que decoren
cada arquivolta. Això vol dir cercar:
El motiu que es va repetint al llarg del fris
La translació que cal aplicar pe passar d’un motiu a l’altre.
Les isometries que deixen invariant al fris, és a dir, que fan que el fris es superposi sobre ell mateix.
Exercici 6
Entenem per sanefa regular quan hi ha un motiu que es va repetint per translació al llarg de la banda.
Observeu detalladament les arquivoltes decorades i dibuixeu esquemàticament en forma de banda
horitzontal les set sanefes regulars diferents que decoren les arquivoltes de la Porta dels Fillols(assegureuvos
que hi ha un motiu que es repeteix exactament).
Hi ha alguna arquivolta que no estigui decorada per una sanefa regular?
De l’exterior a l’interior el nom de les sanefes periòdiques que decoren cada arquivolta són:
Palmetes
Ziga-zaga amb superfície decorada.
Tors anellat
Puntes de diamants
Arquets encreuats
Doble Ziga-zaga
Tiges perlades
a) Senyaleu mitjançant una fletxa la translació de vector de longitud mínima que fa coincidir la sanefa
sobre ella mateixa.
b) Senyaleu, si s’escau, mitjançant una recta l’eix de simetria horitzontal.
c) Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes, els eixos de simetria verticals.
d) Senyaleu, si s’escau, mitjançant rectes de punts i fletxes, els eixos de simetria amb lliscament.

e) Senyaleu, si s’escau, mitjançant punts, els centres de gir del motiu.
f) Feu una breu descripció dels elements de simetria per a cada una de les sanefes.
188

Porta dels Fillols de la Seu Vella de Lleida
189

Làmina 3
190

Construcció de sanefes
Objectius: Construir un fris aplicant isometries a un motiu donat.
Per fabricar un fris determinat només cal triar un motiu i aplicar-li una combinació de les isometries que
deixen invariant una banda. Els matemàtics han demostrat que el nombre de combinacions possibles de
moviments és igual a 7. Això ens dóna 7 grups d’isometries diferents i ens permet classificar qualsevol
fris segons el seu grup d’isometries.
El nostre objectiu serà familiaritzar-nos amb aquests set tipus de frisos. Per això seguint les instruccions
fabricarem un fris de cada tipus aplicant al mateix motiu inicial els set grup de isometries.
Exercici 7
Fabricació del fris que només té translacions.
a) Dibuixeu una figura no simètrica dins del rectangle d’altura a i d’amplada b. Aquest serà el motiu
mínim que genera tota el fris.
a
O
b
b) Traslladeu horitzontalment de manera que el rectangle traslladat comparteixi costat amb l’inicial.
Fer-ho indefinidament.
c) Quina translació heu aplicat?
d) Quina és l’amplitud de la franja?
Heu obtingut un fris del tipus F1
Exercici 8
Fabricació d’un fris amb gir i sense simetries.
a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici anterior un gir de 180º amb centre O
en un vèrtex del rectangle.
b) Construeix la franja traslladant horitzontalment el disseny anterior de manera que la figura
traslladada comparteixi un vèrtex amb l’original i no es superposin. Fer-ho indefinidament.
c) Quina translació heu aplicat?
d) Quina és l’amplitud de la franja?
191

Heu obtingut un fris del tipus 2
F
Nota: El centre de gir pot ser qualsevol punt que sigui del costat a del rectangle. Aleshores l’amplada de
la franja variarà entre a i 2a.
192

Exercici 9
Fabricació d’un fris sense girs i només amb simetria horitzontal
a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici 7 una simetria respecte a la recta que
conté a b.
b) Traslladeu horitzontalment el disseny anterior de manera que el rectangle traslladat comparteixi
costat amb l’inicial. Fer-ho indefinidament.
c) Quina translació heu aplicat?
d) Quina és l’amplada de la franja?
Heu obtingut un fris del tipus
Exercici 10
F
1
1
Fabricació d’un fris sense girs i només amb simetries verticals.
a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici 7 una simetria respecte la recta que
conté a a.
b) Traslladeu horitzontalment el disseny anterior de manera que el rectangle traslladat comparteixi
costat amb l’inicial. Fer-ho indefinidament.
c) Quina translació heu aplicat?
d) Quina és l’amplada de la franja?
Heu obtingut un fris del tipus
F
2
1
Exercici 11
Fabricació d’un fris sense girs ni simetries, i amb una simetria amb lliscament.
a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici 7 una simetria amb lliscament d’eix
la recta que conté a b i de vector b.
b) Construeix la franja traslladant horitzontalment el disseny anterior de manera que la figura
traslladada comparteixi un vèrtex amb l’original i no es superposin. Fer-ho indefinidament.
c) Quina translació heu aplicat?
d) Quina és l’amplada de la franja?
Heu obtingut un fris del tipus
F
3
1
Nota: L’eix de la simetria amb lliscament pot ser qualsevol recta paral·lela a la recta que conté a b. Per
exemple si prenem la recta paral·lela a b que parteix per la meitat al rectangle inicial obtenim una sanefa
d’amplitud igual a a.
193

En general l’amplada de la sanefa varia entre a i 2a.
Exercici 12
Fabricació d’un fris amb gir, simetria horitzontal i simetria vertical.
a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici 7 un gir de 180º respecte O.
b) Apliqueu al motiu que heu obtingut una simetria respecte a la recta que conté a b.
c) Traslladeu horitzontalment el disseny anterior de manera que el rectangle traslladat comparteixi
costat amb l’inicial. Fer-ho indefinidament.
d) Quina translació heu aplicat?
e) Té simetria vertical? A quina distància es troben dos eixos de simetria verticals consecutius?.
Heu obtingut un fris del tipus
F
1
2
Exercici 13
Fabricació d’un fris amb girs, simetria vertical i sense simetria horitzontal.
a) Apliqueu al motiu que heu dibuixat en l’apartat a) de l’exercici 4 un gir de 180º amb centre O.
b) Apliqueu a la figura una simetria respecte la recta que conté a a i no passa per O.
c) Construeix la franja traslladant horitzontalment el disseny anterior de manera que la figura
traslladada comparteixi un vèrtex amb l’original i no es superposin. Fer-ho indefinidament .
c) Quina translació heu aplicat?
d) Té simetria amb lliscament.? Indiqueu-ne l’eix i el vector.
Heu obtingut un fris del tipus
F .
2
2
En els exercicis del 7 al 13 heu construït tots els possibles tipus de frisos regulars, atenent al seu grup
d’isometries, obtinguts per repetició d’un mateix motiu.
Els set grups de frisos els indiquem amb la lletra F acompanyada d’un subíndex :
1= no té girs
2 = té girs
i un superíndex:
1 = té simetria horitzontal
2 = té simetria vertical i no en té d’horitzontal
3 = té simetria amb lliscament i no té cap simetria axial (ni horitzontal,
ni vertical)
194

Classificació de frisos
Per a poder classificar els frisos podem seguir l’algoritme de classificació anomenat l’algoritme de Rose i
Stafford, que ens dóna els passos que hem de seguir per a detectar les isometries que generen la sanefa.
Existeix una translació mínima? NO No és un fris
Existeix un gir?
SI
SI
SI
Existeix NO simetria
horitzontal?
Existeix simetria
vertical?
SI
NO
Existeix simetria
amb lliscament?
NO
Existeix simetria horitzontal?
F2 1
NO
Existeix simetria
vertical?
195
NO
NO
NO
F1
F2
SI
SI
SI
SI
F1 3
F1 1
F1 2
2
F2

Exercici 14
Fent servir l’algoritme de Rose i Stafford mireu de classificar els frisos de la làmina 1 i de l’exercici 6.
Exercici 15
Els frisos i sanefes són utilitzats molt sovint en les decoracions d’objectes molt diferents: façanes
d’edificis, objectes de ceràmica, ebenisteria, puntes de coixí, sanefes de diplomes, etc.
Intenteu fer-vos la vostra pròpia col·lecció de frisos fotografiant o bé aconseguint il·lustracions d’objectes
diversos on apareguin, o bé aconseguint il·lustracions de publicacions on es trobin aquest tipus de
d’elements decoratius: revistes de decoració, mostraris de roba, etc.
Classifiqueu les sanefes que hagueu aconseguit per aquests mitjans.
196

EXERCICIS D’AMPLIACIÓ
Motiu mínim d’un fris
Objectiu: trobar el motiu mínim que genera un fris coneixent el seu grup d’isometries
Ara partirem d’una sanefa donada i estem interessats en trobar el motiu mínim a partir de la qual es pot
construir, i les instruccions que convé donar per a construir-lo. És a dir el problema que ara ens plantegem
és l’invers dels exercicis 7 al 14. Volem, a partir de la sanefa, trobar el seu motiu mínim i redactar les
instruccions per a construir-la.
Per això seguirem els passos següents:
a) Sobre paper transparent dibuixarem el vector de translació v mínim, i si s’escau els eixos de
simetria i els centres de gir. Aquest esquema constitueix el patró de la sanefa
b) Classificarem la sanefa a partir de l’algoritme de Rose i Stafford.
c) El motiu mínim està determinat pel rectangle:
• En F1 d’amplada igual a v i alçada igual a la de la franja.
•
•
1
En 1
2
En F 1 d’amplada v 2
•
, limitat per dos eixos de simetria.
3
En F 1 d’amplada v 2
, d’alçada la de la franja.
• En F2 d’amplada 2 , d’alçada la de la franja.
• En
• En
F d’amplada igual a v i alçada igual a la meitat de la franja.
v
1
F 2 d’amplada v 2
F d’amplada v 4
2
2
, i alçada la meitat de la franja i limitat per dos eixos de simetria verticals.
, i d’alçada la de la franja.
El fris està totalment determinat a partir del motiu mínim i del seu grup de simetries (patró de
construcció),
Exercici 16
Trobeu el patró i el motiu mínim de tots els frisos que apareixen en la làmina 1 i en l’exercici 6.
197

BIBLIOGRAFIA
Alsina, C. , R. Pérez i C. Ruiz. Simetría dinámica. Síntesis. Madrid, 1989
Barral, Xavier. Les Catedrals de Catalunya. Edicions 62. Barcelona, 1994
Bergés i Saura, Carme. La Porta dels Fillols. Lambard. Estudis d’art medieval. Volum VIII - 1995
Blanco Martín, Mª Francisca. Movimientos y Simetrías. Publicaciones de la Universidad de Valladolid,
D.L. 1994
Bossard, Yvon. Rosaces, frises et pavages. Vol 1: étude practique. CEDIC, Paris 1977
Jaime Pastor, Adela i Angel Gutiérrez Rodríguez. El grupo de las Isometrías del Plano. Síntesis. Madrid,
1996
Weyl, Hermann. Symetry. Princeton University Press. New Jersey, 1982
198

Exercici 1
EXERCICIS RESOLTS
d) b)
v
Translació de vector v
c) d)
Simetria d’eix r
r
r
199
O
s
Simetria d’eix s
Gir de centre O i angle de 180º
r
r

e)
Exercici 2
L’exercici està resolt gràficament en la pàgina següent.
El motiu que en cada sanefa que es va repetint per translació és el que està contingut en qualsevol
rectangle de base v i alçada la de la sanefa.
En el dibuix només hi ha senyalat el vector de translació v de longitud mínima, falta dibuixar els vectors
2 v , 3 v , 4 v ...
Exercici 3
Les sanefes b) i f) tenen eix de simetria paral·lel i equidistant a les dues rectes que limiten la sanefa.
Les sanefes c), f) i g) tenen eixos de simetria perpendiculars a les dues rectes que limiten la sanefa i a una
distància entre ells igual v .
2
Exercici 4
Les sanefes d) i g) són invariants per una simetria amb lliscament d’eix paral·lel a les dues rectes que
limiten la sanefa i vector igual a v
2
.
Exercici 5
v
Les sanefes e), f) i g) tenen centres de gir indicats per punts en el dibuix. L’angle de gir que deixa
invariant a les sanefes és de 180º. Els centres de gir estan alineats i són equidistants a les dues rectes que
limiten la sanefa.
r
200
Simetria amb lliscament d’eix r i de vector v

v
a)
b)
c)
d)
e)
v
v
v
v
v
v
201
f)

g)
Ex
ercici 6
L’arquivolta sisena començant per l’exterior i que es troba entre els arquets encreuats i la doble ziga-zaga
no és una sanefa, tal com ho entenem en aquest context. De l’exterior a l’interior:
a)
r
v
El vector v és la translació mínima i la recta r és l’eix de simetria.
b)
v
Ziga-zaga amb
v
202
Palmetes

superfície decorada.
El vector v és la translació mínima i les rectes verticals són els eixos de simetria.
c)
Tors
v
anellat
El vector v és la translació mínima i les rectes de punts són els eixos de simetria i els punts indiquen els
centres de gir d’amplitud 180º.
203

d)
Puntes de diamants
Nota: Cal tenir en compte que està dibuixada des de baix i que la gamma de grisos es
deguda a l’ombra, el fris es compon de petites piràmides de base quadrada.
El vector v és la translació mínima i les rectes de punts són els eixos de simetria i els punts indiquen els
centres de gir d’amplitud 180º.
e)
El vector v és la translació mínima i les rectes verticals són els eixos de simetria.
f)
v
v
v
204
Arquets
encreuats

Doble Ziga-zaga
El vector v és la translació mínima i les rectes verticals són els eixos de simetria.
g)
v
Tiges perlades
El vector v és la translació mínima i és l’unica isometria que deixa invariant el fris.
205

Exercici 6
En els balcons dels pisos 4t, 5è, 9è i 11è la sanefa no és periòdica, no hi ha un motiu que es vagi repetint
per translació i per tant no podem saber com continuaria el disseny al prolongar la longitud de la banda.
Es donen a continuació l’estudi detallat de les sis primeres sanefes. Les rectes de punts senyalen els eixos
de simetria, la fletxa indica el vector de translació mínima i els punts, en color blanc, perquè es
distingeixin sobre la fotografia, indiquen els centres de gir d’amplitud 180º.
Pis 1
Pis 3
Pis 7
El
balcó
206
Pis 6
Pis 8
Pis 2

del 10è pis té simetria horitzontal i simetries verticals i té girs amb centre el punt de tall els eixos de
simetria i amplitud de 1180º. Les sanefes del 12è i 13è pis tenen un motiu que es va repetint per
translació, però no hi ha cap simetria, ni gir, ni simetria amb lliscament que les deixi invariants. El balcó
de l’últim pis està decorat amb una sanefa invariant per simetries verticals.
207

Exercici 7
Fabricació del fris que només té translacions.
c)
d)
e) La translació que hem aplicat és la de vector b
f) La franja té una amplitud igual a a.
Exercici 8
Fabricació d’un fris amb gir i sense simetries.
e)
f) .
b
e) Hem aplicat
una translació
de vector b
2 .
f) L’amplitud de la franja és 2a.
a
208

Nota: El centre de gir pot ser qualsevol punt que sigui del costat a del rectangle. L’amplada de la franja
variarà entre a i 2a.
Exercici 9
Fabricació d’un fris sense girs i només amb simetria horitzontal
c) .
209

d)
e) La
translació que hem aplicat és la de vector b
f) La franja té una amplitud igual a 2a
Exercici 10
Fabricació d’un fris sense girs i només amb simetries verticals.
c) .
d)
e) La translació que hem aplicat és la de vector 2b
f) La franja té una amplitud igual a a
Exercici 11
Fabricació d’un fris sense girs ni simetries, i amb una simetria amb lliscament.
b)
e)
210

211

e) La translació que hem aplicat és la de vector 2b
d) La franja té una amplitud igual a 2a
Nota: L’eix de la simetria amb lliscament pot ser qualsevol recta paral·lela a la recta que conté a b. Per
exemple si prenem la recta paral·lela a b que parteix per la meitat al rectangle inicial obtenim:
Aleshores l’amplitud és igual a a.
En general l’amplada de la sanefa varia entre a i 2a.
Exercici 12
Fabricació d’un fris amb gir, simetria horitzontal i simetria vertical.
f)
g) .
h)
O
212
b

i) La translació que hem aplicat és la de vector 2b
j) Els eixos de simetria vertical estan marcats en el dibuix i es troben a una distància igual a b, que és
la meitat de la longitud del vector de translació.
213

Exercici 13
Fabricació d’un fris amb girs, simetria vertical i sense simetria horitzontal.
b)
c)
f) .
2b
O
d) La translació que hem aplicat és la de vector 4b
e) La simetria amb lliscament està marcada en el dibuix el vector és 2b , la meitat del vector de
translació.
214

Exercici 14
Classificació de frisos:
Fris Isometries Tipus
1a Translacions
1b Translacions i simetria horitzontal 1
1
1c Translacions i simetria vertical 2
1
1d Translacions i simetria amb lliscaent 3
1
1e Translacions i girs
1f Translacions, girs, simetria vertical i simetria horitzontal 1
2
1g Translacions, girs, simetria vertical i simetria amb lliscament 2
2
Pis 1 Translacions, girs, simetria vertical i simetria horitzontal 1
2
Pis 2 Translacions i simetria vertical 2
1
Pis 3 Translacions i simetria vertical 2
1
Pis 6 Translacions i girs
Pis 7 Translacions
Pis 8 Translacions i simetria vertical 2
1
Pis 10 Translacions, girs, simetria vertical i simetria horitzontal 1
2
Pis 12 Translacions
Pis 13 Translacions
Pis 14 Translacions i simetria vertical 2
1
Palmetes Translacions i simetria horitzontal 1
1
Ziga-zaga Translacions i simetria vertical 2
1
Tors anellat Translacions, girs, simetria horitzontal i simetria vertical 1
2
Diamants Translacions, girs, simetria horitzontal i simetria vertical 1
2
Arquets Translacions i simetria vertical 2
1
215
F1
F
F
F
F2
F
F
F
F
F
F2
F1
F
F
F1
F1
F
F
F
F
F
F

Doble ziga-zaga Translacions i simetria vertical 2
F1
Tiges perlades Translacions
Els set primers frisos corresponen als dibuixats a la làmina 1.
Els frisos que indiquem com a Pis corresponen a l’edifici de Girona.
Els set frisos últims són els de les arquivoltes que decoren la porta dels Fillols de la Seu Vella de Lleida
Exercici 15
En el Museu de la Ceràmica de Barcelona i en el Museu d’Art de Girona es poden trobar en les
decoracions de les peces de ceràmica exemplificacions de frisos amb diferents grups d’isometries.
En el Museu Arqueològic de Tarragona s’hi troben diferents models de frisos decorant elements
arquitectònics, ceràmiques i paviments romans.
També en el Museu Nacional d’Art de Catalunya (Barcelona) trobem en els retaules romànics diferents
tipus de sanefes decoratives.
Exercici 16
Els motius mínims dels frisos de la làmina 1 són els requadrats, a partir d’aquest motius
aplicant les corresponents isometries es genera el fris
a) b)
Aplicant translació de vector v
Aplicant simetria respecte a s i translac
de vector v
s
c)
216
Aplicant simetria respecte a s i translac
de vector v
d)
F
s
1
Aplicant simetria amb lliscament respe
a s i de vector v/2 i translació de vector
s

e) f)
O
Aplicant gir de 180º i centre O i
translació de vector v
g)
O
s
217
O
s
Aplicant gir de 180º i centre O , simetria d’eix s i
translació de vector v
Aplicant gir de 180º i centre O , simetria d’eix s i
translació de vector v

8
Els mosaics periòdics i els grups d’isometries
218

FITXA PER AL PROFESSORAT
Nivell: Segon Cicle d’ESO i Batxillerat Artístic
Coneixements previs: Isometries en el pla: translacions, girs i simetries. Grups diedrals i grups
cíclics
Objectius didàctics
Trobar les translacions principals i la xarxa d’un mosaic periòdic.
Descobrir les simetries que deixen invariable un mosaic.
Descobrir els girs que deixen invariable un mosaic
Trobar el patró de construcció i el motiu mínim que genera un mosaic.
Classificar un mosaic a partir del seu grup d’isometries.
Potencial multidisciplinar
Disseny d’estampats periòdics. (Educació visual i plàstica).
El mosaic hidràulic i la indústria a Catalunya a començaments del segle XX .
(Ciències Socials)
L’arquitectura modernista i els seus elements constructius. (Ciències Socials)
L’arquitectura àrab i els seus coneixements de geometria. (Àrea de Socials)
Orientacions didàctiques
Al començament de la pràctica cal fer notar que només seran objecte d’estudi aquells mosaics que
presenten un motiu que es va repetint per dues translacions independents i que per tant podem establir
una xarxa de paral·lelograms iguals que recobreixen el pla.

En els quatre primers exercicis es treballa en tot detall un mosaic que per la regularitat de les formes
que el composen és relativament senzill trobar-ne les isometries que el deixen invariant. Convé
treballar a fons aquest mosaic per tal que l’alumnat agafi seguretat a l’hora d’analitzar mosaics més
complicats.
Per trobar les isometries que deixen invariant el mosaic i poder construir-ne el patró és molt útil l’ús
del paper vegetal que permet comprovar a partir d’haver copiat el motiu mínim els moviments que
cal aplicar-li per tal que quedi superposat a les successives repeticions en el recobriment.
La visita al Museu de Ceràmica de Barcelona o a l’àmbit de la ceràmica del Museu d’Art de Girona
no és indispensable per a fer aquesta pràctica matemàtica i s’han introduït les dues visites com
diferents maneres de proposar l’exercici 6. L’objectiu d’aquest exercici és que l’alumnat busqui en el
seu entorn recobriments periòdics amb l’objectiu de trobar-ne la xarxa que el forma, els girs i
simetries que el deixen invariant i el motiu mínim que genera tot l’estampat. Les localitzacions
d’aquests tipus de recobriments del pla poden ser molt diverses.
S’ha considerat que abans de classificar els mosaics convé que els alumnes i les alumnes es
familiaritzin amb ells seguint mètodes manipulatius i constructius, aquest és l’objectiu dels 8 primers
exercicis.
Trobar el motiu mínim que genera un mosaic no és tan senzill com trobar el motiu que es va repetint
per translació, per això cal estudiar amb detall les isometries dins del paral·lelogram que forma la
xarxa.
L’exercici 9 treballa amb la rajola hexagonal del passeig de Gràcia. L’alumnat que tingui un accés
fàcil a aquest carrer pot dibuixar i mesurar aquestes rajoles, si no és així en l’apartat dels exercicis
resolts es dóna el material gràfic i les mides que es necessiten.
Els exercicis d’ampliació estudien mosaics extrets dels catàlegs de les principals indústries de
mosaics hidràulics de començaments del segle XX, aquests catàlegs es troben a la Biblioteca del
Col·legi d’Arquitectes de Barcelona.
188

El treball al carrer
L’exercici 6 d’aquesta pràctica apareix en tres versions diferents corresponents al Museu de la Ceràmica
de Barcelona, al Museu d’Art de Girona, o bé si no es té accés fàcil a cap de les dues ciutats es pot animar
els alumnes perquè busquin paviments o revestiments de parets que compleixin aquestes condicions. De
tota manera cada ensenyant pot adaptar l’exercici a algun altre indret que presenti una certa varietat de
mosaics.
Les visites
Museu d’Art de Girona. Pujada de la Catedral, 12. Girona
Telèfons d’informació: 972 20 38 34 i 972 20 95 36
Museu de Ceràmica de Barcelona. Palau Reial de Pedralbes. Av. Diagonal, 686. 08034 Barcelona
Telèfon d’informació: 93 301 77 75
Internet: http://www.bcn.es
Paviment del Passeig de Gràcia de Barcelona
Material gràfic
Casa Coral. Productos ceràmicos. Catàlogo nº 3. Barcelona, 1930.
Escofet, E. F. Catálogos de mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1912, 1915, 1916, 1921, 1928
y 1929.
189

MATERIAL PER A L’ALUMNAT
El mosaic hidràulic a Catalunya
A la primera meitat del segle XX els terres dels nous habitatges es feien amb un nou tipus de
pavimentació: el mosaic hidràulic. El mosaic hidràulic està composat de rajoles de morter de ciment
hidràulic, emmotllades i premsades de forma artesanal, formades de distintes capes de material de les
quals la superior, apta per a ésser trepitjada, presenta un acabat fi, moltes vegades amb dibuixos que
formen conjunts de geometria regular.
Amb l’increment a Catalunya de l’activitat constructiva a començaments del segle XX es van donar les
condicions perquè el mosaic hidràulic substituís els altres materials de pavimentació d’espais interiors que
s’havien utilitzat fins aquell moment.
A Catalunya hi havia les principals indústries que es dedicaven a la fabricació d’aquests mosaics que es
van comercialitzar també als països mediterranis i a la Amèrica Central.
L’esperit d’empresa de l’època va trobar la manera de fer que el mosaic hidràulic esdevingués un
paviment de moda: remarcant la qualitat del producte i incorporant dissenys dels millors artistes del
moment.
Avui, l’ús del mosaic hidràulic es troba en un alt grau de recessió. S’utilitza bàsicament en la restauració
de les cases modernistes, i es per aquest motiu que resten alguns petits tallers que en produeixen
esporàdicament.
El format de rajola més corrent és el quadrat , encara que n’hi ha d’altres de forma hexagonal i triangular.
Els dibuixos de cada rajola per combinació poden donar resultats diversos: poden ser pensats per a
col·locar-los de manera que el dibuix es repeteixi a cada rajola o bé que permeti d'ésser combinat amb les
rajoles de l'entorn formant dibuixos més grans.
Una de les empreses de materials de construcció més importants era la Companyia Escofet que va ser la
que va fabricar les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia de Barcelona, dissenyades per Gaudí.
Actualment aquesta fàbrica està emplaçada a Martorell , té la oficina comercial en el número 20 de la
Ronda Universitat de la ciutat de Barcelona, i continua sent la subministradora de les rajoles Gaudí.
190

Alguns dels mosaics que estudiarem pertanyen als catàlegs d’aquesta empresa.
Observa el mosaic hidràulic del mostrari dels fabricants Escofet (any 1928, Nº 544). És clar que hi ha un
disseny que es va repetint fins a cobrir el terra que s’està enrajolant. L’objectiu d’aquests exercicis és
obtenir el disseny mínim (superfície mínima) que ens permet obtenir l’estampat aplicant-li simetries, girs
i translacions.
Per això fixarem un full de paper vegetal sobre disseny i intentarem treure el patró del mosaic.
191

Aquest mosaic està fet amb les rajoles següents:
20 20 cm 10 10 cm 20 10 cm
Exercici 1
Sobre el paper vegetal fixeu un punt, que pot ser el vèrtex d’un dels quadrats i dibuixeu quatre fletxes
amb origen aquest punt que assenyalin quatre direccions diferents al llarg de les quals podem fer
lliscar el mosaic de manera que es mantingui inalterable.
192

Hi ha alguna altra direcció al llarg de a qual podem fer lliscar el mosaic perquè torni a coincidir amb
l’original?
Preneu els dos vectors de longitud mínima i construïu el paral·lelogram que els té per costats.
Dibuixeu sobre el paper transparent la malla composada per els paral·lelograms de l’apartat anterior.
Els dissenys en cada paral·lelogram són iguals.
Exercici 2
El mosaic que esteu estudiant presenta molts eixos de simetria: rectes que ens marquen per on hauríem
de doblegar el paper perquè els dibuixos de les dues parts coincideixin.
Sobre un altre paper vegetal dibuixeu l’entramat d’eixos de simetria del mosaic.
En aquest cas concret obteniu quatre direccions diferents.
Exercici 3
Aquest mosaic és prou regular com perquè tingui una sèrie de punts sobre els quals fer-lo girar i torni a
coincidir el dibuix sobre si mateix: són els centres de gir del mosaic.
Marqueu sobre el mateix paper vegetal de l’exercici 2 els centres dels girs i indiqueu amb un nombre
l’ordre del gir (nombre de vegades que cal aplicar el gir perquè sigui igual a la Identitat). Quants
ordres diferents de gir heu obtingut?
Descriviu mitjançant frases curtes on estan situats els centres de gir.
Exercici 4
Sobre el mateix paper vegetal dibuixeu dues fletxes amb origen qualsevol dels centres de gir d’ordre
4 i que indiquin les dues translacions de vector més petit que compleixin les condicions de l’exercici
1.
El diagrama obtingut sobre el paper vegetal és el patró del mosaic.
El disseny mínim que genera tot el mosaic aplicant-li isometries és el triangle rectangle de superfície
mínima amb els costats continguts en els eixos de simetria. Marqueu aquest triangle en el paper
vegetal.
193

Comproveu que el motiu mínim que heu obtingut genera tot el paviment :
a) Dibuixeu aquesta peça solta.
b) Apliqueu les simetries i girs que facin falta fins arribar a una peça que recobreixi el pla només
aplicant-li translacions.
c) Apliqueu les dues translacions indicades en el patró.
Quina superfície té el motiu mínim?
194

Museu de la Ceràmica de Barcelona
El Museu de Ceràmica està ubicat al Palau Reial de Pedralbes. L’edifici propietat de Joan Güell, va ser
ampliat i rehabilitat pels arquitectes, Eusebi Fontbona i Francesc de P. Nebot com a residència reial, l’any
1924. El parc dissenyat pel paisatgista Nicolau Rubió és un magnífic exponent de l’arquitectura de jardins
de finals de segle XIX.
El museu acull una de les col·lecció més significativa de la ceràmica esmaltada espanyola.
Exercici 5
Els àrabs, durant els segles VIII i IX van desenvolupar l’art de recobrir una superfície amb mosaics i
estucats amb motius geomètrics que es van repetint . Aquests dissenys es van anar fent cada cop més
complicats i molts cops no es fàcil trobar el disseny mínim que genera tot el recobriment. En la sala 2 del
museu hi podeu trobar dues mostres de mosaics àrabs realitzades a finals del segle XI.
Sense usar el flaix podeu fer una fotografia de cada un d’aquests recobriments. Se us demana que seguint
els passos dels exercicis 2, 3 i 4 intenteu treure el patró i el disseny mínim de cada un d’aquests mosaic.
Per això podeu fer servir la representació esquemàtica d’un dels paviments que se us dóna a continuació:
195

196

Exercici 6: Museu de la Ceràmica de Barcelona
Preneu una fotografia de les rajoles de la sala 12, podeu triar-ne qualsevol. Intenteu reproduir el que heu
fet en l’anterior exercici per aquest recobriment. Doneu el patró, la peça mínima i les instruccions per
reproduir el disseny.
Exercici 6: Museu d’Art de Girona
En la planta segona del Museu d’Art de Girona hi trobareu les sales monogràfiques dedicades al vidre i la
ceràmica, en aquest últim apartat es troben mostres de mosaics de ceràmica. Fotografieu, sense flaix, o
dibuixeu alguns d’aquest models de paviments i intenteu trobar-ne les translacions de vector mínim i les
isometries que el deixen invariant.
Exercici 6: A la caça de recobriments periòdics.
És relativament fàcil trobar paviments, parets empaperades i amb general superfícies
estampades d on hi ha un motiu que es repeteix per translació. Es tracta de que
localitzeu aquests tipus de recobriments i us en feu la vostra pròpia col·lecció
determinant en cada cas les isometries que el deixen invariant.
Exercici 7
Aquest és el dibuix del paviment d’una terrassa molt comú a començaments de segle. Tota ella és feta
amb peces poligonals: quadrats de dues dimensions i romboides:
197

Seguiu els passos dels exercicis 2, 3 i 4 i intenteu treure el patró i el disseny mínim, per després poder
donar les instruccions pertinent per al disseny del recobriment.
198

Exercici 8
Finalment repetirem el mateix exercici també amb un mosaic àrab que es pot admirar al Palau de
l’Alhambra de Granada. És l’anomenat “mosaic d’os” i encara que té una aparença molt simple, veureu
que el motiu mínim no és evident.
Trobeu-ne el patró, la peça mínima i les instruccions geomètriques per obtenir tot el disseny.
199

Classificació dels mosaics periòdics
La major part del paviments i dels enrajolats són repeticions d’un mateix dibuix que van recobrint una
superfície. Els mosaics periòdics són aquells que els podem considerar com una malla de paral·lelograms
iguals que recobreixen la superfície.
La malla està determinada per les dues direccions de les translacions de vector mínim que desplacen el
mosaic sobre ell mateix. Aquestes dues translacions les anomenarem translacions principals.
El grup d’isometries del mosaic periòdic és el conjunt d’isometries (translacions, girs, simetries axials,
simetries amb lliscament) que deixen la malla invariable, és a dir, superposada sobre ella mateixa.
Els mosaics periòdics queden determinats a partir del seu grup d’isometries.
E. S. Fedorov, estudiant cristalografia, va demostrar que hi ha exactament 17 grups diferents que donen
peu a 17 tipus de mosaics. Això ens permet classificar els mosaics segons el seu grup d’isometries. Al
Palau de l’Alhambra de Granada s’hi pot trobar models dels 17 tipus, cosa que fa pensar que els àrabs del
segle XII eren uns grans coneixedors de la geometria dels mosaics periòdics.
Anomenarem ordre d’un mosaic a l’ordre màxim (nombre de vegades que cal aplicar el gir perquè sigui
igual a la Identitat) dels girs que pertanyen al grup d’isometries.
Els 17 grups d’isometria dels mosaics periòdics s’agrupen en 4 famílies segons l’ordre de gir :
Ordre 1: No hi ha girs diferents a la Identitat.
200

Ordre 2: L’ordre màxim dels girs és 2 i per tant conté girs de 180º.
Ordre 3: L’ordre màxim dels girs és 3 i per tant conté girs de 120º.
Ordre 4: L’ordre màxim dels girs és 4 i per tant conté girs de 90º.
Ordre 6: L’ordre màxim dels girs és 6 i per tant conté girs de 60º.
Indicarem els diferents grups de’isometria amb una G acompanyada per un subíndex que indica l’ordre
màxim dels girs i un super-índex que indica de quin tipus és dins de cada família.
Fins aquí tots els models de rajoles que hem anat estudiant tenen una cosa en comú: l’ordre màxim del
gir que fa que el disseny es superposi sobre ell mateix és 4. Per tant tots ells eren mosaics d’ordre 4.
Els matemàtics han demostrat que hi ha únicament 3 tipus de mosaics d’aquest ordre :
G4 : el grup d’isometries no té simetries.
G4 1 : per cada centre de gir d’ordre 4 hi passen quatre eixos de simetria
G4 2 : els eixos de simetria no passen pels centres de gir d’ordre 4
Tenint en compte aquest resultat estem en situació de classificar els mosaics d’ordre 4 estudiats en els
exercicis anteriors. Veurem que en tenim dels tres tipus.
Un altre resultat que podem observar en els mosaics d’ordre 4 és que tots ells tenien centres de gir d’ordre
2. Aquest és un resultat general, és a dir, es pot demostrar que tots els mosaics d’ordre 4 tenen centres de
gir d’ordre 2.
Anomenarem patró del mosaic a l’esquema format per el parell de vectors principals, els centres de gir
acompanyats del nombre que indica el seu ordre, l’entramat d’eixos de simetria i l’entramat d’eixos de
simetria amb lliscament. Per a trobar el patró del mosaic cal seguir els passos següents:
a) Buscar les translacions principals y dibuixarem el parell de vectors corresponent. Això determinat el
paral·lelogram base.
b) Dibuixar, si s’escau, els eixos de simetria del mosaic.
c) Marcar, si s’escau, els centres de gir, indicant el seu ordre.
d) Traçar, si s’escau, els eixos de simetria de lliscament indicant el vector de la translació.
A l’hora de traçar els eixos de simetria per distingir les simetries amb lliscament de les simetries
pròpiament dites utilitzarem la notació que Yvon Bossard fa servir en el seu llibre Rosaces, frises et
pavages: línies contínues pels eixos de simetria axial i línies a traços per als eixos de les simetries amb
lliscament, dibuixant el vector de la translació associada a l’extrem de l’eix. És a dir, en els patrons
apareixen els elements següents:
v
Eix de simetria
Eix de simetria amb lliscament de vector v.
201

Centre dels girs d’ordre 4
4
Les dues translacions principals que generen la malla
del mosaic
Anomenarem motiu mínim del mosaic a la mínima superfície que genera tot el recobriment al aplicar-li
les isometries del grup que li correspon. Per a trobar el motiu mínim que genera el mosaic es poden fer els
passos següents:
a) Buscar el paral·lelogram determinat pel parell de vectors principals amb origen el centre de gir
d’ordre màxim .
b) Cercar dins del paral·lelogram el motiu mínim que ens permeti reconstruir-lo aplicant les simetries i
els girs del grup.
c) Si en el paral·lelogram que forma la malla principal no hi ha centres de gir, ni eixos de simetria, el
motiu mínim del mosaic és tot el paral·lelogram.
Per a donar les instruccions per aconseguir tot el recobriment a partir del motiu mínim, només cal aplicarli
els girs i les simetries fins aconseguir el paral·lelogram i després les translacions de vector combinació
lineal dels dos vectors que han determinat els costats del paral·lelogram.
Classificar mosaics no és fàcil, cal anar amb molta cura per obtenir les dues translacions principals i totes
les isometries que el deixen invariant. De vegades petits detalls en el dibuix fan que falli la simetria.
A continuació donem l’algoritme de Rose-Stafford per a classificar-los i un seguit d’exercicis de
classificació de mosaics. En una primera aproximació al tema ens podem conformar amb deduir l’ordre
del mosaic i intentar trobar el màxim d’elements del seu grup de simetries. Després podem mirar
d’aplicar-ne l’algoritme de classificació.
Per a poder aplicar l’algoritme de classificació cal recordar els grup de simetria de les figures planes i
finites: els grups diedrals i els grups cíclics.
202

Algoritme de classificació dels mosaics de Rose i
Staford
Eixos de lliscament?
SÍ
Són perpendiculars?
G2 4
SÍ
G1 3
NO
NO
G6 1
Buscar màxim ordre d’un centre de
gir per al patró
NO
Dues translacions
independents?
SÍ
Eixos de simetria?
SÍ
Eixos de simetria no
paral·lels?
SÍ
Centre de gir d’ordre 6?
NO
Centre de gir d’ordre 3?
SÍ
203
NO
NO
NO
C1
No és un mosaic periòdic
Eixos de lliscament
perpendiculars als eixos
de simetria?
NO
Eixos de lliscament
paral·lels a l’eix de
simetria?
SÍ
Buscar el grup
d’isometries del rectangle
determinat per parells
d’eixos de simetria
consecutius i
perpendiculars
C2
D1 D2
SÍ
NO
C4
G2 3
G 2
G1 1
G1 2

SÍ
204

Exercici 9
Aplicant l’algoritme de Rose-Stafford classifiqueu els mosaics que han aparegut en els exercicis anteriors.
Exercici 10: Les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia
En aquest exercici transformareu les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia en rajoles en forma de
paral·lelogram de manera que al enrajolar amb aquestes noves peces el dibuix sigui idèntic.
Fotografieu o dibuixeu esquemàticament les rajoles Gaudí que pavimenten les voreres del passeig de
Gràcia de Barcelona.
Seguiu els passos dels exercicis 1, 2, 3 i 4 i intenteu treure el patró i el disseny mínim, per després
poder donar les instruccions pertinent per al disseny del recobriment. Trobeu el paral·lelogram que
enrajola el passeig de Gràcia.
Classifiqueu el mosaic.
Mesureu la longitud del costat de la rajola hexagonal i calculeu l’àrea del hexàgon i del
paral·lelogram que enrajolen el Passeig de Gràcia.
Quina rajola us sembla més adequada per a la construcció? Per què?
Exercici 11
Busca el patró, el motiu mínim i intenta classificar els mosaics següents.
205

Mosaic A
206

Mosaic B
Mosaic C
207

208

Mosaic D
Mosaic E
209

Mosaic F
210

EXERCICI D’AMPLIACIÓ
En els exercicis anteriors han aparegut 11 dels 17 tipus de mosaics periòdics segons la classificació pel
seu grup d’isometries. Els mosaics que venen a continuació pertanyen als sis grups restants.
Mosaic G:
Nº 2 Catàleg de mosaics. Productos Cerámicos. Casa Coral. (1930).
Mosaic H
211

Nº 401. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1921)
212

Mosaic I
Nº 88. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)
213

Mosaic J
Nº 391. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)
214

Mosaic K
Nº 373 Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)
Mosaic L
215

Nº 74. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)
216

BIBLIOGRAFIA
Alsina, Claudi ; Pérez, Rafael i Ruiz, C. Simetría dinámica. Síntesis. Madrid, 1989
Alsina, Claudi i Trillas, Eduardo. Lecciones de Álgebra y Geometría. Gustavo Gili, Barcelona, 1984
Blanco Martín, Mª Francisca. Movimientos y Simetrías. Publicaciones de la Universidad de Valladolid,
D.L. 1994
Bossard, Yvon. Rosaces, frises et pavages. Vol 1: étude practique. CEDIC, Paris 1977
Casa Coral. Productos ceràmicos. Catàlogo nº 3. Barcelona, 1930.
Col·legi Oficial d’Aparelladors. El mosaic hidràulic: artesania i industria. Catàleg de l’exposició.
Barcelona, 1985.
Escofet, E. F. Catálogos de mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1912, 1915, 1916, 1921, 1928
y 1929.
Jaime Pastor, Adela i Gutiérrez Rodríguez, Angel. El grupo de las Isometrías del Plano. Síntesis. Madrid,
1996
Mora, José A. y Rodrigo, Julio. Mosaicos I; II. Proyecto Sur de Ediciones S. A. L. Graneda, 1993.
Fernández Blanco, Teresa y Rodríguez Taboada, Julio. Mosaicos: un cuento en dos dimensiones. Actas
de las 9 as Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Lugo, 1999.
217

Weyl, Hermann. Symetry. Princeton University Press. New Jersey, 1982
8
Els mosaics periòdics i els grups d’isometries
218

FITXA PER AL PROFESSORAT
Nivell: Segon Cicle d’ESO i Batxillerat Artístic
Coneixements previs: Isometries en el pla: translacions, girs i simetries. Grups diedrals i grups
cíclics
Objectius didàctics
Trobar les translacions principals i la xarxa d’un mosaic periòdic.
Descobrir les simetries que deixen invariable un mosaic.
Descobrir els girs que deixen invariable un mosaic
Trobar el patró de construcció i el motiu mínim que genera un mosaic.
Classificar un mosaic a partir del seu grup d’isometries.
Potencial multidisciplinar
Disseny d’estampats periòdics. (Educació visual i plàstica).
El mosaic hidràulic i la indústria a Catalunya a començaments del segle XX .
(Ciències Socials)
L’arquitectura modernista i els seus elements constructius. (Ciències Socials)
L’arquitectura àrab i els seus coneixements de geometria. (Àrea de Socials)
Orientacions didàctiques
Al començament de la pràctica cal fer notar que només seran objecte d’estudi aquells mosaics que
presenten un motiu que es va repetint per dues translacions independents i que per tant podem establir
una xarxa de paral·lelograms iguals que recobreixen el pla.

En els quatre primers exercicis es treballa en tot detall un mosaic que per la regularitat de les formes
que el composen és relativament senzill trobar-ne les isometries que el deixen invariant. Convé
treballar a fons aquest mosaic per tal que l’alumnat agafi seguretat a l’hora d’analitzar mosaics més
complicats.
Per trobar les isometries que deixen invariant el mosaic i poder construir-ne el patró és molt útil l’ús
del paper vegetal que permet comprovar a partir d’haver copiat el motiu mínim els moviments que
cal aplicar-li per tal que quedi superposat a les successives repeticions en el recobriment.
La visita al Museu de Ceràmica de Barcelona o a l’àmbit de la ceràmica del Museu d’Art de Girona
no és indispensable per a fer aquesta pràctica matemàtica i s’han introduït les dues visites com
diferents maneres de proposar l’exercici 6. L’objectiu d’aquest exercici és que l’alumnat busqui en el
seu entorn recobriments periòdics amb l’objectiu de trobar-ne la xarxa que el forma, els girs i
simetries que el deixen invariant i el motiu mínim que genera tot l’estampat. Les localitzacions
d’aquests tipus de recobriments del pla poden ser molt diverses.
S’ha considerat que abans de classificar els mosaics convé que els alumnes i les alumnes es
familiaritzin amb ells seguint mètodes manipulatius i constructius, aquest és l’objectiu dels 8 primers
exercicis.
Trobar el motiu mínim que genera un mosaic no és tan senzill com trobar el motiu que es va repetint
per translació, per això cal estudiar amb detall les isometries dins del paral·lelogram que forma la
xarxa.
L’exercici 9 treballa amb la rajola hexagonal del passeig de Gràcia. L’alumnat que tingui un accés
fàcil a aquest carrer pot dibuixar i mesurar aquestes rajoles, si no és així en l’apartat dels exercicis
resolts es dóna el material gràfic i les mides que es necessiten.
Els exercicis d’ampliació estudien mosaics extrets dels catàlegs de les principals indústries de
mosaics hidràulics de començaments del segle XX, aquests catàlegs es troben a la Biblioteca del
Col·legi d’Arquitectes de Barcelona.
228

El treball al carrer
L’exercici 6 d’aquesta pràctica apareix en tres versions diferents corresponents al Museu de la Ceràmica
de Barcelona, al Museu d’Art de Girona, o bé si no es té accés fàcil a cap de les dues ciutats es pot animar
els alumnes perquè busquin paviments o revestiments de parets que compleixin aquestes condicions. De
tota manera cada ensenyant pot adaptar l’exercici a algun altre indret que presenti una certa varietat de
mosaics.
Les visites
Museu d’Art de Girona. Pujada de la Catedral, 12. Girona
Telèfons d’informació: 972 20 38 34 i 972 20 95 36
Museu de Ceràmica de Barcelona. Palau Reial de Pedralbes. Av. Diagonal, 686. 08034 Barcelona
Telèfon d’informació: 93 301 77 75
Internet: http://www.bcn.es
Paviment del Passeig de Gràcia de Barcelona
Material gràfic
Casa Coral. Productos ceràmicos. Catàlogo nº 3. Barcelona, 1930.
Escofet, E. F. Catálogos de mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1912, 1915, 1916, 1921, 1928
y 1929.
229

MATERIAL PER A L’ALUMNAT
El mosaic hidràulic a Catalunya
A la primera meitat del segle XX els terres dels nous habitatges es feien amb un nou tipus de
pavimentació: el mosaic hidràulic. El mosaic hidràulic està composat de rajoles de morter de ciment
hidràulic, emmotllades i premsades de forma artesanal, formades de distintes capes de material de les
quals la superior, apta per a ésser trepitjada, presenta un acabat fi, moltes vegades amb dibuixos que
formen conjunts de geometria regular.
Amb l’increment a Catalunya de l’activitat constructiva a començaments del segle XX es van donar les
condicions perquè el mosaic hidràulic substituís els altres materials de pavimentació d’espais interiors que
s’havien utilitzat fins aquell moment.
A Catalunya hi havia les principals indústries que es dedicaven a la fabricació d’aquests mosaics que es
van comercialitzar també als països mediterranis i a la Amèrica Central.
L’esperit d’empresa de l’època va trobar la manera de fer que el mosaic hidràulic esdevingués un
paviment de moda: remarcant la qualitat del producte i incorporant dissenys dels millors artistes del
moment.
Avui, l’ús del mosaic hidràulic es troba en un alt grau de recessió. S’utilitza bàsicament en la restauració
de les cases modernistes, i es per aquest motiu que resten alguns petits tallers que en produeixen
esporàdicament.
El format de rajola més corrent és el quadrat , encara que n’hi ha d’altres de forma hexagonal i triangular.
Els dibuixos de cada rajola per combinació poden donar resultats diversos: poden ser pensats per a
col·locar-los de manera que el dibuix es repeteixi a cada rajola o bé que permeti d'ésser combinat amb les
rajoles de l'entorn formant dibuixos més grans.
Una de les empreses de materials de construcció més importants era la Companyia Escofet que va ser la
que va fabricar les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia de Barcelona, dissenyades per Gaudí.
Actualment aquesta fàbrica està emplaçada a Martorell , té la oficina comercial en el número 20 de la
Ronda Universitat de la ciutat de Barcelona, i continua sent la subministradora de les rajoles Gaudí.
230

Alguns dels mosaics que estudiarem pertanyen als catàlegs d’aquesta empresa.
Observa el mosaic hidràulic del mostrari dels fabricants Escofet (any 1928, Nº 544). És clar que hi ha un
disseny que es va repetint fins a cobrir el terra que s’està enrajolant. L’objectiu d’aquests exercicis és
obtenir el disseny mínim (superfície mínima) que ens permet obtenir l’estampat aplicant-li simetries, girs
i translacions.
Per això fixarem un full de paper vegetal sobre disseny i intentarem treure el patró del mosaic.
231

Aquest mosaic està fet amb les rajoles següents:
20 20 cm 10 10 cm 20 10 cm
Exercici 1
Sobre el paper vegetal fixeu un punt, que pot ser el vèrtex d’un dels quadrats i dibuixeu quatre fletxes
amb origen aquest punt que assenyalin quatre direccions diferents al llarg de les quals podem fer
lliscar el mosaic de manera que es mantingui inalterable.
232

Hi ha alguna altra direcció al llarg de a qual podem fer lliscar el mosaic perquè torni a coincidir amb
l’original?
Preneu els dos vectors de longitud mínima i construïu el paral·lelogram que els té per costats.
Dibuixeu sobre el paper transparent la malla composada per els paral·lelograms de l’apartat anterior.
Els dissenys en cada paral·lelogram són iguals.
Exercici 2
El mosaic que esteu estudiant presenta molts eixos de simetria: rectes que ens marquen per on hauríem
de doblegar el paper perquè els dibuixos de les dues parts coincideixin.
Sobre un altre paper vegetal dibuixeu l’entramat d’eixos de simetria del mosaic.
En aquest cas concret obteniu quatre direccions diferents.
Exercici 3
Aquest mosaic és prou regular com perquè tingui una sèrie de punts sobre els quals fer-lo girar i torni a
coincidir el dibuix sobre si mateix: són els centres de gir del mosaic.
Marqueu sobre el mateix paper vegetal de l’exercici 2 els centres dels girs i indiqueu amb un nombre
l’ordre del gir (nombre de vegades que cal aplicar el gir perquè sigui igual a la Identitat). Quants
ordres diferents de gir heu obtingut?
Descriviu mitjançant frases curtes on estan situats els centres de gir.
Exercici 4
Sobre el mateix paper vegetal dibuixeu dues fletxes amb origen qualsevol dels centres de gir d’ordre
4 i que indiquin les dues translacions de vector més petit que compleixin les condicions de l’exercici
1.
El diagrama obtingut sobre el paper vegetal és el patró del mosaic.
El disseny mínim que genera tot el mosaic aplicant-li isometries és el triangle rectangle de superfície
mínima amb els costats continguts en els eixos de simetria. Marqueu aquest triangle en el paper
vegetal.
233

Comproveu que el motiu mínim que heu obtingut genera tot el paviment :
d) Dibuixeu aquesta peça solta.
e) Apliqueu les simetries i girs que facin falta fins arribar a una peça que recobreixi el pla només
aplicant-li translacions.
f) Apliqueu les dues translacions indicades en el patró.
Quina superfície té el motiu mínim?
234

Museu de la Ceràmica de Barcelona
El Museu de Ceràmica està ubicat al Palau Reial de Pedralbes. L’edifici propietat de Joan Güell, va ser
ampliat i rehabilitat pels arquitectes, Eusebi Fontbona i Francesc de P. Nebot com a residència reial, l’any
1924. El parc dissenyat pel paisatgista Nicolau Rubió és un magnífic exponent de l’arquitectura de jardins
de finals de segle XIX.
El museu acull una de les col·lecció més significativa de la ceràmica esmaltada espanyola.
Exercici 5
Els àrabs, durant els segles VIII i IX van desenvolupar l’art de recobrir una superfície amb mosaics i
estucats amb motius geomètrics que es van repetint . Aquests dissenys es van anar fent cada cop més
complicats i molts cops no es fàcil trobar el disseny mínim que genera tot el recobriment. En la sala 2 del
museu hi podeu trobar dues mostres de mosaics àrabs realitzades a finals del segle XI.
Sense usar el flaix podeu fer una fotografia de cada un d’aquests recobriments. Se us demana que seguint
els passos dels exercicis 2, 3 i 4 intenteu treure el patró i el disseny mínim de cada un d’aquests mosaic.
Per això podeu fer servir la representació esquemàtica d’un dels paviments que se us dóna a continuació:
235

236

Exercici 6: Museu de la Ceràmica de Barcelona
Preneu una fotografia de les rajoles de la sala 12, podeu triar-ne qualsevol. Intenteu reproduir el que heu
fet en l’anterior exercici per aquest recobriment. Doneu el patró, la peça mínima i les instruccions per
reproduir el disseny.
Exercici 6: Museu d’Art de Girona
En la planta segona del Museu d’Art de Girona hi trobareu les sales monogràfiques dedicades al vidre i la
ceràmica, en aquest últim apartat es troben mostres de mosaics de ceràmica. Fotografieu, sense flaix, o
dibuixeu alguns d’aquest models de paviments i intenteu trobar-ne les translacions de vector mínim i les
isometries que el deixen invariant.
Exercici 6: A la caça de recobriments periòdics.
És relativament fàcil trobar paviments, parets empaperades i amb general superfícies
estampades d on hi ha un motiu que es repeteix per translació. Es tracta de que
localitzeu aquests tipus de recobriments i us en feu la vostra pròpia col·lecció
determinant en cada cas les isometries que el deixen invariant.
Exercici 7
Aquest és el dibuix del paviment d’una terrassa molt comú a començaments de segle. Tota ella és feta
amb peces poligonals: quadrats de dues dimensions i romboides:
237

Seguiu els passos dels exercicis 2, 3 i 4 i intenteu treure el patró i el disseny mínim, per després poder
donar les instruccions pertinent per al disseny del recobriment.
238

Exercici 8
Finalment repetirem el mateix exercici també amb un mosaic àrab que es pot admirar al Palau de
l’Alhambra de Granada. És l’anomenat “mosaic d’os” i encara que té una aparença molt simple, veureu
que el motiu mínim no és evident.
Trobeu-ne el patró, la peça mínima i les instruccions geomètriques per obtenir tot el disseny.
239

Classificació dels mosaics periòdics
La major part del paviments i dels enrajolats són repeticions d’un mateix dibuix que van recobrint una
superfície. Els mosaics periòdics són aquells que els podem considerar com una malla de paral·lelograms
iguals que recobreixen la superfície.
La malla està determinada per les dues direccions de les translacions de vector mínim que desplacen el
mosaic sobre ell mateix. Aquestes dues translacions les anomenarem translacions principals.
El grup d’isometries del mosaic periòdic és el conjunt d’isometries (translacions, girs, simetries axials,
simetries amb lliscament) que deixen la malla invariable, és a dir, superposada sobre ella mateixa.
Els mosaics periòdics queden determinats a partir del seu grup d’isometries.
E. S. Fedorov, estudiant cristalografia, va demostrar que hi ha exactament 17 grups diferents que donen
peu a 17 tipus de mosaics. Això ens permet classificar els mosaics segons el seu grup d’isometries. Al
Palau de l’Alhambra de Granada s’hi pot trobar models dels 17 tipus, cosa que fa pensar que els àrabs del
segle XII eren uns grans coneixedors de la geometria dels mosaics periòdics.
Anomenarem ordre d’un mosaic a l’ordre màxim (nombre de vegades que cal aplicar el gir perquè sigui
igual a la Identitat) dels girs que pertanyen al grup d’isometries.
Els 17 grups d’isometria dels mosaics periòdics s’agrupen en 4 famílies segons l’ordre de gir :
Ordre 1: No hi ha girs diferents a la Identitat.
240

Ordre 2: L’ordre màxim dels girs és 2 i per tant conté girs de 180º.
Ordre 3: L’ordre màxim dels girs és 3 i per tant conté girs de 120º.
Ordre 4: L’ordre màxim dels girs és 4 i per tant conté girs de 90º.
Ordre 6: L’ordre màxim dels girs és 6 i per tant conté girs de 60º.
Indicarem els diferents grups de’isometria amb una G acompanyada per un subíndex que indica l’ordre
màxim dels girs i un super-índex que indica de quin tipus és dins de cada família.
Fins aquí tots els models de rajoles que hem anat estudiant tenen una cosa en comú: l’ordre màxim del
gir que fa que el disseny es superposi sobre ell mateix és 4. Per tant tots ells eren mosaics d’ordre 4.
Els matemàtics han demostrat que hi ha únicament 3 tipus de mosaics d’aquest ordre :
G4 : el grup d’isometries no té simetries.
G4 1 : per cada centre de gir d’ordre 4 hi passen quatre eixos de simetria
G4 2 : els eixos de simetria no passen pels centres de gir d’ordre 4
Tenint en compte aquest resultat estem en situació de classificar els mosaics d’ordre 4 estudiats en els
exercicis anteriors. Veurem que en tenim dels tres tipus.
Un altre resultat que podem observar en els mosaics d’ordre 4 és que tots ells tenien centres de gir d’ordre
2. Aquest és un resultat general, és a dir, es pot demostrar que tots els mosaics d’ordre 4 tenen centres de
gir d’ordre 2.
Anomenarem patró del mosaic a l’esquema format per el parell de vectors principals, els centres de gir
acompanyats del nombre que indica el seu ordre, l’entramat d’eixos de simetria i l’entramat d’eixos de
simetria amb lliscament. Per a trobar el patró del mosaic cal seguir els passos següents:
e) Buscar les translacions principals y dibuixarem el parell de vectors corresponent. Això determinat el
paral·lelogram base.
f) Dibuixar, si s’escau, els eixos de simetria del mosaic.
g) Marcar, si s’escau, els centres de gir, indicant el seu ordre.
h) Traçar, si s’escau, els eixos de simetria de lliscament indicant el vector de la translació.
A l’hora de traçar els eixos de simetria per distingir les simetries amb lliscament de les simetries
pròpiament dites utilitzarem la notació que Yvon Bossard fa servir en el seu llibre Rosaces, frises et
pavages: línies contínues pels eixos de simetria axial i línies a traços per als eixos de les simetries amb
lliscament, dibuixant el vector de la translació associada a l’extrem de l’eix. És a dir, en els patrons
apareixen els elements següents:
v
Eix de simetria
Eix de simetria amb lliscament de vector v.
241

Centre dels girs d’ordre 4
4
Les dues translacions principals que generen la malla
del mosaic
Anomenarem motiu mínim del mosaic a la mínima superfície que genera tot el recobriment al aplicar-li
les isometries del grup que li correspon. Per a trobar el motiu mínim que genera el mosaic es poden fer els
passos següents:
d) Buscar el paral·lelogram determinat pel parell de vectors principals amb origen el centre de gir
d’ordre màxim .
e) Cercar dins del paral·lelogram el motiu mínim que ens permeti reconstruir-lo aplicant les simetries i
els girs del grup.
f) Si en el paral·lelogram que forma la malla principal no hi ha centres de gir, ni eixos de simetria, el
motiu mínim del mosaic és tot el paral·lelogram.
Per a donar les instruccions per aconseguir tot el recobriment a partir del motiu mínim, només cal aplicarli
els girs i les simetries fins aconseguir el paral·lelogram i després les translacions de vector combinació
lineal dels dos vectors que han determinat els costats del paral·lelogram.
Classificar mosaics no és fàcil, cal anar amb molta cura per obtenir les dues translacions principals i totes
les isometries que el deixen invariant. De vegades petits detalls en el dibuix fan que falli la simetria.
A continuació donem l’algoritme de Rose-Stafford per a classificar-los i un seguit d’exercicis de
classificació de mosaics. En una primera aproximació al tema ens podem conformar amb deduir l’ordre
del mosaic i intentar trobar el màxim d’elements del seu grup de simetries. Després podem mirar
d’aplicar-ne l’algoritme de classificació.
Per a poder aplicar l’algoritme de classificació cal recordar els grup de simetria de les figures planes i
finites: els grups diedrals i els grups cíclics.
242

Algoritme de classificació dels mosaics de Rose i
Staford
Eixos de lliscament?
SÍ
Són perpendiculars?
G2 4
SÍ
G1 3
NO
NO
G6 1
Buscar màxim ordre d’un centre de
gir per al patró
NO
Dues translacions
independents?
SÍ
Eixos de simetria?
SÍ
Eixos de simetria no
paral·lels?
SÍ
Centre de gir d’ordre 6?
NO
Centre de gir d’ordre 3?
SÍ
243
NO
NO
NO
C1
No és un mosaic periòdic
Eixos de lliscament
perpendiculars als eixos
de simetria?
NO
Eixos de lliscament
paral·lels a l’eix de
simetria?
SÍ
Buscar el grup
d’isometries del rectangle
determinat per parells
d’eixos de simetria
consecutius i
perpendiculars
C2
D1 D2
SÍ
NO
C4
G2 3
G 2
G1 1
G1 2

SÍ
244

Exercici 9
Aplicant l’algoritme de Rose-Stafford classifiqueu els mosaics que han aparegut en els exercicis anteriors.
Exercici 10: Les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia
En aquest exercici transformareu les rajoles hexagonals del Passeig de Gràcia en rajoles en forma de
paral·lelogram de manera que al enrajolar amb aquestes noves peces el dibuix sigui idèntic.
Fotografieu o dibuixeu esquemàticament les rajoles Gaudí que pavimenten les voreres del passeig de
Gràcia de Barcelona.
Seguiu els passos dels exercicis 1, 2, 3 i 4 i intenteu treure el patró i el disseny mínim, per després
poder donar les instruccions pertinent per al disseny del recobriment. Trobeu el paral·lelogram que
enrajola el passeig de Gràcia.
Classifiqueu el mosaic.
Mesureu la longitud del costat de la rajola hexagonal i calculeu l’àrea del hexàgon i del
paral·lelogram que enrajolen el Passeig de Gràcia.
Quina rajola us sembla més adequada per a la construcció? Per què?
Exercici 11
Busca el patró, el motiu mínim i intenta classificar els mosaics següents.
245

Mosaic A
246

Mosaic B
Mosaic C
247

248

Mosaic D
Mosaic E
249

Mosaic F
250

EXERCICI D’AMPLIACIÓ
En els exercicis anteriors han aparegut 11 dels 17 tipus de mosaics periòdics segons la classificació pel
seu grup d’isometries. Els mosaics que venen a continuació pertanyen als sis grups restants.
Mosaic G:
Nº 2 Catàleg de mosaics. Productos Cerámicos. Casa Coral. (1930).
Mosaic H
251

Nº 401. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1921)
252

Mosaic I
Nº 88. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)
253

Mosaic J
Nº 391. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)
254

Mosaic K
Nº 373 Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)
Mosaic L
255

Nº 74. Catàleg de mosaics de E. F. Escofet i Companyia (1929)
BIBLIOGRAFIA
256

Alsina, Claudi ; Pérez, Rafael i Ruiz, C. Simetría dinámica. Síntesis. Madrid, 1989
Alsina, Claudi i Trillas, Eduardo. Lecciones de Álgebra y Geometría. Gustavo Gili, Barcelona, 1984
Blanco Martín, Mª Francisca. Movimientos y Simetrías. Publicaciones de la Universidad de Valladolid,
D.L. 1994
Bossard, Yvon. Rosaces, frises et pavages. Vol 1: étude practique. CEDIC, Paris 1977
Casa Coral. Productos ceràmicos. Catàlogo nº 3. Barcelona, 1930.
Col·legi Oficial d’Aparelladors. El mosaic hidràulic: artesania i industria. Catàleg de l’exposició.
Barcelona, 1985.
Escofet, E. F. Catálogos de mosaicos E.F. Escofet. Barcelona : la Empresa, 1912, 1915, 1916, 1921, 1928
y 1929.
Jaime Pastor, Adela i Gutiérrez Rodríguez, Angel. El grupo de las Isometrías del Plano. Síntesis. Madrid,
1996
Mora, José A. y Rodrigo, Julio. Mosaicos I; II. Proyecto Sur de Ediciones S. A. L. Graneda, 1993.
Fernández Blanco, Teresa y Rodríguez Taboada, Julio. Mosaicos: un cuento en dos dimensiones. Actas
de las 9 as Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Lugo, 1999.
Weyl, Hermann. Symetry. Princeton University Press. New Jersey, 1982
257

9
El pavelló Mies van der Rohe
Càlcul de dimensions i materials
258

Nivell: Primer Cicle d’ESO
FITXA PER AL PROFESSORAT
Coneixements previs: L’escala d’un plànol i àrees de rectangles.
Objectius didàctics
Interpretar un plànol.
Calcular dimensions dels elements d’un plànol a partir de dimensions conegudes.
Calcular l’escala d’un plànol a partir de dimensions conegudes.
Calcular àrees.
Calcular percentatges.
Calcular les possibles ordenacions de quatre elements.
Potencial multidisciplinar
L’Exposició Universal de Barcelona de 1929. (Àrea de Ciències Socials)
L’Arquitectura del segle XX. (Àrea de Ciències Socials)
Els marbres i l’ònix. (Ciències Experimentals)
Orientacions didàctiques
Els alumnes i les alumnes hauran de prendre mesures de les diferents peces que pavimenten el terra i
les parets del pavelló, per tant necessiten una cinta mètrica extensible. Convé insistir en que convé
amidar diverses rajoles de la mateixa forma per assegurar-se de les seves dimensions.
Les qüestions plantejades en els exercicis: 1, 2a, 3c, 4, 5b, 6a i 6b, 7ª, 7b i 7c s’han de resoldre sobre
el terreny, ja que requereixen la identificació dels diferents elements constructius reals en el plànol,
prendre mesures i fer recomptes de rajoles.

Per fer els diferents recomptes que se’ls demana poden seguir diverses estratègies treballant sobre el
plànol i sobre el terreny paral·lelament, utilitzant l’escala o el nombre de rajoles segons l’habilitat de
cada alumne o alumna.
Pels càlculs d’àrees poden fer servir diverses estratègies: calcular l’àrea d’una peça del recobriment i
multiplicar pel nombre de peces o bé fer el producte de les dimensions del rectangle després de
calcular-les.
228

Per resoldre la qüestió 5c, hauran de fer totes les possibles ordenacions de les quatre peces, per
després fer-ne el recompte, ja que en aquest nivell no disposen de càlcul combinatori. Convé, però
que siguin sistemàtics alhora d’escriure-les i de justificar la resposta.
La visita al Pavelló Mies van der Rohe
Adreça: Av. Marqués de Comillas s/n, Montjuïc 08038 Barcelona
Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 343-4234016
Correu electrònic: miesbcn@ysi.es
La visita en grup per a estudiants és gratuïta. Per les dimensions del pavelló i el tipus de pràctica convé
anar-hi en grups reduïts (30 alumnes com a màxim).
Material gràfic : Plànols de la planta del Pavelló.
229

MATERIAL PER A L’ALUMNAT
El pavelló Mies van der Rohe
Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969) va dissenyar i construir el pavelló alemany per a l’Exposició
Universal de Barcelona de 1929. L’obra és una combinació ben proporcionada de superfícies de vidre,
aigua, pedra i acer. Considerada com una de les obres màximes de l’arquitectura racionalista del segle
XX, en el seu moment va ser l’edifici més innovador de l’Exposició, només cal que ho compareu amb les
construccions que es van fer pel mateix motiu, ubicades en la muntanya de Montjuïc: el Palau Nacional,
el Mercat de les Flors i altres pavellons.
El pavelló va ser desmuntat després de l’exposició. Durant molts anys va ser estudiat pels arquitectes com
una nova manera d’entendre l’espai arquitectònic, a partir dels plànols i dissenys que Mies van der Rohe
va realitzar per a la construcció de l’edifici, és a dir, s’estudiava des d’un punt de vista teòric.
Mies van der Rohe va ser també un innovador en el disseny de mobles: les cadires i els tamborets de cuir
blanc i tira d’acer cromat van ser dissenyades especialment per l’Exposició Universal de 1929 i reben el
nom de cadires i tamborets Barcelona. La realització material de les cadires de Mies fou duta a terme
íntegrament a Europa. Però només una empresa d’Estats Units aconseguí introduir-les al mercat del
moble a nivell mundial. La influència que exercí la cadira Barcelona és demostra en la quantitat
d’imitadors que des de llavors ha tingut .
Per iniciativa de l’Ajuntament de Barcelona i de la Fundació Pública del Pavelló Alemany de l’Exposició
Universal, a l’any 1986 es va reconstruir el Pavelló seguint amb tota fidelitat la construcció original. Des
de llavors és obert al públic i constitueix una visita obligada pels estudiosos de l’arquitectura.
Exercici 1
Interpreteu el plànol de la làmina 1 de la planta de l’edifici. Identifiqueu els elements més diferenciats:
les escales per accedir-hi
les oficines
els dos estanys
les parets de marbre blanc (travertí)
les quatre parets de marbre verd
la paret d’ònix daurat
les superfícies de vidre
la paret de material translúcid
les columnes d’acer
el banc exterior
la ubicació de l’estàtua de la dona de G. Kolbe
les portes (dibuixeu-les)
230

les cadires i els tamborets Barcelona (dibuixeu-los)
Per indicar tots aquests elements us podeu ajudar amb llapis de colors, posant fletxes o lletres.
Quina orientació té l’entrada del pavelló?
En quina direcció mirem quan estem asseguts en el banc?
231

Exercici 2
El paviment del terra està format de lloses d’un tipus de marbre blanc de procedència italiana característic
de la pavimentació dels carrers i places de Roma i que s’anomena travertí. Les peces que s’han fet servir
tenen forma quadrada i la planta en conté un nombre enter. Aquesta peça és el mòdul de l’edifici i ens
permet calcular-ne les dimensions i les proporcions dels elements de la construcció.
a) Quina és la longitud del costat de la rajola?
b) Calculeu les dimensions del contorn del pavelló usant el plànol de la làmina 2.
c) Calcula l’escala del plànol de la làmina 2.
Exercici 3
Estudi de les superfícies de la planta.
Tenint en compte les dimensions de la rajola de travertí blanc. Calculeu:
a) L’àrea de la superfície de sol que ocupa la construcció.
b) L’àrea de la superfície ocupada pels dos estanys.
c) L’àrea de la superfície coberta del pavelló (delimiteu sobre el plànol de la làmina 2 les dues zones
cobertes).
d) La proporció de superfície coberta en el total de la construcció.
e) El percentatge de superfície líquida en el total de superfície descoberta del pavelló.
Els materials del Pavelló
Un dels principals mèrits del pavelló va ser la qualitat dels seus materials i la manera en que estan
distribuïts creant diferents espais, sense que cap d’ells estigui tancat. Quan en l’any 1983 se’ls hi va
encomanar la reconstrucció de l’obra als arquitectes Ignasi Solà-Morales, Cristian Cirici i Fernando
Ramos, disposaven dels plànols de Mies, per tant sabien com havien de dimensionar i distribuir l’espai, la
principal dificultat en que es varen trobar va ser en el moment d’aconseguir els materials ja que hi ha
quatre tipus de pedra diferent:
Travertí romà: marbre del paviment i de totes les parets exteriors.
Marbre verd dels Alps: marbre verd que envolta la piscina exterior.
Marbre verd antic de Grècia: paret que condueix de l’entrada principal a l’interior.
Ònix de l’Atlas: mur central del pavelló.
Els exercicis que venen a continuació són similars als que van tenir que resoldre els constructors a l’hora
de fer les comandes a les diferents canteres de marbre.
232

Exercici 4
L’ònix daurat
El material més luxós de l’edifici i més difícil d’aconseguir va ser l’ònix daurat que recobreix el mur
central del pavelló. Mies van der Rohe a l’any 1929 va comprar aquestes peces de procedència nordafricana
en un magatzem d’Hamburg on les tenien destinades a la decoració d’un transatlàntic.
Els arquitectes encarregats de la reconstrucció de 1986 van voltar diversos països del nord d’Àfrica
buscant l’ònix més semblant a l’original. Finalment el van trobar en la cantera de Bou-Hanilfa a Algèria.
Preneu mides i redacteu una comanda el més precisa possible per tal de reconstruir el mur. Si convé
adjunteu-hi algun dibuix. No us oblideu del revestiment lateral.
L’altura de les peces d’ònix és una dimensió fonamental ja que en el seu moment va determinar l’alçada
de l’edifici. Per cert quina és l’alçada de l’edifici?
Exercici 5
El travertí blanc
a) Hi ha dos tipus de travertí: l’utilitzat per a la reconstrucció del paviment del terra i el que es va fer
servir per als murs verticals. El primer és més compacte i el seu dibuix no està tan marcat. Es van
encomanar a una cantera que s’anomena Sybilla de la regió del Lazio(Itàlia).
Quantes rajoles es varen necessitar per recobrir el terra?
Comproveu que l’àrea que heu trobat en l’apartat a de l’exercici 3 és correcta a partir
de la superfície d’una rajola i del nombre de rajoles (caldrà afegir l’àrea de les
superfícies no pavimentades amb travertí)
b) El travertí que es va utilitzar per a recobrir les parets són lloses rectangulars que provenen de la
cantera de Colesseu a prop de Roma i fan 2, 181,
03m.
Es va triar un bloc de pedra amb
irregularitats i un dibuix més marcat per aconseguir una composició adequada en la paret exterior de
darrera el banc, seguint la idea original del primitiu pavelló.
Quina superfície té aquesta paret?
c) Per tal de refer les vetes del dibuix del marbre els arquitectes van encomanar que els hi enviessin les
rajoles numerades segons les havien tallat del bloc de pedra, els marbristes no ho van entendre i van
enviar les peces desordenades. Creieu que és molt difícil tornar-les a ordenar?
233

Per veure’n la dificultat calculeu de quantes maneres diferents pots col·locar les
quatre rajoles rectangulars numerades del dibuix en el rectangle del costat. (suposem
que sabem quina és la part de dalt i la part de baix de les rajoles)
1
3
2
4
Com podeu veure va ser molt difícil recuperar el dibuix de la paret! Gràcies a la paciència dels
constructors es va aconseguir refer el puzzle de travertí després de refer el revestiment fins a quatre
vegades!
234

Exercici 6
El marbre verd grec.
El marbre verd de la paret separadora que condueix de l’entrada a l’interior prové de la regió grega de
Larissa i les seves incrustacions i betes són del tot irregulars.
a) Calculeu les dimensions de les rajoles de la paret i de les cantonades.
b) Fixeu-vos que les rajoles a ambdues cares de la paret tenen dibuixos distints ja que es tracta de peces
diferents que revesteixen les dues cares de la paret. Quantes peces de cada tipus, com a mínim, van
venir de Grècia?
c) Calculeu la longitud i l’alçada de la paret. Calculeu-ne la superfície.
Exercici 7
El marbre verd dels Alps
El marbre verd que envolta l’estany exterior prové de la Vall d’Aosta en la zona dels Alps italians, si us hi
fixeu podeu veure que cada quatre rajoles formen un dibuix concèntric seguint les vetes de la pedra.
Aquest cop es va preveure el problema i les peces van arribar ordenades.
a) Amb les dimensions que heu calculat en l’exercici 2 i només comptant les rajoles que sabem que són
totes iguals, calcula quines són les dimensions de les rajoles de marbre verd.
b) Es pot observar que les peces laterals dels acabats de les parets són diferents, mesureu les dimensions
d’aquestes peces.
c) A partir de les dimensions de les rajoles, encara que les parets siguin inaccessibles podem calcular les
dimensions de les parets de marbre verd que envolten l’estany petit. Quina és la longitud exterior de
cada una d’aquestes parets?
d) Comproveu els resultats obtinguts en l’apartat anterior calculant les longituds a partir de l’escala del
plànol de la làmina 2.
235

BIBLIOGRAFIA
A.A.V.V. El pavelló alemany de Barcelona de Mies van der Rohe. Fundació Pública del Pavelló alemany
de Barcelona. 1986
Solà-Morales, Ignasi; Cristian Cirici y Fernando Ramos. Mies van der Rohe. El Pabellón de Barcelona.
Gustavo Gili. Barcelona, 1993.
Informació sobre el pavelló a la xarxa: http://www.miesbcn.com
236

237

Làmina 1
238

Làmina 2
239

Exercici 2
EXERCICIS RESOLTS
a) 1’09m
b) Comptant rajoles les mides són:
c) El costat de 32,7 m mesura 13,1 cm en el plànol per tant l’escala és 13,1:3270 és a dir
aproximadament igual a 1: 250.
8,72
1,09
5,45
32,7
13,08
21,8
1,09
2,18
Exercici 3
42,51
a) Dividint la planta en rectangles de dimensions conegudes obtenim:
8,72 5,45 + (8,72+32,7) (1,09+10,9+2,18+4,36) + 13,08 13,08 +
+ 2 (2,18 1,09)= 990,8754 m 2 .
b) L’àrea dels dos estanys és: 9,81 21,8 + 4,36 11,99 = 266,1344 m 2 .
c) Per a calcular l’àrea de la superfície coberta de les oficines, utilitzem el valor conegut de 8,72 m
d’amplada per 9,75 m de llargada obtinguda a partir de l’escala ja que el nombre de rajoles no és
enter: 8,72 9,75= 85,02 m 2 .
L’àrea de la coberta principal és: 14,17 25,07 = 355,2419 m 2 .
Si mesurem la superfície del voladís posterior de la coberta, obtenim:
1,09 1,09 = 9,5048 m 2 .
Per tant, l’àrea de la superfície coberta principal és:
355,2419 – 9,5048 = 345,7371 m 2 .
240
4,36
14,17
10,9
2,18
1,09

Àrea total de la superfície coberta: 430,7571 m 2 .
d) 430,75 : 990,8754 = 43,47% de la superfície del pavelló és coberta.
e) 266,1344 : (990,8754 – 430,75) = 47,5% de la superfície descoberta és aigua.
Exercici 4
8 peces rectangulars d’ònix daurat de 2,35 1,55 m
4 peces laterals de 1,55 0,1 m
l’alçada del edifici serà, doncs, 1,55 2 = 3,1 m
Exercici 5
a) 5 8 + 7 38 + 6 18 + 8 12 + 15 4 + 3 + 6 + 22 = 601 rajoles
àrea d’una rajola: 1,09 2 =1,1881m 2 ; àrea enrajolada: 1,1881 601 = 714,0481 m 2
àrea total –àrea dels estanys - àrea de les escales = 990,8754 –266,1344 - 3,27 2 =714,0481 m 2 .
241

) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03 m
mesurant les peces laterals fan 0,49m 1,03m i n’hi ha 6
Per tant, l’àrea de la paret fa (6 0,49 1,03)+(27 2,18 1,03)= 63,654 m 2 .
Calculant-ho d’una altra manera tenim un rectangle d’alçada 3,1 m i de base 18 rajoles de paviment
més els trossos laterals que fan 0,49 cadascun, per tant, la longitud de la base és: 18 1,09 +
2 0,49 = 20,6 m.
L’àrea de la paret és: 3,1 20,6 = 63,86 m 2 .
c) S’han de fer totes les possibles ordenacions a mà i després comptar-les, ja que a aquest nivell no es
poden introduir tècniques de càlcul combinatori. El resultat és 4!=24.
Una manera de fer-ho és escriure totes les ordenacions que tindran la peça 1 en un determinat lloc:
1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2
Hi ha 6 possibles ordenacions en que una peça ocupa un lloc fix, si això ho pensem per les quatre
peces obtenim: 4posicions 6 ordenacions=24.
Exercici 6
a) Hi ha dues mides de peces: les rajoles que recobreixen la superfície i les peces laterals. Les peces
laterals mesuren 0,7m 1,03m i les rectangulars són de 2m 1,03m
b) Es van necessitar per construir la paret: 6 peces laterals i 24 rajoles rectangulars.
c) La paret tindrà una llargada de 2 4 + 0,7 2 = 9,4 m i l’alçada com la de tot el pavelló és 3,1m,
per tant la superfície és: 9,4 3,1 = 29,14 m 2 .
Exercici 7
a) Llarg del estany és 11,99 i hi ha 6 rajoles, per tant, 11,99 : 6 = 1,99, podem comptar que les rajoles
fan 2 m 1,03 m.
b) Mesurant les peces laterals fan 0,65 m 1,03 m.
c) La paret que voreja completament el llarg de la piscina ja sabíem que mesurava 12m de llarg, la
paret posterior amida 0,65 + (7 2) = 14,65 m, la paret més a prop de les escales mesura 0,65 + (
5 2) = 10,65 m.
d) Si apliquem l’escala que hem obtingut a l’exercici 2 obtenim:
Paret posterior: 6 250 = 1.500 cm = 15 m
Paret a prop de les escales: 4,2 250 = 1.050= 10,5 m.
Percentatge d’error en la paret posterior: 14,65 : 15= 97,6%, per tant l’error relatiu és 2,4%.
Percentatge d’error en la paret a prop de les escales: 10,5 : 10,65==98,5%, per tant l’error relatiu és
1,5%.
Podem afirmar que les mesures que hem pres són coherents amb l’escala del plànol.
242

9
El pavelló Mies van der Rohe
Càlcul de dimensions i materials
243

Nivell: Primer Cicle d’ESO
FITXA PER AL PROFESSORAT
Coneixements previs: L’escala d’un plànol i àrees de rectangles.
Objectius didàctics
Interpretar un plànol.
Calcular dimensions dels elements d’un plànol a partir de dimensions conegudes.
Calcular l’escala d’un plànol a partir de dimensions conegudes.
Calcular àrees.
Calcular percentatges.
Calcular les possibles ordenacions de quatre elements.
Potencial multidisciplinar
L’Exposició Universal de Barcelona de 1929. (Àrea de Ciències Socials)
L’Arquitectura del segle XX. (Àrea de Ciències Socials)
Els marbres i l’ònix. (Ciències Experimentals)
Orientacions didàctiques
Els alumnes i les alumnes hauran de prendre mesures de les diferents peces que pavimenten el terra i
les parets del pavelló, per tant necessiten una cinta mètrica extensible. Convé insistir en que convé
amidar diverses rajoles de la mateixa forma per assegurar-se de les seves dimensions.
Les qüestions plantejades en els exercicis: 1, 2a, 3c, 4, 5b, 6a i 6b, 7ª, 7b i 7c s’han de resoldre sobre
el terreny, ja que requereixen la identificació dels diferents elements constructius reals en el plànol,
prendre mesures i fer recomptes de rajoles.

Per fer els diferents recomptes que se’ls demana poden seguir diverses estratègies treballant sobre el
plànol i sobre el terreny paral·lelament, utilitzant l’escala o el nombre de rajoles segons l’habilitat de
cada alumne o alumna.
Pels càlculs d’àrees poden fer servir diverses estratègies: calcular l’àrea d’una peça del recobriment i
multiplicar pel nombre de peces o bé fer el producte de les dimensions del rectangle després de
calcular-les.
228

Per resoldre la qüestió 5c, hauran de fer totes les possibles ordenacions de les quatre peces, per
després fer-ne el recompte, ja que en aquest nivell no disposen de càlcul combinatori. Convé, però
que siguin sistemàtics alhora d’escriure-les i de justificar la resposta.
La visita al Pavelló Mies van der Rohe
Adreça: Av. Marqués de Comillas s/n, Montjuïc 08038 Barcelona
Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 343-4234016
Correu electrònic: miesbcn@ysi.es
La visita en grup per a estudiants és gratuïta. Per les dimensions del pavelló i el tipus de pràctica convé
anar-hi en grups reduïts (30 alumnes com a màxim).
Material gràfic : Plànols de la planta del Pavelló.
229

MATERIAL PER A L’ALUMNAT
El pavelló Mies van der Rohe
Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969) va dissenyar i construir el pavelló alemany per a l’Exposició
Universal de Barcelona de 1929. L’obra és una combinació ben proporcionada de superfícies de vidre,
aigua, pedra i acer. Considerada com una de les obres màximes de l’arquitectura racionalista del segle
XX, en el seu moment va ser l’edifici més innovador de l’Exposició, només cal que ho compareu amb les
construccions que es van fer pel mateix motiu, ubicades en la muntanya de Montjuïc: el Palau Nacional,
el Mercat de les Flors i altres pavellons.
El pavelló va ser desmuntat després de l’exposició. Durant molts anys va ser estudiat pels arquitectes com
una nova manera d’entendre l’espai arquitectònic, a partir dels plànols i dissenys que Mies van der Rohe
va realitzar per a la construcció de l’edifici, és a dir, s’estudiava des d’un punt de vista teòric.
Mies van der Rohe va ser també un innovador en el disseny de mobles: les cadires i els tamborets de cuir
blanc i tira d’acer cromat van ser dissenyades especialment per l’Exposició Universal de 1929 i reben el
nom de cadires i tamborets Barcelona. La realització material de les cadires de Mies fou duta a terme
íntegrament a Europa. Però només una empresa d’Estats Units aconseguí introduir-les al mercat del
moble a nivell mundial. La influència que exercí la cadira Barcelona és demostra en la quantitat
d’imitadors que des de llavors ha tingut .
Per iniciativa de l’Ajuntament de Barcelona i de la Fundació Pública del Pavelló Alemany de l’Exposició
Universal, a l’any 1986 es va reconstruir el Pavelló seguint amb tota fidelitat la construcció original. Des
de llavors és obert al públic i constitueix una visita obligada pels estudiosos de l’arquitectura.
Exercici 1
Interpreteu el plànol de la làmina 1 de la planta de l’edifici. Identifiqueu els elements més diferenciats:
les escales per accedir-hi
les oficines
els dos estanys
les parets de marbre blanc (travertí)
les quatre parets de marbre verd
la paret d’ònix daurat
les superfícies de vidre
la paret de material translúcid
les columnes d’acer
el banc exterior
la ubicació de l’estàtua de la dona de G. Kolbe
les portes (dibuixeu-les)
230

les cadires i els tamborets Barcelona (dibuixeu-los)
Per indicar tots aquests elements us podeu ajudar amb llapis de colors, posant fletxes o lletres.
Quina orientació té l’entrada del pavelló?
En quina direcció mirem quan estem asseguts en el banc?
231

Exercici 2
El paviment del terra està format de lloses d’un tipus de marbre blanc de procedència italiana característic
de la pavimentació dels carrers i places de Roma i que s’anomena travertí. Les peces que s’han fet servir
tenen forma quadrada i la planta en conté un nombre enter. Aquesta peça és el mòdul de l’edifici i ens
permet calcular-ne les dimensions i les proporcions dels elements de la construcció.
d) Quina és la longitud del costat de la rajola?
e) Calculeu les dimensions del contorn del pavelló usant el plànol de la làmina 2.
f) Calcula l’escala del plànol de la làmina 2.
Exercici 3
Estudi de les superfícies de la planta.
Tenint en compte les dimensions de la rajola de travertí blanc. Calculeu:
f) L’àrea de la superfície de sol que ocupa la construcció.
g) L’àrea de la superfície ocupada pels dos estanys.
h) L’àrea de la superfície coberta del pavelló (delimiteu sobre el plànol de la làmina 2 les dues zones
cobertes).
i) La proporció de superfície coberta en el total de la construcció.
j) El percentatge de superfície líquida en el total de superfície descoberta del pavelló.
Els materials del Pavelló
Un dels principals mèrits del pavelló va ser la qualitat dels seus materials i la manera en que estan
distribuïts creant diferents espais, sense que cap d’ells estigui tancat. Quan en l’any 1983 se’ls hi va
encomanar la reconstrucció de l’obra als arquitectes Ignasi Solà-Morales, Cristian Cirici i Fernando
Ramos, disposaven dels plànols de Mies, per tant sabien com havien de dimensionar i distribuir l’espai, la
principal dificultat en que es varen trobar va ser en el moment d’aconseguir els materials ja que hi ha
quatre tipus de pedra diferent:
Travertí romà: marbre del paviment i de totes les parets exteriors.
Marbre verd dels Alps: marbre verd que envolta la piscina exterior.
Marbre verd antic de Grècia: paret que condueix de l’entrada principal a l’interior.
Ònix de l’Atlas: mur central del pavelló.
Els exercicis que venen a continuació són similars als que van tenir que resoldre els constructors a l’hora
de fer les comandes a les diferents canteres de marbre.
232

Exercici 4
L’ònix daurat
El material més luxós de l’edifici i més difícil d’aconseguir va ser l’ònix daurat que recobreix el mur
central del pavelló. Mies van der Rohe a l’any 1929 va comprar aquestes peces de procedència nordafricana
en un magatzem d’Hamburg on les tenien destinades a la decoració d’un transatlàntic.
Els arquitectes encarregats de la reconstrucció de 1986 van voltar diversos països del nord d’Àfrica
buscant l’ònix més semblant a l’original. Finalment el van trobar en la cantera de Bou-Hanilfa a Algèria.
Preneu mides i redacteu una comanda el més precisa possible per tal de reconstruir el mur. Si convé
adjunteu-hi algun dibuix. No us oblideu del revestiment lateral.
L’altura de les peces d’ònix és una dimensió fonamental ja que en el seu moment va determinar l’alçada
de l’edifici. Per cert quina és l’alçada de l’edifici?
Exercici 5
El travertí blanc
c) Hi ha dos tipus de travertí: l’utilitzat per a la reconstrucció del paviment del terra i el que es va fer
servir per als murs verticals. El primer és més compacte i el seu dibuix no està tan marcat. Es van
encomanar a una cantera que s’anomena Sybilla de la regió del Lazio(Itàlia).
Quantes rajoles es varen necessitar per recobrir el terra?
Comproveu que l’àrea que heu trobat en l’apartat a de l’exercici 3 és correcta a partir
de la superfície d’una rajola i del nombre de rajoles (caldrà afegir l’àrea de les
superfícies no pavimentades amb travertí)
d) El travertí que es va utilitzar per a recobrir les parets són lloses rectangulars que provenen de la
cantera de Colesseu a prop de Roma i fan 2, 181,
03m.
Es va triar un bloc de pedra amb
irregularitats i un dibuix més marcat per aconseguir una composició adequada en la paret exterior de
darrera el banc, seguint la idea original del primitiu pavelló.
Quina superfície té aquesta paret?
d) Per tal de refer les vetes del dibuix del marbre els arquitectes van encomanar que els hi enviessin les
rajoles numerades segons les havien tallat del bloc de pedra, els marbristes no ho van entendre i van
enviar les peces desordenades. Creieu que és molt difícil tornar-les a ordenar?
233

Per veure’n la dificultat calculeu de quantes maneres diferents pots col·locar les
quatre rajoles rectangulars numerades del dibuix en el rectangle del costat. (suposem
que sabem quina és la part de dalt i la part de baix de les rajoles)
1
3
2
4
Com podeu veure va ser molt difícil recuperar el dibuix de la paret! Gràcies a la paciència dels
constructors es va aconseguir refer el puzzle de travertí després de refer el revestiment fins a quatre
vegades!
234

Exercici 6
El marbre verd grec.
El marbre verd de la paret separadora que condueix de l’entrada a l’interior prové de la regió grega de
Larissa i les seves incrustacions i betes són del tot irregulars.
d) Calculeu les dimensions de les rajoles de la paret i de les cantonades.
e) Fixeu-vos que les rajoles a ambdues cares de la paret tenen dibuixos distints ja que es tracta de peces
diferents que revesteixen les dues cares de la paret. Quantes peces de cada tipus, com a mínim, van
venir de Grècia?
f) Calculeu la longitud i l’alçada de la paret. Calculeu-ne la superfície.
Exercici 7
El marbre verd dels Alps
El marbre verd que envolta l’estany exterior prové de la Vall d’Aosta en la zona dels Alps italians, si us hi
fixeu podeu veure que cada quatre rajoles formen un dibuix concèntric seguint les vetes de la pedra.
Aquest cop es va preveure el problema i les peces van arribar ordenades.
e) Amb les dimensions que heu calculat en l’exercici 2 i només comptant les rajoles que sabem que són
totes iguals, calcula quines són les dimensions de les rajoles de marbre verd.
f) Es pot observar que les peces laterals dels acabats de les parets són diferents, mesureu les dimensions
d’aquestes peces.
g) A partir de les dimensions de les rajoles, encara que les parets siguin inaccessibles podem calcular les
dimensions de les parets de marbre verd que envolten l’estany petit. Quina és la longitud exterior de
cada una d’aquestes parets?
h) Comproveu els resultats obtinguts en l’apartat anterior calculant les longituds a partir de l’escala del
plànol de la làmina 2.
235

BIBLIOGRAFIA
A.A.V.V. El pavelló alemany de Barcelona de Mies van der Rohe. Fundació Pública del Pavelló alemany
de Barcelona. 1986
Solà-Morales, Ignasi; Cristian Cirici y Fernando Ramos. Mies van der Rohe. El Pabellón de Barcelona.
Gustavo Gili. Barcelona, 1993.
Informació sobre el pavelló a la xarxa: http://www.miesbcn.com
236

237

Làmina 1
238

Làmina 2
239

Exercici 2
EXERCICIS RESOLTS
c) 1’09m
d) Comptant rajoles les mides són:
d) El costat de 32,7 m mesura 13,1 cm en el plànol per tant l’escala és 13,1:3270 és a dir
aproximadament igual a 1: 250.
8,72
1,09
5,45
32,7
13,08
21,8
1,09
2,18
Exercici 3
42,51
b) Dividint la planta en rectangles de dimensions conegudes obtenim:
8,72 5,45 + (8,72+32,7) (1,09+10,9+2,18+4,36) + 13,08 13,08 +
+ 2 (2,18 1,09)= 990,8754 m 2 .
d) L’àrea dels dos estanys és: 9,81 21,8 + 4,36 11,99 = 266,1344 m 2 .
e) Per a calcular l’àrea de la superfície coberta de les oficines, utilitzem el valor conegut de 8,72 m
d’amplada per 9,75 m de llargada obtinguda a partir de l’escala ja que el nombre de rajoles no és
enter: 8,72 9,75= 85,02 m 2 .
L’àrea de la coberta principal és: 14,17 25,07 = 355,2419 m 2 .
Si mesurem la superfície del voladís posterior de la coberta, obtenim:
1,09 1,09 = 9,5048 m 2 .
Per tant, l’àrea de la superfície coberta principal és:
355,2419 – 9,5048 = 345,7371 m 2 .
240
4,36
14,17
10,9
2,18
1,09

Àrea total de la superfície coberta: 430,7571 m 2 .
f) 430,75 : 990,8754 = 43,47% de la superfície del pavelló és coberta.
g) 266,1344 : (990,8754 – 430,75) = 47,5% de la superfície descoberta és aigua.
Exercici 4
8 peces rectangulars d’ònix daurat de 2,35 1,55 m
4 peces laterals de 1,55 0,1 m
l’alçada del edifici serà, doncs, 1,55 2 = 3,1 m
Exercici 5
b) 5 8 + 7 38 + 6 18 + 8 12 + 15 4 + 3 + 6 + 22 = 601 rajoles
àrea d’una rajola: 1,09 2 =1,1881m 2 ; àrea enrajolada: 1,1881 601 = 714,0481 m 2
àrea total –àrea dels estanys - àrea de les escales = 990,8754 –266,1344 - 3,27 2 =714,0481 m 2 .
241

c) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03 m
mesurant les peces laterals fan 0,49m 1,03m i n’hi ha 6
Per tant, l’àrea de la paret fa (6 0,49 1,03)+(27 2,18 1,03)= 63,654 m 2 .
Calculant-ho d’una altra manera tenim un rectangle d’alçada 3,1 m i de base 18 rajoles de paviment
més els trossos laterals que fan 0,49 cadascun, per tant, la longitud de la base és: 18 1,09 +
2 0,49 = 20,6 m.
L’àrea de la paret és: 3,1 20,6 = 63,86 m 2 .
d) S’han de fer totes les possibles ordenacions a mà i després comptar-les, ja que a aquest nivell no es
poden introduir tècniques de càlcul combinatori. El resultat és 4!=24.
Una manera de fer-ho és escriure totes les ordenacions que tindran la peça 1 en un determinat lloc:
1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2
Hi ha 6 possibles ordenacions en que una peça ocupa un lloc fix, si això ho pensem per les quatre
peces obtenim: 4posicions 6 ordenacions=24.
Exercici 6
d) Hi ha dues mides de peces: les rajoles que recobreixen la superfície i les peces laterals. Les peces
laterals mesuren 0,7m 1,03m i les rectangulars són de 2m 1,03m
e) Es van necessitar per construir la paret: 6 peces laterals i 24 rajoles rectangulars.
f) La paret tindrà una llargada de 2 4 + 0,7 2 = 9,4 m i l’alçada com la de tot el pavelló és 3,1m,
per tant la superfície és: 9,4 3,1 = 29,14 m 2 .
Exercici 7
e) Llarg del estany és 11,99 i hi ha 6 rajoles, per tant, 11,99 : 6 = 1,99, podem comptar que les rajoles
fan 2 m 1,03 m.
f) Mesurant les peces laterals fan 0,65 m 1,03 m.
g) La paret que voreja completament el llarg de la piscina ja sabíem que mesurava 12m de llarg, la
paret posterior amida 0,65 + (7 2) = 14,65 m, la paret més a prop de les escales mesura 0,65 + (
5 2) = 10,65 m.
h) Si apliquem l’escala que hem obtingut a l’exercici 2 obtenim:
Paret posterior: 6 250 = 1.500 cm = 15 m
Paret a prop de les escales: 4,2 250 = 1.050= 10,5 m.
Percentatge d’error en la paret posterior: 14,65 : 15= 97,6%, per tant l’error relatiu és 2,4%.
Percentatge d’error en la paret a prop de les escales: 10,5 : 10,65==98,5%, per tant l’error relatiu és
1,5%.
Podem afirmar que les mesures que hem pres són coherents amb l’escala del plànol.
242

9
El pavelló Mies van der Rohe
Càlcul de dimensions i materials
243

Nivell: Primer Cicle d’ESO
FITXA PER AL PROFESSORAT
Coneixements previs: L’escala d’un plànol i àrees de rectangles.
Objectius didàctics
Interpretar un plànol.
Calcular dimensions dels elements d’un plànol a partir de dimensions conegudes.
Calcular l’escala d’un plànol a partir de dimensions conegudes.
Calcular àrees.
Calcular percentatges.
Calcular les possibles ordenacions de quatre elements.
Potencial multidisciplinar
L’Exposició Universal de Barcelona de 1929. (Àrea de Ciències Socials)
L’Arquitectura del segle XX. (Àrea de Ciències Socials)
Els marbres i l’ònix. (Ciències Experimentals)
Orientacions didàctiques
Els alumnes i les alumnes hauran de prendre mesures de les diferents peces que pavimenten el terra i
les parets del pavelló, per tant necessiten una cinta mètrica extensible. Convé insistir en que convé
amidar diverses rajoles de la mateixa forma per assegurar-se de les seves dimensions.
Les qüestions plantejades en els exercicis: 1, 2a, 3c, 4, 5b, 6a i 6b, 7ª, 7b i 7c s’han de resoldre sobre
el terreny, ja que requereixen la identificació dels diferents elements constructius reals en el plànol,
prendre mesures i fer recomptes de rajoles.

Per fer els diferents recomptes que se’ls demana poden seguir diverses estratègies treballant sobre el
plànol i sobre el terreny paral·lelament, utilitzant l’escala o el nombre de rajoles segons l’habilitat de
cada alumne o alumna.
Pels càlculs d’àrees poden fer servir diverses estratègies: calcular l’àrea d’una peça del recobriment i
multiplicar pel nombre de peces o bé fer el producte de les dimensions del rectangle després de
calcular-les.
228

Per resoldre la qüestió 5c, hauran de fer totes les possibles ordenacions de les quatre peces, per
després fer-ne el recompte, ja que en aquest nivell no disposen de càlcul combinatori. Convé, però
que siguin sistemàtics alhora d’escriure-les i de justificar la resposta.
La visita al Pavelló Mies van der Rohe
Adreça: Av. Marqués de Comillas s/n, Montjuïc 08038 Barcelona
Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 343-4234016
Correu electrònic: miesbcn@ysi.es
La visita en grup per a estudiants és gratuïta. Per les dimensions del pavelló i el tipus de pràctica convé
anar-hi en grups reduïts (30 alumnes com a màxim).
Material gràfic : Plànols de la planta del Pavelló.
229

MATERIAL PER A L’ALUMNAT
El pavelló Mies van der Rohe
Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969) va dissenyar i construir el pavelló alemany per a l’Exposició
Universal de Barcelona de 1929. L’obra és una combinació ben proporcionada de superfícies de vidre,
aigua, pedra i acer. Considerada com una de les obres màximes de l’arquitectura racionalista del segle
XX, en el seu moment va ser l’edifici més innovador de l’Exposició, només cal que ho compareu amb les
construccions que es van fer pel mateix motiu, ubicades en la muntanya de Montjuïc: el Palau Nacional,
el Mercat de les Flors i altres pavellons.
El pavelló va ser desmuntat després de l’exposició. Durant molts anys va ser estudiat pels arquitectes com
una nova manera d’entendre l’espai arquitectònic, a partir dels plànols i dissenys que Mies van der Rohe
va realitzar per a la construcció de l’edifici, és a dir, s’estudiava des d’un punt de vista teòric.
Mies van der Rohe va ser també un innovador en el disseny de mobles: les cadires i els tamborets de cuir
blanc i tira d’acer cromat van ser dissenyades especialment per l’Exposició Universal de 1929 i reben el
nom de cadires i tamborets Barcelona. La realització material de les cadires de Mies fou duta a terme
íntegrament a Europa. Però només una empresa d’Estats Units aconseguí introduir-les al mercat del
moble a nivell mundial. La influència que exercí la cadira Barcelona és demostra en la quantitat
d’imitadors que des de llavors ha tingut .
Per iniciativa de l’Ajuntament de Barcelona i de la Fundació Pública del Pavelló Alemany de l’Exposició
Universal, a l’any 1986 es va reconstruir el Pavelló seguint amb tota fidelitat la construcció original. Des
de llavors és obert al públic i constitueix una visita obligada pels estudiosos de l’arquitectura.
Exercici 1
Interpreteu el plànol de la làmina 1 de la planta de l’edifici. Identifiqueu els elements més diferenciats:
les escales per accedir-hi
les oficines
els dos estanys
les parets de marbre blanc (travertí)
les quatre parets de marbre verd
la paret d’ònix daurat
les superfícies de vidre
la paret de material translúcid
les columnes d’acer
el banc exterior
la ubicació de l’estàtua de la dona de G. Kolbe
les portes (dibuixeu-les)
230

les cadires i els tamborets Barcelona (dibuixeu-los)
Per indicar tots aquests elements us podeu ajudar amb llapis de colors, posant fletxes o lletres.
Quina orientació té l’entrada del pavelló?
En quina direcció mirem quan estem asseguts en el banc?
231

Exercici 2
El paviment del terra està format de lloses d’un tipus de marbre blanc de procedència italiana característic
de la pavimentació dels carrers i places de Roma i que s’anomena travertí. Les peces que s’han fet servir
tenen forma quadrada i la planta en conté un nombre enter. Aquesta peça és el mòdul de l’edifici i ens
permet calcular-ne les dimensions i les proporcions dels elements de la construcció.
g) Quina és la longitud del costat de la rajola?
h) Calculeu les dimensions del contorn del pavelló usant el plànol de la làmina 2.
i) Calcula l’escala del plànol de la làmina 2.
Exercici 3
Estudi de les superfícies de la planta.
Tenint en compte les dimensions de la rajola de travertí blanc. Calculeu:
k) L’àrea de la superfície de sol que ocupa la construcció.
l) L’àrea de la superfície ocupada pels dos estanys.
m) L’àrea de la superfície coberta del pavelló (delimiteu sobre el plànol de la làmina 2 les dues zones
cobertes).
n) La proporció de superfície coberta en el total de la construcció.
o) El percentatge de superfície líquida en el total de superfície descoberta del pavelló.
Els materials del Pavelló
Un dels principals mèrits del pavelló va ser la qualitat dels seus materials i la manera en que estan
distribuïts creant diferents espais, sense que cap d’ells estigui tancat. Quan en l’any 1983 se’ls hi va
encomanar la reconstrucció de l’obra als arquitectes Ignasi Solà-Morales, Cristian Cirici i Fernando
Ramos, disposaven dels plànols de Mies, per tant sabien com havien de dimensionar i distribuir l’espai, la
principal dificultat en que es varen trobar va ser en el moment d’aconseguir els materials ja que hi ha
quatre tipus de pedra diferent:
Travertí romà: marbre del paviment i de totes les parets exteriors.
Marbre verd dels Alps: marbre verd que envolta la piscina exterior.
Marbre verd antic de Grècia: paret que condueix de l’entrada principal a l’interior.
Ònix de l’Atlas: mur central del pavelló.
Els exercicis que venen a continuació són similars als que van tenir que resoldre els constructors a l’hora
de fer les comandes a les diferents canteres de marbre.
232

Exercici 4
L’ònix daurat
El material més luxós de l’edifici i més difícil d’aconseguir va ser l’ònix daurat que recobreix el mur
central del pavelló. Mies van der Rohe a l’any 1929 va comprar aquestes peces de procedència nordafricana
en un magatzem d’Hamburg on les tenien destinades a la decoració d’un transatlàntic.
Els arquitectes encarregats de la reconstrucció de 1986 van voltar diversos països del nord d’Àfrica
buscant l’ònix més semblant a l’original. Finalment el van trobar en la cantera de Bou-Hanilfa a Algèria.
Preneu mides i redacteu una comanda el més precisa possible per tal de reconstruir el mur. Si convé
adjunteu-hi algun dibuix. No us oblideu del revestiment lateral.
L’altura de les peces d’ònix és una dimensió fonamental ja que en el seu moment va determinar l’alçada
de l’edifici. Per cert quina és l’alçada de l’edifici?
Exercici 5
El travertí blanc
e) Hi ha dos tipus de travertí: l’utilitzat per a la reconstrucció del paviment del terra i el que es va fer
servir per als murs verticals. El primer és més compacte i el seu dibuix no està tan marcat. Es van
encomanar a una cantera que s’anomena Sybilla de la regió del Lazio(Itàlia).
Quantes rajoles es varen necessitar per recobrir el terra?
Comproveu que l’àrea que heu trobat en l’apartat a de l’exercici 3 és correcta a partir
de la superfície d’una rajola i del nombre de rajoles (caldrà afegir l’àrea de les
superfícies no pavimentades amb travertí)
f) El travertí que es va utilitzar per a recobrir les parets són lloses rectangulars que provenen de la
cantera de Colesseu a prop de Roma i fan 2, 181,
03m.
Es va triar un bloc de pedra amb
irregularitats i un dibuix més marcat per aconseguir una composició adequada en la paret exterior de
darrera el banc, seguint la idea original del primitiu pavelló.
Quina superfície té aquesta paret?
e) Per tal de refer les vetes del dibuix del marbre els arquitectes van encomanar que els hi enviessin les
rajoles numerades segons les havien tallat del bloc de pedra, els marbristes no ho van entendre i van
enviar les peces desordenades. Creieu que és molt difícil tornar-les a ordenar?
233

Per veure’n la dificultat calculeu de quantes maneres diferents pots col·locar les
quatre rajoles rectangulars numerades del dibuix en el rectangle del costat. (suposem
que sabem quina és la part de dalt i la part de baix de les rajoles)
1
3
2
4
Com podeu veure va ser molt difícil recuperar el dibuix de la paret! Gràcies a la paciència dels
constructors es va aconseguir refer el puzzle de travertí després de refer el revestiment fins a quatre
vegades!
234

Exercici 6
El marbre verd grec.
El marbre verd de la paret separadora que condueix de l’entrada a l’interior prové de la regió grega de
Larissa i les seves incrustacions i betes són del tot irregulars.
g) Calculeu les dimensions de les rajoles de la paret i de les cantonades.
h) Fixeu-vos que les rajoles a ambdues cares de la paret tenen dibuixos distints ja que es tracta de peces
diferents que revesteixen les dues cares de la paret. Quantes peces de cada tipus, com a mínim, van
venir de Grècia?
i) Calculeu la longitud i l’alçada de la paret. Calculeu-ne la superfície.
Exercici 7
El marbre verd dels Alps
El marbre verd que envolta l’estany exterior prové de la Vall d’Aosta en la zona dels Alps italians, si us hi
fixeu podeu veure que cada quatre rajoles formen un dibuix concèntric seguint les vetes de la pedra.
Aquest cop es va preveure el problema i les peces van arribar ordenades.
i) Amb les dimensions que heu calculat en l’exercici 2 i només comptant les rajoles que sabem que són
totes iguals, calcula quines són les dimensions de les rajoles de marbre verd.
j) Es pot observar que les peces laterals dels acabats de les parets són diferents, mesureu les dimensions
d’aquestes peces.
k) A partir de les dimensions de les rajoles, encara que les parets siguin inaccessibles podem calcular les
dimensions de les parets de marbre verd que envolten l’estany petit. Quina és la longitud exterior de
cada una d’aquestes parets?
l) Comproveu els resultats obtinguts en l’apartat anterior calculant les longituds a partir de l’escala del
plànol de la làmina 2.
235

BIBLIOGRAFIA
A.A.V.V. El pavelló alemany de Barcelona de Mies van der Rohe. Fundació Pública del Pavelló alemany
de Barcelona. 1986
Solà-Morales, Ignasi; Cristian Cirici y Fernando Ramos. Mies van der Rohe. El Pabellón de Barcelona.
Gustavo Gili. Barcelona, 1993.
Informació sobre el pavelló a la xarxa: http://www.miesbcn.com
236

237

Làmina 1
238

Làmina 2
239

Exercici 2
EXERCICIS RESOLTS
e) 1’09m
f) Comptant rajoles les mides són:
e) El costat de 32,7 m mesura 13,1 cm en el plànol per tant l’escala és 13,1:3270 és a dir
aproximadament igual a 1: 250.
8,72
5,45
1,09
32,7
13,08
21,8
1,09
2,18
Exercici 3
42,51
c) Dividint la planta en rectangles de dimensions conegudes obtenim:
8,72 5,45 + (8,72+32,7) (1,09+10,9+2,18+4,36) + 13,08 13,08 +
+ 2 (2,18 1,09)= 990,8754 m 2 .
f) L’àrea dels dos estanys és: 9,81 21,8 + 4,36 11,99 = 266,1344 m 2 .
g) Per a calcular l’àrea de la superfície coberta de les oficines, utilitzem el valor conegut de 8,72 m
d’amplada per 9,75 m de llargada obtinguda a partir de l’escala ja que el nombre de rajoles no és
enter: 8,72 9,75= 85,02 m 2 .
L’àrea de la coberta principal és: 14,17 25,07 = 355,2419 m 2 .
Si mesurem la superfície del voladís posterior de la coberta, obtenim:
1,09 1,09 = 9,5048 m 2 .
Per tant, l’àrea de la superfície coberta principal és:
355,2419 – 9,5048 = 345,7371 m 2 .
240
4,36
14,17
10,9
2,18
1,09

Àrea total de la superfície coberta: 430,7571 m 2 .
h) 430,75 : 990,8754 = 43,47% de la superfície del pavelló és coberta.
i) 266,1344 : (990,8754 – 430,75) = 47,5% de la superfície descoberta és aigua.
Exercici 4
8 peces rectangulars d’ònix daurat de 2,35 1,55 m
4 peces laterals de 1,55 0,1 m
l’alçada del edifici serà, doncs, 1,55 2 = 3,1 m
Exercici 5
c) 5 8 + 7 38 + 6 18 + 8 12 + 15 4 + 3 + 6 + 22 = 601 rajoles
àrea d’una rajola: 1,09 2 =1,1881m 2 ; àrea enrajolada: 1,1881 601 = 714,0481 m 2
àrea total –àrea dels estanys - àrea de les escales = 990,8754 –266,1344 - 3,27 2 =714,0481 m 2 .
241

d) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03 m
mesurant les peces laterals fan 0,49m 1,03m i n’hi ha 6
Per tant, l’àrea de la paret fa (6 0,49 1,03)+(27 2,18 1,03)= 63,654 m 2 .
Calculant-ho d’una altra manera tenim un rectangle d’alçada 3,1 m i de base 18 rajoles de paviment
més els trossos laterals que fan 0,49 cadascun, per tant, la longitud de la base és: 18 1,09 +
2 0,49 = 20,6 m.
L’àrea de la paret és: 3,1 20,6 = 63,86 m 2 .
e) S’han de fer totes les possibles ordenacions a mà i després comptar-les, ja que a aquest nivell no es
poden introduir tècniques de càlcul combinatori. El resultat és 4!=24.
Una manera de fer-ho és escriure totes les ordenacions que tindran la peça 1 en un determinat lloc:
1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2
Hi ha 6 possibles ordenacions en que una peça ocupa un lloc fix, si això ho pensem per les quatre
peces obtenim: 4posicions 6 ordenacions=24.
Exercici 6
g) Hi ha dues mides de peces: les rajoles que recobreixen la superfície i les peces laterals. Les peces
laterals mesuren 0,7m 1,03m i les rectangulars són de 2m 1,03m
h) Es van necessitar per construir la paret: 6 peces laterals i 24 rajoles rectangulars.
i) La paret tindrà una llargada de 2 4 + 0,7 2 = 9,4 m i l’alçada com la de tot el pavelló és 3,1m,
per tant la superfície és: 9,4 3,1 = 29,14 m 2 .
Exercici 7
i) Llarg del estany és 11,99 i hi ha 6 rajoles, per tant, 11,99 : 6 = 1,99, podem comptar que les rajoles
fan 2 m 1,03 m.
j) Mesurant les peces laterals fan 0,65 m 1,03 m.
k) La paret que voreja completament el llarg de la piscina ja sabíem que mesurava 12m de llarg, la
paret posterior amida 0,65 + (7 2) = 14,65 m, la paret més a prop de les escales mesura 0,65 + (
5 2) = 10,65 m.
l) Si apliquem l’escala que hem obtingut a l’exercici 2 obtenim:
Paret posterior: 6 250 = 1.500 cm = 15 m
Paret a prop de les escales: 4,2 250 = 1.050= 10,5 m.
Percentatge d’error en la paret posterior: 14,65 : 15= 97,6%, per tant l’error relatiu és 2,4%.
Percentatge d’error en la paret a prop de les escales: 10,5 : 10,65==98,5%, per tant l’error relatiu és
1,5%.
Podem afirmar que les mesures que hem pres són coherents amb l’escala del plànol.
242

9
El pavelló Mies van der Rohe
Càlcul de dimensions i materials
243

Nivell: Primer Cicle d’ESO
FITXA PER AL PROFESSORAT
Coneixements previs: L’escala d’un plànol i àrees de rectangles.
Objectius didàctics
Interpretar un plànol.
Calcular dimensions dels elements d’un plànol a partir de dimensions conegudes.
Calcular l’escala d’un plànol a partir de dimensions conegudes.
Calcular àrees.
Calcular percentatges.
Calcular les possibles ordenacions de quatre elements.
Potencial multidisciplinar
L’Exposició Universal de Barcelona de 1929. (Àrea de Ciències Socials)
L’Arquitectura del segle XX. (Àrea de Ciències Socials)
Els marbres i l’ònix. (Ciències Experimentals)
Orientacions didàctiques
Els alumnes i les alumnes hauran de prendre mesures de les diferents peces que pavimenten el terra i
les parets del pavelló, per tant necessiten una cinta mètrica extensible. Convé insistir en que convé
amidar diverses rajoles de la mateixa forma per assegurar-se de les seves dimensions.
Les qüestions plantejades en els exercicis: 1, 2a, 3c, 4, 5b, 6a i 6b, 7ª, 7b i 7c s’han de resoldre sobre
el terreny, ja que requereixen la identificació dels diferents elements constructius reals en el plànol,
prendre mesures i fer recomptes de rajoles.

Per fer els diferents recomptes que se’ls demana poden seguir diverses estratègies treballant sobre el
plànol i sobre el terreny paral·lelament, utilitzant l’escala o el nombre de rajoles segons l’habilitat de
cada alumne o alumna.
Pels càlculs d’àrees poden fer servir diverses estratègies: calcular l’àrea d’una peça del recobriment i
multiplicar pel nombre de peces o bé fer el producte de les dimensions del rectangle després de
calcular-les.
228

Per resoldre la qüestió 5c, hauran de fer totes les possibles ordenacions de les quatre peces, per
després fer-ne el recompte, ja que en aquest nivell no disposen de càlcul combinatori. Convé, però
que siguin sistemàtics alhora d’escriure-les i de justificar la resposta.
La visita al Pavelló Mies van der Rohe
Adreça: Av. Marqués de Comillas s/n, Montjuïc 08038 Barcelona
Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 343-4234016
Correu electrònic: miesbcn@ysi.es
La visita en grup per a estudiants és gratuïta. Per les dimensions del pavelló i el tipus de pràctica convé
anar-hi en grups reduïts (30 alumnes com a màxim).
Material gràfic : Plànols de la planta del Pavelló.
229

MATERIAL PER A L’ALUMNAT
El pavelló Mies van der Rohe
Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969) va dissenyar i construir el pavelló alemany per a l’Exposició
Universal de Barcelona de 1929. L’obra és una combinació ben proporcionada de superfícies de vidre,
aigua, pedra i acer. Considerada com una de les obres màximes de l’arquitectura racionalista del segle
XX, en el seu moment va ser l’edifici més innovador de l’Exposició, només cal que ho compareu amb les
construccions que es van fer pel mateix motiu, ubicades en la muntanya de Montjuïc: el Palau Nacional,
el Mercat de les Flors i altres pavellons.
El pavelló va ser desmuntat després de l’exposició. Durant molts anys va ser estudiat pels arquitectes com
una nova manera d’entendre l’espai arquitectònic, a partir dels plànols i dissenys que Mies van der Rohe
va realitzar per a la construcció de l’edifici, és a dir, s’estudiava des d’un punt de vista teòric.
Mies van der Rohe va ser també un innovador en el disseny de mobles: les cadires i els tamborets de cuir
blanc i tira d’acer cromat van ser dissenyades especialment per l’Exposició Universal de 1929 i reben el
nom de cadires i tamborets Barcelona. La realització material de les cadires de Mies fou duta a terme
íntegrament a Europa. Però només una empresa d’Estats Units aconseguí introduir-les al mercat del
moble a nivell mundial. La influència que exercí la cadira Barcelona és demostra en la quantitat
d’imitadors que des de llavors ha tingut .
Per iniciativa de l’Ajuntament de Barcelona i de la Fundació Pública del Pavelló Alemany de l’Exposició
Universal, a l’any 1986 es va reconstruir el Pavelló seguint amb tota fidelitat la construcció original. Des
de llavors és obert al públic i constitueix una visita obligada pels estudiosos de l’arquitectura.
Exercici 1
Interpreteu el plànol de la làmina 1 de la planta de l’edifici. Identifiqueu els elements més diferenciats:
les escales per accedir-hi
les oficines
els dos estanys
les parets de marbre blanc (travertí)
les quatre parets de marbre verd
la paret d’ònix daurat
les superfícies de vidre
la paret de material translúcid
les columnes d’acer
el banc exterior
la ubicació de l’estàtua de la dona de G. Kolbe
les portes (dibuixeu-les)
230

les cadires i els tamborets Barcelona (dibuixeu-los)
Per indicar tots aquests elements us podeu ajudar amb llapis de colors, posant fletxes o lletres.
Quina orientació té l’entrada del pavelló?
En quina direcció mirem quan estem asseguts en el banc?
231

Exercici 2
El paviment del terra està format de lloses d’un tipus de marbre blanc de procedència italiana característic
de la pavimentació dels carrers i places de Roma i que s’anomena travertí. Les peces que s’han fet servir
tenen forma quadrada i la planta en conté un nombre enter. Aquesta peça és el mòdul de l’edifici i ens
permet calcular-ne les dimensions i les proporcions dels elements de la construcció.
j) Quina és la longitud del costat de la rajola?
k) Calculeu les dimensions del contorn del pavelló usant el plànol de la làmina 2.
l) Calcula l’escala del plànol de la làmina 2.
Exercici 3
Estudi de les superfícies de la planta.
Tenint en compte les dimensions de la rajola de travertí blanc. Calculeu:
p) L’àrea de la superfície de sol que ocupa la construcció.
q) L’àrea de la superfície ocupada pels dos estanys.
r) L’àrea de la superfície coberta del pavelló (delimiteu sobre el plànol de la làmina 2 les dues zones
cobertes).
s) La proporció de superfície coberta en el total de la construcció.
t) El percentatge de superfície líquida en el total de superfície descoberta del pavelló.
Els materials del Pavelló
Un dels principals mèrits del pavelló va ser la qualitat dels seus materials i la manera en que estan
distribuïts creant diferents espais, sense que cap d’ells estigui tancat. Quan en l’any 1983 se’ls hi va
encomanar la reconstrucció de l’obra als arquitectes Ignasi Solà-Morales, Cristian Cirici i Fernando
Ramos, disposaven dels plànols de Mies, per tant sabien com havien de dimensionar i distribuir l’espai, la
principal dificultat en que es varen trobar va ser en el moment d’aconseguir els materials ja que hi ha
quatre tipus de pedra diferent:
Travertí romà: marbre del paviment i de totes les parets exteriors.
Marbre verd dels Alps: marbre verd que envolta la piscina exterior.
Marbre verd antic de Grècia: paret que condueix de l’entrada principal a l’interior.
Ònix de l’Atlas: mur central del pavelló.
Els exercicis que venen a continuació són similars als que van tenir que resoldre els constructors a l’hora
de fer les comandes a les diferents canteres de marbre.
232

Exercici 4
L’ònix daurat
El material més luxós de l’edifici i més difícil d’aconseguir va ser l’ònix daurat que recobreix el mur
central del pavelló. Mies van der Rohe a l’any 1929 va comprar aquestes peces de procedència nordafricana
en un magatzem d’Hamburg on les tenien destinades a la decoració d’un transatlàntic.
Els arquitectes encarregats de la reconstrucció de 1986 van voltar diversos països del nord d’Àfrica
buscant l’ònix més semblant a l’original. Finalment el van trobar en la cantera de Bou-Hanilfa a Algèria.
Preneu mides i redacteu una comanda el més precisa possible per tal de reconstruir el mur. Si convé
adjunteu-hi algun dibuix. No us oblideu del revestiment lateral.
L’altura de les peces d’ònix és una dimensió fonamental ja que en el seu moment va determinar l’alçada
de l’edifici. Per cert quina és l’alçada de l’edifici?
Exercici 5
El travertí blanc
g) Hi ha dos tipus de travertí: l’utilitzat per a la reconstrucció del paviment del terra i el que es va fer
servir per als murs verticals. El primer és més compacte i el seu dibuix no està tan marcat. Es van
encomanar a una cantera que s’anomena Sybilla de la regió del Lazio(Itàlia).
Quantes rajoles es varen necessitar per recobrir el terra?
Comproveu que l’àrea que heu trobat en l’apartat a de l’exercici 3 és correcta a partir
de la superfície d’una rajola i del nombre de rajoles (caldrà afegir l’àrea de les
superfícies no pavimentades amb travertí)
h) El travertí que es va utilitzar per a recobrir les parets són lloses rectangulars que provenen de la
cantera de Colesseu a prop de Roma i fan 2, 181,
03m.
Es va triar un bloc de pedra amb
irregularitats i un dibuix més marcat per aconseguir una composició adequada en la paret exterior de
darrera el banc, seguint la idea original del primitiu pavelló.
Quina superfície té aquesta paret?
f) Per tal de refer les vetes del dibuix del marbre els arquitectes van encomanar que els hi enviessin les
rajoles numerades segons les havien tallat del bloc de pedra, els marbristes no ho van entendre i van
enviar les peces desordenades. Creieu que és molt difícil tornar-les a ordenar?
233

Per veure’n la dificultat calculeu de quantes maneres diferents pots col·locar les
quatre rajoles rectangulars numerades del dibuix en el rectangle del costat. (suposem
que sabem quina és la part de dalt i la part de baix de les rajoles)
1
3
2
4
Com podeu veure va ser molt difícil recuperar el dibuix de la paret! Gràcies a la paciència dels
constructors es va aconseguir refer el puzzle de travertí després de refer el revestiment fins a quatre
vegades!
234

Exercici 6
El marbre verd grec.
El marbre verd de la paret separadora que condueix de l’entrada a l’interior prové de la regió grega de
Larissa i les seves incrustacions i betes són del tot irregulars.
j) Calculeu les dimensions de les rajoles de la paret i de les cantonades.
k) Fixeu-vos que les rajoles a ambdues cares de la paret tenen dibuixos distints ja que es tracta de peces
diferents que revesteixen les dues cares de la paret. Quantes peces de cada tipus, com a mínim, van
venir de Grècia?
l) Calculeu la longitud i l’alçada de la paret. Calculeu-ne la superfície.
Exercici 7
El marbre verd dels Alps
El marbre verd que envolta l’estany exterior prové de la Vall d’Aosta en la zona dels Alps italians, si us hi
fixeu podeu veure que cada quatre rajoles formen un dibuix concèntric seguint les vetes de la pedra.
Aquest cop es va preveure el problema i les peces van arribar ordenades.
m) Amb les dimensions que heu calculat en l’exercici 2 i només comptant les rajoles que sabem que són
totes iguals, calcula quines són les dimensions de les rajoles de marbre verd.
n) Es pot observar que les peces laterals dels acabats de les parets són diferents, mesureu les dimensions
d’aquestes peces.
o) A partir de les dimensions de les rajoles, encara que les parets siguin inaccessibles podem calcular les
dimensions de les parets de marbre verd que envolten l’estany petit. Quina és la longitud exterior de
cada una d’aquestes parets?
p) Comproveu els resultats obtinguts en l’apartat anterior calculant les longituds a partir de l’escala del
plànol de la làmina 2.
235

BIBLIOGRAFIA
A.A.V.V. El pavelló alemany de Barcelona de Mies van der Rohe. Fundació Pública del Pavelló alemany
de Barcelona. 1986
Solà-Morales, Ignasi; Cristian Cirici y Fernando Ramos. Mies van der Rohe. El Pabellón de Barcelona.
Gustavo Gili. Barcelona, 1993.
Informació sobre el pavelló a la xarxa: http://www.miesbcn.com
236

237

Làmina 1
238

Làmina 2
239

Exercici 2
EXERCICIS RESOLTS
g) 1’09m
h) Comptant rajoles les mides són:
f) El costat de 32,7 m mesura 13,1 cm en el plànol per tant l’escala és 13,1:3270 és a dir
aproximadament igual a 1: 250.
8,72
5,45
1,09
32,7
13,08
21,8
1,09
2,18
Exercici 3
42,51
d) Dividint la planta en rectangles de dimensions conegudes obtenim:
8,72 5,45 + (8,72+32,7) (1,09+10,9+2,18+4,36) + 13,08 13,08 +
+ 2 (2,18 1,09)= 990,8754 m 2 .
h) L’àrea dels dos estanys és: 9,81 21,8 + 4,36 11,99 = 266,1344 m 2 .
i) Per a calcular l’àrea de la superfície coberta de les oficines, utilitzem el valor conegut de 8,72 m
d’amplada per 9,75 m de llargada obtinguda a partir de l’escala ja que el nombre de rajoles no és
enter: 8,72 9,75= 85,02 m 2 .
L’àrea de la coberta principal és: 14,17 25,07 = 355,2419 m 2 .
Si mesurem la superfície del voladís posterior de la coberta, obtenim:
1,09 1,09 = 9,5048 m 2 .
Per tant, l’àrea de la superfície coberta principal és:
355,2419 – 9,5048 = 345,7371 m 2 .
240
4,36
14,17
10,9
2,18
1,09

Àrea total de la superfície coberta: 430,7571 m 2 .
j) 430,75 : 990,8754 = 43,47% de la superfície del pavelló és coberta.
k) 266,1344 : (990,8754 – 430,75) = 47,5% de la superfície descoberta és aigua.
Exercici 4
8 peces rectangulars d’ònix daurat de 2,35 1,55 m
4 peces laterals de 1,55 0,1 m
l’alçada del edifici serà, doncs, 1,55 2 = 3,1 m
Exercici 5
d) 5 8 + 7 38 + 6 18 + 8 12 + 15 4 + 3 + 6 + 22 = 601 rajoles
àrea d’una rajola: 1,09 2 =1,1881m 2 ; àrea enrajolada: 1,1881 601 = 714,0481 m 2
àrea total –àrea dels estanys - àrea de les escales = 990,8754 –266,1344 - 3,27 2 =714,0481 m 2 .
241

e) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03 m
mesurant les peces laterals fan 0,49m 1,03m i n’hi ha 6
Per tant, l’àrea de la paret fa (6 0,49 1,03)+(27 2,18 1,03)= 63,654 m 2 .
Calculant-ho d’una altra manera tenim un rectangle d’alçada 3,1 m i de base 18 rajoles de paviment
més els trossos laterals que fan 0,49 cadascun, per tant, la longitud de la base és: 18 1,09 +
2 0,49 = 20,6 m.
L’àrea de la paret és: 3,1 20,6 = 63,86 m 2 .
f) S’han de fer totes les possibles ordenacions a mà i després comptar-les, ja que a aquest nivell no es
poden introduir tècniques de càlcul combinatori. El resultat és 4!=24.
Una manera de fer-ho és escriure totes les ordenacions que tindran la peça 1 en un determinat lloc:
1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2
Hi ha 6 possibles ordenacions en que una peça ocupa un lloc fix, si això ho pensem per les quatre
peces obtenim: 4posicions 6 ordenacions=24.
Exercici 6
j) Hi ha dues mides de peces: les rajoles que recobreixen la superfície i les peces laterals. Les peces
laterals mesuren 0,7m 1,03m i les rectangulars són de 2m 1,03m
k) Es van necessitar per construir la paret: 6 peces laterals i 24 rajoles rectangulars.
l) La paret tindrà una llargada de 2 4 + 0,7 2 = 9,4 m i l’alçada com la de tot el pavelló és 3,1m,
per tant la superfície és: 9,4 3,1 = 29,14 m 2 .
Exercici 7
m) Llarg del estany és 11,99 i hi ha 6 rajoles, per tant, 11,99 : 6 = 1,99, podem comptar que les rajoles
fan 2 m 1,03 m.
n) Mesurant les peces laterals fan 0,65 m 1,03 m.
o) La paret que voreja completament el llarg de la piscina ja sabíem que mesurava 12m de llarg, la
paret posterior amida 0,65 + (7 2) = 14,65 m, la paret més a prop de les escales mesura 0,65 + (
5 2) = 10,65 m.
p) Si apliquem l’escala que hem obtingut a l’exercici 2 obtenim:
Paret posterior: 6 250 = 1.500 cm = 15 m
Paret a prop de les escales: 4,2 250 = 1.050= 10,5 m.
Percentatge d’error en la paret posterior: 14,65 : 15= 97,6%, per tant l’error relatiu és 2,4%.
Percentatge d’error en la paret a prop de les escales: 10,5 : 10,65==98,5%, per tant l’error relatiu és
1,5%.
Podem afirmar que les mesures que hem pres són coherents amb l’escala del plànol.
242

9
El pavelló Mies van der Rohe
Càlcul de dimensions i materials
243

Nivell: Primer Cicle d’ESO
FITXA PER AL PROFESSORAT
Coneixements previs: L’escala d’un plànol i àrees de rectangles.
Objectius didàctics
Interpretar un plànol.
Calcular dimensions dels elements d’un plànol a partir de dimensions conegudes.
Calcular l’escala d’un plànol a partir de dimensions conegudes.
Calcular àrees.
Calcular percentatges.
Calcular les possibles ordenacions de quatre elements.
Potencial multidisciplinar
L’Exposició Universal de Barcelona de 1929. (Àrea de Ciències Socials)
L’Arquitectura del segle XX. (Àrea de Ciències Socials)
Els marbres i l’ònix. (Ciències Experimentals)
Orientacions didàctiques
Els alumnes i les alumnes hauran de prendre mesures de les diferents peces que pavimenten el terra i
les parets del pavelló, per tant necessiten una cinta mètrica extensible. Convé insistir en que convé
amidar diverses rajoles de la mateixa forma per assegurar-se de les seves dimensions.
Les qüestions plantejades en els exercicis: 1, 2a, 3c, 4, 5b, 6a i 6b, 7ª, 7b i 7c s’han de resoldre sobre
el terreny, ja que requereixen la identificació dels diferents elements constructius reals en el plànol,
prendre mesures i fer recomptes de rajoles.
Per fer els diferents recomptes que se’ls demana poden seguir diverses estratègies treballant sobre el
plànol i sobre el terreny paral·lelament, utilitzant l’escala o el nombre de rajoles segons l’habilitat de
cada alumne o alumna.
Pels càlculs d’àrees poden fer servir diverses estratègies: calcular l’àrea d’una peça del recobriment i
multiplicar pel nombre de peces o bé fer el producte de les dimensions del rectangle després de
calcular-les.
3

Per resoldre la qüestió 5c, hauran de fer totes les possibles ordenacions de les quatre peces, per
després fer-ne el recompte, ja que en aquest nivell no disposen de càlcul combinatori. Convé, però
que siguin sistemàtics alhora d’escriure-les i de justificar la resposta.
La visita al Pavelló Mies van der Rohe
Adreça: Av. Marqués de Comillas s/n, Montjuïc 08038 Barcelona
Cal concertar la visita amb antelació trucant a: 343-4234016
Correu electrònic: miesbcn@ysi.es
La visita en grup per a estudiants és gratuïta. Per les dimensions del pavelló i el tipus de pràctica convé
anar-hi en grups reduïts (30 alumnes com a màxim).
Material gràfic : Plànols de la planta del Pavelló.
4

MATERIAL PER A L’ALUMNAT
El pavelló Mies van der Rohe
Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969) va dissenyar i construir el pavelló alemany per a l’Exposició
Universal de Barcelona de 1929. L’obra és una combinació ben proporcionada de superfícies de vidre,
aigua, pedra i acer. Considerada com una de les obres màximes de l’arquitectura racionalista del segle
XX, en el seu moment va ser l’edifici més innovador de l’Exposició, només cal que ho compareu amb les
construccions que es van fer pel mateix motiu, ubicades en la muntanya de Montjuïc: el Palau Nacional,
el Mercat de les Flors i altres pavellons.
El pavelló va ser desmuntat després de l’exposició. Durant molts anys va ser estudiat pels arquitectes com
una nova manera d’entendre l’espai arquitectònic, a partir dels plànols i dissenys que Mies van der Rohe
va realitzar per a la construcció de l’edifici, és a dir, s’estudiava des d’un punt de vista teòric.
Mies van der Rohe va ser també un innovador en el disseny de mobles: les cadires i els tamborets de cuir
blanc i tira d’acer cromat van ser dissenyades especialment per l’Exposició Universal de 1929 i reben el
nom de cadires i tamborets Barcelona. La realització material de les cadires de Mies fou duta a terme
íntegrament a Europa. Però només una empresa d’Estats Units aconseguí introduir-les al mercat del
moble a nivell mundial. La influència que exercí la cadira Barcelona és demostra en la quantitat
d’imitadors que des de llavors ha tingut .
Per iniciativa de l’Ajuntament de Barcelona i de la Fundació Pública del Pavelló Alemany de l’Exposició
Universal, a l’any 1986 es va reconstruir el Pavelló seguint amb tota fidelitat la construcció original. Des
de llavors és obert al públic i constitueix una visita obligada pels estudiosos de l’arquitectura.
Exercici 1
Interpreteu el plànol de la làmina 1 de la planta de l’edifici. Identifiqueu els elements més diferenciats:
les escales per accedir-hi
les oficines
els dos estanys
les parets de marbre blanc (travertí)
les quatre parets de marbre verd
la paret d’ònix daurat
les superfícies de vidre
la paret de material translúcid
les columnes d’acer
el banc exterior
la ubicació de l’estàtua de la dona de G. Kolbe
les portes (dibuixeu-les)
les cadires i els tamborets Barcelona (dibuixeu-los)
Per indicar tots aquests elements us podeu ajudar amb llapis de colors, posant fletxes o lletres.
Quina orientació té l’entrada del pavelló?
En quina direcció mirem quan estem asseguts en el banc?
5

Exercici 2
El paviment del terra està format de lloses d’un tipus de marbre blanc de procedència italiana característic
de la pavimentació dels carrers i places de Roma i que s’anomena travertí. Les peces que s’han fet servir
tenen forma quadrada i la planta en conté un nombre enter. Aquesta peça és el mòdul de l’edifici i ens
permet calcular-ne les dimensions i les proporcions dels elements de la construcció.
m) Quina és la longitud del costat de la rajola?
n) Calculeu les dimensions del contorn del pavelló usant el plànol de la làmina 2.
o) Calcula l’escala del plànol de la làmina 2.
Exercici 3
Estudi de les superfícies de la planta.
Tenint en compte les dimensions de la rajola de travertí blanc. Calculeu:
u) L’àrea de la superfície de sol que ocupa la construcció.
v) L’àrea de la superfície ocupada pels dos estanys.
w) L’àrea de la superfície coberta del pavelló (delimiteu sobre el plànol de la làmina 2 les dues zones
cobertes).
x) La proporció de superfície coberta en el total de la construcció.
y) El percentatge de superfície líquida en el total de superfície descoberta del pavelló.
Els materials del Pavelló
Un dels principals mèrits del pavelló va ser la qualitat dels seus materials i la manera en que estan
distribuïts creant diferents espais, sense que cap d’ells estigui tancat. Quan en l’any 1983 se’ls hi va
encomanar la reconstrucció de l’obra als arquitectes Ignasi Solà-Morales, Cristian Cirici i Fernando
Ramos, disposaven dels plànols de Mies, per tant sabien com havien de dimensionar i distribuir l’espai, la
principal dificultat en que es varen trobar va ser en el moment d’aconseguir els materials ja que hi ha
quatre tipus de pedra diferent:
Travertí romà: marbre del paviment i de totes les parets exteriors.
Marbre verd dels Alps: marbre verd que envolta la piscina exterior.
Marbre verd antic de Grècia: paret que condueix de l’entrada principal a l’interior.
Ònix de l’Atlas: mur central del pavelló.
Els exercicis que venen a continuació són similars als que van tenir que resoldre els constructors a l’hora
de fer les comandes a les diferents canteres de marbre.
Exercici 4
L’ònix daurat
El material més luxós de l’edifici i més difícil d’aconseguir va ser l’ònix daurat que recobreix el mur
central del pavelló. Mies van der Rohe a l’any 1929 va comprar aquestes peces de procedència nordafricana
en un magatzem d’Hamburg on les tenien destinades a la decoració d’un transatlàntic.
Els arquitectes encarregats de la reconstrucció de 1986 van voltar diversos països del nord d’Àfrica
buscant l’ònix més semblant a l’original. Finalment el van trobar en la cantera de Bou-Hanilfa a Algèria.
Preneu mides i redacteu una comanda el més precisa possible per tal de reconstruir el mur. Si convé
adjunteu-hi algun dibuix. No us oblideu del revestiment lateral.
L’altura de les peces d’ònix és una dimensió fonamental ja que en el seu moment va determinar l’alçada
de l’edifici. Per cert quina és l’alçada de l’edifici?
6

Exercici 5
El travertí blanc
i) Hi ha dos tipus de travertí: l’utilitzat per a la reconstrucció del paviment del terra i el que es va fer
servir per als murs verticals. El primer és més compacte i el seu dibuix no està tan marcat. Es van
encomanar a una cantera que s’anomena Sybilla de la regió del Lazio(Itàlia).
Quantes rajoles es varen necessitar per recobrir el terra?
Comproveu que l’àrea que heu trobat en l’apartat a de l’exercici 3 és correcta a partir
de la superfície d’una rajola i del nombre de rajoles (caldrà afegir l’àrea de les
superfícies no pavimentades amb travertí)
j) El travertí que es va utilitzar per a recobrir les parets són lloses rectangulars que provenen de la
cantera de Colesseu a prop de Roma i fan 2, 181,
03m.
Es va triar un bloc de pedra amb
irregularitats i un dibuix més marcat per aconseguir una composició adequada en la paret exterior de
darrera el banc, seguint la idea original del primitiu pavelló.
Quina superfície té aquesta paret?
g) Per tal de refer les vetes del dibuix del marbre els arquitectes van encomanar que els hi enviessin les
rajoles numerades segons les havien tallat del bloc de pedra, els marbristes no ho van entendre i van
enviar les peces desordenades. Creieu que és molt difícil tornar-les a ordenar?
Per veure’n la dificultat calculeu de quantes maneres diferents pots col·locar les
quatre rajoles rectangulars numerades del dibuix en el rectangle del costat. (suposem
que sabem quina és la part de dalt i la part de baix de les rajoles)
1
3
2
4
Com podeu veure va ser molt difícil recuperar el dibuix de la paret! Gràcies a la paciència dels
constructors es va aconseguir refer el puzzle de travertí després de refer el revestiment fins a quatre
vegades!
7

Exercici 6
El marbre verd grec.
El marbre verd de la paret separadora que condueix de l’entrada a l’interior prové de la regió grega de
Larissa i les seves incrustacions i betes són del tot irregulars.
m) Calculeu les dimensions de les rajoles de la paret i de les cantonades.
n) Fixeu-vos que les rajoles a ambdues cares de la paret tenen dibuixos distints ja que es tracta de peces
diferents que revesteixen les dues cares de la paret. Quantes peces de cada tipus, com a mínim, van
venir de Grècia?
o) Calculeu la longitud i l’alçada de la paret. Calculeu-ne la superfície.
Exercici 7
El marbre verd dels Alps
El marbre verd que envolta l’estany exterior prové de la Vall d’Aosta en la zona dels Alps italians, si us hi
fixeu podeu veure que cada quatre rajoles formen un dibuix concèntric seguint les vetes de la pedra.
Aquest cop es va preveure el problema i les peces van arribar ordenades.
q) Amb les dimensions que heu calculat en l’exercici 2 i només comptant les rajoles que sabem que són
totes iguals, calcula quines són les dimensions de les rajoles de marbre verd.
r) Es pot observar que les peces laterals dels acabats de les parets són diferents, mesureu les dimensions
d’aquestes peces.
s) A partir de les dimensions de les rajoles, encara que les parets siguin inaccessibles podem calcular les
dimensions de les parets de marbre verd que envolten l’estany petit. Quina és la longitud exterior de
cada una d’aquestes parets?
t) Comproveu els resultats obtinguts en l’apartat anterior calculant les longituds a partir de l’escala del
plànol de la làmina 2.
BIBLIOGRAFIA
A.A.V.V. El pavelló alemany de Barcelona de Mies van der Rohe. Fundació Pública del Pavelló alemany
de Barcelona. 1986
Solà-Morales, Ignasi; Cristian Cirici y Fernando Ramos. Mies van der Rohe. El Pabellón de Barcelona.
Gustavo Gili. Barcelona, 1993.
Informació sobre el pavelló a la xarxa: http://www.miesbcn.com
8

Làmina 1
10

Làmina 2
11

Exercici 2
EXERCICIS RESOLTS
i) 1’09m
j) Comptant rajoles les mides són:
g) El costat de 32,7 m mesura 13,1 cm en el plànol per tant l’escala és 13,1:3270 és a dir
aproximadament igual a 1: 250.
21,8
1,09
2,18
Exercici 3
e) Dividint la planta en rectangles de dimensions conegudes obtenim:
8,72 5,45 + (8,72+32,7) (1,09+10,9+2,18+4,36) + 13,08 13,08 +
+ 2 (2,18 1,09)= 990,8754 m 2 .
j) L’àrea dels dos estanys és: 9,81 21,8 + 4,36 11,99 = 266,1344 m 2 .
k) Per a calcular l’àrea de la superfície coberta de les oficines, utilitzem el valor conegut de 8,72 m
d’amplada per 9,75 m de llargada obtinguda a partir de l’escala ja que el nombre de rajoles no és
enter: 8,72 9,75= 85,02 m 2 .
L’àrea de la coberta principal és: 14,17 25,07 = 355,2419 m 2 .
Si mesurem la superfície del voladís posterior de la coberta, obtenim:
1,09 1,09 = 9,5048 m 2 .
Per tant, l’àrea de la superfície coberta principal és:
355,2419 – 9,5048 = 345,7371 m 2 .
Àrea total de la superfície coberta: 430,7571 m 2 .
l) 430,75 : 990,8754 = 43,47% de la superfície del pavelló és coberta.
m) 266,1344 : (990,8754 – 430,75) = 47,5% de la superfície descoberta és aigua.
Exercici 4
8 peces rectangulars d’ònix daurat de 2,35 1,55 m
4 peces laterals de 1,55 0,1 m
l’alçada del edifici serà, doncs, 1,55 2 = 3,1 m
Exercici 5
8,72
5,45
32,7
42,51
e) 5 8 + 7 38 + 6 18 + 8 12 + 15 4 + 3 + 6 + 22 = 601 rajoles
àrea d’una rajola: 1,09 2 =1,1881m 2 ; àrea enrajolada: 1,1881 601 = 714,0481 m 2
12
4,36
1,09
13,08
14,17
10,9
2,18
1,09

àrea total –àrea dels estanys - àrea de les escales = 990,8754 –266,1344 - 3,27 2 =714,0481 m 2 .
13

f) 9 3 = 27 peces de 2,18 m 1,03 m
mesurant les peces laterals fan 0,49m 1,03m i n’hi ha 6
Per tant, l’àrea de la paret fa (6 0,49 1,03)+(27 2,18 1,03)= 63,654 m 2 .
Calculant-ho d’una altra manera tenim un rectangle d’alçada 3,1 m i de base 18 rajoles de paviment
més els trossos laterals que fan 0,49 cadascun, per tant, la longitud de la base és: 18 1,09 +
2 0,49 = 20,6 m.
L’àrea de la paret és: 3,1 20,6 = 63,86 m 2 .
g) S’han de fer totes les possibles ordenacions a mà i després comptar-les, ja que a aquest nivell no es
poden introduir tècniques de càlcul combinatori. El resultat és 4!=24.
Una manera de fer-ho és escriure totes les ordenacions que tindran la peça 1 en un determinat lloc:
1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2
Hi ha 6 possibles ordenacions en que una peça ocupa un lloc fix, si això ho pensem per les quatre
peces obtenim: 4posicions 6 ordenacions=24.
Exercici 6
m) Hi ha dues mides de peces: les rajoles que recobreixen la superfície i les peces laterals. Les peces
laterals mesuren 0,7m 1,03m i les rectangulars són de 2m 1,03m
n) Es van necessitar per construir la paret: 6 peces laterals i 24 rajoles rectangulars.
o) La paret tindrà una llargada de 2 4 + 0,7 2 = 9,4 m i l’alçada com la de tot el pavelló és 3,1m,
per tant la superfície és: 9,4 3,1 = 29,14 m 2 .
Exercici 7
q) Llarg del estany és 11,99 i hi ha 6 rajoles, per tant, 11,99 : 6 = 1,99, podem comptar que les rajoles
fan 2 m 1,03 m.
r) Mesurant les peces laterals fan 0,65 m 1,03 m.
s) La paret que voreja completament el llarg de la piscina ja sabíem que mesurava 12m de llarg, la
paret posterior amida 0,65 + (7 2) = 14,65 m, la paret més a prop de les escales mesura 0,65 + (
5 2) = 10,65 m.
t) Si apliquem l’escala que hem obtingut a l’exercici 2 obtenim:
Paret posterior: 6 250 = 1.500 cm = 15 m
Paret a prop de les escales: 4,2 250 = 1.050= 10,5 m.
Percentatge d’error en la paret posterior: 14,65 : 15= 97,6%, per tant l’error relatiu és 2,4%.
Percentatge d’error en la paret a prop de les escales: 10,5 : 10,65==98,5%, per tant l’error relatiu és
1,5%.
Podem afirmar que les mesures que hem pres són coherents amb l’escala del plànol.
14