Aplicació de les lleis de Kirchhoff - Marcombo

Unitat didàctica 3
Circuits de corrent continu
Què aprendrem?
Quines són les lleis experimentals més importants per analitzar un
circuit en corrent continu.
Com s’han de resoldre circuits en corrent continu a partir de la seva
simplificació mitjançant circuits equivalents.
Com s’han de resoldre circuits en corrent continu aplicant les lleis
d’Ohm i de Kirchhoff.
Quins són els teoremes fonamentals per a circuits elèctrics.

Recorda que el corrent continu
o cc és aquell corrent
unidireccional que manté
constant el seu valor en el
temps amb el tipus d’element
que el produeix, per
exemple, per una pila, una
bateria o una dinamo.
És molt important que t’aturis
a pensar en què apliques
la llei d’Ohm abans de portar-ho
a terme, perquè ho
facis correctament.
Exemple 3.1
UR1
I RI
R 1
3.1.
3.1.1.
Tenim el component de la figura següent, en què hem anomenat R 1 la resistència, U R1 la tensió als borns de la resistència
i I R1 el corrent que hi circula.
Fig. 3.1.
a) Determina el corrent que circula per la resistència R 1 si és de 100 Ω quan apliquem
10 V entre els seus borns.
Solució
b) Determina la tensió als borns de la resistència R1 de 100 Ω quan hi circula un corrent
de 0,1 A.
Solució
c) Determina el valor de la resistència R 1 si en aplicar-hi una tensió de 10 V hi circula un corrent de 0,1 A.
Solució
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Lleis experimentals més
importants
En aquesta unitat estudiaràs les diverses eines (lleis i teoremes) necessàries per determinar
(analitzar) les diferents magnituds que defineixen un circuit. Totes aquestes
eines s’explicaran amb circuits de corrent continu, atès que es poden aplicar més fàcilment
en aquest tipus de circuit. Una vegada hi estiguis familiaritzat, passarem a
aplicar-les a circuits de corrent altern, a les UNITATS DIDÀCTIQUES 4 i 5.
En aquest apartat estudiarem les lleis experimentals més importants: la llei d’Ohm i
les lleis de Kirchhoff, i després continuarem amb la resolució de circuits de diferent
complexitat.
Llei d’Ohm. Aplicació
Com ja vam veure a la UNITAT DIDÀCTICA 1, la llei d’Ohm estableix la dependència
que hi ha entre la intensitat, la tensió i la resistència en corrent continu i s’expressava
així:
, o alternativament com: o
La llei d’Ohm és bàsica en l’anàlisi de qualsevol circuit elèctric, es pot aplicar a un
circuit complet o a qualsevol de les seves parts, i es compleix per a tots els components.
Com que les tres magnituds estan relacionades entre elles, una vegada coneixem dos
d’aquests valors, el tercer es determinarà aplicant-hi aquesta llei. Així, doncs:
Coneixent la tensió als borns i el valor de la resistència, podrem determinar el valor
del corrent que hi circula.
Coneixent el corrent que hi circula i el valor de la resistència, podrem determinar
el valor de la tensió als borns.
Coneixent la tensió i el corrent, podrem determinar el valor de la resistència.
65

66
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
u, i
Fig. 3.2.
Representació gràfica de
l’evolució en el temps de la
tensió, la intensitat i la
potència en corrent continu.
E U
Fig. 3.3.
Fig. 3.4.
U
I
u(t) i(t) p(t)
I
R
3.1.2.
Potència en corrent continu
En aquest punt ampliarem la definició de potència elèctrica expressada a la UNITAT
DIDÀCTICA 1.
Potència instantània i potència activa
Perquè entenguis millors les següents definicions recorda que indiquem amb lletres
minúscules les magnituds (u, i, p) que varien amb el temps i que fem servir les mateixes
lletres però majúscules per indicar els valors mitjans d’aquestes magnituds.
Potència instantània, p(t). En qualsevol instant de temps, la potència lliurada a qualsevol
component és el producte del valor de la tensió als borns del component pel corrent
que el travessa en aquell mateix instant de temps. Matemàticament s’expressa
així: p(t) = u(t) · i(t)
Potència activa (P). És aquella capaç de produir un treball, calculada com el valor
mitjà de l’expressió de la potència instantània.
p
t
En el cas de corrent continu (figura 3.2), els valors
de tensió i corrent són constants en el temps, és a dir:
u = U i i = I, en què U i I representen, respectivament, el
valor mitjà de la tensió i del corrent. Per tant, la potència
s’expressarà així:
Recorda que combinant l’expressió de la potència amb
la llei d’Ohm podem trobar altres expressions:
Potència en els elements que componen un circuit
A la unitat anterior has estudiat que els generadors aporten (subministren) energia al
circuit, per exemple les piles i les bateries, i també has vist que tot element resistiu
(tant si es tracta d’un resistor com de la resistència d’un cable conductor) dissipa o
transforma en calor l’energia, segons la llei de Joule. Recorda que quan passa això i
aquesta transformació no és desitjada l’anomenem potència perduda.
Suposem un simple circuit format per una font d’alimentació (un generador de
corrent continu) i una resistència. En aquest circuit veurem quina potència hi ha en
joc.
Potència generada per una font d’alimentació ideal, de f.e.m. E. El fet que sigui ideal
significa que no té resistència interna de pèrdues; aleshores, la tensió als borns
U és igual a E. Si anomenem I el corrent subministrat, la potència subministrada
o potència generada té el valor següent:
Potència consumida per la resistència. Si U és la tensió als borns de la resistència i
I és el corrent que hi circula, la potència consumida o dissipada en la resistència
té el valor següent:
P = U · I i també: P = R · I 2 (llei de Joule)
;

E
r
R
Fig. 3.5.
Exemple 3.2
I
U
Quina potència proporciona una bateria ideal de 12 V que
subministra 2 A?
Solució
Exemple 3.4
P = E · I = 12 · 2 = 24 W P = R · I 2 = 6 · 2 2 = 24 W
Quina potència proporciona una bateria real de 12 V i resistència
interna de 0,2 Ω que subministra 2 A?
Solució
PG = E · I 2 Potència generada:
= 12 · 2 = 24W
Pr = r · I 2 = 0,2 · 22 Potència dissipada en la resistència interna:
= 0,8W
Potència subministrada:
P s = P G — P r = 24 – 0,8 = 23,2 W
Potència generada per una font d’alimentació real, de f.e.m. E i de resistència interna
r, que subministra un corrent I. En aquest cas U sempre serà menor que E, si I és
diferent de zero, ja que sempre hi haurà una caiguda de tensió en la resistència r,
que representa les pèrdues de la font o generador.
Potència generada per la font ideal: P = E · I
Potència dissipada o perduda en la resistència interna: P = r · I 2
3.1.3.
Potència subministrada per la font real: P = U · I
Aplicant-hi el principi de conservació de l’energia, en tot circuit es pot establir un balanç
de potències de manera que la suma de potències generades (o subministrades)
és igual a la suma de potències consumides (o dissipades):
Σ potències generades = Σ potències consumides
Exemple 3.3
Quina potència consumeix una resistència de 6 Ω recorreguda
per un corrent de 2 A?
Solució
Exemple 3.5
Quina és la resistència que presenta una làmpada d’incandescència
de característiques nominals 24 V, 60 W?
Solució
Las característiques nominals 24 V, 60 W ens indiquen
que si alimentem aquesta làmpada a 24 V consumeix
60 W, per la qual cosa podem determinar la resistència a
partir de l’expressió
d’on:
Lleis de Kirchhoff
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Les lleis de Kirchhoff són d’aplicació generalitzada en l’anàlisi de circuits elèctrics. En
aquest punt ens limitarem a enunciar-les; més endavant n’abordarem l’aplicació sistemàtica
per a la resolució de circuits.
En qualsevol circuit elèctric d’una certa complexitat podem diferenciar entre nusos i
malles.
Nus: s’anomena nus tot punt en què convergeixen dos o més de dos conductors.
Malla: una malla és tot circuit tancat que pot ser recorregut tornant al punt de
partida sense passar dues vegades per un mateix element.
67

68
U
I 1
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
I n
Fig. 3.6.
Primera llei de Kirchhoff.
Exemple 3.6
R 2
I 1
I 3
R 4
I i
I 2
R 3
I 2
Primera llei de Kirchhoff
La primera llei de Kirchhoff (també anomenada llei dels nusos o llei dels corrents) diu
que la suma aritmètica de tots els corrents que conflueixen en un nus és zero. O, cosa
que és el mateix, la suma de tots els corrents que arriben a un nus és igual a la suma
de tots els corrents que en surten.
En general considerem que tots els corrents arriben al nus. Els corrents que realment
arribin al nus tindran signe positiu, mentre que els corrents que surtin del nus tindran
signe negatiu.
Al nus A de la figura següent I 1 = 10 A i I 2 = 6 A, quin valor té I 3? Què significa el seu signe?
Fig. 3.7.
Solució
U 1 U 2 U 3
Segons la primera llei de Kirchhoff, podem establir el següent:
I 1 + I 2 + I 3 = 0
Substituint els valors coneguts I 1 i I 2, tenim que el corrent I 3 té aquest valor:
I 3 = –I 1 – I 2 = –10 – 6 = –16 A
El signe negatiu ens indica que aquest corrent és de sentit oposat al considerat
abans, per la qual cosa aquest corrent no arriba al nus, sinó que surt del
nus.
Físicament, la primera llei de Kirchhoff ens diu que no hi ha acumulació de càrrega
elèctrica a cap punt del circuit.
Segona llei de Kirchhoff
La segona llei de Kirchhoff (també anomenada llei de les malles) diu que la suma
aritmètica dels voltatges al llarg d’una malla (camí tancat) és zero. També es pot expressar
afirmant que la suma de totes les forces electromotrius a una malla és igual a
la suma de les caigudes de tensió a la malla.
o, cosa que és el mateix,
El signe de cada voltatge de la malla te signe positiu
si es comporta com a generador i negatiu si es
comporta com a càrrega. Les caigudes de tensió
(tensió als borns de les resistències) tenen signe
negatiu.
Fig. 3.8.
Segona llei de Kirchhoff.

Activitats
1. 1. Per una resistència de 10 Ω hi passa un corrent
de 250 mA. Quina diferència de potencial hi haurà
entre els seus borns?
2. Una font amb una resistència interna de 200 mΩ
lliura 1 A de corrent a una resistència de 9,8 Ω, a
la qual està connectada. Quina potència dissipa la
resistència de 9,8 Ω? Quina potència es dissipa
(es perd, en aquest cas) a la resistència interna de
la font? Si la f.e.m. de la font és de 10 V, quina
potència genera aquesta? Fes el balanç de potències
i comprova que els teus resultats siguin
correctes.
3. Cerca a Internet o al manual d’un cotxe d’algun familiar
o amic les característiques de tensió i potència
d’una bombeta d’intermitència. Calcula el corrent
que absorbeix de la bateria quan està encesa
permanentment.
4. Determina la resistència nominal de les càrregues
següents:
I = 1 A
Una làmpada d’incandescència de 12 V i 24 W
Una làmpada d’incandescència de 12 V i 60 W
Una làmpada d’incandescència de 24 V i 24 W
Un calefactor de 24 V i 240 W
U = 10 V
I = 1 A
U = 10 V
a
b
a
b
Fig. 3.11.
Circuits equivalents.
Circuit
A
Circuit
B
3.2.
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
U 1
R 1
+ +
R 3
– –
Circuits equivalents
L’ús de circuits equivalents és un dels mètodes més usuals d’anàlisi i simplificació de
circuits.
Dos o més circuits elèctrics de dos terminals són equivalents entre terminals si, en
aplicar-hi la mateixa tensió, hi circula el mateix corrent, o bé la tensió entre els seus
terminals és la mateixa si fem passar a través d’ells el mateix corrent.
A la figura 3.11, quan al circuit A, accessible des de dos terminals a i b, s’hi aplica una
tensió de 10 V, el corrent és d’1 A. Apliquem la mateixa tensió de 10 V al circuit B.Si
resulta que el corrent que hi passa també és d’1 A i, a més, això es repeteix per a altres
valors de tensió que provoquen el mateix corrent als dos circuits, podrem concloure
que el circuit A i el circuit B són equivalents entre els terminals a i b.
En els següents apartats veurem com es resolen els circuits bàsics constituïts per
components associats en sèrie, en paral·lel o de forma mixta, mitjançant el càlcul dels
seus circuits equivalents.
I 1
I 2
I 5
A
R 4
R 2
I 3
I 4
U 2
69
5. Calcula el corrent, la tensió i la potència dissipada
per un calefactor elèctric els valors nominals del
qual són 24 V, 500 W (acceptant que la resistència
és constant), si l’alimentem amb una font de 24 V i
una resistència interna r = 0,05 Ω.
6. Assenyala tots els nusos que hi ha al circuit que es
mostra a continuació.
Fig. 3.9.
7. Al nus A, tenim els corrents I 1 = 1 A, I 2 = -3 A,
I 4 = 5 A i I 5 = -2 A. Quin valor té el corrent I 3? Què
indica el signe per a cada corrent? Quins corrents hi
entren i quins en surten?
Fig. 3.10.

70
U
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Recorda que un circuit en
sèrie és aquell en el qual
tots els components es connecten
l’un a continuació de
l’altre.
I
R t
Fig. 3.13.
Circuit equivalent al de la
figura 3.12.
3.3.
3.3.1.
U
Associació de resistències
En un circuit elèctric podem trobar diverses resistències que poden estar connectades
(associades o agrupades) en sèrie, en paral·lel o de forma mixta. En aquest apartat
estudiarem com hem d’identificar aquests tipus d’associacions i com cal substituirles
per un circuit equivalent d’un sol valor de resistència que permeti calcular el circuit
d’una manera més senzilla.
Abans, amb tot, veurem què significa cadascun d’aquests circuits.
Associació de resistències en sèrie
Si es connecten diverses resistències en sèrie, el corrent que hi circula serà el mateix
per totes les resistències i dependrà de la tensió aplicada al conjunt (tensió de la font)
i de la resistència total.
La circulació d’aquest corrent provoca una diferència de potencial als borns de cada
resistència, proporcional al seu valor i que anomenem tensió parcial o caiguda de tensió
en la resistència.
Com a exemple d’això, tot seguit analitzarem un circuit format per tres resistències
en sèrie (figura 3.12). Per fer-ho, seguirem el procés següent:
Identifiquem tots els components, corrents i tensions. En aquest exemple hem
anomenat U la tensió aportada per la font, I la intensitat que circula pel circuit
(comuna a tots els elements), R1, R2 i R3 les resistències, i U1, U2 i U3 la caiguda de
tensió en cadascuna de les resistències.
I
U 1 U 2 U 3
R 1 R 2 R 3
Plantegem un circuit equivalent (figura 3.13) format per una sola resistència R t i
alimentat a la mateixa tensió U, per tant, recorregut pel mateix corrent I.
Per trobar el valor de la resistència equivalent hem de plantejar les equacions que
regeixen ambdós circuits:
Equacions del circuit original (figura 3.12).
• Per la segona llei de Kirchhoff sabem que U = U1 + U2 + U3 • Si apliquem la llei d’Ohm a cada element podem calcular les caigudes de
tensió als components:
U1 = I · R1 ; U2 = I · R2 ; U3 = I · R3 Equacions del circuit equivalent.
• Per la segona llei de Kirchhoff sabem que (figura 3.13):
o bé,
Fig. 3.12.
Circuit amb tres
resistències en
sèrie.
Combinant les equacions d’ambdós circuits en què U i I són comuns podem resoldre
qualsevol problema que es plantegi.

Exemple 3.7
Suposem-ne el cas més habitual: coneixem el valor de la tensió de la font U i el valor
de cada resistència, i volem saber el corrent que hi circula i el valor de la tensió a cada
resistència.
A partir dels passos anteriors (moltes vegades tan sols els fem mentalment):
Calcularem la R t:
Sabem que:
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
R t = R 1 + R 2 + R 3
U = U 1 + U 2 + U 3
Apliquem la llei d’Ohm i substituïm cada tensió:
I · Rt = I · R1 + I · R2 + I · R3 Simplificant el corrent I, que ho multiplica tot, queda:
Rt = R1 + R2 + R3 Generalitzant-ho: La resistència equivalent o total de diverses resistències en sèrie és
la suma de resistències parcials.
Un cop sabem la R t podem calcular la I, i una vegada conegut aquest corrent podem
determinar la tensió als borns i la potència de cada resistència.
En un circuit com el de la figura 3.12, els valors dels components són U = 120 V, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω i R3 = 30 Ω. Segueix
el procediment indicat per a la resolució de circuits en sèrie de manera que puguis calcular: a) La resistència total o
equivalent del circuit; b) el corrent que passa pel circuit; c) les tensions als borns de cada component; d) la potència que
proporciona la font i les consumides o dissipades per les resistències.
a) Calculem la resistència total: Rt = R1 + R2 + R3 = 10 + 20 + 30 = 60Ω
b) En el circuit equivalent, apliquem la llei d’Ohm per trobar la intensitat pel circuit:
c) Apliquem la llei d’Ohm a cada resistència per obtenir la tensió als borns:
U 1 = I · R 1 = 2 · 10 = 20 V; Tensió als borns de R 1
U 2 = I · R 2 = 2 · 20 = 40 V; Tensió als borns de R 2
U 3 = I · R 3 = 2 · 30 = 60 V; Tensió als borns de R 3
Pots comprovar que es compleix la llei de tensions de Kirchhoff:
d) Potències de cada component:
U = U 1 + U 2 + U 3 = 20 + 40 + 60 = 120V
Font: P G = U · I = 120 · 2 = 240 W que és la potència subministrada al circuit.
R 1: P R1 = U 1 · I = 20 · 2 = 40 W que és la potència consumida o dissipada per R 1.
R 2: P R2 = U 2 · I = 40 · 2 = 80 W que és la potència consumida o dissipada per R 2.
R 3: P R3 = U 3 · I = 60 · 2 = 120 W que és la potència consumida o dissipada per R 3.
Com a comprovació fem un balanç de potències:
PG = PR1 + PR2 + PR3 = 40 + 80 + 120 = 240 W
71

72
U
E
r
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Exemple 3.8
Calcula la tensió i el corrent subministrats per una bateria de 24 V amb una resistència interna de 1 Ω, quan alimenta una
resistència de 5 Ω.
Fig. 3.14.
I
Recorda que diversos elements
estan connectats en
paral·lel si cadascun dels
dos extrems d’un element
està connectat als mateixos
dos punts comuns que la
resta dels elements.
I
R t
Fig. 3.16.
Circuit equivalent al de la
figura 3.15.
U
Fig. 3.15.
Circuit amb tres resistències
en paral·lel.
R
Solució: En primer lloc dibuixarem el model de circuit que representa la situació
plantejada.
En aquest esquema: E = 24 V, r = 1 Ω, R = 5 Ω.
Es tracta d’un circuit en sèrie, directament:
La tensió als borns de la bateria serà la tensió de la font ideal menys la caiguda
de tensió a la resistència interna:
O també, vist des del costat de la resistència, la tensió als borns de la bateria
serà igual a la tensió als borns de la resistència:
3.3.2. Associació de resistències en
paral·lel o derivació
Si es connecten resistències en paral·lel alimentades per una font, totes tindran la
mateixa tensió als seus borns i el corrent total subministrat per la font serà la suma de
la intensitat que circula per cada branca (derivació) del circuit.
Com a exemple d’això, analitzarem un circuit format per tres resistències en paral·lel
(figura 3.15). Per fer-ho, seguirem el procés següent:
Identifiquem tots els components, corrents i tensions. A l’exemple hem anomenat
U la tensió aportada per la font (comuna a tots els elements), I la intensitat
subministrada per la font, R 1, R 2 i R 3 les resistències i I 1, I 2 i I 3 el corrent que circula
per cada una de les resistències.
U
I
Plantegem un circuit equivalent format per una sola resistència R t i alimentat a la
mateixa tensió U; per tant, la font subministrarà el mateix corrent I.
I 1
I 2
I 3
R 1
R 2
R 3

Plantegem les equacions que regeixen ambdós circuits:
Equacions del circuit original.
• Per la primera llei de Kirchhoff sabem que
I = I1 + I2 + I3 • Si apliquem la llei d’Ohm a cada element:
Equacions del circuit equivalent. Si apliquem la llei d’Ohm al circuit de la figura
3.16 tenim que:
; o també U = I · R t
Combinant les equacions d’ambdós circuits en què U i I són comuns podem resoldre
qualsevol problema que es plantegi.
Suposem-ne el cas més habitual: coneixem el valor de la tensió de la font U i el valor
de cada resistència, i volem saber el corrent que subministra la font i el que circula
per cada resistència.
A partir dels passos anteriors (moltes vegades tan sols els fem mentalment):
Calcularem la R t:
Sabem que:
I = I 1 + I 2 + I 3
Aplicant la llei d’Ohm i substituint el corrent:
Simplificant:
Generalitzant-ho: La inversa de la resistència equivalent o total d’una agrupació de
resistències en paral·lel és la suma de les inverses de les resistències.
En el cas particular de dues resistències en paral·lel tindrem:
i en el cas de n resistències iguals de valor R:
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
73

74 Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Exemple 3.9
En un circuit com el de la figura 3.15, els valors dels components són U = 120 V, R 1 = 10 Ω, R 2 = 20 Ω i R 3 = 60 Ω. Segueix
el procediment indicat per a la resolució de circuits en paral·lel de manera que puguis calcular:
a) La resistència total o equivalent del circuit.
b) El corrent total que passa pel circuit.
c) Els corrents que passen per cada component.
d) La potència que proporciona la font i les consumides o dissipades per les resistències.
a) Calculem la resistència total:
La resistència total del circuit és:
b) En el circuit equivalent, apliquem la llei d’Ohm per trobar la intensitat pel circuit.
La intensitat total (subministrada per la font) és:
c) Sabent que pel fet d’estar en paral·lel totes les resistències estan connectades a la tensió de la font, apliquem la llei
d’Ohm a cada resistència per obtenir el corrent que la travessa:
I 1 , I 2 e I 3 són les intensitats de corrent per les resistències R 1, R 2 y R 3, respectivament.
Pots comprovar que es compleix la llei de corrents de Kirchhoff. En qualsevol dels dos nusos del circuit es verifica el següent:
d) Potències de cada component:
I = I 1 + I 2 + I 3 = 12 + 6 + 2 = 20 A
Font: P G = U · I = 120 · 20 = 2400 W, que és la potència subministrada al circuit.
R 1: P R1 = U · I 1= 120 · 12 = 1440 W, que és la potència consumida o dissipada per R 1.
R 2: P R2 = U · I 2 = 120 · 6 = 720 W, que és la potència consumida o dissipada per R 2.
R 3: P R3 = U · I 3 = 120 · 2 = 240 W, que és la potència consumida o dissipada per R 3.
Com a comprovació fem un balanç de potències:
P G = P R1 + P R2 + P R3 = 1440 + 720 + 240 = 2400 W

U
Fig. 3.17.
Circuit mixt en paral·lel-en
sèrie.
Fig. 3.18.
Circuit equivalent, amb la
resistència resultant de R 2 i R 3
en paral·lel, Ra.
I
R t
Fig. 3.19.
Circuit equivalent amb la
resistència total R t.
3.3.3.
U
U
I
I
U 1
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Associació de resistències
de forma mixta
En un circuit mixt, per determinar la R t es va reduint el circuit mitjançant l’associació
de grups de resistències. Posteriorment es poden determinar les tensions
i corrents per cada resistència. Com a exemples analitzarem els casos següents:
Circuit paral·lel en sèrie
Circuit sèrie en paral·lel
Circuit paral·lel en sèrie
Comencem assignant un nom a cada tensió i corrent que apareixen al circuit.
U 1
R 1
Agrupem R 2 i R 3 en paral·lel i ho anomenem R a; d’aquesta manera, obtenim el
següent circuit equivalent.
Després agrupem R 1 en sèrie amb R a, i obtenim R t.
R 1
Les equacions dels circuits que ens permeten trobar les magnituds de resistències
equivalents, R a i R t, i els valors de tensió i corrent al circuit són:
– Agrupacions de resistències: ;
– Aplicació de les lleis d’Ohm i Kirchhoff:
;
I 2
I 3
U a
U a
R 2
R 3
R a
75

76 Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Exemple 3.10
En un circuit com el de la figura 3.17, els valors dels components són U = 120 V, R 1 = 8 , R 2 = 20 Ω i R 3 = 30 Ω. Segueix el
procediment indicat per a la resolució de circuits mixtos en paral·lel-en sèrie de manera que puguis calcular:
a) La resistència total o equivalent del circuit.
b) El corrent total que passa pel circuit.
c) Les tensions als borns de cada component.
d) Els corrents que passen per cada component.
e) La potència que proporciona la font i les consumides o dissipades per les resistències.
a) Primer identifiquem les resistències en paral·lel (R 2 i R 3) i calculem la seva resistència equivalent R a:
El circuit equivalent que resulta de fer el pas anterior correspon al de la figura 3.18, en què R1 = 8 Ω i R a =12 Ω estan
en sèrie. Així, doncs, la resistència total del circuit és:
b) En el circuit equivalent (com a la figura 3.19) apliquem la llei d’Ohm per trobar la intensitat pel circuit.
La intensitat total (subministrada per la font) és:
c) Utilitzant el primer circuit equivalent (figura 3.18) i sabent que el corrent serà el mateix per a R 1 i R a, podem aplicar la
llei d’Ohm per calcular la tensió als borns de cada resistència:
Comprovem que es compleixi la llei de tensions de Kirchhoff:
Tensió als borns de R 1
Tensió als borns de R 2 i R 3
d) Si tornem a considerar el circuit original (figura 3.17) i sabem que la tensió als borns de R a és la mateixa que la de R 2
i R 3, podem calcular els corrents per R 2 i R 3 aplicant la llei d’Ohm a cada resistència.
Comprovem que es compleixi la llei dels corrents de Kirchhoff:
e) Potències de cada component:
Intensitat per R 2
Intensitat per R 3
I = I 2 + I 3 = 3,6 + 2,4 = 6 A
Font: PG = U · I = 120 · 6 = 720 W, que és la potència subministrada al circuit.
R1: PR1 = U1 · I = 48 · 6 = 288 W, que és la potència consumida o dissipada per R1. R2: PR2 = Ua · I2 = 72 · 3,6 = 259,2 W, que és la potència consumida o dissipada per R2. R3: PR3 = Ua · I3 = 72 · 2,4 = 172,8 W, que és la potència consumida o dissipada per R3. Com a comprovació fem un balanç de potències:
PG = PR1 + PR2 + PR3 = 288 + 259,2 + 172,8 = 720 W

U
Fig. 3.20.
Circuit mixt en paral·lel-en
sèrie.
Fig. 3.21.
Circuit equivalent, amb la
resistència resultant de R 1 i R 2
en sèrie, R a.
I
R t
Fig. 3.22.
Circuit equivalent amb la
resistència total R t.
Exemple 3.11
Circuit en sèrie-en paral·lel
U
U
I
I
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Comencem assignant un nom a cada tensió i corrent que apareixen al circuit.
U 1
R 1
Agrupem R 1 i R 2 en sèrie i ho anomenem R a; d’aquesta manera, obtenim el següent
circuit equivalent:
Després agrupem Ra en paral·lel amb R3, i obtenim el circuit de la figura 3.22.
Les equacions dels circuits que ens permeten trobar les magnituds de resistències
equivalents, Ra i Rt, i els valors de tensió i corrent al circuit són:
Agrupacions de resistències:
Aplicació de les lleis d’Ohm i Kirchhoff:
En un circuit com el de la figura 3.20, els valors dels components són U = 120 V, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω i R3 = 60 Ω. Segueix
el procediment indicat per a la resolució de circuits mixtos en sèrie-en paral·lel de manera que puguis calcular:
a) La resistència total o equivalent del circuit.
b) El corrent total que passa pel circuit.
c) Els corrents que passen per cada component.
d) La tensió als borns de cada component.
e) La potència que proporciona la font i les consumides o dissipades per les resistències.
a) Identifiquem les resistències en sèrie (R 1 i R 2) i calculem la seva resistència equivalent R a.
El circuit equivalent que resulta de fer el pas anterior correspon al de la figura 3.21, en què R a = 30 Ω i R 3 = 60 Ω estan
en paral·lel. Així, la resistència total del circuit és:
I 1
R 3
I 2
I 1
I 2
R a
R 3
U 2
R 2
77

78
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
b) Apliquem la llei d’Ohm al circuit equivalent (com a la figura 3.22) per trobar la intensitat pel circuit.
La intensitat total (subministrada per la font) és:
c) Utilitzant el primer circuit equivalent (figura 3.21) i sabent que la tensió és la mateixa per a R 3 i R a, podem aplicar la llei
d’Ohm per calcular la intensitat de corrent que passa per cada resistència.
Comprovem que es compleixi la llei dels corrents de Kirchhoff:
a) b) 10 Ω
c) d)
10 Ω 15 Ω 20 Ω 25 Ω
15 Ω
20 Ω
25 Ω
Intensitat per R a (per R 1 i per R 2)
Intensitat per R 3
d) Si tornem a considerar el circuit original (figura 3.20) i sabem que la intensitat del corrent és la mateixa per R a que per
R 1 i R 2, podem calcular les tensions a R 1 i R 2 aplicant la llei d’Ohm a cada resistència.
Comprovem que es compleixi la llei de les tensions de Kirchhoff:
e) Potències als components:
Font:
R 1:
R 2:
R 3:
Com a comprovació fem un balanç de potències:
Activitats
Tensió als borns de R 1
Tensió als borns de R 2
8. Calcula la resistència equivalent de les agrupacions de resistències següents:
Fig. 3.23.
9. Disposem de tres resistències d’1 Ω. Determina
els valors de resistència que podem obtenir mitjançant
agrupacions d’una, dues o les tres resistències.
25 Ω
10 Ω
15 Ω 20 Ω
10 Ω 15 Ω
25 Ω
20 Ω
10. Disposem de 4 resistències de 100 Ω, 220 Ω, 270 Ω i
10 Ω. Si les connectem en sèrie a una pila de 9 V, calcula:
a) la resistència equivalent al conjunt; b) el corrent
que subministrarà la pila al circuit, i c) la caiguda
de tensió als borns de cada component.

Fig. 3.24.
Associació de condensadors
en sèrie.
3.4.
3.4.1.
+
–
U
U 1 U 2 U 3
C 1
C 2
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Associació de condensadors
De la mateixa manera que les resistències, en un circuit els condensadors també poden
aparèixer associats en sèrie o en paral·lel. En aquest cas també veurem com s’han
de resoldre aquests circuits aplicant-hi les lleis i els principis que hem estudiat.
Associació de condensadors
en sèrie
Com en el cas de les resistències, un circuit amb diversos condensadors associats en
sèrie és aquell en què tots els condensadors es connecten l’un a continuació de l’altre.
Així doncs, a la figura 3.24 podem observar un circuit amb tres condensadors connectats
en sèrie.
En aquest circuit volem trobar la capacitat del condensador equivalent (a partir de
l’estudi del circuit original).
En aquest tipus d’associació, la càrrega elèctrica adquirida per cadascun dels condensadors
és la mateixa i igual a la càrrega adquirida pel condensador equivalent:
Hi apliquem la segona llei de Kirchhoff:
Recordant el concepte de capacitat, que és la càrrega que acumula el condensador
entre la tensió als seus borns ( ) , podem expressar la tensió als borns dels
condensadors així:
Simplificant-ho:
Generalitzant-ho: La inversa de la capacitat equivalent o total d’una agrupació de
condensadors en sèrie és la suma de les inverses de les capacitats de cada condensador.
C 3
i = 1, 2, 3,...
+
–
U
79
C eq

80
a)
b)
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Fig. 3.25.
Circuit amb tres condensadors
en paral·lel.
Exemple 3.12
10 µF
20 µF
10 µF
20 µF
30 µF
30 µF
3.4.2.
+
–
U
Associació de condensadors en
paral·lel o derivació
Com podem deduir, un circuit amb diversos condensadors associats en paral·lel és
aquell en què tots els condensadors es connecten de manera que cadascun dels dos
extrems d’un condensador està connectat als mateixos dos punts comuns que la resta
dels elements. Podem veure una agrupació de tres condensadors en paral·lel a la figura
3.25.
C 1
C 2
En aquest tipus d’associació, la càrrega elèctrica adquirida pel condensador equivalent
és la suma de l’adquirida per cadascun dels condensadors en paral·lel:
La tensió a cada condensador és la mateixa, U, i a partir del concepte de capacitat
( ) , podem expressar la càrrega com el producte de la capacitat pel voltatge
als borns del component:
Simplificant-ho:
Generalitzant-ho: La capacitat equivalent o total d’una agrupació de condensadors
en paral·lel és la suma de les capacitats de cada condensador.
Calcula la capacitat equivalent de les agrupacions de condensadors següents:
Solució
C 3
+
–
i = 1, 2, 3,...
a) Com que es tracta d’una associació de tres condensadors en sèrie
tindrem:
b) Com que es tracta d’una associació de tres condensadors en
paral·lel tindrem:
Fig. 3.26
U
C eq

Activitats
11. Disposem de 4 condensadors de 2,2 mF,
680 µF, 0,470 mF y 100 µF. Calcula el valor de la
capacitat equivalent si es connecten en paral·lel. Si
els quatre, en paral·lel, es connecten a una bateria
de 5 V, quina càrrega acumularà el conjunt una vegada
estiguin carregats? Quina càrrega tindrà cadascun?
12. La pila que es connecta als dos condensadors en
sèrie de l’activitat anterior té una resistència interna
de 0,4 Ω. Quina és la constant de temps del sistema?
r 1
E 1
E 1
E 2
E 3
r 1
r 2
r 3
Fig. 3.27.
Associació de generadors en
sèrie.
r 2
E 2
r 3
E 3
Fig. 3.29.
Associació de generadors en
paral·lel.
U
U
3.5.
3.5.1.
3.5.2.
Associació de generadors
Si volem incrementar el valor de tensió o augmentar la intensitat del corrent que ens
proporciona un únic generador, podem optar per associar-ne uns quants, i ho podem
fer en sèrie o bé en paral·lel.
Associació de generadors en sèrie
Quan connectem en sèrie (l’una a continuació de l’altra) diverses piles o bateries, la
força electromotriu (f.e.m.) resultant és la suma de les forces electromotrius de cadascuna
de les piles o bateries. Pel que fa a la resistència interna resultant, serà la
suma de les resistències internes de cada pila o bateria de l’associació en sèrie.
La f.e.m. equivalent del conjunt és:
E = E1 + E2 + E3 + ... + En La resistència equivalent o total és:
r = r1 + r2 + r3 +...+ rn Fig. 3.28.
L’associació en sèrie de piles o bateries persegueix incrementar el valor de tensió
mantenint el valor de corrent que és capaç de subministrar una sola pila o bateria.
Associació de generadors en
paral·lel
La connexió de piles o bateries en paral·lel exigeix que totes siguin idèntiques. Així,
doncs, la f.e.m. del conjunt serà la mateixa que la de qualsevol de les piles o bateries,
i la resistència equivalent o total serà la de qualsevol de les piles dividida pel nombre
de piles o bateries associades.
La f.e.m. equivalent del conjunt és:
E = E r
1 = E2 = E3 = ... = En La resistència equivalent o total és
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Fig. 3.30.
L’associació en paral·lel de piles o bateries persegueix augmentar el corrent que es
pot proporcionar, mantenint la tensió.
E
E
r
U
U
81
13. Disposem de 2 condensadors de 680 µF i
100 µF. Si es connecten en sèrie, quina serà la capacitat
del conjunt?
Si es connecten a una pila d’1,5 V, quan s’hagin carregat,
quina càrrega acumularà el conjunt? Quina
càrrega acumularà cadascun d’ells? Quina tensió
hi haurà als borns de cada condensador?

82
E = 12 V
r = 0,1 Ω
E = 12 V
E = 12 V
r = 0,1 Ω
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Exemple 3.13
Calcula l’equivalent de les agrupacions de piles a i b. Quin corrent passarà per la resistència R? Quin corrent circula per cada
pila?
r = 0,1 Ω
r = 0,1 Ω
E = 12 V
R = 1 Ω
a)
R = 1 Ω
b) E r
c)
E
E
r
r
E
Solució
Calculem el corrent que circula per la resistència aplicant-hi la llei d’Ohm:
I cadascuna de les bateries subministra la meitat del corrent, que serà:
Activitats
a) Es tracta d’una associació de bateries en sèrie. Per tant, la font equivalent
de tensió és la següent:
r
E
r
E
r
E r E r E r
E r E r E r
E r E r E r
r 1
y
El corrent que hi circula és comú a tots els elements (fonts i resistència)
i el calculem aplicant-hi la llei d’Ohm:
b) Es tracta d’una associació de bateries (característiques iguals) en
paral·lel. En conseqüència, la font equivalent de tensió és:
Fig. 3.31.
14. Determina la font de tensió equivalent de les següents agrupacions de bateries, on cada bateria és de E = 1,5 V i
r = 0,12 Ω.
Fig. 3.32.
15. Al muntatge de la figura, calcula el generador equivalent.
Determina la potència dissipada en la resistència i la potència
subministrada per cada font.
E = 24 V r1 = 0,2 Ω
r2 = 0,2 Ω R = 10 Ω
Fig. 3.33.
y
E E
r 2
R

R 1
R 2
U 1 U 3 U 2
Fig.3.34.
Circuit d’exemple per aplicar
les lleis de Kirchhoff.
Fig. 3. 36.
Branques del circuit de la
figura 3.34.
I 1
I 3
A
B
3.6.
3.6.1.
R 4
I 2
R 3
U 1
R 1
I 1
R 2
I 1
R 2
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Aplicació de les lleis
de Kirchhoff
La tècnica de simplificar els circuits de manera progressiva mitjançant l’agrupació en
sèrie o en paral·lel de fonts de tensió (piles i bateries) o bé de resistències no sempre
és possible.
L’aplicació sistemàtica de les equacions de Kirchhoff combinada amb la llei d’Ohm
ens permetrà resoldre aquesta mena de circuits independentment de la complexitat
que presentin.
Nusos, branques i malles
Tot i que ja haguem vist l’enunciat de les lleis de Kirchhoff i haguem definit el que és
un nus i una malla, cal aclarir i ampliar aquests conceptes.
Nusos
I 3
A
R 4
I 2
I 3
R 3
R 4
U 3
I 1
I 3
B
I 2
U 3
R 3
I 2
U 2
83
Definim els nusos com la connexió de dos o més conductors.
Ara bé, per aplicar les lleis de Kirchhoff ens interessaran
els nusos en què coincideixin tres conductors o més de
tres. D’ara endavant, quan parlem de nusos ens referirem a
aquesta nova definició.
Prenguem com a exemple il·lustratiu el circuit de la figura
3.34. S’hi indiquen tots els nusos, però d’aquests els que ens
interessaran són els assenyalats en color vermell (A i B).
Així, doncs, per aplicar Kirchhoff, podem dir que hi ha dos nusos, A i B.
Fig. 35.
Nusos A i B del circuit de la
figura 3.34.
Branques
Constitueixen una branca tots els elements (resistències, fonts, etc.) compresos entre
dos nusos adjacents.
Evidentment, la intensitat del corrent que circula per una branca serà la mateixa a cadascun
dels elements que integren aquesta branca. Al nostre exemple hi ha tres branques.

84
I 1
R 2
I 1
I 1
I 1
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
U 1
R 1
I 1
R 2
Fig. 3. 37.
Malles del circuit de la figura
3.34.
I 3
A
Fig . 3.38.
Corrent al nus A.
I 3
B
Fig . 3.39.
Corrent al nus B.
R 1
I 1
U 1
R 4
U 3
I 1
I 2
R 3
I 2
R 2
Fig . 3.40.
Tensions i corrents
convencionals a les malles.
I 1
I 2
I 2
I 2
I 2
Malles
Com ja hem vist, constitueix una malla tot circuit tancat que pot ser recorregut tornant
al punt de partida sense passar dues vegades per un mateix element.
Fixa’t que en aquest cas cada element pot ser recorregut per un corrent diferent. Al
nostre exemple hi ha tres malles.
R 4
R 4
U 3
3.6.2.
U 3
U 3
U 3
I 3
I 3
R 4
R 4
R 3
I 2
R 3
I 2
I 2
Equacions
I 2
U 2
Per als nusos i les malles anteriors es poden plantejar equacions de nusos i equacions
de malles.
Equacions de nusos
Mitjançant l’aplicació de la primera llei de Kirchhoff, podem establir una equació
per a cada nus. Així, doncs, aplicades al circuit de la figura 3.34, tenim:
Per al nus A:
I1 + I2 + I3 = 0
Per al nus B:
–I1 + (–I2 ) + (–I3) = 0 ; o directament: –I1 –I2 –I3 = 0
Equacions de malles
Mitjançant l’aplicació de la segona llei de Kirchhoff, podem establir una equació per
a cada malla.
Per aplicar aquestes equacions caldrà assignar un sentit convencional de circulació de
corrent positiu per a cada malla, i considerar positives les intensitats i f.e.m. que concorden
amb aquest sentit convencional i negatives les que no hi concorden.
a b c
U 2
Si ho apliquem a l’exemple, on totes les malles són recorregudes en sentit horari, tindrem
el següent:
Malla a. És recorreguda en sentit horari. Respecte a les forces electromotrius: U1 actua com a generador i, per tant, li correspon signe positiu, mentre que U3 actua
com a càrrega i, en conseqüència, té signe negatiu.
I 1
I 1
U 1
R 1
I 1
U 1
R 1
I 1
R 2
I 1
R 2
I 1
R 3
I 2
R 3
I 2
U 2
U 2
I 2
I 2

Exemple 3.14
Fig. 3.41.
R 1
R 2
I 3
A
I 2
a b
U 1 U 3 U 2
B
R 4
3.6.3.
R 3
U 1 –U 3 = I 1 · R 1 + I 1 · R 2 –I 3 · R 4
U 3 –U 2 = I 3 · R 4 –I 2 · R 3
U 1 –U 2 = I 1 · R 1 + I 1 · R 2 –I 2 · R 3
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Pel que fa a les caigudes de tensió: R 1 i R 2 són recorregudes per un corrent que
coincideix amb el sentit de valoració de la malla i, per tant, atorguem signe
positiu a totes dues, mentre que R 4 és recorreguda per un corrent en sentit
contrari al de valoració de la malla, per la qual cosa parlem de caiguda de tensió
amb signe negatiu.
Malla b i malla c. Hi apliquem el mateix criteri.
Com a resultat d’això obtenim les equacions següents:
Malla a:
Malla b:
Malla c:
Resolució de circuits
El plantejament per resoldre circuits amb les lleis de Kirchhoff és el següent:
Les incògnites seran els corrents per cada branca. Una vegada es coneixen els corrents
es pot determinar el potencial a qualsevol nus del circuit, com també les potències
generades i consumides.
El procediment que hi hem d’aplicar és el següent:
Nus A
Sobre l’esquema del circuit que s’ha de calcular, identifiquem cadascun dels
corrents de branca i els atribuïm arbitràriament un sentit de circulació. Arbitràriament
significa que podem decidir el sentit que vulguem. Ara bé, a partir
d’aquest moment, quedarà fixat per a la resta del procediment i en condicionarà
l’aplicació.
Formulem una equació per cada incògnita. Si el circuit té n nusos utilitzem
n-1 equacions de nusos; les altres equacions necessàries seran equacions de
malles.
Resolem el sistema d’equacions. Un cop coneixem els components del circuit i els
corrents de malla, podem calcular qualsevol altra incògnita fàcilment.
Malla a
Malla b
I1 + I2 + I3 = 0
U1 –U3 = I1 · R1 + I1 · R2 –I3 · R4 5 –15 = 10 · I1 + 15 · I1 –5 · I3 U 3 –U 2 = I 3 · R 4 – I 2 · R 3 15 –10 = 5 · I 3 –20 · I 2
85
Volem calcular el circuit de la figura 3.41 per als valors
següents: U 1 = 5 V, U 2 = 10 V, U 3 = 15 V, R 1 = 10 Ω,
R 2 = 15 Ω, R 3 = 20 Ω y R 4 = 5 Ω.
Tenim tres corrents de branca i, per tant, tres incògnites.
Hi ha dos nusos, per la qual cosa tindrem una equació de
nus (2-1), i les dues restants seran equacions de malles
(3-1).
Prenent el nus A i les malles a i b tindrem:

86
E
r 1
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Haurem de resoldre aquest sistema de tres equacions amb tres incògnites:
I 1
E
r 2
A
B
I 2
a b
I
R
I 1 + I 2 + I 3 = 0
25 · I1 – 5 · I3 = –10
5 · I3 – 20 · I2 = 5
Es pot resoldre per diversos mètodes, obtenint el valor de I 1, I 2 i I 3. Per exemple:
Aïllem I 1 de (1): (4)
Substituïm a (2):
Aïllem I 2: (5)
Substituïm a (3):
Simplifiquem: ;
Aïllem I 3:
Substituïm a (5):
I finalment a (4):
– El signe negatiu de I 1 i I 2 ens assenyala que aquests corrents circulen realment en sentit contrari respecte a l’establert inicialment.
Exemple 3.15
Disposem d’una resistència d’1 Ω alimentada per dues bateries en paral·lel; les dues bateries són de 12 V amb resistències
internes de 0,1 Ω i de 0,2 Ω, respectivament. Calcula:
a) El corrent subministrat per cada bateria i el corrent dissipat per la resistència R.
b) La tensió als borns de la resistència.
c) La potència subministrada per cada bateria i la potència dissipada per la resistència.
En primer lloc dibuixarem el model de comportament elèctric (model circuital), que representa la situació plantejada, on:
E =12 V, r 1 = 0,1 Ω, r 2 = 0,2 Ω y R = 1 Ω.
Fig. 3. 42.
(1)
(2)
(3)
a) Corrent subministrat per cada bateria i corrent dissipat per la resistència
R:
Hi aplicarem les lleis de Kirchhoff. Com que tenim tres incògnites
necessitem tres equacions; atès que tenim dos nusos, una equació
serà de nus i les altres dues seran de malla; les equacions resultants
són aquestes:
I = I 1 + I 2
E –E = r 1 · I 1 – r 2 · I 2
E = r 2 · I 2 + R · I
De (2): (4)
I = I 1 + I 2
0,1 · I 1 – 0,2 · I 2 = 0
1 · I + 0,2 · I 2 = 12
(1)
(2)
(3)

Substituint a (1):
I substituint a (3):
I = 2 · I 2 + I 2 = 3 · I 2
3 · I 2 + 0,2 · I 2 = 3,2 · I 2 = 12
Valor que portat a (4): I1 = 2 · I2 = 3,75· 2 = 7,50 A Corrent subministrat per la bateria 1.
I finalment a (1): I = I1 + I2 = 3,75 = 11,25A Corrent dissipat a la resistència R.
P G1 = V · I 1 = 11,25 · 7,50 = 84,37 W
P G2 = V · I 2 = 11,25 · 3,75 = 42,19 W
P R = V · I = 11,25 · 11,25 = 126,56 W
3.7.
3.7.1.
V = R · I = 1 · 11,25 = 11,25 V
Fig. 3.42.
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
D’on: Corrent subministrat per la bateria 2.
b) Tensió als borns de la resistència:
c) Potència subministrada per cada bateria i potència dissipada per la resistència:
Bateria 1
Bateria 2
Resistència
Activitats
16. Al circuit següent, aplica-hi les lleis de Kirchhoff per determinar
la intensitat del corrent per cada element, les
tensions a cada resistència i la potència que dissipen.
Totes les fonts de tensió estan proporcionant corrent?
U 1
R 1
1 k
R 2
R 3
A
1 k
U 2
10 V 5 V
20 V
R 3
2 k B 10 k
Teoremes fonamentals
per a circuits elèctrics
Teorema de Thévenin
El teorema de Thévenin estableix que un circuit lineal (qualsevol dels que hem vist
fins ara) amb dos terminals de sortida, A i B, es pot substituir per un circuit equivalent
format per una font de tensió UTh (tensió de Thévenin) en sèrie amb una resistència
RTh (resistència de Thévenin).
En què:
UTh és la tensió entre els terminals A i B quan aquests es troben en circuit obert.
RTh és la resistència equivalent entre els terminals A i B quan aquests es troben
en circuit obert, amb la qual cosa s’anul·len les fonts independents de
tensió.
U 3
87

88
Exemple 3.16
a
b
Disposem d’una font d’alimentació formada per dues bateries de f.e.m. i resistència interna E 1, r 1 i E 2, r 2, respectivament,
que alimenten una càrrega situada a una distància important, per la qual cosa es considera que els cables d’alimentació presenten
una resistència R s.
a) Dibuixa l’esquema elèctric de la situació proposada.
b) Troba l’equivalent de Thévenin als borns de la càrrega, si E 1 = 13 V, r 1 = 0,5 Ω, E 2 =11 V, r 2 = 0,5 Ω i R s = 0,75 Ω.
c) Calcula el corrent i la tensió als borns de la càrrega per als casos següents: R càrrega = 1 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 100 Ω,
∞(circuit obert)
Solució
a) Esquema elèctric de la situació proposada (figura
3.45).
b) Equivalent de Thévenin, si E 1 = 13 V, r 1= 0,5 Ω,
E 2 =11 V, r 2 =0,5 Ω y R s = 0,75 Ω (figura 3.46).
Fig. 3.46.
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Fig. 3.44.
Teorema de Thévenin.
r 1
E 1
r 2
E 2
Per anul·lar una font de tensió, aquesta font se substitueix per un conductor (es curtcircuita
la font).
Amb el teorema de Thévenin s’aconsegueix substituir un circuit més o menys complex
per un d’equivalent molt més senzill. La principal aplicació d’aquest teorema la
trobem quan s’ha de resoldre el circuit original per a diferents càrregues, atès que resulta
molt més simple la resolució del circuit equivalent.
R s
A
B
Fig. 3.45.
r 1
E 1
r 2
U Th
U Th
R Th
E 2
R Th
R s
A
B
a
b
A
B

Comencem calculant la tensió de Thévenin.
D’on:
r 1
E 1
Per tant:
O també:
I
I
A’
B’
r 2
E 2
R s
U th = V A’–B’ = E 1 – I · r 1 = 13 – 0,5 · 2 = 12 V
U th = V A’–B’ = E 2 + I · r 2 = 11 + 0,5 · 2 = 12 V
Ara calcularem la resistència de Thévenin recordant que R Th
és la resistència equivalent entre els terminals A i B quan
aquests es troben en circuit obert, amb la qual cosa
s’anul·len les fonts independents de tensió o de corrent.
La resistència buscada és l’equivalent del circuit mostrat a la figura
3.48, és a dir, r 1 i r 2 en paral·lel entre si i en sèrie amb R s,
i tindrà el valor següent:
c) Càlcul del corrent i la tensió als borns de la càrrega per als
casos següents: Rcàrrega = 1 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 100 Ω,
∞ (circuit obert)
El circuit que s’ha de resoldre és l’equivalent de Thévenin presentat
a la figura 3.49, amb UTh =12 V, RTh =1Ω i on la càrrega
és el valor proposat a l’enunciat.
En estudiar cinc casos haurem de resoldre el circuit cinc vegades.
Les equacions que resolen el circuit equivalent de Thévenin
són:
o bé:
U AB = U Th – I · R Th
U AB = I · R càrrega
Els resultats s’exposen a la taula següent:
;
A
B
R càrrega
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Fig. 3.47.
r 1
Fig. 3.48.
Fig. 3.49.
E 1 – E 2 = I · (r 1 + r 2)
U Th
r 2
R Th
1 Ω 5 Ω 10 Ω 100 Ω ∞
I (A) 6 2 1,091 0,1188 0
U AB (V) 6 10 10,91 11,88 12
R s
A
B
A
B
R
89
Recordant que V Th és la tensió entre els terminals A i B
quan aquests es troben en circuit obert, la tensió buscada
V AB (borns A-B) és la mateixa que V AÕB ’ (borns A’-B’),
ja que amb el circuit obert no circula corrent per R s i,
per tant, no hi ha cap caiguda de tensió en aquesta resistència.
Aplicant la segona llei de Kirchhoff a la malla formada
per les dues fonts del circuit i recorreguda en sentit horari
obtenim el següent:

90
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Exemple 3.17
3.7.2.
Al circuit de la figura següent, determinarem la tensió i
la intensitat de corrent a la resistència R 3.
U 1 = 12 V, U 2 = 24 V, R 1 = 1 Ω, R 2 = 2 Ω, R 3 = 4 Ω
Ho farem de dues maneres: aplicant-hi les lleis de
Kirchhoff i mitjançant el principi de superposició.
Solució 1. Aplicació de les lleis de Kirchhoff
Llei de corrents nus A
Llei de tensions malla a
Llei de tensions malla b
I1 + I2 – I3 = 0
R1 I1 + R3 I3 =U1 R 2 I 2 + R 3 I 3 =U 2
I 1 = –1,714A 0; I 2 = 5,142A ; I 3 = 3,428A y U AB = R 3 I 3 = 4 · 3,428 = 13,71 V
Solució 2. Aplicació del principi de superposició
a) Només amb la font U 1:
Calculem R 2 en paral·lel amb R 3 (R 2//R 3):
Calculem la resistència total:
Amb la llei d’Ohm, calculem I T:
U 1
U 1
Fig. 3.51.
Considerant la resistència equivalent de R 2//R 3 (R 2 en paral·lel amb R 3) i coneixent I T, podem calcular U ABa:
Aplicant la llei d’Ohm a R 3, tenim la I R3a:
Principi de superposició
El principi de superposició estableix que en qualsevol circuit lineal (qualsevol dels
que hem vist fins ara) que contingui diverses fonts de tensió (piles o bateries), el voltatge
a cada nus i el corrent a cada branca és la suma de tots els voltatges o corrents
individuals causats per cada font, actuant individualment, és a dir, amb totes les altres
fonts de tensió substituïdes per curtcircuits.
Fig. 3.50.
I 1
R 1
substituint els valors i resolent:
a
I T
R 1
I R3
R 3
A
B
A
B
I 3
R 3
R 2
b
I 2
R 2
U 2

) Només amb la font U 2:
Calculem R 1 en paral·lel amb R 3 (R 1//R 3):
Calculem la resistència total:
Amb la llei d’Ohm, calculem I T:
3.7.3.
Fig. 3.52.
Considerant la resistència equivalent de R 1//R 3 i coneixent I T, podem calcular U ABb:
Aplicant la llei d’Ohm a R 3, tenim la I R3a:
c) Hi apliquem el principi de superposició per calcular la resposta global:
Teorema de la màxima
transferència de potència
En una font d’alimentació la potència transferida a la càrrega depèn de la resistència
de sortida de la font i de la resistència de la mateixa càrrega.
El teorema de la màxima transferència de potència estableix que en un circuit amb
terminals A i B (font d’alimentació) la màxima potència transferida a una càrrega es
produeix quan la resistència de la càrrega és equivalent a la resistència de sortida del
circuit (resistència de Thévenin).
R c = R Th
El valor de la potència màxima que es transfereix es pot determinar a partir de l’expressió
següent:
O també:
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
R 1
R 3
A
B
I R3
R 2
I T
U 2
91

92
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Exemple 3.18
Volem determinar la màxima potència que es pot extreure d’una font la tensió en buit de la qual és de 100 V i la resistència
interna de la qual és d’1Ω.
Solució
Activitats
17. Calcula el circuit equivalent de Thévenin als borns
a i b del muntatge següent:
U = 24 V
R1 =2 kΩ
R2 =1 kΩ
R3 =3 kΩ
U 1
Fig. 3.53.
18. Calcula el circuit equivalent de Thévenin als borns
a i b del muntatge següent:
Fig. 3.54.
U 1
10 V
R 1
1 k
2 k
R 2
R 3
R 1
1 k
R 3
R 2
U 2
20 V
U Th = 100 V R Th = 1 Ω
A
B
A
B
19. Calcula el corrent que circula per la resistència de
4 Ω. Utilitza el principi de superposició.
1 Ω
Fig. 3.55.
12 V
1 Ω
15 V
1 Ω
24 V
4 Ω
20. Una bateria de 12 V té una resistència interna d’1 Ω.
Fes una taula en què figuri la potència lliurada a la
càrrega per als següents valors de resistència de
càrrega: 0 Ω, 0,5 Ω,1 Ω, 10 Ω, 10 MΩ.

Experiència 1
Experiències
Circuit en sèrie
V U =
R Total =
V 1
R 1
U R Total I V 1 V 2 V 3
10 V 0 0 0 0 0
20 V
U R Total I V 1 V 2 V 3
10 V 0 0 0 0 0
20 V
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
1. Seleccionem tres resistències amb els següents valors nominals:
R1 = 100 Ω, R2 = 150 Ω, R3 = 100 Ω.
2. Connectem les tres resistències en sèrie i mesurem la resistència total de l’associació
utilitzant un ohmímetre. Cal recordar que aquesta mesura es porta a terme
sense connectar la font d’alimentació, ni amperímetres ni voltímetres.
3. Completem el muntatge de la figura següent:
4. Hi apliquem una tensió de 10 V i prenem nota dels valors obtinguts reflectintlos
a la taula següent:
5. Repetim el pas anterior aplicant-hi ara una tensió de 20 V.
6. Completem la taula següent amb els valors teòrics obtinguts prèviament al desenvolupament
de l’experiència.
7. Comprovem la validesa de les dades “experimentals”.
I
V 2
R 2
V 3
R 3
93

94
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Experiència 2
Circuit mixt
1. Seleccionem cinc resistències amb aquests valors nominals: R 1 = 200 Ω,
R 2 = 100 Ω, R 3 = 1 kΩ, R 4 = 2 kΩ, R 5 = 3 kΩ.
2. Connectem els grups de resistències en paral·lel i mesurem la resistència total de
cada associació; posteriorment connectem els dos grups en sèrie i mesurem la
resistència total del muntatge.
R 1//R 2 = R 3//R 4//R 5 = R Total =
3. Completem el muntatge de la figura següent:
U
I 1
I 2
V a
R 1
R 2
I 3 I 4 I 5
R 3 R 4 R 5
4. Hi apliquem una tensió de 10 V i prenem nota dels valors obtinguts reflectintlos
a la taula següent: 0 0 0 0 0 0
U V a V b I I 1 I 2 I 3 I 4 I 5
10 V 0 0 0 0 0
20 V
5. Repetim el pas anterior aplicant-hi ara una tensió de 20 V.
6. Completem la taula següent amb els valors teòrics obtinguts prèviament al desenvolupament
de l’experiència.
U V a V b I I 1 I 2 I 3 I 4 I 5
10 V 0 0 0 0 0
20 V
7. Comprovem la validesa de les dades “experimentals".
V b

Experiència 3
Lleis de Kirchhoff
Experiència
Teòric
Nus A
Nus B
Nus C
R 3
I1 D R1 A
100 V
25 Ω
R 2
E
C
I 3
75 Ω
I 2
R 4
50 Ω
75 Ω
I 1 I 2 I 3 I 4 I 5
V DA V AB V AC V EA V EB V BC V DC
Malla DACD
Malla AEBA
Malla ABCA
Malla DABCD
Malla AEBCA
Malla DAEBCD
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
1. Fem el muntatge de la figura i mesurem els valors de les intensitats a cada branca
del circuit, fixant-nos en la polaritat dels aparells de mesura que connectem
segons el sentit del corrent previst.
2. Completem la taula següent:
3. Comprovem que es compleixi la primera llei de Kirchhoff en cadascun dels nusos.
4. Mesurem la diferència de potencial que hi ha als borns de cadascun dels elements
del circuit respectant la polaritat indicada i completem la taula.
5. Comprovem que es compleixi la segona llei de Kirchhoff a cadascuna de les
malles; recordem que V AB = –V AB. Exemple: a la malla DACD s’ha de complir
que V DA + V AC + V CD = 0, o bé què V CD = V DA + V AC.
I 4
B
10 V
I 5
50 V
95

96
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
Experiència 4
teorema de Thévenin
1. Començarem muntant i simulant el circuit original amb la finalitat de comprovar,
després, l’equivalència entre aquest muntatge i l’equivalent de Thévenin
que determinarem al llarg de l’experiència. Prenem nota de la intensitat i la tensió
a la càrrega.
V 1
V 1
24 V
24 V
V Th
R 1
2 Ω 2 Ω
R 1
R 3
1 Ω
R 2
R 2
2 Ω 2 Ω
1 Ω
R 1
R 3
2 Ω 2 Ω
R Th
R 3
1 Ω
R 2
A
B
A
B
A
B
A
B
Càrrega
2 Ω
V càrrega =
I càrrega =
2. Per determinar experimentalment la tensió de Thévenin, al muntatge original
desconnectem la càrrega i al seu lloc hi col·loquem un voltímetre. La tensió de
Thévenin (tensió amb el circuit obert) es correspon amb la lectura del voltímetre.
V Th=
3. Podem mesurar la resistència de Thévenin al muntatge següent, en què s’ha suprimit
la font de tensió. La mesura la portem a terme amb un ohmímetre.
R Th =
4. Fem el muntatge del circuit equivalent de Thévenin, alimentant la mateixa càrrega,
i comprovem la igualtat de tensió i corrent a la càrrega respecte al circuit
original.
V càrrega =
I càrrega =
5. Fem simultàniament els dos circuits: l’original i el seu equivalent. Comprovem
que per a qualsevol càrrega, la lectura de tensió i corrent és la mateixa als dos
circuits; completem la taula següent:
Rcàrrega(Ω) Vcàrrega Icàrrega Observacions
0
5
15
20
Curtcircuit
∞ Circuit obert

Autoavaluació
1. S’anomena corrent continu:
a) Tot corrent elèctric
b) Un corrent elèctric bidireccional
c) Un corrent elèctric unidireccional de valor constant
2. La llei d’Ohm relaciona:
a) Tensió, corrent i potència
b) Tensió, corrent i resistència
c) Potència, corrent i resistència
3. La llei de Joule relaciona:
a) Tensió, corrent i potència
b) Tensió, corrent i resistència
c) Potència, corrent i resistència
4. Si augmentem la resistència d’un component alimentat
a una tensió constant:
a) Augmentarà el corrent que hi circula.
b) Disminuirà el corrent que hi circula.
c) Es mantindrà constant el corrent que hi circula.
5. Si augmentem la tensió d’alimentació d’una resistència
de valor constant:
a) Augmentarà el corrent que hi circula.
b) Disminuirà el corrent que hi circula.
c) Es mantindrà constant el corrent que hi circula.
6. Per a una tensió determinada, per exemple 12 V, la
resistència nominal d’una làmpada d’incandescència:
a) Augmenta en augmentar la potència nominal de
la làmpada.
b) Disminueix en augmentar la potència nominal
de la làmpada.
c) És independent de la potència nominal de la
làmpada.
7. Si associem resistències en sèrie, podem afirmar que:
a) La resistència total obtinguda serà superior a
qualsevol de les resistències connectades.
b) La resistència total obtinguda serà inferior a
qualsevol de les resistències connectades.
c) La resistència total obtinguda serà superior o inferior
a qualsevol de les resistències connectades,
depenent del valor d’aquestes.
8. Si associem resistències en paral·lel, podem afirmar que:
a) La resistència total obtinguda serà superior a
qualsevol de les resistències connectades.
b) La resistència total obtinguda serà inferior a
qualsevol de les resistències connectades.
c) La resistència total obtinguda serà superior o inferior
a qualsevol de les resistències connectades,
depenent del valor d’aquestes.
9. Si disposem de tres resistències de 10 Ω, com podem
obtenir una resistència total de 15 Ω?
a) Connectant-ne una en paral·lel amb les altres
dues en sèrie.
Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu
97
b) Connectant-ne una en sèrie amb les altres dues
en paral·lel.
c) No podem obtenir aquest valor de resistència.
10. Si associem condensadors en sèrie, podem afirmar
que:
a) La capacitat total obtinguda serà superior a
qualsevol de les capacitats connectades.
b) La capacitat total obtinguda serà inferior a qualsevol
de les capacitats connectades.
c) La capacitat total obtinguda serà superior o inferior
a qualsevol de les capacitats connectades,
depenent del valor d’aquestes.
11. Si associem condensadors en paral·lel, podem afirmar
que:
a) La capacitat total obtinguda serà superior a
qualsevol de les capacitats connectades.
b) La capacitat total obtinguda serà inferior a qualsevol
de les capacitats connectades.
c) La capacitat total obtinguda serà superior o inferior
a qualsevol de les capacitats connectades,
depenent del valor d’aquestes.
12. El teorema de Thévenin ens permet, respecte de dos
terminals, trobar:
a) La resistència equivalent
b) La font de tensió equivalent
c) La resistència i la font de tensió equivalents
13. El principi de superposició s’aplica per:
a) Calcular la resistència equivalent, quan no es
pot aplicar la simplificació per associació de
resistències.
b) Calcular la font de tensió equivalent, quan hi ha
diverses fonts de tensió.
c) Resoldre de forma senzilla (des del punt de vista
matemàtic) circuits amb diverses fonts de tensió.
14. Les lleis de Kirchhoff s’apliquen:
a) Només a circuits de corrent continu
b) Només a circuits amb diverses fonts de tensió
c) A qualsevol circuit elèctric
15. Una bateria de 12 V subministra un corrent de 2 A i
la tensió als seus borns és d’11 V. Quin és el valor de
la seva resistència interna?
a) 2 Ω
b) 1 Ω
c) 0,5 Ω
16. Una bateria de 12 V subministra un corrent de 2 A i
la tensió als seus borns és d’11 V. Quin és el valor de
la seva resistència de càrrega?
a) 11 Ω
b) 6 Ω
c) 5,5 Ω