Prácticos - IMERL

Curso 

2005 

Matemática III 

Ejercicios Prácticos 

CALCULO VECTORIAL ‐ EDP 

Mathías BOUREL – José DIAZ 

TECNOLOGO MECANICO 

Curso 2005

TECNOLOGO MECANICO - MATEMATICA III 

(curso 2005) 

LISTA DE EJERCICIOS N o 1 

Integrales dobles 

1. Hallar los límites de integración, en un sentido y en el otro, para la integral doble 

D la siguiente región: 

(a) D es el rectángulo de vértices O = (0, 0), A = (2, 0), B = (2, 1), C = (0, 1) 

(b) D es el triángulo de vértices O = (0, 0), A = (1, 0), B = (1, 1) 

(c) D es el trapecio de vértices O = (0, 0), A = (2, 0), B = (1, 1), C = (0, 1) 

D 

f(x, y)dxdy siendo 

2. Dibujar la región de integración e invertir el orden de integración 

(a) 

2 

0 

f(x, y)dy dx 1 −1 (b) 

1 

1 

f(x, y)dy dx 0 x (c) 

2 2y 

0 y2 (e) 

 

f(x, y)dx dy 

 

3 

2x 

f(x, y)dy dx 1 x (f) 

2 2−x 

−6 x2 

−4 f(x, y)dy dx 

4 

(g) √ 

3−y 

f(x, y)dx dy 

 

1 √ 

x+1 √ 

0 

x f(x, y)dy dx 

2 

(i) 1 

−1 

3. Calcular 

√ 

3−y 

f(x, y)dx 

−y+1 

D 

f(x, y)dxdy . 

dy + 3 

1 

0 

(a) f : f(x, y) = x sin(y) − ye x y D = {(x, y) ∈ R 2 : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π 

2 } 

(b) f : f(x, y) = xy y D = {(x, y) ∈ R 2 : x ≤ 0, y 2 − 2y ≤ x} 

(c) f : f(x, y) = 2x + 3y y D = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥ 0, y ≥ x, x − 2y + 1 ≥ 0} 

(d) f : f(x, y) = |x + y − 1| y D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} 

4. Calcular 

(a) 

(c) 

 

 

D 

PRACTICOS CURSO 2005 

MATEMATICA III 

f(x, y)dxdy utilizando un cambio de variable lineal. 

f : f(x, y) = cos(x − y) cos(x + 2y) 

D = {(x, y) ∈ R 2 : −2x ≤ y ≤ 0, x ≤ y + π} 

f : f(x, y) = (x − y) 2 sin 2 (x + y) 

D = {(x, y) ∈ R 2 : |x − π| + |y − π| ≤ π} 

1 

(b) 

(d) 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

Página 1 de 23 

f : f(x, y) = (x − y)e x2 −y 2 

D es el cuadrado de vértices 

(2, 1), (0, 1), (1, 0), (1, 2) 

f : f(x, y) = e −(x+y)2 

D es el triángulo de vértices 

(0, 0), (0, 1), (1, 0) 

Mathías BOUREL - José DIAZ

5. Calcular 

D 

f(x, y)dxdy utilizando coordenadas polares. 

(a) f : f(x, y) = x 2 + y 2 y D = {(x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 1} 

(b) f : f(x, y) = x 2 y 2 y D = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} 1 

(c) f : f(x, y) = x3 + y3 − 3xy x2 + y2 

(x2 + y2 ) 3 

(d) f : f(x, y) = 

y D = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} 

x 

x 2 + y 2 + 1 y D = {(x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 − 4y ≤ 0, x ≥ 0} 

(e) f : f(x, y) = x 2 + y 2 y D = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 2x} 

(f) f : f(x, y) = 

1 

x 2 + y 2 



y D = {(x, y) ∈ R 2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} 

6. (a) Calcular 

 

1 − D 

x2 y2 

4 − 9 dxdy siendo D = {(x, y) ∈ R2 : x2 y2 

4 + 9 ≤ 1} 

Sugerencia: Utilizar las siguientes coordenadas x = 2rcosϕ, y = 3rsenϕ 

(b) Calcular x 

D 

2 

x2 + y dxdy siendo D = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 0, 1 ≤ y ≤ 2 − x2 } 

Sugerencia: realizar el cambio de variable x = √ v − u, y = u + v 

 

7. Calcular el área de la región plana D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 

2 2 2 ≤ x − y , x ≥ 0 

1 Recordar que cos 2x = 2 cos 2 x − 1 y cos 4x = 8 cos 4 x − 8 cos 2 x + 1 

2 



TECNOLOGO MECANICO - MATEMATICA III 

(curso 2005) 


Integrales triples 

1. Hallar los límites de integración, en los seis ordenes posibles, para la integral triple 

f(x, y, z)dxdydz 

E 

siendo E el tetraedro sólido limitado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, 2x + y + z = 4. 

2. Hallar los límites de integración (en dos ordenes) para la integral triple 

f(x, y, z)dxdydz siendo E el 

E 

sólido acotado limitado 

(a) por el cilindro x 2 + y 2 = 1, y los planos z = 0, z = 1. 

(b) por el cono z 2 = x 2 + y 2 y los planos z = 0, z = 1. 

(c) por el paraboloide z = x 2 + y 2 , y los planos z = 0, z = 1. 

3. Hallar los límites de integración (bastará con un solo orden) para la integral triple 

siendo E el sólido acotado limitado 

(a) por el cilindro x 2 + y 2 = 1, y los planos z = 1, z = 4. 

(b) por el cono z 2 = x 2 + y 2 y los planos z = 1, z = 4. 

(c) por el paraboloide z = x 2 + y 2 y los planos z = 1, z = 4. 

4. Calcular 

E 

f(x, y, z)dxdydz . 

E 

f(x, y, z)dxdydz 

(a) f : f(x, y, z) = x + y + z y E = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} 

1 

(b) f : f(x, y, z) = 

3 

(1 + x + y + z) 

plano x + y + z = 1. 

y E es el sólido acotado limitado por los planos coordenados y el 

(c) f : f(x, y, z) = xyz y E = {(x, y, z) ∈ R 3 : 0 ≤ x, 0 ≤ y, 0 ≤ z, x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1} 

(d) f : f(x, y, z) = xy 2 z 3 y E es el sólido acotado limitado por la superficie z = xy y los planos 

y = 0, z = 0, y = x y x = 1. 

(e) f : f(x, y, z) = x y E es sólido acotado limitado por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie 

z = x 2 + y 2 , x ≥ 0, y ≥ 0. 

5. Calcular el volumen, primero utilizando integrales dobles y luego integrales triples, del sólido S acotado 

limitado 

(a) por los planos z = 0, y = 0, y = x, x + y = 2, x + y = 3 y x + y + z = 6. 

(b) por le cilindro x = y 2 y los planos z = 0 y x + z = 1. 

(c) por el paraboloide z = 1 − x 2 − y 2 y el plano z = 0 

(d) por los paraboloides z = x 2 + y 2 y x 2 + y 2 + z = 8. 

6. Calcular 

D 

f(x, y, z)dxdydz utilizando un cambio de coordenadas esféricas 

√ 

(x2 +y2 +z2 3 ) (a) f(x, y, z) = e 



y D = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1} 

1 



(b) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 y D = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ r 2 } 

(c) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xyz y D = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ r 2 } 

7. Calcular 

D 

f(x, y, z)dxdydz utilizando un cambio de coordenadas cilindricas 

(a) f(x, y, z) = z x 2 + y 2 y D = {(x, y, z) ∈ R 3 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √ 2x − x 2 , 0 ≤ z ≤ 4} 

(b) f(x, y, z) = 

1 

x 2 + y 2 + z 2 



y D = {(x, y, z) ∈ R 3 : 1 

2 ≤ z ≤ 1, x2 + y 2 + z 2 ≤ 1} 

2 



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Mathías BOUREL - José DIAZ 

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TECNOLOGO MECANICO - MATEMATICA III - curso 2005 


Ecuaciones en derivadas parciales 

(E.D.P.) 

Ecuación del calor 

1. Hallar una solución formal de los siguientes problemas: 

⎧ 

⎧ 

ut = 3uxx 0 < x < 2, t > 0 

⎪⎨ 

⎪⎨ 

u (x, 0) = sen (πx) 0 ≤ x ≤ 2 

(a) 

(b) 

⎪⎩ 

u (0, t) = 0 t > 0 

⎪⎩ 

u (2, t) = 0 t > 0 

Series de Fourier 

2. Hallar la serie de Fourier de la función f : R → R tal que 

 

x 

 

(a) f(x) = sin 

2 

(b) f(x) = cos (2x) 

(c) f(x) = cos3 x + sin 2 x Sugerencia: cos3 x = 

ut = 1 

4 uxx 0 < x < 2, t > 0 

u (x, 0) = 2sen π 

2 x − sen (πx) + 4sen (2πx) 0 ≤ x ≤ 2 

u (0, t) = 0 t > 0 

u (2, t) = 0 t > 0 

cos 3x+3 cos x 

4 

y sin 2 x = 

1−cos 2x 

2 


3. Se considera la función f : R → R periódica de periódo T 

(a) f(x) = x2 si x ∈ − π 

 

π 

2 , 2 y T = π (b) f(x) = x si x ∈ − π 

 

π 

⎧ 

2 , 2 y T = π 

⎪⎨ 1 si x ∈ (0, π) 

 

1 

(c) f(x) = −1 si x ∈ (−π, 0) y T = 2π (d) f : f(x) = 2 − x si x ∈ [0, 1] 

y T = 2 

⎪⎩ 

1 

2 + x si x ∈ [−1, 0] 

0 si x = 0 o x = ±π 

(e) f : f(x) = x2 ⎧ 

2 si x = 0 

⎪⎨ 

x si x ∈ (0, 4) 

si x ∈ [−1, 1] y T = 4 (f) f : f(x) = 

y T = 8 

⎪⎩ 

4 si x ∈ [4, 8) 

2 si x = 8 

i. Representar graficamente a la función en R 

ii. Estudiar la paridad o imparidad de f 

iii. Hallar la serie de Fourier asociada a la función f 

iv. Representar graficamente a la función a que converge la serie de Fourier hallada 

4. Hallar la serie de Fourier de senos y la serie de Fourier de cosenos de la función f : (0, π) → R tal que 

 

1 si x ∈ 

(a) f(x) = x (b) f(x) = 1 (c) f(x) = π − x (d) f(x) = 

0, π 

 

2 

0 si x ∈ π 

2 , 1 

Ecuación del calor (continuación) 

5. Hallar una solución formal de los siguientes problemas 

⎧ 

ut = uxx 0 < x < π, t > 0 

⎪⎨ 

u (x, 0) = x 

(a) 

⎪⎩ 

π2 − x2 ⎧ 

ut = uxx 

0 < x < 2, t > 0 

⎪⎨ 

x si x ∈ [0, 1] 

0 ≤ x ≤ π 

u (x, 0) = 

0 ≤ x ≤ 2 

(b) 

2 − x si x ∈ [1, 2] 

u (0, t) = 0 t > 0 

u (0, t) = 0 t > 0 

u (π, t) = 0 t > 0 

⎪⎩ 

u (2, t) = 0 t > 0 


1

2 

6. Hallar una solución formal del problema 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

ut = uxx 0 < x < 2, t > 0 

u (x, 0) = 100 0 ≤ x ≤ 2 

u (0, t) = 20 t > 0 

u (2, t) = 60 t > 0 

7. Hallar la serie de Fourier de la función f : R → R tal que 

 

x 

 

(a) f(x) = sin 

2 

(b) f(x) = cos (2x) 

(c) f(x) = cos3 x + sin 2 x Sugerencia: cos3 x = 

cos 3x+3 cos x 

4 

8. Se considera la función f : R → R periódica de periódo T 

 

π , 2 



y sin 2 x = 

1−cos 2x 

2 

(a) f(x) = x2 si x ∈ − π 

2 y T = π (b) f(x) = x si x ∈ − π 

⎧ 

2 y T = π 

⎪⎨ 1 si x ∈ (0, π) 

 

1 

(c) f(x) = −1 si x ∈ (−π, 0) y T = 2π (d) f : f(x) = 2 − x si x ∈ [0, 1] 

y T = 2 

⎪⎩ 

1 

2 + x si x ∈ [−1, 0] 

0 si x = 0 o x = ±π 

(e) f : f(x) = x2 ⎧ 

2 si x = 0 

⎪⎨ 

x si x ∈ (0, 4) 

si x ∈ [−1, 1] y T = 4 (f) f : f(x) = 

y T = 8 

⎪⎩ 

4 si x ∈ [4, 8) 

2 si x = 8 

(a) i. Representar graficamente a la función en R 

ii. Estudiar la paridad o imparidad de f 

iii. Hallar la serie de Fourier asociada a la función f 

iv. Representar graficamente a la función que converge la serie de Fourier hallada 

9. Hallar la serie de Fourier de senos y la serie de Fourier de cosenos de la función f : (0, π) → R tal que 

(a) f(x) = x (b) f(x) = 1 (c) f(x) = π − x 

 

(d) f(x) = 

1 si x ∈ 0, π 

0 

 

2 

si x ∈ π 

2 , 1 

10. Usar el método de separación de variables de Fourier para hallar una solución formal del siguiente problema 

⎧ 

ut = 4uxx 0 < x < π, t > 0 

⎪⎨ 

u (x, 0) = sin 

⎪⎩ 

1 

2x − sin 3 

2x 0 ≤ x ≤ π 

u (0, t) = 0 t > 0 

ux (π, t) = 0 t > 0 

 

π , 2 



TECNOLOGO MMECANICO -ATEMATICA III - curso 2005 



(E.D.P.) 

Ecuación de la onda 

1. Hallar una solución formal de los siguientes problemas 

⎧ 

utt = 9uxx 

⎪⎨ u(0, t) = 0 

0 < x < π, t > 0 

t ≥ 0 

⎧ 

utt = uxx 

⎪⎨ u(0, t) = 0 

0 < x < 1, t > 0 

t ≥ 0 

(a) u(π, t) = 0 t ≥ 0 

u(x, 0) = sin(3x) 0 ≤ x ≤ π 

⎪⎩ 

ut(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π 

⎧ 

utt = uxx 

⎪⎨ u(0, t) = 0 

(b) u(1, t) = 0 

⎪⎩ 

0 < x < π, t > 0 

t ≥ 0 

t ≥ 0 

(c) 

⎪⎩ 

u(π, t) = 0 t ≥ 0 

u(x, 0) = x (π − x) 0 ≤ x ≤ π 

ut(x, 0) = 1 0 ≤ x ≤ π 

2. Resolver el problema ⎧ 

⎪⎨ utt = 4uxx x ∈ R, t > 0 

u(x, 0) = 0 

⎪⎩ 

ut(x, 0) = x 

x ∈ R 

x ∈ R 

por el método de propagación de D’Alembert 

3. Se considera la ecuación de onda 

utt = 9uxx 

sujeta a las condiciones iniciales 

 

2 si − 1 < x < 1 

u (x, 0) = 

0 en caso contrario 

u(x, 0) = − 1 

12x4 + 1 

6x3 − 1 

12x 0 ≤ x ≤ 1 

ut(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ 1 

y ut (x, 0) = 0, x ∈ R 

Trace la gráfica de la solución del problema anterior en t = 0, t = 1 1 

6 , t = 3 

4. (a) Resolver el problema 



⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

utt = uxx 

x ∈ R, t > 0 

u(x, 0) = sin x x ∈ R 

ut(x, 0) = 1 x ∈ R 

por el método de propagación de D’Alembert 

(b) ¿Cómo es la gráfica de cuerda en el instante t = π 

2 ? 

y t = 2 

3 . 



3

4 

5. (a) Mostrar que la función v(x, t) = −x sent es solución.de la ecuación utt = uxx + x sent 

(b) Hallar una solución formal del siguiente problema 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 



utt = uxx + x sent 0 < x < π, t ∈ R 

u(0, t) = 0 t ≥ 0 

u(π, t) = −πsent t ≥ 0 

u(x, 0) = +∞ sen nx 

n=1 n4 0 ≤ x ≤ 

ut(x, 0) = −x + +∞ sen nx 

n3 0 ≤ x ≤ π 


n=1 

Sugerencia: hacer el cambio de variables u = w + v donde w será solución de un problema más sencillo que 

se determinará 

6. .Usar el método de separación de variables de Fourier para hallar una solución formal del siguiente PVIF 

⎧ 

⎪⎨ 

utt = uxx 

ux(0, t) = 0 

0 < x < π, t ∈ R 

t ≥ 0 

⎪⎩ 

ux(π, t) = 0 

u(x, 0) = π − x 

ut(x, 0) = x 

t ≥ 0 

0 ≤ x ≤ π 

0 ≤ x ≤ π 




(E.D.P.) 

Ecuación de Laplace 

1. Resolver uxx + uyy = 0, en (0, π) × (0, π), con las condiciones: 

(a) 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

2. Se considera la ecuación 

u(0, y) = 0 

u(π, y) = 0 

u(x, π) = 0 

u(x, 0) = 4 sen3x 

(b) 

 

u(0, y) = u(π, y) = seny 

u(x, π) = u(x, 0) = x(π − x) 

uxx + uyy = 2 en el retángulo Ω = (0, π) × (0, π) 

(a) Probar que v : v (x, y) = x2 + x + 1 es solución 

(b) Hallar una solución formal de dicha ecuación que verifique además las siguientes condiciones: 

⎧ 

u(x, 0) = x 

⎪⎨ 

2 ∞ sen nx 

+ x + 1 + 

n4 , ∀ x ∈ [0, π] 

⎪⎩ 

1 

u(x, π) = x2 + x + 1 + sen x , ∀ x ∈ [0, π] 

u(0, y) = 1 , ∀ y ∈ [0, π] 

u(π, y) = π2 + π + 1 , ∀ y ∈ [0, π] 


se determinará. 

3. Se considera la ecuación: 

(E) uxx + uyy + 4ux + 4uy = e y 

cos x en el retángulo Ω = 

a) Mostrar que v : v(x, y) = 1 

8 ey (cos x + sen x) es una solución de (E). 

0 < x < π 

0 < y < 1 

b) Hallar una solución formal de dicha ecuación que verifique además las siguientes condiciones: 

u(0, y) = 1 

8 ey ∀y ∈ [0, 1] 

u(π, y) = − 1 

8 ey ∀y ∈ [0, 1] 

u(x, 0) = 1 

8 (cos x + sen x) + e−2x ∞ sen nx 

n=1 n2 u(x, 1) = 1 

8 e (cos x + sen x) ∀x ∈ [0, π] 

∀x ∈ [0, π] 


se determinará. 





5

6 

4. Se considera la ecuación en derivadas parciales 



(E) uxx + uyy + 2ux + 2uy = 12 + 8x + 24y en el retángulo Ω = 

 

0 < x < π 

0 < y < 1 

(a) Hallar una función polinómica p homogénea de segundo grado que sea solución de (E) 

Solución: p : p(x, y) = x 2 + 2xy + 5y 2 

(b) Usando el método de separación de variables de Fourier hallar una solución formal de dicha ecuación 

que verifique además las siguientes condiciones: 

u (x, 0) = x2 ∞ −x sen (nx) 

+ e 

n=1 n2 u (π, y) = π 2 + 5y 2 + 2πy ∀y ∈ [0, 1] 

u (x, 1) = x 2 + 2x + 5 ∀x ∈ [0, π] 

u (0, y) = 5y 2 ∀y ∈ [0, 1] 

∀x ∈ [0, π]

Prácticos - IMERL

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