Descarrega't el llibre - Enginyers Industrials de Catalunya

5 cèntims d’enginy

Edició: Juliol 2007
© Associació d’Enginyers Industrials de Catalunya
Via Laietana, 39
08003 Barcelona
Tel.: 93 319 23 00
Fax: 93 310 96 81
A/e: eic@eic.cat
http://www.eic.cat
Autora: M. Rosa Estela Carbonell
Amb la col·laboració de Joel Saà Seoane
Disseny i maquetació: Carles Tallada Serra
Revisió lingüística: Mercè Molins i Mora
La reproducció total o parcial d’aquesta obra per qualsevol
procediment, comprenent-hi la reprografia i el
tractament informàtic, com també la distribució d’exemplars
mitjançant lloguer i préstec, resten rigorosament
prohibides sense l’autorització escrita de l’editor i estaran
sotmeses a les sancions establertes per la llei.
Dipòsit legal: B-18666/07
ISBN: 978-84-88167-94-1
Impressió: GAM - Impremta Digital
índex
Presentació del llibre 5 cèntims d’enginy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Introducció al llibre 5 cèntims d’enginy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Capítol 1.- Matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Karl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
Curiositats matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Entreteniments matemàtics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Capítol 2.- Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Curiositats físiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Entreteniments físics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Capítol 3.- Enginyeria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Leonardo da Vinci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Curiositats d’enginyeria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Entreteniments d’enginyeria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6
Presentació del llibre 5 cèntims d’enginy 7
La Diada de l’Enginyer és la trobada dels Enginyers Industrials de Catalunya i la del
2007 ve acompanyada com cada any amb l’edició d’un llibre. És una forma de donar
continuïtat a l’acte que celebrem amb un record que ens podem endur a casa i que
conservem. Podríem dir que el llibre equival al que és el catàleg d’una exposició,
aquella s’acaba i en canvi el catàleg es conserva i la recorda.
El llibre d’enguany fa referència a unes matèries que havíem treballat, i molt, durant
els nostres anys d’accés i de presència a les escoles tècniques superiors d’Enginyeria
Industrial, les matemàtiques, la física i l’enginyeria.
Us presentem uns textos per reviure aquestes matèries i al mateix temps proposarvos
la resolució d’uns problemes. S’ha dit, i no sense raó, que si hi ha una característica
que defineixi l’activitat dels enginyers és la seva capacitat de resoldre
problemes, la capacitat de trobar solucions.
Recordem que el matemàtic Gaspard Monge (1746-1818) va proposar que per accedir
a una escola d’enginyeria militar francesa s’havia de ser capaç de resoldre uns determinats
problemes de matemàtiques. Al segle IV aC, al portal d’entrada de la Hekademie
de Plató, a Atenes, hi havia una inscripció gravada que deia “Que no entri aquí,
qui no sàpiga geometria”.
Ben segur que els companys enginyers industrials que llegiu aquest llibre hauríeu
pogut entrar a la Hekademie de Plató i a l’escola d’enginyeria de Monge.
En tot cas us desitgem que passeu una bona Diada 2007. Quan arribeu a casa podreu
gaudir de la lectura i dels problemes del llibre. Ah! Si no trobeu alguna solució, aquestes
són a la web que s’hi indica.
Antoni Llardén Joan Vallvé
Degà del Col·legi President de l’Associació

8
Introducció al llibre 5 cèntims d’enginy 9
Quan vaig rebre la proposta de la Comissió de Publicacions de l’Associació / Col·legi
d’Enginyers Industrials de Catalunya d’escriure aquest llibre que ara teniu a les mans,
em va semblar un projecte molt interessant i vaig pensar: endavant!, però el camp de
curiositats i entreteniments matemàtics i científics és tan ampli que s’havia d’organitzar
d’alguna manera.
Vam acordar preparar tres capítols: matemàtiques, física i enginyeria, cadascun dels
quals comença amb una referència històrica a un personatge destacat en cada un
dels àmbits. Vam triar Karl Friedrich Gauss per a les matemàtiques, Isaac Newton per
a la física i Leonardo da Vinci per a l’enginyeria.
A cada un dels tres capítols hi trobareu, darrere d’aquest personatge destacat, curiositats
matemàtiques, físiques o bé d’enginyeria, directa o indirectament relacionades
amb el personatge corresponent.
Per acabar el capítol hem pensat que us podeu distreure una estona amb uns entreteniments,
també matemàtics, físics i d’enginyeria. Les solucions a aquests entreteniments
les trobareu a la pàgina web
http://www.eic.cat/comissions/solucions.htm
No voldria acabar aquestes línies sense agrair la col·laboració de totes i cadascuna
de les persones que pertanyen a la Comissió de Publicacions de l’Associació / Col·legi
d’Enginyers Industrials de Catalunya per les seves idees i comentaris, sempre encertats,
i també a tot el personal del Col·legi amb qui he col·laborat, de manera especial
al Departament d’Imatge i Comunicació.
Hem d’agrair de manera especial la col·laboració de l’estudiant Joel Saà Seoane. Ell
ha fet possible aquesta edició maquetant el text i aportant moltes idees interessants
a l’elaboració del text. Moltes gràcies Joel.
Bé doncs, ara esperem que gaudiu amb el llibre gairebé tant com nosaltres escrivint-lo.
Endavant!
M. Rosa Estela Carbonell
Doctora en Matemàtiques

10
Capítol 1
Matemàtiques

12 1.- Matemàtiques
1.- Matemàtiques 13
1.- Matemàtiques
Karl Friedrich Gauss
“Sabeu que escric lentament. Això és així perquè
no estic satisfet fins que no he dit el màxim amb
les mínimes paraules i escriure amb concisió pren
molt més temps que fer-ho de manera prolixa.”
Fig. 1.1. Retrat de K. F. Gauss
El matemàtic més important de la primera
meitat del s. XIX i segurament el millor matemàtic
de tots els temps fou Karl Friedrich
Gauss. Els interessos científics de Gauss
van ser molt amplis i en totes les branques
que va treballar, la seva influència fou
extraordinària. Va realitzar investigacions en
diferents branques de les matemàtiques, la
mecànica, l’òptica, la geodèsia, la mecànica
celeste, l’astronomia teòrica, la teoria de
l’electricitat i el magnetisme, i, fins i tot, en la
matemàtica de les finances.
Va néixer el 30 d’abril de 1777 a la ciutat alemanya
de Braunschweig, i el seu talent es
va donar a conèixer ja de ben petit. Gauss
va anar a una escola local. Un dia, per tal de
tenir la classe en silenci, el professor J.G.
Büttner va ordenar als seus alumnes sumar
els nombres enters entre l’1 i el 100. Als 7
anys, i mentre el seus companys escrivien

14 1.- Matemàtiques
nombres i més nombres, Gauss va escriure ràpidament
la seva resposta: 5050.
S’escriu la suma dues vegades, una en ordre
ascendent i una altra en ordre descendent, de la
manera següent:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
Ara sumem les dues sumes, columna per columna
i obtenim
101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101
on hi ha exactament 100 vegades la suma del
nombre 101; per tant, el valor és
100 · 101 = 10100
Com que el que ens demanaven és la meitat
d’aquesta suma, i és que hem sumat de 1 a 100
dues vegades, dividim per 2 i obtenim el resultat
que volia el professor de Gauss, és a dir, 5050.
1.- Matemàtiques 15
Aquest mètode que va idear Gauss, de fet funciona
per a qualsevol nombre n i no només per
a n = 100, és a dir,
El professor Büttner va demanar als pares de
Gauss que li deixessin rebre classes especials
de matemàtiques. Al principi, varen ser una
mica escèptics tot i conèixer les qualitats del
seu fill, perquè als 3 anys ja havia corregit una
errada que el seu pare havia comès en pagar un
salari a un dels seus treballadors.
Entre 1795 i 1798 Gauss va estudiar matemàtiques
i filologia a la Universitat de Göttingen, però
es va dedicar definitivament a les matemàtiques
després de trobar una construcció de l’heptadecàgon.
El 1796, és a dir, als 19 anys, va resoldre
el problema clàssic de quins polígons regulars es
podien construir amb regla i compàs. Feia més
de dos mil anys que es coneixia com construir
amb regla i compàs el triangle equilàter, el quadrat
i el pentàgon regular (així com d’altres polígons
regulars amb costats de nombre múltiple
de dos, tres, cinc o quinze), però cap polígon regular
amb un nombre primer de costats. Fig. 1.2. Construcció de l’heptadecàgon

16 1.- Matemàtiques
Fig. 1.3. Pedestal
Gauss va voler que es gravés un polígon regular
de disset costats a la seva tomba, però aquest
desig no es va complir. El paleta a qui es va encarregar
el treball va pensar que els visitants
confondrien el polígon regular de disset costats
amb una circumferència i hi va gravar una estrella
de disset punxes. Però, a canvi, a la Universitat
de Göttingen hi ha un monument en
homenatge a Gauss que està sobre un pedestal
de secció, justament un polígon regular de
disset costats.
El 1799 es doctorà a la Universitat de Helmstedt,
amb una tesi en què donava la primera demostració
correcta del “teorema fonamental de
l’àlgebra”, i tancava així una qüestió que restava
oberta des de feia més de cent anys.
1.- Matemàtiques 17
El 1801, als 24 anys, va publicar Disquisitiones
Arithmeticae, fonament de la teoria de nombres
moderna (llibre escrit entre els 19 i 21 anys, i,
per a molts, l’obra matemàtica més important
de Gauss).
A les Disquisitiones Arithmeticae va introduir la
noció de congruència. Donat un nombre enter z,
direm que els dos nombres enters x i y són congruents
mòdul z, si i només si, (x-y) és divisible
per z i s’escriu
El mateix any, calculà correctament l’òrbita de
l’asteroide Ceres a partir d’unes poques observacions.
Així va començar el seu interès per
l’astronomia que cultivà tota la vida.
El 1807 va obtenir la càtedra d’astronomia a la Universitat
de Göttingen i la direcció del seu observatori
astronòmic, càrrecs que ocupà fins a finals de
la seva vida. Una mostra evident del caràcter emprenedor
que mostrava Gauss envers les matemàtiques
són palpables a la cita següent que va
escriure Karl en una carta a Bolyai (al marge):
“No és el coneixement,
sinó el fet d’aprendre, no
és el tenir, sinó l’aconseguir,
allò que t’atorga el millor
plaer. Un cop he aclarit
i esgotat un tema, me
n’oblido, per tal de tornar a
la foscor; aquell qui mai
està satisfet, és tan estrany
que si ha acabat amb quelcom
no és per viure en pau
sinó per encetar una de
nova.”

18 1.- Matemàtiques
Fig. 1.4. Distribució normal
L’any 1818, Gauss va començar un estudi geodèsic
de l’Estat de Hannover, treball que posteriorment
el duria al desenvolupament de la
distribució normal, encara que no va ser Gauss
el primer a desenvolupar-la.
Els treballs pràctics de geodèsia el portaren a
voler determinar la forma de la terra i, més tard,
a l’estudi teòric de superfícies, cosa que el conduí
cap al genial descobriment que deia que les
propietats de les superfícies quedaven determinades
a partir de mesures efectuades sobre
corbes de les mateixes superfícies. El 1827 publicà
Disquisitiones generales circa superficies
curva, que es pot considerar com el primer text
de geometria diferencial modern. Aquests treballs
de Gauss van inspirar el seu deixeble Riemann
a crear una teoria geomètrica intrínseca
1.- Matemàtiques 19
per espais de qualsevol dimensió, i és sobre
aquestes idees de Riemann que es constitueix
la base matemàtica de la teoria general de la
Relativitat d’Albert Einstein.
Coincidint amb l’arribada el 1831 del físic Wilhelm
Weber a Göttingen, Gauss s’interessà per
qüestions relacionades amb el magnetisme.
Ambdós treballaren conjuntament, construïren
el magnetòmetre, realitzaren multitud d’observacions
per tal de mesurar les variacions del
camp magnètic terrestre i inventaren el primer
telègraf elèctric.
Karl Friedrich Gauss va morir el 23 de febrer de
1855 a Göttingen. Després de la seva mort, el
rei de Hannover li dedicà unes monedes a on es
qualificava Gauss com a “Príncep mathematicorum”,
apel·latiu que fins als nostres dies
continua vinculat al seu nom.
Fig. 1.6. Bitllet de 10 marcs alemanys
Fig. 1.5. Gauss i Weber a la Universitat de
Göttingen

20 1.- Matemàtiques
Fig. 1.7. Cinta de Möbius
Curiositats matemàtiques
Hus ha semblat interessant la vida de Gauss?
Bé doncs, cal pensar que la majoria de matemàtics
van irrompre en les matemàtiques gràcies
a troballes científiques interessants.
Vegem-ne algunes!
La cinta de Möbius i l’ampolla de Klein
Un dels estudiants de Gauss, Johann
Listing, va escriure el llibre Vorstudien
zur Topologie (publicat l’any 1847) i
està considerat el primer llibre de topologia,
tot i que va ser Möbius, un altre
estudiant de Gauss, qui va impulsar la
branca de la matemàtica que avui s’anomena
topologia. La topologia és
l’estudi de les propietats de les figures
que es mantenen invariants mitjançant
transformacions topològiques.
Una transformació topològica és la que transforma
una figura en una altra, de forma que dos
punts qualsevol pròxims en la figura original
continuïn pròxims en la figura transformada.
1.- Matemàtiques 21
Möbius i Listing es divertien amb aquesta branca
tan visual i geomètrica de les matemàtiques i van
observar que era possible crear una superfície
de només un costat. Aquesta superfície és l’anomenada
cinta de Möbius, i es pot construir
agafant una cinta llarga de paper (dos centímetres
d’amplada per trenta de llargada, per exemple):
s’ha de girar mitja volta un dels costats i
després reenganxar els dos extrems lliures.
Si intentem pintar només un dels costats de la
banda de Möbius, veure’m que no acabarem
fins haver-ne pintat tota la figura. Dit d’una altra
manera, si una formiga comença a caminar per
la banda de Möbius, no tornarà a la posició inicial
fins haver fet dues voltes, una per l’exterior
i l’altra per l’interior.
Un altre aspecte ben curiós que podreu observar
a la cinta de Möbius –això sí, si l’heu construïda–
és el fet que si la retalleu amb unes tisores pel
centre, és a dir, si la cinta era 2 x 30 i agafeu la
seva amplada (2 cm) i la retalleu de tal forma que
resseguiu els 30 centímetres deixant-ne un d’amplada
a cada banda de les tisores, veureu que
obtindreu una nova figura. De quina es tracta?
Fig. 1.8. Construcció de la cinta de Möbius

22 1.- Matemàtiques
Fig. 1.9. Ampolla de Klein
La propietat topològica genuïna de la cinta de
Möbius és que no és una superfície orientable,
i això vol dir que és possible transformar una direcció
en el sentit de les agulles del rellotge en
la direcció contrària, sense fer més que un desplaçament
per sobre la cinta.
Si us heu parat a pensar en com heu hagut de
construir la cinta de Möbius haureu vist que tot
i partir d’una figura bidimensional, cal emprar la
tercera dimensió per construir-la, és a dir, aixecar
el paper de la taula (en el nostre cas, creuarlo)
i reenganxar. Podeu imaginar-vos un procés
similar partint d’un cilindre (volum a dimensió 3)
“aixecar-lo” fins a la quarta dimensió i reenganxar-lo
pels extrems? Ja veieu que el procediment
és totalment anàleg i simètric, però
augmentant a 1 la dimensió del nostre cos. Bé
doncs, el resultat de tot plegat és un cos anomenat
ampolla de Klein. En aquest cas, si
poseu una formiga caminant per l’exterior de
l’ampolla fixeu-vos que no tornarà a l’exterior
fins a haver donat dues voltes, una per fora i l’altra
per l’interior de l’ampolla; per tant, la figura
tampoc és orientable. Ja sabeu, doncs, una
forma per posar figures enormes dins ampolles
amb entrades ben estretes!
1.- Matemàtiques 23
Els set ponts de Königsberg
El problema dels set ponts de Königsberg és un
famós enigma matemàtic ja solucionat. Va ser
inspirat per una situació i lloc reals. Per la ciutat
de Königsberg, a Prússia (actualment Kaliningrad,
a Rússia), hi passa el riu Pregel, que deixa
dues illes encerclades a més de la part central
de la ciutat. Ambdues illes i la resta de la ciutat
estan connectades mitjançant set ponts distribuïts
com podeu veure a la figura adjunta. La
pregunta és si és possible traçar una ruta que
creui tots els ponts, i exactament un cop cadascun,
tot retornant al punt inicial. El 1736, Leonard
Euler va demostrar que això resulta
impossible.
En la prova del resultat que Euler va enunciar, va
formular el problema en termes de la teoria de
grafs tot generalitzant el cas dels ponts de Königsberg.
Va substituir cada part de ciutat per un
punt, i va obtenint així –en el cas del nostre problema–
4 punts: les dues illes i les dues meitats
de ciutat exteriors al riu, i ara el problema es basava
fonamentalment a cercar un graf dirigit que
dibuixés el traçat que seguiríem a Kaliningrad.
Fig. 1.10. Situació de Königsberg
Fig. 1.11. Els set ponts de Königsberg

24 1.- Matemàtiques
Podem observar aquest procediment mitjançant
les imatges de la figura 1.12.
La forma del graf pot, òbviament, ser modificada
sempre i que els vincles entre els nodes
restin iguals. No importa si els vincles són rectes
o amb corbes. Euler es va adonar que el
problema podia ser solucionat en termes dels
graus dels nodes. El grau d’un node és el nombre
de branques que el toquen, sigui d’entrada
o sortida. En el graf del nostre problema, tres
nodes tenen grau 3 (l’illa de la dreta i les parts
exteriors) i un node té grau 5 (l’illa esquerra).
Euler va provar que el problema té solució si i
només si cap node té grau senar, i és per això
que un circuit que tingui tots els nodes amb
grau parell s’anomena graf eulerià. Com que en
el nostre problema tenim quatre nodes i tots ells
amb grau senar, no podem tenim un graf eulerià
i no podem, doncs, trobar solució al nostre cas.
Tot i així, Euler, que era optimista de mena
–fixeu-vos que va dir en perdre la visió de l’ull
dret:
“Ara tindré menys
possibilitats de distreure’m.”
Fig. 1.12. Els set ponts de Königsberg.
Representació per grafs
1.- Matemàtiques 25
Fig. 1.13. Figures a fer d’un sol traç
va proposar variacions al problema de Königsberg
per tal de trencar-se una mica més el cap
amb aquesta mena de problemes i la seva particular
teoria de grafs, fins al punt que va resoldre
la qüestió de si una figura lineal
qualsevol pot dibuixar-se d’un sol traç, és a dir,
sense aixecar el llapis del paper, o si, pel contrari,
això era impossible de fer.
La solució que va proposar parteix de la mateixa
idea que el problema dels set ponts i ho
podeu comprovar a les figures del costat o a
qualsevol de les altres que se us puguin acudir.
Segons Euler el problema és impossible si en
el dibuix hi ha més de dos vèrtexs senars
(direm que un vèrtex és senar si d’ell en surten
i entren un nombre senar de camins; altrament
direm que és un vèrtex parell). Així doncs, el
traç sense aixecar la mà del paper es pot fer si:
• tots els vèrtexs són parells i aleshores el
punt de partida és qualsevol.
• no hi ha més de dos vèrtexs senars. Però
aleshores cal començar pel vèrtex que
sigui senar i, si n’hi ha dos, arribarem a l’altre
senar.
Quines de les figures anteriors poden traçarse
sense aixecar el llapis del paper?

26 1.- Matemàtiques
El metro de Londres: una estructura topològica
El 1931, Henry C. Beck, delineant de 29 anys
que treballava al London Underground Group,
va dibuixar per primera vegada el plànol del
metro de Londres guiant-se per diagrames de
circuits elèctrics. A Beck li va costar dos
anys convèncer els seus superiors a publicar el
mapa que ara tots coneixem. Tenien por que la
gent no entengués el mapa degut a les imprecisions
geogràfiques, però no va ser així i el
plànol va tenir una total acceptació seguida
d’un gran èxit.
S’han anat ampliant les línies de metro però el
plànol actual del metro de Londres continua
mantenint el seu format original, tot i que no
està fet a escala i les posicions de les estacions
del plànol no són correctes. El que sí és correcte
és la representació de la xarxa, és a dir, el
mapa indica la línia de metro que s’ha d’agafar
per anar d’un punt P a un altre Q, i a on s’ha de
canviar de línia si fa falta. En aquest sentit el
mapa és totalment fiable i aquí està la clau del
seu èxit. Alhora és un mapa molt bo d’entendre,
ja que a on hi ha una acumulació d’estacions
més gran les situa més separades de forma que
no presenta un aspecte atapeït i antiestètic per
al lector. Aconsegueix el seu objectiu: representar
la important estructura de la xarxa i del sis-
Fig. 1.14. Metro de Londres
1.- Matemàtiques 27
Fig. 1.15. Plànol del metro de Londres
tema de metro de Londres; en matemàtiques
s’anomena estructura topològica.
La mosca, o Descartes?
Segurament, una de les principals aportacions
de la cultura grega va ser el reconeixement dels
“principis plurals” de les matemàtiques i el fet
que la matemàtica és una ciència en què es
plantegen conceptes i lleis que més tard s’han
de precisar.
Euclides (300 aC, Alexandria) va fixar la geometria.
Arquímedes va estudiar, entre altres coses,

28 1.- Matemàtiques
Fig. 1.16. Coordenades cartesianes al pla
les propietats de les formes geomètriques, i un
altre alexandrí, Diofant, va introduir per primera
vegada el simbolisme a l’àlgebra. Un miler
d’anys més tard, René Descartes va unificar la
geometria i l’àlgebra amb la creació de la geometria
analítica.
La idea clau de Descartes (el 1637 va publicar el
llibre Discours de le Méthode) va ser introduir,
en el cas de dimensió 2, un parell d’eixos coordenats:
dues línies de nombres reals que es
creuen en angle recte.
Cada punt del pla queda identificat amb un parell
de nombres reals: les seves coordenades x
i y. La idea és representar figures geomètriques
mitjançant expressions algebraiques amb les
coordenades x i y.
Diu la història, i pot ser cert o no ser-ho, que
aquesta idea de Descartes va estar inspirada
per una mosca. Descartes era una persona delicada
i un dia, descansant al llit, li va cridar l’atenció
una mosca que es passejava pel sostre.
Es va adonar que podia representar la posició
1.- Matemàtiques 29
de la mosca a cada instant mitjançant la distància
a dues parets perpendiculars. Cal ser Descartes
per adonar-se d’això? Potser haguéssim
hagut de néixer uns quants anys abans i ara es
parlaria de nosaltres; o potser sí que sovint allò
més obvi resulta allò més complicat…
Les coordenades cartesianes, doncs, permeten
representar i estudiar les figures, ja introduïdes
pels grecs, tot unificant l’àlgebra i la geometria.
Així doncs, les seccions còniques que van estudiar
ja els grecs, es poden escriure mitjançant
equacions algebraiques amb la idea de geometria
de coordenades de Descartes.
Pot resultar curiós analitzar l’excentricitat de
cossos el·líptics. Es defineix l’excentricitat e
d’una el·lipse com el quocient
i en qualsevol el·lipse, l’excentricitat pren un
valor positiu però menor que la unitat. Com més
propera és una el·lipse a la circumferència, més
proper és a zero el valor de l’excentricitat; per
Fig. 1.17. Seccions còniques

30 1.- Matemàtiques
Fig. 1.18. Còniques i equacions cartesianes
contra, com més ovalada és, més proper és a la
unitat el valor de e.
A la seva obra Sobre les revolucions de les esferes
celestes, l’astrònom polac Nicholas Copèrnic
(1473-1543) afirmava que tots els planetes, inclosa
la Terra, giraven en òrbites circulars al voltant
del Sol. Encara que moltes afirmacions no
eren certes, ell va promoure que molts astrònoms
busquessin un model matemàtic que expliqués
els moviments dels planetes i del Sol. El
primer que va trobar-ne un va ser l’astrònom
alemany Johannes Kepler (1571-1630), que va
descobrir que els planetes giren al voltant del
Sol en òrbites el·líptiques, amb el Sol col·locat
en un dels seus focus.
La dificultat dels astrònoms per detectar les òrbites
el·líptiques rau en què aquestes el·lipses
tenen els focus molt a prop del centre; són gairebé
circulars, per tant, tenen una excentricitat
molt propera a zero.
Com a curiositat direm que l’òrbita de la Lluna
té excentricitat e = 0,0549 i les òrbites dels nou
1.- Matemàtiques 31
planetes del Sistema Solar (bé, ara s’afirma que
en són vuit però en qualsevol cas, donarem
també l’excentricitat de Plutó, un astre indefinit)
tenen excentricitats:
Mercuri e = 0,2056
Venus e = 0,0068
Terra e = 0,0167
Mart e = 0,0943
Júpiter e = 0,0484
Conjectura de Goldbach
Saturn e = 0,0543
Urà e = 0,0460
Neptú e = 0,0082
Plutó e = 0,2481
En matemàtiques s’anomena conjectura a un
enunciat que es creu cert però no ha estat, fins
al moment, demostrat. Tots sabem del purisme
dels matemàtics i és que, per evident que pugui
semblar quelcom, fins que no està totalment i
vàlidament demostrat, no rebrà la categoria de
teorema o proposició sinó que serà tan sols una
conjectura. Probablement tots hagueu sentit a
parlar de la conjectura de Poincaré, ja que la
seva demostració estava remunerada amb un
milió de dòlars, premi rebutjat pel rus Grigori

32 1.- Matemàtiques
Fig. 1.19. Nombre de combinacions (eix y) possibles
per sumar un cert nombre (eix x) a partir
de dos nombres primers
“Tot nombre parell més
gran que dos es pot
escriure com a suma de
dos nombres primers.”
Perelman, que va fer-ne la prova fa ben poc.
Ara, doncs, ja no parlem de la conjectura de
Poincaré sinó del teorema de Poincaré. Tot i
així, no hi ha motiu per amoïnar-se, i és que encara
queden conjectures amb premis prou sucosos
en cas que es demostrin. Una de senzilla
d’entendre és l’anomenada conjectura de Goldbach.
El 7 de juny de 1742, el professor de matemàtiques
de Sant Petersburg, Christian Goldbach,
va escriure al seu amic Leonhard Euler una
carta on deia que “tot nombre parell més gran
que dos es pot escriure com a suma de dos
nombres primers”.
1.- Matemàtiques 33
“Tot nombre enter superior
a 5 es pot escriure com a
suma de tres nombres
primers.”
Resulta molt senzill comprovar-ne la veracitat
per als primers nombres enters:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
...
però malgrat la seva senzillesa, aquest és un dels
problemes matemàtics més antics, sense demostració,
tot i haver-se comprovat, i amb èxit,
fins a nombres parells desmesuradament grans.
Euler aconseguí reexpressar la versió original de
Goldbach, “tot nombre enter superior a 5 es pot
escriure com a suma de tres nombres primers”,
en la versió més famosa coneguda actualment,
però no ho va poder demostrar.
Actualment, aquesta conjectura encara no s’ha
demostrat. Ja teniu, doncs, feina!
Per cert, Christian Goldbach va néixer a Königsberg!
Recordeu el problema dels set ponts
d’Euler? Si en voleu saber més, en qualsevol
cas, us recomanem la lectura del llibre d’Apostolos
Doxiadis, L’oncle Petros i la conjectura de
Goldbach.

34 1.- Matemàtiques
Fig. 1.20. Conjunt de Mandelbrot
Geometria fractal: matemàtiques?
Una de les branques més noves de la matemàtica
es tracta de la geometria fractal, fonamentalment
coneguda per ser, alhora, un moviment
artístic molt atractiu. L’origen d’aquest nou punt
de vista de les matemàtiques va aparèixer fa escassament
una cinquantena d’anys de mans de
Benoît Mandelbrot (Varsòvia, 1924), probablement
el matemàtic més important de l’actualitat
(juntament amb Richard Hamilton –encarregat
de verificar la validesa de la demostració de la
conjectura de Poincaré feta per Grigori Perelman
com hem dit anteriorment–) i que avui en
dia encara imparteix classes a les universitats
de Harvard, Yale, Massachusetts i París.
1.- Matemàtiques 35
Aquesta innovadora part de la geometria anomenada
geometria fractal pot resultar difícil de
lligar a les matemàtiques, i entendre’n la definició
rigorosa des del punt de vista científic com
ho va fer Mandelbrot pot resultar altament complicat.
La familiaritat, però, d’aquesta geometria
amb la realitat fa que, avui en dia, per exemple,
l’art fractal sigui un dels moviments artístics
més vius del moment.
Però què tenen a veure les matemàtiques amb
l’art? Bé doncs, resulta que la geometria fractal
estudia les figures de dimensió superior a la corresponent
a on estan representades, és a dir, si
tenim una figura sobre un paper (dimensió 2),
serà fractal si té una dimensió superior a 2.
Aquesta és una definició gens rigorosa i a grans
trets per tal d’entendre’n la idea general. Si mai
Mandelbrot llegeix aquesta definició de geometria
fractal potser es posaria dels nervis, i és per
això que n’escrivim la versió literal –al marge
d’aquesta pàgina–, que podreu trobar al llibre
La geometria fractal de la natura –lectura
que recomanem si algú està interessat a veure
aquest tema des d’un punt de vista més matemàtic.
“Un fractal és, per definició,
un conjunt, la dimensió
de Hausdorff del qual
és estrictament superior
a la seva dimensió
topològica.”
Fig. 1.21. Construcció d’un fractal: el
floquet de neu de Koch

36 1.- Matemàtiques
I ara us preguntareu, i quina mena de figures
tenen una dimensió superior a la del món on
viuen? Bé doncs, la resposta és ben previsible, i
és que tots coneixem figures dibuixades en un
paper que sembla que surtin del full i entrin a l’espai
(pujant així de dimensió 2 fins a dimensió 3).
La gràcia que s’ha trobat d’aquestes figures és
que mantenen una relació molt tancada amb les
figures que presenten repeticions infinites, és a
dir, les figures que tenen dimensió de Hausdorff
superior a la topològica (dimensió aparent superior
a la del món on viuen) són figures amb repeticions
indefinides. D’aquesta forma, doncs,
sorgeix l’esmentat art fractal: figures que presenten
repeticions infinites. Pot semblar una ben
bona tonteria però observeu quina mena de figures
poden arribar a sorgir, totes elles fractals!
Val la pena destacar que avui en dia la geometria
fractal ha estat aplicada a molts aspectes de la
ciència ja que s’ha trobat que aquest concepte
de repeticions infinites es troben a la natura i a la
vida quotidiana molt més del previst: ciències de
la naturalesa, economia, física... Només cal observar
alguna de les imatges següents.
Fig. 1.22. Fractals a la naturalesa
Fig. 1.23. Art fractal
1.- Matemàtiques 37
Fig. 1.24. Conjunt de Mandelbrot a diferents
escales: repeticions infinites
I és que la geometria fractal està a tot
arreu! No us recorda la seqüència d’imatges
del conjunt de Mandelbrot a la mateixa
geografia de qualsevol punt de la
terra? Penseu en l’aspecte visual d’un
tram de costa catalana, del cap de Creus
fins al delta de l’Ebre... Penseu ara en ferne
una ampliació d’escala, i tot seguit una
nova ampliació d’escala, i acte seguit una
altra i així successivament; no trobeu que
l’aspecte aparent és sempre el mateix? I,
de fet, si poguéssim fer fotografies a escala
immensament petita veuríem que
l’aspecte del tram de costa és aparentment
idèntic. És a dir, la costa catalana
tota ella presenta una forma idèntica a una
part d’ella mateixa d’uns pocs quilòmetres,
i també d’uns pocs metres, i centímetres,
i fins i tot a un tram d’ella de pocs
micròmetres.

38 1.- Matemàtiques
Fig. 1.25a. Catalunya a diverses escales
Fixeu-vos en les captures següents preses pel
programa GoogleMaps®. Si no veiéssim un
objecte quotidià en el mapa, difícilment podríem
deduir-ne l’escala a simple vista; el cas és que
ens podríem estar equivocant en un factor espectacularment
gran (és una pena que no tinguem
resolució prou bona com per veure
captures de tipus microscòpic).
I això vol dir que la línia de costa catalana té dimensió
superior a 1? Doncs sí! I si no poseuvos
a mesurar, per exemple, la distància entre
els ports de Castelldefels i Sitges. Aparentment
(en línia recta) serien uns 10 km. Si resseguim
totes les costes del Garraf, aquesta xifra s’alçaria
fins als 15 km, però si resseguíssim la línia
1.- Matemàtiques 39
Fig. 1.25b. Catalunya a diverses escales
de costa real amb un llapis, deixaríem pintada
una línia de molta més llargada, i si ho féssim
amb un punta fina, deixaríem encara una distància
major, i així indefinidament i de forma divergent.
La distància de Sitges a Castelldefels
és, doncs, infinita? Vist així, sí. Per tant, entre
Sitges i Castelldefels no hi ha una distància (dimensió
1, en què viu la línia de costa), sinó
quelcom de dimensió superior (sense arribar a
ser una àrea, dimensió 2).

40 1.- Matemàtiques
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
* 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Fig. 1.26.
Entreteniments matemàtics
Ara és el vostre moment: baralleu-vos i divertiuvos
amb els entreteniments matemàtics que us
proposem tot seguit!
Congruències...
Tal com ja hem comentat abans, Gauss va introduir
la noció de congruència. Amb la teoria sistematitzada
de les congruències es van
desenvolupar més endavant els conceptes de
classes equivalents, conjunt quocient i les estructures
d’anell i cos finit.
Observeu a l’esquerra les taules de sumar i multiplicar
a Z / (5) .
Us proposem que penseu la taula del producte
a Z / (8) i us fixeu amb l’existència de “divisors
de zero”; com per exemple 2 · 4 = 0.
1.- Matemàtiques 41
Endevinant sumes...
Si realitzeu aquest “truc” amb certa astúcia de
ben segur que pensaran que sou tots uns mestres!
Cal que demaneu a la vostra víctima que
us escrigui un nombre de quatre xifres. En un
paper a part, que serà el que retornareu tot quedant
com bons mags matemàtics, cal que escrigueu
el mateix número restant dos i afegint un
dos al davant. Veiem-ne un exemple: si us escriuen
2435, vosaltres escriureu 22433. Millor si
ningú us veu com apunteu aquest número, com
si ja estigués escrit a priori.
A continuació cal que els demaneu que n’escriguin
un altre a sota del nombre que ja havien escrit,
també de quatre xifres. Tot seguit escriviu-ne
vosaltres un altre a sota aparentment de forma
aleatòria, però cal que completeu el nombre anterior
fins a tenir tot nous. Observeu l’exemple:
2435
7227
2772

42 1.- Matemàtiques
Fig. 1.27. Peces de dòmino
Repetiu el procés un cop més: ell escriu un nombre
de quatre xifres a sota i vosaltres el darrer
fins a completar-lo a 9999. En acabar, li demaneu
que sumi els cinc nombres i li feu comprovar
que coincideix amb allò que havíeu apuntat en
un paper a part en començar. Comproveu que
és cert, per exemple, en el cas següent:
2435
7227
2772
1234
8765
22433
Com explicaríeu aquest fet? Trobareu la solució
a la web!
Una de dòmino
A continuació se us donen 18 peces de dòmino.
L’exercici es basa en haver-les de situar en
forma de quadrat de 6x3 peces col·locades de
forma vertical i de manera que qualsevol fila i
qualsevol columna sumi sempre 13.
1.- Matemàtiques 43
El quadrat màgic d’Euler
Us proposem l’exercici següent: cal que completeu
el quadrat màgic que trobeu a continuació.
Quines ordres heu de seguir? Bé doncs, cal que
els nombres de les caselles de cadascuna de
les línies horitzontals i verticals sumin igual: 260.
També que, dividint el quadrat en quatre quadrats
de 4x4, cadascun dels vèrtexs, i amb les
mateixes característiques que el gran, sumi la
meitat: 130. A més a més, cal que els nombres
de les caselles de les línies hortizontals del quadrat
4x4 central també sumin 130. Ànims! Ja ho
sabeu, trobareu la solució a la web. Els nombres
van de l’1 al 64 i no es poden repetir. (Font original
del problema: Andrée Jouette: El secret
dels nombres).
Parlant d’Euler... problema d’Euler
Un pare deixa una herència de 8.600 lliures segons
el seu testament. La part del fill gran dels
quatre que té ha de ser inferior en 100 lliures al
Fig. 1.28.

44 1.- Matemàtiques
Fig. 1.29.
doble de la part del segon fill. La part del segon,
inferior en 200 lliures al triple de la del tercer, i
aquesta, inferior en 300 lliures al quàdruple de la
part del fill més jove. Quina és la part de l’herència
que li correspon a cada fill? Us sembla
una herència justa? Bé, si sou el fill gran probablement
sí!
Sumant complexos
A principis del segle XIX, Karl Friedrich Gauss i
William Rowan Hamilton (1805-1865), independentment
i gairebé al mateix temps, van proposar
la idea de definir els nombres complexos
com a parells ordenats de nombres reals. Amb
aquesta idea, es definiex la unitat imaginària i
com el parell (0,1), i tenint en compte l’operació
producte, i2 = (-1,0) que escriurem simplement
i2 = -1.
Us proposem que calculeu la suma que apareix
a la figura 1.29. Probablement sigui molt més
fàcil del que pot semblar aparentment... Som-hi!
1.- Matemàtiques 45
Jugant a pilota
Es deixa caure una pilota des d’una altura de 10
metres. Suposem que després de cada caiguda
la pilota rebota fins a la meitat de la seva altura
anterior. Calculeu la distància total que recorre
la pilota fins a quedar totalment en repòs.
El repartiment de l’Alcoi de York
En un poble de cent habitants es reparteixen
cent unitats de blat; a cada
home se li donen tres unitats, dues a
cada dona i mitja a cada nen. Quants
homes, dones i nens hi ha al poble?
Podeu barallar-vos una estona i intentar
treure l’entrellat del problema del repartiment
que va proposar el gran savi
de Carlemagne, l’Alcoi de York, però tal
com l’hem plantejat no té solució.
Fig. 1.30. L’Alcoi de York

46 1.- Matemàtiques
La història va seguir així:
L’Alcoi i Carlemagne passejaven pel bosc quan
de sobte, es van trobar un camperol i el seu fill:
- És seu aquest nen? –Va preguntar el rei.
- Sí, és el meu nano.
- Quants anys tens, petit?
- Tants com germans. –Respongué el noi.
- I quants germans tens? –Va preguntar-li
Carlemagne.
- Els mateixos que la resta de nens del poble.
Tot desconcertat, el rei Carlemagne li va preguntar
al camperol pel nombre de nens que hi
havia al poble, però no li va saber respondre
amb exactitud, només va ser capaç de dir-li:
- Us ben asseguro que entre els nens que hi
hagi al poble, no n’hi ha de bastards, ni
orfes ni tampoc d’abandonats.
Ara sí, quants homes, dones i nens hi ha al poble?
1.- Matemàtiques 47
Altres problemes interessants...
1.- Donats els nou punts que teniu a la figura
1.31, cal que els uniu amb quatre línies rectes.
Si us sembla fàcil, feu-ho ara amb només tres línies
rectes.
2.- Si es té una balança de peses, quina és la
quantitat de peses diferents que cal tenir com a
mínim per poder determinar els quilograms que
pesa quelcom que sabem que té una massa
d’entre 0 i 40 kg?
3.- Si a un número qualsevol li sumem el triple del
seu quadrat i a més també li sumem el doble del
seu cub, el resultat és divisible per 6. Per què?
4.- Creieu que pot acabar el quadrat d’un nombre
enter amb dues xifres senars iguals?
Fig. 1.31.

48 1.- Matemàtiques
5.- Quinze persones parlen sobre un número, dues
d’elles menteixen però la resta diuen la veritat.
múltiple de 9 múltiple de 6
múltiple de 7 múltiple de 5
múltiple de 4 múltiple de 2
múltiple de 8 múltiple de 3
múltiple de 10 inferior a 1.000
inferior a 750 inferior a 550
inferior a 500
Quin número és?
superior a 400
superior a 450
6.- Hem de retallar un terreny rectangular de
80x90 m2 per una cantonada seguint les instruccions
d’un projecte urbanístic. Amb aquesta
modificació es perd un triangle de catets 10 i 12
metres que corresponen a les dimensions més
petita i més gran del terreny. Calculeu quina
serà ara la màxima superfície rectangular disponible
per a la construcció d’un edifici.
1.- Matemàtiques 49
Raonaments erronis
A continuació us presentem una sèrie de raonaments
matemàtics erronis. Seríeu capaços
de trobar els errors de raonament que fan que
arribem a resultats tan curiosos?
1.- Suposem a > b. Anomenem c a la seva diferència.
D’aquesta forma, a = b + c. Si multipliquem
els dos membres de la igualtat per (a - b)
obtenim:
a(a - b) = (b + c) · (a - b)
a² - ab – ac = ab – b² - bc
a(a - b - c) = b(a - b - c)
i si ara dividim ambdós membres per (a - b - c)
obtenim a = b!
2.- Suposem de bon principi que x = y. Aleshores
observeu el raonament següent:
x² = xy
x² - y² = xy - y²
(x + y) (x - y) = y (x - y)
x + y = y
2y = y
2 = 1
Per tant queda clar que 2 = 1!

50 1.- Matemàtiques
3.- Una de senzilla… Primerament x < 1 i prendrem
logaritmes de l’expressió,
log x < log1 log x < 0
i si ara dividim per log x tindrem 1 < 0!
4.- Ara toca començar per l’evident igualtat 4 = 4:
4 = 4
4 - 4 = 4 - 4
Ara apliquem les propietats
(a² - b²) = (a - b) · (a + b) i a(b - c) = ab - ac
(2 - 2) · (2 + 2) = 2(2 – 2)
Ara toca dividir pel factor comú que apareix a
ambdós costats i,
(2 + 2) = 2
D’on resulta ben obvi que 4 = 2!
5.- Ara demostrarem que 0 = 1 d’una forma ben
senzilla.
0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ...
0 = (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1- ...
i com que la suma i la resta són associatives
podem escriure,
0 = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + ...
0 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ...
0 = 1!
Definitivament, en matemàtiques, qui s’ho proposa
és capaç de demostrar qualsevol cosa! No
teniu cap proposta?
1.- Matemàtiques 51
Les solucions als entreteniments les trobareu a la pàgina web: http://www.eic.cat/comissions/solucions.htm Les solucions als entreteniments les trobareu a la pàgina web: http://www.eic.cat/comissions/solucions.htm

52 1.- Matemàtiques
Les solucions als entreteniments les trobareu a la pàgina web: http://www.eic.cat/comissions/solucions.htm
Capítol 2
Física

54 2.- Física
2.- Física 55
2.- Física
Isaac Newton
A l’època de Newton hi havia tres problemes
que intrigaven als científics: les lleis del moviment,
les lleis de les òrbites planetàries i la matemàtica
de la variació contínua de quantitats,
camp que es coneix actualment com a càlcul
diferencial i integral. Es pot afirmar amb justícia
que Newton va ser el primer a resoldre els tres
problemes tot i que, per la seva personalitat, no
només va centrar la seva atenció a la física i a
les matemàtiques, sinó també a d’altres camps,
com ara la religió i l’alquímia.
Isaac Newton va néixer el dia de Nadal de 1642
(el mateix any que va morir Galileu), a la ciutat
industrial de Woolsthorpe, Anglaterra. El fet que
mai va conèixer el seu pare, un petit terratinent
que va morir abans del naixement d’Isaac, i la
mala relació que va mantenir amb el seu padrastre
van marcar el seu caràcter per tota la
vida. De ben petit Newton ja tenia curiositat per
“El que coneixem és tot
just una gota d’aigua; en
canvi, allò que ignorem és
tot l’oceà.”
Fig. 2.1. Isaac Newton

56 2.- Física
Fig. 2.2. Descendent de l’arbre de la famosa
poma de Newton, a Cambridge
models mecànics i arquitectònics, però no va
ser un estudiant gaire destacat fins que un dia,
diu la història, es va cansar que sempre el guanyés
el primer de la classe, es va aplicar i el va
desbancar.
Als 18 anys va començar a interessar-se per les
matemàtiques. Va estudiar al Trinity College de
Cambridge, d’on l’apartà l’epidèmia de pesta
que envaí Anglaterra els anys 1665 i 1666. Els
divuit mesos que va durar la pesta, Newton es
va retirar a Lincolnshire i es va dedicar a llegir
els grans autors científics clàssics i moderns i
començà a reflexionar sobre el que més endavant
seria la seva obra: el mètode matemàtic de
les fluxions (anomenat actualment, càlcul infinitesimal),
teories sobre la natura de la llum i dels
colors, gravitació universal... Aquest annus mirabilis,
com Newton l’anomenava, va ser un dels
períodes més productius de la seva vida. És en
aquesta època quan, segons la llegenda, el
1666 va caure una poma sobre el seu cap mentre
dormia la migdiada sota un arbre, i aquest
fet el va motivar a escriure les lleis de la gravitació
universal.
2.- Física 57
Els divuit mesos a Lincolnshire amb les paraules
d’Isaac Newton:
“A principis de 1665 vaig trobar la ... regla per reduir
qualsevol dignitat dels binomis a sèries. L’1 de maig
del mateix any vaig descobrir el mètode de les tangents...
i al novembre el mètode directe de les fluxions,
i l’any següent, al gener, la teoria dels colors, i al següent
el mètode invers de les fluxions, i al mateix any
vaig començar a pensar en la gravetat ampliant-la a
l’òrbita de la Lluna ... i ... vaig comparar la força necessària
per mantenir la Lluna en la seva òrbita amb la
força de gravetat a la superfície de la Terra.”
Tot just divuit mesos i teories tan i tan revolucionàries
com ara l’esmentada gravitació universal,
el càlcul diferencial i integral... Vaja,
quelcom a l’abast de pràcticament tothom, oi?
De retorn a Cambridge, Newton va estudiar a
Aristòtil i a Descartes, així com el llegat científic
de Thomas Hobbes i Robert Boyle. Va quedar
fascinat per la mecànica de Copèrnic i l’astrono-

58 2.- Física
Fig. 2.3. Rèplica del telescopi que usava habitualment
Isaac Newton
mia de Galileu, a més a més de l’òptica de Kepler.
Newton va estar sota la tutela d’Isaac Barrow,
un matemàtic meravellós i un dels
fundadors de la Royal Society. Barrow va guiar a
Newton amb els “Elements” d’Euclides i va tenir
molta influència en el seu futur, recomenant-lo
com a substitut seu com a professor. Així doncs,
fou nomenat professor de matemàtiques, càrrec
que ocupà fins als 54 anys.
Els seus primers estudis com a professor es van
centrar en l’òptica. Newton va ser el primer a descobrir
que la llum blanca està composada per diferents
colors. El sentit comú dels intel-lectuals de
l’època ja donava a entendre que la llum blanca era
la forma més pura possible i que d’aquesta forma,
per aconseguir llum de qualsevol altre color calia
alterar-la. A fi de verificar aquesta hipòtesi, Isaac va
realitzar un experiment públic en què va deixar a
tothom bocabadat. Va fer incidir un feix de llum
blanca en un prisma cristal·lí que va descomposar
la llum en un conjunt de feixos de diversos colors;
de fet, els de l’arc de Sant Martí –fenomen ja conegut
a l’època però, alhora, vist tan sols com quelcom
estrany que es produïa a la natura.
2.- Física 59
Actualment, tots som conscients de la dificultat
que hi ha per conèixer a fons els fenòmens relacionats
amb la llum, fins i tot hem sentit a parlar
de la teoria de dualitat entre ona-partícula
que existeix per explicar què és la llum. I és que
segons com es miri, la llum s’adapta millor a les
teories que segueixen les partícules o bé pot
adaptar-se més a les teories desenvolupades
per a fenòmens ondulatoris. Newton defensava
que la llum estava composada de forma única
per partícules. Veiem doncs que, tothom, fins i
tot Newton, es pot equivocar. El 1803, Thomas
Young, metge i físic anglès va demostrar aquest
fet: Newton estava errat. I és que Young va
prendre un obturador i va fer-hi un forat, va cobrir-lo
amb una peça de paper puntejada amb
petits forats d’agulla i va fer servir un mirall per
fer passar un feix de llum prim a través d’ell.
Aleshores, va agafar un tros d’una carta, d’una
mica menys d’un mil·límetre de gruix, i el va
mantenir de costat en el camí del feix, dividintlo
així en dos. El resultat fou una ombra que alternava
dues bandes de claredat i foscor.
Aquest fenomen es dóna així només si parlem
d’una ona i mai pel cas de les partícules, i és
Fig. 2.4. Efecte de la incidència de la llum
sobre un prisma (cas teòric)
Fig. 2.5. Efecte de la incidència de la llum
sobre un primsa (cas pràctic)

60 2.- Física
“Si he fet descobriments
invaluables ha estat més pel
fet de tenir paciència que per
qualsevol altre fet.”
que les bandes brillants apareixen quan dues
crestes de l’ona se superposen; les bandes fosques
indiquen el lloc on un màxim coincideix
amb un mínim, i així es contraresten.
La demostració va ser repetida i refeta freqüentment
en els anys següents fent servir una carta
amb dos forats que dividia el feix. Aquests experiments
es van convertir en l’estàndard per
als partidaris de veure l’origen de la llum des del
punt de vista ondulatori, un fet que fou d’una
gran importància un centenar d’anys després ja
que motivà l’inici de la teoria quàntica.
Però en la seva primera etapa com a professor,
Newton treballava també en les matemàtiques.
El 1666 ja havia descobert “el mètode de les fluxions”,
mètode per resoldre problemes amb
corbes. Aquí va començar l’enemistat amb els
seguidors del filòsof i matemàtic alemany Gottfried
Wilhelm Leibniz, per veure qui hauria inventat
abans el que ara anomenem càlcul
infinitesimal. Molts historiadors creuen que els
dos matemàtics van arribar a les seves conclusions
independentment i de forma paral·lela.
2.- Física 61
Com a persona, Newton no era massa agradable,
i sovint va tenir baralles amb els seus companys.
A més de la disputa amb Leibniz,
destaquem la disputa amb un altre físic de
Cambridge, Robert Hooke (el fundador de la
teoria de l’elasticitat i la coneguda llei de
Hooke), per la teoria dels colors i pel descobriment
de la llei de gravitació universal, i amb
l’holandès Christian Huygens per la teoria de la
llum.
Destaquem entre els seus estudis de matemàtiques
l’anomenada fórmula del binomi de Newton.
Al seu llibre De analysis apareix el teorema
general del binomi, fórmula que calcula la potència
nèsima d’un binomi. En el cas que l’exponent
n del binomi sigui un nombre natural, la
fórmula té l’expressió de la figura 2.6.
(a+b) n = ( ) a n-k ·b k
Fig. 2.6. Binomi de Newton
n
k= 0
n
k

62 2.- Física
“Si aconsegueixo veure
més lluny és perquè he
aconseguit pujar-me a
espatlles més altes.”
Aquesta fórmula ja va ser estudiada abans de
Newton, però va ser ell qui, en dues cartes a
Henry Oldenborg (1615-1677), secretari de la
Royal Society, va generalitzar aquest desenvolupament
al cas d’exponents negatius i fraccionaris.
Va ser Léonard Euler qui la va generalitzar
al cas d'exponents irracionals. Si l’exponent n
no és un nombre natural, l’anterior expressió esdevé
una sèrie infinita i, per tant, només té sentit
quan la sèrie és convergent, cosa que imposa
certes limitacions als valors de a i de b. Fixeuvos,
doncs, que la fórmula esmentada serà vàlida
per a qualsevol exponent real!!
De les obres de Newton escrites en llatí o bé en
anglès destaca indiscutiblement Philosophiae
naturalis principia mathematica (1687), que hom
a comparat per la seva transcendència amb els
Elements d’Euclides i amb el posterior On the
Origin of Species de Darwin.
2.- Física 63
Els tres llibres que constituïen l’obra newtoniana
aconsegueixen relacionar les lleis de Kepler i el
món real.
El llibre primer dels Principia engloba les tres
primeres lleis del moviment de Newton:
La primera llei del moviment diu que tot sistema
físic aïllat, és a dir, en què no actua damunt d’ell
cap força exterior, roman en el seu estat de
repòs o de moviment rectilini i uniforme.
La segona llei del moviment diu que la variació
de l’estat de repòs o de moviment rectilini i uniforme
d’un sistema físic és proporcional a la
força exterior que se li aplica, i es manifesta en
la mateixa direcció que la força.
Fig. 2.7. “Principia” de Newton

64 2.- Física
“Every object persists in its state of rest or uniform motion in a
straight line unless. It is compelled to change that state by forces
impressed on it.”
“Force is equal to the change in momentum (mV) per change in
time. For a constant mass, force equals mass times acceleration.”
F = m a
“For every action, there is an equal and opposite re-action.”
La tercera llei del moviment estableix que a tota
força aplicada a un sistema físic s’oposa una reacció
igual i de sentit contrari.
Fixem-nos en la primera llei de Newton. Segons
aquesta, un cos que no pateix cap força externa
ha de mantenir-se en repòs o bé a velocitat
constant (de fet, també d’acord amb la segona
llei de Newton). Pensem ara en una situació ben
quotidiana: ens trobem en un tren i al terra hi jau
una ampolla d’aigua buida. El tren, inicialment
parat, arranca i, de sobte, l’ampolla es mou cap
a enrere. Aparentment ningú no ha exercicit cap
força sobre l’ampolla i en canvi aquesta no
roman en el mateix repòs en què es trobava.
Contradiu això les lleis de Newton? La resposta
és: no! En realitat, i encara que costi d’imaginar,
apareix una força, anomenada força d’inèrcia,
que apareix del fet que l’ampolla vol romandre
en repòs però el terra del vagó tira d’ella cap endavant
literalment. El mateix passa quan el tren
2.- Física 65
frena. Són, és clar, fenòmens anàlegs tots els
moviments que patim nosaltres mateixos en
anar en un cotxe i prendre traçats curvilinis o
accelerar i desaccelerar el vehicle.
Pensem ara en la tercera llei de Newton, la llei
d’acció-reacció. Imaginem-nos ara una situació
en què ens trobem un tren de mercaderies aparcat
i quiet i per damunt dels seus vagons tenim
un camió que comença a avançar per les diligències.
Què passa si no tenim les rodes del tren
fixades i frenades? Doncs sí! El tren marxaria cap
enrere. De fet, marxarà en direcció oposada a
com es mogui el camió, i és que sinó estaríem
contradient l’esmentada tercera llei de Newton.
Com a curiositat podem comentar que s’anomena
newton a la unitat fonamental de força del
sistema internacional (Giorgi), definida com la
força que, aplicada a una massa d’1 Kg, li comunica
una acceleració d’un metre per segon
al quadrat. El símbol emprat és N.
Fig. 2.8. Il·lustració de la tercera llei de Newton

66 2.- Física
Fig. 2.9. Tomba de Newton a Westminster
Abbey
El segon llibre dels Principia es va escriure com
a conseqüència de les idees que apareixen al
primer llibre. Essencialment és un tractat de mecànica
de fluids.
Al tercer llibre, subtitulat “Sistema del Món”,
després d’aplicar les lleis del moviment del primer
llibre al món real, conclou que la gravetat
afecta a tots els cossos, i és proporcional a la
quantitat de matèria que conté cada cos.
Després de patir una crisi nerviosa, Isaac Newton
va decidir deixar el món acadèmic i el 1696
es traslladà a Londres per dirigir la casa de la
moneda, i presidí fins a la mort la Royal Society.
El 20 de març de 1727, quaranta anys després
dels seus grans descobriments, Newton morí a
Kensington. Està enterrat a l’Abadia de Westminster
juntament amb tots els considerats herois
d’Anglaterra.
El poeta Alexander Pope va descriure molt elegantment
el regal que Newton va fer a tota la
humanitat:
“La natura i les seves lleis
estaven dins la foscor.
Déu va dir. Que sigui Newton!
I tot es va fer llum.”
2.- Física 67
Curiositats físiques
Einstein i la relativitat general
La teoria de la relativitat general,
que va publicar el 1916 Einstein, és
una de les teories més influents de
tots els temps i és la millor teoria
moderna de la gravitació. Albert
Einstein nasqué a Ulm, Alemanya,
el 1879. Va passar gran part de la
seva infantesa a München i completà
la seva educació a Zürich, on
es llicencià a l’Escola Politècnica
Federal, el 1900.
Cap a finals del segle XIX, els científics creien
que eren a prop d’aconseguir una descripció
completa de l’Univers. Imaginaven que l’espai
estava ple d’un medi continu anomenat èter. Els
raigs de llum i els senyals de ràdio eren ones en
aquest èter, tal com el so consisteix en ones de
pressió en l’aire. Però cap a la fi de segle, començaren
a sorgir discrepàncies respecte de la
idea d’un èter que omplís tot l’Univers.
Fig. 2.10. Albert Einstein

68 2.- Física
Fig. 2.11. Teoria de la relativitat
El postulat d’Einstein que les lleis de la natura
havien de ser les mateixes per a tots els observadors
en moviment lliure fou la base de la teoria
de la relativitat, anomenada així perquè
implica que només importa el moviment relatiu.
La seva simplicitat i bellesa seduïren molts pensadors,
però també trobà molta oposició. Einstein
havia enderrocat dos dels absoluts de la
ciència del segle XIX: el repòs absolut, representat
per l’èter, i el temps absolut o universal
que tots els rellotges mesurarien. Però la teoria
de la relativitat és avui completament acceptada
per la comunitat científica, i les seves prediccions
han estat verificades en incomptables
aplicacions.
Una conseqüència molt important de la relativitat
és la relació entre la massa i l’energia. La
massa i l’energia són equivalents, tal com
queda resumit en la famosa equació d’Einstein.
Algunes persones han atribuït a Einstein la
bomba atòmica, perquè fou ell qui descobrí la
relació entre massa i energia, però això és com
acusar Newton dels estavellaments d’avions
2.- Física 69
Fig. 2.12. Equació d’Einstein
perquè va descobrir les lleis de la gravetat.
El mateix Einstein no participà en el projecte
Manhattan i quedà horroritzat pel llançament de
la bomba.
Encara que la teoria de la relativitat encaixava
molt bé amb les lleis de l’electricitat i del magnetisme,
no resultava compatible amb la llei de
Newton de la gravitació. Aquesta llei implica
que si es canvia la distribució de matèria en una
regió de l’espai, el canvi en el camp gravitatori
hauria de ser percebut instantàniament arreu de
l’Univers.
Si la Terra fos plana, tant podríem dir que la
poma va caure al cap de Newton a causa de la
gravetat o pel fet que la Terra i Newton s’estaven
accelerant cap amunt. Aquesta equivalència no
funciona, però, per a una Terra esfèrica, perquè
persones situades a les antípodes s’haurien
d’accelerar en sentits oposats, i s’allunyarien
entre si. Però Einstein tingué la intuïció genial
d’adonar-se que l’equivalència funciona si la geometria
de l’espai-temps és corbada en lloc de
plana, com s’havia suposat fins llavors.

70 2.- Física
Fig. 2.13. Berna
El novembre de 1915 trobà les equacions que
ho demostraven!
La nova teoria de l’espai-temps corbat fou anomenada
relativitat general per distingir-la de la
teoria original sense gravitació, que a partir d’aleshores
fou coneguda com a relativitat especial.
Aquesta teoria fou confirmada de manera espectacular
el 1919 quan una expedició britànica
a l’Àfrica occidental observà durant un eclipsi
una lleugera desviació de la llum d’una estrella
en passar prop del Sol. Això era una evidència
indirecta que l’espai i el temps estan deformats,
i va estimular el canvi més gran en la nostra percepció
de l’Univers des que Euclides escriví els
Elements de geometria cap al segle III aC.
Tal com ja hem comentat abans, Albert Einstein
va néixer a Alemanya, però per diverses raons
va ser un home que va viatjar molt. Fixeu-vos
amb quines van ser les seves nacionalitats:
2.- Física 71
Alemanya (1879-96, 1914-33)
Suïssa (1901-55)
Americana (1940-55)
D’entre els seus molts viatges, sabíeu que
també va visitar Barcelona? Doncs sí, va venir el
mes de febrer de 1923, invitat per la Mancomunitat
a través dels Cursos Monogràfics d’Alts
Estudis i d’Intercanvi. Va donar un curset a l’Institut
d’Estudis Catalans, va parlar a l’Acadèmia
de les Ciències i les Arts de Barcelona, i també
va venir a la seu del Col·legi d’Enginyers Industrials
de Catalunya!
No cal dir que l’estada d’Einstein a Barcelona
va provocar impacte en la societat barcelonina
d’aleshores. Val a dir que si bé foren molt pocs
els qui seguiren les seves explicacions sobre la
teoria de la relativitat, van ser molts els qui anaren
a veure’l simplement per poder dir que l’havien
vist “en acció”. J. M. Sagarra va escriure
un article a La Publicitat (aparegut el 4 de març)
molt il·lustratiu de l’ambient que aquells dies es
respirava:
Fig. 2.14. Visita d’Enstein a Barcelona l’any 1923
Fig. 2.15. Exposició sobre Einstein a Berna

72 2.- Física
“Jo poc en treia de què Einstein escrivia a la
pissarra; lamentava que les formes que dibuixava
el guix diguessin ben poca cosa al meu cervell.
Però tota l’atenció meva requeia damunt la mà
d’aquell home, la seva manera d’escriure i bellugar
el braç. Els passets que donava, les vacil·lacions
de la paraula, la insinuant dolçor de la seva
veu (...). Doncs bé, quan el professor Einstein esborrava
les seves inscripcions blanques damunt
la tela negra enllustrada, el meu cor m’impulsava
a dir-li: faci el favor, no ho esborri, ja li durem una
altra pissarra! I jo hauria volgut que aquella pissarra,
amb el blanquinós autògraf einstenià, fos
guardada en alguna banda com a record del dia
que aquest gran home, en una tarima presidida
per les nostres quatre barres simbòliques, va explicar
les seves teories als estudiosos i als homes
de la ciència catalans (...).”
2.- Física 73
Fig. 2.16. Exposició de coets a la NASA
La NASA i Newton
La tercera llei del moviment de Newton ens explica,
entre altres moltes coses, el moviment
dels coets.
I és que si parem atenció en la llei d’acció i reacció
ens veurem capaços d’entendre de forma
bàsica el funcionament dels coets. Els gasos resultants
de la combustió del fuel del coet flueixen
cap enrere a una gran velocitat, i com a
resultat d’això el cos dels coets és impulsat cap
endavant. La velocitat final adquirida pel coet

74 2.- Física
Fig. 2.17. Projectors d’un coet
depèn de la raó entre el pes del coet i el pes
del combustible, i a fi d’optimitzar el rendiment
cal que aquesta raó sigui el més petita
possible (mai serà menor que 1, és clar!). En
els projectils més moderns, la relació del pes
del coet buit i el combustible és aproximadament
la mateixa que la relació de pes entre la
carcassa d’un ou i el cos de l’ou.
2.- Física 75
Aurores boreals
Les anomenades llums del Nord són, segurament,
l’espectacle de color més bonic que ofereix la natura.
El nom científic d’aquest fenomen és aurora
boreal i va ser el matemàtic, filòsof i astrònom italià
Galileu Galilei (1564-1642) el primer a donar-li aquest
nom, tot i que no va ser el primer a veure-les!
Amb les aurores boreals, el
cel presenta grans franges
de blaus, verds i vermells
que van canviant i formen
un gran ball visual. Els finlandesos
les anomenen “revontulet”
(focs de guineu)
perquè, segons la vella llegenda
dels itnuis, són causades
per una guineu
platejada que, en córrer
entre les muntanyes, aixeca
cristalls de neu amb la cua.
Fig. 2.19. Aurora boreal
Fig. 2.18. Aurora boreal

76 2.- Física
Fig. 2.20. Observatori a Sodankylä
Si voleu veure les aurores boreales
podeu visitar, per exemple, la Casa
de les Aurores “Pohjan Kruunu” a
Sodankylä (Finlàndia).
Però, quina és l’explicació física de les aurores
boreals? Doncs són degudes al Sol i al camp
magnètic de la Terra. A causa de les reaccions
nuclears que tenen lloc a l’interior del Sol,
aquest expulsa partícules carregades, protons i
electrons, cap a l’exterior a gran velocitat.
Aquestes partícules viatgen formant el que s’anomena
“vent solar”, i quan arriben a la Terra
interactuen amb el camp magnètic. Així doncs,
les aurores boreals (i les australs, que és com
s’anomenen a l’hemisferi sud) són la llum que
resulta del xoc de les partícules carregades del
vent solar amb el camp magnètic terrestre. El
color de les aurores boreals pot canviar considerablement
depenent de la quantitat de nitrogen
o oxigen que reacciona amb les partícules
de vent solar.
Per què és tan difícil veure aurores boreals a Catalunya?
Doncs perquè el camp magnètic terrestre
és més intens prop dels pols.
2.- Física 77
El nombre i la intensitat de les aurores depèn
del nombre de partícules carregades que vénen
del Sol, i el Sol no sempre té la mateixa activitat.
Cada onze anys té un màxim d’activitat i és
aleshores quan és més probable de veure aurores
a Catalunya.
El passat 18 de febrer de 2007 es va enlairar
cap a l’espai una nova missió de la NASA amb
la finalitat d’estudiar els orígens de les aurores
boreals i d’aquesta forma poder combatre’n els
efectes, sovint negatius. I és que aquests fenòmens
poden fins i tot afectar notablement el
funcionament dels satèl·lits que hi ha en òrbita.
Fig. 2.21. Efecte lluminós d’una aurora boreal

78 2.- Física
Fig. 2.22. Papallona
L’efecte papallona
Tots hem sentit a parlar alguna vegada de l’efecte
papallona.
Aparentment pot semblar una simple exageració
d’alguns dels fets més habituals de la vida
real, i de fet així és, és clar. D’alguna forma, però,
ens ajuda a entendre el fet que tot succeeix per
alguna raó. Això resulta una reacció filosòfica
que donaria per pàgines i pàgines de dissertació
i discussió, però el que realment és indubtable
és que tot té un perquè i, alhora, qualsevol
petita actuació nostra en el món pot tenir conseqüències,
sovint, inesperades i sorprenents.
Tot i semblar un concepte purament filosòfic i
metafísic, aquest efecte té una base científica i
una història que l’explica.
El meteoròleg Edward Lorenz va ser el primer a
analitzar aquest efecte en un treball que va fer a
la dècada dels 70 per a l’Acadèmia de les Ciències
de Nova York. Lorenz pretenia de preveure
el clima a través de formulacions matemàtiques
que tenien en compte variables com ara el
2.- Física 79
temps, la humitat... Va ser capaç de preveure el
temps de l’endemà, això sí. En el moment en
què va revisar les dades es va adonar que fent
pertorbacions minúscules en els seus càlculs,
els efectes previstos i, per tant, les conclusions
serien totalment diferents. Això el va fer reflexionar
i donar aquesta frase històrica a aquells
a qui havia de presentar els resultats.
Posteriorment es va adonar que aquesta relació
causa-efecte apareix en qualsevol de les qüestions
de la vida quotidiana. La conseqüència
pràctica de l’efecte papallona és que en els sistemes
complexos, com ara l’estat de la borsa,
resulta molt complicat preveure amb seguretat
qualsevol situació.
Això també provoca que qualsevol possible modelització
d’aquests sistemes complexos sigui
d’alt risc, i és que la inserció d’un petit error en
els càlculs farà que els resultats siguin totalment
allunyats d’allò que realment cerquem.
De tot això se’n deriven les posteriors teories
del caos formulades i postulades per diversos
físics i matemàtics contemporanis.
Fig. 2.23. Representació de la trajectòria d’una
partícula que pateix l’efecte papallona

80 2.- Física
Fig. 2.24. Quants óssos hi veieu?
Fig. 2.25. Us veieu capaços de
construir-lo?
Il·lusions òptiques
A la biografia de Newton ja hem comentat
les seves motivacions i els seus estudis exhaustius
en el camp de l’òptica. I és que no
només Newton sinó la majoria de físics es
motiven i s’endinsen en el món de la física
per la seva fascinació i admiració pel món de
l’òptica. Qui no ha vist mai quelcom que no
hi era?
A la xarxa es poden trobar milers d’imatges
corresponents a il·lusions òptiques i és que,
sabent-ne, és molt fàcil burlar la complexitat
del nostre sentit visual; és tan complex com
fràgil, i si no, feu vosaltres mateixos la prova
amb les imatges que aquí proposem!
2.- Física 81
XMM-Newton, l’observatori de raigs X
XMM-Newton (X-ray Multi-mirror Mission) és un
satèl·lit astronòmic de l’Agència Espacial Europea
(ESA), l’objectiu del qual és el de capturar i
estudiar els raigs X dels objectes celestes. Situat
sobre una òrbita el·líptica (11.4000 km x
7.000 km) per Ariane 5 el desembre de 1999,
XMM és el satèl·lit científic més gran que s’ha
construït a Europa: fa 10 metres de llargada i
pesa una mica menys de 4 tones.
Els raigs X emesos pels objectes celestes de l’Univers
són parats per la nostra atmosfera i això fa
que sigui impossible observar-los des de la Terra.
El satèl·lit XMM-Newton pot detectar aquests
raigs X emesos pels objectes de l’Univers i permet
estudiar els objectes del cel profund.
A la Cité de l’Espace de
Toulouse (França) reten
homenatge a aquest
coet espacial amb el
nom d’un dels físics
més importants de la
història i s’hi poden trobar
exposicions sobre
el tema contínuament.
Fig. 2.26. Satèl·lit XMM-Newton

82 2.- Física
Entreteniments físics
De nou ha arribat el vostre moment. Ara cal que
vosaltres us hi poseu, inspireu la vostra imaginació
i resoleu els entreniments i enigmes físics
següents.
Problema d’Einstein
Aquest és un problema històric que suposadament
va plantejar Einstein i que, segons ell,
només el 2% de les persones que l’intenten resoldre
ho aconsegueixen. Us atreviu? Comproveu
si, per Einstein, esteu en el 2% de la gent
més intel·lectual.
1. Cinc cases de cinc colors diferents.
2. A cada casa hi viu una persona de diferent
nacionalitat.
3. Aquestes cinc persones beuen begudes diferents,
fumen marques de tabac diferents i
tenen mascotes diferents.
2.- Física 83
Dades:
1. L’anglès viu a la casa vermella.
2. La mascota del suec és un gos.
3. El danès beu te.
4. La casa verda és la immediata a l’esquerra
de la casa blanca.
5. L’amo de la casa verda pren cafè.
6. La persona que fuma Pall Mall cria ocells.
7. L’amo de la casa groga fuma Dunhill.
8. L’home que viu a la casa del centre pren llet.
9. El noruec viu a la primera casa.
10. La persona que fuma Blend viu al costat del
que té gats.
11. L’home que té cavalls viu al costat del que
fuma Dunhill.
12. La persona que fuma Blue Master beu cervesa.
13. L’alemany fuma Prince.
14. El noruec viu al costat de la casa blava.
15. L’home que fuma Blend té un veí que veu
aigua.
I la pregunta és: Quina persona té peixos per
mascotes?

84 2.- Física
Fig. 2.27. Il·lusió òptica
Una de trens!
Un tren elèctric va cap al nord a 80 km/h. Si el
vent bufa de l’est a 20 km/h, cap a quina direcció
va el fum de la màquina?
Tallaràs la poma?
Agafeu una poma i feu un tall prou profund com
perquè un ganivet aguanti la poma aixecada.
Ara, amb la part que no talla d’un altre ganivet
aneu donant cops al ganivet que està al mig de
la poma. Creieu que aconseguireu tallar la
poma?
Il·lusions òptiques
Què veieu a la fotografia adjunta? N’esteu ben
segurs?
A la platja!
Heu pensat mai com és que la sorra molla sembla
més fosca que la sorra seca, si l’aigua no té
color i és transparent?
2.- Física 85
Trons i llamps
Atès que les ones acústiques viatgen per l’aire
a una velocitat aproximada de 1,6 km cada 5
segons, podem calcular la distància en quilòmetres
d’un llamp, dividint per cinc el nombre
de segons transcorreguts entre el llamp i el so
del tro. Però, sabeu explicar per què el so del
tro dura molt més temps que la visió del llamp?
El joc de la balança
Deu sacs estan plens de peces de ferro. Totes
les peces semblen iguals, però les que hi ha a
un dels sacs pesen un gram menys que les
peces dels altres sacs. Tenim una balança, però
només la podem fer servir una vegada. Com ho
fareu per trobar a quin sac hi ha les peces més
lleugeres?
Temps de vol
Si un avió vola a una velocitat mitjana de 500
milles per hora, quant de temps necessita per
fer vint trajectes, a on cinc són de 1.000 milles,
cinc de 1.500 milles, cinc de 2.000 milles i cinc
de 3.000 milles?

86 2.- Física
Televisió
En engegar un aparell de televisió podrem veure
que, per uns moments, la pantalla atrau cossos
lleugers (paper, pols...). Sabríeu dir per què? I
per què és un fenomen transitori?
Un de volums...
La cúpula d’un edifici té una base circular de
radi R i les seccions verticals perpendiculars a
un cert diàmetre de la base són triangles rectangles
isòsceles amb la hipotenusa situada a la
base de la cúpula. Calculeu el volum de la cúpula.
Dipòsit d’oli
Un dipòsit cilíndric de 2 m de diàmetre i 3 m de
longitud reposa de costat. Suposem que està ple
fins la meitat amb oli que pesa 930 kg/m3 . Trobeu
la força que fa l’oli sobre un costat del dipòsit.
Vaixell científic
Una finestra circular d’observació d’un vaixell
científic té un radi d’1 peu, i el centre de la finestra
està a 8 peus per sota el nivell de l’aigua. Quina és
la força que fa el líquid sobre la finestra?
2.- Física 87
Juguem a ser espeleòlegs
El radiocarboni de la fusta viva té un índex de
radioactivitat de 15,30 dpm (desintegracions
per minut i per gram) i en 5.600 anys aquest
índex es redueix a la meitat. Sabent que la variació
de l’índex de radioactivitat és proporcional
a l’índex de radioactivitat en cada instant,
determineu l’edat dels objectes següents, descoberts
l’any 1950:
a) Un tros de la pota d’una cadira de la tomba
de Tutankhamon, 10,14 dpm.
b) Un tros d’una biga d’una casa construïda a
Babilònia, 9,52 dpm.
c) Fems d’un gegant trobat a la cova Gypsum
de Nevada, 4,17 dpm.
d) Una fletxa trobada a Leonard Rock Shelter de
Nevada, 6,42 dpm.

88 2.- Física
Fig. 2.28. Paracaigudistes
Paracaigudisme
Un home es tira en paracaigudes des d’una
gran altura. L’home i el paracaigudes pesen en
conjunt 100 kg. Sigui v(t) la velocitat en m/s de
caiguda de l’home transcorreguts t segons des
del llançament. Durant els 10 primers segons,
fins a l’obertura del paracaigudes, la resistència
de l’aire és igual a 0,1v(t) Nw. Després, una vegada
obert el paracaigudes, la resistència de
l’aire és de 200 v(t) Nw. Trobeu l’expressió de la
velocitat v(t) en funció del temps t, en cada un
dels dos trams, és a dir, abans i després de l’obertura
del paracaigudes. (Preneu la gravetat
g = 10 en el sistema internacional.)
2.- Física 89
Un parell de mòbils
Dos mòbils estan situats sobre una recta i estan
separats per una distància de 10 m. A partir
d’un cert instant un d’ells es mou, allunyant-se
amb una velocitat constant de 2 m/s, mentre
l’altre el persegueix amb una velocitat igual a la
distància que els separa.
a) Calculeu la posició del segon mòbil en funció
del temps.
b) Atraparà el segon mòbil al primer?
Les solucions als entreteniments les trobareu a la pàgina web: http://www.eic.cat/comissions/solucions.htm

90 2.- Física
Les solucions als entreteniments les trobareu a la pàgina web: http://www.eic.cat/comissions/solucions.htm
Capítol 3
Enginyeria

92 3.- Enginyeria
3.- Enginyeria 93
3.- Enginyeria
Leonardo da Vinci
Fig. 3.1. Leonardo da Vinci
“Il faut contempler, il faut
penser: qui pense peu se
trompe beaucoup.”
Artista d’un talent indiscutible, Leonardo
di Ser Piero da Vinci, va néixer a
Vinci (Itàlia) el 15 d’abril de 1452. Tot i
ser considerat com un dels millors pintors
de tots els temps, Leonardo es presentava
als seus possibles mecenes no
com a artista, sinó com a enginyer, o inventor,
tal com en deien al Renaixement. Va viure a Firenze,
a on va apendre pintura i dibuix al taller
de Verrocchio, i l’any 1482 Leonardo marxà cap
a Milano.

94 3.- Enginyeria
“Qu’il ne me lise pas celui qui
n’est pas mathématicien, car
je le suis toujours dans mes
principes.”
Da Vinci va aprendre pintura i dibuix al taller de
Verrocchio cap a l'any 1470 i va cultivar igualment
les matemàtiques i la música. L'any 1482,
Leonardo marxà cap a Milano, on oferí a Ludivoco
il Moro els seus serveis d'enginyer militar,
d'arquitecte i d'escultor. Començà l'estàtua
eqüestre del pare del duc, Francesco Sforza,
decorà una sala del castell Sforzesco i s'encarregà
de l'organització de les festes de la cort.
Els francesos expulsaren Ludovico i l'artista anà
a Mantova (1499), a Venezia, a Roma, i després
tornà a Florenze l'any 1503, on la seva presència
marcà el començament d'una nova era.
Tornà a instal·lar-se a Milano el 1508 on formà
escola. Després, a Roma, on tingué fama de filòsof
quimèric i d'estranger inestable en el món
real. Desenganyat, l'any 1516 acceptà la invitació
de Francesc I de França a Le Clos-Lucé, on
es dedicà sobretot a estudis arquitectònics per
als castells reials i on tingué un final de vida
tranquil.
Leonardo da Vinci representa l’home del Renaixement;
creu que hi ha una explicació natural
per als fenòmens i és conscient que aquesta
explicació necessita dues condicions: una minuciosa
observació i el coneixement matemàtic.
3.- Enginyeria 95
Leonardo sentia passió per la mecànica i res li
era més fascinant que imaginar màquines.
Molts dels mecanismes que va idear van néixer
per facilitar la construcció civil. Als seus manuscrits
hi ha diferents models de grues (bessones,
mòbils, sobre trípodes...), així com perforadores
verticals i horitzontals, que van ser fabricades
més endavant amb alguna modificació.
La fascinació de Leonardo pel moviment es va
traduir en dos vehicles terrestres molt populars
en els nostres temps: un automòbil i una bicicleta!
El dibuix de la bicicleta, que per cert ha generat
força polèmica sobre la seva autenticitat, presenta
pedals, cadena i dues rodes. Gairebé és
idèntica a la bicicleta moderna, a excepció de
tenir uns frens deficients, manca de manillar i un
disseny de fusta.
Fig. 3.2. Bicicleta presentada per Leonardo da Vinci

96 3.- Enginyeria
“Ceux qui sont férus de pratique
sans posséder la science
sont comme le pilote qui
s’embarquerait sans timon ni
boussole, et ne saurait jamais
avec certitude où il va.”
Leonardo va dissenyar el que és considerat
com el primer automòbil de la història. Ell el va
anomenar “carruatge sense cavalls”, però la
seva invenció és considerada com el primer automòbil
de la història. El disseny és una plataforma
sobre rodes, amb les davanteres
articulades. Hi ha un sèrie de molles relacionades
amb palanques i altres mecanismes de
control. A més a més, hi va idear un petit volant
per dirigir el cotxe. Als seus croquis són dibuixats
amb molt detall els elements que fan referència
a la transmissió.
Des de ben petit, Leonardo ja estava obsessionat
a voler volar com les aus, i és per això que
va dedicar molts dels seus experiments a intentar
domar l’aire.
Va intentar volar amb un model semblant a un
bot salvavides amb l’afegit de dues ales gegants.
El pilot, tombat, havia de remar amb
força, evidentment sense resultats, tot i que hi
havia mecanismes per poder-lo ajudar a fer
aquesta tasca impossible. Leonardo va estudiar
diferents variants d’aquest model, totes fallides,
3.- Enginyeria 97
Fig. 3.3. Ornitòpter
però no va deixar de pensar mai en aquests
aparells, que el dugueren de corcoll fins a la
seva mort.
Cal destacar la màquina voladora que ell va
anomenar ornitòpter, batejat a la grega com ho
hagués fet el seu admirat Arquímedes. L’ornitòpter
estava inspirat en les ales i articulacions
dels ratpenats. Leonardo va pensar que aquest
model havia de funcionar! Era de fusta, tela i
cordes. El pilot havia de tombar-se en una plataforma
i anar empenyent dos pedals lligats a
les ales i que feien que les ales pugessin i baixessin.
Hi havia un flotador a sota la plataforma,
perquè les proves les feien a sobre l’aigua.

98 3.- Enginyeria
Fig. 3.4. Ornitòpter
I així doncs, un dia de
sol i amb brisa suau de
1505, Leonardo i els
seus assistents van
voler provar l’ornitòpter
a la muntanya Ceceri, a la Toscana. L’Antonio,
l’ajudant que tripularia l’aparell, ja estava preparat!
Va córrer amb totes les seves forces i
amb els ulls tancats va sentir que els seus peus
no tocaven a terra. Estava volant! Bé, el fet és
que va estar suspès uns instants, abans que les
ales es dobleguessin, les cordes s’enredessin i
la llei de la gravetat fes anar per terra (mai més
ben dit) les aspiracions de Leonardo. L’experiment
va acabar malament i l’Antonio va haver
de recuperar-se dels cops i de la cama trencada.
Tot i el fracàs, Leonardo va continuar inventant.
Qualsevol altre hauria desistit, però no l’home
de Vinci. Als voltants de 1510 va dissenyar un
aparell que podia haver aconseguit volar, si no
fos per petites errades de disseny. Era el precursor
del planejador.
3.- Enginyeria 99
El 1903, els germans Orville i Wilbur Wright van
ser els primers a volar (a les platges de Kitty
Hawk, a Carolina del Nord) amb un biplà propulsat
a motor. Aquella gesta va marcar l’inici
de la història de l’aviació. Des de llavors, al voltant
de la ciència aeroespacial hi ha hagut tot
tipus de desenvolupaments tecnològics, però
cap no hauria servit de res si no s’hagués aconseguit
abans del que l’home buscava des de
feia segles: guanyar la batalla a la llei de la gravitació
universal (pronunciada per Newton), amb
una altra llei física coneguda com a teorema de
Bernoulli: quan augmenta la velocitat de l’aire, la
pressió disminueix.
Interessat en l’energia hidràulica, són molts els
invents de Leonardo que fan referència a l’aigua:
preses, vestit de bus, “nau per enfonsar
una altra nau” com ell va anomenar el precursor
del submarí... Cal fer una especial menció al vaixell
de pales que movia un sol mariner. El sistema
que va idear per aquest vaixell és el que
segueixen actualment les hèlixs aquàtiques.
Leonardo qualificava la guerra com a “bogeria
bestial”, però tot i així sovint s’oferia com a enginyer
militar. Una de les seves especialitats
eren els ponts.
Fig. 3.5. Vaixell
Fig. 3.6. Pont
Fig. 3.7. Pont

100 3.- Enginyeria
Fig.3.8. Tanc
Fig. 3.9. Porta del tanc
Fig. 3.10. Canó
Encara que mai es van construir, va inventar els
primers tancs de combat. Eren cònics.
També va introduir innovacions en la fabricació
de canons en estudiar la possibilitat de carregar-los
per la culata i no de la forma tradicional,
per la boca.
Com esteu veient, els invents de Leonardo són
innumerables i van involucrar molts àmbits, tant
militars com civils. Com a curiositat comentarem
que se’l coneix com a pioner del vegetarianisme
a Europa i com a promotor dels tovallons
a les taules florentines, peça que es va difondre
pel continent per la seva utilitat i higiene.
En el seu vessant artístic destacarem dos fets:
la invenció de la geometria projectiva i l’sfumato.
Leonardo da Vinci i Albrecht Dürer es van proposar
representar la profunditat en un llenç de
dues dimensions. La idea clau que van explotar
Leonardo i Dürer és la de considerar la superfície
d’un quadre com una finestra a través de la
3.- Enginyeria 101
qual l’artista veu l’objecte que pinta. Les línies
de visió que surten de l’objecte i que convergeixen
a l’ull passen per aquesta finestra i els punts
en què les línies creuen la superfície de la finestra
formen la projecció de l’objecte sobre
aquesta superfície. El quadre capta aquesta
projecció. Per l’artista, doncs, les estructures
rellevants són les de la perspectiva i les de les
projeccions planes. Així va néixer la geometria
projectiva, un dels àmbits de la geometria més
atractiu per a molts matemàtics, ja que poden
representar en dues dimensions allò que realment
en té tres sense perdre cap mena de rigorositat.
Leonardo també va inventar una tècnica pictòrica
nova: l’sfumato. Amb gradacions de color i
de llum, va aconseguir donar profunditat als objectes
i, al mateix temps, fer-los vaporosos,
fluids i més poètics.
Convidat per Francesc I, Leonardo es va
instal·lar el 1516 al castell de Cloux (Clos-Lucé)
a Amboise, vall del Loira. Acompanyat de Francesco
de Melzi i de Battista de Villanis, va portar

102 3.- Enginyeria
3.- Enginyeria 103
Fig. 3.11. Mona Lisa (La Gioconda) Fig. 3.12. Santa Anna
de Roma, a sobre d’una mula, tres dels seus
com a arquitecte i com a escenògraf, organit-
quadres preferits. Segons el testimoni del cardenal
d’Aragó, hi havia el quadre d’una dama
zant meravelloses festes per a la cort.
de Florència pintada al natural (La Gioconda) per
Leonardo va morir el 2 de maig de 1519 als 67
ordre del difunt Julià de Medicis; els altres dos,
anys al castell de Cloux. Va deixar 15 quadres i
eren els de Santa Anna i Sant Joan Baptista, que
6.000 pàgines manuscrites. Es curiós comentar
Leonardo va acabar de pintar a Clos-Lucé.
que Leonardo escrivia de dreta a esquerra, amb
les lletres invertides. Es pensa que així ho feia
Francesc I va donar el castell de Cloux a Leo-
perquè era esquerrà (tot i que la història diu que
nardo, només a canvi del plaer de poder con-
mai va pintar amb la mà esquerra) i perquè busversar
amb ell, plaer del qual gaudia gairebé
cava protegir les seves idees. Això és part del
cada dia. Leonardo va treballar com a enginyer,
“misteri Leonardo da Vinci”.

104 3.- Enginyeria
Curiositats d’enginyeria
La raó àuria
La raó àuria, generalment representada per la
lletra grega φ, ens sorprèn per les seves propietats
numèriques. Per exemple, no us sembla
desconcertant que tots aquests càlculs tinguin
les mateixes xifres decimals?
φ = 1,61803... ;
1 / φ = 0,61803... ;
φ² = 2,61803...
Els grecs vivien lligats a aquesta proporció numèrica,
essencialment pels seus ideals de bellesa
i geometria.
Encara que no existeixen plànols originals del
temple, un dels monuments més representatius
de la cultura clàssica, el Partenó, està dissenyat
d’acord amb les proporcions àuries. Aquesta
obra acabada el 438 aC va ser construïda pels
arquitectes Actinus i Callicrates, en col·labora-
3.- Enginyeria 105
Fig. 3.13. Partenó
ció amb l’escultor Phídies, que n’és considerat
el gran geni. En realitat, el nombre d’or s’anomena
Phi en honor a l’escultor i l’abreviatura phi
correspon a la inicial del seu nom.
La façana del Partenó és un perfecte rectangle
d’or, essent aquest un rectangle amb una raó
d’1/φ. Aquest rectangle compleix la propietat
que en separar-li el quadrat de costat el més
petit dels del rectangle donat, el rectangle que
queda també és auri.
És sorprenent trobar-se amb la proporció àuria a
la piràmide de Keops, una de les obres arquitectòniques
més importants de la humanitat, considerada
una de les set meravelles del món antic.

106 3.- Enginyeria
Fig. 3.14. L’home del Vitrubi
Pel que sembla, a més de ser
la tomba del faraó, pretenia ser
un enorme observatori astronòmic.
De fet, les seves quatre
cares laterals estan perfectament
alineades amb els quatre
punts cardinals i el passadís
que porta a la cambra interior està orientat cap
a l’estrella polar.
La proporció àuria va ser represa, després de la
Grècia clàssica, pels renaixentistes que l’utilitzaven
a les obres pictòriques, per tal d’ordenar
geomètricament les composicions. Cal destacar
el famós esquema de les proporcions de
“L’home del Vitrubi” de Leonardo da Vinci, que
es relaciona amb la proporció àuria, amb un enfocament
dedicat a l’escala humana.
3.- Enginyeria 107
Fig. 3.15. Stradivarius
L’arquitecte del segle XX Le Corbusier es va inspirar
en aquestes obres del Renaixement com a
guia per trobar un sistema d’unitats modern per
a la construcció. Le Corbusier va racionalitzar
l’arquitectura i va trobar unes dimensions estàndards,
per conduir la producció en massa d’edificis.
La raó àuria es troba a molts llocs. Destacarem
que Antonio Stradivari la va fer servir per construir
els seus violins tan famosos, Mozart per composar
sonates, i també la van usar Bartok i Debussy.
A la natura també n’hi ha molts exemples. Destacarem
el nàutil (Nautilus Pompilius). El contorn
del nàutil és una corba, una espiral logarítmica
que s’ajusta perfectament a una successió de
rectangles auris encaixats. En aquesta espiral, a

108 3.- Enginyeria
mesura que ens anem allunyant del centre, l’espiral
es va fent més ampla i aquest augment de
l’amplada es produeix de manera contínua i uniforme.
Del ferro a l’acer
L’emperador de França, Napoleó, es va interessar
per un invent de l’anglès Henry Bessemer
(1813-1898), un projectil que donava una precisió
a les peces d’artilleria fins llavors desconeguda.
Bessemer va avisar que el seu invent no funcionaria
amb ferro fos, material que s’utilitzava en
aquella època.
Bessemer va aconseguir fabricar acer amb un
cost no massa elevat, però el seu primer intent
no va funcionar (l’acer no era de massa qualitat
per problemes amb el fòsfor). Els industrials siderúrgics
que havien confiat en ell van perdre
molts diners i no el van voler escoltar quan els
va oferir la solució definitiva.
Bessemer va demanar ajut econòmic i va
instal·lar els seus propis forns a Sheffield,
Anglaterra, el 1860. Va fabricar acer d’alta qualitat
i es va guanyar la confiança de tothom.
L’acer a bon preu va permetre construir obres
d’enginyeria que fins llavors no s’havien pogut
ni somiar.
3.- Enginyeria 109
Watt i la màquina de vapor
L’enginyer escocès James Watt (1736-1819) va
estudiar amb detall la màquina de vapor dissenyada
per Thomas Newcomen que s’utilitzava
en aquella època, per bombejar aigua de les
mines.
La màquina de Newcomen funcionava així: el
vapor d’aigua en ebullició entrava en una càmera
tancada per dalt per un èmbol mòbil; la
pressió de vapor empenyia l’èmbol cap amunt;
aleshores arribava aigua freda a la càmera i la
refredava; el vapor es condensava i el pistó baixava.
Aquest moviment s’anava repetint i el moviment
ascendent i descendent de l’èmbol feia
funcionar la bomba. Però Watt va pensar que
aquesta màquina funcionava de manera poc
eficient.
Un dia de 1765, tot passejant pel parc de Glasgow,
a James Watt li va venir una idea al cap. El
vapor no s’aprofita prou perquè a cada pas es
refreda a la càmera! De manera que cada bufegada
de vapor s’havia de tornar a escalfar
abans de poder moure l’èmbol.
Fig. 3.16. Màquina de Newcomen

110 3.- Enginyeria
Watt va dissenyar una nova màquina de vapor!
El vapor, després d’entrar a la càmera i moure
l’èmbol, s’escapava per una vàlvula fins a una
segona càmera refrigerada per aigua corrent.
En escapar-se el vapor, baixava l’èmbol. Així
doncs, el doll de vapor següent que entrava a la
primera càmera no perdia gens la seva potència,
perquè encara estava calent.
És així com Watt va aconseguir una màquina de
vapor eficient! Aquest intent va ser un triomf de
la tecnologia i aquesta idea va contribuir a canviar
el futur de la humanitat.
L’invent de Watt era sinònim de potència, i és
per això que la unitat de potència s’anomena
watt.
També és deguda a Watt la unitat de mesura de
potència anomenada cavall de vapor (hp) equivalent
a 746 W.
Diu la història que a l’època que va viure Watt es
feien servir cavalls per extreure aigua i que per
poder vendre les seves màquines als enginyers
de mines, va mesurar el treball que realitzava un
cavall estàndard durant un període gran de
temps i després va calibrar les seves màquines
tenint en compte les seves observacions. Així
doncs, va poder dir als seus clients que una màquina
d’un cavall de vapor substituïa a un cavall.
3.- Enginyeria 111
Magnitud Nom Símbol
En aquella època, Anglaterra no tenia gaire
carbó vegetal per poder utilitzar com a combustible.
L’única alternativa era el carbó, però les
filtracions d’aigua dificultaven molt l’explotació
de les mines. La màquina de vapor de Watt
bombejava eficientment l’aigua a l’exterior i això
va permetre aconseguir grans quantitats de
carbó a baix preu. La combustió de carbó produïa
vapor i el vapor generava potència.
“Era l’inici de la Revolució Industrial!”
Per tal d’aconseguir que el flux de vapor de les
seves màquines fos constant, Watt va inventar
un regulador que és un dels símbols que hi ha a
l’escut dels Enginyers Industrials i que comentarem
amb una mica més de detall més endavant.
Expressió en unes
altres unitats SI
Expressió en unitats
SI bàsiques
Freqüència hertz Hz s -1
Força newton N m·kg·s -2
Pressió pascal Pa N·m -2 m -1 ·kg·s -2
Energia, treball,
quantitat de calor
joule J N·m m 2 ·kg·s -2
Potència watt W J·s-1 m2 ·kg·s-3 Quantitat d'electricitat
Càrrega elèctrica
coulomb C s·A
Potencial elèctric
Força electromotriu
volt V W·A-1 m2 ·kg·s-3 ·A-1 Resistència elèctrica ohm V·A -1 m 2 ·kg·s -3 ·A -2
Capacitat elèctrica farad F C·V -1 m -2 ·kg -1 ·s 4 ·A 2
Flux magnètic weber Wb V·s m 2 ·kg·s -2 ·A -1
Inducció magnètica tesla T Wb·m -2 kg·s -2 ·A -1
Inductància henry H Wb·A -1 m 2 ·kg s -2 ·A -2
Fig. 3.17. Unitats SI derivades amb noms i símbols especials

112 3.- Enginyeria
3.- Enginyeria 113
Gustave Eiffel
La natura és font d’inspiració per a l’enginyeria
des de fa segles. Tal com ja hem comentat anteriorment,
Leonardo da Vinci va inspirar les
seves màquines de vol en l’estructura i els moviments
d’ocells i ratpenats. El francès Gustave
Eiffel va copiar del fèmur humà les curvatures
de la seva torre de París. Més recentment, els
dissenyadors del tren bala japonès han buscat
solucions al seu impacte acústic en les plomes
dels mussols, que fan d’ells les aus més silencioses.
Per cert, ja que parlem de Gustave Eiffel, sabíeu
que va ser soci de l’Associació d’Enginyers Industrials
de Catalunya? A la figura 3.19 podeu
veure la seva signatura al seu llibre La tour de
trois cents metres, llibre que va regalar a l’Associació.
Fig. 3.18. Llibre de Gustave Eiffel
En aquest llibre, Eiffel dóna les indicacions precises
dels seus càlculs, dels materials emprats
i tots els detalls i observacions de la construcció
de la torre. Tots els documents daten entre 1889
i 1900. La Torre Eiffel de Paris simbolitza l’audàcia
tècnica de finals del segle XIX, i encara
conserva el seu atractiu universal.
Fig. 3.19. Signatura d’Eiffel

114 3.- Enginyeria
Fig. 3.20. Llibre d’Eiffel al col·legi: La tour de trois cents metres Fig. 3.21. Notes del llibre d’Eiffel
3.- Enginyeria 115

116 3.- Enginyeria
Fig. 3.22. Pegaso Z-102
Els Pegaso
Tal com hem comentat abans, Leonardo va dissenyar
el que està considerat com el primer automòbil
de la història, però veritablement el
naixement de l’automòbil data del 29 de gener
de 1886 amb el tricicle de Benz.
Ben aviat es van distingir tres atributs fonamentals
que caracteritzaven l’automòbil: poder en
sentit polític, econòmic i social, acceleració de
la velocitat biològica i bellesa estètica.
L’enginyer català Wifredo Pelayo Ricart va fer
realitat una de les seves aventures més agosarades:
els Pegaso Z-102 i Z-103, per a automòbils
de gran turisme, esport i competició.
3.- Enginyeria 117
Aquests cotxes eren insòlits per a l’Espanya
dels anys quaranta i cinquanta.
El Pegaso Z-102 es va fabricar a Barcelona
entre els anys 1951 i 1957 i oferia unes característiques
de disseny tècnic i d’enginyeria tremendament
innovadores amb relació a les fites
de l’època, Ferrari o Jaguar, per exemple.
Wifredo Pelayo Ricart i Medina va treballar més
endavant per a Alfa Romeo.
Fixeu-vos què va dir P. Berliet, constructor de
camions:
“W. P. Ricart est le Leonardo da Vinci de
l’automobile.”

118 3.- Enginyeria
Fig. 3.24. Espetacle musical a les fonts de
Montjuïc
“Moltes vegades he pensat
que Carles Buigas és
una mena de reencarnació
de Leonardo da Vinci, l’enginyer
i artista polifacètic...
Els parangons entre Leonardo
i l’enginyer Buigas
són notables.”
La font màgica
Fig. 3.23. Fonts de Montjuïc
Però Ricart no és l’única persona a qui han
comparat amb Leonardo da Vinci. Josep M. Gironella,
l’abril de 1973 va dir (text del marge) de
Carles Buigas i Sans (1898-1979).
Quan els treballs per a la gran Exposició Universal
de 1929 a Barcelona estaven ja molt avançats,
els seus organitzadors van considerar que
faltava “alguna cosa” especial que la fes diferent.
Va ser llavors quan el jove enginyer Carles
Buigas va presentar el seu projecte per a una
“obra colossal, atrevida i costosa”: les fonts de
Montjuïc! El projecte va sorprendre i enlluernar
i, en menys d’un any, més de 3.000 obrers van
convertir en realitat el somni de Buigas i van
omplir de llum, aigua i color la gran avinguda
que hauria de ser la via principal de l’Exposició.
Sens dubte, la Font Màgica és un dels atractius
de la ciutat de Barcelona!
3.- Enginyeria 119
L’escut dels Enginyers Industrials
Fig. 3.25. Escut dels Enginyers Industrials de Catalunya
Com a última curiositat d’enginyeria, us heu
preguntat mai com es va dissenyar l’escut dels
enginyers industrials, i quan es va crear la versió
que tenim actualment?
Els escuts de totes les enginyeries han tingut
nombroses variants, però pel que fa a les figures
mai hi ha hagut canvis importants, llevat del
de 1910 per l’Enginyeria Industrial.

120 3.- Enginyeria
El nou escut (1910) es presenta amb figures que
fan referència a la mecànica, la química i l’electricitat,
les tres especialitats que existien aleshores.
Un dels elements decisius que va
motivar la creació del nou emblema va ser la
creació, en el Pla d’Estudis de 1907, de l’especialitat
elèctrica. Des dels seus orígens el 1850,
l’enginyeria industrial s’havia definit com mecànica
i química, i s’ensenyava electricitat però
sense tenir rang d’especialitat.
El nou escut és degut a Ramon Marqués i
Fabra, enginyer industrial per l’Escola de Barcelona
(va fer la Revàlida el 1907), sotssecretari
segon de l’Agrupació d’Enginyers Industrials de
Barcelona (octubre 1908 – octubre 1910) essent
president Josep Serrat i Bonastre.
A l’escut, doncs, es fa referència a les especialitats
de Mecànica, amb un regulador de boles
(mecanisme típic de les màquines de vapor); de
Química, amb un tub d’electròlisi, i d’Electricitat
amb un electroimant.
Amb els anys s’han anat introduint noves especialitats
a l’Enginyeria Industrial, però la simbòlica
central de l’escut continua essent la
mateixa.
El regulador de boles de la màquina de vapor
és el símbol per excel·lència de la primera Revolució
Industrial.
3.- Enginyeria 121
Entreteniments d’enginyeria
Una vegada més, i aquest cop és la darrera, ha
arribat el vostre moment. Sereu capaços de resoldre
amb èxit els enigmes i entreteniments
que us proposem a continuació?
Enginyers catalans
Doncs ara toca una mica d’història de l’enginyeria
industrial a Catalunya. Sabríeu associar el
nom dels enginyers de la primera columna amb
els conceptes de la segona columna?
Esteve Terrades i Illa
Pompeu Fabra
Carles Pi i Sunyer
Narcís Xifra i Masmitjà
Santiago Rubió i Tudurí
Josep Roura i Estrada
Valentí Esparó
Llum de gas
Primeres instal·lacions elèctriques a Barcelona
Metro transversal
Normalització de la llengua catalana
Ministre de Treball
Funicular de Montserrat
La Maquinista

122 3.- Enginyeria
Fig. 3.26. Olympiapark a München
Quàdriques i enginyeria
Us heu fixat mai en la quantitat de vegades que
apareixen com a exemples d’aplicació a l’enginyeria
les superfícies quàdriques? Aquestes
figures apareixen de manera molt particular a
l’arquitectura de Gaudí però també les trobem a
molts altres edificis del món.
A la figura 3.26 podem veure l’Estadi Olímpic de
München.
3.- Enginyeria 123
Sabríeu identificar aquestes figures amb els
seus noms?
Fig. 3.27.a
Fig. 3.27.b
Fig. 3.27.c
Fig. 3.27.d
Fig. 3.27.e

124 3.- Enginyeria
Estratègia
1) A la figura que veieu a continuació trobeu un
quadrat subdividit en quatre regions. A tres d’elles
trobeu respectivament tres peces: un quadrat,
un triangle i un cercle. Seríeu capaços de
permutar entre si la posició de la rodona i el
quadrat? Trobeu el trasllat de menor nombre de
moviments possible.
Fig. 3.28. Taulell de l’exercici 1 Fig. 3.29. Taulell de l’exercici 2
3.- Enginyeria 125
2) Al taulell que trobeu tot seguit veieu 6 fitxes
numerades i col·locades, les fitxes 1, 2 i 3 a la
secció nord i les restants a la secció sud. Entre
les dues seccions hi ha un passadís estret per
on només pot passar una fitxa alhora. Disposem
també d’un espai lliure on també podem
estacionar una sola fitxa. Com us ho faríeu per
passar les fitxes 4, 5 i 6 a la secció nord i les altres
tres a la secció sud amb el menor nombre
possible de moviments?
1 2 3
espai lliure passadís
4 5 6

126 3.- Enginyeria
Fig. 3.30. Representació de la zona a estudiar
en el problema: passejant per
Barcelona.
Passejant per Barcelona
Ens trobem a l’Eixample de Barcelona. En particular
ens trobem a la cruïlla dels carrer Muntaner
i València. Tot just ens disposem a anar a la
cruïlla dels carrers París i Balmes. Quants traçats
mínims diferents podrem seguir per arribar
al nostre destí?
Camí de casa
Cada dia, una dona espera el seu marit a l’estació
de tren per dur-lo a casa amb cotxe. Un dia
l’home arriba a l’estació una hora abans del previst
i decideix caminar en direcció a casa seva,
tot seguint la ruta que sempre segueix la seva
dona amb el cotxe. Ella se’l troba pel camí i el
transporta fins a casa la resta de trajecte. Si
l’home hagués esperat a l’estació, la seva dona
l’hagués recollit exactament a temps. Tal i com
van succeir les coses, van arribar a casa seva
vint minuts abans. Quant de temps ha caminat
l’home?
3.- Enginyeria 127
Reconeixent fórmules
El que us proposem en aquest entreteniment és
que reconegueu una col·lecció de fórmules que
us presentem a continuació. Totes elles són fórmules
d’àmbit matemàtic, físic i d’enginyeria, és
a dir, us heu trobat amb totes elles en algun moment
de les vostres carreres, però sereu capaços
d’identificar-les i batejar-les totes?
Comproveu-ho vosaltres mateixos!

128 3.- Enginyeria
Qüestions amb trampa
1) Per un objecte es paguen 9 € més de la meitat
del que val. Quant val?
2) Un noi ens explica que fa diversos anys viatjava
diàriament de Barcelona a Manresa i tornava.
En anar emprava sempre una hora i vint
minuts, però en tornar trigava tan sols 80 minuts.
Quina explicació doneu a aquest fet?
3) Un tren surt de Barcelona en direcció a Tarragona
a 40 km/h de velocitat. Un altre tren surt
de Tarragona mitja hora més tard a 60 km/h. La
distància de Barcelona a Tarragona és de 90
km. En el moment en què els trens es creuen,
quin d’ells està més a prop de Tarragona?
4) Un negociant separa a l’inici de cada any 100 €
per a despeses de l’any, i augmenta tots els
anys el seu capital en un terç. Després de tres
anys, troba duplicat el seu capital. Quin era el
capital en començar el primer dels tres anys?
3.- Enginyeria 129
Divisibles curiosos
Si a un nombre qualsevol li restem la suma de les
seves xifres, el resultat és sempre divisible per 9,
per què?
Si multipliquem el producte de dos nombres
qualsevol per la diferència dels seus quadrats, el
resultat sempre és divisible per 3, per què?
Les pomes verinoses
Dues de cada tres pomes del cistell de la bruixa
estan enverinades. El verí està localitzat en petites
dosis que la bruixa ha incrustat en algunes
de les pomes, de forma que si no es pren la dosi
no hi ha enverinament, tot i que es mengi una
part de la poma enverinada. Es pren una poma
del cistell i, amb cura, es talla en quatre parts
iguals. Es mengen les tres primeres i no passa
res. Quina és la probabilitat que s’enverini després
d’haver menjat la quarta part de la poma?

130 3.- Enginyeria
Ponts del món
A tots els racons del món es poden trobar ponts, més o menys interessants.
A continuació us mostrem alguns dels ponts més bells del món. Sabríeu situar-los?
3.- Enginyeria 131

132 3.- Enginyeria
Distribuïm nombres
Els nombres de l’1 al 14 estan distribuïts en 3 capses
de la forma següent:
0 3 6
8 9
2 5 10
12 13
1 4 7
11 14
A quina capsa corresponen els tres números següents,
és a dir, 15, 16 i 17?
3.- Enginyeria 133
Les solucions als entreteniments les trobareu a la pàgina web: http://www.eic.cat/comissions/solucions.htm Les solucions als entreteniments les trobareu a la pàgina web: http://www.eic.cat/comissions/solucions.htm

134 3.- Enginyeria
Les solucions als entreteniments les trobareu a la pàgina web: http://www.eic.cat/comissions/solucions.htm
Bibliografia

136 4.- Bibliografia
Referències bibliogràfiques
1. Boyer, C.B. Historia de la matemática.
Alianza Editorial. 1986.
2. Calm, R., Coll, N., Estela, M.R. Problemes de
càlcul. Editorial Micromar. 1994.
3. Carroggio. Fotografiando las matemáticas.
Editorial Carroggio SA. 2000.
4. Carroll, Lewis. Problemas de almohada.
Editorial Nivola libros y ediciones, SL. 2001.
5. Coll, M., Vallvé, J., Riera, S., Freixa, E. Quatre
enginyers industrials per a la història: Carles Pi i
Sunyer, Pompeu Fabra i Poch, Rafael Campalans
i Puig i Josep Serrat i Bonastre. Associació
i Col·legi d’Enginyers Industrials de Catalunya.
La Llar del Llibre, SA. 1989.
6. Diputació de Barcelona. Memòria d’un miratge.
2001.
7. Estela, M. Rosa. Fonaments de càlcul. Edicions
UPC. 2005.
4.- Bibliografia 137
8. Fixx, James. Juegos de recreación mental
para los muy inteligentes. Editorial Gedisa, SA.
2004.
9. Frabetti, Carlo. El libro del genio matemático.
Ediciones Martínez Roca, SA. 2002.
10. Gamow, George. Biografía de la física.
Alianza Editorial. 2001.
11. Hawking, Stephen W. L’Univers en una
closca de nou. Ed. Crítica. 2002.
12. Hawking, Stephen W. Diós creó los números.
Los descubrimientos matemáticos que
cambiaron la historia. Ed. Crítica. 2006.
13. Jürgen, Hans. Experimentos sencillos con
fuerzas y ondas. Ediciones Oniro, SA. 2006.
14. Lévy-Leblond, J.M., Butoli, A. La física en
preguntas. Electricidad y magnetismo. Alianza
Editorial. 2003.
15. Mandelbrot, Benoît. La geometría fractal de la
naturaleza. Metatemas. Editores Tusquets. 2003.

138 4.- Bibliografia
16. Muntaner Coca, M. Dolors. Petita Història
de l’enginyeria industrial a Catalunya. Editorial
Mediterrània. 2001.
17. Navarro, A., Moral, T. Enginy3 . Reptes d’agudesa
mental. Editorial Empúries. 2004.
18. Rodríguez Vidal, Rafael. Diversiones matemáticas.
Ed. Reverté. 1996.
19. Silva Suárez, Manuel. Uniformes y emblemas
de la ingeniería civil española. Institución
Fernando El Católico (CSIC). 1999.
20. Silva, M. Paz. 22 anys amb Buigas. Edicions
Thor. 1981.
21. Walser, Hans. The golden Section. The Mathematical
Association of America. 2001.
Referències electròniques
http://mathworld.wolfram.com
http://www.wikipedia.org
http://www.psicoactiva.com/
http://www.lairweb.org.nz/leonardo
http://www.grc.nasa.gov
http://www.sxc.hu
http://www.technology.ksc.nasa.gov
http://www.sti.nasa.gov
http://www.northern-lights.no