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TRATADO

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. .

TRATADO

DE LA TRIGONOMETRÍA.

Plana y Esférica^

J /Ay

«¡fc.*

CONTINUACIÓN;' ^

DEL COMPENDIO DE MATEMÁTICAS

QUE DISPUSO

DON ANTONIO GABRIEL

FERNANDEZ,

COLEGIAL QUE FUE DE ESTE REAL

Seminario de San Telmo de Sevilla, y Maestro

de la Compañía de Cavalleros Guardias Marinas

para su uso , y ahora se reimprime para el de

dicho Real Seminario, agregándole un apéndice

que amplifica mas el conocimiento de la Trigonometría

esférica: las Tablas Logari.hmicas

de números naturales, y las de los

Senos y Tangentes.

CON LICENCIA:

En Sevilla: En la Oficina de Vázquez, Hidalgo, y

Compañía, Impresores de dicho Real Seminario.

Año de 1788.


Fol, 3

TRATADO TERCERO

Dc la Trigonometría.

TRigonometria es la ciencia , que enseña á resolver los tiiar.gu.os,

conociendo primero las partes competentes, para su resolucion-

Bivideseen Plana , y Espherica. La Plana trata de los triángulos pia-

. nos, ó rect iii neos ; y la Esférica de los triángulos esféricos. Una,

! y otra necesita para sus operaciones de las tablas de los Senos Tangena

«tes, y Secantes, cuyo calculo pende dc la proporción de l.s recias dc

el circulo con el radio , ó semidiámetro , el qual se divide en 100000.

; o en 10000000. partes : Y para mayor facilidad de las operaciones

inventó el ingenioso Nepero otros números artificiales, llamados Logarithmos

, que substituidos en lugar de los naturales antiguos , han fí*.

cuitado en gran manera las operaciones Trigonométricas.

Divido , pues, este Tratado en tres libros : El primero contiene,

la construcción , y uso de las tablas sobredichas. El segundo trata de

la Trigonometría Plana: y el tercero de la Esférica.

LIBRO PRIMERO.

DE LA CONSTRUCCIÓN, YVSO T>E ZAS TABLAS

de los Senos , Tangentes , y Secantes naturales^

y de los Logarithmos.

DEFINICIONES.

Fig, i. Lam. i.

I. Jl/l"EliJa de qualquier ángulo rectilíneo es el arco Íe circuí*

-"-*- descripto de el concursa , o punto angular , con qualquier

distancia , y comprehendido de las dos recias , que le forman. Como

el arco CG. es medida de el ángulo GAC

a. Cuerda , o Subtensa de un arco es la. recia , que juntn. los extremos

de el arco. ComoBM. es cuerda de el arco BNM. porque junta sus

extremos.

3. Seno re&o , i> primero de an arco (GC ) o ángulo ( GAC. ) _ S

larcTla (GF.) que dt el extremo (G.) cae perpendicular sohre el diámetro

( MC) que pasa por el otro extremo (C) y también lo es de el

arcoGBM. complemento alsemicirculo de el arco GC Porque, respedio

de la definición ,. le conviene a entrambos arces: por cuya causa

en las Tablas de los Senos basta , que lleguen á los grados de un

quadrante.

De

^


4, Tratado tercero

De aqui se infiere , que el Seno primero de un arco es la mitad

de la cuerda dc él arco duplo. Porque ( p. 3. 1. 3. Eue. ) BI. és la mitad

de BM. cuerda de el arco BNM. duplo de BN.

4. Seno tod-i, _> total es el Seno recio de el quadrante , o arco de qO

grados , que es el mismo radio. Como la re¿.a BA. -perpendicular al

diámetro MC. en el centro A. es Seno dt* el quadranee BC ó an°ulo

recio BAC. Llamase también Radio , y Seno máximo , por ser el mayor

de todos los Senos

í. Seno segunda, o de complemento da un arco, o ángulo es el

Seno primero de su diferencia al quadrante , o por defecto , ó por

exceso. Como si el arco es GC. menor que el quadrante , su diferencia

al quadrante es GB. y su Seno primero GH. es Seno segundo, ó de

complemento de el arco GC. y si el arco es GBM. complemento al se-'

micirculo de GC. será BG. asimismo diferencia al quadrante BM. por

exceso, Y asi GH. que es Seno primero de GB y Seno 1. de GC. es

asimismo Seno 1. de su complemento al semicirculo GBM.

6. Seno verso , o Sagita es ta porción de el diámetro comprehendido

entre el Seno primero de un arco , y el mismo arco. Y asi FC. es

Seno verso de el arco CG. De que se colige , que si de el radio AC. sé

quita FA. ó su igual GH. Seno segundo dc dicho 3rco., el residuo FC.

cs el Seno verso de el arco GC. pero el Seno verso de el arco GBM. es

igual a la suma de el radio MA. con AF. Seno 1. de dicho arco.

7. Tangente de un arco es la recia , que le toca en un extremo , y

Se termina en la recia , que , saliendo de el centro , pasa por el otro

extremo. Como U reina DC se llama Tangente de el arco GC. porque

toca a el arco en el extremo C y fenece en la recta AD. qt_e pasa por el

otro extremo G. y esta se llama Tangente primera para diferenciarse de

la Tangente segunda , que es la Tangente 1, de el complemento al quadrante

: Como la BE. que siendo Tangente 1. de el arco BG. es Tangente

a. de el arco GC

8. Secante es la recia , que saliendo de el centro , corta h el circulo

, y se termina en la Tangente de algún creo Llamase Secante primera

, la que se termina en la Tangente primera : y segunda , la que se

termina en la Tangente segunda. Como AD. ei Secante primera de el

arco G 2. 6 ángulo GAC. porqae se termina en la Tangente primera

CD. y AE. es S-cafit*. segunda de el arco GC. porque se termina en lá

Tangente segunda BE.

Los arcos mayores de 90. grados , y ángulos O'atusos no tienen

otras Tangentes,' ni Secantes , que las de sus complementos al semicírculo.

Y asi, si cl arco. 6 ángulo es de 120 grados , su Tangente 1. y

segunda, y su Secante primera , y segunda , será la misma , q-.ie la de

6,0. grados, qae es su complemento al semicirculo. Nótese , que quando

se dice absolutamente Seno , Tangente , o Secante , se entiende

Sena 1. Tangente 1. y Secante 1,

CAPI-

¿e la Trigonometría. 5

CAPITULO I.

D E LOS FUNDAMENTOS, Y COMPOSICIÓN HE LOS

Senos , Tanganes , y Secantes.

PROPOSICIÓN I. PROBLEMA.

Dado el Seno primero ( CB- ) de el arco ( AB. ) hallar el Seno fe,

gundo (FB. ) de el mismo arco, {fg- 2.)

EN el triangulo reílangnlo DCB. el quadrado de BD. es igual

(p. 47. 1. 1. Eue ) á los quadrados de DC. BC. Luego restando

el quadrado de BC. de el quadrado de BD. el residuo será el quadrado

de DC ó (p. 34. I. 1. Eue; de su ¡gual FB. y su raiz qaadrada será

el Seno FB. que se busca.

PROPOSICIÓN II. PROBLEMA.

DadoelSeno (CF.) de et arco ( CG.) hallar el Seno (DE.) di el

arco duplo (DC) {fg. 3.)

BUsquese (por la 1. ) el Seno 1. de el arco CG. á quien es igual BF.

Y porque los triángulos BFC. CED. son equiángulos, porque tienen

el angula en C común , y los en E- y F. recios , será ( p. 4. 1- 6.

Eue.) como BC Radio á BF. Seno 2. de el arco CG. asi CD. dupU

de el Seno CF. á DE. Seno de de el arco DC. duplo de CG.

Corolario.

COnocido el Seno DE. se hallará el Seno de la mitad de el arco*.

Porque ( por la 1. ) se conoce a BE. que restada de el Radio BC.

queda conocida EC pero ( p. 47. 1. »• Ruc ) los quadrados de DE.

EC. son iguales al quadrado de DC Luego se conoce DC. cuya mitad

( def. 3. ) es Seno de el arco CG. mitad de DC.

PROPOSICIÓN III. PROBLEMA.

Dadas tos Senos ( BG. Cl. ) di los arcos ( AB. CB. ) Hallar el Seno*

( CD. ) de el agregado de entrambos, {fg- 4- )

Tírese Hf. paralela á BG. y El. á FA. Y porque los triángulos rectángulos

CIO. DOF. tiene.» los ángulos en O. (p r?. I. 1 Eue)

¡guales, serán ( p. 32. 1.1. Eue) equiángulos ; p^" tamble». to it-»CJ»-'

CIO. (p. 8. 1. 6. E.JC.) luego CÍE. es e*-pakr.galo a! trunS.:»« *.»*•

o á los FHI. FGB luego (p. 4. 1. 6 Eae.) como FB rad.*-* A _•-!.

m


E


& Tratado tercero

Seno 2. de e! arco BC. conocido ( pot 3a primera) así BG. Seno de BA.

á IH. ó su igual ED. Asimismo como BF. radio á FG. Seno 2. de el

arcoBA. asi CI. á CE, que sumada con ED, se tendrá CD. que»

busca.

Coro tario.

COnocidos los Senos CD. BG. se puede conocer el Seno CI. de la diferencia

de los dos arcos AB AC. en esta forma: Hállese (p. i.)

FG. Seno *_.. de el arco AB. y FD. Seno-a. de el arco AC. y dígase:

Como FG. a BG. asi FD. á DO. réstese DO de DC y quedará OC.

conocida. Dígase tanibien: Como FB. á FG. asi ÜC. á CI. Seno , que

se pretende.

PROPOSICIÓN IV. PROBLEMA.

Hallar los Senos de 30. y de 45, grados.

L Radío es igual (cor. t, p. 32. 1. _. Eue.) á la cuerda de -5o.

E grados: luego (def. 3.) su mitad es Senode 30. grados. ]

£1 Seno de 4»;. grados se hallará en esta forma : Dóblese el quadrado

de el Radio MA. (fig. 1.) y este duplo es el quadrado de la

cuerda de 90. grados BM. ( p. 47. 1. 1. de Eue. ) y su raiz quadrada

es el valor de BM. cuya mitad será la MI. Seno de 4J. grados.

PROPOSICIÓN V. PROBLEMA.

Fabricar por las proposiciones antecedentes las tablas de los Senos.

SUpongase el Radio dividido en 10000000. y su mitad ( p. 4. ) es el

Seno de 30. grados , con este se sabrá (cor. p. a. ) el seno de U

mitad de dicho arco , que es de 1 J, grados , y el de la mitad de este 7.

grados 30. minutos: Después el de 3. grados y 45. minutos, y asi continuamente

subdividiendo , hasta hallar el Seno de cl arco de ya. seg.

44, tere. 3. quartos, 49. quintos.

El seno de un minuto se hallará en esta forma : Porque el ultimo

Seno , que se halló es mui pequeño , por no llegar á minuto, como

también lo es el Seno de un minuto , tendrán entre sí la misma razón,

que sus arcos , porque no se diferencian sensiblemente de las lineas rectas.

Reduzganse, pues, los • Eue. ) son

equiángulos , y ( p. 4, 1. 6. Eue.) AF. á FG. es como AC. á CD. Con.

esta proposición se hallan las Tangentes de todos los arcos.

PROPOSICIÓN VIL THEOREMA.

JEI radio es medio proporcional entre el Seno segundo , y Secante I. dsun

arco , y entre el Seno 1. y Secante a. y entre la Tangente l. y 2.

de un arca. (fg. 1.)

"TfEmonst. 1. Los triángulos AFG. ACD. (por lo dicho en la ante-

•^ cedente) son equiángulos : laego ( p. 4. L 6. Eue. ) el Seno ai-

HG. ó su igual AF. al radio AG. es como el radio AC. á la Secante

AD.

Lo 2. Los triángulos HAG. BAE. tienen los ángulos en H. y B.

redos, y el ángulo BAE. comun : luego son equiángulos , y ( p. 4.

1. 6. Eue. ) es el Seno 1. GF. ó HA. su igual, al radio AG. como el

radio AB. á la Secante a. AE.

Lo 3. Porque las recias CA EB. son perpendiculares al radio AB.

serán paralelas, y ( p. 29. 1. ». Eue. ) los ángulos altemos CAD. BEA.

serán iguales , y siendo los ángulos en B. y C «¿tos , los triángulos

ACD, EBA. son equiángulos: luego será ( p. 4 1. 6. Eue.) como DC.

Tangente 1. á. CA. radio, asi AB. radio á BE. Tangente ,3. de el

arco GC

Con esta prop. se hallan las Secantes de todos los ai eos : y también

firve para poner en primer lugar al radio , quando no lo está en la ana»,

logia, y facilitar la operación » como se dirá en su lugar» La


g , Tratado tercero

La resolución de estos triángulos se consigue con la dcclrína de los

Sc'-os , Ta: g/ntes , y Secantes , que queda establecida en este Capitulo,

forma idí. una regla de 3 con los términos conocidos »; multiplicando

clregundo por el tercero, y partiendo el produelo por el primero:

lo que cs naui cansado , y prolixo en números tan crecidos , como tienen

las Tablas. Este gran trabajo alivió la celebérrima invención de los

Logarithmos: porque la suma de estos equivale á la multiplicación de

aquellos, y la resta á la partición. De estos nu meros artificiales tratamos

en los Capítulos siguientes.

CAPITULO II.

DE LA NATURALEZA , Y PROPRIEDAD DE LOS

Logarithmos cemunes, y de la construcción dc sus tablas.

1

" Ogarithn.os son unos números artificiales, que proceden en Progredi

sion Arithmetica , substituidos , y correspondientes

á otros , que proceden en Progresión Geo- A. B. C. D.

métrica. Sea una serie A. de números dispuestos

en Progresión Geométrica , á quien corres- 1 0


ei o x Tratado tersero

tac. Luego lá suma de los Logarithmos de A. y B. es igual (p. 8.)

,á ia délos Logarithmos de D. y C. estoes, al de el produdo C por»ique

el Logarithmo de la unidad D, se supuso cero.

-.' tj ,; , . - , . , .•

••- Corolario. • .. . * 1

D

. i

E aqui se colige, que la suma sola dejos Logarithmos equivale

á la multiplicación de los números Geométricos : y también la

resta á la partición. Porque si se parte C. par B. vendrá A. Y si se

resta de el Logarithmo de C. ei de B. vendrá el Logarithmo de A.

' " ' ' ' '

..' • PROPOSICIÓN XI. THEOREMA.

Dl Logarithmo de el quadrado (C.) es igual al duplo Logarithmo de

la raiz (B. ) quando ti Logarithmo de la untnad es cero : y el Le-

. garithmo de el Cuvo (D. ) es igual al triplo de el Logarithmo, "da

¡í._ la /•-.;•_.(B,)

"T\Emonst. Según la def. de el multiplicar, la uní- S A.B.C.D.

dad A. á la raiz B. es como B. á. su quadrado ¿ 1.4.16.64,

C. luego (por la ant.) dos Logarithmos de B. son iguales al Logarithmo

de el quadrado C luego este es duplo de un Logarithmo de B.

Y porque la raiz B.. multiplicando al quadrado C produce el Cuvo

D. serán proporcionales A. a B. como C a D. luego (porla an-i

tec.) el Logarithmo de el Cuvo D. es igual á los Logarithmos de B.

y C. Pero el Logarithmo de C. se ha demonstrado duplo de el dc B.

luego el Logarithmo,de el Cuvo D. es triplo de el de la raíz B. Poi

la ,tjaisnj.a razón el .Logarithmo de.el quadrado-quadrado es Igual al

quadrupio Logarithmo de la raiz: y asi de las otras potestades.

Corolario.

DE aqui se colige, que la mitad de el Logarithmo de el quadrado",

es el Logarithmo'de su raiz, y', et tercio dé el Logarithmc.

de el Cuvo será el Logarithmo de la raiz, &c.


Hallar

PROPOSICIÓN XII. PROBLEMA.

entre dos Humeros dados utr medio Geométrico proporcional.

Multipliqúense los dos números dados , y. el. produci» ( p, 17. I.

6. Eue.) será et quadrado de él medio proporcional , de el

qual, sacando la raiz quadrida _ será el medio Geométrico propou-


12 Tratado tercero

Hecho esto: volviendo al principio de la formula cntre'cl Logarithmo

de A. y el Logarithmo de B. se hallará (p 13.) cl medio

Arithmetico C que es el Logarithmo de el medio Geométrico C. Luego

se irá continuando la operación , buscando siempre los medios

Arithmeticos, ó Logarithmicos correspondientes á los medios Geométricos

, siguiendo el mismo orden , con que estos se fueron hallando,

y en la ultima operación se hallará el Logarithmo correspon*diente

al numero 9.0000000. que es 0.9542425. y quitándole al dicho

numero los ceros , que se le añadieron, quedará el numero 9.

y su Logarithmo 0.9542425.

De la misma suerte se busca el Logarithmo de el numero 2. el

qual se encuentra á las 32. operaciones. Y con estos dos Logarithmos

se hallarán los dc los otros números intermedios entre _. y 10. porque

(p. 10.) el Logarithmo de 2. duplicado , será el Logarithmo

de el 4. y la suma de el a. y de el 4. será el Logarithmo de

el 8. Asimismo ( cor. u. 11.) Ia mitad de el Logarithmo de el

9. será Logaritbmo de el 3. que es su raiz quadrada: y sumando el

Logarithmo de el 3. con el de el a. se tendrá el Logarithmo de el 6.

Y restando el Logarithmo de el n. de el de 10. (cor. p. 10.) quedará

el Logarithmo de el-j. Y asi hallados con dicha invención los Logarithmos

de los números 2. y 9. no hay necesidad de buscar otros,

que el de el numero primo 7.

De el mismo modo , hallados los Logarithmos de los números

primos entre los otros términos de la Progresión Geométrica , se sabrán

fácilmente los dc los compuestos por las prop. antes citadas t

con lo qual quedará formada la tabla de los Logarithmos de los números

desde la unidad, hasta el 10000. que cs lo ordinario.

PROPOSICIÓN XV. PROBLEMA.

Construir las Tablas Logarith micas de los Senos.

LOS Senos Logarithmicos se construyen mediante la tabla de Senos

naturales, tomando los Logarithmr>s , que corresponden á

los números Geométricos de dicha tabla ; pero no ha de ser esta de

las comunes, sino 01ra aumentada con tres cifras, que se añadieron

para mayor exacción.

Por exemplo. En el Seno natural de un minuto , que en las

tablas comunes es S909. cuyo Logarihmo es 5.4^374.3-7. siendo asi,

que el Seno Logarithmico de I. minuto que se pone en las tablas es

6.46372,6_. que corresponde al Seno natural de la tabla aumentada

a.9o888a. de quien quitando los tres guarismos últimos , queda cl

Seno natural. 2^08. y por ser tan crecidos , los que se han quitado

se pone en la tabla comun 0909. por lo qual los Logarithmos substituidos

en su lugar son mayores, de lo que las tablas comunes natura-

da la Tr'igenotñitrl*. 1%

turales expresan. Mas porque no tenemos tablas Logarithmicas tan

crecidas, que correspondan á los números Geométricos de las-tablas

aumentadas , es menester valemos de el Problema , que se pone en el

cap. siguiente, en el qual diremos el modo de hallar el Logarithmo

de un numero mayor, de el que tienen las Tablas.

PROPOSICIÓN XVI. PROBLEMA.

Construir las Tablas de las Tangentes , y Secantes Logarithmicas.

I- OS Logarithmos de las Tangentes,y Secantes se pueden calcular: de

j el mismo modo, que los Logarithmos de los Senos, mas esto se

puede hacer mas fácil, y exádamente por medio de los Logarithmos

de los Senos, según cl Problema siguiente.

1. El Seno segundo de un arco al Seno primero (p. 6.) es como

el Radio á la Tangente de dicho arco: luego (cor. p. 8.) si de el

agregado dc los Logarithmos de el Seno t. y Radio se resta el Logarithmo

de el seno segundo, se hallará el Logarithmo de la Tangente.

ft. El Radio es medio proporcional (p. 7.) entre el Seno 1. y la

Secante primera de un arco: luego (cor. p. 9.) si de el duplo de el

Logarithmo de el Radio se resta el Logarithmo de el Seno segundo,

quedará el Logarithmo de la Secante.

Mas breve se hará esto, tomando el complemento Logarithmico

de et Seno segundo, que es lo que falta para el Radio, y añadiéndole

la unidad á la caraderística.

CAPITULO III.

DE EL USO DE EL CANON TRIGO NO METICO, Y TABLA

Logarithmica.

L AS Tablas de el Canon Trigonométrico son en dos maneras : unas

que contienen bs Senos, Tangentes, y Secantes, naturales , y

otras los Senos, y Tangentes Logarithmicas. De estas Logarithmicas

j nos valemos ordinariamente , por ser mas fáciles para las operaciones

, y su explicación es la siguiente.

Cada pagina de estas tablas tiene dos partes, y cada parte tiene

tres columnas: de las quales la primera contiene los minutos de el

grado , que está sobre las columnas: la segunda los Senos : y la tercera

las Tangentes Logarithmicas , que corresponden al dicho grado,

y minutos; Haviendo esta diferencia entre las dos p-.rtcs de cada plana,

que en la primera están los grados desde o. hasta 44. y los. minutos

se cuentan de arriba para abaxo ; y en la segunda están los

grados desde 89. hasta 45. y sus minutos, se cuentan, de abaxo para.

arriba.

Después de estas tablas están las. de los. números Logarithmicos;

corres.-

I


14 Tratado tetbefO •-'•

crirrespc'u.Vcníes á los números absolutos, que están de la parte iz-r

quicrda;,de sus columnas desde i. hasta icooo. Estas tablas sirven

c.-i .la,s resoluciones de la Trigonometría Plana, tomando los Logar¿.thmo,s

,,."qj»e :-Go.ri-esponden-álos números dados de los lados. El uso

de dichas tablas se .expl'ic^{,en-las proposiciones siguientes.

PROPOSICIÓN XVII. PROBLEMA.

. Hallar los Senos, y Tangentes de los arcos , o ángulos.

i. C^-A dado cl ángulo de 30. grados 40. min. pidese su Seno

C3 primero, y Tangente primera. Búsquese en la parte superior

de la tabla los 30. grados , y en la primera columna de mano

izquierda los 40. min. y siguiendo la linea , que vá de margen

á margen , se hallará ser el Seno i, 9.7076064. y su Tangente

1. 9.7730327. Si se busca el Seno 2. y Tangente 2. de dicho ángulo,

se seguirá la misma linea hasta la segunda parte de la misma pagina,

y se hallará ser el Seno 2, 9.9345738. y la Tangente a. 10. 2269673..

2. Pidese el Seno Logarithmico de 27. grados 24. min. 35. segundos.

Hállese como antes el Seno 1. de 27. grados 24. min. que

será 9.6629464. Tómese asimismo su inmediato siguiente , que cs

9.6631900. réstese el menor de el mayor, y seiá la diferencia 2436.

Digase por regla de tres: Si 60 segundos, que tiene un minuto, dan

a.436. quedarán 35. segundos? Y se hallará , que dan 1421. lo que

añadido al primer Logaritbmo 9.6629464. por ser menor, que eL

segundo, la suma 9.6630885. será el Seno Logarithmico de el ángulo

dado. Lo mismo se hará para las Tangentes Logarithmicas.

PROPOSICIÓN XVIII. PROBLEMA.

Dítío et Seno , 6 Tangtnte Logarithmica de un Arce , o Ángulo , ía»

. llar el Ángulo , ó Arco.

j. ^EA dado el Seno Logarithmico 9.7076064. Pídese la cant_3

tidad de el arco, ó ángulo , de quien es Seno primero.

Búsquese en la columna de los Senos el sobredicho Logarithmo , ó

su próximo menor , sino se hallare justo , y encima se hallarán 30.

grados, y en la parte siniestra 40. minutos. Y asi dicho Seno es de

.30. grados, y 40, min. Lo mismo se hará en la columna de las Tangentes

para hallar su ángulo.

2. Dado el Seno Logarithmico 9.6^30885. hallar los grados,

minutos, y segundos , qne le corresponden. Búsquese , como antes,

su próximo menor, que cs 9.6629464. á quien corresponde el ángulo

Agudo 27. grados 24. minutos, y el Obtuso 152. grados 36.

minutos. Asimismo tómese el Logarithmo próximo mayor , que es*

9.663.900.7 restando el menor dc el mayor, es la diferencia 243 1 -».

Res-

I

de-la^Trígonamitría. 1 í

Réstese también el menor 9-6629464. de el Logsrithmo .dada

o 6630885. v es la diferencia 1421. Fórmese una regla de tres, diciendo:

Si la diferencia 2436. dá 60. segundos, que tiene un minuto

, la diferencia 1421» dará 35. segundos, los quales añadidos-a

el annulo Agudo, saldrá este de 27. grados 24. min. 35. segundos-,

y. resudes de el Obtuso, quedará 152. grados 35. min. 25. segundos.-De

el mismo modo se obrará en la Tangente primera ; pero en

el Seno segundo, y Tangente segunda, después de-hecha la regla

detres, se operará al contrario, restando los segundos hallados de

el ángulo Agudo , y añadiéndolos al Obtuso. Esto requiere cuidado,

para no equivocarse en la operación.

PROPOSICIÓN XIX. PROBLEMA.

Hallar el Logarithmo de qualquier numera dado<

x. QI el numero dado es entero , y menor que looco. que es

•^ el mayor de las tablas ordinarias*,. por exemplo j20. búsquese

este numero en las tablas , y á su lado se hallará el Logarith--»

mo 2.079181a. que se busca.

»§«. Si el numero es un qHebrado: como 17. veinte y'nueve abo&.

réstese el Logarith. de el numerador 17, de el Logarithmo de el Denominador

29. y el residuo 0.23 -.049*. con el Signo-que es menos, es.

el Logarithmo'de dicho quebrado. Porque siendo el quebrado menor

quela unidad , y el Logarithm-o de la unidad cero,-, será el

Logarithmo de el quebrado menos que el cero , ó nada.

3. Sí el numero es entero Con quebrado , como '34. y ij quintos-*

reducido todo á quintos, es cl quebrado 172. quintas.' El Logarithmo

de el Numerador 172. es 2.2355184-. El de el Denominador 5. és

0.6989700. El residuo 1^365584. es Logarithmo de dicho entero,

Y quebrado. La razón cs: porque qualquier quebrado , aunque sei

improprio, como el dicho , es lo mismo que el quociente, que proviene

de la partición de el Numerador por el Denominador , como

consta de la -Antlin-etica*: y como* en estos Logarithmos la resta

equivale á la partición , se sigue ha de ser Logarithmo de qualquiéí

quebrado el residuo , que proviene, restando entre si los Logarithmos

de el Numerador , y Denominador.

. Si el produdo de el entero por el Denominador de el quebrado

cs mayor que el rrltimo numero de 1» tabla, será conveniente usar

dc el modop siguiente, aunque no es tan exudo-, como el antecedente

; pero puede servir sin. yerro considerable en números crecidos,

porque las diferencias son menores. Sea cl numero dado 2r;o8.

882. milabos. El Logarithmo de2508. es 3.4635944.' El ininedwt»

siguiente es 3.4637437. I., diferencia de los dos es 1493». mu-ti-pncada

por el Numerador 882.. es el produdo 13 -168*6.. y partida,


_•!

I

18 ¡ Tratado tercero

PROPOSICIÓN XXII. PROBLEMA.

Dividir én numero entero menor que toooo, per- ein otro.

SEA propuesto á dividir el numero yx\6. cuyo Logarithmo es

3.9645425. por 64. á quien corresponde el Logarithmo

1.806180®. Réstese este Logarithmo. de el precedente , y el residuo

a.15836-25. es el Logarithmo de el quociente, á quien corresponde,

en la tabla el numero 144. por la división de los dos números propuestos.

Consta de «1 corol. p. 10.

PROPOSICIÓN XXIII. PROBLEMA.

Hallar qualquier' Rale, de un numero dado.

TÓMESE, el Logarithmo, de el numero dado» y su mitad será el

Logarithmo de la Raiz quadrada. El tercio de la Raiz Cuvica, y.

la quarta parte de la Raiz quadrada quadrada , &c.

Exemplo. Pídese la Rai.; quadrada de el* numero 9216.. cuyo Logarithmo

es 3.9645425. y su mitad 1.9822712. es Logarithmo de

la Raíz, quadrada, que se busca, á quien corresponde el numero t)6..

por la Raiz quadrada de el niimcio propuesto.. Asimismo se pide la

Raiz Cuvica de el numero, 95.61. cuyo Logarithmo es 3.966*6579..

tómese la tercia parte , que es. 1.-^222193. Logarithmo de la Raiz.

Cuvica, á quien corresponde en la/tabla el* numero 21. porla Raiz,

Cuvica., que se pretende. Consta-de el cor. de la. p. 11.

PROPOSICIÓN XXIV. PROBLEMA.

M/itre [dos. numeras dados.:, hallar- qualesquiera. medios proporcionales..

LOS Logarithmos: de- nnmeros: Géorr.etricamcnte proporcionales:

proceden con igual exceso :. luego ( Aritmética ) si la diferencia

de los Logarithmos de los números dados , se parte por el numero,

de los termines»? menos uno, será el quociente el exceso de los términos

Logarithmicos , que añadido continuamente al Logarithmo,

de el numero, menor , darán los, Logarithmos de los términos,, que:

se piden.

Exemplo.. Sean dados los números 4. y 32.. entre los quales se*

buscan dos. medios proporcionales. El Logarithmo- de 4, es,

0.6020600. el de 32. es, i. 5051.500. y restando* el menor de-el mayor,

será el residuo 0.9030900, el qua! partido por tres , que es el;

numero de los términos , menos, uno , es el quociente 0.3010300..

que añadido á el Logarithmo de 4. hace 0,9030900. que es Logarithmo,

de 8. medio, primero, que se. busca., y añadido á este L0g.1rit.h-.

mo otra vez el quociente 0,3010300. da el Logarithmo•_,.0341.200..

dc el num». tó. segundo: medio», que se pretende.. PRO-

de ?_. Trlgoiom-rtria. 19

PROPOSICIÓN XXV. PROBLEMA.

Hallar el complemento Logarithmico.

Complemento Logarithmico es la diferencia , que hay de qualquier

Logarithmo al Radio. Hallase con facilidad sin escribir el

Logarithmo , ni cl Radio , tomando la diferencia de cada guarismo

hasta 9. y cn el ultimo hasta 10. comenzando por la caraderística.

Sea el Logarithmo dado 6.5711458. sin escribir el radio. Dígase

de ú. á 9. van 3. de 5. á 9. van

4 de 7. á 9. a. &c. y en cl ultimo Logarith. 6,571.4:8

guarismo de 3. á 10. van a. y será el Comp.Log. 3.4^88542.

complemento Logarithmico de cl Logaritimo

dado 3.4288542.

Si el Logarithmo, de quien se busca el complemento Logarithmico

, es mayor que cl Radio, como en las Tangentes mayores

de 45. grados, y en todas las Secantes, si las tienen las tablas,

se temará cl complemento al duplo radio 10 oococco. de la misma

suerte no haciendo caso de la primera unidad, que está á la izquierda

, ó en la característica , como si no la buviese,

Sea la Tangente Logarithmica 10.3599731. Digasc, pues, de cero

á 9. van 9. de 3. á 9. van 6. de 5. á 9.

van 4. de 9. á 9. es cero, &c. y en el ul- Tan. L. 10.3599731.

timo guarismo de 1. á 10. van 9. y será C. L. 9.6400369.

el complemento Logarithmico al duplo radio 9.6400269

PROPOSICIÓN XXVI. PROBLEMA.

Dados tres términos dt una Analogía, hallar el quarto.

SUmense los Logarithmos de el segundo, y tercero termino, y de

la suma réstese el Logarithmo de el primero, y el residuo ( cor- p.

8. ) será el Logarithmo de el quarto. Por lo qual en las operaciones

Trigonométricas , siempre que el radío se halla por primer termino de

la Analogia , se hace la operación con summa brevedad: pues con

solo sumar los Logarithmos de el segundo , y tercero termino, y

omitir la unidad, que viene á la izquierda , que es lo mismo, que de

la tal suma quitar el radio, se tiene el Logarithmo de el termino quarto

que se pretende.

Exemplo. Sean proporcionales el Radio al Se- 10.0000000

no de 30. grados ao. minutos, como el numero 9-7033170

1425. al quarto proporcional, que se busca. 3 1538145»

Súmense los Logarithmos de el segundo, y ter- -• i

cero termino, y el agregado a.8571319. (omitien- 2.8571319.

do la unidad, que viene * la izquierda ) es Logarith*' ' •

mo


~_^_r

I

..fj- Tratado tercer»

mo del quarto proporcional, que se busca, á el qual corresponde cn

la tabla el num. 720. Esta operación es la mas breve; y siempre , que

se pueda poner el radio en primer lugar, será lo mejor.

Si la Analogía tiene por primer termino una Tangente, y por sesundo,

ó tercero el radio, se pondrá por primer termino co lugar

de la Tangente el Radio, y por segundo, ó tercero en lugar dc cl

Radio la Tangente del complemento, de la que estaba por primer termino

, y se hará la operación como antes.

Exemplo. Sea la Analogia como la Tangente de 59. grados ao.

minutos al R-dio, asi cl numero 150. a otro numero, que se busca.

Dígase, pues , como el Radio á la Tangente 2. í -V . » *

de 59. grados, y ao minutos asi el numero 150. á

el numero, que se busca. Súmese, como se ha dicho

, el segundo, y tercero termino, y dexando de

escribir la unidad, que viene ála izquierda, queda

en la suma 1.9491240. que es Logarithmo mas. próximo

al numero 89. que se pretende.

10.0000000

9.7730327

a.1760913

1.9491240

Demonst. Consta de la (p. 7) 1'* e el Radl ° es medl ° P' 0 P°** C1 °nal

entre la Tangente 1. y 2. de un arco: y como se suponga ser

proporcionales la Tangente 1. de 59. grados ao. minutos al rauío,

como 150. á otro numero, será ( p. vi A. 5» *•« el Rldl °

a Ia

Tangente a. dc el mismo arco, como 150, al numero que se busca.

De que se colige, que si la Analogia tiene por primer term.no

un Seno, y por segundo, ó tercero el Radio, ó bien por primer

termino una Secante, y por segundo , o tercero el radio, se podra

abreviar la operación , poniendo el R, dio en primer!luga*. Porque

(como consta dc la p. 7* ) el Rftdl ° es asimlsmo nM:dl ° ^Vorcwaú

entre el Seno 1. y Secante 2. y entre el Seno a. y Secante 1.

Quando no se puede poner el Radio en primer lugar, se usa.

de el complemento Logarithmico en las resoluciones de los triángu­

los, por lo mucho que facilita las operaciones.

Exemplo Sean proporcionales, como el Se- C, L.

no de 25. grados, y 30. minutos al Seno de

3a. grados, y 40, minutos asi 140. al numero

que se busca.

En lugar del Logarithmo de el primer termino

, tómese su complemento Logarithmico

0.366015


*.*

aa Tratado tercero

PROPOSICIÓN II. THEOREMA.

En toda triangulo rectángulo el lado (AC. ) que esta junto h un ángulo

( A. ) con el lado (BG.) opuesto a- dicho ángulo, tiene la razón,

que el radio h la Tangente (GF.) de el mismo angula (_fg. 5. )

~T\Emonst.. Los triángulos BAC FAG. tienen cl ángulo en A. co-

•*"^ mun, y los ángulos cn C. y cn G. rectos: luego ( p. 3a. 1. 1.

Eue. ) son equiángulos, y (p. 4. 1. 6. Eue.) los lados proporcionales:

Como el lado AC. al lado CB. asi AG. radio á GF. tangente

del ángulo A.

Porla misma razón son proporcionales cl lado AC. á la hypothenusa

AB. como el Radio AG. á la Secante AF. de el ángulo comprehendido

A.

PROPOSICIÓN III. THEOREMA.

En qualquier triangulo rectilíneo (ABC.) los lados (AB.BC) sen proporcionales

con los Senos de los angulas opuestos (A. y C) {fig. 6. )

~T*iEmonst. Las mitades de las cuerdas AB. BC. son (def. 3-)se-

*^ nos de las mitades de los arcos AB. BC pero estas mitades ion

(cor. 1. p. ao. 1. 3. Eue.) medidas de los ángulos A. y C Luego (p.

if. I. 5. Eue. ) el lado AB. al lado BC. es como el Seno de el

ángulo ACB. al Seno del ángulo BAC.

PROPOSICIÓN IV. THEOREMA.

En todo triangulo rectilíneo (AUCA) la suma de dos ¡ados (AB.BC.) a

su diferencia , es como la Tangente de la mitad de la suma de

los ángulos opuestos (A. y C) a- la Tangente de la mitad de la diferencia

d» dichos ángulos, (.fig. 7- )

DE el punto B. con la distancia BC. de el lado menor, descríbase

el ciiculo CDE. que corta al lado BA. en D. Continúese

el, lado AB. hasta la circunferencia en E. y será AE. suma de los

lados AB. BC. porque BE. y BC. son iguales, y AD. es la diferencia

de los mismos lados , por ser BD. igual á BC. Tírense las

lineas CE. CD. y de el punto D. la DF. paralela á CE. y sera el

ángulo DCE. (p. 31. lin. 3. Eue. ) recto: Y asimismo (p. 3.9. Li.

Eue) el ángulo CDF. El ángulo DBC. es comun á los dos triángulos

DBC ABC. Luego los ángulos sobre la base DC. juntos , ton

iguales á los ángulos sobre la base AC juntos : Y como los ángulos

sobre la base DC. (p. 5. 1. 1. Eue.) son iguales entre si, cada

uno de ellos será mitad de la suma de los ángulos sobre la base

AC. A mas de esto el ángulo BCA. excede al ángulo BCD. dc la

semisuma en el ángulo DCA, y el ángulo DC. que también es semi-

de la Trigonometría. 23

misuma , excede á el ángulo en A. (p. 32.1. i.Euc. ) en el mun,o

ángulo DCA. Luego cl ángulo BCA. excede, ó se diferencia de

el ángulo A. en dos ángulos DCA. Luego un ángulo DCA. cs semidiferencia

de los ángulos sobre la base AC. Finalmente, haciendo

centro en D. con la distancia DC. de.cribase un arco, y será

CE. tangente de el ángulo CDB. semisuma de los ángulos sobre la

base AC y haciendo centro en C. con la distancia CD. descríbase

otro arco, y será DF. tangente dc el ángulo DCF. semidiferencia.

de dichos ángulos.

Demonst. En los triángulos ACE, AFD. el ángulo A. es común

, y los ángulos en F. y D. iguales á los ángulos en C. y E.

(p. a^. 1. 1. Eue. ) y asi son equiángulos : luego (p. 4.1. 6. Eue. ),

tienen los, lados proporcionales: como AE. suma de los lados AB.

BC. á DA. diferencia de los mismos lados, asi CE. tangente de la

semisuma de los ángulos opuestos A^yBCA.. á DF. tangente de. la

semidiferencia de dichos ángulos.

Corolario.

DE. aqui se sigue, que si a la- semisuma BCD. se añade el ángulo

de la semidiferencia DCA. resulta el ángulo mayor BCA..

y si de la Semisuma se resta el ángulo DCA. de la semidiferencia,

quedará el ángulo menor A. por estar demonstrado , que los ángulos

en A. y DCA. son iguales, á la semisuma CDB. Scc..

PROPOSICIÓN V. THEOREMA.

Enqualquier triangulo (ABC.) la base , 0 Uda mayor ( BC ) _i la

SUJTUI de los lados (BA. AC. ) tiene la ratón , que la diferencia

de los mismos lados, h la diferencia de les segmentos' ,r que hace:

el perpendículo en la base. {fig. -5» )

DE' el punta A. tírese sobre BC la perpendicular AE. y haciendo

centro, en A. con el intervalo de cl lado* AC. mayor* que

AB. describase el circulo CGD., y prolongúense el lado AB. y base.

BC. hasta la circunferencia en los purtos G. F- D- Y porque AC.

AG. son ¡guales, será BAG. suma de los ladoS BA. AC y BF.

su diferencia. Y porque la. perpendicular AE. corta igualmente, la

cuerda DC. ( p.. 3. 1; 3.. Eue.) será BD. difereneiatde les,segmentos

BE. EC.

Dimanst.. El rectángulo de las-lincas BC. BD.. cs igua,l'(p»3 5.

1* 3*» Eue. ),, al rectángulo de las lineas EG. BF. Luego estos tienen

( p. 14. 1,, 6.. Eue.)- los lados recíprocos t* y se rin p_c.pc.icic.na les,

coma BC. base-,, o-lado, mayor á EG. turna- de l»* la-des, EA- AC.

asi

r


24

asi FB.

mentos

Tratado tcra-ro

diferencia de los mismos lados á DB. deferencia de los segdc

la base.

Corolario.

E aqui se sigue, que si se añade ls diferencia de los segmentos

DB. á la base BC y de esta suma , que es DC. se toma

la mitad EC. se tendrá el mayor segmento, el qual, quitado de la

base BC. quedará cl menor segmento BE.

C A P I T U L O II.

DE LA RESOLUCIÓN BE LOS TRIÁNGULOS . .

rectilíneos rectángulos.

Ualquier triangulo tiene seis cosas: es á saber, tres lados, f

tres ángulos: y dc estas seis, se suponen conocidas tres, para

hallar las restantes. Mas en ¡os triángulos rectilíneos , aunque se conozcan

los tres ángulos , no se pueden hallar los lados. Porque se

pueden dar infinitos triángulos equiángulos, que tengan los lados desiguales

, como son todos los que tienen un ángulo común, y los

lados opuestos á este ángulo paralelos. Conque pura llegar á la resolución

, es necesario conocer dos lados , y un ángulo , ó dos ángulos

, y un lado, ó los tres lados.

En el triangulo rectángulo, por tener conocido elangulo recto

, solo es menester el conocimiento de otro ángulo, y un lado, 6

de dos lados: y siempre, que.entra en la Analogía ía hypotenusa,ó

lado opuesto á cl ángulo recto, se resuelve el triangulo por la p.i.

y quando no entra, será la proporción por la p. a.

PROPOSICIÓN VI. PROBLEMA.

En el triangulo rectángulo (CAB.) dados les lados (CA, AB)

hallar los ángulos ( C y B ) (Jlg. 9. )

PProporción ( p. 2. ) Como CA, á BA. asi el radio á la tangente

de cl ángulo C. que se busca.

Hallado cl ángulo C. queda conocido el ángulo B. que es(p.

ia, 1. 1. Eue.) su complemento á po. grados.

PROPOSICIÓN VII. PROBLEMA.

Dada la hypothenusa ( CB. ) y un lado ( CA. ) hallar

los ángulos ( B. yC.) (fg. 9.)

de lu Trigonometría. 25

ángulo B. se sabe el ángulo C. su complemento á 50. grados.

PROPOSICIÓN VIII. PROBLEMA.

Dados los ángulos ( C y B. ) y un tado ( CA. ) hallar cl otro lado

( BA. ) (Jlg. 9- )

PRoporcion ( p. 2. ) Como cl radio á la tangente de el ángulo

C asi el lado CA. á el lado BA. que se busca.

PROPOSICIÓN IX. PROBLEMA.

Dados tos ungidos (Cy B, ) y la hypothenusa ( CB. ) hallar los

lados, (fg. 9. )

PRoporcion (p. 1.) Como el radio, « la hypothenusa CB. asi el

seno de el ángulo B. al lado opuesto CA. que se busca.

De el mismo «.odo se hallará el otro lado AB. valiéndose

de el ángulo opuesto C

PROPOSICIÓN X. PROBLEMA.

Dada la hypothenusa ( CB. ) y un lado ( CA. ) hallar el Uro lado

( EA. ) (fg. 9. )

Alíense ( p. 7. ) los ángulos (C. y B, ) y hallados estos, bus*

H quese el lado BA. por la prep. 8. ó por la 9.

PROPOSICIÓN XI. PROBLEMA.

Dados los ángulos ( C y B. ) y un lado ( CA. ) hallar la hypothenusa

( CB. ) (fg. 9» )

PRoporcion (p. 1. ) Cerno el seno del ángulo B. al radio : asi el

lado CA. á la hypothenusa CB.

Si las tablas tienen secantes Logaritbmicas , se hará la proporción

( p. a. ) Como ci radio á la secante de el ángulo C. asi el lado

CA. á la hypothenusa CB.

PROPOSICIÓN XII. PROBLEMA.

Dados los lados ( CA. AB. ) hallar la hypothenusa (CB.) (fg 9. )

J Busqucnse primeramente los ángulos ( p. 6. ) y hallados

estos, búsquese la hypothenusa por la p. antecedente.

(Roporcion ( p. 1.) Como la hypothenusa CB. al radio: asi el

V lado CA. ¿1 seno de el ángulo B. que se busca. Hallado el

an-

D CA-


'Tratado tercero

C A P I T U L O III.

\DE ZA RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

rectilíneos oblicuángulos.

PROPOSICIÓN XIII. PROBLEMA.

TEn el triangulo obliquangulo ( BAC. ) ¿ados dos lados ( AB, AC. )•

y ttuo de los ángulos opuestos ( C. ) hallar los otros-angulas (fg-i o») :

PRoporcion ( p. 3. ) Como el lado AB, al seno de cl ángulo

opuesto C. asi el lado AC. al seno de el ángulo opuesto B.

que se busca.

Hallado cl ángulo B. se sabe el ángulo A. Porque sumando et

ángulo B. con el ángulo C. dado , y restando esta suma de 18a.

grados, el residuo es el ángulo A.

Scotio.

/""XUando se busca el ángulo opuesto al mayor lado , es menesy.^

ter saber la especie de dicho ángulo ; esto es, si es Agudo ,

ú Obtuso. Porque cn el triangulo BAC (fg. 11. ) si se hace centro

en A. y con la distancia dc el menor lado AB. se describe el

arco BDE. y se tira la recta AD. quedarán formados dos triángulos

CAD. CAB. que tienen el lado AC. y ángulo en C común;,

y el lado AD. igual á AB. y sise hace la Analogia antecedente, como

el lado AD. 6 su igual AB. al seno de el ángulo opuesto C.

asi el ladoAC. al seno de el ángulo opuesto , hai la ambigüedad,

ó duda, si el ángulo que se busca,, cs agudo, como ABD. igual

á BDA. por ser el triangulo ADB. Isoce.es , ó si el ángulo ADC.

corbip.emento á dos: rectos de el ángulo B.

PROPOSICIÓN XIV. PROBLEMA.

Dados dos ángulos ( B» y C) y un lado (CA. ) hallar otro qualquier

lado. (fg. 10. )

PRoporcion (p. 3. ) Como éT seno de elangulo B. al lado opuesto

CA. asi el seno de el ángulo C al lada ppuesto EA. que

se busca.

Dc la misma suerte se hallará el lado BC. f«.rmando la Analogia

en esta forma: Como el seno de el ángulo B. ai lado opues-,

t*> CA. asi el seno de el ángulo A. al lado opuesto BC.

PRO-

¿e la Trigonometría.

PROPOSICIÓN XV. PROBLEMA.

Dados des lados ( AB. de 300. pies , y AC. de 400.) y el ángulo

comprehendido (A. de 61. grados, y 16. minutos) hallar

tos demás ángulos, (fg. 10. )

EL complemento al semicírculo de 61. grados, y 16. minutos,

es nS. grados, y 44. minutos, que es la suma , ó valor de

los ángulos B, y C cuya mitad ó semisuma es 59. grados aa. minutos.

r

La suma de los lados AB. AC. es 700. y restando de A«_

400. AB» 3°°» cs c * lc »»duo 100. diferencia entre los lados AB.AC-

Hallar los dos angulas. Proporción ( p. 4.)

COmo la suma dc los lados

AB. AC.

á la diferencia de los mis-

•mos,

asi la tangente de la semisuma

de los ángulos opuestos

B. y C ^^^^^^^^^^

700

100

27

C. L. 7._54


-HHH

23

Tratado tercero

Proporción ( p. 5. )

COmo la base BC

á la suma de

AB. AC

los lados

140

080

C L. 7-8.5 387*10-

3.447¡680.

asi la diferencia de

lados

dichos

aa

1.3010300.

á la diferencia de

tos , que es:

los segmen­ 40

1.6020600.

Añadiendo la diferencia de los segmentos 40. á la base BC.

.40. componen 180. cuya mitad 90. es valor ( cor. p. 5* ) ¿e el

mayor segmento EC con termino al mayor lado AC Y restando

estos 9o. de la base .40. quedan 50. por el valor de el menor segmento

BE. Luego en los triángulos rectángulos ABE. AÜ.C se hallarán

los. ángulos con las Analogías siguientes.

.! Hallar el ángulo B. Proporción. ( p. 1. )

COmo la hypothenusa

AB.

al lado BE.

asi el radio

al seno de el ángulo BAE. que es de

as. grados 37. minutos , y.su complemento

6j. grados 23. minutos es el

valor de el ángulo B.

130.

50.

Hallar el ángulo C Proporción, (p. 1.)

C L. 7.8860567.

1.6989700.

íe.oooooos.

9.5850267.

COmo la hypothenusa

AC.

al lado EC.

i3°-

9

C L. 7.8239087.

1.9542425.

IO.OOOOOOO.

9.7781512.

o asi el radio

á el seno de el ángulo EAC

36. grados 52. minutos

-

que es de

-*.

y su complemento 53. grados 8. minutos -

es valor de el ángulo C y sumando los ángulos BAE. aa grados

37. minutos y EAC 36. grados 52. minutos hacen 59. grados 39.

minutos , que es valor del ángulo BAC

De

de la Trigonometría.

De otra manera. Fig. 10.

EN el triangulo ABC. valga el lado AB- 140. AC. 160. y

BC 180. buscase el ángulo A.

Añádanse á los complementos Logarithmicos dc los lados, que

incluyen el ángulo, los Logarithmcs de les residuos de 1? semisu-

'má de los tres lados por cada uno de los lados sobredichos , y

será la mitad de la suma seno de la mitad de el ángulo compre-

-.IU*-/..

Lado menor incluyente AB.

Lado mayor incluyente

Lado I

^^^^^^^^^^^^^-~~~~--m-mmmmí

AC.

BC

Suma de los tres lados»

Semisuma.

Residuo, de la semisuma, y lado

AB.

Residuo, de la semisuma , y lado

AC

Suma de los 4. Logarithmos..

/

C

C

E.

L.

a9

5-8720.

7*795 '' c ' ljt) **

a.eoooooo.

1.903.0900.

19.; 5284C0.

9.7764210.

Semisuma de dichos Logarithmos. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

Esta semisuma es seno de 36.. grados 4a. minutos y su cu.plo

73. grados, y 24. minutos es el valor de el ángulo A. que. se

STSÍwiW de esta practica es: Porque son P ^ ^ ^ ^ f

mo se demuestra en la p. siguiente) ei "«ángulo de os do AB.

AC que incluyen el ángulo A. á el quadrado de el rad o , as 1 el

rectángulo de las diferencias de dichos lados y ^ ^ " í g í j 1 *

tres al quadiado de cl seno de la mitad de el ' ¡ ^ ¿ ¡ V J ^

rectángulo de los lados AB. AC se hace amando us Lo^ 1 tL,r«

(porque esta suma equivale í la mültlpl.cacjon de sus numere n£

erales) y ci quadrado de el radio se hai * duplicando *¿j$» l £

mo, y cl rectángulo de dichas, diferencias se ^ V / ^ T o ccVc

Logarismo.: luengo, si se suma cl quadrado de el « £ . e« cl

rectángulo de las dos diferencias, V de esta suma se rota

.ángulo délos lados, el residuo será el Logant.mo f f j j ^ f

do de cl seno de la mitad de el ángulo A. luego « ^ F g ¿

los Logarithmos de los lados AB. AC. se toman sus « » £ • £

tos Logarithmicos, y se añaden á los Leganthmos de las dos


^•________-_-i

I 30 Tr-itad) tercer}

Vicente Tosca cn el 1 3. de Trigonometría al fin de la p. i.« )

es de Adrián Vise, cuya practica es tan fácil, quanto dificultosa

su demonstracion. Y eí Padre Dcchales cn el 1. 3. de su Trigonometría

á io ultimo dc ¡a p. ao. dice: La demonstracion de esta

practica , r,un tío la he hallado bastantemente clara. Esto no obstante

, he discurrido la demonstracion siguiente , que me parece

mas clara y breve que la que trae el dicho Padre Tosca , por no

necesitar de el dificultoso Lemma, qne antepone á la suya , como

puede ver el curioso.

PROPOSICIÓN XVII. THEOREMA.

Mn todo triangulo rcetlliiiec el rectángulo de los lados , que incluyen

un ángulo a el quadrado de *l radio , es como el rectángulo

de las diferencias de dichos lados , y la semisuma dc las tres, al

quadrada de el seno de la mitad de el ángulo comprehendido (fig. 13.)

SEA el triangulo ABC. el menor lado BA. el mayor BC. y la

base AC. Prolongúese el lado BA. y córtense BH. igual á BA.

BQ. igual á BC. y AD. QE. iguales á la base AC Dense las rectas

AH QC. y divídase por medio el ángulo vertical B. con la recta

BOZ, que cortará por mitad, y en ángulos rectos las lineas AH.

QC. (p. 3. 1. 3. Eue.) Divídanse asimismo las rectas AQ. DQ.

por mitad en N. y F. Y porque AQ. cs diferencia de los lados

AB. BC. será FA. la semidiferencia; y BF. semisuma de los lados

AB. BC Y porque AQ. y DQ. juntas son iguales á la base AC.

sus mitades NQ. QF. esto es, NF. será la semibase , que junta con

FB. semisuma dc los otros dos lados , quedará BA', igual á la semisuma

de los tres, y NA será diferencia entre el lado menor BÁ.

y la semisuma de los tres BN. y NQ. diferencia entre el lado mayor

BC. ó su igual BQ. y dicha semisuma.

A mas de lo dicho á el triangulo HAE. eircunscribase un circulo

, cuyo centro M. lo será también de el circunscripto-al triangulo

CQD. á causa, que las perpendiculares á la mitad de los lados

HA. AE. de er triangulo HAE. lo son también alas mitades

de los lados CQ. DQ. dc el triangulo CQD, (cor. p. 1. 1. 3. )

Dense las rectas MA. MD. MC. y estas dos ultimas serán iguales

^ def. 15. 1. 1. Eue.) y porque en los triángulos ADM. ACM. los

tres lados de el uno son iguales » los tres del otro , los ángulos en

A. lo serán también ( p. 8. 1. 1. Eue.) luego (p. 3. I. 3. Eue. )

$1A. cortará la base DC en X. por mitad, y cn ángulos rectos.

Finalmente á la extremidad de el radio MA. levántese la perpendicular

AG. que ( p. 16. 1. 3. Eue. ) será tangente á el circulo,

y (p, 28. 1. 1. Eue.) paralela á DC Digo pues, que el rectangalo

ABC. al quadrado de el radio, es como el rcctani^-lo

ANQ.

dc la Trigonometría. 31

ANQ. á el quadrado de el seno de la mitad de el ángulo ABC.

Demonst. En los triángulos HAE. CQD. cuyos lados AH.QC,

son paralelos, los ángulos en A. y Q- son iguales (p. 29. 1. 1.

Ene. ) y por la misma lo son los ángulos GAD. ADC. pero el ángulo

GAE. es igual á el ángulo AHE. formado en el segmento alterno

(p. 3a. 1. 3. Eue.) luego serán ¡guales ADC. AH¿_. y ( p.

32. 1. i. Eue.) dichos triángulos son equiángulos, y ( p. 4. 1.6.

Eue.) sus lados proporcionales : como HA. á AE. asi EQ. á QC.

y ( p. 15. 1. 5. Eue.) como HO. mitad de HA. á AN. mitad de

AE. asi NQ. mitad de QD. á ZC. mitad de QC. Luego ( p. 16.

1. 6. Eue. ) el rectángulo de los extremos OH. ZC. es üguái al de

los medios NA. NQ. Y porque en los triángulos EOH. BZC. rectángulos

en O. y Z. son proporcionales: Como EH. al Radio : asi

HO. al seno de el ángulo HBO. y como BC al radio , asi CZ.

al seno de el ángulo CBZ. luego ( p. 22. 1. 6 Eue. ) el rectángulo

de ios lados BH. ó su igual BA. y BC. al quadrado del radio r

es como el rectángulo de los lados OH. ZC. al quadrado de el seno

de el ángulo ZBC mitad de ABC. Pero el rectángulo de OH.

ZC se ha probado igual á el de NA. NQ. luego si en lugar de

aquel, se toma este , quedarán proporcionales: Como el rectángulo

de los lidos AB. BC. al quadrado del radio : asi el rectángulo de

las diferencias NA NQ. de dichos lados, y de la semisuma de

los tres , al quadrado de el seno de el ángulo CBZ. que es mitad

de el ángulo comprehendido ABC

LIBRO TERCERO

Dé la Trigonometría JE sferica*

TRigonometria Esférica es ta ciencia , que enseña á resolver lo»

triángulos esféricos. Esta se divide cerno la rectilínea, en rectángula,

y obliquangüla. La rectángula trata de los triángulos esféricos

rectángulos. y la obliquangüla, de los triangules ebliquangulos.

Esta paite.de Trigonomctria es de grande utilidad en las fa_cultadcs

de E.fcra, Geografía, Náutica , y Astronomía.

Definiciones. F'g. 14.

flrculo Máximo en la Esfera es , aquet cuyo plano pasa porel

centro de la Esfera : f asi tictie el tnlsvis centro que la

Esfera, y común diámetro con ella. De donde .._.Xm se _„ ;„/;,_._> infiere, míe que los losmax máximos

lia. I... C.[iUC«li,mi., •í-.

ABCD. AECE. se cortan por ir medio en A, y C. Porque siendo.G.

•"•ar_t centro

*•_!-»..


_____H_^^i^^^^^

o 2 Tratado tercero

centro comun de la Esfera, y máximos, y por consiguiente AGC

diámetro común, serán ABC. AEC SÍC. semicírculos.

a. l'-Aos ae un circulo máximo son los puntos de la superficie

de la Esfera , igualmente distantes de la circunferencia de el circulo.

Como los puntos A. y C. son polos de el máximo BEDF. Porque

los arcos AB, AE. AD. y asimismo CB. CE. CD. son quadrantes

de los circuios máximos, que constan de 90. grados, y por consiguiente

son iguales.

3. Angula Esférico es , el que se forma en la superficie de la

Esfera con dos arcos de circulo máxima. Como BAE. Este ángulo

es igual al de la inclinación de los planos dc los círculos sobredichos

, y su medida es el ateo EE. cuyo polo cs cl punto A. ó

C. Y asi BE. también es medida de cl ángulo BCE.

De aquí se infiere lo primero, que los ángulos opuestos BAE.

BCE. que distan fin semicirculo son iguales: porque tienen la medida

comun EB Lo segundo, los ángulos vecinos BAE. EAD son

tanto como dos rectos: Porque sus medidas BE. ED. componen el

semicírculo BED- que consta de 180. grados, valor de dos ángulos

rectos. Lo tercero,, los ángulos verticales opuestos EAE FAD.

son también Iguales : Porque si de los dos semicírculos iguales EBF,

BFD. se quita, el arco comun BF. quedarán BE FD- iguales, que

son medidas de los ángulos BAE FAD.

4. Triangulo Esférico es , el que se forma en la superficie de

una Esfera con tres arcos de circulo máximo. Su denominación es

la misma que la de cl triangulo rectilíneo. Si tiene un ángulo recto

, se llama rectángulo: si un ángulo obtuso, obtnsangulo: y si

lostres ángulos son agudos, acutangulo. Dicese equilátero, silos

tres lados son iguales: Isoceles, si dos lados son iguales, y Escaleno

, si los tres lados son desiguales»

C A P I T U L O I.

DE LAS PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

Esféricos.

PROPOSICIÓN I. THEORE3ÍA.

Si dos triángulos Esféricos tienen dos latios de aluno Iguales a los

dos de el otro, y tos ángulos comprehendldos Iguales : o si la

base ds cl un* es igual a la de el otro , y los ángulos adjacentts

son iguales , tos triángulos serán totalmente iguales.

ESta Proposición corresponde á la p 4. 1. 1. de la Geometría

Elementar, y á la i. parte de la.p. 16. y se demuestra de el

mismo modo : Porque si se pone un triangulo sobre otro, se ajustará 1

entre si. PRO-

de la Trigonometría. 33

PROPOSICIÓN II. THEOREMA.

En el triangulo Esf rico Isoceles, los ángulos sobre la iast sen iguales^

1/ si los angttlos sobre la bas* so» iguale», el triangulo es Isoceles,

ESta Proposieion se demuestra como la 5. y 6. de el 1. 1. de la Geometría

Elementar. Infiérese de aquí, que cl triar-gulo Equiíatetocs

Equiángulo ; y al contrario.

PROPOSICIÓN III, THEOREMA.

Si dos triángulos Esféricos tienm los tres lados de el uno iguales k tot

tres d* el otro , cada uno a su eorrespcndlente, los triángulos se*

rán totalment* iguale».

J Demuéstrase cerno la p. i. 1. 1. de la Geometría Elementar.

PROFOSlCION IV. TÍ.EOREMA.

£n q.alfg'nr triangulo Esférico (AIC.) eos ¡anos (EA. EC.) sa».

muyeres que ti tercJro (AC.) (fig. 15.)

-J^.Emcnst. La distancia mas breve en la superficie de la Esfera de

"*~^ el punto A. al punto C. es el arco de circulo máximo AC. Luego

otra qualquiera distancia AEC. será mayor: luego los dos lados juntos

son mayores que el tercero AC.

PROPOSICIÓN V. THEOREMA.

En qualquier triangulo Esférico ( AIC. ) al mayor ángulo (C. ) se opone

el mayor lado (AB. ) y al centran*- (fig. ao. )

-T\Emcnst. 1. Hágase cl arguIoICD. igual al ángulo B. y ser.n (p.

a ) DB. DC. iguales ; pero ( p. 4.) CD. DA. juntos, son mayores

que AC. Luego DB. con DA. ó AB. es mayor que AC.

a. Si los ángulos B. y C fueran iguales, los lados AB. AC. ( p.

s. ) serían iguales. Y si C. fuera menor que B. AB. (1. p. ) sería menor

que AC. Luego si AB. es mayor que AC. el ángulo C. es mayor

que B.

PROPOSICIÓN VI. THEOREMA.

En qualquier tricngulo Esférico ( AIC. ) un lado es menor que el semicírculo

, y los tres lades son menores que el circulo entero (fig. 15.)

"JffEmonst. 1. Continúente EA. EC. hasta que concurran en D. y

serán (def. 1.) EAD. ICD. semicírculos. Luego tarto AB. cerno

CB.


.34 Tratado tercero

a. En el triangulo ADC. los lados DA. DC ( p. 4. ) son mayores

que AC. Pero DA. DC. con AB. CB. compone» (def. 1.) los

semicírculos DAB. DCB. Luego los tres lados AB. BC AC. son menores

que el circulo entero.

PROPOSICIÓN VII. THEOREMA.

JJrt el .triangulo Esférica ( ABC.) si los lados ( AB. AC ) juntas

son iguales al s mlcirculo , los ángulos sobre la base BC. son iguales

h dos recios ; si dichas lados son mayores que el semicirculo,

los ángulos sobre la base serán mayores que dos recios ; y si meno-

..res ,- los tales ángulos serán menores qj.ie dos rectos ; y al contraño.

(fig. 15.)

ALargúense BA. BC. hasta que concurran en D. Demonst. Lo

primero, por ser AB. AC. (porsup.) y BA. AD. (def. i.)

iguales al semicirculo , AC. AD. serán iguales. Luego ( p a. ) el

ángulo ACD. es igual al ángulo D. estoes, (def. 3.) al ángulo B.

Pero los ángulos ACB. ACD. son iguales á dos rectos: luego ACB.

y B. serán iguales á dos. reatos.

Al contrario -. Si cl ángulo ACD. fuere igual al ángulo B. y por

consiguiente: los ángulos BCA. y B. fueren tanto como dos rectos,

serán los ángulos ACD. y D- iguales, y (p. 1. ) los lados AC AD.

serán iguales; pero, A.B. AD. son (def. 1.) un semicirculo: luego

AB. AC. son iguales al semicírculo. -

Lo segundo, si AB. AC. son mayores que un semicírculo , seri

AC. (como consta de lo dicho ) mayor que ÁD. Luego el ángulo D.

opuesto al mayor lado, o su igu >1 B. es (p. 5.) mayor que cl angu-

.lo ACD. Pero ACD. y ACB son ¡guales á dos renos: luego ACB.

y B. sen mayores que dos rectos.

Al contrario : Si ACD. es menor que el ángulo B. b los ángulos

ACB. y B. son m»yor.s que dos rectos , será el ángulo ACD.

menor que D (p. 5.) el lado AC mayor que AD. y como BAD.

sea semicirculo, los lados AB AC. serán mas que semicírculo. La

tercera parte coa sa conversa st demuestra de el mismo modo.

Corolario.

DE lo demonstrado en esta prop. consta , que en un triangulo Esférico,

el ángulo externo puede, ser igual, menor , 6 mayor que

el ángulo interno opuesto»

5R0-

de la trigonometría. 3Í

EROPOSICION VIH THEOREMA. *

En el triangulo Iscce-es (ABC. ) los ángulos sóbrela base, san de la

especie ae los lados opuestos ; y al contrario, (fig. i°»)

SEAN los lados AB. AC. quadrantes: digo, que los ángulos B. y

C son rectos. - _ •_.t.„_,ii

Demonst. Porque los lados AB. AC son iguales al semicírculo^

los ángulos B. y C. juntos son (p. 7-) ttPtt. cerno dos "^*\J

siendo ( p- a. ) iguales , es forzoso sean rectos. Al contrario: Si ende

los ángulos B. y C. redos , los lados AB. AC. son iguales al sen -

circulo 6 : y siendo estos ( p. a.) iguales, cs preciso sean *fff s '

De el mismo modo se demuestra por la segunda pane , que si

los lados AB. AC son mayores que quadrantes , los angu os o.y

C. son obtusos; y al contrario. Y por la tercera parte, « los lados

AB. AC son menores que quadrantes , los ángulos B. y W. sora-a

«tgudos; y al contrario.

Corolarios.

I x^ N los triángulos Equiláteros los ángulos son de la especie

t , de los lados ; y al contrario. Porque qualesqu.era


,jf ^tratado tercero

ECB. y B. iguales á dos redos ( p. 7. ) y los lados E3. EC juntos

iguales al semicirculo: luego los lados EA. EC. serán menores que

el semicírculo: luego (p. 7.) el ángulo externo EAF. y por consiguiente

su vertical opuesto BAC. será mayor que ACE. Luego los

dos ángulos B. y BAC. son mayores , que los dos ACE ECD. ó que

¿1 externo ACD. que es lo primero. Lo segun-lo : Porque siendo cl

ángulo externo ACD. menor que los ángulos internos en A. y B. si

El una, y otra parte se añade el ángulo ACB. quedarán los tres ángulos

internos mayores que los ángulos ACD» ACB. pero estos son

(def. 3.) iguales á dos redos: luego los tres ángulos internos son

mayores que dos redos.

Lo tei cero : porque los tres ángulos internos de un triangulo

con los tres externos (def. 3. ) componen seis rectos , sigúese,-que

los tres internos solos son menores que seis rectos.

Corolario.

DE lo dicho se infiere, que un triangulo Esférico puede tener tres

ángulos redos: dos redos , y un obtuso : dos obtusos , y ugk

cedo , y tres obtusos.

PROPOSICIÓN X. THEOREMA.

_G/_ el triangulo Rectángulo los lados, qae comprehenden el ángulo recto

, son de la especie de s*s ángulos opuestos *. y al contraria.

(fig. 18)

SEAN los triángulos CAB. DAB. EAB. redangulos en A. y sea el

ángulo ABD. redo , y será el ángulo ABC. agudo , y ABE.

obtuso,

Demonst. En cl triangulo DAB. porque los ángulos DAB. DBA.

son redos , los lados DA. DB. ( p. 8 ) serán quadrantes : luego el

lado CA. que se opone a! ángulo agudo CBA. cs menor que el quadrante

AD. y el lado EA. opuesto á el ángulo obtuso ABE. es mayor

que el quadrante AD. Luego quaiquicr lado , de los que comprehenden

el ángulo redo , cs de la especie de su ángulo opuesto.

Lo contrario se infiere de lo dicho.

PROPOSICIÓN XI. THEOREMA.

E" el triangulo Recíangulo , si los ángulos obiiquos , b lados , qne

comprehenden el anqulo rcSo , son de una especie , la hypoteiinsa

serh menor que el quadrante ; y si son dt diferente especie , la.

hypotenusa sera mayor que el quadrante.

Digo lo primero: que si cada uno de les lados AB. BC. (_/%IQ.)

de el triangulo ABC redangulo en B. es menor que el qua-

Párante, la j.ypotenusa AC. será menor que el quadrante. Prolongúense

de la Trigonometría. 37

1 ,iJ-,AB BC hasta cumplir ¡os quadrantes AD. BF. y

guense los lados AU. u-»-. i»asta cum y 1 ai,ro..da en H

tírese el arco FD. que corte á la hypotenusa Ac. aligada en i_.

tírese ei arcu íy 4 _'*•_ „ Bp es un qlladrai.-

Demonst Porque cl ángulo I. e. redo y /¿j

te, el punto F. sera ( cor. 2. p. 8.) po o ae ei A f u > f

loD redo ; y porque AD. es un quadrante , el punto A. sera po.o

d ' ei « c o V y AE. (def. a. ) será quadrante : luego la hypotenusa

AC es menor que el quadrante. Asimismo , s. cada uno de los

dosA¿ BC A» .;-) dc cl triangulo ABC redangulo

mtrq». quadi-inte , 5 la hypotenusa AC es menor que un qu.drante.VrU

en el triangulo opuesto DAC c angu.cD.


I 38 Tratado tercero


1

1

^ü____-_----l

40 Tratado tercero

Demonst. En el triangulo Isoceles DBC los hdós BC. BD.

son mayores que quadrantes: luego ( p, 8.) los ángulos BDC. BCD.

serán obtusos, y más lo será BCA. De el mismo modo se demuestra

que el ángulo B. es obtuso. Mas porque en el triangulo ABC.

el lado BC. es mayor que el quadrante , y los ángulos en B, y C

son obtusos, el tercer ángulo A. (p. 14. ) serátambien obtuso, que

es ¡o ..

Lo segundo , sea cada uno de los lados AB. AC. mayor que

quadrante, y la base BC. sea quadrante. Córtese BD. igual a BC.

y tírese cl arco DC. En el triangulo BDC los lados BD. BC. son

quadrantes: luego ( p. 8,) los ángulos BCD. BDC. serán rectos:

luego el ángulo BCA. es obtuso. De el mismo modo se demonstrará

, que cl ángulo B. cs obtuso , y el tercer ángulo A. (p. 14.)

cs asimismo obtuso.

No al contrario: Po'que el triangulo ADC. (fig. 15.) cuyos

tres lados son menores que quadrantes, puede, tener el ángulo D.

obtuso, y el triangulo opuesto ABC. tendrá (def. 3.) sus tres an-?

gulos obtusos , y cl lado AC. menor que quadrante.

Corolarios.

1, Ql en un triangulo DAC. dos lados DA. DC. son me-

O ñores que quadrantes , y el tercer lado AC no merioi.

que cl quadrante-, el ángulo D. opuesto al mayor lado es.obtnso

, y los dos restantes agudos. Porque enel triangulo opuesto ABC

los lados AB. CB. (def. 1.) son mayores que quadrantes, y el

lado AC. (por sup. ) no es menor que el quadrante, todos sus ángulos

son obtusos: luego (def. 3.) el ángulo en D. es obtuso , y

los ángulos DAC. DCA. agudos.

2. Si en el triangulo obliquingulo algún ángulo fuere agudo

, algún lado será menor que cl quadrante: porque si todos fuesen

mayores que quadrantes, ó dos mayores que quadrante, y uno

quadrante, todos los ángulos serian obtusos.

C A P I T U L O II.

DE LOS THEOREMAS FUNDAMENTALES PAPA LAS

resoluciones de los Triangules Esféricos Rectángulos.

EN los triángulos Rectángulos Esféricos, el lado opuesto al ángulo

recto se llama, como en los rectilíneos, hypotenusa, y

los otros se quedan con el nombre general de lados.

PRO-

¿e la Trigonometría. 41

PROPOSICIÓN XVI. THEOREMA.

_ _. -__ _..-..-.,.,-, ( ABC ^ cutios tres ladof son

X* el triangulo Esférico K ee ¡ an ^'f^f¿otJsa ( AB. ) cs al

menore, que quadrantes el senode a h F ^ J ^ J ^

seno de el ángulo recto («~. ) o raaia. co

(BC) al seno de el angula agudo opuesto (BAC ) (A.- •»• i

^Ea D el centro de la Esfera , y las rectas DA.DB. DC.comu-

S ne^'se ciones de los círculos AB EC AC De el punto B^ti-

1 _....-_ TU? "FF oerpendicu ares á les radios LC. UA. y

rense las rectas BE. EF. P^P ena p de d arc0 EA. tírese la

será BE. seno de el arco BC y £-*• •-.*.»_.

' VCCta * E - anst Poraue el ángulo C es recto , será el plano BDC.

(der?;? cto P ar?ra e no C AD 8 C y la recta BE. que es perpendtau-

on ( def •_ 1. 11. Euc. ) el ángulo Ei-.*. es reexo •> - F .

«¡os ADC. ADB. lo, com cl plano BFE. recto (. p. lo. J

ir'i , .', E "2írcn„^o^i^o;'ADy.'ADc'. ) .q„ai

( def 1 "í es ieual ai ángulo Esférico A.

( d £ f Fumenfe, en el triangulo plano f^ 1a hypoten^a BF.

seno de el ángulo recto BEF. es (p. 1. 1. a.) c o m °^ l a g^ K ^

seno dc el anillo opuesto BFE P e r e H o s ' ^ ¡ ^ ^ Z

iguales á los ángulos Esféricos C. y A. y Vf- f * , d el

¿dos BA. BC. Luego el seno de la hypo enu^^A a l s eno de

ángulo C ó radio , es como el seno de el lado BC al seno de el

ángulo opuesto BAC.

Scolio,

nusa AC. es como el seno de el ángulo agudo ACB. J 1 *"°¿

lado opuesto AB. como se ha demostrado; pero Ic angu.o £CB.

BCG. y los lados AC CG. y AB. EG. cada dos ti ne un m mo

seno (def. 3.1. 10 P or 1 uc son »»°«dY««« ^ ^ G cs Co > od

micirculo: luego el radio al seno de la hypotenusa CG. cs Comoc

seno de el ángulo BCG. al seno de cl lado opuesto ¿U

F

PRO-

I

I

I


44 Tratado tercero

PROPOSICIÓN XVII. THEOREMA.

En el triangulo Esférico Rectángulo ( ABC. ) el seno de el lad» (AC.)

contérmino al ángulo agudo (A.) es h la tangente de él tado (CB.)

opuesto h dicho ángulo, como el sen* del ángulo recto í C, ) ¿

radio a la tangente de el ángulo ( A. ) (fig, aa.")

DE el punto C. tírese la recta CF. perpendicular al radio DA.

que será seno de el lado AC. y sobre DC. levántese la perpendicular

CE. en el plano de el circulo BDC. que será tangente

de el arco CB. por encontrar á DB. prolongada en E. tírese la

recta EF.

Demonst. Los ángulos FCE, CFE. de el triangulo plano EFC.

se demuestran como en la antecedente ser iguales á los ángulos Esféricos

BCA. BAC, Mas porque en el triangulo plano ECF. el lado

CF, es (p, a. 1, a.) al lado CE. como el radio á la tangente de el

ángulo CFE. y CF. cs seno dc el lado CA. CE. tangente del lado

CB, y los ángulos planos ECF. EFC. iguales á los Esféricos C. ¥

A. se sigue , que CF. seno de el lado CA. es C£. tangente de el

otro lado BC. como el seno de el ángulo recto , ó radio -V la tan*

gente de el ángulo A. y alternando, « inyirtjendo &c. _

C A P I T U L O III.

DE LA RESOLUCIÓN DX LOS TRIÁNGULOS

Esféricos Rectángulos.

I^N los dos Theoremas de el capítulo antecedente se funda toda la

j resolución de los triángulos Esféricos rectángulos ; pero antes

de pasar á ella se deben notar las observaciones siguientes.

Observaciones. . . . .

i fiempre que en la Analogia entrare la hypotenusa, ó

i_3 conocida , ó que se buscase funda la resolución en la

p. 16. por ser la proporción de senos de lados á ángulos opuestos;y

al contrario. Pero quando la hypotenusa no entra en la Analogia,

se fundará en la p. 17. por ser entonces la proporción de senos i

tangentes , y al contrario.

a. Quando en el triangulo rectángulo que se resuelve (ABC.)

(fig. --3.) no se halla con los términos conocidos una de las dos

Analogías sobredichas, se alargará la hypotenusa AB. y uno de los

lados, por exemplo AC. hasta los quadrantes, y se tirará el arco

.EFD. que concune con CB. prolongadaen D.'y serán también (cor.

s.

¿e ta Trigonometría. 43

a. p. 8.) DC. DE. quadrantes, con lo que quedará formado el triangulo

BFD. rectángulo (p. 8.) en F. y de el mismo modo se formará

el triangulo AFD. rectángulo en F. alargando la hypotenusa

AB. y lado BC. (fig, 04.) y en uno de dichos triángulos se hallará

la Analogia que se pretende , como se enseña tn los Problemas

siguientes.

3. Para evitar la duda que se puede ofrecer en los lado*

que se han de alargar , sirven las reglas siguientes. Primera, quando

no se conoce ningún ángulo obliquo, se alargará la hypotenusa

, y un otro lado conocido. Segunda , quando se dan los ángulos

se alargará la hypotenusa , y otro qualquier lado que no se busque.

Tercera, quando se conoce un solo ángulo obliquo , se alargará la

hypotenusa y lado que lo forma; excepto quando se busca el otro

ángulo obliquo, estando opuesto al lado conocido, que se alargarán

sus lados.

4. Las proposiciones 10. y IT. sirven para determinar la especie

de los lados y ángulos délos triángulos rectángulos, exceptuando

dos casos. El primero es , quando, ó dos ángulos son rectos

, ó dos lados quadrantes: Parque de estas cosas no se puede determinar

nada de el tercer ángulo , ó lado, mas de que este es medida

de el ángulo. El segundo es, quado se conoce solamente un

lado de los que comprehenden el ángulo recto , y su ángulo opuesto,como

(fig-*


I


i

44 Tratado tercero

de FE. que es conocido , por ser medida de el ángulo A. Luego (p,

16. ) como el seno de la hypotenusa BD. que es segundo de BC

al radío, asi el seno de el lado DF. que es segundo de el Ángulo

A. al seno de el ángulo B.

PROPOSICIÓN XIX. PROBLEMA.

Dado el ángulo (A) y el lado contérmino>'( AC) hallar lo primero ti

lado (BC.) (fig. a 3.)

LA Analogia es (p. 17.) Como el radio al seno de el lado AC.

asi ta tangente de el ángulo A. á la tangente de cl lado BC

Lo segundo, para hallar la hypotenusa , se buscará la proporción

en el triangulo BFD. ( p. 17. ) en quien se conoce DF. complemento

de FE. ó ángulo A. conocido , y el ángulo D. porque lé mide CE.

complemento de AC. conocido : luego como el radio al seno de cl

fado DF. que es segundo de el ángulo A. asi la tangente de el ángulo

D. que es segunda de el arco AC á la tangente de el lado DF. que

es segunda de la hvpotenusa AB.

Lo tercero, pira hallar el ángulo B. se buscará la Analogia en

el triangulo AFD. (fig 24. p. 16.) Como el radio al seno de la hypotenusa

DA. que cs segunda de AC. asi cl seno dc el ángulo A. al

seno de el lado DF. que es segundo de cl ángulo B..

PROPOSICIÓN XX. PROBLEMA.

Dada la hypotenusa (CB. ) y el ángulo contérmino (A) hallar lo primero

el lado (AB. ) {fig. 33. )

J}Rflporc : on ( p. 16. ) Como el radio al seno de la hypotenusa AB,.

Asi el seno de el ángulo A. al seno de el lado BC.

Lo segundo, para hallar el lado AC se buscará la Analogi JI en

el triangulo BFD. ( p. 17 ) Como el seno de el lado DF. que es

se-

gundo de el ángulo A. al radio , asi la tangente de BF. que esse- gunda de AB. á la tangente de el ángulo D que es segunda de e _^.\a. AC

Lo tercero, para hallar el ángulo B. se dirá ( p. 17.) en el

triangulo AFD, (fig 24. ) Como el radio al seno de el lado FA.

que es segundo dc AB. asi la tangente de el ángulo A, á la tangen»

te de FD. que es segunda de el ángulo B..

PROPOSICIÓN XXI. PROBLEMA.

Dados los lados (AC. BC.) hallar 10 primero el ángulo (A.) (fig. 23.)

T}Roporcion ( p, 17, ) Como el seno de el lado AC. al radio, asi la

•*• tangente de el lado BC. » la tangente de el ángulo A-

Lo segundo, para hallar el ángulo B. se dirá (p. 17.) Como

cl

•^___M^______________H

de la Trigonometría. 4?

cl seno de el lado BC al radio, así la tangente de el lad*» AC. á la

tangente de el ángulo B.

Lo tercero , para hallar la hypotenusa AB. es la proporción en

el triangulo BDF. ( p. 16. ) Como el radio al seno dc la hypotenusa.

BD. que es segundo de BC asi el seno dc el ángulo D. que cs segundo

de AC al seno de el lado BF. que es segundo de la hypotenusa

AB.

PROPOSICIÓN XXII. PROBLEMA.

Dada la hypotenusa (AB) y el lado (AC. ) hallar lo primero cl angu»

(B.) (fig.iT,.)

-pRoporclon (p. 16.) Como el seno dc la hypotenusa AB. al radio,

asi el seno dc el lado AC. al seno de el ángulo B.

Lo segundo, para hallar cl ángulo A. se dita en el triangulo

BFD. (p. 17. Como la tangente de el ángulo D. que es segunda de

el lado AC á la tangente de el lado BF. que cs segunda de AB. asi

el radio al seno de el lado DF. que cs segundo de el ángulo A.

Lo tercero , para hall, r el lado EC. es la Analogía en cl triangulo

BFD. ( p. ií>.) Como el seno de el ángulo D. que es segundo

de AC al seno de BF. que es segundo de AB. asi el radio al seno

de la hypotenusa DB. que es segundo de BC.

PROPOSICIÓN XXIII. PROBLEMA.

Dados los ángulos { A, y B. ) hallar lo primero la hypotenusa (AB.)

{fs- *3- )

LA proporción se hallará en el triangulo BFD. (p~ 17.) Como la

tangente de el ángulo B. á la t.mgente de el lado DF., que es segunda

de cl ángulo A. asi el radio al seno de EF. que es segundo

de la hypotenusa AB.

Lo segundo , pira hallar el lado BC. se buscará la Analogia en

el triangulo BFD, (p. 16. ) Como el seno de el ángulo B. al seno

de el lado DF. que es segundo de cl ángulo A. asi el radio al seno

de la hypotenusa DB. que es segundo de EC.

Lo tercero , para hallar el lado AC. se buscará la Analogía cn

el triangulo AFD. (fig. -3.4. p. 16. ) Como el seno de el ángulo A.

al seno de el lad» DF. que es segundo de el ángulo B. asi el radio

al seno de DA. que es segundo de AC.

Por ultimo advierto , que quando los datos fon mayores que

el quadrante, como en el triangulo reftangulo CI.G. (fig. 1.9.) que

CG. BG. son mayores que quadrantes, y el ángulo ECG.. es obtuso;,

se hará la. resolución prolongando los lados en cl triangulo CIA.

reftangulo en B. Porque los lados AC. AB. ton ccmplcmti tos á los

semicírculos de los lados CG. BG. y CB. es cemun á uno y otro triangulo,



-I

MLP1

4*' Tratado tercer»

guio, y el ángulo A. (def. 3.) igual al ángulo G. Y asi resuelt»

por los Problemas antecedentes, cl triangulo ABC. quedará conocido

el CBG.

PROPOSICIÓN XXIV. PROBLEMA.

i Resetuct*n de los Triángulos Quadrantales. (fig. !-J. )

TRiangulo Quadrantal es, el que tiene un quadrante, 6 arco de 9».

grados por uno de sus lados ; y aunque no es reftangulo, se resuelve

por un triangulo reftangulo de el modo siguiente.

Sea lo primero el triangulo ACB. en quien se dan los lados AC.

CB. menores que quadrantes, y el lado AB. quadrante , y será el

ángulo ACB. obtuso (cor. 1. p. ic.) y los ángulos CAB, CBA.

agudos. Alargúese el lado AC hasta cumplir el quadrante AD. y tircse

el arco BD. el qual es medida (def. 3.) de el ángulo A,

En el triangulo CDB. ( p. 8. ) reftangulo en D. se conoce CD.

por ser complemento al quadrante de AC y la hypotenusa CB. Luego

(por la p. aa. ) se hallará el ángulo CBD. el qual restado de el ángulo

refto ABD. quedará conocido el ángulo ABC. Si se pide el ángulo

A. se buscará en el reftangulo CDB. el lado BD. y su valor es el

ángulo A. Para hallar el ángulo ACB, se buscará en el reftangulo el

ángulo DCB. y su complemento á dos reftos será el valor de el ángulo

ACB. y respeftivamente se hará lo mismo con los otros dados.

Lo segundo , si en el Quadrantal ABE. se dá el lado AE. mayor

que el quadrante , y BE. menor , se tomara AD. igual al quadrante

AB. y se tirará el arco BD. y quedará formado el reftangulo BDE.

Sí se pretende cl ángulo ABE. quitando de el arco AE. el quadrante

AD. quedará DE. conocido , y con la hypotenusa BE. se hallará en

dicho reftangulo el ángulo DBE. el qual añadido al refto ABD. componen

el ángulo obtuso. ABE. También BD. es medida de el ángulo

A. y hallado en este lado , se conoce dicho ángulo , y el ángulo E.

es comun á entrambos triángulos.

Lo tercero , si cada uno de los lados AB. CB. de cl triangulo

ACB. (fig. ij.) cs mayor que el quadrante AC. sus tres ángulos

( p. ir.) serán obtusos , y en el triangulo opuesto ADC. los lados

AD. DC son meneres que quadrantes , por complemento á los sewicirculos

de los lados AB. CB. y los ángulos DAC DCA. agudos complementos

á dos reftos de los obtusos BAC BCA, el ángulo D. es

obtusa igual (def. 3.) á B. y cl lado AC. común á entrambos, es

quadrante : luego resolviendo este , como se ha dicho en cl primer

caso , quedará resuelto el triangulo ACB. Y de lo dicho se infiere ef

modo de resolver el triangulo Quadrantal con qualesquiera otros

datos.

CAPI-

ÍS la Trigonometría, 4f

CAPITULO IV.

DE LOS THEOREMAS FUNDAMENTALES PARA LA

resolución de los Triángulos Esféricos Obllquangulas.

PROPOSICIÓN XXV. THEOREMA.

Xn qualquier Triangulo Esférico ( ABC. ) los senos de los lados ( AB.

AC.) son proporcionales coa. los senos de los ángulos opuestos

(C yB.)0%. ao.)

CAIGA desde A. la perpendicular AD.

Demonst. En el triangulo reftangulo BDA. son proporcionales

Xj. 16.) el radio al seno de el lado AB. como el seno de el ángulo

B. al seno de el perpcndiculo AD.

Asimismo , en el triangulo reftangulo ADC. son proporcionales

el radio al seno de el lado AC. como el seno de el ángulo C. al seno

de el perpendículo AD. Y como ( p. 16. 1. 6. Eue.) el reftangulo

de los extremos es igual al de los medios : y los extremos son unos

mismos en las dos proporciones , serán los dos reftat.gulos de los

medios iguales entre si. Luego el reftangulo de los senos dc el lado

AB. y ángulo B. es igual al reftangulo de los senos de el lado AC.

y angula C. Luego sus lados son recíprocamente proporcionales

(p. 14, 1. ó, Eue.) como el seno de el lado AB. al seno de el lado

AC asi el seno de el ángulo C al seno de el ángulo B. y al con­

trario.

Lo mismo se demuestra aunque el perpendículo AD. caiga fuera.

Porqac en este caso , los ángulos ACB. ACD. tienen un mismo seno.

PROPOSICIÓN XXVI. THEOREMA.

Xn qualquier triangulo Esférico ( ABC. ) los senos de los segmentos

(BD. DC. ) aut hace el perpendículo (AD. ) en la base ( EC )

son reciprocamente proporcionales con las tangentes de los angulas

sobre la base ( B. y C ) (fig. ao*.)

LOS segmentos siempre se han de tomar desde cada ángulo sobre

la base hasta el perpendículo , aunque este caiga fuera de el

-triangulo.

Demonst. En el triangulo reftangulo BDA. son proporcionales

(p. 17.) el radio al seno de el segmento BD. como la tangente de

el ángulo B. a la tangente de el lado AD. Asimismo , en el triangulo

reftangulo ADC. es como cl radio al seno de el segmento DC. asi

la tangente dc cl ángulo C á la tangente de el lado AD. Y como en

las dos proporciones los extremos son unas mismos , ios medios, como


i

4S Tratado tercero

mb se demonstro en 1a antecedente , serán reciprocamente proporcionales

: Como cl seno de el segmento BD. al seno dc el segmento DC.

asi la tangente de el ángulo C. á la tangente de el ángulo B. y al

contrario. * -

PROPOSICIÓN XXVII. THEOREMA.

En qualquier trungulo Esférico (BAC.) los senos de los ángulos verticales

(BAD. DAC, ) son proporcionales con los senos segundos

de las ángulos sobre la base (B. y C.) (fig. aú. )

Emonst. En el triangulo reftangulo ADB. son proporcionales

JD *-"-" ( p. 19. n. 3,) el radio al seno segundo de el lado AD. como el

seno de el ángulo BAD. al seno segundo de cl ángulo B. Y asimismo,

en el triangulo ADC el radio es al seno segundo de el lado AD.

como el seno de el ángulo DAC al seno segundo de el ángulo. C.

Luego (p 11. L J. Eue. ) el seno de el ángulo BAD. al seno segundo

de el ángulo B. es como el seno de el ángulo DAC al seno segundo

de cl ángulo C y al contrario.

PROPOSICIÓN XXVIII. THEOREMA.

En qualquier triangulo Esférico (BAC) los senos segundos de los

angulas vert. cales ( BAD. DAC. ) son proporcionales con las tangentes

segundas de los lados ( AB. AC ) (fig. aó )

~T\Xmonst. En el triangulo reftangulo BDA. es (p. 19. n. a.) el

_^~ radio al seno segundo de el ángulo BAD. como la tangente segunda

de el lado AD. á la tangente segunda de cl lado AB. Y asimismo

el radio al seno segundo de el ángulo DAC. es como la tangente

segunda de el lado AD. á la tangente segunda de el lado AC.

Luego ( p. 11. 1. c. Eue. ) como el seno segundo de ángulo BAD. al

seno segundo de el ángulo DAC. asi la tangente segunda de el lado

AB. á la tangente segunda de el lado AC.

PROPOSICIÓN XXIX. THEOREMA.

En qualquier triangulo Esférico (BAC.) los senos segundos de los

lados ( AB. AC. ) son proporcionales con los senos segundos de los

segmentos de la base ( BD. DC. ) (fig. aó.)

Emonst En cl triangulo reftangulo BDA. es (p. aa. n. 3.) el

.¿.monst. ün ir g segundo de AB.

D •*-* seno segundo de AD. ai raaiu , «-m. .¿.««nin A11C

fi ~ se§u t £'S* fSr ?¿m2S&$35^

SSÍS& te p?; a ¿£ cv* ».1. »•. «-¿^"¿•rí

dc AB. al seno segundo de BD. es como cl seno segundo dc AC

seno segundo de Í)C y al contrario. LÉM_-

¿te ta Trigonometría. 49

tEMMAS PARA LA PROPOSICIÓN SIGUIENTE.

LEMMA. 1. Fig. 27. mrc\

S¡ t. MU (.«.. *•»*• •»• ''rr^V"rTffJZAr T.ll

««_!*_ _" " a " * '" ' *

D

oc.' s ( u ;;.. E°«=." -S &¿ -. r**r. x °> "-» uios e ° fy

por tanto reftos. Luego , Scc.

LEMMA a. Fig. a8. ,c kr_ \ pas*

St por el vértice (A ) de el trillo ff£*%£ ^ (MM

la recl* (AM.) paralela a la cuerda (.CD-)atchar v.

tocara a-la Es fra en que *sth el tnangulo (ACD. )

P0R los puntos ACD. describase el circulo CDA. y tírense la,

^ %£Z« £ £% * 'efta MA es l«**¿,«* - # £

MAD. será ¡gual á su alterno CDA. (p. jj-k u Eue ) o (p 5 ^

Eue.) á su iglal C Luego porque d angu , MAD- es ig ^ ^

su segmento alterno C la refta MA» £» tange e k u

Como se infiere de la p» fl- »• 3' auc> '

v &

i» fo, triangulas Isolus fAí £ Zw-f e^lauo de A clrcido máximo

(AGD.) pi divide por me^o * ¿ ^ " ¡ £ ¿DFO y *»

rá igualmente , y en ángulos recios las *•*»"


je Tratado tercerd\

plano AGD. Luego ( p. 6. 1. .1. Eue.) las lineas CO. FL. ó las

cuerdas BOC ELF. son paralelas.

PROPOSICIÓN XXX. THEOREMA.

Fn qualquier triangulo Esférico ( ABC.) son proporcionales el rectángulo

de los senos dc los lados (BA. BC.) que incluyen el angula

vertical ( B ) al qua.irado de el radio , como el rectángulo de los

senos de las d'fereacias de dichos lados, y la semisuma de los tres

al qt,adrado de el sena de la mitad de dicho ángulo vertical,

(fig- 3 o )

^Rolonguese el menor lado BA. y córtese BQ. igual á BC. y EH.

igual á AB. y AD. QE. iguales á la base AC Divídanse por

medio los arcos AQ. DQ, en los puntos R. y L. Y porque AQ. es

diferencia de los lados AB. BC será RA. la semidiferencia , y BR.

(cor. p 4. 1. a. ) semisuma de los lados AB. BC Y porque AQ. y

QD. juntas son iguales á la base AC. sus mitades RQ. QL. esto es,

LR. será la semibase , que junta con BR. semisuma de los otros

dos lados , quedará BL. igual á la semisuma de los tres: luego LA.

será diferencia entre el lado menor BA. y la semisuma de los tres

BL. y LQ. diferencia entre el lado mayor BC. ó su igual BQ. y

dicha semisuma. Dense los arcos del círculo máximo AOH. QFC. y

sus cuerdas AH. QC. y divídase el ángulo vertical B. por medio con

el plano de círculo máximo BOF. que (Lem. 3.) cortará dichos

arcos , y sus cuerdas por mitad , y en ángulos reftos , y. será MI.

seno del arco HO, y CP. seno de el arco CF, (def. 3,) Dense,

asimismo , las cuerdas AE. QD. y por ti punto L. y centro dc el

máximo B. AE. la refta LNG. que (Lem,!,) cortará dichas cuerdas

por mitad , y en algunos reftos en los puntos N. y G. y será AG.

seno de el arco AL. y QN. seno de el arco QL. A mas de lo dicho

, dense las reftas LH. DC Y porq e las reft . AH. QC. y también

AE. QD. son paralelas (Lem. 3.) los planos de los triángulos

HAE, CQD. que pisan por est.is lineas son p.¡rale : os ( p. íe. l.n.

Eue. ) Finalmente , descríbase un círculo al rededor de el trianguló

HAE. y por el vértice A. de el triangulo Isoceles ADC. dése la

refta MA. paralela á la cuerda DC. que (Lem. a.) será tangente á

la Esfera en el punto A. y porque es paralela á la cuerda DC. y

toca al plano de el triangulo HAE. estara en el mismo plano con él:

(cor, p. 16. 1. 11. Eue.) luego la MA. que toca la Esfera en A. tocará

también á el circulo HAE. en el mismo punto: esto supuesto.

Demonst. En los triángulos HAE. CQD. porque son paralelas

AH. QC. (Lem, 3.) y también AE, QD. los ángulos HAE. CQD.

son iguales (p. 10. 1. n. Eue.) y por la misma lo son MAE.QDC.

Pero el ángulo MAE. es igual al ángulo AHE. formado en el seg»

mentó

de la Trigonometría. f l

mentó alterno: (P- 3*» l- 3- B**- c ) *" e S° ( ax ' "0 se ". n *'§" a,es AI * E '

mentó alterno tP 3 El¿) dichos triángulos, ^ « í V ^ ' J ^

f\.VEUCVSUS lados proporcionales como AH i AEas, DQ;i

OC v (p- te. 1. 5. Eue.) HI. mitad de HA. a AG. m^tad de AE.

asi QN. mitad de QD. i CP. mitad de CQ. Luego (p. 16 16 Euc^)

e rcftan.ulo de los extremos IH. PC es igual al de los medios AG.

QN A¿,mo, en los triángulos Esféricos BOH BFC reftangu£

-C-. O. y F. son proporcionales ( p. 16.) como el seno de la hypote

¡usa BH al radio, asi el seno dc cl lado HO. al seno de el ángulo

opuesfo OBH. y como el seno de la hypotenusa BC al rad.o asi el

seno de el lado FC al seno de el ángulo CBF Luego (p. aa. I. 6.

Le.) eí reftangulo de los senos de los lados BH ó BA- su igual y

BC. í el quadrado de el radio es como el reftangulo de los senos IH.

"PC. al quadrado de el seno de el ángulo CBP. mitad de ABC Pero

el reftangulo de IH. PC se ha probado igual al de AG QJN.

Luego si en lugar de aquel, se toma este, quedaran proporcionales

el reftangulo 8 de los senos de lo, .ados BA. BC *M^"£ e£

el radio, como el reftangulo de los senos AG. QN. de las d.feren

eias de los lados BA. BC y de la semisuma de los tres lados, al qua

-irado dt el seno de la mitad de el ángulo vertical ABC

CAEITULOV.

2>_S ZAS RESOLUCIONES DÉ LOS TRIÁNGULOS

L

Es feríeos ebliqaangulos-

OS mas de los Problemas siguientes han menester para sus resoluciones

el perpendículo, con que se divide el triangulo oblí

quangulo en dos triángulos reftangulo.1: y en uno de ellos se busca

el segmento de la base, ó ángulo vertical, que forma el perpend.

culo, y en cl triangulo obliquangulo se concluye la resolución , na

liando el lado , ó ángulo que se busca.

Reglas para el perpendículo. Fig. ao.

*• FJN qualquier triangulo ABC. el perpendículo AD. siem-

-C. pre ha de caer de cl extremo de un lado conocido BA

sobre el otro BC. que incluye el ángulo B. conocido , para que asi

haya en el triangulo ADB. á mas de el ángulo refto D. dos cosas

conocidas, que son el lado AB. y el ángulo obliquo B.

Nótese, que cn dos Problemas de los siguientes se ^ allara P°~

derse echar el perpendículo con las condiciones dichas de dos maneras

». y de qualquiera que se use, se obrará bien , conociendo a

especie de los ángulos adyacentes al lado, sobre que cae : en

otros cae solamente de una parte, de que se dirá en sus lugare .

a.

4

,:


¿_:

I

i!

___________________M

Tratado tercero


Si los ángulos B. y C. son de una especie (p. ia.) el perpendículo

cae dentro de el triangulo , y es de,la especie dc dichos

ángulos; y si son de diferente especie, cae fuera, y cs de la especie

de el ángulo externo : advirtiendo , que el perpendículo,, quando

cae fuera, puede ser á una, y otra parte; mas nosotros lo echarnos

siempre opuesto al ángulo conocido,

PROPOSICIÓN XXXI. PROBLEMA.

Dalos 'as lados (AB. BC. ) y el angula intermedio (B.) de el triangulo

obliquangulo ( ABC ) hallar qualquier ángulo (fig. a6. )

ARA hallar el ángulo C. el perpendículo debe caer precisamente

P de el ángulo no conocido A. que no se busca.

En el triangulo reftangulo BDA. con la hypotenusa AB. y el

ángulo B. se hallara el segmento BD. con la analogia siguiente:

(p. ao, n. a.) Como el seno segundo de el ángulo B. al radio , asi

la tangente segunda de AB. á la tangente segunda de el segmento

BD. Con este segmento se conocerá el otro CD. restando en el primer

triangulo BD. de la base BC y en el segundo restando la base

BC. de el segmento BD. Para hallar el ángulo C. se hará la proporción

siguiente: (p- a6.) Como el seno de el segmento DC al seno

de el segmento BD. asi la tangente de el ángulo B. á la tangente

de el ángulo C. que se busca, Quando por las prop. y cor. de el cap.

i. no se conoce la especie de el ángulo C la mostrará la operación.

Porque si el segmento hallado BD. es menor que la base BC. el perpendículo

AD. cae dentro del triangulo , y el ángulo C. es de la especie

dc el conocido B, mas si dicho segmento es igual á la base BC.

el ángulo C será refto, y cl lado AC. coincidirá con el perpendículo.

Pero sí el segmento BD. es mayor que la base BC, el perpendículo

AD. cae fuera , y el ángulo C será de contraria especie de el

conocido B. Tenganse presentes las proposiciones lo.y n. porque por

ellas se conoce la especie de el segmento BD. como asimismo la de

el ángulo vertical BAD-

Si se busca el ángulo A. debe caer el perpendículo de el ángulo

C, y con los segmentos de AB se hallará con las analogías antecedentes.

PROPOSICIÓN XXXII. PROBLEMA.

Dados los lados ( AB. BC.) y el ángulo intermedio (B.) hallar el la­

Edo (AC.) (fig. A6. )

L perpendículo ha de caer de el ángulo no conocido A. sobre el

i lado conocido BC ó de el ángulo no conocido C. sobre el lado

conocido AB.

Busquense por la analogia primera de la antecedente los segmentos

BD* DC. Y por la p. AO. se formari la proporción siguiente , para

hallar el lado AC. como el seno segundo de cl segmento BD. al

seno

de la Trigonometría. 53

seno segundo de el segmento DC. así el seno segundo de el lado

AB. al seno segundo de el lado AC,

PROPOSICIÓN XXXIII. PROBLEMA.

Dados dos angulas ( A. y B. ) y el lado intermedio ( AB. ) hallar el

otro ángulo ( C ) (fig- aó,)

I

> L perpendículo cae de el ángulo conocido A, sobre el lado no

j conocido BC. ó de el ángulo conocido B. sobre el lado no conocido

AC

En el triangulo reftangulo BAD. se buscará el ángulo DAB.

con la hypotenusa AB. y el ángulo B. la analogía es de la p, AO. n.

3. Como el radio al seno segundo del lado AB. asi la tangente de el

ángulo B. á la tangente de el ángulo DAB.

El ángulo hallado se resta del ángulo BAC y el residuo es el

ángulo DAC. en el triangulo primero: pero en el segundo el ángulo

dado BAC se resta de el hallado BAD. para tener el vertlcat CAD.

Con los ángulos verticales BAD. DAC, y el ángulo B. dado se hallará

el ángulo C. con la analogia siguiente ( p. 16.) Como el seno

de el ángulo BAD. al seno de el ángulo DAC. asi el seno segundo

de el ángulo B. al seno segundo de el ángulo C

Quando no se conoce la especie de el ángulo C techa la analogia

primera , si el ángulo hallado BAD. es menor que el dado

BAC, el perpendículo cae dentro: si es igual, el ángulo C. es refto:

y si mayor, el perpendículo cae fuera, y este conoce la especie de

dicho ángulo.

PROPOSICIÓN XXXIV. PROBLEMA.

Dados los ángulos ( A. y B.) y el lado intermedio (AB.) hallar qtuxlfuier*

de los ' lados opuestos, (fig. aó.)

JT ARA hallar el lado AC hi de caer necesariamente el perpendículo

sobre el lado BC. no conocido , que no se busca.

Hállense los ángulos verticales , como en la antecedente : y

( por la p. 28. ) se hará la proporción siguiente , para hallar el lado

AC. Como el seno a. del aRgulo BAD. al seno a. dc el ángulo CAD.

asi la tangente a. del lado AB. á la tangente a. del lado AC

Si se busca el lado BC. debe caer el perpendículo de el ángulo

B. sobre cl lado AC. y sino se conoce la especie del ángulo

C. «. obrará como se dixo a el fia de la antecedente.

PRO-


i

Tratado tercera

PROPOSICIÓN XXXV. PROBLEMA.

Dados tes lados ( AB. AC.) y un ángulo opuesto (B ) hallar el «ttt

angul* opuesto ( C ) (fig. ai. )

-pRoporclon ( p. af. ) Como el seno del lado AC. al seno del angu.

lo opuesto B. asi el seno del lado AB. al Seno del ángulo opuesto

C, que se busca. Pero es menester saber la especie del ángulo C.

por semejante raaon á la que se dió en el Sch. p. 13, 1. a.

PROPOSICIÓN XXXVI. PROBLEMA.

Dadas das lados ( AB. AC.) y un ángulo opuesto (B.) hallar' eí

ángulo intermedio (A.) (fig. aó, )

I

"^L perpendículo debe caer del ángulo , que se busca A. y es me-

_/ nester saber la especie del ángulo C , ,

Búsquese el ángulo BAD. con la analogia 1. de la p. 33. y (por

la p. aB¿) son proporcionales: Como la tangente a. del lado AB. 4

la tangente a. del lado AC asi el seno a. del ángulo BAD, al seno a.

del ángulo CAD. Súmense en el triangulo 1. los ángulos BAD. CAD.

hallados , y la suma es el ángulo BAC. que se pide, Mac en el triangulo

1. el residuo de dichos ángulos seria el valor de el ángulo BAC.

que se busca.

PROPOSICIÓN XXXVIL, PROBLEMA.

Dados los lados (AB. AC.) y un ángulo Opuesto (B) hallar ti tercerlad*

(BC.) (fig. aó.)

EL perpendículo cae precisamente sobre el lado BC. que se busca,

1

y es menester conocer la especie del ángulo C. para saber, si el

perpendículo cae dentro, 6 fuera de el triangulo.

Búsquese con la proporción 1. de la p, 31. el segmento BD. Y

para hallar el otro, segmento se hará la analogia siguiente '(.por la

p.29.) Como el seno fl. del lado AB, al seno a. de lado AC. asi el

seno 2. del segmento BD. al seno a. del segmento DC.

Súmense los segmentos hallados , y el agregado será el valor del

lado BC. en el triangulo 1. pero en el triangulo a. se restará el menor

segmento del mayor , y quedará el lado BC. conocido.

PROPOSICIÓN XXXVlil. PROBLEMA.

Detios dos angulas (B.y C. ) y un lado opuesto (AB.) hallar el .

otr* lado opuesto ( AC. ) (fig. a6. )

-proporción ( p. ae.) como el seno del ángulo C al seno del lado

•*- opuesto AB. asi el seno del ángulo B. al seno del lado opuesto

AC que se busca. Mas

de la Trigonometría. 15

Mas es menester saber la especie de el lado AC. Porque en ios

triángulos ABD. ACD. {.fig- aó. triangulo a.) siendo los lados

AB. AC. iguales al semicírculo , tendrán los ángulos B. y ACD.

( p, 7.) iguales , y el ángulo D. comun , y también el lado AD.

opuesto á dichos angulcs iguales: y si se hace la analogia antecedente

: Como el seno de el ángulo B. ó de su igual ACD. al seno

de el lado opuesto AD. asi el seno de el ángulo D. al seno de el

lado opuesto , hai la ambigüedad, si el lado, que se busca es AB.

ó su complemento al semicirculo AC. Por lo qual se necesita de el

conocimiento de la especie de el lado , que se busca.

PROPOSICIÓN XXXIX. PROBLEMA.

Dados des angulas (B. y C.) y un lado opuesto (AB.) hallar et

lado intermedio (BC. ) (fig. aó.) . . , • -

EL perpendículo ha de caer determinadamente sobre el lado BC.

que se busca : y es menester saber , si este lado es menor, ó

mayor que el quadrante.

Búsquese, como en la primera operación de la p. 31. el segmento

BD. y (por la p, aó.) serán reciprocamente proporcionales:

Como la tángeme de el ángulo C, á la tangente de el ángulo B, asi

el seno de el segmento BD. al seno de el segmento DC.

Ea suma de los segmentos BD, DC ts el lado BC. que se busca

cn el triangulo 1. pero en el a. es el residuo de dichos segmentos.

PROPOSICIÓN XL, PROBLEMA..

Dados los ángulos ( B. y C) y el lado (AB.) opuesto h uno de ellos,

, hailur el otra ángulo (A.) (fig- aó.) -,

EL perpendículo debe caer piecisamente dc el ángulo A. que se

busca.

En cl triangulo reftangulo BDA. se conoce la especie de cl

segmento BD. (p. 11.) y la de el ángulo vertical (p. 10.) opuesto

BAD. m.is p^ra conocer la de el segmento DC ó de cl vertical

DAC es menester saber la especie de el lado AC, •

H diese con la proporción 1. de la p. 33. el ángulo BAD. y

pava hallar «1 otro ángulo , se hará ( por la p. 27.) la analogia siguiente

: Como el sene a. de el ángulo B. al seno a de el ángulo C.

asi el seno dc el ángulo BAD. al seno de el ángulo DAC, con lo,

qual se conocerá el ángulo A,

PRO-


Ai

....--,..-',__.. .-

. eg Tratado tercer»

PROPOSICIÓN XLI. PROBLEMA.

Dados los tres lados hallar qualquier ángulo (fig. 30.)

t^N el triangulo ABC. valga ellado AB. {(.grados, y 30. minu-

JC. tos: el lado BC. 40. grados in. minutos, y el lado AC. 54.

arados 18, minutos, buscase cl ángulo A.

Añádanse á los complementos logarithmicos de los senos de los

Jados, que comprehenden el ángulo, que se busca , los senos de los

residuos hallados entre cada uno de dichos lados, y la semisuma

de los tres , y la mitad de esta suma es seno logarithmico de la mitad

de el ángulo comprehendido.

Lado menor inchi-

yente.

Lado mayor incluyente.

Lado BC

Suma de los tres lados.

Semisuma.

Residuo de la semisuma,

y lado.

Residuo de la semisuma

, y lado. H

Suma de los quatro

Logarithmos.

í emisuma de dichos Logarit-i.

AC.(4.g.18.m.CL 0.0903993

AB {f.g.30,m.CL.o.084006}

40. ia

150

7.

AC. ao

AB. 19.

00.

00.

42.

30.

9-.483.-35r

9-Í-349-.3

i9.fl4'*2*;94

9.6131297

Esta semisuma es seno de 24. grados 50. minutos, y su dupT*

44 svad. y 40. min. es el valor de el ángulo A. que se pretendía

La razón de esta praftica es semejante, a la que se puso al filí

déla p. 15. I- a. y se funda en la p. 30. de este.

LEMMA PARA LA PROPOSICIÓN SIGUIENTE.

Dado qualquier triangulo (ABC ) en 'las polos de sus arcos ( E.D F. )

se forma otra triangulo (FED.) i* quien los lados (EF. ED. )

son Iguales a los angulas (BAC. CBA. ) de el primero : y el tereer

lado ( FD. ) es camplemeneo al semicirculo de ti tercer angu-

POrque los' puntos E. D. F. son polos de los arcos AB. BC. CA.

los anoulos M. N. H. G. O. P. son reftos (cor. a. p. 8. ) y los

arcos BM BN. CH. CG. AO. AP-son quadrantes: y por la misma

razón los puntos A. B, C .on polos de los arcos EF. ED. FD. esto

supuesto. ~»

de la Trigonometría. 5?

Demonst. Porque EM» DN. son quadrantes (def, a.) quitando .*

el arco comun DM. quedará ED. igual á MN, medida de el ángulo

ABC. Asimismo , quitando FO. de los quadrantes EO FP, queda

EP i'°ual á OP. medida de e'l ángulo BAC. Finalmente, quitando

de los quadrantes IH- DG. el arco HD, quedará HG. medida de el

ángulo ACB. igual á DI. complemento al semicirculo de el lado FD,

Lo mismo se demuestra de los ángulos de el triangulo EFD. con

los lados de el triangulo ABC por ser , como se ha dicha , los-puntos

A. B. C polos de los lados de el triangulo FED,

Scetio.

POR lo demostrado en el Lemma antecedente se conoce , que un

triangulo Esférico , como ABC. es suficientemente determinado

por sus tres ángulos conocidos : pues por ellos se conocen los

tres lados de otro triangulo DFE. que (p. 3.) lo determinan: y

por consequencia queda determinado el triangulo ABC

PROPOSICIÓN XLII. PROBLEMA.

Dados los tres ángulos de un triangulo, hallar qualquier lado. (fig. 16)

SEA el triangulo ABC. en el qual se conocen los ángulos A. de

49. grados 40. minutos B. de 73. grados 33. minutos, y C.

^ e 7°- grados 40. minutos, y se busca el lado BC.

De el Lemma antecedente se colige, que , dados los tres ángulos

de un triangulo Esférico , nos podremos valer para la resolución

de otro triangulo equivalente, suponiendo, que dos de sus lados

son iguales á dos ángulos de el i, y que el tercer lado sea cl complemento

al semicirculo de el tercer ángulo, lo qual se hará de el modo

siguiente.

Tómese el complemento al semicirculo de qualquiera de los ángulos

contérminos al lado BC. que se busca , como el ángulo C y

haciendo cuenta , q»c el ángulo A. es lado , y el ángulo B. otro lado,

y el complemento sobre dicho dc el ángulo C. otro lado, de

cuya semisuma se restarán el ángulo en B. y complemento al semicírculo

de el ángulo C. y con los residuos, y dicho ángulo en B.

y complemento de el ángulo C. se hará la operación , como en el

problema antecedente.

H

Com-



{B Tratado tercero

Complemento al semicírculo del ángulo Logsríthmos.

C. 103. grados ao. min C.L. 0.0118671

Ángulo con termino B. 73. grados 33.

minutos C.L.

Residuo de la semisuma, y del compleo_oi8i{_o

_n.nto del ángulo C. 9. gr. 56 m. 30. seg.

Residuo de la semisuma, y ángulo B,

9.0371{{i

39. grados 43 min. 30. seg

9.8o{'(7ia

Suma de los quatro Logarithmos 19.0727441

Su mitad es seno de 30. grad. y 6. m. . . 9.{363730

y el duplo 40. grados ia. minutos es valor de el lado BC. que se

pretendía.

APEN

•*•)•)*

•_^»íl Jt^'Aá-.-'t.íf.-A'-í'-ia'-.i» A A

»?* •$% d^J-* ^5

^ ^ ^_- ^»= -S(* = *"=-- •--•= —•- — -—» *"»— -___ I»"'*»

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*»)•) • % "% *? * ¥ • V * * « • ** • * * V (f*

APÉNDICE.

i*:—TJARA que nada falte 'a* una perfefta instrucion en materia,

JT de Resoluciones Trigonométricas , y para facilitar mas,

y mas la pruftica dc estas resoluciones , y, la varia combina-cion , y

aplicación de los Theoremas fundamentales , ha parecido convenid.te

.-.nadir este Apéndice.. Empecemos , como es razón , por los.

triangules reftangulos.

a- Ya se advirtió, que quando. se trata de triángulos reftangulos

, se debe siempre entender , que se. habla de. aquellos que no.

contenen mas que un Ángulo refto ; pues, si de los tres Ángulos

«ana uno fuera refto.,, los tres lados, serían cada yno de noventa

grados, y todo se conocería en dicho triangulo.

Si el triangulo reftangulo tiene un lado , y la Hypotenusa , ó,

un lado y su ángulo opuesto , ó la Hypotenusa , y un Ángulo, adyacente

de 90. grados, en este triangulo tendremos por lo demostrado

quatro partes, cada una. de las quales será conocida , ó de. 90.

grados : primera , un lado ; segunda , el ángulo opuesto ; tercera,

la Hvpotenusa ; quarta, el ángulo opuesto : luego str._n inútiles las.

analogías que se hacen , dadas, tres, partes hallar la quarta j porque

siendo cada. una. de las. dichas, quatro partes de 90. grados , no podran

determinarse las otras dos de las seis., que contiene el triangulo

, pudiendo estas dos restantes ser mayores, ó menores de 90.

grados. Y por fin , si á mas: dc las dichas quatro partes , conociéremos

la quinta, que.iará determinada la sexta., y resuelto, todo cl

rungulo ; pues consta, que si en un triangulo reftangí lo un lado es

e 90 grados el otro lado será de tantos grados quantos contiene el

ángulo opuesto. Todo esto consta de las proposiciones 10., y 11.

3.** Es también necesario repetir aquí , que. en todo triangulo

rectángulo : 1. e* radj0 cs ¿ la hypotenusa como el seno de un anguo

obliquo al seno de su lado opuesto : a. el radio , es al seno de

' ° de los catetos, como la tangente del ángulo comprehendido

entre dicho cateto , y la hypotenusa á la tangente del lado opuesto

l P r °P- 'ó. y 17.) ya sean los tres lados menoies cada uno de 90.

grados ya sean los dos catetos mayores de 90. grados.

Pero

Í9

(«í*


6o A P E K D I C E.

Pero como no siempre se pueden hacer direftamente las dos referidas.analogías

, adelantando lib poco mas la observación a. cap,

3. advertiremos, que si de un triangulo ELF. (fig. 33.) reftangulo

en L. se prolongan los lados LF. hasta B. EF. hasta K. EL. hasta H.

de modo que F3. FK. EH. sean cada uno de 90. grados ; si ade-.

mas del punto E. conao Pó'o se describe el arco ACGH. y que sea

ACG. un quadrante; dcscriviendo también del punto F. como polo

el arco ABK. de 90. grados , quedarán formados otros dos triángulos

reftangulos FCG. CAB. cuyos lados,y ángulos son,ó iguales k

las partes del triangulo dado LFE. 6 serán sus complementas. Efectivamente,

siendo el vértice E. polo del arco ACGH- los arcos EG.

EH. serán' perpendiculares al dicho arco ACGH. y cada uno de ellos

de 90. grados , y el arco ACGH. será perpendicular al arco ELH, al

qual es también perpendicular el arco CFL. por ser el ángulo en L.;

refto por hypotesis : luego cada uno de los dos arcos CGH. CFL,

será de 90. grados, y el punto C será polo del arco ELH : Luego

«1 triangulo CFG. sera reftangulo en G. y su ángulo C. cuya medida

es HL. será complemento del lado EL- el lado CG. que es complemento

de GH. lo será también del ángulo E. medido por GH. y la

hypotenusa CF. es complemento de FL. el lado GF. complemento

de FE. hypotenusa del triangulo dado.

A mas de esto siendo ÁCG. no solo un quadrante , mas también

perpendicular al arco EFGK. el punto A.; será polo de EFGK.

y siendo el punto F. por construcción polo del arco ABIC, serán FB.

y FK. perpendiculares á ABK. y el triangulo ABC. reftangulo en B.

su lado AB. complemento de BK. que es medida del ángulo GFC

será también complemento del mismo ángulo, ó de su igual EFL. el

lado BC sera igual al lado FL. pues BF. cs de 90. grados , CL.

también ; luego quitando CF. quedará BC p FL. La hypotenusa AC.

es igual á GH. por ser AG. de 90. grados , CH. de 90. grados,

y CG. complemento comun ; luego si GH. es mcd'ida del ángulo E.

lo será también AC. el ángulo CAB. es igual á FE. por ser FE EE GK.

(I< ; K. de 90. grados , F.G. de 90. grados , y GF. complemento común)

y GK. medida del ángulo CAB. y por fin el ángulo ACB.

igual á ¡GCF. tiene la misma medida, que es HL. complemento de EL,

Lue_.o cada una de las partes de los dos triángulos ABC, CGF. es o

igual , 6 complemento de cada una dc las partes del triangulo dado

ELF. Estos dos triángulos se llaman complementarios , y son de muchísimo

uso en la resolución de los triángulos reftangulos.

4. Supuesto todo esto se han formado unas tablas que sirven

de auxilio para las diferentes convinaciones que se necesitan de las

dos proposiciones , y analogías fundamentales del numero 3. Entre

•muchas que se encuentran en diferentes Autores daremos la siguiente.

TABLA

TABLA QUE CONTIENE LA RESOLUCIÓN DE TODOS LOS CASOS

posibles en un triangulo esférico reclangulo. En esta tabla uno de los catetos es A , y su.

ángulo opuesto m; el otro caceta B, íil ángulo opuesto n , la hypotenusa. sera G.

C»nt.

dada.

A

B

A

C

A

n

A

m

B

n

B

m

C

n

C

111

n

m

Cant.

busc.

C

m

n

B

m

n

A

m

n

B

C

m

B

C

n

A

C

m

A

C

n

B

A

m

A

B

n

A

B

C

CO

CO

( 3 )

(4)

(5)

( 6 )

(?)

(•)

(9)

(10)

(>0

(13)

0?)

CH)

00

(.6)

07)

0»)

09)

(ao)

00

(33)

O.)

04)

00

(aó)

07)

O»)

09)

Oo)

Cos. C rr

Cot. m rr

Cot. n rr

Cos. B

Sen, m

Cos. n

Cos. A:

Cos. m

Sen. n

T*ng. B:

Cot C:

Cos. m :

Sen. B

Sen. C

Sen, n

Sen. A

Sen. C

Sen. m

Tang.A

Cot. C :

Cos, n

Sen. B

Tang A:

Cot. m

Sen. A :

Tang.B:

Cot. n '

Cos. A

Cos. B

Cos. C

CALCULO.

«fc—*,

Cos. A -+ 1. Cos. B

, Cot. A -*- I. Sen. B

. Sen. A. -t- l. Cot. B.

1. R

I. R

1 R

R -+» 1. Cos. C — 1. Cos. A

R -+ 1. Sen. A — 1. Sen. C

Tang. A -t- 1. Cot. C — 1. R

R -+• 1. Cos. C — l. Cos. B

Tang. B-+ 1. Cot. C — 1. R

R -+ 1. Sen. B — 1. Sen. C

Tang. n -*- 1. Sen. A — IR

Cot. A -+ 1. Cos. n — 1» R

Cos. A -+• 1. Sen. n — 1. R

Tang. A-+1. Cot. m — 1, R

R —t- 1. Sen. A -— l. Sea. tn

R -+• 1. Cos. m — 1. Cos. A

Casos en los quales lo que se pide ha

dt ser minar que 90 grados.

Si A y B son de la misma especie.

Si A es menor de 90 grados

Si B es menor de 90 grados.

Si A y C son de la misma especie.

Si A es menor de 90 grados.

Si A y C son de la misma especie.

SI B y C son de la misma especie.

Si B y C son de la misma especie.

Si B es menor de 90 grados.

( a ) Si n es menor de 90 grados.

Si A y n son de la misma especie.

Si A es menor de 90 grados.

(b)

(O

> Casos dudosos.

Tang. B. -t» 1. Cot. n — 1. R

R -t- 1. Sen. B — l. Sen. n

Casos dudosos.

R -+ 1. Cos. n — 1. Cos. B }

Sen. B -+ 1. Tan j . m — 1. R

Cot. B-. 1, Cos. m — 1. R

Cos. B _+» 1. Sen. m. — I. R

Sen. C -+ 1. Sen. n — 1. R

Tang. C -4- 1. Cos. n — 1, R

Cos. C -+ 1. Tang. n — 1. R

Sen. C -+ 1. Sen. m — 1. R

Tang. C -+ 1. Cos. m — 1. R

Cos. C -+ 1. Tana, m — 1. R

Cos. m —t- 1, R — 1. Sen. n

Cos. n H- 1. R — 1. Sen. m

Cot. n -i- 1. Cot. m — 1. R

( d ) Si m es menor de 90 grados.

Si B y m son de la misma especie.

Si B es menor de 90 gridoi.

Si n es menor de 90 grados.

Si C y n son de la misma especie.

S¡ C es menor de 90 grados.

Si tn es menor de 90 grados.

SÍCym son de la misma especie.

Si C y m son de la misma especie.

Si m es menor dc 90 grados.

Si n es menor de 90 grados.

Si m y n son de la misma especie.


A P É N D I C E , fí,

{. Toda la tabla antecedente esta fundada en las dos analogías

fundamentales del num. 3 , y en el uso , y aplicación dc los

triángulos complementarios del mismo num.. 3.

L-is formulas ó. 8. 14. 17, 33. a{. se siguen de la primera analogia.

Las 10. 13. 19. aó. de ¡a segunda analogia ; y todas las demás

estriban en el uso del triangulo complementario.

Por exemplo , en el triangulo GCF. (fig. 33.) por la primera

analogia tenemos R: sen. CF:: sen. FCG: sen. FG ; si se substituyen

á estas cantidades sus equivalentes en el triangulo EFL. saldrán

las formulas 1.4. 7 ; tenemos asimismo en el triangulo GCF. po¡_- la

primera analogia R: sen. CF:: sen. CFG: sen CG. Luego póngase

en su lugar las equivalentes del triangulo EFL. y saldrán las formulas

18. ai. 39.

En el mismo triangulo GSF» (fig- 33-) por la segunda analogia

se tiene R: sen CG:: tangente FCG: tang. FC. y también R:

sen. FG: : tang. CFG; t.ing CG, y si substituimos á estas cantidades

las equivalentes del triangulo EFL. la primera de estas dos analogías

nos dará las formulas {. n. ao ; y la segunda las formulas

34. 37. 30,

En el triangulo ACB. por la primera analogia es R: sen. AC ::

sen. ACB: sen. BA ; por la segunda es, R: sen. BA:: tang BAC:

tang. BC ; y R: sen. BC: • tang. ACB: tang. AB ; luego si substituimos

las cantidades equivalentes en el triangulo EFL- la primera

analogía nos dará las formulas 13. 15. a8 , la segunda las 9. aa. aó;

y la tercera las a. 3.

Pero como por la trigonometría plana el mismo seno , caserío

, Scc. conviene tanto á un arco menor de 90. grados como á su

suplemento, por eso en los números 3{. y 38. de la primera columna

á la derecha de la tabla se han notado los casos , quando lo que

se busca debe ser menor de 90 grados , y por consiguiente se saben

los casos en que lo que se busca ha de ser mayor de 90 grados.

En la misma columna están notados los casos dudosos , y son

aquellos quando se dá un Udo , y su ángulo opuesto , pues esto no

basta para determinar la especie de lo que se busca. Esto se prueba

con evidencia en la observación quarta cap. 3. fig. 19.

Se ha de advertir solamente , que este caso sucede raras veces,

y quasi siempre las circunstancias particulares del Problema determinan

la especie de las cantidades , que se buscan,

6. Ahora para que se conozca el uso , y apllaacion de las formulas

de la primer* tabla , daremos aqui algunos problemas prácticos

, y de bastante uso en la Navegación . y Astronomía.

PRO-



*-» A P E N D I C I.

P R O B L E M A I.

Dada la ascensión recia del Sol de 338. gr. {{. min. pídese .#

declinación,

~T)Esolución: El arco PTAED. (fig. 3{.) represente la ascensión

•^ refta dada de 338, gr. {{. min. por el punto D. perpendicularmente

al equidor tírese el arco DB. de círculo máximo , y el punto

B. marcará cn la ecliptica el lugar del Sol: luego DB. representará

la declinación buscada.

El triangulo esférico PDB. es reftangulo en D. y se conoce en

él, el ángulo BPD. obliquidad de la ecliptica de 33. gr. 39. min. f

el lado PD. suplemento de 338. gr. {{. min. que es 31. gr. {. min,

haciendo luego uso de la formula (10. ) se hallará la buscada declinación

dc B. coino:

Logarithmo tang. DB— 9.í>379{ | 5 -+• 9.713889—io.oooooorr

9,35084; , que corresponde en las tablas á 13, gr, 38. min. 34. seg.

que es la declinación pedida.

P R O B L E M A II.

Dada la latitud, y la máxima declinación del Sol se lusca la prlme-

L ra , y la ultima hora que se debe señalar sobre un quadrante

j horario orizontal.

TVE solución: Sea P. el Polo (fig. 36.) Z. el Zenit MOGS. el

"^ Orizonte , FOT. la Equinocial BGL. el trópico que describe el

Sol cn el máximo dia del Verano ; PGD. un Meridiano que pasa

por el punto G. en el qual se cortan el Trópico , y el Orizonte.

-Con esto ó de una parte de la Esfera al Oriente , 6 de la otra *l

Occidente , se formará el triangulo esférico OGR. del qual el lado

RG. es la máxima declinación del Sol de 33. gr. y 39. min. y el

ángulo ROG. es el complemento de 1* latitud de _\t gr. v «3 min.

siendo la latitud dada de 44 gr. 38. min. desde luego con estos dos

datos se halla.á el lado OR. del triangulo OGR. reftangulo en R.

por la formula ( 13 ) como sigue

Log. Sen. OR zr: 9, 637956 —v* 9. 994441 —- 10 oooooo rr

9, 633397 , que en las tablas es el logarithmo del seno de 3{. gr.

34. min. que restados de 90. gr. q«edan 64, gr. 36, min. que redu-

«idos á tiempo dan 4. horas, 18. min, 34. seg. que cs cl punto, en

el qual sale el Sol , esto es la hora que señala entonces el Sol en el

quadrante : y porque, quanto esta primera hora de la mañana dista

del medio dia , otro tanto dista este de la ultima hora de la tarde,

•se sigue que la ultima hora de la tarde , ó quando se pone el Sol,

será Us 7, horas, 41. min. y tó. seg.

PRO-

APENDICE. í;

P R O B L E M A IH.

Dada la latitud , y la declinación ¿el Sal hallar ta diferencia ascettsional

o el Intervalo , que pasa de las seis dt la mañana , y et

salir el Sol , o dt las seis de la tarde , y el ponerse el Sol.

~OEsoluclon: La latitud sea de 44. gr. 38. min. y la declinación

17. gr. y i{. min. sea HZRz. (lig. 37.) el Meridiano celeste;

HR. cl Horizonte ; P. p. los Polos ; Z. z. el Zenit , y el Nadir;

EQ. la Equinocial celeste ; AL. el paralelo , que pasa por cl punto

extremo F. de la declinación dada. Según el punto C. represente el

Oriente , b el Occidente , el Sol saldrá 6 se pondrá al punto F. y

si el arco AF. del paralelo se reduce á tiempo , será la medida del

intervalo, que pasa entre el salir ó el ponerse el Sol, y su paso por et

meridiano. Si e» fin se hace pasar por los puntos PF. el arco PK.

del circulo máximo , será el arco AF- igual al arco EK. del equador.

Luego se tiene el triangulo FCK. en el qual es conocido el arco FK.

declinación dada , y el ángulo FCK. complemento de la latitud , ó

dc 4;. gr. y 3*. min. luego para hallar la diferencia ascensión»!

CK. bagase uso de la formula ( 13.) y se hallará.

Logarith. Sen. CKrr 9.493073 -+- 9.994441. —10.000000 r~

9.486{i4 , que corresponde en las tablas á 17. gr. {i. min. 7. seg.

que es la pedida diferencia asccnsional.

P R O B L E M A IV.

Dada la latitud, y ta declinación Íe un Astro , íe pide su amplitud

ortiva.

TjEsoluáon: Sea la latitud de 44. gr. 38. min._ y la declinación

•^ del Astro de 31 gr. 47. min. medida por el arco FK. (fig. 37.)

v porque en el triangulo KFC. reftangulo en K. cuya kypotenusa

CF. es la amplitud buscada, es conocido el lado FK. de ai. gr.

47. min. y el ángulo FCK. igual al complemento de la latitud, que

será de 45. gr. 33. min. luego por la formula (14.) se halla la

amplitud buscada.

Log. Sen. CF rr 10.000000 -1- 9. {69488— 9 853147 rr

9.717141 -, que corresponde en las tablas á 31 gr. a{ min. 5-5 seg.

que cs la pedida amplitud ortiva.

PRO»


•t

M

A P É N D I C E .

P R O B L E M A V.

Dada la elebaclau del Polo, hallar los ángulos, que al centro del quadrante

horaria horizontal hacen con la linea, meridiana las. lineas

horarias.

JL

DXsolitclon : Siendo el centro del quadrante el mismo, que el del

v

mundo , bien se vé , que el plano del quadrante cs el mismo

que cl del horizonte : luc'go el arco PN. ( fig. 38. ) del meridiano es

perpendicular al mismo. Aquí desde luego se trata de conocer los

ángulos NCl. NCK. NCL. &c. que con la meridiana NC. hacen las

líneas horarias CI. CK. CL. Scc. dc una hora, de dos, de tres , SÍC.

los qne son medidos por los arcos del horizonte NI. NK. NL. Scc.

que deben buscarse. Para hallar dichos arcos , se observa que los

triángulos PNl. PNK. PNL. son reftangulos en N. y de dichos

triángulos es conocido cl lado común PN. esto es la elevación del

polo de 44» gr. 38. min. y demás son conocidos los ángulos al polo

NPI. de i{. gr. NPK. de 30. gr. NPL. de 4{. gr. &c. luego se

hallarán los arcos NI. NK. NL. por la formula (íy.) como sigue.

Logarith. Tang. NIrr 9.43805a -+» 9 846688 —10.000000rr

9. 474740 , que es el logarithmo de la tangente de ió. gr. 37. min.

ángulo buscado.

Asimismo Log. Tang, NK rr 9 761439 -+ 9. 846688—-

10. oooooo rr 9. 608137 , que es el logarithmo de 1* tangente, dg

fta. gr. {. min. segundo ángulo pedido.

De los Triángulos Oblicuángulos.

**•*. 1% TAS necesario todavía nos parece este apéndice quando

i.TI se trata de ¡os triángulos oblicuángulos ; pues aunque

las proposiciones 35. a.6. 37. 38. y 39. dc esto tratado son el fundamento

principal de la resolución de un triangulo oblicuángulo,

quando se divide en dos reftingulos por medio de un arco perpendicular

, y entonces se hace uso de algunas formulas de la tabla

antecedente ; sin embargo será muí util añadir , que resultando de

la proposición ag. acomodada a! triangulo ELK. (fig 3a ) eos. DE:

eos. DL:: eos. KE: eos. KL , tendremos también eos. DE -+•

eos. DL : eos: DE — eos DL :: eos. KE -+• eos. KL : Cos. KE—eos.

KL, luego por la Trigonometría plana se inferirá cot- DE -+• DL:

3

tang. DE — DL-.-. cot KE-f- KL : cot. KE — KL , y multiplican-

- 1 3 3

dolas conservando las letras m. n. según se advirtió ; tendremos

eos. m -t- eos. n: eos. m — eos. n:: R a tang. m -4- n ¡*> tang. m — n;

luego eos, m

eos, n:; eos. ni

A P É N D I C E

• eos.

I-'»,

r

t_ar ;

s-

1 _ 1

y substituyendo en lugar de r*

-.*»"! . m -+ n

su

: t

-+ n

a

valor

m-

qu e es

eot.

m n

por ser las tangentes en razón im.ber.-u de las

cotangentes , y el radio medio proporcional

entre tangentes, y cotangentes: tendremos por fin;

Coseno, m -+• eos. n :. eos. m —- eos. H...

m —1- n m —• n

coC. _ ; ung, --— 5 «juierí decir la cotangente

de la mitad de 1* base 1 la tangente de la mitad de la diferencia ¿«

los segmentos de la misma base , como la cotangente de U mitad

de la suma de los lados, á la tangente de la mitad de la d.fcrcncia

de los mismos lados: ó la cotangente de I* mitad de la base a

la cotangente de la mitad de la suma de los lados , como la tangente

de la mitad de la diferencia de los segmentos de la base^ * U

ranéente de la mitad de la diferencia de los lados ; y siendo las

tangentes en ra.on reciproca de las cotangentes, Si las tangentes

se substituyen á hs cotangentes , tendremos la tangente de la

mitad de la base , á la tangente de la mitad deja suma de os

lados , como la tangente de la mitad de la diferencia de o,

mismos lados i la tangente de la mitad de 1» diterencia de los

segmentos de la base, ..... ,. ,

8. En la prooosicion 37, acomodada 1 la (fig. 3*. ) se demuestra,

que sen. DKL 5 sen, SKD:; eos. DLK. eos, IvED;

luego.

Sen. DKL -+ sen. EKD 1 sen.

eos. DLK -



If

65 APÉNDICE.

o. En todo triangulo esférico oblicuángulo KLE. (fig. 3a.)

se tendrá esta proporción sen. EL ¡^ sen. EK ¡^ eos. LEK rr

R. x eos. LK — R^ eos. EK ¡^ eos. EL. Quiere decir el produjo

dc los senos de dos lados en el coseno del ángulo comprehendido

es ¡gual si produfto del radío quadrado cn cl eos. del tercer

lado , menos el produfto del mismo radio en los cosenos de los

«tres dos lados.

Para demostrar este noble teorema considérese por la Trigomometria

plana , que si del ángulo K. baxa la perpendicular KD.

será: R: eos. ED :: tang. ED : sin. ED ; y también, R: tangente

EK : : eos. LEK : tang. ED. luego multiplicando los términos

correspondientes de estas dos analogías tendremos R. * : eos. ED ^

tang. EK: : tang. ED ^ c ° s » LEK: sen. ED ¡*¡ tang. ED i por

consiguiente.

R. ¡xj sen. ED ¡*» tang ED rr eos. ED w tang. EK x tang. ED ¡4

eos, LSK. y sen. ED rr eos. ED ^ tang. EK ¡*¡ eos. LEK.

"Hl . • • .__ ,i nil VI1 • • 1 BB«_i^»^»—1.1^^^HHmM_MM-M4

R. a

_.ero el triangulo LEK por el num. j . de este Apéndice , y 1*

proposición 39. nos dá eos. DL : eos. ED:: eos LK: eos. KE ; y

por la Trigonometría plana eos. DL rr eos. EL — ED rr

eos EL >>

eos. SD -t- sen. EL ^ sen. ED : eos. ED : : eos. LK : eos. KE {

_>

y si cn lugar del sen. ÉD se pone su valor , y multiplicamos los

extremos , y los medios , resultará eos. ED ^¡ eos. EL >*< R. -+•

sen. EL ^ eos. ED ^ tang. EK ¡^ eos. LEK ^ eos. KE rr

eos, ED ;*¡ eos. LK x R. '" En esta ultima ecuación si cn lugar

de tangente KE j*- eos. KE se substituye R ^ sen. KE que es un

falor igual por la Trigonom.tria plana , y se divide por R. y por

eos. ED , y se tran.fiere el primer termino resultará

sen. EL »*« sen. EK ^ eos. LSK rr R. ¡^ eos. LK — R •*}

eos. KK ^ eos. EL. Si se hace R rr 1 , 1* ecuación saldrá

sen. EL x sen. EK ^ eos. LEK. rr eos. LK — ce_s. EK x eos. EL,

y por consiguiente eos. LEK rr eos, LK — eos. EK ¡>


68 APÉNDICE

II. Los casos mas frequentes, y de uso en los triángulos oblietAngutos

son doce: pero sí uno quisiera formar una tabla dí todos

los ca.os posibles , ellos llegarían Insta sesenta. El Padre Gherlí , y

otros lo h_n hecho con mucho trabajo, y acierto ; pero nosotros aqui

no pondremos mas que la tabla para los doce casos , refiriéndolos

cada uno á sus formulas. Adviértase , que la tabla se refiere á la

figura 34. la qual representa en general un triangulo suyos lados son

A. B. C. y los ángulos ra. n. p. quando de un ángulo se baxa una

perpendicular al lado opuesto los segmentos ds este lado se dirán

x , z. y estando dividido en dos aquel ángulo del qual se baxo

1« perpendicular llamase v , el ángulo parcial opuesto al aegmento

x , y cl otro ángulo parcial opuesto al segmento 2. digase , y

entenderemos siempr. cn la tabla , que el segmento x. es contiguo al

lado derecho del triangulo cerno si del ángulo n. se baxa la perpendicular

n. D. el segmento m. D. será el representado en la tabla pof

la letra x. y el segmento D. p. por la letra %'.

13. No será inútil acabar este apéndice explicando una nnta,

que pene Mr. Bcsout al fin de su trigonometría esférica; Suponiendo

siempre que ninguna dc las partes dc un triangulo esférico no excede

de 180. grados, se puede con una regla mui f.icil determinar, s¡

el termino que se busca es realmente menor dc 90. grados , o si

puede ser mayor, ó menor de 90. grados.

Si el quarta termino de la analogía , 6 proporción que sirve

psrá resolbcr el triangulo es un seno , el arco á qsien este seno perterreee

puede ser mayor , ó menor de 90. grados , como es claro por

la trigonometría plana, que nn mismo seno tiene un arco de 150.

grados , y el arco de 30. grados menos en el caso de ser cl triangulo

reftangulo , y que una de las tres cosas conocidas fuera la opuesta

en el triangulo á la que se busca. En este caso por ser cada uno de

los ángulos obiiquos ds un triangulo esférico reftangulo de la misma

especie de su lado opuesto , cs claro que las dos ultimas cantidades

serian ambas de la misma especie.

Pero si el quarto termino es un coseno , una cot ; una tang ;

entonces, respefto á los términos conocidos de la proporción obsérvese

la regla siguiente : póngase el signo -+- al radio , y á todos los

que son senos , sean sus arcos correspondientes mayores , ó menores

dc 90. grados. Póngase también el signo —t- á todos los cosenos,

tangente* , y cotangent.s de arcos menores de 90. grados , y el signo

— á los cosenos tangentes , y cotangentes de arcos mayores de

90. grados.

Si el numero de los signos es cero, ó psr, el arco correspondiente

al qsarto termino será siempre menor de 90. grados ; y

sera siempre mayor de 90 gr. si el numero de los signos negativos es

impar. El que sabe que ajultiplicar y partir -i- por -+• da -+ ; — por

• M M H B H

I

APÉNDICE. 71

^m. dá -+ ; -+• por — y -— por -+ dá —- ; y al mismo tiempo reflexione

que el seno de 90 gr. es el radio, su eos, cero, su tang. infinita

, y la oot. cero ; que para tener el sen. y eos. de un arco obtuso

cs preciso tomar el sen. y el eos, de su suplemento ; que la tang.

de un arco mayor de 90 gr. es la misma que la tang. del suplemento

, pero no cae de la misma psrte, ni tiene la misma posición;

que la cotang. es también la del suplemento , pero cae en situación

opuesta ; que la tang, de 180 gr. es cero , la eotang, infinita ; y que

los sen. y cosen, mudan de signo en sus diferentes posiciones , ios

aen. conservan la misma posición en el primero , y segundo quadrante

de la derecha á la izquierda , y mudan cn el tercero , y quarto

siguiendo la dirección del circulo ; al contrario de los eos. que

mudan en el segundo y tercero. El que hiciere todas estas reflexiones

Terá la demostración de la segunda parte 4e la regla , y podrá comprobarla

con quantos exemplos se le ofrecieren.

TABLA


-If

73

2'^ 23 £ ^

Can»

tid.

dai.

m

m

C

m

A

C

Cantíd.

bus.

A

P

m

I

QUE CONTIENE LA RESOLUCIÓN DX LOS CASOS

mas frequmtts del triangulo oblicuángulo.

CALCULO.

(i) 1. Sen. Brr l.Sen. m -+ I.Sen. C—

I. Sen. p. por el n. 4. form. XXIII.

1. Tang. x rr 1. Cos. m -4- 1. Tang.

C 1. R.

Por el n. 7. 3. 1. Sen. z rr I. Tang.

m -t- I. Sen. x — 1. Tang. p.

(c) A es ¡gual á ¡a suma , o % 1* diferencia

dc los íegmentcs x, z según

que m , p son dc la misma ó de diferente

especie.

Por cl n. 4. form. XXIV. 1. Cot. v rr

1. Cos. C -4- í. Tang. m — 1. R.

Por el n. 7. 5. 1. Sen. y rr 1. Cos.

P

1, Sen. 1» — 1. Cos. m.

(3) n es igual á la sum, o i la diferencia

de v, y según que m, p, son de

la misma ó de diferente especie.

(4) Por el n. 7. 4. 1. Cot. B rr 1. Cos.

y -+ 1. Cot. C — I. Cos. v.

Por el n. 4. form. XXIV. 1. Cot. y rr

1. Cos. C. -+ 1. Tang. II — íi R.

Según la posición de la perpendicular

se halla v ¡gual á la suma ó á la diferencia

de y, m,

(e) Por el n. 7. c. 1. Cos. p, rr 1. Sen.

y —f 1. Cos. m — 1 Sen. v.

Por el m. 4. form. XXIV. 1. Cot. v rr 1.

Cos. A -+- 1. Tang. p — 1. R. Según

la posición de la perpendicular, se

hallará y igual á Ía suma ó á la diferencia

de m , v.

(6) 1. Sen. nrr 1. Sen. A -+- 1 Sen p —

I. Sen. C. Por el n. 4. form. XXIV.

1. Cot. v rr 1. Cos. A -+ 1. Tang. p —~

1. R.

Por el n. 7. 4. 1. Cos. j rr I. Tang.

A -+ 1» Cos. v —•» 1. Tang. C.

Casos em que l, qUil

se busca ha ae stt,

m*n*r dt 90, gr.

Dudoso.

Si tinte C, como m

son -< 90 gr.

Si tanto p, como B

son -


•\m-¡

\m

M • _"*. •


nmgwwoiaaiiPH

CANON

TRIGONOMÉTRICO

CON LOS SENOS , Y

Tangentes Logarithmicas, suponiendo

ser el Radio

i ooooooo.


*

a

io

II

12

«•3

J4

i?

16

•-7

18

'9

ao

21

32

23

a4

2.

26

3 7

28

39

30

* :

o. Grad.

Seno.

6.4637261

6.7647561

6.9408473

7.0657860

7.1626960

7.2418771

7.3088239

7.3Ó681.7

7»4'7o68i

7.4637255

7.50 51181

7.542906*;

7.Í776684

7.6098530

7.6398160

7.6678445

7.6941733

7.718,9^66

7-74 *477 5

7-7*547.37

7.7859427

7.8061458

7.8254507

7.8439338

7.8616623

7.8786953

7.8950854

7.9108793

7.9261190

7.9408419

Tangente.

6.4637261

6.764756a

6.9408475

7.0657863

7.1626964

7.2418778

7.3088248

7.3668169

7*4«79 6 9


*

g

I

2

3

4

í

6

8

9

10

11

12

*3

i4

15

16

*»7

*»9

ao

21

aa

a3

•*4

35

a6

•V

a8

29

30

8

8

8

8

8

8

8

8

8

Seno,

.0418553

2490332

2560943

2630424

2698810

276613o

28,32434

2897734

2962067

3025460

3087941

3149536

3210269

3270163

3329243

3387529

3445043

3501805

3557835

3613150

3667769

3721710

3774988

3827620

3879622

3931008

3981793

4031990

4081614

4130676

4179190

1. Grad.

Tangente.

8

8

8

18

.2419215

2^.91 O I f

2561649

26311 53

2699563

2766912

2833234

2898559

2962917

3026335

3088842

3150462

3211221

3271143

3330249

3388563

3446105

3502895

3558953

3614297

3668945

3722915

3776223

3828886

3880918

3932336

398315a

4033381

4083037

4130132

4180679

I «III

5

60

59

58

57

56

55

54

53

5-*-

5i

5o

49

48

47

46

45

44

43

4a

4i

40

39

38

37

36

35

34

33

3a

3 1

30

Seno.

9.9999338

9.9999316

9.9999294

9-9999*71

9.9999247

9.9999224

9.9999200

9.9999175

9.9999150

9.9999125

9.9999100

9.9999074

9.9999047

9.9999021

9.9998994

9.9998966

9.9998939

9.9998911

9.999888a

9.9998853

9.9998824

9-999*794

9.9998764

9.9998734

9.9998703

9.9998672

9.9998641

9,9998609

9.9998577

9.9998544

9.999851a

88. Grad.

Tangente.

11.7580785

7508985

7438351

7368847

7300437

7233088

7166766

7101441

7037083

6c)7^66i¡

6911158

6849538

6788779

6728857

66697^1

6611437

6385703

6331055

6277085

*

6553895

6497105

6441047

6223777

6171114 I

611908a

.6067664

.6016848

5966619

5916963

5867868

5819321

m-

>-.

5

30

Seno.

8.4179190

3* 8.4227168

32 8.4274621

33 ¡ 8.4321561

34 8 *4J67999

3 5 8.4413944

36 8.4459409

37

38

39

40

4 1

4 2

43

44

45

8.4504402

8.4548934

8.4593013

8.4636649

8.4679850

8.4722626

• 8.4764984

8.480693a

8.4848479

46 I 8.488963a

47 J 8.4930398

48 8.4970784

49 8.5010798

50 8.5050447

51 8.5089736

5* 8.5128673

53 8.5167264

54 8.5205514

! 55 ! 8.5243430

56 ¡8.5281017

57 8.5318281

J 8 ¡-8.5355218

59 j" 8-5391863

60 1 8.5428190

Grad.

Tangente.

8.4180679

8.4228690

8.4276176

8.4323150

8.436962a

8.4415603

8.4461103

8.4506131

8.4550699

8.4594814

8.4638486

8.4681725

8.4724538

8.4766933

8.4808920

8.4850505

8.4891696

8.4932502

8.4972928

8.5012982

8.5052671

8.5092001

8.5130978

8.5169610

".5207902

8.5245860 1

8.5283490

8.5320797

8.5357787

8.5394466

8.5430838

30

29

28

Q 7

06

25

23

22

21

Ea

20

*9

18

*7 9.9998050

16 9.9998012

15 9-9997974

x 3

12

11

10

9

Seno.

9.999851a

9.9998478

9-9998445

9.9998411

9.9998376

9.999834a

9.9998306

9.9998271

9.9998235

9.9998199

9.9998162

9.9998125

9.9998088

9-9997935

9-9997*96

9.9997856

9.9997817

9.9997776

9.9997736

9.9997695

9.9997653

9.9997612

9.9997570

9.9997527

9.9997484

9-999744 1

9.9997398

9*99973 54

88. Grad.

Tangente.

11.5819321

11.5771310

11.5723824

11.5676850

11.5630378

11.5584397

11.5538897

11.5493869

11.5449301

11.5405186

11.5361514

11.5318275

11.5275462

11.5233067

11.5191080

11.5149495

11.5108304

11.5067498

11.502707a

11.4987018

11.4947329

11.4907999

11.486902a

11.4830390

11.4792098

.11.4754140

11.4716510

11.4679203

11.4642213

•i 1,46b 5 534

11.456916a


*

* •

8

Seno,

8,5428192

8.5464218

8.5499943

8.5535386

8,5570536

8.5605404

8.5639994

2, Grad.

Tangente.

8.5430838

8.5466909

8.5502Ó83

8.5538166

8.557336a

8.5608276

8.5642912

7 I 8.5674310 8.5677275

8 8, 57083 5 M 8.5711368

9 1 8.5742139! 8.5745197

io 8.5775660

11 1 8.5808923

I-» I 8.584I933

-3 j 8.5-874694

14 8.59O72O9

•5 i 8»5939483

16 8.5971517

-7 8,6003317

18 8,6034886

»9

so

ai

8.6066226

8.6097341

8.6128235

22 8.6158910

23 8.6189369

24 ¡ 8.6219616

25


37

8.6249653

8.6279484

8.6.309111

a.8 I 8.6338537

29 8.6367764

30 j 8.6396796

8.5778766

8.5812077

8,584513a

8.5877945

8.5-910509

8,594283a

8.5974917

8..60067Ó7

8,6038386

8.6069777

8.6100943

8.6131889

8,6160616.

8.6193127*

8*6.223427

8.6253 518

8,6283402

8.6313083

8.6342563,

8.6371845

8.6400931

Seno.

60 ' 9*9997354

59 9-99973°9

58 i 9.9997265

57 i 9-9997 22 «

56 9.9997174

55 9.9997128

54 9.999708-i

53 9-9997036

52 9.9996989

51 9.9996942.

50 S 9.9996894

49 9.9996846

43 I 9.9996798

47 9.9996749

46 9.9996700

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19

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22

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26

27

28

29

30

3. Grad.

Seno.

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8.7212040

8.7235946

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8.730Ó882

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8-7353535

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8.7399691

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8.7468015

8»749°553

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8.7535278

8»75574 6 9

8-7579546

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8.7623366

8.7645111

8.7666747

8.7688275

8-7709697

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8.7752226

8-7773334

8.7794340

8.7815244

8.7836048

8.7856753

Tangente.

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8.7218063

8.7242035

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8*7474792

8.7497400

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8.7542269

8.7564531

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8.7608719

8.7630647

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8.7674175

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8.7738665

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8.7781136

8.7802218

8.7823199

8.7844079

8.7864861 j

p

60

59

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49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

86. Grad.

Seno.

9.9994044

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9*9993911

9.9993844

9.9993776

9.9993708

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9.9993572

9.9993 503

9*9993433

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9.9993223

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9.9993009

9.9992938

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9.9992793

9.9992720

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9.9992572

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9.9992349

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9.9992198

9.9992122

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9.9991969

9.9991892

Tangente.

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11.2757965

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11.2710411

11.2686826

11.2663369

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11.2616828

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11.2570778-

11.2547933

11.2525208

11.2502600

11.2480108

11.2457731

11.2435469

11.2413319

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11.2369353

11.2347535

11.2325825

11.2304223

11.2282726

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11.2240048

11.2218864

11.2197782

11.2176801

1 n.ai'55921

1 11*2135139

*

3. Grad.

30

3 1

32

33

34

35

36

37

38

39

40

4 1

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44

45

46

47

48

49

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57

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*

Seno.

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8.7877359

8.7897867

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8.7938594

8.7958814

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8.7998974

8.8018915

8.8038764

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8.8078192

8.8097772

8.8117264

8.8136668

8.8155985

8.8175217

8.8194363

8.8213425

8.8232404

8.8251299

8.8270112.

8.8288844

8.8307495

8.8326066

8.8344557

8.8362969

8.8381304

8.8399561

8.8417741

8.8435845

Tangente.

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8.7885544

8.790Ó130

8.7926620

8.7947014

8.7967313

8.7987519

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8.8027653

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8.808717a

3.8106834

8.8106407

8.8145894

8.8165294

8.8184608

8.8203838

8.8222984

8.8242046

8.8261026

8.8279924

8.8298741

8.8317478

8.8336134

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8.8373211

8.8391633

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9.9990103

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Tangente.

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8.8946433

Tangente.

8.8446437

8.8464554

8.8432597

8.8500566

8.8518461

8.8536283

8.8554034

8.8571713

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Seno.

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85. Grad.

Tangente.

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11.1238377

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5. Grad.

Seno.

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8.9431743

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8.9460335

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8.9558940

8.9572843

8.9586703

8.9Ó00517

8,9614288

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8.9641697

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8.9Ó82487

8.9695999

8.9709468

8.9722895

8.9736280

8.9749624

8.9762926

8.9776188

8.9789408

8.9802589

8.9815729

Tangente.

8.9419518

8.9434044

8.9448523

8.9402954

8.9477338

8.9491676

8.9505967

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8.9534410

8.9548564

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8.9576735

8.9590754

8.9604728

8.9618659

8.9632545

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8.9687658

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9.0263865

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9.0287442

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11

12

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9.O391966

9.0403424

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T-ingente.

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9.0228338

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9.03OC464

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9.0394848

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Seno.

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9.9974386

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9.9973833

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9-9973554

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9.9973132

9.9972991

9.9972850

9.9972708

9.9972566

9.9972423

83, Grad.

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9.9972137

9.9971993

Tangente.

-*

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10.9771662

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10.9723448

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10.9699536

10.9687627

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Tangente.

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Seno.

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Tangente.

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63. Grad.

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22. Grad.

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Tangente.

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Seno.

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67. Grad.

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Grad.

Tangente.

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66. Grad.

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Tangente.

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65. Grad.

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9.7256744

3

_)

30

a 9

28

27

26

a 5

a 4

Seno.

9.9479289

9.9478631

9*9477973

9.9477314

9.9476655

9-9475995

9*947533 5

62. Grad.

a 3 I 9*9474674

22

21

20

'9

18

«7

16

•5

14

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12

11

10

9

9.9474013

9.9473352

9.9472689

9.9472027

9.9471364

9.9470700

9.9470036

9.9469372

9.9468707

9.9468042

9 9467376

9.9466710

9.9466043

9-9465376

9.9464708

9.9464040

9.9463371

9.9462702

9.9462032

9.94Ó1362

9.9460692

9.9460021

9-9459349

Tangente.

10.2835233

• *

10.2832149

10.2829067

10.2825986

10.2822906

10.2819827

10.2816749

10.2813673

10.2810598

10.2807524

10.2804451

10.2801380

10 2798310

10.2795241

10.2792173

10.2789107

10.2786042

10.2752978

10.2779915

10.2776853

10.2773793

10.2770734

10.2767676

10.2764619

10.27Ó1564

10.2758510

10.2755457

10.2752405

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