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TEMA 2: FÍSICA DE LA DIFRACCIÓN<br />
I. INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN<br />
Los f<strong>en</strong>óm<strong>en</strong>os que distingu<strong>en</strong> las ondas <strong>de</strong> las partículas son los <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia y <strong>de</strong><br />
difracción. La interfer<strong>en</strong>cia es la combinación por suposición <strong>de</strong> dos o más fr<strong>en</strong>tes <strong>de</strong><br />
onda que se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tran <strong>en</strong> un punto <strong>de</strong>l espacio. La difracción es la <strong>de</strong>sviación que<br />
sufr<strong>en</strong> las ondas alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> los bor<strong>de</strong>s que se produce cuando un fr<strong>en</strong>te <strong>de</strong> onda (ya<br />
sea sonora, material o electromagnética) es obstruido por algún obstáculo. No hay una<br />
distinción física significativa <strong>en</strong>tre interfer<strong>en</strong>cia y difracción.<br />
El esquema <strong>de</strong> la onda resultante pue<strong>de</strong> calcularse<br />
consi<strong>de</strong>rando cada punto <strong>de</strong>l fr<strong>en</strong>te <strong>de</strong> la onda original<br />
como una fu<strong>en</strong>te puntual <strong>de</strong> acuerdo con el principio<br />
<strong>de</strong> Huyg<strong>en</strong>s y calculando el diagrama <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia<br />
que resulta <strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar todas las fu<strong>en</strong>tes. El principio<br />
<strong>de</strong> Huyg<strong>en</strong>s dice que cada punto <strong>en</strong> el fr<strong>en</strong>te <strong>de</strong><br />
una onda sirve <strong>de</strong> fu<strong>en</strong>te <strong>de</strong> onda esféricas secundarias<br />
tales que la forma <strong>de</strong>l fr<strong>en</strong>te <strong>de</strong> onda primario un<br />
instante <strong>de</strong> tiempo más tar<strong>de</strong> es la <strong>en</strong>volv<strong>en</strong>te <strong>de</strong> esas<br />
ondas secundarias. A<strong>de</strong>más estas ondas secundarias<br />
avanzan <strong>en</strong> cada punto <strong>de</strong>l espacio con una rapi<strong>de</strong>z y<br />
frecu<strong>en</strong>cia igual a la <strong>de</strong> la onda primaria.<br />
El principio <strong>de</strong> Huyg<strong>en</strong>s no pue<strong>de</strong> explicar el proceso <strong>de</strong> difracción. Las ondas <strong>de</strong> sonido<br />
se «doblan» fácilm<strong>en</strong>te alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> objetos gran<strong>de</strong>s como los postes <strong>de</strong> teléfono y<br />
los árboles, los cuales por el contrario forman sombras muy <strong>de</strong>finidas cuando se iluminan<br />
con luz. Sin embargo, el principio <strong>de</strong> Huyg<strong>en</strong>s es in<strong>de</strong>p<strong>en</strong>di<strong>en</strong>te <strong>de</strong> cualquier consi<strong>de</strong>ración<br />
<strong>de</strong> longitud <strong>de</strong> onda y pre<strong>de</strong>cirá las mismas configuraciones <strong>de</strong> onda <strong>en</strong> ambas<br />
situaciones.<br />
Esta dificultad fue resuelta por Fresnel con su adición <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia. El<br />
principio <strong>de</strong> Huyg<strong>en</strong>s-Fresnel establece que cada punto sin obstrucción <strong>de</strong> un fr<strong>en</strong>te <strong>de</strong><br />
onda, <strong>en</strong> un instante <strong>de</strong> tiempo dado, sirve como una fu<strong>en</strong>te <strong>de</strong> ondas secundarias esféricas<br />
(<strong>de</strong> la misma frecu<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> la onda primaria). La amplitud <strong>de</strong>l campo óptico <strong>en</strong><br />
cualquier punto a<strong>de</strong>lante es la superposición <strong>de</strong> todas estas ondas consi<strong>de</strong>rando sus amplitu<strong>de</strong>s<br />
y fases relativas.<br />
Cuando se combinan dos ondas armónicas proce<strong>de</strong>ntes <strong>de</strong> dos focos <strong>de</strong> la misma frecu<strong>en</strong>cia<br />
y longitud pero <strong>de</strong> difer<strong>en</strong>te fase, la onda resultante es una onda armónica cuya<br />
amplitud <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> la difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase. Si la difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase es cero o un número<br />
<strong>en</strong>tero <strong>de</strong> veces 360º (2p radianes) las ondas están <strong>en</strong> fase y la interfer<strong>en</strong>cia es constructiva.<br />
La amplitud resultante es igual a la suma <strong>de</strong> amplitu<strong>de</strong>s individuales y la int<strong>en</strong>sidad<br />
(que es proporcional al cuadrado <strong>de</strong> la amplitud) es máxima. . Si la difer<strong>en</strong>cia<br />
<strong>de</strong> fase es 180º (p radianes) o un número <strong>en</strong>tero impar <strong>de</strong> veces 180º (p radianes) las<br />
ondas están <strong>de</strong>sfasadas y la interfer<strong>en</strong>cia es <strong>de</strong>structiva. En <strong>este</strong> caso la amplitud resultante<br />
es igual a la difer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong>tre las amplitu<strong>de</strong>s individuales y la int<strong>en</strong>sidad es un<br />
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mínimo. Si las amplitu<strong>de</strong>s individuales son iguales, la int<strong>en</strong>sidad máxima es cuatro veces<br />
la int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los focos y la int<strong>en</strong>sidad mínima es cero. En g<strong>en</strong>eral,<br />
una difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> trayectos <strong>de</strong> Dr contribuye a una difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase d dada por:<br />
∆r<br />
δ = 2π<br />
λ<br />
Otra causa <strong>de</strong> difer<strong>en</strong>cias <strong>de</strong> fase es el cambio <strong>de</strong> fase <strong>en</strong> 180º (p radianes) que sufre una<br />
onda cuando se refleja <strong>en</strong> una superficie límite <strong>de</strong>terminada <strong>en</strong> cuyo material la velocidad<br />
<strong>de</strong> la onda es m<strong>en</strong>or. Por ejemplo, Cuando la luz que se propaga <strong>en</strong> aire inci<strong>de</strong> sobre<br />
la superficie <strong>de</strong> un medio <strong>en</strong> el que la luz se <strong>de</strong>splaza más l<strong>en</strong>tam<strong>en</strong>te, como un vidrio o<br />
el agua, existe un cambio <strong>de</strong> fase <strong>de</strong> 180º <strong>en</strong> la luz reflejada.<br />
La interfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> ondas proce<strong>de</strong>ntes <strong>de</strong> dos focos no se observa a no ser que los focos<br />
sean coher<strong>en</strong>tes, es <strong>de</strong>cir, la difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase <strong>en</strong>tre las ondas proce<strong>de</strong>ntes <strong>de</strong> los focos<br />
<strong>de</strong>be ser constante con el tiempo. Esto no es habitual porque normalm<strong>en</strong>te un haz <strong>de</strong> luz<br />
es el resultado <strong>de</strong> millones <strong>de</strong> átomos que irradian in<strong>de</strong>p<strong>en</strong>di<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te. Habitualm<strong>en</strong>te<br />
<strong>en</strong> óptica se consigue la coher<strong>en</strong>cia dividi<strong>en</strong>do, <strong>en</strong> dos o más haces, el haz <strong>de</strong> luz proce<strong>de</strong>nte<br />
un foco. Los láseres son hoy <strong>en</strong> día la fu<strong>en</strong>te más importante <strong>en</strong> el laboratorio <strong>de</strong><br />
luz coher<strong>en</strong>te <strong>en</strong> el laboratorio.<br />
II. DIFRACCIÓN DE FRESNEL Y DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER.<br />
Consi<strong>de</strong>remos un blindaje opaco, y un fr<strong>en</strong>te <strong>de</strong> ondas proce<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> una fu<strong>en</strong>te puntual<br />
cuando colocamos una pantalla fr<strong>en</strong>te a la ranura po<strong>de</strong>mos observar dos situaciones<br />
límite:<br />
− La pantalla <strong>este</strong> cercana a la ranura. Se observa una imag<strong>en</strong> que correspon<strong>de</strong> a la<br />
Difracción <strong>de</strong> Campo Cercano o Difracción <strong>de</strong> Fresnel.<br />
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− La pantalla <strong>este</strong> alejada <strong>de</strong> la ranura. Se observa una imag<strong>en</strong> que correspon<strong>de</strong> a<br />
la Difracción <strong>de</strong> Campo Lejano o Difracción <strong>de</strong> Fraunhofer.<br />
Estos dos f<strong>en</strong>óm<strong>en</strong>os son manifestaciones <strong>de</strong> un mismo proceso, la interfer<strong>en</strong>cia. Analizaremos<br />
el proceso <strong>de</strong> campo lejano por que permite un tratami<strong>en</strong>to matemático más<br />
simple.<br />
III. DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER.<br />
Consi<strong>de</strong>remos la difracción <strong>de</strong> Fraunhofer con una r<strong>en</strong>dija única <strong>de</strong> anchura a. Supondremos<br />
que se divi<strong>de</strong> <strong>en</strong> N intervalos la r<strong>en</strong>dija <strong>de</strong> anchura a y que existe un foco puntual<br />
<strong>de</strong> ondas <strong>en</strong> el punto medio <strong>de</strong> cada intervalo. Si la distancia <strong>en</strong>tre dos fu<strong>en</strong>tes adyac<strong>en</strong>tes<br />
es l y a es la anchura <strong>de</strong> la abertura t<strong>en</strong>emos que<br />
l = a/ N .<br />
Como la pantalla está muy alejada, los rayos proce<strong>de</strong>ntes<br />
<strong>de</strong> las fu<strong>en</strong>tes puntuales y que llegan a un punto P <strong>de</strong><br />
dicha pantalla son aproximadam<strong>en</strong>te paralelos. La difer<strong>en</strong>cia<br />
<strong>de</strong> los trayectos <strong>en</strong>tre dos fu<strong>en</strong>tes cualesquiera<br />
adyac<strong>en</strong>tes es <strong>en</strong>tonces ls<strong>en</strong>θ y la difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fases es:<br />
2π δ = ls<strong>en</strong>θ<br />
λ<br />
Si A es la amplitud <strong>de</strong> una sola fu<strong>en</strong>te, la amplitud <strong>en</strong> el punto máximo c<strong>en</strong>tral <strong>en</strong> don<strong>de</strong><br />
θ = 0 y todas las ondas están <strong>en</strong> fase, es Amáx = NA.<br />
El valor <strong>de</strong> la int<strong>en</strong>sidad <strong>en</strong> otro<br />
punto cualquiera <strong>en</strong> un cierto ángulo q se obti<strong>en</strong>e sumando las ondas armónicas y se<br />
obti<strong>en</strong>e:<br />
2<br />
⎛s<strong>en</strong>φ ⎞<br />
I = I0⎜<br />
⎟<br />
⎝ φ ⎠<br />
don<strong>de</strong> I 0 es la int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong>l punto c<strong>en</strong>tral<br />
que es máxima y f es la semidifer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong><br />
fase <strong>en</strong>tre la primera y última onda y vale:<br />
π<br />
φ = as<strong>en</strong>θ<br />
λ<br />
Los extremos <strong>de</strong> I(q) se pres<strong>en</strong>tan para<br />
valores que hac<strong>en</strong> que dI<br />
sea cero, esto<br />
dφ<br />
es:<br />
( )<br />
dI 2s<strong>en</strong>φ φcos φ +s<strong>en</strong>φ<br />
= I0<br />
=<br />
0<br />
3<br />
dφ<br />
φ<br />
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La función <strong>de</strong> difracción pres<strong>en</strong>ta mínimos <strong>en</strong> cuando el s<strong>en</strong>o <strong>de</strong> f se anula, es <strong>de</strong>cir:<br />
φ = kπk∈ Mi<strong>en</strong>tras que los máximos <strong>de</strong> esta función aparec<strong>en</strong> a valores <strong>de</strong> f don<strong>de</strong> se vuelve cero<br />
la expresión φ cosφ− s<strong>en</strong>φ<br />
= 0 o lo que es igual tanφ = φ , es <strong>de</strong>cir:<br />
φ = ( ± 1.4303 …⋅ π, ± 2.4590 …⋅ π, ± 3.4707 …⋅π, … )<br />
Cuando se ti<strong>en</strong><strong>en</strong> dos o más r<strong>en</strong>dijas, el diagrama <strong>de</strong> int<strong>en</strong>sidad obt<strong>en</strong>ido <strong>en</strong> una pantalla<br />
lejana es una combinación <strong>de</strong>l diagrama <strong>de</strong> difracción <strong>de</strong> una sola r<strong>en</strong>dija y el diagrama<br />
<strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> varias r<strong>en</strong>dijas. La int<strong>en</strong>sidad obt<strong>en</strong>ida para <strong>este</strong> caso es:<br />
⎛s<strong>en</strong>φ ⎞ 2<br />
I = 4I0⎜ ⎟ cos χ<br />
⎝ φ ⎠<br />
don<strong>de</strong> I 0 es la int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong>l punto c<strong>en</strong>tral que es máxima y f es la semidifer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong><br />
fase <strong>en</strong>tre la primera (parte superior) y última onda (parte inferior) <strong>de</strong> una misma r<strong>en</strong>dija<br />
<strong>de</strong> anchura a y vale:<br />
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2<br />
π<br />
φ = as<strong>en</strong>θ<br />
λ<br />
y χ es la semidifer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase <strong>en</strong>tre los rayos que proce<strong>de</strong>n <strong>de</strong> los c<strong>en</strong>tros <strong>de</strong> las dos<br />
r<strong>en</strong>dijas, que se relaciona con la separación d <strong>de</strong> las r<strong>en</strong>dijas por:<br />
π<br />
χ = ds<strong>en</strong>θ<br />
λ<br />
Si ahora analizamos la expresión completa, esta pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rarse como un término <strong>de</strong><br />
interfer<strong>en</strong>cia, modulado por uno <strong>de</strong> difracción,<br />
⎛s<strong>en</strong>φ ⎞ 2<br />
I = 4I0⎜ ⎟ cos χ<br />
⎝ φ ⎠ interfer<strong>en</strong>cia<br />
<br />
<br />
difracción<br />
Es posible obt<strong>en</strong>er ahora los máximos y mínimos <strong>de</strong> ambas funciones; la función <strong>de</strong><br />
difracción pres<strong>en</strong>ta mínimos <strong>en</strong> los valores mostrados anteriorm<strong>en</strong>te. En cuanto a la<br />
función <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia, esta pres<strong>en</strong>ta mínimos a los sigui<strong>en</strong>tes valores <strong>de</strong> χ:<br />
( 2k−1) χ = π k ∈<br />
2<br />
Los máximos <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia aparec<strong>en</strong> a los sigui<strong>en</strong>tes valores <strong>de</strong> χ:<br />
χ = kπk∈ 2<br />
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Es inmediato comprobar que los máximos ti<strong>en</strong><strong>en</strong> lugar cuando ds<strong>en</strong>θ= kλ:<br />
Y los mínimos cuando<br />
π ⎫<br />
χ = ds<strong>en</strong>θ⎪π<br />
λ ⎬ ⇒ ds<strong>en</strong>θ= kπ ⇒ ds<strong>en</strong>θ = kλ<br />
λ<br />
χ = kπ<br />
⎪<br />
⎭<br />
ds<strong>en</strong>θ= ( k+<br />
) λ .<br />
Para n r<strong>en</strong>dijas la int<strong>en</strong>sidad vi<strong>en</strong>e dada por la expresión:<br />
1<br />
2<br />
⎛s<strong>en</strong>φ ⎞ ⎛s<strong>en</strong>nχ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ φ ⎠ ⎝ s<strong>en</strong> χ<br />
⎠<br />
2<br />
I n I0<br />
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2<br />
difracción interfer<strong>en</strong>cia<br />
La grafica sigui<strong>en</strong>te muestra la int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong> un sis<strong>tema</strong> <strong>de</strong> seis r<strong>en</strong>dijas don<strong>de</strong> la distancia<br />
<strong>en</strong>tre rejillas es el cuádruplo <strong>de</strong> la anchura <strong>de</strong> éstas. Se pue<strong>de</strong> observar que la int<strong>en</strong>sidad<br />
pue<strong>de</strong> expresarse por un término principal <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia modulado por el<br />
término <strong>de</strong> difracción.<br />
Cuando exist<strong>en</strong> muchas r<strong>en</strong>dijas equiespaciadas se pres<strong>en</strong>tan los máximos <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia<br />
<strong>en</strong> los mismos puntos que cuando había dos r<strong>en</strong>dijas, pero los máximos son mucho<br />
más int<strong>en</strong>sos y mucho más estrechos. En el caso <strong>de</strong> n r<strong>en</strong>dijas, la int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong> los<br />
máximos principales es 2<br />
nI 0 (modulado por el término <strong>de</strong> difracción) y exist<strong>en</strong> n-2<br />
máximos secundarios <strong>en</strong>tre cada para <strong>de</strong> máximos principales. En la figura se observan<br />
los difer<strong>en</strong>tes patrones <strong>de</strong> difracción para una, dos, tres, cuatro y cinco r<strong>en</strong>dijas; <strong>en</strong> las<br />
que se pue<strong>de</strong> apreciarlos anteriorm<strong>en</strong>te dicho.<br />
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2
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IV. REDES DE DIFRACCIÓN.<br />
Es un conjunto repetitivo <strong>de</strong> elem<strong>en</strong>tos difractores <strong>de</strong> una onda emerg<strong>en</strong>te, bi<strong>en</strong> sean<br />
aberturas u obstáculos que produc<strong>en</strong> alteraciones <strong>de</strong> la fase, la amplitud o ambas.<br />
Una <strong>de</strong> las re<strong>de</strong>s más simples es una disposición múltiple <strong>de</strong> r<strong>en</strong>dijas. Se atribuye su<br />
inv<strong>en</strong>ción al astrónomo norteamericano David Ritt<strong>en</strong>house <strong>en</strong> 1785, pero posteriorm<strong>en</strong>te<br />
fue ampliam<strong>en</strong>te estudiado por Fraunhofer. Exist<strong>en</strong> varios tipos <strong>de</strong> dispositivos, <strong>en</strong>tre<br />
ellos:<br />
− Re<strong>de</strong>s <strong>de</strong> transmisión <strong>en</strong> amplitud. Físicam<strong>en</strong>te son rejillas <strong>de</strong> alambre fino<br />
− Re<strong>de</strong>s <strong>de</strong> transmisión o reflexión <strong>en</strong> fase. Se construy<strong>en</strong> mediante vidrios con<br />
h<strong>en</strong>diduras.<br />
Las re<strong>de</strong>s bidim<strong>en</strong>sionales están constituidas por distribuciones <strong>de</strong> N objetos difractores<br />
idénticos cuyo resultado se pue<strong>de</strong> ver como el <strong>de</strong> N patrones <strong>de</strong> Fraunhofer que se superpon<strong>en</strong>.<br />
Si la disposición bidim<strong>en</strong>sional es irregular se obti<strong>en</strong>e una int<strong>en</strong>sidad que aum<strong>en</strong>ta con<br />
N 2 <strong>en</strong> la región c<strong>en</strong>tral. No se observan interfer<strong>en</strong>cias constructivas a ángulos altos, es<br />
<strong>de</strong>cir cuando nos alejamos <strong>de</strong>l c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong>l patrón.<br />
Si la disposición bidim<strong>en</strong>sional es regular se pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar como una disposición <strong>de</strong><br />
r<strong>en</strong>dijas alineadas. El patrón obt<strong>en</strong>ido es la suma <strong>de</strong> los patrones <strong>de</strong> difracción <strong>de</strong> conjuntos<br />
<strong>de</strong> r<strong>en</strong>dijas. La int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong>l máximo c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> los difractores y <strong>de</strong> la<br />
pot<strong>en</strong>cia <strong>de</strong>l emisor. Se obti<strong>en</strong>e interfer<strong>en</strong>cia a altos ángulos.<br />
Las re<strong>de</strong>s tridim<strong>en</strong>sionales revelan patrones <strong>de</strong> Fraunhofer <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia tridim<strong>en</strong>sional.<br />
Los sólidos cristalinos son re<strong>de</strong>s <strong>de</strong> difracción tridim<strong>en</strong>sionales.<br />
A cada red le correspon<strong>de</strong> una radiación <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong> onda (l) a<strong>de</strong>cuada. Los rayos-X<br />
ti<strong>en</strong><strong>en</strong> longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> onda <strong>en</strong> el rango <strong>de</strong> unos pocos Å( 10-10 m) y los sólidos cristalinos<br />
son distribuciones moleculares con una periodicidad <strong>de</strong> Å.<br />
El experim<strong>en</strong>to <strong>de</strong> Laue <strong>en</strong> 1912 obtuvo un patrón <strong>de</strong> Fraunhofer tridim<strong>en</strong>sional utilizando<br />
como red <strong>de</strong> difracción un cristal para la radiación <strong>de</strong> rayos-X y obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do<br />
máximos <strong>de</strong> difracción que respon<strong>de</strong>n a 2ds<strong>en</strong>θ= mλ<br />
don<strong>de</strong> d son las distancias <strong>en</strong>tre<br />
planos <strong>de</strong>l cristal.<br />
V. PODER DE RESOLUCIÓN DE UNA RED<br />
El f<strong>en</strong>óm<strong>en</strong>o <strong>de</strong> la difracción provoca una cierta ext<strong>en</strong>sión <strong>en</strong> cada punto <strong>de</strong> la imag<strong>en</strong><br />
difractada <strong>de</strong> un objeto. Esta ext<strong>en</strong>sión constituye un límite para la calidad <strong>de</strong> la imag<strong>en</strong><br />
observada <strong>en</strong> el sis<strong>tema</strong> formador <strong>de</strong> imág<strong>en</strong>es, por ejemplo <strong>en</strong> la l<strong>en</strong>te <strong>de</strong> un microscopio.<br />
La medida <strong>de</strong> la capacidad <strong>de</strong> separación <strong>de</strong> un instrum<strong>en</strong>to formador <strong>de</strong> imág<strong>en</strong>es<br />
se <strong>de</strong>nomina resolución.<br />
Supongamos la exist<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> dos fu<strong>en</strong>tes luminosas o focos que están muy próximos<br />
<strong>en</strong>tre sí. Para la observación <strong>de</strong> estos focos la luz ha <strong>de</strong> pasar por una abertura, g<strong>en</strong>eral-<br />
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m<strong>en</strong>te <strong>de</strong> tipo circular (pupila <strong>de</strong>l ojo, l<strong>en</strong>te, etc.). Los diagramas <strong>de</strong> difracción pue<strong>de</strong>n<br />
solaparse, si el solapami<strong>en</strong>to es <strong>de</strong>masiado gran<strong>de</strong>, no pue<strong>de</strong>n resolverse las dos fu<strong>en</strong>tes<br />
como fu<strong>en</strong>tes separadas.<br />
En el caso <strong>de</strong> una abertura circular, el ángulo a subt<strong>en</strong>dido por el primer mínimo <strong>de</strong><br />
difracción está relacionado con la longitud <strong>de</strong> onda l y el diámetro <strong>de</strong> la abertura D por<br />
la ecuación:<br />
λ<br />
s<strong>en</strong>α<br />
= 1.22<br />
D<br />
En la mayoría <strong>de</strong> las aplicaciones el ángulo a es muy pequeño <strong>de</strong> manera que pue<strong>de</strong><br />
hacerse la aproximación:<br />
λ<br />
α ≈ 1.22<br />
D<br />
La figura muestra dos focos puntuales que subti<strong>en</strong><strong>de</strong>n un ángulo a respecto a una abertura<br />
circular alejada <strong>de</strong> los focos.<br />
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Si a es mucho mayor que 1.22 l/D se verán como dos focos. Sin embargo, al disminuir<br />
a aum<strong>en</strong>ta el solapami<strong>en</strong>to <strong>de</strong> los diagramas <strong>de</strong> difracción y resulta más difícil distinguir<br />
los dos focos <strong>de</strong> un solo foco.<br />
Para la separación angular crítica <strong>de</strong> ac dada por<br />
λ<br />
α c = 1.22<br />
D<br />
el máximo c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong> difracción <strong>de</strong> un foco coinci<strong>de</strong> con el mínimo <strong>de</strong> difracción <strong>de</strong>l<br />
otro, se dice que las dos fu<strong>en</strong>tes están al límite <strong>de</strong> resolución según el <strong>de</strong>nominado criterio<br />
<strong>de</strong> Rayleigh para la resolución.<br />
Se <strong>de</strong>fine el po<strong>de</strong>r <strong>de</strong> resolución <strong>de</strong> una red <strong>de</strong> difracción como<br />
λ<br />
∆ λ<br />
<strong>en</strong> Dl don<strong>de</strong> es la difer<strong>en</strong>cia más pequeña <strong>en</strong>tre dos longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> onda próximas que<br />
pue<strong>de</strong>n ser resueltas, cada una <strong>de</strong> ellas aproximadam<strong>en</strong>te igual l,. El po<strong>de</strong>r <strong>de</strong> resolución<br />
es proporcional al número <strong>de</strong> r<strong>en</strong>dijas iluminadas porque cuantas más r<strong>en</strong>dijas estén<br />
iluminadas, más nítido será el máximo <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia. Pue<strong>de</strong> mostrarse que el po<strong>de</strong>r<br />
<strong>de</strong> resolución R <strong>en</strong> una red <strong>de</strong> r<strong>en</strong>dijas es:<br />
λ<br />
R = = m⋅n ∆λ<br />
<strong>en</strong> don<strong>de</strong> n es el número <strong>de</strong> r<strong>en</strong>dijas y m es el número <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n.<br />
1<br />
Para una red tridim<strong>en</strong>sional el primer mínimo aparece cuando ds<strong>en</strong>θ= 2 λ , luego la<br />
resolución máxima vi<strong>en</strong>e dada por:<br />
d<br />
mín<br />
VI. ECUACIONES DE VON LAUE<br />
λ λ<br />
= =<br />
2( s<strong>en</strong>θ<br />
) 2<br />
La teoría completa <strong>de</strong> los grupos espaciales fue publicada <strong>en</strong> 1891 y cuatro años más<br />
tar<strong>de</strong> Röntg<strong>en</strong> <strong>de</strong>scubría los rayos-X. En los años sigui<strong>en</strong>tes se hicieron unos esfuerzos<br />
gran<strong>de</strong>s para <strong>de</strong>terminar la naturaleza <strong>de</strong> esta radiación. Fue <strong>en</strong> 1912 cuando los <strong>de</strong>f<strong>en</strong>sores<br />
<strong>de</strong> la teoría ondulatoria tuvieron una evi<strong>de</strong>ncia experim<strong>en</strong>tal que apoyaba su punto<br />
<strong>de</strong> vista. Ese año Von Laue apuntó la posibilidad <strong>de</strong> usar cristales como re<strong>de</strong>s tridim<strong>en</strong>sionales<br />
<strong>de</strong> difracción naturales. Los experim<strong>en</strong>tos realizados inmediatam<strong>en</strong>te probaron<br />
que su i<strong>de</strong>a era correcta. Este hecho <strong>de</strong>mostró por una parte el carácter periódico <strong>de</strong> la<br />
materia cristalina y por otra parte la naturaleza ondulatoria <strong>de</strong> los rayos-X; s<strong>en</strong>tando las<br />
bases para el nacimi<strong>en</strong>to <strong>de</strong> dos gran<strong>de</strong>s campos <strong>de</strong> investigación: el estudio <strong>de</strong> los rayos-X<br />
y el estudio <strong>de</strong> la materia cristalina. La mejora <strong>de</strong> la técnica experim<strong>en</strong>tal <strong>de</strong>bida<br />
______________________________________________________________________<br />
máx<br />
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______________________________________________________________________<br />
a W.H. y W. L. Bragg (padre e hijo) contribuyó al rápido <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> ambos campos.<br />
La geometría <strong>de</strong> la interfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> los rayos-X <strong>en</strong> cristales pue<strong>de</strong> ser explicada satisfactoriam<strong>en</strong>te<br />
mediante unas bases bastantes elem<strong>en</strong>tales mi<strong>en</strong>tras que el tratami<strong>en</strong>to <strong>de</strong> las<br />
int<strong>en</strong>sida<strong>de</strong>s requieres unas consi<strong>de</strong>raciones teóricas mucho más intrincadas y ext<strong>en</strong>sas.<br />
Una rejilla lineal <strong>de</strong> difracción pue<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>finida como una línea recta a lo largo <strong>de</strong> la<br />
cual se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tran situados puntos equival<strong>en</strong>tes equidistantes y cuyo período es el vector<br />
<strong>de</strong> separación a <strong>en</strong>tre dos nodos vecinos. Una onda plana <strong>de</strong> radiación electromagnética<br />
inci<strong>de</strong>nte sobre la rejilla será dispersada <strong>en</strong> todas las direcciones por un elem<strong>en</strong>to <strong>de</strong><br />
la línea. A causa <strong>de</strong> la naturaleza periódica <strong>de</strong> los máximos <strong>de</strong> difracción t<strong>en</strong>drán lugar<br />
<strong>en</strong> direcciones don<strong>de</strong> la difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> caminos recorridos sea igual a un número <strong>en</strong>tero<br />
<strong>de</strong> veces la longitud <strong>de</strong> onda l.<br />
El haz inci<strong>de</strong>nte es monocromático y su dirección vi<strong>en</strong>e dad por el vector unitario s0 que<br />
forma un ángulo a0 con la rejilla lineal. El haz difundido, sin cambio <strong>en</strong> l, sigue la dirección<br />
<strong>de</strong>l vector unitario s formando un ánguloα con el vector a. Dos rayos difundidos<br />
por vecinos inmediatos <strong>en</strong> la red t<strong>en</strong>drán una difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> caminos ópticos:<br />
______________________________________________________________________<br />
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0<br />
( )<br />
BF − DE = a cosα − a cosα<br />
= a⋅ s−s 0<br />
Para que la interfer<strong>en</strong>cia sea constructiva ha <strong>de</strong> ser un número <strong>en</strong>tero <strong>de</strong> veces la longitud<br />
<strong>de</strong> onda:<br />
a⋅ s− s = λ ∈<br />
( ) h h<br />
Se suele <strong>de</strong>finir el vector <strong>de</strong> difusión o “scattering” R como:<br />
0<br />
s−s R =<br />
λ<br />
Para una red <strong>de</strong> difracción tridim<strong>en</strong>sional se han <strong>de</strong> cumplir simultáneam<strong>en</strong>te la condi-<br />
0
______________________________________________________________________<br />
ción <strong>de</strong> difracción para cada una <strong>de</strong> las tres direcciones <strong>de</strong> la red:<br />
( cos cos 0 )<br />
( 0 )<br />
( cos cos )<br />
a⋅ α − α = hλ⎫aR ⋅ = h ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
b⋅ cos β − cos β = kλ⎬ b⋅ R = k ⎬ h, k, l∈<br />
c⋅ γ − γ0= lλ ⎪ ⋅ = l ⎪<br />
⎭ cR ⎭<br />
don<strong>de</strong> a0 , b0 , g0 son los ángulos que forma el haz inci<strong>de</strong>nte con cada uno <strong>de</strong> los tres<br />
vectores no coplanarios que <strong>de</strong>fin<strong>en</strong> la red y a , b , g son los ángulos que forma el haz<br />
difractado con esos mismo vectores. Las anteriores ecuaciones se llaman ecuaciones <strong>de</strong><br />
Laue.<br />
Sigui<strong>en</strong>do las i<strong>de</strong>as <strong>de</strong> P. P. Ewald po<strong>de</strong>mos aunar las tres ecuaciones <strong>de</strong> Laue <strong>en</strong> una<br />
única ecuación vectorial. Sea q un vector cualquiera <strong>de</strong>l espacio recíproco:<br />
q = q ⋅ a + q ⋅ b + q ⋅c<br />
* * *<br />
1 2 3<br />
se pue<strong>de</strong>n calcular los sigui<strong>en</strong>tes productos escalares:<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
a⋅ q = a⋅ q ⋅ a + q ⋅ b + q ⋅ c = q ⋅a⋅ a + q ⋅a⋅ b + q ⋅a⋅ c = q<br />
* * * * * *<br />
1 2 3 1 2 3 1<br />
b⋅ q = b⋅ q ⋅ a + q ⋅ b + q ⋅ c = q ⋅b⋅ a + q ⋅b⋅ b + q ⋅b⋅ c = q<br />
* * * * * *<br />
1 2 3 1 2 3 2<br />
c⋅ q = c⋅ q ⋅ a + q ⋅ b + q ⋅ c = q ⋅c⋅ a + q ⋅c⋅ b + q ⋅c⋅ c = q<br />
* * * * * *<br />
1 2 3 1 2 3 3<br />
por lo que el vector q pue<strong>de</strong> ser reescrito como<br />
<strong>en</strong> particular el vector R se expresaría como<br />
( ) ( ) ( )<br />
q = a⋅q ⋅ a + b⋅q ⋅ b + c⋅q ⋅c<br />
* * *<br />
( ) ( ) ( )<br />
R = a⋅R ⋅ a + b⋅R ⋅ b + c⋅R ⋅c<br />
* * *<br />
y <strong>de</strong> ahí, a través <strong>de</strong> las ecuaciones <strong>de</strong> Laue, obt<strong>en</strong>emos la ecuación vectorial:<br />
* * *<br />
R = h⋅ a + k⋅ b + l⋅<br />
c = h<br />
don<strong>de</strong> h es el vector normal a la familia <strong>de</strong> planos (h,k,l). Esta ecuación pone <strong>de</strong> manifiesto<br />
la relación <strong>en</strong>tre la condición <strong>de</strong> difracción y las familias <strong>de</strong> planos reticulares.<br />
VII. LEY DE BRAGG<br />
Poco <strong>de</strong>spués <strong>de</strong>l <strong>de</strong>scubrimi<strong>en</strong>to <strong>de</strong> la difracción <strong>de</strong> rayos-X, W.H. y W. L. Bragg <strong>de</strong>scubrieron<br />
que la geometría <strong>de</strong> <strong>este</strong> proceso era análoga a la <strong>de</strong> una reflexión <strong>de</strong> la luz<br />
por un espejo plano. En el <strong>tema</strong> anterior, habíamos visto que una consecu<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> la<br />
periodicidad tridim<strong>en</strong>sional <strong>de</strong> una estructura cristalina es la construcción <strong>de</strong> un conjunto<br />
<strong>de</strong> planos paralelos <strong>en</strong>tre sí, igualm<strong>en</strong>te espaciados y que conti<strong>en</strong><strong>en</strong> idénticas disposiciones<br />
atómicas.<br />
______________________________________________________________________<br />
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______________________________________________________________________<br />
Supongamos un haz inci<strong>de</strong>nte sobre una familia <strong>de</strong> estos planos. Este haz forma un ángulo<br />
q con ese conjunto <strong>de</strong> planos. El haz reflejado forma también un ángulo q con los<br />
planos <strong>de</strong> ese conjunto. Se <strong>de</strong>duce que el ángulo <strong>en</strong>tre ambos haces es 2q. Los rayos-X<br />
ti<strong>en</strong><strong>en</strong> un gran po<strong>de</strong>r <strong>de</strong> p<strong>en</strong>etración <strong>en</strong> la materia, por lo que <strong>este</strong> f<strong>en</strong>óm<strong>en</strong>o no se limita<br />
a los planos superficiales exclusivam<strong>en</strong>te.<br />
Puesto que hay muchos planos paralelos implicados <strong>en</strong> la dispersión <strong>de</strong> los rayos-X, las<br />
reflexiones proce<strong>de</strong>ntes <strong>de</strong> los sucesivos planos interferirán <strong>en</strong>tre sí, y habrá una interfer<strong>en</strong>cia<br />
constructiva sólo cuando la difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong> camino <strong>en</strong>tre los rayos proce<strong>de</strong>ntes<br />
<strong>de</strong> planos sucesivos es igual a un número <strong>en</strong>tero <strong>de</strong> veces la longitud <strong>de</strong> onda.<br />
Echando un vistazo al dibujo, se observa que el rayo inci<strong>de</strong>nte sobre el segundo plano<br />
recorre una distancia AB + BC mayor que la <strong>de</strong>l que inci<strong>de</strong> sobre el primer plano. Estos<br />
dos rayos estarán <strong>en</strong> fase si<br />
AB + BC = nλ n ∈<br />
Por geometría elem<strong>en</strong>tal se obti<strong>en</strong>e que<br />
Por consigui<strong>en</strong>te:<br />
AB = BC = d s<strong>en</strong>θ<br />
2ds<strong>en</strong>θ= nλn∈ don<strong>de</strong> d es la distancia <strong>en</strong>tre dos planos consecutivos y n es un <strong>en</strong>tero que llamaremos<br />
or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> la reflexión. A esta ecuación se la conoce como la ley <strong>de</strong> Bragg.<br />
Convi<strong>en</strong>e <strong>en</strong> <strong>este</strong> mom<strong>en</strong>to aclarar una cuestión refer<strong>en</strong>te a los índices <strong>de</strong> Miller. Des<strong>de</strong><br />
el punto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong> la difracción <strong>de</strong> rayos-X, no existe difer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong>tre la reflexión <strong>de</strong><br />
or<strong>de</strong>n n <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> planos (h, k, l) y la reflexión <strong>de</strong> primer or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong><br />
planos (nh, nk, nl); ahora bi<strong>en</strong> éstos últimos hemos visto que son un conjunto <strong>de</strong> planos<br />
ficticios y no ti<strong>en</strong><strong>en</strong> s<strong>en</strong>tido <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la cristalografía clásica. Es conv<strong>en</strong>i<strong>en</strong>te evitar<br />
referirse a ór<strong>de</strong>nes difer<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> reflexión y absorber el factor n <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> Bragg<br />
<strong>en</strong> los índices <strong>de</strong> Miller. Utilizaremos, por tanto, la ley <strong>de</strong> Bragg <strong>en</strong> la forma sigui<strong>en</strong>te:<br />
______________________________________________________________________<br />
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______________________________________________________________________<br />
2ds<strong>en</strong>θ= λ<br />
sin t<strong>en</strong>er <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta si los planos ti<strong>en</strong><strong>en</strong> o no exist<strong>en</strong>cia física.<br />
VIII. EQUIVALENCIA ENTRE AMBAS FORMULACIONES<br />
A continuación vamos a <strong>de</strong>mostrar que las formulaciones <strong>de</strong> Laue y Bragg son equival<strong>en</strong>tes.<br />
Para ellos partimos <strong>de</strong> la construcción geométrica <strong>de</strong> Bragg. En ella los vectores<br />
unitarios s0 y s indican las direcciones <strong>de</strong>l haz inci<strong>de</strong>nte y difractado respectivam<strong>en</strong>te.<br />
Según Laue:<br />
* * * 1<br />
______________________________________________________________________<br />
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( )<br />
R = h⋅ a + k⋅ b + l⋅<br />
c = s− s0= h<br />
λ<br />
multiplicando ambos miembros <strong>de</strong> la última igualdad por ls se obti<strong>en</strong>e:<br />
( ) λ<br />
s⋅s− s = s⋅h 0<br />
ss ⋅ −ss ⋅ = λsh<br />
⋅<br />
pero como hemos dicho s0 y s son vectores unitarios por lo que sus productos escalares<br />
pue<strong>de</strong>n expresarse <strong>en</strong> función <strong>de</strong> sus módulos y el ángulo que forman como:<br />
1 − cos 2θ = λ cos −θ<br />
<br />
0<br />
h π ( 2 )<br />
<br />
2<br />
2s<strong>en</strong> 1<br />
dhkl<br />
s<strong>en</strong><br />
θ θ<br />
Reor<strong>de</strong>nando se obti<strong>en</strong>e la ecuación <strong>de</strong> Bragg 2 s<strong>en</strong><br />
hkl<br />
d θ λ<br />
= , como queríamos <strong>de</strong>mostrar.
______________________________________________________________________<br />
IX. CONSTRUCCIÓN DE LA ESFERA DE EWALD<br />
La formulación <strong>de</strong>l f<strong>en</strong>óm<strong>en</strong>o <strong>de</strong> difracción, que hizo <strong>de</strong> Bragg, como una reflexión <strong>de</strong><br />
un haz inci<strong>de</strong>nte sobre planos <strong>de</strong> la red es conv<strong>en</strong>i<strong>en</strong>te para muchos propósitos. Sin<br />
embargo la construcción gráfica <strong>en</strong> el espacio recíproco, que propuso P. P. Ewald, <strong>de</strong><br />
los vectores unitarios <strong>de</strong> inci<strong>de</strong>ncia y <strong>de</strong> difracción es mucho más útil para una discusión<br />
g<strong>en</strong>eral <strong>de</strong> varios métodos experim<strong>en</strong>tales. Partimos <strong>de</strong> la condición <strong>de</strong> Laue:<br />
1<br />
( s− s0) = h<br />
λ<br />
s s0<br />
− = h<br />
λ λ<br />
Se construye una esfera <strong>de</strong> radio 1/l. <strong>de</strong> modo que su c<strong>en</strong>tro esté situado <strong>en</strong> el haz inci<strong>de</strong>nte<br />
y su superficie cont<strong>en</strong>ga el orig<strong>en</strong> <strong>de</strong> la red recíproca. El punto O es el orig<strong>en</strong> <strong>de</strong><br />
la red recíproca. Colocamos un vector <strong>en</strong> el c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong> la esfera a lo largo <strong>de</strong> la dirección<br />
<strong>de</strong>l haz inci<strong>de</strong>nte (s0) que t<strong>en</strong>ga por módulo el recíproco <strong>de</strong> la longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> los<br />
rayos X inci<strong>de</strong>ntes.<br />
El conjunto <strong>de</strong> planos caracterizados por el vector h está <strong>en</strong> posición difractante cuando<br />
<strong>este</strong> vector ti<strong>en</strong>e por extremo un punto <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> la esfera. El punto P es un<br />
punto <strong>de</strong> la red recíproca<br />
que está situado<br />
<strong>en</strong> la superficie <strong>de</strong> la<br />
esfera. Es <strong>de</strong>cir, el<br />
módulo <strong>de</strong>l vector h<br />
es el recíproco <strong>de</strong>l<br />
espacio interplanar.<br />
Asimismo, el haz difractado<br />
sale <strong>en</strong> la<br />
dirección CP, que<br />
<strong>de</strong>signaremos por el<br />
vector s/l. El s<strong>en</strong>o <strong>de</strong>l<br />
ángulo OCQ (el ángulo<br />
q <strong>de</strong> Bragg) vale:<br />
h<br />
s<strong>en</strong> 2 λ<br />
θ = =<br />
1 2dhkl λ<br />
lo que nos da la ley<br />
<strong>de</strong> Bragg.<br />
De la figura se obti<strong>en</strong>e que = −<br />
λ λ<br />
s s<br />
la ley <strong>de</strong> Bragg. Por una parte:<br />
0 h . A través <strong>de</strong>l cálculo <strong>de</strong>l módulo <strong>de</strong> h se <strong>de</strong>duce<br />
______________________________________________________________________<br />
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______________________________________________________________________<br />
y por otra:<br />
h<br />
=<br />
______________________________________________________________________<br />
1<br />
dhkl<br />
2 2<br />
⎛s0 ⎞ s0<br />
1 1 1<br />
2<br />
2 2<br />
⎛ s ⎞ s<br />
⎛ ⎞<br />
h =+ h⋅ h =+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ −2 ⋅ =+ + −2⎜<br />
⎟ cos2θ<br />
⎝λ⎠ ⎝ λ ⎠ λ λ λ λ ⎝λ ⎠<br />
2 4 2<br />
h =+ 1− cos2θ=+ s<strong>en</strong> θ = s<strong>en</strong>θ<br />
( ) 2<br />
2 2<br />
λ λ λ<br />
y combinando ambas expresiones obt<strong>en</strong>emos, <strong>de</strong> nuevo, la ley <strong>de</strong> Bragg.<br />
Una importante consecu<strong>en</strong>cia que se <strong>de</strong>duce <strong>de</strong> la ley <strong>de</strong> Bragg es la sigui<strong>en</strong>te. Puesto<br />
que s<strong>en</strong>θ ≤ 1,<br />
se obti<strong>en</strong>e que<br />
λ λ<br />
s<strong>en</strong>θ = = ≤1<br />
2d<br />
1<br />
hkl 2<br />
h<br />
o lo que es lo mismo:<br />
h<br />
2<br />
≤<br />
λ<br />
De esta <strong>de</strong>sigualdad se <strong>de</strong>duce que para una <strong>de</strong>terminada radiación <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong> onda<br />
l, el número <strong>de</strong> posibles reflexiones está limitado. Sólo pue<strong>de</strong>n ser observadas aquellas<br />
reflexiones <strong>en</strong> el espacio recíproco que están <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> una esfera <strong>de</strong> radio 2/l. Es la<br />
llamada esfera límite. Como t<strong>en</strong>emos un nodo <strong>de</strong> la red recíproca (o lo que lo mismo<br />
una reflexión) por cada volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> la celdilla unidad recíproca V * , si llamamos a n el<br />
número <strong>de</strong> reflexiones posibles, se verifica que:<br />
nV<br />
Enviar com<strong>en</strong>tarios y errores a aap@sauron.quimica.uniovi.es<br />
*<br />
4 ⎛ 2⎞<br />
= π ⎜ ⎟<br />
3 ⎝λ⎠ 32π 1 32π<br />
V<br />
n = = * 3 3<br />
3 V λ 3 λ<br />
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3