V - Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

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COMP ENDIO WE_J1ÍATEM0ICAS
DISPUESTO PAR^M-V-N-PI DEL REAL
CUERPO DE ARTlip^llA DE MARINA,
BAXO LA DIRECCIÓN DE
DON FRANCISCO XAVIER ROVIRA,
CAVALLERO DE JUSTICIA DE LA RELIGIÓN
de San Juan, Capitán de Navio de la Real Armada ,
Comisario General de la Artillería de ella , y Comandante
principal de las Brigadas del Real Cuerpo de
Artillería de Marina , con exercicio de
Inspector del mismo.
TOMO TERCERO.
DE LA TRIGONOMETRÍA PLANA T
GEOMETRÍA PRACTICA.
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CON LICENCIA, EN CADI?.
En la Imprenta de la Academia de Cavalleros
GUARDIAS MARINAS.
Año de MDCCLXXXV-

I
P R 0*é, Ó G O.
3, 'IN EMBARGO DE QUE ESTA OBRA SE Dirige
principalmente á instruir la tropa de Ja Artille-
Tría de Marina en esta su inmediata profesión , teniendo
tanta conexión la Artillería con la ciencia de
Jos Ingenieros, parece conforme al objeto propuesto
que no carezca este Real Cuerpo de las nociones respectivas
de aquel ramo, aplicables al mismo- tiempo
rá otros muchos casos privativos de la Marina , ya
sea que obre por sí sola , ó combinada con la Artillería
del exéreito ó sus Ingenieros. Con esta consideración
se comprenden en este tercer tomo la Trigonometría
plana con las tablas logarítmicas, y la
Geometría práclica. ,
La primera es auxiliar de muchas partes de la
Matemática , contribuyendo notablemente á facilitar
los cálculos aritméticos y la resolución de varios problemas
geométricos por medio de las tablas logarítmicas
, cuyo origen , formación y uso , va explicado
con bastante extensión y claridad ; pero la mas general
aplicación de la Trigonometría plana , se hace
á la Geometría pradica , cuyas operaciones todas
van dirijidas á deducir el valor de los ángulos y de
los lados de un triángulo , y por este medio repre-sentar
en ej corto espacio de un papel la colocación
respefíiva de todos los puntos que se hallan en la
A 2 su-

superficie del globo á que se refiere y cuyo por me*
nor comprende la. segundatiparte de- este toma,, que es
la quarta del compendio»
En esta se ha formado la descripción de los instrumentos
necesarios para las operaciones de la Geometría
pradica que están en uso. para trabajar sobre
el papel y sobre el terreno ,. ampliando la explicación
de los de este último objeto ,. en que se comprenden
los. mas. comunes T y también los menos usados,
pero mas exádos , haciendo aplicación del Teodolite.
para situar los objetos inestables con igual seguridad
que los puntos fixos , lo que facilita la colo»cacion
de los, baxos , y la situación de los fondos en
los planos, hidrográficos, con la mayor exáétitud..
Y por quanto una parte de la Instrucción que
se da á esta tropa en sus escuelas es el dibujo, para
que en esta enseñanza se proceda con arreglo á las.
leyes que tiene adoptadas esta profesión , tam encadenada
con la Geometría pradica que sin ella quedarían
sin útil aplicación sus operaciones ,. comprende
también este tomo- el conocimiento, de los colores
, la propiedad de su aplicación , y su significado
en las obras de arquitedura civil y militar. Y
aunque esta última parte no corresponde según él
plan de esta obra hasta haber dado, los. tratados concernientes
á la Artillería y Bombardería, que inmediatamente
tocan al instituía de esta tropa, ha. parecido
conveniente, colocar en este: lugar él de dibujo
, por la conexión que tiene con la Geometría
• . prá^
pridica , de que depende la posición de los objetos
sobre el papel : y porque bastando el conocimiento
de la Geometría para utilizar esta instrucción , se
dedican á adquirirla desde que se hallan instruidos
en la segunda parte de este compendio , muchos que
acaso no llegarán á dar el tratado de fortificación
, última de este compendia
de Matemáticas.
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COMPENDIO DÉ
- MATE MÁTICAS
PARA LAS ESCUELAS DEI
REAL CUERPO DE
ARTILLERÍA DE MARINA.
PARTE TERCERA
QUE TRATA DEI LA TRIGONOMETRÍA
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PLANA.
ABRIGONOMETRIA PLA
na es la ciencia que enseña
á resolver los triángulos'
red ifínees , conocidatres
de las seis cosas qua
se consideran en todo tri-e
ángulo T que sen tres án-
*% gulos y tr-as lados.
a • La pridica de la trigonometría se reduce á
en-

__m
•
-f
4
+
encontrar los datos no conocidos, dados tres de los
seis expresados, ángulos ó lados, y por tanto las tres
partes conocidas constituyen los tres primeros términos
de la proporción , y el quarto es el que se busca.
' Pero como los lados del triángulo no tienen razón
expresa con los ángulos ( cuyas medidas son los
arcos del círculo ) se substituyen líneas redas en lugar
de los ángulos ó arcos de círculo , que signifiquen
á dichos arcos y sean proporcionales á los lados
del triángulo.
Se explicarán estas líneas y demostrarán sus
propiedades. .
DEFINICIONES Fig. i. Lam. i.
3 Sea qualquier ángulo ACB . desde cuyo vérice
C descríbase con arbitrario radio el círculo AH
a G : prolongúese la AC hasta el punto a de la circunferenca
, y levántese en C la perpendicular CH ,
con lo que se manifiesta que el ángulo BCH ó el arco'
HB , es complemento del ángulo ACB ó del arco
AB al quadrante , y que el ángulo BC ct ó el arco
BH a , es suplemento del ángulo ACB ó del arco AB
al semicírculo , y al contrario el arco AB es com- \
plemento del mismo HB al quadrante, y suplemento
del mismo a HB al semicírculo.
4 La reda BD guiada perpendicularmente desde
la extremidad B del radio CB al radió CA, se llama
seno del arco AB ó del ángulo ACB.
5 La reda AE guiada perpendicularmente desde
la extremidad A del radio , que concurre en el otro
radio' CB prolongado en E , se llama tangente del ar-
# co
co AB, y la reda CE se llama secante del mismo
arco.
X 6 La parte AD del radio comprendida entre el arco
y el seno , se llama senoverso del arco AB.
j La perpendicular BY se dice seno del complemento
del arco AB, y abreviado coseno del mismo.
—.' 8 La perpendicular HK se dice tangente del complemento
, ó cotangente del arco AB , la CK secante
del complemento , ó cosecante del arco AB , y j
HY senoverso del complemento , ó cosenoverso del
arco AB. Los senos tangentes &c. se llaman también
senos primeros , tangen-tes primeras &c. y los cosenos
,. cotangentes &c. se nombran senos segundos,
tangentes segundas &c.; pero quando solo se nom-
; bra seno , tangente ó secante , se entiende ser los
•^primeros.
COROLARIOS Fig. r.
9 El seno de un arco es coseno de su complemento
al quadrante , porque las paralelas entre paralelas
son iguales tomo 2 § 43 : luego será CD — YB ,
y CYrzDB.
-A
10 El seno , el coseno , la tangente , la cotangente
&c.- del ángulo agudo ACB , lo es también del
ángulo obtuso BC a, que es suplemento del ángulo
agudo BCA á dos redos, porque no se puede baxar
perpendicular desde, la extremidad B ó a de uno y
otro radio , que no caiga en el otro radio prolongado
, como las perpendiculares BD y ad , y estas son
iguales por serlos triángulos BDC y adC totalmen-
B te /
¡ti

4
te iguales tomo 2. § 90, como también DCrr^C.
Semejantemente se demuestra que la tangente no puede
ser otra que ae ~ AE , y por consiguiente la co- -L
tangente HK del arco BA lo es también del arco
BH a.
.X- 11 El seno de qualquier arco es igual á la mi-
• ' tad ds la cuerda del arco duplo , porque BD es mitad
de la cuerda BG que sostiene el arco duplo BAG -t—
tomo 2 § 52.
^L- 12 Los senos crecen al paso que los ángulos ,
' desde cero erados hasta los 90 , y -de la misma suer-
. te se disminuyen desde los 90 grados hasta ios 180 ^
de suerte que el seno de 90 grados es el radio que
se dice seno total ó seno máximo , por ser el mayor
de todos los senos.
JL. 13.. El seno del arco de 30 grados es igual á la
/ mitad del radio „ porque este es igual á la cuerda de
60 grados tomo 2. § 107.
14 Las tangentes también crecen al paso que
Jos arcos desde cero grados hasta 90, y de la rjeisma
suerte se disminuyen desde 90 grados hasta 180,
de modo que la tangente de 90 grados es infinita ,
porque el radia CH siendo perpendicular al radio CA^
TRO puede concurrir con la tangente AE » que tam-
. bien es perpendicular al misma radio CA.
_jU jrg La tangente del arco de 45 grados es igual
al radio, porque si el ángulo ACB es de 45 grados
el triángulo redánguto ACE será isóceles '4 y por consiguiente
A ErrAC
-4- 16 El seno verso AD del arco AB menor de 90
grados , es igual á. la diferencia entre el radio CA
y el coseno CDrrBY , y por consiguiente el coseno
verso HY es diferencia entre el radio CH y el seno
CY — DB , y el seno verso del suplemento D a es
igual á la suma del radio y del coseno : pues por
ser semejantes los triángulos redangulos CDB , CAE,
CYB y CHK , son proporcionales CA : CD — BY ::
AE : BD : esto es el radio al coseno , como la tangente
al seno de un mismo arco. También CH : CY
— DB :: HK : YB : esto es el radio al seno , como la
tangente al coseno de un mismo arco. Finalmente
AE : CA :: CH 5= CA : HK : esto es el radio es medio
proporcional entre la tangente y cotangente de
un mismo arco.
A-* 17 Por ser semejantes los triángulos CDB y CAE,
son proporcionales CD Í CA :: CB : CE : esto es el
radio es medio proporcional entre el coseno de un
arco y su secante.
18 Si se dan conocidos el radio CB , y el seno
BD de un arco BA , se hallará su coseno CD : porque
siendo el triángulo CDB redangulo , será tomo
2 S 133 CD 1 -H DB 1 — CB 1 , y por consiguiente
CD 1 = CB 1 — DB 1 , y CD — T/CB 2 — DB ! . Conocido
el coseno CD se conocerá el senoverso DA, pues
es igual CA —CD § 16: y el cosenoverso HY qué
es igual CH — BD.
J"- 19 Calculado esto en qualquier arco , se hallarán
también los de la mitad y duplo arco : porque
guiada la cuerda BA fig. 2 , y desde el centro C
el radio CE, perpendicular á dicha cuerda , y dados
conocidos el seno BD y el senoverso DA , será
BA — T/BD'-HDA 1 : luego FA ,*que es seno de la
B 2 mi-
\

mitad del arca,, será igual £ i/RD'-i-DA 1 , y CF
que. es coseno de la mitad del arco , será igual
"i/CA* — AF .. Y si se tiene AE coma arca dado „
será el radio, al coseno del arco _. como dos veces el
seno, del arco, al sena del arca dupla ,. porque los
triángulos FCA y DBA son semejantes, y por tanta
son proporcionales CA : CF: :: AB r BD.
20 Dados, conocidos los senos BD y KL fig. 3
f;
de los. arcos AB. y KB, se hallará el sena KM nú­
mero 1 de la suma, de ellos r ó número 2 de la diferencia.
- : porque conocidos, los. senos se conocen los
cosenos. CD y CL § ig , y baxada la perpendicular
L.P,r serán proporcionales CB: CL: :BD: LPrrQM,.
y siendo los triángulos; redangulos KOL y CBD„se-.w
mejantes al triángulo CPL número 1 * y KOLyCBD '
al triángnlo CPL, numero 2 ,. serán proporcionales;
CB :. CD : : KL : KQ : luego KO-f-OM numera* i- es,
igual á KM % seno- de la suma de Jos. arcos propuestos;
,. ó bien KO' — OM = KM número. 2 „ seno, de
la diferencia de los, mismos: arcos-
ESCOLTOar
Por Ta dodrina dada, se han, construida las:
tablas, de los senos,, tangentes: y secantes de todos
los grados del quadrante ,. que se hallan al fin de este
tomo,, suponiendo dividido el - radio,6- sena total en i
100000000 partes iguales ,. de las: quales se señalan
en las, tablas referidas: las-que proporcional mente corresponden
á cada una -de estas líneas;:.- y coma el
umco fin de establecer dichas, tablas ,. fue- para la
resolución de los triángulos „ que consiste en hallar-
á
á tres números dados un quarto proporcional , y
esto se consigue multiplicando el segundo por el tercero
, y partiendo el produdo por el primero , cuya
operación en números muy crecidos es bastantemente
molesta , por tanto deseosos los autores de facilitarnos
esta operación , trabajaron con desvela hasta
encontrar ciertos números artificiales, en progresión
aritmética-, que se llaman logaritmos , correspondientes
á otros naturales ó absolutos en progresión geométrica
, con los quales formaron las tablas que hay
en usa , por cuyo medio se facilitan en gran manera
las operaciones: porque la suma de los logaritmos
es fb misma que el produdo de los números, absolutos
, y la resta de aquellos es la mismo que la partición
de estos T coma se manifiesta en la mutua correspondencia
de ía progresión aritmética con la geométrica
, pues en la aritmética T el sumar , restar,,
•duplicar , triplicar 3. sacar la mitad y tomar ef tercio
, corresponde en. la geométrica ai multiplicar ,
partir., quadrar, cubicar, sacar la raiz quadrada y
extraer la raiz cúbica r de suerte que habiendo de
hallar un quarto proporcional, á tres numeres dados
en progresión geométrica T usando de los logaritmos v
se busca el quarto aritmético- r y en su correspondencia
en las tablas ..se hallará el quarta proporcionar..
EXPLICACIÓN T USO DE LAS TABEAS
Logarítmicas»
22 Las tablas logarítmicas son dos: la una Fama-

8
mada trigonométrica contiene los logaritmos de los
senos, tangentes y secantes de todos los grados y
minutos del quadrante: en cada plana tiene quatro
colunas , de las quales la primera de la izquierda
contiene los minutos del grado que está en lo alto de
Ja página : la segunda los logaritmos de los senos
correspondientes á dicho grado y minutos : la tercera
los logaritmos de las, tangentes , y la quarta los
de las secantes. Se ponen solamente los arcos hasta
el quadrante , porque sus complementos al semicírculo
tienen los mismos senos , tangentes y secantes
que aquellos , como se demostró § 10. EJ uso de
estas tablas se comprenderá mejor con los ejemplos
siguientes.
23 Dado el arco ó Ángulo de 27 grados _y 24
minutos , hallar su seno , tangente y secante.
OPERACIÓN.
Búsquese en el frente de la tabla el número 27
grados, y en la primera coluna de su orden los 24
minutos, y se hallará á su lado en Ja segunda coluna
el logaritmo del seno que es 9.6629464: en la
tercera , en la misma línea , el de la tangente que
es 9. 7146237 , y en la quarta el de la secante que
es 10.0516773.
24 Dado el arco ó ángulo de 152 grados y 36
minutos , hallar su seno tangente y secante.
OPERACIÓN.
Por ser dicho arco mayor que el quadrante, se
res-
/
restará de 180 grados-, y será el residuo 27 grados
y 24 minutos , su complemento al semicírcul: hállese
por el exemplo antecedente el seno , tangente y
secante de 27 grados y 24 minutos , y este será él
del arco de 132 gradas y 36 minutos § 10.
25 Dado el logaritmo 9.6028482 , que lo es de
un seno , hallar el número de grados de su arco ó
ángulo.
OPERACIÓN.
Búsquese en la tabla' el sobredicho logaritmo
en la coluna de los senos , y porque no se halla
exádamente , tómese su próximo menor , que es
9. 6027278 : á su lado á la izquierda se hallará 37
minutos , y arriba 2 3 grados , y por consiguiente
el logaritmo dado es él del seno de un arco ó ángulo
de 23 grados y 37 minutos, ó bien de 156
grados y 23 mintuos , su complemento al semicírculo
, por lo que quando se hace la resolución , precisa
saber si el arco que ¿-se busca es menor ó mayor
que el quadrante , para determinar el número
de grados á que corresponde.
Los exemplos propuestos bastan para la inteligencia
de la tabla trigonométrica.
26 La otra tabla llamada logarítmica' contiene
todos los números desde la unidad hasta 6000, coa
los logaritmos que íes corresponden , cuyo uso se explica
en los exemplos siguientes.
27- Dado e\ número 618 bailar su logaritmo.
OPE-
i

*
io
OPERACIÓN.
Búsquese dicho número en la tabla y á su lado
se hallará su logaritmo, que es 2.7909885.
28' Dado el logaritmo 2.7909885, hallar el
número á que corresponde.
OPERACIÓN.
Búsquese dicho logaritmo en la tabla , y á su
lado izquierdo se hallará el número 618, que es ai
que corresponde.
29 Si el logaritmo dado no se hallare en la tabla
, se tomará él' mas próximo , y el número á que
corresponde se puede considerar por el verdadero,
porque solo se diferencia de este en - menos de la unidad
; pero si precisare mayor exáditud , se dará el
modo de hallar el número verdadero en los exemplos
siguientes.
30 Dado el quebradoV* hallar su logaritmo.
OPERACIÓN.
Búsquese en la tabla el logaritmo del numerador
3 , que es o. 4771213 : búsquese- también él del
denominador 10 , que es 1. 0000000 : réstese este del
primero, y la diferencia — o. 5228787 es el logaritmo
del quebrado To.
La razón es porque la expresión del quebrado
T! quiere decir 3:10; pero el partir en los núme-»
ros naturales corresponde al restar en los logaritmos:
Juego se debe restar el logaritmo del divisor ó denominador
10, del logaritmo dei dividendo ó numerador
.flHÍ
/
i 1
3 , y el residuo ha de ser el logaritmo del cociente
ó quebrado ro •" y' ha de ser negativo , porque siendo
TO menor que la unidad , el logaritmo de este
ha de ser menor que él de la unidad ; pero el logaritmo
de la unidad es cero : luego él del quebrado
ha de ser menor que cero , y por consiguiente ha de
resultar negativo , como se figura en el exemplo. '
31 Dado el logaritmo negativo—0.5228788,
bailar el quebrado á que corresponde.
OPERACIÓN.
Elíjase por denominador qualquier número , y
sea por exemplo 20 , cuyo logaritmo es 1. 3010300 :
súmese este con el logaritmo dado , y la suma
o. 7781512 es el logaritmo del numerador , eique
buscado en la tabla se hallará á su izquierda el número
6 , y por consiguiente el quebrado To- es el
correspondiente al logaritmo negativo dado.
\' 32 Dado un entero y quebrado: por exemplo ¿fi
, 30 se hallará su logaritmo , que es 1.6732053.
33 Dado un logaritmo : por exemplo 1.6732053
que no está en la tabla y no excede al mayor de ella _
hallar el entero y quebrado á que corresponde.
• C OPE-

\
ja
OPERACIÓN.
Elíjase por denominador qualquier número y
sea por exemplo íoo , cuyo logaritmo es 2.0000000 :
súmese este con el logaritmo dado y la suma
3.6732053 , es el logaritmo del numerador del quebrado
impropio , el que buscado en la tabla se hallará
á su izquierda el numera 4712» y par consiguíente
el quebrado i o-o- — 47 -h T. * es el corres^
pendiente al logaritmo dado.
35 Dado un número : por exemplo 4664616, ma>
yqr que el último de la tabla » hallar su logaritmo.
OPERACIÓN.
Pártase el número dado por otro qualquiera
coma 1000, de suerte que el cociente 4664 TV» 6 »
sea menor que el última de la tabla :.- búsquese el logaritmo
de 4664 que es 3.6687585 : saqúese la diferencia
que hay entre este y su próxima mayor que
es 931 , y fórmese la proporción 1000 : 616 Í r 931:.
átz=573, que añadido al logaritmo menor 3.668 7 5,8 5
resulta 3.6688.158 , y añadiendo á este logaritmo él
del divisor 1000, resulta 6» 66.8815,8, que es el logaritmo
del numero dado 4664616-
35 Dado un logaritmo í por exemplo 6.66881587,
mayor que el última de la tabla ,. hallar el número ó.
que corresponde*
OPERACIÓN.
Del logaritmo dado, réstese el. logaritmo de ua
•gua-
13
guarismo qualquiera como 1000, que es 3.0000000,
de suerte que la diferencia 3.6688158 sea menor
que el último de la tabla : búsquese el número que
le corresponde , y se hallará ser 4664 A'A , y todo
el número que corresponde al logaritmo propuesto
será 4664 -t-TVo 6 p-x 1000— 4664616.
Por este método se hallarán los senos, tangentes
y secantes naturales, que corresponden á sus logaritmos.
ESCOLIOS,
36 La primera cifra de la izquierda que en todo
logaritmo se halla separada por un punto , se llama
característica , porque indica el número de cifras menos
una que compone el número á que corresponde
el logaritmo , de suerte que si la caraderística es 3,
serán 4 las cifras que tendrá el número : si fuere' 5
serán 6 &c., y así en el logaritmo 3.6720979,1a
caraderística 3 indica que el número á que corresponde
dicho logaritmo tiene quatro cifras , que son
4700 , y así de los demás.
37 La tabla logarítmica es muy auxiliar para
facilitar las operaciones aritméticas : pues sumando
los logaritmos de dos qualesquiera números , la suma
es el logaritmo del produdo de dichos números. Si
se resta el logaritmo de un número del logaritmo de
otro qualquiera , el residuo es el logaritmo del cociente
que resultaría si se partiera el número correspondiente
al logaritmo restando , por el número del
logaritmo restador. Si de la suma de los logaritmos
de dos qualesquiera números se saca la mitad , será
C 2 esta

i4
esta el logaritmo, de la raiz quadrada del produdo
de dichos números, y por consiguiente es el logaritma
del medio proporcional geométrico entre los
referidos números. Si se saca del logaritmo de un
número la mitad ó tercera parte, serán estas el logaritmo
de la raiz quadrada ó cúbica de dicho número.
Si eatre dos qualesquiera números, se quisiere
hallar algún número de* medios geométricamente proporcionales
, se restará el logaritmo del número me--_
cor dado , del logaritmo det número mayor ; el residuo,
se partirá por el número de medios mas una , d
por.el número de términos menos uno7 y el ¡cociente
será el logaritmo del denominador ó exponente de.,
la razón que han de llevar entre sí los términos , el
qual añadido al logaritmo del número menor, será
la suma del logaritmo del primer media geométrico %
y añadiendo á este la suma , será el logaritmo del
segundo, medio , y así succesivamente. Para hallar
terceras y quartas, proporcionales se ejecutará coma -
en los. exemplos, siguientes..
,38 Dados, los números- 9 9 2 y 4 9 6 : ,, • hallar otro tercero
proporcional geométrico por los logaritmos*
OPERACIÓN
Búsquense en la tabla los logaritmos:, correspondientes
á. dichos números r réstese del duplo logaritmo
del segundo término»el logaritmo del primero,,y
el residuo será el logaritmo del término tercera que
se busca , coma se expresa 4 continuación- ,
Loga-
Logaritmo del segundo terminó . 496 .. 2.6954817.;,
Su duplo 5-39°9 c 34*
Logaritmo del primer término... 992 .. 2.996511^.
—: ;—*
Diferencia logaritmo del tercer término.. 2.3944 S* 7*'
39 A tres números dados 992, 496,7? 744* ^ a ~
¡lar un quarto proporcional por los logaritmos.
OPERACIÓN.
Súmense los logaritmos del segunda y tercer,,
término, y de la suma réstese el-logaritmo del pri--,
mera, y el residuo será el logaritmo del quarta término
que se busca.
Logaritmo del segundo término.. 496 .. 2.69 54S17.
Logaritmo del tercer término ... 744... 2.87157-29- .
Suma de los: dos logaritmos. » 5. 5670546. r
Logaritmo det primer termina . ^992. .. 2.9965.1-17-
Logaritmo de la diferencia ó —— ¡— :
quarto término. . ~ . 372 .. 2. 5705429.
ESCOLIO.:
40 Para resolver los triángulos redilíneos se han
de dar conocidas tres cosas, denlas seis que se consideran
en todo triángulo r. que son dos lados y un. ángulo
, ó dos ángulos y un lado,., ó . bien, los tres lados
n con lo que se hallarán los lados y ángulos: que
se ignoran ; pero nunca se podrá resolver el triángulo
si solo, se conocen: sus, tres ángul os:. porque puede

• •
16*
de haber muchos triángulos desiguales y semejantes.
y PROPOSICIÓN TEOREMA Fig. 4.
X 41 En todo triángulo re£lilheo ABC los lados son
. proporcionales con los senos de los ángulos opuestos.
DEMOSTRACIÓN.
Si al triángulo propuesto se le circunscribe el
círculo M , será cada uno de sus lados cuerda del
arco duplo , que es medida del ángulo opuesto tomo
-»*• S 59 -. y sus mitades serán senos de dichos ángulos
§ r 1 ; pero los lados son proporcionales con
sus mitades .* Juego son como los senos de los ángulos
opuestos , que era Sic.
En esta proposición se funda la resolución de
todo triángulo redilíneo , quando se dan conocidos
dos ángulos y un lado, ó dos lados y el ángulo opuesto
á uno de dichos lados, como se ve en los exemplos
siguientes,
42 En el triángulo obliquángulo ABC fig. 4 dados
el lado AC ~ 400 , el ángulo B opuesto al lado
AC de 54 grados y 30 minutos, y el ángulo C de 37
grados j> 3 8 minutos y bailar el lado AB.
RESOLUCIÓN.
Como el seno del ángulo B — 54 grados y 30
minutos, á su lado opuesto AC — 400 pies , así el
seno del ángulo C — 37 grados y 38 minutos, á su
lado opuesto AB , que sale de 300 pies.
Loga- ,.
Logaritmo AC 1=400:=: . . . 2.6020600.
Seno C ~ 37 o »?
y 38'=. . . . 9.7857611,
Suma. . . . 12. 3878211.
Seno B= 54 o y 30'= .... 9.9106860.
Logaritmo AB =; 300 =: . .... 2.4771351.
Del mismo modo se hallará el lado BC , haciendo
su correspondiente analogía.
ESCOLIO.
43 quando se propone buscar un ángulo es pre*-*
ciso conocer antes de hacer la resolución si es agudo
ú obtuso : porque siendo uno mismo el sena dei
ángulo agudo y él del obtuso , que es su complemento
á dos redos » quedaría siempre la duda de qual
de los dos era el verdadero.
COROLARIOS Fig. _?.
-q^ 44 Infiérese que siendo el seno del ángulo redo
igual al radio ^ será en el triángulo redangulo ABC
el radio, á la ipotenusa AC , como el seno de qual-
^ quiera de los ángulos- A óC , al lado opuesto al mis*»
mo ángulo.
7j!k* 45 Siendo en el triángulo redangulo ABC el seno
de un angula agudo , coseno del otro , será el se-
/*/// no de un ángulo agudo r á su coseno , coma el lado
opuesto á este ángulo r al otro lado : y siendo el, seno
' ff/l" ai coseno como la* tangente al radio £ r6 Y será en el
/ triángulo' redangulo , la tangente de un ángulo agudo»
/

jW
11
HB^^^^*
»L>"
por exerttplo A al radio, como el lado CB, opuesto
á este ángulo , al otro lado AB. En estos dos corolarios
se funda la resolución de todo triángulo rectángulo
como se ve en los exemplos siguientes.
• *
46 En el triángulo reEi ángulo ABC fig. 5 , dados
conocidos los lados AB zz 1230>y CB :1:72o,. i»?
pide el ángulo A.
RESOLUCIÓN.
Como el lado AB = 1230 píes, al lado CB =:
720, así el radio á la' tangente del ángulo A, que
sale de 30 grados y 20 minutos.
Logaritmo de CB ':== 720 = . . 2.8573325.
Radio = . . . . . . 10.0000000.
Suma. . . . 12.8573325*.
Logaritmo de AB — 1230= . 3.0899051.
Tangente de A =30' y 20' zz. 9. 7674274*. i
Hallado el ángulo A queda conocido el ángulo
•G, que es su complemento á 90 grados.
47 Dados conocidos en el mismo triángulo la. ipotenusa
AG zz 142 5 pies y el lado AB zz 12 30 bailar el
ángulo C. • /'
RESOLUCIÓN.
Como la ipotenusa AC = 1425 pies , al radio,
así
*9
así el lado AB zz 1230', al seno del ángulo C , que
sale de 59 grados y 40 minutos.
Radio zz . . . -. . -. 10.0000000.
Logaritmo de AB-=71230 :=: , 3.0899051.
Suma. . . . 13.0899051.
Logaritmo de AC zz X425 zz . 3. 1538149.
'Seno de Czz 59 o y 40' zz . .9.9360902.
Hallado el ángulo C. queda conocido el ángulo
A , que es su complementa á 90 grados.
Semejantemente se resolverá qualquier otro caso
que se ofrezca de esta especie.
PROPOSICIÓN TEOREMA Fig. 6.
} \ 48 En todo triángulo escaleno BAC , son proporcionales
la suma de dos lados BA , AC , á la diferencia
de los mismos , como la tangente de la semisuma
de los ángulos opuestos á dichos lados , á la tangente
de la semidiferencia de los mismos ángulos.
PREPARACIÓN.
Desde el vértice A , con la distancia del lado
menor AC , descríbase el semicírculo MCP , que
cortará al lado AB en P : prolongúese este mismo
lado hasta la circunferencia en M , y será BM suma
de los Jados BA y AC , por ser AC y AM iguales
por radios: y BP será la diferencia de los mismos
lados , por ser AP •* AC : tírense las líneas CM
y CP , y del punto P la NP paralela á MC », y se-
D rá
/

2G
rá el ángulo PCM redo , por estar formado sobre
el diámetro , como igualmente él NPC por alterno.
El ángulo PAC es común á los dos triángulos
PAC y BAC : luego la suma de los ángulos sóbrela
base PC es igual á la suma de los ángulos sobre
la base BC , porque una y otra suma es complemento
á dos redos : y siendo el triángulo PAC isóceles
, los ángulos: P y C sobre su. base son iguales ,.
y cada uno'de ellos es mitad de la suma, de los ángulos
sobre la base BC.
EJ ángulo ACB excede al ACP dé la semisuma
en el ángulo- PCB , y el ángulo APC que- también
es semisuma excede al ángulo ABC en el mismo
ángulo PCB , porque siendo externo es igual á
los. dos- internos opuestos : luego el ángulo ACB, excede
al ángulo B en dos veces el ángulo PCB : lúe-*
-go este es semidiferencia de los ángulos sobre la ba»se
BC. Finalmente haciendo centro en P con la distancia
PC descríbase un arco CL , y será CM tangente
del ángulo CPA , semisuma de Jos ángulos sobre
la base BC, y haciendo centro en C , con la misma
distancia descríbase otro arco, y sera PN tangente
del ángulo PCB, semidiferencia de dichos ángulos..
DEMOSTRACIÓN.
Eh los triángulos BCM ,. BNP el ángulo B es
común, y los: ángulos en N y P iguales a los ángulos
en C y en M: Juego dichos triángulos son equiángulos-
, y por consiguiente tienen' sus lados proporcionales
: esto: es será BM; suma de los lados BA
y
K
y AC , á BP diferencia de los mismos , como MC
tangente del ángulo APC , semisuma de los ángulos
B y ACB , á PN tangente del ángulo PCB , semidiferencia
de dichos ángulos.
49 En esta proposición se funda la resolución
de los triángulos , quando se dan conocido* dos lados
y el ángulo que comprenden , y en el arincipio
evidente de que quando dos cantidades^ aesiguales
están contenidas en una suma , la maya/r es igual á
la mitad de la suma mas á la mitad de la diferencia
, y la menor es igual á la mitad de la suma menos
la mitad de la diferencia , como se ve en el
exemplo siguiente.
50 En el triángulo obliquángulo BAC fig. 6, dados
los dos lados AB — 2545 pies , AC zz 1975 y
el ángulo Azz 76 grados y 32 minutos , bailar los
demás ángulos y el lado BC.
% RESOLUCIÓN.
La suma AB -H AC es igual 4520 :. la diferencia
AB — AC es igual 5 70 : la suma de los ángulos
opuestos á dichos lados B y ACB es igual á 180
grados menos 76 grados y 32 minutos^ 103 grados
y 28 minutos , y por consiguiente la semisuma
será 51 grados y 44 minutos, con lo que se hallará
Ja semidiferencia de dichos ángulos con la proporción
siguiente.
Como la suma AB-f-AC~452o , á la difen
,. p
rencia AB — AC— 570 , así la tangente de zz
Da
51
X

I
•VHPII
2"2
Sr grados y 44 minutos , á la tangente de ^ "".?
9 grados y 5 minutos.
logaritmo de AB - AC--S?0 =7,2.
Tángete de B-f-C
7SS8749..
2 ~ SJ y'44

! »
V7
*4
Logaritmo de AB -h BC £: 300 -
Logaritmo de BC — BA — 60 —
Suma..,
Logaritmo de AC — 200 zz....
* • • »
. -2.4771213.
1. 77815 13.
. . 4.2552726.
>.. 2. 3010300.
Logaritmo de LAzzCE — AE zzzgozz .. j. 9542426.
Conocida la diferencia LA de los segmentos
AE y EC se conocerán estos añadiendo á AC— 200
r la diferencia LA — 90 , y se tendrá la cuerda LC zz
290, cuya mitad EC ó EL , igual 145 , será el mayor
segmento , y restando este del lado CA — 200
se tendrá el menor segmento AE ^55 varas , y por
consiguiente en los triángulos redangulos BEC y BEA
se tienen conocidos , en el primero el lado CE, la
ipotenusa CB y el ángulo redo BEC , y en el segundo
el lado AE , la ipotenusa AB y el ángulo recto
BEA : luego por los corolarios § 5 44 y 45 se
hallarán los ángulos.
PROPOSICIÓN PROBLEMA Ftg. 3.
53 Determinar por Trigonometría la razón que
tiene el diámetro de un -círculo con su circunferencia.
RESOLUCIÓN.
Supóngase el radio AC del círculo K igual
íoooo partes iguales , y que el círculo R esté descrito
con el radio de la tabla de los senos.
Supóngase que la cuerda FN es el lado del polígono
de 90 lados inscrito en el círculo K., y que
EM
25
EM es lado del misma polígono circunscrito á dicha
círculo , y lo mismo VP y DL en el círculo R , y
por consiguiente será el arco FCN — V°° grados — 4.
grados ,. y FG sena de 2 grados , CE tangente de
2 grados, y lo misma VH y DB » esto supuesto se
hallará primero el valor de FG con la proporción
siguiente v. como el radio- AB zz AV, al seno- de 2.
grados -VH, así AF — AC zz 10000 , á F G = £
FN — 349- pies^
Seno de VH rr 2 0 — . _ „ . . g. 5,428192.
Logaritmo de AF —AC —10000—4.0000000»
Radio —
Suma...,
12.5428192.
IO.OOOOOOO.
Logaritmo de FC~|FN —349 = 2. 5428192.
Luego 349 x 2 zz 698 —FN: y por quanto el
polígono inscrito es de 90 lados ,.. cada una de- ellos
igual á FN , será su ámbito zz 698 x go zz 62820 ,.
part.es> de las mismas en que está dividido el radio»
AC.
Asimismo se hallará el ámbito del polígono circunscrítoj
Como el radio es á BD tangente del'arco BV
dé 2- grados , así AG — ioooo á- CE — \ EM — 350
pies.,
Tan-
\

2 6 -y
,. Tangente de BD zz. 2 a zz . . •;. . 8. 5430838.
Logaritmo de AC zz 10000 zz ,_,.;, 4.0000000.
Radio zz
Suma. . ... 12. 5430838.
. .. . . IO.OOOOOOO.
Logaritmo de CE = _\ EM zz 350 =2.543083 8.
Luego ME =: 700 x 90 zz 63000 será el ámbito
del polígono circunscrito . pero la circunferencia es-
_ . , 63OOO-H 6282O
tá entre este y el inscrito : luego — ¡
7=62910, será muy próximamente la circunferencia:
y habiendo supuesto el radio igual 10000 , será
el diámetro ,20000, y por consiguiente será el diámetro
á la circunferencia como 20000 á 62910: de
cuyos guarismos quitando las dos últimas cifras de
la derecha , que es lo mismo que partir uno y otro
por 100 , resultará ser el diámetro á la circunferencia
como 200 á 629 ó como 100 á 3.14.4*
ESCOLIO.
54 Mucho han trabajado los Geómetras para
hallar una línea reda igual á Ja circunferencia del
círculo , ó bien la razón exáda que tiene el diámetro
con Ja circunferencia del círculo ; pero no han
podido conseguirlo , á pesar de sus ingeniosos discursos
: por lo que Jes ha sido preciso contentarse
con diferentes aproximaciones.
Archimedes halló que el diámetro con la circunferencia
estaba"en la razan de 7 á 22.
Adria-
Adriano Mesio, en lá de 71 á 223.
Luis Ceulen , en lá de 100 á 314 que se aproxima
mucho á lá que hemos encontrado : el uso de
qualesquiera de ellas es muy fácil como se ve en
los exemplos siguientes.
5 5 Dado el diámetro ZX r: 60 varas fig. 8 bacilar
las que tendrá la circunferencia.
RESOLUCIÓN.
Tómese qualquiera de las razones antedichas y
sea Ja de Archimedes , y dígase 7 : 2 2 :: 60 : x zz
22 x6o 1320 __ ,
zz - ••-- = 188 * varas.
7 7
Si se toma la de Mesio se dirá 71 : 223 : i
60 : x zz 188 ff. Finalmente tomando la de Ceulen
se dirá 100 : 314 :: 60 : x zz 188 •*?«• varas, valor de
la circunferencia.
56 Si dada la circunferencia del círculo K igual
á una cantidad de varas ó pies &c. representada por
a, se quiere hallar el diámetro , se invertirán las proporciones
antedichas. Esto es según Archimedes se
dirá 22 : 7 : :a : ~ •
22
Según Mesio se dirá 223 : 71 ¡: a 71x0
223
Finalmente según Ceulen se dirá 314 : íoo : :ai
KOOXtf
— valor del diámetro propuesto.
3 r 4
E
2 7

f
*l* **l l * *T* T*
o 0 oí
* * * *
**** -J-30&-T
PARTE QUARTA
QUE TRATA D É L A
GEOMETRÍA PRACTICA.
57 J-fcoooos&EOMETRlA PRACTICA ES
la aplicación de la Geometría
elemental á las operaciones sobre
el papel, ó sobre el terre­
Í^OOOOjJ;
H
no. Para las quales se hace uso
de varios instrumentos : á saber
el Compás , la Regla , la Pantómetra , los Niveles ,
la Escala , la Plancheta , el Semicírculo , el Grafómetro
y el Teodolite , cuya aplicación y uso se pondrá
en los capítulos siguientes , omitiendo lá del compás
y la regla por ser tan conocidos como sencillos.
CAPITULO PRIMERO.
DE LA PANTÓMETRA 0 COMPÁS DE
proporción y su uso.
58 T A Pantómetra ó compás de proporción,
JLi 1 llamado también medida universal fig.
E 2 9

^
f0
9 y io es un instrumento, de latón ó madera,. compuesto
de dos redangulos totalmente iguales, unidos
por dos de sus ángulos en un punto C sobre que
giran para abrir y cerrar el instrumento, á manera
dc campas : ea. sus' dos. frentes tiene varias, líneas
redas distintamente graduadas , de las quales salen
dos de cada" especie desde dicho centro C, una en
cada redangulo , y corresponden igualmente por su
longitud/ con iguales distancias de latitud : de modo
que si se considera tirada una línea entre dos. qualesquieVa
puntos correspondientes , resulta un triángulo,
isóceles cuyo vértice es el centro sobre que giran
los brazos de la Pantómetra..
59 De. las varias líneas que se ponen en este
instrumento , las mas comunes son la aritmética ó
de partes iguales : la poligónica ó de- los polígonos:
la cordométrica ó de las caer das : la planimétrica ó
de los planos : la estereométrica ó de los. sólidos , y
la. metálica ó de los metales..
DEFINICIÓN Fig. 9,
-• 6o La línea aritmética ó de partes igualas, consta
de las dos líneas CP , CP , cada una de las quales
se divide regularmente en 200 partes iguales ,
principiando á contarlas desde el centro C de la pantómetra
, y se numeran en progresión aritmética-fr
o..»ió. 20. 30. 40. &c.
Por esta, línea se resuelven los problemas siguientes.
PROBLEMA Fig. 9.
-*; 61 Dividir- la reSla AB- en las partes iguales
v que
qué se- quisiere:,. por exemplo en 20«.
RESOLUCIÓN.
Abrase la- pantómetra de suerte que tomando
la reda AB con el compás se pueda ajustar esta
abertura entre dos qualesquiera puntos de la linca
aritmética , que sean divisibles por 20 , como 100 y
i00 , y tomando con el compás sin abrir ni cerrar
la pantómetra, ía distancia 5 ,, 5,, que es cociente de:
100 por 20 , esta se contendrá 20 veces en la reda
AB , y por consiguiente repetida 20 veces la. medirá
justamente.
DEMOSTRACIÓN.
Los triángulos 100 C 100 y 5 C 5 son semejantes:
luego- serán C 100: C 5 : : 100 : 5 : : 20 : 1 ,..
que era &c.
1 62 Si se quiere dividir la reda AB en dos partes
que tengan una razón dada , como de 5 á 3 , se
tomarán en la línea aritmética dos números que tengan
dicha razón , como 50 y 30 , cuya suma es
80. Ajústese la re

f\
•
(•
32
mera reda AB , y véase á que partes de esta se
ajusta , y suponiendo que sea en 80 , tómese con el
compás la segunda reda EF, y abriendo la pantómetra
se ajustará entre los puntos 80 , 80: en esta
disposición pásese dicha distancia desde C sobre
la línea aritmética , y suponiendo que se ajuste en
la división 60 , se tomará la transversal 60, 60 , y
esta será la tercera proporcional que se desea : porque
son proporcionales C 80 : 80 , 80 :: C 60 : 60 , 60 ,
que era &c.
PROBLEMA Fig. 9.
64 A tres re&as dadas ABE, bailar una quar*
ta proporcional.
RESOLUCIÓN T DEMOSTRACIÓN.
Véase á que puntos de la línea aritmética se
ajusta la primera reda A , y supuesto que sea C 80
n A , se pondrá la segunda B entre los puntos 80 ,
80. Véase la tercera reda E á que puntos se ajusta
desde C, y supuesto que sea C 50 — E , será la
quarta proporcional la distancia que haya entre los
puntos 50 , 50 : porque son proporcionales C 80 :
80 , 80 :: C 80 : 50 , 50, que era ote.
DEFINICIÓN Fig. 9.
65 La línea de los polígonos consta de las dos
iguales CY , CY , en las quales se marcan desde el
centro C un radio C 6 , C 6 y un lado de cada
polígono inscrito en el círculo , cuyo radio es C
6 , desde el duodecágono regular hasta el triángulo
equi-
32
equilátero t y así C 12 ; C 12 es el lado del duodecárgo.no
C 11 C 11- él del undecágono &c.
Por esta línea se resuelven los problemas siguientes.
PROBLEMA Fig. 9.
66 Sobre una. reSia DB formar qualquier polígono
regular , por exemplo el de 9 lados.
RESOLUCIÓN T DEMOSTRACIÓN.
Ajústese la DB- entre los puntos 9 , 9., y en
esta disposición tómese la transversal 6 r 6 , que será
el radio del círculo en cuya circunferencia se ajustará
9 veces el lado DB : porque C 6 : C 9.:: 6», 6Í.
o., 9, que era &e„
PROBLEMA Fig. 9.
6j Dado un círculo inscribir- em él un polígono.regular
,. por exemplo un pentágono..
RESOLUCIÓN.
Ajústese el radio del círculo dado entre los puntos
6'v 6%. y en esta disposición tómese la transversal
5 , 5 , y esta se ajustará 5 veces en la circunferencia
de dicho círculo , que era 8¿c-
DEFINICIÓN Fig. xa.
68 La línea cordométrica consta de las dos líneas
CH , CH , las quales son diámetros de un círculo
,. y en ellas se colocan todas las cuerdas dé los
grados de la mitad dé dicho círculo , y se numeran
desde el centro-G,, según la progresión aritmética -77
o. 14». 20. 30.-&c.. Por

7
Y 34
Por esta línea se resuelven Jos problemas siguientes.
PROBLEMA Fig. io.
69 Cortar de un círculo dado m arco de qualquier
número de grados , por exemplo de 70.
RESOLUCIÓN Y DEMOSTRACIÓN.
Ajústese el radio del círculo dado entre los puntos
60 , 60 , y en esta disposición tómese la transversal
70 , 70, y esta será la cuerda de 70 grados del
círculo dado : porque son proporcionales el radio C
60 de la línea cordométrica á C 70 cuerda de 70
grados , según construcción , como el radio transversal
60, 60, á la transversal 70, 70 : luego 6ic.
PROBLEMA Fig. 10.
70 , Sobre una re Uia dada XZ formar, un ángulo.
de qualquier número de grados.
RESOLUCIÓN.
Con el intervalo XZ descríbase un círculo-, y.
cortando según lo dicho § 69 el arco ZS igual al
número de grados que ha de tener el ángulo X formado
sobre XZ, se tendrá el ángulo SXZ , como se
desea.
PROBLEMA Fig. 10.
71 Dado un ángulo X , bailar los grados que
contiene.
RESOLUCIÓN, '
Ajústese el radio XZ entre los puntos 60, 60,
y en esta disposición véase á que puntos se ajusta
transversalmente la cuerda ZS , y supuesto que sea
entre Jos puntos 75, y§\ se dirá que dicho -ángulo
es de 75 grados.
PROBLEMA Fig. JO.
72 Sobre una recia dada AB formar qualquief
polígono regular _ como el oSlágono.
RESOLUCIÓN.
Pártase 360 por ocho y el cociente 45 son loa
•grados que corresponden á la reda dada AB : ajústese
esta entre los puntos 45 , 45 , y tomando eA
esta disposición la transversal 60 , 4So , será esta el
radio del círculo en cuya circunferencia se ajustará
la AB 8 veces.
73 Si dado el círculo Se quiere inscribir en éi
un polígono de ocho lados , se ajustará el radio entre
los puntos 60 , 60 , y tomando la transbersal
45 *» 45 •» se tendrá la cuerda que se acomodará ocho
veces en el círculo dado,
DEFINICIÓN Fig. 9.
74 La línea de los planos ó planimétrica sé
compone de las CR, GR,' en las quales se colocan
los lados homólogos de planos semejantes, cuyas superficies
van ascendiendo en progresión aritmética natural
1. 2. 3. 4. 5* 6' Sic»
RE- PRO-

X
;
3^ _^_-_-_._._._m^^^
^ 1 PROBLEMA Fig. 9.
75 Hallar la razón que tiene un. redi i lineo X
4 otro su semejante Z.
t . . RESOLUCIÓN.
Ajústese el lado AB entre qualesquiera dos. puntos
equidistantes del centro C , como 40 , 40 , y tomando
el homólogo EF, veáse á que puntos transversales
se. ajusta en aquella posición de la pantómetra,
y supuesto que. se ajusta á los 30, 30 , se
dirá que es. X : Z :: 40 : 30 , que era &.c
PROBLEMA Fig. 9.
76 Hacer un reStilíneo X semejante Ú otro dado
7.1 con el qual tenga una razón dada,. como, de. 40 á 30.
RESOLUCIÓN.
Ajústese el lado AB del redilíneo ó radio sí
fuere. círculo entre los puntos 40 , 40... y tomando
Ja transbersal 30 , 30, será esta lado homólogo del
redilíneo que se. busca.
DEFINICIÓN Fig. jo.
77 La línea de los sólidos ó estereométrica se
compone de las CS , CS , en las quales se colocan
Tos lados homólogos de sólidos semejantes , cuyas
solideces se van excediendo en progresión aritmética
natural 1. 2. 3. 4. &c.
Por-esta línea se. resuelven los problemas siguientes.
. . .
PRO-
C 37
^ ^ ^ ^ ^ \ p ROBLE MA Fig* io.
78 Entre dos recias dadas Aj C, hallar dos
medias proporcionales.
RESOLUCIÓN -T DEMOSTRACIÓN.
Por la. línea aritmética averigüese el valor de
las dadas A y C , y supuesto que se halló A = 50 .
partes y C rz 32 , se ajustará la mayor A en la línea
estereométrica entre los puntos 50 , 50 ( expresión
de su valor ) y tomando en esta disposición de
la pantómetra la transversal 32 , 32 ( expresión del
valor de C ) será dicha transversal la primera media
: porque en quatro continuas proporcionales , el
cubo de la primera al cubo de la segunda, es como
la primera á la quarta tomo 2. % 285 , y según la
construcción de la línea estereométrica es el cubo
de la transversal 50 , 50 , al cubo de la 32 , 32 r
como 50 zz A á 32 r= C : luego será A 3 : Jf 3 :: A :
C, y por consiguiente 3t\ que es igual á la transversal
32 , 32 es la primera media. Hallada esta
se hallará fácilmente la segunda , porque esta debe
ser tercera proporcional á la primera reda dada A,
y á la primera media hallada x , ó bien media proporcional
entre la primera media x y la última C
dada: luego hallada esta § 6 3 se tendrán las dos medias
proporcionales que se buscan.
PROBLEMA Fig. 10.
79 Hallar la razón que tienen entre si dosr sólidos
semejantes . cuyos lados homólogos son. AB-y EF. •>
F 2 RE-

"38
RESOLUCIÓN.
Ajústese Ja AB entre qualesquiera dos puntos
equidistantes del centro C , como en Jos puntos 50,
50 , y en esta disposición véase á que puntos transversales
se ajusta la EF , y supuesto, que sea entre
Jos puntos 20 , 20 , se dirá que el sólido, sobre AB,
á su semejante sobre EF , tienen Ja razón de 50 a 20.
Las redas AB y EF pueden ser lados homólogos de
paralelepípedos semejantes, prismas y pirámides, como
también diámetros de las bases de conos , cilindros
y esferas semejantes, pues son. como los cubos
de sus lados homólogos tomo 2. § 284..
PROBLEMA Fig.. 10.
80 Dado un lado AB de un sólido ,. hallar un
lado homólogo, de otro semejante al dado que tenga
Con él una- razón dada :. esto es que sea el dado al
que_ se. busca como 5 á 3..
RESOLUCIÓN T DEMOSTRACIÓN.
Ajústese Ja AB entre los puntos 50 , 50, y en
esta disposición tómese la transversal 30 , 30 , y esta
será el lado que se busca , á que llamaremos x :
porque son proporcionales AB 5 : x 1 :: 50 : 30 :: 5 :
3 , que era &c,
DEFINICIÓN Fig.. 10.
81 La línea metálica se compone de las CV ,
CV~, en Jas quales se Colocan, desde C los diámetros
de las esferas hechas cada, una de distinta especie
ó materia; pero de igual peso.
82
82. Los metales se expresan en esta; línea por
los caradores que se manifiestan á continuación, con
la razón que tienen entre sí los diámetros de las esferas
de igual peso y de distinta, materia..
rt Q
Diámetros..
0 Sol: significa el oro . .• . .. . .. 5.0o.
h Saturno r el plomo .. ... .. . . . ^ 592-
C; Luna : la plata . . « . . .. . .. .. 615.
cf Venus : el cobre . . ... . . .- 643.
cT Marte : el hierro ., . .. .-. . .. ... 668..
Qf Júpiter :; el estaño. . ...... 684..
Latón . ..... . '.. . . .. . ... .. 652..
PROBLEMA Fig. 10.
83 Dado conocido el peso de una esfera de plata-,
cuyo diámetro sea igual a. ,. hallar el diámetro
de otra esfera de qualquier otro metal, por exemplode
hierro que tenga, el. mismo, peso que. la dada.,
RESOLUCIÓN:.
Ajústese el diámetro dado a entre los puntos

?v
4° , _[ .fl
tales de una especie , y hallándose que algunos difieren
notablemente en su gravedad específica : es decir
en su peso con un mismo volumen , tampoco debe
tomarse -sin este respedo ó consideración la tabla
que antecede, que solo podrá dar ciertas las resultas,
de ios problemas que se resuelvan por la pantómetra
_ en el caso de que las expresadas materias
tengan la razón de sus volúmenes , que indica Ja tabla
antecedente , sobre cuyo principio está formada
en Ja pantómetra la línea estereométrica.
CAPITULO SEGUNDO.
VE LOS NIVELES.
J l 34 y Arias especies hay de niveles , pero e>
* mas simple y ordinarrV. «o \
compone de dos regJas"igualesBD BE Y'T "
pueden formar qualquier ángulo aunque e m e o r
este sea el redo B, unidas con otra 'Ta T ^
suerte que Jas tres formen un triániruío ARP
base AC se divide por medio en Y Ti ^ '* CUya
- hace firme un hío con tpTndul'o l * * **"* *
oara r,ivPi ESt !,- ÍllStrUment0 Y Sm ««"dantos sirven
para nivelar distancias cortas, como en la AriíL
Para poner á niveJ el ánima de Z l n ^ í
ata v 7 K mm T S ' halkr l0S PUnt0S sll P-^s de cunar
y „-, f i Preparar Un plano oriz ontal para S-
!/" a S de baIas • Y Para otros muchos fi e .
a pocas luces se comprende. . j* '
86
T
41
86 Los Teodolitos de que se hablará mas adelante
, y los quartos de círculo astronómicos suelea
tener otra especie, de niveles , diversos de los antecedentes
, reducidos á un solo tubo de cristal lleno
de agua y cerrado por ambos extremos , dejando en
él un corto, vacio ocupado por el ayre , el quaL debiendo
quedar siempre en la parte superior per su
menor gravedad específica , se mueve hacia uno de
los extremos del tubo , hallándose este orizontal quando
la porción dei ayre encerrada queda, equidistante
de sus extremos.
87 Este tubo está guarnecido de latón por todas
partes ,. á excepción de la superior , en la qual queda
descubierto un espacio algo mayor que el ocupado
por eiayre. De estos niveles suele tener dos cada
instrumento en situación reciprocamente perpendicu»lar
, y quando en ambos ocupa el ayre la distancia
media del tubo , está el instrumento orizontal en; toctos
sentidos.,
J¡¿ 88: Para nivelar distancias largas se usa comunmente
de otro instrumento llamado nivel de agua ,
que consiste en un cañón como NY fig. 12 de tres
á quatro pies de largo y pulgada y mediat de diámetro
, torcido perpendicularmente en sus extremos
NE , VY , en donde se ponen dos vasos cilindricos
de vidrio , bien unidos al canon con vetun ó pez ,
de modo que por la junta no se pueda salir el agua.
En la medianía del cañón NY se halla, una virola L
á cuyo al rededor gira el instrumento sobre una asta
de madera LD de quatro pies de largo que se fixa
en el terreno* .-4-
89

f\
42
J 89 Para principiar las operaciones con este instrumento
se fixa en el punto que conviene, y allí mismo
se llena de agua el cañón por uno de los orificios
de ios vasos hasta una pulgada poco mas ó menos
de sus extremos , y aguardando algún tiempo
para que el agua repose, se tiran después las 'visuales
del modo siguiente.
90 En el término á donde se dirije la visual se
pone una regla larga, perpendicular quanto sea posible
al orizonte , á la que se aplica una tablilla blanca
con una señal negra en medio que pueda subir
y bajar libremente por toda la longitud de la regla.
Pradicadas todas estas prevenciones se dirije la visual
EV rasante á la superficie del agua en ambos
tubos ., haciendo señal al que tuviere la regla para
que suba ó baxe la tablilla hasta que la señal negra
se ajuste á la visual.
91 Quando el nivel se coloca en uno de los términos
de la nivelación , se llama la visual nivelada
simple. Si se pone entre los dos términos y de un'">
mismo punto se dirige la visual á ellos , se. dice
nivelada doble. Si la nivelación de dos puntos se
hace con sola una estación , se llama nivelamiento
simple , y esto sucede quando un término no dista
de otro mas de 120 brazas; pero si es preciso hacer
dos ó mas estaciones , por estar un término de
otro á mayor distancia que la expresada, se dice
nivelamiento compuesto.
92 La nivelación sirve para averiguar quanto
un término estk mas elevado que otro. Aquel en
que principia la nivelación se llzxtuxHérmino primero,
Y
43
y el otro á donde se dirije término segundo. Estas
prádicas sobre el terreno se hacen en dias claros
y serenos para que el viento no cause movimiento ai
agua.-f—
, PROBLEMA Fig. 12.
jX 93 Hallar quanto el término B está mas elevado
que D.
RESOLUCIÓN.
Supuesto que la distancia DB no excede de 120
brazas , se pondrá el nivel en D y la. regla perpendicularmente
en B , y llenando de agua el nivel se
dejará que esta repose, y después se dirijirá la visual
EVO por la superficie del agua de uno y otro vaso
, y acomodando la tablilla dé' suerte que la señal
negra se ajuste al punto O , se medirá la altura BO*.
y suponiendo que se halló de 3 \ pies se restará de
la altura DX r: 5 pies, y el residuo 1 \ pies es lo
que el término B está mas elevado que el término D.
ESCOLIO Fig. 13.
94 Si la distancia AB fuere 220 brazas pocO
mas ó menos , se hallará la diferencia de las alturas
por una nivelada doble , del modo siguiente.
Póngase el nivel en D , mitad de la distancia
AB , y en el término A la regla con la tablilla , y dirigiendo
la visual VEH se medirá la altura HA , y
suponiendo que sea de 9 pies y 4 pulgadas se notará
esta medida. Pásese'la regla á B , y diríjase
Ja visual EVO , y midiendo la altura BO que supongo
sea de 3 pies y 1 o pulgadas , se restará esta
G de

34
de la primera , y el residuo 5 pies y 6 pulgadas es
lo que el término B está mas elevado que el término
A.
PROBLEMA Fig. 14.
95 Nivelar los términos A y B supuesta la distancia
de uno á otro de 070. brazas-, poco mas ó menos.
RESOLUCIÓN.
Siendo la distancia AB de 670 brazas , es forzoso
que el nivelamiento sea compuesto , y así se
harán seis niveladas simples , ó bien tres dables, que
es lo mejor : para lo qual se dividirá la distancia
AB en tres partes iguales, poco mas ó menos, en
los puntos C y D. Póngase una regla en A y otra
en C , y el nivel en medio en E , y las alturas que
se hallaren de los términos primeros se escribirán en
una coluna , y las de los términos segundos en otra,
y así póngase en la primera coluna la altura AH-,
que supongo se halló de 9 pies y 6 pulgadas , y
en la segunda la altura CL , que se encontró de 3
pies y 8 pulgadas.
Para la segunda operación téngase fixa la vara
en C : póngase otra en D , y en medio el nivel en
F , y dirigiendo la visual quedará determinada la altura
CM , que supongo se halló de 7 pies y 2 pulgadas
, que se escribirán en la primera coluna , y en
la segunda él del segundo término DN , que se halló
de 2 pies y 5 pulgadas.
Para la tercera operación se hará lo mismo, y
supuesto que se halló la altura DP — 6 pies y 9 pulgadas
y y BO — 4 pies, y 4 pulgadas , se escribirá
cada
45
cada una en su correspondiente coluna . y sumándolas
se tendrá en la primera 23 pies y 5 pulgadas,
y en la segunda 10 pies y 5 pulgadas : réstese esta
de,la primera, y el residuo 13 pies es lo que el término
B está mas elevado que A. -j~
AH
CM
DP
Coluna primera
Pies.
.9 .
• 7 •
. 6 .
Suma... 23
Palgs.
. 6. .
. 2. .
. 9. .
Coluna segunda.
CL .
DN .
BO .
Pies.
• 3 •
. 2 .
. 4 •
10 .
Pulgs.
. 8.
• 5-
. 4.
Sino se quisieren hacer las colunas bastará notar
las alturas AH", LM , NP , y de la suma de estas
restar la BO.
ESCOLIO Fig. 15.
96 Si la distancia AB es de 460 brazas , y no
se pudiere pradicar la nivelación por niveladas dobles
se ejecutará por quatro simples , para lo qual
se eligirán los puntos C , D , F , de suerte que la
nivelada simple no exceda de 120 brazas , y poniendo
la regla en A y el nivel en C , se dirigirá la visual
EG , y se notará la altura AG : pásese el nivel
á D y la regla á C : tírese la visual HL , y nótese
la altura CL : póngase el nivel en F y la regla
en D , y guiada la visual MN quedará determinada
la altura DN : finalmente póngase el nivel
G 2 en

4*5
en B y la regla en F , y con la. visual OP se determinará
la FP , y supuesto que se halló AG zz 7 pies
y 4 pulgadas : CL = 6 pies y 9 pulgadas : DN —
8 pies y 2 pulgadas y FP =: 8 pies, será la suma
30 pies y 3 pulgadas, de la qual restando las qua-.
tro. alturas del nivel , que á 4 pies y 6 pulgadas
cada una , componen 18 pies , será 12. píes > y 3
pulgadas lo que se eleva B sobre A.
Lo mismo se hallará, descendiendo desde B hacia
el otro extremo JQ
PROBLEMA'Fig.. 16.
97 Representar las alturas y profundidades de
ma campaña , que se hallan en. el plano^ vertical que
pasa, por la línea AB.
RESOLUCIÓN.
Señálense sobre dicha línea todos los puntos
C , D , E &c. en que se conociere desigualdad de
altura , y por los problemas antecedentes se hallará
lá de cada punto respedo al término A , y midiendo
las distancias orizontales AC ,. CD , DE &c. entre
punto y punto , se notarán , y en su correspondencia
la altura de cada uno sobre el punto A. Hágase
una escala de brazas , varas , pies &e. como
se dirá en el capítulo, siguiente , y tirando sobre el
papel una re.da a b , que tenga igual número de partes
de la escala como brazas, varas , pies &c. contiene
la orizontal del terreno AB , se transferirán
sobre, ella las demás: orizontales , y levantando en
sus. divisiones las. perpendiculares^ correspondientes á
.-• cada.
I 47
& cada punta de los señalados, se guiará por sus extremidades
una línea , y esta representará el perfil,
que pasa por la línea AB.
CAPITULO TERCERO-
DE LA CONSTRUCCIÓN DE LA ESCALA
de partes iguales , y su uso en las opera­
ciones-de la Plancheta-
98 T^Ara construir una escala de partes igua-
X les: tírese una reda AB fig. 17a discreción
, y en ella tómese una distancia AH r de tal
magnitud que pueda dividirse en cien partes iguales
, y esta se tomará el número de veces que convenga
: repítase pues ocho veces AH — H 100 &c.,,
y respedo que la distancia AH se supone divisible
en cien partes iguales , valdrá la. AB 90a de estas
mismas partes. .
99 Para dividir la AH en 100 partes iguales :
divídase primero en 10 T y serán estas H 10, 20 ,
30 &c. Para dividir una de dichas partes H 10
en 10 partes iguales.: levántese la AE perpendicular
á la AH y en ella tómense á discreción 10 partes
iguales á saber A 1 : 2 , 3 ¿ka.: determinada la
distancia AF , concluyase el redangulo AD , y tírense
las 9.9 , 8.8 , 7.7 &c. paralelas á la AB y las
HL , 100 H &c paralelas á la AE : tómese LF —
H—IO',. y tírese, la FH:. finalmente por las divisiones
1 o,

43
io, 2o, 3 o & c « tírense paralelas á la W y resultará
la escala AEDB , construida con las circustancias
prescritas.
DEMOSTRACIÓN DE ESTA PRACTICA.
SI se tira la Fio : resultará el redangulo io H
LF cuya diagonal es FH , y por ser la NT paralela
á FL por construcción , resultan los triángulos
HNT y HFL semejantes , y por consiguiente serán
proporcionales HT : TN :: HL : LF , y alternando
HT : HL :: TN : LF ; pero HT es TV de HL : luego
TN será -A de LF, que vale io partes de las 900
en que está dividida la AB : luego TN es una de
dichas 900 , y así de las demás , significadas por
la expresión de los números que se hallan en los extremos
de las paralelas 9.9 , 8.8 &c
Las paralelas á la diagonal FH son diagonales
de los nueve redangulos que pueden imaginarse, de
los quales cada uno de por sí es igual al H 10 FL,
y unidos á este componen el total AL.
100 La escala es muy útil para la pradica : las
resoluciones que por su medio se hacen se llaman
orgánicas : con ellas se reducen á menor expresión
ias figuras que están sobre el terreno, representándolas
sobre el papel con toda su semejanza , en cuya
suposición se .hacen, con facilidad varias preparaciones
y combinaciones de que resulta el conocimiento
de las lincas , superficies y ángulos que existen sobre
el terreno , infiriendo por semejanza en las figuras
^representadas en el papei, los mismos, valores que tienen
-V
49
nen las semejantes situadas sobre el terreno. Su usa
se hará manifiesto en los problemas siguientes.
APLICACIÓN DE LA ESCALA A LAS
operaciones de la Plancheta.
ior La Plancheta fig. 18 es entre los instrumentos
geométricos el mas sencillo y usado en la.
pradica : consiste en una tabla quadrada ó quadrilonga
apoyada sobre un sustentante de tres pies ,
como OM , y una regla ST llamada Bloc la qual en
una de sus superficies tiene para dirigir las visuales
dos pínolas verticales FR con sus hilos, de los-quales
uno ocupa la parto superior de la abertura y el
otro la parte inferior.
102 Este instrumento sirve para levantar el" plano
de qualquier recinto ó territorio de no mucha extensión.
Todas sus operaciones se dirigen, á formar
sobre el papel una. figura semejante á la que existe
sobre el terreno , haciendo sobre la plancheta triángulos
semejantes á los que forman las visuales en lacampaña
, reducidos á partes de la escala proporcionales
á las varas que ekdivamente tienen en. el
terreno..
PROBLEMA Fig. 18;
103 Medir una distancia- orizontal AB- sobre el
terreno. . sea accesible ó inaccesible».
RESOLUCIÓN.
Coloqúese la plancheta sobre su sustentante en
qual-

üM^p-BHi
S'o
qualquier punto M del terrero , y dispóngase de
suerte que su plano superior FQ coincida con el plano
orizontal que pasa por un punto m _ tomado á
discreción en la plancheta.
Apliqúese el bloc en dicho punto m , de suerte
que moviéndose sobre él como centro se pueda ver
por sus pínolas el objeto B , en cuya disposición se
señalará con un lápiz la reda mn , que prolongada
pasa por el punto B que está en el mismo plano
que PQ.
Sin moverse la plancheta gírese el bloc al rededor
del punto m hasta que por Jas pínolas se vea el
punto A , y señálese como antes en la plancheta la
línea indeterminada ms.
Diríjase del mismo modo y á discreción á un
punto de la campaña la visual mh . y señálese en la
plancheta su dirección mz.
104 Levántese -la plancheta dejando en el punto
M del terreno un piquete ú otra señal , y transfiérase
al punto O del terreno en el. qual se hará coincidir
el plano PQ con el orizontal , y que la reda
z m coincida también con la OM , lo que se llama
orientar la plancheta.
Mídase la distancia OM del terreno , y supuesto
que se hallo de 32 varas , tómese sobre la reda
mz la mo de 32 partes de la escala.
Apliqúese el bloc en dicho punto o . y muévase
hasta que por las pínolas se enfile el objeto B,
y nótese la dirección ot que cortará á la mn en el
punto X.
Gírese el bloc al rededor del punto o hasta que
por
St
por las pínolas se enfile el objeto A y señálese la dirección
, que cortará á la ms enel punto Y : tírese
finalmente la reda YX , con lo que quedará la figura
Y o m X representada en la plancheta , semejante
á la AOMB orizontal del terreno , y por consiguiente
incluirá la YX tantas partes de las iguales
de.la escala , como tiene varas la orizontal AB sobre
el terreno : de suerte que si la YX se halla de
42 partes de la escala , se dirá que la orizontal AB
es de 42 varas.
»
. * . »
DEMOSTRACIÓN.
105 Los triángulos Amo, Ymo son semejantes
por tener el ángulo o común y el ángulo Ymo
~ A mo , por construcción: luego tomo 2 § 124 serán
proporcionales om : ozm : : óY : oA : también por
$er el ángulo Y m o zz A m o , y el ángulo XtuorB
mo por construcción , será la Yw paralela á A», y
la Xf» paralela á Bf» : luego tomo 2 § 123 serán
om : mm : : oY : YA , y también om : mm': : ÓX : XB ,
y por consiguiente será o Y : YA :: oX : XB tomo 1
§ 146 : luego tomo 2 § 123 será Ja YX paralela á
la AB, y por consiguiente los triángulos oYX y oAB
son semejantes : luego serán proporcionales óY: o A
:: YX : AB ; pero siendo oY i o A :: om : ozm, será también
om : ozm : -: YX•: AB^.-esto es 32 partes de la
escala que vale om á 32 varas del terreno que vale
l*a ozm — OM , como 42 partes de la escala que va*le
la YX á 42 varas del terreno que vale la AB ,
que era &c.
H CORO-
\ís

______________.B_H.HI
COROLARIO.
106 Infiérese que con la misma operación de
medir una. distancia inaccesible AB se le tira una.
paralela , pues se. ha provado que YX resulta paralela
á la AB..
PROBLEMA'Fig. 19.
107 Medir la distancia AR accesible en su extre-^
mo B.
RESOLUCIÓN.
Oriéntese la plancheta en B , y elíjase sobre
ella el punto correspondiente b : diríjase la visual b A,,
y- marqúese su dirección bz : todo en la forma expresada
en el problema antecedente.
Diríjase la visual bH á qualquier punto H de la
campaña , y marqúese su dirección bs.
Transfiérase la plancheta á un punto o sobre la-.
BH , y mídase la distancia OB del terreno , y supuesto
que se halló- de 40 varas , tómese la- bo de
40 partes de la escala. Por el punto o diríjase la
visual o.A que cortará á la bz en el punto X , con
lo que resultará el triángulo oXb semejante al triángulo
O AB, y supuesto que bX sea de 43 partes de
la escata , será BA de 43 varas.
ESCOLIOS Fig. tg.
108 La distancia BO que se toma sobre el terreno
en cuyos extremos se coloca la plancheta para"
averiguar una distancia AB , se llama base y el pasar
la plancheta de su extremo O se llama estación»
Dicha base siempre ha de tomarse proporcionada á
_____•
_
53
la distancia que se ha de medir : porque de otra
suerte resultaría el ángulo BAO muy agudo , y su
correspondiente bXo caería fuera de la plancheta , y
si se terminase dentro no se podría distinguir el verdadero
punto X del concurso , por causa de la sensible
coincidencia de las líneas que forman un ángulo
muy agudo. Esto se manifiesta en la plancheta
PQ , en la qual la base BE del terreno es de 14
varas , y por consiguiente Ja be es de 14 partes de la
escala , con lo que se ve que el concurso r cae fuera
de la plancheta , y que el ángulo BAE es menor
que el ángulo BAO : esto es bre iH H 2 mis-

p^H
X
54
misma , ía qual viene á ser una parte integral de
qualquier instrumento de los que sirven para levantar
los planos sobre el terreno , como la plancheta,
semicírculo, .Grafómetro , ó Teodolite.
ni Las escalas deben proporcionarse según-las
distancias que se hayan de representar en la plancheta
: esto es que si las distancias son largas, las
escalas deben ser de partes menudas : porque no
siendo así todas las visuales se terminarán fuera de
la plancheta, ó la base no se podrá marcar en ella.
Todo lo prevenido anteriormente § § 103, 104
y los siguientes., se debe observar en cada estación,
y así quando se diga diríjase la visual 7 siempre se
debe entender por; las pínolas.
PROBLEMA Fig.. 20.
ii2; í Representar en la plancheta el plano de un
terreno '. esto es las situaciones que varios objetos tienen
entre sí en el terreno con distancias proporcionadas
á las que tienen en el plano orizontal, y por consiguiente
averiguar por la escala sus verdaderas distancias..
RESOLUCIÓN.
Si se ha de representar en la plancheta el plano
MACTYPF de un terreno con todos sus objetos
notables : se colocarán primero en la plancheta los
puntos mas. principales , por exemplo M, A,,C, Tr
para lo qual se tomará en el terreno una base XO ,7
desde cuyos extremos X , O se pueda descubrir eL
mayor número de objetos.
Oriéntese la plancheta en X y diríjanse las vii
, sua-
5>
suales XM , XA , XC, XT , á los objetos de la derecha
, y sin mover la plancheta diríjanse las visuales
XF , XP, XY á los de la izquierda, y señálense
las direcciones X1,. X2 , X3 , X'4», X5 , X6 , X7.
Oriéntese la plancheta en el extremo O de la
base XO , y suponiendo que es de 120 varas , tó-,
mese XO de 120 partes de la escala.
Diríjanse las visuales á los objetos antecedentes
, las que cortando á las ya señaladas, cada una
á su correspondiente , quedarán determinados en la
plancheta los puntos que en ella deben ocupar los
objetos situados sobre el terreno : á saber la visual
OM determina en Xí el punto m correspondiente at
molino M : la OA en X2 el punto a , situación del
árbol A , y así todos los demás , con lo que queda,
la figura Xmactoypf en la plancheta , semejante
á la XMACTOYPF del terreno : consta de la demos-tracion
dada § 105^
COROLARIOS Fig. 20.
113 Resultan también conocidos los valores détodas
las líneas del terreno, á saber OM, OA &c.
Om , Oa &c. : porque si ae quiere saber el valor de
dichas distancias , por exemplo el de MO , se tomará
en la plancheta su^Cornespondiente om , y se
verá que partes de la escala contiene, y supuesto
que contenga 126 se dirá que la distancia OM es
de 126 varas: y semejantemente se averiguará la
distancia que hay de cada objeto á todos los demás.
114 Para levantar un plano de qualquiera extensión
que sea, no es necesario medir predicamento

te mas que una base XO . pero debe medirse con
exáditud orizontal mente , aunque por las desigualdades
de las partes del terreno entre los extremos sea
imaginaria la línea que se considera base.
115 Teniendo representados en la planchen algunos
objetos principales del terreno . sirven estos
de dirección para representar por menor los demás
en la plancheta.
116 Queriendo tomar por base qualquiera de
las distancias conocidas , por exemplo la YF, para
poner en la plancheta otros puntos se deberá orientar
esta en los puntos Y , F , de suerte que la yf de
la plancheta coincida con la YF del terreno : pues
en tal caso todas las demás representaciones de la
plancheta quedarán paralelas cada una á su correspondiente
sobre el terreno , y lo mismo sueederá si
se hace coincidir la t m de la plancheta con la TM
del terreno.
ESCOLIO.
117 Quando en el plano hay un edificio que
representar en la plancheta , se tira primero en esta
la diagonal de dicho edificio , y sobre ella se traza
según las dimensiones que tuviere.
118 Igualmente se representan en la plancheta
los caminos , barrancos y rios : y así si se ha de
representar en la plancheta el rio N fig. 21, se tiran
dos redas colaterales AB y CD y se representará
en la plancheta la figura rediiínea ABDC , cuya representación
será abdc : tírense desde los puntos
mas notables del rio N perpendiculares á la AB ,.
como
57
como 1 , a , 3 -&c.: hágase lo mismo sobre la CD,
como X , X , X &c.: pásense las perpendiculares y
distancias proporcionadas en partes de la escala sabré
las ab y cd, y guiando curvas por las extremidades
de dichas perpendiculares , resultará la representación
del rio N en la plancheta , como se ve en
M. Por el mismo método se podrá colocar en la
plancheta un camino , pantano , ó barranco.
El plano de una ciudad se podrá sacar haciendo
las estaciones sobre sus torres.
119
cesible»
PROBLEMA Fig. 22.
Medir una altura BC sea accesible ó inac-
RESOLUCION.
Si la altura BC es accesible, mídase qualquiera
reda BR para base, que supongo sea de 44 varas.:
coloqúese la plancheta verticalmente sobre su;
sustentante en el extremo R de dicha base , de suerte
que el lado ss de la plancheta coincida con la.
orizontal : elíjase en la reda AX qualquier punto A
y diríjase la visual AC: tómense 44 partes iguales
de la escala , y pónganse desde A hasta P : en el
punto P levántese la perpendicular PZ , hasta que
concurra con la AC en el punto Z: veáse que partes
de la escala contiene la PZ , y supuesto que se
halló de S7 *. será la altura XG de 57 varas , á lasquales
añadiendo la altura XB del instrumento , se
tendrá, la altura total BC de la. torre MN.
DE:-

DEMOSTRACIÓN.
Los triángulos- AP.Z , y AXC son semejantes,
pues tienen Jos ángulos en P y en X redos y el A
común : luego serán» proporcionales AP : PZ :: AX :
XC : esto es 44 partes iguales de la escala que vale
la'AP , á 57 de la misma que vale la PZ, como
44 varas. que vale Ja AX — BR , á 5 7 varas que
vale la'XC.
120 Si la altura fuere inaccesible se pondrá la
plancheta en un punto R del terreno , como se ha
dicho , y se tirará la visual AC , y retirándose sobre
BR , se colocará del mismo modo la plancheta
en otro punto K : mídase la distancia RK , y suponiendo
que se halló de 36 varas se tomará la distancia
AT.de 36 partes de la escala; Tírese la visual
TC , que cortará á la AZ en el punto O : básese
la OH perpendicular á la TA , y véase quantas
partes de la escala contiene , y otras tantas varas
tendrá la CX: á que añadiendo la altura XB del
instrumento „ se tendrá la altura total que se busca.
DEMOSTR ACIÓN.
Los triángulos TAO, y TAC son semejantes:
luego tendrán susvbases y alturas proporcionales : esto
es TA: TA :: HO : XC , que era &c.
NOTA.
Sin embargo de la explicación dada en los dos
problemas que anteceden , debe advertirse que las
planchetas por la común no están dispuestas para situarlas
verticales , ni aun dado este caso puede tenerse
59
nerse seguridad de sus enfilaciones en esta posición:
pues como el bloc es pieza que no está unida á la
tabla del instrumento , será muy difícil mantenerla
sugeto al punto angukr y al objeto que se enfila , -y
así para medir tales ángulos verticales se hará uso
del grafómetro ó del teodolito cuyos instrumentos se
explicarán mas adelante.
PROBLEMA Fig. 23.
^Y 121 Aumentar ó disminuir un plano en qualquiera
razón dada , y hallar su escala correspondiente.
APLICACIÓN Y RESOLUCIÓN.
Sea el plano dado N , y se pide hacer otro
que sea quatro veces mayor. Tírese una reda AB
á discreción y de, ella córtese AC 23 AB , lado del
plano ó polígono N, y CD — 4 AB : entre AC y CD
hállese la media proporcional CE , y esta será un
lado homólogo , sobre el qual formando un polígono
M semejante á N, será 4 veces mayor que este.
DEMOSTRACIÓN.
El polígono N al polígono M , es como AB zz
AC á CD tomo 2. § 200 : luego siendo AC = ^ CD,
será N = TM, que era &c.
122 Para hallar la escala correspondiente, véase
quantas partos contiene el lado AB de la escala con
que se formó el plano N , y. suponiendo que sean
100.se dividirá el lado CE en igual número departes.
Fórmese luego una escala que tenga tantas partes
de las iguales en que está dividida la CE , como
I par-
••u

6o
partes contiene la escala del plano N ,'. y esta guardará
igual proporción para determinar todos los lados,
del plano. M..
CAPITULO QUARTOí
DEL SEMICÍRCULO. CON APLICACIÓN
de., la..trigonometría á.su uso. en las ope­
raciones prátlicas..
' * 2 3 1-7* L Semicírculo fig. 26 es también uno>
j_Q¿ de los instrumentos de que se hace
uso freqüente para la pradica sobre el terreno. Porlo
general se- construyen de latón-, de 1 8 á 24 pulgadas:
de diámetro ,. dividida su circunferencia erigrados
enteros ó en medios grados. En, su centrotiene,
una regla XZ con libre movimiento orizontal ,.
que equivale al bloc de la plancheta y se llama alidada.
Esta tiene en sus extremos dos. pínolas paradirigir
por ellas las visuales , que pasando por el:
centro L del semicírculo se dirigen á los objetos que
han de marcarse* A mas de estas pínolas. tiene otrasdos
VT situadas en los extremos del diámetro, para
alinear por ellas el instrumento en la dirección de
•Jábase, á cuyo efedo se arma sobre un sustentante
de 3 á 4 pies de alta , al modo* que la plancheta.
La inteligencia, de su uso se hará mas fácil con, la;
aplicación á los problemas siguientes.,
RE-
\
6t
PROBLEMA Fig, 26.
124 Se pide formar sobre el terreno w ángulo
qualquiera dado.
RESOLUCIÓN.
Si en el punto L de la reda LA se quiere formar
un ángulo de 40 grados , se pondrá el centro
. del semicírculo en L , de suerte que por Jas pínolas
del diámetro VT se vea el punto A , y poniendo la
- alidada á los 40 grados, se tirará la visual XLB, y
el ángulo BLA será de.40 grados.
Si se hubiere de levantar una perpendicular se'pondrá
la alidada á los 90 grados.
125 Para hacer esta operación sobre el papel
se hace uso de un semicírculo graduado fig. 24
y 25 , cuyo radio LT se ajusta sobre la línea con
que ha de formarse el ángulo , y señalado el punto
Z, correspondiente al número de grados de que hubiere
de ser el ángulo , contando desde T á Z , se
tirará la línea LZ , y quedará .formado el ángulo que
se desea. Estos semicírculos se hacen de talco ó latón
, advirtiendo que los de la primera especie trasparente
son enteros , y los de latón están vaciados
dejándoles una semicorona , donde se halla la graduación
señalada , como se representa en sus respectivas
figuras 24 y 25.
PROBLEMA Fig. 26.
126 Dado un punto B sobre el terreno tirar por
él una paralela á la re&a VA.
I2 RE-

62
RESOLUCIÓN.
En qualquier punto L de dicha reda póngase
el semicírculo, de suerte que por las pínolas del diámetro
VT se vea el punto A , y por Jas de Ja alidada
el punto B , y nótese el ángulo BLA : poniendo
luego el semicírculo en B fórmese el ángulo LBR
— BLA , con lo que se tendrá la RB paralela á VA,
por ser los ángulos en B y en L alternos é iguales
tomo 2 § 39 , que era &c.
X
PROBLEMA Fig. 27.
127 Medir la distancia A B , accesible solamente
en el punta B.
RESOLUCIÓN.
Póngase el semicírculo en el punto B , de suerte
que por las pínolas del diámetro se vea el punto
A , y por las de la alidada qualquier punto L en
la campaña , y nótese el ángulo ABL, que se supone
sea de 30 grados : mídase sobre el terreno una
distancia qualquiera como BL de 457 pies : pásese el
semicírculo al punto L , de suerte que por las pino- 1
las del diámetro se vea el punto B, donde se colocará
un piquete en lugar del instrumento , y por las
pínolas de la alidada marqúese el punto A , con Ja
que quedará determinado y conocido el ángulo ALB,
y suponiendo que se halló ser de 100 grados se tendrá
un triángulo ALB, cuya base LB se conoce de
457 pies, y los ángulos adyacentes B = 30 grados
y Lrrioo : luego resolviendo dicho triángula del
modo explicada- § 41 se hallará la distancia A B zz
588 pies. ES-
63
ESCOLIO.
128 En semejantes prádicas se han de observar
dos cosas : la primera que Tos ángulos na sean muy
agudos , y la segunda que la base BL que se mide
sobre el terreno tenga competente proporción con la
distancia que se busca , porque de otra suerte pudiera
ocasionar considerable error.
x 129
PROBLEMA Fig. 28.
Medir una distancia AB del todo inaccesible.
RESOLUCIÓN.
Coloqúese el semicírculo en qualquier punto F
del terreno, como en los problemas antecedentes , y
dirigiendo las visuales FA y FB y á qualquiera punto
de la campaña la FL, se tendrán conocidos los. ánx
, y , que se anotarán.
Mídase la base FL , y suponiendo que sea de
800 pies , coloqúese el semicírculo en el extremo L,.
y dirigiendo las visuales LA y LB , se conocerán
los ángulos R , Z , con lo que se hallará por trigonometría
la distancia AB , como sigue.
En el triángulo LBF se tiene conocida la base
LF , el ángulo z y él BFL ZZJKM^X i luego por lodicho
§ 41 se hallará la distancia BF.
Del mismo moda se hallará la distancia FA resolviendo
el triángulo FLA : pues en él se conoce la
base LF , y los ángulos adyacentes \FL zz y , y A
LF = R -H Z : finalmente en el triángulo AFB , conocido
el lado FA , él FB y él ángulo x comprendido,
se hallarán los ángulos A y B & 48 y la distao-
[

íancia AB § 41 , que era lo que se pretendía.
)C • t i b i e *
130
. PROBLEMA Fig. 29.
Medir una altura AB sea accesible 4 inacce-
I| p_^____________________________________________________________________________________________________________________________j
RESOLUCIÓN.
Si la altura fuere accesible mídase sobre el terreno
una base AK : coloqúese el semicírculo en el
punto K apoyado en su sustentante , sobre el qual
se dispondrá de suerte que el diámetro VT quede en
situación vertical, y por consiguiente pasará la orizontal
por los 90 grados. Diríjase ia visual LB , y
-quedará conocido ei ángulo BLD n: R , con lo que
£fi el triángulo BLD se tiene conocido el ángulo R ,
el D por redo _ y el Jado LD , y con estos datos se
hallará la altura DB por lo demostrado § 45.
Si la altura AB fuere inaccesible se colocará
como antes el. semicírculo en qualquier punto K, sobre
el terreno , y en él se medirá una base KH, y
dirigiendo la visual LB , se notará el ángulo R : transfiérase
el semicírculo al punto H , y dirigiendo la
visual OB resultará el triángulo OBL , en el qual
quedan conocidos la base OLrzHK, el ángulo BO
L —y , y el ángulo BLO complemento del ángulo
R á dos redos : Juego se hallará el lado LB § 41.
Conocido el lado LB que es ipotenusa del triángulo
redangulo LBD , y el ángulo R, se hallará
ia altura DB .§ 44, á que agregada la altura del instrumento
LK se tendrá la inaccesible BA desde el
punto B hasta el punto A , que se halla en el mismo
plano orizontal qué el instrumento.
ES-
6$
ESCOLIO Ftg3 29.
131 Si la. altura que se ha de medir fuere como
BQ ,, que está sobre un monte , se medirá como
antes la altura total- AB ir AQ *-+- QB , y midiendo»
después la altura del monte se restará de la total , y el
residuo será la altura de la torré que está visible.
132 El semicírculo en la forma que va explicado
no tiene la mayor exáditud , de modo que cor»
él solo podrá operarse para situar objetos poco distantes
: su alidada llevándose á mano no puede tener
un movimiento tan suave y lento como conviene
: su graduación tampoco puede tomarse sin yerro
de algunos minutos , quando solo tiene la alidada
una línea con que señalar el ángulo , como porlo
regular sucede , y finalmente si los objetos están
muy distantes no pueden determinarse bien con lat
simple vista. A mas de esto no todos están dispuestos
sobre una nuez ,, para que girando- ea su contorno
puedan variar las posiciones y tomar la vertical,,
sin cuyo auxilio no puede servir para medir las alturas
, según se acaba de explicar : todos estos inconvenientes
evita el grafómetro y con mayores ventajas
el teodolite ,. de cuyos dos instrumentos vamos> á
dar su explicación, y uso en el capítulo siguiente..
CAPITULO QUINTO»
DEL GRAFÓMETRO Y TEODOLITE.,
E 133- L Grafómetro fig. 3a y 34 es un se*niicírculo
semejante al explicado,.que;
se
i

66
se arma también sobre un sustentante de tres pies,
y tienen todos una nuez X para situarlo verticalmente
y medir los ángulos de elevación. Su limbo está
dividido en grados ó medios grados, y su diferencia
del semicírculo ordinario consiste en que tiene
dos anteojos : uno de ellos AB se halla de firme,
fixo en la parte inferior del instrumento, situado de
tal forma que el exe de su cilindro corresponde verticalmente
al diámetro del semicírculo ó algo apartado
; pero en situación paralela á dicho diámetro :
el otro CD está colocado sobre la alidada;con libre.
movimiento vertical , que facilita elevarlo ó abatirlo
un corto número de grados, según convenga para
descubrir los objetos. Cada uno de estos anteojos
tiene dos hilos perpendiculares que se cortan en el
centro del anteojo , de modo que quando el uno está
situado vertical, queda el otro orizontal : estos
hilos sirven para Ja redificacion del instrumento y
la mas exada medida de los ángulos. Para lo primero,
dirijido el anteojo inferior AB á qualquier objeto
, (que se procurará sea tal que lo cubra el hilo vertical)
se pondrá la alidada de modo que su división
media corresponda á la graduación cero del semicírculo
, en cuya disposición se mirará por el anteojo
superior CD , cuyo hilo vertical debe quedar también
dirijido al mismo objeto que cubre el hilo del
anteojo inferior , y en este caso se dice que el instrumento
se halla redificado ; pero si no lo estubiere
se conseguirá por medio de una pequeña llave H
como de relox , que aparta ó acerca el pequeño cir.
culo interior donde están situados los hilos, hasta lograr
V
'6>
grar la coincidencia de los de uno y otro anteojo*
con un mismo objeto , ó bien se moverá la alidada
hasta tener esta coincidencia y entonces los minutos
que se hubiere apartada de cero será la corrección
que ha de hacerse á los ángulos que se tomen
por defedo ó por e>x«jeso : esto es si la alidada quedase
fuera de la graduación desde cera hacia la derecha
del que mira ( á cuyo efedo se halla esta continuada
sobre los 180 grados ) se restarán los minutos
de la corrección de los ángulos que se midan
, y si quedasen á la izquierda se añadirán. Algunos
de estos anteojos tienen dos brazos salientes
diametral mente opuestos , que enroscan en la misma
pieza interior donde están colocados los hilos , y
sirven también para moverla hacia uno ú otro lado
quando se redifica el instrumento , sirviéndose de la
llave aplicada al brazo que conviene.
134 La alidada gira sobre el centro del semicírculo
, y para que esto se haga suavemente se afirma
en el limbo del grafómetro y en la misma alidada
una rosca orizontal , por cuyo medio se mueve
aquella suavemente , siendo preciso llevarla antes á
mano , hasta que el objeto que ha de marcarse se halle
en el campo del anteojo , después de lo qual sirve
la Tosca referida para afinar la marcación. Semejantemente
se hace girar todo el instrumento sobre
un exe para dirijir el anteojo inferior : para esto
comprimiendo el tornillo contra el instrumento se
aparta el resorte y con él la rosca infinita que sirbe
para afinar las marcaciones del anteojo inferior,
K en-

HJ
6a
engranando sus espiras en las que tiene el circula.
En la alidada se halla la división de Pedro Nuñez-,
á que vulgarmente llaman Nonio-, y esta facilita que
no llegue á uno ó dos minutos el yerro de- los ángulos
que se marquen, según fuere Ja mayor subdivisión
de los grados del semicírculo ( a ).
- 135 Para medir con este instrumento los ángulos
, después de bien afirmada, en, el sustentante por
medio de los tornillos E y F , para que no tenga
vibración ni alteración-, y situado el instrumento orizontal
en un extremo de Ja base, se dirije el anteojo
inferior AB al otra extremo, de moda que su hilo
vertical coincida con el objeto puesto en él, que regularmente
es un piquete. Para dar este movimiento
á todo el instrumento por mayor , se comprime la
rosca K contra el instrumento ,. y apartándose- por
este medio el tornillo L, cuyas espiras engranan ea
las,
(a) La división dé Pedro Nuñez consiste en di^
vidir la extensión de 19 grados del arco en 20 partes
iguales, que se señalan en la alidada,. por mitad
á derecha é izquierda del punto medio , y la división
de estas que coincide- justamente con lá dei arco,
señala los minutos , con tanta exádiitud que- el yerro
no puede llegar á una, suponiendo dividida la graduación
de 20y en 20 minutos.
Esta división- es diversa en algunos instrumentos
'. en ei grafómetro que se halla en la escuela de este
• Real Cuerpo del Departamento- de Cartagena, está el
semicírculo, dividido de grado en grado y la alidada 1
com-!-
f
69
las de la rueda N , quedan estas mutuamente separadas
, y puede el instrumento moverse en contorno
de su pie O hasta dejarlo en una dirección próxima
á la que debe tener el anteojo AB , y entonces
afloxando el tornillo K obra el resorte contra la
rosca L , y la obliga á engranar sus espiras en las
de la rueda N , en cuyo caso sirviéndose del tornillo
L, se da al instrumento un lento movimiento en
el sentido que conviene para que el hilo vertical del
anteojo AB quede perfedamente dirigido al extrema
de la base ó al objeto á que se mira. Moviendo
después la alidada hasta descubrir por el anteojo superior
CD el otro objeto , cuyo ángulo ha de medirse
, de modo que también se halle cubierto con sus
hilo vertical, los grados y minutos que señalase la
alidada , darán el ángulo que forman las dos direcciones
; mas para asegurarse de que el instrumento no
tuvo
comprende la extensión de 7 grados dividida en 15
partes iguales , de cuya combinación resulta que en la
coincidencia de las líneas del semicírculo con las divisiones
de la alidada se tienen los ángulos de dos en
dos minutes , de modo que no podrá llegar á este nútuero
el yerro que produzca este instrumento. El teodolite
que tenemos en la escuela de este Departamento,
tiene su división de medio en medio grado , y comprendiendo
la graduación de la alidada hacia una parte
1 4 \ grados divididos en 30 partes iguales, da los
ángulos por mit,utos , no pudiendo llegar á uno el yerro
de Jos que se midan.
Ka

7°
tuyo alteración en su posición primera, se observará
si cada anteojo está dirigido á. su correspondiente
objeto : este examen se hará en todas Jas, operaciones
que se pradiquen con el grafómetro , pues, por
su medio se logra estar seguro de la exáditud de Jos
ángulos que se miden. También será conducente repetir
su redificacion después del trabajo , para asegurarse
de que. Jos hilos verticales de uno y otro
anteojo, permanecen en. un mismo plano , ó que no
han tenido alteración los minutos, del desvia , hallados
en el principio.,
136 Todos los, ángulos: que se midan se irán
anotando, con distinción del extremo, de la base en
que se hubieren tomado , y con determinación clara
de los objetos á. que corresponden, y hecha en cada
una la corrección antes expresada, para el caso
de que el instrumento no se halle redificado , por
su medio y la medida de la base se hallarán las distancias
de los, extremos de esta á los objetos marcados
, valiéndose de los problemas dé Trigonometría
ya explicados, en. la tercera parte de este Compendio-.
137 Con el auxilio; del movimiento vertical que
tiene el anteojo superior , puede medirse el ángulo
orizontal entre dos objetos aunque uno de ellos se;
baile en sitio baxo , y el otro, en punto elevado..
138, De este instrumento puede también hacerse
Uso, para medir los ángulos verticales entre dos objetos
,. i cuyo efedo se situará el grafómetro verticalmente,
girándolo al rededor de la nuez X , hasta dejarlo,
en dicha posición ,. sirviéndose de un aplomo
que
\ \
7r
que pase por los 90 grados:, y entonces quedarán
orizontales los hilos que antes estaban verticales. , y
dirigiendo, el anteojo fixo á uno de los objetos., cuyo
ángulo. verticaL ha de medirse, se. situará de modo
que lo corte el hilo- orizontal, y moviendo la alidada
hasta que el hilo orizontal de su anteojo coincida
con el otro, objeto , se tendrá el ángulo que forman
ambas visuales , observando siempre la anterior
prevención de mirar por uno y otro, anteojo ,. para
asegurarse de que se hallan dirigidos á sus respedibos
objetos : también debe advertirse que ei anteojo»
fixo. se ha de dirigir al. objeto mas baxo_
DEL. TEODOLITE Y SU USO-.
139 El Teodolite fig. 3r ,. 32- y 33 es un* instrumento
semejante al grafómetro ya explicado , pelo
mucho mas perfedo „ por la notable ventaja de qua>
pudiendo aquel servir únicamente para medii: ángulos
que entre sí forman dos objetos fixos , por medio
de este pueden también medirse los formados entre
un punto fixo y otro movible „ kx que es-.de mucha
ventaja como se dirá después...
140 Esto instrumento, contiene en su limbo un
círculo entero , y la alidada es el diámetro- de otro
círculo- concéntrico y tangente al primero,, con libremovimiento
orizontal , que le comunica un piñón vertical
A, cuyos dientes engranan en, los que tiene la;
misma alidada en su circunferencia ,. y por su- medio
se mueve esta ,. lenta ó; velozmente según; con--
"vdene,, y en ambos, sentidos-- EL circula inferior, estái

7'2'
tá dividido en grados y medios grados, desde cero
hasta 360., y en la alidada-solo tiene Ja graduación
del nonio para la mas exáda medida de los ánguJos
por minutos _ para cuya redificackai se halla el nonio
repetido en la parto opuesta de la alidada: sobre
esta tiene un anteojo BC al modo que el grafómetro
; pero situado en el diámetro de un semicírculo
graduada, ó en posición parale la al mismo diámetro
con libre movimiento sobre su -centro, por cuyo
medio y los tres niveles de ayre D , que también
tiene este instrumento, puede usarse para Jas observaciones
astronómicas , midiendo con él Jas alturas
de los astros. En la parte inferior del limbo , y en
fa dirección dei diámetro donde da principio la graduación
tiene otro anteojo EF de firme , que es ei
que silbe parala enfiíacion de la base, el qual se halla
ó deve hallarse en el plano vertical del anteojo
superior -quando la alidada está en cero, lo que se
examina y corrige en el modo explicado para los anteojos
del grafómetro.
141 Algunos suelen tener este anteojo de quita
y pon , para situarlo en Ja circunferencia dei instrumento
á distancia de 90 grados del principio dé
la graduación , en cuya forma queda pándelo al anteojo
mobible quando la alidada se halla en cero,
sirviendo este ó el inferior para dirigirlo según la base
, y el superior á los varios objetos cuyo ángulo
ha de medirse.
142 Para nivelar esto instrumento sirven quatrO
tornillos verticales X fig. 33 , por cuyo medio se
suspende ó baxa el instrumento hasta que los dos nivel
es
73
veles de ayre D fig. 32 queden en su debida situación.
143 Tanto el: semicírculo- como el grafómetro»
y teodolite , tienen por lo regular una aguja de ma»*
rear en- media del instrumento , la qual sirve para
señalar el rumbo á que corre la base, y según es*
te situar los puntos del plano en su verdadera posición
respedo al meridiano , lo que se. llama orientar
los planos ; pero este exíje hacer la corrección correspondiente
de la variación que la aguja tuviere ,.
cuyo estudio HO es del objeto- de esta obra ; mas:
podrá hacerse en los: tratados de navegación.
144 La- principal ventaja de esto instrument9>
sobre el grafómetro consiste en que moviéndose ori*zontalmente
el anteojo superior hacia una y otra parte
por medio de su piñón A T y con mucha véloeidad
si conviene , puede conservarse constantemente
en el anteojo qualquier objeto movible para determinar
sus ángulos en qualquier momento ,. y por este
medio levantar ei plano del fondo del mar , por
lo que hace á la asignación de la distancia de sus puntos
á la orilla , con toda precisión^
145 Para esta se requieren dos teodolites sítua*dos
en los extremos de una base , cuyos anteojos;
fijos se dirigen recíprocamente al otro*extremo,.y con,
el anteojo movible; se procura conservar constantemente
cubierto con el hilo vertical un objeto á que
entrambos deben dirigirse, que podrá ser alguna
vandera izada con andarivel en: el tope del palo- dealguna.
embarcación, comisionada á sondar en. varios.
gum-
{

74
puntos del fondo t cuyo piano se pretende levantar.
546 Cada uno de los dos observadores y el que
se hallase en la embarcación para sondar , tendrán
un relox ordinario , pero arreglado de modo que todos
tres anden iguales , es decir señalen la misma
hora , y será el cuidado del que sonda anotar la hora
y minuto en que lo ejecuta , á cuyo mismo instante
se arriará prontamente la señal del tope : y
suponiendo que los observadores de tierra mantendrán
sus anteojos dirigidos á la misma señal , anotarán
también el instante de su relox al tiempo del
descenso de la vandera , y la graduación que señalase
el instrumento en aquel punto: y como quiera
que desáe aquel momento hasta que la embarcación
que sonde dé segunda escandallada , han de pasar
algunos minutos, mas ó menos según se estime conveniente
repetirlas , -será este intervalo suficiente para
que no quepa equivocación en unos y otros , para
conocer por la hora que anotarán todos tres, á
que escandalladas corresponden los ángulos medidos.
Y por tanto los puntos que de ellos resulten por el
cálculo serán exádamente los mismos que se tuvieran
si las marcaciones se hubieran dirigido á algún
objeto de tierra, y podrá tenerse formado este plano
con las notas de bracesge y fondo hallado por
el que hubiere sondado, de cuyo cargo será anotar
estas circunstancias.
147 Solo resta advertir que quando por algún
incidente quedase duda á alguno de los observadores
de la exáditud del ángulo medido, debe indicarse.
- 7S
se esta circunstancia en su respediva marcación pa-.
ra no contar con ella , mayormente si se advirtiese
que el punto resultante por el cálculo discorda notablemente
de los demás.
148 El método antes explicado para levantar el
plano dei fondo del mar, da bastante luz para levantar
el de una bahia , puerto ó rada , ó el de una
costa : pues todos los puntos fixos como puntas, cabos
&c. pueden determinarse por los métodos explicados
, y los baxos poniendo en ellos bausas con pequeñas
vanderas _ sirviéndose de dos instrumentos
para fixar la marcación á un determinado instante,
que podrá tenerse por una -señal momentánea que se
haga en uno de los extremos de la base : restando
solo advertir que el buen fondo y los baxos se señalan
en el modo que se dirá mas adelante, y la cantidad
del fondo, por brazas , aunque será mejor expresar
en esta forma él de las sondas de puertos , y
él de Jas dársenas én pies.
Para evitar la prolixidad de calcular los lados
de los triángulos que resultan de las marcaciones hechas
con el teodolite desde los extremos de una base
, sirve un instrumento fig. 35, reducido á un círculo
de latón cuyo limbo tiene igual división que
el teodolito : sobre su centro gira una alidada con
su nonio en uno de los extremos, de modo que por
su medio se trazan los áqgulos por minutos, igualmente
que con el teodolite : en el plano inferior del
círculo de latón sobresalen 4 pequeñas puntas, que
sir-
1

*v
1
76
_ sirven para que introducidas en el papel no se- deslice
sobre este el intrummto quando se mueva la alidada
: y en los extremos de esta por la parte inferior
sobresale otra punta semejante, que se apoya mas
6 minos con un tornillo , y sirve para señalar en
el papel el punto que da la dirección de los ángulos
, para lo qual se hallan aquellos colocados en la
misma dirección del diámetro : y para que al sentar
el instrumento sobre la base quede esta debaxo
del diámetro de aquel, tiene un cri*¡tal en el peqaeño
círculo dd centro , y en el d; este dos rayas
trazadas sobre el mismo cristal cuya intersección es
el centro del instrumento , de modo que puesta la
alidada sobre la graduación 360, y situando el círculo
de forma que su centro caiga sobre un extremo
de la base , y sobre la misma reda el grado
360, se va trasladando la alidada á Jos mismos grados
de las. marcaciones hechas con el teodolite , y
apoyando el extremo de la alidada sobre el papel;,
quedan señalados^ los puntos , por los quales trazando
líneas que-se dirijan al centro., y pradicando Ja
mismo en el otro extremo de la base , la intersección
de unas y otras dan la- posición de los objetos
marcados , y por este medio se consigue trasladar
brevemente al papel, loa notables del plano que se>
pretenda levantar..
CAPI-
CAPITULO SEXTO.
DEL MODO DE DELINEAR T LAVAR
los planos.
7T
149 I) Ara distinguir fácilmente las partes de los
A planos , perfiles &c. se representan estos
con diferentes colores á que llaman lavar planos,
cuyas reglas naturales ó de conveniencia se explicarán
brevemente en los artículos siguientes,
ARTICULO I.
DE LOS COLORES SIMPLES Y COMPUES-
tos , propios para delinear y lavar los planos.
150 OS colores simples de que ordinarial_v
mente se hace uso para el diseño y
lavado de los planos son los siguientes : Carmín, Gutagamba
, Verde de gris líquido , índigo ó Añil fino,
Extraño de regalicia y Tinta de china , de los quales
se discurrirá en particular.
151 El Carmín es de color roxo , y el mejor es
el que viene de Paris en polvo muy fino : deslíese
en agua goma con un pincel ó con la yema de un
dedo , observando no hacer mas porción que la que
se juzgue precisa , porque cada vez que se deslié se
obscurece ó pierde de su bondad : este color sirve
para tirar las líneas que representan un grueso de
L 2 cal

p
-^ (^T ~^
78
cal y canto , y lavar todas las, obras de esta, mate-rria..
152 La Gutagamba es. una goma resinosa, que
se trae de Ja India : la mejor es de un amarillo subido,,
suave y sin arrugas,: deslíese frotándola, en. una basija
ó. concha con agua común , hasta que toma et
color necesario , y es de grande uso. en los diseños,
de fortificación , particularmente para lavar los proyedos
y todas las. obras que se. hacen para. un. sitio,,
como trincheras , ramales. &C*..
153 El Verde de. gris líquido ó color de: agua „
si. es bueno, ha. de tener un color azul celeste que:
no tire á verde.. De este se. usa para representarlas
aguas , echándolo en. una. pequeña: vasija ó concha
y dejándolo, por algún tiempo al viento-si estubiese
desvanecido , ó añadiéndole una. poca dé agua
quando. está fuerte : su preparación, es como sigue..
Mézclense dos onzas. de: cardenillo ,. media de cristal
tártaro , el grueso, de una avellana-: de goma arábiga
, un poco de piedra alumbre y dos; quartillos
de agua , y puesto, todo lo dicho» á herbir en una
olla nueva á fuego lento hasta, que; se haya consumido
la mitad;, se colará después de frió, por un papel
de estraza , y recogiéndolo en un vidrio , se tapará
y pondrá al sol, cuyos rayos, contribuyen á que;
tenga mejor color..
154 El índigo ó Añil 1 fino es dé color azul turquí,
y se deslié en agua goma del mismo modo que
el carmín : sirve- para lavar todo lo que es hierro,,
vidrio , pizarra &c. , según las diferentes tintas;• peno;
como no es fácil emplear este: color core propiedad.
79
dad para, estos fines, se dirá mas adelante- el modode
hacer otro para el mismo, uso.- mucha mas propio
, y fácil, de emplear.
155 El ExtraSlo, de regalicia se deslíe en agua.
goma : tiene el color de madera , y sirve en el diseño
para lavar las obras de carpintería, y fosos-, y
dar otras sombras en el color de tierra ;• pero será
mejor valerse de los colores compuestos para los mismos
usos , cuya mezcla, se explicará, en este mismo»
artículo-
156 La: Tinta de china es una pasta- negra endurecida
en forma de panes ó barretas de diferentes
tamaños y figuras „ que se traen de aquel reyno r
la mejor es de un negro luciente- con un corto viso>
de morado- Debe ser tarda dé deshacerse frotándola
en una vasija ó concha con agua común ,. y después
de seca: la barreta debe; quedar, tersa y luciente
la parte, que haya frotado : sirve para tirar las;
hneas. de los planos; y perfiles que: no representan um
grueso de cal y canto , y sombrear, las- partes de un;
plano que lo necesitan..
157 El amarillo y roxo producen: color de madera
y de arena , por lo que la; gutagamba y un poco
de carmín dan un color propio para- lavar las
obras de carpintería,, y echando; menos, carmín se tiene
él de las arenas.,
158 El amarillo „ roxo* y negro- hacen color de*
tierra , y así la gutagamba ,. un poco de carmín ,,
y muy pocaí tinta de china ,. sacan el color adequado.
para lavar, los fosos secos y tierras dé labor...
159.. La. mezcla; del añil y amarilla, forma el verde,,

l
8-0
de , y así el índigo , añil ó color de agua mezclado
con la gutagamba hacen un buen verde , advirtiendo
que si se quiere muy subido , se le echará
poco amarillo , y mas si se quiere- verde claro ó verdegay
, el qual sirve para representar los jardines,
árboles , matas , y todo lo que ha de ser campo.
160 El azul y negro hacen un color obscuro
a-turquesado , y así el índigo ó color de agua mezclado
con muy poca tinta de china, da un color propio
para lavar las obras de hierro , plomo , pizarra
y vidrio , haciendo la tinta para el hierro mas obscura
que para la pizarra , para el plomo menos azul
y mas clara , y para el vidrio muy ciara.
161 El azul y roxo hacen color de púrpura : si
el azul predomina resulta él de violeta , y si sobresale
el roxo forma el color morado , y así el carmín
mezclado con el Índigo ó con el color de agua
producen dichos colores. Por lo dicho aparece que
con el carmin , gutagamba , verde de gris líquido ,
color de agua , extrado de regalicia, tinta de china
, y colores que de sus mezclas resultan , se tienen
quantos son necesarios para el diseño y lavado
de los planos , perfiles &c.
162 La tinta de china y carmin para tirar líneas
, ha de ser mas fuerte que para el lavado, porque
los trazos ó líneas deben dominar sobre todas
Jas tintas , procurando no servirse de las que están
viejas ó desvanecidas en los dos colores expresados,
si se quiere que el lavado salga propio y vivo.
AR-
r
wm
ARTICULO II»
DE LAS PLUMAS, PINCELES , VASIJAS
para las tintas , y papel para, el diseño..
163 T AS mrjores plumas para diseñar la ar-
J-~i quitectura militar y civil , son las mas
claras y menos duras , deben ser del ala derecha ,
porque estas son mas fáciks de cortar y hender lim*»
píamente. Para tirar líneas delicadas » disignar la
campaña &c. se usa de las de cuervo ,, y para hacer
los margenes ó marcos de los planos se emplean.
las de cisne , aunque por lo regular se forman estos,
con las plumas ó tiradores de azero que tienen los,
estuches matemáticos..
164 Los pinceles para lavar bien los planos*,
deben ser suaves , de una sola punta no muy larga
, y que no- se enrrosque 1 el diámetro de los pequeños
será de 6 á 12 puntos , y él de los grandes
de una á tres líneas : los pequeños sirven para
tomar los colores , y los grandes para desvanecerlos
, mojándolos para esto en agua común.
165- Las vasijas para los colores son por Ib regular
conchas del mar ; pero estas antes de usarlas
deben herbirse en agua para extraerles la sal que
contienen, y será mejor servirse en su equivalencia
de pequeñas tazas paralelepípedas de hueso ú otra
materia fuerte , de pulgada, y media de diámetro, y
nueve á diez líneas de altura , con una concavidad
esférica para contener el color: pues, con tal figura.
esi-
8t
i

•
•
___\w
82
están mas libres de bolearse y se acomodan mejor en
unas pequeñas caxas al intento.
166 El papel que se usa para el diseño y lavado
de los planos tiene diferentes marcas y tamaños
: el mejor es el mas blanco batido y engomado
: se hallará bien batido si estuviere igual ó liso,
de modo que no se perciba el grano ; mas por lo
que hace al engomado no se puede dar indicio cierto
para conocerlo, siendo preciso tomarlo sobre la
buena fé del que lo vende , y por esto á precaución
se acostumbra darle una ó dos manos de agualumbre
bastantemente áspera.
ARTICULO III.
EN QUE SE PONEN VARIAS OBSERVA-
*?ionesj> máximas para el diseño y lavado de
Jos planos , perfiles Se.
167 T AS obras de cal y canto existentes se
JL-J representarán con líneas roxas y las de
tierra con líneas negras : quando unas y otras estuvieren
arrumadas se representarán con líneas de puntos
rojas ó negras , según su especie.
168 Las obras subterráneas de cal y eanto se
expresan también con líneas roxas de puntos , y si
estuvieren al igual del empedrado con estas mismas
líneas negras,
169 Las obras existentes de cal y canto deben
lavarse de roxo: las de tierra de negro , y las que
fue-
•
Rieren proyedo de amarillo , en lá* de una y otra
especie.
170 Los céspedes se lavaran de verde obscuro :
la» aguas de azul celeste : las obras de carpintería
con el color asignado á la madera , y las arenas'
con el mismo color ; pero formado con menos mezcla
de carmin.
171 Los techos de teja se lavarán de un rojo
que tire á amarillo : los de pizarra de pardo con
viso de azul obscuro , y el hierro , plomo y vidrio,
de lo mismo : observando en la degradación de las
tintas lo que se dixo anteriormente.
172 El cobre, bronce ó metal - fundido, no habiendo
tinta que imite bien sus colores , se lavarán
con lá de china y sobrelavaran con verde de gris
líquido , res-pedo á que dichos metales después de algún
tiempo de fundidos toman este color , que siempre
mantienen.
173 En toda especie de obras , lo que no está
cortado , roto 6¿c. se lavará de una tinta clara del
color que corresponda á su calidad , y lo mismo se
observará en todo lo que se hallase cortado ó roto,
con sola la diferencia de que sea el color de la tinta
, mas fuerte.
174 En un plano de edificios sin cubierta, sé
dejarán en blanco los aposentos, sótanos, patios &c;
pero en sus cortes ó perfiles se lavarán con tinta de
china , mas ó menos fuerte según su profundidad ,
dejando solo en blanco los patios : los gruesos de
los muros, bóvedas y suelos , se representarán con
e l color que corresponda.
M 175

nm
*4 175 Todo. le dicho-en este artículo relativo á
!a diversidad de los colores , solo se debe entender
de los planos enteros , porque en los particulares todas
sus líneas deben ser. negras de qualquiera especie
que sea la obra ; pero las advertencias, restantes
pertenecientes al lavado son generales para toda ciar
se de planos.
176 Para la limpieza del dibujo, conviene observar
que la pluma esté bien| cortada , con puntas
iguales y menos hendida que para escribir , cuidan***
do de sacudirla cada vez que se moja en el color,
6 fin de que el exceso que de este haya tomada
caiga en,el vaso y no se pegue á la regla ,7rnan*r
chando el papel, en que se.trabaje.,
ARTICULO IV..
DEL MODO DE DESIGNAR Y LAVAR
las. partes de un plano entero , con su corte ó
perfil _ y objetos notables que suelen ba­
ilarse en su extensión..
LA" explicación mas clara y sencilla de lo que;
en este artículo se. contiene , se tendrá con Ja
expresión de los puntos mas notables-que por lo común
se colocan en los planos , indicando el moda
de su representación , según ei orden alfabético siguiente.
A Almacén, de pólvora Iam-, $ col. r. Los muros
y contrafuertes que lo terminan, se. marcan. pordos
*5
dos líneas roxas entre tas quales se lava del misino
color : la bóveda por diagonales punteadas sin lavar
: el muro -ó cerca que lo rodea , por una línea
roxa delgada , y si en su lugar tuviere estacada se
expresa con puntos ó pequeños ceros hechos con
tinta de china , observando asimismo señalar las puertas
del almacén y lá del muro donde corresponde.
Si la escala fuere pequeña se designan los muros del
almacén por una sola línea , sin señalar los estribos
ó contrafuerte -ni la bóveda , y se lava de roxo,
observando en lo demás lo que se ha dicho. La
descripción por menor de este edificio corresponde
á la siguiente parto de este Compendio.
B Árbol de marca. Se designa como anteriormente
se ha expresado , y suele colocarse en los
planos de puerto como punto notable para enfilaciones
de entrada.
Arroyo de marca. Se designa ton tinta de
china , un poco mayor que los otros , y después se
le da -una pequeña pincelada de verde obscuro por
el lado de la sombra , y otra de verdegay claro por
él de la luz.
Banqueta. Si estuviere señalada en el plano,
por permitirlo su capacidad , se deja en bianco sin
lavarla.
Barca de pasaje num. 1 fig. 38. Sé expresa
por una línea negra que 2traviesa el rio, con alguna
curvidad del lado de la corriente. Esta línea
denota la cuerda por donde se conduce la barca „
y debe estar unida por sus extremos á dos estacas
clavadas en las orillas-: también suele ind iear se con
M 2 ua
•"!

86
un pequeño barco dentro ó- á la orilla del rio.
Baxos fig. 40. Se designan con puntos si fuesen
de arena : con cruces dobles si de piedra siempre
cubiertos del agua: con cruces sencillas los que
se cubren y descubren con las mareas : y los que
siempre están cubiertos ,• con porciones de líneas
elípticas. Y respedo de que en esta forma quedan
bien distinguidos , será mas acertado lavarlos todos
con el color de agua , mas fuerte en sus veriles ,
en lugar de señalar con el color roxo los baxos de
piedra , y los de arena con este color según se acostumbra.
El buen fondo se representa con una ancla.
Bosque fig. 40.. Se diseña, figurando los arboles
con,pequeños trazos de pluma ,.-hechos con
tinta de china ,. mezclando entre ellos por intervalos
algunas yervas , todo con irregularidad , después
de. lo. qual se lava con tinta clara de verde
por toda la extensión del bosque , y quando esta
se halla bien seca, se da una leve pincelada de verde
obscuro sobre cada árbol, por el ledo de. la sombra
, para hacerlo abultar..
C Calzada. Se designa con dos líneas negras
redas, y asimismo su escarpa , si la escala lo permite
, observando señalar sus vueltas y lavar la escarpa
del lado de la sombra con. tinta de China algo
clara.
D Camino.. Se: señala por dos líneas negras delgadas
tiradas, á mano , y algunas pequeños árboles
y matas por la parte: exterior , dejándolo sin lavar..
Canal.. Se. marca, por dos líneas roxas. paralelas
8 7
lelas , si fuere- revestido , y negras sino lo fuese ,
observando que la una sea mas gruesa que la otra ,
lavando la madre con el color de agua como los
rios: si fuere proyedo se lavan sus bordos de amarillo
desvanecido hacia la parte de tierra.
E Cantera.. Se señala con tinta'de. china con
una entrada obscura.
F Casería. Se figura con una pequeña casa
hecha Coa tinta, de china.,. lavando sus. techos de
roxo.
G
obras
Castillo fortificado. Se expresa segun sus;
designado y lavado con el color que le cor­
responde.
H Castillo antiguo» Se-diseña con tinta de china
, como se representa , con una casa entre dos
torres, lavando- el techo de la. casa de. azul y él de
las dos torres de roxo..
I Ciudad en plano., Se representa con sus fortificaciones
si las tuviere , lavando sus obras con Ioscolores
correspondientes.
J Convento. Se- representan por una pequeña"
iglesia con su torre ó campanario y una cruz en lo
alto , designado todo con tinta de china , lavando la
torre de azul, y el techo de la iglesia de roxo.
K Cruz de piedra. Se designa, y lava de roxo.-
L Cruz de madera.. Se señala con. el color asignado
á esta materia.
Cmrpo de guardia. Se representa por un pequeño
redangulo , designado y lavado con carmin,
y si la escala lo perm-its se expresa también la galería
que sirve para tener las armas, á cubierto-
Di-

I
88
Dique num. 5 fig. 3?. Si fuere para cortar
algún -rio ó canal se expresa por dos líneas negras,
siendo de tierra , entre las quales se lava con tinta
de china , y por una gruesa línea roxa quando »es
de piedra. Los diques para carenar embarcaciones
«e representan con una línea de carmin en su contorno
., lavando el espacio intermedio de color de
agua.
Dunas. Se designan como las montañas y se
lavan de color de arena.
Estanque. No siendo revestido se marcan sus*
bordos y el empedrado que sostiene las aguas con
tinta de china , y si lo fuere sea de piedra seca ó
de argamasa , con una línea roxa , señalando su compuerta
con dos líneas de puntos al través de la escarpa
, designando por intervalos en el estanque y
sobre sus bordos , algunas yervas aquátiles , como
juncos, cañas &-c. , todo irregularmente, lavando por
último su extensión con el color de agua.
Estrada cubierta. Se deja en blanco sin lavar.
Espionada Wg. 39. Se lavan sus fases alternativamente
con tinta de ehina algo clara, conservando
siempre la fuerza de ella en la parte superior , y
desvaneciéndola hacía la inferior „ después de lo qual
se pasa del mismo .modo sobre todas las fases de la
esplanada , sombreadas y no sombreadas , una tinta
de verde algo claro.
Flecha fig. 38. Se designa con tinta de china
en la madre de los rios, arroyos &£. , ó en'una
de sus orillas.
Foso. El de agua se lava de este color , consei-
89
servando Ja fuerza de- la tinta-.en los bordos, y desvianeciéndola
hacia- el medio quanto sea* posible _ pero
si- fuere seco se lava de color de. tierra des vane-i»
cida del mismo, modo..
M Ermita. Se designa con. tinta de china, poniendo
una pequeña cruz en lo alto de los muros que.
terminan su-frente , y lavandoel tocho de roxo.
N Fuente. Se. figura con tinta- de china , lavando
su techo de roxo , y el estanque ó pilón don--*
de se recojen.las aguas de su color.
* O Hacienda de campo. Se figura por dos casas
designadas con tinta de china y lavados sus techos
de roxo..
E. Horno:de cal.- Se denota bosquejado con tinta
de china , y lavada de carmin. la- boca.por don-r

I
I
Sp«
90
Montaña fig. 35. 'Se. expresa ed plano ó en
elevación , dándole las sombras que necesitare con
tinta de china , y lavándola despees de un color de
tierra no muy encendido., dándole ademas á trechos
algunas pinceladas de verde.
Muro ó revestimiento. Siendo de cal y canto
se expresa con una linea roxa , y si el plano lo permite
se señala también su escarpa por otra línea mas
delgada del mismo color.
Pantano fig. 37. Se señala su contorno con
tinta de china , y en su extensión se mezclan algunas
yervas y charcos , que manifiestan lo impracticable
del terreno, el qual se lava de color de tierra.
Parapeto. Se lava con tinta de china algo fuerte
, y con la mayor igualdad posible.
Prado fig. 36. Se figura la yerva con menudos
puntos y sutiles trazos de pluma hechos con tinta'
de china no muy fuerte , y después se lava su extensión
ligeramente de verde claro.
Puente num. 3 y 4 fig. 38.. Se denota por
des líneas roxas siendo de piedra , ó negras si fuere
dé madera , observando señalarlas de. través f y
distinguir la puente levadiza de la durmiente por dos
diagonales , dejando una y otra sin lavar. *
Puerta. Quando el plano lo permite se señala
en su muro, por un espacio que se dej_a" en blanco
sin iavar.
ReduSío. Se designa según él es con el color
que le corresponde , y se lava su parapeto y foso
como él de las otras obras.
P3o. Se expresa por dos líneas negras , observan--
9*
vando que lá del lado de la luz sea la mas gruesa,
y se lava su madre con el color dé agua , conservando
la fuerza de la tinta,
Solar ó suelo fig. 39. El de los edificios de
una plaza se designa con líneas roxas delgadas del
lado de la luz , y gruesas de la parte de la sombra
, quando las calles so» regulares ; pero sino lo
fueren todas las líneas se tiran delgadas, y se lavan
dichos ámbitos ó suelos con tinta clara de carmín ,
desvaneciéndola al medio , si la escala lo permite, ó
dejándola igual quando esta fuere muy reducida.
Terraplén. Se deja en blanco , señalando por
una línea negra su escarpa , y esta se lava con tinta
de china algo clara , conservando su fuerza en la
línea que termina el terraplén , y desvaneciéndola
hacia la parte inferior.
T Texar col. 1. Se representa en elevación poí
un pequeño cobertizo sostenido de puntales, y lavado
de roxo.
Tierras de labor fig. 39. Se expresan dividiendo
el terreno en diferentes porciones con líneas
paralelas de tinta de china muy clara , las quales
representan los cavalletes del arado , y después se
lavan dichas porciones de tierra , pasando sobre cada
cavallete un sutil filo », del color que convenga
para imitar lo natural de la campaña , desvaneciéndolo
de un lado.
Traversas. Se designan con el color que corresponde
, y se lavan del mismo modo y con la misma
tinta que los parapetos.
Vado num. 2 fig. 38. Se indica por un pe-
N queño
.'•

9 2
qucño camino punteado de negro que atraviesa él
rio.
V Venta. Se expresa por una pequeña casa
con su insignia ó vandera , designado todo con tinta
de china , lavando el techo de roxo , y la insignia
de azul.
Ventana. Se figura por un espacio del muro,
que se deja en blanco si lo permito la escala . pero
continuadas sus líneas.
W Vereda. Se expresa por una sola línea delegada
hecha con tinta de china algo clara , y algunas
pequeñas matas por intervalos.
Viñas fig. 40. Se notan con tinta de china
dando sobre cada cepa una pincelada pequeña de verde
bastante vivo , sin extenderlo demasiado.
Para la Ignografía ó representación de un pla»no
entero de fortificación á vista dé pájaro siendo
revestido-, la línea-del cordón-, lá de la contraes*carpa
&c. han de ser roxas , y las demás negras-;
pero sino lo-es-, todas las líneas serán negras, y lo
mismo ha de pradicarse en los planos particulares ,
sean ó no revestidos-, observando que lá del cordón
sea siempre mas gruesa que lá de la contraescarpa.
En los diseños de un plano no tiene dificultad
la ortografía ó perfil quando se sabe lavar su ignografía
, porque tiradas todas sus líneas con tinta de
china , se lavan de roxo las obras de cal y canto existentes
, y las demás, de los correspondientes colores
del plano _ obscureciendo las que quedaren detras de
las líneas del perfil, á proporción de sus distancias,
te-
n
teniendo presente para la degradación de las tintas
lo que se ha dicho anteriormente,
NOTA.
Todo lo expresado se designa y lava para el
acompañamiento del plano de una plaza y país de
su contorno ; pero en los planos de los Señoríos ,
Provincias y Reynos , señalada la capital y plazas
fortificadas en plano , y las demás posiciones en elevación
, se vestirá la campaña con los rios , lagos ,
bosques y montañas mas considerables , representándolos
con los caraderes siguientes.
CARACTERES QUE SUELEN COLOCARSE
en los planos de señoríos ó provincias.
X
Y
Z
a
b
c
d
e
A
B
C
D
COLUNA PRIMERA.
Capital en plano.
Ciudad.
Villa.
Lugar.
Aldea.
Castillo fortificado.
Castillo sin fiortificar.
Casería.
COLUNA SEGUNDA.
Venta.
Ermita,
Molino de agua.
Molino de viento.
N2 SÉ-
1

I
94 „,
SEÑALES QUE SE COLOCAN SOBRE
las torres de los templos.
COLUNA SEGUNDA.
• ' É ' Arzobispado.
F Obispado.
G Abadía..
H Priorato.
I Encomienda.
J Universidad.
SEÑALES PARA PLANOS DE UN REYNO.
COLUNA SEGUNDA..
K Capital en plano.
L Capital de. Provincia..
M Ciudad..
N Villa..
O Lugar..
P Aldea.,
CARACTERES QUE SUELEN COLOCARSE
en. los planos de.ciudades, villas y lugares..
COLUNA SEGUNDA.
Q Residencia de Príncipe.
R Del Capitán General..
S Govierno de. Plaza..
T Castillo..
V Tribunal de Justicia..
W Corregimiento.
CA-
95
CARACTERES PARA SITUAR: AL PIE
de la posición.^
COLUNA SEGUNDA..
X República..
Y Ducado.
Z Marquesado.,
a Condado.
b Vizeondado.
- c Señorío.
d Campo de batalla..
e Batalla ganada.
f Batalla, perdida..
SEÑALES- QUE SE COLOCAN' EN3 LOS
g
h
y
i
m
n
o
P
q
r
s -
t
planos de cartas marítimas.-
COLUNA" SEGUNDA.-
Arrecife de piedras.
Piedras • que velan..
Piedras que se descubren á plea mar."
Piedras que no se descubren..
Baxo de arena y piedra.
Baxo de arena.,
Alfaques...
Manchas de agua.
Vórtice ó remolino.-
Señal para entrada de puerto.
Buen surgidero..
Señal de: derrota...
u

V
$6
u
X
Volcan.
Corrientes.
La calidad del fondo se indica del modo siguiente.
A Arena : P Piedra : L Lama : C Cascajo ;
AN Arena negra : AP Arena y piedra : LN Lama
negra : LS Lama suelta.
N OTA.
Sin embargo de que Ja materia de este artículo
presupone el conocimiento de las partes de la
fortificación militar, cuya explicación se reserva para
la sexta parte de este Compendio , correspondiendo
á esta tercera .todo lo concerniente al dibujo , en
que -se contienen otras muchas especies que no dependen
de aquel tratado ( según el plan de la obra
propuesto ) podrán acudir á él los que se exerciten
en el dibujo , -para el mas claro conocimiento de Jas
partes de un plano en que se hallan obras de fortificación.
Todo Jo anteriormente dicho es referente á Ja
pradica que algunos autores prescriben para representar
en los planos Jas partes que comprenden ; pero
habiéndose extendido reglamento sobre este particular
con fecha de 24 de Marzo de 1757 , añadiremos
en este Jugar lo que en él se previene.
En este reglamento se determina la figura y
magnitud de los caraderes con que han de expresarse
en los mapas las ciudades , villas &c. , como
igualmente las señales que en ellas lian de colocarse
9-7
se según corresponda ,. con igual distinción de figura
y magnitud. Y por quanto á proporción que el
plano comprende mayor extensión deben ser menores
sus caraderes, se distinguen en el reglamento* los
tamaños respedivos' para los que han de servir en
mapas de 48 , 24 y 12 leguas por pie de castilla :
es decir aqueltos cuya escala siendo de un pie efectivo
de castilla corresponde á 48 , 24 , y 12 leguas
, y proporcional mente si la escala fuere un medio
, un tercio ó un quarto del pie , en cuyos casos
corresponderá á un medio , un tercio ó un quartode
48 , 24 , ó 12 leguas.
Los caracteres que en dicho reglamento se
comprenden son los siguientes.
CARACTEB.ES CON QUE" SE DEBEPJAN
expresar en los mapas las ciudades, villas &c. •
LAMINA 3. COLUNA 3,.
A Madrid Corte.
B Ciudad capital plaza.
C Ciudad capital murada..
D Ciudad capital abierta..
E Ciudad plaza...
F Ciudad murada.
G Ciudad abierta.-
H Villa plaza.
Y Villa murada..
K. Villa abierta.
M Lugar.-
' N

I
•98
N
P
Q
R
S
T
Castillo,
Venta.
Monasterio.
Ermita,
Atalaya ó torre de costa,
Molino de viento,
rCasas, molino de agua , y todo genero de
l fábricas de campo.
SEÑALES QUE SE DEBERÁN COLOCAR
.en las.ciudades villas Se. según Jes corresponda.
¡a
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
M
N
Q
P
Q
R
COLUNA QUARTA.
Grandeza.
Arzobispado.
Obispado.
Abadía.
Inquisición.
Chancilíería ó audiencia.
Universidad.
Puerto de guerra.
Puerto mercantil.
Posta.
Mesón en despoblado.
Feria.
División de reyno.
División de partido.
Rio.
Canal.
¡Camino carretero.
99
S Senda ó vereda.
. T Paso de rio : si este fuere con barca se representará
como en la parte superior , y
si por puente como en la- inferior.
A cada población se aplicará el caráder que
le correspondiere , y se le añadirán las señales de
su condecoración.
En cada mapa á un lado de él se colocarán
en el grandario que menos ocupen, los caraderes y
señales de este reglamento para instrucción de los
que manejan el mapa..
En cada uno de estos según su mas ó menos
confusión de poblaciones y montañas , se procurará
manifestar y vestir la compaña con los frutos de que
abunda , marcando aquella especie con amplitud á
las otras, ya sean viñas , granos , prados , olivos ,
moreras., paseos de arboledas redas , bosques, montes
de madera gruesa &c. En el mapa general cuya
escala siendo de un pie de castilla representa 48
leguas , será poco perceptible esta distinción ; pero
en el particular de un Reyno por la escala de 24
leguas por pie ya se distinguirá suficientemente , y
mas en él de un distrito ó 'partida cuya escala es
de 12 leguas por pie , teniendo cuidado de situar
cada calidad de cosecha- en la verdadera posición.
en que se halle , según el orizonte de cada gue-»
bJo.
En los mapas dé 24 y 12 leguas por pie ,,,
se procurará expresar si algún monasterio ó casa
de campo particular, tuviere extensión, de jardines „
bosques ó arboledas.
O? Nin-

^mr
íoo
. Ninguno de los caraderes y «erales se pueden
limitar á la precisa diminución de la- encala ,
y para el logro de verificar las verdaderas distancias
, se ha colocado en cada caráder de ciudad ,
villa , lugar , venta ó ermita , un pequeño círculo ,
cuyo centro ha de regular su situación , y compaseando
de centro á centro , ha de corresponder por
su respediva escala la distancia que legítimamente
hubiere de un paraje á otro , por lo que en la configuración
de' caráder , se observará una ocular proporción
que no desdiga de la magnitud del mapa,
ya sea general de Reyno , ó partido , según se manifiesta
en este formulario.
En los mapas formados sobre la escala de «4
y 12 leguas por pie, se anotará donde hay molino
de qualquiera especie que sea , máquinas de agua y
sangre , ó fábricas separadas de población , á mas
de la casita con el letrero correspondiente , colocado
junto á ella en Ja manera mas inteligible.
En los montes y parajes donde hubiere canteras
de mármoles, se han de conocer igualmente por
letras , y en la escala de 12 leguas por pie aun
se podrá añadir la calidad del mármol , advirtiendo
si es jaspe blanco , negro &c.
Lo mismo se pra¡ílicará donde haya salina de
mina ó de agua , y en estas se manifestará á demas
el estanque , lago , arroyo , caño ú orilla del
mar.
Qualquiera otra mina descubierta que fuere de
oro , plata , cobre , estaño , plomo , zafra , azabache
, cristal de roca , otras especies minerales,
o
tac
ó tierras singulares para batanes de paños , y otros
usos, y arenas particulares, se expresarán con su correspondiente
título : y sino fuere dable reducir ¡a letra
hasta la posible inteligencia en la escala de 24 leguas
por , pie á lo menos ha de procurarse en la de
12 , pues siendo mapa de partido deben manifestarse
todas las singularidades que contiene un territorio.
En los caraderes de castillo , venta , monasterio
, ermita , atalaya en que hubiere mesón ó posada
de tránsito , á mas de la denominación del castillo
, venta &c. se pondrá á .un lado Ja señal de
mesón , porque en las poblaciones ya se da por supuesto.
En Ta explicación de caminos según la dirección
que tuviesen al levantar el mapa , se pondrá
un sumo cuidado para no omitir las carreteras ó veredas
, ni equivocar unas con otras.
Se formarán todos los mapas geográficos por
las tres escalas de 48 , 2.4 y 12 leguas por pie, de
norte á sur , marcando en el contorno del mapa
por lo alto y baxo , los grados de longitud , con expresión
del meridríano á que se refiere , y poi los
costados, los grados de latitud en qualquiera que tenga
el reyno ó provincia contenida en el mapa.
El folio del papel se ocupará por lo largo ó
ancho, según venga mejor para el uso : pues si la
descripción del distrito fuere mas larga de norte á.
sur , corresponde el folio vertical , y si de levante á
poniente orizontal.
Todos los demás mapas de qualesquiera especie
que sean y correspond>:n á la escala de varas ,
como

I
I
102
como partida de ciudades , porción de fronteras,
costa marítima , contornos de plazas , ignografías
de ellas íi otros pueblos , se colocarán en el papel
según parezca al que levanta el plano mas cómoda
á su demostración , para aprovechar el pliego y facilitar
la comprensión de lo que contiene , sin sugetarse
á la regla de las tres escalas de leguas expresadas
, bastando el orientarlo con la aguja según
se acostumbra para que se comprenda la verdadera
posición de lo que contienen.
Eu Jos mapas de escala por varas se expresarán
Jas ciudades, villas y lugares en plano , procurando
darles su configuración en todo lo posible
, y expresando la fortificación
que los defienda.
FIN
TABLA
DE LAS MATERIAS QUE SE CONTIE-
nen en este tomo.
PARTE TERCERA.
Paginas.
Que trata de la Trigonometría Plana. . . 1
Definiciones 2
Explicación y uso de las tablas logarítmicas. 7
PARTE QUARTA.
QUE TRATA DE LA GEOMETRÍA
PRACTICA.
CAP. I. De la pantómetra ó compás de
proporción , y su uso «9
Definiciones 30
GAP. II. De los niveles 40
CAP. III. De la construcción de la escala
de partes iguales , y su uso en
las operaciones de la plancheta. . 47
CAP. IV. Del semicírculo con aplicación
de la trigonometría á su uso en las
operaciones prádicas 60
CAP. V. Del grafómetro y teodolite. . . 6$
CAP. VI. Del medo de delinear y lavar
los planos 77

I
•
I
ART. I. De los colores simples y compuestos
propios para delinear y lavar
los planos . . . . . . . .. 77
ART. II. De las plumas, pinceles, vacijas
para las tintas , y papel para
el diseño. .81
ART. III. En que se ponen varias operaciones
y máximas para el diseño y
lavado dc los planos , perfiles &c. 82
ART, IV. Del modo de designar y lavar
las partes de un plano entero , con
• su corte ó perfil , y objetos notables
que suelen hallarse en. su extensión.
84
Caraderes que suelen colocarse en los planos
de señoríos ó provincias. . . 93i
Señales que se colocan sobre las torres de
los templos. . . . . . . . 94
Señales para planos de un Reyno. . . . 94
Caraderes que suelen colocarse en los pla­
nos de ciudades, villas y lugares .
Caraderes para situar al pie de la posición.
Señales que se colocan en los planos de car-
94
9$
las marítimas. . . . . . . .. 9S
Caraderes con que se deberán expresar en
los mapas las ciudades , villas &c . 97
Señales que se deberán colocar en las ciudades
, villas &c. según les corresponda.
. . . . . . . . . 9.8:
Pag.
2 • • 4
5- - •
22. . .
Lin.
. 17.
. 10.
. 17,
34- 15-
47-
47-
S3-
58.
?*•
71.
ERRATAS.
Dice. Diga.
. . cunferenca cuuferencia.
. . tangente cotangente.
. . ABC . . . . . . . ABC fig. 7.
r Véase la primera
• i errata de las figuras
*ique están á contiinuacion.
. 23. . . AF AE.
. 26. , . H—10. H 10.
. 11. . . BAE BA

,\ .. J • • lí
*
TABLAS
DE LOS
LOGARITHMOS
DE LOS
SENOS , TANGENTES , Y SECANTES-,
SUPONIENDO EL RADIO DIVIDIDO
ea ioooooooo de partes.
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8.6223427 10.0003811
8-6253518 10.0003864
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8.6914379
8.6939980
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8.6990734
8.7015889
8.7040899
8.7065766
8.7090490
8.7115075
8.7139520
,8.7163829
8.7188002
2 GRADOS. (.7)
TANGENTES.
8.640,093 f
, 8.6429825 l
8..6458S28
8.6487044
.8-6^15375
8.6.743522
8.6571490
8.6599279
8.6626891
8.665-4331
8.668i5o3
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8.6735628
8.6762393
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8.6815437
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8.6867844
8.6893813
8.69:19629
8.6945292
8.6970806 ¡
8.6996172
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(8) 3 GRADOS.
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8.7330272
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8.7422586
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8.7512973
8.7535278
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8.7579546
8.7601512
8.7623366
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8.7666747
8.7688275
8.7709697
3.7731014
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8.7794340
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29 8.7836048
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TANGENTES.
8.7793958
8.7218063
8.7242035
8.7265877
8.7289589
8.7313174
8.7336631
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8.7383172 .
8.7406258
8.7.129222
8.7452067
8-7474792
8.7497400
8.7519892
8.7542269
í''.7S64S3 I
8.7586681
8.7608719
8.7630647
8.7652465
8.7674175
8.7695777
8.7717274
3.7738665
8^77599^2
8.7781136
8.7802218
8.7823199
8.7844079
8.7864861
SECANTES.-
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10.0006022
10.0006089
10.0006156
10.0006224
10.0006292
10.0006360
10.000642.8
10.0006497
10.0006567
10.0006636
10.00067-07
10.0006777
10.0006848
10.0006919
10.0006991
10.0007062
10.0007135
10.0007207
10.0007280
10.0007354
10.0007428
10.0007502
10.0007576
10.9007651
10.0007726
10.0007802
10.0007878
10.0007954
10.0008031
10.0008108
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