Contenido Página Unidad I Conjuntos 1 - 3 Fracciones 4 – 6 ... - cicia
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<strong>Contenido</strong><br />
<strong>Página</strong><br />
<strong>Unidad</strong> I<br />
<strong>Conjuntos</strong> 1 - 3<br />
<strong>Fracciones</strong> 4 <strong>–</strong> 6<br />
Decimales 7 <strong>–</strong> 8<br />
Porciento 9 <strong>–</strong> 10<br />
Aplicaciones 11 <strong>–</strong> 14<br />
Operaciones números con signo 15 <strong>–</strong> 16<br />
Exponentes 17 <strong>–</strong> 18<br />
Orden de operaciones 19 <strong>–</strong> 20<br />
Notación científica 21 <strong>–</strong> 22<br />
<strong>Unidad</strong> II<br />
Expresiones algebraicas 23 <strong>–</strong> 24<br />
Operaciones con polinomios 25 <strong>–</strong> 27<br />
Factorización de polinomios 28 <strong>–</strong> 32<br />
Factorización completa 33 <strong>–</strong> 34<br />
Expresiones algebraicas fraccionales 35 <strong>–</strong> 38<br />
<strong>Unidad</strong> III<br />
Ecuaciones lineales y literales 39 <strong>–</strong> 40<br />
Desigualdades lineales 41 <strong>–</strong> 42<br />
Ecuaciones con valor absoluto 43 <strong>–</strong> 44<br />
Ecuaciones cuadráticas por factorización 45 <strong>–</strong> 46<br />
Ecuaciones fraccionales 47 <strong>–</strong> 48<br />
Traducción de frases y problemas<br />
verbales de números 49 <strong>–</strong> 51<br />
Problemas verbales adicionales 52 - 55<br />
<strong>Unidad</strong> IV<br />
Operaciones con radicales 56 <strong>–</strong> 60<br />
Propiedad de la raíz cuadrada y<br />
fórmula cuadrática 61 <strong>–</strong> 62<br />
Ecuaciones irracionales 63 <strong>–</strong> 64<br />
<strong>Unidad</strong> V<br />
Localización de puntos en el plano 65 <strong>–</strong> 67<br />
Gráficas de ecuaciones lineales 68 - 77
<strong>Conjuntos</strong><br />
1. Exprese cada conjunto en forma de lista.<br />
a) A = { x x es un entero impar entre 6 y 14}<br />
b) B = { x x es un entero par mayor que 8 y menor o igual que 16}<br />
c) C = { x x es un entero positivo múltiplo de 3}<br />
d) D = { x x es un entero entre 2.4 y 4.2}<br />
e) E = { x x es un entero entre 8 y 9}<br />
f) F = { x x es un entero mayor o igual que <strong>–</strong>2}<br />
2. Exprese cada conjunto en forma descriptiva (constructiva).<br />
a) A = { 1,<br />
2,<br />
3,...,<br />
14,<br />
15}<br />
b) B = { 4,<br />
8,<br />
12,...}<br />
c) C = { 2,<br />
4,<br />
6,...,<br />
20}<br />
d) D = {..., −6,<br />
−5,<br />
−4,<br />
−3}<br />
3. Llene los blancos con ∈ ó ∉.<br />
a) Si A = { 10,<br />
12,<br />
14,...,<br />
30 }<br />
1) 26 _____ A<br />
2) 15 ____ A<br />
3) 8 ____ A<br />
4) { 12,<br />
14,<br />
16}<br />
____ A<br />
b) Si B = { x x es un entero positivo mayor que 3 y menor que12}<br />
1) 12 ____ B<br />
2) 5 ____ B<br />
3) 17 ____ B<br />
4. Llene los blancos con ⊂ ó ⊄ .<br />
a) { 45,<br />
47,<br />
49,...}<br />
______{ 5,<br />
6,<br />
7,...,<br />
50}<br />
b) { a,<br />
b,<br />
c,<br />
d,<br />
e}<br />
_____{ c,<br />
d,<br />
e,<br />
f , g}<br />
c) { 24,<br />
28,<br />
32,...,<br />
40}<br />
_____{ 20,<br />
22,<br />
24,...,<br />
42}<br />
d) 10 ____{ 5,<br />
10,<br />
15,...,<br />
}<br />
e) {<br />
25,<br />
30}<br />
____{ 5,<br />
10,<br />
15,...,<br />
40}<br />
1
7<br />
5. Dado el conjunto {-8, 2, , 0,<br />
8<br />
los elementos que son:<br />
11 , -5.46, 9 ,<br />
a) números naturales<br />
b) números enteros no negativos<br />
c) enteros<br />
d) números racionales<br />
e) números irracionales<br />
f) números reales<br />
6. Si A = { 12,<br />
13,<br />
14,...,<br />
20},<br />
B = { 6,<br />
8,<br />
10,<br />
12},<br />
C = { 15,<br />
17,<br />
19},<br />
halle:<br />
a) A ∪ B b) A ∪ C c) B ∪ C<br />
d) A ∩ B e) A ∩ C f) B ∩ C<br />
Respuestas<br />
2<br />
− 7<br />
− . 3 , 15, , 5 }. Indique<br />
4<br />
1. a) A = { 7,<br />
9,<br />
11,<br />
13}<br />
b) B = { 10,<br />
12,<br />
14,<br />
16}<br />
c) C = { 3,<br />
6,<br />
9,<br />
12,...}<br />
d) D = { 3,<br />
4}<br />
e) E = { }=∅ f) F = { −2,<br />
−1,<br />
0,<br />
1,...}<br />
2. a) A = { x x es un número natural menor o igual que 15}<br />
b) B = { x x es un entero positivo múltiplo de 4}<br />
c) C = { x x es un entero par mayor o igual que 2 y menor o igual que 20}<br />
d) D = { x x es un entero menor o igual que <strong>–</strong>3}<br />
3. a) 1) ∈ 2) ∉ 3) ∉ 4) ∉<br />
b) 1) ∉ 2) ∈ 3) ∉<br />
4. a) ⊄ b) ⊄ c) ⊂ d) ⊄ e) ⊂<br />
5. a) 2, 9 ,15 b) 0, 2, 9 , 15 c) <strong>–</strong>8,0, 2, 9 , 15<br />
d) todos excepto 5 , 11<br />
e) 5 , 11<br />
f) todos
3<br />
6. a)<br />
}<br />
20<br />
,<br />
19<br />
,<br />
18<br />
,<br />
17<br />
,<br />
16<br />
,<br />
15<br />
,<br />
14<br />
,<br />
13<br />
,<br />
12<br />
,<br />
10<br />
,<br />
8<br />
,<br />
6<br />
{<br />
b)<br />
}<br />
20<br />
,...,<br />
14<br />
,<br />
13<br />
,<br />
12<br />
{<br />
c)<br />
}<br />
19<br />
,<br />
17<br />
,<br />
15<br />
,<br />
12<br />
,<br />
10<br />
,<br />
8<br />
,<br />
6<br />
{<br />
d)<br />
}<br />
12<br />
{<br />
e)<br />
}<br />
19<br />
,<br />
17<br />
,<br />
15<br />
{<br />
f) { }=∅
<strong>Fracciones</strong><br />
1. Exprese cada fracción mixta como impropia.<br />
5<br />
7<br />
2<br />
6<br />
a) 3 b) 2 c) 4 d)) 5<br />
9<br />
8<br />
5<br />
7<br />
2. Exprese cada fracción impropia como mixta.<br />
18 32 58 93<br />
a) b) c) d)<br />
5<br />
7<br />
9<br />
8<br />
3. Reduzca las siguientes fracciones.<br />
98<br />
a)<br />
140<br />
90<br />
b)<br />
105<br />
150<br />
c)<br />
270<br />
84<br />
d)<br />
56<br />
198<br />
e)<br />
144<br />
60<br />
f)<br />
225<br />
4. Halle una fracción equivalente.<br />
3 5 7<br />
a) = b) = c) = d) 3= e)<br />
7 42 8 72 11 55 6<br />
5. ¿Cuál es mayor?<br />
3 3 3 4 7 8 2 3<br />
a) o b) o c) o d) 3 o 3<br />
5 7 8 9 11 13 5 7<br />
6. Ordene las siguientes fracciones de menor a mayor.<br />
a)<br />
1 3<br />
, ,<br />
2 8<br />
5<br />
16<br />
3<br />
,<br />
4<br />
b)<br />
7 2<br />
, ,<br />
10 3<br />
5<br />
,<br />
6<br />
7. Halle los siguientes productos. Reduzca si es posible.<br />
3 7 5 9 15 24 2<br />
a) × b) × c) × d) × 6<br />
5 9 12 25 32 35 9<br />
e)<br />
7 4 3 2 3 3 2<br />
4 × f) 4 × g) 2 × 3 h) 3 ×<br />
2<br />
12 5 8 3 5 4 5<br />
3<br />
5<br />
c)<br />
3<br />
2 =<br />
4<br />
7<br />
,<br />
12<br />
20<br />
5 11<br />
, ,<br />
9 18<br />
1<br />
2<br />
4
8. Halle los siguientes cocientes. Reduzca si es posible.<br />
4 3 5 10 3 15<br />
a) ÷ b) ÷ c) ÷ d)<br />
5 8 11 9 7 28<br />
3<br />
e) ÷ 18 f)<br />
4<br />
8<br />
6 ÷<br />
15<br />
5 1 1 1 2<br />
÷ 4 g) 3 ÷ 5 h) 2 ÷ 2<br />
8 2 2 4 3<br />
9. Sume o reste. Reduzca si es posible.<br />
5 7 11 5 2 3 3 1 1<br />
a) + b) − c) 4 + 2 d) 5 − 2 e) 4 − 2<br />
18 18 24 24 5 5 8 8 9<br />
5 4 9 3 6 7 8 3 5 5<br />
f) + g) − h) + i) − j) 3 + 2<br />
6 9 10 4 7 8 9 5 8 6<br />
k)<br />
5<br />
4 − l)<br />
12<br />
2<br />
6 − m)<br />
3<br />
8<br />
5 + n)<br />
9<br />
2<br />
15<br />
2 1 1<br />
5 − 2 o) 4 −<br />
3 8 6<br />
10. Use la factorización prima para hallar el mínimo común denominador de<br />
las siguientes fracciones.<br />
a)<br />
5<br />
,<br />
8<br />
5<br />
18<br />
2<br />
,<br />
15<br />
b)<br />
6 5 3<br />
, ,<br />
25 28 35<br />
c)<br />
3 3<br />
,<br />
10 16<br />
1<br />
,<br />
50<br />
11. Lleve a cabo las siguientes operaciones. Use el mínimo común<br />
denominador que halló en el ejercicio anterior.<br />
a)<br />
5 5 2<br />
+ − b)<br />
8 18 15<br />
6<br />
25<br />
5 3<br />
+ − c)<br />
28 35<br />
Respuestas<br />
32 23 22 41<br />
1. a) b) c) d)<br />
9 8 5 7<br />
3 4 4<br />
2. a) 3 b) 4 c)<br />
5 7 9<br />
6 d)<br />
5<br />
11<br />
8<br />
7 6 5 3 11 4<br />
3. a) b) c) d) e) f)<br />
10 7 9 2 8 15<br />
3<br />
10<br />
+<br />
3<br />
16<br />
−<br />
1<br />
50<br />
5<br />
9<br />
3<br />
1<br />
4<br />
5
18 45 35 18 55<br />
4. a) b) c) d) e)<br />
42 72 55 6 20<br />
3 4 7 3<br />
5. a) b) c) d) 3<br />
5 9 11 7<br />
6. a)<br />
5 3<br />
, ,<br />
16 8<br />
1<br />
,<br />
2<br />
3<br />
4<br />
b)<br />
3<br />
,<br />
5<br />
2<br />
,<br />
3<br />
7<br />
10<br />
5<br />
,<br />
6<br />
7 3 9 4<br />
7. a) b) c) d)<br />
15 20 28 3<br />
7 9 48<br />
e) f) g) h) 9<br />
3 5<br />
5<br />
32 9 4 45<br />
8. a) b) c) d)<br />
15 22 5<br />
4<br />
1 5 2 5<br />
e) f) g) h)<br />
24 36 3 4<br />
c)<br />
1<br />
,<br />
2<br />
5<br />
,<br />
9<br />
7<br />
12<br />
11<br />
,<br />
18<br />
2 1 1 14 5<br />
9. a) b) c) 7 d) 3 e) = 1<br />
3<br />
4<br />
4 9 9<br />
23 3 97 13 155<br />
f) g) h) i) j)<br />
18 20 56 45 24<br />
43 16 8 85 29<br />
k) l) m) 5 n) o)<br />
12 3<br />
9 24 12<br />
10. a) 360 b) 700 c) 400<br />
277 233 187<br />
11. a) b) c)<br />
360 700 400<br />
6
Decimales<br />
1. Exprese en palabras los siguientes decimales.<br />
a) 0.128 b) 0.76 c) 2.5 d) 9.00034<br />
2. Exprese cada decimal como fracción reducida.<br />
a) 0.24 b) 0.175 c) 0.8 d) 3.025 e) 2.04<br />
3. ¿Cuál es mayor?<br />
a) 0.2 o 0.8 b) 0.35 o 0.305 c) 3.2 o 3.189<br />
4. Exprese cada fracción como decimal. No redondee.<br />
7 4 9 5 3<br />
a. b. c. d. e. 2<br />
10<br />
25 48<br />
32<br />
4<br />
5. Exprese cada fracción como decimal periódico y como decimal<br />
redondeado a la centésima.<br />
5 8 12 11 25<br />
a) b) c) d) e)<br />
18<br />
33 37<br />
24 41<br />
6. Sume o reste.<br />
a) 3.5 + 2.049 b) 4.18 <strong>–</strong> 2.36 c) 7.2 <strong>–</strong> 4.098<br />
d) 0.06 + 0.564 e) 12.07 <strong>–</strong> 5.481<br />
7. Multiplique o divida.<br />
a) 0 . 6 × 0.<br />
45<br />
b) 1 . 32 × 0.<br />
07<br />
c) 2 . 7 × 3.<br />
01<br />
d) 0 . 48 ÷ 0.<br />
2<br />
e) . 002388 ÷ . 04<br />
f) . 0100248 ÷ . 8<br />
g) 6 . 00135 ÷ 1.<br />
5<br />
h) . 017208 ÷ . 36<br />
i) 4 . 052 × 1000<br />
j) 3 . 85 ÷ 100<br />
k) . 0789 × 100<br />
l) . 064 ÷<br />
10<br />
7
Respuestas<br />
1. a) Ciento veintiocho milésimas<br />
b) Setentiseis centésimas<br />
c) Dos y cinco décimas<br />
d) Nueve y treinticuatro cien milésimas<br />
6 7 4 121 51<br />
2. a) b) c) d) e)<br />
25<br />
40 5<br />
40 25<br />
3. a) 0.8 b) 0.35 c) 3.2<br />
4. a) 0.7 b) 0.16 c) 0.1875 d) .15625 e) 2.75<br />
5. a)<br />
__<br />
. 2 7 ; .28 b) __<br />
. 24 ; .24 c) ____<br />
. 324 ; .32 d)<br />
_<br />
. 4583<br />
; .46 e) ________<br />
6. a) 5.549 b) 1.82 c) 3.102 d) .624 e) 6.589<br />
7. a) .27 b) .0924 c) 8.127 d) 2.4 e) .0597<br />
f) .012531 g) 4.0009 h) .0478 i) 4,052 j) .0385<br />
k) 7.89 l) .0064<br />
. 60975 ; .61<br />
8
Porciento<br />
1. Exprese cada porciento como decimal y como fracción.<br />
1<br />
a) 8% b) 32% c) .5% d) 6 % e) 12.4%<br />
2<br />
2. Exprese cada decimal como porciento.<br />
a) .47 b) .635 c) .009 d) .1275<br />
3. Exprese cada fracción como porciento. No redondee.<br />
1<br />
a)<br />
4<br />
3<br />
b)<br />
5<br />
9<br />
c)<br />
10<br />
7<br />
d)<br />
8<br />
11<br />
e)<br />
16<br />
12<br />
f)<br />
125<br />
28<br />
g)<br />
3500<br />
3<br />
h)<br />
2<br />
4. Exprese cada fracción como porciento y luego redondee al 1) entero de<br />
porciento y 2) décima de porciento.<br />
7 13 8 31<br />
a) b) c) d)<br />
11<br />
22 27<br />
45<br />
5. Halle<br />
a) el 30% de 800 b) el 10% de 328 c) el 15% de 62<br />
d) el 25% de 240 e) el 12.4% de 600<br />
1<br />
f) el 6 % de 400<br />
4<br />
6. ¿Qué porciento…<br />
a) es 21 de 28?<br />
b) de 45 es 15?<br />
c) es 144 de 320?<br />
d) de 248 es 31?<br />
9
Respuestas<br />
1.<br />
2<br />
a) . 08 =<br />
25<br />
31<br />
e) . 124 =<br />
250<br />
8<br />
b) . 32 =<br />
25<br />
1<br />
c) . 005 =<br />
200<br />
d) . 065 =<br />
2. a) 47% b) 63.5% c) .9% d) 12.75%<br />
3. a) 25% b) 60% c) 90% d) 87.5%<br />
e) 68.75% f) 9.6% g) .8% h) 150%<br />
4. a) . 63%<br />
; 1) 64% 2) 63.6%<br />
63 __<br />
b) . 09%;<br />
1) 59% 2) 59.1%<br />
59 __<br />
c) . 629%;<br />
1) 30% 2) 29.6%<br />
29 ____<br />
d) . 8%;<br />
1) 69% 2) 68.9%<br />
68 _<br />
5. a) 240 b) 32.8 c) 9.3 d) 60 e) 74.4 f) 25<br />
6. a) 75% b) . 3%<br />
c) 45% d) 12.5%<br />
33 _<br />
13<br />
200<br />
10
Aplicaciones de fracciones, decimales y porciento<br />
1. En una sección de un curso de estadística hay matriculados 50<br />
estudiantes.<br />
a) Si el 20% de ellos sacaron A en el primer examen parcial, ¿cuántos<br />
estudiantes sacaron A en el primer examen?<br />
b) Si 22 estudiantes sacaron C en el primer examen, ¿qué porciento<br />
de los estudiantes matriculados sacaron C?<br />
4<br />
partes del total de estudiantes matriculados sacaron B en el<br />
c) Si 25<br />
primer examen, ¿cuántos estudiantes sacaron B?<br />
d) ¿Cúantos estudiantes sacaron D o F en el primer examen?<br />
e) ¿Qué parte o fracción del total de los estudiantes matriculados<br />
sacaron D o F?<br />
5<br />
2. Alberto ganó $1,800 durante el verano. Si ahorró partes de lo que<br />
9<br />
ganó:<br />
a) ¿qué parte o fracción gastó?<br />
b) ¿cuánto dinero ahorró?<br />
3. El precio del periódico dominical aumentó de $1.50 a $2.00. ¿Cuál fue el<br />
porciento de aumento en el precio? Redondee al entero de porciento.<br />
4. Sandrá compró una cartera con un 35% de descuento. Si el precio original<br />
de la cartera era de $120:<br />
a) ¿de qué cantidad fue el descuento?<br />
b) ¿cuánto pagó por la cartera?<br />
5. Carlos, Juan y Julio dieron un viaje en carro desde Florida hasta California.<br />
1 2<br />
Si Carlos guió parte del recorrido y Julio guió partes del recorrido,<br />
3<br />
5<br />
¿qué parte del recorrido guió Juan?<br />
2<br />
6. Aida, Tere y Gilda son dueñas de un negocio. Si Aida es dueña de<br />
5<br />
3<br />
partes del negocio y Tere es dueña de partes, ¿de qué parte es dueña<br />
8<br />
Gilda?<br />
7. Las ventas anuales de una compañía han disminuído de $500,000 en el<br />
año 2007 a $400,000 en el 2008. ¿Cuál fue el porciento de disminución en<br />
las ventas?<br />
11
8. El año pasado cierto gimnasio tenía 260 clientes. Si este año el número de<br />
clientes aumentó un 15%, ¿cuántos clientes tiene el gimnasio este año?<br />
9. Entre Estela, Irene y Marta tienen un total de 360 acciones de cierta<br />
compañía.<br />
4<br />
a) Si Estela tiene partes del total de las acciones, ¿cuántas acciones<br />
9<br />
tiene?<br />
b) Si Irene tiene 20% menos acciones que Estela, ¿cuántas acciones<br />
tiene?<br />
c) ¿Cuántas acciones tiene Marta?<br />
10. Una compañía tiene un total de 150 empleados.<br />
2<br />
a) Si partes del total de empleados están casados, ¿cuántos<br />
3<br />
empleados están casados?<br />
3<br />
b) Si partes del total de empleados casados tienen hijos, ¿cuántos<br />
4<br />
empleados son casados y tienen hijos?<br />
c) ¿Qué parte (fracción) del total de empleados de la compañía son<br />
casados y tienen hijos?<br />
11. La mitad de un grupo de estudiantes viven en el área metropolitana. Si<br />
1/5 parte de los que viven en el área metropolitana también tienen carro,<br />
¿qué parte o fracción del total de estudiantes en el grupo viven en el área<br />
metropolitana y tienen carro?<br />
12. Antonio tiene un sueldo de $3,200 mensuales. Si Ricardo gana un 15%<br />
más, ¿cuál es el sueldo mensual de Ricardo?<br />
13. Un vendedor recibe una comisión de $.10 por cada dólar de venta. Si el<br />
vendedor tuvo ventas de $4500 el mes pasado, ¿cuánto recibió de<br />
comisión?<br />
14. Un técnico de computadoras cobra $30 por visita más $6.50 por cada<br />
hora de servicio. ¿Cuánto cobra en total por un servicio de 5 horas?<br />
15. El año pasado, Hilda le pidió prestados $480 a una amiga . Si ya le ha<br />
5<br />
devuelto partes de lo que le prestaron, ¿cuánto dinero le debe?<br />
8<br />
(Asuma que no le cobran intereses).<br />
12
16. Dieciocho de los 32 estudiantes de un curso, tienen una computadora en<br />
su casa, ¿qué porciento del total de estudiantes tienen computadora en su<br />
casa?<br />
17. El año pasado fueron admitidos un total de 540 estudiantes a la Facultad<br />
de Administración de Empresas.<br />
2<br />
a) Si partes de los admitidos piensan estudiar Finanzas, ¿cuántos<br />
9<br />
estudiantes piensan estudiar Finanzas?<br />
b) Si el 30% de los admitidos piensan estudiar Contabilidad, ¿cuántos<br />
estudiantes piensan estudiar Contabilidad?<br />
c) Si 27 estudiantes piensan estudiar estadística, ¿qué porciento del<br />
total admitidos piensan estudiar estadística?<br />
d) Si 90 estudiantes piensan estudiar gerencia, ¿qué parte o fracción<br />
del total admitidos piensan estudiar gerencia?<br />
18. El Sr. Ramos pagó un total de $10,562.50 por acciones de cierta<br />
compañía. Si cada acción le costó $84.50, ¿cuántas acciones compró?<br />
19. Un televisor plasma con un precio original de $1200 se vende a un precio<br />
en especial de $780. ¿Cuál es el porciento de descuento?<br />
2 3<br />
20. María fue a las tiendas y gastó partes del dinero que llevaba. Si<br />
5<br />
4<br />
partes de lo que gastó lo gastó en ropa, ¿qué parte del dinero que llevaba<br />
lo gastó en ropa?<br />
Respuestas<br />
1. a) 10 estudiantes<br />
1<br />
e)<br />
5<br />
b) 44% c) 8 estudiantes d) 10 estudiantes<br />
4<br />
2. a) Gastó partes. b) $1,000<br />
9<br />
3. Aumentó un 33%<br />
4. a) $42 b) $78<br />
4<br />
5. Guió partes.<br />
15<br />
9<br />
6. partes.<br />
40<br />
13
7. 20%<br />
8. 299 clientes.<br />
9. a) 160 acciones b) 128 acciones c) 72 acciones<br />
10. a) 100 empleados b) 75 empleados c) ½<br />
11. 1/10<br />
12. $3,680<br />
13. $450<br />
14. $62.50<br />
15. $180<br />
16. 56.25%<br />
17. a) 120 estudiantes b) 162 estudiantes c) 5% d) 1/6<br />
18. 125 acciones<br />
19. 35%<br />
20. 3/10<br />
14
Operaciones con números con signo<br />
1. Halle el valor de:<br />
a) − 5 + −6<br />
−1<br />
−1<br />
b) − 4 + −2<br />
c) +<br />
2 4<br />
d) − 3 + 5<br />
e) − 8 + 2<br />
3 2<br />
f) − +<br />
5 15<br />
2 − 7<br />
g) +<br />
3 8<br />
h) − . 2 + . 38<br />
i) − 4 − 2 j) − 4 − ( −2)<br />
k) 4 − ( −3)<br />
l) − 5 − 9<br />
m) − 5 − ( −9)<br />
n) 5 − ( −9)<br />
o) − 7 − 7 p) − 7 − ( −7)<br />
q)<br />
−1<br />
1<br />
−<br />
6 3<br />
2. Halle el valor de:<br />
a) (−3)(<br />
4)<br />
b) ( −3)(<br />
−4)<br />
c) ( 5)(<br />
−2)<br />
d) ( −2)(<br />
3)(<br />
−6)<br />
e) ( −5)(<br />
−1)(<br />
−3)<br />
f) 24 ÷ ( −6)<br />
g) ( − 36)<br />
÷ ( −9)<br />
h) ( − 42)<br />
÷ 7<br />
i) − 6 + 4 − 3<br />
k) 7 −<br />
( −3)<br />
−12<br />
r)<br />
− 3<br />
−<br />
5<br />
1<br />
10<br />
s) − . 83 − . 6 t) − . 79 − ( −.<br />
3)<br />
15
Respuestas<br />
3<br />
1. a) <strong>–</strong>11 b) <strong>–</strong>6 c) − d) 2 e) <strong>–</strong>6<br />
4<br />
7<br />
f) − g)<br />
15<br />
5<br />
− h) .18 i) <strong>–</strong>6 j) <strong>–</strong>2<br />
24<br />
k) 7 l) <strong>–</strong>14 m) 4 n) 14 o) <strong>–</strong>14<br />
p) 0<br />
1<br />
q) −<br />
2<br />
7<br />
r) −<br />
10<br />
s) <strong>–</strong>1.43 t) -.49<br />
2. a) <strong>–</strong>12 b) 12 c) <strong>–</strong>10 d) 36 e) <strong>–</strong>15<br />
f) <strong>–</strong>4 g) 4 h) <strong>–</strong>6 i) <strong>–</strong>5 j) <strong>–</strong>2<br />
16
1. Halle el valor de:<br />
Exponentes<br />
2<br />
3<br />
4<br />
2<br />
a) 5 b) 2 c) 3 d) 5 e) (−5)<br />
− 2<br />
2<br />
−2<br />
0<br />
3<br />
f) − 5 g) ( −5)<br />
h) 5 i) (−3)<br />
j)<br />
−2<br />
4 3<br />
− m) − 2<br />
−3<br />
−3<br />
k) ( 3)<br />
l)<br />
5<br />
2<br />
n)<br />
1<br />
2<br />
3<br />
(− ) o)<br />
2. Simplifique haciendo uso de las leyes de exponentes. Exprese el resultado<br />
con exponentes positivos.<br />
5 3<br />
a) 6 × 6<br />
4 −3<br />
b) 6 × 6<br />
2 −5<br />
c) 6 × 6<br />
−1<br />
0<br />
d) 6 × 6<br />
6<br />
6<br />
e) 2<br />
6<br />
5<br />
6<br />
f) − 1<br />
6<br />
2<br />
6<br />
g) 3<br />
6<br />
−<br />
−4<br />
6<br />
h) −2<br />
6<br />
3<br />
6<br />
i) 0<br />
6<br />
−<br />
2 3<br />
j) ( 6 )<br />
2 2 −3<br />
k) 6 ( 6 )<br />
3 −4<br />
6 × 6<br />
l) 5<br />
6<br />
−3<br />
6×<br />
6<br />
m) 0<br />
6<br />
3. Simplifique haciendo uso de las leyes de exponentes. Exprese el resultado<br />
con exponentes positivos.<br />
2 3<br />
2 −4<br />
−5<br />
−1<br />
a) ( xy )( x y)<br />
b) ( y )( x y ) c)<br />
d)<br />
x 1<br />
2 −<br />
y<br />
−<br />
x y<br />
2<br />
2 −1<br />
2<br />
g) xy(<br />
x y ) h)<br />
3<br />
x y<br />
xy<br />
x 2<br />
−5<br />
3<br />
x y<br />
e) −2<br />
6<br />
x<br />
y<br />
4<br />
3 ) ( x<br />
y<br />
i)<br />
f)<br />
5<br />
4 5<br />
( x y<br />
x<br />
(<br />
y<br />
6 2<br />
j) ( 3uv<br />
)<br />
7 −3<br />
−3<br />
k) ( −2 p q )<br />
4<br />
2a<br />
l) ( ) −5<br />
3b<br />
2 3<br />
( −3ab<br />
)<br />
m) −1<br />
−4<br />
−2<br />
( 2a<br />
b )<br />
4 −6<br />
n) ( 5p<br />
q )(<br />
−2<br />
3<br />
4 p q )<br />
−2<br />
15m<br />
n<br />
o) 2<br />
25m<br />
n<br />
−2<br />
4<br />
)<br />
3<br />
3 −<br />
)<br />
−3<br />
1<br />
( )<br />
3<br />
3<br />
−2<br />
− −1<br />
0<br />
− 2<br />
17
Respuestas<br />
1. a) 25 b) 8 c) 81 d) 1/25 e) 25<br />
f) <strong>–</strong>25 g) 1/25 h) 1 i) <strong>–</strong>27 j) 1/27<br />
k) <strong>–</strong>1/27 l) 100 m) 8/9 n) <strong>–</strong>8/27 o) 16<br />
6 3<br />
6<br />
6<br />
1<br />
5 h)<br />
1<br />
2 i) 3<br />
8<br />
2. a) b) 6 c)<br />
6<br />
f) g)<br />
6<br />
1 1<br />
d) e)<br />
6<br />
6<br />
1<br />
6<br />
1 1<br />
k) l) m) 4<br />
6<br />
2<br />
6<br />
6<br />
4<br />
x y<br />
3 5<br />
3<br />
3. a) b)<br />
1<br />
x y<br />
x 5<br />
12 15<br />
f) x y g)<br />
y<br />
k)<br />
9<br />
q<br />
21<br />
8p<br />
9<br />
8<br />
4a<br />
b<br />
− l) 10<br />
3<br />
c) d)<br />
1<br />
j)<br />
6<br />
4<br />
6<br />
6<br />
6<br />
3<br />
2 x 1<br />
x y<br />
e) 3<br />
3 3<br />
y<br />
y<br />
4<br />
x 6 12<br />
2 12<br />
h) i) x y j) 9u v<br />
12<br />
108a<br />
b<br />
20 p<br />
q<br />
2<br />
m) − 2 n) − 3 o) 4<br />
x<br />
y<br />
3n<br />
5m<br />
18
Halle el valor de:<br />
1)<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
5)<br />
6)<br />
7)<br />
8)<br />
9)<br />
10)<br />
11)<br />
12)<br />
3 − 5 • 2<br />
( 3 −<br />
3<br />
3<br />
5)<br />
2<br />
24 ÷ 4 • 3 − 20<br />
24 ÷ ( 4 • 3)<br />
− 20<br />
60 − 20 ÷ 5 • 2 − 3<br />
( 60 − 20)<br />
÷ ( 5 • 2)<br />
− 3<br />
10 − 3(<br />
5 − 8)<br />
3<br />
)<br />
4<br />
(<br />
2<br />
( 1−<br />
− −<br />
20 ÷ 4 − 3•<br />
2<br />
1<br />
)<br />
2<br />
2<br />
24 + 12 ÷ 3•<br />
5<br />
3<br />
( 2 − 3)<br />
• 4<br />
1 2 1<br />
− ( )<br />
2 5 4<br />
3 9<br />
÷<br />
5 10<br />
1 1 3<br />
÷<br />
−<br />
2 4 4<br />
1 3<br />
( 1−<br />
)<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
Orden de operaciones<br />
19
1) <strong>–</strong>37<br />
2) <strong>–</strong>16<br />
3) <strong>–</strong>2<br />
4) <strong>–</strong>8<br />
5) 43<br />
6) <strong>–</strong>5<br />
7) 19<br />
3<br />
8)<br />
16<br />
9) <strong>–</strong>7<br />
10) <strong>–</strong>11<br />
3<br />
11)<br />
5<br />
12) 10<br />
Respuestas<br />
20
Notación Científica<br />
1. Exprese en notación científica:<br />
a) 345, 000<br />
e) 856.<br />
2<br />
b) . 00489 c) 1, 245,<br />
600 d) . 0000728<br />
2. Halle el valor de:<br />
4<br />
a) 1 . 59×<br />
10<br />
−3<br />
b) 3.<br />
245×<br />
10<br />
−5<br />
c) 1.<br />
87 × 10 d) 7 . 486×<br />
10<br />
3. Halle el valor. Exprese el resultado sin exponentes.<br />
3<br />
2<br />
a) ( 6×<br />
10 )( 5×<br />
10 )<br />
b)<br />
( 3.<br />
6×<br />
10<br />
4.<br />
8×<br />
10<br />
6×<br />
10<br />
c) −2<br />
32×<br />
10<br />
8×<br />
10<br />
d) −2<br />
)( 9×<br />
10<br />
−1<br />
−4<br />
−5<br />
4<br />
)<br />
4. Multiplique o divida convirtiendo primero a notación científica. Exprese el<br />
resultado sin exponentes.<br />
24,<br />
000<br />
a)<br />
. 003<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
( 140,<br />
000)(.<br />
0007)<br />
. 000348<br />
4,<br />
000<br />
(. 0005)(.<br />
00012)<br />
(.<br />
00015)(<br />
3,<br />
000)<br />
e)<br />
. 00005<br />
21<br />
6
Respuestas<br />
5<br />
1. a) 3 . 45×<br />
10<br />
2<br />
e) 8 . 562×<br />
10<br />
−3<br />
b) 4.<br />
89×<br />
10<br />
6<br />
c) 1 . 2456×<br />
10 d)<br />
7.<br />
28×<br />
10<br />
2. a) 15,900 b) .003245 c) .0000187 d) 7,486,000<br />
3. a) 3,000,000 b) .000324 c) .0008 d) 4,000,000<br />
4. a) 8,000,000 b) 98 c) .000000087 d) .00000006<br />
e) 9,000<br />
22<br />
−5
Evaluación y simplificación de expresiones algebraicas<br />
1. Evalúe las siguientes expresiones algebraicas para los valores dados.<br />
2<br />
1<br />
a) x − 3x<br />
+ 4 ; x = −4<br />
, x = , x = 5<br />
2<br />
3 2<br />
b) y − y + 2y<br />
− 3 ; y = −3<br />
, y = 4<br />
3 2 2 4<br />
c) − 2 p q − p q + pq ; p = −4<br />
, q = 3<br />
5 2 4 3 2 4 6<br />
d) v w + v w − v w − w ; v = −2,<br />
w = −1<br />
2. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas.<br />
3 2<br />
2<br />
a) 5x<br />
− 3x<br />
+ 4x<br />
− x − 7x<br />
+ 2<br />
3 2<br />
2<br />
b) 5x<br />
− 3x<br />
+ 4x<br />
− ( x − 7x<br />
+ 2)<br />
c) 4 ( 2a<br />
+ 3)<br />
− 3(<br />
5a<br />
+ 2)<br />
2<br />
d) 2y(<br />
4y<br />
−1) − y(<br />
y + 5y<br />
+ 3)<br />
1 1<br />
e) ( 3c<br />
− d)<br />
− ( c + 3d)<br />
2 4<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
f) 3pq( p − pq + q ) − p(<br />
2 pq + p q)<br />
− 5pq<br />
g) 8 x −[ 3x<br />
− 2(<br />
4x<br />
− 5)<br />
+ 6]<br />
h) 6 − 3{<br />
4y<br />
−[<br />
5y<br />
+ 2(<br />
y − 4)<br />
− 8]<br />
+ 7}<br />
i) 2v − 3{<br />
5 − 2[<br />
6v<br />
− 4(<br />
v + 1)<br />
− 5]<br />
+ 2v}<br />
−10<br />
j)<br />
2<br />
2 3<br />
8b<br />
− 2{<br />
3b<br />
− b[<br />
4b<br />
+ 5(<br />
b − 9)<br />
− b ] − 6b<br />
+ b −1}<br />
3<br />
23
Respuestas<br />
11<br />
1. a) 32, , 14 b) <strong>–</strong>45, 53 c) <strong>–</strong>84 d) <strong>–</strong>53<br />
4<br />
3 2<br />
3 2<br />
2. a) 5x<br />
− 4x<br />
− 3x<br />
+ 2 b) 5x<br />
− 4x<br />
+ 11x<br />
− 2<br />
c) − 7 a + 6<br />
d) y 3y 5y<br />
2 3<br />
− + −<br />
5 5<br />
e) c − d<br />
f)<br />
4 4<br />
g) 13x −16<br />
h) 9y<br />
− 63<br />
3 2 2 3<br />
2 p q − 5p<br />
q − 2 pq<br />
3 2<br />
i) 8v − 79<br />
j) 10b<br />
+ 12b<br />
− 84b<br />
+ 2<br />
24
Operaciones con polinomios<br />
1. Sume o reste los siguientes polinomios.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
( 2<br />
x<br />
( 5a<br />
( 3<br />
y<br />
2<br />
3<br />
4<br />
2<br />
− 4x)<br />
+ ( −5x<br />
− 3x<br />
+<br />
4<br />
− 2a<br />
− 6)<br />
+ ( 2a<br />
− a<br />
3<br />
2)<br />
− 4)<br />
3<br />
3<br />
− y + 2y)<br />
− ( 4y<br />
− 2y<br />
− 5)<br />
4 3 3 2 5 3 3 2 5<br />
d) ( 2a<br />
+ a b − 6a<br />
b ) − ( 4a<br />
b − a b + 3b<br />
2 1 1<br />
e) ( p − p + 1)<br />
− ( p + 2)<br />
2 3<br />
2. Multiplique los siguientes polinomios.<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
a) 4x<br />
y(<br />
− 5xy<br />
)<br />
k) ( x −1)( 3x<br />
− 6x<br />
− 8)<br />
3 2<br />
3 2<br />
b) − 2x<br />
( x − x + 7x<br />
− 4)<br />
l) ( y − 5)((<br />
y − 4y<br />
+ y − 9)<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
c) 3ab(<br />
5a<br />
− 2ab<br />
− b )<br />
m) ( a + 3a<br />
−1)(<br />
2a<br />
− a + 5)<br />
d) ( x + 8)(<br />
x − 3)<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
n) ( r + rs − 3s<br />
)( 2r<br />
− 3rs<br />
− s )<br />
e) ( y − 9)(<br />
y − 2)<br />
o) ( x − 2)(<br />
x + 3)(<br />
x − 5)<br />
f) ( 2z<br />
− 5)(<br />
3z<br />
+ 4)<br />
g) ( 4a<br />
+ 3)(<br />
5a<br />
+ 6)<br />
h) ( a − 7b)(<br />
−3a<br />
+ 5b)<br />
p) ( 2y<br />
+ 1)(<br />
y − 4)(<br />
y + 2)<br />
i)<br />
j)<br />
2 2<br />
( m + 1)(<br />
m − m)<br />
( n<br />
3<br />
− n)(<br />
n<br />
2<br />
+ 3)<br />
3. Halle los siguientes productos especiales. Trate de obtener el resultado<br />
mentalmente.<br />
a) ( x − 7)(<br />
x + 7)<br />
2<br />
g) ( y − 8)<br />
b) ( x + 8)(<br />
x − 8)<br />
2<br />
h) ( 5m<br />
+ 3)<br />
c) ( 2y<br />
− 5)(<br />
2y<br />
+ 5)<br />
2<br />
i) ( 7 − 4n)<br />
d) ( 4y<br />
+ 3)(<br />
4y<br />
− 3)<br />
2<br />
j) ( 5p<br />
− 6q)<br />
e) ( 2b<br />
− 3c)(<br />
2b<br />
+ 3c)<br />
2 2<br />
k) ( 3s<br />
+ s)<br />
2<br />
2<br />
f) ( 3a<br />
−1)( 3a<br />
+ 1)<br />
2 3<br />
l) ( 4s<br />
− 3t<br />
)<br />
4. Lleve a cabo las siguientes operaciones y simplifique.<br />
a) ( 2x<br />
+ 3)(<br />
3x<br />
− 2)<br />
+ ( 4x<br />
−1)(<br />
x + 1)<br />
b) ( y − 4)(<br />
5y<br />
−1)<br />
− ( 3y<br />
+ 2)(<br />
2y<br />
− 5)<br />
2<br />
c) ( 5a<br />
− 4)(<br />
5a<br />
+ 4)<br />
+ ( 2a<br />
− 7)<br />
6<br />
)<br />
2<br />
25
26<br />
d)<br />
2<br />
)<br />
7<br />
2<br />
(<br />
)<br />
4<br />
5<br />
(<br />
4<br />
5 −<br />
+<br />
+<br />
− a<br />
a<br />
a<br />
e)<br />
)<br />
1<br />
6<br />
)(<br />
1<br />
6<br />
(<br />
)<br />
3<br />
4<br />
(<br />
2<br />
−<br />
+<br />
−<br />
− b<br />
b<br />
b<br />
f)<br />
2<br />
)<br />
3<br />
5<br />
(<br />
)<br />
5<br />
2<br />
)(<br />
3<br />
7<br />
( −<br />
−<br />
+<br />
+ d<br />
d<br />
d<br />
g) )<br />
5<br />
2<br />
)(<br />
3<br />
(<br />
3<br />
)<br />
1<br />
3<br />
)(<br />
1<br />
3<br />
(<br />
2 +<br />
−<br />
−<br />
+<br />
− p<br />
p<br />
p<br />
p<br />
5. Divida.<br />
a)<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
5<br />
15<br />
25<br />
50<br />
3<br />
4<br />
+<br />
−<br />
b)<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
2<br />
4<br />
2<br />
2<br />
3<br />
5<br />
6<br />
12<br />
9<br />
18 −<br />
+<br />
c)<br />
5<br />
3<br />
10<br />
14<br />
12 2<br />
−<br />
−<br />
−<br />
a<br />
a<br />
a<br />
d)<br />
7<br />
4<br />
28<br />
19<br />
20 2<br />
+<br />
−<br />
+<br />
b<br />
b<br />
b<br />
e)<br />
4<br />
2<br />
8<br />
4<br />
6 2<br />
−<br />
−<br />
−<br />
c<br />
c<br />
c<br />
f)<br />
3<br />
2<br />
6<br />
9<br />
13<br />
2<br />
2<br />
3<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
g)<br />
4<br />
2<br />
9<br />
6<br />
4 3<br />
−<br />
−<br />
−<br />
m<br />
m<br />
m<br />
h)<br />
3<br />
27<br />
3<br />
−<br />
−<br />
n<br />
n<br />
i)<br />
2<br />
20<br />
2 2<br />
4<br />
−<br />
−<br />
+<br />
p<br />
p<br />
p<br />
Respuestas<br />
1.<br />
a)<br />
2<br />
7<br />
3 2<br />
+<br />
−<br />
− x<br />
x<br />
b)<br />
10<br />
2<br />
4<br />
2<br />
3<br />
4<br />
−<br />
−<br />
+ a<br />
a<br />
a<br />
c)<br />
5<br />
4<br />
5<br />
3<br />
3<br />
4<br />
+<br />
+<br />
− y<br />
y<br />
y<br />
d)<br />
6<br />
5<br />
2<br />
3<br />
3<br />
4<br />
3<br />
5<br />
3<br />
2 b<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
a −<br />
−<br />
−<br />
e) 1<br />
6<br />
5<br />
2<br />
−<br />
− p<br />
p
2.<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
3 4<br />
a) − 20x y<br />
2<br />
e) y −11y + 18<br />
4 3 2<br />
b) − 2x<br />
+ 2x<br />
−14x<br />
+ 8x<br />
f) 6 7 20<br />
2<br />
z − z −<br />
3 2 2 4<br />
c) 15a b − 6a<br />
b − 3ab<br />
g) 20 39 18<br />
2<br />
a + a +<br />
2<br />
d) x + 5x<br />
− 24<br />
2<br />
2<br />
h) − 3a + 26ab<br />
− 35b<br />
4 3 2<br />
i) m − m + m − m<br />
4 3<br />
m) 2a<br />
+ 5a<br />
+ 16a<br />
− 5<br />
j) n 2n 3n<br />
n)<br />
3 5<br />
+ −<br />
4 3 2 2 3<br />
2r − r s −10r<br />
s + 8rs<br />
+ 3s<br />
4 3 2<br />
k) 3x<br />
− 6x<br />
−11x<br />
+ 6x<br />
+ 8<br />
o) 4 11 30<br />
2 3<br />
x − x − x +<br />
4 3 2<br />
l) y − 9y<br />
+ 21y<br />
−14y<br />
+ 45<br />
3 2<br />
p) 2y<br />
− 3y<br />
−18y<br />
− 8<br />
2<br />
a) x − 49<br />
2<br />
g) y −16y + 64<br />
2<br />
b) x − 64<br />
2<br />
h) 25m + 30m<br />
+ 9<br />
c) 4 25<br />
I)<br />
2 y −<br />
2<br />
49 − 56n<br />
+ 16n<br />
d) 16 9<br />
j)<br />
2 y −<br />
2<br />
25p − 60 pq + 36q<br />
2 2<br />
e) 4b − 9c<br />
4 3 2<br />
k) 9s + 6s<br />
+ s<br />
f) 9 1<br />
l)<br />
4 a −<br />
4 2 3 6<br />
16s − 24s<br />
t + 9t<br />
a) 10 8 7<br />
d)<br />
2<br />
x + x −<br />
4 43 33<br />
2<br />
a − a +<br />
2<br />
b) − y −10y<br />
+ 14<br />
e) 20 24 10<br />
2<br />
− b − b +<br />
c) 29 28 33<br />
f)<br />
2<br />
a − a +<br />
11 71 6<br />
2<br />
− d + d +<br />
g) 12 3 43<br />
2<br />
p + p +<br />
3 2<br />
a) 10x<br />
− 5x<br />
+ 3<br />
f) d<br />
2<br />
3<br />
+ 5d<br />
− 3 +<br />
2d<br />
+ 3<br />
3 3<br />
3<br />
b) 3x + xy − 2y<br />
2<br />
11<br />
g) 2 4 5<br />
2 4<br />
2<br />
m + m + +<br />
m −<br />
c) 4 a + 2<br />
d) 5b − 4<br />
2<br />
h) n + 3n<br />
+ 9<br />
8<br />
e) 3c<br />
+ 4 +<br />
2c<br />
− 4<br />
4<br />
i) 2 6 12<br />
2<br />
2 3<br />
p<br />
+ p + p + +<br />
p −<br />
2<br />
4<br />
27
Factorización de polinomios<br />
1. Factorice removiendo el factor común máximo.<br />
a)<br />
b)<br />
8 6 4 2<br />
4x −12x<br />
+ 8x<br />
− 20x<br />
y 5y 3y<br />
2 3<br />
− − −<br />
5 2 4 3<br />
c) 10 p q − 5p<br />
q + 15pq<br />
4 3 3 3 2 2 4<br />
d) 12a b c + 6a<br />
b c −18a<br />
b c<br />
e) − z − 2<br />
2<br />
f) z − 5z<br />
2. Remueva todo factor común y simplifique.<br />
a) ( x − 2)(<br />
x + 3)<br />
+ ( x − 2)(<br />
2x<br />
+ 1)<br />
b) ( x − 2)(<br />
x + 3)<br />
− ( x − 2)(<br />
2x<br />
+ 1)<br />
c) 4 x(<br />
3x<br />
+ 2)<br />
− 5(<br />
3x<br />
+ 2)<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
2<br />
( y + 3)<br />
+ ( y +<br />
2<br />
( y + 3)<br />
− ( y +<br />
3)<br />
3)<br />
2<br />
2z( z − 4)<br />
− ( z −<br />
3<br />
3<br />
4)<br />
3<br />
2<br />
g) 2z( z − 4)<br />
− ( z − 4)<br />
h) 5 a(<br />
2a<br />
+ 1)<br />
−10(<br />
2a<br />
+ 1)<br />
i)<br />
j)<br />
10 2<br />
a<br />
( 2a<br />
+ 1)<br />
+ 5a(<br />
2a<br />
+ 1)<br />
2 2<br />
20b(<br />
b − 5)<br />
− 5b<br />
( b − 5)<br />
5<br />
3<br />
2<br />
k) 12b<br />
( 4b<br />
− 3)<br />
+ 6b<br />
( 4b<br />
− 3)<br />
−18b<br />
( 4b<br />
− 3)<br />
l)<br />
m)<br />
4 2<br />
4 c(<br />
5c<br />
+ 1)<br />
− 8c<br />
( 5c<br />
+<br />
3<br />
1)<br />
3 3<br />
4<br />
( x + 1)<br />
( y + 2)<br />
+ 2(<br />
x + 1)<br />
( y +<br />
3. Factorice por agrupación.<br />
2<br />
a) 15x −12xy<br />
+ 10xy<br />
− 8y<br />
b)<br />
c)<br />
y<br />
3<br />
4 5 20<br />
2<br />
+ y + y +<br />
3<br />
2 2<br />
4 p + 4 pq + p q + q<br />
4 3<br />
d) 4b<br />
+ 4b<br />
− 3b<br />
− 3<br />
3 2<br />
e) 5a<br />
+ 10a<br />
− 4a<br />
− 8<br />
3<br />
2 2<br />
f) 3t − 3ts<br />
− 4t<br />
s + 4s<br />
4 3 2 3<br />
g) 15u −10u<br />
v − 3uv<br />
+ 2v<br />
2 2<br />
3 2<br />
h) 3x y + 9xyz<br />
− 2xy<br />
− 6y<br />
z<br />
i) ab<br />
+ 2a − b − 2<br />
3<br />
4<br />
2<br />
5<br />
2)<br />
2<br />
28
4. Factorice los siguientes trinomios. Cuando sea posible, remueva el factor<br />
común primero.<br />
2<br />
a) x − 9x<br />
+ 14<br />
l) p 7 p 12 p<br />
2 3<br />
− +<br />
2<br />
3 2<br />
b) x − 5x<br />
−14<br />
m) q − 8q<br />
− 20q<br />
2<br />
c) y + 11y<br />
+ 28<br />
n) 2 5 12<br />
2<br />
q − q −<br />
2<br />
d) y − 5y<br />
− 36<br />
o) 3 2 8<br />
2<br />
t + t −<br />
2<br />
e) z + 3z<br />
−18<br />
p) 6 7 20<br />
2<br />
t − t −<br />
2<br />
2<br />
f) u −14uv<br />
− 32v<br />
2<br />
q) 4c + 9cd<br />
+ 2d<br />
2<br />
2<br />
g) u + 5uv − 6v<br />
2<br />
2<br />
r) 4c − 8cd<br />
+ 3d<br />
h) 19 48<br />
s)<br />
2<br />
4<br />
a + a +<br />
8 26 15<br />
2<br />
n − n +<br />
i) 7 30<br />
t)<br />
2 4<br />
a + a −<br />
12 7 12<br />
2<br />
n − n −<br />
j) 2 4 30<br />
u)<br />
2<br />
a + a −<br />
6 22<br />
2<br />
d + d −<br />
k) 3 6 24<br />
v)<br />
2<br />
p − p −<br />
12 14 6<br />
2<br />
m + m −<br />
w)<br />
3 2<br />
8m<br />
−11m<br />
−10m<br />
5. Factorice los siguientes binomios. Cuando sea posible, remueva el factor<br />
común primero.<br />
a) i) 3 75<br />
2 2<br />
x −100<br />
y −<br />
2<br />
b) x −144<br />
3<br />
j) z − 9z<br />
4<br />
c) y − 36<br />
2 2<br />
k) 50x − 32y<br />
d) 9 25<br />
l)<br />
6 y −<br />
3<br />
2<br />
16a − 49ab<br />
4 2<br />
e) u − v<br />
2<br />
m) 12m − 27n<br />
16 36<br />
f) u − v<br />
2 2<br />
g) 4x − 81y<br />
2 4<br />
h) 9 p − 4q<br />
2 2 6<br />
n) 36s t − t<br />
6. Factorice los siguientes trinomios. Cuando sea posible, remueva el factor<br />
común primero.<br />
2<br />
a) x + 14x<br />
+ 49<br />
2<br />
g) 18p + 24 pq + 8q<br />
2<br />
b) x −18x + 81<br />
4 3<br />
h) 4m + 12m<br />
+ 9m<br />
c) 4 4 1<br />
i)<br />
2<br />
y + y +<br />
4 2 2 4<br />
s − 2s t + t<br />
d) 9 24 16<br />
j)<br />
2<br />
y − y +<br />
4 20 9<br />
2<br />
u + u +<br />
e) 25 30 9<br />
k)<br />
2<br />
z + z +<br />
9 26 16<br />
2<br />
v − v +<br />
2<br />
2<br />
f) 16a − 8ab<br />
+ b<br />
l) 4 4<br />
3 6<br />
w<br />
− w +<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
29
7. Factorice los siguientes binomios. Cuando sea posible, remueva el factor<br />
común primero.<br />
a)<br />
b)<br />
3<br />
x − 64<br />
3<br />
y + 125<br />
c) 8 1<br />
3 z −<br />
3<br />
d) 27a + b<br />
3<br />
e) 5p − 5q<br />
4<br />
f) 2m −128mn<br />
6 6<br />
g) 3a +<br />
24b<br />
3<br />
3<br />
3<br />
30
1.<br />
2.<br />
3.<br />
Respuestas ejercicios factorización<br />
2 6 4 2<br />
a) 4x<br />
( x − 3x<br />
+ 2x<br />
− 5)<br />
2 3 2<br />
4<br />
d) 6a<br />
b c(<br />
2a<br />
+ ac − 3bc<br />
)<br />
2<br />
b) − y ( y + 5y<br />
+ 3)<br />
e) − ( z + 2)<br />
2 4 3 2<br />
c) 5pq<br />
( 2 p − p q + 3q<br />
)<br />
f) z ( z − 5)<br />
a) ( x − 2)(<br />
3x<br />
+ 4)<br />
b) ( x − 2)(<br />
−x<br />
+ 2)<br />
c) ( 3x<br />
+ 2)(<br />
4x<br />
− 5)<br />
2<br />
d) ( y + 3)<br />
( y + 4)<br />
2<br />
e) ( y + 3)<br />
( −y<br />
− 2)<br />
= −(<br />
y + 2)(<br />
y + 3<br />
2<br />
f) ( z − 4)<br />
( z + 4)<br />
2 2<br />
g) ( z − 4)<br />
( 2z<br />
− 8z<br />
−1)<br />
h) 5( 2a<br />
+ 1)(<br />
a − 2)<br />
2<br />
i) 5 a(<br />
2a<br />
+ 1)<br />
j) 5b( b − 5)(<br />
3b<br />
− 20)<br />
2<br />
3<br />
k) 6b<br />
( 4b<br />
− 3)(<br />
2b<br />
+ b − 3)<br />
3<br />
l) 4c(<br />
5c<br />
+ 1)<br />
( 3c<br />
+ 1)<br />
3<br />
2<br />
m) ( x + 1)<br />
( y + 2)<br />
( 2x<br />
+ y + 4)<br />
a) ( 5x<br />
− 4y)(<br />
3x<br />
+ 2y)<br />
2<br />
b) ( y + 4)(<br />
y + 5)<br />
2<br />
c) ( p + q)(<br />
4 p + q)<br />
3<br />
d) ( b + 1)(<br />
4b<br />
− 3)<br />
2<br />
e) ( a + 2)(<br />
5a<br />
− 4)<br />
f) ( )( 3 4 )<br />
2<br />
t − s t − s<br />
3 2<br />
g) ( 3u<br />
− 2v)(<br />
5u<br />
− v )<br />
2<br />
h) ( xy + 3z)(<br />
3xy<br />
− 2y<br />
)<br />
i) ( b<br />
+ 2)(<br />
a −1)<br />
2<br />
)<br />
31
4.<br />
5.<br />
6.<br />
7.<br />
a) ( x − 7)(<br />
x − 2)<br />
l) p ( p − 4)(<br />
p − 3)<br />
b) ( x − 7)(<br />
x + 2)<br />
m) q ( q −10)( q + 2)<br />
c) ( y + 4)(<br />
y + 7)<br />
n) ( 2q<br />
+ 3)(<br />
q − 4)<br />
d) ( y − 9)(<br />
y + 4)<br />
o) ( 3t<br />
− 4)(<br />
t + 2)<br />
e) ( z + 6)(<br />
z − 3)<br />
p) ( 3t<br />
+ 4)(<br />
2t<br />
− 5)<br />
f) ( u − 16v)(<br />
u + 2v)<br />
q) ( 4c<br />
+ d)(<br />
c + 2d)<br />
g) ( u + 6v)(<br />
u − v)<br />
r) ( 2c<br />
− d)(<br />
2c<br />
− 3d)<br />
2<br />
2<br />
h) ( a + 16)(<br />
a + 3)<br />
s) ( 4n<br />
− 3)(<br />
2n<br />
− 5)<br />
2<br />
2<br />
i) ( a + 10)(<br />
a − 3)<br />
t) ( 4n<br />
+ 3)(<br />
3n<br />
− 4)<br />
j) 2( a + 5)(<br />
a − 3)<br />
u) ( 6d<br />
−11)( d + 2)<br />
k) 3 ( p − 4)(<br />
p + 2)<br />
v) 2 ( 3m<br />
−1)( 2m<br />
+ 3)<br />
w) m ( 8m<br />
+ 5)(<br />
m − 2)<br />
a) ( x −10)( x + 10)<br />
i) 3 ( y − 5)(<br />
y + 5)<br />
b) ( x −12)( x + 12)<br />
j) z ( z − 3)(<br />
z + 3)<br />
2 2<br />
c) ( y − 6)(<br />
y + 6)<br />
k) 2( 5x<br />
− 4y)(<br />
5x<br />
+ 4y)<br />
3<br />
3<br />
d) ( 3y<br />
− 5)(<br />
3y<br />
+ 5)<br />
l) a ( 4a<br />
− 7b)(<br />
4a<br />
+ 7b)<br />
2 2<br />
e) ( u − v)(<br />
u + v)<br />
m) 3( 2m<br />
− 3n)(<br />
2m<br />
+ 3n)<br />
8 18 8 18<br />
f) ( u − v )( u + v )<br />
g) ( 2x<br />
− 9y)(<br />
2x<br />
+ 9y)<br />
2<br />
2<br />
h) ( 3p<br />
− 2q<br />
)( 3p<br />
+ 2q<br />
)<br />
2 2<br />
2<br />
n) t ( 6s<br />
− t )( 6s<br />
+ t )<br />
2<br />
a) ( x + 7)<br />
2<br />
g) 2( 3p<br />
+ 2q)<br />
2<br />
b) ( x − 9)<br />
2<br />
2<br />
h) m ( 2m<br />
+ 3)<br />
2<br />
c) ( 2y<br />
+ 1)<br />
2 2 2<br />
i) ( s − t )<br />
2<br />
d) ( 3y<br />
− 4)<br />
j) ( 2u<br />
+ 1)(<br />
2u<br />
+ 9)<br />
2<br />
e) ( 5z<br />
+ 3)<br />
k) ( 9v<br />
− 8)(<br />
v − 2)<br />
2<br />
f) ( 4a<br />
− b)<br />
3 2<br />
l) ( w − 2)<br />
2<br />
a) ( x − 4)(<br />
x + 4 x + 16)<br />
2<br />
2<br />
f) 2m<br />
( m − 4n)(<br />
m + 4mn<br />
+ 16n<br />
)<br />
2<br />
b) ( y + 5)(<br />
y − 5y<br />
+ 25)<br />
2<br />
c) ( 2z<br />
−1)( 4z<br />
+ 2z<br />
+ 1)<br />
2<br />
2<br />
d) ( 3a<br />
+ b)(<br />
9a<br />
− 3ab<br />
+ b )<br />
2<br />
2<br />
e) 5(<br />
p −<br />
q)(<br />
p + pq + q )<br />
2 2 4<br />
g) 3(<br />
a + 2b<br />
)( a<br />
2 2 4<br />
− 2a<br />
b + 4b<br />
)<br />
32
Factorización completa<br />
Factorice completamente los siguientes polinomios:<br />
1. 48 27<br />
2 x −<br />
3 2<br />
2. 9y<br />
+ 12y<br />
+ 4y<br />
3. 6ab + 3b<br />
− 4a<br />
− 2<br />
3 2<br />
4. 12d<br />
+ 14d<br />
− 20d<br />
2<br />
2<br />
5. x ( 4x<br />
+ 5)<br />
− ( 4x<br />
+ 5)<br />
6. 2 54<br />
3 f −<br />
7. 5 36<br />
2<br />
4<br />
m − m −<br />
2 3<br />
2 2<br />
8. 4 ( n + 1)<br />
− 20(<br />
n + 1)<br />
3 2<br />
9. 12 p + 27 p − 27 p<br />
2<br />
2<br />
10. 5p<br />
q + 20 p −15q<br />
− 60<br />
2<br />
2<br />
11. 16r − 80rs<br />
+ 100s<br />
6<br />
12. u −1<br />
4 3 2<br />
13. 12v −19v<br />
+ 4v<br />
14. 5 4 4<br />
2<br />
z − z +<br />
2<br />
15. 3( x + 1)<br />
( y − 2)<br />
+ 6(<br />
x + 1)(<br />
y − 2)<br />
4 2 2 4<br />
16. 12a + a b − b<br />
2<br />
2<br />
17. 3 x<br />
( 2x<br />
+ 1)<br />
− ( 2x<br />
+ 1)<br />
2<br />
33
1. 3 ( 4x<br />
− 3)(<br />
4x<br />
+ 3)<br />
2<br />
2. y(<br />
3y<br />
+ 2)<br />
3. ( 2a<br />
+ 1)(<br />
3b<br />
− 2)<br />
4. 2 d(<br />
6d<br />
− 5)(<br />
d + 2)<br />
5. ( 4x<br />
+ 5)(<br />
x − 5)(<br />
x + 1)<br />
2<br />
6. 2(<br />
f − 3)(<br />
f + 3 f + 9)<br />
2<br />
7. ( m − 3)(<br />
m + 3)(<br />
m + 4)<br />
2 2<br />
8. 4 ( n − 2)(<br />
n + 2)(<br />
n + 1)<br />
9. 3 p(<br />
4 p − 3)(<br />
p + 3)<br />
2<br />
10. 5(<br />
p − 3)(<br />
q + 4)<br />
2<br />
11. 4( 2r<br />
− 5s)<br />
2<br />
2<br />
12. ( u −1)( u + u + 1)(<br />
u + 1)(<br />
u − u + 1)<br />
2<br />
13. v ( 3v<br />
− 4)(<br />
4v<br />
−1)<br />
14. no es factorizable<br />
15. 3( x + 1)(<br />
y − 2)(<br />
x + 2y<br />
− 3)<br />
2 2<br />
16. ( 2a<br />
− b)(<br />
2a<br />
+ b)(<br />
3a<br />
+ b )<br />
17. ( 2x<br />
+ 1)(<br />
3x<br />
+ 1)(<br />
x −1)<br />
Respuestas<br />
34
Operaciones con expresiones<br />
algebraicas fraccionales<br />
1. Halle la(s) restricción(es) de las siguientes fracciones algebraicas.<br />
5x<br />
−1<br />
a)<br />
x + 4<br />
x + 1<br />
b)<br />
3x<br />
4x<br />
c)<br />
2x<br />
−1<br />
y − 5<br />
d) 2<br />
y −1<br />
4y<br />
+ 3<br />
e) 2<br />
y − 2y<br />
− 24<br />
2. Reduzca (simplifique) las siguientes fracciones algebraicas.<br />
x + 1<br />
x + x<br />
2<br />
2x − 7x<br />
− 4<br />
2<br />
2x<br />
+ 5x<br />
+ 2<br />
3 2<br />
y − 7 y + 10y<br />
3<br />
y − 2y<br />
2<br />
6y −14y<br />
−12<br />
2<br />
4y<br />
−16y<br />
+ 12<br />
a) 3 2<br />
b)<br />
c) 2<br />
d)<br />
2<br />
a − 2ab<br />
+ b<br />
ab − a<br />
2<br />
25 − z<br />
2<br />
z − 2z<br />
−15<br />
e) 2<br />
f)<br />
3. Multiplique o divida.<br />
a)<br />
2<br />
2<br />
3 2<br />
2m<br />
+ m − 6 m − m<br />
•<br />
2<br />
2<br />
m − m 3m<br />
+ 7m<br />
+ 2<br />
2<br />
2 2<br />
2r<br />
+ 5rs<br />
+ 2s<br />
3r<br />
+ 2rs<br />
− s<br />
•<br />
2<br />
2 2<br />
3r<br />
− 4rs<br />
+ s 2r<br />
+ 3rs<br />
+ s<br />
2<br />
t −<br />
6t<br />
+ 9 3t<br />
• 2<br />
9t<br />
3t<br />
− t<br />
b) 2<br />
c) 2<br />
2<br />
35
3<br />
2<br />
u u + 3u<br />
d)<br />
÷<br />
2<br />
2<br />
u − 7u<br />
−18<br />
u − 6u<br />
− 27<br />
2<br />
2v − 3v<br />
− 2 2<br />
e) ÷ ( 2v<br />
+ 3v<br />
+ 1)<br />
2<br />
v − 5v<br />
+ 6<br />
2<br />
2<br />
12w − 9w<br />
− 3 1−<br />
w<br />
f)<br />
÷<br />
3<br />
6w<br />
w<br />
4. Halle el mínimo común denominador de las siguientes fracciones.<br />
7 5 x<br />
a) , , 2<br />
2x<br />
3x<br />
4x<br />
2y<br />
3<br />
b) , 2<br />
y + 1 y −1<br />
z 2<br />
c) , 2<br />
2<br />
z + 4z<br />
z + 5z<br />
+ 4<br />
3a<br />
−1<br />
2a<br />
+ 5<br />
d)<br />
,<br />
2<br />
2<br />
a + 2a<br />
+ 1 a + a<br />
4 3<br />
e) ,<br />
b − 3 b + 2<br />
5. Sume y/o reste. Simplifique el resultado cuando sea posible.<br />
7x<br />
− 4 2x<br />
+ 10<br />
a) +<br />
3x<br />
+ 2 3x<br />
+ 2<br />
2<br />
3x<br />
2x<br />
+ 8<br />
b) −<br />
2<br />
2<br />
x − 2x<br />
x − 2x<br />
x + 3 x −1<br />
c) − 2<br />
4x<br />
2x<br />
5 4<br />
d) +<br />
y + 2 y − 3<br />
4 32<br />
e) − 2<br />
y − 4 y −16<br />
z z − 4<br />
f) + 2<br />
2z<br />
− 4 z − 2z<br />
z −1<br />
z − 7<br />
g) +<br />
2<br />
2<br />
z − 3z<br />
z − 9<br />
a<br />
+ 5 a − 3<br />
h) −<br />
a − 4 a + 2<br />
36
37<br />
Respuestas<br />
1.<br />
a)<br />
4<br />
−<br />
≠<br />
x<br />
b)<br />
0<br />
≠<br />
x<br />
c)<br />
2<br />
1<br />
≠<br />
x<br />
d)<br />
1<br />
±<br />
≠<br />
y<br />
e)<br />
6<br />
,<br />
4 ≠<br />
−<br />
≠ y<br />
y<br />
2.<br />
a) 2<br />
1<br />
x<br />
b)<br />
2<br />
4<br />
+<br />
−<br />
x<br />
x<br />
c)<br />
y<br />
y 5<br />
−<br />
d)<br />
)<br />
1<br />
(<br />
2<br />
2<br />
3<br />
−<br />
+<br />
y<br />
y<br />
e)<br />
a<br />
b<br />
a<br />
a<br />
b<br />
a )<br />
( −<br />
−<br />
=<br />
−<br />
−<br />
f)<br />
3<br />
)<br />
5<br />
(<br />
3<br />
5<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
+<br />
+<br />
−<br />
z<br />
z<br />
z<br />
z<br />
3.<br />
a)<br />
1<br />
3<br />
)<br />
3<br />
2<br />
(<br />
+<br />
−<br />
m<br />
m<br />
m<br />
b)<br />
s<br />
r<br />
s<br />
r<br />
−<br />
+ 2<br />
c) 2<br />
2<br />
3<br />
)<br />
3<br />
(<br />
3<br />
3<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t −<br />
−<br />
=<br />
−<br />
−<br />
d)<br />
2<br />
2<br />
+<br />
u<br />
u<br />
e)<br />
)<br />
1<br />
)(<br />
3<br />
(<br />
1<br />
+<br />
− v<br />
v<br />
f)<br />
)<br />
1<br />
(<br />
2<br />
)<br />
1<br />
4<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
2<br />
1<br />
4<br />
2<br />
2<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
+<br />
+<br />
−<br />
w<br />
w<br />
w<br />
w<br />
w<br />
w
4.<br />
5.<br />
2<br />
a) 12 x<br />
2<br />
b) y −1<br />
c) z(<br />
z + 1)(<br />
z + 4)<br />
2<br />
d) a(<br />
a + 1)<br />
e) ( b − 3)(<br />
b + 2)<br />
a) 3<br />
3 x + 4<br />
b)<br />
x<br />
c)<br />
2<br />
x + x + 2<br />
2<br />
4x<br />
d)<br />
9y<br />
− 7<br />
( y + 2)(<br />
y − 3)<br />
e)<br />
4<br />
y + 4<br />
f)<br />
z + 4<br />
2z<br />
g)<br />
2z<br />
+ 1<br />
z(<br />
z + 3)<br />
h)<br />
14a<br />
− 2 2(<br />
7a<br />
−1)<br />
=<br />
( a + 2)(<br />
a − 4)<br />
( a + 2)(<br />
a − 4)<br />
38
Ecuaciones lineales y<br />
ecuaciones literales<br />
1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales.<br />
a) x + 5 = −10<br />
k) 2 ( n + 3)<br />
= 6 − ( 2n<br />
+ 1)<br />
b) y − 8 = 3<br />
l) 4( r − 5)<br />
− 2r<br />
= 2r<br />
− 8<br />
c) 4a = −12<br />
1 2<br />
m) s − 3 = s + 1<br />
4 3<br />
d) − 6 b = 24<br />
3 1 3 1<br />
n) t + = t −<br />
8 2 4 3<br />
2<br />
e) p = −4<br />
3<br />
2x<br />
+ 1 x − 3<br />
o) + = x −1<br />
3 4<br />
1<br />
f) − q = 7<br />
5<br />
3y<br />
− 5 y + 1 1<br />
p) − = y − 3<br />
4 2 8<br />
g) 3v + 6 = −9<br />
5z<br />
+ 1 2z<br />
− 7 1<br />
q) − = ( z − 4)<br />
2 6 3<br />
h) 8 − 2w<br />
= 14<br />
4w<br />
− 5 w + 2 2<br />
r) − = w −<br />
3 9 3<br />
i) 10z − 6 = 4z<br />
−1<br />
s) 3 −[ 4v<br />
− 2(<br />
v + 3)]<br />
= 5v<br />
− 8<br />
j) 9 − m = 4m<br />
+ 3<br />
t) { 7a<br />
+ 2[<br />
a − ( 3a<br />
− 5)]<br />
+ 1}<br />
= −6<br />
+ a<br />
2. Despeje por la variable indicada.<br />
a) Ax + By + C = 0 ; y<br />
b) 5 x − 2y<br />
− 4 = 0 ; y<br />
C − vr<br />
c) D = ; N<br />
N<br />
C − vr<br />
d) D = ;C<br />
N<br />
e) A = P + Pr t ; t<br />
y2<br />
− y1<br />
f) m = ; y2<br />
x2<br />
− x1<br />
1<br />
g) A = h(<br />
b1<br />
+ b2<br />
) ; b2<br />
2<br />
c + d<br />
h) B = − e ; c<br />
2<br />
− μ<br />
i) =<br />
σ<br />
x<br />
z ; μ<br />
x<br />
j) Y = ( v + w)<br />
; w<br />
4<br />
39
Respuestas<br />
1. a) x = −15<br />
b) y = 11 c) a = −3<br />
d) b = −4<br />
e) p = −6<br />
f) q = −35<br />
5<br />
6<br />
g) v = −5<br />
h) w = −3<br />
i) z = j) m =<br />
6<br />
5<br />
1<br />
k) n = −<br />
4<br />
l) no sol.<br />
48 20<br />
m) s = − n) t = o) x = 7<br />
5<br />
9<br />
18<br />
p) y = −10<br />
q) z = −<br />
11<br />
11<br />
17<br />
17<br />
r) w = s) v = t) a = −<br />
2<br />
7<br />
2<br />
A C<br />
2. a) y = − x −<br />
B B<br />
5<br />
b) y = x − 2<br />
2<br />
C − vr<br />
c) N =<br />
D<br />
d) C = DN + vr<br />
A − P<br />
e) t =<br />
Pr<br />
f) y 2 = m(<br />
x2<br />
− x1)<br />
+ y1<br />
A 2 − b<br />
g) b2 = 2 − b1<br />
=<br />
h h<br />
h) c = 2 B + 2e<br />
− d<br />
i) μ = x − zσ<br />
4Y<br />
4Y<br />
− xv<br />
j) w = − v =<br />
x x<br />
A 1<br />
h<br />
40
Solución de desigualdades lineales<br />
Resuelva las siguientes desigualdades lineales. Exprese la solución en notación<br />
de intervalo.<br />
1)<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
5)<br />
6)<br />
7)<br />
8)<br />
9)<br />
4x ≥<br />
20<br />
− 2 y < 12<br />
3z − 4 ≤ −11<br />
8 − w > 10<br />
5 a −15 < 3a<br />
+ 1<br />
3 b + 9 ≤ 7b<br />
+ 3<br />
3( c − 4)<br />
≥ 4(<br />
c − 5)<br />
1 3 5 1<br />
m + > m −<br />
2 4 8 4<br />
2n + 5 n + 1 n − 2<br />
− <<br />
4 12 3<br />
5p<br />
− 4 2 p + 1 5<br />
10) − ≤ p + 1<br />
9 18 6<br />
41
1) x ≥ 5 ; [ 5,<br />
∞)<br />
2) y > −6<br />
; ( −6,<br />
∞)<br />
7 7<br />
3) z ≤ − ; ( −∞ , − ]<br />
3 3<br />
4) w < −2<br />
; ( −∞,<br />
−2)<br />
5) a < 8 ; (−∞,<br />
8)<br />
3 ⎡3<br />
6) b ≥ ; , ∞)<br />
2 ⎢<br />
⎣2<br />
7) c ≤ 8 ; (−∞,<br />
8]<br />
8) m < 8;<br />
(−∞,<br />
8)<br />
9) n < −22<br />
; ( −∞,<br />
−22)<br />
10)<br />
27 ⎡ 27<br />
p ≥ − ; , ∞)<br />
7 ⎢−<br />
⎣ 7<br />
Respuestas<br />
42
Ecuaciones y desigualdades<br />
con valor absoluto<br />
1. Halle el conjunto solución para cada ecuación.<br />
1<br />
a) x = 12<br />
f) z − 6 = 4<br />
2<br />
b) x = −3<br />
g) 8 − 5x<br />
= 7<br />
c) y + 3 = 10<br />
2a<br />
− 4<br />
h) = 6<br />
5<br />
d) 4 y − 5 = 2<br />
3p<br />
+ 7 1<br />
i) =<br />
4 2<br />
e) 3 z + 4 = 0<br />
6q<br />
− 4<br />
j) + 2 = 4<br />
7<br />
2. Resuelva cada desigualdad. Exprese la solución en notación de intervalo.<br />
a) x ≤ 8<br />
i) w > 15<br />
b) x + 3 < 4<br />
j) u ≥ 4<br />
c) x − 4 ≤ −1<br />
k) 5 − 3u<br />
≥ 8<br />
d) 2 y − 6 < 10<br />
l) 6 v − 5 > 1<br />
e) 4y + 7 − 3 ≤ 1<br />
m) v + 9 + 4 > 2<br />
f) 8 − y + 5 < 2<br />
v<br />
n) + 5 ≥ 9<br />
3<br />
z − 9 3<br />
g) ≤<br />
2 2<br />
4t<br />
+ 3<br />
o) + 2 ≥ 2<br />
5<br />
h) 5 w + 1 < 0<br />
p) 7 − 2t<br />
> 0<br />
43
Respuestas<br />
1. a) {-12,12} b) ∅ c) {-13,7}<br />
⎧3<br />
7⎫<br />
d) ⎨ , ⎬<br />
⎩4<br />
4⎭<br />
⎧ 4 ⎫<br />
e) ⎨−<br />
⎬<br />
⎩ 3⎭<br />
f) {4.20}<br />
⎧1 ⎫<br />
g) ⎨ , 3⎬<br />
⎩5<br />
⎭<br />
⎧ 5 ⎫<br />
j) ⎨−<br />
, 3⎬<br />
⎩ 3 ⎭<br />
h) {-13,17}<br />
⎧ 5⎫<br />
i) ⎨−<br />
3 , − ⎬<br />
⎩ 3⎭<br />
2. a) [-8, 8] i) ( −∞ , −15)<br />
∪ ( 15,<br />
∞)<br />
b) (-7, 1) j) ( −∞ , −4]<br />
∪[<br />
4,<br />
∞)<br />
c) ∅<br />
13<br />
k) ( −∞ , −1]<br />
∪[<br />
, ∞)<br />
3<br />
d) (-2, 8)<br />
2<br />
l) ( −∞ , ) ∪ ( 1,<br />
∞)<br />
3<br />
⎡ 11 3⎤<br />
e) ⎢<br />
− , −<br />
⎣ 4 4⎥<br />
⎦<br />
m) ( −∞ , ∞)<br />
f) ∅ n) ( −∞ , −42]<br />
∪[<br />
12,<br />
∞)<br />
g) [6, 12] o) ( −∞ , ∞)<br />
h) ∅<br />
7 7<br />
p) ( −∞<br />
, ) ∪ ( , ∞)<br />
2 2<br />
44
Solución de ecuaciones cuadráticas y<br />
polinomiales por factorización<br />
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización.<br />
2<br />
a) x − 5x<br />
= 0<br />
h) 12 4 21<br />
2<br />
d + d =<br />
b) 2 4 0<br />
i)<br />
2<br />
x + x =<br />
2<br />
m<br />
= m + 12<br />
2<br />
2<br />
c) y = y<br />
j) ( 2n<br />
+ 3)(<br />
n −1)<br />
= −2n<br />
+ 17<br />
2<br />
d) y − y −12<br />
= 0<br />
k) ( 4 p + 5)(<br />
3p<br />
+ 4)<br />
= 2 p(<br />
p + 8)<br />
+ 30<br />
2<br />
e) z = 10 − 3z<br />
l) 3 ( q + 3)(<br />
q − 3)<br />
= ( q − 3)(<br />
q + 4)<br />
f) 6 11 10<br />
m)<br />
2<br />
2<br />
a − a =<br />
( 2r<br />
−1)<br />
= 9<br />
g) 8b 14 9b<br />
n)<br />
2<br />
2 2<br />
= −<br />
( 4s<br />
+ 5)<br />
= 7s<br />
+ 16s<br />
+ 9<br />
2. Resuelva las siguientes ecuaciones polinomiales por factorización.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
x<br />
3<br />
2<br />
+ x − 6x<br />
= 0<br />
2y 18y<br />
3 =<br />
3<br />
z + z =<br />
a<br />
16 8z<br />
2<br />
20 2<br />
3 4<br />
− a − a<br />
= 0<br />
4 3 2<br />
6b +<br />
22b<br />
= 8b<br />
45
Respuestas<br />
1. a) x = 0 , x = 5<br />
3 7<br />
h)<br />
d = − , d =<br />
2 6<br />
b) x = −2<br />
, x = 0 i) m = −4<br />
, m = 6<br />
c) y = 0 , y = 1<br />
5<br />
j)<br />
n = −4<br />
, n =<br />
2<br />
d) y = −3<br />
, y = 4<br />
1<br />
k)<br />
p = −2<br />
, p =<br />
2<br />
e) z = −5<br />
, z = 2<br />
5<br />
l)<br />
q = − , q = 3<br />
2<br />
2 5<br />
f) a = − , a =<br />
3 2<br />
m) r = −1<br />
, r = 2<br />
7<br />
g) b = −2<br />
, b =<br />
8<br />
4<br />
n) s = −<br />
3<br />
2. a) x = −3<br />
, x = 0,<br />
x = 2<br />
b ) y = 0,<br />
y = ± 3<br />
c ) z = 0 , z = 4<br />
d) a = −4<br />
, a = 0,<br />
a = 5<br />
1<br />
e) b<br />
= −4<br />
, b = 0,<br />
b =<br />
3<br />
46
Ecuaciones fraccionales<br />
1. Resuelva las siguientes ecuaciones fraccionales. Indique claramente la<br />
solución o soluciones.<br />
2 1<br />
a) 3 − =<br />
x 3<br />
3 1<br />
b) + = 2<br />
4x<br />
2x<br />
8 3y<br />
−1<br />
c) + = 3<br />
y y −1<br />
1 4<br />
d) + =<br />
y + 5 y − 5 y<br />
5 4 5<br />
e) − = 2<br />
z z z −1<br />
2<br />
a 4 a<br />
f) − = 2<br />
a + 4 a − 4 a<br />
10 5<br />
g) =<br />
2<br />
2<br />
c − 25 c − 5c<br />
10<br />
25<br />
2 −<br />
+ 16<br />
−16<br />
2. Despeje por la variable indicada.<br />
ab<br />
a) x = ; c<br />
a + c<br />
ab<br />
b) x = ; a<br />
a + c<br />
1 1<br />
c) p = − ; q<br />
q r<br />
1 1 1<br />
d) = − ; n<br />
m n p<br />
1<br />
e) s = −1;<br />
t<br />
tu<br />
b − 3 2b<br />
− 3<br />
h) =<br />
b + 6 2b<br />
+ 3<br />
6<br />
i) m − = 5<br />
m<br />
1 1 3<br />
j) + =<br />
p p + 1 2<br />
3 2<br />
k) − = 1<br />
q 2q<br />
−1<br />
1 1 2<br />
l) + = 2<br />
r −1 2 r −1<br />
s 4 2<br />
m) − = 2<br />
s − 2 s −1<br />
s − 3s<br />
+ 2<br />
w 9 45<br />
n) + = 2<br />
w + 3 w − 2 w + w − 6<br />
47
Respuestas<br />
1. a)<br />
3<br />
x =<br />
4<br />
3<br />
h) b =<br />
4<br />
5<br />
b) x =<br />
8<br />
i) m = −1<br />
, m = 6<br />
4<br />
c) y =<br />
5<br />
2<br />
j) p = − , p = 1<br />
3<br />
d) y = −1<br />
3<br />
k)<br />
q = 1 , q =<br />
2<br />
4<br />
e) z =<br />
9<br />
l) r = −3<br />
f) No hay solución m) s = 3<br />
g) No hay solución n) w = −9<br />
ab − ax a(<br />
b − x)<br />
2. a) c = =<br />
x x<br />
cx<br />
b) a =<br />
b − x<br />
r<br />
c) q =<br />
pr + 1<br />
mp<br />
d) n =<br />
m + p<br />
1 1<br />
e)<br />
t = =<br />
su + u u(<br />
s + 1)<br />
48
Traducción de frases y problemas verbales<br />
de números<br />
1. Traduzca cada frase a una expresión algebraica:<br />
a) Doce más que un número.<br />
b) Un número disminuído en ocho.<br />
c) El producto de tres y un número.<br />
d) Veinte dividido entre un número.<br />
e) Siete menos que el doble de un número.<br />
f) El doble de un número, restado de siete.<br />
g) El triple de un número, aumentado en seis.<br />
h) El triple de la suma de un número y seis.<br />
i) Diez veces la resta de un número y cuatro.<br />
j) El cociente de quince y la suma de un número y cinco.<br />
k) La suma del doble de un número y nueve.<br />
l) La diferencia de cuatro veces un número y dieciocho.<br />
m) Uno menos que la mitad de un número.<br />
n) La mitad de un número, disminuído en tres.<br />
o) Una cuarta parte de la diferencia de un número y tres.<br />
p) El cuadrado de un número, restado del opuesto del número.<br />
q) El producto de cinco y el cubo de un número.<br />
r) Seis veces la suma de un número y cuatro, dividido entre once.<br />
s) Treinta menos que el quince porciento de un número.<br />
t) Doce veces el cociente de siete y un número.<br />
2. Haga uso de una ecuación lineal para resolver los siguientes ejercicios.<br />
Indique lo que representa su variable y conteste lo que se pregunta.<br />
a) La suma de doce y tres veces un número es 36. ¿Cuál es el<br />
número?<br />
b) Cuatro veces un número, restado de diez es igual al número<br />
disminuído en veinte. ¿Cuál es el número?<br />
c) Cinco veces la diferencia de un número y seis es nueve menos que<br />
el doble del número. ¿Cuál es el número?<br />
d) Una cuarta parte de la suma de un número y seis es igual a la<br />
mitad del número, menos ocho. ¿Cuál es el número?<br />
e) Halle dos números tal que el segundo es diez menos que el primero<br />
y la suma de ambos es 62.<br />
49
f) Halle dos números tal que el segundo es el triple del primero y la<br />
mitad del segundo es cinco menos que el primero.<br />
g) La suma de tres números enteros consecutivos es 186. ¿Cuáles son<br />
los números?<br />
h) Halle dos números enteros impares consecutivos tal que el triple<br />
del primero, más el segundo es igual a 78.<br />
i) Halle tres números enteros pares consecutivos tal que la suma del<br />
primero y el doble del segundo es igual a cuatro veces el tercero.<br />
j) Halle tres números enteros consecutivos tal que cuatro veces el<br />
tercero, menos el segundo es igual al primero aumentado en 25.<br />
k) Halle tres números enteros impares consecutivos tal que la suma<br />
del primero y el doble del tercero es veinte más que el segundo.<br />
50
Respuestas<br />
1. a) x + 12 b) x − 8 c) 3x<br />
d)<br />
20<br />
e)<br />
x<br />
f) 7 − 2x<br />
g) 3 x + 6 h) 3 ( x + 6)<br />
i) 10( x − 4)<br />
j)<br />
2x − 7<br />
15<br />
x + 5<br />
1<br />
( x −<br />
4<br />
7<br />
12( x<br />
k) 2 x + 9<br />
1 1<br />
l) 4x −18<br />
m) x −1<br />
n) x − 3 o)<br />
2<br />
2<br />
3)<br />
2<br />
p) − x − x<br />
3<br />
q) 5x<br />
6 ( x + 4)<br />
r)<br />
s) . 15x<br />
− 30 t)<br />
11<br />
)<br />
2. a) El número es ocho.<br />
b) El número seis.<br />
c) El número es siete.<br />
d) El número es 38.<br />
e) El primer número es 36 y el segundo 26.<br />
f) El primer número es <strong>–</strong>10 y el segundo es <strong>–</strong>30.<br />
g) Los números son 61, 62 y 63.<br />
h) Los números son 19 y 21.<br />
i) Los números son <strong>–</strong>12, -10 y <strong>–</strong>8.<br />
j) Los números son 9, 10 y 11.<br />
k) Los números son 7, 9 y 11.<br />
51
Problemas verbales<br />
Haga uso de una ecuación lineal para resolver los siguientes ejercicios. Indique<br />
lo que representa su variable y conteste lo que se pregunta. NO TANTEE.<br />
1. Entre Carlos y Ana compraron un total de 500 acciones de cierta<br />
compañía. Si Ana compró 100 acciones menos que el doble de las que<br />
compró Carlos, ¿cuántas acciones compró cada uno?<br />
2. Sara y Karla gastaron un total de $300 en ropa. Si Karla gastó $30 más<br />
que la mitad de lo que gastó Sara, ¿cuánto gastó cada una?<br />
3. Luis, Ángel y Pedro se postularon para presidente de su clase y en la<br />
votación se emitieron un total de 160 votos. Si Luis recibió 1/3 parte de<br />
los votos que recibió Pedro y Ángel recibió 20 votos más que Pedro,<br />
¿cuántos votos recibió cada uno?<br />
4. Maribel y Frances vendieron boletos para un baile de su escuela. Frances<br />
vendió 10 boletos menos que 3/5 partes de los que vendió Maribel. Si<br />
Frances vendió un total de 50 boletos, ¿cuántos boletos vendió Maribel?<br />
5. Entre Manuel, Jaime y Sonia tienen ahorrados un total de $2,000. Si<br />
Manuel tiene ahorrados $100 más que la mitad de lo que tiene Jaime y<br />
Sonia tiene ahorrados el doble de lo que tiene Manuel, ¿cuánto dinero<br />
tiene ahorrado cada uno?<br />
6. El precio de un pantalón tiene un 35% de descuento. Si usted pagó<br />
$58.50 por el pantalón, luego del descuento, ¿cuál era el precio original<br />
del pantalón?<br />
7. Las ventas anuales de cierta compañía han aumentado un 20% desde el<br />
año pasado. Si en el año presente la compañía ha tenido ventas de<br />
$300,000, ¿cuáles fueron sus ventas el año pasado?<br />
8. El 40% de los empleados de cierta compañía tienen un grado de maestría<br />
en su area de especialidad. Si hay un total de 128 empleados con grado<br />
de maestría, ¿cuántos empleados tiene la compañía?<br />
9. El precio de una libra de pan ha aumentado un 25% en los últimos 6<br />
meses. Si en el presente la libra de pan se vende $1.75, ¿a qué precio se<br />
vendía hace seis meses?<br />
10. Juan vendió su libro de estadística en un 60% de lo que había pagado<br />
por él. Si lo vendió en $57, ¿cuánto pagó originalmente por el libro?<br />
52
11. Mercedes fue al supermercado y gastó un total de $32.50 en una botella<br />
de vino y en un queso. Si el queso le costó el 30% de lo que le costó el<br />
vino, ¿cuánto pagó por cada artículo?<br />
12. Enrique y Ricardo invertieron un total de $7,875 en sus cuentas de retiro.<br />
Si Ricardo invertió un 25% más que Enrique, ¿qué cantidad invirtió cada<br />
uno en su cuenta de retiro?<br />
13. Marta paga mensualmente $960 en la hipoteca de su residencia. Si esta<br />
cantidad es el 30% de su salario mensual, ¿cuál es su salario mensual?<br />
14. Antonio obtuvo notas de 88, 79 y 70 en los tres exámenes parciales de su<br />
curso de contabilidad. ¿Qué nota debe sacar en el examen final para<br />
terminar el curso con un promedio de 80?<br />
15. Si en el ejercicio anterior el examen final tuviera un valor de dos notas,<br />
¿qué nota debe sacar Antonio en el final para obtener un promedio de 80<br />
en el curso?<br />
16. Gustavo compró 3 discos compactos y gastó un promedio de $12 en cada<br />
uno. Si pagó $11 y $16 por los primeros dos, ¿cuánto pagó por el tercero?<br />
17. A una compañía le cuesta $30 fabricar cada unidad de su producto. Si<br />
además tiene unos costos fijos mensuales de $5,000 ¿cuántas unidades<br />
podrán fabricar con un presupuesto mensual de $20,000?<br />
18. En un lote de estacionamientos cobran $1.25 por la primera hora y $0.75<br />
por cada hora adicional. Si usted paga un total de $5.00, ¿cuántas horas<br />
estuvo estacionado?<br />
19. Un técnico de computadoras cobra $25 por visita más $15 por hora de<br />
servicio. Si cobró un total de $77.50 por una servicio, ¿cuántas horas<br />
trabajó?<br />
20. Por cada dos refrescos carbonatados se vende uno de frutas. Si los<br />
refrescos carbonatados se venden a $0.60 y los de fruta a $0.75, ¿cuántos<br />
refrescos se vendieron de cada clase si se obtienen $146.25 por la venta?<br />
21. Carmen compró un total de 25 calendarios. Por unos pagó $5 y por el<br />
resto pagó $6. Si gastó un total de $139 por los calendarios, ¿cuántos<br />
calendarios de cada precio compró?<br />
53
22. Las taquillas de palco para un concierto se venden a $50 y las de entrada<br />
general a $20. Si se venden un total de 500 taquillas y se recaudan<br />
$14,500, ¿cuántas taquillas de palco y de entrada general se vendieron?<br />
23. Alberto compró tres tipos de peces de colores para su pecera. Compró<br />
unos rojos a $3.00, el doble de esa cantidad en amarillos a $2.50 y quince<br />
más que en los rojos en peces multicolores a $4.00. ¿Cuántos peces<br />
compró de cada color si gastó un total de $180 en los peces?<br />
24. Se invierten $3,500 al 4% de interés simple anual. ¿Cuál es el monto de<br />
la inversión al cabo de 4 años? ¿Cuánto se recibió en intereses?<br />
25. Si se invierten $7,200 al 3 ¼% de interés simple anual, ¿cuál es el monto<br />
de la inversión al cabo de 18 meses?<br />
26. Mariana hizo un préstamo al 7% de interés simple anual. Si al cabo de un<br />
año tuvo que pagar $2,568, entre principal e interés, ¿cuánto pidió<br />
prestado?<br />
27. Sandra hizo un préstamo al 8% de interés simple anual. Si al cabo de dos<br />
años tuvo que pagar $500 en intereses, ¿cuánto pidió prestado?<br />
28. Manolo invirtió $2,500 y al cabo de tres años recibió $ 375 en intereses.<br />
¿a qué tasa de interés simple anual invirtió?<br />
29. Si se invierten $4,250 al 6% de interés simple anual, ¿al cabo de cuánto<br />
tiempo se tendrán acumulados $4,887.50, entre principal e interés?<br />
30. Si se toman prestados $1,500 y al cabo de cuatro años se salda el<br />
préstamo con un pago de $1,890, ¿a qué tasa de interés simple anual se<br />
hizo el préstamo?<br />
Respuestas<br />
1. Carlos compró 200 acciones y Ana 300.<br />
2. Sara gastó $180 y Karla $120.<br />
3. Pedro recibió 60 votos, Luis 20 y Ángel 80 votos.<br />
4. Maribel vendió 100 boletos.<br />
5. Jaime tiene $680, Manuel tiene $440 y Sonia $880.<br />
6. El precio original era de $90.<br />
7. Las ventas fueron de $250,000.<br />
8. La compañía tiene 320 empleados.<br />
9. Se vendía a $1.40.<br />
54
10. Pagó $95.<br />
11. Pagó $25 por el vino y $7.50 por el queso.<br />
12. Enrique invirtió $3,500 y Ricardo $4,375.<br />
13. Su salario mensual es $3,200.<br />
14. Debe sacar 83 en el examen final.<br />
15. Debe sacar 81.5 en el examen final.<br />
16. Pagó $9.<br />
17. Pueden fabricar 500 unidades.<br />
18. Estuvo 5 horas estacionado.<br />
19. Trabajó 3.5 horas.<br />
20. Se vendieron 150 refrescos carbonatados y 75 de frutas.<br />
21. Compró 11 calendarios a $5 y 14 calendarios a $6.<br />
22. Se vendieron 150 taquillas de palco y 350 de entrada general.<br />
23. Compró 10 rojos, 20 amarillos y 25 multicolor.<br />
24. El monto es de $4,060 y los intereses de $560.<br />
25. El monto es de $7,551.<br />
26. Pidió prestados $2,400.<br />
27. Pidió prestados $3,125.<br />
28. Al 5% de interés simple anual.<br />
29. Al cabo de 2.5 años.<br />
30. A una tasa del 6 ½% anual.<br />
55
Operaciones con radicales<br />
1. Halle el valor de:<br />
a) 36 b) 100 c)<br />
1<br />
4<br />
d) −<br />
9<br />
25<br />
e) 3 − 8<br />
f) 3<br />
1<br />
27<br />
g) − 4<br />
1<br />
16<br />
h) − 16 i) 0 j) − − 81<br />
3 16 4 4 k) − − 64 l) m) 625 n) − 625 o) ± 121<br />
49<br />
2. Halle las siguientes raíces. Asuma que todas las variables representan<br />
números no negativos.<br />
a)<br />
f)<br />
2<br />
d b)<br />
3 6<br />
n g)<br />
4<br />
b c)<br />
3. Exprese en forma radical.<br />
6<br />
c d)<br />
4 4<br />
a h) 5 20<br />
y i)<br />
12<br />
r e)<br />
6 18<br />
x j)<br />
3 3<br />
m<br />
4 16<br />
z<br />
1<br />
2 a) 5 b) 3<br />
1<br />
7 c) 4<br />
1<br />
2<br />
3<br />
9 3 d) 6 5 e) 8<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2 3x g) 5<br />
6w 2 j) 7x<br />
f)<br />
4. Exprese en forma exponencial.<br />
4<br />
3<br />
( 2y<br />
) h) ( 4z<br />
) i)<br />
a) 3 b) 3 2 c) 5 4 d)<br />
4 3<br />
x e) 7 2<br />
y<br />
f) 5 z g) 3 3 2<br />
4t h) 6 p i) 5 x j) 5 yz<br />
5. Halle el valor de:<br />
a)<br />
f)<br />
1<br />
2<br />
3<br />
( 16)<br />
b) 27)<br />
2<br />
3<br />
4<br />
( 64)<br />
g) 16)<br />
1<br />
5<br />
3<br />
(− c) ( 32)<br />
d)<br />
3<br />
1<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
8 e) 9<br />
2<br />
3<br />
5<br />
( h) ( 25)<br />
i) (− 8)<br />
j) (− 1)<br />
6. Simplifique. Asuma que las variables asumen valores ≥ 0 .<br />
a) 50 b) 45 c) 48 d)<br />
f)<br />
4<br />
108x g)<br />
3<br />
76y h)<br />
16 25<br />
x y i)<br />
5<br />
5<br />
x e)<br />
7 15<br />
p j)<br />
8 q<br />
7<br />
11<br />
y<br />
9 36<br />
96 p<br />
q<br />
56
7. Sume o reste.<br />
a) 8 3 + 2 3<br />
b) 3 x − 4 x<br />
c)<br />
12 + 48 +<br />
d) 4 32 − 5 72<br />
e)<br />
f)<br />
g)<br />
4<br />
3<br />
3<br />
2 75y<br />
+ 3 12y<br />
20 + 45 −<br />
24 − 150 +<br />
125<br />
3 2<br />
2<br />
h) 3 24a<br />
b − 4a<br />
96ab<br />
+ ab 6a<br />
i)<br />
2<br />
6<br />
2<br />
50 x y − 3x<br />
72y<br />
+ 4<br />
32x<br />
8. Multiplique y simplifique cuando sea posible.<br />
a) 3 ⋅ 7<br />
i) 2( 4 − 2)<br />
b) 2 ⋅ 8<br />
j) 5 ( 8 + 10)<br />
c) 5 ⋅ 10<br />
k) 7( 8 − 2 14)<br />
2<br />
d) 8 ⋅ x<br />
l) 5 2(<br />
2 + 3 24)<br />
e)<br />
y ⋅<br />
3<br />
y<br />
f) 4 3 ⋅ 2 15<br />
g)<br />
h)<br />
5<br />
p q ⋅<br />
p<br />
3<br />
q<br />
7<br />
3<br />
5 8z<br />
⋅ 3 5z<br />
4<br />
9. Divida y simplifique cuando sea posible.<br />
a)<br />
b)<br />
32<br />
2<br />
72<br />
8<br />
25<br />
c)<br />
49<br />
d)<br />
e)<br />
24x<br />
6x<br />
3<br />
8y 32y<br />
9<br />
5<br />
y<br />
57
10. Racionalice los denominadores para simplificar.<br />
3<br />
a) f)<br />
2<br />
4<br />
b) g)<br />
7<br />
5<br />
c) h)<br />
8<br />
d) 6<br />
e) 2<br />
3 a<br />
i) 5<br />
7 j) 9<br />
5<br />
x<br />
x<br />
y<br />
p<br />
3<br />
q<br />
b<br />
m<br />
n<br />
6<br />
58
Respuestas operaciones<br />
con radicales<br />
1. a) 6 b) 10 c) ½ d) <strong>–</strong>3/5 e) <strong>–</strong>2<br />
f) 1/3 g) - ½ h) no def. i) 0 j) no def.<br />
k) 4 l) 4/7 m) 5 n) no def. o) ± 11<br />
2. a) d<br />
2<br />
b) b<br />
3<br />
c) c<br />
6<br />
d) r e) m<br />
2<br />
f) n<br />
4<br />
g) a h) y<br />
3<br />
4<br />
i) x<br />
j) z<br />
3. a) 5 b) 3 7 c) 4 9 d)<br />
f) 3 x g) 5 2y h) 4 3<br />
( 4z<br />
) i) 6<br />
1<br />
2 4. a)<br />
f)<br />
3 2<br />
6 e)<br />
5 3<br />
8<br />
3 2<br />
w j) 7<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
3 3 b) 2 5 c) 4 4 d) x 7 e) y<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
( 5z<br />
) g) ( 4t<br />
) h) 6 p 3 i) 5x 5 j) (yz )<br />
5. a) 4 b) <strong>–</strong>3 c) 2 d) 4 e) 27<br />
f) 16 g) 8 h) 125 i) <strong>–</strong>32 j) <strong>–</strong>1<br />
6. a) 5 2 b) 3 5 c) 4 3 d) x x<br />
2<br />
f) 6 3<br />
2<br />
8 12<br />
x g) 2 y 19y<br />
h) x y y<br />
3 7<br />
i) 2 p q 2 pq<br />
3<br />
x<br />
e) y y<br />
5<br />
4 18<br />
j) 4 p q 6 p<br />
7. a) 10 3 b) - x c) 6 3 + 2 d) − 14 2 e) 16 y 3y<br />
f) 0 g) − 2 6 h) − 9ab<br />
6a<br />
i) 8 x 2y<br />
8. a) 21 b) 4 c) 5 2 d) 2 2x<br />
2<br />
e) y<br />
f) 24<br />
4 2<br />
5 g) p q q h) 30 10<br />
5<br />
z i) 4 2 − 2 j) 2 10 + 5 2<br />
k) 2 14 − 14 2<br />
l) 10 + 60 3<br />
9. a) 4<br />
b) 3<br />
5<br />
c)<br />
7<br />
d) 2x<br />
4<br />
1 4 y<br />
e) y =<br />
2 2<br />
59
3 2<br />
10. a)<br />
2<br />
4 7<br />
b)<br />
7<br />
c) 4<br />
d) 2<br />
e) 2<br />
5 x<br />
f)<br />
x<br />
xy<br />
g)<br />
y<br />
10 h) 2<br />
2 i) 3<br />
q<br />
pq<br />
ab<br />
b<br />
3<br />
m<br />
n<br />
n<br />
14 j) 5<br />
60
Ecuaciones cuadráticas<br />
1. Resuelva las siguientes ecuaciones haciendo uso de la propiedad de la<br />
raíz cuadrada.<br />
2 2<br />
a) x = 81<br />
f) ( c − 3)<br />
= 12<br />
2<br />
2<br />
b) y − 64 = 0<br />
g) ( 3p<br />
−1)<br />
= 45<br />
2<br />
c) z + 4 = 12<br />
2<br />
h) ( 2q<br />
+ 5)<br />
= 48<br />
d) 3 15 60<br />
i)<br />
2<br />
a − =<br />
2 1<br />
( r + 1)<br />
=<br />
4<br />
2<br />
e) ( b + 2)<br />
= 18<br />
2 9<br />
j) ( t − 4)<br />
=<br />
16<br />
2. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas haciendo uso de la<br />
fórmula cuadrática. Si no hay soluciones reales indíquelo.<br />
2<br />
a) x + 3x<br />
−1<br />
= 0<br />
2<br />
b) x + 5x<br />
= 2<br />
2<br />
c) t − 6t<br />
= 4<br />
d) 2 5 1<br />
2<br />
y = y −<br />
e)<br />
f)<br />
g)<br />
h)<br />
2 2<br />
y<br />
3 2<br />
6 2<br />
5 2<br />
− 3y<br />
= 20<br />
z + 2z<br />
= −3<br />
t = 2t<br />
+ 1<br />
a<br />
− 3a<br />
= −10<br />
61
Respuestas<br />
1. a) x = ± 9<br />
f) c = 3 ± 2 3<br />
b) y = ± 8<br />
1± 3<br />
g) p =<br />
3<br />
5<br />
c) z = ± 2 2<br />
− 5 ± 4<br />
h) q =<br />
2<br />
3<br />
d) a = ± 5<br />
1 3<br />
i) r = − , −<br />
2 2<br />
e) b = −2<br />
± 3 2<br />
13 19<br />
j) t = ,<br />
4 4<br />
− 3 ±<br />
2. a) x =<br />
2<br />
13<br />
5<br />
e) y = − , 4<br />
2<br />
− 5 ±<br />
b) x =<br />
2<br />
33<br />
f) No hay sols. reales<br />
c) t = 3 ± 13<br />
1± 7<br />
g) t =<br />
6<br />
5 ± 17<br />
d) y =<br />
4<br />
h) No hay sols. reales<br />
62
Ecuaciones irracionales<br />
Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales. Si no hay solución indíquelo.<br />
1) x + 3 = 6<br />
2) 2 x − 8 = 4<br />
3) 3 x + 5 = 2<br />
4) 4y −1<br />
= −3<br />
5) y = 2 y + 8<br />
6) z = 3 z + 18<br />
7) z + 1 = 5z<br />
+ 1<br />
8) z<br />
− 5 = z + 1<br />
63
1) x = 33<br />
2) x = 12<br />
1<br />
3) x = −<br />
3<br />
4) No hay solución<br />
5) y = 4<br />
6) z = 6<br />
7) z = 0 , z = 3<br />
8) z<br />
= 8<br />
Respuestas<br />
64
Localización de puntos en el plano cartesiano<br />
1. Localice los siguientes puntos en el plano.<br />
(2, 3), (0, 4), (-1, 5), (-3, 0), (-4, -2), (3, -5)<br />
2. Dé las coordenadas de los siguientes puntos.<br />
65
3. Localice los siguientes puntos en el plano cartesiano.<br />
1 3 3 5 4 9 7 5<br />
A ( , ) , B ( , − ) , C ( − , ) , D ( − , − )<br />
2 4 2 4 5 4 4 2<br />
1.<br />
Respuestas<br />
66
2. A(-4, 5), B(-5, 0), C(-2, -1), D(0, 3), E(2, - 4), F(3, 2)<br />
3.<br />
67
Gráficas de ecuaciones lineales<br />
1. Si y = x + 3,<br />
llene la siguiente tabla de valores:<br />
x -2 -1 0 1 2<br />
y<br />
2. Si y = 2x −1,<br />
llene la siguiente tabla de valores:<br />
3. Trace la gráfica del ejercicio 1.<br />
x -2 -1 0 1 2<br />
y<br />
68
4. Trace la gráfica del ejercicio 2.<br />
5. Halle los interceptos en los ejes de las siguientes ecuaciones:<br />
a) y = x − 2<br />
b) y = x + 5<br />
c) y = 3 − x<br />
d) y = 2x − 6<br />
1<br />
e) y = x − 4<br />
2<br />
f) 3 x + 4y<br />
= 2<br />
g) 5 x − 2y<br />
= 4<br />
6. Trace las gráficas de las ecuaciones del ejercicio 5, haciendo uso de los<br />
interceptos.<br />
7. Trace las gráficas de las siguientes ecuaciones:<br />
a) y = 5<br />
b) y = −4<br />
c) x = −3<br />
d) x<br />
= 6<br />
69
8. Conteste a base de la siguiente gráfica:<br />
1.<br />
x -2 -1 0 1 2<br />
y 1 2 3 4 5<br />
a) ¿Cuál es el intercepto en el eje de y?<br />
b) ¿Cuál es el intercepto en el eje de x?<br />
c) Halle la abcisa para la cual la ordenada es 6.<br />
d) Halle la ordenada para la cual la abcisa es -3.<br />
2.<br />
X -2 -1 0 1 2<br />
Y -5 -3 -1 1 3<br />
Respuestas<br />
70
3.<br />
4.<br />
5.<br />
a) Int. en Y (0, -2); Int. en X (2, 0)<br />
b) Int. en Y (0, 5); Int. en X (-5, 0)<br />
c) Int. en Y (0, 3); Int. en X (3, 0)<br />
d) Int. en Y (0, -6); Int. en X (3, 0)<br />
71
6.<br />
a)<br />
b)<br />
e) Int. en Y (0, -4); Int. en X (8, 0)<br />
f) Int. en Y (0, ½); Int. en X (2/3, 0)<br />
g) Int. en Y (0, -2); Int. en X (4/5, 0)<br />
72
c)<br />
d)<br />
73
e)<br />
f)<br />
74
7.<br />
g)<br />
a)<br />
75
)<br />
c)<br />
76
8.<br />
d)<br />
a) (0, 4)<br />
b) (-2, 0)<br />
c) x = 1<br />
d) y = -2<br />
77