Transformación de Fourier Fraccionaria - fisica.ru

TF RTF
Introducción a las Representaciones
Tiempo-Frecuencia
Transformación de Fourier Fraccionaria
Rafael Ángel Torres Amarís
GOTS
Escuela de Física
Universidad Industrial de Santander
Pamplona, Marzo 27, 2009

TF RTF
Contenido
1 Transformación de Fourier
2 Representaciones Tiempo-Frecuencia
3 Transformación de Fourier Fraccionaria
4 Filtrado en Tiempo-Frecuencia

TF RTF
Transformación de Fourier
Definición
Transformación de Fourier
F (ν) =
f(t) =
∞
f(t)e
−∞
−i2πνt dt , (1)
∞
F (ν)e +i2πνt dν . (2)
t
−∞
F
f(t) F(ν)
ν

TF RTF
Filtrado
F
f(t) F(ν)
∗
h(t) H(ν)
f ′ (t) = ∞
f(τ)h(t − τ)dτ
−∞
t
t
t
×
ν
F ′ (ν) = H(ν)F(ν)
ν
ν

TF RTF
Localización en Frecuencia
La transformación de Fourier es un tratamiento localizado en
frecuencia.
f(t)
???
cos(2πν0t)
F
t
t
F −1
F(ν)
ν0
δ(ν − ν0)
ν0
ν
Dirac
ν

TF RTF
Resolución en Tiempo y Frecuencia
f(t) perfecta resolución temporal
Una representación temporal f(t) de una señal, puede ser
considerada como una representación con perfecta resolución
temporal.
F (ν) perfecta resolución espectral
Una representación frecuencial F (ν) de una señal puede ser
considerada como una representación con perfecta espectral
resolución.
F
f(t) F(ν)
t
ν

TF RTF
Señales no-estacionarias
Son señales cuyas componentes frecuenciales varían en el tiempo.
r(t)
s(t)
x = s + r
t
t
t
Ruido
Señal
R(ν)
S(ν)
X = S + R
ν
ν
ν

TF RTF
Representación Tiempo-Frecuencia
Frecuencia
Señal
Tiempo
Ruido

TF RTF
Representación Tiempo-Frecuencia
Las representaciones Tiempo-Frecuencia en general son un
rediseño de la transformación de Fourier.
Formas Lineales
1 Transformación de Fourier Ventaneada
Transformación de Fourier en Tiempo Corto
Transformación de Gabor
2 Transformación en Ondeletas
3 Transformación de Fourier Fraccionaria
Formas Cuadráticas
1 Espectrograma
2 Escalograma
3 Distribución de Wigner-Ville
4 Función de Ambigüedad

TF RTF
Representación Tiempo-Frecuencia
Las representaciones Tiempo-Frecuencia en general son un
rediseño de la transformación de Fourier.
Formas Lineales
1 Transformación de Fourier Ventaneada
Transformación de Fourier en Tiempo Corto
Transformación de Gabor
2 Transformación en Ondeletas
3 Transformación de Fourier Fraccionaria
Formas Cuadráticas
1 Espectrograma
2 Escalograma
3 Distribución de Wigner-Ville
4 Función de Ambigüedad

TF RTF
Representación Tiempo-Frecuencia
Las representaciones Tiempo-Frecuencia en general son un
rediseño de la transformación de Fourier.
Formas Lineales
1 Transformación de Fourier Ventaneada
Transformación de Fourier en Tiempo Corto
Transformación de Gabor
2 Transformación en Ondeletas
3 Transformación de Fourier Fraccionaria
Formas Cuadráticas
1 Espectrograma
2 Escalograma
3 Distribución de Wigner-Ville
4 Función de Ambigüedad

TF RTF
Formas Lineales
Definición
Transformación de Fourier Ventaneada
Fw[f](t, ν) =
∞
f(t
−∞
′ )w(t ′ − t)e −i2πt′ ν ′
dt , (3)
∞
f(t) = Fw[f](t ′ , ν)w(t − t ′ )e +i2πtν dνdt ′ , (4)
−∞
donde w es la función ventana.
f(t ′ )
t
w(t ′ − t)
t ′

TF RTF
Transformación de Fourier en Tiempo Corto
Definición
Función ventada rectangular
t −
t0 1/∆t t0 − ∆t/2 ≤ t ≤ t0 + ∆t/2
rect =
∆t 0 fuera
∞
Fw[f](t, ν) = f(t ′
t ′ − t
)rect e
∆t
−i2πt′ ν ′
dt . (6)
∆ν∆t ≥ 1
4π ,
−∞
Relación de Incertidumbre
Heisenberg-Gabor
(5)

TF RTF
Transformación de Fourier en Tiempo Corto
Definición
Función ventada rectangular
t −
t0 1/∆t t0 − ∆t/2 ≤ t ≤ t0 + ∆t/2
rect =
∆t 0 fuera
∞
Fw[f](t, ν) = f(t ′
t ′ − t
)rect e
∆t
−i2πt′ ν ′
dt . (6)
∆ν∆t ≥ 1
4π ,
−∞
Relación de Incertidumbre
Heisenberg-Gabor
(5)

TF RTF
Transformación de Gabor
Definición
Función ventada gaussiana
gauss
t − t0
=
∆t
21/4 πt2
−
√ e ∆
∆t 2t (7)
∞
Fw[f](t, ν) = f(t ′
t ′ − t
)gauss e
∆t
−i2πt′ ν ′
dt . (8)
∆ν∆t = 1
4π ,
−∞
Máxima resolución
Tiempo-Frecuencia

TF RTF
Transformación de Gabor
Definición
Función ventada gaussiana
gauss
t − t0
=
∆t
21/4 πt2
−
√ e ∆
∆t 2t (7)
∞
Fw[f](t, ν) = f(t ′
t ′ − t
)gauss e
∆t
−i2πt′ ν ′
dt . (8)
∆ν∆t = 1
4π ,
−∞
Máxima resolución
Tiempo-Frecuencia

TF RTF
Resolución Tiempo-Frecuencia
∆ν
Frecuencia
w(t) = rect(t) w(t) = gauss(t)
∆ν
Frecuencia
Tiempo Tiempo
∆t ∆t

TF RTF
Filtro Variante en el Tiempo
Señal con ruido Señal filtrada
Gabor
Filtro
Tiempo−Frecuencia
Gabor Inverza
T. Gabor Filtrada

TF RTF
Transformación en Ondeletas
Definición
Transformación en Ondeletas
∞
Ww[f](t, τ) = f(t ′ )wτ (t ′ − t)dt ′ = (f ∗ wτ )(t) , (9)
−∞
donde wτ (t ′ − t) = 1 √ w(
τ t′ −t)
es la función ventana.
τ
w(t ′ − t)
t ′

TF RTF
Transformación de Fourier Fraccionaria
Definición
Transformación de Fourier fraccionaria
Fαf(ν ′ ) = Cαe −iπν′2 ∞
cot α
f(t)e −iπt2 cot α i2πtν
e ′ / sen α
dt . (10)
−∞
Para α = π/2 se tiene
∞
Fπ/2f(ν) = f(t)e i2πtν dt . (11)
−∞

TF RTF
Transformación de Fourier Fraccionaria
Definición
Transformación de Fourier fraccionaria
Fαf(ν ′ ) = Cαe −iπν′2 ∞
cot α
f(t)e −iπt2 cot α i2πtν
e ′ / sen α
dt . (10)
−∞
Para α = π/2 se tiene
∞
Fπ/2f(ν) = f(t)e i2πtν dt . (11)
−∞

TF RTF
Transformación de Fourier Fraccionaria

TF RTF
Formas Cuadráticas
Definición
Espectrograma
Definición
Escalograma
Pw[f](t, ν) = |Fw[f](t, ν)| 2 . (12)
Sw[f](t, τ) = |Ww[f](t, τ)| 2 . (13)

TF RTF
Distribución de Wigner-Ville y Función de Ambigüedad
Definición
Distribución de Wigner-Ville
∞
W [f](t, ν) = f t + τ
f t −
2
τ
e
2
−2iπτν dτ . (14)
Definición
Función de Ambigüedad
donde
−∞
∞
A[f](t, ν) = f
−∞
τ + t
f τ −
2
t
e
2
−2iπτν dτ , (15)
∞
A[f](t, ν) = W [f](t ′ , ν ′ )e −2iπ(t′ ν−tν ′ ) ′ ′
dt dν . (16)
−∞

TF RTF
Distribución de Wigner-Ville y Función de Ambigüedad
Definición
Distribución de Wigner-Ville
∞
W [f](t, ν) = f t + τ
f t −
2
τ
e
2
−2iπτν dτ . (14)
Definición
Función de Ambigüedad
donde
−∞
∞
A[f](t, ν) = f
−∞
τ + t
f τ −
2
t
e
2
−2iπτν dτ , (15)
∞
A[f](t, ν) = W [f](t ′ , ν ′ )e −2iπ(t′ ν−tν ′ ) ′ ′
dt dν . (16)
−∞

TF RTF
Proyección integral de la distribución de Wigner-Ville
R
W [f](x, y)dy = |f(x)| 2
Figura: Proyección integral de W [f].
R
W [f](x, y)dx = |F (y)| 2 . (17)

TF RTF
Rotaciones de la distribución de Wigner-Ville
W [Fαf](x, y) = W [f](x cos α − y sen α, x sen α + y cos α) . (18)
Figura: Trans. de Fourier fraccionaria y la distribución de Wigner-Ville.

TF RTF
Rotaciones de la distribución de Wigner-Ville

TF RTF
Filtrado en la Transformación de Fourier fraccionaria.
Figura: Densidades espectrales fraccionarias

TF RTF
Representación Tiempo-Frecuencia

TF RTF
Filtro Variante en el Tiempo
Señal con ruido Señal filtrada
Gabor
Filtro
Tiempo−Frecuencia
Gabor Inverza
T. Gabor Filtrada

TF RTF
Convolución fraccionaria
Definición
Convolución fraccionaria de orden α
∞
[f ∗α h](t) = f(t ′ )h(t − t ′ )e i2πt′ (t−t ′ ) cot α ′
dt . (19)
Frecuencia
−∞
Tiempo
h

TF RTF
Filtro de Óptimo fraccionario
Se propone el filtro, de respuesta percusional h, que aplicado a
Xω = Sω + Bω, en general, minimice el error cuadrático medio
Luego
Ecuación de optimización
[Y ⊛α X](σ) =
z 2 (α) = E{| [Xω ∗α h] (t) − Yω(t)| 2 } . (20)
tf
ti
h(θ)Tθ;α[X ⊛α X](σ)e −iπθ2 cot α dθ . (21)
Caso particular: ecuación de Wiener-Hopf para α = π/2.

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Filtro de Óptimo fraccionario
Se propone el filtro, de respuesta percusional h, que aplicado a
Xω = Sω + Bω, en general, minimice el error cuadrático medio
Luego
Ecuación de optimización
[Y ⊛α X](σ) =
z 2 (α) = E{| [Xω ∗α h] (t) − Yω(t)| 2 } . (20)
tf
ti
h(θ)Tθ;α[X ⊛α X](σ)e −iπθ2 cot α dθ . (21)
Caso particular: ecuación de Wiener-Hopf para α = π/2.

TF RTF
Filtro no causal
Señal Yω = Sω y Sω y Bω no correlacionados
H α =
S α S (να)
S α S (να) + S α B (να) e−iπν2 α cot α . (22)
La dependencia con el orden fraccionario α lo convierte en un filtro
adaptativo.

TF RTF

TF RTF
Aplicaciones
Radar/Optics (continous CFrFT)
1 chirp-component detection
2 pattern recognition (fractional correlation)
Image Processing (discrete CFrFT)
1 chirp-component detection
2 pattern recognition (fractional correlation)
3 blurred image restoration (fractional filters)
4 digital correction of slightly defocused astronomical images
5 image coding (fractional DCT)
Communications (discrete CFrFT)
1 modulated multi-path problems (fractional filters)
2 ???

TF RTF
GRACIAS