Traslaciones y retracciones modulares en semigrupos numéricos ⋆

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Traslaciones y retracciones modulares en semigrupos numéricos

Traslaciones y retracciones modulares en semigrupos numéricos Aureliano M. Robles-Pérez 1 y José Carlos Rosales 2 1 Departamento de Matemática Aplicada, Facultad de Ciencias, Universidad de Granada, 18071-Granada, España. arobles@ugr.es 2 Departamento de Álgebra, Facultad de Ciencias, Universidad de Granada, 18071-Granada, España. jrosales@ugr.es Resumen. En este trabajo introducimos los conceptos de traslación y retracción modular de semigrupos numéricos. Estas construcciones nos permiten, a partir de un semigrupo numérico dado S, construir nuevos semigrupos numéricos cuyos principales invariantes se pueden calcular explícitamente a partir de los invariantes de S. Palabras clave: Traslación modular, retracción modular, semigrupo numérico, conjunto de Apéry. 1 Introducción Sea N el conjunto de los números enteros no negativos. Un semigrupo númerico es un conjunto S ⊆ N tal que es cerrado para la suma, 0 ∈ S y N \ S es finito (esto es, S es un submonoide de (N, +) con complemento finito en N). Si x, y son números enteros, con y = 0, denotamos por x mód y al resto de la división de x entre y. Sea S un semigrupo numérico, m un elemento no nulo de S y a un entero no negativo cualquiera. Definimos entonces los conjuntos • T(S, a, m) = {s + as mód m | s ∈ S}; • R(S, a, m) = {s − as mód m | s ∈ S}. Aunque ambas definiciones son muy similares, mientras que T(S, a, m) es siempre un submonoide de (N, +), no ocurre así con R(S, a, m). Además, T(S, a, m) es un semigrupo numérico si y sólo si mcd(a+1, m) = 1 (siendo mcd el máximo común divisor de un conjunto dado). Sin embargo, R(S, a, m) es un semigrupo numérico si y sólo si mcd{a − 1, m} = 1 más una condición auxiliar (véase Teorema 2). Además, es interesante observar que traslación y retracción son Trabajo financiado por la Junta de Andalucía (Grupo de Investigación FQM-343), el MICINN-España (Proyecto de Investigación MTM2010-15595) y Fondos FEDER. Investigación financiada parcialmente por Junta de Andalucía/Fondos FEDER (Proyecto de Investigación FQM-5849).

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