Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
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Teorema 7.3 Sean a, b, c ∈ Z , a, b no nulos.<br />
El conjunto S <strong>de</strong> soluciones enteras <strong>de</strong> la ecuación diofántica a X + b Y = c es:<br />
• S = ∅ , si (a : b) ∤ c .<br />
• S = { (x, y) : x = x0 + b ′ k, y = y0 − a ′ k; k ∈ Z } , don<strong>de</strong> (x0, y0) es una solución<br />
particular, a ′ := a<br />
(a : b) , b′ := b<br />
, si (a : b) | c .<br />
(a : b)<br />
Resumimos el algoritmo que se obtiene a partir <strong>de</strong>l Teorema en el cuadro siguiente:<br />
Resolución completa <strong>de</strong> la ecuación diofántica a X + b Y = c<br />
1. ¿ Tiene solución la ecuación ?<br />
(a) no si (a : b) ∤ c . En ese caso S = ∅ .<br />
(b) sí si (a : b) | c . En ese caso:<br />
2. Coprimizo la ecuación:<br />
a ′ X + b ′ Y = c ′ , con a ′ := a<br />
(a : b) , b′ := b<br />
(a : b) y c′ := c<br />
(a : b) .<br />
3. Busco una solución particular (x0, y0) ∈ Z 2 (a ojo o aplicando el algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s).<br />
4. Todas las soluciones son:<br />
Ejemplos<br />
• Soluciones enteras <strong>de</strong> 18 X + 27 Y = −90 :<br />
Hay soluciones pues (18 : 27) = 9 | − 90 .<br />
Coprimizo: 2 X + 3 Y = 10 .<br />
Solución particular: (x0, y0) := (5, 0) .<br />
S = { (x, y) : x = x0 + b ′ k, y = y0 − a ′ k; k ∈ Z }.<br />
Entonces S = { (x, y) : x = 5 + 3k, y = −2k, k ∈ Z } .<br />
• Soluciones naturales <strong>de</strong> 175 X + 275 Y = 3000 :<br />
Hay soluciones enteras pues (125 : 50) = 25 | 3000 .<br />
Coprimizo: 7 X + 11 Y = 120 .<br />
Solución particular?<br />
11 = 1 · 7 + 4, 7 := 1 · 4 + 3, 4 = 1 · 3 + 1<br />
⇒ 1 = 4 − 3 = 4 − (7 − 4) = 2 · 4 − 7 = 2 · (11 − 7) − 7 = 2 · 11 − 3 · 7<br />
⇒ 120 = 7 · (−360) + 11 · 240<br />
⇒ (x0, y0) = (−360, 240).<br />
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