Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

Proposición 9.2 Sean a, a1, . . . , an números enteros, y p un primo. Entonces
p | a1 · · · an ⇐⇒ p | ai para algún i, 1 ≤ i ≤ n, y p | a n ⇐⇒ p | a.
Estamos ahora en condiciones de demostrar completamente el famoso Teorema Fundamental de
la Aritmética, piedra angular de toda la teoría de números, acerca de la factorización única de
los números como producto de primos. Este teorema era ya conocido por los griegos de la época
de Pitágoras (S. VI ac), y es el que justifica el interés de los matemáticos por conocer mejor el
comportamiento de los primos: cómo se distribuyen, cómo conseguirlos, etc.
Teorema 9.3 (Teorema Fundamental de la Aritmética)
Sea a ∈ Z , a = 0, ±1 . Entonces a admite una factorización como producto de primos, en la
forma
a = ± p v1
1 pv2 2 · · · pvn n
donde los pk son primos positivos distintos, y vk ∈ N para 1 ≤ k ≤ n .
Más aún, esta escritura es única salvo permutación de los primos.
Prueba.–
Existencia: Nuevamente, alcanza con probar el teorema para a positivo, y se formaliza por inducción
en a , a ≥ 2 :
p(a) : “ a admite una factorización como producto de primos”.
a = 2 : p(2) es verdadera pues 2 = + 2 1 .
a > 2 :
• Si a es un primo p , p(a) es verdadera pues a = p = + p 1 .
• Si a no es primo, entonces es divisible por algún primo positivo p más chico que él, y por
lo tanto el cociente c = a/p verifica 2 ≤ c ≤ a − 1 . Por hipotesis inductiva, c admite una
factorización como producto de primos, en la forma c = p v1
1 · · · pvn n . Por lo tanto a admite
la factorización
a = + pp v1
1 · · · pvn n .
Así, todo número distinto de 0, ±1 admite una factorización como producto de primos.
Unicidad: Supongamos que a = ± p v1
1
· · · pvn n = ± q w1
1 · · · qwm m
Queremos probar que entonces los signos, los primos y los exponentes coinciden.
Claramente los signos coinciden, así que podemos suponer a positivo.
En la expresión p v1
1
en las condiciones del enunciado.
· · · pvn
n = q w1
1 · · · q wm
m , simplifiquemos todos los primos comunes que aparecen
a la menor potencia a la que aparecen.
Si al hacer eso no sobra nada, o sea obtenemos 1 = 1 , es que todos los primos y las potencias
coincidían.
Si no pasa eso y sobra algo de algún lado al menos, obtenemos una expresión igual pero donde
pi = qj para todos los que sobraron. Podemos suponer sin perdida de generalidad que del lado
izquierdo sobró un pi . Entonces tenemos que pi divide a lo que sobró del lado derecho o al 1 si
no sobró nada. O sea pi | 1 (lo que es absurdo) o pi | q w1
1 · · · q wm
m , luego existe j tal que pi | qj
pero pi y qj son primos distintos. Contradicción, que proviene de suponer que sobró un primo de
algún lado.
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