NOTAS Y EJERCICIOS PARA EL CURSO: ´ALGEBRAS DE LIE. G ...
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<strong>NOTAS</strong> Y <strong>EJERCICIOS</strong> <strong>PARA</strong> <strong>EL</strong> <strong>CURSO</strong>:<br />
ÁLGEBRAS <strong>DE</strong> <strong>LIE</strong>.<br />
G. Salgado<br />
Segundo Resumen<br />
I. Más sobre Representaciones y el Lema de Schur<br />
1.1. Definición. Sea ρ : g → gl(V ) una representación lineal de g en V . Diremos<br />
que un subespacio W de V es invariante si<br />
ρ(x)W ⊂ W ∀x ∈ g<br />
1.2. Definición. Diremos que la representación ρ es irreducible si los únicos<br />
subespacios invariantes son el subespacio cero y el total.<br />
Sea ahora ρ ′ : g → gl(U) otra representación lineal de g. Y consideremos primero<br />
HomF(V, U) el conjunto de todas las transformaciones lineales de V en U, y fijemonos<br />
en el siguiente subconjunto:<br />
Homg(V, U) = { T ∈ HomF(V, U) | T ◦ ρ(x) = ρ ′ (x) ◦ T ∀x ∈ g }<br />
Si T ∈ Homg(V, U) decimos que T es equivariante.<br />
1.3. Lema (de Schur). (1a. versión) Si ρ y ρ ′ son representaciones irreducibles<br />
de g y T ∈ Homg(V, U) entonces o T es un isomorfismo o T ≡ 0.<br />
Demostración. Notar que T ∈ Homg(V, U) implica que Ker(T ) e Im(T ) son subespacios<br />
invariantes para V y U respectivamente. Como ρ y ρ ′ son representaciones<br />
irreducibles entonces Ker(T ) es o el subespacio cero o V , de forma análoga Im(T )<br />
es el subespacio cero de U o U. <br />
Sea ahora F un campo algebraícamente cerrado. Y supongamos que U = V , ahora<br />
nos interesa<br />
Endg(V ) = { T ∈ EndF(V ) | T ◦ ρ(x) = ρ(x) ◦ T ∀x ∈ g }<br />
Key words and phrases. Lema de Schur; Álgebras de Lie solubles, nilpotentes, semisimples, simples;<br />
Radical de una álgebra de lie; Forma de Cartan-Killing.<br />
1<br />
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1.4. Lema (de Schur). (2a. versión) Si ρ es una representación irreducible de<br />
g y T ∈ Endg(V ) entonces T = λ IdV .<br />
Demostración. Como el campo es algebraícamente cerrado existe un valor propio<br />
λ con vector propio v, entonces Ker(T − λ IdV ) es un subespacio invariante no nulo<br />
para ρ. Pero ρ es representación irreducible, por tanto Ker(T − λ IdV ) = V o lo<br />
que es lo mismo T − λ IdV ≡ 0. <br />
Sea de nuevo ρ : g → gl(V ) una representación lineal de g en V . Si V se descompone<br />
como suma de subespacios invariantes que a su vez ya no admiten subespacios<br />
invariantes no triviales, entonces decimos que la representación es totalmente reducible.<br />
En este caso V admite una descomposición del tipo<br />
V = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk<br />
y ademas ρi = ρ : g → gl(Wi) es una representación irreducible para cada i ∈<br />
1, 2, . . . , k y ademas se satisface que<br />
ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρk<br />
1.5. La métrica de Cartan-Killing.<br />
Sea de nuevo ρ : g → gl(V ) una representación lineal de g en V , entonces podemos<br />
definir<br />
Bρ : g × g → F<br />
(x, y) ↦→ Tr(ρ(x) ◦ ρ(y))<br />
de la definición podemos observar que Bρ es una forma bilineal y simétrica. Además<br />
satisface que:<br />
Bρ([x, y], z) = Bρ(x, [y, z])<br />
1.6. A las formas bilineales que satisfacen la igualdad anterior se les llama formas<br />
bilineales invariantes en g.<br />
De forma más general, si B : V × V → F es una forma bilineal y ρ : g → gl(V ) es<br />
una representación, decimos que B es invariante (por la acción de g) si<br />
B(ρ(x)u, v) + B(u, ρ(x)v) = 0<br />
La forma bilineal invariante que nos interesa estudiar es la que se obtiene cuando<br />
elegimos ρ = ad, en este caso la denotamos por<br />
K(x, y) = Tr(ad(x) ◦ ad(y))<br />
y la llamamos la forma de Cartan-Killing. Cuando dicha forma sea no-degenerada<br />
entonces le llamaremos la métrica de Cartan-Killing. En este caso no necesariamente<br />
solicitamos que K sea definida positiva. Más aún, en la mayoría de los casos<br />
no será definida positiva ni definida negativa.<br />
Nota: Recuerde que por el ejercicio 26 de la tarea pasada el subespacio vectorial<br />
de g que consta de los elementos x ∈ g tal que<br />
2
K(x, y) = 0 ∀y ∈ g<br />
es un ideal en g el cual se llama el radical de K.<br />
II. Álgebras Solubles, Nilpotentes, Semisimples y Simples<br />
Recordemos la siguiente construcción asociada a una álgebra de Lie g,<br />
g (1) = [g, g], . . . , g (n+1) = [g (n) , g (n) ], . . .<br />
sabemos que g (i) es un ideal en g y que además satisfacen que:<br />
(1) g ⊃ g (1) ⊃ · · · ⊃ g (n) ⊃ · · ·<br />
A la serie dada por (1) le llamaremos la serie derivada. A g le podemos asociar<br />
otra serie de ideales llamada la serie central descendente la cual esta definida como:<br />
g 1 = [g, g], . . . , g n+1 = [g, g n ], . . .<br />
Estas dos series sugieren que puede ser interesante estudiar las álgebras de Lie tales<br />
que g n = 0 o g (n) = 0.<br />
2.1. Definición.<br />
(1) Si existe n ∈ N tal que g (n) = 0 entonces g es una álgebra de Lie soluble.<br />
(2) Si existe n ∈ N tal que g n = 0 entonces g es una álgebra de Lie nilpotente.<br />
2.2. Notas.<br />
1. Notar que toda álgebra de Lie abeliana es nilpotente.<br />
2. Toda álgebra de Lie nilpotente es soluble.<br />
3. Toda álgebra de Lie nilpotente tiene centro no trivial, el cual esta dado por el<br />
ideal g n si g n = 0 y g n+1 = 0.<br />
2.3. Definición. Una álgebra de Lie g se llama semisimple si el único ideal soluble<br />
que contiene es el ideal cero. Si dimF(g) > 1 y los únicos ideales contenidos en g<br />
son los triviales entonces decimos que g es simple.<br />
2.4. Notas.<br />
1. Toda álgebra de Lie simple es semisimple.<br />
2. La condición dimF(g) > 1 es para evitar que la álgebra de Lie abeliana de<br />
dimensión uno sea simple.<br />
3. La condición dimF(g) > 1 implica que toda álgebra de Lie simple satisface que<br />
[g, g] = g = 0. Y por tanto ninguna álgebra de Lie simple puede ser nilpotente o<br />
soluble.<br />
4. Notar que si g es simple entonces Z(g) = 0.<br />
5. Notar que los subespacios invariantes bajo la representación adjunta se corresponden<br />
con los ideales de g, por tanto, g es simple si y sólo si ad es irreducible<br />
como representación.<br />
3
2.5. Proposición. Sea g una álgebra de Lie,<br />
(1) Si g es soluble entonces todas sus subálgebras son solubles.<br />
(2) Si g es soluble y φ : g → h es un morfismo de álgebras de Lie, entonces φ(g)<br />
es soluble.<br />
(3) Si h es un ideal soluble de g y g/h es soluble entonces g es soluble.<br />
(4) Si h y m son ideales solubles de g entonces tambien lo es h + m.<br />
Demostración.<br />
1) Si h es una subálgebra de g basta observar que h (i) ⊂ g (i) .<br />
2) Notar que si φ : g → h es un morfismo suprayectivo entonces φ(g (i) ) = h (i) .<br />
3) Supongamos que (g/h) (i) = 0, y llamemosle π : g → (g/h) al morfismo proyección.<br />
Entonces, por ser π suprayectivo, π(g (i) ) = (g/h) (i) = 0, i.e., g (i) ⊂ h = Ker(π).<br />
Pero por ser h soluble existe j tal que h (j) = 0 y como (g (i) ) (j) = g (i+j) ⊂ h (j) = 0<br />
tenemos que g es soluble.<br />
4) Recordar que siempre hay un isomorfismo entre (h + m)/m y h/(h ∩ m). Como h<br />
y m son ideales h ∩m es un ideal en h (y en m). Usando 2) obtenemos que h/(h ∩m)<br />
es la imagen bajo π : h → h/(h ∩ m) por lo que es soluble, aplicando 3) a h + m y<br />
m obtenemos que h + m es soluble. <br />
2.6. Como una aplicación directa de 4) obtenemos que toda álgebra de Lie g<br />
deberá tener un único ideal soluble máximo. A este ideal soluble máximo de g le<br />
llamaremos el radical de g y lo denotaremos por Rad(g).<br />
De manera análoga se puede demostrar (ejercicio!) que:<br />
2.7. Proposición. Sea g una álgebra de Lie,<br />
(1) Si g es nilpotente entonces todas sus subálgebras son nilpotentes.<br />
(2) Si φ : g → h es un morfismo de álgebras de Lie y g es nilpotente, entonces<br />
φ(g) es nilpotente.<br />
(3) Si g/Z(g) es nilpotente entonces g es nilpotente.<br />
(4) Si g es nilpotente y no cero, entonces Z(g) = 0.<br />
III. El Teorema de Engel<br />
3.1. Lema. Sea x ∈ gl(V ) un elemento nilpotente. Entonces ad(x) también es<br />
nilpotente.<br />
3.2. Teorema. Sea g ⊂ gl(V ) una subálgebra y supongamos que V tiene dimensión<br />
finita. Si g consta de elementos nilpotentes y V = 0 entonces existe un<br />
elemento no nulo v ∈ V tal que g(v) = 0 para todo g ∈ g.<br />
La demostración de este teorema se hace usando inducción.<br />
3.3. Teorema (De Engel). Si todos los elementos de g son ad nilpotentes, entonces<br />
g es nilpotente.<br />
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Tarea II<br />
32. Sea ρ : g → gl(V ) es una representación de g en V demuestre que ρ induce una<br />
representación de g en V ⊗ V definida por ρ(x)(u ⊗ v) = ρ(x)u ⊗ v + u ⊗ ρ(x)v.<br />
33. Demuestre que S 2 (V ) y Λ 2 (V ) son subespacios invariantes para la representación<br />
definida por ρ : g → gl(V ⊗ V ) como ρ(x)(u ⊗ v) = ρ(x)u ⊗ v + u ⊗ ρ(x)v.<br />
Donde ρ : g → gl(V ) es una representación de g en V .<br />
34. Demuestre que si g es una álgebra de Lie y h es un ideal de g entonces g/h<br />
admite una estructura de álgebra de Lie tal que π : g → g/h (la proyección al<br />
cociente) es un morfismo de álgebras de Lie.<br />
35. Demuestre que g es semisimple si y sólo si Rad(g) = 0.<br />
36. Demuestre que Rad(gl n) = 〈In〉.<br />
37. Suponga que la característica del campo F es dos. Demuestre que sl2(F) es<br />
nilpotente.<br />
38. Pruebe que la álgebra de Lie de dimensión dos que no es la abeliana es soluble<br />
pero no nilpotente. Y demuestre que toda álgebra de Lie de dimensión dos<br />
nilpotente es abeliana.<br />
39. Pruebe que si h y m son ideales nilpotentes de g entonces h+m tambien es ideal<br />
nilpotente de g. Concluya que entonces en g deberá existir un único ideal maximal<br />
nilpotente. (A este ideal maximo nilpotente en g se le llama el nilradical de g).<br />
40. Sea g una álgebra de Lie y h una subálgebra de g definimos el normalizador de<br />
h en g como el conjunto que consta de los siguientes elementos:<br />
Ng(h) = { x ∈ g | [x, h] ⊂ h }<br />
Demuestre que Ng(h) es la subálgebra de g más grande que contiene a h como ideal.<br />
41. Suponga que g es nilpotente y sea h una subálgebra propia de g. Demuestre<br />
que h esta contenido propiamente en Ng(h).<br />
42. Demuestre que las siguientes ecuaciones estructurales definen álgebras de Lie<br />
nilpotentes:<br />
(1) [e1, e2] = e3, [e1, e3] = 0 y [e2, e3] = 0.<br />
(2) [e1, e2] = e3, [e1, e3] = e4, [e1, e4] = 0, [e2, e3] = 0, [e2, e4] = 0 y [e3, e4] = 0.<br />
43. Demuestre que toda álgebra de Lie de dimensión tres nilpotente pero no conmutativa<br />
tiene ecuaciones estructurales [e1, e2] = e3, [e1, e3] = 0 y [e2, e3] = 0.<br />
44. Enumere todas las álgebras de Lie de dimensión tres que sean nilpotentes.<br />
45. Demuestre que si h es un ideal contenido en Z(g) tal que g/h es nilpotente,<br />
entonces g es nilpotente.<br />
46. Demuestre que si g es soluble entonces [g, g] es nilpotente.<br />
47. Demuestre el lema 3.1..<br />
48. Sea g una álgebra de Lie y K su forma de Cartan-Killing, demuestre que Rad(g)<br />
y [g, g] son ortogonales con respecto a K.<br />
49. Halle [g, g] si:<br />
(1) g = gl n(F).<br />
(2) g = tn<br />
(3) g = sln(F)<br />
5
50. Demuestre que si las ecuaciones estructurales de una álgebra de Lie de dimensión<br />
tres estan dadas por:<br />
[e1, e2] = 0 [e2, e3] = ae1 + be2 [e3, e1] = ce1 + de2<br />
con ad − bc = 0 entonces dicha álgebra es soluble.<br />
51. Demostrar que para toda g, el cociente g (n) /g (n+1) es abeliano.<br />
52. Sea h un ideal de g (n) tal que g (n) /h es conmutativo, entonces g (n+1) ⊂ h.<br />
53. Demuestre que si g es una álgebra de Lie simple entonces C k kj<br />
= 0.<br />
54. Sea g una álgebra de Lie de dimensión tres. Entonces su corchete de Lie le hace<br />
corresponder a cada plano generado por el par de vectores u, v ∈ F 3 una recta con<br />
dirección w = [u, v]. Demuestre que si g no es simple entonces esta correspondencia<br />
es degenerada.<br />
55. Demuestre que no existen álgebras de Lie semisimples de dimensión menor que<br />
tres y que toda álgebra tridimensional semisimple es simple.<br />
56. Demostrar que una álgebra de Lie g es semisimple si y sólo si no tiene ideales<br />
conmutativos no triviales. Notar que en particular el centro de una álgebra<br />
semisimple deberá ser nulo.<br />
57. Sea g semisimple y h y m ideales (primos ?). Demuestre que son equivalentes:<br />
(1) h ∩ m = 0.<br />
(2) [h, m] = 0.<br />
(3) K(h, m) = 0 si h ∈ h y m ∈ m.<br />
58. Demuestre que g/Rad(g) es semisimple.<br />
59. Demuestre que si g es semisimple entonces g = [g, g].<br />
60. Demuestre que sp n(R) es semisimple.<br />
61. Suponga que g es una álgebra de Lie de dimensión cuatro y que sus ecuaciones<br />
estructurales estan dadas por:<br />
[e1, e2] = 3e1, [e1, e3] = e3, [e2, e3] = 3e3<br />
Demostrar que g se descompone en suma directa de su centro y una álgebra semisimple.<br />
62. Suponga que g es nilpotente. Demuestre que g tiene un ideal h tal que dimF(h)+<br />
1 = dimF(g).<br />
Definición Una bandera en un espacio vectorial V es una cadena de subespacios<br />
0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vn = V tal que dimF(Vi) = i. Decimos que un elemento<br />
x ∈ gl(V ) estabiliza a la bandera si x(Vi) ⊂ Vi.<br />
63. Use el Teorema 3.2. del segundo resumen e inducción para demostrar si<br />
g ⊂ gl(V ) consiste de elementos nilpotentes y V = 0 entonces existe una bandera<br />
(Vi) en V estable bajo g y tal que x(Vi) ⊂ Vi−1 para toda i. En otras palabras,<br />
existe una base de V tal que la matriz asociada a cada x ∈ g (con respecto a esta<br />
base) esta en t0(n, F). (Vea el ejercicio 21 del primer resumen).<br />
64. Use de nuevo el Teorema 3.2. para demostrar que: Si g es nilpotente y h es un<br />
ideal no nulo de g entonces h ∩ Z(g) = ∅.<br />
6
Definición Una álgebra de Lie g se llama reductiva si su representación adjunta es<br />
completamente reducible.<br />
65. Demuestre que los subespacios invariantes bajo la representación adjunta en g<br />
se corresponden con ideales en g. Y que dicho subespacio invariante es irreducible<br />
si y sólo si es un ideal simple.<br />
66. Demuestre que si en g existen ideales h y m de g tal que g = h⊕m como espacio<br />
vectorial entonces [h, m] = 0.<br />
67. Demuestre que si g es reductiva entonces g se descompone como suma de ideales<br />
de la siguiente forma<br />
V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vr ⊕ W1 ⊕ · · · ⊕ Ws<br />
donde dimF(Vi) = 1, dimF(Wi) ≥ 2 y cada Wi es una álgebra de Lie simple.<br />
68. Demuestre que si g es reductiva entonces Z(g) = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vr.<br />
69. Sea ad : g → gl(V ) la representación adjunta de g muestre que ad(g) es una<br />
subálgebra de gl(V ) y que si g es reductiva entonces es isomorfa a g/Z(g).<br />
70. Demuestre que si g es reductiva entonces g/Z(g) es semisimple.<br />
71. Demuestre que si g es reductiva entonces Rad(g) = Z(g).<br />
72. Demuestre que g reductiva es semisimple si y sólo si Z(g) = 0.<br />
73. Demuestre que toda álgebra de Lie reductiva se puede escribir como g =<br />
Z(g)⊕[g, g] = Rad(g)⊕[g, g]. Note que g reductiva implica que [g, g] es semisimple.<br />
74. Demuestre que si Rad(g) = Z(g) entonces g es reductiva. (Vea ejercicio 9 de<br />
esta tarea).<br />
Sea g una álgebra de Lie y sean Der(g) y In(g) las álgebra de Lie de derivaciones<br />
y derivaciones interiores de g resp.<br />
75. Demuestre que In(g) es un ideal en Der(g) para toda g.<br />
76. Si g = Span F{ e1, e2 } y [e1, e2] = e2. Entonces Der(g) = In(g).<br />
77. Determine a Der(g) si g es la álgebra de Lie abeliana de dimensión dos. ¿ Que<br />
pasa en dimensión mayor ?<br />
Más construcciones de álgebras de Lie.<br />
Sea ρ : g → gl(h) una representación lineal de g en h donde h también es álgebra<br />
de Lie. Supongamos además que para todo g ∈ g se tiene que ρ(g) ∈ Der(h).<br />
Consideremos el espacio vectorial definido por g ⊕ h y definamos:<br />
[g1 + h1, g2 + h2]g⊕h := [g1, g2]g + ρ(g1)h2 − ρ(g2)h1 + [h1, h2]h<br />
78. Demuestre que con esta definición g ⊕ h es una álgebra de Lie.<br />
79. Demuestre que g es una subálgebra y que h es un ideal.<br />
Definición. Si en la construcción anterior tenemos que ρ(g) ≡ 0 para toda g ∈ g<br />
entonces a la álgebra resultante le llamamos la suma directa de g y h. Si h es<br />
abeliana entonces a la álgebra resultante de llamamos la suma semidirecta de g y<br />
h y la notación usual es g ⋉ h.<br />
80. Sea D una derivación en g. Y sea g = <br />
λ gλ la descomposición de g en<br />
subespacios propios con respecto a los valores propios de D. (Recuerde que gλ =<br />
7
{ x ∈ g | ∃k ∈ N (D − λ Idg) kx = 0 } ) Demuestre que [gα, gβ] = 0 si α + β no es<br />
valor propio de D, mientras que [gα, gβ] ⊂ gα+β si α + β es valor propio de D.<br />
81. (continuación de 80.) Defina S : <br />
λ gλ → <br />
λ gλ haciendo S|gλ := λ Idgλ .<br />
Demuestre que S es una derivación que conmuta con D y que D−S es una derivación<br />
nilpotente, i.e., existe n ∈ N tal que (D − S) n ≡ 0.<br />
Facultad de Ciencias, Universidad Autonoma de San Luis Potosí; Av. Salvador Nava<br />
s/n, Zona Universitaria, CP 78290, San Luis Potosí, S.L.P., Mexico.<br />
E-mail address: gsalgado@fciencias.uaslp.mx, gil.salgado@gmail.com<br />
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